Heiÿluftmotor und Kritischer Punkt

Heiÿluftmotor und Kritischer Punkt
R. Garreis & S. Beinlich
Anfängerpraktikum III WS 13/14
Universität Konstanz
17. November 2013
Betreut durch Moua Botchak und Patrick Yves
1
Inhaltsverzeichnis
R. Garreis & S. Beinlich
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
4
2 Grundlagen
4
2.1
Ideale Gase
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Reale Gase
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.1
Virialgleichung
2.2.2
Van der Waals-Gleichung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
2.3
Kritischer Punkt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.4
Maxwell-Gerade .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.5
Innere Energie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.6
Hauptsätze der Thermodynamik
2.5.1
innere Energie realer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.6.1
Erster Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.6.2
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.6.3
Dritter Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.7
Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.8
Wärmeäquivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.8.1
Elektrisches Wärmeäquivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.8.2
Mechanisches Wärmeäquivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.9
Mechanische Leistung und Drehmomentmessung
2.10 Elektrische Leistung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.11 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.12 Kreisprozesse
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.1 Thermodynamische Prozesse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Carnot'scher Kreisprozess . . . . . . . . .
2.12.3 Stirling'scher Kreisprozess . . . . . . .
Stirling'maschine . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inversionstemperatur und Joule-Thomson-Eekt
Verüssigung realer Gase (Linde-Verfahren) . . .
2.12.2
2.13
2.14
2.15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3 Heiÿluftmotor
18
3.1
Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2
Versuchsdurchführung
18
3.3
3.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1
Versuchsteil I: Kältemaschine
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2
Versuchtsteil II: Wärmekraftmaschine
19
Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.3.1
Stomenge
20
3.3.2
Fehlerbetrachtung
3.3.3
p-V-Diagramme der Anordnungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3.4
Arbeit, Wärme und Wirkungsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3.5
Mechanische Leistung und Drehzahl
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fragen und Aufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Kritischer Punkt
4.1
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
31
Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
31
Inhaltsverzeichnis
R. Garreis & S. Beinlich
4.2
Versuchsdurchführung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.3
Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.3.1
p-V-Diagramm Schwefelhexaourid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.3.2
Van-der-Waals-Konstanten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.3.3
Dampfdruckkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.3.4
Inversionstemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.4
Fragen und Aufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5 Fazit
36
6 Anhang
36
3
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
1 Einleitung
In diesem Doppelversuch sollen einerseits die thermodynamischen Eigenschaften eines Kreisprozesses,
wie z.B dem
Carnot'sche
Kreisprozess und dem
Stirling'schen
Kreisprozess untersucht werden. Im
zweiten Teil wird das Verhalten eines idealen Gases an seinem sogenannten Kritischen Punkt betrachtet.
Im Grundlagenteil sollen die für den Versuch und dessen Auswertung wichtigen Begrie und Formeln
beschrieben und hergeleitet werden.
2 Grundlagen
2.1 Ideale Gase
Das Modell des idealen Gases betrachtet ein System aus Massepunkten, die nur bei elastischen Stöÿen
untereinander oder mit der Wand wechselwirken. Sie haben eine statistische Raum- und Geschwindigkeitsverteilung und werden als starre kugelförmige Teilchen angesehen, welche einen sehr viel kleineren
Radius
r0
als mittleren Abstand
r̄ zueinander besitzen. Das Eigenvolumen wird vernachlässigt. Es wird
zudem angenommen, dass Energie- und Impulserhaltung gelten.
Man stellt fest, dass die Zustandsgröÿen Volumen
V,
p und Temperatur T
Boltzmann-Konstanten
Druck
ander sind. Mit der Proportionalitätskonstanten, der sog.
k = 1, 38 · 10−23
proportional zuein-
J
K
(1)
ergibt sich die sog. Zustandsgleichung für ideale Gase :
p·V =k·N ·T =n·R·T
Hierbei entspricht
N
der Teilchenanzahl,
n
(2)
der Anzahl der Mole des Gases und
R = NA · k = 8.31
J
K · mol
ist die allgemeine Gaskonstante idealer Gase (NA wird als
Avogadro-
(3)
Konstante bezeichnet).
Die zweite Gleichheit der Gasgleichung für ideale Gase folgt aus der Zustandsgleichung und den
Newton'schen
Gesetzten. Sie besagt, dass unterschiedliche Gase in einem festen Volumen mit gleichem
Druck und der selben Temperatur auch die gleiche Anzahl an Molen hat.
2.2 Reale Gase
Jedoch sind die oben gemachten Näherungen für zahlreiche physikalische, chemische und biologische
Phänomene nicht ausreichend genau. Die Teilchen eines Gases wechselwirken miteinander, sodass eine
Kompression entweder erleichtert oder erschwert wird. Dabei treten Abstoÿungskräfte, welche stärker
sind als die Anziehungskräfte,erst dann auf, wenn der Abstand zwischen zwei Teilchen sehr gering ist.
Eine erschwerte Kompression tritt demnach erst bei sehr hohen Drücken auf. Bei mittleren Abständen
dagegen wird die Kompression erleichtert, da die Anziehungskräfte überwiegen.
Sind die Abstände zwischen den Teilchen sehr groÿ und der Druck sehr gering so verhält sich ein Gas
nahezu wie ein oben beschriebenes ideales Gas.
Für reale Gase, bei denen diese Bedingungen nicht zutreen, gibt es mehrere Zustandsgleichungen, die
diese Wechselwirkungen berücksichtigen. Im Folgenden sollen zwei näher erläutert werden:
4
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
2.2.1 Virialgleichung
Die Virialgleichung arbeitet mit einem Kompressionsfaktor
Z
(auch Realgasfaktor oder Realfaktor
genannt). Gleichung (2) wird um diesen zu
p·V =Z ·n·R·T
(4)
erweitert.
Der Kompressionsfaktor
Z
setzt sich aus mehreren Virialkoezienten zusammen :
Z =1+
Dabei ist
B(t) C(T )
+
+ ...
V
V2
(5)
B(T ) ein Maÿ für die Wechselwirkung zweier Teilchen und C(T ) ein Maÿ für die Wechselwir-
kung von drei Teilchen etc.. Durch die Potenzreihenentwicklung stellt die Virialgleichung eine exakte
mathematische Beschreibung realer Gasen mit empirisch zu bestimmenden Virialkoezienten dar.
2.2.2 Van der Waals-Gleichung
Johannes D. Van-der-Waals stellte
1873 eine anschaulichere aber nicht beliebig exakte Gleichung vor. Die sog. Van-der-Waals- Gleichung
Die Virialgleichung ist nicht sehr anschaulich, dafür aber exakt.
berücksichtigt die durch Wechselwirkung verursachten Kräfte auf zwei Wegen.
Die Teilchen werden wie bei der Gasgleichung für ideale Gase (2.1) als harte Kugeln, die ein Eigenvolumen besitzen und sich gegenseitig nicht durchdringen können, angesehen. Dadurch wird das Volumen,
in dem sich die Teilchen benden können, um
n·b
kleiner (b: Eigenvolumen eines Teilchens, oft auch
Kovolumen ). Durch die Verkleinerung des Volumens werden näherungsweise die Abstoÿungskräfte berücksichtigt.
Um die Anziehungskräfte ebenfalls zu berücksichtigen, variiert man den Druck. Die Stoÿhäugkeit und
Stoÿkraft auf die Wände wird durch die Anziehungskräfte erniedrigt und hängen von der Teilchenkonzentration
n
n2
V ab. Die Druckverringerung (auch Binnendruck genannt) ist proportional zu V 2 , sodass
sich Gleichung (2) wie folgt schreiben lässt:
p+
Die
Van-der-Waals-Konstanten a
n 2
V
und
b
· a · (V − n · b) = n · R · T
(6)
werden wiederum empirisch bestimmt.
Dieses Modell wird jedoch bei hohen Drücken ungenau, da es vorgibt, dass das Volumen nicht kleiner
als
b
werden kann. Hier muss man also auf die Virialgleichung (2.2.1) zurückgreifen.
2.3 Kritischer Punkt
Erhitzt man einen Sto, so beginnt dieser zu verdampfen. Geschieht dies jedoch in einem räumlich
begrenzten Behälter ,so steigt auch der Druck und dadurch wiederum die Siedetemperatur. Dadurch
verdampft die Flüssigkeit meist nicht vollständig. Temperatur, Dampfdruck und Dampfdichte werden
also immer gröÿer, während die Dichte der Flüssigkeit kontinuierlich abnimmt.
An einer bestimmten Temperatur sind Gasdichte und Flüssigkeitsdichte genau gleich groÿ, sodass die
Phasengrenzäche verschwindet. Dieser Punkt wird als kritischer Punkt bezeichnet. Er wird charakterisiert durch die kritische Temperatur
Vkrit
Tkrit ,
den kritischen Druck
pkrit
und das zugehörige Volumen
(Zur besseren Vergleichbarkeit in Volumen pro Mol angegeben.)
Der Kritische Punkt wird mit dem Tripelpunkt durch die Dampfdruckkurve verbunden. An dieser liegen gasförmige und üssige Phase gleichzeitig vor.
5
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
Abbildung 1: Phasendiagramm mit Dampfdruckkurve
förmiger Phase vom Tripelpunkt
pf s (T )
Für Temperaturen
TT r
pS (T )
als Trennlinie zwischen üssiger und gas-
bis zum kritischen Punkt
Tk
und Schmelzkurve
als Trennlinie zwischen fester und üssiger Phase; aus [3]
T > Tkrit
liegt nur noch die gasförmige Phase vor. Da das Gas allerdings eine höhere
Dichte als üblich aufweist, wird dieses auch als überkritisches Fluid bezeichnet.
Am kritischen Punkt liegt ein Sattelpunkt der Druckkurve. Dies ist dadurch zu erklären, dass hier der
erste Punkt ist, an dem die Verüssigungs-Horizontale, im Zusammenhang mit der
Gleichung oft als
Somit gilt für die
Maxwell-Gerade bezeichnet, gerade verschwindet.
Van-der-Waals-Konstanten mit dem molaren Volumen Vm =
n 2 p+
· a · (V − n · b) = n · R · T
V
a
R·T
− 2
⇐⇒
p(Vm ) =
Vm − b Vm
∂p
R · Tkrit
2·a !
=0
⇒
=−
+ 3
∂Vkrit,m
(Vkrit,m − b)2 Vkrit,m
⇒
∂2p
2 · R · Tkrit
6a
!
=
− 4
=0
2
3
(Vkrit,m − b)
∂Vkrit,m
Vkrit,m
Van-der-Waals-
V
n :
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Multiplikation von jeweils 9 und 10 mit
(Vkrit,m − b)2
bzw.
(Vkrit,m − b)3
und Umstellen führt auf:
3
2 · a · (Vkrit,m − b)2 = R · Tkrit · Vkrit,m
(12)
4
3 · a · (Vkrit,m − b)3 = R · Tkrit · Vkrit,m
(13)
Dies führt nach Division von 13 durch 12 und Umstellen auf:
1
b = Vkrit,m
3
(14)
9
a = Vkrit,m · R · Tkrit
8
(15)
Einsetzen in 12 und Umstellen liefert:
6
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
Daraus folgt auÿerdem einerseits durch Umstellen, bzw. andererseits durch Einsetzen in 12 und Auflösen:
(16)
Pkrit
(17)
Vkrit,m
2.4
8·a
27 · R · b
a
=
27 · b2
= 3b
Tkrit =
(18)
Maxwell-Gerade
Löst man die
Van der Waals-Gleichung (6) nach p
p(V )-Diagramm aufzeichnen.
auf, so kann man für konstante Temperaturen
T
(Isothermen ) ein
Abbildung 2: Van-der-Waals-Isothermen von
Die Funktion
p(V )
CO2
für verschiedene Temperaturen; aus [3]
ist ein Polynom dritter Ordnung und weiÿt für die kritische Temperatur einen Sat-
telpunkt und für niedrigere Temperaturen ein Maximum und ein Minimum auf. Dies würde bedeuten,
dass in einem bestimmten Bereich sowohl das Volumen, als auch der Druck ansteigt. Das ist physikalisch nicht möglich. Betrachtet man dies experimentell am Beispiel von Kohlenstodioxid (CO2 ), so
stellt man folgendes fest:
Wird
CO2
bei einer Temperatur von
0◦ C
komprimiert, so folgt der Druck bis zum Punkt A tatsächlich
der in Abbildung (2) dargestellten Kurve. Dort bleibt er dann aber bis zum Punkt C auf der Geraden
p = const.
und steigt dann wieder mit der eingezeichneten theoretischen Kurve steil nach oben. Die
Gerade zwischen den Punkten A, B und C wird als
Maxwell-Gerade bezeichnet und wird so eingezeich-
net, dass die Fläche zwischen Gerade und theoretischer Kurve ober- und unterhalb der Kurve genau
gleich groÿ ist (um die Energieerhaltung zu erfüllen).
Ab Punkt A beginnt eine Verüssigung des Gases, und erst bei Punkt C ist das Gas vollständig verüssigt. Entlang der Geraden durch A,b,C können also Flüssigkeit und Gas nebeneinander existieren,
deswegen wird dieser Bereich auch als Koexistenzbereich bezeichnet. Flüssigkeiten haben im Vergleich
zu Gasen eine sehr geringe Kompressibilität, weshalb der Druck nach Punkt C extrem steil ansteigt.
7
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
2.5 Innere Energie
Die innere Energie
V
U
eines Gases setzt sich aus der Gesamtenergie aller
N
Moleküle in einem Volumen
zusammen. Die Energie eines einzelnen Moleküls besteht aus kinetischer Energie (Translations-,
Rotations- und Schwingungsenergie ) und der durch gegenseitige Wechselwirkung bedingte potentielle
Energie.
Die mittlere kinetische Energie eines Moleküls beträgt
Wkin =
Hierbei bezeichnet
f
1
· f · k · T.
2
die Anzahl der Freiheitsgrade des Moleküls,
(19)
k
die
Bolzmann-Konstante und T
die
absolute Temperatur.
Bei idealen Gasen ist die potentielle Energie gleich Null, da die Wechselwirkung vernachlässigt wird,
sodass sich für die innere Energie
U = Wkin + Wpot =
1
·N ·f ·k·T
2
(20)
ergibt.
2.5.1 innere Energie realer Gase
Bei realen Gasen ist die innere Energie zusätzlich auch noch abhängig vom Volumen, da die Moleküle
eine potentielle Energie besitzen. Diese ist bedingt durch den Binnendruck
a
pro Mol einer StoV2
menge. Um die potentielle Energie zu erhalten muss man über den Druck integrieren, wobei man ein
unendliches Volumen auf ein endliches komprimiert.
V
Z
Epot =
∞
=−
a
dV
V 02
a
V
(21)
Dadurch ergibt sich für die gesamte innere Energie:
U (V ) =
a
1
·f ·k·T − .
2
V
(22)
2.6 Hauptsätze der Thermodynamik
Die Hauptsätze der Thermodynamik stellen eine Grundlage für thermodynamische Prozesse zu Verfügung. Sie sind mathematisch nicht beweisbar sind, sondern basieren lediglich auf Erfahrungen.
2.6.1 Erster Hauptsatz der Thermodynamik
Beim ersten Hauptsatz der Thermodynamik handelt es sich um einen Energieerhaltungssatz. Wird
einem System Wärmeenergie
Energie
U
∆Q
zugeführt, so kann dies entweder zu einer Erhöhung der inneren
oder zu einer Expansion des Volumen
V
gegen den Druck
p,
also vom System verrichteter
Arbeit, führen.
∆Q = ∆U − ∆W
(23)
∆U = ∆Q + ∆W
(24)
bzw.
8
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
Die Summe der einem System von auÿen zugeführten Wärme und der zugeführten Arbeit
ist gleich der Zunahme seiner inneren Energie. [3]
Bei idealen Gasen gilt für die verrichtete Arbeit der innitesimalen Expansion um
dV
gegen den Druck
p.
dW = −p · dV
(25)
Daher folgt der erste Hauptsatz der Thermodynamik für ideale Gase:
dU = dQ − p · dV
(26)
Aus (26) kann man den Zusammenhang zwischen den Zustandsgröÿen
p, V, T
für spezielle Prozesse
entnehmen. (siehe auch 2.12)
2.6.2 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Dieser Hauptsatz behandelt die Problematik, welcher Bruchteil der Wärmeenergie eines Systems wirklich in mechanische Energie umgewandelt wird.
Wärme ieÿt von selbst immer nur vom wärmeren zum kälteren Körper, nie umgekehrt.
[3]
2.6.3 Dritter Hauptsatz der Thermodynamik
Der dritte Hauptsatz wird auch als
Nernst'sches
Theorem bezeichnet.
Der thermodynamische Gleichgewichtszustand am absoluten Nullpunkt ist ein Zustand
maximaler Ordnung, der nur eine Realisierungsmöglichkeit mit
W =1
hat [3]
Dadurch ist es prinzipiell unmöglich, den absoluten Temperaturnullpunkt zu erreichen.
2.7 Entropie
Die Entropie
Druck
p
S
ist eine Zustandsgröÿe, d.h. sie beschreibt zusammen mit der Temperatur
und dem Volumen
V
T,
dem
den Zustand eines Systems und ist nicht von vorhergehenden Prozessen
abhängig.
Bei einem reversiblen Kreisprozess bezeichnet man den Quotienten
dQ
T als reduzierte Wärmemenge.
Daraus kann man die Entropie denieren. Dass sie eine Zustandsgröÿe ist, liegt daran, dass sie nur
von den Zustandsgröÿen Druck
p,
Temperatur
T
und Volumen
V
abhängt, und somit auch eine Zu-
standsgröÿe ist. Somit hängt sie nur vom Anfangs- und Endpunkt im Zustandsdiagramm, nicht aber
vom genommenen Weg ab. Für ein innitesimal kleines Wegstück wird die innitesimale Änderung der
Entropie deniert als:
dS =
dQ
T
(27)
Für einen reversiblen Kreisprozess, wie die beiden (idealen) oben genannten folgt daraus:
∆Q1
∆Q2
=−
T1
T2
Die Entropie
∆S
(28)
des Systems ist also gleich Null.
Für irreversible Kreisprozesse kann die Entropie ebenfalls aus den anderen Zustandsgröÿen berechnet
werden. Sie nimmt dann immer zu, da Wärmeenergie verloren geht.
9
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
2.8 Wärmeäquivalent
Wird einem Körper eine bestimmte Energie
dazu um
∆T
∆W
zugeführt so steigt dessen Temperatur proportional
an.
∆W = ∆Q = c · M · ∆T
(29)
M die Masse des Körpers und c die spezische Wärmekonstante ist. Früher wurde die Wärme∆Q in [∆Q] = 1cal angegeben. Dies entspricht der Wärmemenge die nötig ist um 1g Wasser
14.5◦ C auf 15.5◦ C zu erwärmen. Heute wird als Energieeinheit 1J = 1W s = 1N m verwendet. Die
Wobei
menge
von
Äquivalenz der beiden Einheiten wird als Wärmeäquivalent bezeichnet und kann auf zwei unterschiedliche Wege bestimmt werden:
2.8.1 Elektrisches Wärmeäquivalent
Wird ein Tauchsieder in ein Wasserbad gebracht so kann die geleistete Arbeit
entsprechende gleichgroÿe Wärmemenge
∆Q = c · M · ∆T
∆W = U · I · ∆t und die
gemessen werden. Die Relation gibt dann
das elektrische Wärmeäquivalent an.
W el =
∆Q [cal]
cal
= 0.23885
∆W [W s]
Ws
(30)
2.8.2 Mechanisches Wärmeäquivalent
Beim mechanischen Wärmeaquivalent wird mit Reibung gearbeitet. Um einen mit Wassergefüllten
Hohlzylinder aus Kupfer wird ein Metallband gewickelt. An diesem hängt ein Gewicht, welches dieses
nach unten zieht. Nun wird der Zylinder in einer Zeit
∆t
mit einer Frequenz
f
um seine Längsachse
gedreht, wobei das Gewicht bei auftretender Reibungskraft auf einer konstanten Höhe bleibt:
Abbildung 3: Aufbau zum mechanischen Wärmeäquivalent [3]
Dabei wird die mechanische Arbeit
mit
N = f · ∆t
∆WM = m · g · 2π · N
(31)
∆Q = (cW · MW + cCu · MCu ) · ∆T1
(32)
verrichtet.
Dies entspricht der Wärmemenge
10
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
Dieser Vorgang wird anschlieÿend ohne die Wasserfüllung wiederholt und man erhält die Temperaturdierenz
∆T2 .
Wegen
(cW · MW + cCu · MCu ) · ∆T1 = cCu · MCu · ∆T2
(33)
ergibt sich
∆Q = cW · MW
∆T1
· ∆WM
· ∆T1 = 1 −
∆T2
(34)
Für das mechanische Wärmeäquivalent gilt dann also:
WM =
Da
1 W s ≈ 0.24 cal
∆Q [1/cal]
Nm
= 4.186
∆W [1/N m]
cal
(35)
gilt kommt man auf beiden Wegen zum selben Ergebnis.
2.9 Mechanische Leistung und Drehmomentmessung
Die mechanische Leistung
PM
ist die während einer innitesimalen Zeitspanne verrichtete mechanische
Arbeit. Für sie gilt also:
PM =
dW
dt
(36)
Für die mechanische Leistung einer Translationsbewegung mit Geschwindigkeit
~v
gegen eine Kraft
F~
gilt:
PM = F~ · ~v
(37)
Für die mechanische Leistung einer Rotationsbewegung gilt:
~ ·ω
PM = M
~
Abbildung 4:
Prony'scher
Für die mechanischen Leistung
PM
Zaum zur Drehmomentmessung; aus [6]
gilt demnach mit der Frequenz
2·π·r
·F =2·π·M ·ν
T
Leistung PM einer Drehbewegung
PM =
Zur Messung der mechanischen
Prony'scher
(38)
ν:
(39)
(z.B. eines Motors) kann ein sog.
Zaum verwendet werden. Dieser besteht wie in der Grak zu sehen aus einem Aufsatz,
welcher beweglich auf der Drehachse befestigt wird, einem ein Drehmoment erzeugenden Hebel (im
Bild Hebel mit Kraftmesser; im Versuch Hebel mit Gewicht) und einer Skala, an welchem das wirkende
Drehmoment abgelesen werden kann.
11
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
2.10 Elektrische Leistung
Die elektrische Leistung ist das elektrische Pendant zur mechanischen Leistung: an die Stelle mechanischer Arbeit tritt die elektrische Energie, die verbraucht oder erzeugt wird. Für die Leistung gilt mit
der Spannung
U
und der Stromstärke
I
bei Gleichstrom bzw. beim Eektivwerte bei Wechselstrom:
PE = U · I
(40)
2.11 Wirkungsgrad
Als Wirkungsgrad
Wärmemenge bei
η bezeichnet man den Quotienten aus der verrichten Arbeit und der aufgenommenen
der Temperatur T :
∆W η=
(41)
∆Q1 Aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik (2.6.2) können wir schlieÿen, dass der Wirkungsgrad
einer Wärmekraftmaschine immer kleiner eins ist, d.h. Wärme kann nicht vollständig in mechanische
Arbeit umgewandelt werden. Dies gilt auch für den umgekehrten Prozess, eine Wärmepunpe.
Sehr deutlich sieht man dies beim
Carnot'prozess.
2.12 Kreisprozesse
Als Kreisprozess bezeichnet man einen thermodynamischen Prozess eines Systems, bei dem der Endzustand dem Anfangszustand entspricht. Kreisprozesse, die in beide Richtungen durchlaufen werden
können, werden als reversibel bezeichnet. In der Realität sind Kreisprozesse allerdings immer irrever-
sibel.
2.12.1 Thermodynamische Prozesse
Während eines Kreisprozesses können vier verschiedene Arten von thermodynamischen Prozessen
durchlaufen werden. Diese möchte ich im folgenden erläutern.
•
Isochorer Prozess
(V =const.)
Da es zu keiner Volumenänderung kommt führt die von auÿen zugeführte Wärmemenge
dQ
vollständig zu einer Erhöhung der inneren Energie.
•
Isobarer Prozess
(p=const.)
Da der Druck konstant bleibt ist die Änderung der Enthalpie gleich der zugeführten Wärmemenge.
•
Isothermer Prozess
(T =const.)
Bei einem Idealen Gas bleibt bei konstanter Temperatur auch die innere Energie konstant. Dies
bedeutet auÿerdem, dass die von auÿen zugeführte Wärmemenge vollständig in Arbeit umgewandelt wird.
12
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
•
Adiabatischer Prozess
(dQ
= 0)
Bei Adiabatischen Prozessen ndet kein Wärmeaustausch mit der Umgebung statt. Dies ist z.B.
der Fall wenn es in einem begrenzten Volumen zu einer so schnellen Volumen- oder Druckänderung
kommt, sodass der Wärmeaustausch mit der Umgebung vernachlässigt werden kann.
2.12.2 Carnot'scher Kreisprozess
Carnot'schen Kreisprozess handelt es sich um ein reines Gedankenexperiment. Es beschreibt den
Kreisprozess eines idealen Gases und wurde 1824 von Nicolas L. S. Carnot angegeben.
Beim
Abbildung 5:
Carnot'scher
Kreisprozess; aus [3]
V1 , p1 und T1 . Zunächst durchläuft es eine isotherme
T1 . Dadurch wird die Wärmemenge des Systems um ∆Q1
1) Das System beginnt bei einem Zustand 1 mit
Expansion zu Zustand 2 mit
V2 , p2
und
erhöht. Des weiteren verrichtet das System Arbeit an seiner Umgebung.
Nach dem ersten Hauptsatz gilt:
dQ = p · dV
Z V2
⇒ ∆Q1 = p ·
dV = −∆W12
(42)
(43)
V1
Mit dem Gasgesetz (2) folgt weiter:
Z
V2
1
dV
V1 V
V2
= R · T1 · ln
V1
−∆W12 = R · T1
(44)
2) Als nächstes ndet eine adiabatische Expansion statt, sodass das System in einen Zustand mit
V3 , p3
und
T2 < T1
gelangt. Auch hier wird Arbeit an der Umgebung verrichtet.
dQ = 0
⇒ ∆W23 = U (T2 ) − U (T1 )
13
(45)
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
3) Der dritte Prozess ist eine isotherme Kompression, sodass das System die Wärmemenge
abgeben muss. Zustand 4 ist gekennzeichnet durch
V4 , p4
und
T2 .
∆Q2
Die Umgebung verrichtet
Arbeit am System.
∆W34 = −∆Q2 = R · T2 · ln
V3
V4
(46)
4) Mit dem vierten Schritt gelang das System wieder zu seinem Anfangszustand zurück. Es handelt sich um eine adiabatische Kompression, bei der wieder die Umgebung Arbeit am System
verrichtet.
∆W41 = U (T1 ) − U (T2 )
(47)
Betrachtet man die gesamte Arbeit, so ergibt sich:
Wges = ∆W12 + ∆W23 + ∆W34 + ∆W41
V1
V3
= R · T1 · ln
+ U (T2 ) − U (T1 ) + R · T2 · ln
+ U (T1 ) − U (T2 )
V2
V4
V1
V3
= R · T1 · ln
+ T2 · ln
V2
V4
(48)
Des weiteren gilt (vgl. [3])
ln
V3
V4
= −ln
V1
V2
(49)
Daraus ergibt sich also:
Wges = R · (T1 − T2 ) · ln
Die Maschine hat also die Wärmemenge
∆Q1
V1
V2
(50)
aufgenommen und in Arbeit umgewandelt. Man bezeich-
net sie auch als eine Wärme-Kraft-Maschine.
Die abgegebene Wärmemenge
∆Q2
geht in der Regel verloren, wodurch sich folgender Wirkungsgrad
ergibt.
R(T − T ) · ln V2
1
2
∆W V1
=
η = ∆Q1
R · T1 · ln VV12
=
Es ist also praktisch am günstigsten
(T1 − T2 )
<1
T1
T1
möglichst groÿ und
(51)
T2
möglichst klein zu wählen.
Wird der Prozess in umgekehrter Reihenfolge durchlaufen, also Arbeit am System verrichtet, sodass sie
Wärme von einem kälteren Reservoir in ein wärmeres transportiert, so bezeichnet man dies als Wärme-
pumpe. Nach dem gleichen Prinzip arbeitet auch die Kältemaschine, welche die Abkühlung ausnutzt.
Hierbei ist der Wirkungsgrad deniert durch:
εW P =
T1
1
∆Q1
=
=
∆W
T1 − T2
η
14
(52)
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
Stirling'scher
Abbildung 6:
Kreisprozess; aus [3]
2.12.3 Stirling'scher Kreisprozess
Der
Stirling'sche Kreisprozess beginnt genauso wie der Carnot'sche mit einer isothermen Expansion.
Demnach gilt auch hier für die Arbeit:
∆W12 = R · T1 · ln
V1
V2
(53)
Carnot'schen Prozess, eine isochore Abkühlung. Das
V2 , p3 < p2 und T2 < T1 über. Hierbei wird die Wärmemenge
Der zweite Schritt ist allerdings, anders als beim
System geht also in einen Zustand mit
∆Q2
abgegeben.
Als drittes folgt , wieder identisch zum
V2 ,p4 ,T2 ).
Carnot'schen
Prozess eine isotherme Kompression (V3
<
Demnach folgt für die Arbeit:
∆W34 = R · T2 · ln
V2
V3
(54)
Damit das System wieder am Anfangszustand angelangt muss als vierter Schritt eine isochore Erwärmung stattnden. Dabei nimmt das System die Wärmemenge
verrichtet wird gilt
∆Q4 = −∆Q2 .
Die gesamte Arbeit entspricht der des
Carnot'schen
∆Q4
auf. Da keine Volumenarbeit
Prozesses (50)
Der Wirkungsgrad unterscheidet sich allerdings, da die Wärmemenge
∆Q2
verloren geht und
∆Q4
aus
einer externen Quelle hinzugefügt werden muss.
2.13
Die
Stirling'maschine
Stirling'maschine arbeitet mit dem Medium Luft, welches in einer Maschine einen Stirling'prozess
durchläuft. Die Maschine besteht aus zwei Kolben: Dem Arbeits - und dem Verdrängungskolben, diese sind um
90◦
Phasenverschoben. Gemeinsam treiben sie eine Kurbelwelle an. In einer Periode der
Maschine wird der
Kolben analog zum
Stirling'sche Kreisprozess genau ein Mal durchlaufen.
Stirling'schen Kreisprozess in vier Schritte zerteilen.
Man kann die Arbeit der
Zunächst wandert der Arbeitskolben nach unten und vergröÿert das Volumen. Die Wärme der geheizten
Wand wird in Arbeit umgewandelt, indem der Verdrängerkolben nach unten in seinen tiefsten Stand
gedrückt wird.
Während der isochoren Abkühlung, bleibt das Volumen näherungsweise konstant. Da sich der Verdrängerkolben aber wieder nach oben bewegt, strömt die warme Luft um bzw. durch den Verdrängerkolben
15
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
Abbildung 7:
Stirlingmaschine;
aus [3]
und die Wärme wird an den Wärmespeicher abgegeben, wodurch sich die Luft abkühlt.
Als nächstes bewegt sich der Arbeitskolben wieder nach oben, wodurch das Volumen wieder verkleinert wird. Da der Verdrängerkolben sich aber an seinem höchsten Punkt bendet, wird Wärme an die
Umgebung abgegeben.
Zuletzt erreicht der Arbeitskolben seinen höchsten Punkt. Das Volumen bleibt hier also nahezu konstant, der Verdrängerkolben bewegt sich nach unten, und die Wärme aus dem Wärmespeicher wird
zurück an die Luft abgegeben, sodass diese (idealerweise) wieder ihre Anfangstemperatur hat. Der
Prozess kann von neuem beginnen.
Im idealen
Stirling'prozess
laufen die einzelnen Prozesse hintereinander ab, im realen jedoch durch-
laufen die Kolben Sinus- bzw. Kosinusverläufe, wodurch das p-V-Diagramm deutlich runder wird.
Wie schon erwähnt, kann die Wärmekraftmaschine auch als Wärmepumpe oder Kältemaschine eingesetzt werden, indem man den Kreisprozess in umgekehrter Reihenfolge durchläuft. Bei der Kältemaschine wird die aufgewendete mechanische Arbeit dazu verwendet, Wärme von einem kühleren Reservoir
in ein wärmeres zu transportieren, um das kühlere weiter abzukühlen. Analog dazu transportiert eine
Wärmepumpe ebenfalls die Wärmemenge von einem kühleren zu einem wärmeren Ort, um diesen aufzuwärmen.
Ähnliche Eekte werden bei Heizungen durch Wärmepumpen oder bei Kühlungen benutzt. Der
Striling-
Motor selbst wird zunehmend auch als direkter Motor zum Betreiben eines Generators an autonomen
Solarkraftwerken in Gebieten mit hoher direkter Sonneneinstrahlung verwendet. In kleinen Blockheizkraftwerken, U-Booten oder in der Raumfahrt wird er ebenfalls zunehmend verwendet. Als Automotor
konnte er sich auf Grund des geringen Wirkungsgrades bei hoher Leistung nicht durchsetzen.
2.14 Inversionstemperatur und Joule-Thomson-Eekt
Um die Inversionstemperatur einführen zu können, benötigen wir zunächst eine weitere Zustandsgröÿe,
die Enthalpie
H.
Diese ist wie folgt deniert:
H =U +p·V
16
(55)
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
Setzt man hier die nach
p aufgelöste Van-der-Waals- Gleichung (6) und die Innere Energie U
(20) ein,
so erhält man:
1
a
H = ·f ·R·T − +
2
V
R·T
a
− 2
V −b V
· V.
(56)
Betrachtet man nun einen Expansionsprozess, d.h. die Enthalpie ist konstant, und bildet die entsprechenden Ableitungen, so kommt man auf eine genährte Gleichung für
dT ≈
Man sieht daraus, dass für
2·a<b·R·T
dT .
b·R·T −2·a
1
2
2 ·f +1 R·V
(57)
dT < 0 der Zusammenhang 2·a > b·R·T
und für
dT > 0 der Zusammenhang
folgt. Hieraus kann man dann die Inversionstemperatur herleiten.
Tinv =
2·a
b·R
(58)
Die Inversionstemperatur hängt also von den Anziehungskräften zwischen den Atomen/ Molekülen (a)
und den Eingenvolumina (b) ab.
Liegt die Temperatur eines realen Gases bei einer Expansion unterhalb der Inversionstemperatur,
so wird dieses weiter abgekühlt. Dieser Eekt wird auch als
Joule-Thomson-Eekt
bezeichnet. Bei
der Expansion wird der mittlere Abstand der Gasmoleküle gröÿer. Es wird also Arbeit gegen die Anziehungskräfte der Moleküle zueinander verrichtet, sodass das System eine höhere potentielle Energie
erhält. Da aber Energieerhaltung gilt nimmt die kinetische Energie der Gasmoleküle ab, was zu einer
Abkühlung des Systems führt.
Ist die Temperatur höher als die Inversionstemperatur so ndet eine Erwärmung des Gases statt.
2.15 Verüssigung realer Gase (Linde-Verfahren)
Bei der Verüssigung von Gasen wird der
das
Linde-Verfahren
Joule-Thomson-Eekt ausgenutzt. Im Folgenden soll speziell
erläutert werden.
Abbildung 8: Schematische Darstellung des
Das
Linde-Verfahrens
zur Luftverüssigung; aus [3]
Linde-Verfahren nutzt aus, dass sich Luft schon bei Zimmertemperatur bereits unter seiner Inversi-
onstemperatur bendet. Man kann also nach dem Prinzip der Vorkühlung und dem Gegenstromprinzip
Sticksto
N2 und Sauersto O2 ohne vorherige Kühlung problemlos verüssigen.
K drückt die Luft durch das Ventil V1 in das Volumen V2 mit dem
Der Kolben
17
Druck
p2 .
Das Gas
3 HEIßLUFTMOTOR
R. Garreis & S. Beinlich
wird im Trockner
Tr
getrocknet und anschlieÿend im Kühler
K
vorgekühlt. Über das Drosselventil
gelangt das Gas dann in eine weitere Kammer. Hierbei wird es entspannt und kühlt sich auf Grund
∆T
K
Joule-Thomson-Eektes ab. Bei Luft beträgt die Abkühlung ca ∆P
= 0.25 bar
. Die abgekühlte
Luft strömt durch Ventil V l2 wieder zurück in die Ausgangskammer und kühlt dabei nach dem Gedes
genstromprinzip die neu komprimierte Luft. Da die gekühlte Luft währen der Expansion des Kolbens
wieder in die Ausgangskammer zurückkehrt, kann der Kreislauf mit der nächsten Kompression wieder
von vorne beginnen.
Nach mehreren Durchläufen ist die Temperatur des Gases unter die Siedetemperatur von
gefallen. Die nun üssigen Stoe werden im Behälter
und
O2
B
N2 ,
bzw.
gesammelt. Da sich die Siedepunkte von
O2
N2
unterscheiden können diese so auÿerdem getrennt werden.
Will man mit dem
Linde-Verfahren andere Gase, wie z.B. N e oder He verüssigen so müssen diese erst
Joule-Thomson-Eekt
vorher unter die jeweilige Inversionstemperatur gebracht werden, damit man den
ausnutzen kann.
3 Heiÿluftmotor
3.1 Versuchsaufbau
Abbildung 9: Der Versuchsaufbau Heiÿluftmotor, linkes Bild aus [4], rechtes Bild aus [5]
Als Versuchsaufbau kommt ein
Stirling-motor von PHYWE zum Einsatz. Er kann entweder als Wärme-
kraftmaschine oder als Wärmepumpe bzw. Kältemaschine in Betrieb genommen werden. Die Maschine
besteht aus einem waagrechten Verdrängerzylinder (Kolben: (V)) und einem vertikalen Arbeitszylinder
(Kolben: (A)). In den Aufbau integriert ist ein Drehzahlmesser (Einheit [
1
1
min ], nicht [ s ] wie im Pro-
tokoll angegeben) und Druck- und Volumensensoren, welche über das Messsystem
Computer ausgewertet werden können. Die Daten werden in
Volumenkanal
∆U
mV
0V =V
ˆ min = 32cm3 , ∆V
= 50 cm
3
mV
CassyLab
an einem
ausgegeben. Dabei entsprachen am
und am Druckkanal
mV
0V =p
ˆ Labor , ∆U
∆p = 2 hP a .
Die Temperatur an den Enden des Verdrängungszylinders werden über Sonden durch ein Temperaturmessgerät gemessen. Zum Betrieb als Kältemaschine steht ein Elektromotor, zum Betrieb als Wärmekraftmaschine ein Spiritusbrenner (Heizwert des Spiritus:
welches nach dem Prinzip des
Prony'schen
H = 27 MkgJ ) und ein Drehmomentmessgerät,
Zaums (s.2.9) arbeitet, zur Verfügung.
18
3 HEIßLUFTMOTOR
R. Garreis & S. Beinlich
3.2 Versuchsdurchführung
Vor Beginn des eigentlichen Versuches werden Druck der Umgebung (pLabor
952, 16hP a)
und Gewicht des Spiritusbrenners
m1 = 115, 98(1)g
= 714, 3mm Quecksilbersäule =
(frisch gefüllt) notiert.
3.2.1 Versuchsteil I: Kältemaschine
Der Elektromotor wird am Aufbau befestigt und über einen Gummiriemen mit dem Stirlingmotor
verbunden. Als Spannungsquelle dient ein Steckernetzteil. Vor Inbetriebnahme muss die Position minimalen Volumens (Arbeitskolben A ganz unten) kalibriert werden.
Nach einiger Zeit Betrieb stellt sich eine konstante Temperatur ein, sodass die Messungen gemacht
werden können. Dazu werden am Programm
CassyLab
die belegten Kanäle, Zeitintervall und Anzahl
der Messpunkte so eingestellt, dass gerade ein Arbeitszyklus vollständig aufgezeichnet wird.
Zu einer Messung der Druck-Volumen-Kurve (p-V-Kurve) werden Temperatur an beiden Messpunkten
1
Tmin , Tmax , Drehzahl bzw. Frequenz ν [ min
] notiert, und zusätzlich zum Speichern des p-V-Diagramms
bzw. der Messwerte die Maxima und Minima des Druckes und des Volumens (pmax , pmin , Vmax , Vmin )
notiert. Schlieÿlich wird noch die am Motor anliegende Spannung U und (Gleich-) Strom I gemessen.
3.2.2 Versuchtsteil II: Wärmekraftmaschine
Der Motoraufsatz wird durch den Drehmomentmesser ersetzt und der Spiritusbrenner angezündet. Um
später dessen Brennstoverbrauch
∆m
zu bestimmen, wird ab hier die Zeit
∆t
bis zum Löschen der
Flamme nach dem Abschluss des Versuches gestoppt.
(i) Der Brenner wird mit dem beiliegenden Schornstein versehen, um den Verdrängerzylinder so optimal wie möglich zu heizen. Nun wird so lange gewartet bis der Motor mit konstanter Drehzahl
läuft und sich konstante Temperaturen an den Messsonden eingestellt haben. Wie beim Betrieb
1
Tmin , Tmax , Drehzahl ν [ min
] und maximaler und
Vmax , Vmin gemessen und das Diagramm bzw. die
als Kältemaschine werden nun Temperaturen
minimaler Druck
pmax , pmin
und Volumen
Messwerte abgespeichert.
PM zu ermitteln, wird nun der Motor mit dem Aufsatz für
den Drehmomentmesser (Prony'scher Zaum; (2.9)) versehen und leicht belastet. Die Drehzahl
1
soll hierdurch auf rund 500
min reduziert werden, jedoch war dies trotz langem Probieren nicht
1
möglich, da der Motor schon bei etwa 650
min Umdrehungen völlig stehen blieb. Deshalb wurde
1
die Messung bei einer Drehzahl von 703
min durchgeführt. Zusätzlich zu den Messungen von oben
wurde das Drehmoment M notiert. Anschlieÿend wurde in zehn Messungen die Drehzahlen mit
(ii) Um die erzeugte mechanische Leistung
entsprechenden Drehmomenten gemessen.
R als
ν und die
Stirling-motor
(iii) Zuletzt sollte der Motor als Generator betrieben werden und ein elektrischer Widerstand
Verbraucher eingesetzt werden und für verschiedene Werte von
erzeugte Motorspannung
U
R
die Drehzahlen
gemessen werden. Jedoch war es nicht möglich den
mit angeschlossenem Generator zum Laufen zu bringen - trotz Starthilfe durch Anschlieÿen des
Elektromotors an die Stromquelle. Oenbar war die Belastung durch Reibungsverluste und Motor
zu groÿ. Deshalb entel dieser Versuchsteil.
Nach dem Versuch wurde das Gewicht des Spiritusbrenners
19
m2 = 83, 32(1)g
notiert.
3 HEIßLUFTMOTOR
R. Garreis & S. Beinlich
3.3 Auswertung
3.3.1 Stomenge
Zuerst soll die Stomenge
n des in der Maschine enthaltenen Gases bei den unterschiedlichen Messungen
bestimmt werden. Dies geschieht über das Gasgesetz idealer Gase (2). Diese Berechnung kann für jeden
Versuchsteil (I, II i & ii : (3.2.1,3.2.2) ) einmal für die minimalen Werte (Vmin , pmin , Tmin )und einmal
für die maximalen Werte (Vmax , pmax , Tmax ) durchgeführt werden:
p·V =k·N ·T =n·R·T
p·V
⇔n=
n·R
(59)
(60)
Die aus den Rohdaten ermittelten Messwerte samt Messunsicherheiten (aus den angegebenen skaliert)
sind in folgender Tabelle (1) aufgeführt. In der darauolgenden Tabelle sind die daraus berechneten
Werte für die Stomenge
n
samt Mittelwert
n̄
und Standartabweichung
σn̄ angegeben:
N
1X
ni = 0, 0012(4)mol
n
i=1
v
u
N
u 1 X
t
σn̄ =
(n̄ − ni )2 = 0, 0004mol
N −1
n̄ =
(61)
(62)
i=1
ν
Druck
p [hP a]
Volumen
V [cm3 ]
Temperatur
1
]
[ min
min
max
min
max
min
T [K]
max
I Kältemaschine
916(2)
797(3)
1150(3)
32,0(1)
44,3(1)
294,05(5)
308,2(5)
II (i) WKM unbel.
965(2)
792(3)
1207(3)
32,0(1)
44,3(1)
361,05(5)
511,65(5)
II (ii) WKM bel.
703(2)
796(3)
1228(3)
32,0(1)
44,3(1)
354,55(5)
506,25(5)
Tabelle 1: Drehzahl
1
ν [ min
],Drücke p [hP a],Volumen V [cm3 ]
und Temperaturen
T [K]
beim Betrieb
als Kältemaschine, unbelastete Wärmekraftmaschine (WKM) und belasteter Wärmekraftmaschine (mit skalierten Messunsicherheiten aus dem Versuchsprotokoll)
Stomenge
n [mol]
min.-Kombination
max.-Kombination
I Kältemaschine
0,00104
0,00198
II (i) Wärmekraftmaschine unbelastet
0,00084
0,00125
II (ii) Wärmekraftmaschine belastet
0,00086
0,00129
Mittelwert
n̄ (σn̄ )
0,0012(4)mol
Tabelle 2: Stomenge der einzelnen Kombinationen und gemittelter Wert
σn̄
in
n̄
samt Standartabweichung
[mol]
Der sehr groÿe Fehler von über
30%
ist auf die bei der Kältemaschine aus den maximalen Werten
berechnete Stomenge zurückzuführen, welche deutlich nach oben ausbricht, und somit die Standartabweichung stark erhöht.
20
3 HEIßLUFTMOTOR
R. Garreis & S. Beinlich
3.3.2 Fehlerbetrachtung
Die angegebenen Fehler der Temperatur, der Drehzahl, des Gewichts und der Spannung bzw. des
Stroms resultieren aus der Anzeigegenauigkeit der Messgeräte. Die Messunsicherheiten der Messung
von Druck, Volumen und Drehmoment wurden abgeschätzt.
Bei allen Versuchsteilen wurden folgende Faktoren, welche Fehler verursachen, nicht berücksichtigt, da
sie nicht zu quantizieren sind:
•
Reibungsverluste im
Stirlingmotor,
welche oenbar sehr groÿ waren, wie es das schnelle Ab-
würgen des Motors schon bei leichter Belastung zeigt.
•
Der Temperaturwert ist der durch Sonden im Verdrängerkolben gemessene. Jedoch hat der Motor
viele Toträume (Schläuche zu Messgeräten, Verbindung zwischen Verdränger- und Arbeitskolben,
Messgeräte selbst), in denen andere Temperaturen geherrscht haben und somit die aus der Temperatur berechneten Werte stärker abweichen können, als es der reine Messfehler suggeriert.
•
Auÿerdem spielen Wärmeverluste eine groÿe Rolle, welche z.B. im Arbeitskolben völlig unberücksichtigt bleiben und somit groÿe Abweichungen hervorrufen können, welche nicht beachtet
werden.
•
Die Zyklen laufen mit extrem hoher Geschwindigkeit ab, sodass der Wärmespeicher ( hier einfach
der Verdrängerkolben) sehr schnell Wärme aufnehmen und wieder abgeben muss. Da dies nicht
ideal erfolgen kann, sind die isothermen Verläufe nur näherungsweise isotherm.
21
3 HEIßLUFTMOTOR
R. Garreis & S. Beinlich
3.3.3 p-V-Diagramme der Anordnungen
Aus den gespeicherten Messwerten wurden die p-V-Diagramme der verschiedenen Versuchsteile erstellt.
Zusätzlich wurden aus den Messwerten der theoretische Verlauf des p-V-Diagramms der Kältemaschine
geplottet: Der theoretische Verlauf der isothermen Abschnitte ergibt sich aus der Gasgleichung für ideale
Abbildung 10: p-V-Diagramm des Betriebs als Kältemschine
Gase (vgl 2.1):
pmax,min (V ) = n · R ·
Tmax,min
V
(63)
Die senkrechten Verläufe (isochore Prozesse) nden bei konstantem Volumen statt, sind somit einfach
die Verbindungslinien bei
Vmax,min .
Die ideale Kurve liegt deutlich unter der realen, ansonsten sind die grundsätzlichen Verläufe jedoch
ähnlich, qualitativ entsprechen also die gemessenen Kurven den erwarteten.
Der Versatz kann durch eine zu niedrig ermittelte Stomenge kommen sowie durch die idealisierte Annahme, dass das gesamte Gas die gemessenen Temperaturen aufweist, was beim realen Prozess nicht
der Fall ist (s.o.). Die starke Auswölbung und Abrundung werden wahrscheinlich durch die nicht ideale
Abfolge der Prozesse bedingt durch die Ansteuerung durch den Arbeits- bzw. Verdrängerkolben hervorgerufen. Im idealen Modell geht man von hintereinander folgenden Prozessen aus, real durchlaufen
beide Kolben jedoch Sinius- bzw. Kosinusverläufe (gut zu erkennen im Schema (7). Auÿerdem können
die schon erwähnten Fehlerfaktoren (3.3.2) ebenfalls eine Rolle spielen.
Beim Vergleich der unbelasteten und der belasteten Wärmekraftmaschine fällt auf, dass der Zyklus
der unbelasteten eine kleinere Fläche umschlieÿt, als der des belasteten, es wird also weniger Arbeit
verrichtet, wie es zu erwarten ist. Auch hier sind die schon diskutierten Fehler und Abrundungen
deutlich zu erkennen.
3.3.4 Arbeit, Wärme und Wirkungsgrade
Kältemaschine Aus den gemessenen Werten
0, 590(5)A;
(Motorspannung
U = 12, 405(5)V ,
Motorstrom
für die restlichen siehe Tabelle 1 ) können nun folgende Gröÿen berechnet werden:
22
I =
3 HEIßLUFTMOTOR
R. Garreis & S. Beinlich
Abbildung 11: p-V-Diagramm des Betriebs als unbelastete Wärmekraftmaschine
Abbildung 12: p-V-Diagramm des Betriebs als belastete Wärmekraftmaschine
•
Aufgewendete elektrische Arbeit:
U ·I
= 0, 479(7)J
mit
ν
I U U · I δWel = · δU + · δI + 2 · δν = 0, 007J
ν
ν
ν
Wel =
23
(64)
(65)
3 HEIßLUFTMOTOR
R. Garreis & S. Beinlich
•
Aufgewendete Arbeit (idealer Prozess):
Vmax
Wi = n̄ · R · (Tmax − Tmin ) · ln
= 0, 046(18)J
mit
Vmin
Vmax Vmax · σn̄ + n̄ · R · ln
· (δTmax + δTmin ) +
δWi = R · (Tmax − Tmin ) · ln
Vmin Vmin n̄ · R · (Tmax − Tmin ) · δVmax + n̄ · R · (Tmax − Tmin ) · δV
+ min = 0, 018J
Vmax
Vmin
•
(66)
(67)
(68)
Entzogene Wärme (idealer Prozess):
Vmax
= −0, 96(35)J
mit
Qi = −n · R · Tmin · ln
Vmin
V
V
max
max
· σn̄ + n̄ · R · ln
· δT +
δQi = R · Tmin · ln
min
Vmin
Vmin n̄ · R · Tmin · δVmax + n̄ · R · Tmin · δV
+ min = 0, 3509J
Vmax
Vmin
•
(69)
(70)
(71)
Aufgewendete Arbeit (realer Prozess, berechnet per manueller numerischer Integration über einen
Zyklus):
I
Wr =
p dV = 0, 11J
(72)
Zyklus
•
Entzogene Wärme (realer Prozess, berechnet per manueller numerischer Integration von
Vmax
Vmin
bis
über den unteren Bogen der Kurve):
Z
Vmax
p dV = −1, 11J
Qr = −
(73)
Vmin
•
Idealer Wirkungsgrad
Qi
= 20(15)
mit
Wi
1 Qi = δQi + 2 δWi ≈ 17
Wi
Wi
ηi =
δηi
•
(75)
Realer Wirkungsgrad
ηr =
•
(74)
Qr
= 10, 1
Wr
(76)
Elektrischer Wirkungsgrad
Qr
= 2, 1(8)
mit
W
el 1 δQ + Qi δW = 0, 8
= i
2
Wel
Wel el
ηel =
δηel
24
(77)
(78)
3 HEIßLUFTMOTOR
R. Garreis & S. Beinlich
Die real aufgewendete Arbeit ist höher als die theoretisch zu erwartende, was durch Reibungs- und
sonstige Eekte (s.o) zu erwarten war. Die entzogene Wärme im realen Prozess ist gröÿer als die aus
dem idealen Prozess. Dies entspricht den aus dem realen und idealen Diagramm zu vermutenden Verhalten. Zu erwarten wäre jedoch, dass die real entzogene Wärmemenge kleiner ist als die ideale. Die
Ursache für diese Werte sind wahrscheinlich die gleichen wie bei der Verschiebung der Diagramme
(s.o.).
Erwartungsgemäÿ ist der reale Wirkungsgrad geringer als der ideale, was durch o.g. Verluste zu erklären ist. Genauso ergibt das Ergebnis des elektrischen Wirkungsgrades Sinn, da dieser am geringsten
sein muss, da der meiste Teil der elektrischen Energie durch Verluste verbraucht wird, und nicht zur
Kälteerzeugung.
Unbelastete Wärmekraftmaschine
•
Mittlere Heizleistung des Spiritusbrenners berechnet sich aus der verbrauchten chemischen Energie des Spiritus
28, 66(2)g (δ∆m
∆EH = ∆m · H pro Zeit ∆T = 1h 17min 09s = 4629(1)s
= 2 · δm = 0, 02g), H = 27 MkgJ :
mit
∆m = m2 − m1 =
∆m · H
∆EH
=
= 167, 2(2)W
mit
∆T ∆T
∆m · H · δV + H · δm = 0, 2W
= ∆V ∆2V PH =
δ PH
(79)
(80)
Hieraus ergibt dich die eingesetzte Wärmemenge pro Umlauf bei der Frequenz
1
ν = 965(2) min
zu:
•
PH
= 10, 39(5)J
mit
ν PH 1
= 2 · δν + · δPH = 0, 048J
ν
ν
WH =
(81)
δWH
(82)
Zugeführte Wärme (idealer Prozess):
Qi = n · R · Tmax · ln
Vmax
Vmin
= −1, 7(6)J
mit (analog zu oben)
(83)
δQi = 0, 61J
•
(84)
Verrichtete Arbeit (idealer Prozess):
Vmax
Vmin
Wi = n̄ · R · (Tmax − Tmin ) · ln
= 0, 49(18)J
mit (analog zu oben)
δWi = 0, 18J
•
(85)
(86)
zugeführte Wärme (realer Prozess, manuelle numerische Integration von
Vmin
bis
Vmax
über den
oberen Bogen der Kurve):
Z
Vmax
Qr = −
p dV = −1, 24J
Vmin
25
(87)
3 HEIßLUFTMOTOR
R. Garreis & S. Beinlich
•
Verrichtete Arbeit (realer Prozess, manuelle numerische Integration über einen Zyklus):
I
p dV = 0, 12J
Wr =
(88)
Zyklus
•
Idealer Wirkungsgrad
Qi
= 0, 29(21)
Wi
= 0, 214
ηi =
δηi
•
mit (s.o.)
(89)
(90)
Realer Wirkungsgrad
ηr =
Qr
= 0, 1
Wr
(91)
Hierbei fällt auf, dass die zugeführte Wärmemenge des idealen Prozesses gröÿer als die des realen
Prozesses ist. Dies ist darauf zurückzuführen, dass nicht so hohe Drücke erreicht worden sind, wie es
idealer Weise sein sollte, aufgrund von Hohlräumen und geringerer mittlerer Temperatur des Gases,
als die am heiÿesten Punkt gemessene. Dies wird wohl die Hauptursache sein, neben den oben schon
genannten.
Erwartungsgemäÿ sind real verrichtete Arbeit und Wirkungsgrad geringer als die die berechneten
idealen Werte, was ebenfalls auf die Verluste zurückzuführen ist.
Belastete Wärmekraftmaschine
•
Mittlere Heizleistung des Spiritusbrenners (s.o.):
PH = 167, 2(2)W
Hieraus ergibt dich die eingesetzte Wärmemenge pro Umlauf mit der Frequenz
(92)
1
ν = 703(2) min
zu:
•
PH
= 14, 27(5)
ν
= 0, 051J
WH =
(93)
δWH
(94)
Zugeführte Wärme (idealer Prozess) (s.o.):
Qi = −1, 7(6)J
δQi = 0, 604J
•
(96)
Verrichtete Arbeit (idealer Prozess) (s.o.):
Wi = 0, 50(18)J
δWi = 0, 181J
•
(95)
(97)
(98)
zugeführte Wärme (s.o.):
Z
Vmax
Qr = −
p dV = −1, 27J
Vmin
26
(99)
3 HEIßLUFTMOTOR
R. Garreis & S. Beinlich
•
Verrichtete Arbeit (s.o.):
I
p dV = 0, 15J
Wr =
(100)
Zyklus
•
Gegen das Drehmoment
M = 4, 0(5) · 10−3 N m
geleistet mechanische Arbeit (siehe Grundlagen
39)
PM = M · ω = M · 2 · π · ν = 0, 29(4)W
mit
δPM = |2 · π · ν| · δM + |2 · M · π| · δν = 0, 037W
(101)
(102)
und somit lautet die mechanische Arbeit pro Zyklus:
WM = M · ω · T = M · 2 · π = 0, 025(3)J
mit
δPM = |2 · π| · δM = 0, 0031J
•
δηi = 0, 218
•
•
(104)
Idealer Wirkungsgrad:
ηi = 0, 30(22)
•
(103)
(105)
(106)
Realer Wirkungsgrad:
ηr =
Qr
= 0, 12
Wr
(107)
ηm =
WM
= 0, 02
Qr
(108)
Mechanischer Wirkungsgrad:
Thermischer Wirkungsgrad:
ηh = 0, 0024(3)
WM 1 · δW = 0, 0003
δetah = 2 · δWH + M
WH WH
(109)
(110)
Die realen und idealen Messwerte verhalten sich wie oben. Wie zu erwarten wurde bei belastetem
Motor mehr Arbeit verrichtet und Wärme verbraucht, als bei unbelastetem.
Auch realer und idealer Wirkungsgrad verhalten sich wie oben. Der mechanische Wirkungsgrad ist
sehr gering, was genauso wie beim thermischen Wirkungsgrad an den hohen Verlusten liegt. Beim
thermischen Wirkungsgrad kommt noch die extrem schlechte Verwertung der vom Brenner erzeugten
Wärme hinzu.
27
3 HEIßLUFTMOTOR
R. Garreis & S. Beinlich
Drehzahl
1
ν [ min
]
Drehmoment
M [10−3 N m]
Mechanische Leistung
750(2)
1,0(5)
0,08(4)
880(2)
0,5(5)
0,05(5)
808(2)
2,0(5)
0,17(4)
700(2)
2,5(5)
0,18(4)
730(2)
2,0(5)
0,15(4)
700(2)
3,5(5)
0,26(4)
660(2)
4,0(5)
0,28(4)
670(2)
4,5(5)
0,32(4)
770(2)
3,0(5)
0,24(4)
900(2)
1,0(5)
0,10(5)
Tabelle 3: Drehzahl
ν,
Wirkendes Drehmoment
M
PM [W ]
und daraus berechnete mechanische Leistung
PM
3.3.5 Mechanische Leistung und Drehzahl
Im Versuchsteil II ii) wurde für verschiedene Drehzahlen das wirkende Drehmoment gemessen. Daraus
wird die mechanische Leistung
Drehzahl
ν
PM
(s. Grundlagen (2.9), Gleichung (39)) in Abhängigkeit von der
berechnet:
PM = M · ω = M · 2 · π · ν
(111)
δPM = |2 · π · ν| · δM + |2 · M · π| · δν
In folgender Tabelle sind die Messwerte samt berechneter Leistung
Die mechanische Leistung
PM
PM
(112)
aufgelistet:
ist in folgender Graphik in Abhängigkeit von der Drehzahl
ν
zu sehen:
Hier ist zuerst einmal die extrem hohe Streuung der Messwerte auällig. Auch bei Berücksichtigung
Abbildung 13: Mechanische Leistung
PM
28
in Abhängigkeit von der Drehzahl
ν
3 HEIßLUFTMOTOR
R. Garreis & S. Beinlich
der Fehlertoleranzen ergibt sich keine eindeutige Kurve. Mit etwas gutem Willen kann man eine leichte
nach unten geönete Parabel erkennen, jedoch sind die Messwerte nicht sehr aussagekräftig.
Dies liegt vermutlich daran, dass der Motor sobald er mit nennenswerten Drehmomenten belastet
wurde völlig stehenblieb. Die internen Verluste waren zu hoch, als dass noch zusätzlich mechanische
Arbeit geleistet werden konnte.
Aus den selben Gründen war es auch nicht möglich durch den Motor einen Generator anzutreiben. In
dieser Anordnung war es nicht einmal möglich mit Starthilfe durch den Elektromotor den Heiÿluftmotor
zum Laufen zu bringen.
Zu erwarten wäre eine Kurve mit einem idealen maximalen Wirkungsgrad und maximaler Leistung,
welche bei niedrigeren Drehzahlen oder geringerer Belastung abnimmt.
Die ozielle Leistungskurve der Herstellerrma des Motors ist als Veranschaulichung in folgender
Grak (leider sehr schlechter Qualität) dargestellt:
Abbildung 14: Ozielle Leistungskurve des Stirlingmotors, aus ([4]. Mechanische Leistung : obere Kurve; elektrische Leistung bei verschiedenen Untersetzungen : untere Kurven (groÿe Untersetzung links, kleine rechts). X-Skala: Drehzahl von
von
1
0 − 1000 min
;
Y-Skala: Leistung
0 − 1000 mW .
3.4 Fragen und Aufgaben
1) Beschreiben Sie anhand des
pV
-Diagramms die Funktionsweise des Heiÿluftmotors
Die Funktionsweise des Heiÿluftmotors wurde bereits im Grundlagenteil beschrieben. Bei der
Wärmekraftmaschine wird der
Stirling-Prozess
im Uhrzeigersinn durchlaufen, bei einer Wär-
mepumpe gegen den Uhrzeigersinn.
2) Was versteht man unter einem perpetuum mobile zweiter Art?
Ein perpetuum mobile zweiter Art ist eine periodisch arbeitenden Maschine, die ohne eine externe
Energiezufuhr ein Wärmereservoir abkühlt und die gewonnene Energie vollständig in mechanische
Arbeit umwandelt.
Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik ist eine solche Maschine nicht möglich. Man
kann diesen auch schreiben als:
29
3 HEIßLUFTMOTOR
R. Garreis & S. Beinlich
Die Entropie bleibt bei reversiblen Prozessen konstant. Bei irreversiblen Kreisprozessen gilt
∆S ≥ 0,
d.h. die Entropie nimmt andauernd zu.
3) Wie hoch sind die typischen Wirkungsgrade gebräuchlicher Automotoren?
Motorart
Wirkungsgrad
Diesel-Motor
50%
37%
10% − 66%
bis zu
Otto-Motor
bis zu
Stirling-motor
Tabelle 4: Wirkungsgrade verschiedener Motoren
Der Wirkungsgrad des
Stirling-motors
wird aber auch nur im reibungsfreien Idealzustand er-
reicht.
4) Herleitung der Integrale
I
I ∆p
p dV =
· Uy + p0 dV
∆U
I ∆p
∆V
=
· Uy + p0 ·
dUx
∆U
∆U
I
I
∆p ∆V
∆V
=
· Uy dUx + p0 ·
dUx
∆U ∆U
∆U
I
∆p ∆V
=
· Uy dUx
∆U ∆U
I
∆p ∆V
· Uy dUx
=
∆U ∆U
5) Maximierung des Wirkungsgrades vom
Stirling-motor
Stirling-motor
Wie im Grundlagenteil bereits erwähnt, geht beim
(113)
Energie verloren, da die
abgegebene Wärmemenge nicht gespeichert wird und später wieder an das System zurück gegeben
werden kann. Will man also eine Maximierung des Wirkungsgrades erreichen so müsste man einen
perfekten Wärmespeicher entwickeln.
30
4 KRITISCHER PUNKT
R. Garreis & S. Beinlich
4 Kritischer Punkt
4.1 Versuchsaufbau
Abbildung 15: Der Versuchsaufbau Kritischer Punkt; Bild: eigenes
Beim Versuch wird das Verhalten von
SF6
(Schwefelhexaourid) betrachtet. Dieses ist in einer Kom-
pressionskapillare eingeschlossen, welche wiederum zur Sicherheit von einem Berstbehälter umgeben
ist. Die Kapillare ist an ein Drucksystem mit Quecksilbersäule, Zeigermanometer (Warnung bei 50 bar)
und Druckerzeuger angeschlossen. Um die Temperatur regeln zu können wird Wasser als Wärmeträger
verwendet, das über Schläuche in den Aufbau gelangt, dort Wärme an die Kapillare auf- oder abnimmt.
Ein Temperaturregelungssystem sorgt in Kombination mit einer Umwälzpumpe für die erwünschten
Temperaturen.
4.2 Versuchsdurchführung
Während des gesamten Versuches ist unbedingt darauf zu achten, dass der Druck nicht über 50 bar
ansteigt, um die Kapillare nicht zu beschädigen und um ein Austreten von Quecksilber zu verhindern.
Auÿerdem darf der Quecksilbermeniskus nicht unter 4 ml gesenkt werden. (Volumen immer kleiner 4
ml). Der Temperaturbereich von
0◦ C ≤ T ≤ 55◦
ist einzuhalten.
Während des Versuches werden die sog. Isothermen vermessen. Dazu werden für mehrere (hier insgesamt zehn) Temperaturen das Volumen variiert und der Druck des Schwefelhexaourid gemessen.
Für die Variation des Volumens wurden
0, 5ml-Schritte
vor und
0, 1ml-Schritte
nach Einsetzen der
Verüssigung gewählt.
T = 45◦ wurden
Temperatur Tkrit liegt.
In der Nähe von
kritische
die Temperaturschritte verkleinert, da um diese Temperatur die
Nach dem Verändern der Temperatur am Thermostat wird gewartet, bis sich die neue Temperatur
konstant eingestellt hat. Die ist gerade bei tiefen und hohen Temperaturen schwierig, da sich im ersten
31
4 KRITISCHER PUNKT
R. Garreis & S. Beinlich
Fall die Kapillare durch die höhere Auÿentemperatur durchgehend leicht erwärmt, im zweiten Fall diese
abkühlt, da das Thermostat noch nicht nachgeheizt hat. Da ein Nachheizen des Thermostats die Temperatur während einer Messreihe sprunghaft erhöht, wurde das Nachheizen während der Messreihen
durch Herunterregeln des Thermostats verhindert, um die Messreihe nicht zu verfälschen.
4.3 Auswertung
4.3.1 p-V-Diagramm Schwefelhexaourid
Auf folgendem Diagramm sind die Druck-Volumen-Messwerte der verschiedenen Isothermen aufgetragen:
Abbildung 16: Aus dem Versuch erhaltenes p-V-Diagramm von Schwefelhexaourid
Während der Messreihen sank die Temperatur teilweise leicht ab, weshalb jeweils der Mittelwert der
Anfangs- und Endtemperaturen verwendet wurde. Der bei der Kompression ansteigende, während der
Verüssigung konstant bleibende und dann im üssigen Zustand sehr stark ansteigende Druck ist sehr
schön zu erkennen. Die
45, 05◦ C -Kurve
ist die letzte, welche noch eine waagrechte Steigung besitzt.
Die Kurven der umgebenden Temperaturen weisen oensichtlich noch eine eindeutige waagrechte Verüssigungsphase (sog.
Maxwell-Gerade (s.2.4)) bzw. haben durchgehend eine positive Steigung (über45, 05◦ C -Kurve ist also die Kurve, die der idealen Temperaturkurve des
kritisches Fluid (s.2.3)). Die
Kritischen Punktes am nächsten kommt. Da sie jedoch noch ein kleines waagrechtes Stück enthält, ist
der wahre Wert wahrscheinlich etwas höher als die
Tkrit = 45, 05◦ C
anzusiedeln. Wir verwenden jedoch
diesen Wert. Der Fehler der Messgröÿen des kritischen Punktes kann aber aufgrund dieser Näherung
stärker von unserem Wert abweichen, als die angegebene angenommene Messunsicherheit. Der Wendepunkt liegt laut Diagramm somit bei:
Tkrit = 45, 1(5)◦ C, Vkrit = 0, 35(5)cm3 , pkrit = 38, 50(5) · 105 P a.
In der Nähe des kritischen Punktes, ist während des Versuches aufgefallen, dass beim Komprimieren vor
der Messreihe (T
≥ 45, 1◦ C ) ein überkritisches Fluid vorlag (erkennbar am fehlenden Phasenübergang)
32
4 KRITISCHER PUNKT
R. Garreis & S. Beinlich
und danach, nachdem die Temperatur etwas gefallen war, wieder ein Phasenübergang beobachtet werden konnte, also die gasförmige und die üssige Phase gleichzeitig auftraten. Der aus dem Diagramm
bzw. den Messwerten abgelesene Wert stimmt also sehr gut mit den Beobachtungen während des Versuches überein.
Beim Komprimieren des Gases ist auÿerdem aufgefallen, dass sich der Druck nach Volumenänderung
langsam geändert hat. Da kein Nebel festzustellen war (wahrscheinlich auf Grund fehlender Kondensationskeime), wäre eine mögliche Erklärung, dass das Gas zeitweise übersättigt war.
4.3.2 Van-der-Waals-Konstanten
Die
Van-der-Waals-Konstanten
Vkrit,m
können, wenn
unbekannt ist aus den Gleichungen (16),(17)
berechnen:
8·a
27 · R · b
a
=
27 · b2
Tkrit =
(114)
Pkrit
(115)
(116)
Teilt man die erste durch die zweite Gleichung und stellt um nach b, ergibt sich:
b=
Tkrit · R
pkrit
(117)
Einsetzten dieser Beziehung in die zweite Gleichung ergibt dann nach Auösen:
a=
2 · R2
27 · Tkrit
64 · pkrit
(118)
Mit unseren Werten ergibt sich also:
N · m4
mol2
m3
b = 8, 59(3) · 10−5
mit
mol 2 · R2 4
27 · Tkrit · R2 27 · Tkrit
−1 N · m
· δT
· δp
δa = +
=
0,
034
·
10
krit
krit
64 · p2
32 · pkrit mol2
krit
3
Tkrit · R R −5 m
· δT
· δp
δb = +
=
0,
025
·
10
krit
krit
8 · p2 8 · pkrit mol
a = 7, 66(3) · 10−1
(119)
(120)
(121)
(122)
krit
Diese Werte stimmen mit den Literaturwerten (aus "Handbook of Chemistry and Physics, 2002" annähernd überein:
N · m4
mol2
m3
b = 8, 79 · 10−5
mol
a = 7, 857 · 10−1
(123)
(124)
Die Abweichungen liegen jedoch nicht in der berechneten Messungenauigkeit. Mögliche Ursachen sind
die nur genäherte Temperatur während der Messreihen, da diese stetig abnahm, und die Abweichung
33
4 KRITISCHER PUNKT
R. Garreis & S. Beinlich
bei der Bestimmung des kritischen Punktes (s.o.).
Wegen
Vkrit,m = 3b
kann die Stomenge
n
berechnen:
Vkrit
Vkrit
=
= 1, 35(20) · 10−3 mol
mit
Vkrit,m
3·b
Vkrit 1 · δb = 0, 198 · 10−3 mol
δn = · δVkrit + 3 · b
3 · b2 n=
(125)
(126)
Auch hier kann der Fehler aus denselben Gründen wie oben gröÿer sein, als angegeben.
4.3.3 Dampfdruckkurve
An der sog. Dampfdruckkurve (s. Grundlagen (2.3)) des p-T- Diagramms liegen gasförmige und üssige Phase gleichzeitig vor. Das heiÿt, dass sie nur unterhalb des kritischen Punktes existiert. Im
p-V-Diagramm (16) können die Punkte die auf der Dampfdruckkurve liegen ausgelesen werden: Der
Dampfdruck einer Isothermen ist gerade der Druck, an dem dieser bei Kompression konstant bleibt,
im Diagramm also durch waagrechten Verlauf zu erkennen (sog.
Maxwell-Geraden (2.4)). Aus dem
p in Abhängigkeit von der
p-V-Diagramm erhält man somit folgende Tabelle (5) für den Dampfdruck
Temperatur
T.
Der Fehler wurde abgeschätzt, wobei bei der Temperatur der gleiche Fehler wie oben
verwendet wurde. Für Temperaturen über
Tkrit
existiert keine Dampfdruckkurve, sämtlicher Sto liegt
als überkritisches Fluid vor.
Temperatur
Druck
p
T
mit
δT = 0, 5 [◦ C]
δp = 0, 1 [105 P a]
mit
7,4
13,3
21,7
29,6
37,7
41,1
43,8
45,15
46,1
49,3
16,5
19,0
23,0
27,6
32,9
35,0
37,3
38,5
-
-
Tabelle 5: Punkte der Dampfdruckkurve
Diese Werte sind auch in dem darauf folgenden Diagramm (17) aufgetragen:
Die Dampfddruckkurve zeigt das typische Ansteigen des Druckes mit zunehmender Kompression, wie
es theoretisch auch erwartet wird (s.2.2.2).
4.3.4 Inversionstemperatur
Nach Gleichung (58) kann die Inversionstemperatur
Tinv (siehe Grundlagen 2.14) aus den Van-der-Waals-
Konstanten berechnet werden:
δTinv
2·a
Tinv =
= 2147(10)K
mit
b · R
2 · δa + 2 · a · δb = 10, 93K
= b2 · R b · R
Für die Messunsicherheit der Inversionstemperatur gilt ebenfalls der Vorbehalt, dass
auch
Tinv
(127)
(128)
a, b
einen gröÿeren Fehler besitzen (s.o.) besitzen
4.4 Fragen und Aufgaben
1) Zusammenhang zwischen den kritischen Gröÿen und den
(Siehe ausführlicher in den Grundlagen 2.3)
34
Van-der-Waals-Konstanten
und somit
4 KRITISCHER PUNKT
R. Garreis & S. Beinlich
Abbildung 17: Gemessens Dampfdruckkurve
p(T )
des Schwefelhexaourid
pV -Kurve ist müssen
Van der Waals-Gleichung Null sein.
Da der kritische Punkt ein horizontaler Wendepunkt der
zweite Ableitung der nach
p
aufgelösten
die erste und
∂p(Vm )
R·T
2·a !
=−
+ 3 =0
∂Vm
(Vm − b)2
Vm
2
∂ p(Vm )
2·R·T
6·a !
=
− 4 =0
2
3
∂Vm
(Vm − b)
Vm
Dieses Gleichungssystem kann man nach
Vm
und
T
(129)
(130)
auösen und erhält:
Vkrit,m = 3 · b
a
8
Tkrit =
·
27 R · b
Dies kann man in die
Van-der-Waals-Gleichung
pkrit =
(131)
(132)
einsetzten und bekommt
1 a
· .
27 b2
(133)
2) Innere Energie eines Van-der-Waals-Gases
Die kalorische Zustandsgleichung gibt einen Zusammenhang zwischen Innerer Energie
Zustandsgröÿen
p, T, V
∂P
dU = T ·
− P dV + Cv · dT
∂T V
(Cv
:
U
und den
an:
(134)
molare Wärmekapazität bei konst. Volumen).
Daraus folgt bei konstanter Temperatur:
∂U
∂Vm
=T·
T
35
∂p
∂T
−p
Vm
(135)
Literatur
R. Garreis & S. Beinlich
Verwendet man nun Gleichung (56) so kommt man zu
Hierbei ist
dU
dVm
=T·
T
R
T ·R
a
a
−
+ 2 = 2.
Vm − b Vm − b Vm
Vm
(136)
a
genau der Ausdruck für den Binnendruck.
V2
3) Herleitung der Beziehung zwischen den Van-der-Waals-Konstanten
a
und
b
und den Inversion-
stemperaturen
Siehe Grundlagenteil (56).
4) Welchem Teil der van der Waals-Kurven entsprechen keine realen Zustände?
Erläutern Sie die Bedeutung der Maxwell-Geraden.
Siehe Grundlagenteil (2).
5 Fazit
Zusammenfassend verliefen beide Versuche wie qualitativ zu erwarten war. Quantitative Abweichungen waren vor allem beim Heiÿluftmotor festzustellen, jedoch waren sie aufgrund des Aufbaues zu
erwarten. Die Vermessung der mechanischen Leistung und der Betrieb als Generator konnten leider
nur ungenügend bzw. gar nicht durchgeführt werden, da dies der Versuchsaufbau nicht ermöglichte.
Um dies durchzuführen, müsste die mechanische Belastung präziser durchgeführt werden können, oder
Reibungsverluste vermindert werden. Beim Versuch Kritischer Punkt ist die Theorie auch sehr schön
bestätigt worden, mehrere Messungen würden die quantitative Genauigkeit erhöhen, und ein feineres
Thermostat einen genaueren Messverlauf ermöglichen.
Bis auf den letzten Versuchsteil des Heiÿluftmotors sind beide Versuche erfolgreich verlaufen und haben
die Phänomene qualitativ und quantitativ sichtbar gemacht.
6 Anhang
Literatur
[1]
Runge, Bernd-Uwe:
tor
Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz, Heisluftmo-
https://ap.physik.uni-konstanz.de/AP-public/Anleitungen/Heissluftmotor.pdf
(entnommen
am 24.10.2013)
[2]
Runge, Bernd-Uwe: Physikalisches
Anfängerpraktikum der Universität Konstanz, Kritischer Punkt
https://ap.physik.uni-konstanz.de/AP-public/Anleitungen/Kritischer-Punkt.pdf (entnommen am
24.10.2013)
[3]
Wolfgang Demtröder:
Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme Springer-Spektrum Auage 4
2006
[4]
PHYWE Bedienungsanleitung Stirlingmotor https://ap.physik.uni-konstanz.de/AP-intern/
Ressourcen/Literatur/Bedienungsanleitungen/Phywe/0437200d_Stirlingmotor_
Motor-Generator-Einheit_Drehmomentmesser.pdf entnommen am 30.10.2013
[5]
PHYWE http://www.phywe.de/images/info-center-030.jpg
[6]
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Prony_brake.svg
1
36
entnommen am 30.10.2013
entnommen am 17.11.2013
Tabellenverzeichnis
R. Garreis & S. Beinlich
Abbildungsverzeichnis
1
Kritischer Punkt-Phasendiagramm
2
Van-der-Waals-Isothermen von
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CO2
für verschiedene Temperaturen; aus [3]
6
. . . . . .
7
Aufbau zum mechanischen Wärmeäquivalent [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
8
Prony'scher Zaum zur Drehmomentmessung;
Carnot'scher Kreisprozess; aus [3] . . . . . . .
Stirling'scher Kreisprozess; aus [3] . . . . .
Stirlingmaschine; aus [3] . . . . . . . . . . .
Linde-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
9
Der Versuchsaufbau Heiÿluftmotor, linkes Bild aus [4], rechtes Bild aus [5] . . . . . . .
18
10
p-V-Diagramm des Betriebs als Kältemschine
22
11
p-V-Diagramm des Betriebs als unbelastete Wärmekraftmaschine . . . . . . . . . . . .
23
12
p-V-Diagramm des Betriebs als belastete Wärmekraftmaschine
. . . . . . . . . . . . .
23
13
Mechanische Leistung
. . . . . . . . . . . . .
28
4
5
6
7
14
PM
aus [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
in Abhängigkeit von der Drehzahl
ν
Ozielle Leistungskurve des Stirlingmotors, aus ([4]. Mechanische Leistung : obere Kurve; elektrische Leistung bei verschiedenen Untersetzungen : untere Kurven (groÿe Untersetzung links, kleine rechts). X-Skala: Drehzahl von
von
0 − 1000 mW .
1
0 − 1000 min
;
Y-Skala: Leistung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
15
Der Versuchsaufbau Kritischer Punkt; Bild: eigenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
16
Aus dem Versuch erhaltenes p-V-Diagramm von Schwefelhexaourid
. . . . . . . . . .
32
17
Gemessens Dampfdruckkurve
des Schwefelhexaourid . . . . . . . . . . . . . . . .
34
p(T )
Tabellenverzeichnis
1
Drehzahl
1
ν [ min
],Drücke p [hP a],Volumen V [cm3 ]
und Temperaturen
T [K]
beim Be-
trieb als Kältemaschine, unbelastete Wärmekraftmaschine (WKM) und belasteter Wärmekraftmaschine (mit skalierten Messunsicherheiten aus dem Versuchsprotokoll) . . . .
2
Stomenge der einzelnen Kombinationen und gemittelter Wert
n̄
20
samt Standartabwei-
σn̄
in
[mol]
3
Drehzahl
ν,
Wirkendes Drehmoment
4
Wirkungsgrade verschiedener Motoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5
Punkte der Dampfdruckkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
chung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M
und daraus berechnete mechanische Leistung
37
PM
20
28