Maxwell-Boltzmann

Zur Erinnerung
Stichworte aus der
14. Vorlesung:
Grenzflächenphänomene:
Oberflächenspannung
Grenzflächenspannung
Kapillarität
Makroskopische
Gastheorie:
Gesetz von Boyle-Mariotte
Luftdruck
Barometrische Höhenformel
Experimentalphysik I SS 2010
15-1
Kinetische Gastheorie
Zurückführung der makroskopischen Zusammenhänge:
p(V,T) auf mikroskopische Ursachen.
Atomistische Natur der Gase lange umstritten,
Akzeptanz Ende 19. Jahrhundert, Boltzmann.
Modell des idealen
Gases:
harte Kugeln ⇒ gerade Flugbahnen
Zusammenstöße ⇒ Richtungsänderung
Energie und Impulsaustausch
mittlerer Abstand groß gegen Durchmesser
⇒ „Eigenvolumen“ klein gegen verfügbares Volumen
Wechselwirkung für a > 2r0 vernachlässigt
elastische Stöße ⇒ Energieumverteilung
elastische Stöße mit der Wand ⇒ Druck
Experimentalphysik I SS 2010
15-2
Kinetische Gastheorie
Wechselwirkungspotential:
Idealisierung 1:
Idealisierung 2:
Experimentalphysik I SS 2010
typischer Verlauf Epot(r)
für Wechselwirkungsenergie
zwischen Atomen
hier: EBindung << <Ekin>
(„harte Kugel“)
gut, wenn: Epot(rmin) << <Ekin>
(„Teilchenvolumen“ → 0)
gut, wenn Dichte gering: N VTeilchen << VBehälter
N = Gesamtzahl der Teilchen in VBehälter
aber: Impuls- und Energieaustausch
zwischen Teilchen möglich
15-3
Kinetische Gastheorie
Wechselwirkungspotential:
Wechselwirkung bei Abstand r = 2r0
Wann sind Eigenvolumen und Wechselwirkungen
nicht mehr vernachlässigbar?
⇒
Experimentalphysik I SS 2010
mittlerer Abstand zwischen zwei
Molekülen in einem Gas.
15-4
Mittlerer Abstand und Dichte in einem Gas
Dichte bei 1 bar:
ρ = 3·1019 Teilchen/cm3 = 3·1025 Teilchen/m3
(Kugel mit Radius r = ½ mittlerer Abstand <a>)
4
3
π r ⋅ N = 1 m3
3
N = Teilchenzahl in 1 m3
1 3
m ≈ 8 ⋅10 −27 m 3
4N
r ≈ 2 ⋅10 −9 m = 2 nm
r ≈
3
ro(He) ≈ 0.05 nm
Reales Gas <>
ideales Gas:
⇒
r >> r0
(Abschätzung)
wenn mittlerer Abstand <a> = 2 <r> ≈ ro
⇒ Wechselwirkung und „Eigenvolumen“ nicht
vernachlässigbar (hoher Druck), dann:
⇒ Eigenschaften „realer“ Gase
Experimentalphysik I SS 2010
15-5
Druck in einem Gas (1)
Annahme: Moleküle als Massenpunkte, nur Translation,
keine rotierenden oder schwingenden Moleküle
Druck p = Kraft/ Fläche, hier:
p=
dFdA( N ,v )
dA
(p = Druck)
Impuls
􀀅􀀅
dFdA
d∆p
=
dt
= N ⋅ 2 ⋅ m ⋅ v
Für
N
dFdA =
Impulsübertrag:
⇒
pro Zeiteinheit übertragener Impuls
(Δp = Impulsübertrag)
N = N Stöße pro Sekunde
Stöße mit v ⊥ dA :
2 ⋅ N ⋅ mv
p=
dA
(p = Druck)
d.h. Druck durch Impulsübertrag
Experimentalphysik I SS 2010
15-6
Druck in einem Gas (2)
Druck durch
Impulsübertrag:
dl
dA
vx
dl = vx·dt
N=nV=n·dl·dA=n·vxdt·dA
dFdA ( N , v)
=
dA
1
p = ⋅ 2 ⋅ nx ⋅ mvx2
2
p=
Experimentalphysik I SS 2010
d (∆p x
dt
dA
15-7
Druck in einem Gas (3)
Impulsübertrag
auf eine
elastische Wand:
p = nx ⋅ mvx2
nicht nur Teilchen mit v ⊥ dA (also vy = vz = 0) tragen
zum Impulsübertrag (und Druck) bei, sondern auch
schräg zur Wand fliegende Teilchen übertragen Impuls
Δp = 2 mvx
Problem: Geschwindigkeitsverteilung in einem Gas?
Experimentalphysik I SS 2010
15-8
Druck in einem Gas (4)
Geschwindigkeitsverteilung:
v x2
2
ersetzt durch v x
v 2x =
Isotropie des Druckes:
1
2
N
(
v
)
⋅
v
dv x
x
x
∫
N
Impulsübertrag auf Flächen ⊥ dA
v 2x = v 2y = v 2z
⇒
⇒
2
1
p = ⋅ n ⋅ m v2
2 
3

v 2x =
mit
gleich:
1 2
v
3
n=
N
V
Ekin
2
1
pV = N ⋅ m v 2
3
2
⇒
Experimentalphysik I SS 2010
1
Ekin = m v 2
2
(= const. für T = const.)
ist abhängig von der Temperatur
15-9
Absolute Temperatur und allgemeine Gasgleichung
Einführung einer Temperaturskala, proportional zur
kinetischen Energie!
Absolute Temperatur:
⇒
1
3
m v 2 = kT
2
2
Gemessen in Kelvin: [T] = K
k= 1,38054·10-23 J/K
⇒
Allgemeine
Gasgleichung:
Boltzmann-Konstante
absoluter Nullpunkt für
v2 = 0
p ⋅V = N ⋅ k ⋅ T
Für 1 Mol mit der Teilchenzahl N = NA = 6,022·1023
(NA = Avogadro-Konstante oder Loschmidt-Zahl)
p ⋅ Vmol = R ⋅ T
Experimentalphysik I SS 2010
R = allgemeine Gaskonstante
15-10
Gleichverteilungssatz
Bisher nur Betrachtung von „Kugeln“ mit drei
Freiheitsgraden der Translation.
Verallgemeinerung auf
beliebige
Freiheitsgrade:
Bei einem Gas, das genügend lange bei einer
Temperatur T gehalten wird, verteilt sich die Energie
der einzelnen Atome oder Moleküle durch Stöße
gleichmäßig auf alle Freiheitsgrade.
Im Mittel hat jedes Teilchchen die Energie:
Mittlere Energie pro
Freiheitsgrad:
1
Ekin = f ⋅ kT
2
f = Anzahl der Freiheitsgrade (Translation,
Schwingung, Rotation)
Mittelwerte bisher für viele Teichen N zu einer festen Zeit t
Wie verhält sich ein einzelnes Teilchen über eine lange
Zeit?
Experimentalphysik I SS 2010
15-11
Gleichverteilungssatz
Thermodynamische
Freiheitsgrade:
Translation - Rotation – Vibration
Aufnahme der Energie in Form von kinetischer
Energie der Translation
kinetischer Energie der Rotation
Energie (kinetische und potentielle) der
Vibration
Austausch der Energie zwischen den „Freiheitsgraden“
durch Stöße.
Experimentalphysik I SS 2010
15-12
Gleichverteilungssatz
Bei thermischem Gleichgewicht und im EnsembleMittelwert gilt:
Energie pro Freiheitsgrad: <EFreiheitgrad> = ½ kT
Atome:
2-atomiges Molekül:
3-atomiges Molekül:
<ETeilchen> = f ½ kT
f=3
f=3+2+2=7
f = 3 + 3 + 6 = 12
T
R
V
<EFreiheitgrad> = ½ kT gibt quantitativen Zusammenhang
E ↔ T via statischem Mittel über viele Teilchen und/oder
lange Zeiten.
„Temperatur“ ist nur dann physikalisch sinnvolle Größe,
wenn „Verteilungsfunktionen“, z. B. fT(v), die Verteilungen
im thermischen Gleichgewicht angeben.
Experimentalphysik I SS 2010
15-13
Ergodenhypothese
Betrachtung einer physikalischen Größe in einem
Ensemble von N Teilchen:
Scharmittel:
Zeitmittel:
(a) Momentaufnahme aller N Teilchen
Bestimmung von |v| = v für alle Teilchen
daraus ermitteln :
→ Verteilungsfunktion f<N>(v)
→ „Scharmittel“
(b) Verfolgung der „Geschichte“ eines einzelnen der N
Teilchen. Viele [z]
Messungen in kurzen Zeitabständen:
→ Verteilungsfunktion f<t>(v)
→ „Zeitmittel“
Ergoden-Hypothese: Wenn sowohl N als auch t (und z)
hinreichend groß ist, gilt
f<N> = f<t>
„Scharmittel“ = „Zeitmittel“
Experimentalphysik I SS 2010
15-14
Thermodynamik
Thermodynamik = „statistische“ Physik
Phänomene begründet durch das Wirken sehr vieler
Teilchen (typisch N > 1020)
Verhalten einzelner Teilchen kann nur „in Gedanken“
verfolgt werden. Experimente mit einzelnen Atomen oder
Molekülen heutzutage jedoch möglich
Phänomene durch Mittelwerte, genommen über sehr
viele Teilchen, erklären
individuelle Eigenschaften, z.B. Geschwindigkeit,
charakterisiert durch Verteilungsfunktionen
Experimentalphysik I SS 2010
15-15
Verteilungsfunktionen (1)
Zur Erinnerung:
v x2 =
1
2
N
(
v
)
⋅
v
dv x
x
x
∫
N
⇒
v 2x = ∫ v x2 ⋅ f (v x ) ⋅ dvx
⇒
f (v x ) ⋅ dv x =
N (v x )dv x
N
Normierung:
N = ∫ N (vx ) ⋅ dvx
+∞
mit f(v) = Verteilungsfunktion
Bruchteil aller Teichchen im
Geschwindigkeitsintervall
zwischen vx und vx + dvx
+∞
1
⇒ ∫ f (v x )dv = ∫ N (v x )dv x =1
N −∞
−∞
Zahl der Teilchen im Intervall zwischen vx und vx + dvx:
N (v x )dvx = N ⋅ f (v x )dvx
Zahl der Teilchen mit Geschwindigkeiten v >u:
∞
N (v x ≥ u ) = N
∫ f (v )dv
x
x
v x =u
Experimentalphysik I SS 2010
15-16
Verteilungsfunktionen (2)
Interessiert nur der Betrag der Geschwindigkeit und nicht
die Richtung, dann gilt:
∞
v= v
⇒
∫ f (v)dv = 1
0
Die Form der Verteilungsfunktion ist noch zu bestimmen
Geschwindigkeitsverteilung in einem Gasensemble
Maxwell-BoltzmannVerteilung:
vollständige Herleitung der GeschwindigkeitsVerteilungsfunktion fMB(|v|) (Maxwell-Boltzmann Verteilung)
⇒ siehe Bücher über statistische Mechanik
(resp. Theorievorlesung)
Experimentalphysik I SS 2010
15-17
Verteilungsfunktionen (3)
Maxwell-BoltzmannVerteilung:
im De-Buch (S. 202 und ff.) Zusammenhang mit
Barometrischer Höhenformel hergestellt
(Beispiel von physikalischer Argumentation)
aus Überlegungen der Hydrostatik:
ρ
− 0 gh
-(ρop0/po) g h
pp ==ppo0e⋅ e
−
mgh
kT- m g h / (kT)
= p=0 ⋅peo e
Barometrische Formel für isotherme Atmosphäre
im Thermodynamischen Gleichgewicht
(Zustandsgrößen p, ρ, T ändern sich zeitlich nicht):
Konsistenz zwischen fMB,T(|v|) und Dichte-Verteilung
ρT(h) bei isothermer Atmosphäre (T ist fest) legt fest, wie
fMB,T(|v|) aussehen muss, damit sich die korrekte n(h)
oder ρ(h) einstellen kann
Experimentalphysik I SS 2010
15-18
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (1)
Alternative Herleitung:
allgemeine Aussage aus der Thermodynamik:
System kann Zustände mit Energien Ei annehmen
(i = 1, 2, ....)
Zahl der Zustände i mit Energie Ei: gi
gi = „statistisches Gewicht des Zustandes Ei“
Wahrscheinlichkeit Wi, das System im Zustand Ei zu
finden ist:
E
E4
Wi = g i ⋅ e
E
− i
kT
E
− i
kT
(Boltzmann-Verteilung)
E3
E2
e
E1
Gilt für diskrete Zustände.
Experimentalphysik I SS 2010
= „Boltzmann-Faktor“
15-19
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (2)
Kontinuierliche
Verteilung:
Geschwindigkeitsverteilung: Zustände nicht durch
„diskrete“ Variable i gekennzeichnet, sondern durch
„kontinuierliche“ Variable v
⇒ Wi → W (v) ≡ f (v)
g i → g (v)
und
noch zu bestimmen
1
Ei → E (v) = m v 2
2
∞
sowie Normierung
∫ f (v)dv = 1
sicher stellen.
0
(hier jeweils |v| gemeint)
Wi → W (v) = f (v) = g (v) ⋅ C ⋅ e
1 m v2
− 2
kT
Normierungsfaktor
Experimentalphysik I SS 2010
15-20
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (3)
Statistisches Gewicht:
Wie oft treten Geschwindigkeiten im Intervall v und v + dv
auf?
Nur der Betrag der Geschwindigkeit wird betrachtet.
Schnitt durch eine Kugel im Raum (vx, vy, vz) mit Radius
r = |v|.
Betrachte:
Kugelschale mit Radius v und Dicke dv
Häufigkeit des Wertes u mit v ≤ u ≤ v + dv ist proportional
zu V = 4π v2 dv (Kugelschale)
Damit wird g(v):
Experimentalphysik I SS 2010
g (v) = 4π v 2
15-21
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (4)
f ( v )dv = 4π v 2 ⋅ C ⋅ e
∞
Normierung:
∫
4π v 2 ⋅ C ⋅ e
1 m v2
− 2
kT
dv
dv = 1
0
∞
1 m v2
− 2
kT
⇒ C −1 = ∫ 4π v 2 ⋅ e
1 m v2
− 2
kT
0
 2π kT 
dv = 

m


3
2
Damit erhält man die Maxwell-Boltzmann-Verteilung:
⇒
3
2
1 m v2
− 2
kT
 m 
f ( v ) = 4π v 2 ⋅ 
 ⋅ e

  2π kT  


Statistisches Gewicht
Boltzmann-Faktor
Normierung
f(v)dv = Wahrscheinlichkeit ein Teilchen mit einer
Geschwindigkeit im Intervall dv um v zu finden.
Experimentalphysik I SS 2010
15-22
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (5)
Verteilungsfunktion
f(vz) für die
Geschwindigkeitskomponente vz:
⇒
symmetrische Gausverteilung
andere Konstante (s. De)
beachte:
im thermodynamischen
Gleichgewicht muss
gelten
f(vz) = f(-vz)
Gas betrachtet im Volumen mit Höhe dh, derart, dass
1
mg ⋅ dh << mvz2
2
⇒ dann keine Richtung ausgezeichnet, also
f(vx) = f(vy) = f(vz)
Experimentalphysik I SS 2010
15-23
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (6)
3
2
Geschwindigkeitsverteilung und
charakteristiche
Geschwindigkeiten:
1 m v2
− 2
kT
 m 
n(v) = n ⋅ f ( v ) = n ⋅ 4π v 2 ⋅ 
 ⋅ e

  2π kT  


∝ v2
Verteilung |v| erstreckt sich von 0 bis ∞
⇒ asymmetrische Verteilung, nicht symmetrisch zu v = 0
Experimentalphysik I SS 2010
15-24
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (7)
Wahrscheinlichste
Geschwindigkeit:
Mittlere
Geschwindigkeit:
2kT
m
vw =
Maximum der Verteilungskurve
∞
v = ∫ v f (v)dv ⇒
0
8kT
−1
= 2 ⋅ vwπ 2
v =
πm
f=3
∞
Mittleres
v2
v
2
= ∫ v 2 f (v)dv ⇒
0
Experimentalphysik I SS 2010
v2 =
3kT
m
⇒
1
3kT
m v2 =
2
2
15-25
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
Variation von f(v) mit T:
Experimentalphysik I SS 2010
15-26
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
N2
100 K
T = 300
f (|v|) [a.u.]
Vmax = 242 m/s
0
200 400 600 800 1000 1200 1400
v[m/s]
Experimentalphysik I SS 2010
15-27
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
N2
T = 100 K
T = 300 K
Vmax = 242 m/s
f (|v|) [a.u.]
Vmax = 424 m/s
0
200 400 600 800 1000 1200 1400
v[m/s]
Experimentalphysik I SS 2010
15-28
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
N2
Vmax = 242 m/s
T = 100 K
T = 300 K
T = 1000 K
f (|v|) [a.u.]
Vmax = 424 m/s
Vmax = 758 m/s
0
200 400 600 800 1000 1200 1400
v[m/s]
Experimentalphysik I SS 2010
15-29
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
Masse = xm u
Xe: xm= 131
T = 300 K
f (|v|) [a.u.]
Vmax = 197 m/s
0
200 400 600 800 1000 1200 1400
v [m/s]
Experimentalphysik I SS 2010
15-30
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
Masse = xm u
T = 300 K
Xe: xm= 131
CO2: xm= 38
f (|v|) [a.u.]
Vmax = 197 m/s
Vmax = 364 m/s
0
200 400 600 800 1000 1200 1400
v [m/s]
Experimentalphysik I SS 2010
15-31
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
Masse = xm u
T = 300 K
Vmax = 197 m/s
Xe: xm= 131
CO2: xm= 38
N2: xm= 28
f (|v|) [a.u.]
Vmax = 364 m/s
Vmax = 424 m/s
0
200 400 600 800 1000 1200 1400
v [m/s]
Experimentalphysik I SS 2010
15-32
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
Masse = xm u
T = 300 K
Vmax = 197 m/s
f (|v|) [a.u.]
Vmax = 364 m/s
Vmax = 424 m/s
Xe: xm= 131
CO2: xm= 38
N2: xm= 28
He2: xm= 4
Vmax = 1121 m/s
0
200 400 600 800 1000 1200 1400
v [m/s]
Experimentalphysik I SS 2010
15-33
Transportprozesse in Gasen
dominiert durch:
Streuung
Diffusion (Transport von Teilchen)
Wärmeleitung (Transport von Energie)
später: Viskosität („Zähigkeit“)
(Transport von Impuls)
Experimentalphysik I SS 2010
15-34
Streuprozesse
Stoßquerschnitt für
„harte Kugel“:
Stoßquerschnitt:
Alle Teilchen A, deren Mittelpunkt durch die Fläche
σ = π (r12 + r22 )
um den Mittelpunkt von B laufen, werden durch den Stoß
mit B aus ihrer geraden Bahn abgelenkt.
Diese Fläche σ heißt Stoßquerschnitt.
Annahme „harte Kugel“ ist grobe Näherung, i.d.R.
Wechselwirkung Epot = Epot(r) (größere Reichweite des
Potentials), dann wird σ = σ (EStoß), d.h. Stoßquerschnitt
abhängig von der Stoßenergie
Experimentalphysik I SS 2010
15-35