Frequently Made Errors 8. Übung zur Vorlesung Lineare Algebra I

Frequently Made Errors
8. Übung zur Vorlesung Lineare Algebra I
Sebastian Thomas
21.12.2005
Oft gemachte Fehler und Tipps zu den schriftlichen Aufgaben:
• Wenn man ein mathematisches Objekt durch andere über eine Gleichung definieren möchte, so ist der
Doppelpunkt auf der Seite des zu definierenden Objektes anzubringen.
• Gibt man ein Tupel mit Pünktchen „. . .“ an, so sollte für den Leser eindeutig sein, wie dieses Tupel aussieht
bzw. wie es mathematisch definiert ist. Die Definition eines n-Tupels (a, . . . , c) macht zum Beispiel keinen
Sinn, denn es wird durch die Notation nicht angegeben, wie viele Einträge dieses Tupel haben soll bzw.
man hat keine Möglichkeit, auf einen beliebigen Eintrag eines solchen Tupels zuzugreifen. Im Allgemeinen
empfiehlt es sich daher, die Einträge durch eine Indexmenge zu kennzeichnen, im einfachsten Fall einfach
durch Nummerierung (a1 , . . . , an ) für ein Tupel mit n ∈ N Einträgen.
• Mathematische Objekte sind statisch, sie stehen von Beginn ihrer Definition fest. Im Gegensatz zur algorithmischen Sprache eines Computerprogramms ist es also nicht möglich, einer Menge neue Elemente
hinzuzufügen bzw. zu entnehmen, durch diese Operationen entstehen stets neue Mengen, die dann auch
anders bezeichnet werden sollten.
• Die Negation von „U + W = V und U ∩ W = {0}“ für Untervektorräume U, W ≤ V ist nicht „U + W 6= V “,
sondern „U + W 6= V oder U ∩ W 6= {0}“ (Regeln von de Morgan).
• Das Gaußverfahren ist im Allgemeinen nicht ohne Zeilenvertauschungen durchführbar - so etwa wenn die
erste Zeile der umzuformenden Matrix eine 0 als ersten Eintrag hat, aber nicht die komplette erste Spalte
gleich 0 ist. Dies liegt daran, dass das Gaußverfahren stets mit einer Matrix in Zeilenstufenform endet. Um
von der Basis des Zeilenraums, welche man nach Durchführen des Gauß-Algorithmus durch „Streichen“
der Nullzeilen erhält, auf eine Basis zurückzuschließen, welche eine Teilmenge der ursprünglichen Zeilen
der Ausgangsmatrix ist, muss man sich vielmehr die Vertauschungen „merken“.
• Man sollte darauf achten, dass die Eigenschaft einer Teilmenge eines Vektorraums, linear unabhängig zu
sein, von der Gesamtheit aller Vektoren der Teilmenge abhängt, und nicht von den einzelnen Vektoren oder
von Paaren von Vektoren. So sind etwa in der Menge M = {( 10 ) , ( 01 ) , ( 11 )} ⊆ R2 alle zweielementigen
Teilmengen linear unabhängig, während M selbst linear unabhängig ist. Dies begründet auch, warum
es algorithmisch nicht möglich ist, eine Basis aus einer linear abhängigen Menge dadurch zu erhalten,
indem man alle Elemente, die sich als Linearkombinationen der anderen darstellen lassen, herausnimmt.
In obigem Beispiel lässt sich zum Beispiel jeder Vektor als Linearkombination der anderen darstellen, aber
die leere Menge ∅ ist natürlich nicht Basis von R2 .
• Eine Basis eines Vektorraums ist in der Regel nicht eindeutig bestimmt, es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, Basen zu bilden. Daher ist es nicht richtig, von „der“ Basis eines Vektorraums zu reden. Man
kann außerdem beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt (für endlich erzeugte Vektorräume
wurde dies bereits in der Vorlesung gemacht), d.h. es gibt umgekehrt keinen Vektorraum ohne Basis.
Insbesondere hat der Nullraum {0} eine Basis, nämlich die leere Menge ∅ bzw. das leere Tupel ( ) (wenn
man geordnete Basen betrachtet).
• Sind U und V Untervektorräume eines gegebenen Vektorraums V , so ist im Allgemeinen U + W 6= U ∪ W .
Ist außerdem {v1 , . . . , vl } eine Basis von U ∩W und {u1 , . . . , uk } eine Basis von U , so folgt aus der Aussage
U ∩ W ≤ U im Allgemeinen nicht {v1 , . . . , vl } ⊆ {u1 , . . . , uk }.
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• Gibt man bei dem Beweis einer Äquivalenz die Richtung mittels Pfeilen „⇒“ bzw. „⇐“, so sollte man
darauf achten, dass die Richtung des Pfeils stimmt. Besser ist es sogar noch, den Beweis einer Aussage „es
gilt A genau dann, wenn B gilt“ wie folgt zu führen:
„Es gelte zunächst A. Dann . . . Beweisschritte . . . also erhalten wir B.
Nun gelte umgekehrt B. . . . Beweisschritte . . . und wir bekommen daher A.“
So wird stets gewährleistet, dass der Leser eindeutig versteht, was gerade vorausgesetzt wird und was der
Autor gerade beweisen möchte.
• Die Ausdrücke „die Vektoren . . . sind linear unabhängig voneinander“ oder „die Vektoren . . . sind linear
unabhängig von . . . “ sollte man vermeiden. Sie sind nach Definition auch strenggenommen nicht korrekt,
da „linear (un)abhängig“ Eigenschaften von Tupeln bzw. Mengen von Vektoren sind. Überhaupt sollte man,
zumindest in der Vorlesung „Lineare Algebra“, streng auch mit Klammern umgehen: Es können {v1 , . . . , vn }
und (v1 , . . . , vn ) linear unabhängig sein (dies sind mathematisch gesehen auch einzelne Objekte), aber
nicht n Vektoren v1 , . . . , vn , auch wenn man dies umgangssprachlich gerne so sagt. Außerdem sollte man
darauf achten, die Begriffe der Vorlesung zu benutzen; z.B. heißt eine Menge M ⊆ V mit hM i = V ein
„Erzeugendensystem“ von V und kein „erzeugendes System“.
• Es ist wichtig, in einem handschriftlich geschriebenen (mathematischen) Text sauber zu schreiben, insbesondere bei mathematischen Zeichen. So besteht z.B. Verwechslungsgefahr bei den Zeichen „⊆“ (Teilmenge)
und „≤“ (Untervektorraum, Untergruppe, . . . ), welche ja völlig verschiedenen (strukturellen) Aussagen
entsprechen.
• Bei Folgen oder Tupeln macht es keinen Sinn, von Elementen zu sprechen, insbesondere ist die Notation
v ∈ (v1 , . . . , vn ) nicht korrekt. Man sollte vielmehr von Einträgen reden und die Definition eines solchen
Elementes umschreiben (wenn sie überhaupt notwendig ist, meistens reicht es, von einem vi zu sprechen),
etwa durch „sei v = vi für ein i ∈ {1, . . . , n}“.
• Es gibt drei Wörter, die jeder Mathematiker richtig schreiben können sollte: „Voraussetzung“ mit einem r,
„Widerspruch“ nicht mit ie und „symmetrisch“ mit doppeltem m.
• Im Allgemeinen ist es zum jetzigen Standpunkt der Vorlesung nicht mehr notwendig, jeden einzelnen
Zwischenschritt etwa bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems anzugeben, da dieses Thema nun
schon länger als abgehandelt und damit als „verstanden“ gilt (dies soll nicht heißen, dass es jetzt nicht
mehr wichtig ist, sondern nur, dass es jetzt kein zentrales Thema mehr ist, und es stattdessen „nur“
noch auf dessen Anwendung ankommt). Die Beweisführung wird durch Auslassen solcher Zwischenschritte
einfacher, schöner und auch übersichtlicher. Ist die Argumentation eines Beweises, in dem die Lösung eines
solchen Gleichungssystems vorkommt, jedoch unvollständig, so ist es leichter, dem/der Betreffenden noch
Teilpunkte zu geben, da man so wenigstens nachvollziehen kann, dass der/die Betreffende wenigstens einen
Teil verstanden hat und richtig aufschreiben konnte. Meine Empfehlung: Solange man sich unsicher ist,
auch solche „überflüssigen“ Details/Rechnungen mit aufschreiben.
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