11.3 - Fachbereich Mathematik und Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Wintersemester 2013/2014
Markus Schweighofer
Lineare Algebra I
§11.3 Diagonalisierung symmetrischer und hermitescher
Matrizen
Definition 11.3.1. Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt und f ∈ End(V ). Dann
heißt f selbstadjungiert (auch symmetrisch oder hermitesch, ersteres vorwiegend im Fall
K = R und letzteres vorwiegend im K = C), wenn
hf (v), wi = hv, f (w)i
für alle v, w ∈ V .
Beispiel 11.3.2. Die orthogonale Projektion PU ∈ End(V ) auf einen endlichdimensionalen
Unterraum U eines Vektorraums mit Skalarprodukt V [→11.2.16] ist selbstadjungiert. In
der Tat: Wegen V = U + U ⊥ [→8.2.1] reicht es zu beobachten, dass für alle u1 , u2 ∈ U
und v1 , v2 ∈ U ⊥ gilt hPU (u1 +v1 ), u2 +v2 i = hu1 , u2 +v2 i = hu1 , u2 i und hu1 +v1 , PU (u2 +
v2 )i = hu1 + v1 , u2 i = hu1 , u2 i.
Definition 11.3.3. Eine Matrix A ∈ Kn×n heißt selbstadjungiert (im Fall K = R auch
symmetrisch, im Fall K = C auch hermitesch), wenn fA ∈ End(Kn ) selbstadjungiert ist.
Satz 11.3.4. Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt und ONB v = (v1 , . . . , vn ). Sei
f ∈ End(V ). Dann gilt: f selbstadjungiert ⇐⇒ M (f, v) selbstadjungiert.
Beweis. Es gilt f = vecv ◦fM (f,v) ◦ coordv [→7.1.1] und daher f ◦ vecv = vecv ◦fM (f,v) .
Da v eine ONB ist, ist vecv nach 11.2.24 ein Isomorphismus von Vektorräumen mit
Skalarprodukt. Es gilt daher
f selbstadjungiert
⇐⇒ ∀v, w ∈ V : hf (v), wi = hv, f (w)i
⇐⇒ ∀x, y ∈ Kn : hf (vecv (x)), vecv (y)i = hvecv (x), f (vecv (y))i
⇐⇒ ∀x, y ∈ Kn : hvecv (M (f, v)x), vecv (y)i = hvecv (x), vecv (M (f, v)y)i
⇐⇒ ∀x, y ∈ Kn : hM (f, v)x, yi = hx, M (f, v)yi
⇐⇒ M (f, v) selbstadjungiert
Proposition 11.3.5. Seien K ein kommutativer Ring, m, n, r ∈ N0 , A ∈ K m×n und
B ∈ K n×r . Dann gilt:
(a) (AB)T = B T AT
(b) (AB)∗ = B ∗ A∗ falls K = K
1
Beweis. (a) Schreibt man A = (aij )1≤i≤m,1≤j≤n , B = (bjk )1≤j≤n,1≤k≤r , so gilt




n
n
X
X
7.2.1
7.2.1
(AB)T = 
aij bjk 
=
bjk aij 
= B T AT .
9.1.21
j=1
(b) Ist K = K, so gilt


n
X
7.2.1
(AB)∗ =  (aij bjk )∗ 
9.1.21
j=1
9.1.21
j=1
1≤k≤r,1≤i≤m
1≤k≤r,1≤i≤m


n
X
4.2.7 
=
b∗jk a∗ij 
j=1
1≤k≤r,1≤i≤m
7.2.1
= B ∗ A∗ .
9.1.21
1≤k≤r,1≤i≤m
Lemma 11.3.6. Sei A ∈ Kn×n und x, y ∈ Kn . Dann gilt hA∗ x, yi = hx, Ayi.
Beweis. hA∗ x, yi
11.1.3(a)
=
11.3.5
(A∗ x)∗ y = x∗ (A∗ )∗ y = x∗ Ay
11.1.3(a)
=
hx, Ayi
Proposition 11.3.7. Für A ∈ Kn×n gilt
A selbstadjungiert ⇐⇒ A∗ = A.
Beweis.
A selbstadjungiert
11.3.3
11.3.1
⇐⇒
∀x, y ∈ Kn : hAx, yi = hx, Ayi
11.3.6
⇐⇒
∀x, y ∈ Kn : hAx, yi = hA∗ x, yi
⇐⇒
A = A∗
Lemma 11.3.8. Sei A ∈ Kn×n selbstadjungiert und λ ∈ C mit χA (λ) = 0. Dann gilt
λ ∈ R.
Beweis. Wir können K = C annehmen. Dann ist λ ein Eigenwert von A [→10.1.2, 10.1.3(e)],
das heißt es gibt x ∈ Cn \ {0} mit Ax = λx. Es folgt
λhx, xi
11.1.1(4)
=
11.3.3
hx, λxi = hx, Axi = hAx, xi
11.3.1
11.1.1(2)
=
hλx, xi = λ∗ hx, xi
und daher λ = λ∗ nach 11.1.1(6).
Satz 11.3.9. 1 Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt und f
ein selbstadjungierter Endomorphismus von V . Dann gibt es eine ONB von V , die aus
Eigenvektoren von f zu reellen Eigenwerten besteht. Insbesondere ist f diagonalisierbar
[→10.3.3(b)].
1
Im Beweis dieses Satzes benutzen wir den Fundamentalsatz der Algebra 4.2.12 [→4.2.13(g)].
2
Beweis. Induktion nach n := dim V .
n = 0 nichts zu zeigen
n − 1 → n (n ∈ N) Wir zeigen zunächst mit Hilfe von 10.1.7, dass f einen reellen Eigenwert λ besitzt: Wählt man nämlich eine ONB w von V [→11.2.15] und setzt A :=
M (f, w), so ist A nach 11.3.4 selbstadjungiert und daher jedes λ ∈ C mit χA (λ) = 0
nach Lemma 11.3.8 sogar aus R. Nun gilt aber χf = χA [→10.1.5, 10.1.9(e)] und es gibt
10.1.6
ein solches λ wegen deg χf = n ≥ 1 nach dem Fundamentalsatz der Algebra 4.2.12.
Wir wählen nun einen Eigenvektor u ∈ V zu diesem Eigenwert λ ∈ R. Setze U :=
span(u). Da f selbstadjungiert ist, gilt f (U ⊥ ) ⊆ U ⊥ , denn ist v ∈ U ⊥ , so gilt hf (v), ui =
hv, f (u)i = λhv, ui = 0. Nun ist f |U ⊥ : U ⊥ → U ⊥ , v 7→ f (v) ein selbstadjungierter Endomorphismus des Vektorraums mit Skalarprodukt U ⊥ . Es gilt 1 + dim(U ⊥ ) =
11.2.17
dim(U ) + dim(U ⊥ ) = dim(V ) = n, also dim(U ⊥ ) = n − 1. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine ONB (v2 , . . . , vn ) von U ⊥ , die aus Eigenvektoren von f zu reellen
u
Eigenwerten besteht. Setzt man v1 := kuk
, so erhält man eine ONB (v1 , . . . , vn ) von V ,
die aus Eigenvektoren von f zu reellen Eigenwerten besteht.
Korollar 11.3.10. 2 Sei A ∈ Kn×n selbstadjungiert. Dann gibt es eine reelle Diagonalmatrix D ∈ Rn×n und eine orthogonale Matrix P ∈ Kn×n mit A = P ∗ DP . Insbesondere
ist A diagonalisierbar.
Beweis. Wähle mit Satz 11.3.9 eine ONB v von Kn , die aus Eigenvektoren von A zu reellen Eigenwerten besteht. Nach Satz 11.2.26 ist P := M (e, v) [→7.1.10] dann orthogonal
und daher
11.2.27(f ) −1 7.2.11
P∗
=
P
= M (v, e).
Also
A
7.1.4(e)
=
7.2.5
M (fA , e) = M (v, e)M (fA , v)M (e, v) = P ∗ DP,
wobei D := M (fA , v) eine reelle Diagonalmatrix ist.
2
Im Beweis dieses Korollars benutzen wir den Fundamentalsatz der Algebra 4.2.12 [→4.2.13(g)].
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