Vortrag Integralrechnung

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Vortrag Integralrechnung
Was ist Integralrechnung?
Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen
Disziplin Analysis (gr. analy- von áíáëõåéí = auflösen).
Mit der Operation Integration ordnet man einer Funktion für einen gegebenen Integrationsbereich ihr
Integral zu. Das Integral wird elementar als die Fläche unter dem Graphen der Funktion gedeutet. Je
nachdem, ob der Integrationsbereich endlich oder unendlich ist, heißt das Integral bestimmt oder
uneigentlich.
Die Stammfunktion einer Funktion wird auch deren unbestimmtes Integral genannt.
Welche Methoden werden verwendet?
Bestimmtes Integral:
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Die Integralrechnung entstand aus dem Problem, die Fläche zwischen dem Graphen einer reellwertigen
Funktion f(x) und der x-Achse im Intervall von a bis b zu berechnen. Falls die Fläche sinnvoll bestimmt
werden kann, nennt man die Funktion im Intervall integrierbar. Die reelle Zahl A, die die Größe der
Fläche angibt, heißt dann das bestimmte Integral von f(x) über dem Intervall:
Der Flächeninhalt ist "orientiert", d.h. falls der Graph der Funktion unterhalb der x-Achse liegt, ist der
Wert des bestimmten Integrals negativ. Das Integral wechselt ebenfalls das Vorzeichen, wenn die untere
und obere Integrationsgrenze vertauscht werden. Wenn eine Nullstelle im zu untersuchenden Intervall
vorliegt, gibt das Integral nicht mehr den Flächeninhalt an, sondern stellt nur noch eine Rechenregel dar.
Benötigt man in einem solchen Intervall die Fläche zwischen x-Achse und Graph der Funktion, so muss
das Integral aufgeteilt werden.
Dieser Grenzwert A heißt das bestimmte Integral der Funktion y= f (x) in den Grenzen von a bis b.
Symbol:
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Gelesen: Integral über f(x) dx von a bis b (oder: in den Grenzen a und b). a heißt untere, b die obere
Grenze.
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Unbestimmtes Integral:
Die Menge aller Funktionen y= F (x), deren erste Ableitung gleich der gegebenen Funktion y= f (x) ist,
heißt das unbestimmte Integral von f (x) dx.
Symbol:
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Gelesen: Integral von f (x) dx oder Integral über f(x) dx.
f (x) heißt der Integrand.
Eine Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x) ist jede Funktion, deren Ableitung f(x) ergibt. Da beim
Differenzieren additive Konstanten wegfallen, gilt: Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so ist es auch F
(x) + C mit beliebigem C aus den reellen Zahlen. Außer F(x) + C gibt es keine weiteren
Stammfunktionen zu f(x), d.h. zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine additive
Konstante.
Das unbestimmte Integral einer Funktion f(x) ist nun die Menge aller Stammfunktionen von f(x):
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Berechnung von Stammfunktionen
Im Gegensatz zur Berechnung der Ableitungsfunktion ist die Berechnung der Stammfunktion bei vielen
Funktionen sehr schwer oder nicht möglich.
Oft schlägt man Integrale in Tabellenwerken nach.
Anwendungen der Integralrechnung
Zusätzlich zu Berechnung von Flächen hat die Integralrechung unter anderem folgende
Anwendungsgebiete:
Berechnung
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von Rauminhalten
der Länge eines Kurvenbogens
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von Oberflächen
des Durchschnittswertes von kontinuierlichen Funktionen.
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