Lineare Algebra II Frühjahrsemester 2017 Serie 6 Prof. P. Habegger
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Lineare Algebra II
Serie 6
Frühjahrsemester 2017
Prof. P. Habegger
Aufgabe S1 (2 Punkte). Sei A ∈ Om (R), vervollständigen Sie den Beweis von
Lemma 7.12(iii). D.h. zeigen Sie, dass A−1 ∈ Om (R).
√
Aufgabe S2 (3 + 3 + 2 Punkte).
(i) Sei u = (1, 2, 3)/ 14. Finden Sie v, w ∈
R3 , so dass (u, v, w) ein orthonormales Tupel ist.
(ii) Hier bezeichnen
1
0
0
0 .
e1 =
und e3 =
0
1
Sei A ∈ SO3 (R) die Drehmatrix mit Drehachse e1 R und Drehwinkel
α = arccos 1/3 und B ∈ SO3 (R) die Drehmatrix mit Drehachse e3 R und
Drehwinkel α. Geben Sie A und B explizit an.
(iii) Zeigen Sie, dass SO3 (R) nicht kommutativ ist.
Aufgabe S3 (2 + 2 Punkte). Sei u ∈ Rm und V = {v ∈ Rm : hu, vi = 0}.
(i) Zeigen Sie, dass V ein Untervektorraum von Rm ist.
(ii) Zeigen Sie dim V = m − 1, falls u 6= 0.
Aufgabe E1 (2 + 2 Punkte).
(i) Zeigen Sie, dass SO2 (R) kommutativ ist.
(ii) Ist O2 (R) kommutativ? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe E2 (4 + 4 Punkte).
(i) Zeigen Sie direkt, dass jede Matrix A ∈
SO2 (R) als Element von Mat2 (C) diagonalisierbar ist. D.h. es existiert
T ∈ GL2 (C), so dass T AT −1 eine Diagonalmatrix ist.
(ii) Bestimmen Sie alle Matrizen A ∈ SO2 (R), so dass es T ∈ GL2 (R) mit
T AT −1 eine Diagonalmatrix.
Aufgabe E3 (4 Punkte). Sei K ein Körper und m ∈ N. Zeigen Sie, dass eine
nilpotente Matrix A ∈ Matm (K) genau dann diagonalisierbar ist, wenn A = 0.
Aufgabe F1. Seien A, B ∈ SO3 (R) wie in S2(ii). Zeigen Sie, dass A und B keine
nicht triviale multiplikative Relation erfüllen. D.h. für (a1 , . . . , am ), (b1 , . . . , bm ) ∈
Zm gilt Aam B bm · · · Aa2 B b2 Aa1 B b1 = E3 genau dann wenn a1 = · · · = am = b1 =
· · · = bm = 0.
Abgabe bis zum Montag, 24. April 2017 um 12.30 Uhr ins entsprechende
Fach an der Spiegelgasse 1.
Die Aufgaben S1, S2, . . . sind Teil des Standardprogramms und E1, E2, . . . gehören
zum Ergänzungsprogramm. Die Aufgaben F1, F2, . . . sind freiwillig.
