1 Quantenelektrodynamik

1
Quantenelektrodynamik
Gebhard Grübl
Institut für Theoretische Physik, Universität Innsbruck
Notizen zu Quantentheorie II, WS 02/03
1.1
Elektromagnetische Potentialfelder
Sei V ein reeller Vektorraum, h·, ·i sei ein inneres Produkt von V und e = (e0 , ..e3 ) eine Basis von V mit
heµ , eν i = ηµ,ν . Für x ∈ V wird notiert x = xµ eµ . (Gelegentlich wird (xµ ) als Karte von V aufgefasst.)
Der UVR V0 ist die lineare Hülle von (e1 , e2 , e3 ). Die Einschränkung von − h·, ·i auf V0 × V0 ist ein
Skalarprodukt. Die zugehörige Norm wird mit |·| bezeichnet. Es wird für v, w ∈ V0 notiert v · w =
− hv, wi. Der affine Unterraum Vτ := V0 + τ e0 ist ein Raum gleichzeitiger Ereignisse.
Sei F eine 2-Form auf V mit dF = 0. Die Feldstärkeform F hat bezüglich der Karte (xµ ) die Zerlegung
F =
3
X
E i dx0 ∧ dxi − cB 1 dx2 ∧ dx3 + cB 2 dx1 ∧ dx3 − cB 3 dx1 ∧ dx2 .
i=1
Die Tangentenvektorfelder auf V0
Eτ (x) :=
3
X
E i (τ e0 + x) ei ,
Bτ (x) :=
i=1
3
X
B i (τ e0 + x) ei
i=1
sind das elektrische und magnetische Feld der Feldstärkeform F in Bezug auf das Inertialsystem e zur
Zeit t = τ /c. Die physikalische
Dimension von Eτ und cBτ ist die von Energie/(Ladung×Länge). Man
£ ~c ¤
schreibt [E] = [cB] = eL
2 . Die (positive) Konstante e bezeichnet die Elementarladung und L irgendeine
Länge. Die Variable τ wird als Parameter und nicht als Koordinatenfunktion aufgefasst. Es gelten die
homogenen Maxwellgleichungen im Sinn der Vektoranalysis auf V0 zur euklidischen Struktur von − h·, ·i
div (Bτ ) = 0,
rot (Eτ ) +
∂ (cBτ )
= 0.
∂τ
Wegen dF = 0 existiert eine 1-Form A = Aµ dxµ auf V mit F = dA. Bezüglich des Inertialsystems e
definiert A eine τ -parametrisierte Schar von Skalar- und Vektorpotentialen
φτ (x) = A0 (τ e0 + x) ,
Aτ (x) = −
3
X
Ai (τ e0 + x) ei .
i=1
Es gilt
Eτ = −
∂ (Aτ )
− grad (φτ ) ,
∂τ
cBτ = rot (Aτ ) .
£ ~c ¤
Die physikalische Dimension der Potentiale ist [Aµ ] = [φτ ] = [Aτ ] = eL
.
Die Energie eines freien elektromagnetischen Feldes, dh es gilt d ∗ F = 0, ist mit der elektrischen
Feldkonstante ε0 und der magnetischen Feldkonstante µ0 durch
Z
³
´ Z
´
ε0 ³
2
2
2
2
−1
3 1
E=
d x
ε0 |Eτ | + µ0 |Bτ | =
d3 x
|Eτ | + |cBτ |
2
2
V0
V0
gegeben. (Beachte ε0 µ0 = 1/c2 .) Im Hinblick auf die Quantisiserung von F ist die Größe K := E/ (~c)
die klassische
Vorstufe des Zeittranslationsgenerators. K drückt sich durch das umskalierte Potentialfeld
p
b := ε0 A parameterfrei aus
A
~c
Z
d3 x
K=
V0
1
2
µ¯
¯2 ¶
³ ´¯2 ¯
¯ b
¯
¯
b τ ¯¯ .
¯∂τ Aτ + grad φbτ ¯ + ¯rotA
h i
bµ = 1/L.
Es gilt A
1
(1)
1.2
Das Diracquantenfeld im äußeren Potential
Die Einführung eines äußeren elektromagnetischen Potentials in die Diracgleichung geschieht mithilfe der
minimalen Kopplungsregel für ein Teilchen der (SI-dimensionierten) elektrischen Ladung q ∈ R. Die
µ
Regel ist:
im
µψ
¢ Kartenausdruck der Diracgleichung zur Karte (x ) die partiellen Ableitungen ∂4×1
¡ Ersetze
q
durch ∂µ + i ~c Aµ ψ. Damit ergibt sich die partielle Differentialgleichung für Funktionen ψ : V → C
³
´
q
iγ µ ∂µ + i Aµ ψ − κψ = 0.
(2)
~c
£q
¤
Beachte ~c
Aµ = 1/L. Für die τ -parametrisierte Familie von zugehörigen Diracoperatoren Hτ mit
i~c∂τ ψ = Hτ ψτ gilt somit
X ³
q ´
q
1 A
Hτ = −iγ 0
γ l ∂l + i Al + κγ 0 + A0 .
~c
~c
~c
3
hA
τ :=
l=1
b = ~cK0 des freien Diracquantenfeldes ψ erfüllt mit
Der (”zweitquantisierte”) Hamiltonoperator H
√
der normalgeordneten Energiedichte (K00 )N und dem parameterreduzierten Feld Ψ := ψ/ ~ und h0 =
P
3
−iγ 0 l=1 γ l ∂l + κγ 0
Z
Z
Z
¡
¢
¡
¢
b = cPb0 = c
H
d3 x (K00 )N = c
d3 x ψγ 0 i∂0 ψ N = ~c
d3 x Ψγ 0 h0 Ψ N .
V0
V0
V0
Die Normalordung eines Produktes von freien Diracquantenfeldern ist über die Zerlegung Ψ(x) = A(x) +
B ∗ (x) in den Vernichtungs- und Erzeugungsteil
XZ
XZ
d3 k
d3 k
A(k, ε)U(k,ε) (x) , A(x) :=
A(k, ε)∗ U(k,ε) (x)
A(x) :=
2ω(k)
2ω(k)
V
V
0
0
ε
ε
3
XZ
XZ
d
k
d3 k
B ∗ (x) :=
B(k, ε)∗ V(k,ε) (x) , B ∗ (x) :=
B(k, ε)V(k,ε) (x)
V0 2ω(k)
V0 2ω(k)
ε
ε
definiert
¡
Ψα (x)Ψβ (y)
¢
N
= Aα (x)Aβ (y) + B ∗ α (x)Aβ (y) + Aα (x)Bβ∗ (y) − Bβ (y)B α (x).
Merke: Alle Vernichter vor den Erzeugern wirken lassen; für jede dazu nötige Vertauschung einen Faktor
(-1)
¡ anbringen.
¢ Wegen der Antikommutatorquantisierungsrelationen unterscheidet sich Ψα (x)Ψβ (y) von
Ψα (x)Ψβ (y) N nur um ein Vielfaches der Identität. Für x = y ist das Produkt Ψα (x)Ψβ (x) nicht
definiert, das normalgeordnete Produkt jedoch schon.
Es gilt
b
b
eiHt/~ Ψ(x)e−iHt/~ = Ψ(x + cte0 ).
b τA eines ExternfeldDamit ist es naheliegend, die τ -parametrisierte Schar von Hamiltonoperatoren H
problems im Fockraum des freien Diracquantenfeldes Ψ mit
Z
Z
¡ 0 A ¢
¡
¢
A
3
b
b
b + Vτ
Hτ := ~c
d x Ψγ hτ Ψ N = H + q
d3 xAµ (τ e0 + x) Ψ (x) γ µ Ψ (x) N =: H
(3)
V0
V0
versuchsweise zu definieren. Problem: Der formale Ausdruck Vτ erzeugt im allgemeinen zwar eine
quadratische Form im Fockraum, jedoch keinen Operator. Wir ignorieren das und fahren fort mit der
Heuristik.
n
o
b τA | t ∈ R zur Asymptotik exp(−iHt/~)
b
Der Streuoperator der Dynamik H
ist somit durch die
formale, zeitgeordnete Dysonreihe mit dem zeitabhängigen Potential im Heisenbergbild des freien Diracquantenfeldes
b /~c)Vτ exp(−iHτ
b /~c)
(Vτ )0 := exp(iHτ
gegeben:
¶
µ
¶
µ
Z ∞
Z
¡
¢
iq
i
4
µ
dτ (Vτ )0 = T exp −
d xAµ (x) Ψ (x) γ Ψ (x) N .
S = T exp −
~c −∞
~c V
2
Die ”Verschmierung” des normalgeordneten Stromquantenfeldes J = J µ eµ des freien Diracquantenfeldes
mit dem externen Potential A bestimmt die Wechselwirkung. Es gilt
¡
¢
J µ (x) = Ψ (x) γ µ Ψ (x) N = Seµ (x) + PEµ (x) + PVµ (x) + Seµ (x),
XZ
¡
¢
µ
Se (x) :=
dµ1 dµ2 A(k1 , ε1 )∗ A(k2 , ε2 ) Uk1 ,ε1 γ µ Uk2 ,ε2 (x) ,
ε1 ,ε2
PEµ (x) :=
XZ
ε1 ,ε2
V0 ×V0
V0 ×V0
¡
¢
dµ1 dµ2 A(k1 , ε1 )∗ B(k2 , ε2 )∗ Uk1 ,ε1 γ µ Vk2 ,ε2 (x) ,
XZ
PVµ (x) :=
ε1 ,ε2
Seµ (x) := −
V0 ×V0
XZ
ε1 ,ε2
V0 ×V0
¡
¢
dµ1 dµ2 B(k1 , ε1 )A(k2 , ε2 ) Vk1 ,ε1 γ µ Uk2 ,ε2 (x) ,
¡
¢
dµ1 dµ2 B(k2 , ε2 )∗ B(k1 , ε1 ) Vk1 ,ε1 γ µ Vk2 ,ε2 (x) .
q
~c
der Störungsreihe von S ergeben die vier Summanden von J µ der Reihe nach Beiträge
In der Ordnung
zu: Teilchenstreuung, Paarerzeugung, Paarvernichtung, Antiteilchenstreuung. Der von der fermionischen
Normalordnung eingebrachte Faktor −1 am Antiteilchenstreuterm ist für den Vorzeichenunterschied der
elektrischen Kopplung von Teilchen und Antiteilchen an ein äußeres Potential verantwortlich.
Die hier angedeutet Formulierung des Externfeldproblems für das Diracquantenfeld ist nicht mathematisch wohldefiniert, sie dient nur dazu, die Motivation für die Definition der QED zu liefern. Ein
Diracquantenfeld das die Bewegungsgleichung (2) löst, lässt sich mit mathematisch rigorosen Methoden
für große Potentialklassen konstruieren.1
1.3
QED: Dysonreihe
Die Quantenelektrodynamik (QED) stützt sich auf die Bildung eines zeitunabhängigen(!) Gesamthamiltonoperators H im Hilbertraum eines wechselwirkungsfreien Elektron/Positron - Photonen Systems. Dies
geschieht so: Ersetze für alle τ ∈ R die jeweils vorgegebene Potentialform Aτ im fermionischen Hamiltonoperator HτA durch die x0 = 0-Restriktion eines wechselwirkungsfreien Potentialquantenfeldes A(x) mit
dem Hilbertraum Hγ . Natürlich ist damit auch der Hilbertraum zu vergrößern. Der fermionische Raum
Hf wird durch ein Tensorprodukt H := Hγ ⊗ Hf ersetzt. Wird zum dadurch entstehenden zeitunabhängigen Hamiltonoperator noch eine Quantenversion der freien Feldenergie von A addiert, so entsteht
ein Hamiltonoperator des Typs H := Hγ ⊗ idf + idγ ⊗ Hf + Hint . Für den Wechselwirkungsteil des
formalen Gesamthamiltonoperators gilt
Z
¡
¢
Hint = q
d3 xAµ (x) ⊗ Ψ (x) γ µ Ψ (x) N
V0
Dadurch wird versucht, die Rückwirkung der geladenen Materie auf das Strahlungsfeld zu erfassen.
Für die Heisenbergbildfelder zur vollen Dynamik
Aint (tce0 + x) := eiHt/~ (A (x) ⊗ idf ) e−iHt/~ ,
Ψint (tce0 + x) := eiHt/~ (idγ ⊗ Ψ (x)) e−iHt/~
gelten formal die (Gupta-Bleuler modifizierten) nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen des Maxwell-Dirac Systems mit den Anfangsbedingung Aint (x) = A(x) ⊗ idf und Ψint (x) = idγ ⊗ Ψ(x)
³
³
´
´
q
q
iγ µ ∂µ + i Aint − κ Ψint = 0, ¤Aint = Ψint γ µ Ψint .
~c
ε0
Die Heisenbergbildfelder Aint und Ψint zur vollen Dynamik H und die Heisenbergbildfelder.A ⊗ idf und
(idγ ⊗ Ψ) zur freien Dynamik gehen auseinander formal durch ein unitäres Wechselwirkungsbild hervor.2
Das Feld A ist eine Quantisierung des freien elektromagnetischen Potentialfeldes. Hier gibt es viele
Möglichkeiten, die meist als Eichungen bezeichnet werden. Zur Parameterreduktion ist es nützlich,
anstelle des physikalisch dimensionierten Potentialfeldes A das parameterreduzierte Feld
r
ε0
b
Aµ :=
Aµ
~c
1 Hier einige Beispiele: A Z Capri, Electron in a given time-dependent electromagnetic field, Journ math Phys 10 (1969)
575 - 580; S N M Ruijsenaars, Charged particles in external fields, Commun math Phys 52 (1977) 267 - 294; G Nenciu, G
Scharf, On regular external fields in quantum electrodynamics, Helv Phys Acta 51 (1978) 412 - 424; G Grübl, C Reitberger,
Fermion number creation via electromagnetism, Lett math Phys 26 (1992) 235 - 243; Lehrbücher: B Thaller, The Dirac
equation, Springer, 1992; G Scharf, Finite Quantum Electrodynamics, Springer, 1995.
2 Haags Theorem sagt, dass diese erhoffte Struktur nicht zu verwirklichen ist. Es scheint jedoch bisher keine andere
Heuristik zu geben, die die Definition der perturbativen QED überzeugender motivieren würde.
3
b wird hier nicht explizit ausgebreitet; benötigen werden wir nur
zu benützen. Eine Eichung A
D
E
bµ (x)Ωγ
Ωγ , A
=0
Hγ
und die (bosonisch) zeitgeordnete 2-Punktfunktion der Gupta - Bleuler Eichung3 :
D
³
´ E
bµ (x)A
bν (y) Ωγ
Ωγ , T A
= iηµ,ν ∆0F (x − y),
Hγ
Z
exp (−i hk, xi)
i
1
∆0F (x) = − lim
d4 k
= − lim
.
4
2
ε↓0 (2π)
ε↓0 (2π) (hx, xi − iε)
hk, ki + iε
V
Die Distribution ∆0F ist der κ → 0 Limes des Feynmanpropagators ∆F des Klein - Gordon Quantenfeldes.
bµ offensichtlich.
Die zeitgeordnete 2-Punktfunktion macht die Dimension von A
Die zeitgeordnete 2-Punktfunktion einer anderen Eichung unterscheidet sich im allgemeinen von der
oben angegebenen. Die observablen Aussagen der Theorie erweisen sich jedoch als unabhängig von der
Eichung, was durchaus nicht selbstverständlich ist.
Der Ausgangspunkt der QED für das Elektron/Positron - Photon System ist die formale Dysonreihe
des Streuoperators für q = −e und Massenparameter κ = m~e c des freien Diracquantenfeldes Ψ. Sie ist
√
mit dem dimensionslosen Ladungsparameter e0 := √εe ~c = 4πα auf Hγ ⊗ Hf durch
0
µ
Z
¡
¢
bµ (x) ⊗ Ψ (x) γ µ Ψ (x)
d xA
N
4
S = T exp ie0
V
¶
.
(4)
√
2
gegeben. Die Konstante e0 = 4πα mit der Sommerfeld-Feinstrukturkonstante α := 4πεe 0 ~c regelt die
Stärke der Wechselwirkung.
Warum ist die Dysonreihe nur formal? Bereits der Versuch den Vakuumerwartungswert von S in der
Ordnung e20 zu berechnen, führt auf Ausdrücke des Typs
Z
d4 xd4 yηµ,ν ∆0F (x − y)Sp (SF (x − y)γ µ SF (y − x)γ ν ) .
V ×V
(Vakuumblase) Solche Distributionsprodukte (und viele weitere in der Störungsreihe versteckte) existieren
nicht, was sich im Divergieren der entsprechenden Impulsraumintegrationen niederschlägt. Der Grund
ist letztlich der, dass der freie Diracstrom J zu singulär ist, als dass er Zeitordnung erlauben würde.
Zeitordnung von operatorwertigen Distributionen verlangt die Bildung von distributionellen Produkten
des Typs Θ(x0 − y 0 )Jµ (x)Jν (y). Diese existieren zwar für freie Felder, aber nicht für deren normalgeordneten Monome (Wickmonome).
Die renormierte Störungsreihe von Bogoljubov, Parasiuk, Hepp, Zimmermann, Epstein und Glaser
besteht im Fall der QED in einem Algorithmus, endliche (”infrarot inklusive”) Wirkungsquerschnitte,
nicht jedoch Streumatrixelemente(!), zur Störungsreihe bis zu jeder endlichen Ordnung zu generieren.
Dass dies geht, ist erstaunlich und gibt die Möglichkeit diese Theorie, mit unglaublicher Präzision, zu
testen. Die renormierte Störungsreihe etabliert jedoch keinen Hamiltonoperator und auch keinen Streuoperator. Deshalb existiert bisher keine QED im Sinn konstruktiver Quantenfeldtheorie.4
1.4
Elastische Elektron - Positronstreuung
Als ein Beispiel zur perturbativen QED wird nun das uneigentliche (und auch undefinierte) Matrixelement
hidγ ⊗ (A(k01 , ε01 )∗ B(k02 , ε02 )∗ ) Ω, S (idγ ⊗ (A(k1 , ε1 )∗ B(k2 , ε2 )∗ )) Ωi
dadurch etwas konkretisiert, dass S durch die Partialsumme der Dysonreihe der Ordnung 2 ersetzt wird.
D.h. für S wird der formale Ausdruck
Z
2 Z
³
´
(ie0 )
(2)
4 b
µ
bµ (x) ⊗ J µ (x), A
bν (y) ⊗ J ν (y)
S := idH + ie0
d xAµ (x) ⊗ J (x) +
d4 xd4 yT A
2!
V
V ×V
3 Z.B. F Mandl, G Shaw, Quantum field theory, John Wiley, 1984; genaueres: F Strocchi, A S Wightman, Proof of the
charge superselection rule in local relativistic quantum field theory, Journ math Phys 15 (1974) 2198 - 2224 (Errata: JmP
17 (1976) 1930)
4 P J M Bongaarts, Mathematical aspects of field quantization. Quantum electrodynamics, Acta Physica Polonica B14
(1983) 347 - 385
4
¡
¢
gesetzt. Hier ist J µ (x) = Ψ (x) γ µ Ψ (x) N der Strom des freien Diracquantenfeldes und Ω = Ωγ ⊗ Ωf
mit kΩγ k = kΩf k = 1. Formal gilt
´
³
´
³
bµ (x) ⊗ J µ (x), A
bν (y) ⊗ J ν (y) = T A
bµ (x), A
bν (y) ⊗ T (J µ (x), J ν (y)) .
T A
Zum gesuchten Matrixelement trägt idH mit
hA(k01 , ε01 )∗ B(k02 , ε02 )∗ Ωf , A(k1 , ε1 )∗ B(k2 , ε2 )∗ Ωf i =
2ω(k1 )δ 3 (k01 − k1 ) δε01 ,ε1 2ω(k2 )δ 3 (k02 − k2 ) δε02 ,ε2
(5)
D
E
R
bµ (x) ⊗ J µ (x) trägt wegen Ωγ , A
bµ (x)Ωγ = 0 nicht bei. Der Summand
bei. Der Summand ie0 V d4 xA
2. Ordnung in e0 trägt mit
(ie0 )
2!
2
Z
V ×V
¡
¢
d4 xd4 y iηµ,ν ∆0F (x − y) hA(k01 , ε01 )∗ B(k02 , ε02 )∗ Ωf , T (J µ (x), J ν (y)) A(k1 , ε1 )∗ B(k2 , ε2 )∗ Ωf i
bei.
Zunächst berechnen wir als wohldefinierte Hilfsgröße die Distribution
J µ,ν (x, y) := hA(k01 , ε01 )∗ B(k02 , ε02 )∗ Ωf , J µ (x)J ν (y)A(k1 , ε1 )∗ B(k2 , ε2 )∗ Ωf i
für k01 6= k1 und k02 6= k2 . Der Strom besteht aus den Summanden
J µ (x) = PEµ (x) + PVµ (x) + Seµ (x) + Seµ (x),
dem Paarerzeuger, Paarvernichter, Elektronstreuer und Positronstreuer. J µ (x)J ν (y) enthält also 16
Summanden. Von diesen tragen nur 4 zum Matrixelement bei, nämlich
Seµ (x)Seν (y) + Seµ (x)Seν (y) + PEµ (x)PVν (y) + PVµ (x)PEν (y).
(6)
Die einzigen weiteren Terme, die weder die Zahl der Elektronen noch die der Positronen ändern, sind
Seµ (x)Seν (y) und Seµ (x)Seν (y). Ihr Beitrag verschwindet für k01 6= k1 und k02 6= k2 .5 Wegen Seµ (x)Seν (y) =
Seν (y)Seµ (x) kann das Matrixelement des zweiten Terms in (6) aus jenem des ersten Terms durch die
Vertauschung x ←→ y und µ ←→ ν gewonnen werden. Analog lässt sich der Beitrag des vierten Terms
aus jenem des dritten gewinnen. Das geht so. Beachte zunächst
PVµ (x)PEν (y) = PEν (y)PVµ (x) + [PVµ (x), PEν (y)] .
Der Kommutator [PVµ (x), PEν (y)] ist der Kommutator zweier Operatoren, die jeweils das Produkt zweier
fermionischer Erzeuger bzw. Vernichter sind. Der Kommutator ist somit eine Summe von Ausdrücken des
Typs ”fermionischer Antikommutator mal Erzeuger mal Vernichter”. Der Kommutator [PVµ (x), PEν (y)]
trägt somit zum Matrixelement für k01 6= k1 und k02 6= k2 nicht bei. Denn um den elektronischen und den
positronischen Impuls zu ändern, werden mindestens Produkte von 4 fermionischen Operatoren benötigt.
Die Berechnung der beiden zu berechnenden Matrixelemente ergibt mithilfe der Antikommutatorquantisierungsrelationen:
hA(k01 , ε01 )∗ B(k02 , ε02 )∗ Ωf , Seµ (x)Seν (y)A(k1 , ε1 )∗ B(k2 , ε2 )∗ Ωf i =
¡
¢
¢
¡
− Uk01 ,ε01 γ µ Uk1 ,ε1 (x) Vk2 ,ε2 γ ν Vk02 ,ε02 (y) ,
hA(k01 , ε01 )∗ B(k02 , ε02 )∗ Ωf , PEµ (x)PVν (y)A(k1 , ε1 )∗ B(k2 , ε2 )∗ Ωf i =
¢
¡
¢
¡
Uk01 ,ε01 γ µ Vk02 ,ε02 (x) Vk2 ,ε2 γ ν Uk1 ,ε1 (y) .
Dies zeigt, dass J µ,ν eine C ∞ -Funktion auf V × V ist. Es gilt
µ,ν
ν,µ
J µ,ν (x, y) = J+
(x, y) + J+
(y, x),
¡
¢
¡
¢
¢
¡
¢
¡
µ,ν
J+ (x, y) := Uk01 ,ε01 γ µ Vk02 ,ε02 (x) Vk2 ,ε2 γ ν Uk1 ,ε1 (y) − Uk01 ,ε01 γ µ Uk1 ,ε1 (x) Vk2 ,ε2 γ ν Vk02 ,ε02 (y) .
5 Zum uneingeschränkten Streumatrixelement 2. Ordnung würden diese Terme mit einer undefinierten Selbstenergieblase
beitragen.
5
Beachte: J µ,ν (x, y) = J ν,µ (y, x).6 Deshalb gilt für das zeitgeordnete Strommatrixelement für k01 6= k1
und k02 6= k2
JTµ,ν (x, y) := hA(k01 , ε01 )∗ B(k02 , ε02 )∗ Ωf , T (J µ (x), J ν (y)) A(k1 , ε1 )∗ B(k2 , ε2 )∗ Ωf i
= Θ(x0 − y 0 )J µ,ν (x, y) + Θ(x0 − y 0 )J ν,µ (y, x) = J µ,ν (x, y).
Es gilt
∂ µ,ν
∂ µ,ν
JT (x, y) =
J (x, y) = 0.
µ
∂x
∂y ν T
Wegen ∆0F (−x) = ∆0F (x) folgt nun
Z
2
(ie0 )
2!
V ×V
2
(ie0 )
=
2
2!
4
¡
¢
d4 xd4 y iηµ,ν ∆0F (x − y) JTµ,ν (x, y)
Z
V ×V
³
¡
¢ µ,ν
d4 xd4 y iηµ,ν ∆0F (x − y) J+
(x, y)
´
= ie20 (2π) δ 4 k̆1 + k̆2 − k̆10 − k̆20 lim
ε↓0
³
´
 u(10 )γ µ u(1)
 − (2π)3
ηµ,ν
2
k̆10 −k̆1 +iε
(
0
µ
0
)
 + u(1 )γ v(2
3
(2π)
)
ηµ,ν
2
(k̆1 +k̆2 )
v(2)γ ν v(20 )
+
(2π)3
v(2)γ ν u(1)
(2π)3
+iε



=: iδ 4 k̆1 + k̆2 − k̆10 − k̆20 T (k01 , ε01 , k02 , ε02 ; k1 , ε1 , k2 , ε2 ) .
Beachte:
µ,ν
1. Da ∆0F in ganz V von 0 verschieden ist, trägt J+
(x − y) auch für raumartige x − y zum Streumatrixelement bei.
2. Es gilt Gesamtenergie-Impulserhaltung. Die Größe iδ 4 T illustriert den folgenden Teil der hier
(unvollständig formulierten) Feynmanschen Graphenregeln.
–
,
,
u(1 )
v(2 )
γ
–
u(1)
v(2)
Fig 1: Impulsraum - Feynmangraph zur elastischen Elektron - Positronstreuung zum Beitrag
Seµ (x)Seν (y) + Seµ (x)Seν (y)
6 Der
Grund dafür ist
1
1
{J µ (x), J ν (y)} + [J µ (x), J ν (y)]
2
2
Der Strom-Stromkommutator enthält nur ΨΨ Produkte (Vgl. Übungsblatt 12), die zum gegenständlichen Matrixelement
nicht beitragen.
J µ (x)J ν (y) =
6
–
,
,
u(1 )
v(2 )
γ
–
u(1)
v(2)
Fig 2: Impulsraum - Feynmangraph zur elstischen Elektron - Positronstreuung zum Beitrag
PEµ (x)PVν (y) + PVµ (x)PEν (y)
Die Feynmanregeln im Stenogrammstil :
−3/2
• Auslaufende Teilchenlinie auswärts orientieren und (2π)
u, einlaufende Teilchen einwärtsorientieren
−3/2
−3/2
v, auslaufende Anund (2π)
u, einlaufende Antiteilchen auswärts orientieren und (2π)
−3/2
titeilchen einwärtsorientieren und (2π)
v
• Vertices: In jedem Vertex laufen 2 fermionische und eine photonische Linie zusammen und
4
e0 (2π) δ 4 (ein-auslaufende Wellenvektoren);
• innere Photonlinien:
iηµ,ν
2
(k̆1 +k̆2 )
−4
+iε
(2π)
• über innere Wellenzahlen integrieren
Für den elastischen, differentiellen Streuquerschnitt im Schwerpunktsystem (CMS) in der Ordnung
e20 von S gilt (ohne Beweis) unter Beachtung der in T enthaltenen Zustands”normierung” (5)
dσ ∗ 0 0 0
(k , ε , ε ← k1 , ε1 , ε2 ) =
dΩ 1 1 2
µ
π
4ω(k1 )
¶2
2
|T (k01 , ε01 , −k01 , ε02 ; k1 , ε1 , −k1 , ε2 )| .
Der spininklusive CMS-Querschnitt bei unpolarisiertem Streuzustand ist durch
dσ ∗ 0
1 X dσ 0 0 0
(k1 ← k1 ) =
(k , ε ε ← k1 , ε1 , ε2 )
dΩ
4 0
dΩ 1 1 2
ε1 ,..ε2
gegeben. Eine längere Rechnung (Spuren in C4×4 unter Ausnutzung von Diracrelationen analog zu
Übungsbaltt 10, Bsp 2) ergibt mit ω := ω (k1 ) und k01 k1 =: |k01 | |k1 | cos θ
¶
³ α ´2 µ 5
dσ ∗ 0
(k1 ← k1 ) =
− I1 + I2 + I3 ,
dΩ
2ω
4
4
8ω − κ4
¢
,
I1 := 2 ¡ 2
ω ω − κ2 (1 − cos θ)
Ã
!2
1
2ω 2 − κ2
¡ 2
¢
I2 :=
,
2
ω − κ2 (1 − cos θ)
¡
¢
2ω 4 2 cos θ − sin2 θ + 4ω 2 κ2 (1 − cos θ) (2 + cos θ) + 2κ2 cos2 θ
.
I3 :=
4
(2ω)
7
Die phänomenologisch gebräuchlichen, lorentzinvarianten kinematischen Parameter des Streuprozesses
sind die reellen Größen (s, t), für die
³
´2
s := ~2 c2 k̆1 + k̆2 = 2ω 2 ~2 c2 > 0,
³
´2
θ
2
t := ~2 c2 k̆10 − k̆1 = −~2 c2 4 |k1 | sin2 < 0.
2
Beide haben die Dimension einer Energie. Das Faktum, dass eine Funktion f : R>0 × R<0 → R existiert
∗
0
mit dσ
dΩ (k1 ← k1 ) =∗ f (s, t), ist eine Folge der Poincaréinvarianz der perturbativen QED.
0
Messdaten zu dσ
dΩ (k1 ← k1 ) sind zu finden in:
1. MARK J Collaboration, A Summary of Experimental Results from MARK J: High energy e + e−
collisions at PETRA, Phys Rep 109 (1984) 131
2. H U Martyn, Tests of QED by High Energy Electron - Positron Collisions, in T Kinoshita (Ed.),
Quantum Electrodynamics (Advanced Series on Directions in High Energy Physics) Vol 7, World
Scientific, Singapore, 1990
8