¨Ubungsaufgaben Mathematik 1 für BA Physik/Meteorologie

Übungsaufgaben Mathematik 1 für BA Physik/Meteorologie
Aufgabenserie XIV
Alle Aufgaben dieser Serie sind fakultativ, gehören aber zum Prüfungsstoff. Abgabemöglichkeiten bestehen am
6.2.14 vor Beginn der Vorlesung.
1. Betrachtet werde der R-Vektorraum V = M1,4 (R) der reellen Zeilenvektoren. Man schreibe den Vektor
v = (1, 2, 5, 6) als Linearkombination der Vektoren v1 = (1, 1, 1, 0), v2 = (1, 2, 3, 0), v3 = (2, 1, 1, 0),
v4 = (0, 0, 0, 3) und v5 = (0, 1, 1, 0).
Hinweis: Man kann hier eine Lösung eines passend aufgestellten Gleichungssystems verwenden, aber auch
raten.
2. Der Raum der Zeilenvektoren V = M1,2 (C) ist zunächst ein Vektorraum über C. Multipliziert man nur
mit reellen Skalaren, so wird aus derselben Menge M1,2 (C) ein R-Vektorraum W . Man untersuche die
Vektoren v1 = (1 + 2i, 1 − 2i) und v2 = (5, −3 − 4i) in V und in W jeweils auf lineare Unabhängigkeit.
3. (Drei Aufgaben) Untersuchen Sie jeweils die Matrizen (bzw. Zeilenvektoren) A, B, C auf lineare Unabhängigkeit:
a) A = (1, i, 1 − i), B = (i + 1, i − 1, 2), C = (0, 1, 0)
(über C).
1 0 1
1 3 −2
0 1 −1
b) A =
, B=
, C=
.
3 3 −2
0 3 −2
−1 0 0
c) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 0).
Geben Sie (falls möglich) auch jeweils eine nichtriviale Linearkombination von A, B, C an, die gleich der
Nullmatrix (bzw. dem Nullvektor) ist.
4. (Insgesamt vier Punkte) Man entscheide jeweils, ob die angegebenen Vektoren eine Basis im Raum V =
M1,3 (R) der Zeilenvektoren bilden (natürlich wie immer mit Begründung):
(i) (22, 33, 44), (55, 56, 57).
(ii) (1, −1, 0), (1, 0, −1), (1, 1, 1).
(iii) (1, −1, 0), (1, 0, −1), (0, 1, −1).
(iv) (1, −1, −1), (−1, 1, −1), (2, 3, 4), (−3, −5, 7).
5. (Vier Punkte, zwei Punkte für die Behandlung nur des Spezialfalls m = 3, n = 4, j = 3 und k = 2) Das
Kroneckersymbol δj,k ist definiert als
1 falls j = k
δj,k =
0 sonst.
Somit lassen sich die Matrixelemente der Einsmatrix als δj,k angeben. Mit anderen Bezeichnungen für die
m
Indizes hat man genauer Im = (δp,q )p,q=1 . Wir betrachten für fest gewählte j, k ∈ {1, . . . , m} auch die
m
Matrix Ej,k = (δj,p · δk,q )p,q=1 , bei der in der im Schnittpunkt der j-ten Zeile mit der k-ten Spalte eine
Eins und ansonsten Nullen stehen. Im Weiteren seien j 6= k vorausgesetzt.
a) Man zeige, dass für A ∈ Mm,n (K) und für λ ∈ K die Matrix (Im + λEj,k ) · A aus A durch Addition
des λ-fachen der k-ten Zeile zur j-ten Zeile entsteht.
b) Man zeige, dass für Zahlen λ, µ stets (Im + λEj,k ) · (Im + µEj,k ) = (Im + (λ + µ)Ej,k ) gilt.
Bemerkung: Man kann zeigen, dass die invertierbaren Matrizen aus Mm,m (K) eine Gruppe mit der Matrizenmultiplikation als Gruppenoperation bilden. Diese Gruppe wird mit GL(m, K) bezeichnet. Untergruppen nennt man auch Matrizengruppen. Eine Abbildung ϕ : G1 → G2 zwischen Gruppen G1 , G2 heißt
Gruppenhomomorphismus, wenn für g, h ∈ G1 stets ϕ(g ◦ h) = (ϕ(g)) ◦ ϕ(h) gilt. Somit ist nach dem
Ergebnis der letzen Aufgabe etwa die Abbildung R ∋ λ → Im + λEj,k ein Homomorphismus der additiven
Gruppe der reellen Zahlen in die Gruppe GL(m, R).


1 −1 2
 2 −2 4 
 auf der Grundlage der Definition des Ranges.
6. Bestimmen Sie den Rang der Matrix 
 −2
2 4 
0
0 0
Hinweis: Um auf der Grundlage der Definition zu zeigen, dass der Rang der Matrix gleich r ist, muss im
Falle r > 0 einerseits ein von Null verschiedener Minor der Ordnung r gefunden werden. Andererseits muss
nachgewiesen werden, dass alle Minore größerer Ordnung gleich Null sind.
7. Sei l eine natürliche Zahl. Angenommen in einer Matrix A seien alle Minore der Ordnung l gleich Null.
Zeigen Sie, dass dann auch alle Minore der Ordnung l + 1 gleich Null sind.