Einfuehrung in die Messtechnik - iprom
Werbung
Einfuehrung in die Messtechnik Prof. Dr. -Ing. R. Tutsch Dr.-Ing. Marcus Petz Institut für Produktionsmesstechnik – IPROM Technische Universität Braunschweig WS 2017/18 iprom INSTITUT FÜR PRODUKTIONSMESSTECHNIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT BRAUNSCHWEIG Termin Vorlesung: Montag, 13:15 - 14:45 PK 15.1 Prof. Dr.-Ing. Rainer Tutsch [email protected] Termin Übung: Tel. 391-7020 Mittwoch, 9:45 - 11:15, Audimax Termine der Übung: siehe Aushang bzw. Homepage des iprom Dr.-Ing. Marcus Petz [email protected] Tel. 391-7024 Klausurtermin: Samstag, 09.03.2018, 12:30-15:30 iprom INSTITUT FÜR PRODUKTIONSMESSTECHNIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT BRAUNSCHWEIG Literatur: Profos, Pfeifer (Hrsg.): Grundlagen der Messtechnik Oldenbourg-Verlag iprom INSTITUT FÜR PRODUKTIONSMESSTECHNIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT BRAUNSCHWEIG iprom Messen kann jeder! Mars Climate Orbiter 1999 Hubble Space Telescope 1990 Mars Polar Lander 1999 iprom Beispiele für Messfehler mit katastrophalen Folgen iprom Regelkreis Störgrößen Einflussfaktor Führungsgröße iprom Regelgröße Merkmal Regelstrecke Stellgröße Mensch Maschine Material Management Messbarkeit Methode Mitwelt Regler Messung Regelabweichung § § § § § § § - quantifizierte Größe Regelkreis Positionierung von Linear- und Rotationsachsen Werkzeugmaschinen Industrieroboter ... Fahrzeugtechnik Antiblockiersystem ABS Elektronischer Schleuderschutz ESP Automatische Niveauregulierung ... Heizungsregelung, Klimaautomatik Regelung von Produktionsprozessen iprom Beispiele für Regelkreise iprom Automobil als vernetztes mechatronisches System Datenbus(se) Aktive Sitze Adaptive Servolenkung Klimaautomatik Getriebeautomatik Fahrerassistenzsysteme Bremsassistent Abgasregelung ABS iprom Motorregelung ESP Adaptives Fahrwerk Automobil als vernetztes mechatronisches System • Unternehmen der Messtechnik (viele Weltmarktführer in Deutschland): Forschung und Entwicklung Vertriebsingenieure (beratungsintensive Investitionsgüter) • Produzierende Unternehmen in allen Bereichen der Wirtschaft: Leitungsfunktion Fertigungsmesstechnik bzw. Qualitätsmanagement • Ingenieurbüros: Komplexe Systementwicklung für spezielle Applikationen • Selbständigkeit: In diesem Bereich relativ viele erfolgreiche Gründungen, in Braunschweig z.B. Fa. GOM, Fa. Aicon • Eichbehörden (ca. 100), akkreditierte Kalibrierlabors (ca. 400), Fraunhofer-Institute (ca. 80 in Deutschland) • Physikalisch Technische Bundesanstalt PTB, Bundesamt für Materialforschung BAM (jeweils ca. 500 Akademiker mit Messtechnik-Aufgaben) iprom Berufliche Perspektiven für Messtechnik-Experten Interdisziplinärer Masterstudiengang „Messtechnik und Analytik“ an der TU Braunschweig Start: WS 2014/15 https://www.tu-braunschweig.de /fmb/studium/master /messtechnikanalytik iprom Berufliche Perspektiven für Messtechnik-Experten Gliederung der Vorlesung: 1. Grundlagen der Messtechnik, Begriffsbestimmungen 2. Statistische Verfahren der Messdatenauswertung 3. Überblick über die wichtigsten Messverfahren iprom INSTITUT FÜR PRODUKTIONSMESSTECHNIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT BRAUNSCHWEIG DIN 1319: Ausführung von geplanten Tätigkeiten zum quantitativen Vergleich einer Messgröße mit einer Einheit X=xN mit: X: Messgröße x: Maßzahl N: Einheit Die Größe X muss messbar sein Die Einheit N muss eindeutig definiert sein iprom Definition des Begriffs „Messen“ iprom Informationsgehalt von Maßangaben iprom Informationsgehalt von Maßangaben iprom Informationsgehalt von Maßangaben DIN 1319: Ausführung von geplanten Tätigkeiten zum quantitativen Vergleich einer Messgröße mit einer Einheit X=xNU mit: X: Messgröße x: Maßzahl N: Einheit U: Unsicherheit Die Größe X muss messbar sein Die Einheit N muss eindeutig definiert sein iprom Definition des Begriffs „Messen“ http://www.spiegel.de/auto/aktuell/uebergrosse-autos-viel-zu-breit-a-795662.html Messtechnik-Newsletter 204 vom 20.04.2011 Ärger mit breitem SUV-Außenspiegel Teil II Wir berichteten über die rüde Abzocke der Autobahnpolizei nach engen Baustellen, die mit dem Schild Nr. 264 für die linke Fahrspur versehen sind: Verbot für Fahrzeuge über 2 m Breite einschließlich Ladung. Der ADAC setzt in der ADAC Motorwelt (Ausgabe 02/2011) noch einen drauf: Das kann Sie schon ab 1,90 m oder sogar noch weniger im Kfz-Schein angegebener Fahrzeugbreite bis zu 75 Euro Verwarngeld und ein Punkt in Flensburg kosten, denn dieses Schild adressiert nach Auslegung der Polizei die Abmessungen über die ausgeklappten Spiegel. Im Kfz-Schein hingegen steht die Fahrzeugbreite ohne Berücksichtigung der Außenspiegel. Das trifft dann bereits moderate SUV wie zum Beispiel den BMW X3. Die Autobahnpolizei hat die Daten aller in Frage kommenden Fahrzeuge. Diskussion mit der Staatsmacht zwecklos! iprom Straßenverkehr: Beschränkung der Fahrzeugbreite http://carblueprints.info/eng/view/bmw/bmw-523li iprom Straßenverkehr: Beschränkung der Fahrzeugbreite Schon in der Frühzeit der menschlichen Zivilisation wurde die Notwendigkeit erkannt, Maßeinheiten zu definieren. Als älteste Maßverkörperung gilt heute die Nippur-Elle aus dem Mesopotamien des 3. vorchristlichen Jahrtausend. Bildquelle: http://www.lda-lsa.de/landesmuseum_fuer_vorgeschichte/fund_des_monats/2006/juli iprom Standardisierung der Maßeinheiten / Quelle: H. Bosse, PTB iprom Standardisierung der Maßeinheiten Über Jahrtausende waren diese Maßeinheiten allerdings nur lokal gültig. Viele Maße wurden zudem auf Körpermaße lokaler Herrscher bezogen und waren daher auch nur zeitlich begrenzt gültig. Die Braunschweiger Elle Bildquelle: Wikipedia Bildquelle: Stadt Braunschweig iprom Standardisierung der Maßeinheiten Über Jahrtausende waren diese Maßeinheiten allerdings nur lokal gültig. Viele Maße wurden zudem auf Körpermaße lokaler Herrscher bezogen und waren daher auch nur zeitlich begrenzt gültig. Der entscheidende Schritt zur modernen Metrologie wurde 1799 durch die Akademie der Wissenschaften von Frankreich vollzogen. Das Meter wurde als 1/40.000 des Umfangs der Erde definiert (1/10.000 des halben Erdmeridians). Daraus wurde das Kilogramm als die Masse von 1 dm3 Wasser (bei der Temperatur seiner höchsten Dichte) abgeleitet. Es wurden Maßverkörperungen aus der langzeitstabilen Metalllegierung Pt-Ir hergestellt. iprom Standardisierung der Maßeinheiten Es wurden Maßverkörperungen aus der langzeitstabilen Metalllegierung Pt-Ir hergestellt. Urmeter und Urkilogramm Bildquelle: http://www.ipf.uni-stuttgart.de/lehre/online-skript/d10_04.html/ iprom Standardisierung der Maßeinheiten Die SI-Basiseinheiten Größe Name Symbol Länge Meter m Masse Zeit Elektrischer Strom Thermodynamische Temperatur Stoffmenge Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Mol kg s A K mol Lichtstärke Candela cd Die SI-Einheiten sind in Deutschland gesetzliche Einheiten für den amtlichen und geschäftlichen Verkehr. Die Physikalisch-Technische Bundesanstalt PTB (Sitz in Braunschweig und Berlin) hat die Aufgabe der Darstellung, Bewahrung und Weitergabe der Einheiten im Messwesen. Einzelheiten hierzu sind im Einheitengesetz und in der Einheitenverordnung formuliert. 1971 wurden im SI-System 7 Basiseinheiten definiert. Die International Organization for Standardization (ISO) veröffentlicht mit ihrem internationalen Standard ISO 31 (Quantities and units) und ISO 1000 (SI units and recommendations for the use of their multiples and of certain other units) das wohl am häufigsten verwendete Regelwerk anerkannter Einheitsgrößen. iprom Standardisierung der Maßeinheiten SI-Basiseinheiten Name Symbol Länge Meter m Masse Zeit Elektrischer Strom Thermodynamische Temperatur Stoffmenge Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Mol kg s A K mol Lichtstärke Candela cd Quelle: PTB, 2004 Größe iprom Standardisierung der Maßeinheiten 1 Meter ist seit 1983 lt. Beschluss der 17.Generalkonferenz die Länge des Weges, den das Licht im Vakuum in der Zeit von (1/299 792 458) s zurücklegt. Jodstabilisierter Helium-Neon- Laser, das "Arbeitspferd“ (Wellenlängennormal) der PTB für die Realisierung des Meters SI-Basiseinheiten Name Symbol Länge Meter m Masse Zeit Elektrischer Strom Thermodynamische Temperatur Stoffmenge Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Mol kg s A K mol Lichtstärke Candela cd Quelle: PTB, 2004 Größe Die Masse eines Körpers ist die Grundeigenschaft der Materie, die sich in ihrer Trägheit und Schwere zeigt. Sie ist eine ortsunabhängige Größe. Das nationale Kilogramm-Prototyp der Bundesrepublik Deutschland in der PTB. Es besteht aus einer PlatinIridium-Legierung und wird etwa alle zehn Jahre mit dem internationalen Kilogramm-Prototyp in Sèvres bei Paris verglichen. iprom Standardisierung der Maßeinheiten SI-Basiseinheiten Name Symbol Länge Meter m Masse Zeit Elektrischer Strom Thermodynamische Temperatur Stoffmenge Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Mol kg s A K mol Lichtstärke Candela cd Quelle: PTB, 2004 Größe Seit 1967 ist 1 s definiert als die Dauer von 9192631770 Schwingungen der Strahlung, die dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes des Isotops Cs 133 entspricht. Die primäre Atomuhr CS2 der PTB liefert die Sekundenintervalle der gesetzlichen Zeit (MEZ bzw. MESZ) , mit denen – über einen Langwellensender in Mainflingen bei Frankfurt – alle Funkuhren in Deutschland gesteuert werden. iprom Standardisierung der Maßeinheiten SI-Basiseinheiten Name Symbol Länge Meter m Masse Zeit Elektrischer Strom Thermodynamische Temperatur Stoffmenge Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Mol kg s A K mol Lichtstärke Candela cd Quelle: PTB, 2004 Größe Josephson-Spannungs-Normal zur Bewahrung und Weitergabe der Spannungseinheit. Etwa 14000 Josephson- Elemente sind hier in Reihe geschaltet und ergeben eine Spannung von maximal 14 V. Quanten-Hall-WiderstandsNormal zur Bewahrung und Weitergabe der Widerstandseinheit. iprom Standardisierung der Maßeinheiten 1 Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stroms, der, durch zwei parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von 1 m voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisrunden Querschnitt fließend, zwischen ihnen je Meter Leitungslänge eine Kraft von 2.10-7 Newton hervorruft. Man behilft sich mit einer indirekten Methode und realisiert das Ampere über die Einheit der Spannung (Volt) und der Einheit des Widerstandes (Ohm). SI-Basiseinheiten Größe Name Symbol Länge Meter m Masse Zeit Elektrischer Strom Thermodynamische Temperatur Stoffmenge Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Mol kg s A K mol Lichtstärke Candela cd Quelle: PTB, 2004 Seit 1967 ist 1 Kelvin der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes von Wasser. Dieser Kryostat in der PTB in Berlin- Charlottenburg dient seit Ende 2000 als nationales Normal für die tiefsten messbaren Temperaturen. Die neue internationale Tieftemperaturskala, die gleichzeitig in Kraft getreten ist, reicht bis zu 0,9 µK herunter, also sehr nah an den absoluten Nullpunkt heran. iprom Standardisierung der Maßeinheiten SI-Basiseinheiten Größe Name Symbol Länge Meter m Masse Zeit Elektrischer Strom Thermodynamische Temperatur Stoffmenge Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Mol kg s A K mol Quelle: PTB, 2004 Lichtstärke 1 mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Einzelteilchen Candela cd besteht, wie Atome in 0,012 kg des Nuklids 12C enthalten sind. Dabei ist die Teilchenart (Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen An Kugeln aus je einem hoch- oder Gruppen solcher Teilchen) in reinen Siliziumkristall versu- genauer Konzentration immer chen die Wissenschaftler die anzugeben. Avogadro-Konstante so präzise zu bestimmen, dass sie als Grundlage für die Definition bzw. Realisierung der Einheiten Mol und Kilogramm dienen kann. iprom Standardisierung der Maßeinheiten SI-Basiseinheiten Name Symbol Länge Meter m Masse Zeit Elektrischer Strom Thermodynamische Temperatur Stoffmenge Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Mol kg s A K mol Lichtstärke Candela cd Quelle: PTB, 2004 Größe Kryoradiometer – das nationale Normal zur Messung der optischen Strahlungsleistung. iprom Standardisierung der Maßeinheiten 1 cd ist lt. Beschluss der 16.GV im Jahre 1979 die Lichtstärke einer Strahlungsquelle, die eine monochromatische Strahlung der Frequenz f = 540 THz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1/683 W/sr beträgt. SI-Vorsatz Vorsatzzeichen Zehnerpotenz Name Exa E 1018 Trillion Peta P 1015 Billiarde Tera T 1012 Billion Giga G 109 Milliarde Mega M 106 Million Kilo k 103 Tausend Hekto h 102 Hundert Deka da 101 Zehn Dezi d 10-1 Zehntel Zenti c 10-2 Hundertstel Milli m 10-3 Tausendstel Mikro 10-6 Millionstel Nano n 10-9 Milliardstel Piko p 10-12 Billionstel Femto f 10-15 Billiardstel Atto a 10-18 Trillionstel Achtung Verwechslungsgefahr! iprom SI-Vorsätze m=milli immer vor die Einheit m=Meter immer hinter die übrigen Einheiten Das Meter und die Sekunde sind redundant. Die Sekunde ist genauer darstellbar, daher könnte das Meter entfallen. Aus praktischen Überlegungen heraus behält man es bei. Künftig sind weitere Redundanzen zu erwarten, z.B.: Stoffmenge und Masse oder Stromstärke und Masse iprom Redundanz im SI-System Extensive & intensive Größen Extensive Größen verteilen sich auf die Teilsysteme. Intensive Größen bleiben bei Teilung des Systems erhalten. Länge l Masse m Temperatur T Länge l1 Masse m 1 Temperatur T1 + Extensive Größen: Intensive Größe: l1+ l2 = l T1 = T 2 = T m 1+ m 2 = m iprom Extensive und intensive Größen Länge l2 Masse m 2 Temperatur T2 Massensatz (Gewichtssatz) Bildquelle: www.betzold.de Endmaßsatz Bildquelle: www.messwelt.com iprom Additive Zusammensetzung von Normalen extensiver Größen Definierende Fixpunkte der ITS-90 Gleichgewichtszustand T90 in K t90 in °C Dampfdruck des Heliums 3 bis 5 -270,15 bis -268,15 Tripelpunkt des Gleichgewichtswasserstoffs 13,8033 -259,3467 Dampfdruck des Gleichgewichtswasserstoffs 17,025 bis 17,045 20,26 bis 20,28 -256,125 bis -256,105 -252,89 bis -252,87 Tripelpunkt des Neons 24,5561 -248,5939 Tripelpunkt des Sauerstoffs 54,3584 -218,7916 Tripelpunkt des Argons 83,8058 -189,3442 Tripelpunkt des Quecksilbers 234,3156 -38,8344 Tripelpunkt des Wassers 273,16 0,01 Schmelzpunkt des Galiums 302,9146 29,7646 Erstarrungspunkt des Iridiums 429,7485 156,5985 Erstarrungspunkt des Zinns 505,078 231,928 Erstarrungspunkt des Zinks 692,677 419,527 Erstarrungspunkt des Aluminiums 933,473 660,323 Erstarrungspunkt des Silbers 1234,93 961,78 Erstarrungspunkt des Goldes 1337,33 1064,18 Erstarrungspunkt des Kupfers 1357,77 1084,62 iprom Fixpunkte für die intensive Grundgröße Temperatur Bildquelle: Prof. Gericke, TU Braunschweig iprom Tripelpunkt SPIEGEL ONLINE img src="0,1518,druck-505182,00-Dateien/szwprofil-1043_002.gif" alt="" width="1" align="right" bord er="0" height="1"> 11. September 2007, 20:06 Uhr Maßeinheiten Briten dürfen Pints, Meilen und Unzen behalten Pints statt Liter, Meilen statt Kilometer: Die Briten dürfen ihre traditionellen Maßeinheiten auch in Zukunft verwenden. Die Europäische Kommission gibt ihre Pläne auf, das metrische Maß zwangsweise durchzusetzen. Brüssel - Ihr Bier dürfen die Briten weiterhin in Pints trinken. Und Tempolimits können sie - so wi e immer - in Meilen angeben. Nach massiven Protesten hob die EU-Kommission heute die Pflicht auf, die traditionellen Maßeinheiten ab 2010 abzu schaffen. Eigentlich wollte Brüssel Großbrita nnien und Irland zwingen, nur noch metrische Größen zu verwenden. REUTERSGuiness-Pint: Die Kultur Großbritanniens und Irlands ehren Mit ihrem Einlenken versucht die EU-Kommission offenbar, das Wohlwollen der traditionsbewussten Inselbewohner zu gewinnen. "Dieser Vorschlag ehrt die Kultur Großbritanniens und Irlands, die wichtig sind für Europa", erklärte Industriekommissar Günther Verheugen. Wenn die Mitgliedstaaten der EU einverstanden sind, können Lebensmittel auf der Insel auch in Zukunft in Pfund und Unzen verkauft werden. Ein Pfund ist etwas weniger als 500 Gramm. Der Einzelhändler Steve Thoburn aus Sunderland gelangte 2001 als wegen des Verkaufs von Obst und Ge müse in Pfund statt Kilogramm vor Gericht gebracht wurde. Er wurde damals zu sechs Monaten Haft auf Bewährung verurteilt. wal/Reuters URL: · http://www.spiegel.de/wirtschaft/0,1518,505182,00.html © SPIEGEL ONLINE 2007 Alle Rechte vorbehalten iprom Standardisierung der Maßeinheiten Messwert: Resultat einer einzelnen Messung besteht aus Zahlenwert und Einheit Messgröße: Physikalische Größe, die Ziel der Messung ist wahrer Wert: ideeller Wert, der der Messgröße zugeordnet wird in der Regel nur näherungsweise bestimmbar richtiger Wert: der beste verfügbare Schätzwert für den wahren Wert Messergebnis: Schätzung des wahren Werts und Schätzung der Unsicherheit dieses Schätzwertes iprom Begriffsbestimmungen Messobjekt (Messung) xe Messeinrichtung Übertragungsverhalten xa xN Referenzobjekt (Kalibrierung) Messystem: Messobjekt + mindestens eine Messeinrichtung Messeinrichtung: mindestens ein Messgerät + Zubehör iprom Komponenten eines Messsystems Wie genau kann man mit diesem Thermometer die Temperatur von Wasser messen? iprom Messsysteme Wie genau kann man mit diesem Thermometer die Temperatur von Wasser messen? iprom Messsysteme Wie genau kann man mit diesem Thermometer die Temperatur von Wasser messen? iprom Messsysteme Messobjekt (Messung) Messeinrichtung xe Übertragungsverhalten xa xN Referenzobjekt (Kalibrierung) Messsystem Die Wechselwirkung zwischen Messobjekt und Messeinrichtung beeinflusst Den Messwert. Drei Arten, das zu berücksichtigen: 1. Effekt vernachlässigen (wenn man dies begründen kann) 2. Rechnerische Korrektur des Messwerts 3. Anwendung eines Kompensationsmessverfahrens iprom Rückwirkung Messung des Gasdrucks in einem Behälter p, V a) Beginn des Experiments Gas mit Druck p in Volumen V Messvorrichtung in Ruhestellung arretiert iprom Beispiel für Messung mit Rückwirkung Messung des Gasdrucks in einem Behälter Messabweichung könnte durch Anwendung der idealen Gasgleichung pV=nRT rechnerisch korrigiert werden p - Dp V + DV b) Arretierung wird gelöst Gasdruck p übt Kraft auf Kolben aus. Feder wird komprimiert. Kolbenverschiebung vergrößert V und im abgeschlossenen System wird die Messgröße p kleiner pV=const. iprom Beispiel für Messung mit Rückwirkung Messung des Gasdrucks in einem Behälter Messabweichung könnte durch Anwendung der idealen Gasgleichung pV=nRT rechnerisch korrigiert werden p - Dp V + DV b) Arretierung wird gelöst Gasdruck p übt Kraft auf Kolben aus. Feder wird komprimiert. Kolbenverschiebung vergrößert V und im abgeschlossenen System wird die Messgröße p kleiner pV=const. p Dp V DV pV pV DpV pDV DpDV pV Dp pDV p V DV 1 DVV DV V Dp 0 iprom Beispiel für Messung mit Rückwirkung Messung des Gasdrucks in einem Behälter Messabweichung wird durch Anwendung eines Kompensationsverfahrens aufgehoben p, V c) Durch Verschieben des Gegenlagers der Feder wird der Kolben wieder in die Ausgangsstellung gebracht. Dadurch wird die Wirkung der Messgröße kompensiert. Messgröße p ist jetzt wieder unverfälscht messbar. iprom Beispiel für Messung mit Rückwirkung Digitalanzeige: Analoganzeige: 12 06:30 3 9 6 iprom Analoge und digitale Anzeigen Leitstand eines Kraftwerks (Bildquelle: Wikimedia) Analog: schnell erfassbar Digital: genau ablesbar iprom Einsatzbereiche analoger und digitaler Anzeigen Empfindlichkeit: Zeigerweg je Einheit der Messgröße (analog) Ziffernschritte je Einheit der Messgröße (digital) Anzeigebereich: umfasst alle Werte, die angezeigt werden können Messbereich: Der Teil des Anzeigebereichs, in dem das Messgerät seine Spezifikationen einhält (kann gleich dem Anzeigebereich sein, muss es aber nicht) Unterdrückungsbereich: Der Bereich zwischen 0 und dem kleinsten anzeigbaren Wert (sofern dieser >0 ist) Skalen: iprom Ziffernskalen Strichskalen linear nichtlinear Begriffsbestimmungen für Anzeigen Skalen: Ziffernskalen (Beispiel: Tachometer Oldsmobile Toronado 1970) Strichskalen iprom linear Begriffsbestimmungen für Anzeigen nichtlinear Kalibrieren: Bestimmung der Messabweichung an einer oder an mehreren Stellen im Messbereich Vergleich mit kalibrierten Meisterteilen oder mit kalibrierten Messgeräten einer höheren Genauigkeitsklasse Justieren: Eingriff in das Messgerät mit dem Ziel, Messabweichungen zu verkleinern Eichen: Amtliche Prüfung von Messgeräten durch akkreditierte Personen (juristischer Begriff) iprom Kalibrieren - Justieren - Eichen 0 1 2 3 0 4 2 4 5 6 8 6 7 8 9 10 0 Anzeigewert x a x ai=L i Parallelendmaße L x a5 x a4 L1 x a3 L2 L3 L4 x a2 x a1 L1 L2 L3 L4 L5 Richtiger Wert L iprom Beispiel: Kalibrieren eines Messschiebers mit Parallelendmaßen L5 Nationales Normal Bezugsnormal DKD-Kalibrierlabor Gebrauc hsnormal Innerbetrieblic hes Kalibrierlabor Prüfmittel Produkt Def.: Rückführbarkeit ist die Eigenschaft eines Messergebnisses oder des Wertes eines Normals, durch eine ununterbrochene Kette von Vergleichsmessungen mit angegebenen Messunsicherheiten auf geeignete Normale, im allgemeinen internationale oder nationale Normale, bezogen zu sein. iprom Rückführbarkeit - Kalibrierkette Messprinzip: Physikalisches Phänomen, auf dem die Messung basiert Messmethode: Spezielle Vorgehensweise bei der Durchführung von Messungen direkte oder indirekte Messmethode Ausschlags- oder Differenzmessmethode zeitlich kontinuierliche oder diskontinuierliche Messmethode digitale oder analoge Messmethode Messverfahren: praktische Anwendung eines Messprinzips und einer Messmethode iprom Begriffsbestimmungen Direkte Messmethoden im engeren Sinne: unmittelbarer Vergleich mit einem Normal der gleichen Art Beispiel: Balkenwaage Direkte Messmethoden im weiteren Sinne: Ablesen des Messwertes von einer kalibrierten Anzeige Die Anzeige muss mit Normalen der gleichen Art wie die Messgröße kalibriert worden sein Beispiel: Federwaage Indirekte Messmethoden: Ermittlung des Messwertes aus der Messung anderer Messgrößen Beispiel: Fläche als Produkt zweier Längen iprom Direkte und indirekte Messmethoden Ausschlagsmessmethoden: Ablesen des Messwertes von einer Anzeige (analog oder digital) Substitutionsmessmethode: Ersetzen der gesuchten Größe durch eine Anordnung von Normalen, so dass der gleiche Ausschlag gemessen wird Differenzmessmethode: Messung der Anzeigedifferenz zwischen der gesuchten Größe und einem bekannten Normal Kompensationsmessmethode / Nullabgleichmessmethode: Regelung des Ausschlags auf Null durch Kompensation der Wirkung der Messgröße mittels einer geeigneten Anordnung bekannter Normale iprom Messmethoden Messmethoden Federwaage Balkenwaage 0 ? ? Direkte Messmethode (im erweiterten Sinn) ® Ausschlagmethode iprom Messmethoden Direkte Messmethode (im engeren Sinn) ® Kompensations- oder Substitutionsmethode Diskretisierung einer Meßgrö ße X wert- und zeitkontinuierliche Meßgröße Diskretisierung des Wertes (Digitalisierung) Diskretisierung der Zeit (Abtastung) iprom Analog- und Digitalsignal t Abtastung eines bandbegrenzten Signals QQ6 t a n a lo g e s S ig n a l t t A b t a s t z e it p u n k t e t t A b t a s t w ert e t "Ü b e r a b t a s t u n g " iprom Aliasing als Folge von Unterabtastung "U n t e r a b t a s t u n g " Wird ein bandbegrenztes Signal mit einer äquidistanten Folge von Stützstellen abgetastet, so ist die Rekonstruktion des Signals ohne Informationsverlust möglich, wenn die Abtastfrequenz größer als das Doppelte der maximalen Signalfrequenz ist. iprom Abtasttheorem nach Shannon und Nyquist Messprinzip: Physikalisches Phänomen, auf dem die Messung basiert Messmethode: Spezielle Vorgehensweise bei der Durchführung von Messungen direkte oder indirekte Messmethode Ausschlags- oder Differenzmessmethode zeitlich kontinuierliche oder diskontinuierliche Messmethode digitale oder analoge Messmethode Messverfahren: praktische Anwendung eines Messprinzips und einer Messmethode iprom Begriffsbestimmungen Repräsentativitätsfehler iprom Messabweichungen und Abweichungsursachen x: wahrer Wert xa: Messwert Messabweichung E: E = xa – x Korrektion B: B = x – xa iprom Messabweichung und Korrektion Messeinrichtung Messobjekt Ausgabe Messgröße iprom Messsystem Übertragungsverhalten Äußere Störeinflüsse auf Messsignal superponierend Messeinrichtung Messobjekt Ausgabe Messgröße Übertragungsverhalten iprom Abweichungsbehaftetes Messsystem Äußere Störeinflüsse auf Messsignal auf Übertragungsverhalten deformierend superponierend Messeinrichtung Messobjekt Ausgabe Messgröße Übertragungsverhalten iprom Abweichungsbehaftetes Messsystem Äußere Störeinflüsse auf Messsignal auf Übertragungsverhalten deformierend superponierend Messeinrichtung Messobjekt Ausgabe Messgröße Übertragungsverhalten Innere Störeinflüsse iprom Abweichungsbehaftetes Messsystem Äußere Störeinflüsse auf Messsignal auf Übertragungsverhalten deformierend superponierend Messeinrichtung Messobjekt Ausgabe Messgröße Übertragungsverhalten Rückwirkung Innere Störeinflüsse iprom Abweichungsbehaftetes Messsystem Äußere Störeinflüsse auf Messsignal auf Übertragungsverhalten deformierend superponierend Messeinrichtung Messobjekt Ausgabe Messgröße Übertragungsverhalten Rückwirkung Innere Störeinflüsse iprom Abweichungsbehaftetes Messsystem Rückwirkung vom Empfänger xa Es = µ - x E ai = x ai- µ E ai Es µ x n iprom Systematische und zufällige Abweichungen xa µ??? x n iprom Unterscheidung zwischen systematischer und statistischer Abweichung Stationäre Systeme: Die Messgröße ist zeitlich konstant Die auftretenden Messabweichungen werden als statische Abweichungen bezeichnet Dynamische Systeme: Die Messgröße ist zeitlich veränderlich Es treten zusätzlich zu den statischen Abweichungen dynamische Abweichungen auf, die vom zeitlichen Verlauf der Messgröße abhängen. Im Rahmen dieser Vorlesung beschränken wir uns auf lineare Systeme. iprom Statische und dynamische Abweichungen Für viele Messeinrichtungen kann das dynamische Verhalten mathematisch durch eine lineare Differentialgleichung beschrieben werden: e0 xe e1 xe e2 xe ... em xe( m ) a0 x a a1 xa ... a n x a( n ) mit : x : dx dt x e x e (t ) : Zeitlich veränderliche Messgröße x a x a (t ) : Zeitlich veränderlicher Messwert Man spricht dann von einem linearen System. iprom Lineare Systeme Legende: Thermometer Je: Ja: F: Lufttemperatur Temperatur des Thermometers Oberfläche der Glaskugel a: W ärmeübergangszahl m: Masse der Kugel c: Spezifische W ärme der Kugel Wärmefluss in das Thermometer: Q 1 a F J e J a Wärmeaufnahme des Thermometers: Ja Je F, a, Q2 m c m, c Q1 Q2 Je Ja TJa dJa dt Q1 Q2 mc mit T aF iprom Beispiel: Lineares System 1. Ordnung Eingangssignal: Sprungfunktion x a(t) T T K 0,63 K 0 t=T 2T xa (t ) K 1 e 3T Tt iprom Sprungantwort eines linearen Systems 1.Ordnung t Eingangssignal: Sinus der Frequenz ω ⇒ Ausgangssignal: Sinus der Frequenz ω Amplitude und Phase von Ausgangs- und Eingangssignal sind i. allg. ungleich. G(iω)= Amplitude Ausgangssignal / Amplitude Eingangssignal K G (iw ) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 1 2 3 4 5 7 w·T iprom Amplitudengang Tiefpass 1. Ordnung (doppelt-logarithmisch) 10 Eingangssignal: Sinus der Frequenz ω ⇒ Ausgangssignal: Sinus der Frequenz ω mit Phasenverschiebung G (i w) 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 1 2 3 4 5 7 w·T iprom Phasengang Tiefpass 1. Ordnung (logarithmisch) 10 K G (iw ) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 1 2 3 5 4 7 10 w·T G (iw ) 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 1 2 3 4 5 7 10 w·T iprom Bode-Diagramm eines Tiefpasses 1. Ordnung Einer äußeren Kraft F (Eingangssignal) wirken drei Kräfte entgegen: elastische Federkraft: FF xa Bremskraft: Trägheitskraft: FBr kxa Fm mxa Wir erhalten eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung zwischen dem Eingangssignal F und dem Ausgangssignal Auslenkung xa. F x a kx a mx a iprom Federpendel als Beispiel für lineares System 2. Ordnung F x a kx a mx a Durch eine Variablensubstitution erhält man: e a 2 D a a D k 2 m Das Verhalten der Messeinrichtung bei Einwirkung eines speziellen Eingangssignals hängt stark vom Wert der Dämpfungskonstante D ab. Für eine Sprungfunktion am Eingang gilt: Für D > 1 läuft das Ausgangssignal asymptotisch dem Eingangssignal nach (träge) Für 0 < D < 1 tritt gedämpfte Schwingung auf, die sich asymptotisch dem Eingangssignal annähert. Für D=1: Übergang, aperiodischer Grenzfall. iprom Lineares System 2. Ordnung 1,6 D= 0, 1 Xa(t) 1,8 1,4 D 1,2 ,3 =0 D= 1 0,5 / (2 ) √ D= 1 D= 0,8 0,6 D= 0,4 2 1, 5 2 D= D= 3 D =5 0,2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 T = t · w0 iprom Sprungantwort eines linearen Systems 2.Ordnung 7 K G (i w ) 10 5 4 3 D =0,1 D =0,3 2 D =0,5 D = (2)/2 1 0,7 0,5 0,4 0,3 D =1 D =1,5 D =2 0,2 D =3 0,1 0,07 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 1 2 3 4 5 7 w·T iprom Amplitudengang Tiefpass 2. Ordnung (doppelt-logarithmisch) 10 G (i w ) 0 -20 D =0,1 -40 D =0,3 D =0,5 -60 D =v( 2)/2 D =1 -80 D =1,5 -100 D =2 D =3 -120 -140 -160 -180 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 1 2 3 4 5 7 w·T iprom Phasengang Tiefpass 2.Ordnung 10 Eine detailliertere Betrachtung dynamischer Systeme sowie der Abtastung und Digitalisierung analoger Signale erfolgt in der Vorlesung „Messsignalverarbeitung“, die im Sommersemester angeboten wird. iprom Ausblick Ansprechschwelle: kleinste Messgrößenänderung am Eingang, die zu einem ersten Ausschlag des Messgerätes führt. Zur Bestimmung wird die Kennlinie aufgenommen und zurückextrapoliert -> genauer, als direkte Ermittlung des Wertes Anlaufwert: bei integrierenden oder zählenden Messgeräten iprom Abweichungscharakteristiken von Messgeräten Magnetisierungskurve eines ferromagnetischen Materials Bildquelle: Wikipedia iprom Beispiel für Hysterese Hysterese: Anzeigewert ist abhängig von vorhergehenden Werten Umkehrspanne: Differenz der Anzeige, wenn derselbe Wert der physikalischen Größe von größeren bzw. kleineren Werten her eingestellt wird. Ursachen: Lagerspiel, Reibung, ferromagnetische bzw. ferroelektrische Effekte (Remanenz) -> Umkehrspanne hängt von Vorgeschichte ab. Elastische Nachwirkung: Stark belastete Feder geht nach Entlastung nicht sofort in den Ausgangszustand zurück. Effekt verschwindet im Laufe der Zeit wieder. iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen Zeiger Augenposition Skala iprom Parallaxe beim Ablesen von Skalen Zeiger Augenposition Zeiger Skala Augenposition iprom Parallaxe beim Ablesen von Skalen Spiegelbild des Zeigers Spiegelskala Beim visuellen Ablesen von Skalen ist auf Blickrichtung senkrecht zur Skalenfläche zu achten, sonst treten Parallaxund Brechungseffekte auf. Günstig sind Spiegelskalen: wenn der Zeiger und sein Spiegelbild zur Deckung kommen, ist die Blickrichtung senkrecht. Bildquelle: Wikipedia iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen Auflösung: a) erforderliche Änderung der Eingangsgröße, um festgelegte Änderung der Ausgangsgröße zu bewirken. Ohne Hysterese ist dies der Kehrwert der Empfindlichkeit. b) Bei digitalen Systemen: Ziffernschritt der letzten anzeigenden Stelle iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen Nullpunktsstabilität: Stabilität gegenüber Störgrößen, z.B. bei elektronischen Messgeräten: Nullpunktdrift in mV/K oder mV/24h iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen Messunsicherheit: Systematische Abweichungen sind korrigierbar. Zufällige Abweichungen können statistisch abgeschätzt werden -> Wahrscheinlichkeitsaussage: Messunsicherheit gibt an, welche Abweichung mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird. iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen Abweichungsgrenze gibt an, welcher Fehler keinesfalls überschritten wird. Linearitätsabweichung: Verschiedene Bestimmungsmöglichkeiten einer linearen Kennlinie: a) Durch die beiden Endpunkte des Messbereichs b) Statistisch berechnete Gerade (lineare Regression) Toleranzband a) konstante Abweichung b) vom Messwert abhängige Abweichung iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen Linearitätsabweichung: Verschiedene Bestimmungsmöglichkeiten einer Kennlinie: a) Durch die beiden Endpunkte des Messbereichs linearen Bildquelle: http://www.bdsensors.de/ fileadmin/_processed_/ csm_Kennlinienabweichung_D_049f1f6eef.jpg/ b) Statistisch berechnete Gerade (lineare Regression) iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen Linearitätsabweichung: Verschiedene Bestimmungsmöglichkeiten einer linearen Kennlinie: a) Durch die beiden Endpunkte des Messbereichs b) Statistisch berechnete Gerade (lineare Regression) Bildquelle: Fa. HBM http://www.hbm.com/de/menu/tipps-tricks/drehmomentmessung/glossar-drehmoment/linearitaetsabweichung/ iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen Güteklasse Elektrische Messgeräte werden in Güteklassen eingeteilt Güteklasse 0,2 -> maximale Abweichung (maximal zulässig): ±0,2% des Anzeigebereichs 0,1 / 0,2 / 0,5 : Feinmessgeräte 1 / 1,5 / 2,5 / 5: Betriebsmessgeräte iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen Statistische Auswertung von Messwerten iprom 2. Abschnitt der Vorlesung Grundgesamtheit: Menge aller potentiellen Untersuchungsobjekte für eine bestimmte Fragestellung Quelle: Uni Essen, 2004 Stichprobe: Teilmenge der Grundgesamtheit, sollte „statistisch repräsentativ“ für die Grundgesamtheit sein (anderenfalls: Repräsentativitätsfehler!) Grundidee Die Verteilung des Merkmals ist eine intensive Größe; d. h. die Verteilung bleibt in der Probe erhalten. Eisenprobe aus dem Hochofenabstich Stichprobe aus Grundgesamtheit Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit Verteilung des Merkmals in der Stichprobe iprom Grundlegende Begriffe der Statistik Zufallsgröße oder Zufallsvariable: Variable, die bei mehreren, unter gleichen Bedingungen durchgeführten Versuchen verschiedene Werte annehmen kann. Zur Beschreibung von Variablen werden verschiedene Skalenniveaus verwendet: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Absolutskala iprom Skalierung von Zufallsgrößen Nominalskalen: Klasseneinteilung ohne Hierarchie z.B.: Personen nach Haarfarbe oder Geschlecht Ordinalskalen: Klasseneinteilung mit Hierarchie z.B.: Ränge beim Militär: General > Oberst > Gefreiter Ligen im Fussball: 1. Liga > 2. Liga > 3. Liga Energieeffizienzklasse für Elektrogeräte: A > B > C Intervallskalen: Metrische Skalen mit eindeutigen Differenzen zwischen den Werten verschiedener Variabler, aber ohne natürlichem Nullpunkt z.B.: Temperatur in °C, Jahreszahlen, Zeitpunkte Verhältnisskalen: Metrische Skalen mit eindeutigen Differenzen zwischen den Werten verschiedener Variabler, mit natürlichem Nullpunkt Im Gegensatz zu Intervallskalen sind hier auch Multiplikationen und Divisionen erlaubt. z.B.: Temperatur in K, Masse in kg, Preis in € Absolutskalen: Verhältnisskala mit „natürlicher Maßeinheit“, praktisch nur für zählbare Größen erfüllt. z.B.: Einwohnerzahl eines Landes iprom Skalenniveaus für Variablen Zufallsgröße oder Zufallsvariable: Variable, die bei mehreren, unter gleichen Bedingungen durchgeführten Versuchen verschiedene Werte annehmen kann. Zur Beschreibung von Variablen werden verschiedene Skalenniveaus verwendet: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Absolutskala Kategoriale Skalen Kardinalskalen iprom Skalierung von Zufallsgrößen Merkmale sind metrisch iprom Streuung von Messwerten bei Wiederholmessung iprom Klasseneinteilung für die statistische Analyse iprom Klasseneinteilung für die statistische Analyse iprom Histogramm einer Messreihe Fläche eines Rechtecks: Fm hm Dx Dnm Dn Dx m n Dx n Relative Häufigkeit der Messwerte in der betrachteten Klasse Gesamtfläche: Dnm Dnm n m 1 n n n m iprom Histogramm einer Messreihe Relative Summenhäufigkeit: m S m hm Dx iprom Histogramm und relative Summenhäufigkeit Höhere Auflösung der Darstellung Geringere Streuung zwischen wiederholten Messreihen iprom Vergrößerung der Stichprobe Grenzübergang n → ∞ Δx → 0 Relative Häufigkeitsdichte hm → Verteilungsdichte h(x) iprom Übergang von der Stichprobe zur Grundgesamtheit iprom Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x): x P( x) h( )d P ( ) 1 x2 P( x1 x x2 ) h( x)dx x1 P( x2 ) P( x1 ) Fläche unter der Kurve h(x) im Intervall [x1, x2] iprom Wahrscheinlichkeitsvorhersage für Messwerte Lageparameter: Modalwert Medianwert arithmetischer Mittelwert größte Häufigkeit mittlere Häufigkeit gewichtete mittlere Häufigkeit Streuungsparameter: Spannweite Quartilsabstand Empirische Streuung iprom Kenngrößen empirischer Verteilungen iprom Lageparameter Arithmetischer Mittelwert: 1 n x xai n i 1 Beispiel: Zufallszahlen: 3, 4, 4, 6, 1, 2, 8, 4, 7 Sortiert: 1, 2, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 8 Median iprom Median- und arithmetischer Mittelwert Arithmetischer Mittelwert: 39/9=4,333 Zufallszahlen: 3, 4, 4, 6, 1, 2, 8, 4, 7 Sortiert: 1, 2, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 8 Arithmetischer Mittelwert: 39/9=4,333 Median Zufallszahlen mit Ausreißer: 3, 4, 4, 6, 1, 2, 8, 4, 7000 Sortiert: 1, 2, 3, 4, 4, 4, 6, 8, 7000 Median iprom Median- und arithmetischer Mittelwert Arithmetischer Mittelwert: 7032/9=781,333 iprom Streuungsparameter Streuung S: n 1 2 S2 ( x x ) i n 1 i 1 Warum (n-1) und nicht n? Nur (n-1) Summanden sind statistisch unabhängig, da der Mittelwert als bekannt vorausgesetzt wird. n 1 xn n x xi 1 iprom Empirische Streuung 1 n 1 x xai Dnm xm n i 1 n m Dnm hm Dnm n hm Dx n Dx Summation auf die Klassen des Histogramms verteilen 1 x nhm Dxxm hm xm Dx n m m n® x® xm ® x hm ® h( x) Dx ® dx m h( x) xdx iprom Mittelwert und Erwartungswert µ µ ist erstes Moment der Verteilungsdichtefunktion Anschaulich: x-Koordinate des Flächenschwerpunkts iprom Erwartungswert µ 1 n 1 n 2 2 S ( xi x ) 2 Dnm xi x m hm Dxxi x m n 1 i 1 n 1 m n 1 m 2 Summation auf die Klassen des Histogramms verteilen Dnm n hm Dx n® x® hm ® h( x) xi x 2 m ® x 2 Dx ® dx m n ®1 n 1 S ® h( x)x dx 2 2 2 : Standardabweichung, 2: Varianz . iprom Streuung und Standardabweichung σ ist das zweite Moment der Verteilungsdichtefunktion h(x). Anschaulich: Flächenträgheitsmoment iprom Standardabweichung Theoretischer Wert = Grenzfall für Stichprobenumfang Näherungswert bei einer endlichen Stichprobe Erwartungswert Mittelwert Standardabweichung Streuung S x iprom Kenngrößen für Stichprobe und Verteilung h( x)x 2 dx 2 h( x) x dx 2 h( x) x dx 2 2 x 2 h( x) dx 2 2 1 x 2 h( x) dx 2 iprom Alternative Berechnungsformel für die Varianz h( x) dx Beispiele für kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen iprom h( x ) 1 2 2 e 1 x 2 2 Kurvenschar mit den beiden Parametern µ und σ Symmetrisch zu µ Maximum bei µ Wendepunkte bei x = Für x ® geht h(x) asymptotisch gegen 0, ist aber stets >0 iprom Die Gaußsche Normalverteilung h( x ) 1 2 2 e 1 x 2 2 Gauß-Verteilung (in norm ierten Koordinaten) 0,5 1 µ = µ und σ = σ 0,8 P(x) 0,3 0,6 P(x) h(x)* 0,4 h(x) 0,2 0,4 0,1 0,2 0 0 -4 -3 -2 iprom Die Gaußsche Normalverteilung -1 0 x- 1 2 3 4 1 für x min x x max h( x) x max x min 0 sonst xmax xmin 2 x max x min iprom Die Rechteck- oder Gleichverteilung 2 3 x max x min 4 x x für x x min min 2 2 x x min max x x 4 max min h( x ) x x für x x max max 2 2 x x min max 0 sonst xmax xmin 2 iprom Die Dreieckverteilung x max x min 2 6 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Die Zufallsgröße kann nur diskrete Werte annehmen. Erwartungswert und Standardabweichung werden wie folgt berechnet: kP( X k ) k xh ( x)dx 2 k 2 P( X k ) 2 k 2 2 x h( x)dx 2 iprom Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Die Zufallsgröße kann bei jeder Wiederholung einen von zwei möglichen Werten annehmen, mit der Wahrscheinlichkeit p für das „positive“ und der Wahrscheinlichkeit q = 1-p für das negative Ergebnis Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n Wiederholungen k-mal das positive Ergebnis auftritt: Bin(n,p): n k nk P X k p q k n n! k k!n k ! =np Beispiel: Ziehen aus Urne mit Zurücklegen iprom Die Binomialverteilung 2=npq Bin(10, 0.2) Bin(10, 0.5) Bin(10, 0.8) Bin(30, 0.5) iprom Binomialverteilungen mit verschiedenen Parameterwerten Statistische Beschreibung von Zählereignissen Beispiel: Zählimpulse bei radioaktivem Zerfall Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis im Beobachtungszeitraum k-mal auftritt: Po(): P X k e iprom Die Poissonverteilung k k! = 2= Po(0,5) Po(1) Po(2) Po(5) iprom Poissonverteilung mit verschiedenen Parameterwerten Wie stellt man den Verteilungstyp einer Zufallsgröße fest? Experimentelle Untersuchung einer Stichprobe, Erstellen eines Histogramms, Ähnlichkeit des Histogramms mit den bekannten Verteilungen prüfen -> Hypothese Die Verteilung habe s Parameter J1,...Js Wie bestimmt man die am besten passenden Werte? iprom Parameterschätzung Die Maximum-Likelihood-Methode ermittelt den Parametervektor J = (J1, ... ,Js), für den die Wahrscheinlichkeit des Auftretens genau der n experimentell ermittelten Meßwerte x1,...xn maximal ist. PJ X n j x j ® Max für diskrete Verteilungen j 1 n h( x ) ® Max für kontinuierliche Verteilungen j j 1 Ergebnisse: Normalverteilung: x, 2 S 2 Binomialverteilung: x n x Poissonverteilung: p iprom Parameterschätzung Y = f(X1, X2, ..., Xm) Die Größen Xi seien Messgrößen mit wahrem Wert xi und Erwartungswert µi Systematische Abweichung Esi = µi - xi Zufällige Abweichung Eaik bei k-ter Messung von Xi: iprom Abweichungsfortpflanzung Eaik = xaik - µi Y = f(X1, X2, ..., Xm) Die Größen Xi seien Messgrößen mit wahrem Wert xi und Erwartungswert µi Systematische Abweichung Esi = µi - xi Zufällige Abweichung Eaik bei k-ter Messung von Xi: Eaik = xaik - µi Wahrer Wert von Y: y = f(x1, x2, ..., xm) Erwartungswert von Y: µ = f(µ1, µ2, ..., µm) iprom Abweichungsfortpflanzung Y = f(X1, X2, ..., Xm) Die Größen Xi seien Messgrößen mit wahrem Wert xi und Erwartungswert µi Systematische Abweichung Esi = µi - xi Zufällige Abweichung Eaik bei k-ter Messung von Xi: Eaik = xaik - µi Wahrer Wert von Y: y = f(x1, x2, ..., xm) Erwartungswert von Y: µ = f(µ1, µ2, ..., µm) Frage: wie pflanzen sich die systematischen und zufälligen Abweichungen der Xi fort? iprom Abweichungsfortpflanzung Es y f ( 1 ,..., m ) f ( x1 ,..., xm ) f ( x1 Es1 ,..., xm Esm ) f ( x1 ,..., xm ) iprom Fortpflanzung der systematischen Abweichung Es y f ( 1 ,..., m ) f ( x1 ,..., xm ) f ( x1 Es1 ,..., xm Esm ) f ( x1 ,..., xm ) f f ( x Dx) f ( x) Dx x Taylor-Entwicklung iprom Fortpflanzung der systematischen Abweichung Es y f ( 1 ,..., m ) f ( x1 ,..., xm ) f ( x1 Es1 ,..., xm Esm ) f ( x1 ,..., xm ) f f ( x1 ,..., xm ) Esi f ( x1 ,..., xm ) i 1 xi m f Esi i 1 xi m Die systematische Abweichung der resultierenden Größe ist die Summe der systematischen Abweichungen der Eingangsgrößen, gewichtet mit der partiellen Ableitung der resultierenden Größe nach der jeweiligen Eingangsgröße iprom Fortpflanzung der systematischen Abweichung Von den Eingangsgrößen Xi werden Stichproben vom Umfang ni genommen: {xiki}ki=1,...,ni Die zufällige Abweichung eines solchen Meßwerts beträgt Eaiki=xiki-i Für jedes Xi kann ein Mittelwert und eine Streuung berechnet werden: 1 ni xi xiki ni ki 1 1 ni 2 S ( x x ) iki i ni 1 ki 1 2 i Dxiki xiki xi ist die Abweichung eines Einzelwerts vom Mittelwert. ni Dx ki 1 iki 0 iprom Fortpflanzung der zufälligen Abweichung Beispiel: Fläche eines Rechtecks A = a b Seitenlänge a werde 5 mal gemessen: a1, a2, a3, a4, a5 Seitenlänge b werde 3 mal gemessen: b1, b2, b3 Es gibt 5 x 3 mögliche Kombinationen, die Fläche A zu berechnen: A11=a1 b1 A21=a2 b1 A31=a3 b1 A41=a4 b1 A51=a5 b1 A12=a1 b2 A22=a2 b2 A32=a3 b2 A42=a4 b2 A52=a5 b2 A13=a1 b3 A23=a2 b3 A33=a3 b3 A43=a4 b3 A53=a5 b3 Diese 15 Werte Aij werden als Messwerte einer virtuellen Messreihe interpretiert und es werden der Mittelwert x und die Streuung S berechnet. iprom Fortpflanzung der zufälligen Abweichung X1 X2 X3 Y1 A11 Y2 A21 A12 A13 A14 A22 A23 A24 Y3 A31 A32 A33 A34 1 4 3 A Aij 4 * 3 i 1 j 1 X4 4 3 1 2 A ( A A ) ij 4 * 3 1 i 1 j 1 iprom Fortpflanzung der Abweichung bei zusammengesetzten Größen m Es gibt ni verschiedene Kombinationsmöglichkeiten der i 1 Eingangsmeßwerte, für die jeweils ein Wert für y berechnet werden kann. y k1...km f ( x1k1 ,...xmkm ) iprom Fortpflanzung der zufälligen Abweichung Der Mittelwert für y wird wie folgt berechnet: 1 n1 nm y m ... y k1...km ni k11 km1 i 1 1 n1 nm m ... f ( x1 Dx1k1 ,..., xm Dxmkm ) ni k11 km1 i 1 m 1 n1 nm f m ... ( f ( x1 ,..., xm ) Dxiki ) i 1 xi k11 km 1 ni i 1 ni 1 m f f ( x1 ,..., xm ) m n j Dxiki x i 1 ki 1 j i i ni i 1 f ( x1 ,..., xm ) iprom Fortpflanzung der zufälligen Abweichung Die zufällige Abweichung bei der Messung von Y kann naturgemäß nur statistisch beschrieben werden. Unter der Voraussetzung, daß die Eingangsgrößen Xi statistisch unabhängig sind, erhält man für die Standardabweichung bzw. die Streuung: f i i 1 xi m 2 f S S i i 1 xi m 2 iprom Fortpflanzung der zufälligen Abweichung 2 Inder Praxis liegen systematische und zufällige Abweichungen stets gemeinsam vor. Vorgehensweise: 1. Systematische Abweichungen ermitteln und korrigieren 2. Vertrauensbereich für korrigierte Werte aus der Fortpflanzung der statistischen Abweichung berechnen iprom Vollständiges Messergebnis Die Größe X sei normalverteilt, die Standardabweichung und der Erwartungswert µ seien bekannt. Wahrscheinlichkeit dafür, dass der nächste Messwert im Intervall µ c liegt (c > 0): P x c c h( )d c P( c) P( c) Dies ist eine Funktion von und c. iprom Abschätzung des Erwartungswertes P x c c h( )d Dies ist eine Funktion von und c. c Formal ist das gleich P x c Interpretation: Angenommen, µ sei nicht bekannt, dann wäre der Messwert x ein Schätzwert für µ und die Wahrscheinlichkeit P dafür, dass µ im Intervall x c liegt, kann mit obiger Gleichung berechnet werden. [x-c; x+c] ist ein Konfidenzintervall für µ P ist die „statistische Sicherheit“ der Schätzung. iprom Abschätzung des Erwartungswertes P x c c h( )d c Dies ist eine Funktion von und c. Formal ist das gleich P x c iprom Abschätzung des Erwartungswertes P(µ[x-, x+]) = 68,3% P(µ[x-2, x+2] = 95,45% P(µ[x-3, x+3] = 99,73% iprom Statistische Sicherheit bei normalverteilten Größen Die Messgröße X sei normalverteilt mit µ und . Aus n wiederholten Messwerten werde der Mittelwert x berechnet. Dieser kann formal als Wert einer Messgröße X betrachtet werden, die wie folgt berechnet wird: 1 n X f ( X 1 ,..., X n ) X i n i 1 mit Xi normalverteilt mit µ und für alle i Fortpflanzung der zufälligen Abweichung: X n n k 1 1 2 k 1 n 2 f ( X 1 ,..., X n ) k X k n k 1 1 n Xi n i 1 k X k 1 2 2 n n n i 1 n 2 k iprom Standardabweichung des Mittelwerts 2 1. Die Meßgröße X sei normalverteilt, sei bekannt: Das trifft auf z.B. auf die Anwendung eines bekannten Messverfahrens zu. ist durch das Verfahren gegeben, µ ist die gesuchte Größe a) wird abgeschätzt durch einen einzelnen Meßwert x Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (statistische Sicherheit), daß im Intervall [ x-c; x+c ] um einen Meßwert x liegt? P x c c h( x)dx P( c) P( c) c Nach Tabelle z.B.: c=1 -> c=2 -> c=3 -> statistische Sicherheit statistische Sicherheit statistische Sicherheit P=68,3% P=95,5% P=99,7% iprom Konfidenzintervalle für normalverteilten Größen k=1: k=2: k=3: c = 1: P(µ[x-, x+]) = 68,3% c = 2: P(µ[x-2, x+2] = 95,45% c = 3: P(µ[x-3, x+3] = 99,73% iprom Konfidenzintervalle für normalverteilten Größen b) wird abgeschätzt durch den Mittelwert x aus n Messungen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (statistische Sicherheit), daß im Intervall [ x-c; x+c] um den Mittelwert x liegt? Nun muß durch x n x n (Standardabweichung des Mittelwerts ) ersetzt werden. Beispiel: Für c=0,5 folgt für einen einzelnen Messwert aus der Tabelle: P(µ[x-0,5, x+0,5]) = 38,3% Für den Mittelwert von 36 wiederholten Messungen gilt: x c 0,5 0,5 x n 3 x P( [ x 3 x ; x 3 x ]) 99,7% iprom Konfidenzintervalle für normalverteilten Größen 36 6 Ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert µ zur statistischen Sicherheit P% ist demnach: k k x n ; x n Auf diese Weise kann berechnet werden, wie oft eine Messung wiederholt werden muß, damit mit einer geforderten statistischen Sicherheit der Erwartungswert innerhalb eines geforderten Unsicherheitsintervalls bestimmt werden kann. iprom Konfidenzintervalle für normalverteilte Größen 2. Die Meßgröße X sei normalverteilt, und seien unbekannt: wird durch den arithmetischen Mittelwert wird durch die Streuung S abgeschätzt: x aus n Meßwerten abgeschätzt. 1 n 2 S x x i n 1 i 1 2 Frage: Mit welcher statistischen Sicherheit können wir rechnen? Dazu werden der Begriff „p-Quantil einer Verteilung“ und zwei neue Verteilungsfunktionen eingeführt: Die Studentsche t-Verteilung und die Chi-Quadrat-Verteilung iprom Konfidenzintervalle für normalverteilte Größen Das p-Quantil einer Verteilung mit Verteilungsdichte h(x) ist der Wert, bis zu dem die Funktion h(x) von - an integriert werden muss, um die Fläche p zu erhalten. hp h( x)dx p iprom P-Quantil einer Verteilung Die Studentsche t-Verteilung mit s Freiheitsgraden: s 1 s 1 2 2 1 2 x 1 t s ( x) s s s 2 mit der Gammafunktion t e u u t 1du 0 Das p-Quantil ts,p der ts-Verteilung: ts , p t ( x)dx p s iprom Die Studentsche t-Verteilung 0,45 t t5 t1 0,4 0,35 ts(x) 0,3 0,25 0,2 0,15 Fläche=1-p 0,1 0,05 0 ts,p 0 -4 -2 0 2 4 x Dichten der Studentschen t-Verteilung mit s Freiheitsgraden iprom Die Studentsche t-Verteilung p-Quantil der Studentschen t-Verteilung Die Chi-Quadrat-Verteilung mit s Freiheitsgraden: s2 ( x) 1 s 2 2 s 2 Das p-Quantil e x 2 x s 1 2 der Chi-Quadrat-Verteilung: 2 s, p s2, p 2 s ( x)dx p iprom Die Chi-Quadrat-Verteilung 0,3 21 0,25 2 s(x) 0,2 24 0,15 27 0,1 Fläche=1-p 0,05 0 0 0 5 10 15 2s,p 20 x Dichten der Chi-Quadrat-Verteilung mit s Freiheitsgraden iprom Die Chi-Quadrat-Verteilung p-Quantil der Chi-QuadratVerteilung Für eine normalverteilte Größe X mit unbekanntem µ und unbekanntem ergeben sich auf der Basis einer Stichprobe von n Messwerten x1,...,xn das Konfidenzintervall für den Erwartungswert µ mit statistischer Sicherheit p = 1-a: S S t t x a;x a n 1 , 1 n1,1 n n 2 2 und das Konfidenzintervall für die Varianz 2 mit statistischer Sicherheit p = 1- a: 2 2 n 1s n 1s ; 2 2 a a n 1,1 n 1, 2 2 iprom Konfidenzintervall für normalverteilte Größen Frage: Warum werden die 1-a/2-Quantile eingesetzt? Symmetrie der t-Verteilung iprom Konfidenzintervall für normalverteilte Größen Beispiel: Bestimmung der Masse m eines Werkstücks. m werde aufgrund von Kenntnissen über den Messprozess als normalverteilt angenommen. Wiederholmessung mit 4 Messwerten: m1=272,48g, m2=272,23g, m3=272,35g, m1=272,42g Mittelwert: m 272,37 g , Streuung: S 0,122 g Gesucht: Konfidenzintervall für den Erwartungswert µ mit statistischer Sicherheit p = 1-a = 95%, d.h. a =0,05, 1- a /2=0,975: t3,0,975=3,18 0,122 g 0,122 g t3,0,975 ; 272,37 g t3,0,975 272,37 g 4 4 272,37 g 0,20 g ; 272,37 g 0,20 g 272,17 g ; 272,57 g iprom Konfidenzintervall für normalverteilte Größen Mittelwert: m 272,37 g , Streuung: S 0,122 g Gesucht: Konfidenzintervall für die Varianz 2 mit statistischer Sicherheit p = 1-a = 95%, d.h. a =0,05, 1- a /2=0,975: 32, 0,975 9,35 32, 0,025 0,216 3 0,122 g 2 3 0,122 g 2 2 2 ; 0 , 00478 g ; 0 , 207 g 9 , 35 0 , 216 0,07 g; 0,46 g mit statistisc her Sicherheit p 95% iprom Konfidenzintervall für normalverteilte Größen Neue Messreihe mit n=50 Messwerten m1,…,m50 Mittelwert: m 272,41g , Streuung: S 0,11g Gesucht: Konfidenzintervalle für den Erwartungswert m und die Varianz 2 mit statistischer Sicherheit p = 1-a = 95%, d.h. a =0,05, 1- a /2=0,975: 2 t49, 0,975 2,01 49 , 0,975 70,2 2 49 , 0, 025 31,6 0,11g 0,11g t 49, 0,975; 272,41g t 49, 0,975 50 50 272,41g 0,03g ; 272,41 0,03g 272,38 g ; 272,44 g mit statistisc her Sicherheit p 95% 272,41g 49 0,11g 2 49 0,11g 2 2 2 ; 0,0085 g ; 0,0188 g 70,2 31,6 2 0,092 g; 0,14 g mit statistisc her Sicherheit p 95% iprom Konfidenzintervall für normalverteilte Größen Statistische Tests iprom Statistische Tests In den empirischen Wissenschaften gibt es keine „absolute Wahrheit“ Allgemeine Vorgehensweise in den empirischen Wissenschaften iprom Empirische Wissenschaften Die zu untersuchende Hypothese wird als Nullhypothese H0 bezeichnet. Es wird eine Alternativhypothese H1 aufgestellt. Meist (aber nicht immer) wird gewählt: H1 = H0 Es wird eine Messreihe durchgeführt (Kontrollbeobachtung). Man erhält die Messwerte x1, ... , xn Die Messwerte x1, ..., xn werden in eine Testfunktion eingesetzt, die für den jeweiligen Test charakteristisch ist. Man erhält die Testgröße T = T(x1, ..., xn) T wird mit einem tabellierten Schwellenwert verglichen. Aus diesem Vergleich folgt die Entscheidung, H0 anzunehmen oder nicht. iprom Statistische Tests Anschaulich: Berechnung der Wahrscheinlichkeit p, dass unter Annahme der Gültigkeit der Hypothese H0 das tatsächlich beobachtete Ergebnis auftritt. Diese Wahrscheinlichkeit heißt Signifikanzniveau a oder p-Wert. Wenn der p-Wert klein ist, wird die Hypothese H0 verworfen. iprom Statistische Tests Tatsächlich: H0 richtig Tatsächlich: H0 falsch Nichtablehnung von H0 richtige Entscheidung mit Wahrscheinlichkeit 1-a Fehlentscheidung 2. Art mit Wahrscheinlichkeit Ablehnung von H0 Fehlentscheidung 1. Art mit Wahrscheinlichkeit a richtige Entscheidung mit Wahrscheinlichkeit 1- a: Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signifikanzniveau, typische Werte: 5%, 1%, 0,1% 1-ß: Güte des Tests iprom Statistische Tests X sei normalverteilt, µ und seien unbekannt. Nullhypothese: µ = µ0 Alternativhypothese? Einseitige Alternativhypothesen: Alternative 1: H1: µ > µ0 Alternative 2: H1: µ < µ0 Zweiseitige Alternativhypothese: H1: µ µ0 iprom Der t-Test für den Erwartungswert (Lokationstest) Stichprobe mit n Messwerten x1,...xn , daraus werden Mittelwert und Streuung berechnet. Im allgemeinen wird x 0 sein. Für kleine Abweichungen wird man H0 beibehalten (Nichtablehnungsbereich) Für große Abweichungen wird man H0 ablehnen (Ablehnungsbereich) iprom Der t-Test für den Erwartungswert (Lokationstest) Testgröße: t0 x 0 S t0 ist t-verteilte Zufallsgröße. n Test der Nullhypothese bei vorgewähltem Signifikanzniveau a: 1.) H0: = 0 gegen H1: < 0 (einseitige Hypothese) Ist t0 < -tn-1;1-a, wird H0 auf dem Signifikanzniveau a abgelehnt. 2.) H0: = 0 gegen H1: > 0 (einseitige Hypothese) Ist t0 > tn-1;1-a, wird H0 auf dem Signifikanzniveau a abgelehnt. 3.) H0: = 0 gegen H1: 0 (zweiseitige Hypothese) Ist |t0| > tn-1;1-a/2, wird H0 auf dem Signifikanzniveau a abgelehnt. iprom Der t-Test für den Erwartungswert (Lokationstest) Erläuterung zur Konstruktion der Testfunktion: Für normalverteilte Zufallsgrößen wird das Konfidenzintervall um den Mittelwert x mit der statistischen Wahrscheinlichkeit p=1-a wie folgt berechnet: S S S x t ; x t t n 1,1 a a a x 2 n 1 , 1 n 1 , 1 n n n 2 2 Wäre µ=µ0, so müsste daher gelten: x 0 S x 0 t n 1,1 a tn 1,1 a t0 tn 1,1 a 2 2 2 S n n Wenn aber t0 t n 1,1 a gilt, so kann nicht µ=µ0 sein. 2 iprom Der t-Test für den Erwartungswert (Lokationstest) Erläuterung zu den Quantilen: a) Einseitige Tests: b) Zweiseitiger Test: iprom Der t-Test für den Erwartungswert (Lokationstest) Erläuterung zur Irrtumswahrscheinlichkeit: Tatsächlich: H0 richtig Tatsächlich: H0 falsch Nichtablehnung von H0 richtige Entscheidung mit Wahrscheinlichkeit 1-a Fehlentscheidung 2. Art mit Wahrscheinlichkeit Ablehnung von H0 Fehlentscheidung 1. Art mit Wahrscheinlichkeit a richtige Entscheidung mit Wahrscheinlichkeit 1- a: Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signifikanzniveau, typische Werte: 5%, 1%, 0,1% 1-ß: Güte des Tests iprom Der t-Test für den Erwartungswert (Lokationstest) Erläuterung zur Irrtumswahrscheinlichkeit: Beim Verschieben der Entscheidungsgrenze ändern a und sich gegensinnig. Kompromiss erforderlich Das Verkleinern von (Vergrößern der Stichprobe) verkleinert a und gleichzeitig. iprom Der t-Test für den Erwartungswert (Lokationstest) X sei (µx, )-normalverteilt, Y sei (µy, )-normalverteilt µx, µy, seien unbekannt. Man interessiert sich für den Vergleich der Erwartungswerte. Das ist eine typische Situation beim Vergleich der Wirkung zweier Maßnahmen (z.B. medizinische Behandlung) oder bei der Frage, ob eine Änderung an einem technischen System zu einer (gewünschten) Änderung der Systemeigenschaften führt. Nullhypothese H0: µx = µy Kontrollmessungen: nx Messwerte für X, ny Messwerte für Y Hilfsgröße: X Y mit Streuung S 2 nx 1S x2 ny 1S y2 1 nx n y 2 1 n n y x iprom Der t-Test für den Vergleich zweier Erwartungswerte Fallunterscheidung: a) Die betrachtete Grundgesamtheit besteht aus Einheiten, die einander sehr ähnlich sind unabhängige Stichproben b) Die betrachtete Grundgesamtheit besteht aus Einheiten, die sehr unterschiedlich sind (Individuen) verbundene Stichproben iprom Der t-Test für den Vergleich zweier Erwartungswerte iprom Der t-Test für den Vergleich zweier Erwartungswerte a) Der t-Test bei unabhängigen Stichproben Vergleich der Mittelwerte Testgröße: xy t0 S Speziell für nx=ny=n: n t0 nx n y nx n y 2 x n y nx 1S n y 1S 2 x 2 y x y n x y 2 2 Sx Sy Test der Nullhypothese bei vorgewähltem Signifikanzniveau a: iprom Der t-Test für den Vergleich zweier Erwartungswerte a) Der t-Test bei unabhängigen Stichproben 1.) H0: x = y gegen H1: x < y (einseitige Hypothese) Ist t0 tn n 2; 1a , wird H0 x y auf dem Signifikanzniveau a abgelehnt. 2.) H0: x = y gegen H1: x > y (einseitige Hypothese) Ist t0 tn n 2; 1a , wird H0 x y auf dem Signifikanzniveau a abgelehnt. 3.) H0: x = y gegen H1: x y (zweiseitige Hypothese) Ist | t0 | tnx ny 2; 1a / 2 , wird H0 auf dem Signifikanzniveau a abgelehnt. iprom Der t-Test für den Vergleich zweier Erwartungswerte b) Der t-Test bei verbundenen Stichproben Mittelung der Differenzen Testgröße: t0 d sd n mit: d d i 1 n d n n i di = xi - yi sd i 1 i d 2 n 1 iprom Der t-Test für den Vergleich zweier Erwartungswerte Test der Nullhypothese bei vorgewähltem Signifikanzniveau a: 1.) H0: x = y gegen H1: x < y (einseitige Hypothese) Ist t0 < -tn-1;1-a, wird H0 auf dem Signifikanzniveau a abgelehnt. 2.) H0: x = y gegen H1: x > y (einseitige Hypothese) Ist t0 > tn-1;1-a, wird H0 auf dem Signifikanzniveau a abgelehnt. 3.) H0: x = y gegen H1: x y (zweiseitige Hypothese) Ist |t0| > tn-1;1-a/2 , wird H0 auf dem Signifikanzniveau a abgelehnt. iprom Fortpflanzung der zufälligen Abweichung Vermutung, dass die Zufallsgröße einer bestimmten Verteilung gehorcht. Überprüfung mit dem Chi-Quadrat-Test Nullhypothese H0: Die Größe X wird durch die Verteilungsdichtefunktion h(x) beschrieben. Gegenhypothese H1: Die Größe X wird nicht durch die Verteilungsdichtefunktion h(x) beschrieben. iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen Durchführen einer Messreihe, Erstellen eines Histogramms iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen Bestimmung der Parameter der Verteilungsdichtefunktion, für die das Histogramm am besten angenähert wird (Maximum Likelihood-Verfahren) iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen Berechnung eines theoretischen Histogramms aus der Funktion h(x) Aus der Flächendifferenz von realem und theoretischem Histogramm wird eine Testgröße berechnet Entscheidung iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen Der Chi-Quadrat-Test in 10 Schritten 1. Schritt: Aufteilen des Wertebereichs in r nicht überlappende Klassen Ti, so daß jede Klasse wenigstens 5 Werte der Stichprobe x1,...xn enthält (Diese Grenze ist willkürlich gewählt, häufig wird auch >10 gefordert). Die Intervalle können auch ungleich breit sein. Hinweis: Allgemeinere Form von Histogrammen als bisher: Die Klassen dürfen unterschiedlich breit sein. Sinn der Forderung nach mindestens 5 Werten je Klasse? Zählstatistik (Poissonstatistik): µ=, 2=, x relative Standardabweichung 1 1 x Je kleiner die Zahl, um so unsicherer die Zählung iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen Der Chi-Quadrat-Test in 10 Schritten 2. Schritt: Bestimmen der Anzahl Bi von Meßwerten in der Klasse Ti 3. Schritt: Falls die Verteilungsdichtefunktion h(x) Parameter enthält (z.B. und bei der Normalverteilung), so werden diese Parameter aus den Messdaten x1,...xn abgeschätzt. Hinweis: Maximum-Likelihood-Verfahren iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen Der Chi-Quadrat-Test in 10 Schritten 4. Schritt: Berechnen der Wahrscheinlichkeit pi, mit der bei Annahme der hypothetischen Verteilungsdichte h(x) unter Annahme der unter Schritt 3 geschätzten Parameter ein Meßwert im Intervall Ti zu erwarten ist. x2 Hinweis: P( x1 x x2 ) h( )d x1 iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen Der Chi-Quadrat-Test in 10 Schritten 5. Schritt: Berechnen der Produkte Ei=npi, die die theoretischen Besetzungszahlen der Klasse Ti bei Annahme der Verteilungsdichte h(x) darstellen. Hinweis: „Theoretisches Histogramm“ iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen Der Chi-Quadrat-Test in 10 Schritten 6. Schritt: Prüfen, ob für alle Klassen gilt: Ei 5. Klassen mit Ei < 5 werden mit benachbarten Klassen zusammengelegt. Nach diesem Schritt liegen r* Klassen vor mit r* r. Hinweis: Auch für das theoretische Histogramm gilt die Zählstatistik 7. Schritt: Berechnen der Testgröße r* Bi Ei 2 i 1 Ei 2 0 Hinweis: Maß für die Abweichung zwischen realem und theoretischem Histogramm iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen Der Chi-Quadrat-Test in 10 Schritten 8. Schritt: Bestimmung der Zahl der Freiheitsgrade r* ist die Zahl der auswertbaren Klassen (Besetzungszahl >5 bzw. > 10) s ist die Zahl der Parameter der Verteilungsdichtefunktion Die Zahl der Freiheitsgrade ist r*-s-1 9. Schritt: Festlegen der Irrtumswahrscheinlichkeit a 10. Schritt: 2 2 H0 ist abzulehnen mit Signifikanzniveau a, wenn 0 r* s 1;1a iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen Die einfache Varianzanalyse - ANOVA (analysis of variance) k Stichproben werden untersucht. Man will prüfen, ob alle Stichproben zur gleichen Grundgesamtheit gehören. Anzahl der Messwerte der j-ten Stichprobe: nj Gesamtzahl der Messwerte: n k n j 1 j Die Messwerte nij innerhalb jeder Stichprobe seien normalverteilt mit jeweils gleicher Standardabweichung . Nullhypothese H0: Alle Stichproben haben den gleichen Erwartungswert Alternativhypothese H1: Es gibt mindestens zwei Stichproben a, b mit a b iprom Die einfache Varianzanalyse - ANOVA Die einfache Varianzanalyse - ANOVA (analysis of variance) Prinzip des Tests: Vergleich der mittleren Streuung der Messwerte innerhalb der Stichproben mit der Streuung der Mittelwerte zwischen den Stichproben iprom Die einfache Varianzanalyse - ANOVA Die einfache Varianzanalyse in sieben Schritten Schritt 1: Berechung der Summe der Abweichungsquadrate SQI innerhalb der Stichproben: k nj SQI ( xij x j ) 2 j 1 i 1 Schritt 2: Berechnung der mittleren Quadratsumme MQI innerhalb der Stichproben: SQI MQI nk n Summanden, k Mittelwerte n-k unabhängige Größen iprom Die einfache Varianzanalyse - ANOVA Die einfache Varianzanalyse in sieben Schritten Schritt 3: Berechung der Summe der Abweichungsquadrate SQZ zwischen k der Stichproben: 1 k 2 SQZ n j ( x j x ) mit x njxj j 1 n j 1 Schritt 4: Berechnung der mittleren Quadratsumme MQZ zwischen den Stichproben: SQZ MQZ k 1 k Summanden, 1 Mittelwert k-1 unabhängige Größen iprom Die einfache Varianzanalyse - ANOVA Die einfache Varianzanalyse in sieben Schritten Schritt 5: Berechnung der Testgröße F: MQZ F MQI Würde die Hypothese H0 zutreffen, so würde die Testgröße einer F-Verteilung mit den Freiheitsgraden f1=k-1 und f2=n-k genügen. Schritt 6: Festlegen des Signifikanzniveaus a Ermitteln des 1-a Quantils Fk-1;n-k;1-a aus einer Tabelle („kritischer Wert“) Schritt 7: H0 wird auf dem Signifikanzniveau a abgelehnt, wenn F> Fk-1;n-k;1-a iprom Die einfache Varianzanalyse - ANOVA Die lineare Regression Welche Gerade repräsentiert die Anordnung der Wertepaare (xi, yi) am besten? iprom Die lineare Regression Die lineare Regression Approximation nach Gauss: Die optimale Gerade durch eine Anzahl von Wertepaaren (xi, yi) wird so gewählt, dass die Summe der Abweichungsquadrate minimal wird. ( y y ) b( x x ) mit n b x x y y i i 1 i n 2 x x i i 1 Regressionskoeffizient Diese Gerade geht stets durch den Schwerpunkt x, y der Punkte. iprom Die lineare Regression Vertrauensbereich für die Regressionsgerade: 1. Festlegen der geforderten statistischen Sicherheit p (z.B.: p=0,95) 2. Berechnen der Streuung Sx aus den Messwerten x1,...,xn Berechnen der sogenannten Restvarianz ˆ 2 1 n 2 ˆ y y b ( x x ) j j n 2 j 1 2 3. Vertrauensbereich für den Regressionskoeffizienten b zur statistischen Sicherheit p=1-a: ˆ tn2,1a / 2 ˆ tn2,1a / 2 ,b b nS x nS x iprom Die lineare Regression Durch die berechnete Gerade wird einem beliebig gewählten x-Wert x* der y-Wert y y b( x x ) zugeordnet. * * Der Vertrauensbereich für y* zur statistischen Sicherheit p=1-a ist: 2 * ˆ t x x y * n2,1a / 2 1 , 2 Sx n iprom Die lineare Regression y* ˆ t n2,1a / 2 n x 1 * 2 x S x2 Konfidenzintervall für die Regressionsgerade Vorsicht: Ein mathematisch formaler Zusammenhang muss kein Kausalzusammenhang sein! iprom Die lineare Regression Nichtlineare Regression: Näherungslösung durch Rückführung auf lineare Regression. Beispiel: Messreihe liefert Wertepaare (xi,yi) Vermutung eines funktionalen Zusammenhangs Ansatz: Linearisierung y e axb Wertepaare (xi, ln(yi)) ln(y)=ax+b Anwendung der linearen Regression Aber: Die Fehler der einzelnen Messpunkte gehen mit unterschiedlicher Gewichtung in das Mittelungsverfahren ein. Mathematisch saubere least-square-fits sind numerisch aufwendig spezielle Softwarepakete verfügbar, z.B. ORIGIN iprom Die nichtlineare Regression
