0, 1=0, 015 . 1.2 Di

1. Aufgabe
1.1 Es ist die totale Wahrscheinlichkeit zu berechnen, also
0, 01 · 0, 6 + 0, 02 · 0, 3 + 0, 03 · 0, 1 = 0, 015 .
1.2 Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist:
0, 006/0, 015 = 0, 4
1.3 Die bedingte Wahrscheinlichkeit beträgt (1 − 0, 01) · 0, 6/(1 − 0, 015) = 0, 603 .
2. Aufgabe
2.1 Die Konzentrationsrate der drei größten Konzerne beträgt
(185 + 170 + 152)/970 = 0, 52 .
2.2 Für den Herfindahl-Index ergibt sich H = Σp2i = 0, 13 (siehe Tabelle).
2.3 Die Wertepaare der Lorenzkurve sind die (ui , vi ) (siehe Tabelle). Das 5. Wertepaar sagt aus, dass die 5
kleinsten der 10 Unternehmen einen Umsatzanteil von 26,4 % haben.
2.4 Wegen V = Σvi −0, 5 = 3, 454 ist der einfache Gini-Koeffizient G = 1−2V /N = 0, 31 und der standardisierte
Gini-Koeffizient GS = G · N/(N − 1) = 0, 34 .
Die Umsätze sind der Größe nach zu ordnen:
Konzern
ai
pi
Mitsubishi
31
0,032
Peugeot Citroen
41
0,042
Honda
52
0,054
Fiat-Gruppe
53
0,055
Volkswagen-Gruppe
79
0,081
Renault/Nissan
86
0,089
Toyota/Daihatsu
121
0,125
Daimler-Chrysler
152
0,157
Ford-Gruppe
170
0,175
General Motors
185
0,191
Summe
970
1,000
p2i
0,0010
0,0018
0,0029
0,0030
0,0066
0,0079
0,0156
0,0246
0,0307
0,0364
0,1304
ui
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
vi
0,032
0,074
0,128
0,182
0,264
0,353
0,477
0,634
0,809
1,000
3,954
3. Aufgabe
Männlicher Ratgeber:
Weiblicher Ratgeber:
n1 = 200
n2 = 150
x̄1 = 21
x̄2 = 24
s1 = 6
s2 = 5
3.1 Konfidenzintervall für µ1 − µ2 : (x̄1 − x̄2 ) − t · σ̂D ≤ µ1 − µ2 ≤ (x̄1 − x̄2 ) + t · σ̂D
mit t = z = 2, 576 für 1 − α = 0, 99 (zweiseitig)
s
s21
s2
und σ̂D =
+ 2 = 0, 589 ,
n1
n2
also
−4, 5 ≤ µ1 − µ2 ≤ −1, 5
3.2 Es ist ein zweiseitiger Vergleich der Varianzen vorzunehmen.
Hypothesenpaar:
H0 : σ12 = σ22
Prüfgröße:
s2
36
f˜ = 12 =
= 1, 44
s2
25
Kritischer Wert:
Vergleich:
HA : σ12 6= σ22
Fc = 1, 29 für 1 − α/2 = 0, 95 bei ν1 = 199 und ν2 = 149 FG
f˜ > Fc ⇒ H0 ist abzulehnen.
Die Varianzen unterscheiden sich signifikant.
(Da f˜ > 1 ist, genügt es, die obere Grenze des kritischen Bereiches zu bestimmen.)
1
3.3 Zweiseitiger Mittelwertvergleich bei unbekannten ungleichen Varianzen:
Prüfgröße:
H0 : µ1 = µ2
HA : µ1 6= µ2
x̄1 − x̄2
−3
z=s
=
= −5, 10
0, 589
s21
s22
+
n1
n2
Kritischer Wert:
Vergleich:
zc = 1, 96 für 1 − α = 0, 95 (zweiseitig)
|z| > zc ⇒ H0 ist abzulehnen.
Hypothesenpaar:
Die Gesprächsdauer unterscheidet sich signifikant.
4. Aufgabe
4.1 Die Zufallsvariable X: Abstand zwischen zwei Anf ragen ist exponentialverteilt mit W (X < 2) = 0, 7 .
Die Verteilungsfunktion ist F (x) = 1 − e−λ·x für x > 0.
⇒
W (X < 2) = F (2) = 1 − e−λ·2 = 0, 7
⇒
λ = −ln(0, 3)/2 = 0, 6020
2
Somit sind E(X) = 1/λ = 1, 66 und V ar(X) = 1/λ = 2, 76 .
4.2 W (X > 0, 5) = 1 − F (0, 5) = e−0,602·0,5 = 0, 740
4.3 Für den Median x gilt: F (x) = 0, 5
⇒
1 − e−0,602·x = 0, 5
⇒
x = −ln(0, 5)/0, 602 = 1, 15
Die Hälfte der Abstände zwischen zwei Anfragen ist kleiner als 1,15 Minuten.
4.4 Da der Erwartungswert größer ist als der Median, ist die Verteilung linkssteil bzw. rechtsschief. Die Schiefe
ist somit positiv.
5. Aufgabe
Gegeben sind
x̄ = 125 ,
ȳ = 150 ,
sx = 20 ,
sy = 25 ,
sxy = 440 ,
n = 540 .
sxy
2
= 0, 88 sowie Bxy = rxy
= 0, 7744 .
sx · sy
77,44 % der Gesamtstreuung wird durch die lineare Einfachregression erklärt.
5.1 Es ist rxy =
5.2 Regressionskoeffizienten:
sxy
440
b2 = 2 =
= 1, 1 und
sx
400
b1 = ȳ − b2 · x̄ = 150 − 1, 1 · 125 = 12, 5.
Steigt die Wohnfläche um 1 m2 , dann steigt der Preis um 1,1 Tsd. Euro.
1
SQR = 141, 26
n−2
also sE = 11, 89
5.3 Es ist s2E =
mit SQR = (1 − B) · SQT = 75.999
und SQT = (n − 1) · s2y = 336.875 .
P
Mit
(xi − x̄)2 = (n − 1) · s2x = 215.600
sE
= 0, 0256 .
ist sB2 = pP
(xi − x̄)2
Konfidenzintervall für β2 :
b2 − t · sB2 ≤ β2 ≤ b2 + t · sB2
mit t = z = 1, 9600 für 1 − α = 0, 95 (zweiseitig) ,
also
1, 05 ≤ β2 ≤ 1, 15
5.4 Zur Ermittlung des Preissegments sind diese Intervallgrenzen mit 20 zu multiplizieren. Der Mehraufwand für
20 m2 zusätzliche Wohnfläche beträgt somit 21 bis 23 Tsd. Euro.
2
6. Aufgabe
6.1 Die durchschnittliche absolute Umsatzveränderung je Quartal im Jahr 2000 beträgt
(80 − 56)/3 = 8 Mill. Euro.
6.2 Mit 256 bzw. 345 Mill. Euro als
p Jahresumsatz für 2000 bzw. 2002 ergibt sich als durchschnittliche relative
Umsatzveränderung pro Jahr 2 345/256 = 1, 161 , also eine Veränderungsrate von 16,1 %.
6.3 Unter Annahme dieser jährlichen Umsatzveränderung ist im Jahr 2003 ein Umsatz von 345 · 1, 161 = 400, 5
Mill. Euro zu erwarten.
7. Aufgabe
7.1 Als Einkaufsmenge in 2004 ergibt sich 240 + 104 + 184 = 528 Tsd. Stück wegen
A: 200 · 1, 2 = 240 ,
B: 130 · 0, 8 = 104 ,
C:160 · 1, 15 = 184 .
Der Gesamteinkaufswert in 2004 beträgt 240 · 50 + 104 · 45 + 184 · 60 = 27.720 Tsd. Euro .
7.2 Als durchschnittlichen Preis pro Stück in 2004 erhält man 27.720/528 = 52, 50 Euro .
7.3 Es ist der Mengenindex nach Paasche zu berechnen. Der Zähler ist der Gesamteinkaufswert in 2004, für den
Nenner gilt 200 · 50 + 130 · 45 + 160 · 60 = 25.450 Tsd. Euro .
Somit erhält man als Mengenindex nach Paasche 27.720/25.450 = 1, 089 , das ist eine Steigerung um 8,9 %
bzw. eine Erhöhung um 27, 72 − 25, 45 = 2, 27 Mill. Euro .
3