Diss, ETH - ETH E

Research Collection
Doctoral Thesis
Typical and deviant behaviour of Brownian motion among
Poissonian obstacles
Author(s):
Povel, Tobias
Publication Date:
1996
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-001732293
Rights / License:
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Diss, ETH
£*.£)
Diss. ETH No. 11951
Typical
and deviant
behaviour of Brownian motion
among Poissonian obstacles
A dissertation submitted to the
SWISS FEDERAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY
ZURICH
for the
degree
of
Doktor der Mathematik
presented by
TOBIAS POVEL
dipl. Math. ETH
born May, 15th, 1967
citizen of Germany
accepted
on
the recommendation of
Prof Dr. A.S. Sznitman, examiner
Prof Dr. E. Bolthausen, co-examiner
1996
Abstract
We consider
potential.
potential
random
bounded
dimensional Brownian motion moving among random traps resp. in
a one
The traps
"shape"
is
are
modeled
given
as
the
sum
a
constant drift
particle has survived for
suitably
free
scaled
region
of translations of
well
as
a
as
\h\
long
survives for
Our second result is the derivation of
t of
an
a
"annealed" Brownian motion in
a
large
a
long
this problem in the
sense
where
A)(l)
In
particular
is the
Poissonian
a
Poissonian
"area"
5
-
/3b (1)
in d
—
1 the rate function
one
A)(l)
< v,
< v,
which
and
we
In any case,
our
implies that
conjecture
large
potential
a
a
the
position
in the critical
of the trap
large
at
spatial
where the
depends
on
=
times
scale
t1/3.
path
and
"singular"
1 is
in
td/d+2, treated by Sznitman,
a
of the
position
constant c\
Lyapounov exponent"
"large
in these
that in
excursion" in the
an
constant drift in
shape
cases ci < oo.
analogue object
general
deviation result has
Brownian motion with
show that both the
"boundary"
both taken with respect to the
show that at least for
Lyapounov exponent" /3£, which is
which leads to the
we
that the
measure
—
introduced
(y\
by
path
at
fi))1^3'
Sznitman.
of the "borders" in the three different scenarios of Brownian motion
potential, which performs
It is known that
are
principle for
regimes, depending
dimensional "annealed
one
This constant c\ marks
in
0,
=
that in contrast to d > 2 with critical scale
the rate function exhibits three different
time t lies.
probability
h
case
distribution of Brownian
Our result shows in particular that the dimension d
measure.
0, resp. the
time.
deviation
Here "annealed" refers to the fact that averages
environment
random
,
limiting
under the conditional
In contrast to the
time t.
a
nondegenerate nonnegative
the unsealed process starts at resp. feels the
particle
in which the
(0, u)
fixed
given
environment the
trapping
6
a
intensity
>
v
points.
function W at the Poisson
We derive in the context of the
motion with
Poisson point process of constant
as a
a
a
we
natural
Poisson
l
However
to
/3o(l),
expect /%(1)
scale.
we
enough
introduce the "annealed
and derive
< v, i.e. C\ <
application
potential.
t1/3
functions W with small
a
formula for it
co.
to a one dimensional annealed
Kurzfassung
Wir betrachten
eine
dermssen resp
in einem
emdimensionale Brownsche
zufalhgen Potential,
Punktprozess
mit konstanter Intensitat
folgt
gegeben
wie
konstruiert
ist
Punktion W detmiert
hchkeitsmasses
das
Ereigms,
wobei
satz
wir
zu
der Situation
unskaherte Prozess
Konfiguration
sowie eine
zu
Bewegung
lange
in
der h
am
Rand
in
=
ernes
welchem der Prozess
lange
welcher
Co
(v)1^3
mensionale
d h
„Pnnzips
f1/3,
denn
im
ci <
Im
Gegen-
„fuhlt", welches keine
diesen
Abweichungen"
grosser
wobei
Gegensatz
und ci
=
zur
Zeit t befindet
Bewegung
wir
m emem
fur die Position
Poissonschen Po¬
des Poissonschen Masses als
bzgl
zum
Fall d
>
2 mit kritischer Skala
=
1
m
tdld*2,
(t--go(i))1^3
begrenzt,
„gemittelte" Lyapunov-Exponent
genugend
Formel fur
eine
oo
ist
klemer
welche
zur
/30(1)
der
von
Sznitman
Es ist bekannt, dass
„Flache"
/%(1)
em, welcher
Vermutung
/?o(l)
< i/, d h
erne
analoge
fuhrt, dass
im
emgefuhrte
emdi¬
und
zeigen
< v,
ci <
oo
Grosse
wir
Wir fuhren
zu
/?o(l)
allgemeinen /%(1)
i&t,
< v,
ist
Auf jeden Fall hat das
das Problem
/?| her,
Diese Bereiche werden durch die Konstanten
wobei
„gemittelten i5-Lyapounov-Exponenten" 0%
und leiten
Wahrschem-
konditiomert auf
Unser Resultat zeigt insbesondere, dass die Dimension d
sich der Pfad
wo
fur Umnssfunktionen W mit
den
bedingten
(Q,v),
Sznitman behandelt wurde, weisst die Ratenfunktion drei verschiedene Bereiche auf,
von
nachdem,
=
emes
der kritischen raumlichen Skala
„singular" ist,
Das
Zeit uberlebt
emdimensionalen Brownschen
je
„Umnss
geeignet skaherte als auch der
Intervalls startet, resp
Zt nach langer Zeit t,
diesem Problem
6
Hindermsses getotet wird
0 ist, zeigen wir, dass sowohl der
desjemgen
auch des Pfadmasses mitteln
beschrankte
Zeit zwischen den Poissonschen Hmdermssen uberlebt,
Herleitung
emer
Poissonschen
Potential wird
Poissonschen Punkten
\h\
mit konstanter Drift
dass der Prozess beim Besuch
Hmdermsse enthalt, und
in
von
einen
zufalhge
Hm-
den Poissonschen Punkten verschobenen
Das zweite Resultat ist die
tential,
Das
Wir berechnen den schwachen Grenzwert des
dass das Teilchen
annehmen,
zufalhgen „todhchen"
wobei die Hindermsse durch
0 modelhert werden
als Summe der
nun
Brownschen
einer
>
zwischen
nichtdegenenerte, nichtnegative,
erne
Punktion" W mit kompaktem Trager,
Poissonsche Potential wird
v
Bewegung
emer
obige „Pnnzip
Brownschen
der grossen
Bewegung
Abweichungen"
mit konstanter Drift
u
erne
naturliche
in einem
Anwendung auf
Poissonschen Potential