Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik
Christina Kohl
Alexander Maringele
Georg Moser
Michael Schaper
Manuel Schneckenreither
Institut für Informatik @ UIBK
Wintersemester 2015
Zusammenfassung
Zusammenfassung der letzten LVA
Beispiel
Wenn das Kind schreit, hat es Hunger
Das Kind schreit
Also, hat das Kind Hunger
Fakt
Korrektheit dieser Schlussfigur ist unabhängig von den konkreten
Aussagen
Definition (Modus Ponens)
Wenn A, dann B
A gilt
Also, gilt B
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
19/1
Zusammenfassung
Inhalte der Lehrveranstaltung
Einführung in die Logik
Syntax & Semantik der Aussagenlogik, Formales Beweisen, Konjunktive
und Disjunktive Normalformen
Einführung in die Algebra
Boolesche Algebra, Universelle Algebra, Logische Schaltkreise
Einführung in die Theorie der Formalen Sprachen
Grammatiken und Formale Sprachen, Reguläre Sprachen, Kontextfreie
Sprachen
Einführung in die Berechenbarkeitstheorie
Algorithmisch unlösbare Probleme, Turing Maschinen, Registermaschinen
Einführung in die Programmverifikation
Prinzipien der Analyse von Programmen, Verifikation nach Hoare
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
20/1
Zusammenfassung
Inhalte der Lehrveranstaltung
Einführung in die Logik
Syntax & Semantik der Aussagenlogik, Formales Beweisen, Konjunktive
und Disjunktive Normalformen
Einführung in die Algebra
Boolesche Algebra, Universelle Algebra, Logische Schaltkreise
Einführung in die Theorie der Formalen Sprachen
Grammatiken und Formale Sprachen, Reguläre Sprachen, Kontextfreie
Sprachen
Einführung in die Berechenbarkeitstheorie
Algorithmisch unlösbare Probleme, Turing Maschinen, Registermaschinen
Einführung in die Programmverifikation
Prinzipien der Analyse von Programmen, Verifikation nach Hoare
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
20/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Syntax der Aussagenlogik
Definition
Sei AT eine Menge von atomaren Formeln (oder Atomen), deren
Elemente mit p, q, r , . . . bezeichnet werden
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
21/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Syntax der Aussagenlogik
Definition
Sei AT eine Menge von atomaren Formeln (oder Atomen), deren
Elemente mit p, q, r , . . . bezeichnet werden
Definition
Wahrheitswertsymbole:
True
False
Junktoren:
¬
GM (IFI)
∧
∨
→
Einführung in die Theoretische Informatik
21/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Aussagenlogische Formeln
Definition
Die Formeln der Aussagenlogik sind induktiv definiert:
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
22/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Aussagenlogische Formeln
Definition
Die Formeln der Aussagenlogik sind induktiv definiert:
1
GM (IFI)
Eine atomare Formel p ist eine Formel,
Einführung in die Theoretische Informatik
22/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Aussagenlogische Formeln
Definition
Die Formeln der Aussagenlogik sind induktiv definiert:
1
Eine atomare Formel p ist eine Formel,
2
ein Wahrheitswertsymbol (True, False) ist eine Formel, und
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
22/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Aussagenlogische Formeln
Definition
Die Formeln der Aussagenlogik sind induktiv definiert:
1
Eine atomare Formel p ist eine Formel,
2
ein Wahrheitswertsymbol (True, False) ist eine Formel, und
3
wenn A und B Formeln sind, dann sind
¬A
(A ∧ B)
(A ∨ B)
(A → B)
auch Formeln
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
22/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Aussagenlogische Formeln
Definition
Die Formeln der Aussagenlogik sind induktiv definiert:
1
Eine atomare Formel p ist eine Formel,
2
ein Wahrheitswertsymbol (True, False) ist eine Formel, und
3
wenn A und B Formeln sind, dann sind
¬A
(A ∧ B)
(A ∨ B)
(A → B)
auch Formeln
Beispiel
Der folgende Ausdruck A ist eine Formel
((p → ¬q) → (¬q → ¬p))
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
22/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konvention
Wir verwenden die folgende Präzedenz:
¬ > ∨, ∧ > →
GM (IFI)
→ ist rechts-assoziativ: p → (q → r )
Einführung in die Theoretische Informatik
23/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konvention
Wir verwenden die folgende Präzedenz:
¬ > ∨, ∧ > →
→ ist rechts-assoziativ: p → (q → r )
Definition
1
GM (IFI)
T und F bezeichnen die beiden betrachteten Wahrheitswerte
Einführung in die Theoretische Informatik
23/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konvention
Wir verwenden die folgende Präzedenz:
¬ > ∨, ∧ > →
→ ist rechts-assoziativ: p → (q → r )
Definition
1
T und F bezeichnen die beiden betrachteten Wahrheitswerte
2
Belegung v : AT → {T, F} assoziiert Atome mit Wahrheitswerten
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
23/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konvention
Wir verwenden die folgende Präzedenz:
¬ > ∨, ∧ > →
→ ist rechts-assoziativ: p → (q → r )
Definition
1
T und F bezeichnen die beiden betrachteten Wahrheitswerte
2
Belegung v : AT → {T, F} assoziiert Atome mit Wahrheitswerten
Beispiel
Betrachte die Atome p, q und r, sowie


T
v(a) := F


F
GM (IFI)
die folgende Belegung:
a=p
a=q
a=r
Einführung in die Theoretische Informatik
23/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konvention
Wir verwenden die folgende Präzedenz:
¬ > ∨, ∧ > →
→ ist rechts-assoziativ: p → (q → r )
Definition
1
T und F bezeichnen die beiden betrachteten Wahrheitswerte
2
Belegung v : AT → {T, F} assoziiert Atome mit Wahrheitswerten
Beispiel
Betrachte die Atome p, q und r, sowie


T
v(a) := F


F
die folgende Belegung:
a=p
a=q
a=r
Wir schreiben auch v(p) = T, v(q) = F, v(r) = F
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
23/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Definition
1
GM (IFI)
Atome sind Platzhalter für konkrete Aussagen
Einführung in die Theoretische Informatik
24/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Definition
1
Atome sind Platzhalter für konkrete Aussagen
2
Junktoren sind formale Zeichen, die Aussagen verbinden
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
24/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Definition
1
Atome sind Platzhalter für konkrete Aussagen
2
Junktoren sind formale Zeichen, die Aussagen verbinden
¬
∧
∨
→
|{z}
|{z}
|{z}
|{z}
Negation Konjunktion Disjunktion Implikation
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
24/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Definition
1
Atome sind Platzhalter für konkrete Aussagen
2
Junktoren sind formale Zeichen, die Aussagen verbinden
¬
∧
∨
→
|{z}
|{z}
|{z}
|{z}
Negation Konjunktion Disjunktion Implikation
3
Die Bedeutung wird durch Wahrheitstafeln definiert
¬
T F
F T
GM (IFI)
∧ T F
T T F
F F F
∨ T F
T T T
F T F
Einführung in die Theoretische Informatik
→ T F
T T F
F T T
24/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Definition
1
Atome sind Platzhalter für konkrete Aussagen
2
Junktoren sind formale Zeichen, die Aussagen verbinden
¬
∧
∨
→
|{z}
|{z}
|{z}
|{z}
Negation Konjunktion Disjunktion Implikation
3
Die Bedeutung wird durch Wahrheitstafeln definiert
¬
T F
F T
∧ T F
T T F
F F F
∨ T F
T T T
F T F
→ T F
T T F
F T T
Beispiel
Der allgemeine Aussage Wenn A, dann B“ kann nun konzise
”
ausgedrückt werden:
A→B
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
24/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Definition
1
Atome sind Platzhalter für konkrete Aussagen
2
Junktoren sind formale Zeichen, die Aussagen verbinden
¬
∧
∨
→
|{z}
|{z}
|{z}
|{z}
Negation Konjunktion Disjunktion Implikation
3
Die Bedeutung wird durch Wahrheitstafeln definiert
¬
T F
F T
∧ T F
T T F
F F F
∨ T F
T T T
F T F
→ T F
T T F
F T T
Beispiel
Der allgemeine Aussage Wenn p, dann q“ kann nun konzise ausgedrückt
”
werden:
p→q
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
24/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Semantik der Aussagenlogik
Definition
Erweiterung der Belegung v zu einem Wahrheitswert für Formeln:
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
25/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Semantik der Aussagenlogik
Definition
Erweiterung der Belegung v zu einem Wahrheitswert für Formeln:
v̄(p) = v(p)
GM (IFI)
v̄(True) = T
Einführung in die Theoretische Informatik
v̄(False) = F
25/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Semantik der Aussagenlogik
Definition
Erweiterung der Belegung v zu einem Wahrheitswert für Formeln:
v̄(p) = v(p)
v̄(True) = T
(
T v̄(A) = F
v̄(¬A) =
F v̄(A) = T
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
v̄(False) = F
25/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Semantik der Aussagenlogik
Definition
Erweiterung der Belegung v zu einem Wahrheitswert für Formeln:
v̄(p) = v(p)
(
T
v̄(¬A) =
F
(
T
v̄(A ∧ B) =
F
GM (IFI)
v̄(True) = T
v̄(False) = F
v̄(A) = F
v̄(A) = T
v̄(A) = v̄(B) = T
sonst
Einführung in die Theoretische Informatik
25/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Semantik der Aussagenlogik
Definition
Erweiterung der Belegung v zu einem Wahrheitswert für Formeln:
v̄(p) = v(p)
(
T
v̄(¬A) =
F
(
T
v̄(A ∧ B) =
F
(
F
v̄(A ∨ B) =
T
GM (IFI)
v̄(True) = T
v̄(False) = F
v̄(A) = F
v̄(A) = T
v̄(A) = v̄(B) = T
sonst
v̄(A) = v̄(B) = F
sonst
Einführung in die Theoretische Informatik
25/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Semantik der Aussagenlogik
Definition
Erweiterung der Belegung v zu einem Wahrheitswert für Formeln:
v̄(p) = v(p)
(
T
v̄(¬A) =
F
(
T
v̄(A ∧ B) =
F
(
F
v̄(A ∨ B) =
T
(
T
v̄(A → B) =
F
GM (IFI)
v̄(True) = T
v̄(False) = F
v̄(A) = F
v̄(A) = T
v̄(A) = v̄(B) = T
sonst
v̄(A) = v̄(B) = F
sonst
v̄(A) = F oder v̄(B) = T
sonst
Einführung in die Theoretische Informatik
25/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wahrheitstabelle
Beispiel
Sei v(p) = T, v(q) = F, dann v̄(A) = v̄((p → ¬q) → (¬q → ¬p)) = F
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
26/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wahrheitstabelle
Beispiel
Sei v(p) = T, v(q) = F, dann v̄(A) = v̄((p → ¬q) → (¬q → ¬p)) = F
Definition
Sei A eine Formel; die Wahrheitstabelle von A listet alle relevanten
Belegungen v zusammen mit dem Wahrheitswert v̄(A) auf
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
26/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wahrheitstabelle
Beispiel
Sei v(p) = T, v(q) = F, dann v̄(A) = v̄((p → ¬q) → (¬q → ¬p)) = F
Definition
Sei A eine Formel; die Wahrheitstabelle von A listet alle relevanten
Belegungen v zusammen mit dem Wahrheitswert v̄(A) auf
Beispiel
GM (IFI)
p
q
T
T
(p → ¬q)
(¬q → ¬p)
(p → ¬q) → (¬q → ¬p)
Einführung in die Theoretische Informatik
26/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wahrheitstabelle
Beispiel
Sei v(p) = T, v(q) = F, dann v̄(A) = v̄((p → ¬q) → (¬q → ¬p)) = F
Definition
Sei A eine Formel; die Wahrheitstabelle von A listet alle relevanten
Belegungen v zusammen mit dem Wahrheitswert v̄(A) auf
Beispiel
GM (IFI)
p
q
(p → ¬q)
(¬q → ¬p)
T
T
F
T
(p → ¬q) → (¬q → ¬p)
Einführung in die Theoretische Informatik
26/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wahrheitstabelle
Beispiel
Sei v(p) = T, v(q) = F, dann v̄(A) = v̄((p → ¬q) → (¬q → ¬p)) = F
Definition
Sei A eine Formel; die Wahrheitstabelle von A listet alle relevanten
Belegungen v zusammen mit dem Wahrheitswert v̄(A) auf
Beispiel
GM (IFI)
p
q
(p → ¬q)
(¬q → ¬p)
(p → ¬q) → (¬q → ¬p)
T
T
F
T
T
Einführung in die Theoretische Informatik
26/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wahrheitstabelle
Beispiel
Sei v(p) = T, v(q) = F, dann v̄(A) = v̄((p → ¬q) → (¬q → ¬p)) = F
Definition
Sei A eine Formel; die Wahrheitstabelle von A listet alle relevanten
Belegungen v zusammen mit dem Wahrheitswert v̄(A) auf
Beispiel
GM (IFI)
p
q
(p → ¬q)
(¬q → ¬p)
(p → ¬q) → (¬q → ¬p)
T
T
T
F
F
T
T
F
T
F
Einführung in die Theoretische Informatik
26/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wahrheitstabelle
Beispiel
Sei v(p) = T, v(q) = F, dann v̄(A) = v̄((p → ¬q) → (¬q → ¬p)) = F
Definition
Sei A eine Formel; die Wahrheitstabelle von A listet alle relevanten
Belegungen v zusammen mit dem Wahrheitswert v̄(A) auf
Beispiel
GM (IFI)
p
q
(p → ¬q)
(¬q → ¬p)
(p → ¬q) → (¬q → ¬p)
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
F
T
Einführung in die Theoretische Informatik
26/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wahrheitstabelle
Beispiel
Sei v(p) = T, v(q) = F, dann v̄(A) = v̄((p → ¬q) → (¬q → ¬p)) = F
Definition
Sei A eine Formel; die Wahrheitstabelle von A listet alle relevanten
Belegungen v zusammen mit dem Wahrheitswert v̄(A) auf
Beispiel
GM (IFI)
p
q
(p → ¬q)
(¬q → ¬p)
(p → ¬q) → (¬q → ¬p)
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
Einführung in die Theoretische Informatik
26/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Definition
sei A eine Formel
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
27/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Definition
sei A eine Formel
1
GM (IFI)
wenn Belegung v existiert, sodass v̄(A) = T, heißt A erfüllbar
Einführung in die Theoretische Informatik
27/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Definition
sei A eine Formel
1
wenn Belegung v existiert, sodass v̄(A) = T, heißt A erfüllbar
2
wenn keine solche Belegung existiert, heißt A unerfüllbar
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
27/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Definition
sei A eine Formel
1
wenn Belegung v existiert, sodass v̄(A) = T, heißt A erfüllbar
2
wenn keine solche Belegung existiert, heißt A unerfüllbar
3
wenn für alle Belegungen v, v̄(A) = T, heißt A gültig oder
Tautologie
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
27/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Definition
sei A eine Formel
1
wenn Belegung v existiert, sodass v̄(A) = T, heißt A erfüllbar
2
wenn keine solche Belegung existiert, heißt A unerfüllbar
3
wenn für alle Belegungen v, v̄(A) = T, heißt A gültig oder
Tautologie
Definition
Die Konsequenzrelation {A1 , . . . , An } |= B gilt, gdw. für alle
Belegungen v:
v̄(A1 ) = T, . . . , v̄(An ) = T impliziert v̄(B) = T
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
27/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Definition
sei A eine Formel
1
wenn Belegung v existiert, sodass v̄(A) = T, heißt A erfüllbar
2
wenn keine solche Belegung existiert, heißt A unerfüllbar
3
wenn für alle Belegungen v, v̄(A) = T, heißt A gültig oder
Tautologie
Definition
Die Konsequenzrelation {A1 , . . . , An } |= B gilt, gdw. für alle
Belegungen v:
v̄(A1 ) = T, . . . , v̄(An ) = T impliziert v̄(B) = T
• Wir schreiben |= A statt ∅ |= A; außerdem schreiben wir
A1 , . . . , An |= B statt {A1 , . . . , An } |= B
• Gilt ∅ |= A dann ist A eine Tautologie
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
27/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Satz
Eine Formel A ist eine Tautologie gdw. ¬A unerfüllbar
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
28/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Satz
Eine Formel A ist eine Tautologie gdw. ¬A unerfüllbar
Beweis.
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
28/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Satz
Eine Formel A ist eine Tautologie gdw. ¬A unerfüllbar
Beweis.
1
GM (IFI)
Wir zeigen die Richtung von links nach rechts:
Einführung in die Theoretische Informatik
28/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Satz
Eine Formel A ist eine Tautologie gdw. ¬A unerfüllbar
Beweis.
1
Wir zeigen die Richtung von links nach rechts:
2
Wir zeigen die Richtung von rechts nach links:
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
28/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Satz
Eine Formel A ist eine Tautologie gdw. ¬A unerfüllbar
Beweis.
1
Wir zeigen die Richtung von links nach rechts:
• angenommen v̄(A) = T, für alle Belegungen v
2
GM (IFI)
Wir zeigen die Richtung von rechts nach links:
Einführung in die Theoretische Informatik
28/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Satz
Eine Formel A ist eine Tautologie gdw. ¬A unerfüllbar
Beweis.
1
Wir zeigen die Richtung von links nach rechts:
• angenommen v̄(A) = T, für alle Belegungen v
• also v̄(¬A) = F, für alle Belegungen v
2
GM (IFI)
Wir zeigen die Richtung von rechts nach links:
Einführung in die Theoretische Informatik
28/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Satz
Eine Formel A ist eine Tautologie gdw. ¬A unerfüllbar
Beweis.
1
Wir zeigen die Richtung von links nach rechts:
• angenommen v̄(A) = T, für alle Belegungen v
• also v̄(¬A) = F, für alle Belegungen v
• somit ist ¬A unerfüllbar
2
GM (IFI)
Wir zeigen die Richtung von rechts nach links:
Einführung in die Theoretische Informatik
28/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Satz
Eine Formel A ist eine Tautologie gdw. ¬A unerfüllbar
Beweis.
1
Wir zeigen die Richtung von links nach rechts:
• angenommen v̄(A) = T, für alle Belegungen v
• also v̄(¬A) = F, für alle Belegungen v
• somit ist ¬A unerfüllbar
2
Wir zeigen die Richtung von rechts nach links:
• angenommen ¬A ist unerfüllbar
• v̄(¬A) = F, für alle Belegungen v
• also v̄(A) = T, für alle Belegungen v und somit gültig
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
28/1
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Satz
Eine Formel A ist eine Tautologie gdw. ¬A unerfüllbar
Beweis.
1
Wir zeigen die Richtung von links nach rechts:
• angenommen v̄(A) = T, für alle Belegungen v
• also v̄(¬A) = F, für alle Belegungen v
• somit ist ¬A unerfüllbar
2
Wir zeigen die Richtung von rechts nach links:
• angenommen ¬A ist unerfüllbar
• v̄(¬A) = F, für alle Belegungen v
• also v̄(A) = T, für alle Belegungen v und somit gültig
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
28/1
Äquivalenz von Formeln
Definition (Äquivalenz)
A ≡ B, wenn A |= B und B |= A gilt
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
29/1
Äquivalenz von Formeln
Definition (Äquivalenz)
A ≡ B, wenn A |= B und B |= A gilt
Satz
A ≡ B gilt gdw. (A → B) ∧ (B → A) eine Tautologie
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
29/1
Äquivalenz von Formeln
Definition (Äquivalenz)
A ≡ B, wenn A |= B und B |= A gilt
Satz
A ≡ B gilt gdw. (A → B) ∧ (B → A) eine Tautologie
Beweis.
Wir zeigen die Richtung von links nach rechts:
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
29/1
Äquivalenz von Formeln
Definition (Äquivalenz)
A ≡ B, wenn A |= B und B |= A gilt
Satz
A ≡ B gilt gdw. (A → B) ∧ (B → A) eine Tautologie
Beweis.
Wir zeigen die Richtung von links nach rechts:
• (A → B) ∧ (B → A) gültig gdw. (A → B) gültig und (B → A) gültig
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
29/1
Äquivalenz von Formeln
Definition (Äquivalenz)
A ≡ B, wenn A |= B und B |= A gilt
Satz
A ≡ B gilt gdw. (A → B) ∧ (B → A) eine Tautologie
Beweis.
Wir zeigen die Richtung von links nach rechts:
• (A → B) ∧ (B → A) gültig gdw. (A → B) gültig und (B → A) gültig
• Angenommen A |= B; dann gilt für alle Belegungen v:
v̄(A) = T
GM (IFI)
impliziert
v̄(B) = T
Einführung in die Theoretische Informatik
29/1
Äquivalenz von Formeln
Definition (Äquivalenz)
A ≡ B, wenn A |= B und B |= A gilt
Satz
A ≡ B gilt gdw. (A → B) ∧ (B → A) eine Tautologie
Beweis.
Wir zeigen die Richtung von links nach rechts:
• (A → B) ∧ (B → A) gültig gdw. (A → B) gültig und (B → A) gültig
• Angenommen A |= B; dann gilt für alle Belegungen v:
v̄(A) = T
impliziert
v̄(B) = T
• v̄(A → B) = T für alle v
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
29/1
Äquivalenz von Formeln
Definition (Äquivalenz)
A ≡ B, wenn A |= B und B |= A gilt
Satz
A ≡ B gilt gdw. (A → B) ∧ (B → A) eine Tautologie
Beweis.
Wir zeigen die Richtung von links nach rechts:
• (A → B) ∧ (B → A) gültig gdw. (A → B) gültig und (B → A) gültig
• Angenommen A |= B; dann gilt für alle Belegungen v:
v̄(A) = T
impliziert
v̄(B) = T
• v̄(A → B) = T für alle v
• (A → B) ist gültig
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
29/1
Äquivalenz von Formeln
Definition (Äquivalenz)
A ≡ B, wenn A |= B und B |= A gilt
Satz
A ≡ B gilt gdw. (A → B) ∧ (B → A) eine Tautologie
Beweis.
Wir zeigen die Richtung von links nach rechts:
• (A → B) ∧ (B → A) gültig gdw. (A → B) gültig und (B → A) gültig
• Angenommen A |= B; dann gilt für alle Belegungen v:
v̄(A) = T
impliziert
v̄(B) = T
• v̄(A → B) = T für alle v
• (A → B) ist gültig
• ähnlich folgt aus B |= A, dass (B → A) gültig
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
29/1
Äquivalenz von Formeln
Definition (Äquivalenz)
A ≡ B, wenn A |= B und B |= A gilt
Satz
A ≡ B gilt gdw. (A → B) ∧ (B → A) eine Tautologie
Beweis.
Wir zeigen die Richtung von links nach rechts:
• (A → B) ∧ (B → A) gültig gdw. (A → B) gültig und (B → A) gültig
• Angenommen A |= B; dann gilt für alle Belegungen v:
v̄(A) = T
impliziert
v̄(B) = T
• v̄(A → B) = T für alle v
• (A → B) ist gültig
• ähnlich folgt aus B |= A, dass (B → A) gültig
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
29/1
Äquivalenz von Formeln
Assoziativität und Kommutativität von Junktoren
Fakt
• Konjunktion und Disjunktion sind assoziativ und kommutativ
• Wir unterscheiden nicht zwischen:
GM (IFI)
(A ∧ B) ∧ C
A ∧ (B ∧ C )
A∧B
B ∧A
Einführung in die Theoretische Informatik
A∧B ∧C
30/1
Äquivalenz von Formeln
Assoziativität und Kommutativität von Junktoren
Fakt
• Konjunktion und Disjunktion sind assoziativ und kommutativ
• Wir unterscheiden nicht zwischen:
(A ∧ B) ∧ C
A ∧ (B ∧ C )
A∧B
B ∧A
A∧B ∧C
Definition
1
Vn
= A1 ∧ · · · ∧ An
3
Wn
= A1 ∨ · · · ∨ An
GM (IFI)
i=1 Ai
i=1 Ai
Einführung in die Theoretische Informatik
30/1
Äquivalenz von Formeln
Assoziativität und Kommutativität von Junktoren
Fakt
• Konjunktion und Disjunktion sind assoziativ und kommutativ
• Wir unterscheiden nicht zwischen:
(A ∧ B) ∧ C
A ∧ (B ∧ C )
A∧B
B ∧A
A∧B ∧C
Definition
1
2
3
GM (IFI)
Vn
Ai = A1 ∧ · · · ∧ An
Wi=1
n
Ai = True
Vi=1
0
i=1 Ai
= A1 ∨ · · · ∨ An
Einführung in die Theoretische Informatik
30/1
Äquivalenz von Formeln
Assoziativität und Kommutativität von Junktoren
Fakt
• Konjunktion und Disjunktion sind assoziativ und kommutativ
• Wir unterscheiden nicht zwischen:
(A ∧ B) ∧ C
A ∧ (B ∧ C )
A∧B
B ∧A
A∧B ∧C
Definition
1
2
3
4
GM (IFI)
Vn
Ai = A1 ∧ · · · ∧ An
Wi=1
n
Ai = True
Vi=1
0
Wi=1
0
Ai = A1 ∨ · · · ∨ An
i=1 Ai
= False
Einführung in die Theoretische Informatik
30/1
Äquivalenz von Formeln
Äquivalenzen I
Lemma (Elementare Äquivalenzen)
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
31/1
Äquivalenz von Formeln
Äquivalenzen I
Lemma (Elementare Äquivalenzen)
¬¬A ≡ A
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
31/1
Äquivalenz von Formeln
Äquivalenzen I
Lemma (Elementare Äquivalenzen)
¬¬A ≡ A
A ∨ True ≡ True
A ∨ False ≡ A
A∨A≡A
A ∨ ¬A ≡ True
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
31/1
Äquivalenz von Formeln
Äquivalenzen I
Lemma (Elementare Äquivalenzen)
¬¬A ≡ A
A ∨ True ≡ True
A ∧ True ≡ A
A ∨ False ≡ A
A ∧ False ≡ False
A∨A≡A
A ∨ ¬A ≡ True
GM (IFI)
A∧A≡A
A ∧ ¬A ≡ False
Einführung in die Theoretische Informatik
31/1
Äquivalenz von Formeln
Äquivalenzen I
Lemma (Elementare Äquivalenzen)
¬¬A ≡ A
A ∨ True ≡ True
A ∧ True ≡ A
A → True ≡ True
A ∨ False ≡ A
A ∧ False ≡ False
A → False ≡ ¬A
A∧A≡A
True → A ≡ A
A∨A≡A
A ∨ ¬A ≡ True
A ∧ ¬A ≡ False
False → A ≡ True
A → A ≡ True
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
31/1
Äquivalenz von Formeln
Äquivalenzen I
Lemma (Elementare Äquivalenzen)
¬¬A ≡ A
A ∨ True ≡ True
A ∧ True ≡ A
A → True ≡ True
A ∨ False ≡ A
A ∧ False ≡ False
A → False ≡ ¬A
A∧A≡A
True → A ≡ A
A∨A≡A
A ∨ ¬A ≡ True
A ∧ ¬A ≡ False
False → A ≡ True
A → A ≡ True
Lemma (Distributivgesetze und Andere)
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
31/1
Äquivalenz von Formeln
Äquivalenzen I
Lemma (Elementare Äquivalenzen)
¬¬A ≡ A
A ∨ True ≡ True
A ∧ True ≡ A
A → True ≡ True
A ∨ False ≡ A
A ∧ False ≡ False
A → False ≡ ¬A
A∧A≡A
True → A ≡ A
A∨A≡A
A ∨ ¬A ≡ True
A ∧ ¬A ≡ False
False → A ≡ True
A → A ≡ True
Lemma (Distributivgesetze und Andere)
A → B ≡ ¬A ∨ B
GM (IFI)
¬(A → B) ≡ A ∧ ¬B
Einführung in die Theoretische Informatik
31/1
Äquivalenz von Formeln
Äquivalenzen I
Lemma (Elementare Äquivalenzen)
¬¬A ≡ A
A ∨ True ≡ True
A ∧ True ≡ A
A → True ≡ True
A ∨ False ≡ A
A ∧ False ≡ False
A → False ≡ ¬A
A∧A≡A
True → A ≡ A
A∨A≡A
A ∨ ¬A ≡ True
A ∧ ¬A ≡ False
False → A ≡ True
A → A ≡ True
Lemma (Distributivgesetze und Andere)
A → B ≡ ¬A ∨ B
¬(A → B) ≡ A ∧ ¬B
A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )
GM (IFI)
A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
Einführung in die Theoretische Informatik
31/1
Äquivalenz von Formeln
Äquivalenzen II
Lemma (Absorptionsgesetze)
A ∧ (A ∨ B) ≡ A
A ∧ (¬A ∨ B) ≡ A ∧ B
GM (IFI)
A ∨ (A ∧ B) ≡ A
A ∨ (¬A ∧ B) ≡ A ∨ B
Einführung in die Theoretische Informatik
32/1
Äquivalenz von Formeln
Äquivalenzen II
Lemma (Absorptionsgesetze)
A ∧ (A ∨ B) ≡ A
A ∧ (¬A ∨ B) ≡ A ∧ B
A ∨ (A ∧ B) ≡ A
A ∨ (¬A ∧ B) ≡ A ∨ B
Lemma (Gesetze von de Morgan)
¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
GM (IFI)
¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
Einführung in die Theoretische Informatik
32/1
Äquivalenz von Formeln
Gleiches durch Gleiches Ersetzen
Definition
Eine Teilformel A einer Formel B ist ein Teilausdruck von B, der
wiederum eine Formel ist
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
33/1
Äquivalenz von Formeln
Gleiches durch Gleiches Ersetzen
Definition
Eine Teilformel A einer Formel B ist ein Teilausdruck von B, der
wiederum eine Formel ist
Satz
1
GM (IFI)
A, B Formeln und E , F Teilformeln von A, B
Einführung in die Theoretische Informatik
33/1
Äquivalenz von Formeln
Gleiches durch Gleiches Ersetzen
Definition
Eine Teilformel A einer Formel B ist ein Teilausdruck von B, der
wiederum eine Formel ist
Satz
1
A, B Formeln und E , F Teilformeln von A, B
2
Gelte E ≡ F
3
B ist das Resultat der Ersetzung von E durch F in A
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
33/1
Äquivalenz von Formeln
Gleiches durch Gleiches Ersetzen
Definition
Eine Teilformel A einer Formel B ist ein Teilausdruck von B, der
wiederum eine Formel ist
Satz
1
A, B Formeln und E , F Teilformeln von A, B
2
Gelte E ≡ F
3
B ist das Resultat der Ersetzung von E durch F in A
Dann gilt A ≡ B
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
33/1
Äquivalenz von Formeln
Beispiel
Wir betrachten die folgende Äquivalenz
p → q ≡ ¬p ∨ q
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
34/1
Äquivalenz von Formeln
Beispiel
Wir betrachten die folgende Äquivalenz
p → q ≡ ¬p ∨ q
sowie die folgende Formel
(p → q) ∧ r
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
34/1
Äquivalenz von Formeln
Beispiel
Wir betrachten die folgende Äquivalenz
p → q ≡ ¬p ∨ q
sowie die folgende Formel
(p → q) ∧ r
Nun gilt
(p → q) ∧ r ≡ (¬p ∨ q) ∧ r
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
34/1