Blatt 16 $ Präsenzübungen

Prof. A. Grigorian, Funktionen
SS2017
Blatt 16 - Präsenzübungen
81. Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen gebrochen linear sind und zeichnen Sie
ihre Graphen.
3x2 30 3
x
5x 25
5
2x2 + 7x + 5
(b) f (x) = 2
x + 4x + 3
Solution. (a) Wir haben
(a) f (x) =
f (x) =
=
3x2 30 35 x (5x 25)
30 3
x=
25
5
5x 25
2
30 3x + 15x
15x 30
3x 6
=
=
:
5x 25
5x 25
x 5
3x2
5x
3x2
Somit ist f gebrochen linear. Weiter haben wir
f (x) =
3 (x 5) + 9
9
3x 6
=
=
+ 3:
x 5
x 5
x 5
Somit haben wir
f
= T(5;
3)
D3 (H) :
12
y
10
8
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
-2
-4
-6
-8
-10
(b) Wir haben
2x2 + 7x + 5 = (2x + 5) (x + 1)
und
x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1)
woraus folgt
f (x) =
(2x + 5) (x + 1)
2x + 5
=
:
(x + 3) (x + 1)
x+3
64
x
Weiter gilt es
f (x) =
2 (x + 3)
x+3
1
1
+ 2:
x+3
=
Somit
f
=S(
g)
where
g (x) =
f (x) =
1
x+3
2
und
g
= T(
y
3; 2) (H)
10
8
6
4
2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
-2
-4
-6
-8
82. Beweisen Sie, dass die Menge von den Punkten (x; y) 2 R2 die die folgende Gleichung
erfüllen
(x y)2 + 2x (y 1) + 4 (y 1) = 0
ein Kreis ist. Bestimmen Sie seinen Mittelpunkt und Radius. Zeichnen Sie den
Kreis.
Solution. Wir haben
(x
y)2 + 2x (y
1) + 4 (y
y)2 + 2xy
1) = (x
=
2
x
2xy + y
2
2
= x +y
= (x
was der Kreis K(1;
2);3
65
+ 2xy
4
2
1) + (y + 2)
1)2 + (y + 2)2 = 9;
ist.
2x + 4y
2x + 4y
2
Somit ist die gegebene Gleichung äquivalent zu
(x
2
9
4
2x + 4y
4
y
10
8
6
4
2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
-2
6
8
10
x
-4
-6
-8
-10
83. Sei q eine reelle Zahl mit q > 1. Beweisen Sie, dass
n
= 0;
n!1 q n
qn
= 0:
(b) lim
n!1 n!
(a) lim
Solution. (a) Setzen wir q = 1 + a wobei a > 0: Nach dem Binomischen Lehrsatz
gilt für n 2
q n = (1 + a)n = 1 +
n
n 2
a+
a + ::: + an
1
2
n (n 1) 2
a :
2
Da auch n
1
1
2n
so erhalten wir
qn
und somit
Da
4 1
a2 n
! 0, so erhalten wir auch
(b) Setzen wir xn =
qn
n! :
a2
0<
n
qn
n
qn
!0
n2
4
4 1
:
a2 n
O¤ensichtlich gilt
q
xn
= :
xn 1
n
Sei N eine natürliche Zahl > 2q. Dann für jede natürliche Zahl n
xn
xn 1
q
1
< ;
N
2
woraus folgt per Induktion, dass
1
xn
2n N
66
xN :
N gilt
Da
1
2n
! 0 und somit
1
2n N
xN ! 0;
so folgt es, dass xn ! 0.
84. (a) Sei fxn g eine Folge von positiven Zahlen mit xn ! a wobei a > 0. Beweisen Sie,
dass
p
p
xn ! a:
(b) Bestimmen Sie den Grenzwert
1
p
lim
n!1
n n
n2
1
Solution. (a) Wir haben
xn
p
xn
p
p
p
a=
p
p
p
a
xn + a
xn a
p
p
=p
p
xn + a
xn + a
xn
Es folgt, dass
p
a = p
Da jxn aj ! 0, so folgt es
äquivalent zu
p1
a
xn a
p
xn + a
jxn
1
xn a
p
= p jxn
a
a
aj ! 0 und somit auch
p
xn !
p
p
aj :
p
xn
a ! 0, was
a
ist.
(b) Wir haben
n n
Da
1
n
1
p
=
n2
1
n n
p
n+
n2
p
n2
1
1
n2
=
n2
1
n+
0<
1
1
< ;
2
n
n
! 0 und
so gilt auch
p
1
n2
! 0. Es folgt, dass 1
r
1
woraus folgt, dass
n n
1
p
n2
67
p
n2
n
! 1 und somit nach (a)
1
! 1;
n2
1
n+
1
! 2:
1
r
= 1+ 1
1
:
n2