Serie 10 - Universität Basel

Angewandte Analysis
Prof. Marcus Grote
HS 2007
Universität Basel
Serie 10
Aufgabe 1 :
Betrachte die Aufgabe
ut + uxx = 0, x ∈ (0, 1), t > 0,
u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = f (x), x ∈ (0, 1).
Für T > 0 zeige, dass es zu jedem beliebig kleinen ε > 0 eine Lösung gibt, mit
kf k∞ < ε und ku(· , T )k∞ beliebig gross.
Hinweis: Betrachte f (x) = ε sin(kπx).
Aufgabe 2 :
Seien a, b ∈ R, a, b > 0. Bestimme M derart, dass
0 ≤ xa e−bx ≤ M,
∀x ≥ 0.
Aufgabe 3 :
Sei f ∈ C([0, 1]) und stückweise stetig differenzierbar mit f (0) = f (1) = 0. Zeige,
dass dann die schärfere Poincarésche Ungleichung
kf k ≤
gilt. Zeige zudem, dass die Konstante
1
π
1 ′
kf k
π
optimal ist (betrachte dazu f (x) = sin(πx)).
Hinweis: Benutze die Parsevalsche Gleichung
2
2kf k =
∞
X
c2k .
k=1
Aufgabe 4 :
Zur numerischen Lösung der Wärmeleitungsgleichung (1) betrachte das CrankNicholson-Verfahren
!
m+1
m+1
m+1
m
m
+ vj−1
vj+1
− 2vjm + vj−1
vjm+1 − vjm
1 vj+1 − 2vj
,
=
+
∆t
2
∆x2
∆x2
für j = 1, 2, . . . , n und m ≥ 0. Zeige, dass dieses Schema im Sinne von Neumann
unbedingt, d.h. ∀ ∆t > 0, stabil ist.
Aufgabe 5 P:
Schreibe eine Matlab-Funktion [x,u]=FDHeat_explicit(t,dx,dt) zur numerischen
Approximation der Lösung der Wärmeleitungsgleichung
ut = uxx , x ∈ (0, 1), t > 0,
u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = f (x), x ∈ (0, 1),
mit
f (x) =
(1)
2x,
x ≤ 1/2
2(1 − x), x ≥ 1/2
an einem gegebenen Zeitpunkt t mit einem expliziten Finite-Differenzen-Verfahren.
Dabei bezeichnen dx bzw. dt die Zeit- bzw. Ortsschrittweite.
a) Zeichne die numerische und die exakte Lösung bei t = 0.1 für ∆x = 1/50.
Zeichne auch den Fehler bei t = 0.1 bezüglich ∆t, für r = ∆t/∆x2 = 1/2 und
∆x = 1/10, 1/20, 1/40, 1/80, auf einer log-log-Skala.
b) Wiederhole a) für r = 0.5025. Was beobachtest du?