Darst. Geom. ¨Ubung Mathematik 2 (Bauing.+Chem

Darst. Geom. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.)
SS 2012
Geben Sie für die folgenden Konstruktionen jeweils in Worten eine ausführliche Beschreibung
an, die die Schritte erläutert, die Sie zu der Lösung geführt haben.
1. Gegeben ist die Gerade g durch die Punkte A(5|0|2) und B(2|10|8) sowie der Punkt
P (5|5|6). Bestimmen Sie die Spurgeraden der Ebene E durch P , die senkrecht zu g ist,
und den Durchstoßpunkt von g durch E.
2. Gegeben ist die Ebene E durch ihre Spuren eG und eA , wobei eG mit x12 den Winkel 60◦
und eA mit x12 den Winkel 45◦ einschließt.
Konstruieren Sie das gleichseitige Dreieck ABM in der Ebene E, dessen Grundseite AB in
der Grundrißebene liegt und Länge 4 cm hat und dessen Spitze M über der Grundrißebene
und 4 cm vor der Aufrißebene liegt.
3. Gegeben sind die Punkte A(4|1|4), B(7|5|6), C(2|7|1), U(1|6|7), V (8|3|1) und W (2|2|6).
Konstruieren Sie die Projektionen der Figur, die von den beiden Dreiecken ABC und
UV W gebildet wird, und berücksichtigen Sie dabei, welche Teile der Kanten nicht sichtbar
sind (gestrichelt zeichnen).
4. Für folgende Objekte soll der Schatten auf der Grund- bzw. Aufrißebene bestimmt werden,
wenn die Lichtstrahlen parallele Strahlen sind, deren Grundriß und Aufriß jeweils mit der
Rißachse einen Winkel von 45◦ einschließen.
′′
P
❜
l′′
l′′
❘
❘
✒
❜Q
′′
P′
(a) Punkt P
❘
❜ ❜
x12
✒
❜
l′
′′
F ❜′′ G
❜
l′′
x12
l′
E ′′ ❜ H❜ ′′
′′
P
❜
A′′ D ′′
✒
❜
P ′ = Q′
l′
❜ ❜
B ′′ C ′′
x12
❜B′ F ′
A′ E ′ ❜
(b) Strecke P Q
❜ C ′ G′
D′ H ′
❜
(c) Quader ABCDEF GH
5. Gegeben seien zwei horizontale Ebenen E1 und E2 der Höhe 82 m bzw. 74 m. Dazwischen
liegt eine Hangebene E3 , die E1 in g1 und E2 in g2 schneidet. Ein Weg führt von E1 nach
E2 . Konstruieren Sie die Wegböschungen! Steigung für die Auftragsböschung 2 : 3, für die
Abtragsböschung 1 : 1.
g1′
g2′
❨
E3
E2 (74)
32 m
❨
8m
E1 (82)
❥
❥
75◦
✛
☛
✲
3m
11 m
✕
6. Gegeben seien drei Quader, deren Grundseite jeweils ein Quadrat mit Seitenlänge 20 in
der Standebene ist, mit den Höhen 15, 25 und 50, und deren Grundriß im folgenden
Bild dargestellt wird. Konstruieren Sie das perspektive Bild, wenn die Distanz 65 und die
Aughöhe 35 ist.
30◦
45◦
O′
❜
60◦
e
1. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.)
SS 2012
1. Sei ~a = (2, 3, −5). Bestimmen Sie ~b = (x1 , y1, 10) und ~c = (x2 , 1, z2 ) so, daß je zwei dieser
Vektoren linear abhängig sind.
2. Untersuchen Sie, ob folgende Vektoren linear unabhängig sind:
(a) ~a = (1, 2, 3), ~b = (3, 2, 1), ~c = (0, 4, 8),
(b) ~a = (1, 3, 3), ~b = (3, 3, 1), ~c = (3, 1, 3),
(c) ~a = (0, 1, 2), ~b = (1, 1, 1), ~c = (0, 4, 8).
3. Bestimmen Sie a so, daß folgende Vektoren linear abhängig sind:
(a) ~a = (2, 1, −3), ~b = (1, a, 3), ~c = (1, 1, 0), (b) ~a = (a, 2a, 7), ~b = (1, 3, 5), ~c = (2, 4, 5),
(c) ~a = (1, a, 3), ~b = (a, 2, 1), ~c = (1, 2, a).
4. Zeigen Sie, daß ~a = (1, 1, 1), ~b = (0, 1, 1), ~c = (1, 0, 1) eine Basis des IR3 bilden. Ist
sie orthogonal oder normiert? Stellen Sie folgende Vektoren als Linearkombination der
Basisvektoren dar:
(a) d~ = (6, 6, 6),
(b) d~ = (3, 5, 5),
(c) d~ = (4, 3, 6).
5. Vereinfachen Sie:
(a) (~a − 2~b) × (3~a + ~b),
(b) (~a + ~b) × (~a − ~b),
(c) (~b + ~c) × (~a − ~c) + ~a × (~b − ~c) − (~a − ~b) × (~b + ~c).
6. Zeigen Sie: In einem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate der Seitenlängen gleich
der Summe der Quadrate der Diagonallängen.
7. Bestimmen Sie Volumen und Oberfläche des durch die Vektoren ~a = (−3, 5, 7), ~b =
(3, 4, 15), ~c = (10, −6, 3) aufgespannten Spats.
2. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.)
8. Gegeben seien die Punkte
 
 
1
−1
P1 = 2 ,
P2 =  1  ,
1
2


5
P3 =  3  ,
−1
SS 2012
 
−7
P4 = −2 ,
5
 
a
P5 =  5  .
b
Stellen Sie die Gleichung der Geraden g durch P1 und P2 auf und untersuchen Sie, welche
der Punkte P3 und P4 auf g liegt. Für welche Werte von a und b liegt P5 auf G?
9. Gegeben seien die Punkte
 
 
1
1



P1 = 1 ,
P2 = 2  ,
2
3


2
P3 = −1 ,
−2
 
a

P4 = 4  ,
3
 
4

P5 = 3  .
b
(a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Ebene E durch P1 , P2 und P3 an.
(b) Geben Sie die Gleichung der Geraden von g an.
(c) Für welche Werte von a und b gilt
i. g liegt in E,
ii. g ist parallel zu E,
iii. g schneidet E?
Lösen Sie (c) mit Hilfe der Parameterdarstellung von E und mit Hilfe der Gleichungsdarstellung von E und bestimmen Sie für a = 1, b = 1 den Schnittpunkt!
10. Bestimmen Sie die Gleichungen der Ebenen E1 und E2 senkrecht zu ~n = (8, −1, 4) durch
P1 = (−1, 5, 5) bzw. P2 = (−3, 0, 6) und ihren Abstand. Geben Sie die Parameterdarstellungen der Ebenen an.
11. Zerlegen Sie den Vektor ~v = (1, 2, 3) in eine Komponente senkrecht zu ~a = (2, 1, 2) und
eine Komponente senkrecht zur Ebene mit der Gleichung x + y + 2z = 0.
12. Zerlegen Sie den Vektor ~v = (1, −2, −3) in eine Komponente parallel zu ~a = (2, −1, −2)
und eine Komponente parallel zur Ebene mit der Gleichung 4x − 3y + 5z = 27.
3. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.)
SS 2012
13. Die Gerade g gehe durch die Punkte P1 = (1, 1, 1) und P2 = (−1, 3, 2). Bestimmen Sie
den Fußpunkt des Lotes von P0 = (−2, 5, 8) auf g, den Abstand von P0 zu g und die
Gleichung der Geraden h senkrecht zu g durch P0 .
14. Gegeben seien die Punkte P1 = (1, 0, −1), P2 = (2, 1, −3), P3 = (−1, 2, 1), P4 = (0, −2, 1).
Bestimmen Sie den Abstand von P4 zur Ebene E durch P1 , P2 und P3 .
Geben Sie die Gleichungen der Parallelebenen E1 und E2 zu E im Abstand 2 an.
15. Sei ~a = (1, 2, −5), ~b = (1, −2, −1). Berechnen Sie die Projektion von ~a auf ~b, den Winkel
zwischen ~a und ~b, den Flächeninhalt des von ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms,
die Gleichung der von ~a und ~b aufgespannten Ebene E durch den Nullpunkt und einen
Einheitsvektor in E senkrecht zu ~a.
16. Gegeben seien die Punkte P1 = (1, 0, −1), P2 = (2, 1, −3), P3 = (−1, 2, 1), P4 = (0, −2, 1).
Bestimmen Sie
(a) den Abstand von P4 zur Geraden g durch P1 und P2 ,
(b) den Abstand der Geraden g zu der Geraden h durch P3 und P4 .
17. Gegeben seien die Punkte P1 = (0, 0, 3), P2 = (0, 3, 0), P3 = (1, 1, 4) und die Ebene E1 :
x + 2y − 3z = 4. Bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden g von E1 mit der Ebene
E2 durch P1 , P2 und P3 und die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen)
von g.
18. Gegeben seien die Geraden
 
1

g1 : ~x = 0 + s
1
 
2

g3 : ~x = 1 + u
2


1
 1 ,
−1
 
−3
−3 ,
3
g2 :
g4 :
 
 
5
2



~x = 2 + t 1 ,
1
0
 
 
3
4



~x = 1 + v 2 .
2
0
Welche Paare (g1 , g2 ), (g1 , g3), (g1 , g4 ) von Geraden sind parallel, schneiden sich bzw. sind
windschief.
Bestimmen Sie den Schnittpunkt und die Abstände.
4. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.)
SS 2012
19. Eine Möbelfabrik hat noch Restkapazitäten frei: 225 Minuten der Sägemaschine, 400 Minuten der Polstermaschine und 300 qm Lagerraum. Zur Produktion eines Tisches braucht
man 5 Minuten Sägezeit, 0 Minuten Polsterzeit und 10 qm Lagerraum, für einen Sessel 9 Minuten Sägezeit, 20 Minuten Polsterzeit und 3 qm Lagerraum. Wie viele Sessel
bzw. Tische sollte man herstellen, um bei einem Verdienst von 25 Euro pro Tisch und 30
Euro pro Sessel möglichst hohen Gewinn zu erzielen? Stellen Sie das zugehörige lineare
Optimierungsproblem auf und lösen Sie es grafisch!
20. Sie wollen im nächsten Semester einen Übungsschein im Fach Phrasologie bei dem bekannten Dialektiker Prof. Dr. Rudi Laberer erwerben. Dazu müssen Sie Leistungsnachweise im
Umfang von mindestens 50 Punkten nachweisen, und für jede Hausarbeit erhalten Sie 5
Punkte, für jedes Referat 10 Punkte, allerdings werden höchstens 5 Referate angerechnet.
Sie benötigen für die Hausarbeiten durchschnittlich 2 Stunden, für die Vorbereitung der
Referate 5 Stunden und wollen maximal 30 Stunden investieren. Pro Hausaufgabe fallen
Kosten von 4 Euro und je Referat von 6 Euro an, und mehr als 48 Euro sind in Ihrem
knappen Budget für diesen Zweck nicht verfügbar. Wieviele Hausaufgaben und Referate
sollten Sie übernehmen, um eine möglichst hohe Punktzahl zu erhalten? Stellen Sie das
zugehörige Optimierungsproblem auf und lösen Sie es grafisch!
21. Zwei Getränke A und B enthalten unter anderem die Nährstoffe P , Q und R, und zwar
das Getränk A in den Anteilen 4, 3 bzw. 0, 5, das Getränk B in den Anteilen 2, 6 bzw.
3. Der wöchentliche Mindestbedarf an den Nährstoffen ist 20, 42 bzw. 15, A kostet 1, 20
Euro, B 3, 60 Euro jeweils pro Liter. Gesucht: Ein Einkauf der Getränke, der den Bedarf
möglichst preiswert abdeckt. Stellen Sie das Optimierungsproblem auf und lösen Sie es
grafisch.
22. In einer pharmazeutischen Fabrik werden die beiden Schlafmittel SLEEPYWELL und
HEIAPOPEIA hergestellt. Die Herstellung erfolgt in getrennten Arbeitsgängen auf drei
Maschinen I, II und III. Arbeitszeit in Stunden je kg, Gewinn in Euro je kg und maximale
Betriebsstunden pro Tag gibt die folgende Tabelle an:
Maschine SLEEPYWELL HEIAPOPEIA max.Betriebsstd.
I
1
1
7
II
1
2
10
.
III
1
−
6
Gewinn
6.−
8.−
Formulieren Sie das zugehörige Optimierungsproblem zur Gewinnmaximierung und lösen
Sie es mit dem Simplex-Verfahren.
23. Lösen Sie mit dem Simplexverfahren folgende Optimierungsprobleme:
(a)
x1
x1
2x1
+ x2 + x3 + x4
2x2 + x3
+ x4
+ x3 + x4
xi ≥ 0,
≤ 11
≤ 8
≤ 5
≤ 8
4x1 + x2
2x1 + 3x2
x1 + 3x2
(b)
≥
6
≥
8
≥ 5, 5
xi ≥ 0,
1 ≤ i ≤ 4,
1 ≤ i ≤ 2,
z = 4x1 + 2x2 → min .
z = 2x1 + 3x2 + x3 + x4 → max .
24. Eine Nahrungsmittelmischung besteht aus den Zutaten I, II, III und IV. In jeder Zutat
befinden sich gewisse Mengen der Vitamine A, B, C und D (in ME = Mengeneinheiten). Bestimmen Sie mit dem Simplexverfahren, wie man die Nahrungsmittel möglichst
kostengünstig kombiniert, um den Mindestgehalt an Vitaminen zu erfüllen.
Zahl der ME je kg Mindestgehalt in Mischung
I II III
IV
A
2 3 2
5
10
B
1 2 0
2
12
.
C
2 1 1
1
20
D
1 1 0
1
15
Kosten 10 8 12
6
25. Gegeben sei das nebenstehende ausgeglichene Transportproblem. Ermitteln Sie eine Ausgangslösung mit Hilfe der Nord-West-Ecken-Regel und bestimmen Sie mit Hilfe der Potentialmethode die Optimallösung. Transportkosten und Verschiebekreise sind in jeder
Stufe anzugeben.
B1
A1
A2
A3
Bedarf
4
B2
3
B3
V orrat
3
8
2
4
3
15
4
5
.
3
16
16
26. An 4 verschiedenen Baustellen B1 , B2 , B3 , B4 werden Lkw’s
benötigt, und zwar 6 in B1 , 3 in B2 , 4 in B3 und 5 in B4 .
Die Lkw’s sind in 3 Garagen G1 , G2 und G3 stationiert sind,
und zwar 4 in G1 , 6 in G2 und 8 in G3 . Die Entfernungen der
Garagen von den Baustellen sind in folgender Tabelle wiedergegeben. Ermitteln Sie einen Fahrplan so, daß die Kilometerleistung insgesamt minimal wird (mit Nachweis).
10
13
B1 B2 B3
G1 11 13 15
G2 14 17 12
G3 18 18 13
B4
20
.
13
12
5. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.)
SS 2012
27. Skizzieren sie folgende Mengen, die in Polarkoordinaten beschrieben sind, in einem kartesischen Koordinatensystem:
π
3π
(a) 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ r ≤ φ,
(b) 2 < r < 4,
≤φ≤
,
4
4
(c) 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ r ≤ cos φ.
28. Welche Mengen D ⊂ IR3 werden durch folgende Ungleichungen beschrieben? Ist D beschränkt, offen, abgeschlossen, oder weder offen noch abgeschlossen?
(a) 3 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ x,
(c) 2 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ θ ≤
π
,
2
(b) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ x + y + 1,
(Kugelkoord.)
(d) 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ z ≤ r 2
(Zylinderkoord.).
29. Durch Rotation der Normalparabel z = x2 , 0 ≤ x ≤ 2, um die z-Achse entsteht ein
Rotationsparaboloid. Skizzieren Sie diesen Körper und beschreiben Sie ihn mit Hilfe von
(a)kartesischen Koordinaten
(b)Zylinder-Koordinaten.
30. Die Grundfläche eines geraden Kreiskegelstumpf der Höhe h sei ein Kreis mit Radius r1
und die Deckfläche ein Kreis mit Radius r2 . Beschreiben Sie ihn mit Hilfe von Zylinderkoordinaten.
31. Ein Körper werde gebildet aus einer Halbkugel mit Radius r1 (äußerer Rand), einer konzentrischen Halbkugel mit Radius r2 (innerer Rand) und einem Kreisring. Beschreiben
Sie ihn mit Hilfe von Kugelkoordinaten.
32. Skizzieren Sie Höhenlinien und gegebenenfalls Schnitte mit anderen Ebenen und versuchen
Sie, ein perspektives Bild der Fläche, die durch z = f (x, y) definiert ist, zu entwerfen.
Untersuchen Sie, an welchen Stellen ihres Definitionsbereichs D die Funktion stetig ist.
(a) f (x, y) = x2 + 4y 2 ,

x
p
2
x + y2
(c) f (x, y) =

0
(b) f (x, y) = 3x + 4y − 7
für (x, y) 6= (0, 0)
,
für (x, y) = (0, 0)
p
(d) f (x, y) = a · x2 + y 2,
a 6= 0.
33. Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit und berechnen Sie die partiellen Ableitungen 1.Ordnung, falls sie existieren:
√ √ (a) f (x, y) = sin x · y + y ,
(b) f (x, y) = ln x2 + xy

 y
x · cos x2 + y 2 für x > 0
 e − 1 für (x, y) 6= (0, 0)
(c) f (x, y) =
, (d) f (x, y) = x2 + y 2
.
x2
0
für x ≤ 0
für (x, y) = (0, 0)
2
2
4
(e) f (x, y) = x − y ,
x−xy
(f) u(x, y) = e
uev +1
(g) x =
1 + sin2 1 + u4
6. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.)
SS 2012
34. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die durch f (x, y) gegebene Fläche
im Punkt P0 für:
p
2
(a) f (x, y) = 3x2 ex+y 5 − y 4, P0 (−1, −1, z0 )
(b) f (x, y) = xx+y , P0 (1, 2, z0).
35. Berechnen Sie die Richtungsableitungen der Funktion f im Punkt P0 in Richtung ~a für
(a) f (x, y) =
x2
+ xy, P0 = (1, 2), ~a = (2, 3), (3, 2) bzw. (−1, −3),
2
(b) f (x, y, z) = 2xy 3 − yz 2 , P0 = (2, 1, −1), ~a = (3, 0, 1).
In welcher Richtung ist die Richtungsableitung am größten und wie ist dann ihr Wert?
Skizzieren Sie für die Funktion aus (a) Höhenlinien, insbesondere die durch P0 , und die
Richtung mit maximaler Richtungsableitung.
36. Von einem Zylinder wurde der Durchmesser d = (4, 84 ± 0, 01)cm, die Höhe h = (6, 74 ±
0, 01)cm und durch Wägung die Masse m = (968, 5 ± 0, 1)g bestimmt. Mit welchem
4m
prozentualen Fehler läßt sich hieraus die Dichte ρ = 2 bestimmen?
πd h
37. Zur Bestimmung der Elastizität eines Stahldrahtes wurden dessen Länge l = (2473±3)mm
und der Durchmesser d = (0, 292±0, 001)mm gemessen. Durch eine am Draht angreifende
Kraft K = (1 ± 0, 005)kp ergab sich eine Längenänderung von ∆l = (1, 750 ± 0, 005)mm.
K·l
Man bestimme den Elastizitätsmodul E = 1 2
und seinen relativen und absoluten
d π · ∆l
4
Maximalfehler.
38. Bestimmen Sie Lage und Art der Extremwerte der folgenden Funktionen:
2 −y 2
(a) f (x, y) := (x2 − 4)2 + (4 + x2 )y 2,
(b) z = (x2 + y 2 )ex
(c) t = p3 + p2 q 2 − p,
(d) u = 3x2 + 3y 2 + 3z 2 − xz + yz − 3x − 3y,
(e) f (x, y, z) := x2 (y 2 + z 2 ) + x2 +
,
1 3
y − y + z 2 + 4z
3
39. In den 8 Gemeinden eines ostfriesischen Kreises wurde die Anzahl der in jeder Gemeinde
nistenden Störche und die Anzahl der Geburten im Jahr 1972 gezählt. Wie jeder weiß,
werden die Babys von den Störchen gebracht, und ein anderer als ein linearer Zusammenhang zwischen Anzahl von Geburten und Störchen würde die Ostfriesen überfordern.
Geben Sie die zu folgender Tabelle gehörige Ausgleichsgerade an:
Störche:
Geburten:
6
16
5 1 6 3
12 9 13 14
4 5 2
17 11 12
40. Durch die Meßpunkte
(a)
xi
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
yi 0, 18 0, 31 0, 41 0, 62 0, 74 0, 87 0, 93 1, 01 1, 10 1, 19
soll eine Ausgleichsgerade y = a1 x + a0
(b)
xi 1 2 4 6
yi 0 2 3 7
soll eine Ausgleichsparabel y = a2 x2 + a1 x + a0
gelegt werden. Bestimmen Sie die Koeffizienten auf 2 Dezimalstellen.
7. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.)
SS 2012
41. Bestimmen Sie Art und Lage der Extrema der Funktion
(a) f (x, y) := x2 + y 2 + 3 unter der Nebenbedingung x2 + y − 2 = 0,
(b) f (x, y, z) := x − 2y + 2z unter der Nebenbedingung x2 + y 2 + z 2 = 1.
(c) f (x, y) := x2 + y 2 + z 2 unter der Nebenbedingung 4x2 + 9y 2 + 16z 2 = 576.
42. Bestimmen Sie die Länge der längsten Sehne der Ellipse
(0| − 1).
x2
+ y 2 = 1 durch den Punkt
4
43. Bestimmen Sie Länge, Breite und Höhe des Quaders mit größtem Volumen, der einer
Halbkugel mit Radius r einbeschrieben werden kann.
44. Die Funktion y = f (x), x > 0, sei gegeben durch die Gleichung
√
0 = F (x, y) = e
x
tan y +
y
− 3(x2 − 1) − π.
x
Bestimmen Sie y ′ für alle Punkte P (x, y) des Graphen von f (x) und speziell in P0 (1|π).
45. Welche Steigung hat die Kurve, die durch die Gleichung
beschrieben wird?
2y 3 + 6x2 − 24x + 6y = 0
46. Durch z = f (x, y) = 24xy − 10x2 − 6y 2 wird eine Fläche im Raum beschrieben. Berechnen
Sie den Anstieg der Isoquanten y = g(x) für z = 2 im Kurvenpunkt P (2|y0) mit y0 > 2.
47. (a) Es sei
Dreieck in der (x, y)-Ebene mit den Ecken (0|0), (1|1), (0|3). Berechnen
RR G das
2
Sie G 2x y dydx.
(b) Es sei
Dreieck in der (x, y)-Ebene mit den Ecken (0|0), (2| 21 ), (0|1). Berechnen
RR G das
x
Sie G (e + sin y) dydx.
(c) Es sei G das FünfeckRRin der (x, y)-Ebene mit den Ecken (1|1), (2|0), (3|0), (3|2),
(1|2). Berechnen Sie G (x + y) dydx.
48. Das Gebiet G werde durch die Kurven y = x und y = 2 − x2 begrenzt. Zeichnen Sie G
und berechnen Sie die Fläche von G mit Hilfe eines Doppelintegrals.
8. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.)
SS 2012
√
49. Das Gebiet G der (x, y)-Ebene wird durch die Kurven y = x2 und y = x begrenzt. G sei
mit der Masse mit Massendichte m(x, y) = x + y belegt. Berechnen Sie die Gesamtmasse
und die Schwerpunktkoordinaten von G.
50. Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes des Gebiets, das durch den parabolischen Zylinder z = 4 − x2 und die Ebenen x = 0, y = 0 und y = 6 begrenzt wird, wenn
die Dichtefunktion konstant ist.
51. Gegeben ist das 3-dimensionale Gebiet G, das durch das Paraboloid z = 4 − x2 − y 2 und
die (x, y)-Ebene begrenzt wird, mit der Massendichte m(x, y) = 1.
(a) Berechnen Sie die Gesamtmasse des Gebietes.
(b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes von G.
(c) Berechnen Sie das Trägheitsmoment bezüglich der z-Achse.
52. Berechnen Sie das Volumen des Gebietes, das durch das Paraboloid z = x2 + y 2 und den
Zylinder x2 + y 2 = 4 begrenzt wird.
53. Von einer Kugel mit Radius R wird durch einen ebenen Schnitt eine Kugelhaube“ der
”
Höhe h abgeschnitten. Bestimmen Sie Volumen und Schwerpunkt der Kugelhaube und
des Restes der Kugel.
54. Berechnen Sie Realteil und Imaginärteil von
(a) z =
1
1 − (1 + 2i)2
√
(b) z = (1 + 3 i)4
55. Bestimmen Sie die Lösungen folgender quadratischer Gleichungen in C:
I
(a) x2 + 10x + 34 = 0
(b) x2 + 4ix − 13 = 0
(c) ix2 + 8x − 25i = 0.
56. Sei a ∈ IR, a 6= 0. Zeigen Sie, daß die Gleichung x2 + 2ix − a = 0 keine reelle Lösung
besitzt. Für welche Werte von a sind die Lösungen rein imaginär? Geben Sie die Lösungen
an!
57. Zeigen Sie, daß 1 − i eine Lösung der Gleichung z 4 − 3z 3 + 2z 2 + 2z − 4 = 0 ist und
bestimmen Sie alle anderen Lösungen.
√
3
3
58. Es sei z1 = +
i, z2 = −1 + i. Berechnen Sie z1 · z2 direkt, überführen Sie z1 und z2
2
2
in Exponentialform und berechnen Sie nochmals z1 · z2 .
9. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.)
SS 2012
59. Bestimmen Sie die Lösungen folgender exakter Differentialgleichungen:
(a) (3x2 y 2 + 2y − 1)dx + (2x3 y + 2x + 2y)dy = 0,
1
ln x
2
(b)
+ 2x dx + y − 2 dy = 0,
xy
y
1
tan y
2
2
2
y ′ = 0,
(c) 2xy + x − 2 + x + y +
x
x cos2 y
(d) ey + y cos(xy) + xey + x cos(xy) y ′ = 0.
y(0) = 1,
y(1) = 1,
60. Ermitteln Sie die Lösungen folgender Differentialgleichungen:
y
(a) y ′ = ,
(b) (y − 1) dx − (x − 1) dy = 0,
x
2x
1 + y2
′
(c) y ′ =
y,
(d)
xyy
=
, x, y > 0.
1 + x2
1 + x2
61. Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung
(a) y ′ = −
1 −y
e ,
x2
x > 0,
durch P0 (1|1),
(b) y ′ = xy −
y
,
x2
x > 0,
62. Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung
y ′ + y · tan x = tan x
mit y(0) = 4.
63. Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
xy ′ + y = 2x ,
y(1) = 0,
x > 0.
64. Bestimmen Sie alle Lösungen von
2
y = x − 1,
x−1
(d) 3x′ + x = 3t.
(a) 2y + y ′ = ex ,
(c) xy ′ − (x2 + 1)y = x2 ex
(b) y ′ −
2 /2
,
65. Zeigen Sie: Die Funktionen
y1 = e−x cos 2x,
y2 = e−x sin 2x
bilden ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung
y ′′ + 2y ′ + 5y = 0.
66. Ermitteln Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen:
(a) y ′′′ − 3y ′′ + 3y ′ − y = x2 e2x ,
(b) y ′′′ − 2y ′′ + 4y ′ − 8y = xex + sin 2x,
(c) y (4) + 8y ′′ + 16y = sin x + sin 2x .
y(1) = 1.
10. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.)
SS 2012
67. Die Messung der Druckfestigkeit von 20 Betonwürfeln erbrachte folgendes Ergebnis:
183, 181, 183, 180, 182, 182, 185, 182, 184, 179,
182, 184, 180, 181, 179, 180, 182, 180, 181, 183.
Bestimmen Sie die absoluten, relativen und prozentualen Häufigkeiten sowie die entsprechenden kumulierten Häufigkeiten und stellen Sie beides grafisch dar.
Welcher Anteil der Betonwürfel hat eine Druckfestigkeit von höchstens 182?
Geben Sie an, welche Druckfestigkeit 15% der Betonwürfel mindestens haben.
Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, den Median, die Varianz, die Standardabweichung, die Spannweite und den Quartilsabstand.
68. Die Monatsgehälter xi der Beschäftigten einer Firma haben das arithmetische Mittel
x = 5000 Euro und die Standardabweichung ist sx = 1000 Euro. Wie verändern sich x,
sx , der Variationskoeffizient νx , der Zentralwert Z und die Spannweite, wenn man jedes
Gehalt
(a) um 100 Euro erhöht
(b) um 2 % erhöht.
69. Für die Ausgaben für Werbung von Unternehmen im Siegerland hat sich einer Stichprobe
folgende Klasseneinteilung ergeben:
Ausgaben in T Euro (0,10]
Anzahl
200
(10,50] (50,100] (100,230]
.
300
250
250
Ermitteln Sie ein Histogramm, d.h. den Graph der Dichtefunktion“
”
fi
für xi ≤ x < xi+1 ,
f (x) = 0 sonst.
f (x) :=
∆xi
Zeichnen Sie das Bild der zugehörigen Häufigkeitsverteilungsfunktion F (x) :=
Z
x
f (x) dx.
−∞
Welcher Anteil der Unternehmen gibt höchstens 40 T Euro für Werbung aus? Geben Sie
die Obergrenze für Werbeausgaben an, die 60 % der Unternehmen nicht überschreiten!
70. Bestimmen Sie für die Verteilung der vorigen Aufgabe das arithmetische Mittel, den
Median, die Varianz, die Standardabweichung, die Spannweite und den Quartilsabstand.
71. Teilen Sie die Punkteverteilung aus Beispiel 5.2.3 in die Klassen
[0, 10], (10, 15], (15, 20], (20, 30], (30, 35], (35, 42], (42, 50], (50, 60], > 60
ein. Erstellen Sie das zugehörige Histogramm und die Häufigkeitsverteilungsfunktion und
stellen Sie diese grafisch dar.
Wie viele Klausuren haben mehr als 20, aber nicht mehr als 40 Punkte?
Bei welcher Mindestpunktzahl haben 60 % der Teilnehmer bestanden?
72. In deutschen Texten treten die Vokale mit folgenden Wahrscheinlichkeiten auf:
Vokal
e
i
a
u
o
.
p
0,147 0,064 0,043 0,032 0,018
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Buchstabe kein e?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Buchstabe kein Vokal?
73. Für die Konfektionsgrößen von 2000 repräsentativen Kunden wurden empirisch folgende
Häufigkeiten ermittelt:
Größe
Anzahl
S
M
L XL
.
331 505 682 482
Geben Sie an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Kunde Größe L hat!
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Kunde Größe S oder XL?
74. Zwei (ideale) Würfel mit Augenzahlen 1 bis 6 werden geworfen. Die Augenzahl des ersten
Würfels sei X, die des zweiten Y . Dann sei
A := X = Y ”,
”
B := X + Y > 9”,
”
C := X + Y = 7”,
”
D := X + Y gerade”.
”
(a) Welche dieser Ereignisse sind paarweise disjunkt?
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A, B, C, D und A ∩ B, A ∪ B, A ∩ C,
A ∪ C.
75. Ein bestimmter Schütze trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0, 2 ins Schwarze
einer Scheibe. Berechnen Sie (unter der Annahme, daß die Schüsse unabhängig sind,) die
Wahrscheinlichkeit dafür, daß
(a) er dreimal hintereinander ins Schwarze trifft,
(b) er bei drei Schüssen genau zweimal ins Schwarze trifft,
(c) er bei drei Schüssen mindestens zweimal ins Schwarze trifft.
(d) Wie oft muß er schießen, damit die Wahrscheinlichkeit, wenigstens einmal ins Schwarze zu treffen, größer als 0,95 wird?
76. Ein Bäcker backt jeden Morgen für einen Kunden frische Brötchen. Die gewünschte Anzahl
X der Bestellung ist zufällig und wir durch folgende Verteilung beschrieben:
 1
für 1 ≤ x ≤ 1000


 10000

1
für 1001 ≤ x ≤ 1400
p(x) = 500
.
1

für
1401
≤
x
≤
2000

6000


0
sonst
(a) Zeigen Sie, daß durch p(x) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben wird.
(b) Der Bäcker kann maximal 1500 Brötchen herstellen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Bestellmenge diese Kapazität übersteigt?


für x < 1
0
2
77. (a) Gegeben sei die Dichtefunktion f (x) = c · x für 1 ≤ x ≤ 5 .


0
für 5 < x
Bestimmen Sie c und geben Sie die zugehörige Verteilungsfunktion an!
(b) Gegeben ist die Verteilungsfunktion

0
für x < 0



3
(x − 3)
F (x) =
+ 1 für 0 ≤ x ≤ 3 .

27


1
für 3 < x
Bestimmen Sie zugehörige Dichtefunktion!
78. Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion:
Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
(a) P (X ≤ 4) = 0, 9
F (x)
(b) P (X ≥ −1) = 0, 8
1, 0
0, 9
✻
r
r
(c) P (−1 < X < 1) = 0
(d) P (−1 ≤ X < 0) = 0
0, 5
(e) P (X = 3) = 0, 4
0, 3
r
(f) P (X < 1 oder X > 2) = 0, 8
(g) P (X ∈ [2, 3]) = 0, 6
−2
r
r
0, 2
−1
1
2
3
4
5
✲
x
(h) P (X ∈ (3, 5)) = 0, 1
79. Die Zufallsvariable X sei N(1, 8; 2)-verteilt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten
(a) P (X ≤ 2, 44)
(b) P (X ≤ −1, 6)
(c) P (X ≥ 1)
(d) P (2 ≤ X ≤ 10)
80. X sei N(−2; 0, 5)-verteilt. Bestimmen Sie c mit
(a) P (X ≤ c) = 0, 05
(b) P (−c ≤ X ≤ −1) = 0, 5
81. In einer Flaschenfüllanlage mit Sollwert 1000 ml ist die tatsächliche Füllmenge einer
Flasche eine normalverteilte zufällige Variable mit Standardabweichung σ = 3 ml. Eine
Stichprobe vom Umfang n = 50 ergab das Stichprobenmittel x = 999 ml. Konstruieren
Sie ein Konfidenzintervall für den wahren Mittelwert µ der Anlage mit Wahrscheinlichkeit
95 %. Kann man aus dem Ergebnis schließen, daß die Maschine im Mittel zu wenig abfüllt?
82. Ein Intelligenztest ergab bei 100 Versuchspersonen einer bestimmten Bevölkerungsgruppe
einen mittleren Intelligenzquotienten von 105 bei einer Standardabweichung von 12. Berechnen Sie ein 92 %-Vertrauensintervall für den mittleren IQ µ dieser Bevölkerungsgruppe!
Wie sieht ein 75 %-Vertrauensintervall aus?
Wie sieht ein 92 %-Vertrauensintervall aus, wenn die Stichprobe 400 Personen umfaßt?
Standard-Normalverteilung
1
Tabelliert sind die Werte der Verteilungsfunktion Φ(z) = √
2π
Für z < 0 ist die Formel Φ(z) = 1 − Φ(−z) anzuwenden.
Z
z
e−x
2 /2
dx.
−∞
Beispiel: Φ(−0.21) = 1 − Φ(0.21) = 1 − 0.5832 = 0.4168.
z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
0.00
.5000
.5398
.5792
.6179
.6554
.6914
.7257
.7580
.7881
.8159
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
.9330
.9452
.9554
.9641
.9712
.9772
.9822
.9860
.9892
.9918
.9938
.9954
.9966
.9974
.9982
0.01
.5040
.5438
.5832
.6217
.6591
.6950
.7290
.7612
.7910
.8186
.8438
.8664
.8868
.9049
.9207
.9346
.9462
.9564
.9648
.9719
.9778
.9826
.9864
.9896
.9920
.9940
.9954
.9966
.9975
.9982
0.02
.5080
.5478
.5870
.6255
.6627
.6984
.7323
.7642
.7938
.8212
.8461
.8686
.8887
.9066
.9222
.9358
.9473
.9572
.9656
.9725
.9783
.9830
.9868
.9898
.9922
.9942
.9956
.9968
.9976
.9982
0.03
.5120
.5517
.5910
.6293
.6664
.7019
.7356
.7672
.7967
.8238
.8484
.8707
.8906
.9082
.9236
.9370
.9484
.9582
.9664
.9732
.9788
.9834
.9872
.9901
.9924
.9943
.9957
.9968
.9976
.9983
0.04
.5160
.5556
.5948
.6330
.6700
.7054
.7389
.7703
.7995
.8264
.8508
.8728
.8925
.9098
.9250
.9382
.9494
.9590
.9671
.9738
.9793
.9838
.9874
.9904
.9926
.9944
.9958
.9969
.9978
.9984
0.05
.5199
.5596
.5987
.6368
.6736
.7088
.7422
.7733
.8023
.8289
.8531
.8749
.8944
.9114
.9264
.9394
.9506
.9599
.9678
.9744
.9798
.9842
.9878
.9906
.9928
.9946
.9960
.9970
.9978
.9984
0.06
.5239
.5636
.6026
.6406
.6772
.7122
.7454
.7764
.8050
.8314
.8554
.8770
.8962
.9130
.9278
.9406
.9516
.9608
.9686
.9750
.9802
.9846
.9881
.9908
.9930
.9948
.9961
.9971
.9979
.9984
0.07
.5279
.5675
.6064
.6443
.6808
.7156
.7486
.7793
.8078
.8340
.8576
.8790
.8980
.9146
.9292
.9418
.9526
.9616
.9692
.9756
.9808
.9850
.9884
.9911
.9932
.9949
.9962
.9972
.9980
.9985
0.08
.5319
.5714
.6102
.6480
.6844
.7190
.7518
.7823
.8106
.8364
.8599
.8810
.8997
.9162
.9304
.9429
.9536
.9624
.9699
.9762
.9812
.9854
.9887
.9914
.9934
.9950
.9963
.9972
.9980
.9986
0.09
.5358
.5753
.6140
.6517
.6879
.7224
.7548
.7852
.8132
.8388
.8621
.8830
.9014
.9177
.9318
.9440
.9545
.9633
.9706
.9767
.9817
.9857
.9890
.9916
.9936
.9952
.9964
.9974
.9980
.9986
z
3
0.0
.9986
0.1
.9990
0.2
.9993
0.3
.9995
0.4
.9996
0.5
.9998
0.6
.9998
0.7
.9999
0.8
1.0000
0.9
1.0000
Lösung Übung 10 Mathematik 2 (Bauing./Chem.) SS 2012
67. arithm. Mittel:
1
(2 · 179 + 4 · 180 + 3 · 181 + 5 · 182 + 3 · 183 + 2 · 184 + 185) = 181, 65.
20
Median: 7 Würfel kleiner als 182, 5 gleich 182, 6 größer. Hälfte von 20 ist 10, und der 10.
und 11. Würfel haben Festigkeit 182, d.h. der Median ist 182.
Wert ai abs.Häuf. hi
179, 00
2
180, 00
4
181, 00
3
182, 00
5
183, 00
3
184, 00
2
1
185, 00
Summe
20
Varianz: s2 = 2, 8711,
ai ∗ hi
358, 00
720, 00
543, 00
910, 00
549, 00
368, 00
185, 00
3633
ai − x (ai − x)2 hi ∗ ()2
−2, 65
7, 02
14, 05
−1, 65
2, 72
10, 89
−0, 65
0, 42
1, 27
0, 35
0, 12
0, 61
1, 35
1, 82
5, 47
2, 35
5, 52
11, 04
3, 35
11, 22
11, 22
54, 55
Standard-Abweichung s = 1, 6944.
Spannweite 185 − 179 = 6. Quartilsabstand: 25% von 20 Würfeln sind 5 Würfel. Herausnahme der 5 Würfel mit der kleinsten Festigkeit bzw. der 5 mit der größten Festigkeit
ergibt 183 − 180 = 3.
15% = 3 Würfel haben Festigkeit mindestens 184.
68. (a) Erhöhung um 100:
n
1 X
arithm. Mittel xneu =
(xi + 100) = 5100.
n i=1
v
u
n
u 1 X
2
t
(xi + 100) − (x + 100) = s.
Standardabweichung: sneu =
n − 1 i=1
Median: Auch der Mitarbeiter mit dem mittleren“ Einkommen bekommt 100 mehr,
”
d.h. zneu = z + 100.
Spannweite: (größter Lohn + 100) − (kleinster Lohn + 100) bleibt gleich.
(b) prozentuale Erhöhung:
n
1 X
arithm. Mittel xneu =
1, 02 · xi = 1, 02 · 5000 = 5100.
n i=1
v
u
n
u 1 X
2
t
Standardabweichung: sneu =
1, 02 · xi − 1, 02 · x = 1, 02 · s.
n − 1 i=1
Median: Relative Einkommensstaffelung ändert sich nicht, d.h. zneu = 1, 02 · z.
Spannweite: (größter Lohn·1, 02)−(kleinster Lohn·1, 02) = 1, 02·alte Spannweite.
69.
fi∗
f (x) Mitte a∗i a∗i ∗ h∗i a∗i − x∗ (a∗i − x∗ )2 h∗i ∗ ()2
Wert ai Kl.-breite h∗i
(−∞, 0]
−
0
0
0
−
0
0
0
0
(0, 10]
10
200 0, 2
0, 02
5
1
−65
4225
845000
40
300 0, 3 0, 075
30
9
−40
1600
480000
(10, 50]
(50, 100]
50
250 0, 25 0, 005
75
18, 75
5
25
6250
(100, 230]
130
250 0, 25 0, 0019
165
41, 25
95
9025
2256250
(230, ∞)
−
0
0
0
−
0
0
0
0
Summe
1000
1
70
3587500
f (x)
✻
Histogramm
0, 02
0, 01
0, 0075
0, 005
✲
10
50
100
200
230 250
T Euro
F (x) =
F (x) ✻

0




0, 02x



x≤0
0 ≤ x ≤ 10
0, 2 + 0, 075(x − 10)
10 ≤ x ≤ 50
0, 5 + 0, 005(x − 50)
50 ≤ x ≤ 100




0,
75
+
0,
0019(x
−
100)
100
≤ x ≤ 230



1
230 ≤ x
1, 0
r
0, 75
r
0, 5
r
0, 2
r
✲
r
10
50
100
200 230 250
T Euro
Anteil mit höchstens 40 T Euro : F (40) = 0, 2 + 0, 0075 · (40 − 10) = 0, 425.
Sei x die Obergrenze für 60%, d.h. x = F (0, 6).
0, 6 = 0, 5 + 0, 005(x − 50)
70. arithm. Mittel x∗ = 70. Varianz: s2 =
s = 59, 93.
=⇒
x = 70.
3587500
= 3591, 09,
999
Standard-Abweichung
Median: Z = 50 (Rand von 2 Klassen). Spannweite 230 − 0 = 230.
F −1 (0, 25) liegt im Bereich 10 ≤ x ≤ 50:
0, 25 = 0, 2 + 0, 0075(x − 10)
=⇒
x25% = 16, 67.
F −1 (0, 75) = 100 = x75% .
Damit Quartilsabstand x75% − x25% = 83, 33.
71.
Intervall Häuf. hi proz.Häuf. fi
[0,10)
3
6
[10,15)
5
10
[15,20)
4
8
[20, 30)
3
6
[30,35)
9
18
[35,42)
6
12
[42,50)
9
18
[50,60)
8
16
[60,100)
3
6
Höhe
0, 6
2
1, 6
0, 6
3, 6
1, 71
2, 25
1, 6
0, 15
δxi
10
5
5
10
5
7
8
10
40

0





0, 006 · x





0, 02 · (x − 10) + 0, 06





0, 016 · (x − 15) + 0, 16





0, 006 · (x − 20) + 0, 24
F (x) = 0, 036 · (x − 30) + 0, 3



0, 0171 · (x − 35) + 0, 48




0, 0225 · (x − 42) + 0, 6





0, 016 · (x − 50) + 0, 78




0, 0015 · (x − 60) + 0, 94



1
x≤0
0 ≤ x ≤ 10
10 ≤ x ≤ 15
15 ≤ x ≤ 20
20 ≤ x ≤ 30
30 ≤ x ≤ 35
35 ≤ x ≤ 42
42 ≤ x ≤ 50
50 ≤ x ≤ 60
60 ≤ x ≤ 100
100 ≤ x
Relativer Anteil mit mehr als 20 und höchstens 40 Punkten:
F (40) − F (20) = 0, 0171 · 5 + 0, 48 − 0, 24 = 0, 3255.
Absolut 16 Klausuren.
Wenn 60% bestehen, haben 40% weniger als x Punkte:
F (x) = 40
=⇒
30 ≤ x ≤ 35.
0, 4 = 0, 036 · (x − 30) + 0, 3
=⇒
x = 32.
72. Wahrscheinlichkeit für e“ ist p(e) = 0, 147. Gesamtwahrscheinlichkeit ist 1, d.h. die
”
Wahrscheinlichkeit, daß der Buchstabe kein e“ ist, ist
”
p(nicht e) = 1 − 0, 147 = 0, 853.
Wahrscheinlichkeit für einen Vokal ist
p(a oder e oder i oder o oder u) = 0, 043 + 0, 147 + 0, 064 + 0, 018 + 0, 032 = 0, 304,
d.h.
p(Konsonant) = 1 − 0, 304 = 0, 696.
73. Sei X die Größe des Kunden.
682
p(X = L“) =
= 34, 1%.
”
2000
331
482
p(X = S“ oder X = XL“) =
+
= 40, 65%.
”
”
2000 2000
74. (a) Disjunkt sind A und C, B und C bzw. C und D, d.h. diese Ereignisse schließen sich
gegenseitig aus.
A und B möglich mit X = 5 oder X = 6, B und D möglich mit X + Y = 10 oder
X + Y = 12, und wenn A gilt, gilt immer auch D.
(b)
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3 4 5 6
1
4 5 6 7
Es
gibt
36
mögliche
Wurf2
5 6 7 8
Konstellationen und jede ist gleich
3
6 7 8 9
wahrscheinlich, d.h. jede hat Wahr1
4
7 8 9 10
scheinlichkeit p = :
5
8 9 10 11
36
6
9 10 11 12
6
In jeweils 6 Fällen gilt A bzw. B bzw. C, d.h. p(A) = p(B) = p(C) = , in 18, d.h.
36
1
der Hälfte der Fälle D, d.h. p(D) = .
2
2
10
2
Analog p(A∩B) = , p(A∪B) = , p(A∩C) = 0 und p(A∪C) = p(A)+p(C) = .
36
36
6
75. Jeweils Binomialverteilung, d.h. die Wahrscheinlichkeit von k Treffern bei n Schüssen ist
(mit p = 0, 2)
n k
p(X = k) =
p (1 − p)n−k .
k
(a) Für n = 3, k = 3 folgt p(X = 3) = 0, 23 = 0, 008.
(b) Für n = 3, k = 2 folgt p(X = 2) = 3 · 0, 22 · 0, 8 = 0, 096.
(c) Für n = 3, k ≤ 2 folgt
p(X ≤ 2) =
2 X
3
k=0
k
0, 2k 0, 83−k = 1 − p(X = 3) = 1 − 0, 008 = 0, 992.
(d) Für beliebiges n ist
n
p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 −
0, 20 0, 8n−0 = 1 − 0, 8n .
0
0, 813 = 0, 055, 0, 814 = 0, 044, d.h. kleinstes n mit 1 − 0, 8n > 0, 95 ist n = 14.
Z ∞
400
600
1000
76. (a) p(x =≥ 0 und
p(x) dx =
+
+
= 1, d.h. p(x) ist eine Wahr10000
500
6000
−∞
scheinlichkeitsverteilung.
(b) Sei x die Bestellmenge. Die zugehörige Verteilungsfunktion ist


0
für x ≤ 0



1


für 1 ≤ x ≤ 1000
 10000 x
1
F (x) = 500 (x − 1000) + 0, 1 für 1001 ≤ x ≤ 1400 .


1

(x − 1400) + 0, 9 für 1401 ≤ x ≤ 2000

6000


1
sonst
Damit folgt
p(x > 1500) = 1 − p(x ≤ 1500) = 1 − F (1500)
100
= 1−(
+ 0, 9) = 1 − 0, 916 = 0, 083 = 8, 3%.
6000
∞
5
c 3 5 124c
3
x 1=
folgt c =
.
3
3 Z
124
−∞
1
x
3 2
Verteilungsfunktion: F (x) = 0 für x ≤ 1, F (x) =
t dt für 1 ≤ x ≤ 5 und
1 124
F (x) = 1 für x ≥ 5.
77. (a) Mit 1 =
Z
f (x) dx =
Z
cx2 dx =
(b) f (x) = 0 für x < 0 und für x > 3. Für 0 ≤ x ≤ 3 gilt f (x) = F ′ (x) =
(x − 3)2
.
9
78. (a) p(X ≤ 4) = F (4) = 0, 9, d.h. wahr.
(b) p(X ≥ −1) = 0, 8
falsch.
⇔
p(X < −1) = 1 − 0, 8 = 0, 2. Es gilt p(X < −1) = 0 also
(c) p(−1 < X < 1) = p(X < 1) − p(X ≤ −1) = 0, 2 − 0, 2 = 0, d.h. wahr.
(d) p(−1 ≤ X < 1) = p(X < 1) − p(X < −1) = 0, 2 − 0 = 0, 2, d.h. falsch.
(e) p(X = 3) = p(X ≤ 3) − p(X < 3) = 0, 9 − 0, 5 = 0, 4, d.h. wahr.
(f) X < 1 und X > 2 disjunkt, d.h. p(X < 1 oder X > 2) = p(X < 1) + p(X > 2) =
p(X < 1) + 1 − p(X ≤ 2) = 0, 2 + 1 − 0, 5 = 0, 7, d.h. falsch.
(g) p(2 ≤ X ≤ 3) = p(X ≤ 3) − p(X < 2) = 0, 9 − 0, 3 = 0, 6, d.h. wahr.
(h) p(3 < X < 5) = p(X < 5) − p(X ≤ 32) = 0, 9 − 0, 9 = 0, d.h. falsch.
2, 44 − 1, 8
) = Φ(0, 32) = 0, 6255.
2
−1, 6 − 1, 8
(b) p(X ≤ −1, 6) = F (−1, 6) = Φ(
) = Φ(−1, 7) = 1−Φ(1, 7) = 1−0, 9554 =
2
0, 0446.
1 − 1, 8
(c) p(X ≥ 1) = 1 − p(X ≤ 1) = 1 − F (1) = 1 − Φ(
) = 1 − Φ(−0, 4) =
2
1 − (1 − Φ(0, 4) = Φ(0, 4) = 0, 6554.
10 − 1, 8
2 − 1, 8
(d) p(2 ≤ X ≤ 10) = F (10) − F (2) = Φ(
) − Φ(
) = Φ(4, 1) − Φ(0, 1) =
2
2
1 − 0, 5398 = 0, 4602.
79. (a) p(X ≤ 2, 44) = F (2, 44) = Φ(
80. Sei µ = −2, σ := 0, 5.
(a) p(X ≤ c) = 0, 05 ⇔ F (c) = 0, 05 ⇔
c−µ
c−µ
Φ(−
) = 0, 95 ⇔
= −1, 645
σ
σ
(−1, 645) + (−2) = −2, 8225.
c−µ
) = 0, 05 = 1 − 0, 95 ⇔
σ
⇔ c = σ · (−1, 645) + µ = 0, 5 ·
Φ(
−1 − (−2)
−c − µ
) − Φ(
)=
0, 5
σ
−c − µ
−c − µ
−c − µ
Φ(2) − Φ(
) = 0, 9772 − Φ(
) = 0, 5 ⇔ Φ(
) = 0, 4772 =
σ
σ
σ
c+µ
1−0, 5228 ⇔
= 0, 057 ⇔ c = σ ·0, 057−µ = 0, 5·0, 057+2 = 2, 0285.
σ
(b) p(−c ≤ X ≤ −1) = F (−1) − F (−c) = 0, 5
⇔
Φ(
81. Konfidenzniveau p = 0, 95, σ = 3, n = 50, x = 999.
1+p
1 + 0, 95
Zu bestimmen z mit Φ(z) =
=
= 0, 975. Tabelle ergibt z = 1, 96.
2
2
z·σ
1, 96 · 3
Mit ∆ := √ = √
= 0, 83 ergibt sich das Intervall [x−∆; x+∆] = [998, 17; 999, 83].
n
50
Sollwert 1000 nicht im Intervall, d.h. die Maschine füllt im Mittel zu wenig ab.
82. (a) p = 0, 92, σ = 12, n = 100, x = 105.
1+p
1 + 0, 92
Zu bestimmen z mit Φ(z) =
=
= 0, 96. Tabelle ergibt mit Interpo2
2
lation z = 1, 751.
z·σ
1, 751 · 12
Mit ∆ := √ = √
= 2, 10 ergibt sich das Intervall [x − ∆; x + ∆] =
n
100
[102, 9; 107, 1].
(b) p = 0, 75, σ = 12, n = 100, x = 105.
1+p
1 + 0, 75
=
= 0, 875. Tabelle ergibt mit InterpoZu bestimmen z mit Φ(z) =
2
2
lation z = 1, 150.
z·σ
1, 150 · 12
Mit ∆ := √ = √
= 1, 38 ergibt sich das Intervall [x − ∆; x + ∆] =
n
100
[103, 62; 106, 38].
(c) p = 0, 92, σ = 12, n = 400, x = 105.
z·σ
1, 751 · 12
Mit ∆ := √ = √
= 1, 05 ergibt sich das Intervall [x − ∆; x + ∆] =
n
400
[103, 95; 106, 05].