— VIEL ERFOLG! —

1. Klausur T1, 29.07.2009, SoSe 2009
P. Tavan, G. Mathias, S. Bauer
Bitte füllen Sie den folgenden Teil in Blockschrift aus:
Nachname:
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Matrikelnummer:
Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise zur Klausur:
• Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und geben Sie auf dem Deckblatt zusätzlich Ihre
Matrikelnummer an. Legen Sie Ihren Lichtbildausweis zur Kontrolle bereit.
• Verwenden Sie bitte ein dokumentenechtes Schreibgerät. Zugelassene Hilfsmittel sind:
— Eine mathematische Formelsammlung.
— Ein DIN/A4-Blatt handschriftlicher Notizen.
• Die Bearbeitungszeit beträgt 180 Minuten. Diese Klausur enthält vier Aufgaben. Es stehen
sechs Blätter zur Lösung der Aufgaben zur Verfügung. Weitere Blätter werden auf Anfrage
ausgegeben.
• Geben Sie zu jeder bearbeiteten Aufgabe die Nummer und die Nummer der Teilaufgabe
an! Bearbeiten Sie pro Blatt jeweils nur eine Aufgabe! Schreiben Sie nicht auf die
Blätter mit den Aufgabenstellungen. Eventuelle Beschriftungen werden nicht zur Bewertung
herangezogen.
• Vektoren sind durch Fettdruck gekennzeichnet. Matrizen sind durch fettgedruckte Großbuchstaben gekennzeichnet.
• Bitte geben Sie alle Blätter der Klausur wieder ab.
• Ihre Endnote ergibt sich als die bessere Note dieser Klausur und der Nachholklausur.
• Tragen Sie die Zahl der insgesamt abgegebenen Blätter hier ein:
— VIEL ERFOLG! —
Bitte Beschreiben Sie diesen Teil nicht.
Punkte:
+
+
+
=
von maximal 50 Punkten.
Note:
1. G’schtanzl
Diese kurzen Fragen prüfen Ihr Verständnis und Wissen der Vorlesung ab.
a) Für welche Zentralpotentiale auf dem IE3 sind alle gebundenen Bahnen geschlossen?
[1 Punkt]
b) Erläutern Sie den Liouville’schen Satz anhand einer Formel und einer Zeichnung und
erklären Sie so was er besagt.
[2 Punkte]
c) Was sind holonome, skleronome und rheonome Zwangsbedingungen?
[1 Punkt]
d) Wann ist eine Variable zyklisch und was folgt daraus? Begründen Sie Ihre Antwort im
Rahmen des Lagrange– oder des Hamilton–Formalismus.
[1 Punkt]
e) Betrachten Sie zwei mit einem starren Körper mitrotierende orthonormale Koordinatensysteme mit den Basisvektoren {e1 , e2 , e3 } und {ê1 , ê2 , ê3 } deren Ursprünge im Schwerpunkt
liegen und die durch eine Drehung D ∈ O(3) mit
êβ =
3
X
T
Dβα
eα
α=1
auseinander hervorgehen. Sind die Koordinatentripel ω̃ = (ω · e1 , ω · e2 , ω · e3 ) und ω̂ =
(ω · ê1 , ω · ê2 , ω · ê3 ) des Vektors ω der Winkelgeschwindigkeit Vektoren? Seien ferner
x̃ = (x1 , x2 , x3 ) die Koordinaten eines Ortsvektors x bezüglich der Basis {e1 , e2 , e3 }.
Stellen die Zeitableitungen x̃˙ = (ẋ1 , ẋ2 , ẋ3 ) der Koordinaten ebenfalls einen Vektor dar?
Begründen Sie Ihre Antworten!
[2 Punkte]
2. Rangierbahnhof
vw
xw
xl
m
M
0
x
Ein Eisenbahnwagon der Masse m rolle reibungsfrei mit einer Geschwindigkeit v0 > 0 auf
eine stehende Lok der Masse M > m am Ort x = 0 zu. Die Spitze des Wagons sei durch den
Ort xw (t) und der Anfang der Lok durch xl (t) bezeichnet (siehe Abbildung). Zum Zeitpunkt
t0 = 0 trifft der Puffer des Wagons auf die Lok. Im Puffer befindet sich eine masselose
harmonische Feder der Kraftkonstanten k und der Ruhelänge l mit 21 kl2 > 21 mv02 . Weiterhin
übt ein Stoßdämpfer in der Feder für xl −xw < l die linearen Reibungskräfte Fw = +γ(ẋl − ẋw )
auf den Wagon und Fl = −γ(ẋl − ẋw ) auf die Lok aus (γ > 0). Der Stoß setzt die Lok in
Bewegung und sie rollt ebenfalls reibungsfrei. Zum Zeitpunkt 0 < t1 ≤ ∞ bricht der Kontakt
zwischen Wagon und Lok wieder ab.
a) Vernachlässigen Sie zunächst die Reibung und setzen Sie γ = 0. Betrachten Sie die Fälle
α) die Lok bewegt sich reibungsfrei (wie in der Angabe) und β) die Bremsen der Lok
sind arretiert und sie kann sich nicht bewegen. Welche Größen sind jeweils Konstanten der
Bewegung? Welche Geschwindigkeit hat der Wagon nach dem Zeitpunkt t1 ? Skizzieren Sie
für die Fälle α) und β) ein Phasenraumdiagramm der Bewegung des Wagons. Markieren
Sie die Zeitpunkte t0 und t1 auf der Phasenraumtrajektorie.
[4 Punkte]
b) Betrachen Sie nun wieder den in der Angabe beschriebenen Fall γ > 0 mit beweglicher
Lok. Welche Größen sind hier Konstanten der Bewegung? Stellen Sie die Newtonschen
Bewegungsgleichungen für die Bewegung des Wagons und der Lok für den Zeitraum [t0 , t1 ]
auf. Achten Sie dabei auf die richtigen Vorzeichen. Welche Stetigkeitsbedingungen gelten
zu den Zeiten t0 und t1 für xw (t) und xl (t) und die jeweiligen zeitlichen Ableitungen (x,
ẋ, ẍ, . . .)?
[3 Punkte]
c) Durch eine geeignete Koordinatentransformation lassen sich die Bewegungsgleichungen
entkoppeln. Lösen Sie die entkoppelten Bewegungsgleichungen zunächst soweit allgemein,
bis Sie ein γmax bestimmen können, für das Wagon und Lok gerade nicht mehr auseinander
laufen. Geben Sie für γ < γmax unter Beachtung der Randbedingungen bei t0 die spezielle
Lösung der transformierten Bewegungsgleichungen an.
[8 Punkte]
Hinweis:
x
arctan x = arcsin √
1 + x2
3. Jo–Jo
(a)
y
F
(b)
y
R
R
r
r
M
M
x
Ein ungeschickter Jo–Jo–Spieler hat sein Spielzeug vor sich mit ausgerollter Schnur auf den
Boden fallen lassen. Das Jo–Jo mit der Gesamtmasse M besteht aus zwei homogenen Zylindern mit Radius R, die zentral über einen masselosen Steg mit Radius r verbunden sind.
Am Steg ist eine ebenfalls masselose Schnur vernachlässigbarer Dicke befestigt, die sich dort
aufrollen kann [siehe Abbildung (a)].
Hinweis: Teilaufgaben a) und b) lassen sich weitgehend unabhängig von einander lösen.
a) Der Spieler will das Jo–Jo zunächst durch einen kurzen Zug an der Schnur zurückholen
(vgl. Abb. (a)).
i) Berechnen Sie das Trägheitsmoment Jzz des Jo–Jos bezüglich seiner Zylinderachse
sowie der momentanen Drehachse bei Zug an der Schnur.
[2 Punkte]
ii) Wie groß darf der Betrag der Zugkraft bei einem vorgegebenen Zugwinkel α zur
Horizontalen maximal sein, damit das Jo–Jo nicht vom Boden abhebt?
[1 Punkt]
iii) Unter welchem Winkel α darf der Spieler maximal ziehen, so dass das Jo–Jo beginnt
auf ihn zuzurollen (in positive x-Richtung)? Betrachten Sie dazu das Drehmoment
bezüglich der momentanen Drehachse.
[2 Punkte].
b) Nach dem Zurückrollen des Jo–Jos hat sich die Schnur aufgewickelt. Der Spieler versetzt
nun das Jo–Jo durch einen weiteren Zug zum Zeitpunkt t = 0 in eine Rotation der Winkelgeschwindigkeit ω0 ez , so dass das Jo–Jo entlang der Schnur mit der Winkelgeschwindigkeit
ω(t)ez vertikal aufsteigt [Abbildung (b)]. Der Gesamtdrehwinkel des Jo–Jos werde mit ϕ(t)
bezeichnet und die Höhe des Schwerpunktes mit y(t). Horizontalbewegungen seien von nun
an zu vernachlässigen. Weiterhin hält der Spieler das obere Ende der Schnur in Ruhe.
i) Wie viele unabhängige Freiheitsgrade hat das System? Formulieren Sie die Zwangsbedingungen.
[1 Punkte]
ii) Aus welchen Anteilen besteht die kinetische Energie des Jo–Jos? Stellen Sie die
Langrangefunktion für die Steigbewegung des Jo–Jos auf. Dabei dürfen Sie ohne Beweis verwenden, dass es sich bei der Zylinderachse um eine Hauptträgheitsachse des
Jo–Jos handelt.
[2 Punkte]
iii) Leiten Sie aus der Lagrangefunktion die Hamiltonfunktion ab und bestimmen Sie die
Bewegungsgleichungen für die verallgemeinerten Koordinaten und Impulse.[3 Punkte]
iv) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen. Welche maximale Steighöhe erreicht das Jo–Jo?
[4 Punkte]
4. Schwingende Röhre
k
m
k
M
f
0
m
x
Drei Kolben bewegen sich reibungsfrei in einer waagerechten Röhre. Die äußeren beiden Kolben haben beide die Masse m, der mittlere Kolben habe die Masse M mit M > m. Die
äußeren Kolben (Koordinaten x1 , x3 ) sind mit dem mittleren Kolben (Koordinate x2 ) über
zwei harmonische Federn der Kraftkonstanten k und der Gleichgewichtslänge l verbunden.
Durch eine Bohrung im mittleren Kolben verläuft eine weitere Feder der Kraftkonstanten
f und der Gleichgewichtslänge 2l, die die beiden äußeren Kolben verbindet. Weiterhin sei
f < k. Der gemeinsame Schwerpunkt der Kolben befinde sich in Ruhe.
a) Geben Sie die Lagrangefunktion des Systems in Matrix–Vektor Form für Auslenkungen
der Kartesischen Koordinaten aus der Ruhelage an.
[2 Punkte]
b) Leiten Sie aus der Lagrangefunktion eine (verallgemeinerte) Eigenwertgleichung zur Bestimmung der Schwingungsfrequenzen ab.
[2 Punkte]
c) Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen der Schwingungen und die zugehörigen Normalmoden.
Zu welcher Bewegung gehört ein eventuell auftretender Eigenwert von 0?
[6 Punkte]
Hinweis: Falls Sie die Normalmoden der Schwingungen kennen/raten können, dürfen Sie
dieses Wissen verwenden, so lange Sie zeigen, dass es tatsächlich Normalmoden sind.
d) Nehmen Sie nun an, dass M groß gegen m und k groß gegen f ist. Entwickeln Sie die
Eigenfrequenzen der Schwingungen jeweils bis zur führenden Ordnung in γ = m/M und
ε = f /k. Skizzieren Sie den Verlauf der Eigenfrequenzen abhängig von kleinen ε und γ.
Für welche γ und ε sind die Schwingungen entartet (≡ gleiche Frequenzen)? [3 Punkte]
Hinweis:
√
1
1·1 2 1·1·3 3 1·1·3·5 4
1±x=1± x−
x ±
x −
x ± ...
2
2·4
2·4·6
2·4·6·8
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