Theoretische Physik C: Quantenmechanik SS 2015

Department Physik
Universität Paderborn
Paderborn, den 08.05.2015
Übungen zur Vorlesung
Theoretische Physik C: Quantenmechanik SS 2015
B LATT V
Abzugeben bis Donnerstag, den 14.05.2015, 12:00 im Übungskasten auf N3
1. Alpha-Zerfall
Im Jahr 1928 hatte der Physiker George Gamow den Alphazerfall mit Hilfe des quantenmechanischen
Tunneleffektes physikalisch erklären können: Bei seinem Modell befindet sich das Alphateilchen, welches bei dem Zerfall freigesetzt wird, zunächst in einem Potentialtopf mit Radius r1 (s. Abb. 1). Dieser
beschreibt die Bindung an den Kern durch die starke Wechselwirkung. Im Bereich r > r1 spürt das
Teilchen nur noch die abstoßende Wirkung der Coulombkraft vom Kern. Das Teilchen mit Energie E hat
den Kern verlassen, wenn es die Coulombbarriere zwischen r1 und r2 durchtunnelt hat.
Abbildung 1: Potentielle Energie des α-Teilchens.
Dieses einfache Modell führt auf die Geiger-Nuttall Beziehung für die mittlere Lebensdauer τ des radioaktiven Kerns:
p
Z
τ ∼ e2γ , γ = K1 √ − K2 Zr1
E
(1)
Dabei sind K1 und K2 kernunabhängige Konstanten und Z ist die Kernladungszahl des verbleibenden
Kerns.
(a) In der Vorlesung wurde folgende Formel für die Tunnelwahrscheinlichkeit durch einen Potentialberg der Höhe V0 angegeben:
√
4
(2)
|t|2 ≈ e− ~ 2m(V0 −E)x0
Abbildung 2: N - maliges Tunneln.
Bestimmen Sie die Tunnelwahrschienlichkeit für ein allgemeines Potential. Betrachten Sie den Vorgang als N - maliges Tunneln durch Potentialberge (s. Abb. 2) und führen sie anschließend den
Grenzübergang zu unendlich schmalen Potentialbergen aus.
(b) Das Ergebnis aus Aufgabe 1a) für die Tunnelwahrscheinlichkeit |t|2 durch einen Potentialberg V (x)
lautet:
R√
2m[V (x)−E]/~2 dx
|t|2 = e−2
≡ e−2γ
Berechnen Sie das Integral für die Coulombbarriere ( Abb. 1 ) analytisch und zeigen Sie, dass für
die Konstanten in Gl. 1 gilt:
2 √
e
π 2m
K1 =
= 1.980 MeV1/2
4π0
~
2 1/2 √
e
4 m
K2 =
= 1.485 fm−1/2
4π0
~
Hinweise:
• Der Radius r2 wird durch die Energie des Teilchens festgelegt: E = V (r2 ) (s. Abb. 1)
R p r2
• Bei Aufgabe 1b) kann das Integral der Form
r − 1 dr durch die Substitution
r = r2 sin2 u gelöst werden.
• arcsin(1) = π2
√
• cos(arcsin(x)) = 1 − x2
• Verwenden Sie an geeigneter Stelle die Näherung r1 r2 .
2. Harmonischer Oszillator
(a) Berechnen Sie die normierten Eigenzustände |αi des Vernichtungsoperators des harmonischen Oszillators â mit dem komplexen Eigenwert α in der Energiedarstellung, hn|αi, und transformieren
Sie diese in die Ortsdarstellung, hx|αi.
(b) Zeigen Sie, dass die Eigenfunktionen |αi nicht orthogonal sind. In welchem Grenzfall werden zwei
Zustände näherungsweise orthogonal?
(c) Berechnen Sie für den Hamilton-Operator H des linearen harmonischen Oszillators den Erwartungswert hHi, die Streuung ∆H und die relative Streuung ∆H/hHi in den Zuständen |αi. Diskutieren Sie die relative Streuung in Abhängigkeit von hHi.