Hauptseminar

Hauptseminar
Tunneln in Festkörpern
von Ferdinand Tschirsich und Aaron Aupperle
Betreuer: Prof. Dr. Joachim Ankerhold und Dr. Lars Kecke
10.02.2011
Gliederung
Tunneln in Festkörpern
I
Landau-Zener Effekt
I
Einschub: Dirac Gleichung
I
Graphen und Klein Tunneln
I
Zusammenfassung
Hamiltonoperator
E
q
H0 (q) =
Ω1 (q)
0
0
Ω2 (q)
⇒ H0 (q) |1i = Ω1 (q) |1i
H0 (q) |2i = Ω2 (q) |2i
kompletter Hamilton Operator
E
q
h1|V |1i
H = H0 + V = H0 + 1
iφ
2 ω0 e
1
−iφ
2 ω0 e
h2|V |2i
kompletter Hamilton Operator
E
q
h1|V |1i 21 ω0 e−iφ
H = H0 + V = H0 + 1
iφ
h2|V |2i
2 ω0 e
1
Ω1 (q) + h1|V |1i
ω0 e−iφ
2
⇐⇒ H(q) =
1
iφ
Ω2 (q) + h2|V |2i
2 ω0 e
ω (q) 1 ω e−iφ
= 1 1 iφ 2 0
ω2 (q)
2 ω0 e
Eigenwerte von H
ω1 (q) 12 ω0 e−iφ
H(q) = 1
iφ
ω2 (q)
2 ω0 e
1
1
2
2 2
ω1 + ω2 + ω(q) + ω0
⇒ ωa (q) =
2
1
1
2
2 2
ωb (q) =
ω1 + ω2 − ω(q) + ω0
2
mit
ω(q) = ω1 − ω2
Eigenwerte von H
ω1 (q) 12 ω0 e−iφ
H(q) = 1
iφ
ω2 (q)
2 ω0 e
1
1
2
2 2
ω1 + ω2 + ω(q) + ω0
⇒ ωa (q) =
2
1
1
2
2 2
ωb (q) =
ω1 + ω2 − ω(q) + ω0
2
mit
ω(q) = ω1 − ω2
Bestimmung der Eigenwerte:
1
ω1 (q) − ωa/b
ω0 e−iφ
2
0 = det H − ωa/b 1 = det
1
iφ
ω2 (q) − ωa/b
2 ω0 e
2
⇒ 0 = ωa/b
− (ω1 + ω2 )ωa/b + ω1 ω2 −
ω02
4
Eigenzustände
Zu den Eigenenergieen
1
ωa/b (q) =
2
2
ω1 + ω2 ± ω(q) +
ω02
12
lassen sich die Eigenzustände mit
⇒ 0 = H − ωa/b 1 ψa/b
ω1 − ωa/b 12 ω0 e−iφ
0=
ψa/b
1
iφ
ω2 − ωa/b
2 ω0 e
berechnen.
Eigenzustände
Man erhält folgende Lösungen für die Eingenzustände:
|ai =
v
v
u
u
1
1
φ
φ
u1 + r
u1 − r
−i /2
e
|1i
+
ei /2 |2i
u
u
2
2
t
t
ω0
ω0
1 + ω(q)
1 + ω(q)
v
v
u
u
1
1
u
u1 + r
−i φ/2
i φ/2
|bi = −u1 − r
e
|1i
+
u
2 e |2i
2
t
t
ω0
ω0
1 + ω(q)
1 + ω(q)
Eigenzustände
Vereinfachung:
Definition des Parameters Θ
tan Θ (q) : =
Trigonometrische Beziehungen
r
1 − cos Θ (q)
Θ (q)
=
,
sin
2
2
cos Θ (q) = cos arctan
ω0
ω (q)
Θ (q)
cos
=
2
r
1 + cos Θ (q)
2
ω0
1
=r
2
ω (q)
ω0
1 + ω(q)
Eigenzustände
Alles einsetzen, Normierung
Θ (q) i φ/2
Θ (q) −i φ/2
e
|1i + sin
e |2i
|ai = cos
2
2
|bi = − sin
Θ (q)
2
−i φ/2
e
|1i + cos
Θ (q)
2
ei
Eigenschaften:
q → −∞ (Θ → π) :
|ai → ei
φ/2
|2i
|bi → −e−i
q → +∞ (Θ → 0) :
φ/2
−i φ/2
|ai → e
i φ/2
|bi → e
|1i
|1i
|2i
φ/2
|2i
Zeitentwicklung
Die Zeitabhängige Schrödingergleichung ist:
∂|ψ(t)i
H|ψ(t)i = i
∂t
Zeitentwicklung
Die Zeitabhängige Schrödingergleichung ist:
∂|ψ(t)i
H|ψ(t)i = i
∂t
Um die zeitabhängige Schrödingergleichung zu lösen, mach wir
einen Ansatz mit Variation der Konstanten:
Z t
Z t
0
0
|ψ(t)i = C1 (t) exp −i
ω1 dt |1i + C2 (t) exp −i
ω2 dt |2i
0
0
Zeitentwicklung
Die Zeitabhängige Schrödingergleichung ist:
∂|ψ(t)i
H|ψ(t)i = i
∂t
Um die zeitabhängige Schrödingergleichung zu lösen, mach wir
einen Ansatz mit Variation der Konstanten:
Z t
Z t
0
0
|ψ(t)i = C1 (t) exp −i
ω1 dt |1i + C2 (t) exp −i
ω2 dt |2i
0
0
Z t
1
−iφ
0
˙
⇒ i C1 = ω0 e
exp i
ω dt C2
2
0
Z t
1
iφ
0
˙
i C2 = ω0 e exp −i
ω dt C1
2
0
Zeitentwicklung
Die Zeitabhängige Schrödingergleichung ist:
∂|ψ(t)i
H|ψ(t)i = i
∂t
Um die zeitabhängige Schrödingergleichung zu lösen, mach wir
einen Ansatz mit Variation der Konstanten:
Z t
Z t
0
0
|ψ(t)i = C1 (t) exp −i
ω1 dt |1i + C2 (t) exp −i
ω2 dt |2i
0
0
Z t
1
−iφ
0
˙
⇒ i C1 = ω0 e
exp i
ω dt C2
2
0
Z t
1
iφ
0
˙
i C2 = ω0 e exp −i
ω dt C1
2
0
ω2
⇒ 0 = C¨1 − iω(t)C˙1 + 0 C1
4
2
ω
0 = C¨2 − iω(t)C˙2 + 0 C2
4
Übergangswahrscheinlichkeit
Wir betrachten den Fall, dass sich das Teilchen zu der Startzeit ts
im Zustand |bs i mit bs = b(qs ) befindet. Die Wahrscheinlichkeit,
dass es am Ende te in den Zustand |ae i übergegangen ist, beträgt
dann:
P = |hψ(te )|ae i|2
Übergangswahrscheinlichkeit
Wir betrachten den Fall, dass sich das Teilchen zu der Startzeit ts
im Zustand |bs i mit bs = b(qs ) befindet. Die Wahrscheinlichkeit,
dass es am Ende te in den Zustand |ae i übergegangen ist, beträgt
dann:
P = |hψ(te )|ae i|2
Wenn wir nun annehmen, dass ω(t) linear in t ist, also
ω(t) = a · t + b, lässt sich die vorherige Differenzialgleichung lösen.
Für lange Zeiten ts → −∞ und te → ∞ ergiebt sich dann die
Übergangswahrscheinlichkeit
⇒ P = e−2πΓ
mit Γ =
4
ω02
dω
dt qc
=
|h1|V |2i|2
dω
dt qc
Gliederung
Tunneln in Festkörpern
I
Landau-Zener Effekt
I
Einschub: Dirac Gleichung
I
Graphen und Klein Tunneln
I
Zusammenfassung
Dirac-Gleichung
relativistische Bewegungsgleichung für Ψ?
Dirac-Gleichung für Fermionen (Spin 1/2)
I
Invariant unter Lotentz-Trafo
p
E = m2 c 4 + p 2 c 2
I
v c → Schrödingergleichung
I
Antiteilchen
I
empirische Herleitung
freies Teilchen, nicht relativistisch: E =
1. de Brogli ( ω =
E
~
und k =
p
~
p2
2m
)
i
Ψ (x, t) ∝ exp (px − Et)
~
Z
i
⇒ Ψ (x, t) ∝ φ (p) exp (px − Et) dp
~
2. Zeitentwicklung der Wellenfunktion
Z
i
i
Ψ̇ (x, t) ∝ dp φ (p) − E exp (px − Et)
~
~
Z
i
i~ d2
dp φ (p) exp (px − Et)
=
2m dx 2
~
3. Schrödinger-Gleichung
d
i~ d2
Ψ (x, t) =
Ψ (x, t)
dt
2m dx 2
empirische Herleitung
Operatoren
1. klassische Hamiltonfunktion:
H=
p 2 QM p̂ 2
−→
2m
2m
2. Energieoperator
i~
∂
Ψ = Ê Ψ
∂t
3. Schrödinger-Gleichung
Ê Ψ = ĤΨ
empirische Herleitung
freies Teilchen, relativistisch: Ĥ =
p
m2 c 4 + p̂ 2 c 2
Bewegungsgleichung für Ψ der Form Ê Ψ = ĤΨ ?
Problem: Wurzel in Hamilton-Operator!
Ideen:
Taylorentwicklung aller Ortsableitungen → nicht lokal
Klein-Gordon-Gleichung Ĥ 2 Ψ = E 2 Ψ → Bosonen (Spin 0)
Dirac-Hamilton ĤDirac = c α
~ ~p + βmc 2 → Fermionen!
Dirac-Gleichung
Dirac-Gleichung:
ĤDirac = c α
~ ~p + βmc 2
ĤDirac ψ = Ê ψ
Man erhält
I
Zeit- und Ortsableitungen gleicher Ordnung (Lorentz-Trafo)
I
Plus- und Minus Lösungen der Energie
I
Die α
~ i und β sind 4 × 4 Matrizen
I
ψ ist ein 4-Komponenten-Spinor, ψ1 und ψ2 positive Energie
Eigenschaften
I
I
Multiplikation mit c.c. ⇒ Klein-Gordon (“Dirac:
Wahrscheinlichkeitsdichte =
ψ†ψ
√
K.G.”)
Dirac-Gleichung
Masselose Teilchen:
ĤDirac = c α
~ ~p
ĤDirac ψ = Ê ψ
wobei
α
~i =
0
σi
σi
0
umgeschrieben:
c~p · ~σ
0
0
c~p · ~σ
ψ = Ê ψ
Gliederung
Tunneln in Festkörpern
I
Landau-Zener Effekt
I
Einschub: Dirac Gleichung
I
Graphen und Klein Tunneln
I
Zusammenfassung
Graphen
Besonderheiten:
I
Graphen ist die (bisher) einzige zweidimensionale stabile
Struktur
I
sehr gute elektrische Leitfähigkeit
I
kann durch Aufspaltung der Graphit (Bleistift) Schichten
erzeugt werden
I
Nobelpreis 2010 für Andre Geim Konstantin Novoselov
Graphen
Besonderheiten:
I
Graphen ist die (bisher) einzige zweidimensionale stabile
Struktur
I
sehr gute elektrische Leitfähigkeit
I
kann durch Aufspaltung der Graphit (Bleistift) Schichten
erzeugt werden
I
Nobelpreis 2010 für Andre Geim Konstantin Novoselov
Anwendungsmöglichkeiten:
I Graphen könnte Silizium als Transistormaterial ablösen
I
diese Transistoren wären aufgrund der deutlich besseren
Leitfähigkeit auch deutlich schneller
Graphen
Bindungsverhältnisse
I
Kohlenstoffverbindung
I
2D Bienenwabenstruktur
I
sp2-Hybrid
Elektronenkonfiguration
Kohlenstoff, Grundzustand
C : 1s (2) 2s (2) 2p (2)
A
sp2-Hybrid:
B
(1)
C : 1s (2) 2sp 2 (3) 2pz
σ-Bindungen zu den 3 Nachbarn (3 e − )
Valenz-e − bildet π-Orbitale ⇒ elektronische Eigenschaften
Graphengitter
Bipartit: 2 hexagonale Untergitter, Gitterkonstante a, Verschiebung ~τ
Graphengitter
hexagonales Untergitter
Graphengitter
Gittervektoren
Hexagon:
α=
π
3
Gittervektoren:
√ a
cos α/2
3
~a = a
=
− sin α/2
−1
2
√ α
3
~b = a cos /2 = a
sin α/2
1
2
⇒ ~a + ~b =
√
3a~ex und ~a − ~b = −a~ey
Reziprokes Gitter
Reziprokes Gitter & 1. BZ: ebenfalls hexagonal
1. BZ
Dirac-Punkte
Dirac-Punkte, K-Punkte: Ecken der 1. Brilloin-Zone
~ 1 = ( G~ 2 − G~ 1 )/3
K
~ 2 = (2G~ 2 + G~ 1 )/3
K
~ 3 = ( G~ 2 +2G~ 1 )/3 = K
~1 + G
~1
K
..
.
⇒ nur zwei
K-Punkte sind nicht äquivalent
1. BZ
Tight-Binding
Tight-Binding-Modell:
Elektronen lokalisiert an Gitterpunkten
~ = n1~a + n2~b
A: R
~ + ~τ
B: R
Blochfunktionen für Gitter A und B ansetzen:
Linearkombination aus Atomorbitalen an den Gitterpunkten
E
1 X
~ ~ ~
ΨA,~k = (N)− 2
e i k R R
− 12
ΨB,~k = (N)
X
~
R
E
~
~
R ist Orbital-Wellenfunktion bei R
e
~
R
~
i ~k R
E
~
R + ~τ
Tight-Binding
Tight-Binding Hamiltonoperator:
Hamiltonoperator, berücksichtige 3 Nachbarn ~τ , ~a + ~τ , ~b + ~τ
H = −t
ED
ED
o
X n E D
~
~
~
~ +~
~ + ~a + ~
~ + ~b + ~
R
τ + R
R
τ + R
R
τ + h.c.
R
~
R
Die nächsten Nachbarn stammen aus dem jew. anderen Untergitter
Transfer-Integral:
E
~
~
t = R + ~τ H R
D
Tight-Binding
Matrixelemente des Hamiltonoperators:
Diagonalelemente verschwinden (A und B nicht direkt benachbart)
Nicht-Diagonalelemente:
D
ΨA,~k |Ĥ|ΨB,~k
E
E
1 X i ~k (R~ 0 −R~ ) D ~
~
e
=
R|Ĥ|R + ~τ
N
~ R
~0
R,
~
~~
= −t 1 + e i k·~a + e i k·b = e ~k
Hamiltonoperator zur Blochfunktion ψ~k = ΨA,~k , ΨB,~k

Ĥ ~k = 

0
e ~k

∗
e ~k
0
Dispersionsrelation
Energieeigenwerte ε ~k
ε ~k
t
=
~ e k t
v
u
u
= t1 + 4 cos
Eigenvektoren: nicht benötigt!
√
3a
kx
2
!
cos
a
a ky + 4 cos2
ky
2
2
Dispersionsrelation
Dispersionsrelation ε ~k im Tight-Binding-Modell (K-Punkte rot)
Dispersionsrelation
Dispersion an K-Punkten:
~ 1 für kleine δ~k Näherung um K
e ~k
−
t
1
:
a
~ 1,2
Energie linear in δ~k = ~k − K
~
~ ~
~ +δ~
i K
k ~
b
+e 1
≈ 1 + e i K1~a + 1 + iδ~k~a + e i K1 b + 1 + iδ~k ~b
√ !
√ !
1
3
1
3
~
=1+ − −i
1 + iδ k~a + − + i
1 + iδ~k ~b
2
2
2
2
√
√3
1
3 ~
= − iδ~k · ~a + ~b −
δ~k · ~a − ~b = −
ia δ kx + iδ~ky
2
2
2
√
3 ~ i Θ
i a δ k e
=
2
=1+e
~ 1 +δ~
a
i K
k ~
~ 2: −
mit Phasenwinkel Θ zwischen ~k und ~ex . Ergebnis für K
√
3
ia
2
−δ~kx + iδ~ky
Beachte
~ 1 · ~a = (
K
2π
· ~a = − ,
3
√
~a + ~b = 3a~ex ,
~2− G
~ 1 )/3
G
~ 1 · ~b = (
K
~2− G
~ 1 )/3
G
~a − ~b = −a~ey
· ~b =
2π
3
Dispersionsrelation
Fermigeschwindigkeit: vF =
1
2
√
3ta/~
lineare Dispersion an K-Punkten:
e ~k = ~vF
⇒ ε ~k = e ~k = ~vF
I
I
effektive Masse m∗ = ~
∂ 2 e(k)
∂k 2
−1
δ~kx + iδ~ky
~
δ k =0
Gruppengeschwindigkeit vG = ∂e(k)
∂k = vF Energieunabhängig
Hamiltonoperator an K-Punkten
Hamiltonoperator an K-Punkten
~ 1 : e ~k = ~vF δ~k in Ĥ einsetzen,
Dispersionsrelation bei K
beachte kx =
∂
∂x
= ∂x, ky = ∂y :
ĤK = −i~vF
0
∂x + i∂y
∂x − i∂y
0
= vF ~p · ~σ
wobei
~p = −i~ (∂x , ∂y )
~σ = (σx , σy )
der Impulsoperator, und
Vektor der Paulimatrizen
Hamiltonoperator an K-Punkten
Blochzustände ψ~k = ΨA,~k , ΨB,~k mit Wellenvektoren ~k nahe K-Punkt:
vF ~p · ~σ ψK = E ψK
~ 1, K
~2
Es gibt zwei nicht-äquivalente K-Punkte K
~ 1 und K
~2
Die (lokale) Beschreibung an den K-Punkten muss K
berücksichtigen:
vF ~p · ~σ ψK1 = E ψK1
vF ~p · ~σ ψK2 = E ψK2
oder als 4 × 4-Matrix:
vF ~p · ~σ
0
0
vF ~p · ~σ
mit ψ = ΨA,~k , ΨB,~k , −ΨB,~k , ΨA,~k
ψ = Eψ
Vergleich mit Dirac-Gleichung
Vergleich mit Dirac-Gleichung
Gleiche mathematische Struktur wie die masselose Dirac-Gleichung
I
Spin → “Pseudospin“
I
c → vF
I
E > 0 → Elektronen (Leitungsband, ψ1,2 )
I
E < 0 → Elektronenlöcher (Valenzband, ψ3,4 )
Klein-Tunneln
Klein-Tunneln
Dirac-Gleichung beschreibt “paradoxen” Tunnelprozess:
Masselose Fermionen duchtunneln hohe Potentialbarierren ohne
Reflektion
Gleicher Prozess ist auch in Graphen beobachtbar!
Klein-Tunneln
Klein-Tunneln
Fermi-Niveau liegt genau zwischen Valenz- und Leitungsband
Leitungselektronen nahe K-Punkten folgen Dirac-Gleichung mit
linearer Dispersion
q
~
~
~
2
2
ε k = EF ± ~vF δ kx + δ ky (
V0
Zusätzlicher Potentialwall V (x) =
0
neuer Hamilton-Operator
Ĥ = ĤK + V (x)
0<x <d
sonst
Klein-Tunneln
Tunnelwahrscheinlichkeit
Ĥ = ĤK + V (x)
Betrachte Leitungselektronen ψ1 , ψ2 mit Fermi-Wellenvektor ~kF
Vorgehen wie bei klassischem Potential:
I
ebene Wellen
I
2D: Separationsansatz in (x, y )
I
Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Klein-Tunneln
Einfallende Welle in Winkel φ zur x-Achse mit Wellenvektor
kx = ~kF cos φ und ky = ~kF sin φ:

ikx x + r e −ikx x · e iky y

x <0
 e
ik y
iq
x
−iq
x
y
x
x
ψ1 (x, y ) =
·e
0<x <d
ae
+ be

 ikx x iky y
te
·e
d <x

ikx x+iφ + r e −ikx x−iφ · e iky y

x <0
s · e
ik y
0
iq
x+iΘ
−iq
x−iΘ
x
x
y
ψ2 (x, y ) = s · ae
+ be
·e
0<x <d


ik
x+iφ
ik
y
x
y
s · te
·e
d <x
Grenzfall für hohe Barriere |V0 | |E |1 :
T =
1
mit s, s 0 = ±1, vgl. [4]
cos2 φ
1 − cos2 (qx · d ) sin2 φ
Klein-Tunneln
Interpretation:
~v =
d~r
∂E
v 2~p
=
=
dt
∂~p
E −V
Pseudospin
Elektronenzustand:
Lochzustand:
~v k ~p
⇐V <E
~v anti- k ~p
⇐V >E
Im Potentialwall wird der “Dispersionskegel” angehoben:
Elektron “tunnelt“ in das Valenzband, behält aber seinen
Pseudospin (Energieunabhängige Gruppengeschwindigkeit)
”Interbandtunneln“ oder ”Klein-Tunneln“
Gliederung
Tunneln in Festkörpern
I
Landau-Zener Effekt
I
Einschub: Dirac Gleichung
I
Graphen und Klein Tunneln
I
Zusammenfassung
Quellen
Rubbmark et al: Dynamical effects at avoided level crossings: A
study of the Landau-Zener effect using Rydberg atoms, Phys.
Rev. A 23, 3107 - 3117 (1981)
Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Graphen, am
8.02.2010
C. W. J. Beenakker: Andreev reflection and Klein tunneling in
graphene, Reviews of Modern Physics 80, 1337 (2008)
M. Katsnelson, K. Novoselov, A. Geim: Chiral Tunneling and
the Klein paradox in graphene, Nat. Phys. 2, 620 (2006)
Philip B. Allen:
http://felix.physics.sunysb.edu/∼allen/Pdffiles/grapheneelectrons.pdf, am
8.02.2010