Kapitel 2: Elementare Graphalgorithmen und - fbi.h
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Kapitel 2: Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen
Gliederung der Vorlesung
1. Grundbegriffe
2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen
3. Kürzeste Wege
4. Netzplantechnik
5. Minimal spannende Bäume
6. Traveling Salesman Problem
7. Flüsse in Netzwerken und Anwendungen
8. Bipartite Graphen
2/1, Folie 1
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Graphen und Optimierung
Kapitel 2: Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen
Gliederung des Kapitels
a) Breitensuche
b) Tiefensuche
c) Anwendungen der Tiefensuche
... Anmerkung
Wir diskutieren diese Suchstrategien für gerichtete und ungerichtete
Graphen !!!
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Graphen und Optimierung
Kapitel 2: Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen
Breitensuche
! Anmerkung
•
•
die Idee bei der Breitensuche besteht darin, beginnend mit einem
Startknoten s, alle von s aus erreichbaren Knoten zu „erforschen“
die von s erreichbaren Knoten werden „schichtweise“ erforscht
•
•
•
•
2/1, Folie 3
zunächst s selbst
dann alle Knoten u, die von s aus erreichbar sind und zwar auf
einem Pfad der Länge 1
dann alle Knoten u, die von s aus erreichbar sind und zwar auf
einem Pfad der Länge 2
...
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Graphen und Optimierung
Kapitel 2: Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen
Breitensuche
! Hilfsbegriff: Distanz eines Knotens
2/1, Folie 4
•
•
•
es sei G = (V,E) ein (ungerichteter) Graph
es seien s und u Knoten in V mit (s,u) ∈ Rerr
es sei k ≥ 0
•
d(s,u) = k, falls es eine Pfad P von s nach u der Länge k gibt und es
keinen Pfad P‘ von s nach u einer Länge kleiner als k gibt
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Graphen und Optimierung
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Breitensuche
! Anmerkungen
•
•
es sei G = (V,E) ein (ungerichteter) Graph
es sei s ein Knoten in V
•
die Teilmenge Vi ⊆ V, die alle von s aus erreichbaren Knoten u mit
d(s,u) = i enthält, kann wie wie folgt induktiv definiert werden:
•
•
2/1, Folie 5
V0 = { s } und
Vi+1 = { u ∈ V \ (V0 ∪ ... ∪ Vi) | es gibt eine Kante {v,u} ∈ E mit v ∈ Vi }
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Breitensuche
! Zugehörige algorithmische Fragestellung
•
gegeben:
•
•
•
ein (ungerichteter) Graph G = (V,E)
ein Knoten s ∈ V
gesucht:
•
für jeden Knoten u ∈ V, der von s aus erreichbar ist, den
Wert d(s,u)
... der Graph G habe genau n Knoten (/* der Einfachheit
halber sei V = { 1,...,n } */) und m Kanten
2/1, Folie 6
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Breitensuche
! Zugrunde liegende Datenstrukturen
•
•
•
2/1, Folie 7
die zu G gehörende Adjazenzliste A[1..n]
ein Array D[1..n] (/* in dem sich die Distanz der einzelnen Knoten zum
Knoten s „gemerkt“ wird */)
eine Liste L (/* zur Steuerung der Verarbeitung */)
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Breitensuche
! Realisierung
•
•
•
setze D[j] = +∞ für alle j = 1,...,n
setze D[s] = 0 und L = { s }
while L nicht leer ist do
entferne das erste Element v aus L
for all u ∈ A[v] do
if D[u] == +∞ then
setze D[u] = D[v] + 1 und füge u ans Ende von L ein
... es sollte klar sein, dass das Gewünschte geleistet wird
... es sollte klar sein, dass der Algorithmus nur O(n+m) viele
Rechenschritte benötigt (/* bei einem ungerichteten Graphen
wird jede Kante sogar nur einmal „angefasst“ */)
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Breitensuche
! Beispiel
2
1
3
5
4
7
6
... wir wollen diesen Graphen, beginnend beim Knoten 1, mit Hilfe der
Breitensuche „erforschen“
... ein Knoten wird blau gefärbt, wenn er „entdeckt“ wurde, und gelb
gefärbt, wenn er „vollständig verarbeitet“ wurde
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Breitensuche
! Beispiel
2
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1
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4
7
6
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Breitensuche
! Beispiel
2
1
3
5
4
7
6
... „vollständig verarbeitet“: 1
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Breitensuche
! Beispiel
2
1
3
5
4
7
6
... „vollständig verarbeitet“: 1,2
2/1, Folie 12
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Breitensuche
! Beispiel
2
1
3
5
4
7
6
... „vollständig verarbeitet“: 1,2,3
2/1, Folie 13
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Kapitel 2: Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen
Breitensuche
! Beispiel
2
1
3
5
4
7
6
... „vollständig verarbeitet“: 1,2,3
... und so weiter
2/1, Folie 14
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Breitensuche
! Beispiel
2
1
3
5
4
7
6
... „vollständig verarbeitet“: 1,2,3,4,5,6,7
2/1, Folie 15
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Breitensuche
! Anmerkungen
•
wir betrachten im Folgenden eine geringfügige Modifikation der
Breitensuche, wobei sich „gemerkt“ wird, welcher Knoten des
Graphen dafür verantwortlich ist, dass ein Knoten „entdeckt“ wird
... wenn der Knoten u dafür verantwortlich ist, dass der Knoten v
„entdeckt“ wurde, nennen wir u Vorgänger des Knotens v
... in einem Array P[1...n] werden sich die Vorgänger der einzelnen
Knoten gemerkt
2/1, Folie 16
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Breitensuche
! Realisierung
•
•
•
setze D[j] = +∞ und P[j] = ⊥ für alle j = 1,...,n
setze D[s] = 0 und L = { s }
while L nicht leer ist do
entferne das erste Element v aus L
for all u ∈ A[v] do
if D[u] == +∞ then
setze D[u] = D[v] + 1, P[u] = v und füge u ans Ende
von L ein
... das Zeichen ⊥ steht für nicht definiert
2/1, Folie 17
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Breitensuche
! Beispiel
2
1
3
5
4
7
6
... nach Abschluss der Breitensuche entsteht folgendes Array P[1,...,7]:
2/1, Folie 18
1
2
3
4
5
6
7
⊥
1
1
1
3
3
6
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Breitensuche
! Hilfsbegriff: der durch die Breitensuche induzierte Vorgängerteilgraph
•
•
es sei G = (V,E) der gegebene gerichtete Graph
es sei der Knoten s der Startknoten
•
der durch die Breitensuche induzierte Vorgängerteilgraph G‘ = (V‘,E‘) ist
wie folgt definiert:
•
•
2/1, Folie 19
V‘ = { v ∈ V | (s,v) ∈ Rerr }
E‘ = { (P[v],v) | v ∈ V‘ und v ≠ s }
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Breitensuche
! Beispiel
2
1
3
5
4
7
6
1
... der durch die Breitensuche
induzierte Vorgängerteilgraph:
4
3
1
5
6
7
2/1, Folie 20
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Kapitel 2: Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen
Breitensuche
! Beobachtung
•
•
es sei G = (V,E) der gegebene gerichtete Graph
es sei der Knoten s der Startknoten
Dann gilt: Der durch die Breitensuche induzierte Vorgängerteilgraph
ist ein Baum mit der Wurzel s.
2/1, Folie 21
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Kapitel 2: Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen
Breitensuche
! Begriff: Baum
•
es sei G = (V,E) ein gerichteter Graph
•
G ist ein Baum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
•
•
2/1, Folie 22
V enthält genau einen Knoten, der nicht Endknoten einer Kante
in E ist (/* dieser Knoten heißt Wurzel */)
alle anderen Knoten von V sind Endknoten genau einer Kante in E
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