Statistik I für Betriebswirte

Statistik I für Betriebswirte
Privat-Doz. Dr. H. Haase
Inst. f. Math. u. Inf.
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
16.01.2017
Vorlesung 11
16.01.2017
1 / 63
Übersicht
1
Symmetrische Irrfahrt auf einer Geraden
2
Asymmetrische Irrfahrt auf einer Geraden
3
Rückkehr zum Ursprung bei der symmetrischen Irrfahrt
4
Das Spiegelungsprinzip
5
Lineare und quadratische Regression
6
Wiederholung
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2 / 63
Symmetrische Irrfahrt auf einer Geraden I
spezielle Markow-Kette
Ablauf der Irrfahrt:
x
p nach rechts und q nach links
S = {0, 1, . . . , n} Zustandsmenge
R = {0, n}
p = q = 21 symmetrische Irrfahrt (sonst asymmetrische Irrfahrt)
Start in
mit
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3 / 63
Symmetrische Irrfahrt auf einer Geraden II
p(x ) - Wahrscheinlichkeit den Rand R in 0 zu erreichen
Anwendung der ersten Mittelwertsregel:
p (x − 1) + p (x + 1)
p (x ) =
2
p (0) = 1 und p (n) = 0
Lösung mittels geometrischer Deutung:
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4 / 63
Symmetrische Irrfahrt auf einer Geraden III
Bestimmung der Geradengleichung, auf der die Punkte (x , p (x )) liegen
Schnittpunkt mit der Ordinatenachse 1, Anstieg −1/n
Also
x
p (x ) = 1 −
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n
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Symmetrische Irrfahrt auf einer Geraden IV
Anwendung: Problem des Spielerruins
A hat a ¿ und Spieler B hat b ¿.
p = q = 12 )
Wahrscheinlichkeit, daÿ A sich ruiniert (Spielzustand ist 0)?
Antwort:
a
b
p(A ruiniert) = 1 −
=
Spieler
ein faires Spiel (
weitere Frage: Wie lange dauert das?
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a+b
a+b
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Symmetrische Irrfahrt auf einer Geraden V
m(x ) - mittlere Anzahl von Schritten (Einzelspielen) von x aus bis R
erreicht wird.
2. Mittelwertsregel:
m(x − 1) + m(x + 1)
m (x ) = 1 +
2
m(0) = m(n) = 0
Aus m(x ) = 1 + m(x − )+m(x + ) folgt m(x + 1) = 2m(x ) − m(x − 1) − 2
Setze A = m(1) (noch zu bestimmen!!!):
Schrittweise:
1
1
2
m(2) = 2A − m(0) − 2 = 2 (A − 1)
m(3) = 2m(2) − m(1) − 2 = 2 (2 (A − 1)) − A − 2
= 3 (A − 2 )
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7 / 63
Symmetrische Irrfahrt auf einer Geraden VI
Vermutung:
m(x ) = x (A − x + 1)
Nachweis durch vollständige Induktion:
Induktionsanfang: für x = 0 und x = 1 richtig (m(0) = 0, m(1) = A)
Induktionsvoraussetzung:
m (x − 2) = (x − 2) (A − x + 3)
m (x − 1) = (x − 1) (A − x + 2)
Induktionsbehauptung: m(x ) = x (A − x + 1)
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Symmetrische Irrfahrt auf einer Geraden VII
Induktionsbeweis:
m(x ) = 2m(x − 1) − m(x − 2) − 2
= 2 ((x − 1) (A − x + 2)) − (x − 2) (A − x + 3) − 2
= x (A − x + 1) .
Bestimmung von A:
m(n) = n(A − n + 1) = 0
A = n−1
Schluÿendlich: m(x ) = x (n − x ).
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9 / 63
Symmetrische Irrfahrt auf einer Geraden VIII
Angenommene Situation:
A 1,-¿
B 1000,-¿
1000 Einzelspiele im Schnitt bis zu Entscheidung
A verliert mit Wahrscheinlichkeit 1000/1001 = 0.999
Grenzwertverhalten:
S = {0, 1, 2, . . .}
x 6= 0 folgt
und
p(x ) = n−→∞
lim 1 −
x
=1
n
m(x ) = n−→∞
lim x (n − x ) = ∞
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Simulieren einer Irrfahrt mit R I
N <- c()
for (i in 1:50) {
x = 1
n = 0
while (x > 0) {
n = n + 1
S = 2 * rbinom(1, 1, 0.5) - 1
x = x + S[1]
}
N <- c(N, n)
}
Die Längen n sind dann:
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Simulieren einer Irrfahrt mit R II
table(N)
## N
##
1
## 27
3
7
5
2
7
2
9 11
2 1
13
1
19
1
21
1
25 27 31
1
2 1
99 123
1
1
und als Grak
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12 / 63
80
60
40
20
0
Anzahl der Bewegungen
100
120
Simulieren einer Irrfahrt mit R III
0
10
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20
30
40
50
Versuch
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13 / 63
Asymmetrische Irrfahrt auf einer Geraden I
p 6= q
h(x ) - Wahrscheinlichkeit von x aus in 0 absorbiert zu werden.
1. Mittelwertsregel:
h(x ) = ph(x + 1) + qh(x − 1)
h(0) = 1 und h(n) = 0
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14 / 63
Asymmetrische Irrfahrt auf einer Geraden II
Setze r = qp
Aus h(x ) = ph(x + 1) + qh(x − 1) folgt dann
h(x + 1) − h(x ) = r (h(x ) − h(x − 1))
durch wiederholtes Einsetzen
h(x + 1) − h(x ) = r x (h(1) − h(0))
für x = 0, 1, . . . , n − 1. Bilde auf beiden Seite die Summe
links
x−
∑ h(z + 1) − h(z ) = h(x ) − h(0)
1
z=
0
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Asymmetrische Irrfahrt auf einer Geraden III
rechts (Summenformel für eine geometrische Reihe!):
x−
x
r −1
∑ r z (h(1) − h(0)) = r − 1 · (h(1) − h(0))
z=
1
0
Wegen h(0) = 1 gilt h(x ) = 1 + rr −− · (h(1) − 1)
Für x = n ist h(n) = 0
rn −1
0 = 1+
· (h(1) − 1)
r −1
r −1
h(1) − 1 = − n
r −1
Übergang zu p und q
x
1
1
n
h(x ) =
für x = 0, 1, . . . , n.
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x
− qp
n
q −1
p
q
p
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Rückkehr zum Ursprung bei der symmetrischen Irrfahrt I
Irrfahrten auf der Geraden I
Start im Ursprung
nach links oder rechts mit 1/2
Aussagen:
Teilchen kann von jeder Position
x
mit Wahrscheinlichkeit 1 nach
Position 0 gelangen
mittlere Laufzeit unendlich
bei Start in Position 0 unendlich oft in Position 0
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17 / 63
Rückkehr zum Ursprung bei der symmetrischen Irrfahrt II
Irrfahrten auf der Geraden II
X zufällige Anzahl der Besuche im in Position 0 nach maximal 2n
Schritten
n Schritten in Position 0
Wahrscheinlichkeit nach genau 2
a
X
i
n
- Indikator nach 2
n
n
2
=
i
·
1
22n
1
∼√
πn
(Stirling-Formel)
Schritten in 0
Dann gilt:
X = X1 + . . . + X
E (X ) = E (X1 ) + . . . + E (X
r
1
1
n
E (X ) ∼ √ ∑ √ ≈ 2
π
π = i
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n
n
)
n
i
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18 / 63
Rückkehr zum Ursprung bei der symmetrischen Irrfahrt III
Irrfahrt in der Ebene I
auf den Gitterpunkten einer Ebene
(x , y ) mit Wahrscheinlichkeit nach den 4 möglichen Punkten
1
4
(x ± 1, y ± 1)
nach 2n Sprüngen in (X n , Y n ) mit X n , Y n unabhängig voneinander
Ai - Ereignis nach 2i Schritten im Ursprung
X i = 0 und Y i = 0 unabhängig:
2
2
2
2
2
2
P (Ai ) = P (X i = 0 und Y i = 0)
= P (X i = 0) · P (Y i = 0)
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2
2
= ai2 ∼
2
1
2
πi
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19 / 63
Rückkehr zum Ursprung bei der symmetrischen Irrfahrt IV
Irrfahrt in der Ebene II
Ui - Indikatorfunktion für Ai
E (Ui ) = P (Ui = 1) = ai
2
Erwartungswert für U = U + · · · + Un
1
1
1
E (U ) ∼ 1 + + . . . +
π
2
n
ln n
1
E (U ) ∼
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π
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20 / 63
Rückkehr zum Ursprung bei der symmetrischen Irrfahrt V
Irrfahrt im Raum I
auf den Gitterpunkten eines Raumes
von (x , y , z ) aus gibt es 8 Möglichkeiten (x ± 1, y ± 1, z ± 1)
nach 2n Sprüngen (X n , Y n , Z n ) Zufallsposition
Ui - Indikator nach 2i Sprüngen im Ursprung
2
2
2
U = U + . . . + Un
E (Ui ) = ai (Unabhängigkeit in jeder Koordinate)
E (U ) = ∑ni= ai
1
3
3
1
Reihe konvergiert!
E (U ) = µ ≈ ∑k =
1000
1
k
k ·
2
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1
3
22k
= 0.38185
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Rückkehr zum Ursprung bei der symmetrischen Irrfahrt VI
Irrfahrt im Raum II
p - Wahrscheinlichkeit jemals in den Ursprung zurückzukehren
Grak:
µ = pq + 2p 2 q + 3p 3 q + . . . = 1−p p
85
p = µ+µ 1 = 1+0.0381
.381 85 = 0.27633
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22 / 63
Rückkehr zum Ursprung bei der asymmetrischen Irrfahrt I
Start im Ursprung
nach links mit q
nach rechts mit p
v Wahrscheinlichkeit jemals von 0 nach 1 zu gelangen
Zustände gleichberechtigt: von n nach n + 1 auch v
von n nach n + i dann v i
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23 / 63
Rückkehr zum Ursprung bei der asymmetrischen Irrfahrt II
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
gilt dann
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v = p + qv
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2
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24 / 63
Rückkehr zum Ursprung bei der asymmetrischen Irrfahrt III
Die Lösung dieser quadratischen Gleichung
√
1 − 1 − 4pq
v=
2q
Es ist
Darstellung von v als
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1 − 4pq = (p − q )
v=
2
1 − |p − q |
2q
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25 / 63
Rückkehr zum Ursprung bei der asymmetrischen Irrfahrt IV
w - Wahrscheinlichkeit jemals von 0 nach −1 zu komme
Vertauschen von p und q (im Ansatz v = p + qv , also w = q + pw )
2
liefert
2
1 − |p − q |
2p
Gesamtwahrscheinlichkeit für Rückkehr
w=
u = qv + pw = 1 − |p − q |
Folgerung:
Nur für
p = q = 12
ist die Rückkehr sicher!!!
mit Wahrscheinlichkeit
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|p − q |
keine Rückkehr zum Ursprung
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26 / 63
Das Spiegelungsprinzip I
Motivierung mit Abstimmungsproblem
Kandidaten A und B
a und b Anzahl ihrer Stimmen
einzeln auszählen
Führung könnte mehrmals wechseln!
a>b
Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, daÿ A dauernd führt?
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27 / 63
Das Spiegelungsprinzip II
alle Abstimmungsprotokolle gleichwahrscheinlich
Abstimmungsprotokoll - eine Folge aus a mal A und b mal B
Anzahl?
a+b
a
Stimmauszählung als Irrfahrt auf einer Geraden, die im Ursprung
beginnt.
A-Stimme einen Schritt nach rechts
B-Stimme einen Schritt nach links
Xi der i -te Schritt
Xi =
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1 i -te Stimme für A
−1 i -te Stimme für B
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28 / 63
Das Spiegelungsprinzip III
Position nach n Schritten
S =X
1
+ X2 + . . . + Xn
Pfad eines Abstimmungsprotokolls
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29 / 63
Das Spiegelungsprinzip IV
beginnt in (0, 0) und endet in (a + b, a − b)
Kriterium: A führt dauernd, wenn der zugehörige Pfad ganz oberhalb
der x -Achse liegt!
Anzahl mögliche Pfade
a+b
a
günstige Pfade?
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30 / 63
Das Spiegelungsprinzip V
günstige Pfade müssen
die
x -Achse auÿer in O: (0, 0) meiden
durch
(1, 1)
gehen
Solche gibt es:
a+b−1
a−1
(a + b − 1)!
(a − 1)! · b!
a a+b
=
a+b a
=
noch oen: Bestimmung der ungünstigen darunter, nämlich Pfade
über (1, 1) , die die x -Achse berühren oder schneiden
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31 / 63
Das Spiegelungsprinzip VI
Spieglungsprinzip: Die Anzahl der ungünstigen Pfade über P : (1, 1) nach
E : (a + b, a − b) ist gleich der Anzahl aller Pfade über P 0 : (1, −1) nach
(a + b , a − b )
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32 / 63
Das Spiegelungsprinzip VII
Angenommen Q sei der erste gemeinsame Punkt eines ungünstigen
Pfades mit der x -Achse
Das Pfadstück OPQ wird an der Zeitachse gespiegelt.
OPQE ←→ OP 0 QE - eineindeutige Zuordnung
zwischen den ungünstigen Pfaden über P nach E
und allen Möglichen Pfaden über P' nach E
Folgerung: beide Anzahlen sind gleich
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33 / 63
Das Spiegelungsprinzip VIII
Von O über P' nach E gibt es
a+b−1
a
b a+b a+b−1
·
·
=
a+b b
b−1
b a+b
b a+b
=
=
a+b b
a+b a
u=
mögliche Pfade
Anzahl der günstigen über P somit:
a
a+b
a+b a
b
a+b
−
a+b a
a−b a+b
=
a+b a
−b
Kandidat A führt dauernd mit der Wahrscheinlichkeit aa+
b
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Wiederholung lineare Regression I
Modellklasse: y = β + β x mit β , β ∈ R (Geraden)
Gerade y = βb + βb x heiÿt (empirische) Regressiongerade
0
0
1
0
1
1
aus den Urlisten
(x1 , . . . , x )
n
(y1 , . . . , y )
und
n
n
S (β0 , β1 ) = ∑ (y
i
i
=1
gebildete Funktion
− β0 − β1 x )2
i
βb0 , βb1
S (β0 , β1 ) -Fehlerquadratsume, e = y − β0 − β1 x Fehler
βb0 und βb1 Kleinst-Quadrat-Schätzungen von β0 und β1
absolutes Minimum an der Stelle
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i
Vorlesung 11
i
i
oder Residuum
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35 / 63
Wiederholung lineare Regression II
gesuchte Regressionsgerade
yb = y +
xy − x · y
(x − x )
x − (x )
2
2
Regressionskoezienten
xy − x · y
βb0 = y −
·x
x 2 − (x )2
xy − x · y
βb1 =
x 2 − (x )2
Methoden
elementare Herleitung (Abschätzen der KQ-Summe nach unten)
Extremwertrechung Bildung der partiellen Ableitungen und Null setzen
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36 / 63
Wiederholung lineare Regression III
Ausgangspunkt:
S (β
0 , β1 ) =
n
∑ (yi − β
0
i=
− β1 xi )2
1
partielle Ableitung nach
β0
∂ S (β0 , β1 )
= 2 ∑ (y − β0 − β1 x ) = 0
∂ β0
=1
n
i
i
i
partielle Ableitung nach
β1
∂ S (β0 , β1 )
= −2 ∑ (y − β0 − β1 x ) x = 0
∂ β1
=1
n
i
i
i
i
Es folgen die beiden Gleichungen:
β0 + x β1 = y und x β0 + x 2 β1 = xy
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37 / 63
Wiederholung lineare Regression IV
Wird die erste Gleichung
β0 + x β1 = y
x β0 + x 2 β1 = xy
x multipliziert und von der 2.
so ergibt sich
mit
x
bzw.
β1 =
2
abgezogen,
− (x )2 β1 = xy − x · y
xy − x · y
und β
x − (x )
2
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2
0
Vorlesung 11
=y−
xy − x · y
·x
x − (x )
2
2
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38 / 63
Realisierung der linearen Regression in R I
Untersuchung der Steuertabelle 2013
Bibliothek laden
library(xlsReadWrite)
##
##
##
##
##
##
##
##
##
xlsReadWrite version 1.5.4 (826aa0)
Copyright (C) 2010 Hans-Peter Suter, Treetron, Switzerland.
This package can be freely distributed and used for any
purpose. It comes with ABSOLUTELY NO GUARANTEE at all.
xlsReadWrite has been written in Pascal and contains binary
code from a proprietary library. Our own code is free (GPL-2).
Updates, issue tracker and more info at http://www.swissr.org.
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39 / 63
Realisierung der linearen Regression in R II
Daten auslesen:
Daten <- read.xls("Steuertabelle2013.xls", sheet = "Daten")
attach(Daten)
zur Wiederholung die lineare Regression
stm <- lm(Steuer ~ Einkommen)
und die Grak dazu:
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40 / 63
8000
6000
0
2000
4000
Steuer
10000
12000
14000
Realisierung der linearen Regression in R III
0
10000
20000
30000
40000
50000
Einkommen
zwar gute Anpassung, aber ungerechte Interpolationsmöglichkeiten
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41 / 63
Bivariate lineare Regression I
3-dimensionale Datenwolke (xi , yi , zi )
gesucht
z = a+b x +b y
1
2
mit minmaler quadratischer Abweichung
Q (a , b , b
1
2
)=
n
∑ (zi − a − b xi − b yi )
i=
2
1
2
1
Extremwertaufgabe: Bilde die partiellen Ableitungen nach a, b , b
1
und setze diese gleich Null
Anwendung auf die Steuerinterpolation:
2
yi = xi
2
d.h. Bestimmung der sogenannten Ausgleichsparabel!!!!
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42 / 63
Bivariate lineare Regression II
partielle Ableitung nach a
Es gilt
n
∂ Q (a, b1 , b2 )
= ∑ (2a + 2b1 xi + 2b2 yi − 2zi )
∂a
i =1
n
= 2 ∑ (a − zi + b1 xi + b2 yi )
i=
1
= 2n(a − z + xb1 + yb2 )
1. Gleichung
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a + xb
1
+ yb2 = z
Vorlesung 11
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43 / 63
Bivariate lineare Regression III
partielle Ableitung nach b
Es gilt
1
n
∂ Q (a, b1 , b2 )
= ∑ 2xi (a + b1 xi + b2 yi − zi )
∂ b1
i =1
n
= 2 ∑ b1 xi2 + axi − xi zi + b2 xi yi
i =
1
xa + x b
= 2n
2. Gleichung
xa + x b
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2
1
2
1 + xyb2 − xz
+ xyb2 = xz
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Bivariate lineare Regression IV
partielle Ableitung nach b
Es gilt
2
n
∂ Q (a, b1 , b2 )
= 2 ∑ b2 yi2 + ayi − yi zi + b1 xi yi
∂ b2
i =1
= 2n ya + y 2 b2 + xyb1 − yz
3. Gleichung
ya + y b
2
2
+ xyb1 = yz
Zusammenfassung:
a + xb
xa + x b
ya + xyb
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
+ yb2 = z
1 + xyb2 = xz
2
1 + y b2 = yz
1
2
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Bestimmung der Ausgleichparabel mit R I
Trick:
x1 <- Einkommen
x2 <- x1 * x1
Dann ein bivariates lineares Modell:
stm2 <- lm(Steuer ~ x1 + x2)
b <- coef(stm2)
b
## (Intercept)
## -6.503e+02
x1
1.007e-01
x2
3.450e-06
Berechnung von Datenpunkten der Ausgleichsparabel
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Bestimmung der Ausgleichparabel mit R II
x3 <- seq(min(x1), max(x1), by = 1)
y3 <- b[1] + b[2] * x3 + b[3] * x3 * x3
und die Grak dazu:
plot(Einkommen, Steuer, type = "l", col = "red")
title(main = "Steuerausgleichparabel")
lines(x3, y3, col = "blue")
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Bestimmung der Ausgleichparabel mit R III
8000
6000
0
2000
4000
Steuer
10000
12000
14000
Steuerausgleichparabel
0
10000
20000
30000
40000
50000
Einkommen
prozentuale Steuersätze?
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Bestimmung der Ausgleichparabel mit R IV
Prozente = rep(0, length(Einkommen))
for (i in 1:length(Einkommen)) if (Einkommen[i] > 0) {
Prozente[i] = 100 * Steuer[i]/Einkommen[i]
}
Was sehen wir hier? (den Steuerbauch)
plot(Einkommen, Prozente, type = "l")
title(main = "Steuerbauch 2013")
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Bestimmung der Ausgleichparabel mit R V
15
10
5
0
Prozente
20
25
Steuerbauch 2013
0
10000
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
20000
30000
40000
50000
Einkommen
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Motivierung der Mittelwertsregeln mittels Häugkeit I
1. Mittelwertsregel
pi - Wahrscheinlichkeit in einem Zustand Z absorbiert zu werden
Start einer groÿen Anzahl N von Teilchen im Zustand i
Npi Teilchen in Z absorbiert
Andererseits: in einem Schritt Npij Teilchen nach j
und von dort gehen Npij pj Teilchen nach Z , also
Npi = ∑ Npij pj
j≥
1
bzw.
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
pi = ∑ pij pj
j≥
1
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Motivierung der Mittelwertsregeln mittels Häugkeit II
2. Mittelwertsregel
mi - mittlere Lebensdauer eines in i startenden Teilchens
Start eine groÿen Anzahl N von Teilchen in i
gesamte Lebensdauer etwa Nmi
Berechnung der gesamte Lebensdauer auf eine zweite Art
nach einem Schritt habem N Teilchen N Zeiteinheiten verlebt
Npij sind im Zustand j angekommen
von wo sie im Mittel je mj weitere Zeiteinheiten leben, d.h.
Nmi = N + ∑ Npij mj
j≥
1
oder
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
mi = 1 + ∑ pij mj .
j≥
1
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Verallgemeinerung der 2. Mittelwertsregel
Übergang i nach k betrage dik - Schritte (z. B. auch Kosten!)
Xi - Schrittzahl bis zur Absorption bei Start in i
Iik -Indikator für den Übergang i nach k
Yk - Schrittzahl bis zur Absorption, falls 1. Übergang i nach k war
Zusammenhang
Xi = ∑ Iik (dik + Yk )
k
Iik und dik + Yk -unabhängige Zufallsgröÿen
Setze E (Xi ) = mi , E (Yk ) = mk und E (Iik ) = pik
Dann Erwartungswert auf beiden Seiten von Xi = ∑k Iik (dik + Yk )
bilden
mi = ∑ pik (dik + mk )
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k
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Aufgabe 1
Bestimmen Sie die Matrizen T und A für den folgenden stochastischen
Graphen
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Lösung zu Aufgabe 1 (I)
Es gilt für die Übergangsmatrix der inneren Zustände 1 und 2
Q=
0
2/3
1/2 0
und für die Übergangsmatrix S von den inneren (1,2 ) zum
Randzustand 3
1/3
S = 1/2
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55 / 63
Lösung zu Aufgabe 1 (II)
Dann ist T = (E − Q )−
1
E − Q=
1 0
0 1
−
T = ( E − Q)
−1
=
A = (E − Q)− S
0
2/3
1/2 0
1
− 12
− 32
=
− 12
3
−1
=
1
1
2
3
4
− 32
1
1
3
2
1
=
3
2
3
4
1
3
2
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
1/3
1/2
=
Vorlesung 11
1
1
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Bestimmung der inversen Matrix
Idee: Das Gleichungssystem traditionell nach x und x auösen!
1
1
1
−2
− 23
1
x
x
1
=
2
2
y
y
1
2
x1 − 32 x2 = y1 =⇒ x1 = y1 + 23 x2 , Einsetzen in die 2. Gleichung:
x2 − 12 x1 = y2 =⇒ 32 x2 − 12 y1 = y2 =⇒ 23 x2 = 12 y1 + y2 =⇒ x2 = 43 y1 + 32 y2
2 3
3
3
somit x1 = y1 +
3 4 y1 + 2 y2 = 2 y1 + y2
Also
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x1
x2
=
3
2
3
4
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1
3
2
y1
y2
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Aufgabe 2
Als vor vielen Jahren Bäckermeister Schulz an Sylvester Pfannkuchen
verkaufte, enthielten 10% aller Pfannkuchen Senf statt Marmelade. Wieviel
Pfannkuchen muÿ man im Durchschnitt kaufen, wenn man von beiden
Sorten wenigstens einen dabei haben möchte?
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58 / 63
Lösung von Aufgabe 2 I
Wir erhalten
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59 / 63
Lösung von Aufgabe 2 II
Wir erhalten
m
mS = 1 + 0.9m
= 1 + 0.9m
m = 1 + 0.1m
Marmelade
Marmelade
Marmelade
Senf
Also m
Marmelade
= 1/0.1 und
+ 0.1mSenf
Senf
m
Senf
= 1/0.9 sowie
mS = 1 + 0.9 · (1/0.1) + 0.1 · (1/0.9) = 10. 111
also 11 Stück.
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60 / 63
Aufgabe 3
Der Wirtschaftskreislauf des Verpackungsmaterials eines Herstellers führt
über die Zustände Hersteller, Handel, Kunde und Rohstoverwertung zum
Hersteller zurück, dabei trete jeweils ein Schwund von 0, 5%, 1, 5% , 5%
bzw. 10% ein. Bestimmen Sie die durchschnittliche Anzahl vollständiger
Lebenszyklen einer Verpackungseinheit, die vom Hersteller verwendet wird!
Hinweis: Bezeichnet W die zufällige Anzahl der Übergänge zwischen den
Zuständen bis ein Schwund eintritt, so erhält man durch Abrunden von
W − auf die nächste ganze Zahl die zufällige vollständige Anzahl Z von
Lebenszyklen.
1
4
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61 / 63
Lösung Aufgabe 3 I
Wir erhalten nach der zweiten Mittelwertsregel mS = 0 sowie die
mHe = 1 + 0.995mHa
mHa = 1 + 0.985mK
mK = 1 + 0.95mR
mR = 1 + 0.9mHe .
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Lösung Aufgabe 3 II
Setzt man die 2. in die erste Gleichung u.s.w. ein, so erhält man
mHe = 24. 107.
Weiterhin
mR = 22. 696, mK = 22. 561, mHa = 23. 223
Damit ist
E
E (W ) = 24.107
W −1
1
4
=
4
(24.107 − 1) = 5. 7768.
somit kommt es zu 5-6 vollständigen Lebenszyklen im Durchschnitt.
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