Institut für Physik Theoretische Physik

Institut für Physik
Theoretische Physik
Reinhard Alkofer/Markus Hopfer/Markus Pak
Graz, den 17.01.2014
Übungen zur Vorlesung “Quantenmechanik”
— Blatt 14 —
Aufgabe 35:
Betrachten Sie den Kern des Wasserstoffatoms als eine homogen geladene Kugel mit dem Radius
R. Im Inneren dieser Kugel (r < R) sei das Potential
r2
e2 1 3
−
V (r) = −
4π 2 R R3
wirksam, und im Außenraum (r > R) gelte
e2
.
4πr
Bestimmen Sie die Verschiebung der Grundzustandsenergie im Vergleich zum reinen Coulomb–
Potential in erster Ordnung Störungstheorie. Nehmen Sie hierzu R√= 1 fm an. (Die Grundzustandswellenfunktion ist gegeben durch ψnlm (~r) = ψ100 (~r) = e−r/a / πa3 , wobei a der Bohrsche
Atomradius ist.)
V (r) = −
Aufgabe 36:
Betrachten Sie ein Wasserstoffatom in einem homogenen elektrischen Feld (Stark–Effekt):
Ĥ = Ĥ0 − eEz,
Ĥ0 =
p2
αh̄c
−
.
2me
r
Das elektrische Feld soll hierbei eine kleine Störung sein. Berechnen Sie die Änderung der
Grundzustandsenergie des Elektrons in der niedrigsten nicht-verschwindenden Ordnung. Führen
Sie dazu folgende Schritte aus:
a. Zeigen Sie, dass für den Grundzustand |nlmi = |100i und den Operator
me a r
F = − 2 ( + a)z
h̄ 2
gilt: z|100i = [F, H0 ]|100i. (a ist hierbei der Bohrsche Atomradius.)
b. Zeigen Sie weiterhin:
X |h{k}|z|100i|2
= h100|zF |100i.
E1 − Ek
{k}6=100
{k} beschreibt hierbei die Energieeigenzustände von Ĥ0 , Ek die zugehörige Energie.
c. Die Änderung der Grundzustandsenergie des Elektrons läßt sich nun als ein einzelnes
Matrixelement schreiben. Berechnen Sie es.