Formelsammlung_TGT (400,3 kB )
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Br / Bu / Is / Vo / ... Formelsammlung Elektrotechnik im Technischen Gymnasium Baden-Württemberg 1 / 39 10-10-29 Inhaltsverzeichnis Ladung......................................................................................................................................................................2 Spannung..................................................................................................................................................................2 Potenzial....................................................................................................................................................................2 Strom........................................................................................................................................................................2 Ohmsches Gesetz.......................................................................................................................................................3 Reihenschaltung.........................................................................................................................................................3 Parallelschaltung.........................................................................................................................................................3 Knoten- und Maschenregel..........................................................................................................................................4 Widerstand und Temperatur........................................................................................................................................4 Leistung.....................................................................................................................................................................4 Arbeit.........................................................................................................................................................................4 Wirkungsgrad.............................................................................................................................................................4 Spannungsteiler..........................................................................................................................................................5 Brückenschaltung.......................................................................................................................................................5 Spule.........................................................................................................................................................................6 Einschaltvorgang bei Spulen........................................................................................................................................6 Elektrostatisches Feld..................................................................................................................................................7 Kondensator...............................................................................................................................................................7 Ladungsvorgang beim Kondensator.............................................................................................................................8 Wechselstrom.............................................................................................................................................................9 Zeigerdarstellung........................................................................................................................................................9 Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis (Wirkwiderstand R)................................................................................10 Kapazität im Wechselstromkreis.................................................................................................................................11 Induktivität im Wechselstromkreis..............................................................................................................................11 Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XL (induktiver Blindwiderstand)....................................................................12 Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XC (kapazitiver Blindwiderstand)...................................................................13 Reihenschaltung R, XL und XC (RLC - Reihenschwingkreis)..........................................................................................14 Parallelschaltung R und XL........................................................................................................................................15 Parallelschaltung R und XC........................................................................................................................................16 Parallelschaltung R, XL und XC (RLC - Parallelschwingkreis).........................................................................................17 Äquivalente Schaltungen...........................................................................................................................................18 Blindleistungs-Kompensation.....................................................................................................................................18 Siebschaltungen (passive Filter).................................................................................................................................19 RC- und LR-Tiefpässe................................................................................................................................................20 CR- und RL-Hochpässe..............................................................................................................................................20 Dreiphasiger Wechselstrom.......................................................................................................................................21 Symmetrisches Dreiphasensystem.............................................................................................................................22 Verkettetes Dreiphasensystem...................................................................................................................................23 Digitaltechnik (Begriffe).............................................................................................................................................24 Zahlensysteme.........................................................................................................................................................24 Schaltalgebra (Verknüpfungsregeln)...........................................................................................................................25 Schaltnetze...............................................................................................................................................................27 Spezielle Schaltnetze (Addierer, Multiplexer, Komparator)...........................................................................................27 Codes.......................................................................................................................................................................30 spezielle Bauteile (Takt, Monoflop, Treiber, Pull-Up, Pull-Down)...................................................................................31 Speicher (Flipflops)...................................................................................................................................................32 Impulsdiagramme (Zeitablaufdiagramme)..................................................................................................................32 Schaltwerke..............................................................................................................................................................33 Zustandsdiagramm...................................................................................................................................................33 Spezielle Schaltwerke (Zähler, Speicher, Schieberegister)............................................................................................34 Programmierbare Logik.............................................................................................................................................35 KV-Diagramme.........................................................................................................................................................36 Schaltzustände eines NPN-Transistors........................................................................................................................38 Zehnerpotenzen........................................................................................................................................................39 E-Reihen von Widerständen.......................................................................................................................................39 Formelsammlung_TGT.odt 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 2 / 39 Ladung Als Ursache für messbare physikalische Erscheinungen (Kräfte, Licht...) wird in der Elektrotechnik eine Größe „elektrische Ladung“ mit nebenstehenden Eigenschaften definiert • • • • Q = N⋅ e 2 Arten (positiv und negativ) gleichartige Ladungen stoßen sich ab, ungleichartige ziehen sich an Ladung ist übertragbar im Raum zwischen Ladungen wirken Kräfte auf Ladungen, die durch ein „elektrischen Feld“ erklärt werden [Q] = C = As e Elementarladung (kleinstmögliche Ladung Anzahl der Ladungsträger N - + Spannung Elektrische Spannung = Arbeit beim Transport der Ladung Ladungsmenge U= W Q [U] = V = Ws As Die Spannung ist eine wichtige elektrotechnische Grundgröße, die als „Nennspannung“ über den Einsatz von Geräten entscheidet. Potenzial Elektrisches Potenzial φ: Spannungsangabe bezogen auf einen Bezugspunkt (oft Schaltungsmasse) → Spannung eine Potenzialdifferenz: U21=φ2 – φ1 φ4 φ1 = 0V D U43 φ2 = 2V, φ3=5V, U41 = 10V. φ3 U21 = φ2 - φ1 = 2V – 0V = 2V U32 = φ3 - φ2 = 5V – 2V = 3V U31 = φ3 - φ1 = 5V – 0V = 5V U41 = 10V = φ4 – φ1 → φ4 = 10V weil φ1 = 0V U43 = φ4 – φ3 = 10V – 5V = 5V C U41 U32 φ2 U31 B U21 Am Widerstand liegt eine Spannung von 5V an. Am Punkt D beträgt das Potential 10V. φ1 A Strom Unter einer elektrischen Strömung („Strom“) versteht man einen Transport von Ladungsträgern. Ladungsmenge Stromstärke = Zeit Formelsammlung_TGT.odt I= Q t I == ΔQ dQ dt Δt Gleichspannung [I] = A = As s Wechselspannung 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 3 / 39 Ohmsches Gesetz I U R I elektrische Spannung ohmscher Widerstand elektrischer Strom R [V] [Ω] [A] U U= R⋅I l A ρ γ Leiterlänge Leiterquerschnitt [m] [mm2] spezifischer Widerstand [Ω·mm2/m] spezifischer Leitwert (auch χ ) 2 −5 ⋅mm Kupfer: ϱCu =17,8⋅10 m ρ ⋅l l = A γ⋅A R= [m/Ω·mm2] Reihenschaltung U U1, U2, U3 R R1, R2, R3 Gesamtspannung Teilspannungen Gesamtwiderstand Einzelwiderstände Durch jeden Widerstand fließt der selbe Strom I I R1 R2 R3 U1 U2 U3 U = U1+U2+U3 U = U1+U2+U3 R = R1+R2+R3 Parallelschaltung I I1, I2, I3 R R1, R2, R3 Gesamtstrom Teilströme Gesamtwiderstand Einzelwiderstände I = I1+I2+I3 I1 I2 I3 An jedem Widerstand liegt die selbe Spannung U U I R1 R2 U R3 I2+I3 I = I1+I2+I3 Formelsammlung_TGT.odt U 1 1 1 1 = + + R R1 R2 R3 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 4 / 39 Knoten- und Maschenregel Knotenregel Maschenregel R1 I1 I3 I4 I2 I1 I2 U1 U2 U4 R4 I1 + I2 + I3 + ... = 0 R2 R3 I3 U3 U1 + U2 + U3 − U4 = 0 Widerstand und Temperatur ∆R α RK RW ∆ϑ = = = = Widerstandsänderung Temperaturbeiwert Kaltwiderstand Warmwiderstand = Temperaturänderung [Ω ] [-] ∆ R=α ⋅ ∆ ϑ ⋅ R K R W = RK + ∆ R [K] Leistung P P = U⋅ I = elektrische Leistung P = I2 ⋅ R P= U2 R [P] = V ⋅ A = W Arbeit W t = elektrische Arbeit = Zeit W = P⋅ t [W] = V ⋅ As = Ws = J Wirkungsgrad W1 W2 WV = zugeführte Arbeit (Energie) = abgegebene Arbeit (Energie) = Verluste P1,2,V = entsprechende (Leistung) η η 1,η 2 = Wirkungsgrad = Einzelwirkungsgrade Formelsammlung_TGT.odt W1 W2 η= W2 W1 η= P2 P1 WV WV = W1 − W2 PV = P1 − P2 η = η1 ⋅ η2 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 5 / 39 Spannungsteiler unbelastet (Reihenschaltung) U2 = I U1 belastet (Gruppenschaltung) R2 ⋅U R1 + R 2 U2 = I* R1 U1 R1 R 2L ⋅U R 1 + R 2L R 2L = U I2 = I q R2 ⋅ RL R2 + RL IL UL R2 U2 U2 R2 Iq RL R2L RL = Querstrom = Lastwiderstand = Ersatzwiderstand für R2 und RL Brückenschaltung I ges U I 12 I 34 U R1 1 UAB = U2 − U4 UAB = φA - φB R3 3 wenn: UAB = 0 (Abgleich) U A φA U Formelsammlung_TGT.odt 2 R2 U B AB φB U 4 ⇒ R1 R 3 = R2 R4 R4 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 6 / 39 Spule Das Material in dem die magnetischen Feldlinien verlaufen, beeinflusst die Induktivität. A = vom Feld durchsetzte Fläche (Spulenquerschnitt) Vs µ 0 1,257 ⋅ 10 − 6 Feldkonstante des magnetischen Feldes Am I + _ µ r Permeabilitätszahl µ r (Eisen) 200...6000 µ r (Elektroblech) 500...7000 µ r (Supermalloy)100 000... L ≈ µ 0 ⋅ µ r ⋅ N2 ⋅ Die Permeabilitätszahl steigt zunächst mit zunehmender Feldstärke und und nimmt bei hohen Feldstärken wieder ab. Reihenschaltung von Spulen L1 A l Parallelschaltung von Spulen L2 L3 L1 L = L1 + L2 + L3 L2 L3 1 1 1 1 = + + L L1 L2 L3 V⋅ s [L] = = 1H(Henry) A Einschaltvorgang bei Spulen I τ = R UR U UL L Formeln Einschaltvorgang: t − uL (t) = U ⋅ e τ L R τ Zeitkonstante des RL-Gliedes t uR (t) = U ⋅ (1 − e τ ) t − U i(t) = ⋅ (1 − e τ ) R Formelsammlung_TGT.odt R=1kΩ , L=1H, τ=L/R=1ms 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 i(t) uL(t) in V i(t) in mA uL(t) 0 − Ausschaltvorgang Spule Einschaltvorgang Spule uL(t) in V, I(t) in mA 1 2 3 4 5 Zeit in ms uL(t) in V, i(t) in mA 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 R=1kΩ , L=1H, τ=L/R=1ms i(t) i(t) in mA uL(t) in V uL(t) 0 1 2 3 4 5 Zeit in ms 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 7 / 39 Elektrostatisches Feld Die einfachste Form bildet sich zwischen zwei parallelen Platten E d E +Q = elektrische Feldstärke = Plattenabstand Die Kapazität eines Kondensators beschreibt den Zusammenhang zwischen gespeicherter Ladung Q und der Spannung U C d = Kapazität C= Q U -Q [C] = U = E⋅ d A⋅s = 1F (Farad) V Kondensator Das Material zwischen den Platten beeinflusst die Kapazität. ε r = 27 Tantal A = Plattenfläche einer Platte As ε 0 = 0, 885 ⋅ 10 − 11 Feldkonstante des el. Feldes V εr = 1 ε r (Tantal) ≈ 27 C = ε0 ⋅ εr ⋅ ε r relative Dielektrizitätszahl ε r (Luft) ≈ 1 ε r (dest. Wasser) ≈ 80 Reihenschaltung von Kondensatoren C1 C2 A d Parallelschaltung von Kondensatoren C3 C1 1 1 1 1 = + + C C1 C2 C3 Formelsammlung_TGT.odt Luft C2 C3 C = C1 + C2 + C3 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 8 / 39 Ladungsvorgang beim Kondensator I τ Zeitkonstante des RC-Glied τ = R⋅C R UR Formeln Aufladung: t uR (t) = U ⋅ e τ − U UC C t uC (t) = U ⋅ (1 − e τ ) − t U − τ i(t) = ⋅ e R Aufladevorgang Kondensator uc(t) in V, i(t) in mA R=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 uC (t) uC(t) in V i(t) in mA i(t) 0 1 2 3 4 5 Zeit in ms Entladevorgang Kondensator uc(t) in V, i(t) in mA 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 uC (t) uC(t) in V i(t) in mA i(t) 0 Formelsammlung_TGT.odt R=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms 1 2 3 4 5 Zeit in ms 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 9 / 39 Wechselstrom û = f (Frequenz) 1 T= f û A Scheitelwert bzw. Amplitude 2 ⋅U ω = 2⋅ π ⋅ f A Kreisfrequenz [Hz] [s] [Hz] U = Ueff (Effektivwert) t (Zeit) T (Periodendauer) Zeigerdarstellung Sinusförmige Wechselgrößen können durch einen (im Gegenuhrzeigersinn) drehenden Zeiger dargestellt werden. Die Zeigerlänge entspricht dem Scheitelwert die Drehfrequenz der Kreisfrequenz der Wechselgröße. t2 t2 t1 ω t1 t0 t0 t mit diesem rotierenden Zeiger können die Augenblickswerte für jeden Zeitpunkt ermittelt werden. In der Praxis sind jedoch häufig die zeitunabhängigen Effektivwerte von Bedeutung. Sie lassen sich durch nicht rotierende Zeiger darstellen. Die Zeigerlänge entspricht dann dem Effektivwert der Wechselgröße - der Winkel entspricht der Phasenverschiebung gegenüber einem (meist willkürlich gewählten) . Zeitnullpunkt. Mit diesen Zeigern lassen sich elektrische Wechselgrößen (Spannungen, Ströme und Leistungen) die gegeneinander phasenverschoben sind, leicht addieren und subtrahieren.Voraussetzung ist, dass die zu verknüpfenden Größen sinusförmig sind und die gleiche Frequenz haben. Beispiel (grafische Addition durch Zeigerverschiebung) U2 Formelsammlung_TGT.odt ϕ2 U1 Uges = U1 + U2 Uges U2 ϕ ges U1 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 10 / 39 Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis (Wirkwiderstand R) A Liniendiagramm u, i 1 i(t) u 0,5 i V u(t) u 0 R i -0,5 -1 0 90 180 π ˆ ⋅ sin(ω ⋅ t) = u ˆ ⋅ sin(2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t) u(t) = u i(t) = 270 360 φ 2π Strom und Spannung sind „in Phase“ (gemeinsame Nulldurchgänge). ˆ u(t) u = ⋅ sin(2π f ⋅ t) R R Zeiger (Effektivwerte) U I Beispiel: u(t), i(t), p(t) am Wirkwiderstand R u(t) in V i(t) in A p(t) in W û=10V, R=4Ω, f=50Hz 25 p(t) 20 15 10 u(t) 5 i(t) 0 -5 -10 0 5 10 15 20 25 Zeit in ms Strom, Spannung und Leistungsschwingung am Widerstand Formelsammlung_TGT.odt 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 11 / 39 Kapazität im Wechselstromkreis Liniendiagramm u, i X C kapazitiver Blindwiders tan d 1 u 0,5 XC = 1 2⋅ π ⋅ f ⋅ C u 0 i i -0,5 -1 A 0 i(t) C V u(t) 90 180 270 π 360 φ 2π Strom und Spannung sind „phasenverschoben“ (der Strom verläuft 90° „voreilend“). Zeiger (Effektivwerte): I i(t) = ˆ ⋅ sin(2π f ⋅ t ) u(t) = u U û π ⋅ sin(2π f ⋅ t + ) XC 2 Induktivität im Wechselstromkreis X L Induktiver Blindwiderstand Liniendiagramm u, i 1 XL = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L i 0,5 u 0 A i(t) i u -0,5 -1 V u(t) L 0 90 180 270 π 360 φ 2π Strom und Spannung sind „phasenverschoben“ (der Strom verläuft 90° „nacheilend“). Zeiger (Effektivwerte): U I ˆ ⋅ sin(2π f ⋅ t ) u(t) = u i(t) = Formelsammlung_TGT.odt û π ⋅ sin(2π f ⋅ t − ) XL 2 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 12 / 39 Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XL (induktiver Blindwiderstand) R I XL L UR Induktiver Blindwiderstand XL = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L UL U Z Scheinwiderstand U I Gesamtspannung Strom Spannungsdreieck U UL ϕ UR ϕ UL I UL = U ⋅ sin ϕ UR 2 + UL 2 R = Z ⋅ cos ϕ Z2 = R 2 + XL 2 XL = Z ⋅ sin ϕ Q=UL ⋅ I P=UR ⋅ I Normierung mit 1/I (ähnliches Dreieck) R 2 + XL 2 Z= U I cos ϕ = Wirkleistungsfaktor Leistungsdreieck ϕ UR = I ⋅ R Z = R + XL Z= Normierung mit I (ähnliches Dreieck) Formelsammlung_TGT.odt U2 = UR 2 + UL 2 UL = I ⋅ X L U R= R I S=U ⋅ I UR = U ⋅ cos ϕ I XL = [Z] = Ω U = UR + UL U= Widerstandsdreieck U Z= I [X L ] = Ω S = P + QL P = S ⋅ cos ϕ S2 = P2 + QL 2 QL = S ⋅ sin ϕ P2 + QL 2 S = U⋅ I S Scheinleistung P Wirkleistung Q Blindleistung [S] = V ⋅ A [P] = W [Q] = var S= 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 13 / 39 Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XC (kapazitiver Blindwiderstand) R I XC C UR Kapazitiver Blindwiderstand XC= UC [X C ] = Ω 1 2⋅ π ⋅ f ⋅ C U U = UR + UC UR = U ⋅ cos ϕ I U2 = UR 2 + UC 2 UC = U ⋅ sin ϕ UC U= Spannungsdreieck UR ϕ U UR 2 + UC 2 UR = I ⋅ R UC = I ⋅ X C Widerstandsdreieck ϕ U R= R I U Z= I U XC = C I Leistungsdreieck P=UR ⋅ I ϕ Q=UC ⋅ I S=U ⋅ I Formelsammlung_TGT.odt Z = R + XC R = Z ⋅ cos ϕ Z2 = R 2 + X C2 X C = Z ⋅ sin ϕ Z= R 2 + X C2 Z= U I S = P + QC P = S ⋅ cos ϕ S2 = P2 + QC 2 QC = S ⋅ sin ϕ S= P2 + QC 2 S = U⋅ I 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 14 / 39 Reihenschaltung R, XL und XC (RLC - Reihenschwingkreis) R I L UR C UL UC U U = UR + UL + UC Spannungsdreieck UL U2 = UR 2 + (UL − UC )2 UC ϕ U= U UR I UR 2 + (UL − UC )2 UR = U ⋅ cos ϕ Widerstandsdreieck Z = R + XL + X C XL XC Z Z2 = R 2 + (XL − X C )2 Z= ϕ R 2 + (XL − X C )2 R R = Z ⋅ cos ϕ Leistungsdreieck ϕ QC Formelsammlung_TGT.odt P XC= 1 2⋅ π ⋅ f ⋅ C X = Z ⋅ cos ϕ S = P + QL + QC QL S XL = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L S2 = P2 + (QL − QC )2 S= P2 + (QL − Q C )2 S = U⋅ I P = S ⋅ cos ϕ Q = S ⋅ sin ϕ 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 15 / 39 Parallelschaltung R und XL L I IR R IL U = UR = UL IL IR I U Z L Zeigerdiagramm der Ströme U ϕ IR IL Induktivität Spulenstrom (Blindstrom) Wirkstrom Gesamtstrom Gesamtspannung Scheinwiderstand I = IR + IL I R = I ⋅ cos ϕ I2 = I R 2 + I L 2 I L = I ⋅ sin ϕ IR 2 + IL 2 I= I I R= U R IL = U XL Leitwertsdreieck 1 IR = R U ϕ 1 1 1 = + Z R XL 1 I = L XL U 1 I = Z U 1 = Z 1 1 + 2 R XL 2 cos ϕ = Z R Normierung mit 1/U (ähnliches Dreieck) Leitwert = 1 1 1 = 2 + 2 Z R XL 2 1 I = Z U sin ϕ = Z XL 1 Widerstand Leistungsdreieck P=U ⋅ IR ϕ Q=U ⋅ IL S=U ⋅ I Formelsammlung_TGT.odt S = P + QL P = S ⋅ cos ϕ S2 = P2 + QL 2 QL = S ⋅ sin ϕ S= P 2 + QL 2 S = U⋅ I 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 16 / 39 Parallelschaltung R und XC I IR R IC U = UR = UC C C IC IR I U Zeigerdiagramm der Ströme I IC ϕ IR Kapazität Kondensatorstrom (Blindstrom) Wirkstrom Gesamtstrom Gesamtspannung I = IR + I C I R = I ⋅ cos ϕ I2 = I R 2 + I C 2 I C = I ⋅ sin ϕ I= IR 2 + IC 2 U 1 I = Z U 1 IR = R U ϕ S=U ⋅ I I 1 = C XC U QC =U ⋅ IC 1 1 1 = + Z R XC 1 = Z P=U ⋅ IR Formelsammlung_TGT.odt U R IC = 1 I = Z U P = S ⋅ cos ϕ S2 = P 2 + QL 2 QL = S ⋅ sin ϕ P2 + QL 2 1 1 = ⋅ sin ϕ XL Z U XC 1 1 1 = 2+ 2 Z R X C2 S = P + QL S= ϕ 1 1 + 2 R X C2 I R= S = U⋅ I 1 1 = ⋅ cos ϕ R Z 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 17 / 39 Parallelschaltung R, XL und XC (RLC - Parallelschwingkreis) UR I IL IC Abhängig von der Frequenz kann die Schaltung induktiv, kapazitiv oder als ohmscher Widerstand wirken. R IR UL L C UC IC U= I= IL I ϕ UR = UL = UC gemeinsame Spannung IR + IL + IC I2 = IR 2 + (IL − IC )2 IR U I= IR 2 + (IL − IC )2 IR = I ⋅ cos ϕ 1 1 1 1 = + + Z R XL X C 1 XC ϕ 1 Z 1 XL 1 1 1 1 = + − Z2 R 2 XL X C 1 R 1 = Z QC ϕ Formelsammlung_TGT.odt P 1 1 1 R + X − X C L 2 Formeln s. Reihenschaltung RLC. QL S 2 2 Induktive und kapazitive Blindleistung sind um 180° phasenverschoben sie kompensieren sich (wenn QC = QL vollständige Kompensation). Die Scheinleistung S ist eine reine Rechengröße die nicht direkt gemessen werden kann. 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 18 / 39 Äquivalente Schaltungen Reihen und Parallelschaltung sind nur dann elektrisch gleichwertig, wenn ihre Scheinwiderstände in Betrag und Phasenlage übereinstimmen! R par XL Zpar = Zrei par R rei XL rei und ϕ par = ϕ rei die Umrechnung ist immer nur für eine bestimmte Frequenz zulässig. Z par 2 = Z rei2 = Z 2 = R rei ⋅ R par Z 2 = X L rei ⋅ X L par Z 2 = X C rei ⋅ X C par R par XC par Schaltungsumwandlungen könne die Berechnung der Werte für Zges, Uges oder Iges erleichtern XC R rei rei zur Bestimmung Teilgrößen (In, Un ...) in bestimmten Leitungsabschnitten muss in die ursprüngliche Schaltung zurück gewandelt werden. Blindleistungs-Kompensation cos = Leistungsfaktor R Iges Ic P , wobei φ der Winkel zwischen Uges und Iges ist S L IRL UR C QL UL QC S ϕ Uges=Uc P S 2=P 2Q L −QC 2 wobei (P=P1+P2+...), (QC=QC1+QC2+...), (QL=QL1+QL2+...) Vollständige Kompensation QC = QL UL S=P cosφ=1 Z = R. Teilweise Kompensation Uges Iges Uges UL IC φ IRL Formelsammlung_TGT.odt UR Iges IC IRL UR 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 19 / 39 Siebschaltungen (passive Filter) Grenzfrequenz: Die Grenze zwischen Durchlass- und Sperrbereich ist durch die Grenzfrequenz festgelegt. Tiefpass Durchlassbereich bei f = fg gilt : Ua = Ue 2 Ue Ua = 0,707 ⋅ Ue UR = UC bzw. UL = UR R = XC bzw. XL = R Ue Sperrbereich Ua f P Pa = e 2 fg f Hochpass Amplitudengang Ue Die Ausgangsspannung Ua ist in Abhängigkeit von der Frequenz stets kleiner (oder gleich) der Eingangsspannung Ue. Ua Ue Das Verhältnis Ua/Ue wird als Amplitudengang bezeichnet. Ua = Amplitudengang = f(Frequenz) Ue Ua f f Bandpass Phasengang Ue Die Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgangsspannung ist ebenfalls frequenzabhängig und wird als Phasengang bezeichnet. Ua Ue Ua ,Ue = Phasengang = f(Frequenz) Ua f f Bandsperre Verstärkungsmaß Die Dämpfung (Verstärkung) der Eingangsspannung wird oft im Verstärkungsmaß a angegeben. U a= a Ue dB Ue Ue Ue U = 20 ⋅ log a Ue Ua f f [a] = dB (Dezibel) Tiefpass: Verstärkung in dB Ua/Ue in dB Beispiel: fg = 10kHz 0 -10 Beispiele: Ua 1 = Ue 2 -20 Verstärkung ⇒ Ua Ue = 20 ⋅ log ( 0,707 ) = − 3dB (Dezibel) -30 dB -40 Ua 1 = Ue 10 Verstärkung Formelsammlung_TGT.odt ⇒ Ua Ue = 20 ⋅ log ( 0,1) = − 20dB (Dezibel) dB -50 0,01 f in kHz 0,10 1,00 10,00 100,00 1000,00 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 20 / 39 RC- und LR-Tiefpässe Grenzfrequenz UR 1 2⋅ π ⋅ R ⋅ C fG = I R U1 U2 C (= UC ) fG = UL L I U2 U1 R (RC-Tiefpass) 1 (RL-Tiefpass) L 2⋅ π ⋅ R U2 U1 1 1 = 70, 7% 2 Sperrbereich Durchlassbereich (= UR ) fg f CR- und RL-Hochpässe UC I fG = C U1 U2 R (= UR ) fG = UR I 1 R U1 L U2 1 2⋅ π ⋅ R ⋅ C (RC-Hochpass) 1 2⋅ π ⋅ U2 U1 (RL-Hochpass) L R 1 2 = 70, 7% Sperrbereich Durchlassbereich (= UL ) fg Formelsammlung_TGT.odt f 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 21 / 39 Dreiphasiger Wechselstrom 120 ° U2 R1 Generator U2 U1 f ,t R2 0° U 1 R3 U3 unverkettetes Dreiphasensystem U3 240° Das unverkettete Dreiphasensystem benötigt für die Energieübertragung bis zum Verbraucher 6 Leitungen Sternschaltung: Dreieckschaltung: Verschalten (verketten) von Generator oder Verbraucher im Stern Verschalten (verketten) von Generator oder Verbraucher im Dreieck L2 U 12 R2 U 1N L1 I2 I2 N U2 N I2 I1 N L1 IN I1N R 1 R3 1 I3 L3 4 L3 230 V / 400 V Transformator 3 I3 Niederspannungsübertragung 110 / 220 / 380 KV Transformator R2 I31 In Dreieckschaltung werden vom Generator bis zum Verbraucher 3 Leitungen benötigt Hochspannungsübertragung 10 / 20 KV U 23 U3 I 3N U 3N Mittelspannung I23 R1 I12 R3 In Sternschaltung werden vom Generator bis zum Verbraucher 4 Leitungen benötigt Generator I1 L2 Verbraucher 4 Transformator Generator 3 Formelsammlung_TGT.odt 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 22 / 39 Symmetrisches Dreiphasensystem U 12 U 12 I2 R1 U 31 U 1N R3 U 1N L1 U3 I23 U 23 L3 U 2N I3 1 I31 R2 L3 I1N I2N I3N U 3N R 1 R2 R3 Schaltungstechnische Verkettung der Spannungen IN N U U1N = U2N = U3N = 3 = 230V U12 = U23 = U31 = U = 400V Ströme in der Sternschaltung Ströme in der Dreieckschaltung I2 I 1N =I 1 I 2N =I 2 IN N I 3N =I 3 I N =I 1 +I 2 +I 3 L3 I1N I3N L1 I2N I2 L2 I1 N U 3N L2 U2 I12 U 23 I1 L1 L2 Dreieckschaltung N Sternschaltung L2 I1 L1 I31 I23 L3 I3 I3 Bei symmetrischer Belastung gilt (analog zu den Spannungen) für die Ströme: I1N , I2N , I3N Strangströme I1 , I2 , I3 (Außen − )Leiterströme û1 60° û2 90° 30° 1 û12 2 Formelsammlung_TGT.odt I 1=I 12 - I 31 I 2=I 23 - I 12 I 3=I 31- I 23 I12 I1 = I2 = I3 = I12 , I23 , I31 3 ⋅ IStr Strangströme Verkettungsfaktor 1 û12 1 cos30° = 3= 2 ⇒ ˆ2 2 u U = U 3 230V = 3 = û12 U12 = ˆ2 u U2 400V 3 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 23 / 39 Verkettetes Dreiphasensystem Beispiel: L1 L2 L3 Sternschaltung U1N ϕ1 U3 Z3 / ϕ 3 IN I3 ϕ 3 U2 Z2 / ϕ 2 N U3N U1 Z1 / ϕ 1 I3 I2 ϕ2 I1 IN I1 I2 U2N - Durch Verkettung der drei Systeme werden 2 (Rück-)Leitungen eingespart. Sternpunkt von Generator (Quelle) und Verbraucher werden durch den Neutralleiter verbunden Zwischen den Außenleitern (L1,L2,L3) entstehen eine verkettete Spannungen (U12, U23 und U31) Die verketteten Spannungen sind untereinander ebenfalls 120° phasenverschoben. u12 (t) = ˆ1 ⋅ sin(2 ⋅ π ⋅ f − 3 ⋅u π ) 6 U12 = 3 ⋅ U1 Beispiel: I1 Dreieckschaltung L1 I1 L2 I2 L3 I3 Z12 / ϕ 12 U12 I12 U23 U23 Z 23 / ϕ 23 ϕ 31 I31 I31 U31 I23 I31 Z 31 / ϕ 31 U31 I23 − I12 ϕ 12 ϕ 23 I12 U12 Formelsammlung_TGT.odt 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 24 / 39 Digitaltechnik (Begriffe) Schaltalgebra (auch boolesche Algebra) Liefert die mathematischen Grundlagen der Digitaltechnik. Sie beschreibt das Verhalten von Funktionen mit binären Variablen Schaltfunktionen (logische Funktionen) Diese Gleichungen dienen der mathematischen Beschreibung digitaler Schaltungen KV-Tafeln (Karnaugh und Veitch) Grafisches Hilfsmittel, das zur Minimierung von Schaltfunktionen benutzt wird und nach den Erfindern benannt wurde Gatter (Verknüpfungsbausteine) Schaltnetze (kombinatorische Schaltung) Schaltwerke Digitaler Schaltkreis, in dem eine logische Verknüpfung zwischen Ein- und Ausgangssignal stattfindet. Schaltungen, die kein Speicherverhalten aufweisen (abgesehen von Laufzeiteffekten zeigen diese Schaltungen kein Zeitverhalten). Schaltungen mit Speichern (Flipflops) (Zeitverhalten) Zahlensysteme Die Anzahl der Zeichen (Zeichenvorrat) und das Bildungsgesetz (Codierung) bestimmen ein Zahlensystem. Das „übliche“ dezimale Zahlensystem basiert auf 10 unterschiedlichen Zeichen (Ziffern 0...9) – man spricht von der Basis 10 – und hat folgendes Bildungsgesetz: Dualzahlen haben „nur“ 2 unterschiedliche Zeichen (0, 1) die Basis ist 2: N= n ∑ i= 0 N= n ∑ i= 0 Das Hexadezimalsystem (Sedezimalsystem) unterscheidet 16 verschiedne Zeichen (0, 1, 2, ...9, A, B, C, D, E, F) die Basis ist 16: N= n ∑ i= 0 ai ⋅ 10i a i ⋅ 2i ai ⋅ 16i Zur eindeutigen Identifizierung ist es (bei der Verwendung unterschiedlicher Zahlensysteme) notwendig, dass diese gekennzeichnet werden! 1010b (Dualzahl – binär) 1010d (Dezimalzahl – dezimal) 1010h (Hexadezimalzahl – hex..) Formelsammlung_TGT.odt auch: 1010bin 1010dez 1010hex 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 25 / 39 Schaltalgebra (Verknüpfungsregeln) NOT (Negation) A 1 Y auch zulässig: Y Y Y Y Y = = = = = !A Y Y Y Y = = = = A&B A AND B A●B A∧ B B X 0 1 A 0 X 1 Y 0 0 1 Y Y Y Y = = = = !(A & B) NOT(A AND B) /(A ● B) A∧ B B 0 X 1 A X 0 1 Y 1 1 0 Y Y Y Y = = = = A+B A OR B A + B (nicht in ABEL) A∨ B B 0 X 1 A 0 1 X Y 0 1 1 Y Y Y Y = = = = !(A + B) NOT (A AND B) /(A + B) A∨ B B 0 X 1 A 0 1 X Y 1 0 0 Y Y Y Y = = = = A$B A XOR B A/B + /AB A⊕ B B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 0 1 1 0 Y Y Y Y = = = = A !$ B A XNOR B AB + /A/B A⊕ B B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 1 0 0 1 NOT A /A A ¬A A 0 1 Y 1 0 Negation / Complement AND (Konjunktion) A & B Y NAND A & B Y Eine UND Verknüpfung ist dann (und nur dann) high, wenn alle Eingänge high sind. OR (Disjunktion) A 1 Y B NOR A 1 Y B XOR (Antivalenz) A B =1 Y XNOR (Äquivalenz) A = B Y UND / ODER / NAND / NOR XOR und NXOR Formelsammlung_TGT.odt Eine ODER Verknüpfung ist dann (und nur dann) low, wenn alle Eingänge low sind Verknüpfungen können beliebig viele Eingänge haben. ... nur 2 Eingänge. 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 26 / 39 Regeln für zwei und mehr Variablen (AND / OR A + / NOT A !) ● A B C =A C B A+B+C = A + C + B = C + A + B = ... ● Vertauschbarkeit (Kommutatives Gesetz) A ● ● ● = C A B = ... ● ● die Reihenfolge ist beliebig! A (B C) = (A C) B = C A B = ... A + (B + C) = (A + C) + B = C + A + B = ... ● Vereinigung (Assoziatives Gesetz / Verbindung) ● ● ● ● ● Größen, die durch gleiche Operation verknüpft sind können durch Klammern beliebig zusammengefasst werden Eine gemeinsame Variable kann ausgeklammert werden (sowohl bei AND als auch bei OR) Verteilung, Auflösung (Distributives Gesetz) (A B) + (A C) ● = ● A (B + C) ● AND vor OR Wenn keine Klammern gesetzt sind, gilt: (A B) + (A C) ● A+ A B A (A + B) A (!A + B) A + !A B (A B) + (A !B) (A + B) (A + !B) ● ● ● Absorptionsgesetze = ● ● ● ● ● = = = = = = AB + AC ● ● A A A B A+B A A ● Sind keine Klammern gesetzt gilt folgende Reihenfolge: Priorität (Reihenfolge der Verknüpfungen)) 1. Negation (NOT) 2. Konjunktion (AND) 3. Disjunktion (OR) Negationsregel (de Morgan) Eine NAND-Verknüpfung kann durch eine OR-Verknüpfung ersetzt werden, wenn alle Eingänge negiert werden. !(A B C) = !(A + B + C) = ● ● !A + !B + !C !A !B !C ● ● Dasselbe gilt entsprechend für NOR Formelsammlung_TGT.odt 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 27 / 39 Schaltnetze Definition Schaltnetz: Der Ausgang ist eine direkte und unverzögerte Funktion der Eingänge: X= f(Ei) ⇒ Das Eingangsmuster Ei legt direkt den Ausgang fest. Schaltnetz (SN) Ei (i=1..n) X Ausgangsvariable von Schaltnetzen werden häufig „kombinatorische Ausgänge“ genannt. Schaltnetze werden mit Funktionstabellen beschriebenen E0 Eine Funktionstabelle berücksichtigt alle möglichen Kombinationen der Eingangsvariablen (E0...E3) und enthält in den entsprechenden Spalten für die Ausgänge die zugehörigen Werte der Ausgangsvariablen (A0...A7). X/Y E1 E2 E3 A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 n Eingangsgrößen ergeben 2n mögliche Eingangskombinationen Spezielle Schaltnetze (Addierer, Multiplexer, Komparator) Addierer: Werden zwei Dualzahlen addiert, dann wir die unterste Stelle über einen Halbaddierer, alle folgenden Stellen müssen einen Übertrag berücksichtigen und brauchen einen Volladdierer. Halbaddierer A S B CO =ˆ CO B CO S 0 0 0 0 0 1 0 1 Output: 1 0 0 1 CO 1 1 1 0 CI A B CO S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 S1, S0:Summanden S Carry OUT Volladdierer S A B CI CI Input: A CO =ˆ Carry IN Formelsammlung_TGT.odt Übertrag für nächste Stelle (höhere Wertigkeit) Summe (gleiche Wertigkeit) Input: S1, S0 Summanden CI carry = Übertrag Output: CO Übertrag für nächste Stelle höhere Wertigkeit S Summe gleiche Wertigkeit 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 28 / 39 Multiplexer A G0 1 A E0 & X MUX2 >1 E1 E0 E1 MUX2-1 (Blockschaltbild) E A=0 E0 X E1 & A=1 Schalteräquivalent aufgelöste Darstellung A Demultiplexer A X A=0 G0 1 Demux (DX) X0 & X0 E E A=1 X1 & DX1-2 (Blockschaltbild) X0 X1 X1 Schalterstellung mit A aufgelöste Darstellung A1 MUX 4-1 A0 E0 & A0 A1 0 G0 } 3 1 E1 & MUX4 X >1 E2 E0 E1 E2 E3 & X E0 E1 E2 E3 00 001 X 01 10 11 Schalterstellung mit A1A0 E3 & MUX4-1 (Blockschaltbild) Schalteräquivalent aufgelöste Darstellung A1 DX 1-4 A0 A1 0 G0 } 3 1 A0 & X0 X0 00 X1 E MUX4 & X1 X2 E X3 DX1-4 (Blockschaltbild) Formelsammlung_TGT.odt 01 X0 X1 10 X2 X3 E 11 & X2 & X3 Schalterstellung mit A1A0 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 29 / 39 MUX 8-1 C X 0 0 0 0 1 1 1 1 MUX EN EN A B C 0 G 2 D0 D1 D2 D3 0 1 2 3 D4 D5 4 5 D6 D7 6 7 0 7 Y B X 0 0 1 1 0 0 1 1 A X 0 1 0 1 0 1 0 1 /EN 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Y 0 D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 MUX EN EN 0 A...C 3 D0...D7 verkürzte Schreibweise 8 G 2 0 7 Y 0...7 Adress- und Datenleitungen können auch zusammengefasst werden Demultiplexer DX 1-4 (mit Enable) A X 0 0 1 1 DX A 0 B 1 0 G 3 EN EN 0 Y0 1 Y1 2 Y2 3 Y3 B X 0 1 0 1 /EN 1 0 0 0 0 Y0 0 S 0 0 0 Y1 0 0 S 0 0 Y2 0 0 0 S 0 Y3 0 0 0 0 S S S Mehrfachmultiplexer SEL SEL MUX 4 x 2-1 A0 A1 A2 A3 A0 in diesem Fall sind 4 MUX2-1 in einem Gehäuse untergebracht. Die Steuerleitungen sind zusammen geschaltet. B0 B1 B2 B3 Q0 Q1 Q2 Q3 Komparator n A X0 B1 A2 X1 B2 A3 X2 B3 X3 Beispiel: n=2, A und B werden als Dualzahlen interpretiert A2: Wertigkeit 2 A1: Wertigkeit 1 COMP A<B A=B n B0 A1 B Formelsammlung_TGT.odt A>B dezimal A B 0 0 0 1 0 2 0 3 1 0 1 1 1 2 1 3 2 0 dual A2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 A1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 dual B2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 usw. B1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 A<B 0 1 1 1 0 0 1 1 0 A=B 1 0 0 0 0 1 0 0 0 A>B 0 0 0 0 1 0 0 0 1 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 30 / 39 Codes Dual- Code (8-4-2-1-Code) Gray- Code Dezimal 23=8 22=4 21=2 20=1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 BCD- Codes / 4-Bit Codes Dez. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BCD 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 Ziffern > 9 sind nicht definiert HEX 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G0 B G1 C G2 D G3 Formelsammlung_TGT.odt Ziffer 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 keine E 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 Gewichtung D C B 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 A 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Dez. BCD ... 10 0001 0000 11 0001 0001 12 0001 0010 Dez. BCD ... 123 0001 0010 0011 456 0100 0101 0110 Umcodierer mit 7-Segmentanzeige BCD / dez. A keine Gewichtung D C B A 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 (Binär Codierte Dezimalzahl) Spezielle Umcodierer BCD / Gray Johnson- Code A B C D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BCD / 7-Seg. A B C D a b c d e f g DPY a f g b c e d dp 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 31 / 39 spezielle Bauteile (Takt, Monoflop, Treiber, Pull-Up, Pull-Down) Takt(generator) Periodendauer T 10 Hz Frequenz f Monoflop E 1 Anzahl der Impulse 1Sekunde E A τ f= A nachtriggerbar A nicht nachtriggerbar τ Verzögerungselement Bustreiber EN EN Negation am Eingang X0 Y0 X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 Ein- oder Ausgang mit Hysterese Treiberausgang Tri-State-Ausgang Tristate EN 0 0 1 1 Y A EN Z A 0 1 0 1 Y Z Z 0 1 =ˆ hochohmig Pull Up / Down V CC V CC R A offen: zu: Y GND Formelsammlung_TGT.odt offen: A = 0: zu: A = 1: A PullUp Widerstand Y=1 Y=0 A = 0: Y = 0 A = 1: Y = 1 Y R PullDown Widerstand GND 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 32 / 39 Speicher (Flipflops) RS-FlipFlop (statisch) Reset R Set Q S Zustandsfolgetabelle S 0 0 0 0 1 1 1 R 0 0 1 1 0 0 1 Qn 0 1 0 1 0 1 ? Qn+1 0 1 0 0 1 1 ? E 0 0 1 1 1 1 D X X 0 0 1 1 Qn 0 1 0 1 0 1 Qn+1 0 1 0 0 1 1 speichern Reset (R) Set (S) Qn+1 = (Qn & !R + !R & S) Qn+1 = S + !R& Qn (Minimalform) nicht sinnvoll Daten-Latch (statisch) Data Enable D Q E keine Änderung 0 speichern 1 speichern Impulsdiagramme (Zeitablaufdiagramme) Tabellen stellen den Zusammenhang digitaler Variablen statisch dar, also ohne Rücksicht auf eine konkret zeitlich ablaufende Situation. Zeitliche Abläufe werden mit Impulsdiagrammen dargestellt und veranschaulicht. Im Beispiel unten wird das Verhalten eines RS-FF dargestellt,welches mit Q=1 anfänglich gesetzt ist und dann mehreren Setz- und Rücksetz-Vorgängen unterworfen wird. R S Q t D-Flip-Flop (dynamisch) D0 Takt Q0 1D C1 T-Flip-Flop (dynamisch) Q Takt T c Formelsammlung_TGT.odt Impulsdiagramm n+1 C 1 0 pos pos neg D X X 0 1 X Q Qn Qn 0 1 Qn C 1 0 pos pos neg T X X 0 1 X Qn+1 Qn Qn 1 0 Qn pos neg =ˆ positive Taktflanke =ˆ negative Taktflanke Takt D0 Q0 Ein Toggle FF entsteht aus dem D-FF durch Rückkopplung der negierten Ausgangs auf den Dateneingang D. 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 33 / 39 Schaltwerke Definition Schaltwerk: Der Ausgang ist eine Funktion der Eingänge und von im Schaltwerk gespeicherten Speichervariabeln X = f(Ei , Qj) . Schaltwerk (SW) Ei Takt X = f(Ei , Qj) Q 4 Q3 Q 2 Q 1 j=1..s Der Takt definiert die Zeitpunkte, zu denen sich die Speichervariablen (Zustände) ändern können. S=1 Zustandsdiagramm RESET Z0 Zustandsdiagramme beschreiben das Verhalten von Schaltwerken Z3 wenn es sich offensichtlich um ein getaktetes Schaltwerk handelt, kann die Angabe des Taktes als Übergangskriterium entfallen. ● Zusätzliche Übergangsbedingungen müssen angegeben werden Z2 die Angabe von Ausgabewerten (Y0, Y1...) in einem Zustand werden durch einen (Unter-)Strich vom Zustandsnamen getrennt Z0 Y0,Y1,Y2 U=1 Z2 Z1 Y0,Y1,Y2 Y0,Y1,Y2 Formelsammlung_TGT.odt ● S=0 ELSE RESET Z1 (die „else“ - Angabe Codierte Zustandsübergangstabelle (Codierte Zustandsfolgetabelle) n U 0 1 x x Q1 0 0 0 1 n+1 Q0 0 0 1 0 Q1 0 0 1 0 Q0 0 1 0 0 ... kann entfallen). 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 34 / 39 Spezielle Schaltwerke (Zähler, Speicher, Schieberegister) Zähler (Blockschaltbild) Zustandsdiagramm (für den 2-Bit Zähler) RESET CTR DIV4 Takt Z0 Q0 Takt Z1 Takt Z2 Z3 Q1 CLR CT=0 Takt + CLK Zustandscodierung Zustand Dynamischer Eingang aktiv bei positiver Flanke … aktiv bei negativer Flanke Vorwärtszähler + Zähler mit m Bits / Zykluslänge = 2 m CTR m CTR DIV Codierung (Kennzeichnungder Zustände) Z0 Q1 0 Q0 0 Z1 0 1 Z2 1 0 Z3 1 1 Zähler mit Zykluslänge m m Zähler (4-Bit) CTR DIV16 CLR CT=0 LOAD EN + CLK A B C D 20 21 QA 22 23 QC • CTR =ˆ Zähler • DIV 16 =ˆ 16 verschiedene binäre Zustände • Vorwärtszähler (+) • EN = 1 und die positive Taktflanke führen zum nächsten Zählzustand • Mit /LOAD kann ein Anfangszustand geladen werden • 4-Bit Speicherregister (4 flankengesteuerte D-Flipflops) • Paralleles Einlesen mit der positiven Taktflanke (Wenn der Baustein ausgewählt ist (EN = 0), werden mit der ansteigenden Flanke des Takt-Signals die an den Eingängen D 0 … D3 anstehenden Daten übernommen). • Mit einem 0-Signal am R (/CLR)-Eingang kann das Register gelöscht werden. • EN (/CS) ermöglicht es, die Ausgänge in Tri-State zu schalten (EN=1) oder den Speicherinhalt auszulesen (EN=0) QB QD Speicherregister CLR R CS EN CLK D0 C1 1D Q0 D1 Q1 D2 Q2 D3 Q3 Formelsammlung_TGT.odt 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 35 / 39 Schieberegister SRG 4 S0 S1 0 M 1 • • 0 4-Bit Schieberegister Links- Rechtsbetrieb: 3 CLK CLR SR SER A Mode 0 1 2 S1 0 0 1 S0 0 1 0 3 1 1 QA QB B C D SL SER • • • QC QD Funktion rechts links parallele Eingabe mit serieller Eingabe paralleler Ausgabe Vorwärtsschieben mit der positiven Taktflanke und der Möglichkeit, das gesamte Register zu löschen Speicher (ROM / RAM) RAM ROM ROM 1K x 4 RAM 64x4 /WR A0 WR /RD OE /CS EN 6 A9 EN A 9 0 1023 EN OE A0 ...A5 D0...D3 0 Q1 Q2 4 Q3 Q4 • Read Only Memory • mit den Adressen 0 … 1023 • einer Wortbreite von 4 Bit • und einem Freigabeeingang Schreib- Lesespeicher mit 64 x 4 Bit Programmierbare Logik PLDs (Progammable Logic Device) bestehen aus einer programmierbaren UND / ODER – Matrix, mit deren Hilfe man eine DNF bilden kann. Dieser Matrix sind D-FFs nachgeschaltet, deren Ausgänge wieder in die Matrix zurückgeführt werden. Durch diese Rückkopplung können Zustandsmaschinen (Zähler, Register...) realisiert werden. D D CPLDs (Complex PLD) bestehen aus vielen PLD-Blöcken, die Formelsammlung_TGT.odt 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 36 / 39 über eine Busstruktur miteinander verbunden sind. (Bsp. >6000 Gates / ca. 300 Regs) Sie eignen sich besonders zur Implementierung von schneller kombinatorischer Logik (Schaltnetzen) und sequentieller Logik (Schaltwerken). FPGAs (Flied Programmable Gate Array) bestehen aus vielen kleinen Logikzellen (Funktionseinheiten), die über ein Netzwerk von Verbindungsleitungen miteinander verbunden sind. (Bsp. >50 000 Logicblocks mit je 4 Ffs) Geeignet für Anwendungen mit weniger Logik – dafür aber mehr Speicherbedarf – arithmetische Funktionen mit breiten Datenpfaden. KV-Tafeln sind Funktionstabellen, die matrixförmig so aufgebaut sind, dass zwei horizontale bzw. vertikal benachbarte Felder sich nur im Wert einer Variablen unterscheiden. Nr. 0 1 2 3 B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y X0 X1 X2 X3 Y A B KV-Diagramme X3 X2 X1 X0 Beispiel (XOR) Für jede Ausgangsvariable ist ein getrenntes Diagramm erforderlich wobei die Kennzeichnung des entsprechenden Ausgangs in der linken oberen Ecke erfolgt. Formelsammlung_TGT.odt Nr. 0 1 2 3 B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 0 1 1 0 Y A B Die Kennzeichnung der einzelnen Plätze erfolgt durch Angabe der Variablen außerhalb der Tafel. Der Inhalt des Platzes (0, 1 oder X) stellt den Funktionswert der Ausgangsgröße der betreffenden Kombination dar. 0 1 3 1 1 0 2 0 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... C 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 A 0 1 0 1 0 1 0 1 Y (Bsp.) 0 1 1 0 0 1 0 0 A Y 0 B Platz-Nr. 0 1 2 3 4 5 6 7 37 / 39 1 3 1 0 1 0 7 0 5 1 6 0 4 Die Vereinfachung geht von benachbarten Plätzen aus. 2 Benachbart sind alle Felder, die sich nur im Wert einer Variablen unterscheiden. 0 C Y = (A !B) + (!A B !C) ● ● Es können 2er- 4er- 8er- und 16er Felder zusammengefasst werden. ● Nicht immer sind alle möglichen Kombinationen einer Funktionstabelle eindeutig festgelegt. Bei einem 2er Block entfällt eine Variable. Bei einem 4er Block entfallen zwei Variable. Bei einem 8er Block entfallen drei Variable. A 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 X X X X X X Q0 A 1 X 1 0 0 3 X 11 X 9 1 1 7 15 13 5 1 X X 0 0 6 X 14 0 12 1 4 2 10 Q3 Q3 Q2 Q1 Q0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 Q1 Nr. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Im KV-Diagramm wurden die fehlenden Kombinationen durch „Xen“ (Don’t care Positions) ersetzt. 8 0 Q2 A = (Q0 Q1 !Q2) + (Q0 Q3) + (Q0 !Q1 Q2) + (!Q0 Q1 Q2) + (!Q0 !Q1 !Q2 !Q3) ● ● Formelsammlung_TGT.odt ● ● ● ● ● ● ● ● 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 38 / 39 Schaltzustände eines NPN-Transistors I Schaltzustände eines idealen Schalters R I UR UR R AUS Schalter geöffnet (kein Strom) U0 EIN Schalter geschlossen (der Strom wird durch den Widerstand begrenzt) S U0 USchalter offener Schalter: I = 0A ⇒ UR = 0V ⇒ USchalter S geschlossener Schalter: U U I= R = 0 R R ⇒ USchalter = 0V USchalter = U0 AUS bei der Transistorschaltung: wenn UE = 0V UBE = 0V und IB = 0A IC IC ≈ 0A R UR UCE = U0 RB UE URB IB B IE U0 C E UCE EIN bei der Transistorschaltung: wenn UE ≥ 0,7V UBE ≈ 0,7V Transistor durchgeschaltet: IC = Minimal notwendiger Basisstrom: Übersteuerung: IBü = ü ⋅ IB URB = UE − U BE RB = URB IBü Maximal zulässige Verlustleistung Ptot ≈ UCE • IC Formelsammlung_TGT.odt Transistor leitet U0 − U CEsat Ic wird durch R bestimmt R IB = IC B ü: Übersteuerungsfaktor (ü ≈ 2...6) Wenn der Kollektorstrom IC nicht mehr durch den Basisstrom IB sondern nur noch durch den Widerstand R und die Spannung U0 bestimmt wird, spricht man von „Übersteuerung“. Den entsprechenden Wert nennt man Übersteuerungsfaktor ü 29. Okt 10 Br / Bu / Is / Vo / ... 39 / 39 Zehnerpotenzen Symbol Name Wert P Peta 1015 1.000.000.000.000.000 Billiarde T Tera 1012 1.000.000.000.000 Billion 9 G Giga 10 1.000.000.000 Milliarde M Mega 106 1.000.000 Million 3 k Kilo 10 1.000 Tausend h Hekto 102 100 Hundert da Deka 101 10 Zehn 100 1 Eins d Dezi 10−1 0,1 Zehntel c Zenti 10−2 0,01 Hundertstel m Milli 10−3 0,001 Tausendstel μ Mikro 10−6 0,000.001 Millionstel n Nano 10−9 0,000.000.001 Milliardstel p Piko 10−12 0,000.000.000.001 Billionstel f Femto 10−15 0,000.000.000.000.001 Billiardstel E-Reihen von Widerständen E3 E6 E12 E24 1,0 1,0 1,0 1,0 1,1 1,2 1,2 1,3 1,5 1,5 1,5 1,6 1,8 1,8 2,0 2,2 2,2 2,2 2,2 2,4 2,7 2,7 3,0 3,3 3,3 3,3 3,6 3,9 3,9 4,3 4,7 4,7 4,7 4,7 5,1 5,6 5,6 6,2 6,8 6,8 6,8 7,5 8,2 8,2 9,1 Formelsammlung_TGT.odt 29. Okt 10
