Plasmainstabilitäten in anisotropen Gegenstromverteilungen

Plasmainstabilitäten in anisotropen
Gegenstromverteilungen
Dissertation
zur Erlangung des Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
in der
Fakultät für Physik und Astronomie
der Ruhr-Universität Bochum
vorgelegt von
Anne Stockem
Institut für Theoretische Physik IV:
Theoretische Weltraum- und Astrophysik
Bochum 2009
1. Gutachter: Herr Prof. Dr. R. Schlickeiser
2. Gutachter: Herr PD. Dr. H. Fichtner
Tag der Disputation: 26.05.2009
Inhaltsverzeichnis
Motivation
1
1 Einleitung
3
1.1
Überblick über relevante Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3
Magnetfeldstärkemessungen
1.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.1
Polarisationsmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.2
Synchrotron-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.3
Faraday-Eekt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.4
Zeeman-Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Anwendung in der Fusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Die Filamentierungsinstabilität
13
15
2.1
Die lineare Phase
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Der Sättigungsprozess
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3
Die nichtlineare Phase
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.4
Einuss eines Führungsmagnetfeldes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Kalte Plasmen
15
18
19
3.1
Die Dispersionsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2
Die kritische Magnetfeldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.3
Die lineare Anwachsrate
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Simulation der Filamentierungsinstabilität
23
4.1
Die numerische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.2
Simulationsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.3
Die Energiedichten
25
4.4
Die lineare Phase der Simulation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.5
Die nichtlineare Phase der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.6
Vergleich der Methoden
38
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
Inhaltsverzeichnis
5 Temperatureinuss
5.1
39
Vergleich der Instabilitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.1.1
Die Filamentierungsinstabilität
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.1.2
Die Weibel-Instabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.2
Zusammenspiel von FI und WI
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.3
Berücksichtigung schwach relativistischer Eekte . . . . . . . . . . . . . . .
45
6 Simulation der Weibel-Instabilität
47
6.1
Dispersionsrelation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6.2
Simulationsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.2.1
Die zweidimensionale Simulation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.2.2
Die eindimensionale Simulation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
6.3
Diskussion der Ergebnisse
7 Wechselwirkung zwischen Fluktuationen und Teilchen
61
7.1
Ausbildung einer Stoÿwelle in aperiodischen Fluktuationen . . . . . . . . .
61
7.2
Berechnung der Streulänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
7.2.1
Berechnung des Diusionskoezienten
. . . . . . . . . . . . . . . .
62
7.2.2
Die lineare Dämpfungsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
7.2.3
Höhere Ordnungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
7.3.1
Thermische Teilchen
70
7.3.2
Hochrelativistische Teilchen
7.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
8 Zusammenfassung und Ausblick
75
A Wahl des Einheitensystems
83
B Schwach relativistische Rechnung
85
B.1
Die Filamentierungsinstabilität
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
B.1.1
Monochromatische (kalte) Gegenströme . . . . . . . . . . . . . . . .
85
B.1.2
Asymmetrische Gegenströme: kalt/thermisch . . . . . . . . . . . . .
87
B.1.3
Zwei Gegenströme mit endlicher Temperatur . . . . . . . . . . . . .
88
B.2
Weibel-Instabilität
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3
Zusammenspiel von FI und WI
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
B.3.1
Gegenströme mit symmetrischer Anisotropie . . . . . . . . . . . . .
89
B.3.2
Gegenströme mit asymmetrischer Anisotropie
92
C Beiträge der Maxwell-Verteilung
ii
89
. . . . . . . . . . . .
97
Inhaltsverzeichnis
C.1
Groÿe Argumente der Plasmadispersionsfunktion
. . . . . . . . . . . . . .
98
C.2
Kleine Argumente der Plasmadispersionsfunktion
. . . . . . . . . . . . . .
98
D Berechnungen zur Streulänge
99
D.1
Integralformeln
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
D.2
Integral der linearen Dämpfungsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
D.3
Ergänzungen zu den höheren Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Literaturverzeichnis
103
Publikationsliste
111
Danksagung
113
Lebenslauf
115
iii
Inhaltsverzeichnis
iv
Motivation
Im Jahr 1600 postulierte der englische Arzt William Gilbert erstmalig, die Erde sei magnetisch und damit lasse sich das Ausrichten von Kompassnadeln erklären. Heutzutage scheint
auch der Ursprung des Erdmagnetfeldes geklärt zu sein (Kuang & Bloxham (1997)): Aufgrund der besonderen physikalischen Eigenschaften im Erdkern sind die dort bendlichen
Eisenteilchen fast vollständig ionisiert. Falls bereits ein schwaches Magnetfeld existiert,
dessen Herkunft noch nicht geklärt ist (s. unten), wird die Bewegung der geladenen Teilchen durch die Erdrotation aufgrund des Dynamo-Prinzips in einen elektrischen Strom
umgewandelt. Dieser erzeugt wiederum ein Magnetfeld, welches durch Induktion weiter
verstärkt wird.
Diese Dynamo-Theorie liefert eine schlüssige Erklärung für das Entstehen des Erdmagnetfeldes, wohingegen die Erklärung der Stärke des Magnetfeldes von Galaxien mittels
des Dynamo-Eektes noch Probleme bereitet (Han & Wielebinski (2002)). So ist z. B. die
Theorie des turbulenten Dynamos in der Lage, die Entstehung eines groÿskaligen Magnetfeldes zu erklären. Allerdings wird dieses von einem starken, kleinskaligen Rauschen
überlagert (Subramanian (1998)). Han & Wielebinski (2002) geben einen detaillierten
Überblick über die Entwicklung auf diesem Forschungsgebiet.
Ein weiteres Problem der Dynamo-Theorie ist die Erklärung der Herkunft des Saatmagnetfeldes. Dazu gibt es einige Ansätze. Der bekannteste ist sicherlich die
Batterie
(Biermann (1952)), mit der Magnetfelder der Stärke
−20
10
Biermann-
G erzeugt werden
können. Sie beschreibt die Erzeugung des Magnetfeldes durch eine elektromotorische
Kraft, die vom Druckgradienten und der Elektronendichte abhängt, über das FaradayGesetz. Vor einiger Zeit rückten Plasmainstabilitäten als alternativer Prozess der Magnetfelderzeugung ins wissenschaftliche Interesse. Dabei treten geladene Teilchenströme
über die Lorentzkraft in Wechselwirkung und verstärken so Magnetfelduktuationen im
Plasma. Dieser Prozess ist in Systemen mit starken Strömen besonders ezient und bietet
den Vorteil, dass kein Saatmagnetfeld benötigt wird.
Gegenstand dieser Arbeit ist die Weiterentwicklung der Theorie der Plasmainstabilitäten vom Typ der Weibel-Instabilität. Die Klassizierung erfolgt anhand der Ausrichtung
des Wellenvektors der Fluktuationen und wird später genauer erläutert. Die Arbeit glie-
1
Motivation
dert sich grob in die folgenden Abschnitte:
I. Es werden Antworten auf die Frage gegeben, wie Teilchen Magnetfelder erzeugen
und zwar mit dem Fokus auf
(a) den Einuss vorhandener Saatmagnetfelder und
(b) die Abhängigkeit von der Verteilung der Teilchen im Gleichgewicht.
II. Im Umkehrschluss wird beantwortet, wie die so entstehenden Magnetfelder auf die
Teilchen zurückwirken.
Diese Fragestellungen werden mittels analytischer und numerischer Methoden untersucht. Mit analytischen Methoden lassen sich grundsätzliche Aussagen über physikalische
Phänomene gewinnen. Sie benötigen jedoch in der Regel mathematische Vereinfachungen, um zu einer Lösung zu gelangen. Kinetische
particle-in-cell- (PIC-) Simulationen be-
schreiben die Dynamik einzelner Teilchen. Deren ausschlieÿlich elektromagnetische Wechselwirkung wird mathematisch durch die Lorentzkraft ausgedrückt. Stöÿe müssen wie
auch bei den analytischen Methoden nicht berücksichtigt werden, da die Teilchenanzahldichten in astrophysikalischen Plasmen sehr gering sind. Aufgrund der auch heute noch
eingeschränkten Rechnerkapazitäten liefern Simulationsverfahren nur dann verwertbare
Ergebnisse, wenn die Komplexität des zu simulierenden physikalischen Systems reduziert
wird. So werden häug nur Teilaspekte eines Gesamtprozesses behandelt. Beispiele dafür
sind die Berücksichtigung nur einer Teilchenspezies oder das Verwenden eines Modells,
das nur einen Bruchteil des physikalischen Objektes umfasst.
Trotz aller Einschränkungen zeigt der Vergleich der Methoden auf, dass es einerseits
deutliche Übereinstimmungen der jeweiligen Ergebnisse gibt; die jeweiligen Vereinfachungen ändern die Physik der Plasmainstabilitäten also nicht grundsätzlich. Andererseits
werden in den Simulationen nichtlineare Eekte berücksichtigt, die erst auf gröÿeren
Zeitskalen eine Rolle spielen und mit Hilfe analytischer Verfahren nicht untersucht werden könnten. Aussagen der analytischen Ergebnisse werden dadurch zwar abgeschwächt,
sie behalten dennoch ihre Gültigkeit, da sie eine detaillierte Beschreibung der linearen
Prozesse liefern.
2
1 Einleitung
Instabilitäten vom Typ der Weibel-Instabilität setzen in Plasmen mit anisotropen Geschwindigkeitsverteilungen ein und erzeugen aufgrund elektromagnetischer Wechselwirkungen ein turbulentes Magnetfeld. Im Rahmen dieser Dissertation werden zwei Arten
der Anisotropie behandelt: Im ersten Teil in Form von zwei Teilchenströmen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten
v1 6= v2 .
Diese Konguration ist auch als Filamentie-
rungsinstabilität bekannt. Astrophysikalische Anwendungen dafür sind z. B. die kollidierenden Hüllen von Supernovae, wobei die Strömungsgeschwindigkeiten nichtrelativistisch
sind, Gamma-Ray Bursts (GRB) mit relativistischen Lorentzfaktoren bis zu
oder Pulsarwindnebel (PWN) mit Lorentzfaktoren von
γ ≈ 106
γ ≈ 100
(z. B. Gaensler & Slane
(2006)). Weitere Anwendungen sind Situationen, in denen die Wechselwirkung der Objekte mit dem umgebenden Medium im Vordergrund steht, wie z. B. bei den Jets aktiver
galaktischer Kerne (AGN), ein Beispiel für einen hochrelativistischen Teilchenstrom mit
Lorentzfaktoren bis zu
γ ≈ 300
oder den schwach relativistischen Jets der Mikroquasare,
die typischerweise Lorentzfaktoren von
γ≈2
haben.
Die zweite Art der Anisotropie, die in dieser Arbeit behandelt wird, ist eine Temperaturanisotropie
Tk 6= T⊥ ,
die der Weibel-Instabilität zugrundeliegt. Als Beispiel sei hier
die terrestrische Vorstoÿwelle genannt, wo Ionen und Elektronen miteinander wechselwirken. Auf dieses Beispiel wird später in diesem Kapitel noch genauer Bezug genommen.
Auf den Unterschied zwischen Filamentierungs- und Weibel-Instabilität wird in Kap. 5
eingegangen.
Ziel dieser Arbeit ist allerdings nicht, die entwickelte Theorie direkt auf eines dieser Objekte anzuwenden. Es werden zwar Beispiele genannt und Zahlenwerte diskutiert, diese
dienen aber vielmehr dazu, die abstrakten Erkenntnisse zu untermauern und die Aussagekraft der Theorie abzuschätzen.
Das vornehmliche Ziel ist eine grundsätzliche Analyse der Instabilitäten, u. a. durch
einen Vergleich zwischen Analytik und numerischen Simulationen, der im Wesentlichen
sehr kleine Skalen betrit. Die Seitenlänge der verwendeten Simulationsbox beträgt 4000
m. Verglichen mit der räumlichen Ausdehnung der meisten oben genannten Objekte ist
dieser Wert sehr klein, jedoch zwei bis drei Gröÿenordnungen gröÿer als die Debyelänge
λD
des entsprechenden Plasmas. Diese Untersuchung liefert grundsätzliche Erkenntnisse über
3
1 Einleitung
die Natur der Instabilität. Grundlegende Prinzipien der Prozesse auf kleinen Skalen lassen
auf das Verhalten auf groÿen Skalen schlieÿen. Eine Simulation der gesamten Objekte
wäre natürlich wünschenswert, ist aber aufgrund der begrenzten Computerkapazität nicht
durchführbar. Auÿerdem ist die kinetische Theorie von Phänomenen auf kleinen Skalen
bestimmt und das Verhalten einzelner Teilchen ist ausschlaggebend. Daher ist eine Analyse
eines kleinen Bruchteils des physikalischen Objekts sinnvoll und hilft, unser Verständnis
der Vorgänge zu erweitern.
In den folgenden Abschnitten werden einige prinzipielle Details zusammengestellt, die
zum Teil den thematischen Zusammenhang für diese Arbeit herstellen oder aber wichtige
Randinformationen liefern. So wird zunächst ein kurzer Überblick über den aktuellen
Forschungsstand auf dem Gebiet der Filamentierungs- und Weibel-Instabilität gegeben.
Unter anderem wird an dieser Stelle auch auf experimentelle Arbeiten Bezug genommen,
die im weiteren Verlauf dieser Arbeit zwar nicht detailliert verwertet werden, aber einen
wichtigen Beitrag zum Verständnis der Instabilität leisten (Abschn. 1.1).
Einen weiteren Aspekt stellt die Wahl der Verteilungsfunktion der Teilchen dar, die
später als Grundlage des theoretischen Teils dient (Abschn. 1.2). Da sich diese Arbeit mit
der Entstehung von Magnetfeldern befasst, wird zudem ein Überblick über die Methoden
zur Bestimmung der Magnetfeldstärke relevanter Objekte gegeben (Abschn. 1.3).
Weiter wird kurz Bezug auf eine andere Anwendung der hier behandelten Theorie genommen: Die Weibel-Instabilität ist in der Plasmaphysik ebenfalls von groÿem Interesse
bei der
Inertial Connement Fusion (Abschn. 1.4).
Die detaillierte Erläuterung des physikalischen Prinzips der Magnetfelderzeugung über
die hier diskutierten Instabilitäten erfolgt in Kap. 2. Der Einuss eines Hintergrundmagnetfeldes wird in Kap. 3 und 4 mit numerischen PIC-Simulationen untersucht und der
Vergleich mit theoretischen Arbeiten gezogen. Der Einuss einer endlichen Temperatur
wird in den Kap. 5 und 6 berücksichtigt.
Im letzten, thematisch etwas abgesetzten Teil wird der Einuss der Fluktuationen und
des dabei entstehenden stochastischen Magnetfeldes auf die Teilchen untersucht. Dazu
wird die mittlere freie Weglänge der Teilchen (hier auch oftmals als Streulänge bezeichnet)
berechnet (Kap. 7). Sie gibt Auskunft darüber, ob die Voraussetzung zur Ausbildung
einer Instabilität überhaupt gegeben ist. In Kap. 8 werden die Ergebnisse dieser Arbeit
zusammengefasst und diskutiert.
1.1 Überblick über relevante Arbeiten
Die erste Arbeit auf dem Gebiet der Weibel-Instabilität wurde von Erich S. Weibel veröentlicht (Weibel (1959)). Allerdings verwendete er in dieser Arbeit nicht die Voraus-
4
1.1 Überblick über relevante Arbeiten
setzungen, die heute zur Beschreibung der Weibel-Instabilität benutzt werden, sondern
wählte eine andere Geometrie und untersuchte Magnetfelduktuationen mit einem Wellenvektor in Richtung des elektrischen Feldes (k
mit (k
k v1 , v 2 )
k E),
was eher der Zwei-Strom-Instabilität
entspricht. Im Unterschied zur elektrostatischen Zwei-Strom-Instabilität
ist die Weibel-Instabilität allerdings elektromagnetischer Natur. Dabei berücksichtigte er
auch den Einuss eines Hintergrundmagnetfeldes, das ebenfalls parallel zum Wellenvektor
der Fluktuationen ausgerichtet war und damit die Instabilität nicht beeinusste.
Als Gleichgewichtsverteilungsfunktion verwendete er die Bi-Maxwell-Verteilung, die eine Temperaturanisotropie beschreibt. Bei diesem Vorgehen machte das Auftreten der
Plasma-Dispersionsfunktion
Z(ζ) aufgrund ihrer komplexen mathematischen Struktur ei-
ne genaue analytische Behandlung unmöglich. Dieses Problem tritt, wie auch in Kap. 5
erläutert, bei Einbeziehung einer Temperaturanisotropie immer wieder auf. Weibel machte
eine analytische Grenzfallbetrachtung für den Fall, dass die thermische Geschwindigkeit
in Richtung des Wellenvektors im Vergleich zur dazu senkrechten thermischen Geschwindigkeit sehr klein ist und konnte damit dieses genäherte Problem analytisch behandeln.
Eine weitere wichtige Arbeit wurde von Fried (1959) verfasst. Er wählte den Wellenvektor der Fluktuationen senkrecht zu den Strömen (k
⊥ v1 , v2 ).
Diese Behandlung
war allerdings nichtrelativistisch. Als Gleichgewichtsverteilung verwendete er die DeltaDistribution.
Als weitere wichtige analytische Arbeiten auf diesem Gebiet sind die Diskussionen
der Anwachsraten der nichtrelativistischen Filamentierungsinstabilität unter Vernachlässigung bzw. Berücksichtigung der Ionen-Dynamik (Lee (1969, 1970)) zu nennen. Relativistische Betrachtungen sind z. B. in Honda (2004) zu nden.
Die Magnetisierung des frühen Universums durch diesen Typ von Plasmainstabilitäten
wird in den folgenden Arbeiten diskutiert: Gruzinov (2001), Okabe & Hattori (2003),
Schlickeiser & Shukla (2003), Schlickeiser (2005), Takahashi et al. (2006).
Neben den genannten theoretischen Arbeiten wurden die Instabilitäten auch experimentell untersucht. In einer Versuchsanordnung von Kapetanakos (1974) wurden Elektronenstrahlen durch ein dichtes Plasma geschickt, wobei eine lamentäre Struktur auftrat. Allerdings merken Wei et al. (2002) an, dass die für die Weibel-Instabilität typische
Strukturbildung erstmals in ihrem Experiment beobachtet wurde. Romagnani et al. (2008)
führten ein Laser-Plasma-Experiment zur Untersuchung der Stoÿwellenausbildung durch
und stellten u. a. ihren stoÿfreien Charakter fest.
Das Prinzip dieser Experimente ist ähnlich: Geladene Teilchen werden durch einen Laser
beschleunigt und durch ein dichtes Plasma geleitet (s. Abb. 1.1), sodass sich darin eine
Instabilität vom Typ der Weibel-Instabilität entwickeln kann.
5
1 Einleitung
Abb. 1.1: Schematische Darstellung einer experimentellen Anordnung zur Untersuchung der Weibel-
λ=
1.054 µm und einer Pulsdauer von 1 ps produziert Elektronenstrahlen, die in zwei Strahlen aufgespalten
Instabilität (entnommen aus Wei et al. (2004)). Ein Laser mit hoher Intensität, einer Wellenlänge
und auf eine Probe (hier: 5 mm x 8 mm dünne Goldfolie mit unterschiedlicher Dicke) gerichtet werden.
Der erste Strahl bestrahlt die Vorderseite der Probe, während der zweite zur Erzeugung des Plasmas
an der Probenrückseite dient.
Wie bereits erwähnt, wird die Instabilität nach der Ausrichtung des Wellenvektors gegenüber der Teilchenströmung klassiziert. Es wurde die Zwei-Strom-Instabilität erwähnt,
bei der der Wellenvektor parallel zu den Strömen orientiert ist und daher kein Magnetfeld
erzeugt wird. In der vorliegenden Arbeit wird nicht weiter auf die Natur dieser Instabilität
Bezug genommen. Allerdings ist sie an anderer Stelle von Interesse. Die Temperaturanisotropie, die die Weibel-Instabilität auslöst, kann z. B. durch die Buneman-Instabilität
(Buneman (1958)) erzeugt werden. Die Buneman-Instabilität resultiert aus der Wechselwirkung aufeinanderzuströmender Protonen- und Elektronenströme, wie man sie z. B.
bei der terrestrischen Vorstoÿwelle ndet (Eastwood et al. (2005)) und berücksichtigt
ebenfalls nur Wellenvektoren parallel zu den Strömungsgeschwindigkeiten (k
k vp , ve ).
Die Vorstoÿwelle bildet sich durch Sonnenwindteilchen, die die terrestrische Bugstoÿwelle
nicht überwinden können und zurück in die Sonnenwinddomäne ieÿen (s. Abb. 1.2). Die
rückströmenden Teilchen formen eine Vorstoÿwelle stromaufwärts der eigentlichen Stoÿwelle. Eine Buneman-Instabilität tritt auf, wenn die von der Stoÿwelle reektierten Ionen
auf die Elektronen des Sonnenwindes treen.
Typisch für die Instabilität ist, dass das elektrische Feld Phasenraumlöcher ausbildet.
Diese entstehen durch lokale Potentialminima, in denen die Elektronen gefangen und
entlang des Wellenvektors beschleunigt werden, wenn ihre kinetische Energie nicht ausreicht, um den Potentialminima zu entkommen (Roberts & Berk (1967); Dieckmann et al.
(2000)). Natürlich ist das Wellenspektrum in Realität nicht gänzlich eindimensional. Allerdings werden die Elektronen in Stromrichtung stärker geheizt als orthogonal dazu, sodass
sich eine Temperaturanisotropie ausbildet.
6
1.1 Überblick über relevante Arbeiten
Abb. 1.2: Sonnenwindteilchen strömen auf die terrestrische Bugstoÿwelle zu. Ein Teil der Protonen
wird daran reektiert und strömt zurück. Diese interagieren mit den Elektronen des Sonnenwindes.
Damit ist die Voraussetzung für eine Buneman-Instabilität, die die Teilchen in Strömungsrichtung
beschleunigt, gegeben. (Entnommen aus Eastwood et al. (2005).)
Ebenso treten in der Realität die Weibel- und die Zwei-Strom-Instabilität nicht stets
voneinander isoliert auf. In der Tat gibt es sogenannte
oblique modes, die eine Mischform
aus beiden darstellen. Dabei zeigt der Wellenvektor in eine beliebige Richtung. Antoine
Bret hat einige Artikel zu dem Thema veröentlicht, in denen er den Einuss beider
Beiträge im Detail untersucht (z. B. Bret et al. (2006, 2008)).
Wie bereits erwähnt, sind Teilchensimulationen in Zusammenhang mit den Instabilitäten wertvoll, da sie eine Ergänzung zum analytischen und experimentellen Zugang darstellen. Da sich Simulationen direkt auf die Bewegungsgleichungen der Teilchen stützen
und die Maxwellgleichungen mit der Verteilungsfunktion der Teilchen numerisch gelöst
werden, werden auch nichtlineare Prozesse berücksichtigt. Zudem kann die Entwicklung
der elektromagnetischen Felder im Gegensatz zur Analytik auch auf groÿen Zeitskalen
untersucht werden.
Hohe Strömungsgeschwindigkeiten bzw. starke Temperaturanisotropien begünstigen das
Wellenwachstum. Daher behandeln die meisten Simulationen relativistische Strömungsgeschwindigkeiten. Wie schon zuvor angedeutet, wird in der Analytik häug auf die DeltaDistribution zur Beschreibung der Geschwindigkeitsverteilung zurückgegrien, was dem
Fall einer verschwindenden Temperatur (T
Debye-Länge des Plasmas bestimmt
= 0) entspricht. Da die Temperatur aber die
√
(λD ∝
T ), die wiederum die minimale Zellengröÿe
der Simulation festlegt, muss sie einen endlichen Wert haben. Diese scheinbare Diskrepanz
wird in Kap. 4 näher beleuchtet.
7
1 Einleitung
Die in Bezug auf meine Arbeit erste relevante Veröentlichung zu PIC-Simulationen
wurde von Morse & Nielsen (1971) für eine Temperaturanisotropie-getriebene Instabilität in einem unmagnetisierten Plasma geschrieben, woraufhin eine groÿe Anzahl von
weiteren Veröentlichungen folgten. In der Arbeit von Lee & Lampe (1973) wurde der
Einuss eines Hintergrundmagnetfeldes in einer 2D-Simulation eines Elektronenstroms,
der sich in einem Plasma ausbreitet, untersucht. In den letzten Jahren wurde eine erhebliche Anzahl von 3D-Simulationen durchgeführt, häug auch vor dem Hintergrund
der Beschleunigung von Teilchen in Stoÿwellen und der Stoÿwellenausbildung. So wurden
z. B. Ströme aus Elektronen und Positronen simuliert (Silva et al. (2003); Jaroschek et al.
(2005)), bzw. die Wechselwirkung von Ionen und Elektronen untersucht (Pukhov (2001);
Nishikawa et al. (2003); Frederiksen et al. (2004); Hededal & Nishikawa (2005)). Während
sich die zuletzt genannten Simulationen alle auf die Filamentierungsinstabilität beziehen
(Strömungsgeschwindigkeit
v0 6= 0),
beschäftigten sich Romanov et al. (2004) wieder mit
einem System, das sich aus einer Bi-Maxwell-Verteilung entwickelt. Dort verschwindet also
die Strömungsgeschwindigkeit
v0
und die Instabilität entwickelt sich aufgrund der Tem-
peraturanisotropie, so wie es in der ursprünglichen Arbeit von Morse & Nielsen (1971)
der Fall war.
Aber auch heute sind Simulationen mit einer reduzierten Anzahl räumlicher Dimensionen noch wichtig, um Teilaspekte herauszugreifen und genauer untersuchen zu können. So
wurde z. B. in der Arbeit von Dieckmann et al. (2008) zur Filamentierungsinstabilität eine
1D-Simulation gewählt und ein einzelnes Stromlament untersucht. Durch die Wahl einer
ein- bzw. zweidimensionalen Simulation können Instabilitäten auch unterdrückt werden.
Um die Filamentierungsinstabilität zu untersuchen, ist es sinnvoll, innerhalb der Ebene
senkrecht zu den Strömen zu simulieren, da sich die Fluktuationen zumindest während
der linearen Phase nur in dieser entwickeln. Damit werden die Zwei-Strominstabilität und
die
oblique modes ausgeschlossen, was die Interpretation der Ergebnisse vereinfacht. Aller-
dings bewirken nichtlineare Prozesse auf groÿen Zeitskalen eine dreidimensionale Strukturbildung, sodass die 2D-Simulationen an dieser Stelle nicht mehr physikalisch relevant
sind.
Aus Gründen der Vollständigkeit soll hier auch die MHD-Betrachtung der WeibelInstabilität Erwähnung nden die sogenannte Mirror-Instabilität. Sie tritt in Temperaturanisotropen Plasmen mit hohem Plasma-Beta auf. Die erste relevante analytische Arbeit
dazu wurde von Tajiri (1967) verfasst, gefolgt von Hasegawa (1969), der Gradienten in der
Teilchendichte und im Magnetfeld berücksichtigte, die zu oszillierenden Moden führten.
Diese Arbeiten wurden durch Pokhotelov et al. (2003), Pokhotelov et al. (2004), Liu et al.
(2007), Qu et al. (2007) sowie durch Hellinger (2007, 2008) erweitert.
8
1.2 Verteilungsfunktionen
1.2 Verteilungsfunktionen
Für den theoretischen Teil dieser Arbeit ist die Kenntnis der Verteilungsfunktion der
Teilchen im Gleichgewicht notwendig. Gerade bei der Behandlung von Prozessen, die in
groÿen Entfernungen von der Erde stattnden, gibt es dafür jedoch in der Regel keine
direkten Messdaten. Daher werden häug unphysikalische Modelle verwendet, wie z. B.
die Delta-Distribution, die eher aus mathematischen als aus physikalischen Überlegungen
herangezogen wird. Die Delta-Distribution wird vor allem bei nicht-thermischen Prozessen
verwendet. Die Verteilungsfunktion für zwei Teilchenströme entlang der
f0D (v) =
z -Achse ist durch
1
δ(vx ) δ(vy ) [δ(vz − v0 ) + δ(vz + v0 )]
2
gegeben. Eine Erweiterung stellt die
Waterbagfunktion
(1.1)
dar, die Teilchengeschwindigkeiten
innerhalb eines Intervalls zulässt. Für einen Teilchenstrom mit Geschwindigkeiten innerhalb des Intervalls
[−v0 , v0 ]
entlang der
f0W (v) =
z -Achse
ergibt sich
1
δ(vx ) δ(vy ) [H(vz − v0 ) − H(vz + v0 )]
2v0
(1.2)
vgl. Yoon & Davidson (1987). Nimmt man an, dass sich ein System im thermischen
Gleichgewicht bendet, so wird häug die Maxwell-Verteilung (vthx
die Bi-Maxwell-Verteilung (vthx
π 3/2 v
bzw.
= vthy 6= vthz )
"
f0M (v) =
= vthy = vthz )
1
exp −
thx vthy vthz
vx2
2
vthx
vy2
vz2
+ 2 + 2
vthy vthz
!#
(1.3)
angenommen.
Nahe Objekte, wie z. B. die Sonne und der damit einhergehende Sonnenwind, können
gut mit Sonden untersucht werden. Aus den gemessenen Phasenraumdichten können die
mittlere Dichte und die mittlere Geschwindigkeit mit Hilfe der Momentenbildung berechnet werden.
Dreidimensionale Messungen der Elektronengeschwindigkeitsverteilung mit der Sonde
Ulysses
haben gezeigt, dass die Teilchenverteilungsfunktion des Sonnenwindes leicht von
einer Maxwell-Verteilung abweicht. Insbesondere sind die Ausläufer der Verteilung verbreitert (siehe dazu auch Maksimovic et al. (1997) und Pierrad & Lemaire (2002)). Die Verteilungsfunktion des Sonnenwindes wird deshalb üblicherweise durch eine Kappa-Verteilung
f0κ (v)
Γ(κ + 1)
1
=
2
3/2
2π(κvκ ) Γ(κ − 1/2)Γ(3/2)
vy2
v2
v2
1 + x2 + 2 + z2
κvκx κvκy κvκz
−(κ+1)
(1.4)
9
1 Einleitung
vκi = ((2κ−3)kTi /κm)1/2 beschrieben, die den superthermalen Schweif gut wiedergibt.
Die Bi-Maxwell-Verteilung ergibt sich als Grenzfall der Kappa-Verteilung für κ → ∞.
mit
Messungen dieser Art werden nun als Referenz herangezogen, wobei man annimmt,
dass andere Szenarien durch ähnliche Prozesse bestimmt werden, sodass dort ebenfalls
eine Kappa-Verteilung vorliegt. Allerdings beschreibt auch die Maxwell-Verteilung die
physikalischen Systeme adäquat, sodass der Fehler, den man bei ihrer Anwendung macht,
nicht allzu groÿ ist.
Da das Magnetfeld nur die Bewegung der Teilchen senkrecht dazu beeinusst, werden
häug Bewegungen parallel und senkrecht zum Magnetfeld getrennt betrachtet und ein
entsprechendes Koordinatensystem eingeführt. Wenn innerhalb der senkrechten Ebene
keine Vorzugsrichtung existiert, ist die Verteilungsfunktion isotrop zum Führungszentrum.
Man spricht in diesem Fall von Gyrotropie.
1.3 Magnetfeldstärkemessungen
Bei der Diskussion der Entstehung von Magnetfeldern im Universum stellt sich natürlich
auch die Frage nach ihrer Detektion. Es hat sich gezeigt, dass nahezu alle astrophysikalischen Objekte Magnetfelder besitzen. Informationen über diese werden zu einem groÿen
Teil aus Radiobeobachtungen gewonnen, da diese Aufschlüsse über die Synchrotronstrahlung der bewegten Teilchen und damit indirekt auf das Magnetfeld geben.
Im Folgenden soll etwas näher auf die Prinzipien der Messmethoden eingegangen werden. Zum einen macht man sich die Polarisation der Strahlung zu Nutze. Diese Messungen
im optischen, Infrarot-, Submillimeter- und Radiowellenbereich sind indirekte Verfahren
zur Bestimmung der senkrechten Magnetfeldkomponente, ebenso wie die oben bereits erwähnte Messung der Synchrotronstrahlung. Die Messung der Faraday-Rotation und die
Zeeman-Aufspaltung der Spektrallinien ermöglichen die Bestimmung der zur Ausbreitungsrichtung des Lichts parallelen Magnetfeldkomponente. Mit diesen Methoden können
sowohl das Magnetfeld unserer Galaxie als auch extragalaktische Magnetfelder bestimmt
werden.
1.3.1 Polarisationsmessungen
Para- oder diamagnetische, rotierende Staubkörner richten sich senkrecht zu den Magnetfeldlinien aus. Geschieht dies innerhalb der Sichtlinie der Emission eines anderen Körpers,
so wird ein Teil seines Lichts an den Staubkörnern gestreut und weist eine Polarisation
senkrecht zum Magnetfeld auf. Demgegenüber ist das restliche beobachtete Licht dann
parallel polarisiert (s. Abb. 1.3). Diese Interpretation des Prinzips wurde von Davis &
10
1.3 Magnetfeldstärkemessungen
Greenstein (1951) geliefert.
Die Ursache der Polarisation der gestreuten Strahlung wird noch diskutiert. Aktuelle
Erklärungsansätze sind in der Arbeit von Han & Wielebinski (2002) zusammengefasst:
Einerseits wird die Meinung vertreten, dass sie allein durch die Streuung an den Staubkörnern hervorgerufen wird. Alternativ könnten die Staubteilchen im Magnetfeld linear
polarisierte elektromagnetische Wellen emittieren. Eine weitere Erklärung ist die thermische Emission des Staubs in einem anisotropen Strahlungsfeld.
Die Interpretation der Messung wird dadurch erschwert, dass nicht direkt vom Polarisationsgrad auf die Magnetfeldstärke geschlossen werden kann, da der Ausrichtungsgrad der Staubkörner unbekannt ist. Dafür sind sowohl die Magnetfeldstärke als auch
die Eigenschaften des Staubs wie Form, Temperatur, Rotationsgeschwindigkeit und seine
immanenten magnetischen Eigenschaften ausschlaggebend.
Mit dieser Methode wurde das Magnetfeld unserer Galaxie bestimmt. So ergab sich,
dass es gröÿtenteils innerhalb der galaktischen Ebene liegt (Han & Wielebinski (2002)).
Aber auch Magnetfelder naher Galaxien können mittels Polarisationsmessungen erfasst
werden.
Abb. 1.3: Skizze zur Magnetfeldmessung mit Hilfe der optischen Polarisation: Unpolarisiertes Sternlicht wird an Staubkörnern gestreut. Da sich ein gewisser Prozentsatz der Staubkörner senkrecht zu
den Magnetfeldlinien ausrichtet, kann auf das zugrundeliegende Magnetfeld rückgeschlossen werden.
Entnommen aus Beck & Krause (1989).
1.3.2 Synchrotron-Strahlung
Geladene Teilchen, die mit relativistischer Geschwindigkeit in einem Magnetfeld gyrieren,
senden kontinuierliche Synchrotronstrahlung in Bewegungsrichtung aus, deren Intensität
11
1 Einleitung
vom Magnetfeld abhängt. Somit liefert die Messung der Synchrotronstrahlung im Radiobereich einen wesentlichen Anteil der zugänglichen Informationen über galaktische und
extragalaktische Magnetfelder (Wielebinski (2005)).
Zur Berechnung wird eine Äquipartition zwischen der Energiedichte des Magnetfeldes
und der der kosmischen Strahlung angenommen. So kann aus der Intensität der gemessenen Strahlung auf das Magnetfeld geschlossen werden.
1.3.3 Faraday-Eekt
Wenn polarisiertes Licht ein magnetisiertes Medium durchquert, bewirkt die Magnetfeldkomponente entlang der Sichtlinie
geschieht umso stärker, je gröÿer
Bk
(Bk )
eine Drehung der Polarisationsebene. Dies
und die Elektronendichte
ne
sind. Auÿerdem ist die
Winkeländerung wellenlängenabhängig. Es gilt
∆Φ = RM λ2 ,
wobei
e3
RM =
2πm2 c4
(1.5)
Z
dl ne Bk
(1.6)
das Rotationsmaÿ bezeichnet.
Mithilfe des Dispersionsmaÿes, also der entlang der Sichtlinie gemittelten Elektronendichte
Z
DM =
dl ne ,
(1.7)
ergibt sich die gemittelte parallele Magnetfeldstärke zu
RM
< Bk >=
∝
DM
R
dl n B
R e k
dl ne
(1.8)
Der Faraday-Eekt wurde zuerst zur Bestimmung des Magnetfeldes der Milchstraÿe ausgenutzt, dann auf galaktische Magnetfelder übertragen und wird mittlerweile ebenso bei
extragalaktischen Radioquellen und Pulsaren verwendet (Wielebinski (2005)).
1.3.4 Zeeman-Eekt
Der Zeeman-Eekt ist die einzige direkte Messmethode und bezeichnet die in
Bk
lineare
Aufspaltung von Spektrallinien im Magnetfeld. Die Messung ist technisch sehr aufwendig und liefert nur bei starken Feldern und intensiven Spektrallinien, wie man sie z. B. in
Molekülwolken ndet, gute Ergebnisse. Die Spektrallinien des dort prominenten atomaren
Wasserstos (HI), sowie der Hydroxylgruppe (OH) werden im Radiobereich in Absorption
12
1.4 Anwendung in der Fusion
gegen eine starke Hintergrundquelle gemessen, da sich bei der Messung in Emission störende Instrumenteekte stärker bemerkbar machen (Han & Wielebinski (2002)). Überlagerte
Eekte entlang der Sichtlinie gestalten die Interpretation aber oftmals schwierig.
1.4 Anwendung in der Fusion
Die in dieser Arbeit behandelte Theorie ist auch für die Laborplasmaphysik bei der Fusion
von Interesse. Dazu werden hauptsächlich zwei verschiedene Verfahren verwendet, die im
Nachfolgenden kurz erläutert werden und deren Nähe zu dieser Arbeit aufgezeigt wird.
Die Grundidee der Fusion ist das Verschmelzen zweier leichter Atome zu einem schwereren, sodass dabei die überschüssige Bindungsenergie frei wird. Da die starke Kraft, die
die Nukleonen im Atomkern zusammenhält, sehr kurzreichweitig ist, muss zunächst das
abstoÿende Coulombpotential überwunden werden. Den Teilchen wird durch Heizprozesse kinetische Energie zugeführt, wodurch sich die Temperatur des Plasmas erhöht. Durch
die Temperaturerhöhung vergröÿert sich der mittlere Abstand der Teilchen, sodass ein
connement)
Einschlieÿen (
dieser notwendig wird. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten.
In Objekten wie der Sonne oder anderen Sternen sorgt die Gravitation für den Teilcheneinschluss. Allerdings ist diese Methode im Labor aufgrund des zu geringen Gravitationspotentials nicht umsetzbar. Die Verfahren, die heutzutage verwendet werden, sind die
ertial Connement Fusion (ICF), bei
In-
der der Zündsto in Form von sogenannten Pellets
aus einem Deuterium-Tritium-Gemisch vorliegt und mit Lasern aus verschiedenen Richtungen bestrahlt wird, und die
Magnetic Connement Fusion (MCF), wobei Magnetfelder
für den Einschluss verwendet werden.
Bei der ICF wird die Probe mit Laserlicht geheizt, woraufhin zunächst die äuÿerste
Schicht des Pellets implodiert und sich Stoÿwellen in Richtung des Zentrums des Zündstos ausbreiten. Dadurch wird das Material stark komprimiert. Die Probe wird von allen
Seiten bestrahlt, sodass die gesamte Oberäche gleichmäÿig geheizt wird.
Für die MCF wird üblicherweise ein Fusionsexperiment in der Tokamakgeometrie ver-
ASDEX-Upgrade in Garching, der in Jülich bendliche TEXTOR, die zur Zeit gröÿte Fusionsanlage JET in England oder der in Planung bendliche ITER in Frankreich genannt. Eine Alternative Anordnung ist der sogenannte Stellarator, wie sie bei Wendelstein 7-AS in Garching oder
dem Nachfolger Wendelstein 7-X in Greifswald verwendet wird. Sowohl beim Tokamak
wendet. Als Beispiele seien die gröÿte deutsche Fusionsanlage
als auch beim Stellarator zirkuliert ein Plasmastrom, der durch eine spezielle Magnetfeldanordnung aufrecht erhalten und eingeschlossen wird, im Innern eines Torus (Colombo &
Farinelli (1992)). Beim Tokamak besteht das Magnetfeld aus einer Überlagerung eines poloidialen und eines toroidialen Feldes, wohingegen beim Stellarator nur Spulen verwendet
13
1 Einleitung
werden, die keine kontinuierliche Symmetrie aufweisen. So kann mit der MCF ein nahezu
stationärer Zustand erreicht werden, wodurch die Einschlusszeit deutlich länger als bei
der ICF ist.
In der Regel wird als Brennmaterial eine Mischung aus Deuterium (D) und Tritium (T)
verwendet, da aufgrund der niedrigen Coulombbarriere für diese Mischung am wenigsten
Energie für die Zündung bereitgestellt werden muss und die Energieausbeute am gröÿten
ist. Gemäÿ
D + T → n + He4 + 17.6
MeV
(1.9)
bilden sich Alphateilchen und Neutronen (Keefe (1982)). Diese thermalisieren und geben
ihre Energie an das umgebende Plasma ab, was wiederum andere Teilchen zur Fusion
anregt. Daher nennt man diesen Prozess auch Zündung (
ignition).
Damit eine Kettenreaktion in Gang kommt, muss die frei werdende Energie diejenige
der Verlustprozesse übersteigen. Bei der MCF sind letztere durch die Energieabstrahlung
der Teilchen gegeben, wohingegen bei der ICF die Energie, die für die Kompression und
die Heizung des Materials aufgewendet werden muss, dominiert. Für das Produkt aus
Plasmadichte
n
und Einschlusszeit
τ
gilt das Lawson-Kriterium, das die Bedingung einer
positiven Energiebilanz angibt. Es lautet:
nτ > fL (T )
Die Funktion
fL (T )
(1.10)
ist dabei von der Temperatur, der Teilchengeschwindigkeit und der
Bindungsenergie abhängig. Ihr Wert ist für beide Verfahren ungefähr gleich. Da die Einschlusszeit bei der ICF sehr viel kleiner als bei der MCF ist, weichen die benötigten
Teilchendichten stark voneinander ab.
Die Ausbildung von Plasmainstabilitäten erschwert bzw. verhindert den Teilcheneinschluss. Daher ist man daran interessiert, das Auftreten von Instabilitäten zu reduzieren.
Die Vielzahl an Instabilitäten macht es allerdings unmöglich eine einheitliche Theorie
aufzustellen. Man hat aber erkannt, dass bei der MCF die thermische Energiedichte der
Teilchen die des Magnetfeldes übersteigen muss, um Instabilitäten zu reduzieren. D. h.
das Plasma-Beta muss kleiner Eins sein (β
< 1,
Colombo & Farinelli (1992)).
Die Weibel-Instabilität gehört zu den Plasmainstabilitäten, die in Fusionsexperimenten
auftreten. Bei der MCF sorgen die starken Magnetfelder dafür, dass sie unterdrückt wird.
Demgegenüber würden die hohen Teilchendichten bei der ICF extrem starke Magnetfelder
erfordern, sodass bei der ICF keine äuÿeren Felder verwendet werden. Das Heizen der Pellets führt zu einem nach innen gerichteten Teilchenstrom, der mit den umgebenden Teilchen in Wechselwirkung tritt und einen Rückstrom erzeugt. Durch die Weibel-Instabilität
werden die Teilchen senkrecht zu den Teilchenströmen abgelenkt, sodass die Heizezienz
reduziert wird.
14
2 Die Filamentierungsinstabilität
Die Filamentierungsinstabilität (FI) ist ein physikalischer Prozess, der turbulente Magnetfelder erzeugt. Im Gegensatz zu anderen Magnetfelderzeugungsprozessen benötigt die
FI kein Saatmagnetfeld (s. Motivation); das Magnetfeld entsteht aus der Verstärkung
kleinskaliger Magnetfelduktuationen, die jedes Plasma aufweist. Voraussetzung für die
Verstärkung dieser Fluktuationen ist eine Anisotropie in der Verteilungsfunktion der Teilchen - bei der FI sind dies zwei Plasmaströme mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten.
Die FI erzeugt durch Fluktuationen senkrecht zu diesen Strömen ein Magnetfeld, das
ebenfalls senkrecht zu diesen ist.
Simulationen zeigen, dass der zeitliche Verlauf der Magnetfeldverstärkung zwei Phasen
aufweist: Während der linearen Phase, die in Abschn. 2.1 genauer erläutert wird, dominiert
die Lorentzkraft und die Fluktuationen wachsen exponentiell. Dieser Bereich kann auch
mit analytischen Methoden beschrieben werden (s. Abschn. 3.1). Der Sättigungsprozess
(s. Abschn. 2.2) stoppt das Anwachsen der Fluktuationen und leitet den Übergang zur
nichtlinearen Phase ein, die in Abschn. 2.3 näher erläutert wird. Sie wird über numerische
Simulationen untersucht, da eine analytische Behandlung bisher nicht möglich war. Der
dominante physikalische Prozess in dieser Phase ist die Biot-Savart-Wechselwirkung.
In Abschn. 2.4 wird der Einuss eines bereits vorhandenen Magnetfeldes qualitativ
diskutiert.
2.1 Die lineare Phase
Es werden zwei aufeinander zulaufende Ströme betrachtet. Plasmen enthalten einen von
der Temperatur abhängigen Anteil positiv und negativ geladener Teilchen, die aufgrund
ihrer hohen Energie nicht rekombinieren. Da dieses System nicht statisch ist, kommt es
auch ohne die Anwesenheit äuÿerer Kräfte zu Fluktuationen in der Ladungsdichte, die
kleinskalige elektromagnetische Felder erzeugen. Die geladenen Teilchen erfahren durch
die Magnetfelduktationen eine Lorentzkraft und werden abgelenkt (s. Abb. 2.1 links),
was eine räumliche Ladungstrennung hervorruft. Die Teilchen sammeln sich in sogenannten Stromfäden, welche ein ringförmiges Magnetfeld in der senkrechten Ebene ausbilden
(s. Abb. 2.1 Mitte). In der Abbildung wird ein Bereich mit einer solchen Anordnung be-
15
2 Die Filamentierungsinstabilität
Abb. 2.1: Die lineare Phase der FI: Zwei Plasmaströme unter dem Einuss der Magnetfelduktuationen
(links). Die Lorentzkraft lenkt die geladenen Teilchen ab, die sich in sogenannten Stromlamenten
sammeln (Mitte). Das ringförmige Magnetfeld dieser räumlich getrennten Stromfäden verstärkt die
Magnetfelduktuationen (rechts).
trachtet, dass die anfängliche Fluktuation durch das entstandene Magnetfeld verstärkt
wird. An anderen Stellen bewirkt das ringförmige Magnetfeld keine Verstärkung, sodass
das Feld dort relativ schwach bleibt.
2.2 Der Sättigungsprozess
Die Verstärkung der Magnetfelduktuationen wird durch einen Sättigungsprozess begrenzt, so dass sich eine endliche Magnetfeldstärke einstellt.
Häug wird
magnetic trapping
(Davidson et al. (1972)) als Sättigungsmechanismus
vorgeschlagen. Demnach wird die Sättigung erreicht, wenn die
magnetic bounce frequency
qk vBk 1/2
ωB = m c (2.1)
von der gleichen Gröÿenordnung wie die Anwachsrate der Fluktuationen ist. Dabei bezeichnet
nen,
v
q
die Ladung,
m
die Teilchenmasse,
die Teilchengeschwindigkeit,
Bk
k
die Wellenzahl der Magnetfelduktuatio-
die Magnetfeldamplitude zur Wellenzahl
k
und
c
die Lichtgeschwindigkeit. Aus den Simulationen in Kap. 4 geht aber hervor, dass dieser
Prozess nicht vorherrscht, da sonst aufgrund unterschiedlicher Gyrationsradien eine Abhängigkeit vom Anfangsmagnetfeld zu erwarten wäre. Eine solche Abhängigkeit konnte
jedoch nicht festgestellt werden.
Als Alternative bietet sich eine auf der Magnetohydrodynamik (MHD) basierende Theorie an, die einen Zusammenhang zwischen dem elektrischen und dem Magnetfeld als Sättigungsmechanismus verantwortlich macht. Die Interpretation beruht auf Simulationsergebnissen von Califano et al. (2002) und wurde von Rowlands et al. (2007) vorgeschlagen.
16
2.3 Die nichtlineare Phase
Sie konnte auch in unseren Simulationen bestätigt werden.
Die Lorentzkraft bewirkt demnach eine Auslenkung der geladenen Teilchen innerhalb
der Ebene senkrecht zu den Strömen, was im MHD-Bild einem magnetischen Druckgradienten
∂⊥ PB = ∂⊥
2
B⊥
B⊥
=
∂⊥ B⊥
8π
4π
(2.2)
entspricht. Dies bewirkt wiederum einen Gradienten in der Ladungsdichte, d. h. es entsteht
ein elektrisches Feld
E⊥ ,
das die Teilchen zum Ladungsausgleich zwingt.
Die Sättigung ist erreicht, wenn der magnetische Druckgradient durch das elektrische
Feld ausgeglichen wird. Somit ergibt sich der folgende Zusammenhang:
q n E⊥ =
B⊥
∂⊥ B⊥
4π
(2.3)
2.3 Die nichtlineare Phase
Die nichtlineare Phase beginnt mit dem Einsetzen des Sättigungsprozesses. Hier dominiert
die Biot-Savart-Wechselwirkung, d. h. zwei Stromfäden ziehen sich an, wenn die Ströme
die gleiche Richtung aufweisen bzw. stoÿen sich bei entgegengesetzter Stromrichtung ab
(s. Abb. 2.2). Dies führt zu einem Verschmelzen der Stromfäden und somit zu einer lokalen
Verstärkung des Magnetfeldes. So entstehen räumlich ausgedehnte Bereiche starker bzw.
schwacher Magnetfeldstärke.
Dieses Verschmelzen wird auch in Simulationen beobachtet (s. z. B. Kap. 4). Die dabei
entstehenden lamentartigen Strukturen waren Auslöser für die Namensgebung dieser
Instabilität.
Abb. 2.2: Die nichtlineare Phase der FI: Die Biot-Savart-Wechselwirkung sorgt für ein Verschmelzen
gleichgerichteter Ströme.
17
2 Die Filamentierungsinstabilität
2.4 Einuss eines Führungsmagnetfeldes
Ist schon zu Beginn ein gleichförmiges Magnetfeld vorhanden, welches parallel zu den
Plasmaströmen ausgerichtet ist (s. Abb. 2.3), so beeinusst dies die Verstärkung der
Magnetfelduktuationen.
Das zusätzliche Magnetfeld zwingt die geladenen Teilchen auf Gyrobahnen um die Magnetfeldlinien. Deren Bewegungsfreiheit ist daher in der Ebene senkrecht zu den Strömen
eingeschränkt. Je stärker das Anfangsmagnetfeld, desto kleiner ist der Gyroradius. Die Anwesenheit eines Führungsmagnetfeldes hat also zur Folge, dass das erzeugte Magnetfeld
langsamer wächst, da die Teilchen sich nicht wie zuvor uneingeschränkt umverteilen können. Übersteigt die Magnetfeldstärke einen kritischen Wert, der in dieser Arbeit als
Bc
bezeichnet wird, dann ist die Bewegungsfreiheit der Teilchen so stark eingeschränkt, dass
sie sich quasi nur noch entlang der Magnetfeldlinien bewegen können. Der Gyroradius ist
so klein, dass ein Umverteilen in der senkrechten Ebene und damit auch das Sammeln
in den Stromfäden nicht möglich ist. In diesem Fall sollte es zu einer Unterdrückung der
Instabilität kommen.
Abb. 2.3: Der Einuss eines Führungsmagnetfeldes auf die FI: Die geladenen Teilchen sind innerhalb
der grünen Ebene in ihrer Bewegungsfreiheit eingeschränkt, da sie um die
B0 -Feldlinien
gyrieren.
Die Ladungstrennung und die Verstärkung der Magnetfelduktuationen wird dadurch verlangsamt.
Übersteigt
B0
einen kritischen Wert, dann sollte die Instabilität unterdrückt werden.
Die Simulationen zeigen allerdings, dass auch in diesem Fall das Magnetfeld verstärkt
wird. Die stabile Phase wird z. B. durch Rauschen sehr leicht destabilisiert und bewirkt
einen Teilchentransport. Für deutlich stärkere Magnetfelder sollte die Filamentierung
trotzdem unterdrückt werden.
18
3 Kalte Plasmen
In den folgenden zwei Kapiteln wird die Instabilität in Plasmen mit sehr geringer Temperatur untersucht. In den Arbeiten von Lee (1969, 1970) und Stockem et al. (2006,
2007) wurden Teilaspekte theoretisch bearbeitet. Als Grundlage für den Vergleich zwischen Analytik und Simulation werden hier die wesentlichen Ergebnisse dieser Arbeiten
zusammengefasst und wiederholt.
Aufgrund der höheren Ionenmasse und der daraus resultierenden Trägheit sind die
damit verbundenen Prozesse im Vergleich zu den Elektronenprozessen während der Simulationszeit vernachlässigbar. Es wird daher nur die Elektronendynamik berücksichtigt,
wobei die positiv geladenen Ionen einen neutralisierenden Hintergrund bilden.
Das Ziel der Analytik ist es, eine Dispersionsrelation für die zeitlich anwachsenden
Gröÿen aufzustellen. Aus dieser können Bedingungen für das Entstehen einer Instabilität
abgeleitet werden. Ausgangspunkt sind dabei die Bewegungsgleichung der Teilchen und
die Maxwell-Gleichungen.
3.1 Die Dispersionsrelation
T = 0) in eiU durchqueren.
Wir beschränken uns auf zwei kalte Elektronenströme (also jeweils mit
nem räumlich homogenen Plasma, die einander mit der Geschwindigkeit
Auÿerdem existiert ein Hintergrundmagnetfeld
B0 ,
das parallel zu den Strömen ausge-
richtet ist.
Die Bewegungsgleichung geladener Teilchen in einem stoÿfreien Plasma ist durch die
Vlasov-Gleichung
p ∂fa
∂fa
∂fa
+
·
+ Fa (r, t) ·
=0
∂t
ma ∂r
∂p
(3.1)
fa (r, p, t) einer TeilFa = qa (E + v/c × B). Die Gröÿen qa und ma
gegeben. Sie beschreibt das zeitliche Verhalten der Phasenraumdichte
chensorte
a
unter dem Einuss der Kraft
bezeichnen die Ladung bzw. die Masse der jeweiligen Teilchen. Die Entwicklung der elektrischen
E
und magnetischen Felder
B
wird durch die Maxwellgleichungen beschrieben.
Um spezische Aussagen machen zu können, muss eine Verteilungsfunktion der Teilchen
im Gleichgewicht angegeben werden. Die Verteilungsfunktion der kalten Elektronenströme
19
3 Kalte Plasmen
ist durch
f (p⊥ , pk ) =
gegeben, wobei
me
δ(p⊥ ) δ(pk − me γU ) + δ(pk + me γU )
2π p⊥
die Elektronenmasse und
pk
und
p⊥
(3.2)
die parallele bzw. senkrechte
Komponente des Teilchenimpulses bezogen auf das Anfangsmagnetfeld
B0
bezeichnen.
Der Maxwell-Operator der Wellengleichung für das elektrische Feld ist durch


Ψ11 ıD
0


Λ =  −ıD Ψ11 − (kc/ω)2 0

2
0
0
Ψ33 − (kc/ω)
(3.3)
gegeben. Die Komponenten setzen sich aus
ωp2
γ (ω 2 − Ω2 /γ 2 )
ωp2 Ω
D =
ωγ 2 (ω 2 − Ω2 /γ 2 )
ωp2
k 2 ωp2 U 2
Ψ33 = 1 − 2 3 − 2
ω γ
ω γ(ω 2 − Ω2 γ 2 )
Ψ11 = 1 −
ω die Frequenz und k die Wellenzahl der Fluktuationen bezeichnet (vgl.
(2002)). Ω = eB0 /me c ist die nichtrelativistische Gyrofrequenz der Elektro-
zusammen, wobei
Schlickeiser
nen. Das Verschwinden der Demterminante
det Λ = Ψ33 − (kc/ω)2 Ψ11 [Ψ11 − (kc/ω)2 ] − D2 = 0
(3.4)
liefert die Dispersionsrelation. Dabei wurde angenommen, dass die Feldgröÿen exponentiell anwachsen: Es sind nur aperiodische Lösungen von Interesse, d. h. Lösungen
einem positiven Imaginärteil
σ.
ω = ıσ mit
Diese breiten sich nicht räumlich aus, nur die Amplitude
wird mit zunehmender Zeit verstärkt. Der zweite Faktor in Gl. (3.4) liefert diese aperiodischen Lösungen nicht. Daher ist nur der erste Faktor für die Analyse der Instabilitäten
relevant.
3.2 Die kritische Magnetfeldstärke
Der erste Faktor in Gl. (3.4) wird ausgewertet, um zunächst Instabilitätsbedingungen abzuleiten und im nächsten Abschnitt die Anwachsrate zu berechnen. Es wird dazu
20
ω 2 = −σ 2
3.2 Die kritische Magnetfeldstärke
ersetzt, was eine quadratische Gleichung in
σ2
liefert:
σ 4 + σ 2 k 2 c2 + ωp2 γ −3 + Ω2 + ωp2 γ −3 Ω2 + k 2 c2 Ω2 − ωp2 γ −1 k 2 U 2 = 0
(3.5)
ωp2 γ −3 Ω2 + k 2 c2 Ω2 − ωp2 γ −1 k 2 U 2
negativ sein. Im Fall eines kalten, unmagnetisierten Plasmas (B0 = Ω = 0) ist diese
Bedingung immer erfüllt. Instabile Lösungen existieren dann für alle Wellenzahlen k . Für
den Fall Ω 6= 0 erhält man eine minimale Wellenzahl
Um positive Lösungen für
σ2
zu erhalten, muss der Term
2
k >
2
kmin
=
ωp2 γ −3
ωp2 U 2
− c2
γΩ2
−1
,
ab der Instabilitäten auftreten können. Die Forderung einer reellen Wellenzahl
(3.6)
k
verlangt
einen positiven Nenner in Gl. (3.6). Daraus lässt sich eine von der Strömungsgeschwindigkeit und der Plasmafrequenz abhängige Obergrenze für die Gyrofrequenz
Ω < Ωmax =
ωp U
γ 1/2 c
(3.7)
ableiten. Die kritische Magnetfeldstärke, oberhalb der keine Instabilität auftritt, ist daher
durch
Bc =
me U ωp
e γ 1/2
(3.8)
gegeben.
σ(k) für verschiedene Anfangsmagnetfeldstärken B0 in Einheiten
σM = ωp U/γ 1/2 c. Die Anwachsrate σ wächst mit steigender Wellenzahl k . Der Bereich instabiler
Lösungen ist durch k > kmin begrenzt. Für groÿe k nähert sich σ(k) dem von B0 abhängigen Wert
σmax an.
Abb. 3.1: Die lineare Anwachsrate
von
21
3 Kalte Plasmen
3.3 Die lineare Anwachsrate
Die Lösung von Gl. (3.5) liefert die lineare Anwachsrate
Wellenzahl
σ
der FI in Abhängigkeit von der
k:
σ=
F
− +
2
Dabei wurde die Abkürzung
r
F2
− ωp2 γ −3 Ω2 − k 2 c2 Ω2 + ωp2 γ −1 k 2 U 2
4
F = k 2 c2 + ωp2 γ −3 + Ω2
!1/2
verwendet. Im Grenzfall
(3.9)
k→∞
ist
die maximale Anwachsrate durch
s
σmax =
p
ωp2 U 2
2 =
Ω2max − Ω2
−
Ω
γc2
gegeben. Dieser Ausdruck gilt auch für den Fall
B0 = Ω = 0.
(3.10)
Abb. 3.1 zeigt den Verlauf
σ(k) für verschiedene Anfangsmagnetfeldstärken B0 . Die Kurven
sind für groÿe Wellenzahlen k ωp /c konstant. In warmen Plasmen ist die Anwachsrate
bei groÿen Wellenzahlen begrenzt, falls kz = 0 gilt (Bret et al. (2006)).
der linearen Anwachsrate
22
4 Simulation der
Filamentierungsinstabilität
Eine alternative Methode zur Untersuchung stoÿfreier Plasmen sind die PIC-Simulationen,
die in diesem Kapitel genauer beleuchtet werden sollen. Sie sind ein nützliches Hilfsmittel,
um das kollektive Verhalten der Plasmateilchen unter dem Einuss elektromagnetischer
Felder zu untersuchen und ermöglichen im Gegensatz zur im vorherigen Kapitel diskutierten analytischen Methode eine Analyse der nichtlinearen Phase der Instabilitäten.
Es werden zwei nichtrelativistische Teilchenströme mit gleicher Teilchenanzahldichte
simuliert, wobei nur die Dynamik der Elektronen berücksichtigt wird. Die Felddaten werden für fünf verschiedene Werte der Anfangsmagnetfeldstärke
kritische Wert
B0
ausgewertet und der
B0 = Bc , der die Instabilität unterdrückt (Kap. 3), wird getestet. Dass das
Magnetfeld wider Erwarten anwächst, führen wir auf einen nichtlinearen Eekt zurück.
4.1 Die numerische Methode
Um die Teilchendynamik zu simulieren, wird eine Simulationsbox gewählt, die in Zellen
gleicher Gröÿe unterteilt wird. Im hier vorliegenden Fall einer 2D-Simulation werden die
Zellen quadratisch gewählt. Zu Beginn besitzt jede Zelle die gleiche Anzahl an Teilchen
N.
Die Geschwindigkeiten der Teilchen werden entsprechend einer Maxwell-Verteilung
zufällig zugewiesen und schwanken um einen Mittelwert
v0 .
Aufgrund der begrenzten
Computerleistung, ist es meistens nicht möglich jedes einzelne physikalische Teilchen zu
simulieren. Man behilft sich, indem eine Anzahl physikalischer Teilchen zu einem sogenannten Computerteilchen (CP, Abkürzung aus dem Englischen für
ticle)
Computational Par-
zusammenfasst wird. Ein CP hat das gleiche Verhältnis von Ladung zu Masse wie
ein physikalisches Teilchen.
Im Gegensatz zu den Teilchen sind die Felder auf dem Gitter deniert. Daher muss eine
Anpassung zwischen Teilchen- und Felddaten geschehen:
Die Mikroströme werden aus der Summe des Produkts
qcp vcp
jedes einzelnen Teilchens
berechnet, auf das Gitter interpoliert und ergeben aufsummiert den Gesamtstrom
J =
23
4 Simulation der Filamentierungsinstabilität
P
j
qj vj f (rj , vj , t).
Für jeden Zeitschritt
∆t
werden die Maxwellgleichungen
1 ∂E
+ 4πJ
c ∂t
1 ∂B
∇×E=−
c ∂t
∇×B=
(4.1)
(4.2)
auf dem Gitter gelöst und anschlieÿend anteilsmäÿig auf die Position jedes einzelnen CPs
interpoliert. Der verwendete Code (Eastwood (1991)) erfüllt automatisch die Maxwellgleichungen
∇ · E = 4πρ
(4.3)
∇·B=0
(4.4)
bis zur Rundungsgenauigkeit. Die Teilchengeschwindigkeit wird mit Hilfe der Lorentzkraft
dpcp
= qcp
dt
aktualisiert, woraus einerseits der Strom
∆t
vcp
E+
×B
c
(4.5)
J und zusammen mit dem Simulationszeitschritt
der neue Teilchenort bestimmt wird. Die Felder werden erneut berechnet und die
einzelnen Schritte wiederholt.
4.2 Simulationsparameter
Je gröÿer die Strömungsgeschwindigkeit der Teilchen gewählt wird, desto gröÿer ist auch
die Anwachsrate der Fluktuationen, vgl. Gl. (3.10). Daraus erklärt sich, dass die meisten
PIC-Simulationen relativistische Prozesse untersuchen. Um relativistische Eekte zu re-
U = 0.21 c = 6.4 · 109
ungefähr 0.4 c zwischen
duzieren, wurde eine nichtrelativistische Strömungsgeschwindigkeit
cm/s gewählt. Dies entspricht einer Relativgeschwindigkeit von
beiden Strömen.
Anwendungen dafür sind z. B. der Mikroquasar GRS 1915+105 (Dhawan et al. (2000))
oder Typ III-Ausbrüche der Sonne (Klassen et al. (2003)) mit Strömungsgeschwindigkeiten von 50%-60% der Lichtgeschwindigkeit. Die von uns gewählte Relativgeschwindigkeit
entspricht dann der Wechselwirkung eines Teilchenstroms mit dem umgebenden Medium.
n = 1.25 · 102 cm−3 für jeden Strom,
= (8πe2 n/m)1/2 = 8.9 · 105 s−1 .
Als Teilchenanzahldichte wählen wir
Gesamtplasmafrequenz
ωp =
√
2ωpe
dies ergibt eine
Die Wahl eines kühlen Plasmas entspricht bei diesen Anwendungen leider nicht der
Realität. Aber aus den zuvor geschilderten Gründen der Rechenbarkeit haben wir uns für
24
4.3 Die Energiedichten
diese Vereinfachung entschieden. Der Einuss der Temperatur wird in Kap. 5 analytisch
diskutiert und ist auch von Silva et al. (2002) numerisch untersucht worden. Für die
gewählten Plasmaparameter ist die kritische Magnetfeldstärke (3.8)
Die Simulationsbox erstreckt sich über jeweils
106
und umfasst damit eine Gesamtzahl von
eine Seitenlänge von
∆x = 4
Ng = 1000
Bc = 10.8
Zellen in
x-
bzw.
mG.
y -Richtung
quadratischen Simulationszellen. Jede hat
m. Jeder der beiden Teilchenströme liefert
U
Zelle und breitet sich mit der Geschwindigkeit
entlang der
N = 64
CPs pro
z -Achse aus. Die Simulation
umfasst alle drei Dimensionen im Geschwindigkeitsraum. Dies wird aufgrund der zwei
Dimensionen im Ortsraum häug als 2D3V bezeichnet. Das Hintergrundmagnetfeld ist
ebenfalls parallel zu
ez
B0 = 0, 1/2, 3/4, 7/8 und 1Bc simuliert.
tωp = 5.4 · 10−3 gegeben und die Temperatur
und es werden die Stärken
Der Zeitschritt der Simulation ist durch
beträgt
T = 105 K .
4.3 Die Energiedichten
Aus den Simulationsdaten werden die Energiedichten des elektrischen Feldes
E (t) = Ng−2
X
[E (j∆x, k∆x, t)]2 /8π
(4.6)
[B (j∆x, k∆x, t)]2 /8π
(4.7)
j,k
und des Magnetfeldes
B (t) = Ng−2
X
j,k
berechnet. Die Summationsindizes
in
x-
bzw.
y -Richtung.
j
und
k
entsprechen den Zellen des Simulationsgitters
Die Energiedichten werden über die gesamte Simulationsbox ge-
mittelt, um Informationen über die Änderung der Energiedichte des Gesamtsystems zu
erhalten und den Einuss statistischer Schwankungen auf kleine Skalen zu reduzieren.
Entsprechend der Analytik (Kap. 3) sollte der Zuwachs in den Feldern während der linearen Phase exponentiell verlaufen und es sollten nur die Magnetfeldkomponenten senkrecht zu den Strömen verstärkt werden (s. Kap. 2), d. h.
(4.2) wird die elektrische Feldkomponente
Ez
Bx
und
By . Laut Faraday-Gesetz
induziert, für die ebenfalls ein exponentiel-
les Anwachsen erwartet wird. Da die Felder quadratisch in die Energiedichten eingehen,
sollten letztere mit doppelter Anwachsrate wachsen.
Die Energiedichten werden auf die über die gesamte Simulationsbox gemittelte kinetische Energiedichte
K (t) = Ng−2 ∆−3
x
X
mcp c2 (γj − 1)
(4.8)
j
25
4 Simulation der Filamentierungsinstabilität
zur Zeit
t=0
j erstreckt sich hier über die CP. Abb.
(B (t) − B (t = 0))/K (t = 0). Die Dierenzbildung sorgt dafür,
normiert. Der Summationsindex
4.1 zeigt das Verhältnis
dass nur der Zuwachs an magnetischer Energiedichte dargestellt wird. In Abb. 4.2 ist das
Verhältnis
E (t)/K (t = 0)
dargestellt. In beiden Abbildungen wird die Anfangsmagnet-
feldstärke variiert. Die Kurven sind von links nach rechts den Feldstärken
B0 = 0, 5.4, 8.1,
9.45 und 10.8 mG zugeordnet. Der letzte Wert entspricht der kritischen Magnetfeldstärke
Bc .
[(B (t) − B (t = 0))/K (t = 0)]
B0 = 0, 5.4, 8.1,
9.45 und 10.8 mG (von links nach rechts). Je gröÿer die Anfangsmagnetfeldstärke B0 , desto kleiner
ist die Anwachsrate. Wider Erwarten ist für die kritische Magnetfeldstärke B0 = Bc ein schwaches
Abb. 4.1: Logarithmische Darstellung von
für
Anwachsen der magnetischen Energiedichte erkennbar. Die gestrichelten Linien veranschaulichen das
exponentielle Verhalten der Kurven während der linearen Phase. Die horizontale Linie hat den Wert
2 · 10−3
und markiert das Einsetzen der nichtlinearen Phase.
Zur Veranschaulichung des exponentiellen Verhaltens wurden für die lineare Phase Geraden an die Energiedichten angepasst. Sowohl für
B (t)
als auch für
duzierung der Anwachsrate bei steigender Anfangsmagnetfeldstärke
E (t)
B0
ist eine Re-
erkennbar. Dies
entspricht der Aussage von Abb. 3.1.
Für den unmagnetisierten Fall
B0 = 0
erwarten wir eine asymptotische Anwachsrate
σM ≈ 0.21ωp (vgl. Gl. (3.10) und Abb. 3.1) und daher für B eine maximale Anwachsrate 2σM . Die Steigungen der an die magnetischen Energiedichten angepassten Geraden
sind in Tab. 4.1 aufgelistet. Für B0 = 0 z. B. ergibt sich aus der Simulation für B eine
Anwachsrate σB = 0.34ωp = 1.6σM . Die Anwachsrate ist etwas kleiner als die theoretisch vorhergesagte, zum einen, da bei der Mittelung von B alle drei Komponenten des
Magnetfeldes über den gesamten Bereich instabiler Wellenzahlen berücksichtigt wurden
und zum anderen könnte dies ein Eekt der Temperatur sein, da die Anwachsrate für
T =0
ausgerechnet wurde. Ein detaillierter Vergleich der theoretisch vorhergesagten und
aus der Simulation gewonnenen Anwachsraten der Komponenten, die von der FI verstärkt
26
4.3 Die Energiedichten
Abb. 4.2: Logarithmische Darstellung von
[E (t)/K (t = 0)]
für
B0 = 0, 5.4, 8.1, 9.45
und
10.8
mG (von links nach rechts). Auch hier führt eine gröÿere Anfangsmagnetfeldstärke zu einer reduzierten Anwachsrate. Die gestrichelten Linien veranschaulichen das exponentielle Verhalten der Kurven
während der linearen Phase. Für
B0 = Bc
ist auf dieser Zeitskala kein Anwachsen der Energiedichte
erkennbar.
wurden, erfolgt in Abschnitt 4.4. In Abb. 4.1 ist erkennbar, dass die FI mit Ausnahme von
B0 = Bc
unabhängig vom Wert der Anfangsmagnetfeldstärke auf dem gleichen Niveau
gesättigt wird.
Das gleiche Sättigungsniveau unabhängig von der Anfangsmagnetfeldstärke wird folgendermaÿen erklärt: Der Gesamtstrom ist in allen Simulationen der gleiche, da gleiche
Stromdichten und -geschwindigkeiten verwendet wurden. Das anwachsende Magnetfeld
sorgt dafür, dass die Stromfäden räumlich getrennt werden. Je höher die Feldstärke, desto
eektiver verläuft die Trennung. Eine höhere Anfangsmagnetfeldstärke reduziert dabei
lediglich die Anwachsrate. Auch ist das
k -Spektrum
sehr ähnlich für alle
B0 .
Daher sollte
der Sättigungswert unabhängig von der Anfangsmagnetfeldstärke sein.
B0 /µT
0
0.54
0.81
0.945
σB /ωp
σE /ωp
σB /σE
0.34
0.64
0.53
0.29
0.22
0.16
0.53
0.37
0.26
0.55
0.60
0.61
Tabelle 4.1. Vergleich der exponentiellen Anwachsraten der Energiedichten des elektrischen und
magnetischen Feldes
E
und
B
für variierende Werte von
B0 .
Die Anwachsraten der Energiedichte des elektrischen Feldes in Abb. 4.2 sind etwa doppelt so groÿ verglichen mit
B (t)
(Tab. 4.1). Dieses Verhalten kann nicht durch die Kom-
ponente des elektrischen Feldes dominiert sein, die durch die FI verstärkt wird (Ez ), da
27
4 Simulation der Filamentierungsinstabilität
die Verstärkung sehr schwach und kaum vom Simulationsrauschen unterscheidbar sein
sollte. Auÿerdem setzt die Verstärkung von
bei einem dominanten Beitrag von
Ez
E (t)
für alle
B0
später ein als bei
B (t),
was
nicht zu erwarten wäre. In einer 1D-Simulation
der FI von Rowlands et al. (2007) wurde das Anwachsen der Energiedichte des elektrischen Feldes auf eine Verstärkung der Komponenten
Ex
und
Ey
zurückgeführt. Demnach
entstehen diese Komponenten durch den Sättigungsprozess, der bereits in Abschnitt 2.2
erklärt wurde und später für diese Simulation genauer untersucht wird.
Wie schon bei der Energiedichte des Magnetfeldes ist auch für
veau unabhängig von
B0
E (t)
ein Sättigungsni-
zu erkennen. Das Abweichen vom linearen Verlauf tritt sowohl
bei der magnetischen als auch bei der elektrischen Energiedichte in Abhängigkeit von
zeitlich verzögert auf. Auf der Simulationszeitskala ist kein Anwachsen von
B0 = Bc erkennbar. Im
Anwachsen von B (t) erkennbar.
kritischen Feldstärke
Erwarten ein
Abb. 4.3: Vergleich der normierten Energiedichten
B0 = 8.1
E (t)
B0
bei der
Gegensatz dazu ist für diesen Fall wider
E (t)
und
B (t)
für die Anfangsmagnetfeldstärken
B0 = Bc . Die Kurven 1 und 2 sind die Energiedichten E (t) bzw. B (t) bei der
B0 = 8.1 mG. Die Kurven 3 und 4 sind E (t) und B (t) bei B0 = Bc . Die gestrichelten
Geraden deuten einen exponentiellen Verlauf für B (t) mit den Anwachsraten σ/ωp = 0.028 und 0.08
mG und
Feldstärke
an.
Die zeitliche Entwicklung bis zur Sättigung der Energiedichten des elektrischen und
Magnetfeldes ist für
ten für
B0 = 8.1
B0 = Bc
in Abb. 4.3 dargestellt. Zum Vergleich sind die Energiedich-
mG eingezeichnet. Bei
B0 = Bc
ist zunächst eine Phase zu erkennen,
in der das Anwachsen einen nicht-exponentiellen Verlauf aufweist. Ab
die Instabilität exponentiell mit einer Anwachsrate
13 langsamer verglichen mit
B0 = 0.
Bei
tωp ≈ 180
σ ≈ 0.028ωp ,
tωp ≈ 100
wächst
somit um den Faktor
wird plötzlich die Energiedichte des
elektrischen Feldes verstärkt. Dies führt zu einer Beschleunigung der Verstärkung von
B (t) mit einer exponentiellen Anwachsrate σ ≈ 0.08ωp . Die Anwachsrate der elektrischen
Energiedichte entspricht nach tωp ≈ 180 nur einem Faktor 1.25 der Anwachsrate der mag-
28
4.4 Die lineare Phase der Simulation
netischen Energiedichte. Der Fall
B0 = Bc
weist ein völlig anderes Verhalten auf als die
B0 < Bc . Bei letzterem Fall führte das Anwachsen von E (t) zur Sättigung der FI, im
Fall B0 = Bc führt es zu einem beschleunigten Anwachsen von B (t). Trotzdem sättigen
die Energiedichten für B0 = Bc auf dem gleichen Niveau wie für B0 < Bc (s. Abb. 4.3).
Fälle
Für
B0 = Bc haben wir eigentlich ein stabiles Verhalten erwartet, da das starke Anfangs-
magnetfeld zu einem Einschluss der Elektronen innerhalb der Simulationsebene führt, sodass sich diese nicht mehr im Raum umverteilen können, was Voraussetzung für die FI
ist. Möglicherweise sind die elektrostatischen Fluktuationen dafür verantwortlich, dass die
Teilchen senkrecht zum Magnetfeld diundieren, wie es in der Arbeit von Kourakis (1999)
beschrieben und in PIC-Simulationen von Dieckmann et al. (2004) beobachtet wurde. Da
dieser Teilchentransport ein nicht-linearer Eekt ist, kann er nicht durch die lineare Dispersionsrelation beschrieben werden. Dieser Eekt ist eine mögliche Erklärung für das
späte Anwachsen der magnetischen Energiedichte
B (t).
Durch das unerwartete Anwachsen der Fluktuationen für
nach dem Verhalten für
B0 > Bc .
B0 = Bc
stellt sich die Frage
Diese Untersuchung ist für ein zukünftiges Projekt
geplant.
4.4 Die lineare Phase der Simulation
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der Analytik aus Kap. 3 mit dem linearen Teil
der Simulation verglichen. Dazu bietet sich eine Fourier-Transformation der Feldgröÿen
an, die eine Analyse der charakteristischen Wellenzahl mit dem schnellsten Wachstum der
Instabilität erlaubt. Diese Wellenzahl wird im Folgenden
kmax
genannt. Das Amplituden-
spektrum erhält man aus der räumlichen Fourier-Transformation. Für die Komponenten
des Magnetfeldes ergibt die diskrete Fourier-Transformation
Bj (kx , ky ) =
Ng−2
Ng
X
Bj (m∆x, n∆x) exp[−2πı(kx m + ky n)/Ng ],
(4.9)
n,m=1
wobei
m
und
n
entlang der
x-
und
y -Richtung
laufen. Da für die Simulation eine zwei-
dimensionale Geometrie gewählt wurde und in diesem Abschnitt nur die lineare Phase
der Instabilität diskutiert wird, können die
x -y -
und die
z -Komponente
als unabhängig
betrachtet werden. Das Wellenspektrum der Filamentierungsinstabilität sollte senkrecht
B⊥ = |Bx + ıBy | eingeführt. Der
Anzahl der Zellen in x- und y -Richtung ist je
ganze Zahlen zwischen −L + 1 und L, wobei
zu den Strömen isotrop sein. Daher wird die Gröÿe
j in Gl. (4.9) steht für (j =⊥, z ). Die
Ng = 103 . Die Wellenzahlen kx und ky sind
L = Ng /2 ist.
Index
29
4 Simulation der Filamentierungsinstabilität
Das Leistungsspektrum ist proportional zum Quadrat der Feldstärke und wird hier unter Berücksichtigung der azimuthalen Symmetrie ausgerechnet. Dabei wird die Isotropie
in der senkrechten Ebene ausgenutzt, indem über den azimuthalen Winkel integriert und
eine Wellenzahl
zahliges
k̃
k̃
eingeführt wird. Da für die weiteren Auswertungen ein diskretes, ganz-
benötigt wird, wird der Wert
(kx2 + ky2 )1/2
abgerundet und als
Ikx ,ky
bezeichnet.
Das Leistungsspektrum der Magnetfeldkomponenten ist dann durch
Bj2 (k̃)
=
L
X
δ(Ikx ,ky − k̃)Bj2 (kx , ky )
(4.10)
kx ,ky =−L+1
gegeben. Die physikalische Wellenzahl der Fluktuationen berechnet sich aus
k = k̃∆k
∆k = 2π/Ng ∆x. Die zeitliche Entwicklung des Leistungsspektrums wird in der Matrix P (k, t) zusammengefasst, wobei sich die einzelnen Komponenten aus P (kα , tβ ) =
Bj2 (k̃[kα , tβ ]) berechnen lassen.
mit
P (k, t)/P0 von B⊥ für B0 < Bc . Es ndet ein Energietransfer zu
0
k gemäÿ kmax
∝ t−α statt. Die Werte α(B0 ) sind im Text angegeben. Abb.
B0 = 0, 5.4 mG, 8.1 mG und 9.45 mG. Die Farbskala gibt den dekadischen
Abb. 4.4: Die Leistungsspektren
kleinen Werten von
(a)-(d) gehören zu
Logarithmus des normierten Leistungsspektrums an.
In Abb. 4.4 und 4.5 sind die Leistungsspektren für die verschiedenen Anfangsfeldstärken
B0 = 0, 5.4, 8.1 und 9.45 mG sowohl für die senkrechte Magentfeldkomponente B⊥ als auch
für Bz dargestellt. Die Spektren sind auf den Wert P0 normiert, der sich als Maximalwert
von P (k, t) der senkrechten Komponente bei B0 = 0 berechnet. Die niedrigste instabile
30
4.4 Die lineare Phase der Simulation
Wellenzahl wurde in Gl. (3.6) berechnet. Eine Verstärkung der Magnetfeldstärke sollte
k > kmin zu sehen sein. Für die gewählten Parameter ist kmin c/ωp = 0.57
für B0 = 5.4 mG, kmin c/ωp = 1.1 für B0 = 8.1 mG und kmin c/ωp = 1.8 für B0 =
9.45 mG. Die Auösung der Simulation beträgt aber nur ∆kc/ωp ≈ 0.54. Daher kann
also nur für
dieser Sachverhalt nicht überprüft werden. Allerdings gestaltet sich die Überprüfung auch
mit einer verbesserten Auösung als schwierig, da langsame Wellen schneller wachsen,
während lange Wellen, entsprechend kleinen Wellenzahlen, zunächst kaum vom Rauschen
zu unterscheiden sind.
In Abb. 4.4 ist die Verstärkung der Komponente
anfangs über einen weiten Bereich von
für alle
B0 .
Bei kleinen
k
k.
B⊥
dargestellt. Die Felder wachsen
Das schnellste Wachstum ist bei
kc/ωp ≈ 10
ist das Wachstum verzögert, dies entspricht der theoretischen
Vorhersage in Abb. 3.1. Im Gegensatz dazu sieht man hier eine Unterdrückung der Instabilität bei
kc/ωp > 30,
die vermutlich durch die endliche Temperatur zu erklären ist.
Die theoretische Vorhersage liefert für
k→∞
eine konstante Anwachsrate. In der Arbeit
von Califano et al. (2002) wurde dieser Abbruch abgeschätzt und zu
kmax c/ωp =
√
2U/vth
bestimmt. Die Gröÿenordnung dieses Wertes stimmt mit unserem überein. Auÿerdem ist
anzumerken, dass das Intervall instabiler Wellenzahlen gröÿer ist als in der Arbeit von
Dieckmann et al. (2007), in der eine höhere Temperatur verwendet wurde.
P (k, t)/P0 von Bk . Es ndet ein Energietransfer zu kleinen Werten
−α
t
statt. Die Werte α(B0 ) sind im Text angegeben. Abb. (a)-(d) gehören
Abb. 4.5: Das Leistungsspektrum
k
B0 = 0, 5.4
von
zu
0
gemäÿ kmax
∝
mG, 8.1 mG und 9.45 mG. Die Farbskala gibt den dekadischen Logarithmus des
normierten Leistungsspektrums an.
31
4 Simulation der Filamentierungsinstabilität
Die Verstärkung der
Bz
Komponente in Abb. 4.5 setzt später ein und erreicht Werte, die
B⊥ in Abb. 4.4. Der Maximalwert des Leistungs0
−α
spektrums kmax verschiebt sich in beiden Fällen proportional zu t
und zeigt den Energietransfer zu kleinen Wellenzahlen. Der Exponent α variiert mit der Anfangsmagnetfeldstärke B0 , ist aber identisch für die senkrechte und die parallele Magnetfeldkomponente.
Die Werte sind α(0) = 0.45, α(4.5 mG) = 0.44, α(8.1 mG) = 0.39, α(9.45 mG) = 0.27.
zwei Gröÿenordnungen kleiner sind als für
Das gleiche Verhalten der Leistungsspektren beider Komponenten zeigt, dass die Strukturen von
B⊥
und
Bz
die gleiche Skalengröÿe haben, da sich beide mit zunehmender Zeit
zu kleinen Wellenzahlen verschieben.
Abb. 4.6: Logarithmische Darstellung des normierten Leistungsspektrums von
für
B0 < Bc .
B0
kmax c/ωp = 7.4
hat eine reduzierte Anwachsrate zur Folge.
B0 /mG
σf it /ωp
σmax /ωp
σf it /σmax
0
0.20
0.21
0.95
5.4
0.17
0.18
0.95
8.1
0.13
0.14
0.91
9.45
0.09
0.10
0.88
Tabelle 4.2. Vergleich der maximalen Anwachsrate
σmax
bei
Die lineare Phase ist klar von der nichtlinearen Phase unterscheidbar. Ein Erhöhen des
Anfangsfeldes
Wert
B⊥
für die untersuchten
σf it aus der PIC-Simulation mit dem theoretischen
B0 .
Während der linearen Phase der FI wachsen die Energiedichten des Magnetfeldes exponentiell, siehe Abb. 4.1. Dies sollte auch für jedes instabile
k
der Fall sein. Um die
maximale Anwachsrate aus der Simulation mit der theoretischen vergleichen zu können,
wurde aus den Simulationsdaten die Wellenzahl bestimmt, bei der die Anwachsrate maximal ist, und das Leistungsspektrum für diese konstante Wellenzahl dargestellt. Für alle
B0 < Bc
ist
kmax c/ωp = 7.4.
Wir erwarten einen Verlauf
A(t) = A0 exp(2σt),
da das
Leistungsspektrum proportional zum Quadrat des Magnetfeldes ist. Die Anpassung der
Kurven
32
A(t)
an die Simulationsdaten ist in Abb. 4.6 ersichtlich. Die theoretisch und aus
4.5 Die nichtlineare Phase der Simulation
der Simulation bestimmten Anwachsraten sind in Tab. 4.2 aufgelistet. Die Anwachsrate
ist für ein gröÿeres Anfangsmagnetfeld reduziert und die Werte aus der Simulation und
der Theorie weichen weniger als 10% voneinander ab. Die stärkere Abweichung der Anwachsrate in Abb. 4.1 resultiert daher, dass über die gesamte Box gemittelt wurde und
daher alle
k
berücksichtigt wurden.
4.5 Die nichtlineare Phase der Simulation
Die PIC-Simulationen zeigen, dass die Energiedichten des Magnetfeldes
0))/K (t = 0)
in Abb. 4.1 für alle
B0 < Bc
(B (t) − B (t =
auf den gleichen Wert konvergieren, der et-
wa zehn Prozent der kinetischen Energie zu Beginn der Simulation beträgt. Das gleiche
Verhalten wird für die Energiedichte des elektrischen Feldes in Abb. 4.2 beobachtet. Auÿerdem zeigen Abb. 4.4 und 4.5 ein qualitativ ähnliches spektrales Verhalten für
B0 < Bc
und eine Verschiebung des Maximums zu kleinen Wellenzahlen. Dies lässt vermuten, dass
ein Anfangsmagnetfeld
B0 < Bc
das Anwachsen der Wellen der FI zwar verlangsamt, aber
dennoch die Entwicklung des Magnetfeldes während der nicht-linearen Phase der FI nicht
ändert. Ein Vergleich der Magnetfelder
B⊥
und
Bz
bestätigt dies. Dazu wurden in Abb.
4.7 die Magnetfeldkomponenten dargestellt und zwar zu einem Zeitpunkt, an dem sie die
tωp = 80 für B0 = 0, tωp = 85 für B0 = 5.4
tωp = 116 für B0 = 9.45 mG. Der Fall B0 = Bc wird
gleiche Energiedichte erreicht hatten. Dies ist
mG,
tωp = 96
für
B0 = 8.1
mG und
später diskutiert.
Die Verstärkung der
Bz -Komponenten
ist geringer verglichen mit
den Leistungsspektren in Abb. 4.4 und 4.5 überein. Für
|Bz − B0 |
klein gegen
B⊥ ,
B0 < Bc
B⊥ .
Dies stimmt mit
ist die Amplitude von
auÿerdem ist sie auch klein verglichen mit den Ergebnissen
von Simulationen mit höheren Temperaturen (Dieckmann et al. (2007)). Daher vermuten
wir, dass der Grad der Verstärkung von
Bz
von der Temperatur abhängt und somit bei
geringerer Temperatur auch geringer ausfällt. Für ein kaltes Plasma sollte die Verstärkung
Null sein. Dies rechtfertigt ebendiese Annahme in der Arbeit von Bogdan & Lerche (1985).
Die räumlich getrennten Bereiche der
|B⊥ |-Komponente
entsprechen einzelnen Strömen
und zeigen die Trennung von Elektronen unterschiedlicher Strömungsrichtungen an.
Der Bereich instabiler Wellenzahlen bei beiden Leistungsspektren in Abb. 4.4 und 4.5
erstreckt sich über einen weiten Bereich. Auch in der nicht-linearen Phase verschiebt sich
das Maximum mit
α = 1
0
kmax
∝ t−α .
Der von Dieckmann et al. (2007) bestimmte Exponent
widerspricht unserem Ergebnis. Dies ist womöglich darauf zurückzuführen, dass
unsere Simulationszeit nicht ausgereicht hat, um das Verschmelzen der Filamente während
der nichtlinearen Phase zu beobachten. Wir beobachten nur die nichtlineare Sättigung,
die letztendlich zum Verschmelzen der Filamente führen wird.
33
4 Simulation der Filamentierungsinstabilität
|B⊥ | und (rechte Spalte) Bz für gleiche Ener(B (t) − B (t = 0))/K (t = 0). Die Farbskala gibt den Wert des Magnetfeldes in mG an.
(a), (b), B0 = 5.4 mG in (c), (d), B0 = 8.1 mG in (e), (f ) B0 = 9.45 mG in (g), (h).
Abb. 4.7: Die Magnetfeldkomponenten: (linke Spalte)
giedichten
B0 = 0
in
Das Sättigungsverhalten wurde in Rowlands et al. (2007) für eine 1D-Simulation untersucht. Durch die Wahl der eindimensionalen Simulationsbox wurde das Verschmelzen der
34
4.5 Die nichtlineare Phase der Simulation
Filamente stark unterdrückt. Das anwachsende Magnetfeld erzeugt einen magnetischen
Druck
2
/8π ,
Pb = B⊥
der in der
x-y -Ebene
wirkt. Der Druckgradient
∇Pb = B⊥ ∇B⊥ /4π
führt dazu, dass die Elektronen auseinander getrieben werden, wodurch eine elektrische Kraft entsteht, die proportional zu einem elektrischen Feld in der senkrechten
Ebene,E⊥ , ist. Geht man davon aus, dass das senkrechte Magnetfeld
ergibt sich
∇Pb ∝ E⊥ ∝
e
σt
B⊥ ∝
e
σt/2
ist, so
. Das erklärt auch, warum die Energiedichte des elektrischen
Feldes doppelt so schnell anwächst wie die des Magnetfeldes.
P (k)/P0 von B⊥ (blau) und E⊥ (rot), wobei P0 wie zuvor der Maximalwert des Leistungsspektrums bei B0 = 0 ist. Die Simulationszeit ist tωp = 80 für B0 = 0 (a)
und tωp = 109 bei (b)-(d). Abb. (b) gehört zu 5.4 mG, (c) zu 8.1 mG und (d) zu 9.45 mG. Die
elektrischen Felder dominieren bei groÿen k .
Abb. 4.8: Leistungsspektrum
Um diesem Sachverhalt weiter nachzugehen, haben wir die Leistungsspektren beider
Komponenten miteinander verglichen. Für die Berechnung wurden Gleichungen (4.9) und
(4.10) verwendet. Die Magnetfeldkomponente folgt über einen weiten Bereich für
Potenzgesetz. Bei groÿen
k
k
einem
überwiegt das Rauschen, das das Signal unbrauchbar macht.
Für die elektrische Feldkomponente deutet sich ebenfalls ein Potenzgesetz mit der gleichen Steigung wie bei der Magnetfeldkomponente an, allerdings gibt die Simulation nicht
genügend Auskunft über diesen Zusammenhang. Der Spektralindex des Potenzgesetzes
der 1D-Simulation (Rowlands et al. (2007)) entspricht einem Faktor 3/2 zwischen elektrischem und magnetischem Feld. Im Gegensatz dazu ermittelten wir identische Steigungen.
Dies lässt sich wahrscheinlich darauf zurückführen, dass sich die Elektronen in der 2D-
35
4 Simulation der Filamentierungsinstabilität
Simulation innerhalb der Ebene ausbreiten können und so mehr Freiheitsgrade haben, als
in der 1D-Simulation. Die Elektronen können anders als in der 1D-Simulation also dem
Gradienten des Magnetfeldes in der Ebene ausweichen.
Abb. 4.9: Vergleich der Magnetischen und elektrischen Felder:
für
B0 = 0
bei
tωp = 80.
|B⊥ |
(a),
|E⊥ |
(b),
|Bz |
(c) und
|Ez |
Die Farbskala gibt den Feldwert in der Einheit mG an.
Die folgende detaillierte Analyse wird nur für
B0 = 0 durchgeführt, da die anderen Fel-
der ein ähnliches Verhalten zeigen und keine neuen Ergebnisse liefern. In Abb. 4.9 werden
die Feldstärkewerte beider Komponenten in der zweidimensionalen Ebene bei
tωp = 80
verglichen. Die dortigen Strukturen scheinen miteinander verknüpft zu sein. An den Stellen, an denen das Magnetfeld
B⊥
starke Gradienten aufweist, besitzt das elektrische Feld
E⊥ hohe Feldwerte. Dies weist auf den vermuteten Zusammenhang zwischen dem Magnetfelddruckgradienten und dem entstehenden elektrischen Feld hin. Hohe Feldstärkewerte
von
B⊥
sind auÿerdem auch mit groÿen Werten in
Ez
verbunden, dieses Verhalten ist
sehr wahrscheinlich auf die Maxwellgleichungen zurückzuführen: Ein Magnetfeld in senkrechter Richtung induziert ein elektrisches Feld in paralleler Richtung.
Bz
weist keinen
oensichtlichen Zusammenhang mit den anderen drei Komponenten auf. Vergleicht man
die Feldstärkewerte entlang der schwarzen Linien (s. Abb. 4.10), so stellt man fest, dass
die Minima des Magnetfelddruckgradienten (entsprechend den Extremstellen des Magnetfeldes
B⊥ ) mit den Minima des elektrischen Feldes E⊥
zusammenfallen. Dies weist darauf
hin, dass der Eekt des induzierten elektrischen Feldes, der bereits in der 1D-Simulation
beobachtet wurde, auch in zwei Dimensionen auftritt.
In Abb. 4.11 sind die Geschwindigkeitsverteilungen der Elektronen in der senkrechten Ebene und entlang der
36
z -Achse
gegen die Teilchenzahl der Elektronen aufgetragen.
4.5 Die nichtlineare Phase der Simulation
Abb. 4.10: Schnitt entlang der schwarzen Linie in Abb. 4.9 für
Minima des Magnetfelddruckgradienten
∝ B⊥ ∇B⊥
|B⊥ |
(blau) und
|E⊥ |/100 (rot).
|E⊥ | überein.
Die
stimmen mit den Minima von
Die Simulationen zeigen eine ähnliche Verteilung in
v⊥
und
vz
für alle
B0 .
Die Vertei-
lungsfunktionen sind für den letzten Simulationszeitschritt erstellt worden. Die Kurven
wurden hier nicht beschriftet, da ein qualitativer Vergleich nicht sinnvoll ist. Während der
nicht-linearen Phase benden sich die Teilchen nicht in einem stationären Zustand, da das
anschlieÿende Verschmelzen der Filamente diesen verhindert (Bogdan & Lerche (1985)).
Auallend ist, dass die Geschwindigkeitsverteilungen vergleichbare Steigungen haben und
die Breiten unabhängig von
B0
zu sein scheinen.
Abb. 4.11: Die Geschwindigkeitsverteilungen der Elektronen (a) in der Simulationsebene und (b)
senkrecht zu dieser. Die Einheit auf der
y -Achse
ist CP. Die Elektronen weisen unabhängig von
B0
eine ähnliche Verteilung auf.
37
4 Simulation der Filamentierungsinstabilität
4.6 Vergleich der Methoden
Durch die Wahl der zweidimensionalen Simulationsebene senkrecht zu den Strömen konnten sich Wellen nur in dieser Ebene ausbreiten. Dadurch war es möglich nur die FI zu
untersuchen. Bei einer dreidimensionalen Simulation kommen Eekte der Zwei-StromInstabilität und der
oblique modes
hinzu, deren Wellenvektoren eine zu den Strömen
parallele Komponente aufweisen.
Die Simulationen bestätigen, dass die Anwachsrate der Instabilität sinkt, wenn die
B0 erhöht wird.
B0 = Bc unterdrückt
Anfangsmagnetfeldstärke
Allerdings konnte nicht gezeigt werden, dass
die Instabilität für
wird. Die Analyse der Energiedichten zeigte
ein ganz anderes Verhalten als für die Fälle
B0 < Bc .
Thermische Eekte könnten dafür
verantwortlich sein. Allerdings führen diese eher zu einer Unterdrückung der FI (Bret
et al. (2006)). Möglicherweise erlaubt das Simulationsrauschen Teilchendiusion senkrecht
zum Magnetfeld (Kourakis (1999), Dieckmann et al. (2004)). Dies kann mit dem linearen
Modell nicht beschrieben werden.
Die instabilen Wellenzahlen erstrecken sich in den Simulationen über einen weiten Bereich. Die Analyse der Leistungsspektren zeigte, dass die Anwachsrate bei kleinen Wellenzahlen in Übereinstimmung mit der Theorie langsamer anwächst. Auch der Vergleich
der Anwachsraten lieferte eine gute Übereinstimmung. Die Abweichung zwischen den Simulationen und der Analytik beträgt weniger als 10%. Die Stabilisierung bei groÿen Wellenzahlen ist auf die endliche Temperatur zurückzuführen. Die Existenz einer minimalen
Wellenzahl konnte nicht überprüft werden, da die Auösung der Wellenzahl in der Simulation nicht ausreichte.
Mit den Simulationen konnte auch der nichtlineare Verlauf der Instabilität analysiert
werden. Es hat sich gezeigt, dass der magnetische Druckgradient ein elektrisches Feld in
der Simulationsebene erzeugt.
Magnetic trapping
(Davidson et al. (1972)) ist als Sätti-
gungsmechanismus nicht sehr wahrscheinlich, da hier eine Änderung in der Gyrofrequenz
zu erwarten wäre.
Die Energiedichte des Magnetfeldes beträgt am Ende der Simulation etwa 10% der
kinetischen Energiedichte und entspricht damit dem Ergebnis von Silva et al. (2003). Die
Energiedichte des elektrischen Feldes ist etwa ein bis zwei Gröÿenordnungen kleiner.
Bei den zuvor genannten Anwedungen, dem Mikroquasar GRS 1915+105 und den Typ
III-Ausbrüchen, werden demnach bei einer Anfangsmagnetfeldstärke
nen verstärkt. Das Sättigungsniveau ist unabhängig von
umso höher, je niedriger
38
B0
ist.
B0 < Bc
Fluktuatio-
B0 , hingegen ist die Anwachsrate
5 Temperatureinuss
Im Folgenden soll der Einuss einer endlichen Strahltemperatur auf die Instabilität diskutiert werden. Die bisherige Theorie befasste sich mit kalten Plasmen. Allerdings haben die
Teilchensimulationen in Kap. 4 gezeigt, dass eine endliche Strahltemperatur zwar die qualitativen Ergebnisse nicht wesentlich verändert, quantitativ aber nicht zu vernachlässigen
ist, obwohl eine im Vergleich zur Strömungsgeschwindigkeit der Teilchen kleine thermische
Geschwindigkeit verwendet wurde.
Bei Instabilitäten vom Typ der Weibel-Instabilität werden zwei Typen unterschieden,
die über die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen klassiziert werden. Die Filamentierungsinstabilität (FI) entsteht, wenn zwei geladene Teilchenströme unterschiedlicher
Geschwindigkeiten miteinander wechselwirken. Der wesentliche Unterschied zur klassischen Weibel-Instabilität (WI) ist, dass sie auch bei einer Temperatur
T = 0
wirksam
ist. Genauer gesagt, ist sie ezienter, d. h. ihre Verstärkung ist höher, je niedriger die
Temperatur ist. Eine breite thermische Verteilung führt zur Abschwächung oder gar zur
Unterdrückung der FI.
Die Weibel-Instabilität entsteht in Plasmen, die eine Anisotropie in der Temperatur aufweisen. Im Mittel ist keine Strömung vorhanden. Die Teilchen bewegen sich also nur
aufgrund ihrer thermischen Energie. Die Verstärkung von Fluktuationen erfolgt senkrecht
zum Temperaturgradienten. Dies kann man sich intuitiv klar machen: Bei höheren Temperaturen haben die Teilchen eine höhere Geschwindigkeit. Somit werden sie bei niedrigeren
Temperaturen stärker abgelenkt als bei höheren. Je gröÿer die Anisotropie ist, desto gröÿer ist der Unterschied. Bei einer hohen Anisotropie werden die Teilchen so nicht einfach
beliebig im Raum gestreut, sondern sammeln sich in Stromlamenten und das Prinzip
der FI zur Magnetfelderzeugung ist anwendbar. Dieser Aspekt wurde mit Simulationen
bestätigt und wird in Kap. 6 ausführlicher diskutiert.
5.1 Vergleich der Instabilitäten
Da in den meisten astrophysikalischen Szenarien keine der beiden Instabilitäten vollkommen entkoppelt auftritt, ist eine Diskussion ihres Zusammenspiels sinnvoll. In diesem
Abschnitt werden zunächst beide Instabilitäten separat diskutiert, um eine Grundlage für
39
5 Temperatureinuss
z
B
vr
Mass Center
y
E
vl
k
x
Abb. 5.1: Physikalisches Szenario zur Beschreibung der Instabilitäten vom Typ der WI: Zwei Plasmaströme entlang der
y -Achse
mit einer thermischen Verteilung. Die Fluktuationen (k
senkrecht zu den Strömen verstärkt. Das erzeugte Magnetfeld zeigt in
y -Richtung.
z-
= k ex )
werden
und das elektrische Feld in
Entnommen aus Lazar et al. (2006).
die Diskussion der Wechselwirkung beider Prozesse im nächsten Abschnitt zu schaen.
Charakteristisch für die Filamentierungsinstabilität sind zwei gegenläuge Ströme mit
isotroper Temperaturverteilung (s. Abb. 5.1), wohingegen bei der Weibel-Instabilität die
Strömungsgeschwindigkeit Null und die Temperaturverteilung anisotrop ist.
Die folgende Diskussion bezieht sich wieder auf ein räumlich homogenes, stoÿfreies Plasma, das weder Nettoladung noch -strom aufweist. Es werden die Ergebnisse der nichtrelativistischen Analyse ausführlich diskutiert, da hier der Charakter der Instabilitäten besser
zu erkennen ist. Für die analytische Behandlung der relativistischen Rechnung muss die
Plasmadispersionsrelation genähert werden, wodurch einerseits wesentliche Informationen
verloren gehen, andererseits aber dennoch prinzipielle Aussagen getroen werden können.
Die vollständige Rechnung ist in Anhang B zu nden. Die Herleitung der Dispersionsrelation kann in Lazar et al. (2009) nachgelesen werden. Sie wurde in ähnlicher Form bereits
in Kap. 3 skizziert.
Betrachten wir zunächst den allgemeinen Fall (Abb. 5.1): Gegeben seien zwei gegen-
vl und vr . Das Koordinader y -Achse verlaufen. Diese
läuge Teilchenströme mit den Strömungsgeschwindigkeiten
tensystem sei dabei so gewählt, dass die Ströme entlang
Richtung wird somit im Folgenden als die parallele Richtung bezeichnet. Analog wird die
x-z -Ebene
als senkrechte Ebene bezeichnet. Die Geschwindigkeitsverteilung der strömen-
den Teilchen sei thermisch verbreitert und im Allgemeinen anisotrop. Die thermischen
Geschwindigkeiten in paralleler Richtung seien
vth,l
bzw.
vth,r .
Aus Gründen der Einfach-
heit wird angenommen, dass die senkrechten thermischen Geschwindigkeiten gleich seien,
vth⊥ = vth,l,x = vth,l,z = vth,r,x = vth,r,z .
40
Die mathematische Beschreibung dieser physikali-
5.1 Vergleich der Instabilitäten
schen Situation wird durch die Bi-Maxwell-Verteilung
h
i
2
2
2
2
2
2
2
f0 (v) = f0 (vx , vy , vz ) = C e−(vx +vz )/vth,⊥ nl e−(vy +vl ) /vth,l + nr e−(vy −vr ) /vth,r
(5.1)
mit dem Koezienten
−1
2
(nl vth,l + nr vth,r )
C = π 3/2 vth,⊥
(5.2)
zusammengefasst. Der Koezient lässt sich aus der Bedingung
Z
nl
berechnen.
und
nr
d3 v f0 (v) = 1
(5.3)
sind die Teilchenanzahldichten und sind über die Bedingungen für
Ladungsneutralität und Stromfreiheit
X
qa na = 0,
X
a
bestimmt. Der Index
qa na va = 0
a
a bezieht sich dabei auf die verschiedenen Teilchensorten und -ströme.
Wie schon in der Einführung zu diesem Kapitel angedeutet, sind für die Magnetfelderzeugung Fluktuationen senkrecht zum Temperaturgradienten, bzw. senkrecht zu den
Strömen, von Interesse. Daher werden bei der Diskussion der Instabilitäten vom Typ der
Weibel-Instabilität Fluktuationen mit Wellenvektoren in der senkrechten Ebene betrachtet. Aufgrund der Isotropie in der
x-z -Ebene
zu beschränken. Da das elektrische Feld entlang der Ströme verstärkt wird
zeigt das verstärkte Magnetfeld in
k = k ex
(E = E ey ),
reicht es aus, die Diskussion auf
z -Richtung (B = B ez ).
Die Dispersionsrelation wird
aus der Vlasov- und den Maxwellgleichungen hergeleitet und ist allgemeiner Form durch
2
0 = I + N (ek ek − I) +
2 Z
X ωp,a
a
∂fa,0
dvv
+
∂v
3
ω2
gegeben (Lazar et al. (2006)), wobei
der Spezies
a
darstellt.
Plasmafrequenz und
I
N = kc/ω
Z
fa0 = fa0 (v)
1
∂fa,0
dv
(k ·
) vv
ω−k·v
∂v
3
(5.4)
die ungestörte Verteilungsfunktion
ist der Brechungsindex,
ωp,a = (4πna qa2 /ma )1/2
die
die Einheitsmatrix.
Für die gewählte Geometrie ist nur die
yy -Komponente
von Null verschieden, sodass
sich die Dispersionsrelation auf
2
1=N −
2
X ωp,a
a
ω2
(kUa + Va )
(5.5)
41
5 Temperatureinuss
reduziert. Dabei gilt:
Z
Ua =
vy2
∂f0,a
dv
; Va =
ω − kvx ∂vx
3
Z
d3 v vy
∂f0,a
∂vy
(5.6)
Wird nun die allgemeine Verteilungsfunktion (5.1) in (5.5) und (5.6) eingesetzt, so ergibt
sich:
Ua = −
2
2
2
2
) 0
/2 + vr,a
) + nr,a vth,r,a (vth,r,a
/2 + vl,a
nl,a vth,l,a (vth,l,a
ω
Z (
); Va = −1
2
k(nl,a vth,l,a + nr,a vth,r,a )vth,a
kvth,⊥,a
(5.7)
0
Z (f )
bezeichnet hier die Ableitung der Plasmadispersionsfunktion
Z(f ) = π
−1/2
Z
∞
dt
−∞
e
−t2
(5.8)
t−f
(Fried & Conte (1961)). Aus Einfachheitsgründen wird im Folgenden nur der Fall
nr = n0
mit
vl = vr = v0
und
vth,l = vth,r = vth
nl =
diskutiert.
5.1.1 Die Filamentierungsinstabilität
Bei der Filamentierungsinstabilität ist die Temperaturverteilung der Ströme isotrop,
vth,⊥ . Somit gilt für die Anisotropie Aa =
sich damit zu
2
2
(vth
/vth,⊥
)−1
= 0. Die Dispersionsrelation lässt
2 X ωp,a
0
1
ω
2
1+
1 + 2Ga Z
1=N +
2
ω
2
kvth
a
2
vereinfachen. Dabei ist
vth =
(5.9)
Ga = v0,a /vth,a . Für T → 0 ergibt sich dann die Dispersionsrelation
der Filamentierungsinstabilität in kalten Plasmen:
2
1=N +
2 X ωp,a
a
ω2
2
k 2 v0,a
1+
ω2
(5.10)
In Abb. 5.2 sind die numerisch berechneten Anwachsraten der aperiodischen Lösungen
(ω
= ıωi )
der Dispersionsrelation (5.9) für Elektronen dargestellt. Die Frequenz und die
Wellenzahl wurden über W
= ωi /ωpe bzw. K = kc/ωpe normiert. In Abb. 5.2 (a) wurde die
Strömungsgeschwindigkeit bei konstanter thermischer Geschwindigkeit variiert: Je höher
die Strömungsgeschwindigkeit, desto höher ist die Anwachsrate. In Abb. 5.2 (b) wird
die Temperaturabhängigkeit gezeigt: Je niedriger die Temperatur, desto höher ist die
Anwachsrate. Charakteristisch für eine endliche Temperatur ist der Abbruch bei hohen
42
5.1 Vergleich der Instabilitäten
W
0.12
W
0.12
(a)
0.1
0.1
0.08
0.08
0.06
0.06
0.04
0.04
0.02
0.02
1
0.5
1.5
2
2.5
3
(b)
K
1
0.5
1.5
2
2.5
3
K
Abb. 5.2: Die normierten Anwachsraten für die aperiodischen Lösungen der Dispersionsrelation der
Filamentierungsinstabilität für Elektronen. (a) Drei verschiedene Werte der Strömungsgeschwindigkeit:
v0 /c = 0.2
(obere gepunktet), 0.1 (durchgezogen) und 0.07 (untere gepunktet). Die thermische
vth /c = 0.1. (b) Die Strömungsgeschwindigkeit ist v0 /c = 0.1 und die thermische
vth /c = 0 (obere gepunktet), 0.05 (untere gepunktet) und 0.1 (durchgezogen).
Geschwindigkeit ist
Geschwindigkeit
Wellenzahlen. Diese kritische Wellenzahl ist als
kc (Ga ) =
2
2
X ωp,a
a
gegeben. Im Limes
T →0
ist
kc → ∞.
c2
!1/2
G2a
(5.11)
Die kritische Wellenzahl geht gegen Unendlich,
sobald einer der beiden Strahlen eine Temperatur
T =0
hat. Diese Tendenz ist ebenfalls
in Abb. 5.2 (b) erkennbar.
5.1.2 Die Weibel-Instabilität
Zur Beschreibung der Weibel-Instabilität wird die klassische Bi-Maxwellverteilung verwendet. D. h. die Strömungsgeschwindigkeit verschwindet,
v0 = 0.
Es ergibt sich dann
2 1 X ωp,a
ω
0
1=N +
(Aa + 1) Z
+2
2 a ω2
kvth,⊥,a
2
(5.12)
für die Dispersionsrelation. Die kritische Wellenzahl ist in diesem Fall durch
kc (Aa ) =
2
X ωp,a
a
c2
!1/2
Aa
(5.13)
bestimmt. In Abb. 5.3 sind die Anwachsraten der aperiodischen Lösungen der Dispersionsrelation (5.12) für Elektronen dargestellt. Je gröÿer die Anisotropie
Ae ,
desto gröÿer
sind die Anwachsrate und der Bereich instabiler Wellenzahlen.
43
5 Temperatureinuss
W
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
1
0.5
1.5
2
K
Abb. 5.3: Die normierten Anwachsraten der aperiodischen Lösungen der Weibel-Instabilität für die
Anisotropien
2 /v 2
Ae = (vth
th,⊥ ) − 1: Ae = 3
(durchgezogen),
Ae = 2
(gestrichelt) und
Ae = 1
(gepunktet).
5.2 Zusammenspiel von FI und WI
Die Diskussion der beiden Instabilitätstypen gab Aufschluss über den Einuss der Temperatur auf die Anwachsrate. Bei der Filamentierungsinstabilität sind die Wellenvektoren
der Fluktuationen senkrecht zu den Strömen orientiert. Bei der Weibel-Instabilität sind
sie hingegen senkrecht zum Temperaturgradienten. Man kann auch eine Konguration nden, bei der beide Instabilitäten auftreten. Dabei sollte es zu einer Verstärkung kommen,
wenn die Wellenvektoren der reinen FI bzw. WI parallel sind und zur Abschwächung bei
einer senkrechten Überlagerung. Dies wird z. B. dadurch erreicht, dass eine negative Ani-
−1 < Aa < 0 gewählt wird. Diese Konguration wird nachfolgend untersucht und
diskutiert. Wird also sowohl eine Temperaturanisotropie, Aa 6= 0, als auch eine endliche
Strömungsgeschwindigkeit, v0 6= 0, berücksichtigt, so ergibt sich für die Dispersionsrela-
sotropie
tion:
2
1=N +
2 X ωp,a
a
Hier ist
Ga = v0,a /vth,⊥,a .
ω2
1+
1
ω
2
0
(Aa + 1) + Ga Z
2
kvth,a
(5.14)
Die kritische Wellenzahl ist in diesem Fall:
kc (Ga , Aa ) =
2
X ωp,a
a
c2
!1/2
Aa + 2G2a
(5.15)
In Abb. 5.4 (a) wurden die Parameter so gewählt, dass sich für die reine Filamentierungs- und Weibel-Instabilität jeweils vergleichbare Anwachsraten ergeben. Die Kombination beider liefert eine gröÿere Anwachsrate. Ein ähnliches Ergebnis erhält man in Abb.
5.4 (b). Die kombinierten Eigenschaften erhöhen die Anwachsrate. Wählt man hingegen
44
5.3 Berücksichtigung schwach relativistischer Eekte
(a)
W
(b)
W
0.04
0.03
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0.5
K
1.5
1
1
0.5
1.5
K
Abb. 5.4: Die normierten Anwachsraten der Filamentierungs- (gestrichelt) und Weibelinstabilität (gepunktet), verglichen mit der Kombination aus beiden (durchgezogen). Die verwendeten Parameter sind
hierbei (a)
v0 /c = 0.07, Ae = 1
und
vth,⊥ /c = 0.1
und (b)
v0 /c = 0.1, Ae = 0.8
und
vth,⊥ /c = 0.1.
eine negative Anisotropie, dann verstärkt die WI Fluktuationen entlang der parallelen
Richtung. Kombiniert man diesen Fall mit der FI, wobei die Ströme wie zuvor entlang der
parallelen Richtung verlaufen, so hat dies einen reduzierenden Einuss auf die Anwachsrate (Abb. 5.5).
W
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0.25
0.5
0.75
1
1.25
K
1.5
Abb. 5.5: Die gleiche Situation wie in Abb. 5.4 mit den Parametern
vth,⊥ /c = 0.1.
v0 /c = 0.1, Ae = −1
und
Die Weibel-Instabilität existiert in diesem Fall nicht entlang der Ausbreitungsrichtung
der Filamentierungsinstabilität. Daher ist die Anwachsrate für den kumulativen Eekt reduziert.
5.3 Berücksichtigung schwach relativistischer Eekte
In Anh. B sind die Ergebnisse der Untersuchung für schwach relativistische Strömungsgeschwindigkeiten aufgeführt. Die thermische Verbreiterung wurde dabei weiterhin als
45
5 Temperatureinuss
nichtrelativistisch angenommen. Es erstaunt nicht, dass die Anwachsrate durch relativistische Eekte reduziert wird, da sie proportional zu
−1/2
γ0
ist, wobei
γ0 den relativistischen
Lorentzfaktor bezeichnet. Die schwach relativistischen Anwachsraten wurden mit denen
aus dem nichtrelativistischen Fall verglichen. Um die Formeln analytisch zu analysieren,
Z(f ) genähert werden. Dabei wurden die Fälle sehr
groÿer Anisotropie Aa 1 bzw. negativer Anisotropie Aa < 0 diskutiert. Diese sind äquivalent zu einer sehr kleinen bzw. groÿen thermischen Geschwindigkeit vth,⊥ γω/k bzw.
vth,⊥ γω/k .
musste die Plasmadispersionsfunktion
Abb. 5.6: Vergleich der normierten Anwachsraten für eine schwach relativistische Näherung der Dispersionsrelation für die FI (durchgezogen) mit denen aus der nichtrelativistischen Rechnung (5.9)
(gepunktet) für die Strömungsgeschwindigkeiten
digkeiten
vth /c = 0.01.
v0 /c = 0.1, 0.3, 0.5
und die thermischen Geschwin-
Die Dispersionsrelationen wurden im Grenzfall
vth γω/k
betrachtet, wo-
durch der Abbruch bei groÿen Wellenzahlen verschwindet. Die Einbeziehung schwach relativistischer
Eekte hat eine Reduktion der Anwachsraten zur Folge.
Im ersten Fall dominiert der Einuss der parallelen thermischen Geschwindigkeit, wodurch die Stabilisierung bei groÿen Wellenzahlen verloren geht. Die Anwachsraten zeigen
dann ein Verhalten, das der reinen Filamentierungsinstabilität im Fall
vth = 0
gleicht. Im
Grenzfall negativer Anisotropien bleibt die kritische Wellenzahl erhalten.
In Abb. 5.6 wird beispielhaft am Fall der reinen FI der Unterschied zwischen der nichtrelativistischen und der schwach relativistischen Beschreibung dargestellt. Die Reduktion
der Anwachsrate ist für schwach relativistische Strömungsgeschwindigkeiten deutlich erkennbar.
46
6 Simulation der Weibel-Instabilität
In diesem Kapitel wird die Weibel-Instabilität mit PIC-Simulationen untersucht. Im Gegensatz zu Kap. 4 gibt es hier keine Strömungsgeschwindigkeit
digkeiten sind um
v0 = 0
v0 .
Die Teilchengeschwin-
orientiert, wobei die thermische Verbreiterung in paralleler
Richtung (vthk ) höher ist als in senkrechter Richtung (vth⊥ ). Das Magnetfeld wird senkrecht zum Temperaturgradienten erzeugt. Das Vorgehen entspricht dem aus Kap. 4 und
wird daher nicht im Detail erläutert.
Es werden zwei Simulationsdurchgänge durchgeführt: Zuerst wird eine zweidimensionale Simulationsbox verwendet, die sowohl eine heiÿe als auch eine kühle Strahlrichtung
einschlieÿt. Es wird gezeigt, dass das Wellenspektrum zu frühen Zeiten auf eine Dimension
beschränkt ist und es erfolgt eine Untersuchung der zeitlichen Entwicklung der Energiedichten und der Felddaten. Hier spielt eine zweite Instabilität eine Rolle: Der Transfer der
Energie von der heiÿen in die kühle Richtung, führt zu einem Angleichen der elektrischen
Feldkomponenten.
Eine eindimensionale Simulation entlang der kühlen Richtung mit höherer Teilchenanzahldichte verbessert die Phasenraumauösung und das Rauschen. So kann die Verstärkung der elektrischen Feldkomponente entlang der heiÿen Richtung auf das Ampèresche
Gesetz zurückgeführt und der Zusammenhang zwischen den senkrechten Komponenten
des elektrischen und magnetischen Feldes bestätigt werden.
6.1 Dispersionsrelation
In dieser Simulation wird ebenfalls nur die Elektronendynamik berücksichtigt, indem den
→ ∞) zugeschrieben wird. Zu Beginn der Simulation
ist das Magnetfeld im Mittel Null (B0 = 0). Die Anisotropie ist durch A = Tk /T⊥ − 1 =
(vthk /vth⊥ )2 − 1 gegeben, wobei Tk > T⊥ ist. Als Gleichgewichtsverteilung der Teilchen
Protonen eine unendliche Masse (mp
wird die Bi-Maxwell-Verteilung
f0 (v⊥ , vk ) =
1
2
π 3/2 vth⊥
vthk
"
exp −
2
vk2
v⊥
+ 2
2
vth⊥
vthk
!#
(6.1)
47
6 Simulation der Weibel-Instabilität
angenommen. Daraus lässt sich die Dispersionsrelation
k 2 c2 σ 2
ıσ
1
0
+ 2 = − 1 + (A + 1)Z
ωp2
ωp
2
kvth⊥
(6.2)
ableiten (Morse & Nielsen (1971); Lazar et al. (2009)). Die Anwachsrate
aus dem positiven Imaginärteil der Frequenz
ω = ıσ .
σ
ergibt sich
Dadurch, dass nur Fluktuationen
senkrecht zum Temperaturgradienten betrachtet werden, liegt der Wellenvektor
halb der senkrechten Ebene. Die Funktion
k
inner-
σ(k⊥ ) ist in Abb. 6.1 graphisch dargestellt. Für
kleine Wellenzahlen wächst sie rapide an, erreicht ein Maximum und fällt dann wieder
rasch ab. Die Nullstelle
σ(kmax ) = 0
deniert die maximale Wellenzahl
kmax = A1/2 ωp /c.
σ/ωp
k⊥ c/ωp
Abb. 6.1: Darstellung der Dispersionsrelation
stelle
σ(kmax ) = 0
σ(k⊥ ).
Die Funktion weist ein Maximum auf. Die Null-
deniert die maximale Wellenzahl der Instabilität.
x-Achse
B = B⊥ =
Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass die Temperatur entlang der
höher ist als in
(Bx2
+
y-
und
z -Richtung.
Die Instabilität erzeugt ein Magnetfeld
By2 )1/2 und ein elektrisches Feld
Feldgröÿen ist durch
kc/ωp × E = B
E = Ek = Ez .
Der Zusammenhang zwischen den
gegeben.
6.2 Simulationsparameter
Auch an dieser Stelle soll die Simulation durch eine astrophysikalische Anwendung motiviert werden. Wir beziehen uns auf die Vorstoÿwelle der Supernova-Überreste (SNR):
Zum einen verwenden wir die Ergebnisse der in-situ-Beobachtungen der terrestrischen
Vorstoÿwelle und nehmen an, dass die bekannte Physik auf die Vorstoÿwelle der Superno-
48
6.2 Simulationsparameter
va-Überreste übertragen und die Erzeugung der Temperaturanisotropie auf die BunemanInstabilität zurückgeführt werden kann. Die terrestrische Vorstoÿwelle bietet zwar den
Vorteil, dass die Teilchenkongurationen und -prozesse bekannt sind, allerdings beträgt
die Ionengeschwindigkeit nur einige hundert km/s (Eastwood et al. (2005)). Eine Simulation unter Verwendung einer Geschwindigkeit dieser Gröÿenordnung würde eine viel
zu geringe Anwachsrate liefern. Die Ionenstrahlgeschwindigkeit in der Vorstoÿwelle der
Supernova-Überreste wurde zu
0.2c
bestimmt (Kulkarni et al. (1998)). So wird ein gutes
Signal-zu-Rausch-Verhältnis und ein schnelles Wellenwachstum erreicht.
Die parallele thermische Geschwindigkeit wird zu
vthk /c = 8.83 · 10−2
gewählt und
ist damit von der Gröÿenordnung der Ionengeschwindigkeit in den SNR. Als senkrechte thermische Geschwindigkeit wird
vth⊥ /c = 8.83 · 10−3
verwendet, entsprechend einer
thermischen Energie von 40 eV für die nicht aufgeheizten Elektronen. So ergibt sich eine
Anisotropie
A = 99.
Nx = Ny = 1000 Zellen in x- bzw. y −3
und ∆x = 400 cm simuliert. Die
Richtung mit einer Seitenlänge ∆x ωp /c = 8.4 · 10
Anzahl der CP pro Zelle beträgt zu Beginn N2D = 150. In der 1D-Simulation werden
Nx = 1 und Ny = 1000 gewählt und die Anzahl der CP pro Zelle zu Beginn der Simulation
wird auf N1D = 32768 erhöht. Bei beiden Simulationen ist der Zeitschritt durch ∆t ωp =
3.9 · 10−3 gegeben, wobei die Plasmafrequenz als ωp = 6.3 · 105 s−1 gewählt wurde.
Es werden bei der 2D-Simulation wie zuvor
6.2.1 Die zweidimensionale Simulation
Die Energiedichten
Die Energiedichten geben Auskunft über die zeitliche Entwicklung der über die gesamte
Simulationsbox gemittelten Felder und werden analog zu Kap. 4 berechnet. So ergibt sich
für die Energiedichte der elektrischen Feldkomponenten
Ei (t) = (Nx Ny )−1
X
[Ei (j∆x , k∆x , t)]2 /8π
(6.3)
[Bi (j∆x , k∆x , t)]2 /8π.
(6.4)
j,k
und für die Magnetfeldkomponenten
Bi (t) = (Nx Ny )−1
X
j,k
Die über die Simulationsbox gemittelte kinetische Energiedichte ist durch
K (t) = (Nx Ny )−1 ∆−3
x
X
mcp c2 (γj − 1)
(6.5)
j
49
6 Simulation der Weibel-Instabilität
gegeben. Die Summen erstrecken sich über die Teilchenanzahl, d. h.
für die 1D-
x-Richtung erzeugen nur eine z Komponente des Magnetfeldes, während Bx nicht verstärkt wird. By wird ebenfalls nicht
verstärkt, da die Simulation die z -Richtung nicht auöst und daher d/dz = 0 ist. Dies
bzw.
N2D
N1D
für die 2D-Simulation. Die Mikroströme in
wird durch die Simulationen bestätigt.
Abb. 6.2 zeigt den zeitlichen Verlauf der Energiedichten. Die Komponente
nächst exponentiell an und saturiert bei
Bz
wächst zu-
tωp ≈ 70. Entgegen der linearen Theorie wird Ey
ebenfalls verstärkt, wie es schon in Kap. 4 der Fall war. Bei der Filamentierungsinstabilität
wird das Anwachsen dieser Komponente, das auch von Califano et al. (2002) beobachtet
wurde, auf eine Induktion durch den magnetischen Druckgradienten zurückgeführt (s.
Abschn. 2.2 und Rowlands et al. (2007)). Im Gegensatz dazu wächst die logarithmierte
zweidimensionale Energiedichte von
Ey
nicht doppelt so schnell an wie die von
Bz .
In
der 1D-Simulation ist dies aber wiederum der Fall (hier nicht gezeigt). Das Anwachsen
von
Ex
ist gegenüber
Ey
verzögert. Das Auftreten dieser Komponente kann nicht mit
dem magnetischen Druckgradienten erklärt werden, da
Simulation haben beide Komponenten
Ex
und
Ey
Bx
nicht wächst. Am Schluss der
den gleichen Energiedichtewert erreicht
(s. Abb. 6.2). Die Energiedichten der übrigen Feldkomponenten wurden während der Simulationszeit nicht verstärkt und werden daher nicht diskutiert. Im Folgenden werden die
elektromagnetischen Felder zu speziellen Zeiten untersucht, um ein besseres Verständnis
der zeitlichen Entwicklung der Energiedichten in Abb. 6.2 zu erhalten.
−1
Normalized energy densities
10
−2
10
−3
10
−4
10
0
50
tω
100
150
p
Bz /K (t = 0) (obere durchgezogene Kurve), Ey /K (t = 0) (untere durchgezogene Kurve) und Ex /K (t = 0) (gestrichelt). Die
Weibel-Instabilität verstärkt die Bz -Komponente, die durch den Sättigungsprozess Ey induziert. Ex
wird erst später verstärkt und erreicht den gleichen Wert wie Ey .
Abb. 6.2: Logarithmische Darstellung der normierten Energiedichten
50
6.2 Simulationsparameter
Die zeitliche Entwicklung der Felder
Abb. 6.3 zeigt die Magnetfeldkomponente
Bz
für die Simulationszeiten
tωp = 59
und
tωp = 164. In (a) hat die Komponente Ey das erste Sättigungsniveau erreicht, wohingegen
Ex noch nicht verstärkt wurde. Es haben sich Filamente mit einer Symmetrieachse parallel
zur x-Richtung ausgebildet. (b) zeigt die Magnetfeldkomponente zu einem Zeitpunkt, an
dem beide elektrischen Feldkomponenten annähernd den gleichen Wert erreicht haben.
Die Magnetfeldstrukturen sind nicht mehr rein parallel zur
6.5),
x-Achse
(z. B. bei
yωp /c =
bleiben aber qualitativ unverändert in der hier betrachteten reduzierten Geometrie.
Würde die Simulation die senkrechte Ebene auösen, dann würde man wie bei Morse &
Nielsen (1971) ein Verschmelzen der Strukturen erkennen können.
Abb. 6.3: Die Magnetfeldkomponente
Bz
zu den Simulationszeiten
tωp = 59
(a) und
Die Farbskala gibt den Feldwert in mG an. Nach Einsetzen der Verstärkung von
Ex
tωp = 164
(b).
sind die Filamente
nicht mehr rein eindimensional.
Es soll nun untersucht werden, wie die Energie des elektrischen Feldes von
Ex
Ey
nach
transportiert wird. Dazu werden in Abb. 6.4 die räumlichen Feldprole vor und nach
Ey -Komponente entlang
x praktisch gleichförmig und die Strukturen sind parallel zu denen von Bz und scheinen miteinander zu korrelieren. Die Amplitude von Ey durchläuft im Intervall 2.6 <
yωp /c < 3.6 zwischen zwei Nulldurchgängen von Bz eine volle Oszillation. Bei Ex ist zu
dem Anwachsen von
Ex
genauer betrachtet. Bei
tωp = 75
ist die
diesem Zeitpunkt keine signikante Änderung der Struktur zu erkennen. Im Zeitintervall
75 < tωp < 87
ist
Bz
auch auf dieser räumlichen Skala qualitativ unverändert. Nur die
Oszillationsamplitude entlang
y
ist etwas verringert. Hingegen ändert sich das elektrische
Ey gleichförmig entlang x und oszilliert
0.8c/ωp , was einer Wellenzahl kx c/ωp ≈ 8
Feld deutlich. Anfangs ist
zur späteren Zeit mit
einer Oszillationsperiode
entspricht, am besten
zu sehen an der
Ey -Komponente.
Die beobachtete räumliche Periodizität entlang
x
lässt auf eine zweite Instabilität
schlieÿen, diese ist möglicherweise die Würstchen-Instabilität (sausage mode instability,
51
6 Simulation der Weibel-Instabilität
Abb. 6.4: Ausschnitte der relevanten Feldkomponenten zu zwei Zeiten: In (a), (b) und (c) sind die
Bz -, Ex -
Ey -Komponenten in mG bei tωp = 75 dargestellt. In (d), (e) und (f ) sind die gleichen
Komponenten bei tωp = 87 dargestellt. Das Magnetfeld ist qualitativ unverändert, nur das Minimum
ist bei der späteren Zeit weniger ausgeprägt. Das Anwachsen von Ex scheint mit der Ausbildung der
Struktur von Ey entlang x verbunden zu sein.
und
Ey -Komponente an die Energie der Ex 2
Komponente. Das räumliche Leistungsspektrum |Ẽ(kx , ky )| mit Ẽ(kx , ky ) = Ex (kx , ky ) +
ıEy (kx , ky ) wurde genauer analysiert und liefert zusätzliche Informationen. Bis tωp ≈ 80
ist das Spektrum auf kx ≈ 0 beschränkt, was einem entlang x räumlich gleichförmigen
elektrischen Feld entspricht. Nach tωp ≈ 80 beginnt ein Signal bei kx c/ωp ≈ 8 zu wachsen,
mit dem das Schwingen von Ey in Abb. 6.4(f ) zu erklären ist. Dieses Signal breitet sich
über einen weiten Bereich von ky aus. Anfangs wächst dieses Signal nur im Quadranten
kx , ky > 0, breitet sich aber nach tωp ≈ 100 schnell im gesamten Wellenzahlraum aus.
Das et al. (2004)). Sie koppelt die Energie der
Die Phasenraumverteilung der Elektronen
Die Änderung von
die nur entlang
y
Bz
entlang
y muss durch eine Stromkomponente Jx unterstützt werden,
variiert. Um dies zu untersuchen, wurde die Phasenraumdichte für
eine bessere Teilchenstatistik über sechs Zellen in
integriert und mit dem Strom
Jx (y)
x-Richtung (0.084 ≤ xωp /c ≤ 0.134)
verglichen.
Abb. 6.5 zeigt für die zwei Simulationszeiten entsprechend Abb. 6.3 die Phasenraumdichte
f (y, px )
und den Strom
puls stückweise linear in
px /me c < 0.1,
y
Jx (y) = qcp
P
j
vx (j)f (j∆x, y, px ).
Bei
tωp = 59
ist. Das stückweise lineare Verhalten des Impulses erzeugt einen Strom
Bz
ar (hier nicht gezeigt). Bei
−0.1 <
vthk /c ≈ 0.1
und der hauptsächliche Anteil erstreckt sich zwischen
was von der Gröÿenordnung her vergleichbar mit dem Wert
gleichen Weise verhält.
ist der Im-
ist über ausgedehnte Intervalle von
tωp = 164
y
Jx , der sich in der
ebenfalls stückweise line-
werden diese Strukturen dius, was möglicherweise
auf eine Auswirkung der sekundären Instabilität und der Gyration der Elektronen in
52
Bz
6.2 Simulationsparameter
Abb. 6.5: Oben: Logarithmierte Impulsverteilung
f (y, px )
zu den Simulationszeiten
tωp = 59
(a)
tωp = 164 (b): Die Phasenraumverteilung der Elektronen ist zu Beginn eine stückweise lineare
y . Zu späteren Zeiten wird sie dius. Unten: Jx (y)/qcp bei tωp = 59 und (a) und
tωp = 164 (b). Der Strom verhält sich zu Beginn ebenfalls stückweise linear in y und acht zur
und
Funktion von
späteren Zeit ab.
zurückzuführen ist. Dies führt zu einem acheren Prol für
Jx (y).
Die Magnetfeldampli-
tude in Abb. 6.3 verringert sich daher zu späten Zeiten und, als Folge dessen, auch die
Energiedichte von
Bz
in Abb. 6.2.
6.2.2 Die eindimensionale Simulation
Die 2D-Simulation hat gezeigt, dass das
k -Spektrum
der instabilen Wellen für
tωp <
80 auf die zu x senkrechte Ebene beschränkt ist. Die sekundäre Instabilität erzeugt für
tωp > 80 höherdimensionale Strukturen des elektrischen Feldes in der x-y -Ebene. Eine
1D-Simulation der y -Richtung gibt die Plasmaprozesse daher nur richtig wieder, bis das
Anwachsen der Ex -Komponente in der 2D-Simulation einsetzt.
Es soll nun der Prozess, der zur Erzeugung von
wird mit einer 1D-Simulation nur die Zeit
tintervall, in dem
Ey
tωp > 50
Ey
führt, identiziert werden. Dazu
untersucht, dies entspricht dem Zei-
durch die Weibel-Instabilität erzeugt wird. Auÿerdem kann so der
Einuss des elektrischen Feldes auf die Elektronen genauer untersucht werden. Die Beschränkung auf eine Dimension ermöglicht eine groÿe Anzahl von CP pro Zelle mit zwei
Vorteilen: Erstens reduziert die gröÿere Anzahl an CP das Simulationsrauschen. Die Amplitude des elektrischen Rausch-Feldes ist proportional zu
√
1/ N , wobei N
die Anzahl der
Teilchen pro Zelle bezeichnet. Zweitens ermöglicht die gute statistische Repräsentation der
Elektronenverteilung
f (y, px ), die Feinstruktur und kleine Änderungen der Ladungsdichte
aufzulösen.
Wie in der 2D-Simulation wurde auch hier nur die
Bz -Komponente
verstärkt. Die
Magnetfeldstrukturen sind quasistatisch und räumlich oszillierend (Abb. 6.6(a)). In Abb.
53
6 Simulation der Weibel-Instabilität
6.6(b) ist die Komponente
liert. Für
90 ≤ tωp ≤ 180
Ey
dargestellt, die mit der doppelten Frequenz von
Bz
oszil-
ist die Struktur zeitunabhängig. Das stationäre Verhalten ist
typisch für eine 1D-Geometrie und ist nicht auf physikalisches Verhalten zurückzuführen.
Dies ermöglicht uns aber, den Einuss von
Ex
und
Abb. 6.6: Die zeitliche Entwicklung der Komponenten
Ey
Bz , Ey
auf die Elektronen zu trennen und
und
Ex
in mG während der Simulation.
(a): Die Struktur des Magnetfeldes ist quasistatisch und räumlich oszillierend. (b):
Ey
hat die doppelte
Bz . Für tωp > 180 erscheinen schnelle Wellen (Erklärung s. Text). (c): Die niedrigfreEx werden durch das Ampère-Gesetz erzeugt, was durch die Phasenverschiebung
◦
90 gegenüber Bz ersichtlich ist.
Frequenz von
quenten Wellen von
von
erleichtert die Interpretation. Für
Ey ,
tωp > 180
in
die der periodischen Struktur überlagert sind. Ihre Untersuchung wird im nächsten
Abschnitt beschrieben. Die Struktur von
Bz .
fast waves)
erscheinen schnelle Wellen (
Ex
in Abb. 6.6(c) ähnelt für
Die Amplitude ist eine Gröÿenordnung kleiner als die von
Ey .
tωp < 120
der von
Das Ampèresche Ge-
c ∂y Bz = ∂t Ex + 4π Jx beschreibt die Erzeugung von Ex durch ein wachsendes Jx . Die
◦
Phasenverschiebung von 90 zwischen Bz und Ex , erkennbar in Abb. 6.6, ist ein Hinweis
auf diesen Zusammenhang. Die Oszillationen von Ex entsprechen kurzlebigen Wellen, die
setz
schnell gedämpft werden.
Die schnellen Wellen in Abb. 6.6(b) werden vermutlich von Elektronen erzeugt, die um
das Magnetfeld gyrieren. Während sie rotieren, transferieren sie Impuls von der (heiÿen)
parallelen in die (kalte) senkrechte Richtung. Der Teilchenimpuls ist durch den Strom
an die Felder gekoppelt. Die Dispersionsrelation
Integration über den Bereich
155 < tωp < 337
Ey (ky , ω)
in Abb. 6.7 wurde aus der
erhalten und gibt Auskunft über die
Phasengeschwindigkeiten der Strukturen.
In Abb. 6.8 wird der Zusammenhang zwischen
Bz
Simulation können sich die Elektronen nur entlang der
und
Ey
untersucht. In der 1D-
y -Richtung
ungehindert bewegen.
Die Weibel-Instabilität erzeugt anfangs eine Impulsverteilung in Form einer Zick-ZackVerteilung, die durch den Strom zum Anwachsen des Magnetfeldes führt. Die Amplitude
der Geschwindigkeitsoszillationen ist nach der Sättigung von der Gröÿenordnung
und für
tωp = 96
gut erkennbar (Abb. 6.8 links). Die Verteilung unterscheidet sich von
Abb. 6.5, da hier die Teilchenanzahl erhöht wurde. Die Wellenlänge von
54
vthk /c
Ey
ist zu diesem
6.2 Simulationsparameter
Abb. 6.7: Die Dispersionsrelation
Ey (ky , ω).
Die schwarze Gerade entspricht
ω = vthk k .
ren in Abb. 6.6(b) werden von schnellen Wellen erzeugt, die ihre gröÿte Leistung bei
und
ω/ωp = 2
Die Struktu-
ky c/ωp = 20
haben.
Zeitpunkt halb so groÿ wie die von
Bz
und die Nulldurchgänge der elektrischen Feldkom-
ponente fallen mit den Extrema und den Nulldurchgängen von
Bz
zusammen. Dies weist
ebenfalls auf einen Zusammenhang zwischen dem magnetischen Druckgradienten
2
Pb = B /8π
∇Pb
mit
und dem induzierten elektrischen Feld hin. Im Fall der Filamentierungsin-
stabilität erzeugt das elektrische Feld eine Verschiebung der Elektronen (Rowlands et al.
(2007)). Zu diesem Zeitpunkt wächst das Magnetfeld noch exponentiell.
Ey
und
vcp Bz
sind noch nicht stark genug, um die Elektronenbahnen zu beeinussen. Die Mikroströme
zeigen aus der Simulationsbox heraus und die Elektronen bewegen sich unabhängig voneinander. Solange das elektromagnetische Feld schwach ist, vollführen die Elektronen nur
thermische Bewegung in
y -Richtung.
genug, um die Elektronenverteilung
tωp = 116 ist das elektromagnetische Feld stark
entlang der y -Achse zu komprimieren. Dies führt zu
Zu
einer geschichteten Struktur ihrer Phasenraumverteilung (Abb. 6.8 Mitte). Die Komplexität der Phasenraumverteilung wächst mit fortschreitender Zeit (s. Abb. 6.8 rechts). Die
Feinstruktur, die zu Beginn der Simulation erkennbar ist, thermalisiert, dennoch bleibt
die Zick-Zack-Verteilung erhalten. Das führt dazu, dass die Ströme, die das Magnetfeld
aufrechterhalten, bestehen bleiben.
Um auch quantitativ den Zusammenhang zwischen dem magnetischen Druckgradienten
und
Ey
zu zeigen, wurden diese in Abb. 6.9 geplottet. Die erwartete Proportionalität
zwischen dem magnetischen Druckgradienten und dem elektrischen Feld ist durch
−1
eEy (y) = n−1
e ∂y Pb (y) = ne Bz (y) ∂y Bz (y)/4π
(6.6)
gegeben. Allerdings musste die rechte Seite mit dem Faktor 2 multipliziert werden, dies ist
auf einen Einschwingeekt zurückzuführen. Dieser Eekt wurde bereits für die FI beob-
55
6 Simulation der Weibel-Instabilität
Abb. 6.8: Reihe (a): Die Impulsverteilung der Teilchen bei
tωp = 154
tωp = 96
(links),
tωp = 116
(Mitte) und
(rechts). Die Farbskala ist der dekadische Logarithmus der Teilchenanzahl. Reihe (b): Die
Komponenten
10Bz
(gestrichelt) und
Ey
y -Achse
(durchgezogen) zu den jeweiligen Zeiten. Die
gibt
dabei wieder den Wert in mG an.
achtet (Dieckmann et al. (2008)). Zu Beginn der Instabilität schieÿt das elektrische Feld
über den erwarteten Wert hinaus. Passt man den magnetischen Druckgradienten mit dem
zeitlichen Mittel von
Ey
an, so stimmen die Kurven gut überein. Dies wird bei Dieckmann
et al. (2008) dadurch erklärt, dass sich das System erst in einen Gleichgewichtszustand
entwickelt und dann um diesen oszilliert. In Abb. 6.9(b) sind der thermische Druckgradient
∂ne (y)
∂pT
= kB T⊥
∂y
∂y
(6.7)
und der magnetische Druckgradient
∂pB
Bz ∂Bz (y)
=
∂y
4π ∂y
(6.8)
dargestellt. Die Übereinstimmung des negativen thermischen Druckgradienten mit dem
magnetischen Druckgradienten weist auf einen Zusammenhang zwischen beiden hin.
Die Elektronenladungsdichte und die Geschwindigkeitsverteilung helfen weiter. In Abb.
6.10 ist die Verteilung in einem Ausschnitt für die Zeit
tωp = 96
dargestellt. Die Pha-
senraumverteilung der Elektronen folgt wieder einer Zick-Zack-Verteilung. Die Breite der
Verteilung in
px
mit mehr als 300 Teilchen ist praktisch konstant entlang
y,
sowohl auf
der linearen als auch auf der logarithmischen Skala. Die thermische Verbreiterung und
die Elektronendichte nehmen an den Knickstellen, die mit den Nullstellen von
Ey
und
By
zusammenfallen, leicht zu.
Ein Vergleich der Abb. 6.10(a,b,d) gibt Aufschluss über den Grund der Dichteanhäufung
und die Zick-Zack-Verteilung. Betrachtet man das Intervall rechts des Knicks bei
2.1,
so ist dort
px > 0
und
Ey , Bz < 0.
Das negative
Ey
yωp /c ≈
impliziert, dass die Elektronen
vom Knick weg beschleunigt werden, genauso, wie auch links des Knicks mit
Ey > 0.
An
dem Knick besteht daher ein instabiles Gleichgewicht, das die Elektronenanhäufung bei
56
norm. ∂y Pb, Ey
6.3 Diskussion der Ergebnisse
0.5
0
−0.5
norm. ∂y Pb, ∂y PT
0
2
4
(a) y ωp / c
6
8
2
4
(b) y ω / c
6
8
0.5
0
−0.5
0
p
∂y Pb /ne e (durchgezogen) und der
bei tωp = 96. (b): Darstellung des
Abb. 6.9: (a): Vergleich des normierten Magnetfelddruckgradienten
negativen elektrischen Feldkomponente
−Ey
(gestrichelt) in mG
negativen thermischen (gestrichelt) und magnetischen (durchgezogen) Druckgradienten, die entlang
der
y -Richtung wirken, bei tωp = 96. Die Gradienten sind ebenfalls auf ne e normiert. Der magnetische
Druckgradient wurde in beiden Fällen mit dem Faktor 2 multipliziert. Die vergleichbaren Amplituden
weisen auf ein Gleichgewicht zwischen den Gröÿen hin.
yωp /c = 2.1
in Abb. 6.10(c) nicht erklärt.
Bz geliefert. Die entlang y wirkende Lorentzkraft, die durch
< 0, vcp,x > 0 und Bz < 0 ausgeübt wird, ist negativ (Fcp =
Die Erklärung wird durch
Bz auf ein CP mit qcp
−qcp vcp,x Bz < 0), sodass
Elektronen zum Knick hin beschleunigt werden. Analog gilt
dies für Elektronen links des Knicks, die ebenfalls zum Knick beschleunigt werden, da
Bz
das Vorzeichen ändert. Das elektrische Driftfeld (∝
vx Bz )
komprimiert also die Elek-
tronenverteilung. Die elektrostatische Kraft stammt vom magnetischen Druckgradienten
und oszilliert zweimal so schnell wie
Bz
entlang
y.
Dieser Eekt wurde auch für die FI
beobachtet (Dieckmann et al. (2008)). Abb. 6.10(c,d) zeigen, dass sowohl die Temperatur
als auch die Elektronenanzahldichte bei Entfernung vom Knick abnehmen. Das gleiche
gilt daher auch für den thermischen Druck. Andererseits nimmt der magnetische Druck
bei Entfernung vom Knick zu. Daher wirken beide Druckgradienten in entgegengesetzte
Richtungen und gleichen sich aus (s. Abb. 6.9).
6.3 Diskussion der Ergebnisse
Mit der Simulation wurde die durch eine Temperaturanisotropie angetriebene WeibelInstabilität mit der Filamentierungsinstabilität verglichen. Es wurden zwei Simulationen
durchgeführt: Zunächst wurde eine zweidimensionale Simulationsbox gewählt, die sowohl
eine heiÿe (x-Achse), als auch eine der zwei kühlen Richtungen (y -Achse) einschlieÿt. Die
anschlieÿende eindimensionale Simulation der kühlen (y -) Richtung lieferte eine verbesserte Auösung durch Erhöhung der Teilchenanzahl pro Zelle.
57
6 Simulation der Weibel-Instabilität
Abb. 6.10: Ausschnitt aus der Elektronenverteilung und den elektromagnetischen Feldern bei
tωp = 96.
(a) Die Phasenraumdichte der Elektronen in Einheiten von CP auf einer linearen Skala. (b) Das
elektrostatische Feld
Ey
und
Bz
in mG unter dem Einuss der WI. (c) Logarithmische Auftragung
der Elektronenphasenraumdichte in Einheiten von CP. (d) Die Ladungsdichte der Elektronen normiert
auf den Durchschnittswert.
Die Wahl der Simulationsbox führte dazu, dass nur die Komponenten
lenvektors aufgelöst wurden, sodass die Magnetfeldkomponente
Das exponentielle Anwachsen von
Bz
By
kx und ky des Wel-
nicht verstärkt wurde.
ist auf die Entwicklung der Phasenraumdichte der
Elektronen von einer anfangs homogenen Verteilung zu einer Zick-Zack-Verteilung zurückzuführen. Aus dem Strom
ein Nettostrom
Jx (y) 6= 0.
Jx (y) = 0
zu Beginn der Simulation entwickelte sich so
Entsprechend dem Verhalten der FI in Kap. 4 wurde das
Magnetfeld gegen Ende der Simulation gesättigt.
Sowohl in der 1D- als auch in der 2D-Simulation entwickelte sich aus dem Sättigungspro-
Ey . Der Zusammenhang zwischen dieser Komponente
magnetischen Druckgradienten ∇Pb erzeugt wird, wurde
zess die elektrische Feldkomponente
und der Kraft, die durch den
in der 1D-Simulation genauer untersucht. Obwohl in der 2D-Simulation die Korrelation
zwischen beiden Gröÿen die gleiche ist, wächst die Energiedichte der elektrischen Feldkomponente
Ey
nicht mit doppelter Geschwindigkeit von
Bz , wie es in der 1D-Simulation
und bei Simulationen der FI der Fall war (Kap. 4 und Califano et al. (2002); Dieckmann
et al. (2008)).
Ex erreicht nur in der 2D-Simulation eine groÿe Amplitude. In der 1Dsie allein durch den Strom Jx (y) über das Ampèresche Gesetz erzeugt
Die Komponente
Simulation wird
und die Moden werden schnell gedämpft. Bei der zweidimensionalen Simulation hingegen wird Energie von der kalten in die heiÿe Richtung transferiert, was möglicherweise
auf die Würstchen-Instabilität (
sausage instability, Das et al. (2004)) zurückzuführen ist.
Dieser Prozess konnte nur in der hier gewählten Geometrie beobachtet werden, da die
Komponente
kx
des Wellenvektors dafür zuständig ist, und wurde daher weder in der
1D-Simulation noch in Kap. 4 beobachtet.
58
6.3 Diskussion der Ergebnisse
In der eindimensionalen Simulation wurde die Wechselwirkung zwischen
Bz
und
Ey
quantitativ untersucht und ein Zusammenhang mit den Phasenraumstrukturen hergestellt. Die Analyse der Zick-Zack-förmigen Phasenraumdichte ergab Folgendes: An den
Knickstellen der Phasenraumdichte ist der Mittelwert des Impulses extremal. Auÿerdem
erhöhen sich dort die Ladungsdichte der Elektronen und ihre Temperaturen.
weisen dort Nullstellen auf. Das elektrische Feld
Ey
und
Bz
Ey beschleunigt die Elektronen vom Knick
weg und transportiert somit Ladung ab. Zusätzlich existiert ein elektrisches Driftfeld, das
sowohl vom Mittelwert der Geschwindigkeit (vx ) als auch dem Magnetfeld (Bz ) abhängt
und für eine Komprimierung der Elektronenverteilung sorgt. An den Knickstellen überwiegt das elektrische Driftfeld, was zu einer Erhöhung der Elektronenanzahldichte führt.
Mit gröÿer werdendem Abstand vom Knick nimmt der thermische Druck ab, wohingegen der magnetische Druck zunimmt. Abb. 6.9 zeigt, dass beide Drücke im Gleichgewicht
stehen.
Die Analyse hilft, die Vorgänge in der SNR-Vorstoÿwelle besser zu verstehen: Es entsteht
ein elektromagnetisches Feld senkrecht zum Temperaturgradienten dessen Ursprung in
der Phasenraumstruktur der Teilchen und der damit zusammenhängenden Mikroströme
begründet ist.
Für die Zukunft ist eine 2D-Simulation der senkrechten Ebene geplant, die beide kühle
Richtungen einschlieÿt, um das Verschmelzen der Filamente und deren Skalengröÿe bestimmen zu können. Romanov et al. (2004) haben in einer 3D-Simulation eine ähnliche
physikalische Situation untersucht: eine kühle und zwei heiÿe Richtungen im Gegensatz
zu einer heiÿen und zwei kühlen in unserem Fall. Es zeigte sich, dass die zeitliche Entwicklung des Magnetfeldes in drei Dimensionen etwas von einer zweidimensionalen Simulation
abweichte. Daher wäre auch eine 3D-Simulation der von uns gewählten physikalischen
Situation interessant.
59
6 Simulation der Weibel-Instabilität
60
7 Wechselwirkung zwischen
Fluktuationen und Teilchen
Die bisherigen Kapitel 2 bis 6 beziehen sich auf die Magnetfelderzeugung bzw. -verstärkung durch aperiodische Fluktuationen. Im folgenden Kapitel soll ein verwandter Aspekt
diskutiert werden. Damit die Magnetfeldverstärkung überhaupt stattnden kann, muss
gewährleistet sein, dass die geladenen Teilchen mit den Magnetfelduktuationen wechselwirken können. Die Wechselwirkung muss auf kleinen Skalen stattnden, sodass dies
geschieht, bevor die Teilchen das relevante System verlassen haben. Das heiÿt, die mittlere freie Weglänge
λk ,
die die geladenen Teilchen in diesen Fluktuationen besitzen, muss
klein gegen die Systemgröÿe sein. Ist dies der Fall, so ist die Voraussetzung zur Magnetfeldverstärkung erfüllt. Darüberhinaus werden aperiodische Fluktuationen auch als
Ursache sowohl für die Ausbildung von Stoÿwellen als auch für die Beschleunigung von
Teilchen in diesen diskutiert. Die Erklärung dazu wird im folgenden Abschnitt geliefert.
7.1 Ausbildung einer Stoÿwelle in aperiodischen
Fluktuationen
Es wurde gezeigt, dass sich in anisotropen Verteilungen aperiodische Fluktuationen ausbilden, die ein statistisches elektromagnetisches Feld erzeugen. Nachströmende geladene
Teilchen werden senkrecht zum Magnetfeld abgelenkt, was zu einer räumlichen Isotropisierung der Teilchen auf groÿen Skalen führt. Das durch die Instabilität erzeugte elektrische
Feld bewirkt eine Beschleunigung bzw. Abbremsung der Teilchen. Die abgebremsten, isotropisierten Teilchen stauen sich auf und verzögern den weiteren Abtransport der Teilchen,
wodurch eine Stoÿwelle entsteht.
7.2 Berechnung der Streulänge
Im Gegensatz zu den Kapiteln zuvor, wird hier nun angenommen, dass das elektromagnetische Feld, das sich aus den aperiodischen Fluktuationen vom Typ der Weibel-Instabilität
61
7 Wechselwirkung zwischen Fluktuationen und Teilchen
entwickelt, gegeben ist und es wird dessen Wirkung auf Teilchen der Ladung
q
bestimmt.
Es geht nun darum, die mittlere freie Weglänge dieser Teilchen zu berechnen. Diese setzt
sich gemäÿ
3v
λk =
8
1
Z
dµ
−1
(1 − µ2 )2
Dµµ (µ)
(7.1)
(Jokipii 1966; Hasselmann & Wibberenz 1968; Earl 1974) aus der Teilchengeschwindigkeit
v,
dem Kosinus des Anstellwinkels
µ = pk /p
und dem Diusionskoezienten
Dµµ (µ),
der aus der Fokker-Planck-Gleichung folgt, zusammen. Die Fokker-Planck-Gleichung ist
eine Diusionsgleichung, die die zeitliche Entwicklung einer über das Teilchenensemble
und die Gyrophase gemittelten Verteilungsfunktion beschreibt. Im Folgenden wird der
Beitrag der Fluktuationen des elektrischen Feldes vernachlässigt, da dieser im Vergleich
zum Magnetfeld sehr gering ist.
Geht man davon aus, dass das Plasma schon zu Beginn magnetisiert ist, d. h. bevor die
Teilchen mit den Feldern in Wechselwirkung treten, existiert bereits ein
B0 6= 0,
dann
vereinfacht sich das Problem mathematisch. Die Teilchenbewegung kann in einen Anteil
entlang des Magnetfeldes
B0
und einen dazu senkrechten Anteil aufgespalten werden.
Diese können dann getrennt behandelt werden (z. B. Schlickeiser (2002)). Im Gegensatz
dazu wird hier davon ausgegangen, dass das Plasma zu Beginn unmagnetisiert ist (B0
=
0). Die Bewegung der Teilchen ist daher beliebig in alle drei Raumdimensionen orientiert.
7.2.1 Berechnung des Diusionskoezienten
Verwendet man den Green-Kubo-Formalismus (Green 1951, Kubo 1957), auf den hier
nicht weiter eingegangen werden soll, so ergibt sich für den Diusionskoezienten:
Z
∞
ds hµ̇(0)µ̇∗ (s)i
Dµµ (µ) = <
(7.2)
0
Nun geht es darum,
µ = pk /p
aus der Lorentzkraft zu bestimmen. Es gilt:


vy δBz − vz δBy
dp
q
q

= v × B =  vz δBx − vx δBz 
dt
c
c
vx δBy − vy δBx
(7.3)
Das Magnetfeld setzt sich aus den uktuierenden Anteilen zusammen. Wählt man das
Koordinatensystem so, dass die parallele Richtung mit der
z -Achse
zusammenfällt, dann
ergibt sich
µ̇ =
62
ṗz
q
=
(px δBy − py δBx ) ,
p
mγcp
(7.4)
7.2 Berechnung der Streulänge
p = mγv
wobei die Relation
transformiert
µ̇ =
ausgenutzt wurde. Der Impuls wird in Zylinderkoordinaten
q p
1 − µ2 (cos φ δBy (x, t) − sin φ δBx (x, t)),
mγc
(7.5)
pk und senkrechte Beitrag p⊥ durch den Gesamtbetrag p ausgedrückt
wurden. Die Phase φ = φ0 ist konstant, da kein Hintergrundmagnetfeld B0 vorhanden ist.
wobei der parallele
Für den Diusionskoezienten erhält man also:
2 Z ∞
q
ds (1 − µ2 )
<
Dµµ (µ) =
mγc
0
× h(cos φ δBy (x, 0) − sin φ δBx (x, 0))(cos φ δBy∗ (x, s) − sin φ δBx∗ (x, s))i
(7.6)
Die Magnetfeldkomponenten werden in den Fourier-Raum transformiert, was zu
Z
δBx,y (x, t) =
d3 k δBx,y (k, t) eık·x(t)
(7.7)
führt. Verwendet man die quasilineare Näherung, so kann der Diusionskoezient analytisch weiter vereinfacht werden. Dazu wird der Ortsvektor
Bahn
x(t)
durch die ungestörte
p

x0 + vt 1 − µ2 cos φ
p


x0 (t) =  y0 + vt 1 − µ2 sin φ 
z0 + vtµ

(7.8)
ersetzt. Die uktuierenden Magnetfeldgröÿen sind dann durch
Z
δBx,y (x, t) =
3
d k δBx,y (k, t) e
ık·x(t)
Z
≈
d3 k δBx,y (k, t) eık·x0 (t)
(7.9)
gegeben. Es wird weiter angenommen, dass die Zeitabhängigkeit separiert werden kann
δBx,y (k, t) = δBx,y (k) e−ıωt ,
wobei die Frequenz
ω = −ıΓ
rein imaginär ist und die Gröÿen
(7.10)
δBx (k)
und
δBy (k)
reell
sind. Die Frequenz muss auf Grund von Konvergenzkriterien negativ gewählt werden. Die
Gröÿe
Γ
ist demnach positiv und entspricht einer Dämpfungsrate, die der Arbeit von
Chang et al. (2008) entnommen wird. Dort wird der Einuss einer Wellenzahl
k⊥
auf die
lineare Anwachs-/Dämpfungsrate untersucht. Der funktionale Zusammenhang ergab sich
dabei als
3
Γ = αk⊥
mit dem Koezienten
α = c3 /ωp2 .
In Anlehnung an diese Arbeit wird
die Dämpfungsrate zu
r
Γ = αr k⊥
(7.11)
63
7 Wechselwirkung zwischen Fluktuationen und Teilchen
verallgemeinert. Der Parameter
αr = c
r
r≥1
sei beliebig und der von
r
abhängige Vorfaktor sei
/ωpr−1 . Damit ergibt sich:
Z
δBx,y (x, t) =
d3 k δBx,y (k) eık·x0 (t)−Γ(k⊥ )t
(7.12)
Einsetzen in den Diusionskoezienten liefert:
2
Z ∞
Z
Z
q
0
2
3
Dµµ (µ) =
(1 − µ )<
ds
d k d3 k 0 eık·x0 (0)−ık ·x0 (s)−Γs
mγc
0
× h(cos φ δBy (k) − sin φ δBx (k))(cos φ δBy (k0 ) − sin φ δBx (k0 ))i
(7.13)
Gibt man die Komponenten des Wellenvektors in Zylinderkoordinaten an,
0
0
k0 = (k⊥
cos ψ, k⊥
sin ψ, kk0 ),
(7.14)
so ergibt sich:
2
Z ∞
Z
Z
q
0
2
3
(1 − µ )<
ds
d k d3 k 0 eı(k−k )·x0 (0)
Dµµ (µ) =
mγc
0
o
n
p
0
× exp −[ık⊥ 1 − µ2 v cos(ψ − φ) + ıkk0 µv + Γ]s
×h(cos φ δBy (k) − sin φ δBx (k))(cos φ δBy (k0 ) − sin φ δBx (k0 ))i
(7.15)
Nimmt man zusätzlich an, dass die Turbulenz homogen im Raum verteilt ist, so ist eine
Mittelung
(2π)
−3
Z
0
d3 x0 eı(k−k )·x0 = δ(k − k0 )
(7.16)
über die anfängliche Position der Teilchen sinnvoll. Damit erhält man
2
Z ∞ Z
q
2
(1 − µ )<
ds d3 k
Dµµ (µ) = (2π)
mγc
0
n
o
p
2
× exp −[ık⊥ 1 − µ v cos(ψ − φ) + ıkk µv + Γ]s
−3
×
hδBy2 (k)i cos2 φ + hδBx2 (k)i sin2 φ − 2hδBy (k)δBx (k)i sin φ cos φ
(7.17)
für den Diusionskoezienten. Je zwei Komponenten des uktuierenden Magnetfeldes
stehen über die Korrelationsfunktionen
Pαβ (k)
in Zusammenhang. Es gilt:
hδBα (k)δBβ (k)i = Pαβ (k)
64
(7.18)
7.2 Berechnung der Streulänge
Für den Fall, dass die Fluktuationen linear polarisiert sind und die Turbulenzgeometrie
zweidimensional ist, ergibt sich nach Shalchi & Schlickeiser (2004):
δ(kk )
Pαβ (k) = g(k⊥ )
k⊥
kα kβ
δαβ − 2
k
Für die weitere Rechnung muss auch die Funktion
g(k⊥ )
(7.19)
näher bestimmt werden. Frede-
riksen et al. (2004) haben mit Simulationen gefunden, dass die magnetischen Korrelationsfunktionen einem Potenzgesetz folgen, dabei ist der Spektralindex nah am Kolmogorov-
−5/3
−5/3. Wir nehmen daher ein Kolmogorovspektrum an und erhalten g(k⊥ ) = g0 k⊥
einen Bereich kmin ≤ k⊥ < ∞. Der Koezient g0 ist konstant und berechnet sich aus
wert
für
der Gesamtenergiedichte des Feldes. Damit ergibt sich:
Z
2
(δB) =
−2/3
d3 k (Pxx + Pyy + Pzz ) = 3π g0 kmin
(7.20)
Da der Anfangswinkel beliebig sein soll, wird über diesen gemittelt und aus Gl. (7.17)
erhält man:
−4
Dµµ (µ) = (2π) g0
q
mγc
2
2
∞
Z
(1 − µ )<
Z
∞
ds
0
−5/3
dk⊥ k⊥
Z
kmin
2π
Z
dψ
0
dφ
0
n
o
p
× cos2 (φ − ψ) exp −[ık⊥ 1 − µ2 v cos(ψ − φ) + Γ]s
Die Integrale über die Winkel
ψ
e
und
φ
ız sin φ
2π
(7.21)
werden mit der Identität der Besselfunktion
∞
X
=
Jn (z)eınφ
(7.22)
n=−∞
ausgewertet. Die nicht-verschwindenden Terme ergeben:
2
Z ∞
πg0
q
−5/3
2
Dµµ (µ) =
(1 − µ )
dk⊥ k⊥
(2π)3 mγc
kmin
Z ∞
p
h p
i
×
dse−Γs J0 k⊥ 1 − µ2 vs − J2 k⊥ 1 − µ2 vs
(7.23)
0
Das Integral über die Zeitvariable
s
wird mit Gl. (D.1) aus Anhang D berechnet. Der
Diusionskoezient ergibt sich demnach zu:
πg0 (1 − µ2 )
Dµµ (µ) =
(2π)3
q
mγc
2
hp
i2 
2
2
2
2
Γ + k⊥ (1 − µ )v − Γ 

1−


2
k⊥
(1 − µ2 )v 2
µ2 )v 2

Z
∞
×
kmin
dk⊥ p
Γ2 +
−5/3
k⊥
2
k⊥
(1 −
65
7 Wechselwirkung zwischen Fluktuationen und Teilchen
g0
=
(2π)2 v 2
Die Fälle
r=1
q
mγc
und
2 Z
r>1
"
∞
−11/3
dk⊥ k⊥ Γ(k⊥ )
kmin
Γ(k⊥ )
1− p
2
Γ2 + k⊥
(1 − µ2 )v 2
#
(7.24)
werden nun separat betrachtet.
7.2.2 Die lineare Dämpfungsrate
Im ersten Fall wird eine in
k⊥
lineare Dämpfungsrate betrachtet. Aus Gl. (7.24) ergibt
sich der Diusionskoezient
3g0 c
Dµµ (µ) =
5 (2π)2
q
pc
"
2
−5/3
1− p
kmin
#
1
(7.25)
1 + (1 − µ2 )v 2 /c2
und die daraus resultierende Streulänge:
λk =
3v
8
Z
1
2 2
dµ
−1
3

4c2
c  p2 /v
(1 − µ )
15π kmin
= 2
Dµµ (µ)
q (δB)2 
3
17
10
+
π
8
p2 v
für
vc
für
v≈c
(7.26)
Die Details der Rechnung können in Anh. D.2 nachgelesen werden. Die Geschwindigkeit
v
wird nun in Einheiten des Teilchenimpulses
die parallele mittlere freie Weglänge
x = p/me c
λk
p
geschrieben,
p
v = p/m 1 + (p/mc)2 ,
und
wird als Funktion der dimensionslosen Variable
berechnet. Um Verwechslungen mit den Komponenten des Ortsvektors zu
vermeiden, wird darauf hingewiesen, dass die Variable
x ab jetzt nicht mehr die Koordinate
bezeichnet. Damit erhält man:

p
5π kmin (me c ) 4 m/me x 1 + (x me /m)2
λk =
3 17 + π (m /m) x3 /p1 + (x m /m)2
q 2 (δB)2
e
e
10
8
3
2 2
für
vc
für
v≈c
(7.27)
7.2.3 Höhere Ordnungen
r
r > 1 werden Γ(k⊥ ) = αr k⊥
und x := k⊥ /kmin in Gl. (7.24) ersetzt. Auÿerdem
2 1/2
:= v(1 − µ ) /αr substituiert. Mit der Elektronen-Eindringtiefe
Für den Fall
wird
kcr−1
le =
66
c
= 5.31 · 105 n−1/2
e
ωp
cm
(7.28)
7.2 Berechnung der Streulänge
und der Teilchenanzahl der Elektronen
kcr−1
= β(1 −
µ2 )1/2 le1−r mit
g0 αr
Dµµ (µ) =
(2π)2
q
pc
2
β = v/c
r−(8/3)
ne = n/cm−3 ,
kann dieser Parameter auch als
geschrieben werden. Gl. (7.24) ergibt:
Z
"
∞
dx xr−(11/3) 1 − p
1 + (kc /xkmin )2(r−1)
kmin
1
Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, dass die Relation
t = xkmin /kc
Substituiert man
Integranden für kleine Zeiten
#
1
kc /kmin 1
(7.29)
immer erfüllt ist.
in Gl. (7.29), teilt das Integral und entwickelt den zweiten
t,
wobei
(1 + z)−1/2 ≈ 1 − z/2
verwendet wird, so erhält
man:
2
Z 1
tr−1
q
g0 αr
r−(8/3)
r−(11/3)
1− √
kc
dt t
≈
(2π)2 pc
1 + t2(r−1)
kmin /kc
Z ∞
1
dt t−r−(5/3)
+
2 1
Dµµ (µ)
kc /kmin 1 lässt
≈ 1 − z/2 für z 1 zu
In dem betrachteten Grenzfall
Näherung
−1/2
(1 + z)
g0 α r
Dµµ (µ) ≈
(2π)2
q
pc
2
kcr−(8/3)
3
+
2(3r + 2)
berechnen. Diese Näherung ist gut, solange
r
sich der Diusionskoezient mit der
Z
1
r−(11/3)
dt t
1. Fall
und
r = 8/3.
r−1
1−t
(7.31)
kmin /kc
nicht sehr nahe 1 ist. Für die Auswertung
der Gl. (7.31) werden nun vier weitere Spezialfälle diskutiert:
r = 11/6
(7.30)
1 < r < 8/3, r > 8/3,
Die letzten beiden sind in Anhang D.3 aufgeführt.
1 < r < 8/3 :
Für den Parameterbereich
1 < r < 8/3
kann der Diusionskoezient (7.31) als
g0 αr
Dµµ (µ) ≈
(2π)2
q
pc
2
r−(8/3)
kmin
(8/3) − r
(7.32)
genähert werden. Daher ergibt sich für die Streulänge:
λk
Die Abhängigkeit
2
2−r 24π 3 ((8/3) − r)kmin
v pc
=
5(δB)2 cler−1
q
2−r
3
2 2
24π (me c ) ((8/3) − r)kmin
me
x3
p
=
5(δB)2 e2 ler−1
m 1 + (x me /m)2
(7.33)
(7.34)
λk (x) entspricht dem Fall der linearen Dämpfungsrate für hochrelativis-
67
7 Wechselwirkung zwischen Fluktuationen und Teilchen
tische Teilchengeschwindigkeiten. Der Parameter
r
bestimmt nur den Betrag der Streu-
länge, nicht aber ihren Verlauf.
2. Fall
r > 8/3 :
Hier ergibt sich für Gl. (7.31)
3g0 αr
Dµµ (µ) ≈
(2π)2
mit
Hr =
Setzt man
g0
und
kc
q
pc
2
kcr−(8/3) Hr
(7.35)
1
1
1
−
+
3r − 8 6r − 11 2(3r + 2)
(7.36)
ein, dann ergibt sich für den Fokker-Planck-Koezienten:
(δB)2 αr 2/3
Dµµ (µ) =
kmin Hr
4π 3
q
pc
2 (1 − µ2 )1/2 v
αr
(r−(8/3))/(r−1)
(7.37)
Mit Gl. (D.2) ergibt sich daraus für die mittlere freie Weglänge
λk =
mit
Br = B
3π 3 Br
2/3
2(δB)2 kmin Hr
pc
q
2 v
αr
5/(3(r−1))
(7.38)
1 5 3r−2
,
, wobei
2 6 r−1
net. Mit der Einführung der
B(y, z) = Γ(y)Γ(z)/Γ(y + z) die Beta-Funktion bezeichdimensionslosen Variable x = p/me c lässt sich die parallele
mittlere freie Weglänge zu
λk =
m 5/(3(r−1))
(me c2 )2
x(6r−1)/(3(r−1))
3π 3 Br
e
2/3 5/3
2 Hr (δB)2 e2 kmin
m
[1 + (x me /m)2 ]5/(6(r−1))
le
berechnen. Im Gegensatz zum Fall zuvor bestimmt hier der Parameter
r
(7.39)
das funktionale
Verhalten der Streulänge.
Diese Ergebnisse werden nun auf thermische und hochrelativistische Teilchen angewendet und für die Fälle
r=1
und
r=3
ausführlich diskutiert.
7.3 Anwendungen
In diesem Abschnitt werden zwei mögliche Anwendungen der Theorie diskutiert. Das erste
Beispiel betrachtet Elektronen und Protonen des interstellaren Mediums (ISM), welche
68
7.3 Anwendungen
typischerweise nichtrelativistische Geschwindigkeiten haben. In dem zweiten Beispiel werden hochrelativistische Jet-Teilchen eines aktiven galaktischen Kerns (AGN) diskutiert.
Die anisotropen, geladenen Teilchenströme entstehen zum Beispiel durch den Pick-upProzess (Pohl & Schlickeiser (2000); Schlickeiser et al. (2002); Schlickeiser (2003); Gerbig
& Schlickeiser (2007)). Die einzelnen Plasmateilchen werden durch die Filamentierungsinstabilität gestreut. Es soll überprüft werden, ob die mittlere freie Weglänge dieser Teilchen
verglichen mit der Gröÿe der eben erwähnten Systeme klein ist.
Doch zunächst wird noch das Verhältnis
1/(r−1) 1
kc
= β(1 − µ2 )1/2
kmin
le kmin
für
r>1
(7.40)
diskutiert, um die Annahme in Gl. (7.30) zu rechtfertigen. Wird die minimale
Wellenzahl durch die Systemgröÿe
L
abgeschätzt,
kmin = 2π/L,
so erhält man:
1/(r−1)
kc
L n1/2
= 3.00 · 10−7 β (1 − µ2 )1/2
e
kmin
(7.41)
Die Temperatur der Teilchen des koronalen interstellaren Mediums beträgt ungefähr
6
10
K und die Teilchenanzahldichte ist typischerweise
n = 10
−3
cm
−3
T =
(Spangler (1999)).
Daraus ergibt sich eine thermische Geschwindigkeit
r
ve =
mit
T6 = T /106
kB T
1/2
= 3.9 · 108 T6
me
K. Setzt man die Systemgröÿe mit
cm/s
L=1
pc
(7.42)
= 3.086 · 1018
cm an, dann
ergibt das Verhältnis der Wellenzahlen in Gl. (7.41):
1/(r−1)
kc
= 2.93 · 1010 β(1 − µ2 )1/2
kmin
(7.43)
Sogenannte Blobs eines aktiven galaktischen Kerns haben typischerweise eine Teilchenanzahldichte von
n = 108
cm
−3
. Da die Ausdehnung des zentralen schwarzen Lochs von
der Gröÿenordnung einiger Lichtminuten ist, wird die Systemgröÿe mit
L = 1015
cm
abgeschätzt. Das führt zu:
1/(r−1)
kc
= 3.00 · 1012 β(1 − µ2 )1/2
kmin
(7.44)
Die Teilchen werden mit hochrelativistischen Geschwindigkeiten emittiert, sodass
Auÿer für den Fall, dass
|µ|
sehr nahe 1 ist, ist das Verhältnis
spielen sehr groÿ. Streuwinkel mit
|µ| ≈ 1
kc /kmin
β ≈ 1.
in beiden Bei-
liefern einen verschwindend geringen Beitrag
69
7 Wechselwirkung zwischen Fluktuationen und Teilchen
zum Integral, da
Z
1
λk ∝
dµ
−1
und der Diusionskoezient für
(1 − µ2 )2
Dµµ
(7.45)
µ≈1
g0
Dµµ (µ ≈ 1) ≈
(2π)2 v 2
q
mγc
2
v2
(1 − µ2 )
2
Z
−11/3
∞
k
2
dk⊥ ⊥
k⊥
Γ(k
)
⊥
kmin
(7.46)
ist.
Es wird angenommen, dass das Ergebnis der beiden Beispiele verallgemeinert werden
kann, sodass
kc /kmin 1
immer erfüllt ist.
7.3.1 Thermische Teilchen
Im Fall der nichtrelativistischen Teilchen mit thermischer Geschwindigkeitsverteilung wird
angenommen, dass die magnetische Energiedichte vergleichbar mit der thermischen Energiedichte ist, d. h.
(δB)2
≈ nkB T
8π
(7.47)
Die dimensionslose Temperatur ist durch
θ=
kB T
me c2
(7.48)
deniert. Als einfachste Annahme setzen wir ein Gleichgewicht zwischen der kinetischen
Energie der Teilchen und der thermischen Energie voraus und erhalten
Im Fall der linearen Dämpfungsrate (r
= 1)
x=
p
2θm/me .
ergibt sich
λk
8.18 · 10−20
≈
L
n−3 L21
m
me
3/2
θ−1/2
(7.49)
für Elektronen (m
n/10−3 cm−3 und
für 1 < r < 8/3
= me ) bzw. Protonen (m = mp ), wobei die Abkürzungen n−3 =
L1 = L/1 pc verwendet wurden. Im Grenzfall kc /kmin 1 ergibt sich
λk
12π 4 me c2 23/2 ((8/3) − r)
≈
L
5e2 (2π)r L3−r ler−1 n
und für
m
me
1/2
θ1/2
(7.50)
r > 8/3
λk
3π 4/3 me c2 Br −(22r−27)/(6(r−1))
≈
2
5/3
L
e2 le L1/3 n Hr
70
m
me
(6r−11)/(6(r−1))
θ5/(6(r−1))
(7.51)
7.3 Anwendungen
Dies soll beispielhaft am Fall
r=3
diskutiert werden. Hier ergibt sich für das Verhältnis
von Streulänge und Systemgröÿe:
λk
3.84 · 10−3
≈ 1/6 1/3
L
n−3 L1
m
me
7/12
θ5/12
(7.52)
λk /L für thermische Teilchen im Grenzkc /kmin 1 als Funktion der dimensionslosen Temperatur θ. Die durchgezogenen Geraden gehö-
Abb. 7.1: Doppeltlogarithmische Auftragung des Quotienten
fall
ren zu den Elektronen und die gestrichelten zu den Protonen. Die unteren beiden Geraden entsprechen
einer linearen Dämpfungsrate und die oberen beiden entsprechen
3.
Γ(k⊥ ) ∝ k⊥
λk /L doppeltlogarithmisch gegen die dimensionslose Tem−6
peratur θ für die Werte 10
< θ < 10−2 aufgetragen. Dieses Intervall entspricht dem
physikalisch interessanten Temperaturbereich. Es werden das lineare (r = 1) und das kubische Modell (r = 3) Modell jeweils für Protonen und Elektronen miteinander verglichen.
In allen vier Fällen ist die mittlere freie Weglänge λk klein gegen die Systemgröÿe L:
In Abb. 7.1 ist der Quotient
λk
1
L
(7.53)
Die thermischen Teilchen werden somit innerhalb des Systems gestreut und können die
aperiodischen Fluktuationen verstärken.
7.3.2 Hochrelativistische Teilchen
Im Fall von Teilchen mit hochrelativistischen Geschwindigkeiten ist die kinetische Energie
durch
EKIN ≈ γmc2
gegeben. In der Arbeit von Chang et al. (2008) wurden Simulationen
δB ungefähr 10%
= 0.1γmc2 . Für r = 1
durchgeführt, die ergaben, dass die Energie der Magnetfelduktuationen
der kinetischen Energie beträgt, d. h.
EB = (δB)2 /8πn ≈ 0.1EKIN
71
7 Wechselwirkung zwischen Fluktuationen und Teilchen
ergibt sich dann
λk
8.65 · 10−23 m
≈
γ
L
n8 L215 me
(7.54)
für Elektronen (m
n8 = n/108
cm
−3
Parameterbereich
und für
= me ) bzw. Protonen (m = mp ) mit den verwendeten Abkürzungen
15
und L15 = L/10
cm. Im Grenzfall kc /kmin 1 ergibt sich für den
1 < r < 8/3
λk
24π 4 me c2 ((8/3) − r) m
≈
γ
L
e2 (2π)r ler−1 L3−r n me
(7.55)
λk
15π 4/3 me c2
Br m
≈
γ
5/3
L
8 · 22/3 e2 nL1/3 le Hr me
(7.56)
r > 8/3
Die Streulänge weist für alle
Für
r=3
ergibt sich:
r
eine lineare Abhängigkeit vom Lorentzfaktor
γ
auf.
λk
3.08 · 10−3 m
≈ 1/6 1/3
γ
L
n8 L15 me
(7.57)
λk /L für Elektronen (durchgezogene
kc /kmin 1 als Funktion des Lorentzfaktors
Dämpfungsrate, die oberen gehören zu Γ(k⊥ ) =
Abb. 7.2: Doppeltlogarithmische Auftragung des Quotienten
Linien) und Protonen (gestrichelte Linien) im Grenzfall
γ . Die
3.
αk⊥
unteren Linien beziehen sich auf die lineare
Im Fall relativistischer Teilchen ist das Ergebnis anders (s. Abb. 7.2). Für die lineare
Dämpfungsrate ist die Streulänge immer klein gegen die Systemgröÿe. Die Annahme einer
kubischen Dämpfungsrate führt allerdings dazu, dass die Protonen nicht innerhalb des Jets
mit den Feldern wechselwirken. Die aperiodischen Fluktuationen werden nicht verstärkt,
sodass sich keine Instabilität ausbilden wird. Die Elektronen werden nur dann gestreut,
ist. Dazu wurde angenommen, dass die Streulänge
72
λk
kleiner als
1/6
1/3
γ < 32 n8 L15 erfüllt
10% der Systemgröÿe L
wenn sie eine geringe Geschwindigkeit haben und zwar dann, wenn
7.3 Anwendungen
sein muss.
Die Isotropisierung hadronischer und leptonischer Teilchen mit relativistischen Geschwindigkeiten ist in den in Abschn. 7.3 beispielhaft genannten Systemen stark durch
die Dämpfungseigenschaften der aperiodischen Fluktuationen bestimmt.
73
7 Wechselwirkung zwischen Fluktuationen und Teilchen
74
8 Zusammenfassung und Ausblick
Die zentrale Problemstellung der Arbeit ist die Weiterentwicklung der Theorie der Plasmainstabilitäten vom Typ der Weibel-Instabilität. Die Magnetfelderzeugung aus der Teilchendynamik unter dem Einuss der Lorentzkraft wurde unter zwei Aspekten behandelt:
Zum einen wurde der Einuss eines vorhandenen Saatmagnetfeldes auf die Magnetfeldverstärkung untersucht und der Vergleich zwischen Analytik und PIC-Simulationen gezogen
(Ia). Auÿerdem wurde der Einuss einer endlichen Temperatur auf die Gleichgewichtsverteilung der Teilchen mit und ohne Anisotropie untersucht und der Grundstein für eine
Untersuchung dieses Aspektes mit PIC-Simulationen gelegt (Ib). Schlieÿlich wurde die
Rückwirkung der erzeugten Turbulenz auf die Teilchen analytisch behandelt (II).
In Kap. 2 wurde das Prinzip der Verstärkung detailliert erläutert. Magnetfelduktuationen lenken geladene Plasmateilchen ab, wodurch sich diese in Stromlamenten anhäufen.
Die entstehenden Ströme induzieren wiederum ein zylinderförmiges Magnetfeld, das die
anfänglichen Magnetfelduktuationen lokal verstärkt. Dies geschieht während der linearen
Phase. Nachdem der Sättigungsprozess, der auf einer Wechselwirkung zwischen dem elektrischen Feld und dem magnetischen Druckgradienten beruht, eingesetzt hat, beginnt die
nichtlineare Phase, in der die Stromlamente aufgrund der Biot-Savart-Wechselwirkung
verschmelzen: Stromlamente mit gleicher Strömungsrichtung ziehen sich an, wohingegen
sich entgegengesetzt gerichtete abstoÿen. So entwickelt sich das Magnetfeld zu groÿen
Skalen.
Voraussetzung für diesen Prozess ist, dass das Plasma eine Anisotropie aufweist. Hier
wurde auf zwei Formen der Anisotropie eingegangen: Die Filamentierungsinstabilität (FI)
beschreibt die Wechselwirkung zweier Teilchenströme, die sich in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten. Die Weibel-Instabilität (WI) entsteht in Plasmen mit Temperaturanisotropie. Da die Lorentzkraft proportional zur Teilchengeschwindigkeit ist, werden die
Teilchen im Fall der FI senkrecht zu den Strömen abgelenkt, bzw. dominiert die Ablenkung senkrecht zur Orientierung des Freiheitsgrades mit der höheren Temperatur im Fall
der WI.
Der in der Motivation unter I. genannte Punkt, die Magnetfelderzeugung als Folge der
Teilchendynamik, berücksichtigte gröÿtenteils nur die Elektronendynamik. Dieses Vorgehen ist in sofern gerechtfertigt, als dass sich die Simulationen auf Zeitskalen erstreckten,
75
8 Zusammenfassung und Ausblick
in denen der Einuss der Ionen vernachlässigt werden kann, da er erst nach der Sättigung
der Instabilität eine Rolle spielt (Califano et al. (2002)). Eine Einbeziehung der Ionen
würde wesentlich mehr Rechenzeit erfordern, da die Zeitskalen, auf denen das Verschmelzen der Filamente in der nichtlinearen Phase stattndet, vergröÿert werden (Honda et al.
(2000)). Auÿerdem wäre eine gröÿere Simulationsbox nötig, damit die verschmelzenden
Filamente aufgelöst werden können, was wiederum mehr Rechenzeit bedeutet. Dennoch
ist der Einuss der Ionen auf die Anwachsrate der Instabilität nicht zu vernachlässigen
und soll in Zukunft untersucht werden.
Zunächst wurde in dieser Arbeit die FI in kalten Plasmen behandelt. Im Gegensatz zur
WI existiert die FI auch in Plasmen mit Temperatur Null. Im analytischen Teil (Kap. 3)
wurden die Ergebnisse früherer Arbeiten, die für den folgenden numerischen Teil relevant
waren, zusammengefasst. Dabei wurde die Temperatur zur Vereinfachung zu Null gesetzt
und die lineare Phase der Instabilität mathematisch beschrieben. Für zwei Gegenströme
mit gleichen Geschwindigkeiten und Teilchenanzahldichten wurde die Dispersionsrelation
der Wellenfunktion unter dem Einuss der Lorentzkraft betrachtet. Es zeigte sich, dass
6= 0) eine untere Grenze kmin für die Wellenzahl existiert. Oberhalb eines kritischen Wertes B0 = Bc wird die Instabilität unterdrückt,
bei einem endlichen Anfangsmagnetfeld (B0
da die Teilchen in der Ebene senkrecht zu den Strömen aufgrund der Gyration stark in
ihrer Bewegungsfreiheit eingeschränkt sind. Dieser Wert ist abhängig von der Strömungsgeschwindigkeit
U,
der Elektronenmasse
me
Bc =
Die Anwachsrate
σmax =
q
ωp2 U 2
γc2
σ(k⊥ )
und der Plasmafrequenz
ωp :
me U ωp
e γ 1/2
konvergiert für groÿe Wellenzahlen
k⊥
gegen einen Maximalwert
− Ω2 .
In den PIC-Simulationen (Kap. 4) war es nicht möglich, ebenfalls eine Temperatur
T = 0 zu wählen, da die Zellengröÿe durch die Temperatur bestimmt ist. Allerdings wurde
die thermische Geschwindigkeit klein im Vergleich zur Strömungsgeschwindigkeit gewählt,
sodass Temperatureekte vernachlässigbar klein waren. In den PIC-Simulationen werden
die Maxwellgleichungen und die Bewegungsgleichungen der Teilchen unter dem Einuss
der Lorentzkraft zu jedem Simulationsschritt ausgewertet, woraus sich die zeitliche Entwicklung der elektromagnetischen Felder und die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen
ergeben. Es wurden insgesamt fünf Simulationen mit unterschiedlichen Anfangsmagnetfeldstärken
B0 ∈ [0, Bc ]
durchgeführt (Ia). Die zweidimensionale Simulationsbox wurde
senkrecht zu den Strömen gewählt, womit Eekte der Zwei-Strom-Instabilität oder
oblique
modes ausgeschlossen wurden. So konnte der Beitrag der FI herausgeltert werden.
Die Auswertung der Energiedichten zeigte, dass die Verstärkung des Magnetfeldes um
76
zwei Gröÿenordnungen höher war als die des elektrischen Feldes. Auÿerdem war die lineare
Phase gut von der nichtlinearen zu unterscheiden. Im Fall des kritischen Feldstärkewerts
Bc
war ein grundsätzlich anderes Verhalten zu sehen, dennoch wurde das Magnetfeld
entgegen der theoretischen Vorhersage verstärkt, was auf einen nichtlinearen Eekt zurückzuführen ist. Hier wäre es interessant zu sehen, ob Magnetfelder
B0 > Bc
das gleiche
Verhalten zeigen. Aufgrund des gleichen Gesamtstroms in allen Simulationen sättigten
die Kurven unabhängig von der Anfangsmagnetfeldstärke auf dem gleichen Niveau.
Zur Untersuchung der linearen Phase wurde eine Fouriertransformation auf die Felddaten angewendet und die Leistungsspektren in Abhängigkeit der Wellenzahl
Zeit erstellt. Hier zeigte sich, dass die Wellenzahl durch einen Wert
Die theoretisch vorhergesagte minimale Wellenzahl
kmin
kmax
k⊥
und der
begrenzt ist.
konnte in den Simulationen nicht
nachgewiesen werden, da die Auösung zu gering war. Entsprechend der Theorie nahm
die Anwachsrate mit anwachsender Anfangsmagnetfeldstärke
die maximale Anwachsrate
σmax
eine Abweichung von
10%
B0
ab und es ergab sich für
zwischen Analytik und Simu-
lationen. Sie ist wahrscheinlich durch die Mittelung der Wellenzahlen über die gesamte
Simulationsbox zu erklären.
Während der nichtlinearen Phase war das Verhalten der Felder für alle
B0
sehr ähnlich.
Die parallele Magnetfeldkomponente, die entsprechend der Theorie nicht verstärkt werden
sollte, wurde auch im Vergleich zur senkrechten Komponente wenig verstärkt. Dass sie
überhaupt verstärkt wird, ist wahrscheinlich ein Temperatureekt. Das Ausbilden der
k ∝ t−α
für B0 = 0
Magnetfeldstrukturen zu groÿen Skalen war an dem Verhalten
Leistungsspektren ersichtlich. Für
tωp = 80
wurden die Felder
ergaben einen deutlichen Zusammenhang zwischen
B⊥
und
mit
α > 0
der
untersucht und
E⊥ , der erst in Kap. 6 genauer
untersucht wurde.
In Kap. 5 wurde der Temperatureinuss auf die Instabilität (Ib) zunächst analytisch
diskutiert. Dazu wurden FI und WI separat untersucht und die Unterschiede herausgestellt. Die FI wird durch Gegenströme angetrieben und ist umso ezienter, je kleiner
die thermische Verbreiterung ist. Die WI wächst umso schneller, je gröÿer die Anisotropie
A = (vthk /vth⊥ )2 −1 ist. Sobald die Temperatur von Null verschieden ist, ist das Spektrum
der instabilen Wellenzahlen durch ein kmax nach oben beschränkt.
Die physikalisch realistischere Situation, in der sowohl eine Temperaturanisotropie
als auch eine Strömungsgeschwindigkeit
v0 6= 0
A 6= 0
vorhanden ist, kann zu einer Verstärkung
oder Abschwächung der Anwachsrate führen. Dabei kommt es auf die Kombination der
Wellenvektoren der FI und der WI an. Sind sie parallel, was der Fall ist, wenn die Ströme
mit der Orientierung des Freiheitsgrades der höheren Temperatur zusammenfallen, dann
vergröÿert sich die Anwachsrate; stehen sie senkrecht zueinander, dann ist die Anwachsrate reduziert.
77
8 Zusammenfassung und Ausblick
Auÿerdem wurden auch schwach relativistische Eekte berücksichtigt, die zu einer Reduzierung der Anwachsrate führen, da diese proportional zu
Plasma-Dispersionfunktion
Z(ζ)
γ −1/2
ist. Das Auftreten der
erforderte Grenzwertbetrachtungen, da die Gleichungen
nicht mehr analytisch gelöst werden konnten. Diese implizierten, dass die Dispersionsrelationen für hohe Anisotropien (A
der Dispersionsrelation der FI für
Begrenzung durch
kmax
1) trotz Einbeziehung einer endlichen Temperatur
T = 0 glichen, wohingegen im Fall −1 < A < 0 die
erhalten blieb.
Die Untersuchung der Kombination beider Instabilitäten mit Simulationen, ist im Rahmen dieser Arbeit noch nicht geleistet worden. In Kap. 6 wurde mit der Simulation der
reinen WI zunächst die Grundlage für eine solche Analyse gebildet.
Im Gegensatz zu Kap. 4 ist die Strömungsgeschwindigkeit im Mittel Null, dafür wurde die thermische Verbreiterung in paralleler Richtung gröÿer gewählt als in senkrechter
Richtung. Auch das Anfangsmagnetfeld wurde zu Null gewählt, da hier nicht der Einuss
eines Saatmagnetfeldes untersucht werden sollte. Die thermischen Geschwindigkeiten wurden so gewählt, dass die Anisotropie
A = 99
ist, damit die Anwachsrate hinreichend groÿ
wurde.
Es wurden zwei Simulationen vorgenommen: Zuerst wurde eine zweidimensionale Simulationsbox (in der
einschloss. Durch
x-y -Ebene) gewählt, die sowohl eine heiÿe als auch eine kühle Richtung
diese Wahl wurde nur die Komponente Bz des Magnetfeldes verstärkt,
die ein zur FI analoges Wachstumsverhalten aufwies: Nach einem exponentiellen Anwachsen während der linearen Phase, sättigt die Komponente, wodurch die Instabilität in
die nichtlineare Phase übergeht. Die Phasenraumdichte der Elektronen entwickelte sich
aus einer homogenen Verteilung in eine Zick-Zack-Verteilung. Durch Integration über die
Geschwindigkeit wurde der Strom
Jx (y)
berechnet. Er folgte dem Verlauf der Phasen-
raumdichte und ist für die Erzeugung des Magnetfeldes verantwortlich.
In der anschlieÿenden eindimensionalen Simulation der kühleren Richtung wurde die
Teilchenanzahl erhöht, um eine verbesserte Auösung zu erhalten und den Sättigungsprozess quantitativ bewerten zu können. Durch das Anwachsen des Magnetfeldes entsteht
innerhalb der senkrechten Ebene ein magnetischer Druckgradient
∇Pb
mit
Pb = B 2 /8π ,
der wiederum ein elektrisches Feld induziert. Aus dem Gleichgewicht der Kraftdichten
q n E⊥ =
B⊥
∂⊥ B⊥
4π
ergibt sich, dass die Anwachsrate der Energiedichte des elektrischen Feldes doppelt so
groÿ ist, wie die des Magnetfeldes. Im Gegensatz zur 2D-Simulation konnte dieser Zusammenhang in der 1D-Simulation und in der Simulation der FI in Kap. 4 bestätigt werden.
Die Komponente
78
Ex ,
die in der 1D-Simulation allein durch das Ampèresche Gesetz
erzeugt wird, erreichte in der 2D-Simulation eine gröÿere Amplitude. Eine sekundäre
Instabilität, möglicherweise die Würstchen-Instabilität (
sausage instability),
transferiert
Energie von der kalten in die heiÿe Richtung, sodass sich die elektrische Feldkomponente
vergröÿert.
Ein direkter Vergleich des magnetischen Druckgradienten mit der senkrechten elektrischen Feldkomponente
Ey
der eindimensionalen Simulation bestätigte den oben angege-
benen formelmäÿigen Zusammenhang. Auÿerdem zeigte sich, dass die Knickstellen der
Zick-Zack-förmigen Phasenraumdichte mit den Nullstellen von
Ey
und
Bz
zusammenfal-
len. Die Anhäufung der Elektronen wird darauf zurückgeführt, dass dort das elektrische
Driftfeld, das proportional zu
genüber
Ey ,
Bz
und der Teilchengeschwindigkeit in
x-Richtung
ist, ge-
das für den Ladungsausgleich sorgt, überwiegt.
Die Skalengröÿe des Magnetfeldes lieÿ sich in dieser Simulationsanordnung nicht abschätzen, da dazu eine zweidimensionale Auösung der senkrechten Ebene notwendig ist.
Um die Amplitude des erzeugten Magnetfeldes quantitativ bestimmen zu können, ist sogar
eine 3D-Simulation notwendig. Die Simulation einer kühlen und zweier heiÿer Richtungen
von Romanov et al. (2004) zeigte, dass die Magnetfeldstärke in drei Dimensionen nach
der Sättigung wieder etwas reduziert wird.
Im zweiten Teil wurde die Rückwirkung der erzeugten Turbulenz auf die Teilchen analytisch diskutiert (II). Dabei wurde angenommen, dass das Magnetfeld im Mittel Null
ist. Die durch die Anisotropie erzeugte Turbulenz isotropisiert die Teilchen, sodass keine
Vorzugsrichtung existiert und sie unter beliebigen Winkeln mit dem Magnetfeld wechselwirken. Damit die Fluktuationen weiter verstärkt werden können, muss die Wechselwirkung zwischen Teilchen und Feld auf kleinen Skalen stattnden. Dazu wurde die parallele
mittlere freie Weglänge
3v
λk =
8
berechnet und mit der Systemgröÿe
Z
1
dµ
−1
(1 − µ2 )2
Dµµ
L verglichen. Diese Aspekt ist auch für die Diskussion
über die Ausbildung von Stoÿwellen interessant. Durch den Beitrag des Magnetfeldes
sorgt die erzeugte Turbulenz einerseits für eine Isotropisierung der Teilchen, andererseits
beschleunigt bzw. bremst das elektrische Feld die Teilchen, sodass sie aufgestaut werden
und der Abtransport in Strömungsrichtung verlangsamt wird.
Hier wurde der Beitrag der Fluktuationen des elektrischen Feldes allerdings vernachlässigt und nur der Aspekt der Isotropisierung berücksichtigt. Für die Berechnung der Dämpfungsrate musste zunächst der Diusionskoezient
Dµµ
berechnet werden, der abhängig
von der Dämpfungsrate der anisotropen Fluktuationen ist. Basierend auf der Arbeit von
r
Γ(k⊥ ) = αr k⊥
mit r > 1 angenommen. Es wurde
Teilchenimpuls x = p/me c in Fallunterscheidungen für
Chang et al. (2008) wurde diese als
die Abhängigkeit vom normierten
79
8 Zusammenfassung und Ausblick
den Parameter
r
diskutiert und für die Fälle
r = 1
und
r = 3
anhand von Beispielen
ausführlicher diskutiert.
Im Fall thermischer Teilchen wurde der normierte Teilchenimpuls zu
umgeschrieben und durch die normierte Temperatur
abhängig von
r.
θ
x=
p
2θm/me
ausgedrückt. Das Verhalten ist
Beispielhaft seien hier
λk
∝ θ−1/2
L
(r = 1)
und
λk
∝ θ5/12
L
(r = 3)
genannt. Über den physikalisch interessanten Temperaturbereich ist die Streulänge
λk
sehr klein gegen die Systemgröÿe. Anders war es im Fall hochrelativistischer Teilchen, wo
x=γ
verwendet wurde und sich die Abhängigkeit
λk
∝γ
L
für alle
r>1
ergab. Aus der Diskussion der linearen Dämpfungsrate (r
= 1)
folgte, dass
die Streulänge ebenso wie im Fall thermischer Teilchen immer klein gegen eins ist. Im Fall
der kubischen Dämpfungsrate (r
= 3)
ist diese Bedingung für die gewählten Plasmapara-
meter für Protonen niemals erfüllt und für Elektronen nur für kleine Geschwindigkeiten.
n = 108 cm−3 und einer Systemgröÿe L = 1015 cm ergibt
λk /L 1, dass γ < 32 sein muss. Die Dämpfungseigenschaften
Bei einer Teilchenanzahldichte
sich aus der Bedingung
bestimmen also darüber, ob sich eine Instabilität ausbilden wird.
In den jeweiligen Kapiteln wurden mögliche Anwendungen zur Theorie genannt: Die
Strömungsgeschwindigkeiten der Simulation der FI ndet man z. B. in Mikroquasaren
oder Typ-III-Ausbrüchen der Sonne. Die Temperaturanisotropie, die durch die BunemanInstabilität erzeugt wird, ist in der terrestrischen Vorstoÿwelle präsent und wurde auf die
Vorstoÿwelle eines Supernova-Überrestes übertragen. Die Ergebnisse der Berechnung der
Streulänge in aperiodischen Fluktuationen wurden allgemein für Teilchenverteilungen mit
thermischen und hochrelativistischen Geschwindigkeiten diskutiert.
Die wichtigsten Ergebnisse seien noch einmal kurz zusammengefasst: Der Vergleich der
Analytik und der Simulationen von aperiodischen Fluktuationen in einem Saatmagnetfeld
(B0
6= 0) ergab, dass die Aussagen der Analytik auch für eine Temperatur T > 0 während
der linearen Phase zutreend sind. Allerdings machen zusätzliche Prozesse während der
nichtlinearen Phase numerische Simulationen notwendig, sodass sich beide Methoden gut
ergänzen.
Die Einbeziehung einer endlichen Temperatur wirkt sich zum einen auf die Dispersionsrelation aus, indem die Wellenzahl nach oben begrenzt wird, zeigt aber ein prinzipiell ähnliches Verhalten. Der wesentlich gröÿere Einuss, der sich in den Simulationen bemerkbar
80
macht, ist die Verstärkung der anderen Feldkomponenten, sodass eine 3D-Simulation hier
sehr sinnvoll wäre. Dieser Eekt ist umso stärker, je gröÿer die Temperatur gewählt wird.
Die Diskussion der Rückwirkung der erzeugten Turbulenz auf die Teilchen zeigte, dass
die Streulänge stark von der Modellannahme abhängt. Daher wäre ein Vergleich mit Messdaten wünschenswert.
81
8 Zusammenfassung und Ausblick
82
A Wahl des Einheitensystems
Obwohl das SI-System als Standard-Einheitensystem in der Physik bestimmt wurde, werden in der theoretischen Astrophysik häug CGS-Einheiten verwendet. Da sich die Wahl
des Einheitensystems häug nach dem Magazin richtet, in dem man Artikel veröentlichen möchte, wurden die zugrundeliegenden Veröentlichungen teilweise in SI- und auch
in CGS-Einheiten verfasst. Hier el die Wahl auf das CGS-Einheitensystem, da die analytischen Arbeiten in CGS-Einheiten verfasst wurden. Die Arbeiten zu PIC-Simulationen
wurden zwar in SI-Einheiten formuliert, zum gröÿten Teil wurden aber normierte Einheiten verwendet. Die Abbildungen, in denen keine normierten Einheiten verwendet wurden,
wurden neu erstellt, um ein einheitliches System zu verwenden. An dieser Stelle wird kurz
auf den Unterschied und die Umrechnung zwischen beiden Systemen eingegangen.
Die Systeme unterscheiden sich nur in Skalierungskonstanten, da die Physik dieselbe
bleiben muss. Die Wahl der Konstanten
k1 , k2
und
k3
in den Maxwellgleichungen
∇ · E(r, t) = k1 ρ(r, t)
(A.1)
∇ · B(r, t) = 0
(A.2)
∂B(r, t)
∂t
k2 ∂E(r, t)
∇ × B(r, t) = k2 j(r, t) +
k1
∂t
∇ × E(r, t) = −k3
(A.4)
k3 = 1 gewählt.
Beim CGS-System werden die Konstanten so gewählt, dass das Magnetfeld B und das
elektrische Feld E die gleiche Einheit (G=Gauss) haben. Dann sind k1 = 4π , k2 = 4π/c
und k3 = 1/c.
legt das System fest. Für das SI-System wird
k1 = 1/0 , k2 = µ0
(A.3)
und
Die Transformationen zwischen den Einheitensystem sind durch
√
1
4π0 E[V/m] = · 10−4 E[V/m]
3
p
B̃[G] = 4π/µ0 B[T] = 104 B[T]
√
ρ̃[statC/cm3 ] = ρ[C/m3 ]/ 4π0 = 3 · 103 ρ[C/m3 ]
p
j̃[statA/cm2 ] = j[A/m2 ]/ 4π/µ0 = 3 · 105 j[A/m2 ]
Ẽ[G] =
(A.5)
(A.6)
(A.7)
(A.8)
83
A Wahl des Einheitensystems
gegeben. Dabei sind die Gröÿen im CGS-System durch Tilden markiert. Anhand von Gl.
(A.6) wird die Umrechnung und das Entstehen der Zahlenfaktoren einmal vorgerechnet.
Ausgehend von
p
4π/µ0 B[T]
B̃[G] =
wird die Permeabilitätszahl
µ0 = 4π · 10−7
(A.9)
H/m durch die Basis-SI-Einheiten ausgedrückt
B̃[G] = 107/2
C
1/2 1/2
kg
m
B[T]
(A.10)
Fügt man künstlich den Faktor G/T (Gauss/Tesla) ein
B̃[G] = 10
C
7/2
kg
1/2
m1/2
G
g1/2 /cm1/2 s
kg/sC
T
B[T]
(A.11)
und kürzt die Einheiten, so ergibt sich
B̃[G] = 104
84
G
T
B[T]
(A.12)
B Schwach relativistische Rechnung
Es werden die verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten von FI und WI ausführlicher als
in Kap. 5 für schwach relativistische Geschwindigkeiten diskutiert und mit den Ergebnissen der nichtrelativistischen Rechnung von Lazar et al. (2009) verglichen. Es wird jeweils
die Gleichgewichtsverteilungsfunktion
f0 (p)
aufgeführt, die in die zu Gl. (5.4) analoge
relativistische Form der Dielektrizitätskonstante
2
X ωp,a
k 2 c2
= ij = δij +
ω2
ω2
a
Z
pi ∂fa,0
dp
+
γ ∂pj
3
Z
1
dp
ma γω − k · p
3
∂fa,0 pi pj
k·
∂p
γ
(B.1)
eingesetzt wird. Letztere wird sowohl in ihrer nichtrelativistischen als auch in der schwach
relativistischen Form angegeben und die Dispersionsrelation wird numerisch diskutiert.
Es werden zwei symmetrische Gegenströme (vl
= vr = v0 ) mit gleichen Teilchenanzahldichten betrachtet, die sich entsprechend Abb. 5.1 entlang der y -Achse ausbreiten. Die
Strömungsgeschwindigkeit sei schwach relativistisch (p0 = mγ0 v0 ), allerdings werden die
thermischen Geschwindigkeiten weiterhin als nichtrelativistisch betrachtet (pth = mvth ).
Es gilt also v0 vth . Daher gilt auch für den Lorentzfaktor folgende Beziehung:
q
p
2
γ = 1 + (p/mc) ≈ 1 + (py /mc)2 ≈ γ0
(B.2)
Der Beitrag der Ionen wird hier wieder vernachlässigt.
B.1 Die Filamentierungsinstabilität
B.1.1 Monochromatische (kalte) Gegenströme
Für den einfachsten Fall zweier kalter gegenströmender Plasmen wird die Verteilungsfunktion durch die Deltadistribution ausgedrückt
1
f0 (px , py , pz ) = δ(px ) [δ(py − p0 ) + δ(py + p0 )] δ(pz )
2
(B.3)
und in Gl. (B.1) eingesetzt. Für die Dispersionsrelation der instabilen Moden ergibt sich:
85
B Schwach relativistische Rechnung
2 ωpe
k 2 p20
k 2 c2
= yy = 1 − 2 3 1 + 2 2
ω2
ω γ0
mω
Im nichtrelativistischen Grenzfall,
c→∞
(oder
(B.4)
γ0 = (1 − v02 /c2 )−1/2 → 1),
stimmt Gl.
(B.4) exakt mit dem Ausdruck der nichtrelativistischen Betrachtung
2 ωpe
k 2 c2
k 2 v02
∞
= yy = 1 − 2 1 + 2
ω2
ω
ω
aus Lazar et al. (2009) und der dielektrischen Komponente
Ψ33
(B.5)
aus Stockem et al. (2007)
überein.
Abb. B.1: Die aperiodischen Lösungen der Gl. (B.4) (durchgezogene Linien) für drei Werte der Strömungsgeschwindigkeit,
v0 /c = 0.2, 0.5, 0.9. Zum Vergleich sind gepunktet die aperiodischen Lösungen
der Gl. (9) aus Lazar et al. (2009) eingezeichnet, bei deren Berechnung relativistische Eekte vernachlässigt wurden. Die
x-
normierten Imaginärteil der
y -Achse bezeichnen
Frequenz W = ωi /ωpe .
bzw.
Die aperiodischen Lösungen,
<(ω) = 0
die normierte Wellenzahl
und
=(ω) = ωi > 0,
K = kc/ωpe
bzw. den
von Gl. (B.4) sind in
Abb. B.1 dargestellt. Zum Vergleich sind die numerischen Lösungen der nichtrelativistischen Dispersionsrelation aus Lazar et al. (2009) eingezeichnet. Für nichtrelativistische
Strömungsgeschwindigkeiten stimmen die Kurven gut überein, wohingegen ein deutliches
Abweichen für schwach relativistische Geschwindigkeiten zu erkennen ist. Die Anwachsrate wächst mit steigender Strömungsgeschwindigkeit
v0 ,
allerdings macht sich hier der
Lorentzfaktor bemerkbar, wodurch die Anwachsraten bei groÿen Wellenzahlen durch relativistische Eekte reduziert werden. Im Grenzfall sehr groÿer Wellenzahlen (k
→ ∞)
ergibt sich aus Gl. (B.4) eine maximale Anwachsrate
ωi,max =
∞
ωi,max
1/2
γ0
=
v0 ωpe
1/2
,
(B.6)
c γ0
die deutlich kleiner ist, als die der nichtrelativistischen Theorie
∞
ωi,max
= v0 ωpe /c.
Dieses
Ergebnis stimmt auch mit anderen Berechnungen, in denen relativistische Eekte einbe-
86
B.1 Die Filamentierungsinstabilität
zogen wurden, überein (z. B. Gl. (62) in Bret et al. (2006)).
B.1.2 Asymmetrische Gegenströme: kalt/thermisch
Es werden nun zwei asymmetrische Gegenströme betrachtet, von denen der eine kalt ist
und der andere eine isotrope Maxwell-Verteilung aufweist. Dies wird durch die Verteilungsfunktion
2
1
px + (py + p0 )2 + p2z
1
+ δ(px )δ(py − p0 )δ(pz )
exp −
f0 (px , py , pz ) =
2 π 3/2 p3th
p2th
(B.7)
beschrieben (die schwach relativistische Bi-Maxwell-Verteilung ist eine Näherung der relativistischen Jüttner-Funktion). Eine Visualisierung dieser ist in der Arbeit von Lazar
et al. (2009) in Abb. 3(a) zu nden. Die Berechnung des Beitrages der thermischen Komponente zur Dispersionsrelation wird in Anh. C erläutert. Zur Berechnung des Integrals
wird der Grenzfall
yy
vth γω/k
betrachtet. Wird Gl. (B.7) in (B.1) eingesetzt, erhält man:
2 ωpe
p20 k 2
1 p2th
p20
3 p20
9p20
= 1− 2 1− 2 2 + 2 2 1−
+
1− 2 2
ω
mc
mω
2 m2 c2 4 p20
mc
2 2
2
2
2
2
2
2
2
ωpe
v γ k
1 vth
v γ
3v γ
' 1 − 2 1 − 0 2 0 + 0 02
1− 020 +
ω
c
ω
2 c
4 v02 γ02
(B.8)
Dies stimmt exakt mit dem nichtrelativistischen Grenzfall
∞
yy
2 2
ωpe
k 2 v02
1 vth
=1− 2 1+ 2 1+
ω
ω
4 v02
überein (Gl. (11) aus Lazar et al. (2009) im Grenzfall
(B.9)
vth γω/k ).
Die aperiodischen
Abb. B.2: Die Anwachsraten der FI als Lösungen der Gl. (B.8) für drei Werte der Strömungsgeschwindigkeit
v0 /c =
0.1, 0.3, 0.5 (durchgezogene Linien). Zum Vergleich sind die aperiodischen Lösungen
der Gl. (B.9) gepunktet dargestellt. Die thermische Geschwindigkeit beträgt
vth /c = 0.01.
Lösungen der Gln. (B.8) und (B.9) sind in Abb. B.2 dargestellt. Für die schwach relativis-
87
B Schwach relativistische Rechnung
tische Geschwindigkeit
v0 /c = 0.5 ergibt sich ein starkes Abweichen von der nichtrelativis-
tischen Näherung. Die thermische Verbreiterung der Teilchenverteilung führt dazu, dass
die Anwachsrate um einen zusätzlichen Term
2
vth
/(2v0 )2 erhöht ist. Im nichtrelativistischen
Grenzfall ergibt sich aus Gl. (B.9) die Anwachsrate
∞
ωi,max
v0 ωpe
=
c
2 1/2
1 vth
1+
4 v02
(B.10)
Im Fall relativistischer Geschwindigkeiten ist die Anwachsrate aufgrund des Massenzuwachses reduziert. Aus Gl. (B.8) ergibt sich:
ωi,max
v0 γ0 ωpe
=
c
2
3 v 2 γ 2 1 vth
1− 020 +
2 c
4 v02 γ02
1/2
∞
< ωi,max
(B.11)
B.1.3 Zwei Gegenströme mit endlicher Temperatur
Aus der Verteilungsfunktion zweier symmetrischer Gegenströme mit Maxwell-Verteilung
2
px + p2z
(py + p0 )2
(py − p0 )2
f0 (px , py , pz ) = 3/2 3 exp −
exp −
+ exp −
2π pth
p2th
p2th
p2th
1
(B.12)
ergibt sich im Grenzfall kleiner Plasmatemperaturen
vth γω/k
für die dielektrische
Konstante:
yy
2 ωpe
p20 k 2
p2th
9p20
p20
3 p20
+
+
1− 2 2
= 1− 2 1−
1−
ω
2m2 c2 m2 ω 2
2 m2 c2 2p20
mc
2 2
2
2
2
2
2
2
2
ωpe
v γ k
v
v γ
3v γ
' 1 − 2 1 − 0 20 + 0 02
1 − 0 2 0 + 2th 2
ω
2c
ω
2 c
2v0 γ0
(B.13)
Im nichtrelativistischen Grenzfall ist diese durch
∞
yy
= lim yy
c→∞
2 2
ωpe
k 2 v02
vth
=1− 2 1+ 2 1+ 2
ω
ω
2v0
(B.14)
gegeben und stimmt (im Grenzfall kleiner Plasmatemperaturen überein) mit Gl. (14) aus
Lazar et al. (2009).
Aus Gl. (B.13) ergibt sich, dass die Anwachsrate
ωi,max
v0 γ0 ωpe
=
c
2
3 v02 γ02 1 vth
1−
+
2 c2
2 v02 γ02
1/2
∞
< ωi,max
(B.15)
im Vergleich zum vorherigen Fall in Abb. B.2 durch die thermischen Eekte reduziert wird.
Da die thermischen Geschwindigkeiten sehr klein gewählt wurden, ist dieser Unterschied
88
B.2 Weibel-Instabilität
nicht wahrnehmbar.
B.2 Weibel-Instabilität
Solange die charakteristischen Temperaturen (T⊥
< Tk )
als nichtrelativistisch betrachtet
werden können, ändert sich die Dispersionsrelation der WI nicht im Vergleich zum nichtrelativistischen Fall. Die Plasmadispersionsfunktion wird ebenfalls im Grenzfall groÿer
Argumente ausgewertet, woraus sich
∞
yy
"
#
2 2
2 2
2 2
k
v
ωpe
ω
1
k vth⊥
1
thk
pe
' 1 − 2 1 + (A + 1)
=1− 2 1+
2
2
ω
2
ω
ω
2 ω
ergibt. Die Temperaturanisotropie ist als
rate ergibt sich:
(B.16)
A = (vthk /vth⊥ )2 − 1 deniert. Für die Anwachs-
vthk ωpe
∞
ωi,max
= √
2c
(B.17)
Abb. B.3: Die Anwachsraten der WI als Lösungen der Gl. (B.16) für die thermische Geschwindigkeit
vth⊥ /c = 0.01
und die Anisotropien
A = 5, 10, 20.
In Abb. B.3 sind die aperiodischen Lösungen der WI entsprechend Gl. (B.16) für die
thermische Geschwindigkeit
vth /c = 0.01
und drei verschiedene Anisotropien
A=
5, 10,
20 dargestellt.
B.3 Zusammenspiel von FI und WI
B.3.1 Gegenströme mit symmetrischer Anisotropie
Positive Anisotropie
Hier wird zunächst angenommen, dass die Anisotropien beider Ströme gleich sind,
A1 =
A2 = (pthk /pth⊥ )2 − 1.
89
B Schwach relativistische Rechnung
Als Verteilungsfunktion wird
2
1
px + p2z
f0 (px , py , pz ) =
exp − 2
2π 3/2 p2th⊥ pthk
p
! th⊥
!#
"
(py − p0 )2
(py + p0 )2
+ exp −
× exp −
p2thk
p2thk
(B.18)
gewählt. Für die Berechnung der Dispersionsrelation wird die Betrachtung aus Anh. C
verwendet, woraus sich
yy
"
(
)#
2
p2thk
ωpe
p20
3 p20
9p20
p20 k 2
= 1− 2 1−
1−
+
+ 2 1− 2 2
ω
2m2 c2 m2 ω 2
2 m2 c2
2p0
mc
)#
"
(
2
2
vth
ωpe
v02 γ02 v02 γ02 k 2
3 v02 γ02
k
' 1− 2 1−
1−
+
+ 2 2
2
2
2
ω
2c
ω
2 c
2v0 γ0
(B.19)
ergibt, in Übereinstimmung mit dem nichtrelativistischen Grenzfall
∞
yy
"
(
)#
2
2
vth
ωpe
k 2 v02
k
=1− 2 1+ 2
1+ 2
ω
ω
2v0
(B.20)
Gl. (18) aus Lazar et al. (2009). Diese Gleichung wurde ebenfalls im Grenzfall kleiner
Plasmatemperaturen,
vth⊥ γω/k ,
oder groÿer Anisotropien,
A = (vthk /vth⊥ )2 − 1 1,
berechnet. Die dielektrische Funktion in Gl. (B.19) hängt so nur noch von der Temperatur
entlang der Strömungrichtung ab. Daher sind Gl. (B.19) und Gl. (B.13) gleich.
Abb. B.4: Die durchgezogenen Linien stellen die Lösungen der schwach relativistischen Anwachsrate
des kumulativen Eektes der FI und der WI dar. Es wurde
gewählt. Auÿerdem wurde die Anisotropie variiert:
A = 4
vth /c = 0.01
und
(graue Linien) und
v0 /c = 0.1, 0.3, 0.5
A = 20 (schwarze
Linien). Die nichtrelativistischen Lösungen sind gepunktet eingezeichnet.
Die aperiodischen Lösungen der Gln. (B.19) und (B.20) sind in Abb. B.4 für verschiedene Fälle symmetrischer Ströme dargestellt. Es wurden die Strömungsgeschwindigkeiten
90
B.3 Zusammenspiel von FI und WI
v0 /c = 0.1, 0.3, 0.5
und die Anisotropien
A =
4 und 20 verwendet. Im Gegensatz zur
Arbeit von Lazar et al. (2009) sind die Anwachsraten für den kumulativen Eekt nur für
hohe Temperaturanisotropien leicht erhöht.
Negative Anisotropie. Unterdrückung der FI
Mit der Verteilungfunktion (B.18) wird der dielektrische Tensor im Grenzfall hoher Plasmatemperaturen, (vth⊥
(vthk /vth⊥ )2 − 1 < 0
yy
2
ωpe
=1− 2
ω
γω/k ),
entsprechend einer negativen Anisotropie
−1 < A =
betrachtet. Es ergibt sich
2
√ mp20 ωpe
p20
p20
5p20
1−2 2
1−
−
(A
+
1)
1
−
+
2ı
π
pth⊥
2(mc)2
2(mc)2
kp3th⊥ ω
(B.21)
und im nichtrelativistischen Grenzfall
∞
yy
2
2 √ v02 ωpe
ωpe
v02
= 1 − 2 1 − 2 2 − (A + 1) + 2ı π 3
ω
vth⊥
kvth⊥ ω
(B.22)
in Übereinstimmung mit Gl. (18) aus Lazar et al. (2009) unter Berücksichtigung von
vth⊥ ω/k .
Abb. B.5: Die Anwachsraten der instabilen Mode für eine Kombination von FI und WI für negative
Anisotropien. Die Lösungen wurden aus Gl. (B.21) (durchgezogene Linien) und Gl. (B.22) erhalten.
Die Geschwindigkeiten betragen
0.1, 0.04
vth⊥ /c = 0.1, vthk /c = 0.01
und
v0 /c = 0.1, 0.3, 0.5
(a),
v0 /c =
(b).
Die Beschränkung auf hohe Temperaturanisotropien unterdrückte im vorangegangenen
Abschnitt die Stabilisierung bei groÿen Wellenzahlen
K = kc/ωpe ,
die typisch für die WI
ist. Für eine negative Anisotropie bleibt diese Eigenschaft erhalten. Die Abschnittswellenzahl
Kc = kc c/ωpe
Kc2
lässt sich zu
= (A + 1) 1 −
5p20
2(mc)2
p20
− 1−2 2
pth⊥
1−
p20
2(mc)2
(B.23)
91
B Schwach relativistische Rechnung
bestimmen. Im nichtrelativistischen Grenzfall ist diese durch
"
Kc∞
= A+2
v0
vth⊥
2 #1/2
(B.24)
gegeben. Die schwach relativistische Betrachtung führt einerseits zu einer Reduzierung der
maximalen Anwachsrate und verschiebt andererseits die Abschnittswellenzahl zu höheren
Werten (s. Abb. B.5,
Kc > Kc∞ ).
Die Instabilität wird sogar ganz unterdrückt, wenn
Kc ≤ 0
ist. Die daraus folgende
Bedingung an die Strömungsgeschwindigkeit wird hier aus Gründen der Übersichtlichkeit
nur für nichtrelativistische Geschwindigkeiten abgeleitet:
v0 ≤ v0,c
√
2 2
2
(v − vthk
)1/2
=
2 th⊥
(B.25)
In Abb. B.5(a) sind die aperiodischen Lösungen der Gln. (B.21) und (B.22) für verschiedene Strömungsgeschwindigkeiten dargestellt. Die nichtrelativistischen
Kc
erscheinen für
v0 /c = 0.1, 0.3, 0.5 bei Kc = 1.0, 4.1, 7.0. In Abb. 4.4(b) ist ein Beispiel für den stabilisierenden Eekt gegeben Für v0 /c = 0.1 ist Bedingung (B.25) nicht erfüllt, sodass positive
Lösungen für W existieren, wohingegen die Bedingung für v0 /c = 0.04 erfüllt ist. Für
die gewählten Parameter ist die kritische Strömungsgeschwindigkeit nichtrelativistisch,
v0,c /c ' 0.07.
Unterhalb dieses Wertes sind keine instabilen Lösungen möglich.
B.3.2 Gegenströme mit asymmetrischer Anisotropie
Positiv asymmetrische Anisotropien
Im folgenden weisen die Gegenströme unterschiedliche Anisotropien auf, dies ist durch die
Verteilungsfunktion
2
px + p2z
1
exp − 2
f0 (px , py , pz ) =
2π 3/2 p2th⊥
pth⊥
"
!
!#
1
(py + p0 )2
1
(py − p0 )2
×
exp −
+
exp −
pth1k
p2th1k
pth2k
p2th2k
92
(B.26)
B.3 Zusammenspiel von FI und WI
gegeben. Für die dielektrische Funktion ergibt sich
yy
"
(
)#
2
2
2
2
2
2
2 2
p
+
p
ωpe
9p
p0
3 p0
pk
th1k
th2k
= 1− 2 1−
1 − 2 02
+ 02 2 1 −
+
2
2
2
2
2
ω
2m c
mω
2m c
4p0
mc
)#
"
(
2
2
2
ωpe
v02 γ02 v02 γ02 k 2
3 v02 γ02 vth1k + vth2k
(B.27)
1−
' 1− 2 1−
+
+
ω
2c2
ω2
2 c2
4v02 γ02
mit dem nichtrelativistischen Grenzfall
∞
yy
"
(
)#
2
2
2
+ vth2k
vth1k
ωpe
k 2 v02
=1− 2 1+ 2
1+
ω
ω
4v02
(B.28)
Abb. B.6: Die aperiodischen Lösungen der Gln. (B.27) und (B.28) sind mit durchgezogenen, bzw. ge-
v0 /c = 0.1, 0.3, 0.5.
Die thermischen Geschwindigkeiten sind dabei: vth1⊥ /c = vth2⊥ /c = 0.01, vth1k /c = 0.02 und
vth2k /c = 0.04. In (b) ist die Strömungsgeschwindigkeit konstant v0 /c = 0.5 und die Anisotropien
werden variiert: (1) vth1k /c = 0.1 und vth2k /c = 0.2; (2) vth1k /c = 0.2 und vth2k /c = 0.4 und (3)
vth1k /c = 0.4 und vth2k /c = 0.5. Die senkrechte Temperatur beträgt vth1⊥ /c = vth2⊥ /c = 0.01.
punkteten Linien dargestellt. In (a) wurde die Strömungsgeschwindigkeit variiert,
In Abb. B.6 sind die aperiodischen Lösungen (ωr
= 0)
der Gln. (B.27) und (B.28)
dargestellt. Die Anwachsrate in (a) ist unter der Bedingung gleicher Strömungsgeschwindigkeiten und hoher Anisotropien mit der aus Abb. B.4 vergleichbar. In (b) sind nur die
schwach relativistischen Lösungen dargestellt. Nur für sehr groÿe Anisotropien ergibt sich
ein vergröÿerter Eekt für die Kombination der FI und WI.
Gegenströme mit antisymmetrischen Anisotropien
Gegenströmende Plasmen, die Anistropien mit entgegensetzten Vorzeichen aufweisen,
2
2
A1 = vth1k
/vth1⊥
−1>0
und
2
2
−1 < A2 = vth2k
/vth2⊥
− 1 < 0,
werden ebenfalls durch Gl.
(B.26) beschrieben. Die Grenzfallbetrachtung muss für den Beitrag von
sotropien und für den Beitrag von
A2
A1
für groÿe Ani-
für kleine Anisotropien durchgeführt werden, sodass
93
B Schwach relativistische Rechnung
vth2⊥ /c γω/(kc) vth1⊥ /c
yy
gelten muss. So ergibt sich für die Dispersionsrelation
"
(
)!
2
p2th1k
ωpe
p20
k 2 c2
3p20
9p20
1− 2 1−
1−
= 1− 2 1−
+
ω
2(mc)2
ω
2(mc)2
2p20
(mc)2
2
√ mp20 ωpe
p20
p20
1
5p20
1−
− 2
−
(A
+
1)
1
−
+
ı
π
2
pth2⊥
2(mc)2
2
2(mc)2
kp3th2⊥ ω
)!
"
(
2
2
vth1k
ωpe
v02 γ02
k 2 c2
3v02 γ02
' 1− 2 1−
1− 2 1−
+ 2 2
ω
2c2
ω
2c2
2v0 γ0
#
2
2
√ v02 γ02 ωpe
v02 γ02
v02 γ02
5v02 γ02
1 vth2k
− 2
1−
1
−
−
+
ı
π
2
3
vth2⊥
2c2
2 vth2⊥
2c2
kvth2⊥
ω
(B.29)
mit dem nichtrelativistischen Grenzfall
∞
yy
"
(
)
#
2
2
2
vth1k
√ v02 ωpe
ωpe
k 2 v02
v02
1
(A
+
1)
,
=1− 2 1+
1
+
−
−
+
ı
π
2
2
2
ω
2ω 2
2v02
vth2⊥
2
kvth2⊥
ω
(B.30)
die Übereinstimmung mit Gl. (20) aus der Arbeit von Lazar et al. (2009).
Die aperiodischen Lösungen der Gln. (B.29) und (B.30) sind in Abb. B.7 dargestellt. Die
Abschnittswellenzahl ist hier wieder durch die Näherung unterdrückt worden, sodass sich
die Anwachsrate wie die der reinen FI verhält. Auÿerdem ist diese durch die Kombination
der Wellenvektoren stark reduziert.
Abb. B.7: Die Anwachsraten der Kombination der FI und WI für
vth2k /c = 0.01, vth1⊥ /c = 0.001
and
vth2⊥ /c = 0.1.
(durchgezogene Linien) und (B.30) (gepunktet).
94
v0 /c = 0.1, 0.3, 0.5, vth1k /c =
Die Lösungen ergeben sich aus den Gln. (B.29)
B.3 Zusammenspiel von FI und WI
Zwei Gegenströme: kalt/thermisch anisotrop
Nun wird ein kalter Plasmastrom mit einem thermisch anisotropen kombiniert, woraus
sich für die Verteilungsfunktion
!
2
1
1
px + p2z
(py + p0 )2
f0 (px , py , pz ) = 3/2 2
+ δ(px )δ(py −p0 )δ(pz )
exp − 2
exp −
2
2π pth⊥ pthk
pth⊥
pthk
2
(B.31)
ergibt. Die dielektrische Funktion ist in diesem Fall
yy =
"
(
)#
2
p2thk
ωpe
9p20
p20
3 p20
p20 k 2
1− 2 1− 2 2 + 2 2 1−
+ 2 1− 2 2
ω
mc
mω
2 m2 c2
2p0
mc
"
(
)#
2
2
vthk
ωpe
v02 γ02 v02 γ02 k 2
3 v02 γ02
1−
'1− 2 1− 2 +
+ 2 2
ω
c
ω2
2 c2
2v0 γ0
(B.32)
und im nichtrelativistischen Grenzfall
∞
yy
"
(
)#
2
2
2 2
v
ωpe
k v
thk
= 1 − 2 1 + 20 1 + 2
ω
ω
2v0
(B.33)
in Übereinstimmung mit Gl. (23) aus Lazar et al. (2009) (im Grenzfall hoher Temperaturanisotropien).
Abb. B.8: Die Anwachsrate der instabilen Mode. In (a) sind die Lösungen der Gln. (B.32) (durch-
v0 /c = 0.1, 0.3, 0.5 und vthk /c = 0.1 dargestellt. (b) zeigt die
Lösungen von Gl. (B.32) für v0 /c = 0.5 und gröÿere Anisotropien entsprechend vthk /c = 0.1, 0.4, 0.6.
gezogen) und (B.33) (gepunktet) für
Die aperiodischen Lösungen der Gln. (B.32) und (B.33) sind in Abb. B.8 dargestellt.
In diesem Fall sind die Anwachsraten mit denen aus Abb. B.2 bis auf den Faktor
bei dem Term
2
(pth⊥ /p0 )
1/2
vergleichbar. Auch hier ist keine deutliche Erhöhung durch die
Kombination der Instabilitäten zu erkennen.
95
B Schwach relativistische Rechnung
Zwei Gegenströme: isotrope/anisotrope Temperaturverteilung
Als letzter Fall wird die Kombination eines thermisch anisotropen mit einem isotropen
Plasmastrom diskutiert. Für die Verteilungsfunktion ergibt sich
2
1
px + p2z
f0 (px , py , pz ) =
exp − 2
2π 3/2 p2th⊥
pth⊥
!
"
#
1
1
(py − p0 )2
(py + p0 )2
+
×
exp −
exp −
pthk
p2thk
pth⊥
p2th⊥
(B.34)
mit der zugehörigen Dispersionsrelation
yy =
"
(
)#
2
p2thk + p2th⊥
ωpe
9p20
p20
3 p20
p20 k 2
1− 2 1−
1− 2 2
1−
+
+
ω
2m2 c2 m2 ω 2
2 m2 c2
4p20
mc
)#
"
(
2
2
2
ωpe
v2γ 2 v2γ 2k2
3 v 2 γ 2 vthk + vth⊥
,
(B.35)
' 1 − 2 1 − 0 20 + 0 02
1 − 020 +
ω
2c
ω
2 c
4v02 γ02
die Gl. (B.27) entspricht, wenn
sich
∞
yy
pthk pth⊥
ist. Im nichtrelativistischen Grenzfall ergibt
"
(
)#
2
2
2
vthk
+ vth⊥
ωpe
k 2 v02
=1− 2 1+ 2
1+
ω
ω
4v02
(B.36)
in Übereinstimmung mit Gl. (25) in Lazar et al. (2009) für groÿe Anisotropien. Aufgrund
der Ähnlichkeit zu den Gln. (B.27) und (B.28) wird hier auf eine Diskussion verzichtet.
96
C Beiträge der Maxwell-Verteilung
Hier wird nur auf den ersten Term der Verteilungsfunktion
!
2
2
2
+
p
(p
+
p
)
1
p
y
0
z
x
exp −
f˜(px , py , pz ) = 3/2 2
exp − 2
2π pth⊥ pthk
pth⊥
p2thk
(C.1)
eingegangen, da der Term mit −p0 analog berechnet wird. Es wird
yy
2
ωpe
= 1 + 2 (U + kV )
ω
(C.2)
substituiert, wobei die Abkürzungen
Z
py ∂fa0
γ ∂py
Z
1
∂fa0 p2y
=
d3 p
ma γω − k · p ∂px γ
U =
V
d3 p
(C.3)
(C.4)
eingeführt wurden. Aus (C.3) und mithilfe der Dispersionsrelation (C.1) ergibt sich:
1
U = − 1/2
π pth⊥
"
#
py py + p0
(py + p0 )2
dpy
exp −
γ p2th⊥
p2thk
−∞
Z
∞
Im schwach relativistischen Grenzfall
γ −1 ≈ 1 −
1
2
py 2
mit
mc
py mc
(C.5)
ergibt sich:
"
2 #
p20
3 pthk
U = −1 +
1+
2(mc)2
2 p0
Im nichtrelativistischen Grenzfall (p0
mc)
(C.6)
ergibt sich wieder
U = −1.
Wird (C.1) in
(C.4) eingesetzt, dann erhält man:
1
V = − 1/2 2
2π kpth⊥ pthk
∞
p2y
(py + p0 )2
dpy
exp −
γ
p2thk
−∞
Z
!
Z
0
mγω
kpth⊥
(C.7)
97
C Beiträge der Maxwell-Verteilung
C.1 Groÿe Argumente der Plasmadispersionsfunktion
Im Fall kleiner thermischer Geschwindigkeiten (und hinreichend hoher Temperaturanisotropien
A 1),
kann
mγω kpth⊥
verwendet werden. Diese Annahme erlaubt eine
Näherung der Plasmadispersionsfunktion
1
Z(ζ) ≈ −
ζ
1
1
1+ 2
→ Z 0 (ζ) ≈ 2
2ζ
ζ
woraus sich
V =−
k
2π 1/2 pthk m2 ω 2
(ζ 1),
(C.8)
)
(
p2y
(py + p0 )2
dpy 3 exp −
γ
p2thk
−∞
(C.9)
Z
∞
und schlieÿlich
#
"
9p4thk
p2thk
9p20
1 kp20
3p20
V =−
1−
− 2
+ 2 1−
2 ω 2 m2
2(mc)2
2p0
(mc)2
8p0 (mc)2
(C.10)
ergibt.
C.2 Kleine Argumente der Plasmadispersionsfunktion
Für hohe Plasmatemperaturen (und niedrige Temperaturanisotropien
Argument der Plasmadispersionsfunktion
mγω kpth⊥
0 < A < 1)
ist das
in Gl. (C.7) klein, sodass sich
√
√
√
Z(ζ) ≈ ı π exp(−ζ 2 ) ' ı π → Z 0 (ζ) ≈ −2(1 + ı πζ)
(ζ 1),
(C.11)
und
1
V = 1/2 2
π kpth⊥ pthk
(
)
√ mγω
p2y
(py + p0 )2
dpy
exp −
1+ı π
γ
p2thk
kpth⊥
−∞
Z
∞
(C.12)
ergibt. Letztendlich erhält man:
"
#
p2thk
p20
p20
5p20
mω √ 2
+ 2 1−
+ı 2 3
πp0
V = 2
1−
2
2
kpth⊥
2(mc)
2p0
2(mc)
k pth⊥
98
(C.13)
D Berechnungen zur Streulänge
D.1 Integralformeln
Um das Integral über die Besselfunktion zu lösen, wird die Formel
Z
β
∞
e
−αx
−ν
Jν (βx)dx =
0
hp
α2
β2
+ −α
p
α2 + β 2
iν
(D.1)
aus Gradshteyn & Ryzhik (1980), 6.611.1 verwendet.
r > 8/3
Zur Berechnung der Streulänge für
Z
wird
1
dx xν−1 (1 − x)µ−1 = B (µ, ν)
(D.2)
0
für
<µ und <ν > 0 verwendet, wobei B (µ, ν) die Beta-Funktion bezeichnet, s. Gradshteyn
& Ryzhik (1980), 3.191.3.
D.2 Integral der linearen Dämpfungsrate
Das Integral
Z
I=
1
(1 − µ2 )2
dµ
(D.3)
1 − (1 + (1 − µ2 )β 2 )−1/2
0
kann zu
1
I =
β2
Z
π/2
3
2
2
dz sin z 1 + β sin z +
q
1+
β2
2
sin z
(D.4)
0
2
8
1
=
+
+ 2
2
3β
15 β
Z
π/2
q
dz sin z 1 + β 2 sin2 z
3
(D.5)
0
µ = cos z verwendet wurde. Um das letzte
2
2
Integral (hier als M deniert) zu lösen, wird auÿerdem x = 1 + β sin z substituiert. Man
umgeschrieben werden, wobei die Substitution
99
D Berechnungen zur Streulänge
erhält:
1
M =
β2
π/2
Z
q
dz sin z 1 + β 2 sin2 z
0
√
Z 1+β 2
Z 1+β 2
x(x − 1)
1
x − x2
1
p
p
dx
=
−
dx
=
2β 5 1
2β 5 1
(β 2 + 1 − x)x
β2 + 1 − x
3
Das Integral über den ersten Summanden kann mit
(D.6)
(D.7)
y 2 = x/(1 + β 2 ) und u = (β 2 + 1 − x)x
zu
Z
M1 =
dx p
x
(β 2
+ 1 − x)x
Z
2 Z
dx
1+β
1
β 2 + 1 − 2x
p
=
−
dx p
2
(β 2 + 1 − x)x 2
(β 2 + 1 − x)x
Z
Z
du
dy
√
−
= (1 + β 2 ) p
2
2 u
1−y
(D.8)
(D.9)
(D.10)
reduziert werden. Die Stammfunktion lautet:
r
2
M1 = (1 + β ) arcsin
Der zweite Summand
Z
M2 =
x
1 + β2
−
p
(β 2 + 1 − x)x
x2
dx p
(β 2 + 1 − x)x
wird in zwei Anteile aufgespalten, indem der Zähler um
wird
2
Z
M2 = (1 + β )
x
−
dx p
(β 2 + 1 − x)x
(D.12)
−x(1 + β 2 ) + x(1 + β 2 )
Z
dx
(D.11)
p
(β 2 + 1 − x)x
ergänzt
(D.13)
und wird anschlieÿend mit partieller Integration gelöst:
p
2
1
M2 = (1 + β )M1 − x3/2 β 2 + 1 − x −
3
3
2
Dies ergibt:
Das gesamte Integral
Z
x2
dx p
(β 2 + 1 − x)x
p
3
1
M2 = (1 + β 2 )M1 − x3/2 β 2 + 1 − x
4
2
I
(D.15)
ist also:
r
2
8
π
1
1
3β 2 − 1
2
I= 2+
+
(1 + β )
− arcsin
+β + 4
5
2
3β
15
8β
2
1+β
4β
100
(D.14)
(D.16)
D.3 Ergänzungen zu den höheren Ordnungen
Es werden die Grenzfälle
β 1
und
β ≈1
fachen. Aus Gl. (D.5) erhält man für den nichtrelativistischen Grenzfall
I≈
Im hochrelativistischen Grenzfall (β
4
3β 2
(D.17)
≈ 1) lässt sich I
sich:
I zu vereinv c direkt
gebildet, um den Ausdruck für
aus Gl. (D.16) ableiten und es ergibt
7
π
+
10 8
I≈
(D.18)
D.3 Ergänzungen zu den höheren Ordnungen
3. Fall
Für
r = 11/6 :
r = 11/6
ist der Diusionskoezient (7.31) durch
Dµµ (µ) ≈
6g0 α11/6
5/6
5 (2π)2 kmin
q
pc
2
(D.19)
gegeben, womit sich die Streulänge zu
1/6
1/6
4π 3 (me c2 )2 kmin me
x3
p
λk =
p
v
=
5/6
5/6
(δB)2 le e2
(δB)2 le e2 m 1 + (x me /m)2
4π 3 ckmin
2
(D.20)
berechnet.
4. Fall
r = 8/3 :
In diesem Fall ist der Diusionskoezient (7.31) durch
g0 α8/3
Dµµ (µ) ≈
(2π)2
q
pc
2 kc
9
ln
−
kmin
20
(D.21)
bestimmt. Damit hat die mittlere freie Weglänge folgenden Ausdruck:
λk =
≈
9π 3 cp2 v
Z
2/3 5/3
(δB)2 kmin le e2
24π 3 c
2/3 5/3
5(δB)2 e2 kmin le
1
(1 − µ2 )2
dµ
β 3/5 (1−µ2 )3/10
kmin le
9
− 20
−1
9
5/3
ln β /le kmin −
vp2
20
0
ln
(D.22)
(D.23)
101
D Berechnungen zur Streulänge
=
24π 3 (me c2 )2
2/3 5/3
5(δB)2 e2 kmin le
−1
9
me
x3
5/3
p
ln β /le kmin −
20
m
1 + (x me /m)2
(D.24)
Für beide Fälle ergibt sich die gleiche funktionale Abhängigkeit wie im Fall der linearen
Dämpfungsrate (r
102
= 1).
Literaturverzeichnis
Beck, R. & Krause, M. (1989).
Magnetfelder in Spiralgalaxien.
Sterne und Weltraum,
7:440.
Biermann, L. (1952). Entstehung von Magnetfeldern in bewegten Plasmen.
Annalen der
Physik, 10:413.
Bogdan, T. J. & Lerche, I. (1985). Dynamical evolution of large-scale, two-dimensional,
bril magnetic elds.
ApJ, 296:719.
Bret, A., Dieckmann, M. E., & Deutsch, C. (2006). Oblique electromagnetic instabilities
for a hot relativistic beam interacting with a hot magnetized plasma.
Phys. Plasmas,
13:082109.
Bret, A., Gremillet, L., Bénisti, D., & Lefebvre, E. (2008).
Exact Relativistic Kinetic
Theory of an Electron-Beam-Plasma System: Hierarchy of the Competing Modes in
the System-Parameter Space.
Phys. Rev. Lett., 100:205008.
Brüggen, M. (2008). Das gröÿte Teleskop der Welt.
Physik Journal, 7:29.
Buneman, O. (1958). Instability, Turbulence, and Conductivity in Current-Carrying Plasma.
Phys. Rev. Lett., 1:8.
Califano, F., Cecchi, T., & Chiuderi, C. (2002). Nonlinear kinetic regime of the Weibel
instability in an electron-ion plasma.
Phys. Plasmas, 9:451.
Chang, P., Spitkovsky, A., & Arons, J. (2008). Long-Term Evolution of Magnetic Turbulence in Relativistic Collisionless Shocks: Electron-Positron Plasmas.
Colombo, U. & Farinelli, U. (1992). Progress in Fusion Energy.
ApJ, 674:378.
Ann. Rev. Energy Envi-
ron., 17:123.
Das, A., Jain, N., Kaw, P., & Sengupta, S. (2004). Sausage instabilities in the electron
current layer and its role in the concept of fast ignition.
Nucl. Fusion, 44:98.
103
Literaturverzeichnis
Davidson, R. C., Hammer, D. A., Haber, I., & Wagner, C. E. (1972). Nonlinear Development of Electromagnetic Instabilities in Anisotropic Plasmas.
Davis, L. & Greenstein, J. L. (1951).
Grains.
Phys. Fluids, 15:317.
The Polarization of Starlight by Aligned Dust
ApJ, 114:206.
Dhawan, V., Mirabel, I. F., & Rodriguez, L. F. (2000). AU-Scale Synchrotron Jets and
Superluminal Ejecta in GRS 1915+105.
ApJ, 543:373.
Dieckmann, M. E., Lerche, I., Shukla, P. K., & Drury, L. O. C. (2007). Aspects of selfsimilar current distributions resulting from the plasma lamentation instability.
New
J. Phys., 9:10.
Dieckmann, M. E., Ljung, P., Ynnerman, A., & McClements, K. G. (2000). Large-scale
numerical simulations of ion beam instabilities in unmagnetized astrophysical plasmas.
Phys. Plasmas, 7:5171.
Dieckmann, M. E., Rowlands, G., Kourakis, I., & Borghesi, M. (2008). The saturation
of the electron beam lamentation instability by the self-generated magnetic eld and
magnetic pressure gradient-driven electric eld.
arXiv:0810.5267v1 [physics.plasm-ph].
Dieckmann, M. E., Ynnerman, A., Chapman, S. C., Rowlands, G., & Andersson, N. (2004).
Simulating Thermal Noise.
Phys. Scr., 69:456.
Eastwood, J. P., A., L. E., Mazella, C., Meziane, K., Narita, Y., Pickett, J., & Treumann,
R. A. (2005). The Foreshock.
Eastwood, J. W. (1991).
Space Sci. Rev., 118:41.
The virtual particle electromagnetic particle-mesh method.
Comput. Phys. Comm., 64:252.
Frederiksen, J. T., Hededal, C. B., Haugbolle, T., & Nordlund, A. (2004). Magnetic Field
Generation in Collisionless Shocks: Pattern Growth and Transport.
ApJ, 608:L13.
Fried, B. D. (1959). Mechanism for Instability of Transverse Plasma Waves.
Phys. Fluids,
2:337.
Fried, B. D. & Conte, S. D. (1961).
The Plasma Dispersion Function. New York: Academic
Press, 1961.
Gaensler, B. M. & Slane, P. O. (2006).
Nebulae.
104
The Evolution and Structure of PulsarWind
Ann. Rev. Astron. Astrophys., 44:17.
Literaturverzeichnis
Gerbig, D. & Schlickeiser, R. (2007). Relativistic Pickup of Interstellar Neutrals by Hadronic Jets.
ApJ, 664:750.
Gradshteyn, I. S. & Ryzhik, I. M. (1980).
Table of integrals, series and products.
New
York: Academic Press, 1980, 5th corr. and enl. ed.
Gruzinov, A. (2001). Gamma Ray Burst Phenomenology, Shock Dynamo, and the First
Magnetic Fields.
ApJ, 563:L15.
Han, J.-L. & Wielebinski, R. (2002). Milestones in the Observations of Cosmic Magnetic
Fields.
Chin. J. Astron. Astroph., 2:293.
Hasegawa, A. (1969). Drift Mirror Instability in the Magnetosphere.
Phys. Fluids, 12:2642.
Hededal, C. B. & Nishikawa, K.-I. (2005). The inuence of an ambient magnetic eld on
relativistic collisionless plasma shocks.
ApJ, 623:L89.
Hellinger, P. (2007). Comment on the linear mirror instability near the threshold.
Phys.
Plasmas, 14:082105.
Hellinger, P. (2008). Comment on the drift mirror instability.
Honda, M. (2004).
Phys. Plasmas, 15:054502.
Eigenmodes and growth rates of relativistic current lamentation
instability in a collisional plasma.
Phys. Rev. E, 69:016401.
Honda, M., Meyer-ter Vehn, J., & Pukhov, A. (2000). Two-dimensional particle-in-cell
simulation for magnetized transport of ultra-high relativistic currents in plasma.
Phys.
Plasmas, 7:1302.
Jaroschek, C. H., Lesch, H., & Treumann, R. A. (2005). Ultrarelativistic Plasma Shell Collisions in
Field.
γ -Ray Burst Sources: Dimensional Eects on the Final Steady State Magnetic
ApJ, 618:822.
Kapetanakos, C. A. (1974). Filamentation of intense relativistic electron beams propagating in dense plasmas.
Appl. Phys. Lett., 25:484.
Keefe, D. (1982). Inertial Connement Fusion.
Ann. Rev. Nucl. Part. Sci., 32:391.
Kellermann, K. I. & Moran, J. M. (2001). The development of high-resolution imaging in
radio astronomy.
Ann. Rev. Astron. Astrophys., 39:457.
Klassen, A., Karlicky, M., & Mann, G. (2003). Superluminal apparent velocities of relativistic electron beams in the solar corona.
A&A, 410:307.
105
Literaturverzeichnis
Kourakis, I. (1999). Fokker-Planck equation for a test particle weakly coupled to a magnetized plasma.
Plasma Phys. Control. Fusion, 41:587.
Kuang, W. & Bloxham, J. (1997).
An Earth-like numerical dynamo model.
Nature,
389:371.
Kulkarni, S. R., Frail, D. A., Wieringa, M. H., Ekers, R. D., Sadler, E. M., Wark, R. M.,
Higdon, J. L., Phinney, E. S., & Bloom, J. S. (1998). Radio emission from the unusual
supernova 1998bw and its association with the
γ -ray
burst of 25 April 1998.
Nature,
395:663.
Lazar, M., Schlickeiser, R., & Shukla, P. K. (2006).
Cumulative eect of the lamen-
tation and Weibel instabilities in counterstreaming thermal plasmas.
Phys. Plasmas,
13:102107.
Lazar, M., Smolyakov, A., Schlickeiser, R., & Shukla, P. K. (2009). A comparative study of
the lamentation and Weibel instabilities and their cumulative eect. I. Non-relativistic
theory.
J. Plasma Phys., 75:im Druck.
Lee, K. F. (1969).
Field.
Electromagnetic Mode in Counterstreaming Plasmas in a Magnetic
Phys. Rev., 181:447.
Lee, K. F. (1970).
Instability of the Linearly Polarized Mode in Counterstreaming
Electron-Ion Plasmas.
J. Appl. Phys., 41:3045.
Lee, R. & Lampe, M. (1973). Electromagnetic Instabilities, Filamentation, and Focusing
of Relativistic Electron Beams.
Phys. Rev. Lett, 31:1390.
Liu, Y., Richardson, J. D., Belcher, J. W., & Kasper, J. C. (2007). Temperature Anisotropy in a Shocked Plasma: Mirror-Mode Instabilities in the Heliosheath.
ApJ, 659:L65.
Maksimovic, M., Pierrard, V., & Lemaire, J. F. (1997). A kinetic model of the solar wind
with Kappa distribution functions in the corona.
A&A, 324:725.
Morse, R. L. & Nielsen, C. W. (1971). Numerical Simulation of the Weibel Instability in
One and Two Dimensions.
Phys. Fluids, 14:830.
Nishikawa, K.-I., Hardee, P., Richardson, G., Preece, R., Sol, H., & Fishman, G. J. (2003).
Particle acceleration, magnetic eld generation, and emission in relativistic shocks.
ApJ,
595:555.
Okabe, N. & Hattori, M. (2003).
Spontaneous Generation of the Magnetic Field and
Suppression of the Heat Conduction in Cold Fronts.
106
ApJ, 599:964.
Literaturverzeichnis
Pierrad, V. & Lemaire, J. (2002). Study of the Electron Velocity Distribution Functions
in the Solar Wind.
Space Sci. Res. Belgium, 2:21.
Pohl, M. & Schlickeiser, R. (2000). On the conversion of blast wave energy into radiation
in active galactic nuclei and gamma-ray bursts.
A&A, 354:395.
Pokhotelov, O. A., Sagdeev, R. Z., Balikhin, M. A., & Treumann, R. A. (2004). Mirror
instability at nite ion-Larmor radius wavelenghts.
J. Geophys. Res., 109:A09213.
Pokhotelov, O. A., Sandberg, I., Sagdeev, R. Z., Treumann, R. A., Onishchenko, O. G.,
Balikhin, M. A., & Pavlenko, V. P. (2003). Slow drift mirror modes in nite electrontemperature plasma: Hydrodynamic and kinetic drift mirror instabilities.
J. Geophys.
Res., 108:1098.
Pukhov, A. (2001). Three-Dimensional Simulations of Ion Acceleration from a Foil Irradiated by a Short-Pulse Laser.
Phys. Rev. Lett., 86:3562.
Qu, H., Lin, Z., & Liu, C. (2007). Gyrokinetic theory and simulation of mirror instability.
Phys. Plasmas, 14:042108.
Roberts, H. L. & Berk, K. V. (1967). Nonlinear Evolution of a Two-Stream Instability.
Phys. Rev. Lett., 19:297.
Romagnani, L., Bulanov, S. V., Borghesi, M., Audebert, P., Gauthier, J. C., Löwenbrück,
K., Mackinnon, A. J., Patel, P., Pretzel, G., Toncian, T., & Willi, O. (2008). Observation
of Collisionless Shocks in Laser-Plasma Experiments.
Phys. Rev. Lett., 101:025004.
Romanov, D. V., Bychenkov, V. Y., Rozmus, W., Capjack, C. E., & Fedosejevs, R. (2004).
Self-Organization of a Plasma due to 3D Evolution of the Weibel Instability.
Phys. Rev.
Lett., 93:215004.
Rowlands, G., Dieckmann, M. E., & Shukla, P. K. (2007).
instability in one dimension: nonlinear evolution.
Schlickeiser, R. (2002).
Cosmic Ray Astrophysics.
The plasma lamentation
New J. Phys., 9:247.
Astronomy and Astrophysics Library;
Berlin: Springer.
Schlickeiser, R. (2003). Particle Acceleration Processes in Cosmic Plasmas. In Klein, L.,
Energy Conversion and Particle Acceleration in the Solar Corona,
of Lecture Notes in Physics, Berlin Springer Verlag, pages 230260.
editor,
volume 612
Schlickeiser, R. (2005). On the origin of cosmological magnetic elds by plasma instabilities.
Plasma Phys. Control. Fusion, 47:A205.
107
Literaturverzeichnis
Schlickeiser, R. & Shukla, P. K. (2003). Cosmological Magnetic Field Generation by the
Weibel Instability.
ApJ, 599:L57.
Schlickeiser, R., Vainio, R., Böttcher, M., Lerche, I., Pohl, M., & Schuster, C. (2002).
Conversion of relativistic pair energy into radiation in the jets of active galactic nuclei.
A&A, 393:69.
Shalchi, A. & Schlickeiser, R. (2004). The Parallel Mean Free Path of Heliospheric Cosmic Rays in Composite Slab/Two-dimensional Geometry. I. The Damping Model of
Dynamical Turbulence.
ApJ, 604:861.
Silva, L. O., Fonseca, R. A., Tonge, J. W., Dawson, J. M., Mori, W. B., & Medvedev, M.
(2003). Interpenetrating Plasma Shells: Near-equipartition Magnetic Field Generation
and Nonthermal Particle Acceleration.
ApJ, 596:L121.
Silva, L. O., Fonseca, R. A., Tonge, J. W., Mori, W. B., & Dawson, J. M. (2002). On the
role of the purely transverse Weibel instability in fast ignitor scenarios.
Phys. Plasmas,
9:2458.
Spangler, S. R. (1999). Interstellar Turbulence: What Radio Astronomers Can Tell Plasma
Plasma Turbulence and Energetic Particles in Astrophysics, Proceedings of the International Conference, Cracow
(Poland), 5-10 September 1999, page 1.
Theorists. In Ostrowski, M. & Schlickeiser, R., editors,
Stockem, A., Lerche, I., & Schlickeiser, R. (2006). On the Physical Realization of Twodimensional Turbulence Fields in Magnetized Interplanetary Plasmas.
ApJ, 651:584.
Stockem, A., Lerche, I., & Schlickeiser, R. (2007). The Relativistic Filamentation Instability in Magnetized Plasmas.
ApJ, 659:419.
Subramanian, K. (1998). Can the turbulent galactic dynamo generate large-scale magnetic
elds?
MNRAS, 294:718.
Tajiri, M. (1967). Propagation of Hydromagnetic Waves in Collisionless Plasma. II. Kinetic Approach.
J. Phys. Soc. Jpn., 22:1482.
Takahashi, K., Ichiki, K., Ohno, H., Hanayama, H., & Sugiyama, N. (2006).
eld generation from cosmological perturbations.
Magnetic
Astron. Nachr., 327:410.
Wei, M. S., Beg, F. N., Clark, E. L., Dangor, A. E., Evans, R. G., Gopal, A., Ledingham, K.
W. D., McKenna, P., Norreys, P. A., Tatarakis, M., Zepf, M., & Krushelnick, K. (2004).
Observations of the lamentation of high-intensity laser-produced electron beams.
Rev. E, 70:056412.
108
Phys.
Literaturverzeichnis
Wei, M. S., Beg, F. N., Dangor, A. E., Gopal, A., Tatarakis, M., Krushelnick, K., Clark,
E. L., Norreys, P. A., Clarke, R. J., Lancaster, K., Ledingham, K. W. D., McKenna,
P., McCanny, T., Spencer, I., & Zepf, M. (2002).
Experimental Observations of the
Weibel Instability in High Intensity Laser Solid Interactions.
Central Laser Facility
(UK), Annual Report, page 7.
Weibel, E. S. (1959).
Spontaneously growing transverse waves in a plasma due to an
anisotropic velocity distribution.
Phys. Rev. Lett., 2:83.
Wielebinski, R. (2005). Magnetic Fields in the Milky Way, Derived from Radio Continuum Observations and Faraday Rotation Studies. In Wielebinski, R. & Beck, R., editors,
Cosmic Magnetic Fields, volume 664 of Lecture Notes in Physics, Berlin Springer Verlag, page 89.
Yoon, P. H. & Davidson, R. C. (1987).
Exact analytical model of the classical Weibel
instability in a relativistic anisotropic plasma.
Phys. Rev. A, 35:2718.
109
Literaturverzeichnis
110
Publikationsliste
Publikationen, die im Rahmen dieser Arbeit entstanden sind
Diese Arbeit ist unveröentlicht bis auf Auszüge, die in den folgenden Artikeln enthalten
sind:
•
Stockem, A., Dieckmann, M. E. & Schlickeiser, R. (2008). Suppression of the lamentation instability by a ow-aligned magnetic eld: Testing the analytic threshold
with PIC simulations.
•
Plasma Phys. Control. Fusion, 50:025002.
Stockem, A. & Schlickeiser, R. (2008). Scattering length of thermal and relativistic
charged particles in aperiodic magnetic uctuations.
•
ApJ, 680:816.
Stockem, A. & Lazar, M. (2008). Revision of Cumulative eect of the lamentation
and Weibel instabilities in counterstreaming thermal plasmas [Phys. Plasmas 13,
102107 (2006)].
•
Phys. Plasmas, 15:014501.
Stockem, A., Dieckmann, M. E. & Schlickeiser, R. (2008). Suppression of the lamentation instability by a ow-aligned magnetic eld, Conference Contribution at
the 35th European Physical Society Conference on Plasma Physics, P-2.174.
•
Stockem, A., Lazar, M., Shukla, P. K. & Smolyakov, A. (2009). A comparative study
of the lamentation and Weibel instabilities and their cumulative eect. II. Weakly
relativistic beams.
•
J. Plasma Phys., im Druck.
Stockem, A., Dieckmann, M. E. & Schlickeiser, R. (2009). PIC simulations of the
Thermal Anisotropy-Driven Weibel Instability: Field growth and phase space evolution upon saturation.
Plasma Phys. Control. Fusion, eingereicht.
Weitere Publikationen und eingeladene Vorträge
•
Stockem, A., Lerche, I. & Schlickeiser, R. (2006). On the physical realization of 2-D
turbulence elds in magnetized interplanetary plasmas.
ApJ, 651:584.
111
Publikationsliste
•
Stockem, A., Lerche, I. & Schlickeiser, R. (2007). The relativistic lamentation instability in magnetized plasmas.
•
ApJ, 659:419
Eingeladener Vortrag bei der Konferenz Kinetic Modeling of Astrophysical Plasmas, Krakau (Polen): Scattering length of relativistic particles in aperiodic uctuations (Oktober 2008)
112
Danksagung
Ich bedanke mich bei allen Mitarbeitern von TPIV für die schöne Zeit am Lehrstuhl. Mein
besonderer Dank gilt folgenden Personen:
•
Ich danke Prof. Dr. Schlickeiser für die Unterstützung in vielerlei Hinsicht, sowie
für die zahlreichen fachlichen und privaten Gespräche. Darüber hinaus brachten
mich die Konferenzen, deren Teilnahme er mir ermöglichte, sowohl fachlich als auch
persönlich weiter.
•
Ich danke Angelika Schmitz dafür, dass sie den Lehrstuhl zu dem gemacht hat, was
er heute ist.
•
Gisela Buhr danke ich für ihre unermüdliche Hilfsbereitschaft und ihre stark ausgeprägten empathischen Fähigkeiten.
•
Ich danke Dr. Mark E. Dieckmann für die gute Zusammenarbeit und die Einblicke,
die er mir in die numerische Physik gewährt hat. Die fachlichen Diskussionen haben
mein physikalisches Verständnis der Arbeit sehr bereichert.
•
PD. Dr. Horst Fichtner danke ich für die hilfreichen Kommentare zur Arbeit.
•
Jens Ruppel danke ich für die wunderbare Zeit und seine Hilfsbereitschaft sowohl in
fachlichen als auch privaten Dingen. Vor allem aber danke ich ihm für die Freundschaft.
•
Ich danke Ralf Kissmann dafür, dass er sowohl persönlich als auch elektronisch stets
für mich da war und für das sehr gewissenhafte Korrektur lesen.
•
Christian Röken danke ich für die vielen Gespräche und die Unterstützung in Trieste.
•
Dirk Gerbig und Philipp Homann danke ich für viele schöne Unternehmungen
neben der Uni. Auch danke ich ihnen für die interessanten Fachgespräche, die die
Sicht auf die Dinge ändern.
•
Ich möchte mich auch bei Prof. Dr. Ian Lerche und Dr. Marian Lazar für die gute
Zusammenarbeit und Unterstützung bedanken.
Ich danke meinen Eltern, meiner Schwester Nina und meinem Freund Robin dafür, dass
sie mich stets in jeder Hinsicht unterstützen und sie immer für mich da waren.
113
Danksagung
114
Lebenslauf
Persönliches:
Name:
Anne Stockem
Geburtstag:
01. 11. 1983
Geburtsort:
Münster
Familienstand:
ledig
Nationalität:
deutsch
Ausbildung:
08.198907.1993
Grundschule: Lamberti-Schule, Gladbeck
08.199307.2002
Weiterführende Schule: Heisenberg-Gymnasium, Gladbeck
06.2002
Abitur am Heisenberg-Gymnasium, Gladbeck
10.200209.2004
Grundstudium der Physik an der Universität Duisburg-Essen
09.2004
Vordiplom an der Universität Duisburg-Essen
10.200403.2006
Hauptstudium der Physik an der Ruhr-Universität Bochum
04.200609.2006
Diplomarbeit Die Filamentierungsinstabilität in Magnetisierten Plasmen am Lehrstuhl TPIV: Theoretische Weltraum- und Astrophysik
09.2006
Abschluss des Physikstudiums, Abschlussnote: mit Auszeichnung
seit 12.2006
Promotionsstudium am Lehrstuhl TPIV: Theoretische Weltraum- und
Astrophysik
Bisherige Tätigkeiten:
01.200511.2006
Wissenschaftliche Hilfskraft an der Ruhr-Universität Bochum
Seit 12.2006
Wissenschaftliche Mitarbeiterin an der Ruhr-Universität Bochum
115
Lebenslauf
Verschiedenes:
Seit 2002
Mitglied der Deutschen Physikalischen Gesellschaft (DPG)
Seit 04.2007
Mitglied der Research School an der Ruhr-Universität Bochum
11.2007
Preis für Studierende für die beste Diplomarbeit des Jahres an der
Fakultät für Physik und Astronomie
116