Quantitative BWL

Quantitative BWL [Teil Finanzwirtschaft]
Themenübersicht
1. Portfoliotheorie und Portfoliomodelle
1.1. Grundbegriffe: Rendite, Risiko, Wahrscheinlichkeitstheorie
1.2. Erwartungswert-Varianz-Portfoliotheorie
1.3. CAPM
1.4. Evaluierung von Finanzinstrumenten basierend auf CAPM
2. Optionen
2.1. Optionsbegriff
2.2. Bewertung von Optionen
2.2.1. Binomialbäume (Arbitragestrategien, AF-Bedingungen)
2.2.2. Black-Scholes Modell
2.3. Simulationen (plus möglicherweise Hedging)
1
Portfoliotheorie und Portfoliomodelle
Ein Portfolio 1 ist eine Gesamtheit von Objekten, welche sich in einem bestimmten Verhältnis
an dem Gesamtwert des Portfolios beteiligen. An dieser Stelle ist ein Portfolio im
finanzwirtschaftlichen Sinne zu verstehen, daher sind unter den in einem Portfolio
eingeschlossenen Objekten diverse Finanzinstrumente bzw. „Finanztitel“ (assets) zu
verstehen. Der Portfoliobegriff beschränkt sich also keineswegs auf Aktien. Dementsprechend
können in ein Portfolio Finanzinstrumente aller Art eingeschlossen werden (darunter z.B.
Anleihen, Optionen, Swaps oder andere Derivate, oder sogar Bargeld in einer bestimmten
Währung, oder etwa Anteile an diversen realen Projekten).
Jeder Finanztitel hat einen Preis. Der Preis mag nicht konstant bleiben. Er mag sich also im
Laufe der Zeit verändern. 2 Als Investor kann ich also den Finanztitel in einem bestimmten
Zeitpunkt zu dem aktuellen Preis kaufen und zu einem späteren Zeitpunkt zu dem später
aktuellen Preis verkaufen. Oder kann ich mir den Finanztitel heute ausborgen, ihn zum
aktuellen Preis verkaufen und später zu dem je aktuellen Preis kaufen, um ihn zurückzugeben.
Ein solches Verhalten nennt man Short selling.
1
http://de.wikipedia.org/wiki/Portfolio : allgemeine Definition: eine Sammlung von Objekten eines bestimmten
Typs bzw. in der Finanzwelt: Bündel von Investitionen, das im Besitz einer Institution oder eines Individuums
ist.
http://financial-dictionary.thefreedictionary.com/Portfolio : The group of assets - such as stocks, bonds and
mutuals - held by an investor
http://www.investorwords.com/3741/portfolio.html : A collection of investments all owned by the same
individual or organization. These investments often include stocks, which are investments in individual
businesses; bonds, which are investments in debt that are designed to earn interest; and mutual funds, which are
essentially pools of money from many investors that are invested by professionals or according to indices.
2
Eine mögliche Entwicklung des Preises eines Finanztitels wird in der Grafik 1 dargestellt. Es wurden reale
Daten verwendet; Quelle http://finance.yahoo.com/
2
3
2,5
Nokia
General El.
ING Groep
2
1,5
1
0,5
0
Aug.05
Feb.06
Aug.06
Feb.07
Aug.07
Feb.08
Aug.08
Grafik 1: Beispiel für die Entwicklung der Aktienkurse
Rendite
Entsprechend der Preisänderung des gerade gehaltenen Finanztitels erzielt der Investor eine
Rendite (return). Die Rendite wird hier als der prozentuelle Anteil der Preisänderung (des
Gewinns) relativ zum ursprünglichen Preis (zum investierten Kapital) definiert. Mathematisch
ausgedrückt:
rt =
Pt − Pt −1
P
= t − 1 ⇔ Pt = Pt −1 (1 + rt )
Pt −1
Pt −1
(1)
Dabei entspricht rt der in Periode t erzielten Rendite, wobei Pt den zum Zeitpunkt t
bestehenden Preis repräsentiert.
Nehmen wir nun an in einer Zeitperiode von t = 0 bis t = T (also in einer Periode der Länge
T) erhöht sich der Preis einer Aktie von P0 zu PT, wobei insgesamt eine Rendite von rT erzielt
wird:
PT = P0 (1 + rT )
(2)
3
Die Rendite rT kann daher also auch als ein Zinssatz bei einem Sparvertrag mit einer
einmaligen Verzinsung (nach T Zeiteinheiten) interpretiert werden. Der Preis einer Aktie
unterliegt jedoch ständigen Änderungen. Daher ist der Vergleich mit einer einmaligen
Verzinsung nach T Perioden nicht ganz adäquat (äquivalent).
Erfolgt die Wertänderung (Verzinsung) immer nach einem Intervall der Länge Δt, kommt es
von 0 zu T zu n = T/Δt Wertänderungen. Sei nun
rT
[n]
die Rendite bzw. der Zinssatz (von 0
zu T), die bei n Wertänderungen bzw. bei einer n-maligen Verzinsung heranzuziehen ist, so
dass im Endeffekt eine Gesamtrendite von rT erzielt wird. Die Rendite bzw. der Zinssatz in
jedem Intervall der Länge Δt beträgt daher also rT /n. Unabhängig von der Anzahl der
Preisänderungen bzw. Verzinsungsperioden wissen wir, dass der Preis zu t = 0 P0 und der
Preis zu t = T PT beträgt. Die Gesamtrendite (von 0 bis T) ist also immer gleich, unabhängig
von der Länge des Verzinsungsintervalls Δt bzw. der Anzahl der Verzinsungsperioden n.
Jedoch ist bei einem höheren n ein geringeres
rT
[n]
zu verrechnen, da wegen dem intensiveren
Zinseszinseffekt trotzdem die gleiche Gesamtrendite bzw. Verzinsung erzielt wird. Um
rT
[n]
genau zu bestimmen kann man daher aus dem folgenden Verhältnis ausgehen:
⎛ rT [ ] ⎞
⎟⎟
) = PT = P0 ⎜⎜1 +
n
⎝
⎠
n
P0 (1 + rT
[ n =1]
n
(3)
Wie bereits erwähnt tendiert bei Aktien (sowie vielen anderen Finanzinstrumenten) Δt → 0,
d.h. n → ∞. Die entsprechende Rendite
rT
[ n →∞ ]
, vereinfachend bezeichnet als
rT
s
als stetige
Rendite, kann man berechnen, indem man das Limit von dem Ausdruck (3) betrachtet
⎧⎪ ⎛ r [ n ] ⎞
PT = lim ⎨ P0 ⎜⎜1 + T ⎟⎟
n→∞
n ⎠
⎪⎩ ⎝
n
⎫⎪
⎛ PT
s
s
⎬ = P0 exp(rT ) ⇔ rT = ln⎜⎜
⎪⎭
⎝ P0
⎞
⎟⎟
⎠
(4)
Wird nun etwa die stetige Rendite oder die einmalige Rendite angewandt, kommt es von 0 zu
T zu der gleichen Wertänderung
4
P0 (1 + rT
[ n =1]
) = PT
⎡ ⎛ P ⎞⎤
P
s
P0 exp(rT ) = P0 exp ⎢ln⎜⎜ T ⎟⎟⎥ = P0 T = PT
P0
⎣ ⎝ P0 ⎠⎦
(5)
Die stetige Rendite ist jedoch basierend auf der Natur der Wertentwicklung von Aktien sowie
anderen Finanztiteln für diese viel geeigneter, daher wird bei der Behandlung von Finanztiteln
üblicherweise die stetige Rendite angewandt.
Die stetige Rendite ist besonders leicht manipulierbar, vor allem bezüglich der Entwicklung
über mehrere Perioden hinweg. Will man etwa die Gesamtrendite von 0 bis T, also rT
berechnen, wobei die einzelnen Renditen für die von 0 bis T verlaufenen n Perioden bekannt
sind
P0 exp(rT ) = P0 exp(r1 ) exp(r2 )... exp(rn ) = P0 exp(r1 + r2 + ... + rn ) =
n
n
= P0 exp⎛⎜ ∑ rt ⎞⎟ ⇒ rT = ∑ rt
⎝ t =1 ⎠
t =1
(6)
Dank dieser Additivitätseigenschaft kann man entsprechend einfach auch die mittlere Rendite
r von n Renditewerten berechnen
P0 [exp(r )]n = P0 exp(r1 ) exp(r2 )... exp(rn )
exp(nr ) = exp(r1 + r2 + ... + rn )
r=
(7)
1 n
∑ rt
n t =1
Risiko
Steht also die Information über den Preis eines Finanztitels zu zwei unterschiedlichen
Zeitpunkten zur Verfügung, kann man dessen Rendite in der Periode zwischen den zwei
Zeitpunkten berechnen. Dies sind jedoch alles Informationen über die Vergangenheit. Als
Investor ist man jedoch selbstverständlich viel mehr daran interessiert, zu wissen, wie sich der
Preis des Finanztitels in der Zukunft entwickeln wird, d.h. welche Rendite er mit seiner
Investition erzielen wird. Die künftige Preisentwicklung ist jedoch unsicher bzw. mit einem
5
Risiko verbunden. Obwohl der Preis zum jetzigen Zeitpunkt t = 0 bekannt ist, ist der Preis
zum Zeitpunkt t = T in der Regel unbekannt und mag im Grunde unendlich viele Werte
annehmen. Nicht nur das Zeitspektrum, in dem es zu Preisänderungen kommt ist stetig,
sondern auch der Preis selbst ist eine stetige Variable, die also unendlich viele Werte
annehmen kann. Der Preis PT ist jedoch doch nicht ganz unsicher. Basierend auf den Daten
aus der Vergangenheit lassen sich mit dem Vertrauen, dass einige Eigenschaften aus der
Vergangenheit in der Zukunft „nachgemacht“ werden, gewisse Aussagen über den Preis PT
treffen. Deren Aussagekraft beruht jedoch ausschließlich auf dem Argument einer gewissen
Kontinuität in der Entwicklung.
Dementsprechend kann man im Grunde die Wahrscheinlichkeitsverteilung von dem Preis PT
oder etwa noch üblicher die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Rendite (dabei lässt sich
der Preis anschließend leicht bestimmen, soweit man bereits die Rendite bestimmt hat, da man
ja den aktuellen Preis P0 kennt).
Basierend auf den Preisdaten im File aktienkurse.xls wurde mit Hilfe der Funktion
„Häufigkeit“ die Verteilung von der Rendite der Nestle-Aktie für die Periode Aug 2005 bis
Aug 2008 analysiert und wird in der Grafik 2 in Form eines Histogramms dargestellt.
Nestle - Histogramm
15
10
5
0
-0,1
-0,025
0,05
0,125
Grafik 2: Histogramm für die Rendite der Nestle-Aktie basierend auf den Daten aus dem File aktienkurse.xls
Erwartungswert-Varianz-Portfoliotheorie
Bei der Erwartungswert-Varianz-Portfoliotheorie versucht man im Grunde ein Konzept zur
Bestimmung optimaler Investitionsentscheidungen zu entwickeln. Dabei verlässt man sich
6
wiederum ausschließlich auf die in der Vergangenheit beobachteten Daten (eigentlich gibt es
ja keine anderen). Jedoch zieht man hier nicht die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Finanztitelrenditen in Betracht, sondern man beschränkt sich auf einige wenige aus den
Verteilungen
abzuleitende
Einzelkennzahlen:
der
Erwartungswert
Rendite
eines
Finanztitels, Varianz bzw. Standardabweichung der Rendite eines Finanztitels sowie
Kovarianz zwischen den Renditen zweier Finanztitel. Dabei geht natürlich ein großer Teil
der Informationen, die in der gesamten Wahrscheinlichkeitsverteilung enthalten sind, verloren
(bzw. wird ignoriert). Jedoch wird dadurch das komplexe Problem viel einfacher und man
erhofft
sich
dabei
trotzdem
noch
wertvolle
Aussagen
über
die
optimalen
Investitionsentscheidungen liefern zu können.
Die Basis für die Erwartungswert-Varianz-Portfoliotheorie ist es also, bei jedem Finanztitel
die erwartete Rendite, die Varianz der Rendite sowie die Kovarianzen der Rendite mit den
Renditen aller anderen Finanztitel auszurechnen.
Bei n Beobachtungen ist der Erwartungswert der Rendite eines Finanztitels i definiert als
n
ri = Ε(ri ) = ∑ pt ri ,t =
t =1
1 n
∑ ri ,t
n t =1
(8)
Da nun bei Zeitreihen die Wahrscheinlichkeit jeder einzelnen Beobachtung gleich hoch ist,
gilt bei n Beobachtungen daher pt = 1/n.
Die Varianz der Rendite eines Finanztitels i ist folgendermaßen definiert
Var (ri ) = Ε[(ri − ri ) 2 ]
(9)
Durch eine kleine Umformung lässt sich (13) in einer einfacheren Form (vor allem aus der
Sicht der Berechnung) schreiben
[
Var ( ri ) = Ε ( ri − ri )
2
] = Ε[(ri − ri )(ri − ri )] = Ε(ri 2 ) − 2ri Ε(ri ) + ri 2 = Ε(ri 2 ) − ri 2
(10)
In weiterer Folge wird oft eine andere Bezeichnung für die Varianz verwendet, und zwar σ i .
2
Aus der Definition der Varianz ist ersichtlich, dass sie in quadrierten Einheiten der Rendite
7
gemessen wird. Aus diesem Grund ist es oft üblich monotone Transformation der Varianz zu
verwenden, die sog. Standardabweichung σi, die sich als zweite Wurzel von der Varianz
ergibt
σ i = Var (ri ) = σ i
2
(11)
Die Standardabweichung wird also in den gleichen Einheiten wie die Rendite gemessen und
drückt im Grunde die typische (mittlere) Abweichung der Renditewerte von dessen
Erwartungswert aus. Daher ist sie besonders geeignet als eine Maßzahl für das Risiko (die
Schwankungen) der Rendite.
Die Kovarianz zwischen den Renditen zweier Finanztitel i und j ist definiert als
Cov(ri , rj ) = Ε[(ri − ri )(rj − rj )]
(12)
Ähnlich wie bei der Varianz lässt sich auch dieser Ausdruck nach einer einfachen
Umformung etwas gemütlicher schreiben
[
]
Cov ( ri , r j ) = Ε ( ri − ri )( r j − r j ) = Ε ( ri r j ) − r j Ε ( ri ) − ri Ε ( r j ) + ri r j = Ε ( ri r j ) − ri r j
(13)
Für die Kovarianz zwischen den Renditen ri und rj werden wir in weiterer Folge oft auch eine
andere Bezeichnung verwenden, und zwar σ ij . Falls i = j ist die Kovarianz äquivalent mit der
Varianz der Rendite des entsprechenden Finanztitels. Dies ist im Grunde bereits aus den
Definitionen der Varianz und der Kovarianz ersichtlich.
Die Maßeinheiten sind ähnlich wie bei der Varianz die quadrierten Renditeeinheiten. Bei
etwas Geduld kann man zeigen, dass die Kovarianz zwischen zwei Renditen eine absolute
Unter- und eine Oberschranke hat
− σ iσ j ≤ Cov(ri , rj ) ≤ σ iσ j
(14)
Eine normierte Maßzahl, die als Korrelation ρ ij bezeichnet wird und den Grad der
Abhängigkeit zwischen zwei Variablen viel anschaulicher macht, ist folgendermaßen definiert
8
ρ ij =
Cov(ri , rj )
σ iσ j
(15)
Aus (14) folgen automatisch die Schranken für die Korrelation
− 1 ≤ ρ ij ≤ 1
(16)
Dabei ist bereits aus (12) klar, dass positive Kovarianz und somit auch positive Korrelation
auf einen positiven linearen Zusammenhang hindeutet. Umgekehrt natürlich bei negativer
Kovarianz bzw. Korrelation. Je höher der Korrelationswert im absoluten Sinne, umso stärker
die Abhängigkeit. Bei ρ = 0 gelten die Variablen (hier Renditen) als linear unabhängig. Dies
schließt natürlich keine anderen Arten der Abhängigkeit aus.
Es wurde nun also besprochen, wie man den Erwartungswert, die Varianz (sowie die
Standardabweichung) der Rendite eines Finanztitels, sowie die Kovarianz (sowie die
Korrelation) zwischen den Renditen zweier Finanztitel berechnet. Ein Investor muss sich
jedoch bei seiner Investition nicht nur auf einzelne Finanztitel beschränken, sondern kann in
mehrere Finanztitel auf einmal, also in eine Zusammensetzung bzw. ein Portfolio von
Finanztiteln, investieren.
Vereinfacht gesagt versucht man im Rahmen der Erwartungswert-Varianz-Portfoliotheorie
Portfolios zu finden, die im Bezug auf die vordefinierten Optimalitätskriterien optimal sind.
Die einzigen Optimalitätskriterien sind hier nur der Erwartungswert der Rendite und die
Varianz bzw. Standardabweichung der Rendite. Bei so einer Kriterienkonstellation versucht
man Portfolios zu finden, die eine möglichst hohe erwartete Rendite aufweisen, die zugleich
möglichst wenig variiert. Da beide Ziele oft (meistens) im Konflikt stehen, muss man
natürlich den Trade-off zwischen den beiden Werten genau definieren, um überhaupt ein
entsprechendes Optimum suchen bzw. finden zu können. Das genaue Trade-off-Verhältnis
wird später im Detail besprochen.
Wie bereits erwähnt setzt sich ein Portfolio aus mehreren Finanztiteln, die sich an dessen
Gesamtwert in einem bestimmten Verhältnis beteiligen. Nehmen wir an ein Portfolio setzt
9
sich aus m Finanztiteln, wobei jeder Finanztitel i mit einem Anteil xi an dem Gesamtwert des
Portfolios beteiligt ist. Daher muss gelten
m
∑ x =1
i =1
(17)
i
Sei W0 der aktuelle Gesamtwert des Portfolios, dann beträgt der Wert, der im Rahmen des
Portfolios in Form von Finanztitel i gehalten wird xiW0 . Bezeichnen wir nun die Rendite, die
durch die Preisänderung von Finanztitel i in der Zeit von 0 bis T erzielt wird, mit ri,T
bezeichnet dann gilt folgendes für WT, den Wert des gesamten Portfolios zu t = T.
(
) (
m
m
m
m
m
W = ∑ xiW (1 + r ) = W ∑ xi (1 + r ) = W ∑ xi + ∑ xi r
= W 1 + ∑ xi r
T i =1 0
i ,T
i ,T
0 i =1
0 i =1
0
i =1 i ,T
i =1 i ,T
)
(18)
Die Rendite des Portfolios rp,T lässt sich also als die anteilsmäßige Summe der Renditen der
einzelnen Finanztitel ausdrücken
m
rp ,T = ∑ xi ri ,T
(19)
i =1
Für den Erwartungswert von rp,T gilt daher Folgendes
m
m
m
rp = Ε(rp ) = Ε⎛⎜ ∑ xi ri ,T ⎞⎟ = ∑ xi Ε(ri ) = ∑ xi ri
⎠ i =1
⎝ i =1
i =1
(20)
Oder in Matrix- bzw. Vektoren-Schreibweise 3
rp = x T r = r T x
(21)
Nun bleibt es noch abzuleiten, wie man die Varianz der Rendite eines Portfolios ausrechnet,
also Var ( rp ) bzw. σ p
2
x repräsentiert dabei den Vektor der Anteilswerte bzw. Gewichtungen der Finanztitel 1 bis m;
Vektor der erwarteten Renditen der Finanztitel 1 bis m. T steht für das Transponieren.
3
r
ist der
10
m
⎡⎛ m
⎤
[
]
Var (rp ) = Ε (rp − rp ) = Ε ⎢⎜ ∑ xi ri − ∑ xi ri ⎞⎟ ⎥ =
⎠ ⎦
i =1
⎣⎝ i =1
2
= Ε{[( x1r1 + x2 r2 + ... + xm rm ) − ( x1r1 + x2 r2 + ... + xm rm )] } =
2
2
= Ε{[( x1r1 − x1r1 ) + ( x2 r2 − x2 r2 ) + ... + ( xm rm − xm rm )] } =
2
= Ε{[x1 ( r1 − r1 ) + x2 (r2 − r2 ) + ... + xm ( rm − rm )] } =
2
(22)
= x1 Ε(r1 − r1 ) + x2 Ε(r2 − r2 ) + ... + xm Ε(rm − rm ) + x1 x2 Ε[(r1 − r1 )(r2 − r2 )] +
2
2
2
+ x1 x3 Ε[(r1 − r1 )(r3 − r3 )] + ... + xm−1 xm Ε[(rm−1 − rm−1 )(rm − rm )] =
m
m
= ∑ xi Var (ri ) + ∑
2
i =1
m
m
m
∑ xi x j Cov(ri , rj ) = ∑ ∑ xi x j Cov(ri , rj )
i =1 j =1,i ≠ j
i =1 j =1
Dieser Ausdruck mag möglicherweise etwas kompliziert aussehen, ist aber im Grunde
ziemlich einfach zu berechnen. Er lässt sich viel gemütlicher in der Matrixschreibweise
schreiben
Var (rp ) = x T Sx
(23)
Dabei repräsentiert S die Varianz-Kovarianz-Matrix der Renditen der einzelnen Finanztitel.
Diese ist definiert als eine mxm-Matrix folgender Form
⎛ σ 11 σ 12 L σ 1m ⎞
⎟
⎜
M ⎟
⎜ σ 21 O
S =⎜
M
O M ⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎝ σ m1 L L σ mm ⎠
(24)
Die Ausdrücke (20) bzw. (21) und (22) bzw. (23) zeigen, wie man aus den Informationen
über die Renditen der einzelnen Finanztitel die erwartete Rendite sowie die Varianz eines
Portfolios von Finanztiteln ausrechnen kann.
Mögliche Portfolios: zulässiger Bereich
Nehmen wir zwei Finanztitel A und B, dabei sind
und B und
σA
2
und
σB
2
rA bzw. rB die erwarteten Renditen von A
die Varianzen der Renditen der beiden Finanztitel. Die Kovarianz
11
zwischen den Renditen von A und B sei mit
σ AB bezeichnet.
Aus den Varianzen ist das
Risiko der beiden Renditen in Form der Standardabweichung σ A bzw. σ B leicht berechenbar.
Um sowohl den Erwartungswert als auch das Risiko der Rendite eines Finanztitels
gemeinsam betrachten zu können, ist es besonders günstig, die beiden Variablen in einem
zweidimensionalen Koordinatensystem darzustellen. Die Grafik 3 bildet ein mögliches
Beispiel für die Finanztitel A und B ab.
0,02
E(r)
A
0,015
0,01
B
0,005
σ
0
0
0,04
0,02
0,06
0,08
Grafik 3: Erwartungswert und Risiko der Rendite für zwei mögliche Finanztitel
In dem Beispiel wurden für Finanztitel A die Daten von der Nokia-Aktie und für B die Daten
von der Nestle-Aktie aus aktienkurse.xls verwendet.
Falls wir jetzt aus den zwei Finanztiteln ein Portfolio bilden, können wir andere RenditeRisiko-Kombinationen erreichen. Bezeichnen wir nun den Anteil in A mit a, dann folgt aus
(17), dass der Anteil in B 1-a sein muss. Die erwartete Rendite des so entstandenen Portfolios
ist dann laut (20)
rp = arA + (1 − a )rB
(25)
Aus (22) in Kombination mit (11) folgt wiederum Folgendes für die Standardabweichung des
aus zwei Finanztiteln bestehenden Portfolios
σ p = a 2σ A + (1 − a ) 2 σ B + 2a (1 − a )σ AB
2
2
(26)
12
Falls wir also a variieren entstehen laufend neue Portfolios, die sowohl einen
unterschiedlichen Erwartungswert als auch eine unterschiedliche Standardabweichung
annehmen. Würde man nun alle durch die Variierung von a entstehenden Portfolios in dem σr Diagram darstellen, bekommt man eine Kurve, die über die beiden Punkte A und B geht, da
ja bei a = 1 das Portfolio genau dem Finanztitel A und bei a = 0 dem Finanztitel B entspricht.
Da wir a > 1 bzw. a < 0 nicht ausschließen (d.h. short selling erlaubt), sind auch Portfolios
wo
rp > max(rA , rB ) bzw. rp < min(rA , rB ) möglich sind. Die möglichen Portfolios sind
in der Grafik 4 dargestellt.
0,02
E(r)
A
B
Portfolios
0,015
0,01
0,005
σ
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
Grafik 4: Mögliche Portfolios (zulässiger Bereich), die alleine aus den Finanztiteln A und B bestehen
Der Anstieg von
rp in Abhängigkeit von σ p ist unter anderem abhängig von der Kovarianz
und somit auch von der Korrelation zwischen A und B, also
ρ AB . Man kann den Anstieg
einfach berechnen, ausgehend von
∂rp
∂r / ∂a
= p
∂σ p ∂σ p / ∂a
∂rp (rA − rB ) a 2σ A + (1 − a ) 2 σ B + 2a(1 − a )σ Aσ B ρ AB
=
2
2
2
∂σ p
a (σ A + σ B ) − σ B + (1 − 2a )σ Aσ B ρ AB
2
(27)
2
(28)
Dies mag ein komplizierter Ausdruck zu sein scheinen und wir wollen ihn an dieser Stelle
nicht zu viel in Detail analysieren. Schauen wir uns jedoch zwei spezielle Fälle an. Fall 1: ρAB
13
= 1 und Fall 2: ρAB = -1. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass der Ausdruck (28) in beiden
Fällen ein konstanter Wert ist, d.h. unabhängig von dem aktuellen Anteil a.
Nach dem Einsetzen in (28) kommt man für den Fall 1 zu
∂rp
∂σ p
=
rA − rB
σ A −σB
(29)
Falls also die beiden Finanztitel hundertprozentig positiv korreliert wären, würden die daraus
zu bildenden möglichen Portfolios eine Gerade zwischen den Punkten A und B bilden. Siehe
diesbezüglich die Grafik 5.
Im Fall 2 gilt Folgendes für den Anstieg von
rp nach σ p
r −r
r −r
∂r p
σ
σ
B
B wenn a <
A
B
B
wenn a ≥
=
∨
=− A
∂σ p σ + σ
∂σ p
σ +σ
σ +σ
σ +σ
B
B
B
B
A
A
A
A
∂r p
(30)
Die möglichen Portfolios für Fall 2 sind auch in der Grafik 5 dargestellt.
0,02
0,02
E(r)
E(r)
A
B
Portfolios
0,015
A
B
Portfolios
0,015
0,01
0,01
0,005
0,005
σ
0
σ
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
Grafik 5: Mögliche Portfolios bei einer Korrelation zwischen A und B, Fall 1: ρ = 1, Fall 2: ρ = -1
Bei hundertprozentiger negativer Korrelation kann aus den beiden Finanztiteln offensichtlich
ein Portfolio gebildet werden, dessen Rendite keine Schwankungen aufweist und daher also
interessanterweise mittels einer geeigneten Kombination von zwei unsicheren Investitionen
14
eine sichere Rendite erzielt werden kann. Dank der vollen negativen Korrelation kann der
Verlust von einem Finanztitel mit dem anderen vollständig „gehedgt“ werden. Der
entsprechende Anteil a, bei dem ein risikoloses Portfolio entsteht, ist laut (26), sowie etwa
laut (30) in Kombination mit der Grafik 5, der folgende
aˆ =
σB
σA +σB
( 31)
Üblicherweise ist jedoch die Korrelation zwischen zwei Finanztiteln weder 1 noch –1,
sondern folgend aus (16) etwas dazwischen. Die möglichen Portfolios, die dann aus den zwei
bestehenden Finanztiteln gebildet werden können, bilden dann eine ähnliche Kurve wie in der
Grafik 4.
Stehen mehr als zwei Finanztitel zur Verfügung, beschränkt sich die Bildung von möglichen
Portfolios nicht nur auf die auf einer Kurve liegenden Punkte, sondern es wird ein Raum von
möglichen Punkten in dem σ-r Koordinatensystem durch die diversen Zusammensetzungen
von den bestehenden drei bzw. Mehr Finanztiteln erreichbar. Ein solcher zulässiger Bereich
(feasible set) wird als Beispiel in der Grafik 6 veranschaulicht.
Grafik 6: Mögliche Portfolios (zulässiger Bereich) bei drei Finanztiteln
Die vielen Möglichkeiten ergeben sich, indem man jedes Portfolio auf der Kurve zwischen
zwei beliebigen Finanztiteln in einem diversen Verhältnis mit dem dritten Finanztitel
kombinieren kann. Der „feasible set“ wird entsprechend größer, je mehr Einzeltitel zur
15
Verfügung stehen. Natürlich werden viele weitere Portfolios realisierbar, falls „short selling“
erlaubt ist.
Wurden bei der Bildung von dem „feasible set“ alle auf dem Markt existierenden Finanztitel
in Betracht gezogen, so muss jeder Investor eines von den in dem „feasible set“ enthaltenen
Portfolios investieren. Nimmt man an, dass jeder Investor über die gleichen Informationen
über alle auf dem Markt existierenden Finanztitel verfügt, d.h. jeder kennt die erwarteten
Renditen, Varianzen etc. der einzelnen Finanztitel, und ist außerdem jeder in der Lage, die
notwendigen Berechnungen durchzuführen, und orientiert sich jeder zugleich ausschließlich
nach dem Erwartungswert und Risiko (das er ausschließlich in Form der Standardabweichung
misst) seiner Investition, so wird jeder sein Portfolio, in das er schließlich investiert, basierend
auf dem Trade-off zwischen σ und E(r) auswählen. Der „feasible set“ dargestellt in der Form,
dass
jedes
Portfolio
ausschließlich
durch
seine
erwartete
Rendite
und
dessen
Standardabweichung repräsentiert wird, bildet dann den Ausgangspunkt für die optimale
Investitionsentscheidung eines jeden Investors.
Minimum-Varianz-Kurve und Effizienzkurve
Obwohl jeder über seine eigenen Risikopräferenzen verfügen mag, können gewisse Portfolios
von dem „feasible set“ basierend auf zwei allgemeinen Argumenten ausgeschlossen werden.
Portfolios, die etwa horizontal auf dem gleichen Niveau liegen, also die gleiche erwartete
Rendite und unterschiedliches Risiko aufweisen, sind alle gegenüber dem Portfolio mit der
geringsten Standardabweichung suboptimal. Schließt man diese Portfolios aus, kommt man
zu der sog. Minimum-Varianz-Kurve (MV-Kurve). Im Rahmen der MV-Kurve gibt es nun
einige Portfolios die mit anderen auf der gleiche vertikalen Ebene liegen, wobei nun also das
gleiche Risiko besteht, jedoch die erwartete Rendite unterschiedlich ist. Portfolios mit der
geringeren erwarteten Rendite können nun wiederum ausgeschlossen werden. Die
resultierende Kurve wird auch als „Effizienzkurve“ (efficient set) bezeichnet, und
risikoaverse Gewinn maximierende Investoren müssten bei ihrer Investition im Grunde nur
Portfolios, die auf dieser Kurve liegen, auswählen. Ein mögliches grafisches Herleiten der
MV-Kurve und der Effizienzkurve ist in der Grafik 7 skizziert.
16
Grafik 7: Minimum-Varianz-Kurve und Effizienzkurve
Wie soll man nun numerisch die MV-Kurve bzw. die Effizienzkurve finden, basierend auf
den Informationen über die einzelnen Finanztitel?
Für die Ermittlung der MV-Kurve gibt es im Grunde zwei Möglichkeiten. I. man kann von
diversen Punkten (Konstanten) auf der y-Achse (r-Achse) Tangente an den zulässigen Bereich
(„feasible set“) bilden. Die Tangentialpunkte liegen nämlich auf der MV-Kurve. II. man kann
immer einen Wert für die erwartete Rendite des gesuchten Portfolios fixieren und
anschließend unter dieser Nebenbedingung die Varianz minimieren.
Im Fall I. besteht folgendes Optimierungsproblem
x T (r − c∇)
max
x
x T Sx
x T (r − c∇)
bzw. min
x
x T Sx
(32)
Dabei steht c für die Konstante auf der r-Achse, von der aus die Tangente gezogen werden
soll. ∇ ist ein m-Vektor von Einsern. Im Grunde ist der Ausdruck, der zu maximieren bzw.
minimieren ist, der Anstieg der Gerade, die vom Punkt (0, c) auf den zulässigen Bereich
gezogen wird, also die entsprechende Tangente. Nehmen wir an der maximale bzw. minimale
Wert von dem Ausdruck sei bezeichnet mit θ. Dann lässt sich das Problem folgendermaßen
lösen
17
max{x T ( R − c∇)} = θ max{x T Sx}
R − c∇ = θSx ⇒ x* = S −1 ( R − c∇)
(33)
Da jedoch noch die Nebenbedingung gem. (17) nicht in Anspruch genommen wurde, müsste
man nun das Ergebnis dementsprechend normieren.
y* =
1
λ
m
S ( R − c∇) wobei λ = ∑ xi * = ∇ T x *
−1
(34)
i =1
Oder man könnte direkt das bereits normalisierte Optimum folgendermaßen schreiben
y* = [∇ T S −1 ( R − c∇)]−1 S −1 ( R − c∇)
(35)
Hier hätte man im Grunde die Bezeichnung y* gar nicht verwenden müssen und das optimale
Portfolio mit x* bezeichnen.
Für jeden konstanten Wert c kann man nun also ein Portfolio auf der MV-Kurve finden. Um
die gesamte MV-Kurve zu ermitteln, müsste man nun das gleiche Verfahren vielmals
wiederholen. Jedoch ist dies nicht notwendig, da laut two-fund-theorem von Black folgendes
gilt:
x3 ∈ MVset
wenn
x3 = ax1 + (1 − a ) x2 ∧ x1 ∈ MVset , x2 ∈ MVset
(36)
Das heißt, jedes Portfolio, das auf der MV-Kurve liegt, kann als eine Kombination von zwei
anderen Portfolios, die auf der MV-Kurve liegen, gebildet werden. Daher reicht es im Grunde
zwei beliebige Portfolios der MV-Kurve zu bestimmen und durch die Variierung von a alle
restlichen ermitteln.
Im Fall II. ist folgendes Optimierungsproblem zu lösen
{x T Sx} s.t. xT r = rˆ ∧ xT ∇ = 1
min
x
Dabei ist
(37)
r̂ der fixierte Wert der erwarteten Rendite. Die entsprechende Lagrange-Funktion
ist dann
L( x, λ1 , λ2 ) = x T Sx − λ1 ( x T r − rˆ) − λ2 ( x T ∇− 1)
(38)
18
Differenziert man L nach den entsprechenden Entscheidungsvariablen und führt man
anschließend einige (etwas komplexe) Umformungsschritte durch, kommt man schließlich zu
⎤
⎡
⎞
⎛
rˆab − 1
x* = S ⎢arˆr + ⎜⎜ T −1
⎟⎟(∇ − abr )⎥
⎝ ∇ S (abr − ∇) ⎠
⎦
⎣
−1
wobei
a = (r T S −1r ) −1
b = r T S −1∇
(39)
Wie bereits erwähnt, genügt es nach dem two-fund-theorem nur zwei Portfolios auf der MVKurve zu finden, da sich anschließend alle anderen als deren Zusammensetzung ergeben.
Daher reicht es hier auch den Wert der erwarteten Rendite zwei Mal zu fixieren und je das
entsprechende Portfolio mit der minimalen Varianz auszurechnen.
Nachdem man die MV-Kurve gefunden hat, ist die Bestimmung der Effizienzkurve ganz klar,
denn man schließt einfach nur Portfolios aus, deren erwartete Rendite unter der erwarteten
Rendite des sog. Minimum-Varianz-Portfolios (MVP) liegt. Das MVP kann man leicht
finden, indem man die Portfolio-Varianz (22) bzw. (23) minimiert, mit der Bedingung gem.
(17). In Matrixschreibweise kann das Optimierungsproblem folgendermaßen formuliert
werden
min
{xT Sx} s.t. xT ∇ = 1
x
Nach
der
Aufstellung
der
Lagrangefunktion
T
T
min
L
=
x
Sx
−
λ
(
x
∇ − 1)
x
(40)
und
entsprechendem Differenzieren müssen folgende Bedingungen im Optimum erfüllt sein
∂L
= Sx − λ∇ = 0
∂x
∂L
= xT ∇ − 1 = 0
∂λ
(41)
Nach dem Ausdrücken von x in der ersten Gleichung und dem Einsetzen in die zweite kommt
man zu folgendem Ergebnis für λ und schließlich für die Zusammensetzung von MVP
19
λ = (∇ T S −1∇) −1
x* = (∇ S ∇) S ∇
T
−1
−1
−1
(42)
Dies lässt sich nun leicht mit Hilfe der Funktionen mmult(), minv() und mtrans() im Excel
implementieren.
Einführung eines risikolosen Finanztitels
Bisher haben wir ausschließlich Finanztitel mit einem positiven Risiko betrachtet. In der
Realität gibt es jedoch auch die Möglichkeit, das Kapital risikofrei anzulegen, z.B. Sparkonto
bei der Bank oder Kauf einer Staatsanleihe. Im Grunde ist mit jeder Investition ein
bestimmtes Risiko verbunden, aber bei wenig risikoreichen Anlagen nehmen wir einfach
Risikofreiheit an.
Falls ein solcher risikoloser Finanztitel in unser Portfoliomodel inkludiert wird, muss er
jedenfalls auf der r-Achse platziert sein. Bezeichnen wir die erwartete (sichere) Rendite von
einem solchen Titel mit rf. Die Varianz bzw. Standardabweichung von rf ist selbstverständlich
0, d.h. rf ist eigentlich eine Konstante. Ein Portfolio, das mit einem Anteil a an dem
risikolosen Finanztitel und mit dem Rest an einem der riskanten Finanztitel beteiligt ist, weist
gem. (25) und gem. (26) folgende erwartete Rendite und Risiko auf
rp = arf + (1 − a )ri
σ p = (1 − a)σ i
(43)
Die Portfolios, die also durch eine Variierung von a entstehen, bilden also eine Gerade, die
den risikolosen Finanztitel (0, rf) mit dem anderen Finanztitel (σi, ri) verbindet. Dies wird in
der Grafik 8 veranschaulicht.
20
Grafik 8: Erweiterung des zulässigen Bereichs durch die Einführung von einem risikolosen Finanztitel
Der „feasible set“ würde sich nun also durch die Mitbetrachtung des risikolosen Finanztitels
um all die neu entstehenden Portfolios erweitern. Aus der Definition der Effizienzkurve folgt
nun automatisch, dass die Effizienzkurve in diesem Fall einfach durch die Tangente von dem
risikolosen Finanztitel an den ursprünglichen „feasible set“ repräsentiert wird. Der
Tangentialpunkt wird als „Marktportfolio“, xM, bezeichnet. Die entsprechende Tangente, also
die Gerade, die den risikolosen Finanztitel mit dem Marktportfolio verbindet, wird als
Kapitalmarktlinie (capital market line - CML) bezeichnet. Falls alle Investoren voll
informiert und gleichzeitig risikoaverse Gewinnmaximierer sind, und das Risiko außerdem
ausschließlich basierend auf der Varianz bzw. Standardabweichung messen, werden alle nur
in eine Zusammensetzung von dem sog. Marktportfolio und dem risikolosen Finanztitel
investieren, also wählen einfach nur ein auf der Kapitalmarktlinie (CML) liegendes Portfolio
aus.
Wie ist nun aber das Marktportfolio zu bestimmen? Eigentlich ganz einfach, denn da rf
einfach nur eine Konstante auf der r-Achse darstellt, können wir zur Ermittlung der Tangente
und somit des Tangentialpunktes (hier das „Marktportfolio“) einfach das gleiche Verfahren
anwenden, wie beim Fall I. bei der Ermittlung der Portfolios auf der MV-Kurve. Laut (35)
kann dann das Marktportfolio folgendermaßen berechnet werden
21
xM * = [∇ T S −1 ( R − rf ∇)]−1 S −1 ( R − rf ∇)
(44)
Die Kapitalmarktlinie (CML) ist dann folgendermaßen definiert
r = rf +
Dabei kann der Ausdruck
rM − rf
σM
rM − rf
σM
σ
(45)
, der üblicherweise auch als Sharpe-Ratio des
Marktportfolios bezeichnet wird, als der Preis (für die Übernahme) des Risikos interpretiert
werden. Falls nämlich ein Investor ein um eine Einheit höheres Risiko eingehen will, kann er
dabei mit einer um diesen Betrag höheren erwarteten Rendite rechnen. Um die erwartete
Rendite um eine Einheit zu erhöhen, muss der Investor wiederum um den entsprechenden
inversen Betrag, also
σM
rM − rf
, mehr Risiko eingehen. Die sog. Sharpe-Ratio kann man bei
jedem Finanztitel i bestimmen, als si
=
ri − rf
σi
. In der Grafik 8 ist die Kapitalmarktlinie (=
Tangente von rf an den zulässigen Bereich) angezeigt.
Grafik 9: Marktportolio und Kapitalmarktlinie (CML!
22
CAPM
Da das Marktportfolio als der Tangentialpunkt von dem Punkt (0, rf) an den zulässigen
Bereich definiert ist, muss bei der Unterstellung der bisher erwähnten Annahmen folgendes
Verhältnis gelten 4
ri = rf +
rM − rf
σM
2
σ iM
(46)
Dies ist die grundlegende Aussage von CAPM (Capital Asset Pricing Model), das also direkt
aus der Erwartungswert-Varianz-Portfoliotheorie von Markowitz folgt. Dabei muss (46) für
jeden beliebigen Finanztitel gelten. Falls (46) nicht gilt, heißt es, dass xM im Grunde nicht als
effizientes Marktportfolio gelten kann, d.h. es gibt Portfolios die bei Kombination mit dem
risikolosen Finanztitel das Portfolio xM suboptimal (ineffizient) stellen.
Der Ausdruck
σ iM
2
σM
wird üblicherweise als
βi
bezeichnet und misst offensichtlich eine Art
normierte Kovarianz des Finanztitels i mit dem Marktportfolio. Das Marktportfolio hat
offensichtlich ein β von 1. Falls die Schwankungen der Rendite eines Finanztitels
überwiegend in die gleiche bzw. entgegen gesetzte Richtung strömen, wie die des Marktes,
hat βi einen positiven bzw. negativen Wert. Sind die Schwankungen absolut gemessen stärker
als die Schwankungen der Marktrendite, ist βi im Betrag höher als 1 und umgekehrt.
Substituiert man
σ iM
2
σM
mit β i , wird die Gleichung (46) zu
ri = rf + (rM − rf ) β i
(47)
und wird in dieser Form üblicherweise als Wertpapierlinie (security market line – SML)
bezeichnet. Dabei setzt sich die erwartete Rendite eines Finanztitels i aus einer sicheren
Rendite rf und einer Risikoprämie, die linear und positiv, da rM > rf, abhängig von βi ist.
Zur Veranschaulichung wird in der Grafik 9 eine mögliche Wertpapierlinie (SML) skizziert.
4
Bei Interesse an dem Beweis siehe Luenberger; S. 178
23
Grafik 9: Wertpapierlinie (SML)
Die Gleichung (47) stellt eine Bedingung für die erwartete Rendite eines Finanztitels i dar.
Stichprobenmäßig mag also das Verhältnis nicht jederzeit erfüllt sein, daher lässt sich (47) der
Realität entsprechend folgendermaßen schreiben
rit = rf + (rMt − rf ) β i + ε it
Dabei
misst
εit
den
zum
Zeitpunkt
t
aktuellen
(48)
Fehler
der
entsprechenden
Regressionsgleichung (48). Damit die CAPM-Bedingung (47) erfüllt ist, muss dabei der
erwartete Fehler E(εi) gleich Null sein. Aus (48) folgt ein Verhältnis für die Varianz der
Rendite des Finanztitels i
σ i = β i σ M + Var (ε i )
2
2
2
(49)
Aus (49) ist ersichtlich, dass sich die Varianz der Rendite ri aus zwei Teilen zusammensetzt.
Dabei repräsentiert der erste Teil
βi σ M
2
2
eine Art Marktrisiko (das durch die Abhängigkeit
vom Markt entsteht), üblicherweise bezeichnet als systematisches Risiko (systematic risk)
und der restliche Teil
Var (ε i ) ein spezifisches (durch die Marktentwicklung unerklärbares)
Risiko darstellt, bezeichnet als nichtsystematisches Risiko (non systematic risk).
24
Da das nichtsystematische Risiko mit den anderen Finanztiteln unkorreliert ist, lässt es sich
durch Diversifikation des Portfolios eliminieren. Anders kann man das systematische Risiko
wegen der Marktbindung mit den auf dem Markt bestehenden Finanztiteln kaum loswerden.
Anders als bei CML, bei der σi, also das Gesamtrisiko der Rendite eines jeden Finanztitels
betrachtet wird, wird bei SML nur das systematische Risiko des Finanztitels berücksichtigt.
Durch das Argument der Diversifikation lässt sich das systematische Risiko als der einzig
relevante Teil des Risikos interpretieren. Dabei nimmt man jedoch an, dass eine ausreichende
Diversifikation am Markt möglich sei, was in Wirklichkeit nicht immer der Fall ist.
Die Orientierung von SML am rein systematischen Risiko lässt sich auch mathematisch leicht
zeigen. Aus (49) folgt
σ i − Var (ε i )
βi =
σM
2
(50)
Setzt man (50) in SML ein, erhält man
ri = rf +
rM − rf
σM
σ i − Var (ε i )
2
(51)
Dies entspricht völlig der CML, außer dass das Risiko der Rendite des Finanztitels i, σi mit
dem um das nichtsystematische Risiko bereinigten Ausdruck
wurde. Aus (49) ist außerdem ersichtlich, dass der Ausdruck
σ i − Var (ε i )
2
ersetzt
σ i − Var (ε i )
2
dem
Wert β iσ M , also dem durch den Markt determinierten Risiko (dem systematischen Risiko)
der Rendite ri entspricht.
Aus Einfachheitsgründen überspringen:
Man könnte nun beide Funktionen (45) und (51) in Abhängigkeit von σi zeichnen, um den
Zusammenhang zwischen CML und SML besser sehen zu können. Dabei müsste (51) ständig
unter (45) liegen, falls Var(εi) > 0. Der Anstieg von (51) ist
25
r − rf
∂ri
= M
σM
∂σ i
σi
σ i − Var (ε i )
2
>
rM − rf
σM
(52)
Daher würde bei σi → ∞, wobei Var(εi) konstant, also im Grunde bei βi → ∞, die durch SML
gemessene erwartete Rendite die von CML am Gesamtrisiko gemessene erwartete Rendite
einholen, wobei sich gleichzeitig der Anstieg dem von CML annähern würde. (Beispiel:
zeichne dies für einen bestimmten Finanztitel!)
Evaluierung von Finanzinstrumenten basierend auf CAPM
Die Kapitalmarktlinie bestimmt also das Verhältnis zwischen der erwarteten Rendite eines
Finanztitels und dessen Gesamtrisiko σ i , und die Wertpapierlinie bestimmt das Verhältnis
zwischen der erwarteten Rendite eines Finanztitels und dessen systematischem Risiko
β iσ M .
In dieser Hinsicht ist die CML strenger als die SML, denn sie verlangt eine Kompensation
(Risikoprämie) nicht nur für das systematische sondern auch für das nichtsystematische
Risiko. Liegt also ein Finanztitel über der CML muss er automatisch auch über der SML
liegen. Liegt jedoch ein Finanztitel unter der CML, kann er trotzdem noch über der CML
liegen. Umgekehrt lässt sich natürlich sagen, dass also ein unter der SML liegender
Finanztitel unter der SML liegt, sich automatisch auch unter der CML befinden muss. Dabei
kann aber ein Finanztitel, der sich über der SML auffindet, trotzdem noch über oder auch
unter der CML liegen kann. Ein mathematischer Beweis samt einer grafischen Darstellung
des Zusammenhangs zwischen der relativen Lage eines Finanztitels zur CML und SML ist im
Appendix zu finden.
Und was bringt es überhaupt, dass man sich Gedanken darüber macht, in welcher Lage sich
ein Finanztitel relativ zu den beiden Linien befindet? Nun einerseits kann man auf diese
Weise einen Finanztitel evaluieren: Stellt er eine gute bzw. schlechte Investitionsmöglichkeit
dar? Ist der Preis von dem Finanztitel korrekt, oder zu hoch bzw. niedrig? Ist der Finanztitel
alleine als ein effizientes Portfolio zu verwenden? Andererseits lassen sich auf diese Weise
mögliche Fragen über die Gültigkeit von CAPM in der realen Welt beantworten.
Außer der Frage über die Effizienz eines Finanztitels alleine, d.h. der Frage, ob ein Finanztitel
alleine als ein effizientes Portfolio dienen kann, die basierend auf der Lage relativ zur CML
26
zu beantworten ist, sind alle anderen hier gestellten Fragen grundsätzlich basierend auf der
Lage relativ zur SML zu beantworten.
Wie kann man nun bestimmen, wo sich ein Finanztitel relativ zu der SML befindet? Nun, wir
wissen, dass ein Finanztitel auf der SML liegt, falls er die Gleichung (48) erfüllt. Um auch
Fälle betrachten zu können, wo der Finanztitel über bzw. unter der Linie liegen mag, sei nun
eine Konstante in der Gleichung mitbetrachtet, die den Unterschied zwischen den beiden
Werten repräsentieren soll
rit = α i + rf + (rMt − rf ) β i + ε it
(53)
Dabei entspricht natürlich αi > 0 bzw. αi < 0 der Situation, wo der Finanztitel über bzw. unter
der Wertpapierlinie liegt. Zieht man rf von (53) ab, kommt man zu einer viel leichter
interpretierbaren Gleichung
rit − rf = α i + (rMt − rf ) β i + ε it
(54)
Dies ist offensichtlich eine einfaktorielle lineare Regressionsgleichung, bei der die sog.
Überrendite (excess return) des Finanztitels i durch die Überrendite des Marktportfolios
erklärt wird. Dabei stehen αi und βi für die entsprechenden Regressionskoeffizienten. Diese
kann man nun leicht berechnen, üblicherweise indem man z.B. die Summe der quadrierten
Abweichungen minimiert (die bekannte OLS-Methode). Dabei kommt für βi das bereits
bekannte Ergebnis heraus
βi =
Da E(εi) = 0 folgt für αi
σ iM
2
σM
α i = ri − [rf + (rM − rf ) β i ]
(55)
(56)
αi wird oft auch mit Ji bezeichnet und repräsentiert den sog. Jensen-Index des Finanztitels i.
Falls αi = 0, ist (47) genau erfüllt, d.h. der Finanztitel liegt auf der SML. Bei einem αi > 0
bzw. αi < 0, solange der konkrete Wert auch statistisch signifikant ist, gilt (47) offensichtlich
nicht. In beiden Fällen sei es nämlich möglich (solange eine ausreichende Diversifikation zur
Eliminierung des nichtsystematischen Risikos möglich ist), durch eine korrekte Strategie ein
Portfolio zu bilden, das über der Kapitalmarktlinie (CML) liegt. Die CAPM-Bedingung (46)
ist nämlich genau dann erfüllt, wenn das entsprechende Marktportfolio tatsächlich dem
Tangentialpunkt von rf an den zulässigen Bereich entspricht. Bei αi > 0 bzw. αi < 0 gilt (46)
27
nicht und daher muss es möglich sein, ein „besseres“ (effizienteres) Portfolio zu bilden, d.h.
das aktuelle Marktportfolio ist nicht korrekt und das CAPM hält also nicht. Die erhöhte bzw.
gesenkte Nachfrage nach den in dem korrekten Marktportfolio stärker bzw. schwächer
vertretenen (relativ zum scheinbar korrekten Marktportfolio) Finanztiteln würde ihren Preis
entsprechend erhöhen bzw. senken. Die Tendenz zum Erfüllen der CAPM-Bedingung
(Gleichgewicht am Kapitalmarkt) funktioniert daher wie ein gewisser Pricing-Mechanismus
für die dort bestehenden Finanztitel.
Um den Zusammenhang mit dem Preis eines Finanztitels zu sehen, drücken wir nun die
erwatete Rendite eines Finanztitels i in der Preisform aus. Die Gleichung (47), die im
Gleichgewicht für jeden Finanztitel i gelten muss, lässt sich nämlich folgendermaßen
schreiben
Ε( PiT ) − Pˆi 0
= rf + (rM − rf ) β i
Pˆi 0
Die Bezeichnung
(57)
Pˆi 0 steht für den im Gleichgewicht geltenden korrekten Preis des
Finanztitels i zum Zeitpunkt t = 0. Nach einer einfachen Umformung kommt man zu
Pˆi 0 =
Ε( PiT )
1 + rf + (rM − rf ) β i
(58)
Dabei ist vor allem der Nenner des Bruches in (58) einer Interpretation wert. Er stellt nämlich
einen Abzinsungsfaktor dar, wobei zu dem risikolosen Zinssatz zusätzlich eine Risikoprämie
addiert wird, die das systematische (also das nicht diversifizierbare) Risiko des
entsprechenden Finanztitels in Betracht zieht. Das CAPM sagt also aus, dass man einen
Finanztitel mit einem risikobereinigten Zinssatz bewerten sollte, dessen Höhe ausschließlich
auf dem systematischen Risikos des Finanztitels basiert.
Der Zähler des Ausdrucks in (58) steht für den erwarteten Preis des Finanztitels i zum
Zeitpunkt t = T aus. Diesen kann man anders ausdrücken mit
Ε( PiT ) = Pi 0 [1 + α i + rf + (rM − rf ) β i ]
(59)
28
Dabei ist
Preis
Pi 0 der aktuelle Preis vom Finanztitel i, der ja in der Realität nicht dem korrekten
Pˆi 0 entsprechen mag, d.h. falls αi <> 0. Setzt man nun (59) in (58) ein, erhält man
1 + α i + rf + (rM − rf ) β i
Pˆi 0 = Pi 0
1 + rf + (rM − rf ) β i
(60)
Es ist nun offensichtlich, dass der aktuelle Preis nur dann korrekt ist, falls αi = 0, also falls der
Finanztitel i auf der SML liegt. Ist etwa αi > 0, liegt der aktuelle Preis unter dem korrekten
Preis, d.h. der Finanztitel i ist unterbewertet. Da die Investition in den Finanztitel i einen
positiven Kapitalwert hat, müsste sich nun bei der Bekanntheit der entsprechenden
Information die Nachfrage nach dem Finanztitel i erhöhen. Dies würde zu einer Erhöhung des
aktuellen Preises in Richtung
Pˆi 0 sowie gleichzeitig zu einer Senkung der erwarteten Rendite
und somit einer Senkung von αi in Richtung 0 (Gleichgewicht) führen. Bei einem negativen αi
(also bei einem überbewerteten Finanztitel) würde genau das Gegenteil passieren, resultierend
in einer Senkung des Preises und einer simultanen Erhöhung von αi in Richtung 0
(Gleichgewicht).
29
Appendix
Zusammenhang zwischen CML und SML bezüglich der relativen Lage eines Finanztitels
Liegt ein Finanztitel über bzw. unter der Wertpapierlinie (SML), muss sein Jensen-Index
größer bzw. kleiner Null sein. Liegt ein Finanztitel über bzw. unter der Kapitalmarktlinie
(CML), so ist seine Sharpe-Ratio größer bzw. kleiner als die Sharpe-Ratio von dem
Marktportfolio.
Nehmen wir nun also an, dass ein Finanztitel über der CML liegt, d.h.
si > s M ⇔
ri − rf
σi
>
rM − rf
σM
⇔ ri > rf +
( rM − rf )σ i
σM
(1)’
Laut (56) ist der Jensen-Index definiert wie
J i = ri − [rf + ( rM − rf ) β i ]
(2)’
Gemäß (51) kann βi geschrieben werden als
βi =
Wobei
σ si
σ si
σM
(3)’
das systematische Risiko des Finanztitels repräsentiert, welches bei stets kleiner
(falls der Finanztitel auch ein gewisses nichtsystematisches Risiko aufweist) als σ i . Daher gilt
rf +
(rM − rf )σ i
σM
> rf +
(rM − rf )σ si
σM
= rf + (rM − rf ) β i
(4)’
Falls also (1)’ erfüllt muss dringend gelten
ri > rf + (rM − rf ) β i ⇔ J i > 0
(5)’
30
Anders jedoch, falls sich jedoch der Finanztitel unter der CML befindet, mag er sich
ausgehend von (4)’ sowohl unter als auch über der SML befinden.
Bei dem umgedrehten Verhältnis gilt nun laut (4)’ eine entgegen gesetzte Implikation, und
zwar, falls sich ein Finanztitel unter der SML befindet, d.h. Ji < 0, muss si < sM gelten, daher
muss der Finanztitel automatisch unter der CML liegen. Falls jedoch Ji > 0, ist laut (4)’ die
Lage zur CML noch nicht eindeutig, daher mag sowohl si < sM als auch si > sM wahr sein. Die
Grafiken 1’)a bis 1’)d veranschaulichen die beschriebenen Implikationen.
31
32