Elektrodynamik

Theoretische Physik (fur Physiker)
Elektrodynamik
SS 1999
H.A. Kastrup
Kapitel 1
Vorbemerkungen
1.1 Voraussetzungen
Vorausgesetzt werden Kenntnisse der Elektrodynamik wie sie im Grundkurs "Physik" vermittelt werden sowie Kenntnisse aus der Mathematik von Funktionen mehrerer reeller Veranderlicher (s. hierzu die am Anfang des Mechanikskriptums angegebenen mathematischen Lehrbucher von Gromann sowie von Grauert et al. samt
dem zugehorigen Band III von Grauert und Lieb, der die Mathematik zur Elektrodynamik enthalt.)
Wahrend man es in der Mechanik mathematisch vor allem mit gewohnlichen Differentialgleichungen zu tun hat, werden in der Elektrodynamik die physikalischen
Systeme mit Hilfe von partiellen Dierentialgleichungen beschrieben. Die systematische Kenntnis der Theorie solcher Gleichungen wird nicht vorausgesetzt sondern die erforderliche Mathematik im Laufe der Vorlesung bereitgestellt.
Gute Lehrbucher zu den in der Physik, insbesondere der Elektrodynamik, vorkommenden partiellen Dierentialgleichungen sind die folgenden:
R. Courant u. D. Hilbert, Methoden der Mathematischen Pysik I , 3. Au.
und II, 2. Au. (Heidelberger Taschenbucher Bde. 30 u. 31), Springer-Verlag,
Heidelberg etc. 1968;
E. Kamke, Dierentialgleichungen II, Partielle Dierentialgleichungen, Akad.
Verlagsgesellschaft, Leipzig 1965;
A. N. Tychono u. A.A. Samarski, Dierentialgleichungen der Mathematischen Physik, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1959;
G. Hellwig, Partial Dierential Equations, 2.Au., Teubner, Stuttgart 1977.
1.2 Literatur zur Vorlesung
1. J. Honerkamp u. H. Romer, Grundlagen der klassischen Theoret. Physik, 3.
Au., Springer-Verlag 1993;
1
2
KAPITEL 1. VORBEMERKUNGEN
2. R. Becker u. F. Sauter, Theorie der Elektrizitat, Band 1, 21. Au., TeubnerVerlag 1973;
3. W. Panofsky u. M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, 2nd Edition,
Addison-Wesley 1972;
4. The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Addison-Wesley 1972;
Zweisprachige Ausgabe (Englisch und Deutsch) beim Verlag Oldenbourg, Munchen;
5. J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Ed., John Wiley and Sons, Inc.,
N.Y. 1998; Deutsche U bersetzung der 2. Au.: de Gruyter, 1983.
Kapitel 2
Elektrische Ladungen
2.1 Grundphanomene der Elektrodynamik
In der Elektrodynamik hat man es mit elektrischen Ladungen, statischen und
bewegten (Strome), einerseits sowie elektrischen, bzw. magnetischen Feldern
andererseits zu tun; eines ist vom anderen nicht trennbar: Jede Ladung ist Quelle
von Feldern und Felder sind nur durch ihre Wirkung auf Ladungen nachweisbar!
Ladungen sind immer an Materie mit nichtverschwindender Ruhemasse
gebunden, z.B. Elektronen, Protonen etc., Felder konnen sich in Form von
Licht durch den leeren, d.h. materiefreien Raum bewegen und Energie
und Impuls transportieren.
Eine umfassende und vollstandige Theorie, die alle elektromagetischen Phanomene,
vor allem auch die atomaren, befriedigend erklart - z.B. auch die universelle "Quantisierung" der elektrischen Ladung - gibt es bisher nicht, jedoch beschreibt die Maxwellsche Theorie ausgezeichnet die makroskopischen elektromagnetischen Erscheinungen.
Im atomaren Bereich mussen i.a. Quanteneekte berucksichtigt werden (bei Abstanden
von ca. 10?10 m und weniger).
Die elektrische Ladung hat eine atomistische Struktur: es gibt eine kleinste
nichtverschwindende elektrische Ladungseinheit e0 > 0 und alle in der Natur
vorkommenden Ladungen sind positive oder negative ganzzahlige Vielfache Ze0 dieser Elementarladung e0.
Trager von +e0: Proton, Positron, Deuteron etc.,
Trager von ?e0 : Elektron, Antiproton etc.
Wahl der Vorzeichen ist historisch bedingte Konvention!
Das Elektron ist das leichteste bekannte Teilchen (me = 9; 1093897(54) 10?31 kg), das die Ladungseinheit ?e0 tragt. (Die in Klammern stehende 54
bedeutet den Fehler von einer Standardabweichung bezogen auf die beiden letzten
Ziern - hier 97 - der vorausgehenden Zahl!)
Leichtestes Teilchen mit Ladung +e0 ist das Positron, das sich vom Elektron nur
durch das Vorzeichen der elektr. Ladung unterscheidet (sog. "Antiteilchen" vom
Elektron; in unserer Umgebung des Kosmos uberwiegen bei weitem die Elektronen).
3
KAPITEL 2. ELEKTRISCHE LADUNGEN
4
Der tiefere Grund fur die atomistische Struktur der Ladungen ist bisher nicht bekannt! Insbesondere wei man nicht, warum physikalisch so unterschiedliche Teilchen wie Positron und Proton die genau gleiche elektrische Ladung haben!
Elektrische Ladungen haben folgende (u.a.) voneinander unabhangige wichtige Eigenschaften:
Fur die Gesamtladung eines abgeschlossenen Systems gilt ein Erhaltungssatz und: raumlich getrennte Ladungen uben Krafte aufeinander aus:
2.2 Elektrische Ladung als Erhaltungsgroe
2.2.1 Mikroskopische Formulierung
In einem isolierten System (z.B. einem Stuck Materie) benden sich zu einem bestimmten Zeitpunkt t = t0 N+ positive und N? negative Elementarladungen, d.h.
die Gesamtladung des Systems zum Zeitpunkt t0 ist:
Q(t0 ) = N+ (t0)e0 ? N?(t0)e0 = (N+(t0 ) ? N? (t0))e0
Dann gilt folgender Erhaltungssatz:
Die Groe Q(t0 ) bzw. (N+ ? N? ) ist fur ein isoliertes System zeitlich konstant, d.h. jede A nderung von N+ wird durch eine entsprechende A nderung von
N? kompensiert!
Beispiele: Falls ein Elektron (N? = 1) in ein Proton (N+ = 1) "fallt", so
entstehen ein Neutron (N+ = N? = 0) und ein Neutrino (N+ = N? = 0); oder:
Falls Elektron und Positron "zusammenfallen", so "zerstrahlen" sie in Licht (N+ =
N? = 0).
Der Satz von der Erhaltung der Gesamtladung eines isolierten Systems ist ein
Erfahrungssatz. Da das Elektron (bzw. das Positron) das leichteste aller geladenen Teilchen ist, so hangt der Erhaltungssatz an der Stabilitat des isolierten Elektrons (bzw. Positrons). Messungen (Untersuchungen des durch Ladungserhaltung "verbotenen" Zerfalls Elektron! Neutrino + Photon oder: Zerfall
e? ! 2e + e) haben ergeben: fur die Lebensdauer e des Elektrons gilt
e 1022 Jahre!! (Alter des Kosmos: 1010 Jahre!)
Merke: Satz von der Ladungserhaltung ist unabhangig davon, ob man e0 "messen" kann (dies geschieht erst durch das Coulombsche Gesetz), man mu nur die
Anzahl der positiven und negativen Elementarladungen abzahlen.
2.2.2 Makroskopische Formulierung des Satzes von der
Erhaltung der Gesamtladung eines abgeschlossenen
Systems
?!
Notation: O : fester Punkt im Raum, P : beliebiger Punkt. OP = ~x : "Ortsvektor"
von P ;
B (O; e~1; e~2; e~3 ): orthogonale Basis in O. ~x = x1 e~1 + x2 e~2 + x3 e~3 ; xi 2 R; i = 1; 2; 3:

2.2. ELEKTRISCHE LADUNG ALS ERHALTUNGSGROE
5
?!
k OP k k~xk r : "Lange" von ~x, gemessen in Metern [m]. xi : Kartesische
Koordinaten.
k~xk2 = x21 ke~1k2 + x22 ke~2 k2 + x23 ke~3 k2; ke~ik = 1[m]; i = 1; 2; 3;
so da
k~xk = +(x21 + x22 + x23 ) ; ~x ~y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 :
Bei festen e~i : ~x $ (x1 ; x2 ; x3) 2 R3 . Ortsvektoren bilden 3-dim. Vektorraum (s.
Mechanik-Skriptum).
Zeitkoordinate: t, gemessen in Sekunden [s].
Makroskopische Groenordnung von N+; N?: ca. 1024. Abstand der Atome: ca.
10?10 m.
Dies legt makroskopisch folgende Approximation (mathem. Idealisierung!) nahe:
Ladungen sind kontinuierlich verteilt.
Mathem. Prazisierung: Sei V das Volumen einer Umgebung des Punktes P ,
in der sich die Ladung q(V ) zum Zeitpunkt t bendet; dann deniert man als
Ladungsdichte:
q(V ) :
(~x; t) = lim
V !0 V
(Mathem.: (~x; t) ist eine reellwertige Funktion von ~x und t.) Ist G ein beschranktes
raumliches Gebiet, dann ist
1
2
Qt (G) =
Z
G
d3x(~x; t)
die zur Zeit t in G enthaltene Ladung.
Es sei ~v(~x; t) die Geschwindigkeit der Ladungstrager am Orte ~x zum Zeitpunkt t.
Def.:
~j (~x; t) = (~x; t)~v(~x; t) : Stromdichte :
Einfache Anwendung:
und ~v seien von ~x unabhangig und f~ = ~a ~b die orientierte Flache des von ~a und
~b aufgespannten Parallelogramms, wobei kf~k = k~akk~bk sin 6 (~a; ~b)
. .
.
. .
.
~b .
6
?
P?
O
r
:?
~x
~|??
*
HH
HH
HH
j
~a
f~ = ~a ~b
KAPITEL 2. ELEKTRISCHE LADUNGEN
6
Dann ist
~j f~ = k~j k kf~k cos(6 ~j ; f~) = I (f~; t)
der zur Zeit t durch die Flache f~ hindurchtretende "Stromu".
Anm.: Mathematiker nennen ~j (~x; t) eine vektorwertige Funktion von ~x und t,
wahrend Physiker ~j (~x; t) als "Vektorfeld" bezeichnen.
Sei G ein (zeitlich unveranderliches) raumliches Gebiet.R Dann kann sich wegen
der Ladungserhaltung die in G vorhandene Gesamtladung G d3x(~x; t) nur dadurch
andern, da Ladungen durch die Oberache @G von G herein- oder herausieen.
Mathematische Formulierung mit Hilfe des "Oberachen"-Integrals: Annahme: @G
setze sich aus endlich vielen "glatten" orientierten Flachenstucken zusammen.
Dention eines glatten orientierten Flachenstuckes F ": Sei S " ein einfach zusammenhangendes Gebiet im R2 und F " R3 ein ein-eindeutiges Bild von S ":
' $
v
~ev
6
?
6
-
~eu
S
:
K
A
A
A
A
T
6
6
A
T
6
Au
T 3
T T
T
T
v const
-
F
u
O
r
~x
~tv
??
P ?
H?H = const
HHj
=
~tu
%
Dabei gilt ~x = ~x (u; v) fur ~x 2 F " , wobei die xi (u; v); i = 1; 2; 3; 1-mal stetig
dierenzierbare Funktionen von u und v seien.
Die Tangentialvektoren t~u bzw. t~v an die Kurven u = const: bzw. v = const:
durch ~x(u; v) 2 F " sind durch
@ ~x(u; v); t~ (~x) = @ ~x(u; v)
t~u(~x) = @u
v
@v
gegeben und sind wegen der vorausgesetzten Eineindeutigkeit der Abb. immer linear
unabhangig!
S " sei so orientiert, da seine Normale durch e~u e~v gegeben ist und die Randkurve
von S " sei so orientiert, da beim positiven Durchlauf von Rd S " das Gebiet S "
immer links liegt.
Die Normale von F " im Punkte ~x(u; v) ist ein positives Vielfaches von t~u t~v ,
d.h. die Orientierung von S " "induziert" eine Orientierung von F " !
Ist uv die Flache eines "kleinen" Rechteckes in der Umgebung von (u,v)
in S ", so entspricht ihm approximativ das orientierte Flachenelement f~(~x) (t~u t~v )uv in der Umgebung von ~x(u; v) 2 F ".
Konsequenzen:

2.2. ELEKTRISCHE LADUNG ALS ERHALTUNGSGROE
7
1. Der Flacheninhalt von F " ist gegeben durch
Z
F
kdf~ k "
Z
S
k~t ~tv k du dv =
" u
Z
2 2 ? (~tu ~tv )2 ] 21 du dv :
[~tu ~tv
S"
2. Sei j (~x; t) die Stromdichte in ~x(u; v) 2 F " zur Zeit t, dann iet der Strom
I ~j (~x; t) f~[~x(u; v)] durch f~ in Richtung t~u t~v , d.h. durch F " iet
zur Zeit t der Strom
I (F ") =
t
Z
F
~j (~x; t) df~ =
"
Z
S"
~j [~x(u; v); t] (t~u t~v )du dv
Die Oberache @G eines beschrankten raumlichen Gebietes G lat sich aus mehreren
glatten Flachenstucken Fi" ; i = 1; 2; : : :zusammensetzen. Ihre Orientierungen seien
so gewahlt, da die Flachennormalen t~ui t~vi in ~x(ui; vi) immer "nach auen" weisen.
Dann bedeutet ~j (t~ui t~vi ) > 0: Positive Ladung iet nach auen, bzw. negative
Ladung nach innen.
Der Satz von der Ladungserhaltung kann nun so formuliert werden:
Z
Z
@
3
? @t G (~x; t)d x = @G ~j (~x; t) d~f:
Es sei @t (~x; t); @t @=@t; in einer Umgebung G mit Volumen V (~x) stetig, dann
gilt (Mittelwertsatz)
Z
~j (~x; t) d~f;
?@t (~x; t)V (~x) @ G
bzw.
Z
1
~j (~x; t) df~ div~j (~x; t)
?@t (~x; t) = Vlim
(~x)!0 V @ G
Dies ist die "lokale" Form des Satzes von der Ladungserhaltung.
Berechnung von div~j ("Divergenz" des Vektorfeldes ~j (t; ~x)) fur kartesische Koordinaten, bei denen G die Form eines Quaders mit den Seitenlangen xi ; i = 1; 2; 3;
hat:
V
x3 6
~|(~x; t)
>
. ..
x2
?
x3
~x
?
x1
x2
?
*
? ? ?
-
x1
KAPITEL 2. ELEKTRISCHE LADUNGEN
8
Z
@ G
d.h.
~j d~f j1 (x1 + x1 ; : : :)x2 x3
+ j2 (: : : ; x2 + x2 ; : : :)x1 x3
+ j3 (: : : ; x3 + x3 )x1 x2
? j1 (~x)x2 x3 ? j2 (~x)x1 x3 ? j3(~x)x1 x2 : : :
@
div~j (~x; t) = @1 j1 (~x; t) + @2 j2 (~x; t) + @3 j3 (~x; t); @i @x
i
Die "feldtheoretische" ("lokale") Formulierung
@t (~x; t) + div~j (~x; t) = 0
von der Erhaltung der Ladung bezeichnet man auch als "Kontinuitatsgleichung".
Sei G ein Gebiet R3 mit einem Rand @G, der aus endlich vielen glatten
Flachenstucken besteht. Dann ergibt sich aus den obigen Gleichungen:
Z
@G
d~f ~j =
Z
G
div~j d3x
Dies ist Spezialfall des Gauschen Satzes fur vektorwertige Funktionen:
Ist A~ (~x) ein in G stetig dierenzierbares Vektorfeld, so gilt
Z
P
@G= n
X
~
~
A
(
~
x
)
df
"
i=1 Fi
n
Z
~
~ ~
" A[~x(ui ; vi )] (tui tvi )dui dvi =
i=1 Si
Z
G
divA~ (~x)d3x;
wobei Fi" stetig dierenzierbares Bild von Si" = (ui; vi) R2 mit ~tui ~tvi 6= 0.
Das Oberachenintegral ist von der speziellen Form der Parametrisierung ~x(ui; vi)
unabhangig (s. U bungen).
2.3 Krafte zwischen Ladungen
Ladungen lassen sich nicht nur abzahlen (als Vielfache der Ladung vom Elektron),
sondern auch messen (bezuglich bestimmter Einheiten), da raumlich getrennte Ladungen Krafte aufeinander ausuben:
Zunachst sei ~j (~x; t) = 0 fur alle ~x und t. Dann folgt aus der Kontinuitatsgleichung @t (~x; t) = 0, d. h. (~x; t) ist zeitlich konstant: Elektrostatik.
Seien q1 und q2 die Ladungen in "kleinen" Umgebungen Gi von den Punkten
Pi mit Ortsvektoren ~xi; d.h. fur den Durchmesser di von Gi gilt di k~x1 ?~x2 k; i =
1; 2: Im Limes di ! 0 spricht man von "Punktladungen" in ~xi . Ferner sei (~x) 0
fur ~x 62 Gi .Dann ubt die "statische" Ladung q2 auf q1 die Kraft (Coulombsches
Gesetz)
1 q2 x~1 ? x~2
K~ 12 = 4q"
0 kx~1 ? x~2 k3

2.3. KRAFTE
ZWISCHEN LADUNGEN
9
aus . Die Konstante "0 hangt von der Wahl der Einheiten ab: man kann (wie
Gau) "0 = 1=4 setzen und dann die Ladung in Einheiten (dyn cm2) = cm s?1 g
messen. Man erhalt dann fur die Elementarladung:
e0 = 4:80 : : : 10?10 cm s?1 g
Die Techniker und Experimentalphysiker benutzen jedoch i.a. andere Einheiten:
Grundeinheit (auer m, s und kg): Stromstarke (Ladungen pro Sekunde),
gemessen in Ampere [A]. Die Einheit der Ladung ist jetzt: Ampere Sekunde =
"Coulomb". Jetzt mu man "0 experimentell bestimmen. Messungen ergeben:
"0 = 8; 854187817 10?12A s m?1 V ?1 ; V = V olt = kg m2 s?3 A?1
Fur die Elementarladung e0 erhalt man nun:
e0 = 1; 60217733(49) 10?19A s
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
2.3.1 Eigenschaften der Coulomb-Krafte
1. K~12 = ?K~21 ("actio = reactio")
2. Gleichartige Ladungen, q1q2 > 0, stoen sich ab, ungleichartige, q1 q2 < 0,
ziehen sich gegenseitig an.
3. Zur experimentellen Genauigkeit: Untersucht wurden die Abweichungen
vom Coulombschen Gesetz fur r = kx~1 ? x~2 k ! 1 und fur r ! 0.
Groe Abstande: Hier parametrisiert man mogliche Abweichungen vom Coulomb-Gesetz in der Form
kK~ 12 k = const: r12 e? r :
Man kann zeigen, da der Parameter physikalisch als inverse ComptonWellenlange des Photons interpretiert werden kann:
= 1( ) = mh c ;
c
wobei m die Ruhemasse des Photons ist. Aus verschiedenen Messungen ergeben sich die folgenden oberen Schranken fur m :
Messungen am Kugelkondensator (1971): m 1; 6 10?47g.
Messungen des magnetischen Dipolfeldes vom Jupiter mittels Raumsonden
(1975): m 8 10?49g.
Rechnungen zur Stabilitat von Galaxien in Zusammenhang mit den dort vorhandenen magnetischen Feldern: m 10?59g.
Kleine atomare Abstande ( r 10?10 cm): Hier bekommt man Modikationen der 1=r-Singularitat des Coulomb-Gesetzes durch relativistische Quanteneekte, die z.B. zu einer zusatzlichen Aufspaltung von Wasserstoinien
fuhren.
10
KAPITEL 2. ELEKTRISCHE LADUNGEN
4. Superposition von Kraften: Sind qi statische "Punktladungen" an den Raumpunkten x~i ; i = 1; : : : ; n; und ist q eine Punktladung im Raumpunkt ~x, so ergibt sich fur die Gesamtkraft K~ (q; ~x) durch Vektoraddition ("Superposition")
der Einzelkrafte K~ i:
n q (~x ? ~x )
1 qX
i
i
K~ (q; ~x) = 4"
:
k
~
x
?
x
~
k
0 i=1
i 3
Diese Gleichung gilt nur dann, falls das "Hereinbringen" der Ladung q die
Ladungen qi raumlich nicht verschiebt. Gegenbeispiel: qi seien Ladungen
in einer nach auen neutralen metallischen Kugel, in der sich die Ladungen
qi frei bewegen konnen. Bringt man nun q in die Nahe der Metallkugel, so
verschieben sich die qi derart, da q von der Metallkugel mit einer Kraft
angezogen wird, die proportional zu q2 ist! (nicht, wie oben proportional zu
q). Der Grund hierfur ist "Inuenz" (s. weiter unten).
Verallgemeinerung: die Ladungsdichte (~y) sei in einem beschrankten Gebiet G
von Null verschieden: (~y) 6= 0 fur ~y 2 G, dann wirkt auf eine Ladung q im Punkt
~x 62 G die Kraft
1 q Z (~y)(~x ? ~y) d3y:
K~ (q; ~x) = 4"
k~x ? ~yk3
0
G
Sind die Ladungen nicht raumlich sondern achenhaft verteilt, so tritt an die Stelle
der raumlichen Ladungsdichte die Flachendichte: es sei F " ein Flachenstuck und
f = kf~k(~y) eine Umgebung F " von ~y 2 F ", in der sich die Ladung q
bendet, dann ist
q
!(~y) = lim
f !0 f
die Flachendichte der Ladung in ~y .
Sei F " ein endliches glattes Flachenstuck und q eine Ladung in ~x 62 F ", dann
gilt analog zu oben
1 q Z !(~y)(~x ? ~y) kdf~ k .
K~ (q; ~x) = 4"
0 F " k~x ? ~yk3
Kapitel 3
Statische Elektrische Felder
Das Coulombsche Gesetz ist zunachst formuliert fur Krafte zwischen Ladungen an
verschiedenen Raumpunkten (sogenannte "Fernwirkungstheorie"). Es lat sich
jedoch in folgendem ("feldtheoretischen") Sinne uminterpretieren:
Die obigen Ausdrucke fur die Kraft K~ (q; ~x) "faktorisieren" in 2 Groen:
K~ (q; ~x) = q E~ (~x); wobei
n q (~x ? ~x )
1 X
i
i
E~ (~x) = 4"
;
k
~
x
?
~
x
k
0 Zi=1
i 3
(~y)(~x ? ~y) d3y;
oder E~ (~x) = 1
4"0 ZG k~x ? ~yk3
1
!(~y)(~x ? ~y) kdf~k(~y):
bzw. E~ (~x) = 4"
0 F k~x ? ~yk3
Hier hangt der 1. Faktor q nur von der Gesamtladung q des "Massenpunktes" in ~x
ab und E~ (~x) nur von den qi bzw. (~y) und ihren Lagen x~i bzw. ~y.
Man bezeichnet E~ (~x) als die von den Ladungen qi (bzw. ; !) erzeugte elek-
trische Feldstarke!
Der entscheidende Fortschritt (dies wird erst spater deutlich) entstand (durch Faraday und Maxwell) in der Elektrodynamik dadurch, da man dem Feld E~ (~x) eine
eigene physikalische "Existenz" zuschrieb, unabhangig davon, ob die "Test"-Ladung
q in ~x vorhanden ist oder nicht!!
Die elektrische Feldstarke E~ (~x) ist eine vektorwertige Funktion bzw.
ein "Vektorfeld", das sich so bestimmen lat:
1. Durch Messung der Kraft K~ (q; ~x) auf eine an den Punkt ~x gebrachte "Probe"-Ladung q. Hierbei ist u.a. wichtig, da das mit der Testladung q selbst
verknupfte elektrische Feld gegenuber E~ (~x) vernachlassigbar ist, da man sonst
etwas anderes als E~ (~x) (ohne q) messen wurde, d. h. man ist an
1 K~ (q; ~x)
E~ (~x) = qlim
!0 q
interessiert. E~ wird hier als "aueres" Feld betrachtet! Da i.a. die Probekorper, auf denen die Testladungen sitzen, eine endliche Ausdehnung haben,
11
KAPITEL 3. STATISCHE ELEKTRISCHE FELDER
12
so lassen sich dann auch nur Mittelwerte < E~ > (~x) messen, wobei uber das
Volumen des Probekorpers gemittelt ist.
2. Falls man die Ladungsverteilungen qi(~xi ), bzw. (~x) genau kennt, dann kann
man E~ (~x) berechnen.
3.1 Gauscher Satz uber Felder und Ladungen
Frage: Gegeben sei ein Gebiet G mit Rand @G. Bekannt sei die elektrische Feldstarke
E~ (~x) fur ~x 2 @G ; was lat sich uber die Ladungen in G sagen ?
G enhalte den Punkt ~x = 0 im Innern und dort (und zunachst nur dort) bende
sich die Ladung q, und damit im Punkte ~x das Feld
1 q ~x :
E~ (~x) = 4"
0 k~xk3
Fur ~x 6= 0 gilt
2
@i ( k~xxki 3 ) = k~x1k3 ? 3 (kx~xik)5 ; i = 1; 2; 3;
und damit
divE~ =
3
X
i=1
@iEi (~x) = 0; falls ~x 6= 0:
Fur ~x = 0 ist divE~ wegen der Singularitat des Nenners von E~ zunachst nicht
deniert.
Ausweg:
G
-"
'$@G
K pa ~x = 0
&%
Da ~x = 0 im Innern von G liegt, so gibt es immer eine Kugel K vom Radius a mit
Oberache OK" , die den Mittelpunkt ~x = 0 hat und ebenfalls ganz in G liegt. Die
Anwendung des Gauschen Satzes auf G ? K ergibt
0=
Z
G?K
~ 3x =
divEd
Z
@ (G?K )
E~ df~ =
"
Z
@G
E~ df~ ?
"
Z
@K "
E~ df~:

3.1. GAUSCHER SATZ UBER
FELDER UND LADUNGEN
13
Anmerkung: Bei @ (G ? K )" zeigt die Normale von OK in die Kugel, bei @K "
aus ihr heraus!
Wegen
Z
Z
q
~
~
kdf~k = "q
" E df = 4" a2
erhalt man
OK
"0
0
Z
@G"
OK
0
E~ df~ = q
Benden sich innerhalb des Gebietes G n verschiedene Ladungen q1 ; : : : ; qn, so ergibt
sich analog
Z
n
X
"0 " E~ df~ = qi = Q(G)
@G
Def.: Man nennt
i=1
Z
E~ df~
den "Flu der elektrischen Feldstarke E~ durch die Flache @G" ".
Die obige Formel enthalt die fundamentale Aussage: Der Flu der elektrischen
@G"
Feldstarke durch die Oberache eines Gebietes ist ein unmittelbares Ma
(=Q(G)="0) fur die im Gebiet vorhandenen Ladungen!! (Gau).
3.1.1 Die Diracsche Delta-"Funktion"
Die gerade diskutierten Beziehungen lassen sich mathematisch folgendermaen interpretieren:
Die Gleichung
Z
"0 " E~ df~ = q
@G
ergibt sich formal aus dem Gauschen Satz, falls
(
Z ~x df~ 1 Z
~
x
fur ~x = 0 2 G
3
=
d
x
div 3 = 01;; f
3
ur ~x = 0 62 G
4 G
k~xk
@G 4 k~xk
Prazisierung: Man deniert
(~x) div 4k~x~xk3 = ?div(grad 41k~xk ) = ? 4k1~xk ;
wobei
= @12 + @22 + @32 :
Die Groe (~x) ist keine Funktion im ublichen Sinne, jedoch eine wohldenierte
mathematische Groe:
Sei (~x) eine Funktion, die (hier) mindestens einmal stetig dierenzierbar ist und die
fur k~xk a verschwindet (Beispiel: (~x) = exp(?a2 =(a2 ? k~xk2)) fur r k~xk < a
, und (~x) = 0 fur r a), dann hat man fur ein Vektorfeld A~ (~x) wegen
div( A~ ) = A~ grad + divA~
KAPITEL 3. STATISCHE ELEKTRISCHE FELDER
14
die Relation
Z
Z
Z
Z
~A grad d3x + divA~ d3x:
@G
G
G
G
R
Wahlt man so, da (~x) = 0 fur ~x 2 @G, dann ist @G A~ df~ = 0, d.h.
Z
Z
3
~
(~x) divA d x = ? A~ grad d3x:
A~ df~ =
div( A~ ) d3x =
G
G
Diese Gleichung wird zur Denition des "Funktionals" oder der "Distribution" (~x)
benutzt:
Z
Z
Z
~x=0[] d3x (~x) (~x) = d3 x (~x) 41 div k~x~xk3 = ? 41 k~x~xk3 grad d3x:
Die Berechnung des Integrals erfolgt mittels Polarkoordinaten:
x1 = r cos ' sin #
x2 = r sin ' sin #
x3 = r cos # :
Mit ~(r; '; #) (~x) gilt: ~x grad = r @ ~=@r. Wegen
d3x = r2 dr d
= r2 sin # dr d' d#
ergibt sich
Z
Z Z1
? 41 r~x3 gradd3 x = ? 41 d
0 dr @r@ ~(r; '; #)
Z
= ? 41 d
[~| (r = {z
1; '; #}) ?~(r = 0; '; #)]
=0
= (~x = 0);
da ~(r = 0; '; #) = (~x = 0). Es gilt also
Z
~x=0[] d3x (~x) (~x) = (0)
Die zunachst formal eingefuhrte Groe (~x) hat demnach folgende inhaltliche Bedeutung:
Ist (~x) eine mindestens einmal stetig dierenzierbare Funktion, die fur
r ! 1 hinreichend stark verschwindet, ( heit auch "Testfunktion"),
so bedeutet (~x), bzw. 0 [] ein sogenanntes "Funktional", "Distribution"
oder "Verallgemeinerte Funktion" , die der Funktion (~x) ihren (reellen
oder komplexen) Wert (~x = 0) zuordnet.
Anmerkung: In dieser Weise kann man das -Funktional - das in der physikalischen
Literatur als "Diracsche -Funktion" bezeichnet wird - naturlich auch in einer,

3.1. GAUSCHER SATZ UBER
FELDER UND LADUNGEN
15
zwei etc. Dimension einfuhren.
Ist ~b ein beliebiger Raumpunkt, so deniert man
Z
Z
~b[] = d3 x(~x)(~x ? ~b) = d3x(~x + ~b)(~x) = (~b)
Aus der Denition von (~x) folgt
(?~x) = (~x); (~x) = ?3(~x) ; > 0;
Die Distribution ~b(~x) = (~b) ist auch deniert, falls nur stetig ist!
3.1.2 Ladungen als Quellen von elektrischen Feldern
Ist
so gilt
n q (~x ? x~ )
1 X
i
i
;
E~ (~x) = 4"
0 i=1 k~x ? x~i k3
X
"0divE~ (~x) = qi (~x ? x~i)
n
i=1
Anstatt diskreter Ladungen q1; : : : ; qn sei eine einmal stetig dierenzierbare Ladungsverteilung (~x) gegeben, die auerhalb eines beschrankten Gebietes G verschwindet. Zunachst gilt fur ~x 62 G:
Z
3 y(~y) (~x ? ~y) :
~E (~x) = 1
d
4"0 G
k~x ? ~yk3
Die rechte Seite existiert jedoch auch fur ~x 2 G! Beweis: Man lege um den Punkt
~x eine kleine Kugel K mit Radius a, so da K G. Das Integral
Z
Z
d3y k(~x~x??~y~yk)3 = d3z k?~zk~z3 ; ~z = ~y ? ~x;
K
K
existiert, da zwar der Integrand wie k~zk?2 bei ~z = 0 singular wird, das Volumen des
Integrationsgebietes jedoch wie k~zk3 gegen Null geht! Aufgrund des Mittelwertsatzes gilt
Z
Z
3 y (~y ) (~x ? ~y) = (~x) lim d3 z ?~z = 0;
lim
d
a!0 K
a!0 K
k~x ? ~yk3
k~zk3
d.h. bei stetigem (~x) tragt der Punkt ~x = ~y zu dem obigen Integral uber G nicht
bei.
Fur divE~ erhalt man
Z
1
3 y(~y)divx ( ~x ? ~y ):
~
divE (~x) =
d
4"0 G
k~x ? ~yk3
(divx= Divergenz-Bildung bezuglich ~x.) Wegen
1 div ( ~x ? ~y ) = (~x ? ~y) = (~y ? ~x)
4 x k~x ? ~yk3
KAPITEL 3. STATISCHE ELEKTRISCHE FELDER
16
erhalt man, da (~y) als "Testfunktion" interpretiert werden kann,
Z
divE~ (~x) = "1 d3 y(~y)(~y ? ~x) = "1 ~x[] = "1 (~x):
0
0
0
Als "lokale" Beziehung zwischen E~ (~x) und (~x) haben wir demnach die fundamentale Gleichung
"0 divE~ (~x) = (~x) :
Ist (~x) vorgegeben, so hat man umgekehrt (s. oben):
1 Z d3y (~y)
E~ (~x) = ?grad'(~x); '(~x) = 4"
k~x ? ~yk
0
und wegen div(grad') = '; genugt '(~x) der Gleichung
4'(~x) = ? "1 (~x) :
0
Man nennt ' "elektrisches Potential" (s. unten)
Bemerkung: Bei Punktladungen kann man (formal)
(~x) =
n
X
i=1
qi(~x ? x~i )
denieren.
Bisher ist "0divE~ = fur Punktladungen und Raumladungen deniert, es fehlen
noch die Flachenladungen:
Es sei weiterhin E~ (~x) = ?grad'(~x), wobei '(~x) uberall stetig sein soll, im Unendlichen mindestens wie k~xk?1 verschwinden und ferner E~ (~x) fur groe k~xk mindestens
wie k~xk?2 abfallen soll.
Sind f1(~x); f2 (~x) zwei Funktionen, so gilt
div(f1 gradf2) = (gradf1)(gradf2 ) + f1 div(gradf2):
Subtrahiert man hiervon div(f2 gradf1), so erhalt man
div(f1 gradf2 ? f2 gradf1 ) = f1 4f2 ? f2 4f1;
und durch Integration die Formel (Green)
Z
@G
Anwendung auf
Z
~
(f1 gradf2 ? f2 gradf1 ) df = (f1 4f2 ? f24f1)d3x :
G
f1 = '(~x); f2 = 41 k~x ?1 ~yk :

3.1. GAUSCHER SATZ UBER
FELDER UND LADUNGEN
17
Da 4'(~x) = ?(~x)="0; 4f2 = ?(~x ? ~y); so folgt
1 Z ( E~ (~y) ? (~x ? ~y) '(~y)) df~(~y) =
4 @G k~x ? ~yk k~x ? ~yk3
(
1 Z d3 y (~y) ? '(~x) fur ~x 2 G ? @G
0
fur
~x 62 G
4"0 G k~x ? ~yk
Bemerkung: Sitzen auf dem Rande @G Flachenladungen, so wird E (~x) dort i.a.
nicht stetig sein. Bei dem obigen Oberachenintegral ist dann E~ i E~ innen zu
nehmen.
Da G beschrankt ist, so gibt es eine Kugel K mit Radius a derart, da G K .
Analog zu oben erhalt man:
1 Z
[E~ (~y) 1 ? ~x ? ~y 3 '(~y)] df~(~y)
4 @(K ?G)
k~x ? ~yk Z k~x ? ~yk
Z
1
=
(: : :) df~(~y) ? 1 (: : :) df~
4 @KZ
4 (@G
(~y) d3y ? '(~x) fur ~x 2 (K ? G) ? @ (K )
1
= 4"
0
fur ~x 62 (K ? G)
0 K ?G k~x ? ~yk
Hier ist bei dem Integral uber @G fur die Feldstarke E~ = E~ a E~ auen zu nehmen!
Im Limes a ! 1 verschwindet das Integral uber @K , da der Integrand mindestens
wie k~x ? ~yk?3 gegen Null geht, die Oberache von K aber nur wie k~yk2 anwachst!
Also gilt:
Z
(~x ? ~y) '(~y)) df~(~y)
?
k~x ? ~yk ( k~x ? ~yk3
@G
Z
3 y (~y) ? '(~x) fur ~x 2 (R3 ? G)
= 1
d
0
fur ~x 62 R3 ? G
4"0 R ?G k~x ? ~yk
? 41
(E~ a(~y)
1
3
Addiert man die Integrale uber G und R3 ? G, so bekommt man
1 Z d3y (~y) + 1 Z (E~ a ? E~ i) df~(~y):
'(~x) = 4"
k~x ? ~yk 4 @G k~x ? ~yk
0 R
3
Der erste Term auf der rechten Seite ist von fruher her bekannt. Der zweite ist
folgendermaen zu interpretieren: Fur E~ (~x) = ?grad'(~x) erhalt man
Z (~x ? ~y)
~ ~ ~
~E (~x) = 1
4 @G k~x ? ~yk3 (Ea ? Ei ) df (~y):
18
KAPITEL 3. STATISCHE ELEKTRISCHE FELDER
Ist ~n(~y) (= t~u t~v =kt~u t~v k) der nach auen zeigende Flachennormalen-Vektor im
Punkte ~y, so folgt (s. Kap. 2.3.1, Zier 4):
"0(E~ a (~y) ? E~ i (~y)) ~n(~y) = !(~y);
! : Flachendichte der Ladung.
Zusammenstellung der wichtigsten bisherigen Formeln uber den Zusammenhang
zwischen Ladungsverteilungen und den zugehorigen statischen Feldern:
"0 divE~ (~x) = Pni=1 qi (~x ? ~yi); oder
"0 divE~ (~x) = (~x); oder
"0(E~ a ? E~ i)(~x) ~n(~x) = !(~x) :
Einige einfache Anwendungen
~ , dann ist divE~ = 0, d.h. ein konstantes elektrisches Feld
1. Es sei E~ = const:
kann es nur dort geben, wo (~x) = 0. Allerdings folgt aus divE~ (~x) = 0 nicht,
~
da E~ = const::
Ist dagegen E~ = ~x, so folgt divE~ = 3 = const: In diesem Falle ist =
3 "0 = const::
2. (~y) hange nur von k~yk ab, dann hat
Z ()
3y
~E (~x) = ?grad'(~x); '(~x) = 1
d
4"0 G k~x ? ~yk
nur eine Komponente in ~x-Richtung:
E~ (~x) = Er~er ; ~er = k~~xxk ; fur = (k~yk);
falls auch das Gebiet G allein mit Hilfe des Abstandes beschrieben werden
kann.
Beweis: Man fuhre raumliche Polarkoordinaten y1 = cos sin #; y2 = sin sin #;
y3 = cos # so ein, da die y3-Achse mit der durch den (festen!) Vektor ~x denierten Richtung zusammenfallt. Dann wird k~x ? ~yk = (r2 + 2 ? 2r cos #)
und
1 Z d d d# 2 sin #
()
'(~x) = 4"
(r2 + 2 ? 2r cos #)
0 G
Da das Gebiet G nicht von den Winkeln abhangen soll, so lat sich die Integration uber sofort ausfuhren:
1
2
1
2
Z f () Z 2
:
d d# 2 2sin #()
'(~x) = 21"
0
(r + ? 2r cos #)
0
1
2

3.1. GAUSCHER SATZ UBER
FELDER UND LADUNGEN
19
Hierbei beschreibt die Funktion f () die nach Voraussetzung nur vom Abstande abhangige Begrenzung des Integrationsgebietes G. Setzt man z =
cos #, so folgt wegen
d (r2 + 2 ? 2r z) = ?r (r2 + 2 ? 2r z)? ;
dz
da
Z f (r)
Z f (r)
i+1
h
'(~x) = ? 2"1 r
d () (r2 + 2 ? 2r z)1=2 ?1 = 1r
d 2 ();
0
0
und daher '(~x) = '(r).
Man kann Er (r) auch einfach mittels des Gauschen Satzes aus divE~ (~x) =
(~x)=0 berechnen:
Integration uber die Oberache O(r) einer Kugel K (r) vom Radius r ergibt
Z
Z
~E d~f = Er (r)
kdf~k = 4r2Er (r):
1
2
1
2
O(r)
O(r)
Andererseits erhalten wir fur die Ladung in der Kugel :
Zr
3
d y() = 4 d2():
Q(r) =
0
K (r)
Z
Der Gausche Satz liefert dann
1 Q(r) ; Q(r) = 4 Z r d 2():
Er (r) = 4"
0
0 r2
Spezialfall:
Sei = const: 6= 0 fur r a und = 0 fur r > a dann gilt
Er (r) = 31" r fur r < a ;
0
1 Q ; fur r a ;
1
Er (r) = 3" a3 r12 = 4"
0
0 r2
wobei Q die Gesamtladung. Das Resultat besagt, da eine Testladung sich
im Innern der Kugel im Kraftfeld eines radialsymmetrischen harmonischen
Oszillators und auerhalb wie im Feld einer Punktladung Q bewegt.
3. Flachenladungen: Die (x1 ; x2)-Ebene sei mit Ladungen der Dichte ! =
const: 6= 0 belegt. Dann haben wir
1 Z Z +1 ! (~x ? ~y) dy dy :
E~ (~x) = 4"
1 2
0 ?1 k~x ? ~yk3
Variablensubstitution ~u = ~y ? ~x = (y1 ? x1 ; y2 ? x2 ; ?x3 ); y3 = 0 ergibt:
Z Z +1 u1;2
!
E1;2(~x) = ? 4"
du1du2;
0 ?1 k~uk3
du1du2
! x Z +1 Z
:
E3(~x) = 4"
3 ?1
(u21 + u22 + x23 )
0
3
2
KAPITEL 3. STATISCHE ELEKTRISCHE FELDER
20
Mittels Variablensubstitution u1 ! ?u1; u2 ! ?u2 sieht man, da E1;2 =
?E1;2 = 0. Die Einfuhrung von Zylinderkoordinaten (u1 = cos #; u2 =
sin #) ergibt
"
#1
Z 1 Z 2 d d#
1
!
!
E3(~x) = 4" x3
= 2" x3 ? 2 2
;
( + x3 ) 0
0 0 0 ( 2 + x23 )
0
8 !
>
fur x3 > 0
<
x
1
3
E3 = 2" ! jx j = > 2"!0
0 3 :?
fur x3 < 0
2"0
d.h. E3 macht an der Ebene x3 = 0 den Sprung E3 = !="0, entsprechend
der Formel "0(E~ a ? E~ i) ~n = !. (~n weist hier in die positive x3 -Achse!). Das
zugehorige Potential ist (bis auf eine additive Konstante) :
'(~x) = ? 2!" jx3 j
0
3
2
1
2
Bemerkungen:
1. Das Integral
I1(x3 ) Z Z +1
u1du1du2
2
?1 (u1 + u22 + x23 ) 23
ist so zu verstehen (symmetrische Integration!): Fur x3 6= 0 deniert man:
Z +a Z +a u1du1du2
I1(x3 ) = alim
!1 ?a ?a (u21 + u22 + x23 ) = 0;
oder
Z +a Z 2 2 cos 'dd'
I1 (x3) = alim
!1 0 0 ( 2 + x23 ) = 0;
R
(da 02 cos 'd' = 0!). Frage: Wie hat man fur x3 = 0 vorzugehen? Antwort:
man gehe (aus physikalischen Grunden !) von einer Ladungsschicht mit endlicher Dicke d aus. Dann ist in der Mitte der Schicht E~ = 0 (Nachrechnen!).
Dies bleibt so fur d ! 0. Deshalb setzen wir
E~ (~x) = 0 fur x3 = 0; x1 ; x2 beliebig !
3
2
3
2
2. Man bringe eine zweite mit der Ladungsdichte ?! belegte nicht leitende
Ebene in den Abstand d von der ersten (parallel zueinander). Dann addieren
sich die Felder und man hat:
E~ (~x) = 0 fur x3 < 0;
E~ (~x) = (0; 0; !="0) fur 0 < x3 < d;
E~ (~x) = 0 fur x3 > d:
3.2. DIE WIRBELFREIHEIT DES ELEKTROSTATISCHEN FELDES
21
Das von der ersten Ebene in einem Punkt der zweiten Ebene erzeugte Feld
ist (0; 0; !=2"0). Auf einem Flachenstuck f der 2. Platte bendet sich die
Ladung ?!f , d.h. auf dieses Flachenstuck wirkt die Kraft
K~ f = ?!f (0; 0; !=2"0) = (0; 0; ?!2=2"0)f :
Dieser Ausdruck legt es nahe, folgende "Flachenkraft-Dichte" zu denieren:
~k = lim 1 K~ f = (0; 0; ?!2=2"0) :
f !0 f
Die Verallgemeinerung wird im nachsten Kapitel beschrieben.
3.2 Die Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes
Aus den obigen Ergebnissen folgt: Sind die Punktladungen q1; : : : ; qn, die Raumladungen (~y) und die Flachenladungen !(~y) gegeben, so hat man am Orte ~x die
Feldstarke
E~ (~x) = ?grad'(~x);
Z
Z
n
X
1
(~y) ) :
(
~
y
)
q
i
3
'(~x) = 4" ( k~x ? ~x k + d y k~x ? ~yk + kdf~k(~y) k~x!?
~yk
F
0 i=1
i
Bringt man nun eine Punktladung q an den Punkt ~x, so wirkt auf sie die Kraft
K~ (~x) = qE~ (~x).
Es sei nun C " : ~x( ); 1 2 , ein Weg im R3 von ~x(1) ~x(1 ) nach ~x(2) ~x(2 ).
Mechanik: Wirkt auf einen Massenpunkt die Kraft K~ , so leistet die Kraft langs
des Weges C " am Massenpunkt die Arbeit
A^12 =
Z
C
K~ (~x) d~x "
Z
2
1
x d :
K~ [~x( )] d~
d
Der Wert von A^12 hangt i.a. vom Wege C " ab, allerdings nicht in dem wesentlichen
Falle, da K~ = ?gradV (~x), da dann
3
x = ?X
dxi = ? d V [~x( )]
K~ d~
@
iV
d
d
d
i=1
und
A^12 = ?
Z d
V [~x( )] = ?[V (~x(2)) ? V (~x(1))]:
d
2
1
KAPITEL 3. STATISCHE ELEKTRISCHE FELDER
22
In unserem Falle ist V (~x) = q'(~x) , d.h. auf dem Wege von ~x(1) nach ~x(2) wird,
unabhangig vom Wege C1"!2, an der Punktladung q die Arbeit
Z
Z
x d
A^12 = " qE~ (~x) d~x = ?q [grad'(~x( ))] d~
d
C
= ?q['(~x(2)) ? '(~x(1))] = qU12 ;
U12 '1 ? '2 ; 'i '(~x(i)) ; i = 1; 2;
2
1
geleistet!
U12 : Potentialdierenz zwischen den Punkten ~x(1) und ~x(2) elektrische Spannung zwischen ~x(1) und ~x(2)! Die Spannung U12 wird in "Volt" gemessen.
Bemerkung: Das Potential '(~x) selbst hat keine unmittelbare physikalische Bedeutung, wohl aber die Feldstarke E~ (~x); da E~ (~x) = ?grad'(~x), so ist '(~x) fur ein
gegebenes E~ bis auf eine Konstante bestimmt (aus gradc(~x) = 0 folgt c = const:)!
Die Spannung U12 hat dagegen eine eindeutige physikalische Bedeutung, da sie die
Dierenz zwischen Potentialwerten beschreibt!
Beispiele:
1. Zwischen den beiden Ebenen von S. 20 werde die Ladung q von der 1. zur
2. Platte gebracht. Es gilt E~ = (0; 0; E3 = !="0) zwischen den Ebenen, also
'(~x) = ?E3 x3 + const:, d.h.
U12 = '1 ? '2 = E3 d = "! d;
0
da '1 = const:; '2 = ?E3 d + const:; d : Abstand der Ebenen.
Plattenkondensator:
Die unendlich groen Ebenen lassen sich in der Praxis gut durch 2 endliche
Flachen ("Platten") vom jeweiligen Flacheninhalt F approximieren, solange
die Ausdehnung der Flachen gro gegenuber dem Abstand d ist. Die Gesamtladung Q ist dann Q = !F und U12 = "1 Q(d=F ): Der Quotient
C Q=U12 = "0F=d
hangt nur von der Geometrie der Anordnung ab und heit "Kapazitat" (gemessen in A s/V = "Farad" = F) des "Plattenkondensators".
2. Bei dem Potential
1
q1
'(~x) = 4"
0 k~x ? ~x1 k
einer Punktladung q1 am Orte ~x1 hat man die additive Konstante c so gewahlt,
da '(k~xk ! 1) = 0. Bringt man nun die Ladung q aus dem Unendlichen
(~x(1) 1) an den Punkt ~x (= ~x(2)), so wird dabei vom Feld E~ = ?grad'
die Arbeit
qq1
1
A^12 = ? 4"
0 k~x ? ~x1 k
0
3.2. DIE WIRBELFREIHEIT DES ELEKTROSTATISCHEN FELDES
23
geleistet.
Die von der Punktladung q gegen das Feld geleistete Arbeit ist dann
qq1 :
1
A12 = ?A^12 = 4"
0 k~x ? ~x1 k
3. In vielen technisch wichtigen Fallen hat man
'(~x(1)) = '(Erdoberache)
und man nennt den Punkt ~x(1) dann (elektrisch) "geerdet".
3.2.1 Die "Wirbel" eines Vektorfeldes
und Stokesscher Integralsatz
Es sei C " ein geschlossener Weg, der sich aus endlich vielen "glatten" (d.h. d~x=d
ist stetig) Kurvenstucken Ci" zusammensetzt, die sich nicht schneiden. Anfangsund Endpunkt des Weges fallen zusammen.
Schreibweise bei Wegintegralen, falls der Weg geschlossen ist:
Z
C
I
:
:
:
d~
x
: : : d~x :
"
Da E~ (~x) = ?grad', so folgt nach S. 22 (~x(1) = ~x(2))
I
E~ (~x) d~x = 0 fur alle stuckweise glatten geschlossenen Wege!
Die "lokale" Formulierung dieses Sachverhaltes sieht so aus:
Sei A~ (~x) ein einmal stetig dierenzierbares Vektorfeld, dann heit
ZC " (A~ ) Z
C
I
~ d~x A~ d~x
A
"
die "Zirkulation" von A~ langs des geschlossenen Weges C " .
Man ziehe nun C " auf einen Punkt ~x zusammen, und zwar folgendermaen: durch
~x und C " lege man ein glattes Flachenstuck F ", so da ~x 2 F " und @F " = C " .
Die Flachennormale in ~x sei ~n(~x). Fur kleines F " = f~ gilt annahernd: f~ kf~k~n(~x). Den Limes
Z
1
lim
A~ (~x) d~x j~n(~x) fest
kf~k!0 kf~k C " =@ (f~)
kann man als Projektion (rotA~ ) ~n eines Vektors (rotA~ )(~x) auf die Richtung ~n(~x)
interpretieren ("Zirkulation" von A~ um ~n am Orte ~x !)
(rotA~ )(~x) selbst bekommt man, indem man seine Komponenten (rotA~ )i in drei
voneinander unabhangige Richtungen ~ni berechnet!
Beispiel: Kartesische Koordinaten:
KAPITEL 3. STATISCHE ELEKTRISCHE FELDER
24
x2 6
C3"
6
x2 C4" " C2"
? C1 x1
?
?
~x??
?
?
-
x1
Es sei f~ = x1 x2 ~n3 ; ~n3 = (0; 0; 1). Langs des Weges C1" gilt
A1 = A1(~x) + @1 A1(~x)x1 + : : :
und langs C3" :
A1 = A1(~x + x2 ) + @1 A1(~x + x2 )x1 + : : :
= A1(~x) + @2 A1(~x)x2 + @1 A1(~x)x1 + : : : ;
also
Z
Z
A
dx
+
1 1 C " A1 dx1
C"
(?@2 A1 )x1 x2 + hohere Terme.
~
" A d~x =
C1" +C3
Z
3
1
Analog ergibt sich :
Z
C2" +C4"
also
A~ d~x (@1 A2)x1 x2 + hohere Terme;
1 Z A~ d~x
kf k!0 x1 x2 @ f~
= (@1 A2 ? @2 A1 )(~x):
(rotA~ )3 = (rotA~ ) ~n3 =
lim
~
Entsprechend erhalt man fur ~ni = ~ei; i = 1; 2; 3;
rotA~ (~x) = (@2 A3 ? @3 A2 )(~x) ~e1
+(@3 A1 ? @1 A3 )(~x) ~e2 + (@1 A2 ? @2 A1 )(~x) ~e3:
Falls A~ = grad', so folgt aus @i@k ' = @k @i' sofort rotA~ = 0.
3.2. DIE WIRBELFREIHEIT DES ELEKTROSTATISCHEN FELDES
25
Die Umkehrung der obigen U berlegungen (d.h. falls man F " aus kleinen f~i
"zusammenstuckelt" und dann zum Grenzwert des Integrals ubergeht, ergibt den
Stokesschen Satz
Ist A~ (~x) ein 1-mal stetig dierenzierbares Vektorfeld
und F " ein glattes Flachenstuck mit stuckweise glattem
Rand C " = @F " , dann gilt
Z
F
(rotA~ ) df~ =
"
I
@F "
A~ d~x:
Anwendung auf die Elektrostatik: Da E~ = grad', so folgt
rotE~ (~x) = 0
d. h. das elektrostatische Feld E~ (~x) ist "wirbelfrei".
Umgekehrt lat sich mathematisch zeigen, da aus der Gultigkeit von rotE~ =0
in einem sternformigen, d. h. auf einen Punkt zusammenziehbaren Gebiet G die
Darstellung E~ = ?grad' folgt!
Als Grundgleichungen der Elektrostatik erhalten wir somit
divE~ (~x) = 1 (~x); rotE~ (~x) = 0; @t (t; ~x) = 0:
"0
3.2.2 Randbedingungen fur das elektrostatische Feld
Die obigen Grundgleichungen sind zu erganzen durch die Randbedingungen fur E~
an den Grenzachen
2 1
E~ (2) (~x)
(1)
*
~
x
E~ (~x)
- ~n12 (~x)
~n12 (~x): Normale in ~x,
von 1 nach 2 orientiert.
Grenzache
p
Normalkomponente: Nach Kap. 3.1.2 ergibt sich fur die Normalkomponente des
elektrostatischen Feldes
"0(E~ (2) (~x) ? E~ (1) (~x)) ~n12 (~x) = !(~x);
KAPITEL 3. STATISCHE ELEKTRISCHE FELDER
26
d.h. die Normalkomponente von E~ macht einen Sprung, falls Flachenladungen vorliegen.
Tangentialkomponente:
HH
Y
HH
H
2
1 E~ (2) (~x)
Wegen
Z
C1" +C2"
E~ (1) (~x)HHH6
C2" ? C1"
E~ d~x = 0
gilt
Z
Grenzache
~
" E d~x = ?
Z
C1
C2"
E~ d~x:
Da d~x=d Tangentialvektor an Ci" im Punkte ~x 2 Ci" ist, so folgt
Z
kE~ tk k~x_ kd = ?
C"
1
Z
C2"
kE~ t k k~x_ kd;
wobei kE~ tk die Projektion von E~ auf ~x_ . Schmiegen sich C1" und C2" immerR mehr an
die Grenzache an, so folgt C1" ! C2#und l(C1" ) ! l(C2"), wobei l(Ci" ) = Ci" k~x_ kd
R
R
die Lange von Ci" : Da C " = ? C # , so folgt aus dem Mittelwertsatz:
Et(1) l(C1" ) = Et(2) l(C2" ); Et(i) = kE~ tik;
Im Limes C1" ! C2# gilt l(C1") ! l(C2" ), und damit Et(1) ! Et(2) , also
Et(1) (~x) = Et(2) (~x)
d.h. die Tangentialkomponente von E~ an der Grenzache ist stetig!
Kapitel 4
Elektrostatische Feldenergien und
Flachenkrafte
4.1 Feldenergie
Hat man eine Ladung q1 am Orte ~x1 , und bringt man eine Ladung q2 aus dem
Unendlichen nach ~x2 , so leistet q2 gegen das Feld die Arbeit (S. 23)
q1 q2 :
1
A12 = 4"
0 k~x1 ? ~x2 k
Bringt man zusatzlich die Ladungen q3; : : : ; qn aus dem Unendlichen an die Punkte
~x3 ; : : : ; ~xn, so wird insgesamt die Arbeit
n
qiqk
1 X
A(1; : : : ; n) = 4"
0 i<k k~xi ? ~xk k
n
X
1
qi qk
1
=
4"0 2 i6=k k~xi ? ~xk k
geleistet. Fur sehr groe n kann man wieder zu kontinuierlichen Ladungsdichten
ubergehen und erhalt dann:
Z
1
1
)(~y) :
A(1; : : : ; n) ! W = 4" 2 d3x d3y k(~x~x?
~yk
0 R
3
W ist die gesamte "Potentielle" Energie, die in der vorgegebenen elektrostatischen
Ladungsverteilung enthalten ist. Da
1 Z d3y (~y) = '(~x)
4"0
k~x ? ~yk
und
(~x) = ?"0'(~x); : Laplace-Operator,
27
28


KAPITEL 4. EL.-STAT. FELDENERGIEN UND FLACHENKR
AFTE
so kann man W auch folgendermaen schreiben:
Z
Z
W = 12 d3x(~x)'(~x) = ? "20 d3x '(~x)'(~x) :
R3
R3
Das letzte Integral lat sich mit Hilfe der 1. Greenschen Formel (s.S. 16)
Z
Z
(f1 gradf2) df~ = ((gradf1 gradf2 ) + f1f2 ) d3x;
@G
G
f1 ; f2 : Funktionen, mit der Setzung f1 = f2 = ' weiter umformen. Da grad' =
?E~ im Unendlichen wie k~xk?2 und ' selbst wie k~xk?1 verschwinden sollen, so
verschwindet das Oberachenintegral fur G = R3 und man erhalt:
Z
"
0
W = 2 d3x(E~ (~x))2 :
R
3
Interpretation (Maxwell):
w(~x) = "20 E~ 2 (~x) : elektrostatische Energiedichte im Punkte ~x !
D.h. uberall dort, wo ein elektrisches Feld vorhanden ist, wird die Energie der
Dichte w(~x) gespeichert, unabhangig davon, ob dort Ladungen sind oder nicht !
Beispiel: im Innern eines Kondensators (Plattengroe: F ; Abstand: d) mit konstantem Feld E~ und E d = U12 , wobei E kE~ k = !="0; Q = ! F wird demnach die
Energie WC gespeichert:
WC = w F d = "20 E 2 Fd = 12 !FU12
= 1 QU = 1 CU 2 ; U U12 ; Q = !F
2
2
2
WC = 21 CU 2 = 12 QC :
4.2 Flachenkrafte
Bendet sich am Orte ~x das Feld E~ (~x) und die Ladungsdichte (~x), so kann man,
in Verallgemeinerung zu den Kraften auf Punktladungen, die Kraftdichte
~k(~x) = (~x)E~ (~x)
denieren. Sie hat die Bedeutung, da
K~ (G) =
Z
G
d3x~k(~x) =
Z
G
d3x(~x)E~ (~x)


4.2. FLACHENKR
AFTE
29
die Kraft K~ (G) auf alle Ladungen in einem Gebiet G ergibt. Da (~x) = "0divE~ (~x),
so hat man
~k(~x) = "0E~ (~x)divE~ :
Die Dichte ~k(~x) hat die wichtige Eigenschaft, da
ki(~x) =
Beweis:
3
X
j =1
3
X
j =1
@j Tij (~x); Tij (~x) = "0(Ei Ej ? 21 ij E~ 2)(~x) ; i; j = 1; 2; 3:
@j Tij = "0
3
X
(Ej @j Ei + Ei@j Ej ? ij
j =1
3
X
3
X
m=1
Em @j Em )
(Ei @j Ej + Ej (|@j Ei ?
{z @iEj )} )
0; da rotE~ = 0
~ q. e. d.
= "0Ei divE:
= "0
j =1
Folgerungen:
Mit T~i = (Ti1 ; Ti2; Ti3); i = 1; 2; 3; ist ki(~x) = div T~i (~x), und die Anwendung des
Gauschen Satzes ergibt fur die Kraftkomponenten Ki:
Z
Z
Ki(G) = div T~i d3x = T~i df~; i = 1; 2; 3:
@G
G
d.h. die Kraft auf die Ladungen in G lat sich als Integral uber die Oberache
@G von G darstellen (Maxwell) !!
Einige Eigenschaften der Matrix T = (Tij ):
Tij (~x) = "0(Ei Ej ? 21 ij E~ 2)(~x) ;
Tij = Tji : T ist symmetrisch ;
3
X
Spur(T ) = Tii = ? 21 "0E~ 2 = ?w(~x) :
i=1
~
~
~
~
Ist ~n(~x) = (tu tv )=ktu tv k Normalenvektor von @G im Punkte ~x und setzt man
S~ (~x) = T ~n(~x)
= "0(E~ ~n) E~ ? "20 (E~ )2 ~n ;
Z
~
so wird K (G) =
(T ~n) kdf~k :
@G
S~ (~x) = T ~n(~x) wird als "Flachenkraftdichte{Vektor" bezeichnet.
Veranschaulichung von S~ (~x) :
~n und E~ spannen eine Ebene auf, in der ein Tangentialvektor ~ , k~ k = 1, an @G
liegt:


KAPITEL 4. EL.-STAT. FELDENERGIEN UND FLACHENKR
AFTE
30
6
~n
3
p
~x
E~
E~ = E cos ~n + E sin ~ :
-~ $
@G
Fur S~ ergibt sich
oder
S~ = "0[E (cos ~n + sin ~ ) E cos ? 21 E 2~n] ;
S~ = 12 "0E 2 (cos 2 ~n + sin 2 ~ ) :
Beispiele: = 0 : S~ = 12 "0E 2~n : "Zug" nach auen
= 45 : S~ = 21 "0E 2~
= 90 : S~ = ? 12 "0E 2~n : "Druck" nach innen.
Anwendung: Eine Kugel vom Radius a und konstanter Ladungsdichte werde
in 2 Halften geschnitten. Mit welcher Kraft stoen sich die beiden Halbkugeln ab ? Die Schnittebene sei die Ebene x3 = 0, und der Mittelpunkt der Kugel
liege im Ursprung. Nach S. 19 herrscht im Innern der Kugel das Feld
1 Q r ~e ;
E~ (~x) = 31" r~er = 4"
r
0
0 a3
Q: Gesamtladung der Kugel.
Ist F die Schnittache (F = a2 ), so bekommt man fur die Kraft auf die Halbkugel
Z
Z
S~ kdf~k :
K~ ( 12 K (a)) = S~ kdf~k +
@K (a)
F
Im Schlitz ist E~ tangential zur Schnittache, d. h.
S~ = ? 21 "0E 2~n; ~n = (0; 0; ?1) = ?~e3 :
Als Beitrag vom Schnitt erhalt man daher:
K1(F ) = 0 ; K2(F ) = 0 ;
1
2


4.2. FLACHENKR
AFTE
31
Z a Z 2
1
(
F
)
E 2 d' r dr
K3 = 2 "0
0 0
Za
1 Q2 ;
= 12 "0 ( 4"Q a3 )22 r3 dr = 4"
0
0
0 16a2
also:
2
~K (F ) = 1 Q 2 ~e3 :
4"0 16a
Als Beitrag von der halben Kugeloberache ergibt sich, da E~ parallel zu ~n = ~er
ist, S~ = 21 "0E 2 (a)~er :
Z
~K ( @K ) = 1 "0( 1 Q2 )2
~er k df~k
2 4"0 a
@K (a)
1
2
1
2
Mit ~er = cos ' sin #~e1 + sin ' sin #~e2 + cos '~e3
und
kdf~k = a2 sin #d'd#
ist:
K~ (
Da
so folgt
1
2
@K )
Z 2
0
2 Z =2 Z 2
Q
1
d# d' sin #~er :
= 4" 8a2
0
0
0
sin ' d' = 0;
Z 2
0
cos ' d' = 0;
K1(;2@K ) = 0 ;
1 Q2 2 Z =2 cos # sin #d# ;
K3( @K ) = 4"
0 8a2 | 0
{z
}
1
2
1
2
also:
1=2
2
= 1 Q 2 ~e3 = 2K~ (F ) :
4"0 8a
Somit ergibt sich schlielich fur die abstoende Kraft
K~ (
1
2
@K )
1 3Q2 ~e .
K~ ( 12 K (a)) = 4"
3
0 16a2
32


KAPITEL 4. EL.-STAT. FELDENERGIEN UND FLACHENKR
AFTE
4.3 Zusammenstellung der wichtigsten Feldgleichungen aus der Elektrostatik
(~x; t) : Ladungsdichte; ~j (~x; t) : Stromdichte
Ladungserhaltung (gilt ganz allgemein !):
@t (~x; t) + div~j (~x; t) = 0 :
Kraft auf eine Punktladung q am Orte ~x :
K~ (q; ~x) = qE~ (~x); q fest;
E~ (~x) : elektrische Feldstarke :
Elektrostatik : ~j (~x; t) = 0; folglich @t (~x; t) = 0 :
Zusammenhang zwischen elektrostatischem Feld E~ (~x)
und Ladungsdichte (~x):
divE~ (~x) = 1 (~x) ; rotE~ (~x) = 0
"0
=) E~ (~x) = ?grad'(~x) ; '(~x) = ? "1 (~x) :
0
Verhalten von E~ an Grenzachen mit Flachenladungsdichte ! :
"0(E~ (2) ? E~ (1) )(~x) ~n12 = !(~x) ; E~ t(2) (~x) = E~ t(1) (~x)
Energiedichte : w (~x) = "20 E~ 2(~x) :
Kraftdichte :
~k(~x) = (~x)E~ (~x) = "0E~ (~x)divE~ (~x) ;
ki(~x) = P3j=1 @j Tij (~x); i = 1; 2; 3 :
Tij (~x) = "0(EiEj ? 21 ij E~ 2) :
Anmerkungen uber den Zusammenhang mit Punktladungen:
1. Elektrostatische "Selbstenergie" einer Punktladung q: sie erzeugt am Orte ~x
das Feld
q ~x
E~ (~x) = 4"
k~xk3
und damit die Energiedichte
0
1 ;
0q2
w(~x) = "20 E~ 2 (~x) = 2(4""
2
) k~xk4
0
4.3. WICHTIGSTE FELDGLEICHUNGEN DER ELEKTROSTATIK
33
d. h. die elektrostatische "Selbstenergie" W0 ist
Z
Z1
q2 1
3
W0 = 3 d x w(~x) = r2dr d
2(4"
R
0
0 )4 r4
2 Z 1 dr
= 1!;
= 2(4q" )
0 0 r2
da das Integral an der unteren Grenze divergiert (Punktladung!!). Das
Ergebnis ist physikalisch unsinnig und zeigt eine der Grenzen der klassischen
Elektrodynamik!
Bei einer ladungsgefullten Kugel vom Radius a und Gesamtladung q erhalt
man analog fur die Energie im Gebiet r a > 0:
2
Wa = 8"q a :
0
Beim Elektron hat man einen "Radius" re dadurch zu denieren versucht, da
man seine elektrostatische Energie mit der Ruheenergie gleichgesetzt hat:
e20 = m c2 :
e
4"0 re
Einsetzen der bekannten Zahlen fur e0 und me ergibt re 2; 8 10?11 m.
Jedoch ist ein solches klassisches Bild vom Elektron aus quantentheoretischen
Grunden nicht haltbar.
2. Einige der fruheren Gleichungen fur Punktladungen q1 ; : : : ; qn; kann man aus
den obigen "Feldgleichungen" mittels der Formel
(~x) =
n
X
i=1
qi(~x ? ~xi )
gewinnen:
Bendet sich eine Punktladung q in ~x in dem stetigen aueren Feld E~ , so folgt
Z
Z
~k(~y)d3y = (~y)E~ (~y)d3 y
K~ (q; ~x) =
ZR
3
R3
~
d3y
|E{z(~y})
"Testfunktion"
= q(~x(E1 ); ~x(E2); ~x(E3 ))
= qE~ (~x):
=
Ferner gilt
R3
q(~y ? ~x)
Z
A(1; : : : ; n) = 12 d3 x(~x)'(~x)
n Z
X
= 1
d3xqi (~x ? ~xi)'(~x)
2
i=1
34


KAPITEL 4. EL.-STAT. FELDENERGIEN UND FLACHENKR
AFTE
n
X
= 12 qi '(~xi ) ;
i=1
X qk
1
:
'(~xi) = 4" k~x ?
0 k6=i i ~xk k
Kapitel 5
Elektrostatische Multipole
G
pHH
H
j
(~y) 6= 0 HH
~y
~x
1
Die Ladungsdichte sei in einem
beschrankten Gebiet G um den
Ursprung von Null verschieden,
dann hat man auerhalb von G:
Z
1
'(~x) = 4" d3y k~x(?~y )~y k :
0 G
Fur Abstande k~xk, die gro gegenuber dem Durchmesser von G sind, kann man
1
g(~y ) = k~x ?1 ~y k =
((y1 ? x1 )2 + (y2 ? x2)2 + (y3 ? x3 )2)
;
= 2 2 1
(r + ? 2 r cos #)1=2
1
2
wobei r = k~xk; = k~y k; # = 6 (~x; ~y ); in einer Taylor-Reihe um ~y = 0 entwickeln:
5.1 Multipole in kartesischen Koordinaten
Die Entwicklung von g(~y) in kartesischen Koordinaten ergibt
g(~y ) = g(~y = 0) +
3
3 @g
2
X
X
)yi + 1 ( @ g
)y y + ;
(
2 i;k=1 @yi@yk j~y=0 i k
i=1 @yi j~y =0
@g = xi ;
g(~y = 0) = k~x1k ; @y
i j~y =0 k~xk3
35
KAPITEL 5. ELEKTROSTATISCHE MULTIPOLE
36
2g
)j~y=0 = 3 kx~xi xkk5 ? k~xikk3 :
( @y@ @y
i k
Einsetzen ergibt
mit:
'(~x) = '(0) (~x) + '(1) (~x) + '(2) (~x) + : : :
1 1 Z d3y(~y )
'(0) (~x) = 4"
0 k~xk G
= 1 Q(G) ;
Z4"0 k~xk
Q = d3y(~y ) : Gesamtladung in G :
G
1 p~ ~x ; ~p = Z d3y~y (~y );
'(1) (~x) = 4"
G
0 k~xk3
p~ : "Dipolmoment" der Ladungsverteilung.
3
1 1X
xi xk ;
'(2) (~x) = 4"
3
Q
ik
k~xk5
0 2 i;k=1
Z
1
Qik = 3 d3y(~y )(3yiyk ? ~y 2ik );
G
i; k = 1; 2; 3 :
(Qik ) : "Quadrupolmoment" der Ladungsverteilung.
Bei der Transformation ~x ! ~x0 = ~x + ~a; (~x) ! 0(~x0 ) = (~x) geht das obige (~x)
in 0 (~x) = (~x ? ~a) uber und daher
Q!
Z
d3y(~y ? ~a) =
Z
d3y(~y ) = Q ;
Z
~p ! d3 y~y(~y ? ~a) = p~ + Q~a ;
d.h. das Dipolmoment p~ ist nur dann eine vom Koordinatensystem unabhangige
Groe, falls Q = 0!
Analog gilt
Qik ! Qik + (piak + pk ai) ? 32 ik~a p~ + 31 Q(3ai ak ? ik~a2 ) :
5.1. MULTIPOLE IN KARTESISCHEN KOORDINATEN
37
5.1.1 Diskussion
Nullte Naherung
'(0) (~x): Coulomb-Potential, d. h. in groen Abstanden verhalt sich eine beliebige
raumlich beschrankte Ladungsverteilung in nullter Naherung wie eine Punktladung.
1. Naherung: Dipolpotential
1 p~ ~x ;
'(1) (~x) = 4"
0 k~xk3
"Dipol"-Naherung. Der Name ruhrt daher, da man im Falle von Punktladungen
qi mindestens 2 braucht, um einen "Dipol" p~ haben zu konnen: ~p = q1~x1 + q2~x2 =
q1 (~x1 ? ~x2) fur Q = 0. Zum Dipol-Potential '(1) gehort das Dipol-Feld
1 1 (3(p~ ~e )~e ? p~) ;
E~ (1) (~x) = 4"
r r
0 k~xk3
das fur groe Abstande um eine Potenz in r?1 starker abfallt als das Coulombfeld
E~ (0) .
Die Energie eines Dipols in einem aueren (externen) Feld E~ ex = ?grad'ex
erhalt man so: Die Gesamtenergie der dem aueren Felde ausgesetzten Ladungsdichte (~y) ist
Z
Wex = d3y(~y )'ex(~y ) :
Variiert 'ex(~y ) nicht sehr stark in dem Gebiet, in dem (~y ) 6= 0, so kann man
'ex(~y ) in eine Taylor-Reihe entwickeln:
'ex(~y ) = 'ex(0) + ~y grad'ex j~y=0 + : : :
Mit E~ ex(0) = ?grad'ex j~y=0 erhalt man
Z
Wex = Q'ex(0) ? d3y (~y )~y E~ ex(0) + : : :
= Q'ex(0) ? p~ E~ ex(0) + : : : ;
d. h.
Wex(1) = ?p~ E~ ex(0)
ist die Energie eines Dipols ~p in einem aueren Feld E~ ex, wobei ~p in der Nahe von
~x = 0 lokalisiert ist.
Analog bekommt man fur die Kraft
Z
~Kex = d3y(~y )E~ ex(~y )
Z
3
X
= d3y(~y )(E~ ex(0) + yi@iE~ ex(0) + : : :) ;
i=1
38
d. h.
KAPITEL 5. ELEKTROSTATISCHE MULTIPOLE
3
X
K~ ex(1) = pi@i E~ ex(0) :
i=1
In einem raumlich konstanten Feld (@i E~ = 0) erfahren Dipole demnach keine
Krafte.
Als Drehmoment eines Dipoles im Feld E~ ex erhalt man entssprechend
Z
~Nex(1) = d3y (y) ~y (E~ ex(0) + : : :) = ~p E~ ex(0):
Quadrupolmoment (matrix) (Qik ); i; k = 1; 2; 3 :
Der Name ruhrt daher, da es von 4 Punktladungen erzeugt werden kann.
Beispiel:
x2
9
r +q
>
>
=
b
>
>
;
| {z
6
(~y ) = q(?(~y ? a~e1 ) + (~y ? b~e2 )
?(~y + a~e1 ) + (~y + b~e2 ))
Q11 = ? 32 q(2a2 + b2 )
?r q
Q22 = 32 q(a2 + 2b2 )
Q33 = 32 q(a2 ? b2)
Qij = 0 fur i 6= j
Allgemein gilt:
3
X
i=1
a
?r q
}
-
x1
r +q
Qii = 0; Qij = Qji :
(Qij ) ist symmetrische Matrix mit verschwindender Spur, d. h. besitzt nur 2 voneinander unabhangige reelle Eigenwerte. Energie und Krafte sind analog wie beim
Dipol (2. Glied der Taylor-Entwicklung!): Z.B. gilt
3
X
1
(2)
Wex = ? 2 Qij @i Eex j (0) :
i;j
5.2 Multipole in Polarkoordinaten
Ist < r, so kann man g(~y ) auch nach Potenzen von =r entwickeln:
1
X
g(~y) = r [1 ? 2(=r)z1 + (2=r2)]1=2 = 1r (=r)l Pl (z); z cos #:
l=0
5.2. MULTIPOLE IN POLARKOORDINATEN
39
Die Funktionen Pl (z) sind die Legendre-Polynome vom Grade l. Die niedrigsten
Polynome haben die Form
P0(z) = 1; P1 (z) = z; P2 = 21 (3z2 ? 1); P3 = 21 (5z3 ? 3z); : : : :
Einsetzen dieser Entwicklung in den Ausdruck fur '(~x) ergibt
1 Z 2 Z +1 Z 1
X
d dz dPl(z)l+2 (~y ):
'(~x) = 4"1 r r1l
?1
0
0 l=0 0
Der Term mit l = 0 ergibt '(0) (~x), der mit l = 1 das Dipolpotential, der mit l = 2
das Quadrupolpotential etc.
Kapitel 6
Ideale Leiter in der Elektrostatik
Elektrische Leiter sind dadurch charakterisiert, da sie frei bewegliche
Ladungstrager in groerem Umfange enthalten.
Idealfall: Der elektrische Widerstand verschwindet und der Vorrat an Ladungen
beiderlei Vorzeichens ist beliebig gro.
6.1 Randbedingungen an Oberachen
1. Isolierter Leiter: das elektrische Feld E~ in im Innern eines Leiters verschwindet; denn ware es nicht gleich Null, so wurden sich die Ladungen im
Innern so lange verteilen, bis das ursprunglich vorhandene Feld kompensiert
ist! D.h.
E~ in = 0 bzw. 'in = const:im Innern von Leitern.
An der Oberache eines Leiters konnen Oberachenladungen sitzen, die mithelfen, das Feld im Innern zum Verschwinden zu bringen! Ist ~n(~x) Normale
an die Oberache im Punkte ~x, so gilt nach S. 32 fur die nach auen weisende
Normalkomponente E~ au
"0 E~ au(~x) = "0 Enau ~n(~x) = !(~x) ~n(~x);
da E~ tau = E~ tin = 0 ;
E~ t : Tangentialkomponente.
Nimmt der Leiter das endliche Gebiet G ein, so gilt
Q(G) =
Z
@G
!kdf~k = "0
Z
E aukdf~k
@G n
Auerdem gilt wegen der Stetigkeit des Potentials
'(@G) = '(intG) = const: ;
d.h. @G ist eine "A quipotentialache".
40
:

6.1. RANDBEDINGUNGEN AN OBERFLACHEN
41
2. Bringt man den obigen Leiter in ein aueres Feld E~ ex, so wirkt eine Kraft
auf die Ladungen im Innern des Leiters, und diese verteilen sich so lange neu,
bis das durch die Umverteilung erzeugte Feld das Feld E~ ex an jedem Punkt in
G gerade kompensiert (Phanomen der "Inuenz").
Folge: es gilt weiterhin E~ tau = 0 und "0 E~ au(~x) = !(~x)~n(~x) fur das resul-
tierende Gesamtfeld an der Leiteroberache.
3. Verallgemeinerung: n Leiter nehmen jeweils die Gebiete Gi, i = 1; : : : ; n, ein.
Folgende Randbedingungen seien vorgegeben:
a) die ersten r Leiter seien isoliert und ihre Ladung
Qi = "0
Z
E aukdf~k
@Gi n
bekannt.
b) die restlichen n ? r Leiter seien auf einem festem Potential '(~x) = Ui; ~x 2
@Gi , wobei fur geerdete Leiter Ui = 0.
Zwischen den Leitern konnen sich noch feste Raum- und Punktladungen
benden und dort genugt das Potential der Gleichung
n
m
X
X
'(~x) = ? "1 ((~x) + qi (~x ? ~xi)) fur ~x 2 R3 ? Gi :
0
i=1
i=1
Problem: Man lose diese partielle Dierentialgleichung fur '(~x) unter Beachtung der obigen Randbedingungen!
Ein Nachweis zur Existenz von Losungen uberschreitet den Rahmen der Vorlesung. Gibt es jedoch eine Losung, so ist diese, abgesehen von einer Konstanten, eindeutig !
Beweis: Sind '1 und '2 zwei Losungen, so genugt = '1 ? '2 in R3 ? P Gi
der Gleichung
= 0:
Unter der physikalisch plausiblen Annahme, da grad fur sehr groe k~xk
mindestens wie k~xk?3 abfallt, folgt ganz analog wie auf S. 28 aus der 1. Greenschen Formel
?
n Z
X
i=1 @Gi
grad df~ =
Z
P
R? n
3
i=1 Gi
d3 x kgrad k2 :
Nun gilt :
a) fur die ersten r Leiter ist mit = '1 ? '2 ; grad = E~ 2 ? E~ 1 ;
Z
@Gi
grad df~ =
Z
@Gi
(E~ 2 ? E~ 1 ) df~ = Qi ? Qi = 0 und
b) da = const: auf @Gi , weil @Gi eine Flache konstanten Potentials ist, so
erhalt man
Z
Z
grad df~ = 0 i = 1; :::r:
grad df~ = i
@Gi
@Gi
KAPITEL 6. IDEALE LEITER IN DER ELEKTROSTATIK
42
Dieselbe Gleichung gilt fur die restlichen n ? r Leiter, weil oenbar
Ui ? Ui = 0 auf @Gi .
Es folgt, da
Z
Pn d3xkgrad k2 = 0 ; d.h = const: q.e.d.
i
=
R3 ? i=1 Gi
Beispiele:
1. Ein Leiter G bende sich in einem aueren Feld und enthalte im Innern einen
Hohlraum H .
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
Die Gleichungen
?? ? ? ?
? '$
?
??G ?? ?? ? ?
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?
?
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?? ?
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?
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?? ? ? ? ? ? ?
?
H
' = 0 in H ; '(@H ) = '(G) = const:
&% haben die Losung ' = const: in H .
Wegen der Eindeutigkeit der Losung folgt E~ = 0 in H (Abschirmung,"Faradayscher Kag"). Da die Konstante in G und H den gleichen Wert hat, sitzen
auf @H keine Flachenladungen.
2. Der Hohlraum H von Beispiel 1 sei eine Kugel mit Radius a, in deren Mittelpunkt sich eine Punktladung q bendet.
?
?
?
?
?
?
?
Ferner sei der Leiter G geerdet:
?
?
??
?? ? ? ?
??'$
?
?
?
?
' ??G ? ??
?
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? ?
?
?
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?? ?
?
? ? ??
?
? ?? ?
?? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
?
q
'(G) = 0 :
&% Frage: Wie sehen Potential und Feld in H
und auf @H aus ?
q bende sich im Punkte ~x = 0; dann gilt
?"0 '(~x) = (~x) = q(~x) fur k~xk < a ;
'(~x) = 0
fur k~xk = a :

6.2. KAPAZITATEN
VON LEITERN
43
Eine rotationssymmetrische Losung ist
'(~x) = kA~xk + B ; A; B = const:
Da
E~ = ?grad' = k~xAk2 ~er fur k~xk < a;
so mu A = q=4"0 sein. B wird so gewahlt, da '(~x) = 0 fur k~xk = a:
q ( 1 ? 1) :
'(~x) = 4"
0 k~x j a
Da
E~ (~x) = 0 fur k~xk > a; aber
q ~er auf @H;
E~ (k~xk = a) = 4"
0 a2
macht die Feldstarke einen Sprung auf @H . Und weil die Normale ~n auf
@H durch ~er (~x; k~xk = a) gegeben ist, so mu sich nach S. 40 auf @H die
Flachenladungsdichte
q
!(~x 2 @H ) = ? 4a
2
benden. Diese Flachenladung wird durch die Punktladung q induziert
("Inuenz").
6.2 Kapazitaten von Leitern
Ein Leiter nehme das beschrankte Gebiet G ein und sei auf dem festen Potential
'1 (~x) = U1; ~x 2 G. Falls das Randwertproblem
'1 (~x) = 0 ; ~x 62 G ; '1(~x) = U1 ; ~x 2 @G ;
eine Losung hat, so ist die auf dem Leiter vorhandene Ladung Q1 durch
Q1 = ?"0
Z
@K
grad'1 df~ ; G K ;
gegeben, wobei K eine Kugel ist, die das Gebiet G ganz enthalt. Hat der Leiter
dagegen das feste Potential U2 , so ist die Losung des Randwertproblems
'2 (~x) = 0 ; ~x 62 G ; '2(~x) = U2 ; ~x 2 @G ;
wegen der Eindeutigkeit der Losung und der Linearitat der Poisson{Gleichung durch
'2 (~x) = U1?1 U2'1 (~x); Ui = const:
44
KAPITEL 6. IDEALE LEITER IN DER ELEKTROSTATIK
gegeben. Die nun auf G bendliche Ladung ist
Q2 = ?"0
Z
@K
grad'2 df~ = U1?1 U2 Q1 ;
d.h.
Q2 =U2 = Q1 =U1 :
Q und U sind demnach zueinander proportional. Der Quotient Q=U = C hangt nur
von der Geometrie des Leiters ab und heit: Kapazitat. Es gilt C > 0. Beweis:
Die in R3 ? G enthaltene Feldenergie ist durch
Z
Z
W (R3 ? G) = "20
E~ 2d3x = ? "20
E~ grad'd3x
RZ ?G
R ?G
"
0
3
~
div(E ')d x ;
= ?
2
3
3
R3 ?G
gegeben, da divE~ = 0 in R3 ? G. Weil E~ ' im Unendlichen mindestens wie k~xk?3
verschwindet, erhalt man analog wie fruher (s. z.B. S. 42):
"0 Z 'E~ df~ = 1 U" Z E~ df~
2 @G
2 0
= 1 UQ = 1 CU 2 > 0; da W > 0; d.h. C > 0 :
2
2
W (R3 ? G) =
Bei einer Kugel vom Radius a, die sich auf dem Potential U bendet, hat man:
'(~x) = kUa
~xk fur k~xk a; bzw.
E~ (~x) = kUa
~xk2 ~er :
Dazu gehort die Flachenladungsdichte ! = "0 U=a und die Gesamtladung Q =
4"0 Ua , d.h. die Kapazitat einer Kugel vom Radius a ist C = 4"0 a.
Verallgemeinerung fur mehrere Leiter Gi, die sich auf dem Potential Ui benden
und die Ladung Qi tragen:
Qi =
n
X
k=1
Cik Uk ; i = 1; : : : ; n ;
d.h. es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen den Qi und Ui !
6.3. SPIEGELLADUNGEN
45
6.3 Spiegelladungen
6
|
{z
d
q
}r
-
Eine Punktladung q bende sich
im Punkte (d; 0; 0) gegenuber einer leitenden Ebene x1 0, die
geerdet ist (' = 0), und eine endliche Dicke hat.
x1
Man kann das Randwertproblem fur x1 0 dadurch losen, da man an die Stelle
(?d; 0; 0) eine ktive Ladung ?q setzt:
1 (
x1 0 : '(~x) = 4"
q
1
0 [(x1 ? d)2 + x22 + x23 ] 2
?
q
):
[(x1 + d)2 + x22 + x23 ] 21
Oenbar ist '(~x; x1 = 0) = 0; 8x2 ; x3. Ferner gilt
E~ (x1 = 0) = E1 (x1 = 0) ~e1 mit
E1(x1 = 0) = k ? grad'jx =0 k = 2"qdk~xk3 ; wobei
0
1
k~xk3 = (d2 + x22 + x23 ) ; x1 = 0 :
3
2
Hierzu gehort die Flachenladungsdichte
! = "0 E1 (x1 = 0) = 2"qdk~xk3 ; x1 = 0 :
0
Die auf der Ebene induzierte Gesamtladung ist
ZZ
Z 1 Z 2 dd'
1 ]1 = ?q !
=
qd
[
!kdf~k = ? 2qd
0 0 ( 2 + d2 )
x =0
(2 + d2) 0
1
3
2
3
2
KAPITEL 6. IDEALE LEITER IN DER ELEKTROSTATIK
46
Das von der Ebene am Orte (d; 0; 0) erzeugte Feld E~ 0 hat den Wert1
E~ 0(~x = (d; 0; 0)) = ? 4" q(2d)2 ~e1 ;
0
und damit wirkt auf q die ("Bild")-Kraft
2
K~ (q; ~x = (d; 0; 0)) = ? 4" q(2d)2 ~e1 :
0
In diesem "Inuenz"-Falle ist die Kraft auf q also proportional zu q2!
1
~ 0 (~
E
x
1 Z kdf~k !(~y ; y1 = 0)(~x ? (0; y2; y3 ))
= (d; 0; 0)) = 4"
k ~x ? ~y k3
0
Z
Z
1 qd 2 1 d'd (d; 0; 0) ? (0; cos '; sin ')
= ? 4"
(2 + d2 )3
0 2 0
0
Z
1 qd2 1 d(2 ) 1 ~e = ? q ~e
= ? 4"
(2 + d2 )3 1
4"0 (2d)2 1
0 2
0
Kapitel 7
Strome und magnetische Krafte
A hnlich wie elektrische Felder auf ruhende Ladungen wirken und umgekehrt Ladungen elektrische Felder erzeugen, so wirken magnetische Felder auf bewegte
Ladungen (Strome) und bewegte Ladungen, Strome, erzeugen magnetische Felder.
Wichtiger Unterschied gegenuber dem elektrischen Fall: es gibt keine magnetischen Ladungen, d.h. man hat bisher experimentell keine gefunden (selbst nicht
im Material vom Mond)!
7.1 Stationare Strome und Ohmsches Gesetz
Bewegte Ladungen kann man (s. S. 5) mathematisch mittels der Stromdichte beschreiben:
~j (~x; t) = ~(~x; t)~v(~x; t) ;
~ : Dichte der bewegten Ladungen.
Im allgemeinen ist ~j (~x; t) stuckweise stetig, lat sich jedoch durch geeignete
Interpretation auch auf bewegte Punktladungen, bzw. linienformige Stromverteilungen anwenden!
Punktladungen: ~y (t) sei der zeitabhangige Ortsvektor der Punktladung q, dann
ist
~| (~x; t) = q~v(~x; t)(~x ? ~y (t)):
Stromfaden: Durch einen linienformigen Leiter C mit der Parameterdarstellung
~x( ); 2 [1 ; 2] iee ein Strom I , dann gilt
Z
Z
y (~x ? ~y ( )) :
~| (~x; t) = I d~y (~x ? ~y ) I d d~
d
C
Erlauterung: Der Stromfaden sei Teil der x3 -Achse (einfaches Beispiel !):
= y3; ~y ( ) = (0; 0; y3)
2
1
~| (~x; t) = I
Zx
(2)
3
x(1)
3
dy3 ~e3 [~x ? (0; 0; y3)];
47
 UND MAGNETISCHE KRAFTE

KAPITEL 7. STROME
48
Durch eine Flache (Ebene) F ", die senkrecht zur x3 -Achse steht, iet dann der
Strom
Z
Z
"
~
I (F ) = " ~| (~x; t) df = " ~| (~x; t)dx1 dx2 ~e3
F
= I
= I
Zx
(2)
3
x(1)
3
Z x(2)
3
x(1)
3
dy3
Z
F"
F
dx1 dx2 (~x ? (0; 0; y3))
dy3(x3 ? y3) ;
(2)
d.h. I (F ") = I falls x3 2 [x(1)
3 ; x3 ]; sonst I (F " ) = 0.
Stationare Strome : @t~| (~x; t) = 0 ;
d.h. die Stromverteilungen sind in diesem Falle zeitlich konstant.
In metallischen Leitern hat man eine nichtverschwindende Stromdichte nur, falls
im Innern des Leiters ein Feld E~ (meistens von auen "angelegt") herrscht. Fur
homogene Leiter gilt in guter Nahrung das Ohmsche Gesetz (experimentell !).
~| (~x) = E~ (~x); > 0 ;
: Leitfahigkeit.
hangt vom Material des Leiters ab. Das Ohmsche Gesetz ist keine universelle
Beziehung. Physikalischer Hintergrund: in einem Leiter bewegt sich ein Teilchen
mit Ladung q wegen seiner vielen Zusammenstoe wie in einem "zahen" Medium,
d.h. mit "Reibung". In solchen Fallen sind die Kraft qE~ und die mittlere Geschwindigkeit ~v zueinander proportional:
~v(~x) = bqE~ (~x); b = const:
Andererseits gilt ~| ~v.
Konventionelle Form des Ohmschen Gesetzes:
}|L
z $
'
F
&%
1
-
{
$
homogener,
I = F k ~| k
U12 = L E
2
zylindrischer
Leiter mit Querschnitt F
: konstant;
~ im Leiter.
E~ = const:
%
Zwischen den Querschnitten "1" und "2" herrscht die Spannung
L )I
U12 = LkE~ k = (L=)k~| k = ( F
= RI ; mit R = L :
F
 STROME
 UND OHMSCHES GESETZ
7.1. STATIONARE
49
Folgerungen aus den Gleichungen
~ "0 divE~ = :
@ t + div~| = 0; ~| = E;
Wenn raumlich und zeitlich konstant ist, dann gilt fur stationare Strome:
@t~| = 0 ) @t E~ = 0 ) @t = 0 )
div~| = 0 :
Hieraus folgt:
1. divE~ = 0 und damit (~x) = 0, d.h. in einem von einem stationaren Strom
durchossenen homogenen Leiter gibt es keine Raumladungen.
2. An der Grenzache zwischen 2 Leitern mit Leitfahigkeiten 1 und 2 tritt an
die Stelle von div~| = 0 (s. S: 25-26)
(2) ~ (1) = E~ (2) ; bzw. 1 ~| (1) = 1 ~| (2) :
~| (1)
t
t
n = ~| n ; E
1 t 2 t
(2)
Ist das 2. Medium Vakuum, so ist ~| (1)
n = ~| n = 0, d.h. im Leiter ieen keine
Ladungen auf den Rand zu.
3.
1
I1 F"
G
Fi"
Ii
0=
Z
G
div~| d3~x =
Z
n
X
k=1
@G
~| df~ =
In ein Gebiet G munden
n Leiter mit Querschnitten
Fi" (Normale nach auen),
durch die n stationare Strome Ii ieen, dann folgt:
n Z
X
"
j =1 Fi
~| df~ =
I (Fk") = 0 :
Das Kirchhosche Stromverzweigungsgesetz fur stationare Strome!
 UND MAGNETISCHE KRAFTE

KAPITEL 7. STROME
50
4. Joulesche Warme
Das die Stromdichte ~| erzeugende Feld E~ leistet Arbeit an den beweg-
ten Ladungen, die ihrerseits den Energiezuwachs durch "Reibung"
(Zusammenstoe) an die Umgebung abgeben:
Bei einem Massenpunkt, auf den die Kraft K~ wirkt, hat man als Leistung
~v K~ . Daher hat man in unserem Fall als Leistungsdichte:
~v(~x) ~k(~x) = ~v(~x) e(~x)E~ (~x) = ~| (~x) E~ (~x) ;
~(~x) : Dichte der bewegten Ladungen.
Damit bekommt man fur die pro Zeit- und Volumeneinheit an den Leiter
abgegebene Energie l(~x) (Leistungsdichte):
l(~x) = ~| (~x) E~ (~x) = 1 ~| 2(~x) = E~ 2 (~x) :
Beispiel: gerades Drahtstuck, in dem ~| = const:, L: Lange des Drahtes, F :
Querschnitt. Die an den Draht abgegebene Leistung ist
Z
L I 2(F ) = I 2(F )R ;
d3~x 1 ~| 2 = 1 ~| 2FL = F
Draht
R : Widerstand des Drahtes.
5. "Elektromotorische" Krafte
Aus der Mechanik wei man, da sich Reibungskrafte nicht aus einem Potential ableiten lassen, d.h. i. a. setzt sich die "treibende" Feldstarke E~ in
~| = E~ aus 2 Anteilen zusammen:
E~ = E~ c + E~ e; rotE~ c = 0 :
E~ c kann dabei von Auadungen an Randern herruhren, E~ e kennzeichnet z.B.
den Losungsdruck fur Ionen, falls man ein Metall in eine Flussigkeit taucht.
(Im Gleichgewicht gilt E~ c + E~ e = 0 und dann ~| = 0.)
Beispiel: Batterie mit auerem Widerstand Ra .
'
&
E~ c
E~ e
{
1
E~ c
-
+
2
$ Bei
?I
%
Ra
einem geschlossenen Integrationsweg (Batterie, Draht,
Widerstand) gilt:
I
E~ c d~x = 0 :

7.2. KRAFTE
AUF BEWEGTE LADUNGEN IN MAGN. FELDERN
51
Die Integration ergibt dann, falls durch den Kreis der Strom I iet, mit
E~ c + E~ e = 1 (I=F )~n ; (F : Leiterquerschnitt; ~n : Normale von F ):
I 1
I
I
Z2
c
e
e
~
~
~
I F d~x ~n = (E + E ) d~x = E d~x = E~ e d~x E ;
1
E : "elektromotorische" Kraft, bzw. Spannung der Batterie;
I 1
F d~x ~n = R : Gesamtwiderstand des Systems, also
IR=E:
IRa ist der Spannungsabfall im aueren Teil des Kreises; R ? Ra bezeichnet
man als Innenwiderstand Ri .
7.2 Krafte auf bewegte Ladungen in
magnetischen Feldern
Analog zu der Kraft K~ (~x) = qE~ (~x) auf eine Punktladung q durch ein elektrisches
Feld werden in dem Feld eines Magneten, beschrieben durch die zu E~ analoge
magnetische Induktion B~ (~x), Krafte auf eine mit der Geschwindigkeit
~v(~x) bewegte Punktladung ausgeubt (sog. "Lorentz"-Kraft):
K~ (~x) = q(~v B~ )(~x) :
Diese Gleichung liefert u.a. eine mogliche Mevorschrift zur Bestimmung von B~ (~x).
Analog zum Coulomb-Gesetz wird angenommen, da das durch die bewegte Punktladung erzeugte Magnetfeld (s. spater) schwach gegenuber B~ ist.
Wegen ~v (~v B~ ) = 0 folgt ~v K~ = 0, d. h. das B~ -Feld leistet an der Punktladung keine Arbeit !! Nur die Richtung des Impulses wird beeinut!
Hat man am Ort ~x die Stromdichte ~| (~x) = (~x) ~v (~x), so bekommt man statt der
obigen Formeln (wegen q = V ) fur die raumliche Kraftdichte ~k:
~k(~x) = (~x)(~v B~ )(~x) = ~| B~ (~x) :
Sind die Stromdichten ~| nur in einem beschrankten Gebiet G von Null verschieden,
so wirkt auf sie die Gesamtkraft
Z
K~ (G) = d3~x ~| (~x) B~ (~x) :
G
Es sei C = ~x( ); 2 [1 ; 2] ein Stromfaden, durch den ein Strom der Starke I
iet. Da q = I t; t : Zeitintervall, und ~v ~x=t, so bekommt man aus der
Lorentzkraft:
K~ I (~x B~ ):
52
 UND MAGNETISCHE KRAFTE

KAPITEL 7. STROME
Division durch und der Limes ! 0 ergeben die Linienkraftdichte:
dK~ = I ( d~x B~ (~x)) ;
d
d
d~x : Tangentialvektor an C in ~x(t) :
d
Auf C wirkt insgesamt die Kraft
K~ (C ) = I
Z d~x
B~ [~x( )]d :
d
2
1
Beispiel: B~ = const: und C sei geschlossen (~x(1) = ~x(2 )), dann gilt:
Z
~K (C ) = ?I B~ d~x d = 0 :
d
Andererseits gilt fur das Drehmoment
Z
Z
~
x B~ )d :
N~ (C ) = ~x( ) ddK d = I ~x( ) ( d~
d
Wegen
x B~ ) = 1 d (~x (~x B~ )) + 1 (~x d~x ) B;
~ B~ = const:
~ ;
~x ( d~
d
2 d
2
d
folgt:
2
1
2
2
1
1
N~ (C ) = m
~ B~ ;
Z
x d :
m
~ = I2 ~x( ) d~
d
2
1
m
~ : "magnetisches" Moment des geschlossenen Stromfadens.
Beispiel: C sei ein Kreis mit Radius a in der Ebene x3 = 0, dann gilt
1 Z ~x( ) d~x d = a2~e
3
2 d
Liegt B~ parallel zu ~e1 , so ist N~ parallel zu ~e2 .
2
1
Kapitel 8
Die Erzeugung von magnetischen
Feldern durch bewegte Ladungen
8.1 Das Gesetz von Biot und Savart
Eine Ladungsverteilung (~y ) erzeugt das elektrische Feld
1 Z d3~y (~y ) (~x ? ~y ) ;
E~ (~x) = 4"
k~x ? ~y k3
0
bzw. eine Punktladung q am Orte ~y das Feld
1 q (~x ? ~y ) ;
E~ (~x) = 4"
0 k~x ? ~y k3
experimentelles
Resultat !!
!
Analoges haben Biot und Savart im magnetischen Fall gefunden : Wird ein
Stromfaden C = f~y ( ); 2 [1 ; 2]g vom Strom I durchossen, so ist der
Beitrag des Stromes I im Punkte ~y ( ) 2 C zu der magnetischen Induktion
im Punkte ~x gegeben durch:
dB~ (~x) = 0 I ( d~y (~x ? ~y ) ) ;
d
4 d k~x ? ~y k3
0 = 4 10?7V s=Am ;
und der Gesamtbeitrag von C ist:
Z
~B (~x) = 0 I [ d~y (~x ? ~y ( ))3 ] d :
4 d k~x ? ~y ( )k
2
1
Beispiel: C sei die (unendlich lange) x3 -Achse: = y3; ~y = (0; 0; y3); d~y =d = ~e 3 .
53

KAPITEL 8. MAGNETISCHE FELDER UND STROME
54
Die Einfuhrung von Zylinderkoordinaten (a; '; x3) ergibt: e3 (~x ? ~y ) = a~e ' ,also
~y XXX
Z +1
6
XXX ~
x ? ~y
dy3
0
XXX
~
B (~x) = 4 I~e ' a
z
- a XX-X
2
?1 (a + (y3 ? x3 )2 )
>
Z
~ea
0 I~e a +1 dy~3 ; y~ = y ? x
~
x
=
3
3
3
4 ' ?1 (a2 + y~32)
1 = 0 I 1 ~e ;
~e3 6 = 0 I~e ' 1 [ 2 y~3 2 ]+?1
4 a (a + y~3 )
2 a '
r
x3 = 0 6
3
2
3
2
1
2
B~ = 20 I a1 ~e ' ;
d.h. B~ hat weder eine Komponente in x3 -Richtung noch in ~e a -Richtung.
Bringt man parallel zu C im Abstand a einen zweiten geraden Stromfaden C1
der Lange l1 mit dem Strom I1, so wirkt auf diesen nach Seite 52 die Kraft (C1 wird
als Teilstuck eines sehr langen Stromfadens angesehen!):
Z
~K (l1) = I1 x ~e 3 B~ (a) dx3 = 0 I1 I l1 ~e 3 ~e ' ;
2 a
x
K~ (l1)=l1 = ? 20 I1I a1 ~e a ;
d. h. falls I1 I > 0 (Strome parallel), so ziehen sich die beiden Drahte an!
(2)
3
(1)
3
Die obige Gleichung wird zur Denition der Stromeinheit "Ampere"
A benutzt: Fliet durch zwei parallele Drahte ein Strom gleicher Richtung und
gleichen Betrages, so ist das Ma dieses Stromes 1 A, falls bei einem Abstand a
von 1 m die auf 1 m Lange des Drahtes wirkende anziehende Kraft 2 10?7m kg=s2
betragt!
Hat man anstelle eines Stromfadens eine Stromdichte, so bekommt man nach
Biot und Savart
Z
~B (~x) = 0 d3y~| (~y ) (~x ? ~y )3 :
4
k~x ? ~y k
(Einsetzen von ~| auf S. 47 fuhrt auf den Fall des Stromfadens zuruck !). Da
rotx( ~| (~y ) ) = ~| (~y ) (~x ?3 ~y ) ;
k~x ? ~y k
k~x ? ~y k
so kann man schreiben :
Z
~B (~x) = rotA~ (~x); A~ = 0 d3y ~| (~y ) :
4
k~x ? ~y k
8.1. DAS GESETZ VON BIOT UND SAVART
55
Wegen div~| = 0 und ~| n = 0 an der Grenzache des Leitergebietes G mu
divA~ = 0
gelten!
Beweis: Aus der Identitat
~| (~y ) ) folgt
y~| (~y )
divx k~x~| (?~y )~y k = div
?
div
y(
k~x ? ~y k
k~x ? ~y k
Z
Z ~| df~
div
~
|
(
~
y
)
0
0
3
~
divA(~x) = 4 d y k~x ? ~y k ? 4 k~x ? ~y k = 0 ;
G
@G
da div~| = 0 in G und ~| n = 0 auf @G :
Ferner folgt
~
~
rotB~ = rot(rotA~ ) = grad (div
| {zA )} ?A
=0
Z
= ?( 40 d3y k~x~| (?~y )~y k ) :
Wegen
erhalt man
? 41 x( k~x ?1 ~y k ) = (~x ? ~y )
Z
~
rotB = 0 d3y~| (~y )(~x ? ~y ) = 0~| (~x) :
Also:
rot B~ = 0~| (~x) fur stationare Strome,
bzw.: B~ = rot A~ ; div A~ = 0 ;
wobei A~ = ?0~| (~x) :
Wegen B~ = rotA~ gilt auerdem
divB~ = 0 : es gibt (bisher) keine magnetischen Ladungen!
F " sei ein glattes einfach zusammenhangendes Flachenstuck mit Rand @F " , dann
folgt aus rotB~ = 0~| und dem Stokesschen Satz:
Z
Z
Z
"
~
~
~
0I (F ) 0 " ~| df = " rotB df = " B~ d~x :
F
F
@F

KAPITEL 8. MAGNETISCHE FELDER UND STROME
56
Anwendung: ein zylindrischer Leiter vom Radius a erstrecke sich langs dergesamten
x3 -Achse. In Zylinder-Koordinaten hat B~ die Form B~ (~x) = B (r)~e ' .
Beweis: ~| = (I=a2)~e 3. Nach S. 54 gilt dann fur B~ (~x) :
Z
Z 3
B~ (~x) = 402aI2 ~e 3 d3y k(~x~x ??~y~yk)3 = 402aI2 ~e 3 gradx k~xd?y~y k :
Das Integral
Z a Z 2 Z +1
dd'dy3 k~x ? ~y k
0 0 ?1
hangt nur von r ab 1,und da ~e 3 ~e r = ~e ' , so folgt die Behauptung!
Fur eine Kreisache F " = K (2) (r)"; kF "k = r2 gilt dann
8 r2
>
< I a2 fur r a und
(2)
I (K (r)) = >
: I fur r a ,
d. h.
8 0Ir
>
>
< 2a2 fur r a und
B (r) = >
>
: 0I fur r a .
2r
8.2 Magnetische Dipole
Ist die Stromdichte ~| (~x) nur in einem beschrankten Gebiet G (in der Umgebung
des Koordinatenursprungs ) von Null verschieden, so kann man das "Vektorpotential"
Z
~A (~x) = 0 d3 y ~| (~y ) ;
4 G k~x ? ~y k
ganz analog zum elektrostatischen Potential (s.S. 35), fur sehr groe k~xk; ~x 62 G,
nach "Multipolen" (diesmal magnetischen!) entwickeln:
Z
Z
A~ (~x) = 40 [ k~x1k ( d3y~| (~y )) + k~x1k3 d3y(~y ~x)~| (~y ) + ]
G
Zunachst gilt
Z
d3 y~| (~y ) = 0 :
Beweis: Wegen div~| = 0 hat man
0 =
1x
3
R('):
Z
G
G
yi(div~| )d3y =
Z
G
div(yi~| )d3y
?
Z
G
~| grad(yi)d3 y
! x3 + a, lat sich durch y3 ! y3 ? a und R(')~x durch R?1 (')~y kompensieren, wobei
Drehung um ~e 3 -Achse.
8.2. MAGNETISCHE DIPOLE
Z
Z
=
yi~| df~ ? jid3y ;
| @G {z }
= 0Z ; da ~| n = 0
d.h. jid3 y = 0; i = 1; 2; 3 :
R
Beim 2. Term hat man Integrale der Form d3y yi jk . Aus
yi yk div~| = div(yi yk ~| ) ? ~| grad(yi yk )
folgt analog wie vorher:
57
Z
Z
~
0=
(yiyk~| ) df ? ~| grad(yiyk )
| @G {z
} G
= 0; da ~| n = 0 ;
Z
(yijk + yk ji)d3y = 0 :
also
Da
yijk = 21 (yijk + yk ji ) + 21 (yijk ? yk ji )
und
(~x ~y )~| ? ~y (~x ~| ) = (~y ~| ) ~x;
so bekommt man fur den 2. Term:
Z
A~ (~x) = 40 k~x1k3 12 (~y ~| ) ~x d3 y
~ ~x ; m
1 Z d3y(~y ~| )
~
=
= 40 m
k~xk3
2
m
~ : magnetisches
Dipolmoment der durch ~| beschriebenen Stromverteilung.
R
Mit ~| (~x) = I d (~x ? ~y ( )) d~y = erhalt man fur m
~ den Ausdruck auf S. 52.
2
1
~ ~x)~x ? m
~ ); ~x 6= 0:
B~ (~x) = rotA~ (~x) = 40 ( 3(m
5
k~xk
k~xk3
Fur einen fast punktformigen magnetischen Dipol m
~ in der Nahe des Punktes ~x = 0 ergibt sich als Kraft in einem aueren Magnetfeld B~ ex(~x) analog zum
elektrischen Dipol (s.S. 37):
Z
Z
X
K~ ex = d3y~| (~y ) B~ ex(~y ) = d3y~| (~y ) (B~ ex(0) + yi@i B~ ex(0) + )
G
= [(m
~ grad)B~ ex](0) = grad(m
~ B~ ex)(0):
3
X
j =1
G
mj @j B~ ex(0)
i

KAPITEL 8. MAGNETISCHE FELDER UND STROME
58
Die Umformung
Z
3
3
X
X
d3y [~| (~y ) ( yi@i B~ ex(0))] = 21 d3 y [ (~y ~| (~y ))i@iB~ ex(0)]
i=1
i=1
und die ubrigen Umrechnungen
machen von den Eigenschaften rotB~ ex = 0,
R
3
divB~ ex = 0 in G und G d y(yijk + yk ji ) = 0 (s. oben) Gebrauch.
Z
8.3 Zusammenstellung der wichtigsten
Beziehungen aus der Physik
der stationaren Strome.
1. Ohmsches Gesetz in seiner einfachsten Form:
~| (~x) = E~ (~x); (spez.Leitf.) = const:
Folgerung:
(2) ~ (1) = E~ (2) :
div~| = 0; ~| (1)
t
t
n = ~| n ; E
Leistungsdichte im Leiter = Joulesche Warme pro Zeiteinheit:
l(~x) = ~| (~x)E~ (~x) = 1 ~| 2 (~x) = E~ 2 (~x) :
2. Krafte auf bewegte Ladungen, falls B~ gegeben ist.
Punktladungen:
K~ (~x;~v ; q) = q(~v B~ )(~x) :
Stromverteilungen im Gebiet G:
Z
~K (G) = d3x~| (~x) B~ (~x) :
G
Stromfaden:
Z
~K (C " ) = I d~x B~ (~x( )) :
d
Magnetisches Moment:
Z
1
m
~ = 2 d3x~x ~| (~x)
Z
x fur Stromfaden :
= I2 d~x( ) d~
d
3. Von Stromen erzeugte magnetische Felder
Z
~B (~x) = 0 d3 y~| (~y ) (~x ? ~y )3
4
k~x ? ~y k
Z
d~y (~x ? ~y ) ] fur Stromfaden :
d [ d
= 40 I
k~x ? ~y k3
2
1
2
1
2
1


8.3. GLEICH'GEN ZUR PHYSIK STATIONARER
STROME
Vektorpotential:
Z
~ A~ = 0 d3y ~| (~y ) ; divA~ = 0 :
B~ (~x) = rotA;
4
k~x ? ~y k
Dierentialgleichungen:
rotB~ = 0~| (~x); divB~ (~x) = 0 ;
oder: A~ = ?0~| (~x); divA~ = 0 :
59
Kapitel 9
Das Faradaysche
Induktionsgesetz
9.1 Herleitung mittels Galilei-Transformationen
Bisher sind nur zeitunabhangige Vorgange in einem ruhenden Inertialsystem I betrachtet worden. Diese Vorgange konnen dadurch zeitabhangig werden,
da man sie von einem bewegten Inertialsystem I 0 aus betrachtet.
Falls die Relativgeschwindigkeit ~u der beiden Inertialsysteme klein gegenuber
der Lichtgeschwindigkeit c ist, so sind die Koordinaten (~x; t) eines Ereignisses in I
und die Koordinaten (~x0; t0 ) desselben Ereignisses in I 0 durch die folgenden GalileiTransformationen miteinander verknupft:
G(~u) : ~x ! ~x0 = ~x + ~ut;
t ! t0 = t ;
~ ; k~uk c : Lichtgeschwindigkeit.
~u = const:
In der Mechanik fordert man, da alle Inertialsysteme physikalisch aquivalent sind,
d.h. die physikalischen Grundgleichungen sollen in allen Inertialsystemen die gleiche
Gestalt haben. Um die bisher in I diskutierten Phanomene in I 0 zu beschreiben,
~ B~ etc. bei Galilei-Transmussen wir herausnden, wie sich die Feldgroen ;~| ; E;
formationen verhalten: (~x; t) ! 0(~x0; t0 ) etc.. Die folgenden Transformationen
gelten auch, falls die Ladungsdichte und die Stromdichte ~| in I Funktionen der
Zeit sind. Wir diskutieren daher zunachst diesen etwas allgemeineren Fall:
Aus der Denition von (~x; t) [= lim Q=V ] folgt, da Q und V in I und
I 0 dieselben sind:
0 (~x0 ; t0) = (~x; t) = (~x0 ? ~ut; t) :
Dies ist eine Vorschrift, die angibt, wie man die Funktion 0 zur Zeit t0 am Orte ~x0
durch den Wert von am Orte ~x0 ? ~ut ausrechnen kann. Anstelle von ~x0 kann man
oenbar auch ~x schreiben:
0 (~x; t) = (~x ? ~ut; t) :
60
9.1. HERLEITUNG MITTELS GALILEI-TRANSFORMATIONEN
61
Das Transformationsgesetz fur die Stromdichte ergibt sich aus der Gultigkeit der
Kontinuitatsgleichung in beliebigen Systemen:
div~| 0(~x; t) = ?@t 0 (~x; t) = ? d (~x ? ~ut; t)
dt
= ~u grad(~x ? ~ut; t) ? @t (~x ? ~ut; t)
= div[~u (~x ? ~ut; t) + ~| (~x ? ~u t; t)] ; d. h.
~| 0(~x; t) = ~u(~x ? ~ut; t) + ~| (~x ? ~ut; t) ;
~u : vom bewegten System aus gesehener "Konvektionsstrom".
In dem Bezugssystem I haben wir fur die Kraftdichte ~k(~x; t):
~k (~x; t) = (~x; t) E~ (~x; t) + ~| (~x; t) B~ (~x; t) :
Aus der Mechanik wei man, da ~k sich folgendermaen transformiert:
~k 0 (~x; t) = ~k (~x ? ~ut; t) ;
also
~k 0 (~x; t) = (~x ? ~ut; t) E~ (~x ? ~ut; t) + ~| (~x ? ~u t; t) B~ (~x ? ~ut; t)
= 0 (~x; t) [E~ (~x ? ~ut; t) ? ~u B~ (~x ? ~ut; t)] + ~| 0(~x; t) B~ (~x ? ~ut; t) :
Man bekommt demnach "Galilei-Invarianz" des Kraftgesetzes, falls
E~ 0 (~x; t) = E~ (~x ? ~u t; t) ? ~u B~ (~x ? ~ut; t) ;
B~ 0 (~x; t) = B~ (~x ? ~ut; t) ;
d.h. E~ und B~ werden nicht unabhangig voneinander transformiert: ein "beweg-
tes" Magnetfeld "erzeugt" ein elektrisches Feld.
Wegen
X
rot[~a F~ (~x)] = ? ai @iF~ + ~a divF~
3
i=1
folgt aus rotE~ = 0 und divB~ = 0, zunachst bei zeitunabhangigem B~ ,
rotE~ 0(~x; t) =
also
3
X
i=1
ui@i B~ (~x ? ~ut) = ?@t B~ 0(~x; t) ;
rotE~ 0(~x; t) + @t B~ 0(~x; t) = 0 ;
KAPITEL 9. DAS FARADAYSCHE INDUKTIONSGESETZ
62
d.h. ein "bewegtes" Magnetfeld erzeugt elektrische Wirbel!
Bemerkung:
Die Gleichungen divE~ = ="0 und rotB~ = 0~| (~x) sind nicht invariant
(kovariant) gegenuber Galilei-Transformationen.
Verallgemeinerung fur beliebige Zeitabhangigkeiten (Faraday):
Jedes zeitlich veranderliche Magnetfeld erzeugt
ein elektrisches Feld und es gilt:
rotE~ (~x; t) = ?@t B~ (~x; t) :
Die Richtigkeit dieser Annahme hat sich experimentell in zahllosen Beispielen bestatigt!
9.2 Magnetischer Flu und Induktivitaten
Eine Drahtschleife C " (geschlossen) bende sich in einem zeitlich veranderlichen
Feld B~ , dann gilt:
C"
' $
-
F
?
& %
Denition:
(F " ) Z
F"
6
Z
C
B~
Z
rotE~ df~
= ? " @t B~ df~ ;
E~ d~x =
"
FZ"
F
F ": einfach zusammenhangende
Flache mit @F " = C " :
?
B~ df~ : "magnetischer Flu durch F " " .
Fur @t 6= 0 entsteht in C " eine "Ringspannung", die durch
I
C " =@F "
E~ d~x = ? dtd (F " )
gegeben ist. Schneidet man also die Schleife an einer (beliebigen) Stelle auf, so
kann man dort die Spannung
? dtd (F " )(t)

9.2. MAGNETISCHER FLU UND INDUKTIVITATEN
63
abnehmen!
Hat die Schleife den Widerstand R, so iet in ihr der Strom
I (t) R = ? dtd (F ")(t) :
Ist das Feld B~ konstant, so kann man einen zeitlich veranderlichen Flu auch
dadurch erzeugen, da man die Schleife C " in B~ bewegt, z.B. rotieren lat (Prinzip
der Wechselstrom-Generatoren):
Ist F die Flache der Schleife und
~n (t) die zeitabhangige Normale
der rotierenden Schleife, so gilt:
C
C
C
C
C
C
CC
C
C
1
U12
2
C
C
C
C
C
C
1
~n (t) F
C
C
C
C
C
"C
C
C
-
~
B~ = const:
Z
E~ d~x
Z
= ? dtd " B~ df~
F
~ n] :
= ?B F d cos[B;~
dt
U12 (t) =
-
C
-
Der magnetische Flu durch die Schleife C " kann verschiedene Ursachen haben. Er kann z.B. durch die Stromschleifen C2" : : : Cn" erzeugt sein, in denen die
Strome I2(t); : : : In(t) ieen. Nach Biot-Savart (s.S. 53) ist das C " durchsetzende Feld B~ proportional zu I2 (t); : : : In(t). Auerdem tragt der in C "
ieende Strom I (t) selbst zu bei, da er ebenfalls ein Magnetfeld erzeugt
(sog. "Selbstinduktion"), d.h. wir haben die Beziehung
(F " ) = LI +
n
X
k=2
Lk Ik :
Die konstanten, nur von der Geometrie abhangigen Koezienten L und Lk heien
Induktivitatskoezienten, und zwar
L : Selbstinduktivitat
Lk : wechselseitige Induktivitaten.
Beispiel fur eine Selbstinduktivitat
Eine lange gerade Luftspule der Lange l und der Windungszahl n pro Lange werde
vom Strom I durchossen. Dann hat man (ohne Beweis) im Innern das Feld
B = 0 n I . Hat die Spule den Querschnitt F , so ist der Gesamtu durch n l
Spulenschleifen:
= n l F B = 0 n2 F l I ; d. h. L = 0 n2 F l :
KAPITEL 9. DAS FARADAYSCHE INDUKTIONSGESETZ
64
Berechnung der wechselseitigen Induktivitaten:
' $
Beitrag des Stromes I2 zum Flu 1
C1" ' $ C2"
durch C " :
1
Z
12 = L12 I2 = (B~ 2 ) df~1
I
= " A~ 2 d~x1 :
C
?
?
1
I2
&
%
I1
& %
Nun ist A~ 2 nach S. 54 durch
I
A~ 2 (~x1) = 40 I2 " k~x d~?x2~x k
C
1
2
2
gegeben, d. h.
also
I I x1 d~x2
;
L12 I2 = 40 I2 " " kd~
C C ~x1 ? ~x2 k
1
2
I I d~x1 d~x2
0
L12 = 4 " " k~x ? ~x k = L21 :
C C
1
2
Anwendungen: s. Literatur
1
2
9.3 Grundgleichungen der Wechselstromtechnik
Wir betrachten zunachst wieder einen Stromkreis C ", in den jedoch noch eine
zusatzliche Spannungsquelle mit Spannung U (e) (t) eingeschaltet ("elektromotorische"
Kraft, "eingepragte" Spannung, s. S. 51) ist. Die Gleichung fur die Gesamtspannung
lautet dann:
I (t) R = U (e) (t) ? dtd (F ")(t) :
Allgemein:
Haben n Stromschleifen (die selbst wieder Wicklungen sein konnen) C1", : : :, Cn"
die Widerstande R1; : : : ; Rn, liegen an ihnen die aueren Spannungen U1(e) (t), : : :,
Un(e) (t) und ieen in ihnen die Strome I1(t); : : : ; In(t), so ist die k-te Schleife von
einem magnetischen Flu
n
X
k = Lkl Il (t)
k=1
9.3. GRUNDGLEICHUNGEN DER WECHSELSTROMTECHNIK
durchsetzt und es gilt:
Ik (t)Rk = Uk(e) (t) ? dtd k ; oder
n
X
Uk(e) (t) =
Lkl dtd Il (t) + Rk Ik (t) ;
l=1
Grundgleichungen der Wechselstromtechnik
Beispiel:
+
-
6
= U (e)
IR + L dI
dt
Kreis geschlossen :
R
U (e)
L
?
I
U (e)
dI
dt
mit Losung:
= 0 ;
= ? R I (t)
L
I (t) = I (0)e? RL t :
?
Beispiel: Wechselstromkreis mit Kapazitat:
+
6
-
I
U (e)
L
?
?
Weiter gilt:
Nach S. 50 gilt:
R
I
Z2
1
C
Z2
(E~ + E~ (e) ) d~x;
1
wobei der Weg von der unteren
Platte
1 uber die EMK, den Wi
derstand R, die Spule L zur obe
2 ren Platte 2 verlauft.
RI =
1
E~ (e) d~x = U (e) und
65
66
KAPITEL 9. DAS FARADAYSCHE INDUKTIONSGESETZ
Z2
1
I
~E d~x = '1 ? '2 + E~ (ind:) d~x ;
wobei U12 '1 ? '2 die Spannung ist, die am Kondensator C liegt. Ferner ist
I
E~ (ind:) d~x = ?LdI=dt :
Insgesamt ergibt sich also:
(e)
RI + L dI
dt ? U12 = U (t):
Da der Strom I durch die zeitliche A nderung der Ladung auf den Platten 1 und 2
gegeben ist, gilt wegen Q = C U12 ; I = ?Q=t:
I = ?CdU12 =dt ; d. h.
?U (e) (t) :
2
L C ddtU212 + R C dUdt12 + U12 =
Diese Gleichung wird vollig analog zur gedampften, erzwungenen Schwingung in
der Mechanik gelost:
mx + m x_ + bx = F (t);
siehe Mechanik-Vorlesung WS 97/98.
Kapitel 10
Die Maxwellschen Gleichungen
10.1 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom
Bisher sind die folgenden Feldgleichungen fur die Felder E~ und B~ diskutiert worden:
~
divE~ = " ; rotE~ = ?@t B;
0
divB~ = 0; rotB~ = 0~| :
Ferner gilt Ladungserhaltung, d. h.
@t + div~| = 0 :
Fur zeitlich veranderliche Ladungsverteilungen (~x; t) ist die Gleichung
rot B~ = 0 ~|
nicht vertraglich mit der Kontinuitatsgleichung fur die Ladung:
div~| = 1 div rotB~ = 0; ) @t = 0 :
0
Maxwell: Die Gleichungen rotB~ = 0~| sind folgendermaen abzuandern:
Setzt man = "0 divE~ in die Kontinuitatsgleichung ein, so ergibt sich:
div(~| + "0 @t E~ ) = 0 :
Ersetzt man also ~| in rotB~ = 0~| durch ~| + "0 @t E~ , so erhalt man Konsistenz mit
der Kontinuitatsgleichung:
rotB~ = 0(~| + "0 @t E~ ) :
Aufgrund historischer - heute nicht mehr mageblicher - Vorstellungen uber den
A ther wurde der Zusatz "0 @t E~ als "Verschiebungsstrom" bezeichnet.
67
KAPITEL 10. DIE MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN
68
Als vollstandigen Satz von Feldgleichungen fur E~ und B~ erhalten wir damit fur
den "materiefreien" Raum
~
divE~ = " ; rotE~ = ?@t B;
0
divB~ = 0; rotB~ = 0(~| + "0 @t E~ ) :
Hier sind (~x; t) und ~| (~x; t) entweder vorgegeben, als ruhende oder bewegte
Ladungsverteilungen, oder auch selbst wieder Funktionen von E~ und B~ , z. B.
~| = E~ :
Die Kontinuitatsgleichung ist jetzt eine Folge der obigen Maxwellschen Gleichungen:
div~| = div( 1 rotB~ ? "0 @t E~ ) = ?"0 div@t E~
0
= ?"0 @t (divE~ ) = ?@t (~x; t) :
10.2
Die Maxwellschen Gleichungen als Zeitentwicklungsgleichungen fur E~ und B~
In der Mechanik interessiert man sich primar fur die Zeitentwicklung der Groen
q (t) und p (t) aufgrund der Bewegungsgleichungen
@H ; p_ = ? @H ; = 1; : : : ; f:
q_ = @p
@q
Die zeitliche Entwicklung von E~ und B~ ist aufgrund der Maxwellschen Gleichungen gegeben durch
"0 @t E~ = 1 rotB~ ? ~| ;
0
~
@t B = ?rotE~ :
Die restlichen Maxwellschen Gleichungen divB~ = 0 und divE~ = ="0 enthalten
keine Zeitableitungen!
Sie sind in diesem Zusammenhang so zu interpretieren:
Gibt man sich ;~| sowie E~ und B~ zur Zeit t = t0 vor, so mussen die Anfangswerte E~ t ; B~ t den Bedingungen divB~ jt=t = 0; divE~ jt=t = jt=t ="0 genugen!
0
0
0
0
0
10.3. DIE ELEKTROMAGNETISCHEN POTENTIALE
69
Frage: Welche Bedingungen mussen erfullt sein, damit die Gleichungen
divB~ = 0; divE~ = ="0 fur alle Zeiten t erfullt bleiben?
Oenbar mu
@t (divB~ ) = 0 ; @t (divE~ ? "1 ) = 0 ;
0
gelten, falls divB~ = 0 und divE~ = ="0 fur t = t0!
D. h.
@ t divB~ = div@ t B~ = ?div(rotE~ ) = 0 und
@ t divE~ ? "1 @ t = div(@ t E~ ) ? "1 @ t 0
0
1
rotB~ ? 1 ~| ) ? 1 @ t = div(
0"0
"0
"0
1
= ? " (div~| + @ t ) = 0 ;
0
falls die Kontinuitatsgleichung erfullt ist!
Hier erscheint demnach die Kontinuitatsgleichung als Konsistenzbedingung dafur, da die zeitliche Entwicklung von E~ und B~ mit den
Anfangsbedingungen divB~ jt=t = 0 und divE~ jt=t = jt=t ="0 vertraglich
bleibt!
0
0
0
10.3 Die elektromagnetischen Potentiale
Viele Probleme der Elektrodynamik lassen sich eleganter mit Hilfe von 4 PotentialFunktionen behandeln:
Falls das Gebiet G, in dem divB~ = 0 gilt, "sternformig" ist, sich
auf einen beliebigen Punkt im Innern stetig zusmmenziehen lat,
so folgt aus divB~ = 0 fur B~ die Darstellung:
B~ = rotA~ :
A~ heit "Vektorpotential". Da rot(grad) = 0; (~x; t) beliebig, so ist A~ bei
vorgegebenem B~ zunachst nur bis auf einen Gradienten bestimmt!
Einsetzen von B~ = rotA~ in rotE~ = ?@ t B~ ergibt:
rot(E~ + @ t A~ ) = 0 :
Analog wie oben kann man jetzt schlieen, da eine Funktion '(~x; t) existiert, so
da E~ + @ t A~ = ?grad', d. h.
E~ = ?grad' ? @ t A~ :
KAPITEL 10. DIE MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN
70
Damit sind die "homogenen" Maxwellschen Gleichungen
divB~ = 0 ; rotE~ + @ t B~ = 0
bei beliebigen A~ und ' "identisch" erfullt! Allerdings werden A~ und ' durch die
"inhomogenen" Gleichungen stark eingeschrankt.
Einsetzen von B~ = rotA~ und E~ = ?grad' ? @ t A~ in divE~ = ="0 und rotB~ =
0(~| + "0 @ t A~ ) ergibt wegen rot(rotA~ ) = grad(divA~ ) ? A~ :
?' ? @ t divA~ = "1 und
0
~
~
grad divA ? A = 0 [~| ? "0 (@ t grad' + @t2 A~ )]
oder:
?@ t divA~ ? ' = "1 ;
0
2
~
~
0"0 @t A ? A + grad (divA~ + 0 "0 @ t ') = 0~| :
Dies ist, bei vorgegebenen und ~| ein (unangenehm) gekoppeltes System von partiellen Differentialgleichungen fur ' und A~ . Das System lat sich vereinfachen, wenn
man davon Gebrauch macht, da A~ und ' bei gegebenen E~ und B~ noch nicht festgelegt sind: Ist (~x; t) eine beliebige, stetig dierenzierbare Funktion, dann gehoren
zu
'0 = ' ? @ t ; A~ 0 = A~ + grad
dieselben Feldstarken E~ und B~ wie zu ' und A~ ! Den U bergang '; A~ ! '0 ; A~ 0
bezeichnet man als "Eichtransformation". Man kann nun das obige Differentialgleichungs-System vereinfachen, indem man ' und A~ Nebenbedingungen unterwirft:
1. Lorentz-Bedingung oder Lorentz-"Eichung"
divA~ + "0 0@ t ' = 0 :
Dann bekommt man fur ' und A~ die Gleichungen
2' = "1 ; 2A~ = 0~| ;
0
2 "0 0@t2 ? : "d'Alembert-Operator".
Genugen ' und A~ zunachst noch nicht der Lorentz-Bedingung, d. h. gilt
divA~ + "0 0@ t ' L(~x; t) =
6 0;
so kann man immer ein nden, so da die neuen Potentiale '0 und A~ 0 der
Lorentz-Bedingung genugen:
10.3. DIE ELEKTROMAGNETISCHEN POTENTIALE
71
Aus
0 = divA~ 0 + "0 0@ t '0 = div(A~ + grad) + "0 0@ t (' ? @ t )
bekommt man namlich fur die inhomogene Dierential-Gleichung
2 = L(~x; t) ;
aus der man ein bestimmen kann, so da L0 = 0.
Aus der Gleichung 2 = L sieht man auch noch Folgendes:
Auch wenn die Potentiale ' und A~ der Lorentz-Bedingung L = 0 genugen, so
sind diese noch nicht festgelegt. Es sind immer noch solche Eichtransformationen moglich, fur die = 0 gilt, wobei 20 = 0.
Ist z.B. = 0, d.h. 2' = 0, so kann man durch geeignete Wahl von 0
'0 = ' ? @ t 0 = 0
setzen. Es bleiben dann die Gleichungen
2A~ = 0 ~| ; divA~ = 0 ; div~| = 0:
2. Coulomb-Eichung
Hier fordert man
divA~ = 0 :
Die Feldgleichngen fur ' und A~ lauten dann
' = ? " ; 2A~ = 0 (~| ? "0 grad @ t ') :
0
Die Losung der 1. Gleichung ist (s.S. 16)
Z
1
'(~x; t) = 4" d3y k~x(~y?; t~y)k :
0
Dies ist in die rechte Seite der letzten Gleichung einzusetzen und man hat
dann diese Dierential-Gleichung fur A~ zu losen. Falls zunachst divA~ 6= 0 ist,
dann kann man umeichen:
0 = divA~ 0 = div(A~ + grad) ;
d.h. mu Losung der Gleichung
= ?divA~ ; mit
Z
A~ (~y ; t) ; sein.
1
= 4 d3y div
k~x ? ~y k
72
KAPITEL 10. DIE MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN
Falls schon divA~ = 0 ist, so mu = 0 der Gleichung 0 = 0 genugen.
Beschrankt man sich auf solche , fur die 0 ! 0 mit k~xk ! 1, so bleibt
nur die Losung = 0; d.h. im Falle der Coulomb-Eichung sind die
Potentiale ' und A~ festgelegt (Vorteil der Coulomb-Eichung!)!
Die Coulomb{Eichung hat im Rahmen der speziellen Relativitatstheorie den
Nachteil, da sie i.a. nur in einem Inertialsystem gilt, wahrend die Lorentz{
Eichung in allen Inertialsystemen gultig ist, falls sie in einem vorliegt (s. spater).
Kapitel 11
Energie- und Impulsbilanzen
11.1 Energieerhaltung in elektrodynamischen
Systemen;
Energiedichten und Poynting{Vektor
Fruher (S. 50) haben wir gesehen, da ein elektrisches Feld, das auf Ladungen mit
der Stromdichte ~| wirkt, an den Ladungen und ihren Tragern Arbeit leistet, zu der
die Leistungsdichte
l(~x; t) ~| (~x; t) E~ (~x; t)
gehort (die Lorentz-Kraft gilt auch fur zeitabhangige Felder !). Der Ausdruck fur
~| E~ lat sich mittels der Maxwellschen Gleichungen umformen und uminterpretieren:
l(~x; t) = ( 1 rotB~ ? "0 @ t E~ ) E~
0
1
= (rotB~ ) E~ ? "20 @ t E~ 2 :
0
Wegen B~ rotE~ ? E~ rotB~ = div(E~ B~ ) (mathem. Identitat) und rotE~ = ?@ t B~
bekommt man
?@ t ( "20 E~ 2 + 21 B~ 2 ) = div( 1 E~ B~ ) + ~| E~ :
0
0
Integriert man uber ein zeitlich unveranderliches Gebiet G, so erhalt man, mit
S~ (1=0)E~ B~ ,
Z
?@ t G d3x( "20 E~ 2 + 21 B~ 2 ) =
0
Z
@G
Z
~ 3x :
S~ df~ + ~| Ed
G
Interpretation (analog zum Erhaltungssatz fur die Ladung):
we = ("0 =2)E~ 2 ist die Energiedichte des elektrischen Feldes (s.S. 28). Analog
ist wm = (1=20)B~ 2 die Energiedichte des magnetischen Feldes. Die linke Seite der
73
KAPITEL 11. ENERGIE- UND IMPULSBILANZEN
74
obigen Gleichung ist also die zeitliche Abnahme der elektromagnetischen Feldenergie im Gebiete G. Der letzte Term auf der rechten Seite gibt die in G erzeugte
Joulesche Warme und der 1. Term den Energieu durch die Oberache @G an,
d.h. analog zur Stromdichte ~| ist S~
S~ (~x; t) = 1 E~ B~ (~x; t)
0
die lokale Energieudichte !
S~ heit Poynting-Vektor. Immer dort, wo E~ =
6 0; B~ 6= 0 und E~ 6 k B~ , iet
Energie.
Beispiel 1:
Ein zylindrischer Leiter vom Radius a und Lange l, durch den ein stationarer
Strom I iet:
6
6
~e3
E~
6
~
B
l
6
a -
r ; ra
a2
1 ; ra
r
~| = aI 2 ~e 3 = E~ = E ~e 3
r a : S~ = EB (r) ~e 3 ~e ' = ? EB (r) ~e ;
0
~|
?
8
>
>
<
I
0
B~ (~x) = B (r) ~e' ; B (r) = 2 >
>
:
0
d. h. die Feldenergie iet von der Oberache senkrecht in den Leiter nach innen und wird dort in Joulesche Warme umgewandelt:
Da E~ und B~ = const:, so gilt @ t we = 0; @ t wm = 0; und
Z
Zylinderoberflache
S~ df~ =
Z
S~ ~e kdf~k
= ? E B (a) 2 a l
0
= ?E I l = ?j E a2l ;
Mantel
jEa2 l ist gerade die Joulesche Warme im Leiterstuck vom Volumen a2l!
Diese wird also der elektromagnetischen Feldenergie entzogen: Bei Anwesenheit von Ladungstragern bilden die elektromagnetischen Felder kein abgeschlossenes System !
11.1. ENERGIEERHALTUNG,ENERGIEDICHTEN, POYNTING-VEKTOR 75
Beispiel 2:
Anwendung fur die magnetische Energiedichte wm = (1=20)B~ 2 :
In einem endlichen Gebiet G ieen in n Stromschleifen C1" ; : : : ; Cn" stationare
Strome I1; : : : ; In, die magnetische Felder erzeugen. Fur die magnetische Energie des Systems gilt dann:
Z
Z 1
1
2
3
~
Wm = 2 B d x = 2 d3x B~ rotA~ :
R
0
0
Aus der mathematischen Identitat
B~ rotA~ = A~ rotB~ + div(A~ B~ )
folgt
Z
Z
1
1
3
~
~
Wm = 2 d x A rotB + 2 div(A~ B~ )d3x :
0
0
Da die Stromschleifen im Endlichen liegen, fallen A~ und B~ hinreichend stark
fur k~xk ! 1 ab, so da
Z
Z
div(A~ B~ )d3x = k~xlim
df~ (A~ B~ ) = 0;
k!1
3
@K (r)
R3
und mit rotB~ = 0~| sowie @ t E~ = 0 ist dann:
Z
Wm = 21 d3x A~ ~| :
Zu den in den n Schleifen ieenden Stromen gehort die Stromdichte
n Z
X
yi :
~| (~x) = Ii di(~x ? ~y i(i )) d~
di
i=1
Damit erhalten wir fur Wm :
n Z
X
1
yi
Wm = 2 Ii diA~ (~y i(i)) d~
di
i=1
Z
n
X
= 12 Ii d~y A~ (~y ) :
i=1 Ci
Ist nun Fi" eine Flache mit Rand Ci" , so folgt
Z
Z
Z
~
~
~
y A (~y ) = " df rotA = df~ B~ = i ;
" d~
Ci
d. h. wir erhalten schlielich
Fi
Ei
X
X
Wm = 12 Iii = 21 Lik IiIk
i
i;k
fur die magnetische Energie des Systems !
Denition: Zeitabhangige Vorgange, fur die @ t~| 6= 0 , heien "quasistationar",
falls k~| k "0 k@ t E~ k, d.h. falls die Verschiebungsstromdichte gegenuber der normalen Stromdichte vernachlassigbar ist. Die bisher hergeleiteten Beziehungen fur
stationare Strome gelten dann auch fur quasistationare.
KAPITEL 11. ENERGIE- UND IMPULSBILANZEN
76
11.2 Lorentz-Kraft, elektromagnetische
Flachenkraft und Feldimpuls
Wie die Coulomb-Kraftdichte in der Elektrostatik, so kann man auch die Lorentz{
Kraftdichte ~k (~x; t) = E~ + ~| B~ aus einem Maxwellschen "Spannungstensor" Tik
herleiten, in dem nur noch die Felder E~ und B~ vorkommen:
Man eliminiert und ~| in ~k mittels der Maxwellschen Gleichungen:
~k (~x; t) = "0 E~ divE~ + 1 (rotB~ ) B~ ? "0 @ t E~ B~ :
0
Addiert man noch die aus den restlichen Maxwellschen Gleichungen folgenden Beziehungen
~
0 = ?"0 E~ rotE~ ? "0 E~ @ t B~ ; 0 = 1 B~ divB;
0
so erhalt man
~k (~x; t) = "0 E~ divE~ ? "0 E~ rotE~
+ 1 B~ divB~ ? 1 B~ rotB~ ? "0 0@ t S~ :
0
0
Fruher (S. 29) wurde gezeigt, da
X
"0 (E~ divE~ ? E~ rotE~ )i = @k Tike ;
3
k=1
wobei
Analog ergibt sich, da
Tike = "0 (EiEk ? 21 ik E~ 2 ) :
3
1 (B~ divB~ ? B~ rotB~ ) = X
m
@
k Tik ;
0
k=1
wobei
Tikm = 1 (BiBk ? 12 ik B~ 2) :
0
Mit Tik = Tike + Tikm erhalten wir daher
ki =
3
X
k=1
@k Tik ? "0 0 @ t Si ;

11.2. LORENTZ-KRAFT, FLACHENKRAFT
UND FELDIMPULS
bzw. in Integralform
K~ mech:(G) =
Z
G
~k d3x =
Z
@G
T~nkdf~k ? "0 0 @ t
Z
G
77
S~ d3x ;
T~n = T ~n ; T = (Tik ); df~ = kdf~k ~n :
Da K~ mech: = d P~mech:=dt; so kann man auch schreiben:
d [P~ (G) + " Z S~ d3x ] = Z T~ kdf~k :
0 0 G
n
dt mech:
@G
Interpretation:
~pem(~x; t) = "0 0 S~ (~x; t)
ist die zu den elektromagnetischen Feldern gehorige Impulsdichte und
Z
P~em(G) = p~em (~x; t)d3x
G
der von den elektromagnetischen Feldern getragene Gesamtimpuls im Gebiete G !
Also ist
d [P~ (G) + P~ (G)] = Z T~ kdf~k = K~ (G);
em
n
dt mech:
@G
wobei K~ (G) die auf das System in G wirkende Gesamtkraft ist, die allein von den
Werten von E~ und B~ auf @G abhangt !
Wird G ! R3 und verschwinden E~ und B~ hinreichend stark fur k~xk ! 1, so folgt
~
P~mech:(R3 ) + P~em(R3) = const:
Wir werden sehen, da "0 0 = 1=c2 gilt, wobei c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist, d.h. wir haben
p~em (~x; t) = c12 S~ (~x; t) :
Kapitel 12
Elektromagnetische Wellen
12.1 Ebene elektromagnetische Wellen
Frage: Gibt es nichttriviale (d.h. E~ 6= const:; B~ 6= const:) Losungen der Max-
wellschen Gleichungen im ladungs- und stromfreien Raum ?
~ B~ sind Trager von Energie,
Antwort: Ja, in Form elektromagnetischer Wellen; E;
Impuls, Drehimpuls etc. durch den materiefreien Raum (z.B. "Licht" von
Fixsternen !).
Fur = 0; ~| = 0 lauten die Maxwellschen Gleichungen:
rotE~ = ?@ t B~ ;
divE~ = 0 ;
rotB~ = "0 0 @ t E~ ; divB~ = 0 ;
oder fur die Potentiale '(~x; t); A~ (~x; t) in der Lorentz-Eichung:
~ E~ = ?grad' ? @ t A~ ;
B~ = rotA;
2A~ (~x; t) = 0; 2'(~x; t) = 0;
divA~ + "0 0 @ t ' = 0; 2 "0 0 @ t 2 ? :
Durch entsprechende Eichung (s.S. 71) kann ' = 0 angenommen werden.
Bemerkung: die Groe "0 0 hat die Dimension [Geschwindigkeit]?2 und("0 0 )?
den Zahlenwert 2; 9979 108m=s = Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum (Entdek{
kung von Weber vor dem Finden der Maxwellschen Gleichungen). Unmittelbare
Verknupfung der optischen Groe c mit den elektromagnetischen Groen "0
und 0 . Der D'Alembert-Operator
2 c12 @t2 ? wird auch als "Wellenoperator" bezeichnet. Dieser Name wird durch die folgende
Diskussion plausibel werden.
1
2
78
12.1. EBENE ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
79
12.1.1 Allgemeine ebene Wellen
Es sei ~a(t~) eine 2-mal stetig dierenzierbare vektorwertige Funktion von t~. Dann
erhalt man folgende speziellen Losungen der obigen Gleichungen:
~n : beliebiger konstanter Einheitsvektor, ~n 2 = 1 ;
A~ (~x; t) = ~a(t~) ~a(t ? 1c ~n ~x) ; ~n ~a = 0 :
Beweis:
und ferner
divA~ = ? 1c ~a_ ~n = ? 1c @ t (~a ~n ) = 0 ; mit ~a_ = @ t~a = d~~a ;
dt
Fur E~ und B~ ergibt sich
A~ = c12 ~a :
E~ (~x; t) = ?@ t~a =
B~ (~x; t) = rotA~ =
?~a_ ~e(t~) ; t~ = t ? 1c ~n ~x ;
1 ~n ~e (t~) ; ~n ~e (t~) = 0 :
c
Eigenschaften dieser Losungen:
1. Fur festes t~ haben E~ und B~ auf den Hyperebenen t ? ~n ~x = const: uberall
den gleichen Wert (gleiche "Phase"). Halt man auch noch die Zeit t fest, so
gilt dies entsprechend fur die Ebenen ~n ~x = const:.
2. Zum Zeitpunkt t + hat man
E~ (~x + c~n ; t + ) = E~ (~x; t)
B~ (~x + c~n ; t + ) = B~ (~x; t) ;
d.h. die Ebenen gleicher Phase bewegen sich mit den gleichformigen
Geschwindigkeiten ~n c = ~c : ebene "Welle" mit "Phasen"-Geschwindigkeit
~c; k~ck = c:
~ B~ und ~n bilden fur festes ~x; t ein orthogonales Dreibein:
3. Die drei Vektoren E;
~
~
~n E = 0, ~n B = 0, E~ B~ = 0. E~ und B~ stehen aufeinander und auf
der Ausbreitungsrichtung ~n senkrecht : transversale Wellen.
4. Fur die Energiedichte erhalt man
w (~x; t) = w el + w m = 21 ("0 E~ 2 + 1 B~ 2 )
0
2
2
2
2
~
~
~
= "0 E ; da E = c B :
KAPITEL 12. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
80
Der Poynting-Vektor ist:
S~ (~x; t) = 1 E~ B~
0
= "0 E~ 2 c~n = w (~x; t) c~n :
D.h. die Energie iet in die ~n -Richtung mit "Geschwindigkeit" c. Schlielich
ergibt die Impulsdichte (S. 77)
~pem(~x; t) = c12 S~ = "c0 E~ 2 (~x; t) ~n = 1c w (~x; t) ~n
den "Strahlungsdruck" bei Lichtabsorption !
5. Da der D'Alembert-Operator 2 nur die zweiten Ableitungen von t und xi
enthalt, so ist auch A~ = ~b(t + ~n ~x=c);~n ~b = 0 eine Losung.
Man bezeichnet die Losungen ~a(t ? ~n ~x) als rechtslaufende und die Losungen
~b(t + ~n ~x) als linkslaufende Wellen.
12.1.2 Monochromatische ebene Wellen
Jede Losung E~ (~x; t) = ~"(~x) sin(!t+'0 ); '0 = const:, der Maxwellschen Gleichungen
im materiefreien Raum heit monochromatisch.
!: Kreisfrequenz und T = 2=!: Periode der Schwingung.
Monochromatische ebene Welle:
Denition:
E~ (~x; t) = ~" sin[!(t ? ~n c ~x )] :
~k = 1 !~n : "Wellenvektor" .
c
Fur festes t ist E~ periodisch in ~x mit der Periode ~k ~x0 = 2.
= 2=k~k k : "Wellenlange" .
Transversalitat:
~k ~" = 0 :
Analog zum sin(: : :) kann man auch cos(: : :) oder eine Linearkombination nehmen.
Rechnerisch ist es sehr bequem, die Beziehung ei' = cos ' + i sin ' auszunutzen: ~"
kann komplexe Komponenten haben. Dann gilt:
E~ (~x; t) = <e [~" e?i(!t?~k ~x)] ; ~k ~" = 0 ;
B~ (~x; t) = <e [ 1c ~n ~" e?i(!t?~k ~x)] :
12.1. EBENE ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
81
Fur ~n = (0; 0; 1) und ~" = ei (a; ib; 0), ; a; b reell, erhalt man
E~ (~x; t) = (a cos(!t ? kx3 ? ); b sin(!t ? kx3 ? ); 0) ;
d. h. der Vektor durchlauft mit wachsendem !t ? kx3 eine Ellipse.
a b < 0 : rechts (zirkular) polarisierte Welle (schaut man in
die negative ~n -Richtung, so lauft E~ mit t im Uhrzeigersinn um),
a b > 0 : links polarisierte Welle,
a b = 0 : linear polarisierte Welle,
Die gesamte klassische Optik lat sich aus den Maxwellschen Gleichungen herleiten
"Licht" = elektromagnetische Welle.
Zeitliche Mittelwerte :
In vielen Experimenten beobachtet man nur zeitliche Mittelwerte von Feldgroen
F (~x; t):
1 Z + F (~x; t)dt :
< F (~x; t) >= lim
!1 2
Bei Groen mit der Periode T hat man
?
ZT
1
< F (~x; t) >= T F (~x; t)dt :
0
Fur die obigen E~ (~x; t) und B~ (~x; t) erhalt man
< E~ (~x; t) > = 0 ; < B~ (~x; t) >= 0
3
X
und < w (~x; t) > = "20 k~" k2 ; k~" k2 = "k "k ; ~" ~n = 0 ;
k=1
"
0
< S~ (~x; t) > = 2 k~" k2 c~n :
Bemerkung: Fur das Berechnen zeitlicher Mittelwerte ist die folgende Beziehung
hilfreich: Sind C~ 1 = ~c1 e?i!t ; C~ 2 = ~c2e?i!t zwei komplexe Vektoren, so gilt fur die
zeitlichen Mittelwerte
< <e C~ 1 <e C~ 2 > = <e 21 (C~ 1 C~ 2 ) = 21 <e (C~ 1 C~ 2)
< <e C~ 1 <e C~ 2 > = <e 21 (C~ 1 C~ 2):
82
KAPITEL 12. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
12.1.3 Wellengleichungen fur die Felder
~ divE~ =
Mittels der Identitat rot(rotF~ ) = grad(divF~ )?F~ , kann man aus rotE~ = ?@ t B;
~ 2 fur E~ die Wellengleichung
0 und rotB~ = @ t E=c
2E~ = 0
bekommen.
~ = 0:
Die Transversalitat von E~ folgt aus divE
E~ = <e [~" e?i(!t ? ~k ~x)] ;
div(~"e?i(!t ? ~k ~x)) = i~k ~" e?i(!t ? ~k ~x) = 0
) ~k ~" = 0:
Analoge Gleichungen folgen fur B~ :
2B~ = 0 ;
divB~ = 0 :
In den Anwendungen schreibt man meistens
E~ = ~" e?i(!t ? ~k ~x)
und meint dann damit, da physikalisch nur <e E~ oder =mE~ eine Bedeutung haben,
da nur diese reelle Groen sind.
12.2 Wellenpakete, Fourier-Transformation
und Gruppengeschwindigkeit
Wir haben bisher monochromatische Wellen betrachtet, bei denen nur eine Kreisfrequenz ! als Funktion
q
~
!(k ) = c ~k 2
eines fest vorgegebenen Wellenvektors ~k auftritt. Solche Wellen sind mathematische
Idealisierungen, die sich experimentell nicht realisieren lassen (eine momochromatische Ebene Welle mute uber den gesamten 3-dimensionalen Raum ausgedehnt
sein und in dieser Form auch erzeugt werden !), da bei der Erzeugung von Wellen
immer mehrere ~k -Vektoren eine Rolle spielen, wobei deren Betrage und Richtungen
sich allerdings nur wenig zu unterscheiden brauchen.
Wir nehmen zunachst an, da wirqeinen diskreten Satz von ~k -Vektoren ~k haben,
zu denen die Frequenzen ! = c ~k 2 ; = 1; : : : ; n gehoren. Dann ist auch die
U berlagerung
n
X
E~ (~x; t) = <e [ ~"( )e?i(! t ? ~k ~x) ] ; ~k ~" = 0 ;
=1
12.2. WELLENPAKETE UND FOURIERTRANSFORMATION
83
eine Losung der Maxwellschen Gleichungen.
Der U bergang zum Kontinuum ergibt
E~ (~x; t) = <e f
Z1
?1
q
~"(~k )e?i[!(~k )t ? ~k ~x ] d3kg ; ~k ~"(~k ) = 0; !(~k ) = c ~k 2 :
("Spektralzerlegung" von E~ nach ~k -Vektoren ). Einige Eigenschaften solcher "Wellenpakete" sollen hier kurz erlautert werden:
Es sei f (t; ~x) eine Losung der Wellengleichung, d.h.
( c12 @ t 2 ? )f (t; ~x) = 0 :
Die einfachsten Losungen sind die ebenen Wellen
ek (t; ~x) = e?i!(~k )t + i~k ~x ;
wobei
!2=c2 = ~k 2 ; d.h. ! = c(~k 2) :
Aus anschaulichen Grunden betrachten wir zunachst nur positive Frequenzen
! > 0. Ersetzt man ~k durch ?~k , so geht ! in sich uber, aber die Laufrichtung der
Welle kehrt sich um. Mit ek (t; ~x) ist auch e?k (t; ~x) eine Losung.
Ferner ist jede U berlagerung von ebenen Wellen eine Losung der Wellengleichung:
Z +1
d3k f~ (~k )e?i!(k)t + i~k ~x ;
f (t; ~x) = (2)?
1
2
3
2
?1
wobei !(~k ) = c(~k 2) . Das Integral existiert, falls
1
2
Z
Z
j d3k f~ e?i!t + i~k ~x j d3kjf~ (~k )j < 1 :
Die "Amplitude" f~ (~k ) ist ein Ma fur das "Gewicht", mit dem jeder Wellenvektor
in der Welle vertreten ist.
Falls f~ (~k ) = a (~k ? ~k 0 ), so erhalt man die monochromatische Welle zu-
ruck:
Z
d3k (~k ? ~k 0) e?i!(~k )t + i~k ~x = e?i!(~k 0 )t + i~k 0 ~x :
f (t; ~x) existiert insbesondere dann, falls f~ (~k ) beliebig oft dierenzierbar ist und im
Unendlichen, d.h. fur k~k k ! 1, starker als jede Potenz abfallt.
Beispiel:
f~ (~k ) = A0 e?a(~k ?~k ) ; a > 0 :
Hier hat f~ (~k ) sein Maximum bei ~k = ~k 0 . Fur Funktionen mit dem genannten
Abfallverhalten - aber nicht nur fur diese ! - gilt das folgende wichtige Umkehr0
2
KAPITEL 12. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
84
Theorem der Fourier-Transformation :
Falls
g(~x) = (2)?
3
2
Z
d3k g~(~k ) ei~k ~x ;
Z
d3k jg~(~k )j < 1;
und g(~x) entsprechende Bedingungen wie g~(~k ) erfullt, so gilt
Z
?
~
d3x g(~x) e?i~k ~x :
g~(k ) = (2)
3
2
Ist f (t; ~x) als Losung der Wellengleichung gegeben, so folgt daher
f~ (~k ) = (2)?
da
3
2
Z
d3x f (t = 0; ~x) e?i~k ~x ;
Z
f (t = 0; ~x) = (2)? d3k f~ (~k ) ei~k ~x :
Es habe f~ (~k ) ein Maximum bei ~k = k0. Entwickelt man nun !(~k ) um ~k = ~k 0, so
erhalt man
!(~k ) = !| ({z~k 0)} + gradk !j~k =~k (~k ? ~k 0 ) + ;
| {z }
!
grad!j
so da
Z
?
d3 k e?i[!0 + grad !j0(~k ? ~k 0)]t + i~k ~x f~ (~k )
f (t; ~x) (2)
Z
~
i
[
k
grad
!
?
!
]
t
?
0
j
0
0
d3k f~ (~k ) ei[~x ? grad !j0 t] ~k :
= (2) e
3
2
0
0
0
3
2
3
2
Also ist
f (t; ~x) f (t = 0; ~x ? grad!j0t) ei[~k 0 grad !j0 ? !0]t ;
~
d.h., abgesehen von der Phase ei[ k 0 grad!j0 ? !0 ]t , hat sich die zur Zeit t = 0
vorhandene "Wellengruppe" mit der Geschwindigkeit
~v g = grad !(~k )
fortgepanzt; ~v g heit die "Gruppengeschwindigkeit" der Welle.
2 ) , so da
Beispiel: Bei Hohlleitern (s.S. 90) haben wir ! = c(~k 2 + mn
2
=ck;
vg = @!
@k !
und wir werden sehen, da die Gruppengeschwindigkeit mit der Energie1
2
transport-Geschwindigkeit identisch ist.
12.3. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN IN HOHLLEITERN
Die Funktion
g(~x) = (2)? 23
Z
85
d3kg~(~k )ei~k ~x
ist genau dann reell,
falls
g~(?~k ) = g~(~k )
gilt, da durch Substitution ~k ! ?~k
Z
Z
d3 k g~(~k ) e?i~k ~x = d3k g~(?~k ) ei~k ~x :
folgt. Gilt f~(?~k ) = f~ (~k ), so hat man fur eine Losung f (t; ~x) der Wellengleichung:
Z
?
d3k f~ (~k ) ei(!t ? ~k ~x)
f (t; ~x) = (2)
3
2
Z
=
d3k f~ (~k ) ei(!t + ~k ~x)
= f (?t; ~x) :
(2)? 23
12.3 Elektromagnetische Wellen in Hohlleitern
12.3.1 Randbedingungen fur zeitabhangige elektromagnetische Felder
Um die Fortpanzung von elektromagnetischen Wellen in Hohlleitern zu diskutieren,
mussen wir das Verhalten der zeitabhangigen Felder E~ (~x; t) und B~ (~x; t) an den
Grenzachen zu metallischen Leitern kennen. Dies folgt aus den Maxwellschen
Gleichungen selbst, falls man die Existenz von Oberachenladungen !(~x; t)
[Ladung/Flache] und Oberachenstromen
~h(~x; t) = !(~x; t)~v(~x; t) [Ladung/Lange Zeit];
~x 2 Grenzache ,
berucksichtigt!
~n12
2
'
1
~t
?
6
~b
~a
?-
%
~n 212
~t 2
~t
~u = ~n 12 ~t
~a
~b
1;
1;
Tangentialvektor
ebenfalls Tangentialvektor
~t s
? ~t s :
=
=
:
:
KAPITEL 12. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
86
Hier wird im folgenden die "kleine" Lange s festgehalten, die transversale Lange
jedoch beliebig klein gemacht. Wie in der Elektrostatik gilt zunachst
"0 (E~ 2 ? E~ 1 )~n 12 = ! :
Fur das kleine Rechteck in der Figur, mit der Flache f~ k~a k~u = s~u folgt:
Z
@ f~
E~ d~x ? E~ 1~t s + E~ 2~t s + O( )
Z
= ? ~ @ t B~ df~ ? @ t B~ ~u s:
f
Im Limes ! 0 ergibt dies, falls @ t B~ ~u nicht singular wird, wegen s 6= 0:
(E~ 2 ? E~ 1 ) ~t = 0 ;
d. h. die Tangential-Komponenten von E~ sind stetig. Da ~t ein beliebiger Tangentialvektor in der Ebene senkrecht zu ~n 12 ist, so kann man die obige Bedingung auch
so formulieren:
~n 12 (E~ 2 ? E~ 1 ) = 0 :
Da es keine magnetischen (Flachen-) Ladungen gibt, so folgt fur die Normalkomponenten von B~
~n 12 (B~ 2 ? B~ 1 ) = 0 :
Fur die Tangentialkomponenten von B~ erhalten wir schielich:
Z
Z
Z
~Bd~x ? B~ 1 ~t s + B~ 2 ~t s + O( ) = 0 ~| df~ + 0 "0 @ t E~ df~
@ f~
f~
f~
= 0 [~| ~u s + "0 @ t E~ ~u s ] :
Im Limes ! 0 geht ~| ~u gegen den Oberachenstrom ~h ~u, d. h. wir bekommen
bei nicht-singularem @ t E~ wegen s 6= 0:
~t (B~ 2 ? B~ 1) = 0~h ~u :
Da ~t = ~u ~n 12, so folgt
(~u ~n 12 ) (B~ 2 ? B~ 1 ) = ~u [~n 12 (B~ 2 ? B~ 1)] = 0 ~u ~h ;
und da ~u ein beliebiger Einheitsvektor in der Tangentialebene ist, so erhalten wir
schlielich
~n 12 (B~ 2 ? B~ 1) = 0~h ;
d. h., falls es Oberachenstrome gibt, macht die Tangentialkomponente von B~ einen
Sprung !
12.3. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN IN HOHLLEITERN
87
12.3.2 Wellen in metallischen Hohlleitern
Wir betrachten nun die Fortpanzung von elektromagnetischen Wellen in metallischen Hohleitern. Die Leiter werden zunachst als ideal angesehen ( ! 1), d.h.
im Innern des Metalls kann kein E~ -Feld bestehen. Wegen der Kontinuitat der Tangentialkomponenten von E~ gilt daher
E~ t = 0 an der (inneren) Leiteroberache :
Wegen E~ = 0 im Metall und ~| = 0 ist dort auch B~ = 0. Da die Normalkomponente
von B~ stetig ist, gilt ferner
B~ n = 0 an der (inneren) Leiteroberache :
Wegen auftretender Oberachen-Ladungen und -Strome verschwinden im allgemeinen E~ n und B~ t nicht !
Der gerade Hohlleiter mit rundem oder rechteckigem Querschnitt erstrecke sich
langs der 3-Achse:
$
'
$
&
%
%
-
x3
Die elektromagnetische Welle bewege sich langs der x3 -Achse, d. h. E~ und B~ haben
die Form
E~ (~x; t) = f~(x1; x2 )e?i(!t ? kx3 ) ;
B~ (~x; t) = ~g (x1 ; x2)e?i(!t ? kx3 ) :
Fur das Folgende ist eine spezielle Notation nutzlich:
~x? = (x1; x2 ) ;
f~? = (f1 ; f2)
;
~g ? = (g1; g2) ;
2
2
? = @1 + @2
;
grad? = (@1 ; @2 ) ;
div? f~? = @1 f1 + @2 f2 :
Es wird
rotE~ = (@2 f3 ? ikf2 ; ?@1 f3 + ikf1 ; @1 f2 ? @2 f1 )e?i(!t ? kx3 ) ;
rotB~ = (@2 g3 ? ikg2 ; ?@1 g3 + ikg1; @1 g2 ? @2 g1)e?i(!t ? kx3 ) :
KAPITEL 12. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
88
Aus den Maxwellschen Gleichungen
rotE~ = ?@ t B~ ;
rotB~ = c12 @ t E~
folgt dann
@2 f3 ? ikf2 = i!g1 ; @2 g3 ? ikg2 = ?i c!2 f1 ;
ikf1 ? @1 f3 = i!g2 ; ikg1 ? @1 g3 = ?i c!2 f2 ;
oder, da ~e 2 = ~e 3 ~e 1 , bzw.? ~e 1 = ~e 3 ~e 2;
! ~g ? = k ~e 3 f~? + i~e 3 grad?f3 ;
! f~ = ?k ~e ~g ? i~e grad g :
3
?
3
? 3
c2 ?
Einsetzen von ~g ? der 1. Gleichung in die zweite und von f~? der 2. Gleichung in die
erste ergibt:
2
( !2 ? k2)f~? = ikgrad?f3 ? i ~e 3 grad?g3 ;
c
2
!
( 2 ? k2 )~g ? = ikgrad?g3 + i !2 ~e 3 grad?f3 :
c
c
Man sieht, da f~? und ~g ? bestimmt sind, falls f3 6= 0 oder (und) g3 6= 0. Falls
g3 = 0; f3 6= 0, spricht man von transversalen magnetischen (TM) Wellen,
falls g3 6= 0; f3 = 0, von transversalen elektrischen (TE) Wellen.
1. TM-Wellen:
und
d.h.
2
( !c2 ? k2)f~? = ik grad?f3
2
2
( !2 ? k2)~g ? = i !2 ~e 3 grad?f3 = !2 ( !2 ? k2)~e 3 f~? ;
c
c
ck c
~g ? = c!2k ~e 3 f~? :
Da
der Wellengleichung
E3 = f3 e?i(!t ? kx3 )
2
!
2E3 = [(? c2 + k2 )f3 ? ?f3 ]e?i(!t ? kx3 ) = 0
12.3. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN IN HOHLLEITERN
89
genugen mu, so folgt fur f3
2
?f3 + 2 f3 = 0 ; 2 !c2 ? k2 :
Die Randbedingungen ~n E~ = 0 und ~n B~ = 0 bedeuten hier
f3 j Oberflache = 0 ; g3 = 0 uberall.
Um die Gleichung (? + 2)f3 = 0 unter der Randbedingung f3 j Oberflache = 0
losen zu konnen, mussen wir den Querschnitt des Hohlleiters spezizieren.
Beispiel: rechteckiger Querschnitt.
x2 6
f3 = 0
f3 = 0
b
a
fur x1 = 0; a 0 x2 b ;
fur x2 = 0; b 0 x1 a :
-
x1
Jedes Produkt aus sin 1x1 bzw. cos 1x1 mit sin 2x2 bzw. cos 2x2 ist eine
Losung von (? + 2)f3 = 0, falls 12 + 22 = 2 , aber nur
f3 = A sin 1x1 sin 2x2
erfullt die Randbedingungen, falls
;
= m ; m; n : ganze Zahlen :
1 = n
2
a
b
Also ist
1 ) sin( mx2 )e?i(!t?kx ) ;
E3 = A sin( nx
a
b
!2 = k2 + ( n )2 + ( m )2 ; m; n = 1; 2; : : :
c2
a
b
3
Da k2 0, so mu die Frequenz ! bei vorgegebenen n und m ein kritisches
Minimum
2 2
2 2
!kr = c mn ; mn = ( na2 + mb2 )
1
2
KAPITEL 12. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
90
uberschreiten, damit eine entsprechende Welle auftreten kann.
Das Zahlenpaar (n; m) charakterisiert die "Mode" des (transversalen) elektromagnetischen Feldes.
Die Maxwellsche Gleichung divE~ = 01 ist automatisch erfullt: aus
2
( !2 ? k2)f~? = ik grad?f3
c
folgt
oder:
2
( !2 ? k2 ) div?f~? = ik ?f3 = ?ik 2 f3 ;
c
div?f~? + ikf3 = 0 ;
div[f~ e?i(!t?kx ) ] = 0 :
d.h.
3
Als Mittelwert < S~ > fur den Poynting-Vektor erhalten wir mittels der Formeln von S. 81
< S~ > = 21 <e [(f~? + f3 ~e 3) ~g ?]
0
= ! 2 <e [(f~? f~?)~e 3 ? f3f~?] ;
20 c k
d.h.
2
< S~ >= "20k!4 <e (jgrad?f3j2~e 3 + i k f3 grad?f3) :
Ist F " der Querschnitt des Hohlleiters, so iet durch ihn im zeitlichen Mittel
in ~e 3-Richtung die Energie
Z
Z
2
s = " < S~ > ~e 3kdf~k = "0k!
4 F " jgrad?f3 j dx1 dx2 :
F
Da
(grad?'1 grad?'2 ) = div?('1grad?'2) ? '1 ?'2 ;
so folgt aus dem Gauschen Satz in der Ebene wegen f2 = 0 auf @F " und
?f3 = ? 2 f3 :
Z
s = "20k!2 " f3 f3 dx1dx2 :
F
Fur den zeitlichen Mittelwert der Energiedichte erhalten wir analog
< w >= 41 "0 <e (f~?f~? + f3f3 ) + 41 <e (~g ?~g ?) ;
0
1
Analog zeigt man, da div B~ = 0
12.3. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN IN HOHLLEITERN
und da
so ist
91
~g ? = c!2 k ~e 3 f~? ;
2
< w >= 41 "0 14 ( !c2 + k2) jgrad?f3j2 + 14 "0 f3 f3 :
In dem Hohlleiter bendet sich dann pro Langeneinheit im zeitlichen Mittel
die Energie
u=
Z
F
1 " Z dx dx [ 1 ( !2 + k2) jgrad f j2 + f f ]:
<
w
>
dx
dx
=
? 3
3 3
1 2 4 0 " 1 2 4 c2
"
F
Die analoge Umformung des Integrals wie oben ergibt
2Z
u = "20 !!2 " f3 f3kdf~k :
kr F
Da ck = (!2 ? !kr2 ) , so ergibt sich fur das Verhaltnis s=u
1
2
s = c2 k = c(1 ? !kr2 ) = v ;
g
u
!
!2
1
2
d.h. die Energie wird mit der Gruppengeschwindigkeit vg (s.S. 84) durch
den Hohlleiter transportiert, 0 vg c.
2. TE-Wellen
Hier geht man ganz analog wie bei TM-Wellen vor. Allerdings ist die Randbedingung fur g3 an der Oberache des Leiters anders:
Multipliziert man die Gleichung
! f~ = ?k ~e ~g ? i~e grad g
3
?
3
? 3
c2 ?
von S. 88 vektoriell mit ~e 3, so erhalt man
! ~e f~ = k ~g + igrad g :
?
? 3
c2 3 ?
Sei ~n Normalenvektor an die innere Leiteroberache. Da an der Oberache
~n E~ = 0, d.h. ~n f~? = 0 und ~n B~ = 0, d.h. ~n ~g ? = 0, so folgt aus der
obigen Gleichung
~n grad?g3 = 0 an der (inneren) Oberache des Leiters.
Die Komponente g3 genugt ebenfalls der Gleichung
?g3 + 2 g3 = 0 :
KAPITEL 12. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
92
Fur einen rechteckigen Leiterquerschnitt (s.S. 89) lauten die Randbedingungen
@1 g3 = 0 fur x1 = 0; a; 0 x2 b ;
@2 g3 = 0 fur x2 = 0; a; 0 x1 a :
Dies bedeutet, da von den Losungen von ?g3 + 2 g3 = 0 nur die folgenden
in Frage kommen:
1 ) cos( mx2 ) ; n; m = 0; 1; 2; : : : :
g3 = B0 cos( nx
a
b
Hier sind auch die Moden (0; 1); (1; 0) moglich.
3. TME-Wellen
Man kann fragen, ob es auch rein transversale Wellen in Hohlleitern geben
kann (f3 = 0; g3 = 0). Aus den Gleichungen auf S. 88 folgt dann zunachst
!2=c2 = k2 , wie bei den ebenen Wellen. Aus (rotE~ )3 = 0 ergibt sich
@1 f2 ? @2 f1 = 0 ; d.h. f~? = ?grad?' ;
da auerdem divf~? = 0, so haben wir ein 2-dimensionales Potentialproblem:
? ' = 0 :
Es ist E~ = 0 im Metall, ' = const: an der Leiteroberache. Besteht daher der
Hohlleiter aus einem einfach zusammenhangenden Hohlraum, so ist E~ = 0 im
Innern, d.h. es gibt keine TME-Wellen.
'2
Ist dagegen der Hohlraum nicht ein'$
#
fachzusammenhangend, wie beim
jihfecr
l
m
'1 Koaxialkabel, so sind TME{Wellen
moglich!
"!
&%
Hier ist !kr = 0 !
Kapitel 13
Elektromagnetische Felder von
vorgegebenen Ladungs- und
Stromverteilungen
13.1 Greensche Funktionen der Wellengleichung
Die inhomogene Wellengleichung
2 f (t; ~x) = q(t; ~x) ;
wobei q(t; ~x) eine vorgegebene Funktion ist, die "Quellen" von Wellen beschreibt,
lat sich formal sofort losen, wenn man eine Greensche Funktion D(t ? t~; ~x ? ~y )
des Wellenoperators 2 kennt. Diese ist deniert durch die Gleichung
2 D(t ? t~; ~x ? ~y ) = (t ? t~) (~x ? ~y )
und geeignete Randbedingungen, z.B., da eine zur Zeit t~ am Orte ~y erzeugte
Welle erst zu einem spateren Zeitpunkt t > t~ am Orte ~x eintreen kann !
Kennt man D, so ist
Z
f (t; ~x) = dt~ d3y D(t ? t~; ~x ? ~y ) q(t~; ~y )
Losung der inhomogenen Gleichung, da
Z
2 f = dt~ d3y (t ? t~) (~x ? ~y ) q(t~; ~y ) = q(t; ~x) :
D(t ? t~; ~x ? ~y ) lat sich am einfachsten mittels Fourier-Transformation berechnen.
Hierzu benotigen wir die Fourier-Transformierte der -"Funktion"(s.S. 13{15).
Es sei T (x) eine "verallgemeinerte" Funktion wie das -Funktional, die zunachst 1-dimensional deniert ist, und (x) eine Testfunktion mit der Fourier-Darstellung
Z
(x) = 1 dk ~(k) eikx ;
(2)
1
2
93
94 KAPITEL 13. FELDER VON LADUNGS- UND STROMVERTEILUNGEN
dann gilt (formal)
T [] =
Z
dx T (x) (x)
Z
Z
?
dx T (x) dk ~(k) eikx
= (2)
Z
Z
?
= dk [(2)
dxT (x) eikx] ~(k) ; d.h.
1
2
1
2
T [] =
T~(k) =
Da
Z
Z
dk T~(?k) ~(k) ;
1 Z dx e?ikx T (x) :
(2)
1
2
Z
1
dx (x) (x) = (0) =
dk ~(k) ;
(2)
1
2
so sieht man, da
~(?k) = ~(k) = 1 :
(2)
Also ist
Z +1
Z +1
1
1
ikx
(x) = 2
dk e = 2
dk e?ikx :
?1
?1
Setzt man ct = x0 ; ct~ = y0; ~z = ~x ? ~y ; z0 = x0 ? y0, und fuhrt man die Fourier{
Transformierten
Z
D(z0 ; ~z ) = (21 )2 dk0d3k D~ (k0; ~k ) e?i(k z ?~k ~z ) ;
Z
1
0
(z )(~z ) = (2)4 dk0d3k e?i(k z ?~k ~z )
ein, so erhalt man fur D~ (k0; ~k ) die Gleichung
?(k02 ? ~k 2) D~ (k0; ~k ) = (21 )2 :
D.h. D~ hat Singularitaten (Pole) bei k0 = k; k k~k k.
Das Integral
Z
Z
?ik z
1
~k ~z +1
3
i
0
dk0 ke2 ? k2
D(z ; ~z ) = ? (2)4 d k e
1
2
0 0
0 0
0 0
?1
0
ist also genauer zu denieren. Dies geschieht mit Hilfe des Residuensatzes in der
komplexen k0 -Ebene. Da
1 = 1 ( 1 ? 1 );
2
k0 ? k2 2 k k0 ? k k0 + k
so hat man die Residuen der Pole bei k0 = k; zu bestimmen:
13.1. GREENSCHE FUNKTIONEN DER WELLENGLEICHUNG
95
6i =m k0
Der Residuensatz ist so anzuwenden, da ein Integrationsweg langs der reellen Achse
durch einen Halbkreis vom Radius R erganzt wird, wobei der
Beitrag des Halbkreises im Limes R ! 1 verschwindet.
6
s
-
?k
"
Cret
s - <ek ?C?#
0
+k
Da
e?i z0 (<ek0 + i =mk0) = e?i z0 <ek0 ez0 =mk0 ;
so mu dieser Halbkreis fur z0 > 0 in der unteren, fur z0 < 0 in der oberen Halbebene
verlaufen.
Die Auswahl des Weges langs der reellen Achse { an den Polen vorbei { hangt von
" ,
den gewunschten Randbedingungen ab. Wahlt man den oben gezeigten Weg Cret
so liegt beim Schlieen des Weges in der oberen Halbebene kein Pol, d.h. wir haben
D = 0 fur z0 < 0. Beim Schlieen in der unteren Halbebene bekommen wir dagegen:
1 Z dk ( e?iz k ? e?iz k ) + Z dk ( e?iz k ? e?iz k )
0 k ?k k +k
0 k ?k k +k
"
2k Cret
C?#
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
= ?2i [ 21k (e?iz k ? eiz k )]
= ? 2 sin(kz0 ) ; z0 > 0 :
k
R
Da C?# dk0 = 0(e?z R ) ! 0 fur R ! 1, so erhalten wir fur die sogenannte
"retardierte" Greensche Funktion:
0
0
0
z0 ) Z d3k ei~k ~z sin(z0 k) ;
Dret(z0; ~z ) = (
3
k
((2)
ur z0 > 0
wobei (z0 ) = 01 ff
ur z < 0 :
0
Einfuhren von Polarkoordinaten fur ~k mit ~z als 3-Richtung ergibt
Z1
(
z
)
0
Dret(z0 ; ~z ) = (2)3 k2 dk d' sin # d# eik k~z k cos # sin(kz0 k)
0
96 KAPITEL 13. FELDER VON LADUNGS- UND STROMVERTEILUNGEN
Z1
Z +1
(
z
)
0
k dk sin(z0 k) du eik k~z ku
=
(2)2 0
?1
Z
1
z0 )
= 2(
2
k~z k 0 dk sin(z0 k) sin(k k~z k) :
Mittels sin = (ei ? e?i)=(2i) wird daraus
Z1
(
z
)
0
Dret(z0 ; ~z ) = 82k~z k dk [ei(z ?k~z k)k + e?i(z ?k~z k)k
0
? ei(z +k~z k)k ? e?i(z +k~z k)k ]
z0 ) Z 1 dk [ei(z ?k~z k)k ? e?i(z +k~z k)k ] :
= 8(
2k~z k
0
0
0
?1
0
0
0
Die beiden Integrale ergeben -Funktionen
2 (z0 ? k~z k) und 2 (z0 + k~z k) ;
von denen die letzte verschwindet, da z0 > 0; k~z k > 0.
Somit erhalten wir schlielich
x0 ? y0) (x ? y ? k~x ? ~y k) :
Dret(x0 ? y0; ~x ? ~y ) = (
4k~x ? ~y k 0 0
Physikalische Interpretation:
Die "momentane, punktformige Erregung" (Quelle) (t ? t~) (~x ? ~y ) zur Zeit t~ am
Orte ~y erzeugt am Orte ~x zur Zeit t = 1c k~x ? ~y k + t~ eine "Welle" Dret, die wie
k~x ? ~y k?1 abfallt.
Bei raumlich und zeitlich ausgedehnter Quelle q(t; ~x) bekommen wir als retardierte
Losung:
Z
dy0 d3y Dret(x0 ? y0; ~x ? ~y ) q(y0; ~y )
Z q(t~ = t ? k~x ? ~y k ; ~y )
1
c
:
= 4 d3y
k~x ? ~y k
f ret(t; ~x) =
Die allgemeine Losung der inhomogenen Gleichung ist dann
f (t; ~x) = f 0 (t; ~x) + f ret(t; ~x) ;
wobei 2 f 0 (t; ~x) = 0.
f 0 (t; ~x) lat sich anschaulich folgendermaen interpretieren:
q(t~; ~y ) werde erst fur t~ ?T ; T 0, zu groen negativen Zeiten angeschaltet, so
13.1. GREENSCHE FUNKTIONEN DER WELLENGLEICHUNG
97
da f ret(t; ~x) = 0 fur ?T > t . f 0 beschreibt dann die sogenannte "einlaufende"
Welle, also
f (t; ~x) = f ein(t; ~x) + f ret (t; ~x) ;
2 f ein = 0 ; 2 f ret = q(t; ~x) :
Avancierte Losungen:
" einen dazu parWahlen wir oben auf S. 95 in der komplexen k0{Ebene statt Cret
allelen Weg Cav" , der unterhalb der beiden Pole verlauft, so bekommen wir vollig
analog die sogenannte "avancierte" Greensche Funktion
Dav (x0 ? y0; ~x ? ~y ) = [4?(kx~x0??~yyk0)] (x0 ? y0 + k~x ? ~y k) ;
d.h. Dav = 0 fur x0 ? y0 > 0 und fur y0 6= x0 + k~x ? ~y k.
Man erhalt Dav oenbar aus Dret, indem man dort alle Zeitkoordinaten durch ihre
negativen Werte ersetzt.
Heuristische Interpretation der avancierten Losungen: an die Stelle der Ab-
strahlung durch eine Antenne tritt der zeitlich umgekehrte Vorgang des
Empfanges mittels einer Antenne!
Bei gegebenem q(t; ~x) erhalten wir die avancierte Losung
Z
f av (t; ~x) = dy0 d3y Dav (x0 ? y0; ~x ? ~y ) q(y0; ~y ) ;
und die allgemeine Losung f (t; ~x) ist jetzt gegeben durch
f (t; ~x) = f aus(t; ~x) + f av (t; ~x); 2 f aus = 0 :
Die homogene Losung f aus (t; ~x) hat folgende Interpretation:
Es sei q(t~; ~y ) = 0 fur t~ > T 0; d.h. f av = 0 fur t > T und es bleibt nur die
"auslaufende" Welle f aus(t; ~x) ubrig.
Die Dierenz f aus ? f ein beschreibt das "Strahlungsfeld", das von den Quellen
zusatzlich zu dem einlaufenen Feld erzeugt wurde:
f Str:(t; ~x) = Zf aus(t; ~x) ? f ein(t; ~x)
= dy0 d3y D(x0 ? y0; ; ~x ? ~y ) q(y0; ~y ) ;
D(z0 ; ~z ) = Dret(z0 ; ~z ) ? Dav (z0 ; ~z ) ;
wobei 2 D = 0.
98 KAPITEL 13. FELDER VON LADUNGS- UND STROMVERTEILUNGEN
13.2 Potentiale und Felder von Ladungen und
Stromen
Sind die Ladungs- und Stromdichten (~x; t); ~| (~x; t) vorgegeben, so sind die Potentiale ' und A~ nach S. 70 in der Lorentz-Eichung aus den Gleichungen
2 ' = "1 ; 2 A~ = 0~|
0
zu bestimmen. Nach Abschnitt 11.1 bekommen wir die retardierten Losungen:
Z
1
'ret(t; ~x) = " dt~ d3y Dret(t ? t~; ~x ? ~y ) (t~; ~y ) ;
0
t ? t~) (t ? t~ ? 1 k~x ? ~y k) ;
Dret = 4(
k~x ? ~y k
c
so da
Z (t ? k~x ? ~y k=c; ~y )
1
:
'ret (t; ~x) = 4" d3y
k~x ? ~y k
0
Ebenso gilt naturlich
Z
A~ (~x; t) = 0 dt~ d3y Dret (t ? t~; ~x ? ~y ) ~| (t~; ~y ) :
In den folgenden Abschnitten werden hierzu einige Beispiele diskutiert.
13.2.1 Schwingender elektrischer Dipol
Das Potential eines zeitunabhangigen Dipols ~p war gegeben durch (s.S. 36):
1 ~p (~x ? ~y )
'dip (~x) = 4"
0 k~x ? ~y k3
1 div ( ~p )
= ? 4"
x
k~x ? ~y k
0
1 p~ grad 1 ;
= ? 4"
x
k~x ? ~y k
0
wobei ~y den Ort angibt, an dem der "punktformige" Dipol lokalisiert ist. Da ' =
?(~x)="0 in der Elektrostatik, und x k~x ?1 ~y k = ?4(~x ? ~y ), so gehort zu dem

13.2. POTENTIALE UND FELDER VON LADUNGEN UND STROMEN
99
statischen Dipolpotential die Ladungsdichte
'dip (~x) = ? "1 dip (~x) = "1 divx[p~ (~x ? ~y )]
0
0
1
= " ~p gradx[(~x ? ~y )] :
0
Die Ableitungen @j (~x ? ~y ); j = 1; 2; 3, sind folgendermaen zu interpretieren:
Es sei (~x) eine 1-mal stetig dierenzierbare Testfunktion, die auerhalb einer
Kugel vom Radius R verschwindet. Durch (formale) partielle Integration erhalt
man
Z
~a 2G
d3x (~x)@j (~x ? ~a ) =
Z
G
d3x @j [(~x) (~x ? ~a )] ?
Z
G
d3x @j (~x) (~x ? ~a ) :
Ist nun ~a 2 G, aber ~a 62 @G, und fuhrt man im 1.Term auf der rechten Seite
die Integration uber xj aus, so verschwindet dieser Term, da (~x ? ~a ) = 0 fur
den Integrationsbereich des bleibenden 2-fachen Integrals; bzw. wir konnen (~x)
so wahlen, da (~x) = 0 auf @G. Damit haben wir fur die Ableitungen des Funktionals:
Z
(@j ~a ) [] = d3x (~x) @j (~x ? ~a )
= ?~a [@j ]
= ?@j (~a ) :
Der Dipol p~ nun zeitabhangig: p~ = p~(t). Er bende sich am Orte ~y = 0. Dann
haben wir die Ladungsdichte
dip(t; ~x) = ?div[p~(t)(~x)] :
Die Kontinuitatsgleichung @ t + div~| = 0 ist erfullt, falls
~| dip(t; ~x) = ~p_ (t) (~x) :
Im Folgenden wird der Index "dip" fortgelassen.
Damit erhalten wir fur die zugehorigen retardierten Potentiale:
1 Z d3y ?p~(t ? k~x ? ~y k=c) grad (~y )
'ret(t; ~x) = 4"
y
k~x ? ~y k
0
"
#
Z
= 1 d3y divy ~p (t ? k~x ? ~y k=c) (~y ) ;
4"0
k~x ? ~y k
und da
@ '(~x ? ~y ) = ? @ '(~x ? ~y ) ;
@x
@y
j
j
100 KAPITEL 13. FELDER VON LADUNGS- UND STROMVERTEILUNGEN
so ist
1 div p~(t~) ; t~ = t ? 1 k~xk :
'ret (t; ~x) = ? 4"
x
k~xk
c
0
Ausdierenzieren ergibt
_ ~x p~ ~x !
1
p
~
'ret(t; ~x) = 4" ck~xk2 + k~xk3 ; p~ = p~(t~) :
0
Der zweite Term hat dieselbe Form wie im statischen Fall und fallt wie k~xk?2 ab,
wahrend der erste neu ist und wie k~xk?1 abfallt! Der erste ist mageblich fur die
Wellenausbreitung!
Fur das Vektorpotential A~ ret bekommt man unmittelbar
A~ ret (t; ~x) = 4k0~xk p~_ (t ? 1c k~xk) :
Fur die Felder E~ = ?grad' ? @ t A~ und B~ = rotA~ ergibt sich dann
"
_

1
E~ (t; ~x) = 4" (cp~2 k ~x~xk)~3x ? c2kp~~xk + 3(cp~k~x ~xk4)~x
0
#
_
p
~
3(
p
~
~
x
)
~
x
p
~
? ck~xk2 + k~xk5 ? k~xk3 ;
"
_ #
~B (t; ~x) = 0 p~ ~x2 + p~ ~x3 ; ~p = ~p (t ? 1 k~xk) :
4 ck~xk k~xk
c
Die verschiedenen Terme fallen wie k~xk?1 ; k~xk?2 oder k~xk?3 ab.
In der Umgebung von k~xk = 0 (Nahzone!) uberwiegen die Terme mit k~xk?3 fur E~
und k~xk?2 fur B~ .
"Nahzone" :
"
#
~E sta = 1 3(p~ ~x5)~x ? p~ 3 ; ~p = ~p(t ? 1 k~xk) ;
4"0 k~xk
k~xk
c
_
B~ sta = 40 ~pk~xk~x3 :

13.2. POTENTIALE UND FELDER VON LADUNGEN UND STROMEN
101
Fur groe Abstande sind die Terme proportional k~xk?1 mageblich.
"Wellenzone":
E~ W (t; ~x) =
B~ W (t; ~x) =
d.h. E~ W =
B~ W =
"
#
(p~ ~x)~x ? p~ ;
1
4c2"0 k~xk3
k~xk
0 p~ ~x ;
4c k~xk2
c B~ W ~e r ;
1 ~e E~ ; wobei ~e = ~x :
r
c r W
k~xk
Es ist
E~ W = 0 fur # = 0 ( s. Skizze) :
Poynting{Vektor:
S~ = 1 E~ W B~ W = c (B~ W ~er ) B~ W
0
0
2

= c B~ W2 ~er = 1602 c (p~k~xk~x4) ~er ;
E~ W
I
@
@
B~ W @
>
@
~p
@
R
@
6#
~k
0
2 2
~S = 02 ~p sin2 # ~er ;
16 c j~xk
mit p~ = ~p(t ? 1c k~xk) :
?
Die Abstrahlung ist minimal fur # = 0, maximal fur # = 900.
Durch eine Kugeloberache vom Radius r stromt die Energie
Z
Z 2 Z s = kS~ k k~xk 2 d
= 1602c ~p 2 d' sin3# d# :
0
0
Da
Z
Z
1
3
sin # d# = 4 (? sin 3# + 3 sin #) d#
1 cos 3# ? 3 cos # ;
= 12
4
so folgt
Z
sin3# d# = 4 ;
3
0
102 KAPITEL 13. FELDER VON LADUNGS- UND STROMVERTEILUNGEN
so da
s(t) = 6c0 ~p 2 ;
mit
p~ = ~p (t ? 1c k~xk) :
Falls speziell p~(t) = p~0 sin !t ist, so
~p(t ? 1c k~xk) = ?!2 p~0 sin[!(t ? 1c k~xk)] ;
und da < sin2 [!(t ? k~xk=c)] >= 21 gilt, so folgt fur die zeitlichen Mittelwerte
0 p~02 !4 ~e r sin2 # ;
< S~ > = 32
2c k~xk2
p~02 !4 ;
< s > = 120 c
d.h. < S~ > und < s > sind proportional zu !4, ebenso naturlich auch S~ und
w = 12 "0 E~ 2W + 21 1 B~ 2W .
0
13.2.2 Das elektromagnetische Feld einer beliebig bewegten Punktladung q
Ortsvektor von q sei ~z = ~z (t~); die zugehorigen Dichten sind dann
(~y ; t~) = q [~y ? ~z (t~)] ;
~| (~y ; t~) = q ~z_ (t~)[~y ? ~z (t~)] :
Damit ergibt sich fur die retardierten Potentiale
Z
~
q
'ret(t; ~x) = 4" ~ dt~ d3y [t ? tk?~x ?k~x~y?k ~y k=c] [~y ? ~z (t~)]
0 Z t <t
q dt~ 1 [t~ ? t + 1 k~x ? ~z (t~)k ]
= 4"
c
k~x ? ~z (t~)k
0
und analog:
Z
_
~A ret(t; ~x) = 0 q dt~ ~z (t~) [t~ ? t + 1 k~x ? ~z (t~)k ] :
4
c
k~x ? ~z (t~)k

13.2. POTENTIALE UND FELDER VON LADUNGEN UND STROMEN
103
Setzt man
und
so erhalt man
~r (t~) = ~x ? ~z (t~) ;
r = k~r k ;
u(t~) = t~ ? t + 1c k~x ? ~z (t~)k ;
~n = ~rr ;
_
~ = ~zc ;
du = 1 ? 1 1 ~r ~z_ (t~) = 1 ? ~n ~ :
cr
dt~
Damit ergibt sich schlielich
Z
q 1 j
q
'ret (t; ~x) = 4" du du1 (u) = 4"
u=0 ;
du
0
0
r ~
r
dt~
dt
d.h.
#
"
q
1
'ret (t; ~x) = 4"
0 r(t~) (1 ? ~n ~ ) t~ = t ? 1 r
c
und analog
2
3
~
~
q
c
(
t
)
0
5
A~ ret(t; ~x) = 4 4 ~
:
r(t ) (1 ? ~n ~ ) t~ = t ? 1 r
c
Dies sind die sogenannten Lienard-Wichert{Potentiale.
Die Feldstarken rechnet man am bequemsten so aus:
Z
q
1
[t~ ? t + 1c k~x ? ~z (t~)k ]
grad'ret = 4" gradx dt~
~
0
" k~x ? ~z (t )k
#
Z
?
~
r
~
r
d
q
~
= 4" dt r3 (u) + cr2 du (u) ;
0
Z
~
@ t A~ ret = 40q @ t dt~ ~v (~t ) [t~ ? t + 1c r(t~)]
" r(t~)
#
Z
d
q
~
v
(
t
)
0
= 4 dt~ ? ~ du (u) ;
~v ~z_ ;
r (t )
so da
#
Z " ~r
~
r
~
v
d
(
u
)
q
E~ (t; ~x) = 4" dt~ r3 (u) ? ( cr2 ? c2 r ) du :
0
Den letzten Term kann man umformen:
Z 0 ~r ~ 1 d(u)
Z dt~ 0 ~r ~ 1 d(u)
dt~ @ cr2 ? cr A du = du du @ cr2 ? cr A du
Z 2 d dt~ 0 ~r ~ 1 3
@
A 5
= ? du 4
du du cr2 ? cr (u)
104 KAPITEL 13. FELDER VON LADUNGS- UND STROMVERTEILUNGEN
8
9
< dt~ d 2 dt~ 0 ~r ~ 13=
= ? du : du ~ 4 du @ cr2 ? cr A5; (u)
dt
13
0
2
~
~
r
d
1
1
@ ? A5
4
:
= ?
1 ? ~n ~ dt~ 1 ? ~n ~ cr2 cr t~ = t ? 1 r
c
Somit bekommen wir fur E~ :
8
139
0
2
<
=
~
~
n
1
d
~
n
?
q
1
A5;
@
4
:
+
E~ (t; ~x) = 4" :
cr
0 (1 ? ~n ~ )r2 (1 ? ~n ~ ) dt~ 1 ? ~n ~
~t = t ? 1 r
c
Z
Analog ergibt sich fur B~ :
8
0
2
139
=
< c ~ ~n
~
~
n
1
d
q
1
0
@
4
A5; :
+
B~ (t; ~x) = 4 :
r
(1 ? ~n ~ )r2 (1 ? ~n ~ ) dt~ 1 ? ~n ~
Da
"
#
d ~n (t~) = d ~x ? ~z (t~) = 1 [(~n ~v )~n ? ~v ] ;
dt~
dt~ k~x ? ~z (t~)k r
so kann man fur E~ auch schreiben
(
~n + (~n ~v )~n ? ~v
q
~E (~x; t) =
4"0 (1 ? ~n ~ ) r2 cr2(1 ?2 ~n ~ )
39
"
#
=
~
1
d
d
1
4
5; ;
+ ~n ~
?
dt cr(1 ? ~n ~ ) c dt~ r(1 ? ~n ~ )
oder
E~ (~x; t) =
"
#
1
d
+ ~n ~
dt cr(1 ? ~n ~ )
4"0 (1 ? ~n ~ ) r2(12? ~n ~ )
39
=
~
~
? 2 ~ ? 1c ddt~ 4 ~ 5 ; :
r (1 ? ~n )
r(1 ? ~n )
q
(
~n
Analog erhalt man fur B~ :
8
2
39
< ~ ~n
=
~
1
d
qc
0
4
5
(
)
~
n
+
B~ (~x; t) =
;
4(1 ? ~n ~ ) : (1 ? ~n ~ )r2 c dt~ r (1 ? ~n ~ )
= ~nc E~ :

13.2. POTENTIALE UND FELDER VON LADUNGEN UND STROMEN
105
Da
d [r(1 ? ~n ~ )] = c~ 2 ? c~n ~ ? r~n ~_ ;
dt~
so ergibt sich schlielich fur E~ :
8
>
>
< 2 (~n ? ~ )(1 ? ~ 2 ) 3
q
5
E~ (~x; t) = 4" > 4
3
2
~
0 >
: (1 ? ~n ) r t~ = t ? 1c r
9
>
3
2
>
=
~ )(~n ~_ ) ? (1 ? ~n ~ )~_
(
~
n
?
5
:
+4
>
1
c(1 ? ~n ~ )3 r
>
t~ = t ? c r ;
Der Zahler im letzten Term kann als
~n [(~n ? ~ ) ~_ ]
geschrieben werden!
Falls das Teilchen sich mit konstanter Geschwindigkeit ~v = c ~ bewegt, so fallt
der Term mit ~_ weg und man hat (s. Skizze):
1
~r(t) ?
6
?
rPiPP ?? ~r = ~x ? ~z(t~)
(t ? t~) ~v P?P?PPP
?
?
?
? ?
?
~x
~z (t~)
Pr
*
~r(t) = ~r(t~) ? (t ? t~) ~v
= ~r(t~) ? 1 r (t~) ~v
c
= r (t~) (~n ? ~ ) :
Hieraus folgt:
~r 2(t) = r2(t~) (1 ? 2 ~n ~ + ~ 2 ) ;
~r (t) ~ = r(t~) ~n ~ ;
[~r (t) ~ ]2 = r2(t~) [~ 2 ? (~n ~ )2] :
Also ist
~r 2 ? [~r (t) ~ ]2 = r2(t~) [1 ? (~n ~ )]2 ;
106 KAPITEL 13. FELDER VON LADUNGS- UND STROMVERTEILUNGEN
so da
~r (1 ? ~ 2 ) ;
q
E~ ~_ = 0 E~ (t; ~x) = 4"
0 [~r 2 ? (~r ~ )2 ]
3
2
und
B~ ~_ =0 B~ (t; ~x) = ~nc E~ = 1c ~ E~ ;
da ~n (~n ? ~ ) = ~ (~n ? ~ ) !
Fur = 0 erhalt man das Coulomb-Feld. E~ ist daher dessen Modikation durch
die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
Fur ~r k ~v ergibt sich:
q (1 ? 2 )
Ek = 4"
r2
auf der durch ~v bestimmten Geraden.
Wenn ~r ? ~v , so folgt dagegen
0
1
q
:
E? = 4"
2
0 r (1 ? 2 )1=2
Fur ! 1 geht Ek gegen Null, und E? wird singular, d.h. E~ wird "transversal"!
Folge der Lorentz{Kontraktion:
In der Mechanik hatten wir gesehen. da die Feldstarken E~ und B~ einen schiefsymmetrischen Lorentz{Tensor (F ) bilden, der sich bei Lorentz{Transformationen so transformiert (s. auch das nachste Kapitel):
F^ (t^; ~x^) = F (t; ~x) :
Fur eine spezielle Lorentz{Transformation s mit ~ = ~u=c bedeutet dies:
E~^ k (t^; ~x^) = E~ k (t; ~x) ; B~^ k (t^; ~x^) = B~ k (t; ~x) ;
E~^ ?(t^; ~x^) = (u) [E~ ?(t; ~x) + ~u B~ ?(t; ~x)] ;
B~^ ?(t^; ~x^) = (u) [B~ ?(t; ~x) + c~u2 E~ ?(t; ~x)] ;
2
~
u
(u) = (1 ? c2 )?1=2 :
Geht man von einer langs der x1 {Achse bewegten Ladung q aus, so liegt im bewegten
System ein reines Coulomb{Feld vor. Insbesondere gilt auf der x^1 {Achse:
1
q 1 = E 1(~x) :
E~^ (~x^ = (^x1 ; 0; 0)) = 4"
0 (^x1 )2

13.2. POTENTIALE UND FELDER VON LADUNGEN UND STROMEN
107
Wegen der Lorentz{Kontraktion hat man
x1 = ?1 x^1
so da
;
x^1 = x1 ;
q 1 (1 ? u2 ) ;
E 1(~x = (x1 ; 0; 0)) = 4"
c2
0 (x1 )2
wie oben. Analoges gilt fur E~ ?!
Die Strahlungsfelder E~ Str:, B~ Str: einer bewegten Punktladung sind durch die
Terme von S. 105 gegeben, die die Beschleunigung ~_ enthalten und im wesentlichen wie r?1 abfallen.
Die Formel ist wichtig fur die Berechnung von Strahlungsverlusten der Elektronen
oder Protonen in Beschleunigern sowie bei der Berechnung der Rontgen{Bremsstrahlung. Sie "versagt" bei der Beschreibung der Bewegung gebundener Elektronen in Atomen und Molekulen, die { klassisch gesehen { standig beschleunigt
werden und daher dauernd strahlen muten!
Kapitel 14
Relativistische Formulierung der
E-Dynamik
14.1 Grundbegrie
Im folgenden werden einige Grundbegrie wiederholt, die in der Vorlesung Mechanik
(WS 97/98) in Kapitel 16 eingefuhrt wurden.
Vierervektor:
x (x ) = (x0 = ct; ~x)T ; ~x = (x1 ; x2; x3 ):
4dimensionales Skalarprodukt:
x y = g x y
= x0 y0 ? ~x ~y ;
0 +1
B 0
g = (g ) = B
B@ 0
0
(Einsteinsche Summenkonvention)
0
?1
0
0
0
0
?1
0
0
0
0
?1
1
CC
CA :
Lorentz-Transformationen:
)
x ! x^
y ! y^
x^ y^
T
g
=
=
=
=
x ;
y ;
xy;
g;
= ( ) :
Denition:
(x ) = (x0 ; x1 ; x2; x3 ) = (x0 ; ?~x) ;
0 x0
B x1
= x = xT g ; x = B
B@ x2
x3
108
x = g x ;
1
CC
CA ;
14.2. ANWENDUNG AUF DIE ELEKTRODYNAMIK
x ! x
x : kontravarianter
;
;
109
x ! x ?1 ;
x : kovarianter Vektor.
Denition:
(g ) (g )?1 = (g ) ;
x ! x = g x
Mittels g , bzw. g kann man jedem kontravarianten Vektor (a ) einen kovarianten Vektor (a = g a ) und jedem kovarianten Vektor (b ) einen kontravarianten
(b = g b ) zuordnen !
Lorentz-skalares Feld: f (x), wobei f^(^x) = f (x).
Partielle Ableitung:
@^ @@x^ :
Da
@^ f^(^x) = [@ f (x)] @@xx^
= (?1) @ f (x) ;
so transformiert sich @ wie ein kovarianter Vektor, @ = g @ wie ein kontravarianter!
14.2 Anwendung auf die Elektrodynamik
Da die Ladungserhaltung in jedem Inertialsystem gilt, so mu aus @ t + div~| = 0
@^t ^(^x) + @^k |^k (^x) = 0
folgen! Setzt man also
(j ) = [c; j 1 (x); j 2(x); j 3 (x)] ;
|^ = j (x) ;
so folgt
@^^j (^x) = (?1) @ j = @ j = @ j (x) ;
und damit die Behauptung.
Nun ist 2 = c12 @ t 2 ? = @02 ? @12 ? @22 ? @32 = @ @ ein Lorentz-invarianter
Dierentialoperator, 2b = 2 .
110 KAPITEL 14. RELATIVISTISCHE FORMULIERUNG DER E-DYNAMIK
Da 2 ' = ="0 ; 2 A~ = 0 ~| ; divA~ + @ t '=c2 = 0 ; so liegt es nahe, das kontravariante Vektorfeld
(A(x)) = ( 1c '(x); A~ (~x))
zu denieren, das sich folgendermaen transformiert:
A^ (^x) = A (x) ;
so da
2 A = 0 j ; @ A = 0
in jedem Inertialsystem gilt!
Aus E~ = ?grad' ? @ t A~ ; B~ = rotA~ wird ferner
E~ = (E 1; E 2; E 3)
;
B~ = (B 1; B 2; B 3 ) ;
E j = ?c (@j A0 + @0 Aj ) = c (@0 Aj ? @j A0 ) ;
B j = @k Al ? @l Ak = ?@k Al + @l Ak ;
(j; k; l) zyklisch (1; 2; 3) :
Die Feldstarken E~ und B~ bilden also einen antisymmetrischen Tensor 2. Stufe, den
Feldstarke-Tensor:
F = @ A ? @ A ;
wobei
1 Ej
c
B1
B2
B3
=
=
=
=
F0j = ?Fj0 = F j0 = ?F 0j ;
F32 = ?F23 = F 32 = ?F 23 ;
F13 = ?F31 = F 13 = ?F 31 ;
F21 = ?F12 = F 21 = ?F 12 :
j = 1; 2; 3 ;
Die "inhomogenen" Maxwellschen Gleichungen
divE~ = 1 ; rotB~ = 0 (~| + "0 @ t E~ ) ;
"0
lauten in dieser Notation:
@ F (x) = 0 j (x) :
14.2. ANWENDUNG AUF DIE ELEKTRODYNAMIK
111
Fur F gilt das Transformationsgesetz
F^ (^x) = F (x) :
Die "homogenen" Gleichungen rotE~ + @ t B~ = 0, divB~ = 0, lassen sich als
@ F + @ F + @ F = 0
schreiben. Diese kann man auch anders formulieren, wenn man den vollstandig
antisymmetrischen kovarianten "{Tensor (" ) einfuhrt: " 0123 = +1 ; " = 0,
falls je zwei der Indices gleich; " = 1, je nachdem () eine gerade oder
ungerade Permutation von (0123) ist.
Bei Lorentz-Transformationen gilt:
"^ = det() " :
Denition:
F
= 21 " F :
Mit diesem "dualen" Feldstarke-Tensor lassen sich dann die obigen "homogenen"
Maxwellschen Gleichungen als
@ F = 0
schreiben!
Lorentz-Kovarianz der Lorentz-Kraft:
(s. wiederum die Mechanik-Vorlesung vom WS 97/98)
~p = m ~u = m (v) ~v ; u = dx( )=d; : Eigenzeit , m : Ruhemasse :
Zusammengefat:
d~p = q (u0 E~ + ~u B~ ) ;
d
c
E : Energie,
p0 = mu0 = 1c E ;
dp0 = q ~u E~ :
relativistische Leistung.
d
c
dp = q F u ; = 0; 1; 2; 3 :
d
Lorentz-Kraftdichte und Energie-Impuls-Tensor:
ki = (x) E i + (~| B~ )i
= F i j ; i = 1; 2; 3 :
k0 = 1c ~| E~ = F 0 j :
Kraftdichte,
Leistungsdichte.
112 KAPITEL 14. RELATIVISTISCHE FORMULIERUNG DER E-DYNAMIK
Zusammengefat:
k = F j ; = 0; 1; 2; 3 :
Denition des Energie{Impuls{Tensors:
= 1 (F F + 41 g F F )
0
= (x) ;
symmetrischer Tensor,
1
1
00 = ("0 E~ 2 + B~ 2 ) = w(x) ;
2
0
0j = 1 c (E~ B~ )j = 1c S j ; S~ = 1 E~ B~ ;
ij
T ij
0
0
?T ij ;
=
= "0 (E iE j ? 21 ij E~ 2) + 1 (B iB j ? 12 ij B~ 2) :
0
Die Energie-Impuls-Bilanzen lauten jetzt:
@ = ?k ; = 0; 1; 2; 3 ;
= 0 : k0 = 1c ~| E~ = ?@0 w(x) ? 1c divS~ :
Mehr uber Elektrodynamik, Optik und spezielle Relativitatstheorie in der Vorlesung
Spezielle Relativitatstheorie , gehalten im WS.
Kapitel 15
Elektrische und magnetische
Felder in Materie
Bisher haben wir im wesentlichen nur die elektrischen und magnetischen Felder von
ruhenden und bewegten Ladungen im Vakuum diskutiert (Ausnahme: Ohmsches
Gesetz: ~| = E~ ). Die Anwesenheit von makroskopischer Materie kann jedoch
die Werte und Eigenschaften der "Vakuum"-Felder mehr oder weniger stark modizieren. Die Art der Modikation hangt von der Art der Substanzen ab, die in
die Felder gebracht werden, und da es sehr viele elektrisch und magnetisch unterschiedliche Substanzen gibt, so gibt es auch sehr viele mogliche Modikationen der
Vakuumfelder. Hier konnen nur die allereinfachsten Einusse von Substanzen auf
elektrische und magnetische Felder erwahnt werden.
Es sei auch daran erinnert, da man im allgemeinen ohne sorgfaltige thermodynamische Analysen nicht auskommt, wenn man das Verhalten von Substanzen in
elektrischen und magnetischen Feldern diskutieren will!
Zusatzliche Literatur
1. L. D. Landau und E. M. Lifschitz, Elektrodynamik der Kontinua (Lehrbuch
d. Theoret. Physik, Band 8), 3. Auage, Akademie-Verlag, Berlin 1974.
2. Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 5th Edition, John Wiley, New
York : : : , 1976 (oder spatere Auagen und deutsche U bersetzungen).
15.1 Die elektrische Polarisation
Schon Faraday hat beobachtet, da sich die Kapazitat eines Plattenkondensators
vergroert, wenn man ihn mit Materie fullt:
113
KAPITEL 15. ELEKTR. UND MAGN. FELDER IN MATERIE
114
...
.
..
...
F
.
. . . . . . . . . .
2
1
9 Im Vakuum:
>
>
=
Q =
U
12
>
>
C0 =
;
!0 F = C0 U12
"0 F :
d
Das Einbringen von Materie erhoht die Kapazitat: C0 ! C = " C0, !0 ! ! = "!0.
Beispiele:
(
8 bei Glas
" = 5 bis
81 bei Wasser,
" : Dielektrizitatskonstante (=DK),
= " ? 1 : elektrische Suszeptibilitat.
Im folgenden wird zunachst nur die Elektrostatik behandelt.
Grobe Unterteilung von Substanzen, mit unterschiedlichen Eigenschaften der
Suszeptibilitat :
1. Dielektrische Stoe:
ist feld- und =m temperaturunabhangig, m : Massendichte.
2. Paraelektrische Stoe:
ist feldunabhangig, =m aber temperaturabhangig.
3. Ferroelektrische Stoe:
ist feld- und temperaturabhangig und sein Wert hangt von der Vorgeschichte
ab (Hysterese).
Bringt man einen reinen Isolator in ein aueres Feld E~ 0 , so werden durch das Feld
E~ 0 elektrische Dipole induziert, bzw. schon vorhandene, in ihren Richtungen
thermisch-statistisch verteilte Dipole ausgerichtet.
Seien p~i(~y i ) Dipole an Orten ~y i.
Das Potential aller Dipole betragt:
1 X p~i (~x ? ~y i) = 1 X ~p grad 1 :
'(~x) = 4"
4"0 i i
k~x ? ~y i k
0 i k~x ? ~y i k3
Der U bergang zum Kontinuum mit P~ (~y ) als "Dipolmoment-Dichte" ergibt
1 Z d3y P~ (~y ) grad 1
'(~x) = 4"
y
k~x ? ~y k
0 G
Z
Z divP~ (~y )
~ (~y )
1
P
1
3
= 4" d y divy [ k~x ? ~y k ] ? 4" d3y k~x ? ~y k ;
0 G
0 G
15.1. DIE ELEKTRISCHE POLARISATION
also
115
1 Z df~ P~ (~y ) + 1 Z d3y ? divP~ (~y ) ;
'(~x) = 4"
k~x ? ~y k 4"0 G k~x ? ~y k
0 @G
P~ (~x) : "elektrische Polarisation".
Der Vergleich mit den Formeln auf S. 18 zeigt:
Mit der Polarisation P~ (~x) sind die Flachenladungen
!P (~x) = P~ ~n (~x) ; ~n : Flachennormale,
und die Raumladungen
P (~x) = ? divP~ (~x)
verknupft. Sie verschwinden, wenn das auere Feld verschwindet (auer bei Ferroelektrika) und sind auch nicht als "freie" Ladungen verfugbar.
6
d
?
Kondensatorplatte
{ { { { { { { { { {
++++++++++
? ? ? ? ?
??
? ??
? ??
?
? ? ? ? ? ? ? ??
? ? ?
?
??
?? ?? ? ?
6
?? ?
?
?
?
?
?
??
??
? ?? 6
?
? ? ?
?? ? ?
?
?
?? ? ?
?
? ? ? ?
6
P~
E~ 0
E0 = Ud12 ; U12 fest,
!0 = "0 E0
E~
~
{ { { { { { { { { { !P = P ~n < 0
+ + + + + + + + + + !>0
?~n Kondensatorplatte
Die der unteren Kondensatorplatte mit Ladungen ! > 0 gegenuberliegenden Polarisationsladungen !P sind negativ. Damit im Innern der Substanz weiterhin das
Feld E~ 0 vorliegt, mussen auf der Kondensatorplatte die Ladungen
! = !0 ? !P = "!0
sitzen, d. h. im Spalt, dessen Dicke d ist, hat man das Feld
~
E = ? ~n E~ = "1 ! = "1 (!0 ? !P ) = ? ~n (E~ 0 + "P )
0
0
0
1
= " " !0 = ? " ~n E~ 0 ;
so da hier
0
~n P~ = ~n E~ :
0
"0
KAPITEL 15. ELEKTR. UND MAGN. FELDER IN MATERIE
116
Allgemein: Elektrostatik mit Polarisation: Fur E~ gelten die Gleichungen:
d. h.
rotE~ = 0
)
E~ = ? grad '(~x)
divE~ = "1 ( + P ) = "1 ( ? divP~ ) ;
0
0
~
divD = ;
D~ "0 E~ + P~ :
D~ heit "elektrische Verschiebung". (Der Name geht auf A ther{Vorstellungen
des 19. Jahrhunderts zuruck). D~ ist zunachst nur eine Rechengroe.
Fur die Losung der obigen Gleichung (fur E~ ) mu man D~ bzw. P~ als Funktion
von E~ kennen:
P~ (~x) = P~ [E~ (~x); ~x] :
Im einfachsten Fall isotroper Materialien hat man
P~ (~x) = "0 E~ ; D~ (~x) = "0 " E~ (~x) :
Verhalten von E~ und D~ an Grenzachen:
2 Analog zu S. 26 gilt
1 E~ (2) (~x)
"0 (E~ 2 ? E~ 1 ) ~n12 = ! + !P + !P ;
!P = P~1 ~n12 ; !P = P~2 ~n12 ;
~E (1) (~x) - ~n12 (~x)
*
d. h.
~
x
(D~ 2 ? D~ 1 ) ~n12 = ! :
Grenzache
1
1
p
2
2
Aus rotE~ = 0 folgt die Stetigkeit der Tangentialkomponente von E~ :
(E~ 2 ? E~ 1) ~n 12 = 0 :
Falls ! = 0 sind die Normalkomkonente D~ n und die Tangentialkomponente E~ t
stetig.
15.1. DIE ELEKTRISCHE POLARISATION
117
Brechungsgesetz:
E1 sin 1 = E2 sin 2
D1 cos 1 = D2 cos 2
D1 = "0 "1 E1 ; D2 = "0 "2 E2
7
PP q
P
2
2
3
PP
q
P
1
~
E
2 "2
1 "1 E~ 1
)
tg 1 = "1 :
tg 2 "2
Dielektrische Kugel vom Radius a und mit " = " 2 in einem Medium
mit " = " 1, in dem das auere Feld E~ 0 = E0~e 1 herrscht:
{
{
{
{
{
E~
1
"
{
{
+
+
-
E~ i
+
+
+
+
+
E~ 0
-
E~ i = E~ 0 + E~ 1 :
Das Potential ' mu den Bedingungen genugen
' = 0 uberall ;
' und (" @'
@r ) stetig an der Kugeloberache.
Ansatz:
ra :
' = ? E~ i ~x = ? Ei r cos# ;
Ei = const: ;
ra :
r!1
:
' ! ? E~ 0 ~x :
Im Endlichen wirkt eine polarisierte Kugel wie ein Dipol:
ra :
~
' = ?E~ 0 ~x + k Ek~x0 k 3~x :
KAPITEL 15. ELEKTR. UND MAGN. FELDER IN MATERIE
118
Ei und k sind aus der Stetigkeit von ' und ("@'=@r)fur r = a zu bestimmen:
Ei = E0 ? k Ea30 ;
" 2Ei = " 1E0 (1 + 2ak2 ) ;
d. h.
E~ i = 2" 3"+1 " E~ 0 ; k = "" 2+?2""1 a3 :
1 2
2
1
Spezialfall:
"1 = 1 ;
"2 = " = 1 + > 1 ;
3
1 a3 ;
E~ i = 2 + " E~ 0 ; k = "" ?
+2
3(
"
?
P~ = (" ? 1) "0 E~ i = 2 + "1) "0 E~ 0 :
Da " > 1 gilt, so ist kE~ ik < kE~ 0k: "Depolarisation":
{
{
{
{
{
E~
1
"
{
{
E~ i
+
+
-
+
+
+
+
+
E~ 0
-
E~ i = E~ 0 + E~ 1 :
Die durch E~ 0 induzierten Oberachenladungen erzeugen im Innern der Kugel ein
Feld E~ 1, das E~ 0 entgegengerichtet ist.
" E~ = ? 1 P~
E~ 1 = E~ i ? E~ 0 = 12 ?
+" 0
3"0
"0 E~ 1 = ? 31 P~
Anwendung:
1:
3
"Entelektrisierungsfaktor"
Substanz mit DK " , in der ein homogenes makroskopisches Feld E~ vorliegt. Welches "lokale" Feld E~ lok wirkt auf die atomaren Dipole ?
Grobes Modell: Das atomare Dipolmoment sitze in einem kugelformigen Hohlraum:
15.1. DIE ELEKTRISCHE POLARISATION
+
{
" + E~ lok- {
+
{
+
{
E~
119
-
Das Feld E~ erzeugt auf der Innenseite der Kugel Oberachenladungen, die das Feld
im Innern vergroern: E~ lok = E~ + E~ P .
Fullt man nun das Loch mit der gerade besprochenen Kugel, die ebenfalls die DK
" , so verschwindet das Loch vollstandig und man sieht , da E~ P = ?E~ 1 sein mu!
Also
E~ lok = E~ + 31" P~ :
0
Es sei die atomare Polarisierbarkeit, d.h. das durch das Feld E~ lok erzeugte
atomare Dipolmoment @ ist gegeben durch
p~ = E~ lok
P~ = n E~ lok
= n (E~ + 31" P~ )
0
n: Dichte der Molekule = Anzahl/Volumen.
Da auerdem P~ = "0 E~ , so folgt schlielich
" ? 1 = 1 n ; (Clausius, Mosotti).
" + 2 3 "0
Falls " 1, so hat man die Naherung
" ? 1 = n" :
0
Energetische Beziehungen:
Bringt man die Ladung in ein Gebiet G, in dem das Potential ' vorliegt, so fuhrt
dies zu einer Energieanderung
Z
A = d3y '(~y ) (~y ) :
G
120
KAPITEL 15. ELEKTR. UND MAGN. FELDER IN MATERIE
Wegen divD~ = , div D~ = , folgt
Z
d3y ' div D~
Z
3
~
= d y div(' D ) ? d3y (D~ ) grad'
Z G
ZG
~
' D~ df + d3y (E~ D~ ) :
=
A =
ZG
G
@G
Ist D~ = 0 auf @G, so hat man
A =
Z
w (~x) = E~ D~ ;
Z D(~x)
Energiedichte : w (~x) =
E~ dD~ :
G
d3x w (~x) ;
0
Falls
so haben wir
Thermodynamik:
D~ = "0 " E~ ;
ZD
1 D~ 2 = E~ D~ :
1
D~ dD~ = 2""
w = ""
0 0
0
Bei den vorherigen U berlegungen wurde die Temperatur T konstant gehalten,
d. h.
A = F ;
F = U ?T S
Allgemein gilt:
:
freie Energie :
Z
F = ?S T + (E~ D~ ) d3x ;
U : Innere ( thermische ) Energie, S : Entropie.
Bei der Diskussion der energetischen Eigenschaften von elektrischen und magnetischen Feldern in Materie ist wesentlich, die thermodynamischen Variablen wie Temperatur, Entropie etc. in die U berlegungen einzubeziehen. Dies wird im Rahmen
der Vorlesung uber Thermodynamik geschehen.
15.2. MAGNETISIERUNG
121
15.2 Magnetisierung
Stromdurchossene Spule:
#
#
#
#
#
#
#
#
I
B~
-
Im Vakuum gilt
I
F
l
n
:
:
:
:
Strom
Querschnitt
Lange
Anzahl der
Windungen/Lange
0 = n l F B0 = L0 I ;
L0 = 0 n2 F l :
Bringt man Materie in das Innere der Spule, so andert sich 0 bzw. L0:
0 ! = 0 ;
L0 ! L = L 0 ;
: "Permeabilitat",
= ? 1 : "Magnetische Suszeptibilitat".
Erfahrungsgema gibt es folgende, qualitativ verschiedene "magnetische" Substanzen:
1. Diamagnetische Stoe: < 0 ; < 1
z. B. H O = ?9:0 10?6.
2. Paramagnetische Stoe: > 0 ; 1=T .
3. Ferromagnetische Stoe: hangt vom Feld B~ , der Temperatur T und der
Vorgeschichte ab (Hysterese).
Analog zur elektrischen Polarisation ruhrt die Magnetisierung von Materialien von
der Existenz atomarer magnetischer Dipole her.
Nach S. 54 gehort zu einem Dipol m
~ (~y ) das Vektorpotential
~ (~y ) (~x ? ~y ) ;
A~ m (~x) = 40 m
k~x ? ~y k3
oder, mit M~ (~y ) als Dipoldichte = "Magnetisierung",
Z
~
~y )
A~ m (~x) = 40 d3y M (~yk~x) ? (~y~xk?
3
G
Z
= 40 d3y M~ (~y ) grady k~x ?1 ~y k :
2
G
KAPITEL 15. ELEKTR. UND MAGN. FELDER IN MATERIE
122
Umformung ergibt
und da
Z
Z
~A m(~x) = ? 0 d3y roty [ M~ (~y ) ] + d3y roty M~ (~y ) ;
4 G
k~x ? ~y k G k~x ? ~y k
Z
Z
3
~
rotC d x = (~n C~ ) kdf~k ;
G
so folgt
@G
Z ~
Z
~ (~y )
yM
A~ m(~x) = 40 Mk~x(~y?) ~y k~n kdf~k + 40 d3y rot
k~x ? ~y k :
@G
G
Der Vergleich mit S. 54 zeigt: Zur Magnetisierung M~ gehort eine Oberachenstromdichte
~h M (~x) = M~ (~x) ~n (~x) ;
~n : Normalenvektor ;
und eine Stromdichte:
~| M = rotM~ :
Fur B~ bekommen wir daher, auer divB~ = 0, die Gleichung
bzw.
rotB~ = 0 (~| + ~| M ) = 0 ~| + 0 rotM~ ;
rotH~ = ~| ;
H~ 1 B~ ? M~ :
0
H~ ist zunachst eine Rechengroe, die mit B~ im Vakuum bis auf den Faktor 1=0
ubereinstimmt und deren "Wirbel" die "freien" Strome ~| bilden.
In der Spule haben wir
B~ = 0 H~ ;
M~ = H~ ;
~| M = ~| :
Dies gilt nur fur homogene isotrope Materialien:
H~ : magnetisches Feld ("historisch"),
B~ : magnetische Induktion.
Grenzachen:
(B~ 2 ? B~ 1)~n 12 = 0 :
Falls es keine Oberachenstrome ~h gibt (nicht zu verwechseln mit ~h M ), so folgt aus
rotH~ = ~| , da
(H~ 2 ? H~ 1 ) ~n 12 = 0 :
15.2. MAGNETISIERUNG
123
Beispiel:
~n = ~er
2
?
?
?
a
?
?
?
1
-
x1
Homogen
magnetisierte
Kugel
?
Auenraum: r a :
~ + 3(m
~ ~x)~x ) ;
0 H~ 1 = B~ 1 = 40 (? m
3
r
r5
3
~
m
~ = 4a
3 M:
Innenraum: r a:
~ :
B~ 2 = 0 (H~ 2 + M~ ) = const:
Stetigkeit der Normalkomponente von B~ fur r = a:
~ ~e r = B~ ~e :
B~ 1 ~e r = 240 m
2 r
a3
Da m
~ k B~ 2 , so folgt
~ = 2 M~
0m
B~ 2 = 24a
3
3 0
Stetigkeit der Tangentialkomponente von H~ :
~ ~e r = H~ ~e
H~ 1 ~e r = ? 41 m
2 r
a3
~ = ? 1 M~ ;
) H~ 2 = ? 41 m
a3
3
j ~e r
d. h. B~ 2 und H~ 2 haben im Innern ein qualitativ stark verschiedenes Verhalten! Das
hangt mit den Grenzachenbedingungen zusammen.
124
KAPITEL 15. ELEKTR. UND MAGN. FELDER IN MATERIE
15.3 Ausbreitung von elektromagnetischen Feldern in Materie
Ausgangspunkt sind die Grundgleichungen:
rotE~ = ?@ t B~ ;
rotH~ = ~| + @ t D~ ;
divD~ = ;
divB~ = 0 :
Die Ersetzung "0 E~ ! D~ beim "Verschiebungsstrom" folgt aus der Gultigkeit der
Kontinuitatsgleichung
@ t + div~| = 0 :
Hinzu kommen noch die fur isotrope Substanzen gultigen "Materialgleichungen":
D~ = "0 E~ + P~ = " "0 E~ ;
B~ = 0 H~ ;
~| = E~ ;
wobei " ; und bei zeitabhangigen Feldern jedoch im allgemeinen anders
als im statischen bzw. stationaren Falle zu interpretieren sind (s. unten!).
Aus den obigen Gleichungen folgt wie fruher { Kapitel 11 { die Energiebilanz:
E~ rotH~ ? H~ rotE~ = E~ @ t D~ + H~ @ t B~ + ~| E~ ;
d.h.
? (E~ @ t D~ + H~ @ t B~ ) = div(E~ H~ ) + ~| E~ :
Wir suchen Losungen der obigen Gleichungen mit der (t; ~x)-Abhangigkeit
e?i(!t ? ~k ~x) :
Dabei ergeben sich die Korrespondenzen
@ t ! ?i ! ; @j ! i kj ;
und wir erhalten die algebraischen Gleichungen :
~k E~ = ! B~ ;
~k D~ = ?i ;
! = ~k ~|
~k H~ = ?!D~ ? i~| ;
~k B~ = 0 ;
(Kontinuitatsgleichung).
15.3. AUSBREITUNG VON EL.-MAGN. FELDERN IN MATERIE
125
Nimmt man noch D~ = ""0 E~ , B~ = 0 H~ und ~| = E~ hinzu, so erhalt man
~k E~ = !B~ ;
~k B~ = 0 ;
~k B~ = 0 (""0 ! + i )E~ ;
(""0 ! + i ) ~k E~ = 0 :
Aus der letzten Gleichung folgt, da es zwei Typen von Losungen geben kann:
i) ~k E~ = 0 , E~ , B~ und ~k bilden ein orthogonales Dreibein !
Da
~k ~| = ~k E~ = 0 ;
so mu = 0 sein.
ii)
~k B~ = 0 :
(""0 ! + i) = 0
)
Wegen ~k B~ = 0 folgt B~ = 0 .
Zur Auswertung dieser Gleichungen mussen zunachst - vereinfacht - die Eigenschaften von und " bei zeitabhangigen Feldern diskutiert werden:
"Dynamische" Leitfahigkeit
~ , haben wir fur die Geschwindigkeit ~v der LaIm stationaren Fall, E~ = const:
dungstrager das "Reibungsgesetz":
~v = B q E~ ;
B : "Beweglichkeit",
und daher
~| = n q ~v = n q2 B E~ = 0 E~ ;
0 = n q2 B ; n : Teilchendichte.
Fur @ t E~ 6= 0 haben wir jedoch das Kraftgesetz
m~v_ = qE~ ? B~v ;
bzw.
@ t~| + ~| = 0E~ ;
= m B : "Stozeit".
126
KAPITEL 15. ELEKTR. UND MAGN. FELDER IN MATERIE
Bei (t; ~x)-Abhangigkeiten e?i(!t?~k ~x) wird daraus
?i !~| + ~| = (1 ? i !) ~| = 0 E~ ;
also
~| = E~ ; = 1 ?i0 ! :
Die sogenannte "dynamische" Leitfahigkeit ist also komplex! Dies bedeutet anschaulich, da bei zeitlich schnell veranderlichen elektrischen Feldern die entsprechende Stromdichte der bewegten Ladungstrager nicht mehr "in Phase" mit den
elektrischen Feldern ist.
"Dynamische Dielektrizitatskonstante"
Mechanisches Modell: Ladung q am Massenpunkt m schwingt gedampft unter Einu des Feldes E~ :
m(~x + ~x_ + !02 ~x) = q E~ :
Zeitabhangiges Dipolmoment: p~ = q ~x
q2 E~ ;
~p + p~_ + !02 p~ = m
2
~p e?i!t :
(? !2 ? i ! + !02) ~p = q E~ ;
m
2
~p = E~ ;
= (!) = qm !2 ? !21 ? i ! :
0
<e
=m
6
!0
Bei verdunnten Gasen:
6
-
!
" = 1 + n "(!) = " (!) :
0
Sonst gilt nach Clausius-Mosotti:
" (!) ? 1 = n (!) :
" (!) + 2 3"0
" (!) ist also im allgemeinen komplex.
!0
-
!
15.3. AUSBREITUNG VON EL.-MAGN. FELDERN IN MATERIE
127
Kurze Diskussion der beiden oben gefundenen Losungstypen:
i)
~k E~ = ! B~ ; !pace1cm~k B~ = 0 ;
~k B~ = 0 (""0 ! + i ) E~ :
~k E~ = 0 ;
Vektorielle Multiplikation der letzten Gleichung mit ~k ergibt fur ~k 2 die algebraische Gleichung
k2 ~k 2 = " "0 0 !2 (1 + ""i! )
0
2
i
!
= " c2 (1 + "" ! ) :
0
0
~k ist also im allgemeinen ein komplexer Vektor!
Spezialfalle:
1. = 0 (Isolatoren):
Fur ! =
6 !0 ist " naherungsweise reell, dann ergibt sich
k = c! p" = !c ;
c = c0 =n ;
0
Brechungsindex.
n = p" :
Sei ~k k ~e 1, dann ist:
nx1 )
?
i!
(
t
?
~
c0 :
e?i (!t ? k ~x) = e
Fortpanzungsgeschwindigkeit: c = c0=n :
Falls " komplex ist, gilt: p" = n~ = n + i , > 0,
?i ! [t ? x1 (n +c i) ]
e
2. 6= 0:
0
?i ! (t ? x1 cn ) ? c! x1
0 |e {z
0 }
=e
Dampfung der Welle!
: Extinktionskoezient.
k = c! n~ ;
0
n~ : komplex ;
128
KAPITEL 15. ELEKTR. UND MAGN. FELDER IN MATERIE
n~ = n + i = [" (1 + "" ! (1i ?0 i ! ) )] :
0
Falls ! 1, so wird (1 ? i! ) 1. Oft ist ferner 0 ="0 1= , so da
hier
0) :
n ( 2
!"0
Eindringtiefe d, deniert durch: ! d=c0 = 1,
1
2
1
2
c0 = ( 2 )
d = !
0 0 !
1
2
"Skin-Eekt".
Falls ! 1, so ist
2
n~ = n + i [" (1 ? !!P2 )] ;
1
2
2
!P2 = ""0 = ""nqm ;
0
0
! !P : starke Absorption,
! !P : kaum Absorption.
!P : "Plasma"-Frequenz.
ii)
(""0 ! + i ) = 0 ;
B~ = 0 :
Da ~k E~ = 0, so ist E~ "longitudinal".
! = ~k E~ =
6 0
zeigt, da auch die Ladungsdichte schwingt. Die Frequenz der Schwingung ist aus
""0 ! = ? 1 ?i i 0! zubestimmen. D.h.
!2 + i ! ? !P2 = 0 :
Falls !P 1= , so schwingt die Dichte (der Elektronen) mit der Frequenz
!P gegen den festen Ionenhintergrund. Daher der Name Plasmafrequenz!
Weiteres ist in den Lehrbuchern uber Festkorperphysik nachzulesen!
Inhaltsverzeichnis
1 Vorbemerkungen
1
2 Elektrische Ladungen
3
1.1 Voraussetzungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.2 Literatur zur Vorlesung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.1 Grundphanomene der Elektrodynamik : : : : : : : : : : : : :
2.2 Elektrische Ladung als Erhaltungsgroe : : : : : : : : : : : : :
2.2.1 Mikroskopische Formulierung : : : : : : : : : : : : : :
2.2.2 Makroskopische Formulierung des Satzes von der
Erhaltung der Gesamtladung eines abgeschlossenen Systems : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.3 Krafte zwischen Ladungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.3.1 Eigenschaften der Coulomb-Krafte : : : : : : : : : : :
3 Statische Elektrische Felder
3.1 Gauscher Satz uber Felder und Ladungen : : : : : : : : : : :
3.1.1 Die Diracsche Delta-"Funktion" : : : : : : : : : : : : :
3.1.2 Ladungen als Quellen von elektrischen Feldern : : : : :
3.2 Die Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes : : : : : : : : :
3.2.1 Die "Wirbel" eines Vektorfeldes und Stokesscher Integralsatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2.2 Randbedingungen fur das elektrostatische Feld : : : : :
4 El.-Stat. Feldenergien und Flachenkrafte
1
1
3
4
4
4
8
9
11
12
13
15
21
23
25
27
4.1 Feldenergie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27
4.2 Flachenkrafte : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28
4.3 Wichtigste Feldgleichungen der Elektrostatik : : : : : : : : : : 32
129
INHALTSVERZEICHNIS
130
5 Elektrostatische Multipole
35
6 Ideale Leiter in der Elektrostatik
40
7 Strome und magnetische Krafte
47
8 Magnetische Felder und Strome
53
9 Das Faradaysche Induktionsgesetz
60
10 Die Maxwellschen Gleichungen
67
11 Energie- und Impulsbilanzen
73
5.1 Multipole in kartesischen Koordinaten : : : : : : : : : : : : : 35
5.1.1 Diskussion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37
5.2 Multipole in Polarkoordinaten : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38
6.1 Randbedingungen an Oberachen : : : : : : : : : : : : : : : : 40
6.2 Kapazitaten von Leitern : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43
6.3 Spiegelladungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45
7.1 Stationare Strome und Ohmsches Gesetz : : : : : : : : : : : : 47
7.2 Krafte auf bewegte Ladungen in magn. Feldern : : : : : : : : 51
8.1 Das Gesetz von Biot und Savart : : : : : : : : : : : : : : : : : 53
8.2 Magnetische Dipole : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56
8.3 Gleich'gen zur Physik stationarer Strome : : : : : : : : : : : : 58
9.1 Herleitung mittels Galilei-Transformationen : : : : : : : : : : 60
9.2 Magnetischer Flu und Induktivitaten : : : : : : : : : : : : : 62
9.3 Grundgleichungen der Wechselstromtechnik : : : : : : : : : : 64
10.1 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom : : : : : : : : : : : : : : 67
10.2 Maxwellsche Gleichungen als Zeitentw.-Gleich'gen : : : : : : : 68
10.3 Die elektromagnetischen Potentiale : : : : : : : : : : : : : : : 69
11.1 Energieerhaltung,Energiedichten, Poynting-Vektor : : : : : : : 73
11.2 Lorentz-Kraft, Flachenkraft und Feldimpuls : : : : : : : : : : 76
INHALTSVERZEICHNIS
12 Elektromagnetische Wellen
12.1 Ebene elektromagnetische Wellen : : : : : : : : : : : : : : : :
12.1.1 Allgemeine ebene Wellen : : : : : : : : : : : : : : : : :
12.1.2 Monochromatische ebene Wellen : : : : : : : : : : : : :
12.1.3 Wellengleichungen fur die Felder : : : : : : : : : : : : :
12.2 Wellenpakete und Fouriertransformation : : : : : : : : : : : :
12.3 Elektromagnetische Wellen in Hohlleitern : : : : : : : : : : : :
12.3.1 Randbedingungen fur zeitabhangige elektromagnetische
Felder : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
12.3.2 Wellen in metallischen Hohlleitern : : : : : : : : : : : :
131
78
78
79
80
82
82
85
85
87
13 Felder von Ladungs- und Stromverteilungen
93
14 Relativistische Formulierung der E-Dynamik
108
15 Elektr. und magn. Felder in Materie
113
13.1 Greensche Funktionen der Wellengleichung : : : : : : : : : : : 93
13.2 Potentiale und Felder von Ladungen und Stromen : : : : : : : 98
13.2.1 Schwingender elektrischer Dipol : : : : : : : : : : : : : 98
13.2.2 Das elektromagnetische Feld einer beliebig bewegten Punktladung q : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102
14.1 Grundbegrie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 108
14.2 Anwendung auf die Elektrodynamik : : : : : : : : : : : : : : : 109
15.1 Die elektrische Polarisation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113
15.2 Magnetisierung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 121
15.3 Ausbreitung von el.-magn. Feldern in Materie : : : : : : : : : 124