SS14 Physik A/B1 SS 2017 - e2.physik.tu
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Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Inhalt der Vorlesung – Teil 2 3. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik Einleitung Elektrostatik Elektrischer Strom Magnetostatik Zeitlich veränderliche Felder - Elektrodynamik Wechselstromnetzwerke Die Maxwell‘schen Gleichungen Elektromagnetische Wellen & Strahlung 4. Optik Licht als elektromagnetische Welle Geometrische Optik Optische Abbildungen Wellenoptik 1 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Der Stand der Physik am Beginn des 20. Jahrhunderts Klassische Mechanik Relativitäts? theorie Newton-Axiome Elektrodynamik Maxwell-Gleichungen Thermodynamik Quantentheorie Hauptsätze der Therm. 2 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Ladungen & Elektrostatische Felder Wenn man einen Plastikstab mit einem Katzenfell reibt, lädt er sich elektrisch auf. Er zieht dann beispielsweise kleine Papierstücke an. Berührt man mit dem Stab einen Metallkörper, dann fließen die Ladungen vom Stab in das Metall ab und laden es auf (Elektrometer). Diesen Vorgang kann man wiederholen und dadurch die Ladungen vermehren. Ladungen Plastikstab - - - - Elektrometer Katzenfell 3 Physik A/B1 SS 2017 SS14 SS13 PHYSIK B2 Anwendungen“ „Medizinische Der „elektrische Kuß“ 4 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die elektrische Ladung Versuch 1: Positive und negative Ladungen Ladungen üben anziehende oder abstoßende Kräfte aufeinander aus. –+ Anziehung ungleicher Ladungen ++ Abstoßung gleicher Ladungen 5 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Versuch 2: Hochpannungserzeugung mit dem Bandgenerator nach van de Graaff (ohne Kugel) isolierte Kugel Gummiband Motor Ladungen können wie auf einem Förderband transportiert werden ! 6 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 7 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 8 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die elektische Ladung kann transportiert bzw. übertragen werden. Die Ladung q hat also eine „Mengeneigenschaft“. Ihre SI-Einheit ist: [q ] 1 C 1 Coulomb 1 A s Kräfte zwischen Ladungen: Die Coulomb-Kraft Zwischen den Ladungen wirken Kräfte, die von der Größe der Ladungen und ihrem Abstand abhängen. Die Kraft, die zwei punktförmige Ladungen q1 und q2 aufeinander ausüben, soll nun genauer betrachtet werden. F F q1 r r2 r1 r1 q2 r2 9 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Charles Auguste de Coulomb 1785/1786 10 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 F F q1 r r2 r1 r̂ r1 q1 q2 0 : anziehend q2 r2 Die elektrische Kraft zwischen zwei geladenen Teilchen wird durch das Coulomb‘sche Gesetz beschrieben: q1q2 F k 2 rˆ r Diese Kraft kann anziehend oder abstoßend sein, je nach Art der Ladung: q1 q2 0 : abstoßend Maßsysteme: 1. Internationales System: SI 2 Nm 1 k 8.988 109 2 C 40 2. Gauß‘sches Maßsystem: k=1 In der Vorlesung wird immer das SI-System verwendet, also: 1 q1q2 r F 2 4 0 r r 11 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Bemerkungen: (1) 0 ist die Dielektrizitätskonstante des Vakuums. Sie wird auch als elektrische Feldkonstante bezeichnet. Ihr Wert ist : 12 A s 0 8.854188 10 Vm (2) In Materie muß die Formel für die Coulomb - Kraft zweier Ladungen abgeändert werden. Mit der Dielektrizitätskonstante des Mediums gilt : 1 q1q2 r d.h. 0 muß durch das Produkt 0 ersetzt werden. F 2 4 0 r r Beispielsweise ist für Wasser 81. (3) Die Coulomb-Kraft ist eine sog. „Zweikörperkraft“. Sie kann durch den Austausch „virtueller Teilchen“ (virtueller Photonen) verstanden werden ( Quantenelektrodynamik). 12 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Zweikörper- vs. Dreikörperkraft 13 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 (4) Die Gravitationskraft zwischen zwei Beispiel: Stärke der Coulomb-Kraft Massen hatte dieselbe Form wie das verglichen mit der Gravitation: q , m 1 1 Coulomb‘sche Gesetz. Es war: m1 F12 F21 F12 r̂ r r2 r1 r2 r1 q2,m2 m2 Im Gegensatz zur Coulomb-Kraft ist diese Kraft immer anziehend. m1m2 r F12 2 rˆ mit rˆ r r r 1 q1q2 FC 4 0 r 2 q1 q2 m1m2 FG 4 0 m1m2 2 r Für ein Elektron mit der Ladung q1= –1.6·10-19C, das sich um ein Proton mit der Ladung q2 = +1.6·10-19C bewegt, ergibt sich: FC FG 10 40 Die Coulomb-Kraft ist in der Regel viel stärker als die Gravitation. 14 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das elektrische Feld Das elektrische Feld E (r ) ist durch seine Kraftwirkung auf eine („Probe“) Ladung q definiert. Es gilt: F (r ) q E (r ) Beispiel: Elektrisches Feld einer Punktladung Q. F (r ) Q r E (r ) ? q Für die Coulomb-Kraft gilt: F (r ) 1 qQ r 4 0 r 2 r Dies läßt sich anders schreiben: 1 Qr 4 0 r 2 r q E (r ) Damit ist das elektrische Feld einer Punktladung Q: F (r ) q E (r ) 1 Qr 4 0 r 2 r Für eine positive Ladung zeigt der Feldvektor radial nach außen, bei einer negativen Ladung radial nach innen. 15 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 16 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das Elektrische Feld kann mit „Probeladungen“ ausgemessen werden. In jedem Punkt im Raum wird der Quotient aus der Probeladung und der wirkenden Kraft bestimmt „Feldlinien“ 17 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Versuch 3: Elektrische Felder + _ Ladungen mit ungleichem Vorzeichen + + Ladungen mit gleichem Vorzeichen 18 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 19 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das Superpositionsprinzip P E (r ) r r2 r3 q1 Q Eine einzelne Ladung Q erzeugt im Abstand r das elektrische Feld: E (r ) r1 1 Qr 2 4 0 r r Wie groß ist das Feld in einem Punkt P, wenn mehrere Ladungen in der Nähe sind ? Das Feld bei der Ladung q am Punkt P ist EP q 1 4 0 n i 1 q2 qi ri 2 r ri i und die Kraft auf q : q3 F q EP Das resultierende Feld und die Kraft lassen sich durch eine Überlagerung der Einzelfelder bestimmen. 20 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Arbeit im elektrischen Feld: Die elektrische Spannung E (r ) q d r q F (r ) q E (r ) r1 r2 0 Eine Ladung q befindet sich in einem elektri E (r ) und schen Feld soll von r1 nach r2 verschoben werden. Dafür ist die Arbeit W F ( r ) dr r2 r1 r2 q E (r ) dr r1 notwendig. Das ist wieder ein Wegintegral. 21 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 E (r ) Der Ausdruck r2 E(r ) dr U2 U1 r1 dr q r1 r2 0 wird als Potentialdifferenz oder elektrische q U2 Spannung U zwischen r1 den beiden Punkten und r2 bezeichnet. Die SI-Einheiten der U1 Spannung und des elektrischen Feldes sind: [U] = 1V = 1 Volt Die Linien konstanten N V Potentials stehen senk[ E] 1 1 recht auf den Feldlinien. C m 22 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Für die Arbeit W im elektrostatischen Beispiel 1: Potential einer Punktladung. Feld gilt also: Das elektrische Feld einer Punktladung r2 Q ist 1 Qr E (r ) W q E(r ) dr q U2 U1 2 4 r r 0 mit: r1 x r Sie ist vom Weg zwischen 1 und r2 r y und r x 2 y 2 z 2 unabhängig. Daher ist das elektroz statische Feld ein konservatives Kraftfeld. Umgekehrt kann man Beispielsweise ergibt sich damit als damit das elektrische Feld als Bestimmungsgleichung für U : Gradient eines Skalarfeldes U U (r ) darstellen, d.h. als Gradient der E x (r ) x Spannung U: U x Q x U (r ) U 32 2 2 2 x 4 0 x y z E (r ) U (r ) y U z 23 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Entsprechende Gleichungen ergeben Man hätte auch so vorgehen können: sich für die y- und z-Komponenten. Die Arbeit W, um eine Probeladung q Als Lösung folgt sofort für das von r1 nach r2 zu verschieben ist: Potential U einer Punktladung: r2 U (r ) 1 Q 4 0 r U 0 W q E(r ) dr r1 1 Qr q dr 2 4 r r 0 r1 r2 Weg radial von r1 nach r2 . r2 r2 1 Q 1 dr q q 2 4 0 r1 r 4 0 r r1 Q 1 Q 1 Q q 4 0 r2 4 0 r1 24 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Wegen W q U2 U1 folgt jetzt sofort: 1 Q U(r ) 4 0 r Eine Spannung (Potentialdifferenz) besteht immer zwischen zwei Punkten. Im Fall der obigen Formel für U(r) liegt der eine „Punkt“ im Unendlichen, denn es ist: U(r) 0 für r In der Graphik liest man also die folgenden Potentialdifferenzen zwischen den Punkten A, B und C ab: Q 1 1 UAB U(r2 ) U(r1) 4 0 r2 r1 UBC U(r2 ) U(r2 ) 0 UAC U(r2 ) U(r1) UAB UCA U(r1) U(r2 ) UAC 25 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Ladungsquantisierung: Der Millikan-Versuch (1913) U _ _ _ E q Fe + m + _ _ Fg + + + Röntgenröhre Alle Messungen liefern nur diskrete Ladungsmengen, also q ne n ganze Zahl mit der „Elementarladung“ e 1.602189 10 19 C • Es gibt positive (+e) und negative (–e) Elementarladungen. Das Vorzeichen der Ladung ist so definiert, dass das Elektron die Ladung q = –e erhält. • Es gibt Teilchen, die „Quarks“, mit Ladungen 1/3 e und 2/3 e. Diese Teilchen kommen aber nie ungebunden vor. Elementarteilchenphysik 26 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 27 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Originalaufbau von Millikan (1913) Experimentelles Ergebnis des Millikan-Versuches: N 0 q 28 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Ladungserhaltung In einem abgeschlossenen System gilt der Satz von der Erhaltung der Gesamtladung: N q i 1 q=0 q=0 Beispiel 1: Die Paarerzeugung i const. Werden aus einem hochenergetischen -Quant Elektronen erzeugt, dann treten sie immer paarweise mit entgegengesetzten Ladungen auf. Natürlich müssen bei einem solchen Vorgang auch der Energieerhaltungs- und der Impulserhaltungssatz sowie noch weitere Erhaltungssätze ( Elementarteilchenphysik) erfüllt sein. 29 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 eq = -e p+ q = +e n q=0 Beispiel 2: Der Neutronenzerfall Beim Zerfall des Neutrons (keine Ladung) entstehen ein positiv geladenes Proton, ein negativ gelatenes Elektron und ein neutrales (Anti-) Neutrino. e q=0 qges, vorher 0 q i , nachher qProton qElektron qNeutrin i e ( e) 0 0 qges, vorher qges,nachher 30 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Der elektrische Fluß Der elektrische Fluß eines Feldes E ist ein Maß für die „Anzahl“ der Feldlinien, die durch eine Fläche A treten („Feldliniendichte“). E A Treten die Feldlinien nicht senkrecht durch die Fläche, dann zählt nur die senkrechte Komponente. Dies kann am besten berücksichtigtwerden, wenn die Fläche A als Vektor A geschrieben wird. Der Betrag dieses Vektors ist so groß wie die Fläche; seine Richtung ist senkrecht zur Fläche, also: A Wenn die Feldlinien senkrecht auf der Fläche A stehen, dann ist der elektrische Fluß durch diese Fläche definiert durch: E A E A A 31 Physik A/B1 PHYSIK B2 A E SS 2017 SS14 SS13 E Für eine beliebig geformte Fläche A gilt im Fall eines inhomogenen Feldes: A dA E (r ) Der elektrische Fluß durch die Fläche A ist nun: E A E A cos EA A Alle bisherigen Betrachtungen gelten Der elektrische Fluß d, der durch die nur, wenn das durch die Fläche A treFläche dA tritt, ist dann: tende Feld konstant ist. Ist dies nicht d E (r ) dA der Fall, dann muß der Fluß durch 32 Summation bestimmt werden. Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 dA E (r ) A Der gesamte elektrische Fluß durch die Fläche A ist dann durch Summation (Integration) über alle Einzelflüsse d durch die Flächen dA gegeben: E (r ) dA A Das Integral über die Fläche A ist in der Regel nicht ganz einfach zu bestimmen. Es ist wie ein Wegintegral durch Parametrisierung der Fläche A berechenbar. Dies werden wir aber nie benötigen, da meistens Symmetrien zur Berechnung herangezogen werden können. Beispiel : Der Fluß des elektrischen Feldes einer Punktladung q duch eine Halbkugel mit dem Radius R. q R dA E ( R ) || dA E ( R ) const . 33 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 E ( R) dA Halbkugel 1 q ˆ r dA 2 4 0 R Halbkugel Einführen von Kugelkoordinaten: ˆ 2 dA R sin d d r 1 q ˆ ˆ 2 r r R sin d d 2 4 0 R 0 0 q 4 0 Nun soll speziell der elektrische Fluß durch geschlossene Flächen betrachtet werden. Dies ist zentral für die später folgende 1. Maxwell‘sche Gleichung. E O sin d d 0 0 2 q 20 Der elektrische Fluß durch geschlossene Oberflächen Schreibweise: E (r ) dA O 34 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Beispiel : Der Fluß des elektrischen Feldes einer Punktladung q duch eine Kugel mit dem Radius R. q R dA E ( R ) || dA Genauso wie im Beispiel vorher gilt nun: E ( R ) dA Kugel q ˆ r dA 2 4 0 R Kugel 1 ˆ 2 dA R sin d d r 2 1 q ˆ ˆ 2 r r R sin d d 2 4 0 R 0 0 2 q 4 0 q sin d d 0 0 0 4 Es stellt sich heraus, dass dieses Resultat ganz allgemein für jede beliebig geformte, geschlossene Oberfläche gilt, d.h.: q E dA geschl. Fläche 0 35 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Noch allgemeiner gilt für eine Punktladung der folgnde Zusammenhang: geschlossene Oberfläche E geschlossene Oberfläche E q q falls q innerhalb der geschl. Fläche liegt. E dA 0 geschl. Fläche 0 falls q außerhalb der geschl. Fläche liegt. 36 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die 1. Maxwell‘sche Gleichung Bei mehreren Ladungen im Innern der Oberfläche O gilt das Superpositionsprinzip (siehe Abschnitt 4.2.4): Eges E1 E2 En Damit folgt: Eges dA q1 q2 O q3 Ei dA Bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung integriert man über alle Ladungselemente dq im von der geschlossenen Oberfläche O umschlossenen Volumen: n q i 1 i 1 O 1 0 n q i 0 i qges 0 dq V (O ) Mit der Ladungsdichte n qn i folgt: dq (r ) ( r ) dV dq (r ) dV V (O ) V (O ) (Volumen37 integral) Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Damit ergibt sich der Zusammenhang zwischen einer beliebigen Ladungsverteilung im Raum und dem von dieser Ladungsverteilung erzeugten elektrischen Feld: qges 1 E dA O 0 dV 0 V (O ) Bemerkungen: • Dies ist die 1. Maxwell‘sche-Gleichung. Sie wird auch „Gauß‘scher Satz“ genannt (der „Gauß‘sche Satz“ ist ein Integralsatz der Mathematik). • Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass Ladungen die Quellen (und Senken) des elektrostatischen Feldes sind. Feldlinien beginnen und enden daher bei positiven bzw. negativen Ladungen. • Mit der 1. Maxwell‘schen-Gleichung können Felder berechnet werden, wenn die Ladungsverteilung bekannt ist. • Es ist zu beachten, dass jede beliebig geformte Oberfläche O, die die 38 Ladung qges umschließt, verwendet werden kann !! Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Beispiel : Der Plattenkondensator. E0 + + + + + - E E z ez E0 z 39 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 0 Man denkt sich eine Platte von einer E 0 mit Ez const. flachen, zylindrischen Dose umgeben: E Ladung auf z Fläche der der Platte: Q Platte: A Der Fluß durch die Dose ist dann: ++++ +++ z E E z ez x y gedachte „Dose“ - - - - - - E0 Auf der oberen Platte befindet sich die Ladung +Q, auf der unteren –Q. Außerhalb der Platten verschwindet das Feld näherungsweise. Dose E dA E dA E dA oben unten 0, da E 0 E dA Seite 0, Symmetrie! 0 0 E dA 0 0 dA unten unten 1 E z 40 Physik A/B1 PHYSIK B2 E dA Dose Ez SS 2017 SS14 SS13 E z dA Bei einem Kondensator ist die Kapazität C definiert durch: unten dA E z A unten Q C U Sie ist ein Maß dafür, wieviel Ladung Q in einem Kondensator bei konstanter (1. Maxwell-Gleichung) 0 Spannung gespeichert werden kann. Für die Kapazität C eines PlattenkondenQ Ez A sators mit den Flächen A, die sich in 0 einem Abstand d voneinander befinden, Wir hatten bereits das Feld als Funk- ergibt sich also: A tion der Spannung U zwischen den C 0 Platten im Abstand d berechnet: d Die Einheit der Kapazität ist: U Ez d U Q A d 0 As [C ] 1F 1 Farad 1 V 41 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Beispiel für eine andere Anwendung von Kondensatoren: Die Computertastatur 42 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Beispiele von Kondensatoren in der technischen Anwendung: 43 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 44 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 45 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 46 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 47 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Größenordnung der Einheit Farad: Angenommen ein Plattenkondensator habe die Kapazität C = 1F bei einem Plattenabstand von d = 1mm. Dann müßten die Platten eine Fläche A haben, die sich folgendermaßen berechnet: A Cd 1F 103 m 8 2 2 C 0 A 1.13 10 m 100 km !!! -12 d 0 8.85 10 As Vm Ein Farad ist also eine relativ große Einheit. 48