Integration auf Flächen

Kapitel 1
Integration auf Flächen
Literatur:
Jänich, Vektoranalysis
Forster, Analysis III
Bröcher, Analysis III
1.1
Mannigfaltigkeiten
1.1.1 Definition. Sei X ein topologischer Raum. Unter einer n-dimensionalen
Karte (U, h) versteht man einen Homöomorphismus h : U → U ′ von einer
offenen Teilmenge U ⊆ X in eine offene Teilmenge U ′ ⊆ Rn . X heißt lokal
euklidisch, falls es zu jedem x ∈ X eine Karte (U, h) gibt mit x ∈ U .
1.1.2 Definition. Eine Menge von offenen Teilmengen U eines topologischen
Raumes X heißt Basis der Topologie von X, wenn sich jede offene Teilmenge
von X als Vereinigung von (offenen) Teilmengen aus U schreiben lässt.
Ein topologischer Raum X erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom, wenn er eine
abzählbare Basis der Topologie besitzt.
1.1.3 Beispiel. Rn mit der üblichen Topologie besitzt eine abzählbare Basis
der Topologie, nämlich die offenen Kugeln mit rationalen Mittelpunkten und
rationalen Radien.
1.1.4 Definition. Ein topologischer Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und lokal euklidisch ist, heißt eine topologische Mannigfaltigkeit.
1.1.5 Definition. Sind (U, h) und (V, k) zwei n-dimensionale Karten für einen
topologischen Raum X, so heißt die Abbildung k◦h−1 |h(U∩V ) der Kartenwechsel.
Grafik
1.1.6 Definition. Eine Menge n-dimensionaler Karten, die X überdecken, heißt
ein (n-dim.) Atlas für X. Ein Atlas heißt differenzierbar, falls seine Kartenwechsel differenzierbar sind. Zwei differenzierbare Atlanten A und B von X heißen
2
äquivalent, wenn A ∪ B ein differenzierbarer Atlas für X ist.
Eine differenzierbare Struktur auf X ist ein maximaler differenzierbarer Atlas
für X.
1.1.7 Definition. Eine topologische Mannigfaltigkeit zusammen mit einer ndimensionalen differenzierbaren Struktur heißt eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Vereinbarung:
Unter einer Mannigfaltigkeit werden wir stets eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit verstehen.
1.1.8 Beispiel. abc
1. Rn mit dem Atlas, der nur aus einer Karte, nämlich id:Rn → Rn besteht.
Ebenso sind alle offenen Teilmengen von Rn Mannigfaltigkeiten.
2. S 1 ⊆ C ist
1-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Sei eiϕ ∈ S 1 .
eine
π π
i(ϕ+t)
1
Sei U := e
∈ S |t ∈ (− 4 , 4 )
h:U
ei(ϕ+t)
π π
−→ (− , )
4 4
7→ t
Grafik
3.
Sn
Ui+
Ui−
h+
i
=
=
:
{x ∈ S n |xi < 0}
Ui+ −→ Ḋn ⊆ Rn
=
x ∈ Rn+1 | ||x|| = 1
n
{x ∈ S |xi > 0}
x = (x1 , . . . , xn+1 )
(x1 , ..., xn+1 ) →
7
(x1 , ..., x̂i , ..., xn+1 ) := (x1 , ..., xi−1 , xi+1 , ..., xn+1 )
n
D
= {x ∈ Rn | |x| ≤ 1}
Ḋn
=
{x ∈ Rn | |x| < 1} (innere Punkte)
Diese Karten bilden einen differenzierbaren Atlas für S n . Beachte die Kartenwechsel:
z.B. für i < j
Grafik
ξ := (ξ1 , ..., ξn ) 7→ (ξ1 , ..., ξi−1 ,
p
1 − |ξ|2 , ξi , ..., ξˆj−1 , ..., ξn )
Also sind die Kartenwechsel differenzierbar und diese Karten bilden einen
differenzierbaren Atlas für S n , bestehend aus 2(n+1) Karten.
4. Graphenflächen
Ist U ⊆ Rn offen, f : U → R diffbar, so ist
Gf := (x, f (x)) ∈ Rn+1 | x ∈ U
3
eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Ein Atlas ist durch
Gf −→ U,
(x, f (x)) 7→ x
(Projektion auf x-Achse)
gegeben.
5. Keine Mannigfaltigkeiten sind zum Beispiel:
(x, y) ∈ R2 | xy = 0
(Achsen)
(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = z 2
(„Sanduhr-Kegel“)
1.1.9 Notiz. Sind M und N differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension
m und n, so ist M × N eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension
m + n. Sind (U, h) und (V, k) Karten von M und N , so ist (U × V, h × k) eine
Karte von M × N
(h × k : U × V
(x, y)
−→
7→
1.1.10 Beispiel. Torus: S 1 × S 1
U ′ × V ′ ∈ Rn+m
(h(x), k(y))
Grafik eines Donuts
1.1.11 Definition. Sei N eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, M ⊂ N eine Teilmenge, sodass es um jedes x ∈ M eine Karte (U, h) von
N gibt mit x ∈ U , sodass h(U ∩ M ) = h(U ) ∩ (Rk × {0}) ist. Dann heißt
M eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von N . (U, h) heißt Untermannigfaltigkeitskarte oder Flachmacher für M . Untermannigfaltigkeiten von Rn
der Dimension k + n − 1 nennt man Hyperflächen. Allgemein heißt n − k die
Kodimension der Untermannigfaltigkeit.
1.1.12 Notiz. Jede k-dimensionale Untermannigfaltigkeit einer n-dimensionalen
Mannigfaltigkeit ist in kanonischer Weise eine k-dimensionale Mannigfaltigkeit,
die Karten sind durch Einschränkungen der Flachmacher von N gegeben.
1.2
Differenzierbare Abbildung
1.2.1 Definition. Seien M, N Mannigfaltigkeiten
Eine stetige Abbildung f : M → N heißt differenzierbar bei p ∈ M , falls für
eine (dann jede) Karte (U, h), p ∈ U und (V, k), f (U ) ⊆ V gilt:
k ◦ f ◦ h−1 : h(U ) → k(V ) ist differenzierbar bei h(p).
f heißt differenzierbar, falls f differenzierbar bei p für alle p ∈ M (analog: f ist
C k ).
f heißt ein Diffeomorphismus, falls f bijektiv ist und f und f −1 differenzierbar sind.
1.2.2 Notiz. Ist f : M → N differenzierbar, M0 ⊂ M eine Untermannigfaltigkeit, so ist f |M0 ebenfalls differenzierbar.
4
1.2.3 Definition. Ist f : M → N differenzierbar bei p ∈ M , dann heißt
Rang Jk◦f ◦h−1 (h(p)) =: Rangp f für k, h wie in 1.2.1 der Rang von f bei p,
dieser ist unabhängig von der Kartenwahl.
Grafik
1.2.4 Definition. Ist f : M → N differenzierbar, p ∈ M mit Rangp f =
dim N , so heißt p regulärer Punkt von f , ansonsten heißt p singulärer oder
kritischer Punkt. Die Bilder der kritischen Punkte heißen kritische oder
singuläre Werte, die anderen Punkte in N heißen reguläre Werte.
1.2.5 Satz. (Satz von der inversen Funktion)
Ist f : M → N eine differenzierbare Abb. zwischen Mannigfaltigkeiten der Dimension n. Ist rgp f = n, dann ist f bei p ein lokaler Diffeomorphismus, d.h.
es gibt eine Umgebung U von p und V von f (p) (U, V offen), sodass f |U ein
Diffeomorphismus ist.
Beweis: Wende den Umkehrsatz auf f˜ : k ◦ f ◦ h−1
h(U ) → k(V ) an,
(U, h), (V, k) wie in 1.2.1.
Dann gibt es also eine offene Teilmenge Ṽ ⊆ k(V ), Ũ ⊆ h(U ) und eine Abbildung g̃ : Ṽ → Ũ mit g̃ ◦ f˜|Ũ = idŨ und f˜ ◦ g̃ = idṼ
Setze:
g : k −1 (Ṽ ) → h−1 (Ũ )
g = h−1 ◦ g̃ ◦ k|k−1 (Ṽ )
Dies ist die lokale Inverse von f .
1.2.6 Beispiel. a) R → S 1 , t 7→ eit ist ein lokaler Diffeomorphismus.
b) Ist U ⊆ M offen, (U, h) eine Karte von M, so ist h : U → h(U ) ein Diffeomorphismus.
1.2.7 Satz. vom regulären Punkt
Ist f : B → Rm eine differenzierbare Abbildung, B ⊆ Rn offen, x0 ∈ B ein regulärer Punkt. Dann gibt es eine offene Umgebung von x0 und eine Abbildung:
h : U → Rn , h : U → h(U ) ein Diffeomorphismus, sodass f ◦ h−1 (x1 , ..., xn ) =
(x1 , ..., xm ), f ◦ h−1 = prm
Jf (x0 )
n
m+n
Beweis: Sei A : R → R
linear, sodass
ein Isomorphismus ist.
A
n
Definiere: F : B → R , F (x)= (f (x), Ax).
Jf (x0 )
Dann ist JF (x0 ) =
, also bijektiv.
A
Also existiert eine Umgebung U von x0 und V von F (x0 ), sodass F |U ein Diffeomorphismus ist. Setze h := F |U . Dann ist für x = (x1 , ..., xn ) ∈ F (U )
(x1 , ..., xn ) = F ◦ h−1 (x1 , .., xn ) = (f ◦ h−1 (x1 , ..., xn ), Ah−1 (x1 , ..., xn ))
also f ◦ h−1 (x1 , ..., xn ) = (x1 , ..., xm )
1.2.8 Satz. vom regulären Wert
Seien M und N differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension m und n,
5
f : M → N differenzierbar, c ∈ N ein regulärer Wert von f. Dann ist f −1 (c)
eine m-n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von M.
Beweis: Sei p ∈ f −1 (c), (U, h) und (V, k) Karte um p und c mit f (U ) ⊆ V und
o.B.d.A. h(p) = 0, k(c) = 0.
Dann ist 0 regulärer Punkt von k ◦ f ◦ h−1 = f˜, also existiert nach dem Satz
vom regulären Punkt ein Diffeomorphismus h̃ : U ′ → Ũ mit f˜ ◦ h̃−1 = prm ,
o.B.d.A. U ′ = h(U ).
Also: (f˜ ◦ h̃−1 )−1 (0) = (0 × Rm−n ) ∩ (h̃ ◦ h)(U ), ⇔
h̃(f˜−1 (0) ∩ h(U )) = (0 × Rm−n ) ∩ (h̃ ◦ h)(U )
||
(h̃ ◦ h)(f −1 (c) ∩ U )
Sei T : Rn × Rmn → Rmn × Rn , (x, y) 7→ (y, x)
Dann ist T ◦ h̃ ◦ h die gesuchte Untermannigfaltigkeitskarte.
n
o
2
1.2.9 Beispiel. S n = x ∈ Rn+1 | |x| = 1 ist ein n-dim. Untermannigfaltig-
keit des Rn+1 , denn S n = F −1 (1) für F : Rn+1 → R, x 7→ |x|2 . Es bleibt zu
zeigen, dass 1 regulärer Wert von F ist. JF (x) = 2x. Dies ist surjektiv für x 6= 0,
und 0 ∈
/ S n = F −1 (1)
1.2.10 Beispiel. O(n) = {A ∈ M (n × n, R),t AA = 1} ist 12 n(n − 1)-dim. Un2
termannigfaltigkeit des IRn .
Beweis: siehe Übungen.
6
1.3
Der Tangentialraum einer Untermannigfaltigkeit des Rn
Sei M ⊆ Rn eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
1.3.1 Definition. Ist (U, h) eine Karte von M, h : U → U ′ mit U ′ ⊆ Rk offen,
U ⊆ M offen, so heißt ϕ = h−1 : U ′ → U ⊆ Rn eine lokale Parametrisierung
von M (die durch (U, h) gegeben ist).
1.3.2 Definition. Ist p ∈ M und (U, h) eine Karte um p, ϕ die dadurch gegebene Parametrisierung, so heißt
dϕh(p) (Rk ) ⊆ Rn
der Tangentialraum von M bei p,
Tp M := dϕh(p) (Rk )
v ∈ Tp M heißt Tangentialvektor,
T M :=
[
{p} × Tp M
p∈M
heißt das Tangentialbündel von M . Ist U ⊆ M , dann schreiben wir
[
T M |U =
({p} × Tp M )
p∈U
für die Einschränkung von T M auf U .
1.3.3 Notiz. Offenbar ist Tp M wohldefiniert, also unabhängig von der Wahl
der Karte, da der Kartenwechsel ein Diffeomorphismus ist.
1.3.4 Lemma. Es gilt dim Tp M = k, denn dϕh(p) ist injektiv.
Beweis: Sei p ∈ M, Ω ⊆ Rn eine offene (offen in Rn ) Umgebung von p. (Ω, H)
eine Untermannigfaltigkeitskarte für M , also (U := Ω ∩ M, h := H|U ) eine
Mannigfaltigkeitskarte für M . Sei ϕ := h−1 die dadurch gegebene Parametrisierung. Dann ist H ◦ ϕ = id, also
idRk = d(H ◦ ϕ)h(p) = dHp ◦ dϕh(p)
Also ist dϕh(p) injektiv
1.3.5 Notiz. Sind (U, h), (V, k) Karten um p ∈ M mit Parametrisierungen
ϕ, ψ. Ist w ∈ Tp M, w = dϕh(p) (u) = dψk(p) (v) so ist v = d(k ◦ h−1 )h(p) u, dies
folgt aus der Injektivität von dϕx und dψy und der Kettenregel.
dϕk(p) ◦ d(k ◦ h−1 )h(p) u = d(ψ ◦ k ◦ h−1 )h(p) u = dϕh(p) u
7
1.3.6 Definition. Ist M eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, (U, h) eine
Karte von M, ϕ = h−1 . Dann heißt
∂i : U
p
−→ T M |U
7→
(p, dϕh(p) (ei )) =: (p, ∂i,p )
das i-te Koordinatenbasisfeld (bzgl. (U, h)), ∂i,p der i-te Koordinatenbasisvektor.
Dabei ist (e1 , . . . , ek ) die Standardbasis des Rk .
1.3.7 Notiz. Offenbar bilden (∂1,p , . . . , ∂k,p ) ∈ (Tp M )k eine Basis für Tp M für
jedes p ∈ U . Es gilt
∂ϕ
∂i,p =
(h(p))
∂xi
1.3.8 Notiz. Ist w = (w1 , . . . , wk ) ∈ Rk so ist
dϕh(p) (w) =
k
X
wi ∂i,p
i=1
1.3.9 Notiz. Ist (U, h) eine Karte von M P
, und vi : U → R differenzierbare
Funktionen (i = 1, . . . , k), so ist durch v =
vi ∂i für jedes p ∈ U ein Tangentialvektor vp ∈ Tp M wohldefiniert. v(p) = (p, vp )
1.3.10 Definition. Sei v : M → T M mit v(p) = (p, vp ), vp ∈ Tp M heißt
ein stetiges (bzw. differenzierbares) Vektorfeld bei p, falls für die Komponenten
P
von v bezüglich einer (dann jeder) Koordinatenbasis, v = ki=1 vi ∂i auf einer
offenen Umgebung U von p vi : U → R gibt, dass vi an der Stelle p stetig (bzw.
diffbar) ist.
Beweis von „dann jeder“: Sind (U, h̃) und (U, h) Karten um p mit Parametrisierungen ϕ̃ und ϕ und dadurch gegebenen Koordinatenbasisfeldern ∂˜1 , . . . , ∂˜k
und ∂1 , . . . , ∂k so gilt nach Notiz 1.3.5 und 1.3.8
v(p)
=
k
X
vi (p)∂i (p)
i=1
=
k X
k
X
hei , Jh̃◦h−1 (h(p))vj ej i∂˜j
k X
k
X
vj hei , Jh̃◦h−1 (h(p))ej i∂˜j
i=1 j=1
=
i=1 j=1
abc
1.3.11 Lemma. (geometrische Beschreibung des Tangentialraums)
a) Sei γ : (−ε, ε) → M eine differenzierbare Kurve, γ(0) = p, so ist γ̇(0) ∈
Tp M
8
b) Ist v ∈ Tp M , so gibt es eine Kurve γ : (−ε, ε) → M mit γ̇(0) = v
1.3.12 Definition. γ heißt dann v repräsentierende Kurve.
Beweis von Lemma 1.3.11:
Grafik
a) Sei γ : (−ε, ε) → M, (U, h) eine Karte um γ(0) = p. Sei w = (h ◦ γ̇(0)),
dann ist γ̇(0) = dϕh(p) (w) ∈ Tp M
b) Sei v ∈ Tp M, v = dϕh(p) (w). Dann ist γ̃(t) = h(p) + tw eine repräsentierende Kurve von w und erfüllt
γ̃(0) = h(p)
˙
γ̃(0)
=w
Also ist γ(t) = ϕ(h(p) + tw) eine repräsentierende Kurve für v
1.3.13 Notiz. Ist (U, h) eine Karte von M, ϕ = h−1 , so sind repräsentierende
Kurven der Koordinatenbasisfelder ∂i,p durch ϕ(h(p) + tei ) gegeben.
1.3.14 Definition (und Lemma). (algebraische Beschreibung)
Ist v ∈ Tp M, U eine offene Umgebung von p in M , und f : U → Rm . Dann ist
d vf :=
(f ◦ γ)(t)
dt t=0
für eine v repräsentierende Kurve γ wohldefiniert und die dadurch gegebene
Abbildung C ∞ (U ) → Rm heißt die durch v gegebene Derivation.
Beweis: der Wohldefiniertheit
Sind γ, γ̃ zwei v repräsentierende Kurven, also γ(0) = γ̃(0) = p und
d d (h
◦
γ)
=
h ◦ γ̃ =: ṽ
dt t=0
dt t=0
Also
d (f ◦ γ) =
dt t=0
=
=
=
d (f ◦ ϕ ◦ h ◦ γ)
dt t=0
d(f ◦ ϕ)h(p) (ṽ)
d (f ◦ ϕ ◦ h ◦ γ̃)
dt t=0
d (f ◦ γ̃)
dt t=0
1.3.15 Notiz. Es ist v(f g) = (vf )g(p) + f (p)(vg) für f, g ∈ C ∞ (U ).
1.3.16 Lemma. Ist ∂i ein Koordinatenbasisfeld bezüglich (U, h), ϕ = h−1 so
ist
d ∂
f (ϕ(p + tei )) =
(f ◦ ϕ)(h(p))
∂i,p f =
dt t=0
∂xi
9
1.3.17 Lemma. Ist f : B → Rn−k differenzierbar, B ⊂ Rn offen, c regulärer
Wert, M = f −1 (c), so ist Tp M = Kern dfp
Beweis: Ist v ∈ Tp M und γ repräsentierende Kurve, so ist f ◦ γ ≡ c
1.3.18 Beispiel. Sei f : R → R differenzierbar.
n
Gf = {(x, f (x))|x ∈ Rn } ⊆ Rn+1
Berechne T(p,f (p)) Gf für p ∈ Rn
Möglichkeit 1: Berechne eine Basis von T(p,f (p)) Gf .
Durch ϕ : x 7→ (x, f (x)) ist eine Parametrisierung von Gf gegeben.
Also ist eine Basis von T(p,f (p)) Gf durch
d
|t=0 ϕ(p + tei )
dt
d
=
|t=0 (p + tei , f (p + tei ))
dt
∂f
= (ei ,
(p)), i = 1, ..., n
∂xi
dϕp (ei ) =
gegeben, wobei (e1 , ..., en ) die Standardbasis im Rn ist.
Grafik
Möglichkeit 2: Gf = F −1 (0), wobei 0 regulärer Wert der Abbildung:
F : Rn+1 → R, (x, y) 7→ (−f (x), x) ∈ Rn , y ∈ R
Also ist T(p,f (p)) Gf = Kern dF(p,f (p)) = (grad(p,f (p)) F )⊥ =
1.4
−grad fp ⊥
1
Differential und 1-Formen
1.4.1 Definition. Sei f : M → N eine differenzierbare Abb. zwischen Untermannigfaltigkeiten der Dimension m und n.
Sei p ∈ M . Dann ist das Differential von f an der Stelle p durch
dfp : Tp M → Tf (p) N, v 7→
d
|t=0 f (γ(t))
dt
wobei γ eine Kurve ist, die v repräsentiert, also γ(0) = p, γ̇(0) = v, wohldefiniert.
Das Differential
von f ist dann die Abbildung
S
df : M → p∈M {p} × End(Tp M, Tp(0) N ), p 7→ (p, dfp )
Beachte:
Ist M ⊆ Rm , N ⊆ Rn , beide offen, so ist Tp M = Rm und Tq N = Rn
also End(Tp M, Tq N ) = End(Rm , Rn )
also df : M → M × End(Rm , Rn )
Beweis der Wohldefiniertheit:
Analog zu 1.3.16. (Kettenregel angewandt auf f ◦ ϕ ◦ h ◦ γ)
10
1.4.2 Notiz. Sind ∂1 , ..., ∂m Koordinatenbasisfelder auf U ⊆ M , so ist dfp (∂i,p ) =
∂i,p f , denn
dfp (∂i,p ) |{z}
=
d
dt |t=0 f (ϕ(h(h(p)
+ tei )) =
∂
∂xi (f
1.3.13
◦ ϕ)(h(p)) |{z}
= ∂i,p f
1.3.17
1.4.3 Lemma. und Definition: Ist f : M → N differenzierbar, (U, h) eine
Karte für M um p, ϕ = h−1 , (V, k) eine Karte für N um f (p), f (U ) ⊆ V,
ψ = k −1 , v ∈ Tp M ,
v =: dϕh(p) (ṽ), ṽ ∈ Rm
Dann ist dfp (v) = dψk(f (p)) (df˜h(p) (ṽ)), wobei f˜ = k ◦ f ◦ h−1
Also ist
Grafik
Beweis:
dfp (v)
=
=
=
=
1.4.4 Korollar.
d
|t=0 f (ϕ(h(p) + tṽ))
dt
d
|t=0 (ψ ◦ k ◦ f (ϕ(h(p) + tṽ))
dt
d
|t=0 (ψ ◦ f˜(h(p) + tṽ)
dt
dψk(f (p)) (df˜h(p) (ṽ))
i) Das Differential der Identität ist die Identität
d idp = idTp M
ii) Die Kettenregel gilt.
Sind g : M1 → M2 , f : M2 → M3 differenzierbar, dann ist
d(f ◦ g)p = dfg(p) ◦ dgp
Beweis: (ii) folgt aus dem Lemma und damit der Kommutativität des
Diagramms.
Diagramm
Sei M → Rdifferenzierbar,
so ist dfp ∈ End(Tp M, R) = Tp∗ M
S
also df : M → p∈M {p} × Tp∗ M =: T ∗ M
1.4.5 Definition. Eine 1-Form oder Pfaffsche Form auf einer differenzierbaren
Untermannigfaltigkeit ist eine Abbildung
ω : M → T ∗ M,
p 7→ (p, ωp ), ωp ∈ Tp∗ M
sodass für alle Koordinatenbasisfelder gilt:
ω(∂i ) : U → R,
ω(∂i )(p) = ωp (∂i,p )
ist differenzierbar auf U.
11
1.4.6 Notiz. Ist f ∈ C ∞ (M ), so ist df eine 1-Form.
1.4.7 Definition. Ist (U, h) eine Karte für M , h = (x1 , ..., xm ),
also xi ∈ C ∞ (U ), i = 1, ..., m.
Dann heißt dxi die i-te Koordinatenbasisform (bzgl. (U, h)).
1.4.8 Notiz. Es gilt dxi (∂j ) = δij , für die Koordinatenbasisformen bzgl. einer
Karte (U, h), denn
dxi,p (∂j,p )
d
|t=0 xi (ϕ(h(p) + tej )
dt
=
|{z}
1.3.13
d
|t=0 (xi (p) + tδij)
dt
δij
=
=
1.4.9 Notiz. Die Koordinatenbasisformen dx1,p , ..., dxm,p bzgl. einer Karte
(U, h) bilden an jeder Stelle p ∈ U eine Basis von Tp∗ M .
Ist eine 1-Form, ω|U ihre Einschränkung auf U , so gibt es also eindeutig bestimmte Funktionen ω1 , ..., ωm ∈ C ∞ (U ), sodass
ω=
m
X
ωi dxi .
i=1
Die Funktionen ωi sind durch ω(∂i ) = ωi eindeutig bestimmt.
1.4.10 Lemma. Sei (U, h) eine Karte für M , f : U → R differenzierbar, so ist
df =
m
X
(∂i f )dxi
(֒→ 1.4.2)
i=1
1.5
Multilinearformen
Erinnere: Sei V ein Vektorraum (später V = Tp M ).
Eine multilineare Abb. (eine k-lineare Abb.) ist eine Abbildung
α : V × ... × V → R mit
{z
}
|
k
α(v1 , ..., vi + w, ...vk ) = α(v1 , ..., vi , ..., vk ) + α(v1 , ..., |{z}
w , ..., vk )
i
und
α(v1 , ..., λvi , ..., vk ) = λα(v1 , ..., vi , ..., vk )
Sie heißt symmetrisch, falls
α(v1 , ..., vi , ..., vj , ..., vk ) = α(v1 , ..., vj , ..., vi , ..., vk )
12
und antisymmetrisch, falls
α(v1 , ..., vi , ..., vj , ..., vk ) = −α(v1 , ..., vj , ..., vi , ..., vk )
1.5.1 Notiz. abc
i) Ist t eine Permutation von {1, . . . , k} so ist α(v1 , . . . , vk ) = sgn(t)α(vt(1) , . . . , vt(k) )
für alternierende Multilinearformen α.
ii) Ist α eine alternierende Multilinearform, so ist α(v1 , . . . , vk ) = 0 falls
vi = vj für ein i 6= j ist.
iii) Ist α eine Multilinearform für die gilt α(v1 , . . . , vk ) = 0 falls vi = vj
für ein i 6= j dann ist α alternierend, denn α(v1 , ..., vi , ..., vj , ..., vk ) +
α(v1 , ..., vji−teStelle , ..., vij−teStelle , ..., vk )
=
α(v1 , ..., vi , ..., vj , ..., vk )+
α(v1 , ..., vi , ..., vi , ..., vk )+α(v1 , ..., vj , ..., vj , ..., vk )+α(v1 , ..., vj , ..., vi , ..., vk ) =
α(v1 , ..., vi + vj , ..., vi + vj , ..., vk ) = 0
1.5.2 Notiz (und Notation). Wir bezeichnen den Vektorraum der alternierenden k–Formen auf V mit Altk V , den Vektorraum der symmetrischen Formen
auf V mit Symk V .
1.5.3 Definition. Sei (e1 , ..., en ) eine Basis von V , dann heißen für eine k–
Multilinearform α die Zahlen
αe1 ,...,en := α(ei1 , ..., eik )
1 ≤ ij ≤ n
die Komponenten von α (bzgl. der Basis e1 , ..., en )
1.5.4 Beispiel (V = Rn ). Sei h·, ·i := g dann ist g eine symmetrische Bilinearform, gij = δij
1.5.5 Beispiel. Ist A ∈ M (n×n, R) symmetrisch, so ist durch α(v, w) = t wAv
eine symmetrische Bilinearform gegeben. Dann ist αij = aij , wobei (aij ) = A
1.5.6 Beispiel. Ist A ∈ M (n × n, R) schiefsymmetrisch (d.h. t A = −A), so ist
α(v, w) = t vAw eine alternierende Bilinearform αij = aij
1.5.7 Beispiel. Durch det ist eine alternierende n–Form gegeben
α(v1 , ..., vn ) = det(v1 , ..., vn )
1 falls (i1 , ..., in ) = (1, ..., n)
αi1 ,...,in =
0 falls 1 ≤ i1 ≤ · · · ≤ in ≤ n
1.5.8 Lemma. Ist (e1 , ..., en ) eine Basis von V , so ist
a)
Symk V
α
n+k+1
−→ R( k )
7→ (αi1 ,...,ik )1≤i1 ≤···≤ik ≤n
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b)
n
Altk V −→ R(k )
α 7→ (αi1 ,...,ik )1≤i1 ≤···≤ik ≤n
ein Isomorphismus.
1.5.9 Korollar. abc
i) dim Altk V = 0 für dim V < k
ii) Altn V = 1, für n = dim V also auf Rn gilt für jedes α ∈ Altn Rn , dass
α = λ det für ein λ ∈ R
iii) Sym1 V = Alt1 V = V ⋆
Ist e1 , ..., en eine Basis von V , so ist durch δ1 , ..., δn ;
Basis von V ⋆ , die duale Basis zu e1 . . . en gegeben.
δi (ej ) = δij eine
1.5.10 Definition. abc
i) Ist α eine k–Multilinearform auf V, v ∈ V , so ist durch
(v ⊣ α)(v1 , ..., vk−1 ) := α(v, v1 , ..., vk−1 )
eine (k − 1)-Multilinearform v ⊣ α gegeben { v ⊣ α bezeichne hier „v in α
einsetzen“}
ii) Ist A : W → V linear, α eine k-Multilinearform auf V so ist durch
(A⋆ α)(w1 , ..., wk ) = α(Aw1 , ..., Awu )
eine Multilinearform auf W gegeben.
1.5.11 Notiz. abc
i) A⋆ : Altk V −→ Altk W
ist linear, ebenso
A⋆ : Symk V −→ Symk W
ii) Ist v ∈ V, α ∈ Altk V , so ist v ⊣ α ∈ Altk−1 V , ebenso für α ∈ Symk V ist
v ⊣ α ∈ Symk−1 V
iii) Ist dim W = k, α ∈ Altn V , mit n > k, so ist A⋆ α = 0
1.5.12 Beispiel. Ist A : V −→ V, A = λ id, α eine k-Multilinearform, so ist
(A⋆ α)(v1 , ..., vk ) = α(λv1 , ..., λvk ) = λk α(v1 , ..., vk )
1.5.13 Beispiel. Ist V = Rn , α ∈ Altn V , also α = λ det für ein λ ∈ IR. Ist
A ∈ End(V ), so ist
(A⋆ α)(e1 , ..., en ) = λ det(Ae1 , ..., Aen ) = λ det A
Also A⋆ α = α det A
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1.5.14 Beispiel. Sei W ein (n − 1)-dimensionaler Untervektorraum von Rn ,
N ∈ W ⊥ , |N | = 1. Sei w1 , ..., wn−1 eine Orthonormalbasis von W mit
det(N, w1 , ..., wn−1 ) = 1. Dann ist:
(i⋆ N ⊣ det)(w1 , ..., wn−1 ) = det(N, w1 , ..., wn−1 ) = 1. Wobei i : W → Rn die
Inklusion ist, also i⋆ (N ⊣ det) ∈ Altn−1 W , ist eine Basis von Altn−1 W
1.5.15 Beispiel. Ist g ∈ Sym2 Rn durch g(v, w) = t vGw für eine symmetrische
n × n-Matrix G, so ist
(A⋆ g)(v, w) = t (Av)GAw = t v(t A)GAw
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