Einführung in die Spieltheorie und experimental Economics

Kapitel 12
Evolutionäre Spieltheorie
Einführung in die Spieltheorie
Prof. Dr. Aleksander Berentsen
1
Übersicht
Evolutionäre Spieltheorie
Einleitung
Evolutionäre Biologie
Evoltionäre Spieltheorie
Gefangenendilemma
Evolutionäre Stabilität für reine Strategien
Wiederholtes Gefangenendilemma
Chicken Spiel
Koordinationsspiele
Einführung in die Spieltheorie
Prof. Dr. Aleksander Berentsen
2
Einleitung
I
Rationalität als zentrale Annahmen der Spieltheorie.
I
I
Sinnvoll in vielen ökonomischen Zusammenhängen
Empirisch bestätigt
I
Können wir diese Annahmen fallen lassen?
I
Was sind die Alternativen?
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3
Einleitung
Alternative: Biologische Evolutionstheorie
I
Keine Rationalität, da keine bewussten Entscheidungen gefällt
werden.
I
“Gute” Strategien werden gegenüber “schlechten” belohnt.
I
“Gute” Strategien erhöhen die Fitness der Anwender und
vermehren sich dadurch viel stärker in der Bevölkerung.
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4
Übersicht
Evolutionäre Spieltheorie
Einleitung
Evolutionäre Biologie
Evoltionäre Spieltheorie
Gefangenendilemma
Evolutionäre Stabilität für reine Strategien
Wiederholtes Gefangenendilemma
Chicken Spiel
Koordinationsspiele
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5
Evolutionäre Biologie
Grundlagen
I
Tierisches Verhalten ist weitgehend genetisch bestimmt.
I
Zusammenwirken der Gene bestimmt eine Verhaltensweise.
I
Phänotyp: Spezielles Verhaltensmuster, welches durch ein
oder mehrere Gene bestimmt wird.
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6
Evolutionäre Biologie
Fitness
I
Fitness: Mass für den Erfolg eines Phänotypen.
I
Einige Phänotypen passen besser zu den herrschenden
Umweltbedingungen als andere.
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Evolutionäre Biologie
Selektion
I
Selektion: Ändert die Zusammensetzung der Phänotypen.
I
Anzahl der Tiere mit einer höheren Fitness nimmt zu, weil sie
relativ mehr Nachkommen haben.
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8
Evolutionäre Biologie
Mutationen
I
Der Zufall produziert Mutationen: Es entstehen neue
Phänotypen.
I
Fitness und Selektion bestimmen den Erfolg der Mutanten.
I
Die meisten Phänotypen, welche durch eine Mutation
entstehen, sind schlecht an die Umwelt angepasst und
verschwinden unmittelbar wieder.
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Evolutionäre Biologie
Mutationen
I
Von Zeit zu Zeit entsteht ein neuer Phänotyp, der besser an
die Umwelt angepasst ist.
I
Der Mutant kann in eine bestehende Population von
Phänotypen eindringen und erreicht einen signifikanten Anteil
in der Bevölkerung.
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10
Evolutionäre Biologie
Evolutionäre Stabilität
I
Ein Phänotyp wird evolutionär stabil genannt, wenn keine
Mutanten den Phänotypen verdrängen können.
I
Eine Population heisst monomorph, wenn sie aus nur einem
Phänotypen besteht.
I
Eine Population heisst polymorph, wenn sie aus mehreren
Phänotypen besteht.
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Übersicht
Evolutionäre Spieltheorie
Einleitung
Evolutionäre Biologie
Evoltionäre Spieltheorie
Gefangenendilemma
Evolutionäre Stabilität für reine Strategien
Wiederholtes Gefangenendilemma
Chicken Spiel
Koordinationsspiele
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12
Evolutionäre Spieltheorie
Idee
I
Anwendung der evolutionären Biologie auf Strategien.
I
Strategien werden nicht mehr vom Spieler durchdacht,
vielmehr sind sie angeboren.
I
Fitness und Selektion bestimmen dann den “Erfolg” der
Strategie.
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13
Evolutionäre Spieltheorie
I
Wir nutzen die evolutionäre Spieltheorie, um die Annahme der
Rationalität vollständig fallen zu lassen.
I
Spieler treffen keine bewussten Entscheidungen, da sie die
Strategien “erben”.
I
Spieler müssen daher nicht rational sein: sie müssen die Welt
nicht verstehen.
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14
Evolutionäre Spieltheorie
“Erben”
I
Akteure erhalten Strategien mittels nicht-genetischer
Prozesse: z.B. Imitation, Erziehung, etc.
I
Fitness beinhaltet Gewinne, Macht, Prestige usw. und nicht
nur das Überleben als solches.
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15
Evolutionäre Spieltheorie
I
Das Nash-Gleichgewicht wird ersetzt durch zwei Konzepte:
I
I
I
Evolutionär stabile Strategie
Populationsdynamik
Das sind unsere neuen “Prognosetools”.
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16
Evolutionäre Spieltheorie
I
Der Ansatz der Populationsdynamik betrachtet dynamische
Prozesse, die beschreiben wie sich die relative Häufigkeit
unterschiedlicher Strategien in einer Bevölkerung im
Zeitablauf ändert.
I
Der Ansatz der evolutionär stabilen Strategien beschreibt
einen Zustand, unter dem sich keine alternative Strategie
(eine “Mutation”) in der Bevölkerung ausbreiten kann.
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Evolutionäre Spieltheorie
“Evolutionary Theory of Gravitation”
I
Question: Why does an apple fall from the tree to the earth?
I
Answer: Originally, apples that came loose from trees went in
all directions. But only those that were genetically
predisposed to fall to the earth could reproduce.
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Übersicht
Evolutionäre Spieltheorie
Einleitung
Evolutionäre Biologie
Evoltionäre Spieltheorie
Gefangenendilemma
Evolutionäre Stabilität für reine Strategien
Wiederholtes Gefangenendilemma
Chicken Spiel
Koordinationsspiele
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Gefangenendilemma
I
Bevölkerung besteht aus 2 Phänotypen.
I
I
I
Kooperierende: Gestehen nicht.
Abweichende: Gestehen.
Spieler können Strategie nicht wählen: Sie werden als
Kooperierende oder Abweichende “geboren”.
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20
Gefangenendilemma
I
Um die durchschnittliche Auszahlung (Fitness) einer Strategie
zu bestimmen, braucht es ein Modell der Interaktion innerhalb
der Bevölkerung.
I
I
Zufälliges Aufeinandertreffen vs. geordnetes
Aufeinandertreffen.
Wir betrachten das einfachste Modell der Interaktion
innerhalb einer Bevölkerung.
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21
Gefangenendilemma
I
Für jedes Individuum in der Bevölkerung gilt: Die
Wahrscheinlichkeit, dass er auf ein Individuum mit einer
gegebenen Verhaltensweise trifft, entspricht genau der
relativen Häufigkeit dieser Verhaltensweise in der Bevölkerung.
I
Sei x der Anteil kooperierender Spieler (Phänotyp “nicht
gestehen”).
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Gefangenendilemma
Spalte
Gestehen (1 − x) Kooperieren (x)
Gestehen
10 J. , 10 J.
1 J, , 25 J.
Zeile
Kooperieren
25 J. , 1 J.
3 J. , 3 J.
x = Wahrscheinlichkeit auf einen Kooperierenden zu treffen.
1 − x = Wahrscheinlichkeit auf einen nicht Kooperierenden zu
treffen.
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Gefangenendilemma
I
Erwartete Freiheitsstrafe für “kooperieren”:
3x + 25(1 − x) = 25 − 22x
I
Erwartete Freiheitsstrafe für “gestehen”:
x + 10(1 − x) = 10 − 9x
I
Für jedes 0 ≤ x ≤ 1 gilt:
10 − 9x < 25 − 22x
13x < 15
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24
Gefangenendilemma
Evolutionär stabile Strategie
I
Die Strategie “gestehen” erwartet eine geringere Haftstrafe
für jedes x ∈ (0, 1).
I
In einer Population in der alle Spieler “gestehen”, kann damit
die Mutation “kooperieren” nicht erfolgreich eindringen.
I
Falls “kooperieren” per Zufall entsteht, wird sie unmittelbar
wieder verdrängt.
I
Die Strategie “gestehen” ist damit evolutionär stabil (ESS) im
Gefangenendilemma.
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25
Gefangenendilemma
Evolutionär stabile Strategie
I
Im Gegensatz dazu ist die Strategie “kooperieren” nicht
evolutionär stabil.
I
In einer Population in der alle Spieler die Strategie
“kooperieren” anwenden, kann die Strategie “gestehen”
erfolgreich eindringen.
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26
Gefangenendilemma
Populationsdynamik
I
Sei x der Anteil Spieler die anfänglich nicht gestehen. Wie
ändert sich x über die Zeit?
I
Da für jedes x “gestehen” eine geringere Haftstrafe erzielt als
“kooperieren” wird x über die Zeit abnehmen.
I
Dieser Prozess hört erst auf, wenn es nur noch Spieler gibt,
welche gestehen.
I
Daher ist nur x = 0 ein Gleichgewicht (stabiler Zustand) der
Populationsdynamik.
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Übersicht
Evolutionäre Spieltheorie
Einleitung
Evolutionäre Biologie
Evoltionäre Spieltheorie
Gefangenendilemma
Evolutionäre Stabilität für reine Strategien
Wiederholtes Gefangenendilemma
Chicken Spiel
Koordinationsspiele
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28
Stabilität für reine Strategien
I
Symmetrischse 2-Personen-Spiel in strategischer From mit m
Aktionen.
I
I
Zumeist betrachten wir den Fall m = 2.
In biologischen Anwendungen ist die Betrachtung von
2-Personen-Spielen die Regel.
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29
Stabilität für reine Strategien
I
Auszahlungsfunktion: Verwendet in einer Interaktion ein
Spieler die Aktion k, so ist seine Auszahlung u(k, l), wenn
sein Gegenspieler die Aktion l verwendet.
I
Wir betrachten in diesem Abschnitt den Fall, in dem jeder
einzelne Spieler eine reine Strategie verwendet, d.h. eine der
m Aktionen verwendet.
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30
Stabilität für reine Strategien
Definition:
Eine Aktion k ist eine evolutionär stabile Strategie, wenn für jede
Aktion l 6= k entweder
u(k, k) > u(l, k)
oder
u(k, k) = u(l, k) und u(k, l) > u(l, l)
gilt.
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31
Stabilität für reine Strategien
I
I
Es wird eine Situation betrachtet, in der die gesamte
Bevölkerung die Aktion k verwendet.
Wechselt nun ein Teil ε der Bevölkerung zu einer alternativen
Aktion l 6= k, so sind die durchschnittlichen Auszahlungen:
I
I
(1 − ε)u(k, k) + εu(k, l) für die Aktion k.
(1 − ε)u(l, k) + εu(l, l) für die Aktion l.
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32
Stabilität für reine Strategien
I
Die Aktion k erzielt eine strikt grössere durchschnittliche
Auszahlung als die Aktion l (und kann diese daher per
Annahme aus der Bevölkerung verdrängen), falls
(1 − ε)[u(k, k) − u(l, k)] + ε[u(k, l) − u(l, l)] > 0
gilt.
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33
Stabilität für reine Strategien
I
Die Bedingungen in der Definition einer evolutionär stabilen
Strategie sind genau diejenigen, die sichern, dass diese
Ungleichung für alle hinreichend kleinen ε > 0 erfüllt sind.
I
I
Gilt u(k, k) > u(l, k), wird die “Mutation” I verdrängt, da der
erste Summand strikt positiv und der zweite Summand für
hinreichend kleine ε diesen Effekt nicht umdrehen kann.
Gilt u(k, k) = u(l, k), so ist der Gesamtausdruck für ε > 0
genau dann strikt positiv, wenn u(k, l) > u(l, l) gilt.
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34
Stabilität für reine Strategien
Theorem:
Ist k eine evolutionär stabile Strategie, so ist {(k), (k)} ein
Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien.
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35
Stabilität für reine Strategien
I
I
Das Theorem liefert eine Rechtfertigung für das Konzept des
Nash-Gleichgewichts aus evolutionärer Sicht.
Die Rechtfertigung ist nur teilweise, da
I
I
nur symmetrische Nash-Gleichgewichte einer evolutionär
stabilen Strategie entsprechen können.
nicht jedes Nash-Gleichgewicht evolutionär stabil ist.
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36
Stabilität für reine Strategien
Theorem:
Ist {(k), (k)} ein striktes Nash-Gleichgewicht, so ist k evolutionär
stabil.
In einem symmetrischen 2-Personen-Spiel ist {(k), (k)} genau
dann ein striktes Nash-Gleichgewicht, wenn u(k, k) > u(l, k) für
alle l gilt.
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37
Stabilität für reine Strategien
I
Insbesondere ist {(k), (k)} ein striktes Nash-Gleichgewicht und damit k evolutionär stabil - wenn k eine dominante
Aktion ist (Beispiel Gefangenendilemma).
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38
Übersicht
Evolutionäre Spieltheorie
Einleitung
Evolutionäre Biologie
Evoltionäre Spieltheorie
Gefangenendilemma
Evolutionäre Stabilität für reine Strategien
Wiederholtes Gefangenendilemma
Chicken Spiel
Koordinationsspiele
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39
Wiederholtes Gefangenendilemma
Zwei Wiederholungen
I
I
Wiederholtes Gefangenendilemma (zweimal)
Zwei Strategien
I
I
Immer gestehen (A)
Tit-for-Tat (T)
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40
Wiederholtes Gefangenendilemma
Spiel für die Strategien A und T
Spalte
A (1 − x) T (x)
A
20 , 20
11 , 35
Zeile
T
35 , 11
6,6
x = Wahrscheinlichkeit auf einen T Spieler zu treffen.
1 − x = Wahrscheinlichkeit auf einen A Spieler zu treffen.
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41
Wiederholtes Gefangenendilemma
Evolutionär stabile Strategien
I
{(A), (A)} und {(T ), (T )} sind strikte Nash-Gleichgewichte in
reinen Strategien.
I
A und T sind damit evolutionär stabile Strategien (ESS).
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42
Wiederholtes Gefangenendilemma
Populationsdynamik
I
Sei x der Anteil der Tit-for-Tat (T) Spieler.
I
Wie ändert sich dieser Anteil über die Zeit?
I
Die erwarete Freiheitsstrafe eines A Spielers beträgt
11x + 20(1 − x) = 20 − 9x.
I
Die erwartete Freiheitsstrafe eines T Spielers ist
6x + 35(1 − x) = 35 − 29x.
I
Wenn x > 43 : 35 − 29x < 20 − 9x.
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43
Wiederholtes Gefangenendilemma
Populationsdynamik
I
Wenn mehr als 75% der Bevölkerung schon vom Typ T ist,
dann hat T eine höhere Fitnesss als A und wird zu 100%
anwachsen (x = 1).
I
Wenn weniger als 75% der Bevölkerung vom Typ T ist, hat A
eine höhere Fitness und wird zu 100% wachsen (x = 0).
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44
Wiederholtes Gefangenendilemma
Unfitness
35
Unfitness des Typ T
35 − 29x
Unfitness des Typ A
20 − 9x
20
11
6
0
0.75
1
x
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45
Wiederholtes Gefangenendilemma
I
Ein polymorphes Gleichgewicht existiert, wenn die
Bevölkerung exakt zu 75% aus T und zu 25% aus A besteht.
I
Beide Typen besitzen dieselbe Fitness und vermehren sich
proportional.
I
Dies ist ein Gleichgewicht, es ist aber nicht stabil.
I
Einführung eines Mutanten eines Typs stürzt das
Gleichgewicht.
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46
Übersicht
Evolutionäre Spieltheorie
Einleitung
Evolutionäre Biologie
Evoltionäre Spieltheorie
Gefangenendilemma
Evolutionäre Stabilität für reine Strategien
Wiederholtes Gefangenendilemma
Chicken Spiel
Koordinationsspiele
Einführung in die Spieltheorie
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47
Chicken Spiel
B
Wimp
Wimp 0 , 0
A
Macho 1 , -1
Macho
-1 , 1
-2 , -2
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48
Chicken Spiel
Evolutionär stabile Strategien
I
Ist Wimp eine ESS?
I
Wimp ist evolutionär stabil, falls
u(Wimp, Wimp) > u(Macho, Wimp).
I
Es gilt u(Wimp, Wimp) = 0 und u(Macho, Wimp) = 1.
I
Somit ist Wimp keine ESS.
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49
Chicken Spiel
Evolutionär stabile Strategien
I
Ist Macho eine ESS?
I
Macho ist evolutionär stabil, falls
u(Macho, Macho) > u(Wimp, Macho).
I
Es gilt u(Macho, Macho) = −2 und u(Wimp, Macho) = −1.
I
Somit ist Macho keine ESS.
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50
Chicken Spiel
Evolutionär stabile Strategien
I
Jeder Typ hat eine höhere Fitness, wenn er in der Bevölkerung
eine Minderheit präsentiert.
I
Jeder Typ kann somit erfolgreich in eine Bevölkerung
eindringen, welche nur aus Spielern mit den anderen
Phänotypen besteht.
I
Die reinen Strategien Wimp und Macho sind damit keine ESS.
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51
Chicken Spiel
Evolutionär stabile Strategien
I
Das Chicken Spiel hat das symmetrische Nash-Gleichgewicht
{(0.5, 0.5), (0.5, 0.5)}.
I
Ist die gemischte Strategie (0.5, 0.5) eine ESS?
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52
Chicken Spiel
Evolutionär stabile Strategien
Betrachten wir noch einmal die Definition einer ESS.
Definition:
Eine Aktion k ist eine evolutionär stabile Strategie, wenn für jede
Aktion l 6= k entweder
u(k, k) > u(l, k)
oder
u(k, k) = u(l, k) und u(k, l) > u(l, l)
gilt.
Einführung in die Spieltheorie
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53
Chicken Spiel
Evolutionär stabile Strategien
Die gemischte Strategie (0.5, 0.5) ist eine evolutionär stabile
Strategie falls,
u[(0.5, 0.5), i] > u(i, i)
wobei i entweder Wimp = (1, 0) oder Macho = (0, 1) ist.
Einführung in die Spieltheorie
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54
Chicken Spiel
Evolutionär stabile Strategien
I
Es gilt, dass u[(0.5, 0.5), (1, 0)] = 0.5 und u[(1, 0), (1, 0)] = 0.
I
Es gilt auch, dass u[(0.5, 0.5), (0, 1)] = −1.5 und
u[(0, 1), (0, 1)] = −2.
I
Somit ist (0.5, 0.5) eine ESS.
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55
Chicken Spiel
Populationsdynamik
I
Sei x = Anteil Machos, (1 − x) = Anteil Wimps.
I
Fitness eines Wimps: 0(1 − x) + (−1)x = −x
I
Fitness eines Machos: 1(1 − x) + (−2)x = 1 − 3x
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56
Chicken Spiel
Populationsdynamik
I
Typ Macho hat die höhere Auszahlung, wenn: 1 − 3x > −x,
d.h. wenn x < 12 .
I
Wenn die Bevölkerung also weniger als zur Hälfte aus Machos
besteht, haben Machos eine höhere Fitness und der Anteil an
Machos nimmt zu.
I
{(0.5, 0.5)} ist ein polymorphes Gleichgewicht.
I
Dieses Gleichgewicht ist stabil: Nach einer kleinen Änderung
der Anteile gehen die Anteile wiederum auf (0.5, 0.5) zu.
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57
Chicken Spiel
Fitness
Macho
1
0
0.5
1x
−1
−2
Wimp
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58
Chicken Spiel
Vergleich mit klassischer Spieltheorie
I
Klassische Spieltheorie: Das Chicken Spiel hat die drei
Nash-Gleichgewichte {(0.5, 0.5), (0.5, 0.5)}, {(1, 0), (0, 1)}
und {(0, 1), (1, 0)}.
I
Evolutionäre Spieltheorie: Die reinen Strategien sind nicht
evolutionär stabil.
I
Die gemischte Strategie evolutionär stabil.
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59
Chicken Spiel
Vergleich mit klassischer Spieltheorie
I
Interpretationen unterscheiden sich:
I
I
In der klassischen Spieltheorie mischen die Spieler.
In evolutionären Spielen ist die Bevölkerung eine Mischung aus
ihren Phänotypen.
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60
Übersicht
Evolutionäre Spieltheorie
Einleitung
Evolutionäre Biologie
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Gefangenendilemma
Evolutionäre Stabilität für reine Strategien
Wiederholtes Gefangenendilemma
Chicken Spiel
Koordinationsspiele
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61
Koordinationsspiele
B
T
M
T 1 , 1 0, 0
A
M 0,0 2,2
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62
Koordinationsspiele
Evolutionär stabile Strategien
I
{(M),(M)} und {(T),(T)} sind strikte Nash-Gleichgewichte in
reinen Strategien.
I
M und T sind damit evolutionär stabile Strategien (ESS).
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63
Koordinationsspiele
Evolutionär stabile Strategien
I
{( 32 , 13 ), ( 32 , 13 )} ist ein symmetrisches Nash-Gleichgewicht in
gemischten Strategien.
I
Die gemischte Strategie ( 23 , 31 ) ist eine ESS falls,
u[( 23 , 13 ), i] > u(i, i)
wobei i entweder T = (1, 0) oder M = (0, 1) ist.
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64
Koordinationsspiele
Evolutionär stabile Strategien
I
Da u[( 32 , 13 ), T ] = 23 und u(T , T ) = 1, ist die gemischte
Strategie nicht evolutionär stabil.
Einführung in die Spieltheorie
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65
Koordinationsspiele
Populationsdynamik
I
T hat Fitness: x · 1 + (1 − x) · 0 = x.
I
M hat Fitness: x · 0 + (1 − x) · 2 = 2(1 − x).
I
T hat eine grössere Auszahlung wenn x >
I
M hat eine grössere Auszahlung wenn x
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2
3
< 23
66
Koordinationsspiele
Populationsdynamik
I
Sei x > 32 , dann konvergiert x gegen x = 1.
I
Sei x < 32 , dann konvergiert x gegen x = 0.
I
Instabiles Gleichgewicht der Populationsdynamik wenn x = 23 .
I
Instabil: jegliche Mutation von T oder M führt weg von x = 32 .
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67
Koordinationsspiele
Fitness
2
Fitness Typ M
1
Fitness Typ T
0
2
3
1
x
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68
Koordinationsspiele
Vergleich mit klassischer Spieltheorie
I
Klassische Spieltheorie: Drei Nash-Gleichgewichte
{(1, 0), (1, 0)}, {(0, 1), (0, 1)} und {( 23 , 31 ), ( 23 , 31 )}.
I
Evolutionäre Spieltheorie: Die gemischte Strategie ist keine
evolutionär stabile Strategie. Die reinen Strategien sind
evolutionär stabile Strategien (ESS).
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69

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