Algebra II - Uni Bielefeld

Algebra II
Prof. Dr. M. Rost
Übungen — Blatt 13 (SS 2016)1
Abgabetermin: Freitag, 15. Juli
http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/a2
Erinnerungen an die Vorlesung:
Im Folgenden werden manchmal einige Definitionen und Bemerkungen aus der
Vorlesung zusammengefaßt. Man kann die meisten Dinge auch in Büchern oder
auf den auf der Homepage angegebenen Links nachlesen.
Anmerkungen und Hinweise sind ausdrücklich erwünscht (per Email oder in der
Vorlesung).
Die Clifford-Algebra II
Im Folgenden sei K ein Körper mit char K 6= 2 (wie immer, wenn es um quadratische Formen geht).
Es sei q eine quadratische Form und
p = q ⊥ ha, bi
mit a, b ∈ K × . Hat q die Dimension n, so hat p die Dimension n + 2 und es gilt
p(x1 , . . . , xn , y1, y2 ) = q(x1 , . . . , xn ) + ay12 + by22
Satz 1. Es gibt einen Isomorphismus von K-Algebren
C(q ⊥ ha, bi) ≃ C(−abq) ⊗ Q(a, b)
Beweis. Siehe Vorlesung. Man ersetzt die “üblichen” Erzeuger bezüglich einer
Diagonal-Basis, etwa
e1 , . . . , en , f1 , f2
durch
(f1 f2 )e1 , . . . , (f1 f2 )en , f1 , f2
Durch diesen Trick kommutieren die fi mit den neuen Erzeugern e′j = (f1 f2 )ej .
Die fi erzeugen die Quaternionen-Algebra. Die e′j haben die Relationen zur quadratischen Form −abq und erzeugen deren Clifford-Algebra.
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Fassung vom 12. Juli - 2. Korrektur von Aufgabe 2
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Ein Nachtrag:
Definition 2. Man sagt q ist regulär (auch: nicht-singulär ) falls det B 6= 0 für
eine darstellende Matrix.
Eine Diagonalform
q = ha1 , . . . , an i
ist regulär wenn
det(q) = a1 · · · an 6= 0
also wenn alle ai von Null verschieden sind.
Korollar 3. Es sei q eine reguläre quadratische Form und n = dim q.
(1) Ist n = 2k gerade, so ist C(q) ein Tensorprodukt von k Quaternionen
algebren:
C(q) ≃ Q1 ⊗ · · · ⊗ Qk
(2) Ist n = 2k+1 ungerade, so ist C(q) ein Tensorprodukt von k Quaternionen
algebren und einer quadratischen Algebra L:
C(q) ≃ Q1 ⊗ · · · ⊗ Qk ⊗ L
Dabei ist
L = K[t]/(t2 − d)
wobei
d = (−1)k det(q)
Beweis. Siehe Vorlesung. Man diagonalisiert q:
q = ha1 , . . . , an i
und spaltet sukzessive jeweils 2 Elemente ab. Nach Satz 1 ergibt sich dabei jeweils
eine Quaternionen-Algebra.
Ist n gerade, so ist man fertig. Ist n = 2k + 1 ungerade, so bleibt ein Erzeuger
übrig, nämlich
δ = (e1 e2 ) · · · (e2k−1 e2k )e2k+1
Dessen Quadrat ist
δ 2 = (e1 e2 )2 · · · (e2k−1 e2k )2 e22k+1
= (−a1 a2 ) · · · (−a2k−1 a2k )a2k+1
= (−1)k det(q)
Korollar 4. Ist q eine reguläre quadratische Form über C (davon gibt es bis auf
Isomorphie nur eine), so gilt
(
M2k (C)
n = 2k
C(q) =
M2k (C) × M2k (C) n = 2k + 1
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Der Satz gilt allgemein für jeden Körper, der quadratisch abgeschlossen ist (jedes
Element ist ein Quadrat), insbesondere für jeden algebraisch abgeschlossenen
Körper.
Beweis. Über einem quadratisch abgeschlossenen Körper ist jede QuaternionenAlgebra isomorph zu M2 (K) ist (wegen Q(a2 , b) ≃ M2 (K)). Nun benutzt man
M2 (K)⊗k ≃ M2k (K)
Außerdem ist (−1)k det(q) ein Quadrat, also
L ≃ K[t]/(t2 − u2) = K[t]/(t − u)(t + u) = K × K
nach dem chinesichen Restsatz. Ferner gilt
Mr (K) ⊗K (K × K) = Mr (K × K) = Mr (K) × Mr (K)
Die gerade Clifford-Algebra
Siehe Vorlesung. Die Tensoralgebra T V zerfällt in ihren geraden Teil
∞
M
V ⊗2k
Teven V =
k=0
und ihren ungeraden Teil
Todd V =
∞
M
V ⊗2k+1
k=0
Dabei ist Teven V eine Unteralgebra und Todd V ist ein Teven V -Bimodul (=gleichzeitig ein Rechts-Modul und Links-Modul, so daß beide Multiplikationen kommutieren: a(xb) = (ax).)
Die Zerlegung
T V = Teven V ⊕ Todd V
vererbt sich auf den Quotienten C(q) von T V und man erhält die Zerlegung
C(q) = C0 (q) ⊕ C1 (q)
Dabei ist C0 (q) die Unteralgebra von C(q), die von zweifachen Produkten vw
erzeugt wird. Er wird als K-Vektorraum erzeugt von Produkten v1 · · · v2r gerader
Länge.
Der Unterraum C1 (q) ist ein C0 (q)-Bimodul. Er wird als K-Vektorraum erzeugt
von Produkten v1 · · · v2r+1 ungerader Länge.
Die Algebra C0 (q) heißt die gerade Clifford-Algebra von q. Der Unterraum C1 (q)
heißt der ungerade Teil von C(q).
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Lemma 5. Es sei q eine quadratische Form und a ∈ K × . Dann gilt
C0 (q ⊥ hai) ≃ C(−aq)
Beweis. Man betrachte wieder eine Diagonal-Basis, etwa
e1 , . . . , en , f
mit f 2 = a. Dann wird die gerade Clifford-Algebra erzeugt von
f e1 , . . . , f en
e′i
Die = f ei erfüllen dann die Relationen zur quadratischen Form −aq: Denn sie
anti-kommutieren paarweise und es gilt
(e′i )2 = (f ei )2 = −f 2 e2i = −ae2i
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Aufgabe 1. Es sei
q: V → K
eine quadratische Form mit dim V = 3.
Man zeige, daß es eine K-lineare Abbildung
f : Λ3 V → C(q)
gibt mit
f (u ∧ v ∧ w) = uvw − wvu
Für
q = ha, b, ci
bestimme man
f (e1 ∧ e2 ∧ e3 )2
Anmerkung. Wegen dim Λ3 V = 1 ist f (u∧v ∧w) bis auf Multiplikation mit einem
Skalar unabhängig von u, v, w.
Aufgabe 2. Es sei
Man bestimme das Polynom


2a1 b12 b13
B =  b12 2a2 b23 
b13 b23 2a3
P ∈ Z[a1 , a2 , a3 , b12 , b13 , b23 ]
mit
det(B) = 2P
Anmerkung. Dies ist die korrigierte Fassung der Aufgabe, wie in der Vorlesung
besprochen.
Die Matrix B ist die symmetrische Matrix Bq zur allgemeinen quadratischen
Form
q(x1 , x2 , x3 ) = a1 x21 + a2 x22 + a3 x33 + b12 x1 x2 + b13 x1 x3 + b23 x2 x3
also mit
xt By = q(x + y) − q(x) − q(z)
Allgemein gilt: Ist dim q ungerade, so gilt
det(Bq ) ≡ 0
mod 2
(siehe Vorlesung). Diese Aufgabe soll den Fall dim q = 3 explizit behandeln.
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Anmerkung. Wenn man die Konstruktion der Clifford-Algebra geeignet auf beliebige Grund-Ringe erweitert, kann man mittels der Abbildung f aus Aufgabe 1
das Polynom P koordinaten-frei definieren.
Wer will, kann das übungshalber nachrechnen :
f (e1 ∧ e2 ∧ e3 )2 = P
für
q(x1 , x2 , x3 ) = a1 x21 + a2 x22 + a3 x33 + b12 x1 x2 + b13 x1 x3 + b23 x2 x3
Aufgabe 3. Es sei K = R und q eine reguläre quadratische Form der geraden
Dimension n = 2k. Wir wissen aus der Vorlesung (siehe Satz 1), daß die CliffordAlgebra eine Azumaya-Algebra ist, die ähnlich zu einer Matrizen-Algebra oder
zu den Hamilton-Quaternionen H ist. Welcher Fall tritt für
q = h1, . . . , 1i ⊥ h−1, . . . , −1i
| {z } |
{z
}
r−mal
ein?
(2k−r)−mal
Aufgabe 4. Es sei q eine reguläre quadratische Form. Man bestimme das Zentrum von C(q) und C0 (q).
Hinweis. Die Antwort hängt davon ab, ob dim q gerade oder ungerade ist. Lemma 5 vereinfacht die Aufgabe. Probieren Sie erst einmal die Fälle dim(q) ≤ 3.