Angewandte Statistik II

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Angewandte Statistik II
Lernziele:
3 Parameterschätzung
3.1 Den Zweck der Parameterschätzung erklären können.
3.2 Den Mittelwert µ einer N(µ, σ2)-verteilten Zufallsvariablen X
schätzen können.
3.3 Die Varianz einer N(µ, σ2)-verteilten Zufallsvariablen X schätzen
können.
3.4 Zweiseitige Konfidenzintervalle erklären und interpretieren
können.
3.5 (1-α)-Konfidenzintervalle für die Varianz einer N(µ, σ2)- verteilten
Zufallsvariablen X berechnen können.
3.6 (1-α)-Konfidenzintervalle für den Mittelwert einer N(µ, σ2)verteilten Zufallsvariablen berechnen können.
3.7 (1-α)-Konfidenzintervalle für den Parameter p
(Wahrscheinlichkeit) berechnen können.
4 Testen von Hypothesen: 1-Stichprobenprobleme
4.1 Das Prinzip der Signifikanzprüfung an Hand des Gauß-Tests
erklärenkönnen.
4.2 Signifikante und nichtsignifikante Testergebnisse interpretieren
können.
4.3 Mit dem 1-Stichproben-t-Test entscheiden können, ob der
Mittelwert einer normalverteilten Zufallsvariablen X von einem
vorgegebenen Sollwert abweicht bzw. diesen unter- oder
überschreitet.
4.4 Mit dem Binomialtest prüfen können, ob eine unbekannte
Wahrscheinlichkeit von einem vorgegebenen Sollwert abweicht
bzw. diesen über- oder unterschreitet.
4.5 Mit dem χ2-Test prüfen können, ob die beobachteten Häufigkeiten
einer mehrstufig skalierten Zufallsvariablen von einem
vorgegebenen Verhältnis abweichen.
4.6 Mit dem Normal-QQ-Plot die Annahme normalverteilter
Stichprobenwerte beurteilen können.
4.7 Mit dem Grubbs-Test einen Ausreißer in einer normalverteilten
Zufallsstichprobe identifizieren können.
5 Zweistichprobenprobleme mit metrischen Untersuchungsmerkmalen
5.1 Die Versuchsanlagen „Parallelversuch“ und „Paarvergleich“ zum
Vergleich von zwei Merkmalen unterscheiden können.
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06.01.2014
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5.2 Mit dem F-Test entscheiden können, ob die Varianzen von zwei
unabhängigen Stichproben normalverteilter Variablen voneinander
abweichen bzw. die eine Varianz die andere überschreitet/
unterschreitet.
5.3 Mit dem Zwei-Stichproben-t-Test die Mittelwerte von zwei mit
gleichen Varianzen normalverteilten Untersuchungsmerkmalen
vergleichen können.
5.4 Mit dem Welch-Test die Mittelwerte von zwei normalverteilten
Untersuchungsmerkmalen vergleichen können.
5.5 Mit dem Differenzen-t-Test (paired t-test) die Mittelwerte von zwei
normalverteilten Untersuchungsmerkmalen mit abhängigen
Stichproben vergleichen können.
6 Zweistichprobenprobleme mit binären Untersuchungsmerkmalen
6.1 Zwei Wahrscheinlichkeiten im Rahmen eines Parallelversuchs mit
großen Stichproben vergleichen können.
6.2 Zwei Wahrscheinlichkeiten mit abhängigen Stichproben
vergleichen können.
7 Korrelation und Regression bei metrischen Variablen
7.1 Den Korrelationskoeffizienten ρ als Parameter der 2dimensionalen Normalverteilung interpretieren können.
7.2 Einen Schätzwert und ein Konfidenzintervall für den
Korrelationskoeffizienten ρ bestimmen können.
7.3 Die Abhängigkeit der zweidimensional-normalverteilten Variablen
X und Y mit einem geeigneten Test prüfen können.
7.4 Die Parameter der Regression von Y auf X im Modell A mit
zweidimensional-normalverteilten Variablen schätzen und die
Abhängigkeitsprüfung durchführen können.
7.5 Die Parameter der Regression von Y auf X im Modell B (mit
zufallsgestörter linearer Regressionsfunktion) schätzen und die
Abhängigkeitsprüfung durchführen können.
7.6 Linearisierende Transformationen anwenden können, um
nichtlineare Abhängigkeiten (allometrische, exponentielle bzw.
gebrochen lineare) mit Hilfe von linearen Regressionsmodellen
erfassen zu können.
7.7 Regressionsgeraden durch den Nullpunkt bestimmen können.
7.8 Probenmesswerte mit Hilfe von linearen Kalibrationsfunktionen
schätzen können.
8 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)
8.1 Den Einfluss eines k-stufigen Faktors auf den Mittelwert einer auf
jeder Faktorstufe mit gleicher Varianz normalverteilten
Zielvariablen feststellen können.
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8.2 Die Voraussetzungen des Modells der einfaktoriellen ANOVA
überpüfen können.
8.3 Nach signifikantem Ausgang des Globaltests der einfaktoriellen
ANOVA die Mittelwertpaare mit voneinander verschiedenen
Mittelwerten feststellen können.
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3 PARAMETERSCHÄTZUNG
Lernziel 3.1
Den Zweck der Parameterschätzung erklären können?
Die Merkmalsvariation wird i. Allg. durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen
(Wahrscheinlichkeitsfunktionen bzw. Dichtefunktionen) mit unbekannten
Parametern modelliert. Für diese Parameter sind - mit Hilfe von
Zufallsstichproben - Schätzwerte zu ermitteln und die Genauigkeit der
Schätzung durch Konfidenzintervalle anzugeben.
Wahrscheinlichkeitsdichte
Grundgesamtheit X
N(µ, σ2)
Zufallsstichprobe
Zufallsauswahl
x1, x2, ..., xn
Stichprobenfunktionen
X
µ
2σ
Stichprobenmittel
Parameterschätzung:
Schätzwert
Konfidenzintervall
Stichprobenstandardabweichung
Lernziel 3.2
Den Mittelwert µ einer N(µ, σ2)-verteilten Zufallsvariablen X schätzen
können.
Es sei X1, X2, ..., Xn eine Zufallsstichprobe, in der die Variablen Xi (i = 1,
2, …, n) die Ergebnisse von n Beobachtungen ausdrücken. Die
Schätzung des Mittelwerts einer normalverteilten Zufallsvariablen erfolgt
mit Hilfe des Stichprobenmittels
X =
1
( X 1 + X 2 + L + X n ).
n
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Das Stichprobenmittel hängt von den Werten x1, x2, …, xn der
Zufallsstichprobe X1, X2, ..., Xn ab und wird daher auch als eine
Schätzfunktion bezeichnet. Setzt man die Werte x1, x2, …, xn für die
Zufallsvariablen ein, erhält man einen Schätzwert x für den Mittelwert µ.
Es gilt:
• X möge den Mittelwert µ und die Varianz σ2 besitzen; dann ist der
Mittelwert des Stichprobenmittels X gleich dem Mittelwert µ, die
die Varianz des Stichprobenmittels aber um den Faktor 1/n
verkleinert (für n>1).
• Bei normalverteiltem X ist auch X normalverteilt.
• Wenn X nicht normalverteilt ist, dann ist X für großes n (etwa ab
n=30) näherungsweise normalverteilt (Zentraler Grenzwertsatz).
3.3
Die Varianz einer N(µ, σ2)-verteilten Zufallsvariablen X schätzen können.
Die Schätzung der Varianz σ2 einer normalverteilten Zufallsvariablen
erfolgt mit Hilfe der Stichprobenvarianz
S2 =
[
1
(X 1 − X )2 + (X 2 − X )2 + L + (X n − X )2
n −1
]
Setzt man die Werte x1, x2, …, xn einer Zufallsstichprobe für die
Zufallsvariablen X1, X2, ..., Xn ein, erhält man einen Schätzwert s2 für die
Varianz σ2.
Es gilt:
• Die Größe (n-1)S2/σ2 - also die mit dem Faktor (n-1)/σ2
multiplizierte Stichprobenvarianz - ist eine chiquadratverteilte
Zufallsvariable mit f = n - 1 Freiheitsgraden.
Beispiel 3.3:
Man zeichne unter Verwendung der R-Funktion dchisq() die Dichtekurven der
Chiquadratverteilungen mit den Freiheitsgraden 1, 3 und 5.
R-Console:
> # Dichtekurven von ausgewählten Chiquadrat-Verteilungen
> curve(dchisq(x, 1), from=0, to=4, ylim=c(0, 0.5), xlab ="X",
+
ylab="Dichte", col="red", main="Dichtekurven der Chiquadratverteilung")
> curve(dchisq(x, 3), add=T, lty=2, col="blue")
> curve(dchisq(x, 5), add=T, lty=3, col="black")
> text(0.8, 0.4, col="red", expression("f=1"))
> text(0.4, 0.15, col="blue", expression("f=3"))
> text(1, 0.04, col="black", expression("f=5"))
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R-Grafik:
0.4
0.5
Dichtekurven der Chiquadratverteilung
0.2
Dichte
0.3
f=1
0.1
f=3
0.0
f=5
0
1
2
3
4
X
3.4
Zweiseitigen Konfidenzintervalle erklären und interpretieren können.
Es sei π ein unbekannter Parameter (z.B. der Mittelwert µ) der
Verteilung einer Zufallsvariablen X. Wir bezeichnen das Intervall [U, O]
der Zahlengeraden als (1-α)-Konfidenzintervall für π, wenn es den
Parameter π mit der vorgegebenen hohen Wahrscheinlichkeit
1-α einschließt, d.h., P(U ≤ π ≤ O) = 1-α gilt. Zusätzlich wird meist die
die Symmetrieforderung P(U > π) = P(O < π) = α/2 vorgeschrieben.
Zur Bestimmung der Grenzen U und O benötigt man eine
Zufallsstichprobe von X. Setzt man die Werte x1, x2, …, xn einer
Zufallsstichprobe ein, erhält man für U und O die konkreten Zahlenwerte
u bzw. o. Das (konkrete) Intervall [u, o] ist so zu interpretieren, dass eine
Zufallsstichprobe mit der Wahrscheinlichkeit 1-α auf ein Intervall [u, o]
führt, das den unbekannten Parameter π überdeckt. Für 1-α wird meist
95% angenommen (α=5%).
3.5
(1-α)-Konfidenzintervalle für die Varianz einer
N(µ, σ2)- verteilten Zufallsvariablen X berechnen können.
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Es sein s2 die Varianz einer Stichprobe x1, x2, …, xn der Zufallsvariablen
X. Die Grenzen eines (1-α)-Konfidenzintervalls für σ2 berechnet man mit
den Formeln
u=
( n − 1) s 2
χ n2−1,1−α / 2
und o =
(n − 1) s 2
χ n2−1,α / 2
Zieht man aus den Grenzen u und o die Quadratwurzel, erhält man ein
(1-α)-Konfidenzintervall für die Standardabweichung σ.
Beispiel 3.5:
Es sei X normalverteilt mit dem Mittelwert µ und der Varianz σ2.
Von einer Stichprobe sei bekannt: n =30, s2 = 7.93. Man bestimme ein 95%iges
Konfidenzintervall (CI) für σ.
Lösung mit R:
R-Console:
> # R-Funktion mit Übergabeparameter:
> # n (Stichprobenumfang), var (Varianz), alpha (Irrtumsrisiko)
> CI_var <- function(n, var, alpha){
+
u <- (n-1)*var/qchisq(1-alpha/2, n-1)
+
o <- (n-1)*var/qchisq(alpha/2, n-1)
+
grenzen <- cbind(u, o)
+
return(grenzen)}
> options(digits=4)
> # Funktionsaufruf mit n=30, var=7.93, alpha=5%
> CI_var(30, 7.93, 0.05)
u
o
[1,] 5.03 14.33
> #
> # CI für die Standardabweichung
> CI_sd <- sqrt(CI_var(30, 7.93, 0.05))
> CI_sd
ug
og
[1,] 2.243 3.786
3.6
(1-α)-Konfidenzintervalle für den Mittelwert einer N(µ, σ2)- verteilten
Zufallsvariablen X berechnen können.
Ein konkretes (1-α)-Konfidenzintervall für den Mittelwert µ von X erhält
man, indem man um das arithmetische Mittel x einer Zufallsstichprobe
x1, x2, …, xn von X das symmetrische Intervall [x − d , x + d ] mit der halben
Intervallbreite d = t n −1,a −α / 2 s / n bildet. Die Größe tn-1,1-α/2 ist das (1-α/2)Quantil der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden, s ist die
Standradabweichung der n Stichprobenwerte.
Beispiel 3.6a:
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Man zeichne unter Verwendung der R-Funktion dt() die Dichtekurven der tVerteilungen mit den Freiheitsgraden 1und 5 und stelle sie gemeinsam mit der
Standardnormalverteilung in einem Diagramm dar.
R-Console:
# Dichtekurven von ausgewählten t-Verteilungen
curve(dt(x, 1), from=-3, to=3, ylim=c(0, 0.5), xlab ="X",
ylab="Dichte", col="red", main="Dichtekurven der t-Verteilung")
curve(dt(x, 5), add=T, lty=2, col="blue")
curve(dnorm(x), add=T, lty=3,lw=2, col="black")
text(0, 0.42, col="black", expression("N(0,1)"))
text(0, 0.34, col="blue", expression("t(f=5)"))
text(0, 0.27, col="red", expression("t(f=1)"))
R-Grafik:
0.5
Dichtekurven der t-Verteilung
0.4
N(0,1)
Dichte
0.3
t(f=5)
0.0
0.1
0.2
t(f=1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
X
Beispiel 3.6b:
Es sei X normalverteilt mit dem Mittelwert µ und der Varianz σ2. Für den Mittelwert
und die Standardabweichung von X wurden mit Hilfe einer Stichprobe vom Umfang
n=20 die Schätzwerte 25 bzw. 5 bestimmt. Man bestimme zum Niveau 1-α =0.95 ein
Konfidenzintervall (CI) für den Mittelwert von X.
Lösung mit R:
R-Console:
> # Beachte: ß-Quantil t_(f, ß) = qt(ß, f)
> #
> # Funktion mit Übergabeparameter:
> # mw (Mittelwert, n (Stichprobenumfang, std (Standardabweichung), alpha
(Irrtumsrisiko)
> CI_mittel <- function(mw, n, std, alpha){
+
d <- std/sqrt(n)*qt((1-alpha/2), n-1)
+
u <- mw-d
+
o <- mw+d
+
grenzen <- cbind(u, o)
+
return(grenzen)}
> #
> # Funtionsaufruf mit mw=25, n=20, std=5, alpha=5%
> options(digits=4)
> CI_mittel(25, 20, 5, 0.05)
u
o
[1,] 22.66 27.34
Hinweis:
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Für „große“ Stichproben gilt die Approximation:
[x − d , x + d ]
mit d = z1−α / 2
s
n
Hier ist z1-α/2 das (1-α/2)-Quantil der N(0,1)-Verteilung.
Folgerung:
Faustformel für den Mindeststichprobenumfang zur Schätzung eines
Mittelwerts mit der vorgegebenen Genauigkeit ±d und der vorgegebenen
Sicherheit 1-α :
2
σ
z
n ≈  1−α / 2 
d


Beispiel 3.6c:
Der Mittelwert µ einer N(µ, σ2)-verteilten Zufallsvariablen soll mit einer Genauigkeit
von ±0,25 und einer Sicherheit von 99% bestimmt werden. Von einer
Voruntersuchung sei bekannt, dass σ ≤ 1,5 ist.
a) Wie groß ist der erforderliche Mindeststichprobenumfang n zu planen?
b) Man stelle n in Abhängigkeit von d (0,1 ≤ d≤ 0,3) für 1- α=0.95 und 0.99 dar!
Lösung mit R:
R-Console:
> # Aufgabe a)
> # R-Funktion mit Übergabeparameter:
> # genauigkeit (d), sicherheit (1-alpha), sigma
> n_mindest <- function(genauigkeit, sicherheit, sigma){
+
alpha <- 1-sicherheit
+
n <- (qnorm(1-alpha/2)*sigma/genauigkeit)^2
+
return(n)}
> #
> options(digits=4)
> # Funktionsaufruf mit genauigkeit=0.25, sichheit=0.99, sigma=1.5
> n_mindest(0.25, 0.99, 1.5)
[1] 238.9
> # Aufgabe b)
> # Erzeugen der Folge der d-Werte von 0,1 bis 0,3 in Schritten von 0,01
> d <- seq(from=0.1, to=0.3, by=0.01)
> d
[1] 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24
[16] 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30
> #
> # Berechnen der den d-Werten entsprechenden Mindeststichprobenumfänge
> n_mindest_95 <- n_mindest(d, 0.95, 1.5)
> n_mindest_95
[1] 864.33 714.32 600.23 511.44 440.98 384.15 337.63 299.08 266.77 239.43
[11] 216.08 195.99 178.58 163.39 150.06 138.29 127.86 118.56 110.25 102.77
[21] 96.04
> n_mindest_99 <- n_mindest(d, 0.99, 1.5)
> n_mindest_99
[1] 1492.9 1233.8 1036.7 883.3 761.7 663.5 583.1 516.6 460.8 413.5
[11] 373.2 338.5 308.4 282.2 259.2 238.9 220.8 204.8 190.4 177.5
[21] 165.9
> #
> # Grafische Darstellung der Abhängigkeit der Mindeststichprobenumfänge von d
> plot(d, n_mindest_95, type="p", col="blue", xlab="Genauigkeit",
+
ylab="n", main="Mindest-n bei Mittelwertschätzung")
> lines(d, n_mindest_95, col="blue", lty=1, lwd=2)
> lines(d, n_mindest_99, col="red", lty=2, lwd=2)
> text(0.15, 200, col="blue", expression("Sicherheit = 95%"))
> text(0.25, 400, col="red", expression("Sicherheit = 99%"))
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R-Grafik:
400
n
600
800
Mindest-n bei Mittelwertschätzung
200
Sicherheit = 99%
Sicherheit = 95%
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Genauigkeit
3.7
(1-α)-Konfidenzintervalle für den Parameter p (Wahrscheinlichkeit) einer
Zweipunktverteilung/Binomialverteilung berechnen können.
• Ein approximatives (1-α)-Konfidenzintervall für den Parameter p
(Wahrscheinlichkeit) einer Zweipunktverteilung ist das Agresti-CoullIntervall. Es sei X eine zweistufig skalierte Zufallsvariable mit den
Werten 1 und 0, p = P(X =1) bzw. q = 1-p = P(X=0) die
Wahrscheinlichkeiten, mit denen diese Werte angenommen werden.
Ferner seien x1, x2, ..., xn eine Zufallsstichprobe vom Umfang n und m
die Anzahl der Wiederholungen mit xi = 1 und yn = m/n der Anteil der
Wiederholungen mit xi = 1. Dann sind die untere und obere Grenze uA
bzw. oA eines (1-α) - Konfidenzintervalls für p gegeben durch
u A = mW − l A , o A = mW + l A mit
mW =
m + z12−α / 2 / 2
n + z12−α / 2
und l A = z1−α / 2
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mW (1 − mW )
n + z12−α / 2
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Voraussetzung für die Approximation: nyn(1-yn) > 9
• Ein exaktes (1-α)-Konfidenzintervall für den Parameter p ist das
Clopper-Pearson-Intervall mit den Grenzen
uC =
mqu
, qu = F2 m , 2( n − m +1),α / 2
n − m + 1 + mqu
oC =
( m + 1)qo
, qo = F2( m +1), 2( n − m ),1−α / 2
n − m + ( m + 1)qo
Die Größen Ff1, f2, α/2 und Ff1, f2, 1-α/2 sind das α/2- bzw. (1-α/2)-Quantil der
F-Verteilung mit den Freiheitsgraden f1 und f2.
Beispiel 3.7a:
Man zeichne unter Verwendung der R-Funktion df() die Dichtekurven der FVerteilungen mit den Freiheitsgraden 5 und 2 sowie 10 und 40.
Dichte
0.6
0.8
1.0
Dichtekurven der F-Verteilung
F(f=10,40)
0.0
0.2
0.4
F(f=5,2)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
X
R-Console:
# Dichtekurven von ausgewählten F-Verteilungen
curve(df(x, 5, 2), from=0, to=3, ylim=c(0, 1), xlab ="X",
ylab="Dichte", col="red", main="Dichtekurven der F-Verteilung")
curve(df(x, 10, 40), add=T, lty=2, col="blue")
text(1.8, 0.42, col="blue", expression("F(f=10,40)"))
text(1, 0.42, col="red", expression("F(f=5,2)"))
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12
Beispiel 3.7b:
Es soll die Erfolgsrate p einer neuen Behandlungsmethode, also die
Wahrscheinlichkeit, dass bei einer mit der neuen Methode behandelten Person eine
Verbesserung eintritt, geschätzt und ein 95%iges Konfidenzintervall für p bestimmt
werden. In einer Studie mit n=50 Probanden erwies sich die neue Methode bei m=35
Personen erfolgreich.
Lösung mit R:
R-Console:
> # Approximatives Konfidenzintervall (Agresti-Coull-Intervall)
> m <- 35 # Anzahl der Personen mit der interessierenden Merkmalsausprägung
> n <- 50 # Stichprobenumfang
> alpha <- 0.05 # Irrtumsrisiko
> y <- m/n # Schätzwert für p
> # Voraussetzung:
> n*y*(1-y) # muss größer als 9 sein!
[1] 10.5
> zq <- qnorm(1-alpha/2)
> mW <- (m+zq^2/2)/(n+zq^2) # Intervallmitte
> lA <- zq*sqrt(mW*(1-mW)/(n+zq^2))
> uA <- mW-lA; oA <- mW+lA
> print(cbind(y, mW, lA, uA, oA))
y
mW
lA
uA
oA
[1,] 0.7 0.6857 0.124 0.5617 0.8097
> #
> # Exakte Rechnung (Pearson/Clopper – Intervall)
> CI_pexakt <- function(m, n, alpha){
+
quantil_1 <- qf(alpha/2, 2*m, 2*(n-m+1))
+
pu <- m*quantil_1/(n-m+1+m*quantil_1)
+
quantil_2 <- qf(1-alpha/2, 2*(m+1), 2*(n-m))
+
po <- (m+1)*quantil_2/(n-m+(m+1)*quantil_2)
+
grenzen <- cbind(pu, po)
+
return(grenzen)}
> # Funktionsaufruf mit m=35, n=50, alpha=5%
> CI_pexakt(35, 50, 0.05)
pu
po
[1,] 0.5539 0.8214
> #
> # Hinweis 1: Das exakte Konfidenzintervall kann direkt mit der
> # R-Funktion binom.test bestimmt werden.
> # Aufruf: binom.test(m, n, 1-alpha)
> binom.test(35, 50, conf.level=0.95)
Exact binomial test
data: 35 and 50
number of successes = 35, number of trials = 50, p-value = 0.0066
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
0.5539 0.8214
sample estimates:
probability of success
0.7
>
>
>
>
>
#
# Hinweis 2: Beide CI können mit der R-Funktion binom.confint()
# im Paket "binom" bestimmt werden
library(binom)
binom.confint(m, n, methods=c("agresti-coull", "exact"))
method x n mean lower upper
1 agresti-coull 35 50 0.7 0.5617 0.8097
2
exact 35 50 0.7 0.5539 0.8214
Hinweis:
Aus dem approximativen Intervall ergibt sich eine grobe Faustformel für
den Mindeststichprobenumfang zur Schätzung einer Wahrscheinlichkeit
mit der vorgegebenen Genauigkeit ±d und der vorgegebenen
Sicherheit 1-α:
z

n ≈  1− α / 2 
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 2d 
2
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Beispiel 3.7c:
Die Keimfähigkeit p von Blumenzwiebeln (d.h. die Wahrschein-lichkeit, dass ein
ausgesetzter Zwiebel keimt) soll in einem Feldversuch mit der Genauigkeit ±0,1 und
der Sicherheit 1-α= 0,95 geschätzt werden. Welcher Stichprobenumfang ist zu
planen?
Lösung mit R:
R-Console:
> # Approximativer Mindeststichprobenumfang für die Schätzung einer
> # Wahrscheinlichkeit zur vorgegebenen Genauigkeit d und Sicherheit S = 1-alpha
> # R-Funktion mit Übergabeparameter:
> # d (Genauigkeit=halbe Intervallbreite), S (Sicherheit)
> n_approx <- function(d, S){
+
alpha <- 1-S
+
quantil <- qnorm(1-alpha/2)
+
n <- (quantil/2/d)^2
+
return(n)}
> #
> # Funktionsaufruf mit d=0.1, S=0.95
> n_approx(0.1, 0.95)
[1] 96.04
Übungsbespiele zur Parameterschätzung
1. Die Sprosshöhe X einer Pflanze sei N(µ, σ2)-verteilt. a) Aus einer Stichprobe vom
Umfang n=25 ergibt sich die Stichprobenvarianz s2=7714. Man gebe ein
Konfidenzintervall zum Niveau 1-α=0.95 für σ an. b) Für den Mittelwert und die
Standardabweichung von X wurden mit Hilfe einer Stichprobe vom Umfang n=40
die Schätzwerte 296 und 105 für den Mittelwert bzw. die Standardabweichung
bestimmt. Man bestimme zum Niveau 1-α=0.95 ein Konfidenzintervall für den
Mittelwert von X. ([68.6, 122.2]; [262.4, 329.6])
2. Im folgenden wird X als N(µ, σ2)-verteilt vorausgesetzt. Welcher
Stichprobenumfang ist jeweils zu planen?
a) Der mittlere Glykoalkaloidgehalt X (in mg/100 mg Frischgewicht) einer
Kartoffelsorte soll mit einer Genauigkeit von ± 0.4 bei einer Sicherheit von 99%
bestimmt werden. Von einer Voruntersuchung sei bekannt, dass σ ≤ 2 ist.
b) Das Normgewicht von 10-jährigen Knaben soll auf ± 0.5 kg genau mit einer
Sicherheit von 95% bestimmt werden. Für die Standardabweichung möge die
Abschätzung σ ≤ 2.5 kg zutreffen. (167; 96)
3. Für den Mittelwert und die Varianz von einer als normalverteilt angenommenen
Variablen X wurden mit Hilfe einer Stichprobe vom Umfang n=15 die Werte 40
bzw. 10 bestimmt. Man bestimme ein 95%- Konfidenzintervall für den Mittelwert
von X. Um wie viel % größer ist die Intervalllänge eines 99%igen
Konfidenzintervalls? ([38.25, 41.75]; [37.57, 42.43]; 38.8%)
4. Die Masse X (in mg) einer Substanz in einem Präparat soll absolut auf +/-0,5
genau mit einer Sicherheit von 95% bestimmt werden. Für die
Standardabweichung möge die Abschätzung s≤2 zutreffen. Wie viele Proben
müssen untersucht werden, wenn X als normalverteilt vorausgesetzt werden
kann? (62)
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5. Von einer Messstelle wurden die folgenden Werte der Variablen X (SO2Konzentration der Luft in mg/m3) gemeldet: 29, 110, 47, 35, 65, 69, 9, 10. a) Man
bestimme ein 95%-Konfidenzintervall für den Mittelwert und die
Standardabweichung von X. b) Welcher Mindest-Stichprobenumfang müsste
geplant werden, um bei gleicher Sicherheit die Mittelwertschätzung mit einer
Genauigkeit von +/-5 durchführen zu können? (a) [18.39, 75.11]; [22.43, 69.05],
b) 177)
6. In einer Studie wurden 33 Personen mit einem Präparat behandelt. Der
Behandlungserfolg wurde auf einer 2-stufigen Skala mit den Skalenwerten
"Verbesserung" und "keine Verbesserung" dargestellt. Es ergab sich bei 13
Personen eine Verbesserung. Man bestimme ein 95%iges Konfidenzintervall für
die Wahrscheinlichkeit p einer Verbesserung. Welcher Stichprobenumfang
müsste geplant werden, um die Wahrscheinlichkeit p mit einer Genauigkeit von
+/- 0,1 und einer Sicherheit von 95% schätzen zu können? ([0.227, 0.561]; 97)
7. In einem Supermarkt wurden 100 Milchpackungen überprüft und dabei
festgestellt, dass in 15 Fällen die Milch im Begriffe war, sauer zu werden. Man
bestimme ein Konfidenzintervall zum Niveau 1-α=95% für den Anteil der sauren
Milchpackungen. ([0.08, 0.22])
8. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Erkrankung soll in einer
Risikogruppe mit einer Sicherheit von 95% und einer vorgegebenen Genauigkeit
von ± 0.05 bestimmt werden. Wie viele Probanden benötigt man für die Studie?
(385)
9. Von einer Pflanze erhielt Mendel insgesamt 62 Samen, von denen 44 gelb und 18
grün gefärbt waren. Man bestimme ein 95%iges Konfidenzintervall für die
Wahrscheinlichkeit p dafür, dass ein gelber Same gebildet wird. Welcher
Stichprobenumfang müsste geplant werden, um die Wahrscheinlichkeit p mit
einer Genauigkeit von +/- 0,05 und einer Sicherheit von 90% schätzen zu
können? ([0.597, 0.823]; 271)
10. In einer Studie über die Behandlung von akuten Herzinfarktpatienten wurden 151
Patienten mit Heparin therapiert, von denen 19 innerhalb von 28 Tagen
verstarben. a) Man schätze die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Patient innerhalb
von 28 Tagen nach Herzinfarkt stirbt, und bestimme für p ein 95%Konfidenzintervall. b) Welcher Mindeststichprobenumfang ist notwendig, um bei
gleicher Sicherheit ein halb so großes Konfidenzintervall fü p zu erhalten?
(a) approx. 0.0729, 0.1787; exakt: 0.0775, 0.1895; b) 1373)
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4 TESTEN VON HYPOTHESEN I: EINSTICHPROBENPROBLEME
4.1
Das Prinzip der Signifikanzprüfung an Hand des Gauß-Tests
erklärenkönnen.
Im Folgenden wird das Prinzip der Signifikanzprüfung am Beispiel des
Gauß-Tests (z-Test) erklärt. Mit dem Gauß-Test kann man feststellen,
ob der Mittelwert einer mit bekannter Varianz normalverteilten
Zufallsvariablen X von einem vorgegebenen Sollwert abweicht bzw.
diesen unter- oder überschreitet .
Beispiel 4.1:
Bei der Herstellung von Injektionsnadeln ist für den Außendurchmesser X der
Sollwert µ0=0.8mm vorgegeben. Im Zuge der Überwachung des Prozesses wird aus
der laufenden Produktion eine Prüfstichprobe von n=10 Nadeln entnommen und die
Außendurchmesser
0.88, 0.77, 0.77, 0.84, 0.87, 0.81, 0.75, 0.87, 0.87, 0.84
gemessen. Die Frage ist, ob das arithmetische Mittel x =0.827 dieser 10
Außendurchmesser "`signifikant"' von µ0=0.8 abweicht. Dabei wird angenommen,
dass X die bekannte Varianz σ2 =0.0025 besitzt.
Schema der Problemlösung:
• Beobachtungsdaten und Modell:
Es liegen n Beobachtungswerte x1, x2,…, xn mit dem
arithmetischen Mittel x vor. Jedes xi ist die Realisierung einer
N(µ, σ2)-verteilten Zufallsvariablen Xi (i=1,2,…,n). Der Mittelwert µ
ist unbekannt, die Varianz σ2 jedoch bekannt. Das
Stichprobenmittel X ist normalverteilt mit dem Mittelwert µ und der
Varianz σ2/n.
• Hypothesen und Testgröße:
Der Vergleich des Parameters µ mit einem vorgegebenen Sollwert
µ0 erfolgt nach einer der folgenden Testvarianten:
- H0: µ = µ0 gegen H1 : µ ≠ µ0 (Variante II, 2-seitiger Test)
- H0: µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0 (Variante Ia, 1-seitiger Test auf
Überschreitung)
- H0: µ ≥ µ0 gegen H1 : µ < µ0 (Variante Ib, 1-seitiger Test auf
Unterschreitung)
Als Testgröße wird das standardisierte Stichprobenmittel
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TG =
X − µ0
σ/ n
verwendet, das bei Gültigkeit von H0 (d.h. für µ=µ0) N(0, 1)-verteilt
ist. Ersetzt man X durch das arithmetische Mittel x , erhält man
die Realisierung TGs der Testgröße.
• Entscheidung:
Entscheidungssituation beim 2-seitigen Test:
Testentscheidung mit dem P-Wert:
Der P-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsstichprobe
vom Umfang n ein Stichprobenmittel X besitzt, das zumindest
gleich weit von µ0 im Sinne von H1 abweicht, wie die beobachtete
Realisierung x .
Bei vorgegebenem Signifikanzniveau α wird H0 abgelehnt, wenn
der P-Wert kleiner als α ist. Die Berechnung des P-Wertes erfolgt
für die Testvariante Ia mit der Formel P = 1 − Φ (TG s ) ,
für die Variante Ib mit der Formel P = Φ (TGs ) bzw.
für die zweiseitige Testvariante II mit P = 2[1 − Φ (| TGs |)] .
Testentscheidung über die Bestimmung des Ablehnungsbereiches
(siehe Abb. 4.1):
H0 wird abgelehnt, wenn
TG s > z1−α (Variante Ia) bzw.
TG s < − z1−α (Variante Ib) bzw.
| TG s |> z1−α / 2 (Variante II) gilt.
Dabei bezeichnen z1−α und z1−α / 2 das (1-α)- bzw. das (1-α/2)Quantil der N(0, 1)-Verteilung.
• Planung des Stichprobenumfangs:
Um auf dem Niveau α mit der Sicherheit 1-β eine Entscheidung für
H1 herbeizuführen, wenn µ von µ0 um ∆ =|µ-µ0|>0 im Sinne der
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Alternativhypothese abweicht, ist im Falle der 1-seitigen
Testvarianten Ia und Ib ein Stichprobenumfang
n≥
σ2
∆2
(z
1−α
+ z1− β )
2
erforderlich (Herleitung: siehe Ergänzung 1). Für die 2-seitige
Testvariante II gibt es die in typischen Anwendungssituationen
brauchbare Näherungsformel
n≈
σ2
∆2
(z
1−α / 2 + z1− β ) .
2
Abb. 4.1
Gauß-Test: Ablehnungsbereich |TG|>z1-α/2 für das zweiseitige Testproblem H0: µ = µ0
gegen H1 : µ ≠ µ0 (obere Grafik) und Ablehnungsbereich TG > z1-α für das einseitige
Testproblem H0: µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0 (untere Grafik).
Beispiel 4.1 (Fortsetzung):
2-seitige Prüfung auf Abweichung vom Sollwert
• Beobachtungsdaten und Modell:
X = Außendurchmesser; X ~ N(µ, σ2) mit σ=0.05;
x1=0.88, x2=0.77, …, x10 =0.84; n=10; x =0.827.
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• Hypothesen und Testgröße:
Sollwert: µ0=0.8;
H0: µ = µ0 gegen H1 : µ ≠ µ0, Testniveau α=5%;
Realisierung der Testgröße: TGs=1.71.
• Testentscheidung mit dem P-Wert:
P=2[1-Φ(1.71)]=0.088 ≥ 0.05
H0 (Mittelwert µ entspricht dem Sollwert)
kann nicht abgelehnt werden!
• Alternative: Testentscheidung über die Bestimmung des
Ablehnungsbereiches:
z1-α/2=z0.975 = 1.96; Ablehnungsbereich: TG > 1.96
TGs =1.71 nicht im Ablehnungsbereich
H0 wird beibehalten!
1-seitige Prüfung auf Überschreitung des Sollwerts
• Beobachtungsdaten und Modell: wie oben
• Hypothesen und Testgröße:
Sollwert: µ0=0.8;
H0: µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0, α=5%;
Realisierung der Testgröße: TGs=1.71.
• Testentscheidung mit dem P-Wert1:
P=1-Φ(1.71)=0.044 < 0.05
H1 (Mittelwert µ überschreitet den Sollwert)
• Alternative: Testentscheidung über die Bestimmung des
Ablehnungsbereiches:
z1-α=z0.95 = 1.645; Ablehnungsbereich: TG > 1.645
TGs =1.71 im Ablehnungsbereich
H1 (H0 wird abgelehnt)
Ergänzungen:
1. Herleitung der Formel für den P-Wert (2-seitiger Test)
Der P-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsstichprobe vom
Umfang n ein Stichprobenmittel X besitzt, das zumindest gleich weit von µ0
entfernt ist, wie die beobachtete Realisierung x , für das also gilt X ≤ µ 0 − d
oder X ≥ µ 0 + d mit d = x − µ 0 = TG s σ / n :
P = P ( X ≤ µ 0 − d | µ = µ 0 ) + P( X ≥ µ 0 + d | µ = µ 0 )
= P (TG ≤ − TG s | µ = µ 0 ) + P(TG ≥ TG s | µ = µ 0 )
= Φ(− TG s ) + 1 − Φ( TG s ) = 2[1 − Φ ( TG s )]
2. Gütefunktion des 1-seitigen Gauß-Tests auf Überschreitung (Hypothesenpaar
H0: µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0 ):
Fehlerrisken beim Alternativtest:
Fehler 1. Art (α-Fehler, irrtümliche Ablehnung der Nullhypothese) Fehler 2. Art
(β-Fehler, falsche Nullhypothese wird beibehalten) Die Wahrscheinlichkeiten
1
Man beachte, dass der P-Wert des 1-seitigen Gauß-Tests halb so groß ist wie der P-Wert des 2-seitigen. Mit 1seitigen Hypothesen erreicht man daher eher eine Ablehnung der Nullhypothese als mit 2-seitigen. Der Umstand
darf nicht dazu verleiten, auf 1-seitige Hypothesen umzusteigen, wenn mit dem 2-seitigen Testproblem kein
signifikantes Ergebnis erreicht wird. Die Verwendung von 1- seitigen Hypothesen muss jedenfalls durch die
Problemstellung begründet sein.
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für einen Fehler 1. und 2. Art werden in der Gütefunktion G
zusammengefasst. Diese gibt - in Abhängigkeit vom unbekannten
Erwartungswert µ - die Wahrscheinlichkeit
G(µ) = P(Ablehnung von H0 | µ)
an, dass der Test auf Grund einer Zufallsstichprobe zu einer Entscheidung
gegen H0 führt.
Durch die Testentscheidung (mit dem P-Wert oder mit Hilfe des
Ablehnungsbereichs) ist sichergestellt, dass die Wahrscheinlichkeit eines
Fehlers 1. Art höchstens gleich dem vorgegebenen α ist. Wenn z.B. das 1seitige Testproblem H0: µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0 vorliegt und H0 zutrifft,
gilt also G(µ) ≤ α. Trifft dagegen H1 : µ > µ0 zu, so ist die Güte des Tests umso
besser, je näher G(µ) bei 1 liegt, oder anders ausgedrückt, je kleiner die
Wahrscheinlichkeit β(µ) = 1-G(µ) eines Fehlers zweiter Art ist.
Da die Nullhypothese H0: µ ≤ µ0 des 1-seitigen Gauß-Tests auf
Überschreitung genau dann abgelehnt wird, wenn TG > c1=z1-α ist, kann die
Gütefunktion wie folgt berechnet werden:
 X − µ0

> c1 | µ  =
G ( µ ) = P(TG > c1 | µ ) = P
σ/ n

 X − µ + µ − µ0

µ − µ0 
 X −µ
= P
> c1 | µ  = P
< −c1 +
| µ  =
σ/ n
σ/ n
σ / n



µ − µ0

= Φ − z1−α +
σ/ n




Die Gütefunktion ist streng monoton wachsend, geht für µ → −∞ asymptotisch
gegen 0, für µ → +∞ asymptotisch gegen 1 und nimmt an der Stelle µ=µ0 den
Wert a an. Für µ ≤ µ0 ist also G(µ)≤α. Für µ >µ0 gilt G(µ)>α und G(µ) wird in
diesem Fall als Trennschärfe oder Power an der µ bezeichnet.
Auf analoge Weise findet man die Gütefunktion des 2-seitigen Gauß-Tests:
µ − µ0 
µ − µ0 


G ( µ ) = Φ − z1−α / 2 −
 + Φ − z1−α / 2 +

σ/ n
σ/ n


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20
Abb. 4.2:
Gütefunktionen des 1- seitigen Gauß-Tests H0: µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0 für die
Stichprobenumfänge n=5, 10, 20 (obere Grafik) und des 2-seitigen Gauß-Tests H0: µ = µ0
gegen H1 : µ ≠ µ0 für die Stichprobenumfänge n=10 und n=50 (untere Grafik). Horizontal ist
die auf σ bezogene Abweichung δ=(µ-µ0)/σ des Mittelwerts vom Sollwert µ0 aufgetragen,
vertikal kann man die entsprechenden Gütefunktionswerte G*(δ)=G((µ-µ0)/σ) ablesen.
Beispiel 4.1 (Fortsetzung):
Berechnung des Werts der Gütefunktion an der Stelle µ=0.827 für den
1-seitigen Gauß-Test:
Eingangsdaten: α=0.05, c1=z0.95=1.645, µ=0.827, µ0=0.8, σ=0.05, n=10
µ − µ0 

G (0.827) = Φ − z1−α +
=
σ/ n

0.827 − 0.8 

= Φ − 1.645 +
 = Φ (0.0628) = 52.5%
0.05 / 10 

3. Herleitung der Formel für den Mindeststichprobenumfang beim Gauß-Test auf
Überschreitung eines Sollwertes (d.h. um mit dem auf dem Testniveau α=5%
geführten Gauß-Test eine Überschreitung des Sollwerts µ0 um ∆ mit der
Sicherheit (Power) 1-β erkennen zu können):
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Die Fehlerrisken α und β, die Abweichung ∆=µ-µ0 und der
Stichprobenumfang n sind beim 1-seitigen Gauß-Test mit den
H0: µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0 über die Beziehung
∆ 

G ( µ ) = Φ − z1−α +
 = 1− β
σ/ n

miteinander verknüpft. Löst man nach n auf, ergibt sich
n* =
σ2
∆
2
(z
1−α
+ z1− β )
2
Um eine kritische Überschreitung ∆=µ-µ0 des Sollwertes µ
zumindest mit der Sicherheit 1-β als signifikant erkennen zu können, benötigt
man einen Stichprobenumfang n≥ n*.
Beispiel 4.1 (Fortsetzung):
Berechnung des erforderlichen n, um mit dem 1-seitigen Gauß-Test auf 5%igem
Testniveau die vorgegebene Überschreitung ∆=0.027 mit einer Sicherheit von
mindestens 90% als signifikant zu erkennen:
Eingangsdaten: α=0.05, 1-β=0.9, ∆=0.027, σ=0.05
0.052
0.052
2
(
)
(1.645 + 1.282)2 = 29.38
n =
z0.95 + z0.9 =
2
2
0.027
0.027
*
Beispiel 4.1 (Lösung mit R):
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
# beispiel 4.1
options(digits=4)
x <- c(0.88, 0.77, 0.77, 0.84, 0.87, 0.81, 0.75, 0.87, 0.87, 0.84)
xquer <- mean(x); s <- sd(x)
#
# 2-seitiger Gauß-Test auf Abweichung von einem Sollwert
mu0 <- 0.8; n <- 10; sigma <- 0.05; alpha <- 0.05
tgs <- (xquer-mu0)/sigma*sqrt(n); q2 <- qnorm(1-alpha/2)
P <- 2*(1-pnorm(tgs))
print(cbind(xquer, sigma, s, mu0, tgs, q2, P))
xquer sigma
s mu0
tgs
q2
P
[1,] 0.827 0.05 0.04877 0.8 1.708 1.96 0.08771
> #
> # Lösung mit R-Funktion z.test()
> library(TeachingDemos)
> z.test(x, mu=mu0, stdev=sigma, alternative="two.sided", conf.level=0.95)
One Sample z-test
data: x
z = 1.708, n = 10.000, Std. Dev. = 0.050, Std. Dev. of the sample mean
= 0.016, p-value = 0.08771
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0.8
95 percent confidence interval:
0.796 0.858
sample estimates:
mean of x
0.827
>
> # Gauß-Test auf Überschreitung
> q1 <- qnorm(1-alpha); P <- 1-pnorm(tgs)
> print(cbind(xquer, sigma, s, mu0, tgs, q, P))
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xquer sigma
s mu0
tgs
q
P
[1,] 0.827 0.05 0.04877 0.8 1.708 1.645 0.04385
> z.test(x, mu=mu0, stdev=sigma, alternative = "greater", conf.level=0.95)
One Sample z-test
data: x
z = 1.708, n = 10.000, Std. Dev. = 0.050, Std. Dev. of the sample mean
= 0.016, p-value = 0.04385
alternative hypothesis: true mean is greater than 0.8
95 percent confidence interval:
0.801
Inf
sample estimates:
mean of x
0.827
>
>
>
>
>
>
#
# Gütefunktionswert (1-seitiger Gauß-Test) an der Stelle mu=xquer
alpha=0.05; mu <- xquer; mu0=0.8; sigma=0.05; n=length(x)
delta <- (mu-mu0)/sigma
power <- pnorm(-qnorm(1-alpha)+ Delta/sigma*sqrt(n))
print(cbind(alpha, delta, sigma, power))
alpha delta sigma power
[1,] 0.05 0.54 0.05 0.525
> #
> # Lösung mit R-Funktion pwr.norm.test()
> library(pwr)
> pwr.norm.test(d=delta,n=n, sig.level=alpha, alternative="greater")
Mean power calculation for normal distribution with known variance
d
n
sig.level
power
alternative
=
=
=
=
=
0.54
10
0.05
0.525
greater
>
>
>
>
>
>
>
#
# Planung des Mindest-n beim 1-seitigen Gauß-Test (Überschreitung)
alpha=0.05; power=0.9 # power=1-beta
mu <- xquer; mu0=0.8; sigma=0.05;
qa <- qnorm(1-alpha); qb <- qnorm(power); Delta <- mu-mu0
ns <- sigma^2/Delta^2*(qa+qb)^2
print(cbind(alpha, power, Delta, sigma, ns))
alpha power Delta sigma
ns
[1,] 0.05
0.9 0.027 0.05 29.37
> #
> # Lösung mit R-Funktion pwr.norm.test()
> library(pwr)
> pwr.norm.test(d=delta, power=power, sig.level=alpha,
alternative="greater")
Mean power calculation for normal distribution with known variance
d
n
sig.level
power
alternative
=
=
=
=
=
0.54
29.37
0.05
0.9
greater
4.2
Signifikante und nichtsignifikanten Testergebnisse erkennen und
interpretieren können.
• Schlussweise der Signifikanzprüfung
am Beispiel des 1-seitigen Gauß-Tests auf Überschreitung:
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23
Wenn H0 gilt, dann ist ein P-Wert kleiner als α unwahrscheinlich.
Aus einer Zufallsstichprobe ergibt sich P < α.
Daher: H0 gilt nicht (genauer: ist unwahrscheinlich).
Dieses Schema erinnert an die Beweisführung „reductio ad
absurdum“ (Widerspruchsbeweis):
Um eine Aussage A indirekt zu beweisen, wird die Annahme
gemacht, die Aussage ist falsch, und aus der Negation der
Aussage etwas abgeleitet, was offensichtlich falsch ist. Es folgt,
dass A richtig ist.
• Signifikante und nichtsignifikante Testergebnisse
Abb. 4.3:
Schema der Entscheidungsfindung beim Signifikanztest. Vorgegeben sind die
Fehlerschranken α (z.B. 5%) und β (z.B. 10%). Ist der P-Wert kleiner als α,
wird H0 abgelehnt, also für H1 entschieden. Andernfalls, d.h. für P ≥ α wird
eine Poweranalyse (oder die Berechnung des Mindest-n) angeschlossen.
Wenn die Power größer oder gleich 1-β ist (oder der Mindest-n ≥ dem Umfang
der verwendeten Zufallsstichprobe ist), wird H0 angenommen.
4.3
Mit dem 1-Stichproben-t-Test kann feststellen können, ob der Mittelwert
einer normalverteilten Zufallsvariablen X von einem vorgegebenen
Sollwert abweicht bzw. diesen unter- oder überschreitet.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten und Modell:
Es liegen n Beobachtungswerte x1, x2,…, xn mit dem
arithmetischen Mittel x vor. Jedes xi ist die Realisierung einer
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24
N(µ, σ2)-verteilten Zufallsvariablen Xi (i=1,2,…,n), mit denen das
Stichprobenmittel X sowie die Stichprobenvarianz S2 gebildet
werden.
• Hypothesen und Testgröße:
Der Vergleich des Parameters µ mit einem vorgegebenen Sollwert
µ0 erfolgt nach einer der folgenden Testvarianten:
- H0: µ = µ0 gegen H1 : µ ≠ µ0 (Variante II, 2-seitiger Test)
- H0: µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0 (Variante Ia, 1-seitiger Test auf
Überschreitung)
- H0: µ ≥ µ0 gegen H1 : µ < µ0 (Variante Ib, 1-seitiger Test auf
Unterschreitung)
Als Testgröße wird das studentisierte Stichprobenmittel
TG =
X − µ0
S/ n
verwendet, das bei Gültigkeit von H0 (d.h. für µ=µ0) t-verteilt mit
dem Freiheitsgrad f=n-1 ist. Ersetzt man X durch das
arithmetische Mittel x und S durch die empirische
Standardabweichung s, erhält man die Realisierung TGs der
Testgröße.
• Entscheidung:
Testentscheidung mit dem P-Wert:
Bei vorgegebenem Signifikanzniveau α wird H0 abgelehnt, wenn
der P-Wert kleiner als α ist. Die Berechnung des P-Wertes erfolgt
für die Testvariante Ia mit der Formel P=1 - Fn-1(TGs),
für die Variante Ib mit der Formel P= Fn-1 (TGs), bzw.
für die zweiseitige Testvariante II mit P= 2 Fn-1(-|TGs|).
Fn-1 bezeichnet die Verteilungsfunktion der tn-1 -Verteilung
Testentscheidung über die Bestimmung des Ablehnungsbereiches:
H0 abgelehnt, wenn
TGs > tn-1, 1-α (Variante Ia) bzw.
TGs < - tn-1, 1-α (Variante Ib) bzw.
|TGs| > tn-1, 1-α/2 (Variante II) gilt.
Dabei bezeichnen tn-1, 1-α und tn-1, 1-α/2 das (1-α)- bzw. das (1-α/2)Quantil der tn-1 - Verteilung.
• Planung des Stichprobenumfangs
Um auf dem Niveau α mit der Sicherheit 1- β eine Entscheidung
für H1 herbeizuführen, wenn µ von µ0 um ∆ ≠ 0 im Sinne der
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25
Alternativhypothese abweicht, kann im Falle der 1-seitigen
Testvarianten Ia und Ib der erforderliche
Mindeststichprobenumfang näherungsweise aus
n≈
σ2
∆2
(z
1−α
+ z1− β )
2
bestimmt werden. Im Falle der 2-seitigen Testvariante II ist α durch
α/2 zu ersetzen. Bei Anwendung dieser Formeln muss ein
Schätzwert für σ zur Verfügung stehen. Die Formeln stimmen mit
den entsprechenden Formeln beim Gauß-Test überein, ergeben
aber auf Grund der Näherungen nur Richtwerte für den
erforderlichen Mindeststichprobenumfang.
Beispiel 4.3:
In einem Experiment wurde die Selbstentladung von wiederaufladbaren NiMHGerätezellen mit einer Kapazität (in mAh) von 2000 überprüft. Laut Hersteller soll die
Kapazität X nach 12 Monaten 85% des Anfangswertes, also µ0=1700, betragen.
a) Es ist zu zeigen, dass das Experiment mit 30 Zellen durchgeführt werden
müsste, damit der t-Test auf 5%igem Niveau eine Sollwertabweichung in der
Höhe von ∆=60 mit einer Sicherheit von 90% feststellen kann. Dabei möge die
Annahme zutreffen, dass die Kapazität X normalverteilt sei und für σ der
Schätzwert σˆ = 100 zur Verfügung steht.
b) Die Ausführung des Experimentes hat die folgenden Messwerte ergeben:
1590, 1620, 1670, 1790, 1670, 1580, 1470, 1690, 1680, 1890,
1560, 1610, 1670, 1450, 1690, 1710, 1670, 1810, 1580, 1560,
1680, 1730, 1680, 1550, 1760, 1750, 1530, 1540, 1690, 1730.
Es ist mit dem 2-seitigen t-Test zu zeigen, dass das arithmetische
Mittel der Prüfstichprobe signifikant (α=5%) vom Sollwert µ0=1700 abweicht.
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
# Beispiel 4.2
# a) Planung des Stichprobenumfangs
mu0 <- 1700; sigma <- 100; Delta <- 60
alpha <- 0.05; qa <- qnorm(1-alpha/2); beta <- 0.1; qb <- qnorm(1-beta)
ns <- sigma^2/Delta^2*(qa+qb)^2
print(cbind(mu0, Delta, sigma, qa, qb, ns))
mu0 Delta sigma
qa
qb
ns
[1,] 1700
60
100 1.959964 1.281552 29.18729
> # Lösung mit R-Funktion power.t.test()
> power.t.test(delta=Delta, sd=sigma, sig.level=0.05, power=0.9,
+
type="one.sample")
One-sample t test power calculation
n
delta
sd
sig.level
power
alternative
=
=
=
=
=
=
31.17169
60
100
0.05
0.9
two.sided
> #
> # b) 2-seitiger t-Test
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26
> x <- c(1590, 1620, 1670, 1790, 1670, 1580, 1470, 1690, 1680, 1890,
+
1560, 1610, 1670, 1450, 1690, 1710, 1670, 1810, 1580, 1560,
+
1680, 1730, 1680, 1550, 1760, 1750, 1530, 1540, 1690, 1730)
> n <- length(x); xquer <- mean(x); s <- sd(x); mu0 <- 1700
> print(cbind(n, xquer, s))
n
xquer
s
[1,] 30 1653.333 100.1837
> alpha <- 0.05; q <- qt(1-alpha/2, n-1)
> tgs <- (xquer-mu0)*sqrt(n)/s; P <- 2*pt(-abs(tgs), n-1)
> print(cbind(alpha, q, tgs, P))
alpha
q
tgs
P
[1,] 0.05 2.04523 -2.551351 0.01626606
> # Lösung mit R-Funktion t.test()
> t.test(x, mu=mu0, alternative="two.sided", type="one.sample",
+
conf.level=alpha)
One Sample t-test
data: x
t = -2.5514, df = 29, p-value = 0.01627
alternative hypothesis: true mean is not equal to 1700
5 percent confidence interval:
1652.176 1654.490
sample estimates:
mean of x
1653.333
4.4
Mit dem Binomialtest feststellen können, ob eine unbekannte
Wahrscheinlichkeit von einem vorgegebenen Sollwert abweicht
bzw. diesen über- oder unterschreitet.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten und Modell:
Es liegen n Beobachtungen vor, die in zwei Klassen eingeteilt
werden können. Die Zugehörigkeit der i-ten Beobachtung zur
Klasse 1 sei durch eine Bernoulli-Variable Xi beschrieben, die den
Wert 1 annimmt, wenn die Beobachtung zur Klasse 1 gehört und
den Wert 0, wenn dies nicht der Fall ist. Jede der unabhängigen
und identisch verteilten Bernoulli-Variablen X1, X2, …, Xn nimmt mit
der Wahrscheinlichkeit p den Wert 1 an. Konkret wurden h
Beobachtungen in der Klasse 1 gezählt.
• Hypothesen und Testgröße:
Der Vergleich des Parameters p mit einem vorgegebenen Sollwert
p0 erfolgt nach einer der folgenden Testvarianten:
- H0: p =p0 gegen H1 : p ≠ p0 (Variante II, 2-seitiger Test)
- H0: p ≤ p0 gegen H1 : p > p0 (Variante Ia, 1-seitiger Test auf
Überschreitung)
- H0: p ≥ p0 gegen H1 : p < p0 (Variante Ib, 1-seitiger Test auf
Unterschreitung)
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27
Testgröße: Anzahl TG=H= nX der Beobachtungen in der Klasse 1;
TG ~ Bn,p0 für p=p0.
Normalverteilungsapproximation (Voraussetzung: np0(1-p0)>9):
H − np 0
TG* =
~ N (0,1) für H 0 : p = p 0
np 0 (1 − p 0 )
Für die konkrete Beobachtungsreihe ist H=h.
• Entscheidung:
Testentscheidung mit dem P-Wert:
Bei vorgegebenem Signifikanzniveau α wird H0 abgelehnt, wenn
der P-Wert kleiner als α ist.
Exakter Binomialtest:
Testvariante Ia: P=1 - FB(h-1)
Testvariante Ib: P= FB(h)
Testvariante II: P= FB (np0-d)+1- FB (np0+d-1)
FB bezeichnet die Verteilungsfunktion der Bn,p0-Verteilung,
d=|h-np0|.
Approximativer Binomialtest (mit Stetigkeitskorrektur)
Testvariante Ia: P≈ 1-FN(h-0.5)
Testvariante Ib: P≈ FN(h+0.5)
Testvariante II: P≈ 2FN(np_0-d+0.5)
FN ist die Verteilungsfunktion der N(µ, σ2)-Verteilung mit µ=np0
und σ02=np0(1-p0); d=|h-np0| ist die Abweichung der beobachteten
Anzahl vom Mittelwert2.
(Approximative) Testentscheidung mit dem Ablehnungsbereich:
H0 wird abgelehnt, wenn
TG*s-p0>0.5+z1-α σ0 (Variante Ia) bzw.
TG*s-p0>0.5-z1-α σ0 (Variante Ib) bzw.
|TG*s-p0|> 0.5+ z1-α/2 σ0 (Variante II) gilt.
z1-α und z1-α/2 sind das (1-α)- bzw. das (1-α/2)- Quantil der N(0, 1)Verteilung und σ02=np0(1-p0).
• Planung des Stichprobenumfangs
Um auf dem Niveau α mit der Sicherheit 1- β eine Entscheidung
für H1 herbeizuführen, wenn p von p0 um ∆ ≠ 0 im Sinne der
2
Den P-Wert des exakten Binomialtests erhält man in R mit der Funktion binom.test(), den P-Wert des
approximativen Binomialtests (mit und ohne Stetigkeitskorrektur) mit prop.test().
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28
Alternativhypothese abweicht, kann im Falle der 1-seitigen
Testvarianten Ia und Ib das erforderliche Mindest-n
näherungsweise aus
n≈
(z
(2 arcsin
+ z1− β )
2
1−α
p − 2 arcsin p0
)
2
;
Bestimmt werden; im Falle der 2-seitigen Testvariante II ist z1-α
durch z1-α/2 zu ersetzen3.
Beispiel 4.4:
Mit einer neuen Behandlungsmethode will man die Erfolgsrate
p (d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer mit der neuen Methode
behandelten Person eine Verbesserung eintritt) von mehr als p0=0.7 erreichen. In
einer Studie mit 100 Probanden ist die neue Methode bei h=80 Personen erfolgreich,
der beobachtete Stichprobenanteil h/n=0.8
überschreitet also den Sollwert p0=0.7.
Es ist a) zu zeigen, dass die Überschreitung auf 5%igem Niveau signifikant ist, und
b) der erforderliche Mindeststichprobenumfang zu berechnen, damit der
(approximative) Binomialtest mit 90%iger Sicherheit ein auf 5%igem Testniveau
signifikantes Ergebnis liefert, wenn der Sollwert um den Betrag ∆=0.1 überschritten
wird.
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
>
# Beispiel 4.3
options(digits=4)
p0 <- 0.7; n <- 100; h <- 80; p <- h/n; alpha <- 0.05
# a) Hypothesen H0: p=p0 gegen H1: p>p0
# P-Wert (exakter Binomialtest)
Pexact <- 1-pbinom(h-1, n, p0)
print(cbind(alpha, p0, n, p, Pexact))
alpha p0
n
p Pexact
[1,] 0.05 0.7 100 0.8 0.01646
> binom.test(h, n, p=p0, alternative="greater")
Exact binomial test
data: h and n
number of successes = 80, number of trials = 100, p-value = 0.01646
alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.7
95 percent confidence interval:
0.7228 1.0000
sample estimates:
probability of success
3
Der Näherung liegt die sogenannte Arcus-Sinus-Transformation zugrunde, mit der der
Stichprobenanteil H/n (die Anzahl H ist Bn, p-verteilt) in die Zufallsvariable Y = 2 arcsin H / n .
Wie man zeigen kann, nähert sich mit wachsendem n die Verteilung von Y* einer Normalverteilung mit
*
dem Mittelwert
µY * = 2 arcsin p
und der konstanten Varianz σ
2
Y*=1/n.
Die Näherung ist in der R-
Funktion pwr.p.test() im Paket "pwr" implementiert, mit der erforderliche Mindeststichprobenumfangs
geplant und Gütefunktionswerte berechnet werden können.
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29
0.8
> # P-Wert (approximativer Binomialtest)
> n*p0*(1-p0) # Voraussetzung für Approximation >9!
[1] 21
> d <- h-n*p0; sigma0 <- sqrt(n*p0*(1-p0))
> Papprox <- 1-pnorm((d-0.5)/sigma0)
> print(cbind(alpha, p0, n, p, Papprox))
alpha p0
n
p Papprox
[1,] 0.05 0.7 100 0.8 0.01908
> prop.test(h, n, p=p0, alternative="greater")
1-sample proportions test with continuity correction
data: h out of n, null probability p0
X-squared = 4.298, df = 1, p-value = 0.01908
alternative hypothesis: true p is greater than 0.7
95 percent confidence interval:
0.7212 1.0000
sample estimates:
p
0.8
> #
> # b) Mindesstichprobenumfang
> # Lösung mit Näherungsformel im Skriptum
> beta <- 0.1; za <- qnorm(1-alpha); zb <- qnorm(1-beta)
> Delta <- 0.1; p <- p0+Delta
> ns <- (za+zb)^2/(2*asin(sqrt(p))-2*asin(sqrt(p0)))^2
> print(cbind(alpha, beta, p0, p, ns))
alpha beta p0
p
ns
[1,] 0.05 0.1 0.7 0.8 159.1
> # Lösung mit R-Funktion pwr.p.test()
> library(pwr)
> ES <- 2*asin(sqrt(p))-2*asin(sqrt(p0))
> pwr.p.test(h = ES, sig.level = 0.05, power = 0.9,
+
alternative = "greater")
proportion power calculation for binomial distribution (arcsine
transformation)
h
n
sig.level
power
alternative
=
=
=
=
=
0.232
159.1
0.05
0.9
greater
4.5
Die Annahme normalverteilter Stichprobenwerte überprüfen können.
• Grafische Überprüfung der Normalverteilungsannahme mit dem
Normal-QQ-Plot:
Mit dem Normal-Quantil-Quantil-Diagramm (kurz Normal-QQ-Plot)
kann man an Hand der Werte x1, x2, …, xn einer Zufallsstichprobe
von X auf grafischem Wege beurteilen, ob die Daten gegen die
Annahme „X ist normalverteilt“ sprechen (vgl. Abb. 4.4).
Theoretische Grundlage:
- Wenn X N(µ, σ2) – verteilt ist, besteht zwischen dem p-Quantil xp von X
und dem entsprechenden Quantil zp der N(0, 1)-verteilten Zufallsvariablen
Z=(X-µ)/σ der lineare Zusammenhang
xp = σ zp + µ. Die Punkte P(zp, xp) mit den für verschiedene Werte von p (0
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06.01.2014
30
< p < 1) berechneten Quantilen von Z und X als Koordinaten) liegen im (Z,
X)-Koordinatensystem auf einer Geraden mit dem Anstieg σ und dem yAchsenabschnitt µ.
Abb. 4.4:
Normal-QQ-Plots für zwei Zufallsstichproben (jeweils vom Umfang n=30). Die QQ-Plots
enthalten auch die Orientierungsgeraden durch die den unteren und oberen Quartilen
entsprechenden Punkte. Links sind die Dichtekurven der Grundgesamtheiten dargestellt, aus
denen die Stichproben generiert wurden (oben: Normalverteilung mit µ=5 und σ=0.25, unten:
logarithmische Normalverteilung mit µ=-0.2 und σ=1). Man erkennt, dass im oberen QQ-Plot
die Punkte angenähert entlang der Orientierungsgeraden angeordnet sind; die Abweichung
von der Normalverteilung zeigt sich im unteren QQ-Plot in den (vor allem an den Enden) von
der Orientierungsgeraden wegdriftenden Punkten. Bei kleineren Stichprobenumfängen kann
es auch bei normalverteilter Grundgesamtheit zu deutlichen Abweichungen von der
Orientierungsgeraden kommen.
-
Mit den unteren Quartilen z0.25 und x0.25 sowie den oberen Quartilen
z0.75 und x0.75 von Z bzw. X können die Geradenparameter ausgedrückt
werden durch:
σ=
-
x0.75 − x0.25
x z − x0.75 z 0.25
, µ = 0.25 0.75
z 0.75 − z 0.25
z 0.75 − z 0.25
Die (nach aufsteigender Größe angeordneten) Stichprobenwerte x(i)
werden als (empirische) Quantile von X gedeutet, die entsprechenden
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31
-
„Unterschreitungswahrscheinlichkeiten“ pi ermittelt und dazu die
Quantile zpi=φ-1(pi) der N(0, 1)-Verteilung berechnet.
Nach Definition des p-Quantils xp einer Beobachtungsreihe muss der
Anteil der Werte kleinergleich xp mindestens p und der Anteil der Werte
größergleich xp mindestens 1-p betragen, d.h. von pi ist zu verlangen:
i/n ≥ pi und (n-i+1)/n ≥ 1-pi d.h. (i-1)/n ≤ pi ≤ i/n.
-
Zur Fixierung von pi auf einen Wert des Intervalls verwenden wir die
Festlegung: Für n>10 ist pi einfach die Intervallmitte (i-0.5)/n, für n ≤ 10
wird pi aus der Formel pi = (i- 3/8)(n + ¼) bestimmt4.
Beispiel 4.5a:
Dem Normal-QQ-Plot von Abb. 4.4 liegt die folgende Zufallsstichprobe von n=30
Realisierungen der mit µ=5 und σ=0.25 normalverteilten Zufallsvariablen X zugrunde:
4.50, 4.51, 4.61, 4.68, 4.72, 4.72,, 4.78, 4.80, 4.81, 4.82,
4.85, 4.85, 4.94, 4.95, 4.98, 5.01, 5.02, 5.06, 5.12, 5.15,
5.16, 5.16, 5.17, 5.20, 5.21, 5.23, 5.27, 5.32, 5.56, 5.62.
Man erzeuge das Normal-QQ-Plot mit R; ferner berechne man die Koordinaten des
ersten Punktes P1=(φ-1(p1), x(1)) und die Parameter der Orientierungsgeraden durch
(z025, Q1) und (z075, Q3).
Lösung mit R:
> # Beispiel 4.5
> x <- c(4.81, 5.16, 4.50, 4.85, 5.15, 5.21, 4.68, 4.80, 4.61, 5.17,
+
4.82, 4.98, 5.06, 5.01, 5.12, 5.62, 4.95, 5.16, 5.20, 4.94,
+
4.72, 5.32, 5.23, 4.85, 5.56, 4.51, 5.02, 4.72, 4.78, 5.27)
> # Normal-QQ-Plot
> qqnorm(x, xlab = "N(0,1)-Quantile", ylab = "empirische Quantile")
> qqline(x, probs = c(0.25, 0.75))
> # Berechnung der Koordinaten von P1:
> sort(x); > n <- length(x)
> p1 <- (1-0.5)/30; (zp1 <- qnorm(p1)) # z-Koordinate zu x(1)
[1] -2.128045
> # Orientierungsgerade durch (z025, Q1) und (z075, Q3)
> x025 <- quantile(x, 0.25); x025 <- x025[[1]]
> x075 <- quantile(x, 0.75); x075 <- x075[[1]]
> print(cbind(x025, x075))
x025
x075
[1,] 4.8025 5.1675
> z025 <- qnorm(0.25); z075 <- qnorm(0.75)
> print(cbind(z025, z075))
z025
z075
[1,] -0.6744898 0.6744898
> b1 <- (x075-x025)/(z075-z025); b0 <- (x025*z075-x075*z025)/(z075-z025)
> b1 <- b1[[1]]; b0 <- b0[[1]]; print(cbind(b1, b0))
b1
b0
[1,] 0.2705749 4.985
4
Diese Formeln werden in der R-Funktion qqnorm() zur Erstellung eines Normal-QQ-Plots verwendet.
Zur besseren Orientierung erhält man mit der R-Funktion qqline() die durch die Punkte P(z0.25, Q1) und
P(z0.75, Q3) mit den unteren bzw. oberen Quartilen gelegte Gerade.
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32
5.2
5.0
4.8
4.6
empirische Quantile
5.4
5.6
Normal Q-Q Plot
-2
-1
0
1
2
N(0,1)-Quantile
• Prüfung der Normalverteilungsannahme mit dem Shapiro-Wilk-Test
Der Shapiro-Wilk-Test wurde speziell zur Überprüfung der
Annahme (=Nullhypothese) entwickelt, dass eine metrische
Zufallsvariable X normalverteilt ist. Die Nullhypothese wird auf dem
Niveau α abgelehnt, wenn der P-Wert kleiner als α ist.
Theoretischer Hintergrund:
Die Teststatistik W des Shapiro-Wilk-Tests ist als Quotient von zwei
Schätzfunktionen für die Varianz σ2 der hypothetischen Normalverteilung
konstruiert. Die eine Schätzfunktion (im Nenner) ist die Stichprobenvarianz,
die andere (im Zähler) hängt mit dem Anstieg der Orientierungsgeraden im
QQ-Plot zusammen. Die Berechnung der Teststatistik ist aufwendig und
praktisch nur mit einschlägiger Software zu bewältigen5. Für die Interpretation
ist wichtig zu wissen, dass W nichtnegativ ist und den Wert 1 nicht
überschreiten kann. Wenn H0 (Normalverteilungsannahme) gilt, dann nimmt W
Werte nahe bei 1 an, kleinere Werte von W sprechen gegen H0. Z.B. ist bei
einem Stichprobenumfang n=10 die Nullhypothese auf 5%igem
Signifikanzniveau abzulehnen, wenn W den kritischen Wert 0.842
unterschreitet.
Beispiel 4.5b:
Es soll gezeigt werden, dass die Stichprobewerte von Aufgabe 4.5
mit der Annahme einer normalverteilten Grundgesamtheit X vereinbar sind.
5
Z.B. mit der R-Funktion shapiro.test(), die die Teststatistik und den P-Wert anzeigt.
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33
Lösung mit R:
>
>
+
+
>
>
>
# Beispiel 4.6
x <- c(4.81, 5.16, 4.50, 4.85, 5.15, 5.21, 4.68, 4.80, 4.61, 5.17,
4.82, 4.98, 5.06, 5.01, 5.12, 5.62, 4.95, 5.16, 5.20, 4.94,
4.72, 5.32, 5.23, 4.85, 5.56, 4.51, 5.02, 4.72, 4.78, 5.27)
# Hypothesen:
# H0: X ist normalverteil gegen H1: X ist nicht normalverteilt
shapiro.test(x)
Shapiro-Wilk normality test
data: x
W = 0.9756, p-value = 0.7014
Wegen p-value = 70.14% ≥ 5% kann H0 (Stichprobenwerte nicht in Widerspruch zur
Normalverteilungsannahme) nicht abgelehnt werden.
4.6
Einen Ausreißer in einer normalverteilten Zufallsstichprobe identifizieren
können.
• Theoretischer Grundlage:
- X ~ N(µ, σ2)
P(X < µ-4σ)+P(X > µ+4σ)= 0.0063%
Tritt ein Wert außerhalb des 4-fachen Sigma-Bereichs auf, so steht er im
Verdacht, dass er keine Realisierung von X ist, sondern z.B. durch einen
Datenfehler oder einen Störeinfluss bei der Messung zustande gekommen
ist.
- Mutmaßliche Ausreißer sollten jedenfalls dokumentiert und nur dann aus
der Stichprobe entfernt werden, wenn es dafür einen sachlogischen Grund
gibt.
- Zur Identifizierung eines Stichprobenwerts als Ausreißer gibt es einfache
Kriterien - z.B. die Unter- bzw. Überschreitung der mit dem
Interquartilabstand IQR gebildeten robusten Grenzen
Q1-1.5 IQR bzw. Q3+1.5 IQR (Boxplot!) - oder spezielle Testverfahren.
• Grubbs-Test zur Identifizierung eines einzelnen Ausreißers:
- Voraussetzung: X ~ N(µ, σ2); Überprüfung mit einem NormalQQ-Plot
- Testentscheidung:
H0: „Der Wert mit dem größten Abstand vom arithmetischen
Mittel ist kein Ausreißer“ wird auf dem Testniveau α abgelehnt,
wenn
Gs =
max xi − x
i =1,..., n
s
> g n ,α =
n −1
n
c2
n − 2 + c2
gilt; dabei ist c das α/(2n)-Quantil der t-Verteilung mit f=n-2
Freiheitsgraden.
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
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34
Beispiel 4.6:
Durch einen Eingabefehler möge der zehnte Wert x10=5.17 der Stichprobe im
vorangehenden Beispiel auf 1.17 verfälscht. Man zeige, dass dieser Wert mit dem
Grubbs-Test auf 5%igem Niveau als Ausreißer identifiziert werden kann.
Lösung mit R:
>
>
>
+
+
>
>
>
>
>
>
>
>
# Beispiel 4.7
options(digits=4)
x <- c(4.81, 5.16, 4.50, 4.85, 5.15, 5.21, 4.68, 4.80, 4.61, 1.17,
+
4.82, 4.98, 5.06, 5.01, 5.12, 5.62, 4.95, 5.16, 5.20, 4.94,
+
4.72, 5.32, 5.23, 4.85, 5.56, 4.51, 5.02, 4.72, 4.78, 5.27)
# Prüfung der Normalverteilungsannahme mit dem Normal-QQ-Plot
qqnorm(x, xlab = "N(0,1)-Quantile", ylab = "empirische Quantile")
qqline(x, probs = c(0.25, 0.75))
# Grubbs-Test:
# H0: extremer Wert ist Ausreißer, wenn Gs > Gkrit
n <- length(x) # Stichprobenumfang
mw <- mean(x); s <- sd(x) # Schätzung der Verteilungsparameter
print(cbind(mw, s))
mw
s
[1,] 4.859 0.7494
> Gs <- max(abs(x-mw))/s; Gs # Realisierung der Testgroesse
[1] 4.923
> alpha <- 0.05; c <- qt(alpha/2/n, n-2); c
[1] -3.479
> Gcrit <- (n-1)/sqrt(n)*sqrt(c^2/(n-2+c^2)); Gcrit # kritischer Wert
[1] 2.908
4
3
1
2
empirische Quantile
5
Normal Q-Q Plot
-2
-1
0
1
2
N(0,1)-Quantile
Übungsbespiele zu den 1-Stichprobenvergleichen
11. Es sei X eine N(µ, σ2)-verteilte Zufallsvariable mit der Varianz σ2=4. Man prüfe die
Hypothesen H0: µ=15 gegen H1: µ ≠ 15 mit dem 2-seitigen Gauß-Test auf der
Grundlage der Beobachtungsreihe
15.6, 17.3, 15.0, 13.7, 11.1, 15.2, 14.7, 13.4, 14.4, 11.9, 10.4, 14.5
und argumentiere die Testentscheidung sowohl mit dem P-Wert als auch mit dem
Ablehnungsbereich. Als Signifikanzniveau sei α=5% vereinbart.
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06.01.2014
35
12. An Hand einer Stichprobe mit dem Umfang n=10 und dem arithmetischen Mittel
x =0.827 soll mit dem Gauß-Test geprüft werden, ob der Mittelwert eines
N(µ, σ2)-verteilten Untersuchungsmerkmals X den Sollwert µ0=0.8 überschreitet.
Dabei sei σ=0.05 und α=1%. Ist die Überschreitung signifikant? Man bestimme
ferner die Wahrscheinlichkeit einer Testentscheidung für H1, wenn die
Überschreitung ∆=0.027 beträgt.
13. Es soll die Abweichung einer Messgröße X von einem vorgegebenen Sollwert
µ0=1.5 geprüft werden. Da X als normalverteilt angenommen werden kann und
überdies ein genauer Schätzwert für die Standardabweichung, nämlich σˆ =0.3,
bekannt ist, wird die Prüfung mit dem 2-seitigen Gauß-Test vorgenommen und
dabei das Signifikanzniveau α=5% vereinbart. Wie groß ist der
Stichprobenumfang zu planen, damit man mit dem Test eine kritische
Abweichung von 10% des Sollwerts mit 80%iger Sicherheit als signifikant
erkennen kann.
14. Von einer Messstelle wurden die folgenden Werte der Variablen X (SO2Konzentration der Luft in mg/m3) gemeldet: 32, 41, 33, 35, 34. a) Weicht die
mittlere SO2-Konzentration signifikant vom Wert µ0=30 ab? Als Testniveau sei
α=5%$ vereinbart. b) Welcher Mindeststichprobenumfang müsste geplant
werden, um mit dem Test eine Abweichung vom Referenzwert m0 um 5% (des
Referenzwertes) mit einer Sicherheit von 95% erkennen zu können?
15. Bei einer Untersuchung der Cd-Belastung von Forellen in einem Fließgewässer
wurden n=10 Forellen gefangen und der Cd-Gehalt X (in µg/g Frischgewicht)
bestimmt. Die Auswertung ergab den Mittelwert x =62 und die
Standardabweichung s=7. a) Kann aus den Angaben geschlossen werden, dass
der mittlere Cd-Gehalt signifikant (α=5%) über dem vorgegebenen Referenzwert
µ0=60 liegt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mit dem Test eine
Überschreitung des Referenzwerts in der Höhe der beobachteten Überschreitung
als signifikant erkennt?
16. Bei der Inbetriebnahme einer Anlage zur Abfüllung einer Lösung in Flaschen mit
der Nennfüllmenge von 0.5l wurden in einem Probebetrieb die folgenden
Füllmengen X (in l) gemessen:
0.491, 0.488, 0.493, 0.538, 0.493, 0.478, 0.506, 0.459, 0.471, 0.480.
a) Kann man aus den Daten schließen, dass die Nennfüllmenge nicht erreicht
wird? Das Testniveau sei mit α=0.01 festgelegt. b) Ist der Stichprobenumfang
ausreichend groß, um eine Unterschreitung in der Höhe von 10ml mit einer
Sicherheit von 90% feststellen zu können?
17. Die Verpackung einer bestimmten Zigarettensorte weist einen mittleren
Nikotingehalt von 15 mg pro Zigarette aus. Es wird eine Zufallsstichprobe von 100
Zigaretten getestet. Dabei ergaben sich ein mittlerer Nikotingehalt von 16.5 mg
und eine Standardabweichung von 4 mg. Kann aus dem Ergebnis der Stichprobe
auf 1%igem Signifikanzniveau der Schluss gezogen werden, dass der
tatsächliche Nikotingehalt im Mittel über 15 mg liegt? (Überschreitung sign.)
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18. Es sei X eine normalverteilte Umweltmessgröße mit dem (unbekannten)
Mittelwert µ und der Standardabweichung σ=10. Mit Hilfe einer Stichprobe soll
geprüft werden, ob eine Überschreitung des Grenzwertes K vorliegt, wobei das αRisiko mit 5% vorgegeben ist und eine kritische Überschreitung von 6.5 mit
90%iger Sicherheit erkannt werden soll. Welcher Stichprobenumfang ist zu
planen? (21)
19. Von einer Messstelle wurden die folgenden Werte der Variablen X (SO2Konzentration der Luft in mg/m3) gemeldet: 32, 41, 33, 35, 34.
a) Weicht die mittlere SO2-Konzentration signifikant vom Wert µo=30 ab? (α=5%)
b) Welcher Mindeststichprobenumfang müsste in 6 geplant werden, um mit dem
Test eine Abweichung vom Referenzwert µo um 5% (des Referenzwertes) mit
einer Sicherheit von 95% erkennen zu können? (sign. Abweichung; 73)
20. Es sei X eine normalverteilte Messgröße mit der Varianz 0,25; für X ist der
Nennwert 1,75 vorgegeben. Zur Prüfung auf eine allfällige Abweichung vom
Nennwert wird der t-Test eingesetzt; als Testniveau ist 5% vorgesehen. Wie groß
muss der Stichprobenumfang geplant werden, um eine kritische Abweichung um
0,15 Einheiten mit 90%iger Sicherheit erkennen zu können? (117)
21. Die Messung der Ozonkonzentration während der Sommermonate ergab für eine
Großstadt die in der folgenden Tabelle enthaltenen Werte (Angaben in 10-2 ppm).
a) Liegt die mittlere Ozonkonzentration signifikant über dem Wert µo=5?
b) Welcher Mindeststichprobenumfang müsste geplant werden, um mit dem Test
eine Überschreitung von µo um 10% mit einer Sicherheit von 90% erkennen zu
können? (α = 5%) (Überschreitung n. sign.; 93)
2.5
3.0
5.6
4.7
6.5
6.7
1.7
5.3
4.6
7.4
5.4
4.1
5.1
5.6
5.4
6.1
7.6
6.2
6.0
5.5
5.8
8.2
3.1
5.8
2.6
22. In einer Studie wurde u.a. das Ges. Eiweiß i.S. am Beginn und am Ende einer
Behandlung bestimmt. Bei 40 Probanden war eine Veränderung zu beobachten:
27 Probanden, bei denen der Eiweißwert vorher im Normbereich lag, wiesen
nachher einen Wert außerhalb des Normbereichs auf; bei 13 Probanden lag der
Eiweißwert vorher außerhalb und nachher im Normbereich.
a) Man prüfe auf 5%igem Niveau, ob der Anteil der Probanden, bei denen der
Eiweißwert vorher außerhalb und nachher innerhalb des Normbereichs lag,
signifikant von 0.5 abweicht.
b) Welcher Stichprobenumfang müsste geplant werden, damit der approximative)
Binomialtest mit 90%iger Sicherheit ein signifikantes (a=5%) Ergebnis liefert,
wenn p=p0+0.15 ist?
23. Im Rahmen einer Untersuchung des Ernährungsstatus von Schulkindern wurde
u.a. das Gesamtcholesterin erfasst. In einer Stichprobe aus den Kindern der
Volksschule einer bestimmten Region war der Cholesterinwert bei 45 von 75
Kindern im Normbereich.
a) Man prüfe auf 5%igem Niveau, ob der Anteil der Schulkinder im Normbereich
signifikant über 50% liegt.
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b) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit (Power), mit dem Test eine
berschreitung von p0 um ∆=0.1 als signifikant zu erkennen.
24. Von einer Abfüllanlage sei bekannt, dass die abgefüllten Einheiten nur mit 5%iger
Wahrscheinlichkeit nicht eine vorgegebene Mindestmenge aufweisen. Nach einer
Neueinstellung der Anlage wurden im Probelauf 150 Packungen zufällig
ausgewählt und dabei festgestellt, dass in 4 Fällen die Mindestmenge nicht
erreicht wurde. Die Frage ist, ob dieses Ergebnis eine signifikante
Unterschreitung des Sollwertes p0=5% anzeigt (α=5%).
25. Für eine Blumenzwiebelsorte wird eine Keimfähigkeit von mindestens 75%
garantiert. In einer Stichprobe von n=60 keimten 35 Zwiebeln. a) Liegt eine
signifikante Abweichung vom garantierten Ergebnis vor? Man prüfe diese Frage
auf dem Signifikanzniveau α=5%. b) Welche Fallzahl ist notwendig, um eine
Unterschreitung des garantierten Anteils um 0.1 mit einer Sicherheit von 90%
feststellen zu können? (Unterschreitung sign.; 214)
26. In einer Studie über die Behandlung von akuten Herzinfarktpatienten wurde einer
Standardtherapie mit einer neuen Therapie verglichen. Es wurden 160 Patienten
mit der neuen Therapie behandelt, von denen 20 innerhalb von 4 Wochen
verstarben. Bei Anwendung der Standardtherapie muss eine
Sterbewahrscheinlichkeit von po =0,2 angenommen werden. Man prüfe mit dem
Binomialtest, ob die neue Therapie ein signifikant unter po =0,2 liegendes
Sterberisiko ergibt (α=5%). (Unterschr. sign.)
27. In sogenannten Fall-Kontroll-Studien werden Vierfeldertafeln verwendet, um die
Verteilung eines (zweistufigen) Risikofaktors (Raucher/Nichtraucher) in einer
Testgruppe und einer Kontrollgruppe darzustellen. Die Tabelle zeigt die
(hypothetische) Vierfeldertafel einer Fall-Kontroll-Studie.
Raucher
Nichtraucher
Testgruppe
87
60
Kontrolle
78
45
a) Man prüfe für die Testgruppe, ob der Anteil der Raucher signifikant über
p0=0,5 liegt. (α=5%)? (Überschr. sign.)
b) Welcher Mindeststichprobenumfang müsste geplant werden, um mit dem
Binomialtest eine Überschreitung von p0 =0,5 um 0,05 Einheiten mit einer
Sicherheit von 80% erkennen zu können? (700)
28. Es soll gezeigt werden, dass die Stichprobewerte 210, 199, 195, 210, 217, 226,
220, 221, 182 mit der Annahme einer normalverteilten Grundgesamtheit X
vereinbar sind. Man führe den Nachweis auf 5%igem Testniveau.
29. Von einer Pflanze erhielt Mendel (1866) insgesamt 62 Samen von denen 44 gelb
und 18 grün gefärbt waren. Man zeige, dass das Verhältnis 44:18 der
beobachteten Anzahlen nicht "signifikant" vom theoretischen
Aufspaltungsverhältnis 3:1 abweicht ( = 5%)?
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30. In einer Studie mit 5 Probanden wurde eine bestimmte Zielgröße X am
Studienbeginn (Xb) und – nach erfolgter Behandlung - am Studienende (Xe)
gemessen.
Xb 57 73 44 27 32
Xe 59 74 46 26 35
a) Man erfasse die Wirkung der Behandlung durch die Differenz Y= Xe - Xb und
prüfe, ob der Mittelwert von Y signifikant von Null abweicht (α=5%). (nein)
b) Was kann über die Versuchsplanung in a) gesagt werden? Welcher
Mindeststichprobenumfang müsste geplant werden, um mit dem Test eine
Abweichung von Null in der Höhe von 50% des Mittelwerts von Y mit einer
Sicherheit von 90% als signifikant erkennen zu können? (50)
31. Mit einem statistischen Test soll geprüft werden, ob die Alternativhypothese H1
(z.B. Messgröße überschreitet im Mittel einen vorgegebenen Grenzwert) zutrifft,
also die Nullhypothese H0 abgelehnt werden kann. Als Testniveau sei 5%
vorgegeben, d.h. für die Wahrscheinlichkeit einer irrtümlichen Entscheidung
gegen H0 soll gelten: P(Entscheidung für H1|H0) = 5%. Der Versuch wurde mit
der Power P(Entscheidung für H1|H1) = 90% geplant. Wie groß ist die posteriori
Wahrscheinlichkeit P(H1|Entscheidung für H1), wenn die a-priori
Wahrscheinlichkeit dafür, dass H1 zutrifft, gleich 5% ist? (48,6%)
32. Die folgende Tabelle enthält Produktivitätsdaten von 60 Kohorten von je 15
weiblichen Tsetsefliegen. Als Produktivitätsmaß wird die Anzahl Y der Puparien
verwendet, die in einer Kohorte bis zum 78ten Lebenstag abgelegt werden.
a) Man vergleiche den Mittelwert von Y mit dem Wert 55; liegt eine signifikante Abweichung vor?
Liegt die Standardabweichung signifikant über dem Wert 10? (jeweils 5%-Testniveau)
(Mittelwert: Abw. nicht sign., Standardabweichung: Überschr. sign.)
b) Welcher Stichprobenumfang müsste geplant werden, um eine Abweichung des Mittelwerts
(vom Referenzwert) in der beobachteten Höhe mit 90%iger Sicherheit erkennen zu können?
(162)
c) Man stelle fest, ob die Werte der Variablen Y im Einklang mit der Annahme „H0: Y ist
normalverteilt“ stehen (α = 5%).
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Y
Nr.
72
11
81
12
55
13
55
14
50
15
53
16
70
17
79
18
42
19
69
20
Y
Nr.
54
21
57
22
69
23
62
24
73
25
58
26
46
27
50
28
27
29
68
30
Y
Nr.
67
31
59
32
49
33
51
34
65
35
56
36
58
37
67
38
66
39
74
40
Y
Nr.
51
41
69
42
64
43
68
44
73
45
81
46
54
47
65
48
58
49
61
50
Y
Nr.
59
51
65
52
60
53
43
54
52
55
57
56
37
57
39
58
49
59
51
60
Y
58
58
60
66
75
41
40
51
37
38
33. Zur Untersuchung der Frage, welchen Anteil die Skelettmasse an der
Körpermasse bei Vögeln bzw. Säugetieren hat, wurden für verschiedene Vögel
und Säugetiere die Skelettmasse Y und die Körpermasse X (alle Angaben in kg)
bestimmt. Jemand behauptet, dass die Skelettmasse 5% der Körpermasse
ausmacht. Stehen die folgenden Daten in Widerspruch zu dieser Aussage? Man
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nehme eine Überprüfung auf 5%igem Niveau für Vögel und Säugetiere vor.
(Vögel: ja, Säugetiere: ja)
Vögel
Y
X
1,995
40,667
0,072
1,225
0,0054
0,163
0,203
2,504
0,043
0,701
0,027
0,416
0,186
2,379
0,0058
0,124
0,028
0,427
0,00174
0,031
0,00182
0,029
0,00102
0,02
0,024
0,383
0,00618
0,144
0,00184
0,038
0,00297
0,069
0,00183
0,045
0,00076
0,013
0,00128
0,023
0,00049
0,0087
0,00062
0,0126
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
Säugetiere
Y
X
0,193
3,35
0,227
3,915
0,0003
0,0063
0,039
0,79
0,027
0,82
0,244
4,836
0,002
0,03
0,015
0,275
0,02
0,365
0,0025
0,03
0,0076
0,115
1,146
22,7
0,748
11,95
0,25
3,395
0,107
2,46
0,224
4,26
0,233
4,21
0,0173
0,35
0,27
4,45
0,448
6,725
0,135
1,56
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40
5 ZWEISTICHPROBENVERGLEICHE MIT METRISCHEN
UNTERSUCHUNGSMERKMALEN
5.1
Die Versuchsanlagen „Parallelversuch“ und „Paarvergleich“ zum
Vergleich von zwei Merkmalen unterscheiden können.
Parallelversuch:
• grundlegende Versuchsanlage, um unter kontrollierten
Bedingungen zwei Gruppen hinsichtlich eines interessierenden
Untersuchungsmerkmals X (z.B. Präparatwirkung) zu vergleichen.
Bei einem metrischen Untersuchungsmerkmal geht es dabei meist
um einen Vergleich von Mittelwerten unter zwei
Versuchsbedingungen, bei einem alternativ skalierten
Untersuchungsmerkmal erfolgt der Vergleich der Gruppen in der
Regel an Hand der relativen Häufigkeiten einer
Merkmalsausprägung.
• Aus einer "Zielpopulation" wird eine bestimmte Anzahl von
Untersuchungseinheiten (Probanden, Patienten, Proben)
ausgewählt und damit zwei (möglichst gleich große) Gruppen,
sogenannte "Parallelgruppen" gebildet. Die eine Gruppe ist die
Testgruppe (z.B. zur Erprobung eines neuen Präparates), die
andere Gruppe in der Regel eine Kontrollgruppe (z.B. eine
Placebogruppe oder eine mit einem herkömmlichen Präparat
behandelte Gruppe). Durch eine zufällige Zuordnung der
Untersuchungseinheiten erreicht man, dass die Gruppen
"strukturgleich" sind. Das bedeutet, dass es in den Gruppen außer den angewendeten Behandlungen - keine weiteren
systematischen Einflussfaktoren gibt.
• Organisation der Beobachtungsdaten beim Parallelversuch:
Die Variablen X1 und X2 bezeichnen das Untersuchungsmerkmal in
den Parallelgruppen; x11, x21, …, xn1,1 und x12, x22, …, xn2,2 sind die
an den Untersuchungseinheiten der jeweiligen Gruppe
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41
beobachteten Werte von X1 bzw. X2. Man beachte, dass zwischen
den Untersuchungseinheiten der Parallelgruppen keinerlei
Beziehung besteht, die eine Anordnung in Paaren rechtfertigen
würde. Vielmehr können die Untersuchungseinheiten (und
entsprechend die Stichprobenwerte) der Testgruppe unabhängig
von jenen der Kontrollgruppe angeordnet werden. Es ist daher
üblich, den Parallelversuch auch als einen Versuch mit
unabhängigen Stichproben zu bezeichnen. Die Unabhängigkeit der
Stichproben kommt auch darin zum Ausdruck, dass die
Stichprobenumfänge n1 und n2 der Parallelgruppen grundsätzlich
verschieden sein können; dennoch sollten symmetrische
Versuchsanlagen mit n1=n2 angestrebt werden, weil sie i. Allg.
eine höhere Testgüte aufweisen.
Paarvergleich (oder 2-Stichprobenproblem mit abhängigen
(oder verbundenen) Stichproben:
• Auf Grund eines sachlogischen Zusammenhangs kann jeder Wert
der einen Stichprobe mit einem Wert der anderen Stichprobe zu
einem Wertepaar zusammengefasst werden kann. Ein solcher
Zusammenhang ist z.B. gegeben, wenn die Stichprobenwerte
durch zweimaliges Beobachten an ein und derselben
Untersuchungseinheit gewonnen wurden.
• Typische Anwendungsfälle sind die sogenannten selbstkontrollierten Versuche zur Prüfung eines allfälligen
Behandlungseffektes: Um die Auswirkung einer Behandlung auf
eine Zielvariable zu prüfen, werden aus einer Zielpopulation n
Probanden ausgewählt und an jedem Probanden die Zielvariable
vor der Behandlung (Variable X1) sowie nach erfolgter Behandlung
(Variable X2) beobachtet. Von jedem Probanden liegt also ein Paar
von Beobachtungswerten vor. Die aus einem Paarvergleich
resultierenden Stichproben sind daher als Spalten einer
Datenmatrix zu sehen, in der jede Zeile einem "Block" (z.B. einem
Probanden) entspricht, über den die Stichprobenwerte zu
Wertepaaren verbunden werden.
• Organisation der Beobachtungsdaten beim Paarvergleich:
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42
Übersicht über grundlegende 2-Stichproben-Tests im Rahmen von
Parallelversuchen (mit unabhängigen Stichproben) und Paarvergleichen
(mit abhängigen Stichproben) für normalverteilte
Untersuchungsmerkmale:
Die Grafik enthält zusätzlich den Rangsummen-Test von Wilcoxon,
den Wilcoxon-Test für Paardifferenzen sowie den Vorzeichen-Test
als nichtparametrische Alternativen zum 2-Stichproben-t-Test bzw.
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
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43
zum Differenzen-t-Test. Den Testbezeichnungen sind die
entsprechenden R-Funktionen beigefügt.
5.2:
Mit dem F-Test entscheiden können, ob die Varianzen von zwei
unabhängigen Stichproben normalverteilter Variablen voneinander
abweichen bzw. die eine Varianz die andere überschreitet/
unterschreitet.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten und Modell:
Es liegen die (voneinander unabhängigen) Stichproben x11, x21, …,
xn1,1 und x12, x22, …, xn2,2 mit den Varianzen σ12 bzw. σ22 vor; die xi1
(i=1,2,…,n1) sind Realisierungen der (unabhängigen und identisch
verteilten) Zufallsvariablen Xi1 ~ N(µ1, σ12); analog sind die xi2
(i=1,2,…,n2) Realisierungen der Zufallsvariablen Xi2 ~ N(µ2, σ22).
Aus den Zufallsvariablen Xi1 und Xi2 werden die
Stichprobenvarianzen S12 bzw. S22 gebildet.
• Hypothesen und Testgröße:
Der Vergleich der Varianzen σ12 und σ22 erfolgt nach einer der
folgenden Testvarianten:
H0 : σ12 = σ22 gegen H1 : σ12 ≠ σ22 (Variante II)
H0 : σ12 ≤ σ22 gegen H1 : σ12 > σ22 (Variante Ia),
H0 : σ12 ≥ σ22 gegen H1 : σ12 < σ22 (Variante Ib),
Als Testgröße wird das Varianzverhältnis TG=S12/S22 verwendet,
das unter H0 F-verteilt ist mit den Freiheitsgraden f1=n1-1 und
f2=n2-1. Setzt man für S12 und S22 die aus den beiden Stichproben
berechneten Varianzen s12 bzw. s22 ein, ergibt sich die
Realisierung TGs=s12/s22 der Testgröße6.
• Entscheidung mit dem P-Wert7:
P < α ⇒ H0 ablehnen; dabei ist
P=1-Fn1-1, n2-1(TGs) + Fn2-1, n1-1(1/TGs)=2[1-Fn1-1, n2-1(TGs)] für die
zweiseitige Testvariante II,
6
Im Falle der Testvarianten Ia und Ib möge TGs ≥ 1 bzw. TGs ≤ 1 gelten. Im Falle der 2-seitigen
Testvariante nehmen wir TGs ≥ 1 an, was durch entsprechende Bezeichnung der Stichproben stets
erreicht werden kann.
7
Der P-Wert wurde als Wahrscheinlichkeit definiert, dass - bei Gültigkeit von H0 - die Testgröße einen
Wert annimmt, der zumindest so extrem (in Richtung der Alternativhypothese) liegt, wie die
beobachtete Realisierung. In R werden die P-Werte des F-Tests mit der Funktion var.test() bestimmt.
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06.01.2014
44
P=1-Fn1-1, n2-1(TGs) für die Variante Ia,
P=Fn1-1, n2-1(TGs) für die Variante Ib;
Fn1-1, n2-1 und Fn2-1, n1-1 bezeichnen die Verteilungsfunktionen der FVerteilung mit den Freiheitsgraden f1=n1-1, f2=n2-1 bzw. f1=n2-1,
f2=n1-1.
• Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich:
H0 wird abgelehnt, wenn
TGs < Fn1-1, n2-1, α/2 oder TGs > Fn1-1, n2-1,1-α/2 (Variante II) bzw.
TGs>Fn1-1, n2-1, 1-α (Variante Ia) bzw.
TGs<Fn1-1, n2-1, α (Variante Ib) gilt8;
Dabei bezeichnet Fn1-1, n2-1,γ das γ-Quantil der F-Verteilung mit den
Freiheitsgraden f1=n1-1, f2=n2-1.
Beispiel 5.2:
Bei einer Untersuchung der Cd-Belastung von Forellen in einem
Fließgewässer wurden an zwei Stellen je zehn Forellen gefangen und
der Cd-Gehalt X (in mg/g Frischgewicht) bestimmt. Dabei ergaben sich
die Messwerte
Stelle 1: 76.8, 72.3, 74.0, 73.2, 46.1, 76.5, 61.9, 62.4, 65.9, 62.4
Stelle 2: 64.4, 60.0, 59.4, 61.2, 52.0, 58.1, 55.8, 62.0, 57.8, 57.2.
Man nehme an, dass die Cd-Belastungen der Forellen an den Stellen 1 (Variable X1)
und 2 (Variable X2) näherungsweise normalverteilt sind.
Die Frage ist, ob sich die Varianzen von X1 und X2 auf 5%igem Testniveau signifikant
unterscheiden.
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
# Beispiel 5.1 (F-Test)
x1 <- c(76.8, 72.3, 74.0, 73.2, 46.1, 76.5, 61.9, 62.4, 65.9, 62.4)
x2 <- c(64.4, 60.0, 59.4, 61.2, 52.0, 58.1, 55.8, 62.0, 57.8, 57.2)
options(digits=4)
# H0: sigma1^2 = sigma2^2 gegen H1: sigma1^2 <> sigma2^2
alpha <- 0.05; n1 <- n2 <- length(x1)
x1quer <- mean(x1); var1 <- var(x1)
x2quer <- mean(x2); var2 <- var(x2)
print(cbind(n1, x1quer, var1))
n1 x1quer var1
[1,] 10 67.15 89.77
> print(cbind(n2, x2quer, var2))
n2 x2quer var2
[1,] 10 58.79 12.05
> TGs <- var1/var2; P <- 1-pf(TGs, n1-1, n2-1)+pf(1/TGs, n2-1, n1-1)
> print(cbind(alpha, TGs, P))
alpha TGs
P
[1,] 0.05 7.45 0.006268
> # Loesung mit R-Funktion var.test():
> var.test(x1, x2, ratio = 1, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95)
F test to compare two variances
data: x1 and x2
F = 7.45, num df = 9, denom df = 9, p-value = 0.006268
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
8
Bildet man die Testgröße so, dass die größere Varianz im Zähler steht, reduziert sich im Fall der
zweiseitigen Testvariante die Bedingung für die Ablehnung von H0 auf TGs > Fn1-1, n2-1, 1-α/2.
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06.01.2014
45
1.85 29.99
sample estimates:
ratio of variances
7.45
Wegen P = 0.63% < 5% wird H0 abgelehnt.
5.3
Mit dem Zwei-Stichproben-t-Test die Mittelwerte von zwei mit gleichen
Varianzen normalverteilten Untersuchungsmerkmalen vergleichen
können.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten und Modell:
Es liegen zwei (unabhängige) Beobachtungsreihen x11, x21, ...,
xn1,1 bzw.
x12, x22, ..., xn2,2 vor. Die Mittelwerte und
Varianzen der Stichproben seien x1 und x2 bzw. s12 und s22. Die
unter der ersten Versuchsbedingung beobachteten
Merkmalswerte xi1 sind Realisierungen der (unabhängigen und
identisch verteilten) Zufallsvariablen Xi1 ~ N(µ1, σ21)
(i=1,2,...,n1); das mit diesen Variablen gebildete
Stichprobenmittel sei X 1 , die Stichprobenvarianz sei S12.
Entsprechend sind die xi2 Realisierungen der Zufallsvariablen
Xi2 ~ N(µ2, σ22) (i=1,2,...,n2), aus denen wir das
Stichprobenmittel X 2 sowie die Stichprobenvarianz S22 bilden.
Es gelte: σ21 = σ22 (Varianzhomogenität ).
• Hypothesen:
Der Vergleich der Mittelwerte µ1 und µ2 erfolgt nach einer der
folgenden Testvarianten:
H0: µ1 = µ2 gegen H1: µ1 ≠ µ2 (Variante II)
H0: µ1 ≤ µ2 gegen H1: µ1 > µ2 (Variante Ia)
H0: µ1 ≥ µ2 gegen H1: µ1 < µ2 (Variante Ib)
• Testgröße:
TG =
X1 − X 2
~ t n1 +n2 −2 für µ1 = µ 2
1
1
S p2
+
n1 n2
mit
( n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S 22
Sp =
n1 + n2 − 2
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06.01.2014
46
Ersetzt man X 1 und X 2 durch die arithmetischen Mittel x1 bzw. x2
sowie S12 und S22 durch die Varianzen s12 bzw. s22, so erhält man
die Realisierung TGs der Testgröße. Im Falle der Testvarianten Ia
und Ib möge TGs ≥ 0 bzw. TGs ≤ 0 gelten.
• Entscheidung mit dem P-Wert9:
P < α ⇒ H0 ablehnen; dabei ist
P=2Fn1+ n2-2(-|TGs|) für die zweiseitige Testvariante II,
P=1-Fn1+ n2-2(TGs) für die Variante Ia,
P=Fn1+ n2-2(TGs) für die Variante Ib;
Fn1+ n2-2 bezeichnet die Verteilungsfunktionen der t-Verteilung mit
dem Freiheitsgrad f=n1+ n2-2.
• Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich:
H0 wird auf dem Testniveau α abgelehnt, wenn
|TGs | > tn1+ n2-2,1-α/2 (Variante II) bzw.
TGs > tn1+ n2-2, 1-α (Variante Ia) bzw.
TGs < - tn1+ n2-2,1- α (Variante Ib) gilt;
Dabei bezeichnet tn1+ n2-2,γ das γ-Quantil der t-Verteilung mit dem
Freiheitsgrad f=n1+n2-2.
• Planung des Stichprobenumfangs:
Um auf dem Niveau α mit der Sicherheit 1- β eine Entscheidung für
H1 herbeizuführen, wenn µ1 von µ2 um ∆ ≠ 0 im Sinne der
Alternativhypothese abweicht, kann für symmetrische
Versuchsanlagen mit n1=n2=n im Falle der 2-seitigen Testvariante
II der erforderliche Mindeststichprobenumfang10
näherungsweise aus
2σ 2
2
n ≈ 2 (z1−α / 2 + z1−β )
∆
Bestimmt werden. Im Falle der 1-seitigen Testvarianten Ia und Ib
ist α/2 durch α zu ersetzen. Bei der Anwendung dieser Formeln
muss ein Schätzwert für σ2 zur Verfügung stehen, z.B. eine
Realisierung der gewichteten Stichprobenvarianz Sp2.
9
Die P-Werte für die Varianten des 2-Stichproben-t-Tests erhält man z.B. mit der R-Funktion t.test(),
wenn der Parameter var.equal=TRUE gesetzt wird. Mit der Festlegung var.equal=FALSE
(Voreinstellung) führt die R-Funktion t.test() den im folgenden behandelten Welch-Test zum Vergleich
zweier Mittelwerte bei ungleichen Varianzen aus.
10
Eine exakte Bestimmung des erforderlichen Mindeststichprobenumfangs kann wie im Falle des 1Stichproben-t-Tests z.B. mit der R-Funktion power.t.test() vorgenommen werden. Wenn man n1=n2=n,
∆, σ und α vorgibt, liefert diese Funktion die entsprechenden Werte der Gütefunktion des 2Stichproben-t-Tests.
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47
Beispiel 5.3:
Die Konzentration (in µg/dl) von Eisen im Blutserum wurde bei
15- bis 18-jährigen Schülern (Variable X1) und Schülerinnen (Variable X2) bestimmt.
Die verwendeten Zufallsstichproben haben jeweils den Umfang n1=n2=20, die
Mittelwerte sind x1 =102.1, x 2 =81.4 und die Standardabweichungen s1=39.1,
s2=42.5.
a) Unter der Annahme von mit gleichen Varianzen normalverteilten
Grundgesamtheiten X1 ~ N(µ1, σ2) und X2 ~ N(µ2, σ2) zeigen wir, dass die
beobachteten Mittelwerte x1 und x 2 sich auf 5%igem Niveau nicht signifikant
unterscheiden.
b) Anschließend bestimmen wir den erforderlichen
Mindeststichprobenumfang, der geplant werden müsste, um mit dem Test bei einem
Mittelwertunterschied von ∆=µ1- µ2=20 mit 90%iger Sicherheit ein signifikantes
Ergebnis zu erhalten.
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
# Beispiel 5.2
options(digits=4)
xquer1 <- 102.1; xquer2 <- 81.4 # Mittelwerte
s1 <- 39.1; s2 <- 42.5 # Standardabweichungen
n1 <- n2 <- 20 # Stichprobenumfänge
# a) H0: mu1=mu2 gegen mu1 <> mu2
alpha <- 0.05; f <- n1+n2-2
sp2 <- ((n1-1)*s1^2+(n2-1)*s2^2)/f; sp <- sqrt(sp2)
tgs <- (xquer1-xquer2)/sp*sqrt(n1*n2/(n1+n2))
# Entscheidung mit Ablehnungsbereich
q <- qt(1-alpha/2, f)
# Entscheidung mit P-Wert
P <- 2*pt(-abs(tgs), f)
print(cbind(alpha, f, q, sp, tgs, P))
alpha f
q
sp
tgs
P
[1,] 0.05 38 2.024 40.84 1.603 0.1172
Wegen P = 11.72% ≥ 5% kann H0 nicht abgelehnt werden.
>
>
>
>
>
# b) Mindeststichprobenumfang: Berechnung mit Näherungsformel
Delta <- 20; beta <- 0.1
qa <- qnorm(1-alpha/2); qb <- qnorm(1-beta)
n <- 2*sp2/Delta^2*(qa+qb)^2
print(cbind(alpha, qa, beta, qb, n))
alpha
qa beta
qb
n
[1,] 0.05 1.96 0.1 1.282 87.61
> # Mindeststichprobenumfang, exakte Rechnung mit R-Funktion
> power.t.test(delta=20, sd=sp, sig.level=0.05, power=0.9,
+
type="two.sample", alternative="two.sided")
Two-sample t test power calculation
n
delta
sd
sig.level
power
alternative
=
=
=
=
=
=
88.58
20
40.84
0.05
0.9
two.sided
NOTE: n is number in *each* group
Hinweis:
Wird der F-Test in Verbindung mit dem 2-Stichproben t-Test als „Vortest“ zum
Nachweis der Varianzhomogenität eingesetzt, kann das Gesamtirrtumsrisiko αg für
beide Testentscheidungen bis knapp 2α ansteigen. Diesen nicht erwünschten
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48
Nebeneffekt vermeidet man, wenn als Alternative zum Mittelwertvergleich mit dem 2Stichproben t-Test und dem F-Test als Vortest der folgende, nicht ganz so „scharfe“
Welch-Test eingesetzt wird.
5.4
Mit dem Welch-Test können die Mittelwerte von zwei normalverteilten
Untersuchungsmerkmalen (bei gleichen oder ungleichen Varianzen)
vergleichen können.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten und Modell, Hypothesen:
wie beim Zwei-Stichproben-t-Test bis auf die Voraussetzung
σ21 = σ22 (Varianzhomogenität ).
• Testgröße:
TG =
X1 − X 2
S / n1 + S / n2
mit f =
2
1
2
2
(s
2
1
)
(s
2
1
~ t f - verteilt (näherungsweise) für µ1 = µ 2
/ n1 + s22 / n2
2
(
)
2
)
2
/ n1 /(n1 − 1) + s / n2 /(n2 − 1)
2
2
(abgerundet auf ganze Zahl)
• Entscheidung:
analog zur Vorgangsweise beim Zwei-Stichproben-t-Test mit dem
P-Wert bzw. mit Hilfe des Ablehnungsbereichs; der dortige
Freiheitsgrad n1+n2-2 ist durch f zu ersetzen.
Beispiel 5.4:
Mit den Daten von Aufgabe 5.2 soll geklärt werden, ob der mittlere Cd-Gehalt an der
Stelle 1 auf 5%igem Testniveau signifikant über dem entsprechenden Wert an der
Stelle 2 liegt.
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
# Beispiel 5.3 (Welch-Test)
x1 <- c(76.8, 72.3, 74.0, 73.2, 46.1, 76.5, 61.9, 62.4, 65.9, 62.4)
x2 <- c(64.4, 60.0, 59.4, 61.2, 52.0, 58.1, 55.8, 62.0, 57.8, 57.2)
# H0: mu1 <= mu2 gegen mu1 > mu2
xquer1 <- mean(x1); s1 <- sd(x1)
xquer2 <- mean(x2); s2 <- sd(x2)
n1 <- n2 <- length(x1); se <- sqrt(s1^2/n1+s2^2/n2)
tgs <- (xquer1-xquer2)/se
fz <- (s1^2/n1+s2^2/n2)^2; fn <- (s1^2/n1)^2/(n1-1)+(s2^2/n2)^2/(n2-1)
f <- fz/fn
alpha <- 0.05; tq <- qt(1-alpha, f)
P <- 1-pt(tgs, f)
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49
> print(cbind(tgs, f, alpha, tq, P), digits=4)
tgs
f alpha
tq
P
[1,] 2.62 11.37 0.05 1.791 0.01163
> t.test(x1, x2, alternative="greater")
Welch Two Sample t-test
data: x1 and x2
t = 2.6199, df = 11.373, p-value = 0.01163
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
2.646589
Inf
sample estimates:
mean of x mean of y
67.15
58.79
Wegen P = 1.16% < 5% wird H0 abgelehnt.
5.5
Mit dem Differenzen-t-Test (paired t-test) die Mittelwerte von zwei
normalverteilten Untersuchungsmerkmalen an Hand von abhängigen
Stichproben (d.h. im Rahmen eines Paarvergleichs) vergleichen können.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten und Modell:
n Wertepaare (x11, x12), (x21, x22), ..., (xn,1, xn,2) durch Messung der
Variablen X1 (Mittelwert µ1) und X2 (Mittelwert µ2) an n
Untersuchungseinheiten
Differenzenstichprobe d1=x12 - x11, d2=x22 - x21, ..., dn=xn2 - xn1
mit Mittelwert d und Varianz sd2.
Jedes di ist Realisierung einer Zufallsvariablen Di ~N(µD, σD2) mit
µD=µ2-µ1
Stichprobenmittel D ~ N(µD, σD2/n), Stichprobenvarianz SD2
• Hypothesen und Testgröße:
Fall II:
H0: µD = 0 gegen H1: µD ≠ 0
Fall Ia:
H0: µD ≤ 0 gegen H1: µD > 0
Fall IIb:
H0: µD ≥ 0 gegen H1: µD < 0
TG =
D
~ tn−1 für µD = 0
SD / n
• Entscheidung mit dem P-Wert:
P < α ⇒ H0 ablehnen; dabei ist
P=2Fn-1(-|TGs|) für die zweiseitige Testvariante II,
P=1-Fn-1(TGs) für die Variante Ia,
P=Fn-1(TGs) für die Variante Ib;
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50
Fn-1 bezeichnet die Verteilungsfunktionen der t-Verteilung mit dem
Freiheitsgrad f=n-1.
• Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich:
H0 wird auf dem Testniveau α abgelehnt, wenn
|TGs | > tn-1,1-α/2 (Variante II) bzw.
TGs > tn-1, 1-α (Variante Ia) bzw.
TGs < - tn-1,1- α (Variante Ib) gilt;
Dabei bezeichnet tn-1,γ das γ-Quantil der t-Verteilung mit dem
Freiheitsgrad f=n-1.
• Planung des Stichprobenumfangs:
Um auf Niveau α mit der Sicherheit 1-β eine Entscheidung für H1
herbeizuführen, wenn µD von 0 um ∆ ≠ 0 im Sinne der
Alternativhypothese abweicht, ist das dafür notwendige n
näherungsweise im Fall II:
n≈
σ D2
∆
2
(z
1−α / 2
+ z1− β ) ;
2
in den Fällen Ia und Ib ist z1-α/2 durch z1-α zu ersetzen. Bei
Anwendung dieser Formeln muss ein Schätzwert für σD zur
Verfügung stehen.
Beispiel 5.5:
Ein einfaches Maß für die Wirkung W eines Präparats auf ein
Untersuchungsmerkmal ist die Differenz W=Xn-Xv aus dem Untersuchungsmerkmal
Xn nach und dem Untersuchungsmerkmal Xv
vor Gabe des Präparats. Es soll festgestellt werden, ob ein Testpräparat B im Mittel
eine größere Wirkung zeigt als ein Kontrollpräparat A. Die Untersuchung wird als
Paarvergleich so geplant, dass 10 Probanden zuerst mit dem Kontrollpräparat und
dann (nach einer angemessenen Zeitdauer zur Vermeidung von
Übertragungseffekten) mit dem Testpräparat behandelt werden. Die mit den
Präparaten A und
B erzielten (fiktiven) Wirkungen WA bzw. W B sind:
A:
B:
9.45, 8.50, 7.46, 10.10, 11.81, 9.70, 12.76, 7.03, 10.49, 5.01
11.56, 12.50, 7.15, 13.97, 9.35, 12.67, 13.14, 8.13, 11.64, 9.73
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
# Beispiel 5.5 (Differenzen t-Test)
wA <- c(9.45, 8.50, 7.46, 10.10, 11.81, 9.70, 12.76, 7.03, 10.49, 5.01)
wB <- c(11.56, 12.50, 7.15, 13.97, 9.35, 12.67, 13.14, 8.13, 11.64, 9.73)
xquerA <- mean(wA); sA <- sd(wA); xquerB <- mean(wB); sB <- sd(wB);
nA <- nB <- length(wA)
print(cbind(xquerA, xquerB, sA, sB, nA, nB), digits=4)
xquerA xquerB
sA
sB nA nB
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51
[1,] 9.231 10.98 2.31 2.274 10 10
> d <- wB-wA; dquer <- mean(d); sd <- sd(d); se <- sd/sqrt(n);
> print(cbind(dquer, sd, se), digits=4)
dquer
sd
se
[1,] 1.753 2.227 0.7041
> # H0: muB <=muA gegen H1: muB > muA <=> H0: muD<=0 gegen H1: muD>0
> # direkte Berechnung des P-Werts (Ablehungsbereichs)
> alpha <- 0.05; tgs <- dquer/se
> P <- 1-pt(tgs, n-1); tq <- qt(1-alpha, n-1)
> print(cbind(alpha, tgs, tq, P), digits=4)
alpha tgs
tq
P
[1,] 0.05 2.49 1.833 0.01722
> # Berechnung des P-Werts mit t.test()
> t.test(d, alternative="greater")
One Sample t-test
data: d
t = 2.4896, df = 9, p-value = 0.01722
alternative hypothesis: true mean is greater than 0
95 percent confidence interval:
0.4622372
Inf
sample estimates:
mean of x
1.753
Ergebnis: P=1.72% < 5%
H1
Übungsbeispiele zu den 2-Stichprobenvergleichen mit normalverteilten
Untersuchungsmerkmalen
1. a) Es soll untersucht werden, ob die mittlere Menge (in mg) eines Wirkstoffes in
mit der Anlage A hergestellten Produkten (Wirkstoffmenge XA) sich von jener
unterscheidet, die mit der Anlage B (Wirkstoffmenge XB) hergestellt werden. Die
Werte der Prüfstichproben sind:
Anlage A: 16.1, 15.4, 16.1, 15.6, 16.2, 16.2, 15.9, 16.2, 16.1, 16.0
Anlage B: 16.5, 15.9, 16.3, 16.4, 15.9, 15.9, 16.3, 16.2, 16.0, 16.2
Aus Voruntersuchungen sei bekannt, dass die Wirkstoffmengen XA und XB mit
guter Näherung als normalverteilt betrachtet werden können und die Varianzen
nicht von der Anlage abhängen. Als Signifikanzniveau nehme man 5% an.
b) Ferner stelle man fest, ob der Umfang der Prüfstichproben ausreichend groß
geplant wurde, um den als relevant angesehenen Mittelwertunterschied ∆=0.25
mit 90%iger Sicherheit erkennen zu können.
2. Das Wachstum einer Kultur (Gewicht in g) wird in Abhängigkeit von 2
Nährlösungen 1 und 2 gemessen. Es ergaben sich die folgenden Messwerte:
Nährlösung 1:
Nährlösung 2:
8.17, 7.92, 8.02, 7.97, 6.42, 8.16, 7.32, 7.35
6.98, 6.94, 6.92, 6.93, 6.62, 7.17, 7.42, 6.95
a) Man überprüfe auf 5%igem Signifikanzniveau, ob die Nährlösung einen
signifikanten Einfluss auf das mittlere Wachstum hat?
b) Ist die Annahme gleicher Varianzen gerechtfertigt?
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52
3. In einem Versuch wurde auf 10 Parzellen eine Getreidesorte ausgesät und in
einer Hälfte einer jeden Parzelle das Bewässerungssystem A und in der anderen
Hälfte das System B angewendet. Die unter den Versuchsbedingungen erzielten
Erträge (in kg/ha) sind im Folgenden angeführt. Sind die unter der Bedingung B
erzielbaren Erträge im Mittel größer als die Erträge unter der Bedingung A? Man
prüfe die Fragestellung auf 5%igem Signifikanzniveau.
A: 7400 5740 5530 6190 3740 5050 4180 6520 4910 4690
B: 8450 6400 6410 7010 3690 6040 4060 6730 4760 5770
.
4. Diffusionstests werden angewendet, um die Wirksamkeit bestimmter Antibiotika
auf Mikroorganismen (Krankheitserreger) festzustellen. Diese werden auf einem
festen Nährboden zusammen mit dem Antibiotikum aufgebracht. Ist das
Antibiotikum wirksam, entsteht eine Hemmzone, in der der Testorganismus nicht
wachsen konnte. Bei der Wirksamkeitsprüfung von 2 Antibiotika A und B wurden
in je 15 Versuchen Hemmzonen mit den im Folgenden angeführten
Durchmessern (in mm) beobachtet. Kann an Hand der Daten auf 5%igem
Testniveau ein Unterschied in der Wirksamkeit der Antibiotika (d.h. ein
Unterschied der mittleren Durchmesser) festgestellt werden?
A: 19.5, 14.0, 12.0, 19.0, 23.0, 28.0, 24.5, 26.0, 25.0, 16.0, 27.5, 17.0, 17.5, 20.0, 18.5
B: 18.0, 21.0, 30.5, 24.0, 20.5, 29.0, 25.5, 27.0, 40.5, 26.5, 22.5, 40.0, 16.5, 21.5, 23.5
5. Die Eisenkonzentration im Serum (in µg/dl) wurde bei 15- bis 18-jährigen
Schülerinnen (Variable X1) und Schülern (Variable X2) bestimmt. Der
Stichprobenumfang, der Mittelwert und die Standardabweichung sind 20, 81.4,
42.5 (Schülerinnen) bzw. 20, 102.1, 39.1 (Schüler).
a) Unter der Voraussetzung normalverteilter Grundgesamtheiten (mit
übereinstimmenden Varianzen) zeige man, dass der Mittelwert der
Schülerinnen sich auf 5%igem Niveau nicht signifikant vom entsprechenden
Schülermittelwert unterscheidet.
b) Welcher Umfang der Zufallsstichproben müsste geplant werden, um mit dem
Test einen Mittelwertunterschied in der Höhe der beobachteten
Mittelwertdifferenz mit 90%iger Sicherheit als signifikant zu erkennen? (82)
c) Man überzeuge sich, dass die Voraussetzung der Varianzhomogenität (auf
5%igem Testniveau) erfüllt ist.
6. Die folgende Tabelle zeigt die Änderung des (systolischen) Blutdrucks (in mm Hg)
bei zehn einer gewissen Behandlung unterworfenen Patienten. Xb und Xe
bezeichnen die Blutdruckwerte am Beginn bzw. am Ende der Behandlung.
a) Gibt es einen signifikanten Behandlungseffekt?
b) Welcher Stichprobenumfang muss geplant werden, um einen Effekt in der
Größe von 25% der Änderung der Stichprobenmittelwerte mit einer Sicherheit
von 90% feststellen zu können?
Das Signifikanzniveau sei α =5%. (Behandlungseffekt sign.; 58)
Patient
Xb
Xe
1
210
201
2
169
165
3
187
166
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
4
160
157
5
167
147
6
176
145
7
185
168
8
206
180
9
173
147
10
146
136
06.01.2014
53
7. Von 8 Großstädten (Einwohnerzahlen über 750000) wurden die folgenden
mittleren SO2-Werte der Luft (in µg/m3) gemeldet: 29, 110, 47, 35, 65, 69, 9, 10.
Demgegenüber liegen von 8 kleineren Städten (Einwohnerzahlen unter 250000)
aus demselben Zeitraum die folgenden SO2-Werte vor: 13, 56, 36, 11, 46, 94, 28,
31. Es ist zu untersuchen, ob die SO2-Belastung in Großstädten größer als in
kleineren Städten ist (α =5%). (n.sign.größer)
8. Es soll an Hand der Messwerte in der nachfolgenden Tabelle geprüft werden, ob
durch ein bestimmtes Medikament eine fiebersenkende Wirkung eintritt (α = 5%).
Dabei bedeuten Xv und Xn die Messvariablen vor bzw. 3 Stunden nach
Einnahme des Medikaments. Ist die Fallzahl richtig geplant, um in dem Versuch
eine mittlere Fiebersenkung von 0.2oC mit 90%iger Sicherheit feststellen zu
können?
(Fiebersenkung sig.; erford. Mindeststichprobenumfang 46)
Patient
1
2
3
4
5
Xv
38.4
38.6
39.4
40.1
39.2
Xn
37.3
37.8
39.1
38.9
38.6
Patient
6
7
8
9
10
Xv
38.7
40.3
37.9
38.4
39.5
Xn
38.6
38.7
37.5
37.9
38.7
9. Bei einer Untersuchung der Cd-Belastung von Forellen in einem Fließgewässer
wurden an zwei Stellen je fünf Forellen gefangen und der Cd-Gehalt (in mg/g
Frischgewicht) bestimmt. Dabei ergaben sich an der Stelle 1 der Mittelwert 0.065
und die Standardabweichung 0.007, an der Stelle 2 der Mittelwert 0.051 und die
Standardabweichung 0.002. Kann aus den Angaben auf einen signifikanten
(α=5%) Unterschied im mittleren Cd-Gehalt der an der Stelle 1 bzw. 2
entnommenen Forellen geschlossen werden? (kein sign. Unterschied)
10. In einem Placebo-kontrollierten Parallelversuch wurde die Wirkung eines
Testpräparates und eines Kontrollpräparates (Placebo) auf eine (fiktive)
Messgröße X untersucht. X1 und X2 bezeichnen die Messgrößen am Beginn bzw.
Ende der Behandlung.
a. Man prüfe innerhalb jeder Präparatgruppe, ob sich die Messgröße im Mittel
verändert.
b. Man stelle die Präparatwirkung durch die Differenz X2-X1 dar und
vergleiche die Präparatgruppen hinsichtlich der mittleren Präparatwirkung.
In beiden Fragestellungen sei α = 5%. (Testpräparat: Änderung n.sign.,
Placebo: Änderung n.sign.; Unterschied der Präparatwirkung n.sign.)
Testpräparat
X1
Proband
1
568
2
668
3
441
4
466
5
921
6
696
7
231
8
761
9
605
10
504
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
X2
713
820
465
340
711
555
190
640
696
397
Placebo
X1
Proband
11
804
12
572
13
554
14
273
15
380
16
1074
17
447
18
732
19
674
20
719
X2
884
684
630
513
469
984
583
904
646
613
06.01.2014
54
11. Die folgenden Daten stammen von einer Messstelle an der Donau. Man
vergleiche das jeweilige Monatmittel der Wassertemperatur (TEMP) der Jahre
1981 und 1987. Hat eine Temperaturabnahme stattgefunden? Was zeigt ein
Vergleich der Orthophosphat-Werte (OPO4) zwischen den Jahren 1981 und
1987? Als Signifikanzniveau verwende man 5%.
JAHR
81
81
81
81
81
81
81
81
81
81
81
81
MONAT
JAN
FEB
MAR
APR
MAY
JUN
JUL
AUG
SEP
OCT
NOV
DEC
TEMP
1,1
3,1
2,8
9,8
13,8
16,8
18,5
19,9
16,6
10,7
7,5
5,1
OPO4
0,166
0,190
0,216
0,032
0,074
0,087
0,108
0,066
0,069
0,113
0,091
0,165
JAHR
87
87
87
87
87
87
87
87
87
87
87
87
MONAT
JAN
FEB
MAR
APR
MAY
JUN
JUL
AUG
SEP
OCT
NOV
DEC
TEMP
0,3
3,4
1,5
9,0
11,0
13,5
17,5
14,8
17,2
13,2
8,2
5,8
OPO4
0,150
0,150
0,180
0,130
0,090
0,060
0,070
0,120
0,110
0,120
0,170
0,210
12. In einer als randomisierte Versuchsanlage geplanten Bioäquivalenzstudie wurden
34 Probanden mit einem Testpräparat behandelt und andere 34 Probanden mit
einem Referenzpräparat. Als Untersuchungsmerkmale wurden an jedem
Probanden zwei (metrische) Variable CMAX (maximale Konzentration einer
Substanz) bzw. AUC12 (area under curve) bestimmt.
a) Man beschreibe die Variablen durch die üblichen univariaten Statistiken
und stelle die Verteilung graphisch gemeinsam mit der angepassten
Normalverteilungsdichte dar (getrennt nach Bedingungen).
b) Man prüfe, ob sich die Probanden der Behandlungsgruppen
(hinsichtlich der mittleren Zielvariablenwerte) unterscheiden, und zwar
im Rahmen von individuellen Vergleichen, d.h., getrennt für jede
Zielvariable.
Als Signifikanzniveau sei α = 5% vereinbart.
Testpräparat
CMAX
AUC12
CMAX
1,44
3,97
1,38
2,65
7,72
0,73
0,83
1,64
2,03
2,72
6,84
1,35
3,09
9,33
0,76
2,96
9,88
1,91
0,48
1,33
1,57
1,46
4,23
1,22
1,57
6,85
3,12
1,18
3,36
1,02
2,72
9,30
1,65
1,84
4,44
0,29
0,32
0,60
0,63
1,34
2,54
1,51
1,41
4,00
2,03
0,71
1,25
0,67
W. Timischl:
1,66 AngStat_Bioengineering_II.doc
0,83
1,92
AUC12
4,93
0,62
4,10
4,18
0,19
4,61
4,09
2,99
8,23
3,63
3,85
0,29
1,92
3,04
5,63
2,97
5,13
CMAX
3,00
2,40
0,26
2,14
2,59
1,51
1,96
2,00
2,14
2,71
1,34
0,89
3,34
1,83
1,85
1,40
0,57
Referenzpräparat
AUC12
CMAX
AUC12
14,17
0,26
0,26
5,94
1,54
4,62
0,26
2,66
6,41
6,31
2,52
8,47
8,01
1,07
1,22
5,77
1,58
4,20
8,26
3,20
15,05
3,80
1,25
3,95
6,42
3,32
10,08
10,74
0,82
1,91
2,71
1,55
5,34
3,17
2,05
7,34
8,01
1,00
2,02
5,16
0,61
1,80
4,47
1,34
4,01
3,37
3,41
11,47
2,54
1,54 06.01.2014
4,71
55
13. In einem Versuch wurde die Wirkung zweier Verfahren (1=Testpräparat,
2=Kontrolle) auf eine Messgröße X an drei aufeinanderfolgenden
Untersuchungszeitpunkten (X1, X2, X3) ermittelt.
Verfahren 1
X1
X2
568
773
668
894
441
485
466
726
921
666
696
824
231
285
761
799
605
441
1504
801
826
558
412
159
970
866
236
327
639
469
571
511
718
730
919
708
X3
713
820
465
340
611
555
190
640
696
297
385
239
1053
359
671
595
792
1136
X1
804
572
554
273
380
2084
447
732
674
1119
775
911
1258
568
1015
Verfahren 2
X2
504
628
290
573
272
1244
688
437
442
955
1049
891
511
650
923
X3
884
684
630
513
469
984
583
904
646
613
615
896
831
582
1015
a) Man prüfe für jedes Verfahren, ob sich die Messgröße im Mittel vom ersten
bis zum zweiten Untersuchungszeitpunkt ändert (Kurzzeitwirkung). Was
ergibt sich als Langzeitwirkung (Vergleich von X1 und X3)?
b) Man prüfe die Wirksamkeit des Verfahrens 1 im Vergleich zum Verfahren
2, indem man als Zielvariable die prozentuelle Änderung der Messgröße
vom Zeitpunkt 1 bis zum Zeitpunkt 3 verwendet.
c) Was ist über die Versuchsplanung zu sagen, im Besonderen über den
Stichprobenumfang?
Als Signifikanzniveau verwende man 5%.
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
56
6 ZWEISTICHPROBENVERGLEICHE MIT BINÄREN
UNTERSUCHUNGSMERKMALEN
Übersicht über grundlegende 2-Stichproben-Tests im Rahmen von
Parallelversuchen (mit unabhängigen Stichproben) und Paarvergleichen
(mit abhängigen Stichproben) für binäre Untersuchungsmerkmale
2-Stichprobenvergleiche bei
dichotomen Grundgesamtheiten
Vergleich von
Wahrscheinlichkeiten
unabhängige
Stichproben
-Test
(approximativ)
prop.test()
Exakter Test von
Fisher
fisher.test()
abhängige
Stichproben
McNemar-Test
(approximativ)
mcnemar.test()
Binomialtest
(exakt)
binom.test()
Lernziel 6.1
Zwei Wahrscheinlichkeiten im Rahmen eines Parallelversuchs mit
großen Stichproben vergleichen können.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten und Modell: Von einem Untersuchungsmerkmal
X1 liegen zwei unabhängige Stichproben mit den Umfängen n1 bzw.
n2 vor. Die Stichproben stammen aus zwei, durch das
Gliederungsmerkmal X2 unterschiedenen Grundgesamtheiten; der
Wert X2=b1 kennzeichnet die eine, der Wert X2=b2 die andere
Grundgesamtheit. Das Untersuchungsmerkmal X1 setzen wir als binär
voraus, d.h., seine Realisierungen beschränken sich auf zwei Werte
a1 und a2. In der ersten Stichprobe (X2=b1) möge n11-mal der Wert a1
und n21-mal der Wert a2 auftreten, in der zweiten Stichprobe (X2=b2)
n12-mal der Wert a1 und n22-mal der Wert a2. Die Stichproben lassen
sich übersichtlich in Gestalt der Vierfeldertafel
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
57
Untersuchungsmerkmal X1
Wert a1
Wert a2
(Spalten-)
Summen
Gruppe 1
X2=b1
n11
n21
n.1=n1
vorgegeben
Gruppe
2
X2=b2
n12
n22
n.2=n2
vorgegeben
(Zeilen-)
Summen
n1.
n2.
n.. =n1+n2
Die Werte der ersten und zweiten Stichprobe sind Realisierungen
eines Untersuchungsmerkmals X1, das als Bernoulli-verteilt
mit den Werten a1, a2 und den Parametern p1 bzw. p2 vorausgesetzt
wird.
•
Hypothesen und Testgröße:
Fall II: H0: p1 = p2 gegen H1: p1 ≠ p2
Fall Ia: H0: p1 ≤ p2 gegen H1: p1 > p2
Fall Ib: H0: p1 ≥ p2 gegen H1: p1 < p2
Als Testgröße wird die standardisierte Differenz
TG =
Y1 − Y2
Y (1 − Y )
n1 n2
n1 + n2
der Anteile Y1 und Y2, mit denen die Merkmalsausprägung X1=a1 in
der ersten bzw. zweiten Stichprobe auftritt verwendet. Y bezeichnet
hier den Anteil, mit dem X1=a1 in beiden Gruppen auftritt. Die
Verteilung der Testgröße kann mit einer für die Praxis i. Allg.
ausreichenden Genauigkeit durch die Standardnormalverteilung
approximiert werden, wenn n.j ni./n>5 (i, j=1,2) gilt, also die auf den
Gesamtumfang n bezogenen Produkte der Spaltensummen mit den
Zeilensummen größer als 5 sind. Indem man für Y1, Y2 und Y die
entsprechenden relativen Häufigkeiten y1=n11/n1, y2=n12/n2 bzw.
y=n1./n einsetzt, erhält man die Realisierung TGs der Testgröße.
Die Approximation kann verbessert werden, wenn
Stetigkeitskorrektur so vorgenommen wird, dass man in der
realisierung der Testgröße y1 und y2 im Falle y1 > y2 durch
y1 - 1/(2n1) bzw. y2 + 1/(2n2) und im Falle y1 < y2 durch
y1 +1/(2n1) bzw. y2 - 1/(2n2) ersetzt.
• Entscheidung mit dem P-Wert11:
P < α ⇒ H0 ablehnen; dabei ist
11
Zur Durchführung des Tests (mit und ohne Stetigkeitskorrektur) steht in R die Funktion prop.test()
zur Verfügung..
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
58
P= 2Φ(-|TGs|) für die zweiseitige Testvariante II,
P=1 - Φ(TGs) für die Variante Ia,
P= Φ(TGs) für die Variante Ib.
• Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich:
H0 wird auf dem Testniveau α abgelehnt, wenn
|TGs| > z1-α/2 (Variante II),
TGs > z1-α (Variante Ia),
TGs < - z1-α (Variante Ib) gilt.
Dabei bezeichnet zγ das γ-Quantil der N(0, 1)-Verteilung.
• Planung des Stichprobenumfanges:
Um auf dem Niveau α mit der Sicherheit 1- β eine Entscheidung für
H1 herbeizuführen, wenn p1 von p2 um ∆ ≠ 0 im Sinne der
Alternativhypothese abweicht, kann für symmetrische
Versuchsanlagen mit n1=n2=n im Falle der 1-seitigen Testvarianten Ia
und Ib der erforderliche Mindeststichprobenumfang näherungsweise
aus
2(z1−α + z1− β )
2
n≈
h2
mit h = 2 arcsin p 2 + ∆ − 2 arcsin p 2
bestimmt werden. Im Falle der 2-seitigen Testvariante II ist α durch
α/2 zu ersetzen12.
Beispiel 6.1:
Im Zuge einer Studie über den Einfluss der Düngung (Tresterkompostbzw. Mineraldüngung) auf den Pilzbefall (Falscher Mehltau) von Weinstöcken (Vitis
vinifera) wurden n1=39 Weinstöcke mit Tresterkompost gedüngt und ebenso viele
(n2=39) Stöcke mineralgedüngt. Es stellte sich heraus, dass in der ersten Gruppe
(Testgruppe) n11=20 Stöcke einen starken Befall (Ausprägung a1) und
n21=19 Stöcke nur ein schwachen bzw. überhaupt keinen Befall
(Ausprägung a2) zeigten. In der zweiten Gruppe (Kontrollgruppe) waren
n12=10 Weinstöcke stark und n22=29 nur schwach bis nicht erkennbar befallen.
a) An Hand dieses Beobachtungsergebnisses soll auf 5%igem Testniveau geprüft
werden, ob sich das Befallrisiko in den Gruppen signifikant unterscheidet.
b) Ist die Fallzahl in den Gruppen richtig geplant, um mit dem Test eine Differenz der
Befallrisken von ∆=0.25 mit einer Sicherheit von 90% erkennen zu können?
Lösung mit R:
12
Zur Planung von Stichprobenumfängen mit diesen Formeln kann man die R-Funktion pwr.2p.test()
im Paket "pwr" verwenden.
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
59
> # Beispiel 5.7 (Vergleich von 2 Wahrscheinlichkeiten)
> freq <- matrix(data=c(20, 19, 10, 29), ncol=2, byrow=TRUE,
+
dimnames=list("gruppe"=c("Trester", "Mineral"),
+
"befall"=c("stark", "schwach")))
> freq
befall
gruppe
stark schwach
Trester
20
19
Mineral
10
29
> # Voraussetzung für Normalverteilungsapproximation
> n1 <- sum(freq[1,]); n2 <- sum(freq[2,]); n <- n1+n2
> np1 <- sum(freq[,1]); np2 <- sum(freq[,2])
> e11 <- n1*np1/n; e12 <- n1*np2/n; e21 <- n2*np1/n; e22 <- n2*np2/n
> print(cbind(e11, e12, e21, e22), digits=4)
e11 e12 e21 e22
[1,] 15 24 15 24
> # a) H0: p(starker Befall|Trester)=p(starker Befall|Mineral)
> # gegen H1: ... ungleich ...
> alpha <- 0.05
> # direkte Berechnung des P-Werts
> y1 <- freq[1,1]/n1; y2 <- freq[2,1]/n2; y <- np1/n
> tgsmc <- (y1-1/2/n1-y2-1/2/n2)/sqrt(y*(1-y))*sqrt(n1*n2/n)
> Pmc <- 2*pnorm(-abs(tgsmc))
> print(cbind(y1, y2, y, tgsmc, Pmc), digits=4)
y1
y2
y tgsmc
Pmc
[1,] 0.5128 0.2564 0.3846 2.095 0.0362
> # Berechnung des P-Werts mit prop.test()
> prop.test(freq, alternative="two.sided")
2-sample test for equality of proportions with continuity
correction
data: freq
X-squared = 4.3875, df = 1, p-value = 0.0362
alternative hypothesis: two.sided
95 percent confidence interval:
0.02246956 0.49035095
sample estimates:
prop 1
prop 2
0.5128205 0.2564103
>
>
>
>
>
# b) Planung des Stichprobenumfangs
p2 <- y2; Delta <- 0.20; p1 <- p2+Delta; beta <- 0.1
h <- 2*asin(sqrt(p1))- 2*asin(sqrt(p2))
qa <- qnorm(1-alpha/2); qb <- qnorm(1-beta); nap <- 2*(qa+qb)^2/h^2
print(cbind(p1, p2, qa, qb, h, nap), digites=4)
p1
p2
qa
qb
h
nap
[1,] 0.4564103 0.2564103 1.959964 1.281552 0.4215668 118.2479
> # Mindest-n mit der R-Funktion pwr.sp.test()
> library(pwr)
> pwr.2p.test(h = h, sig.level = 0.05, power = 1-beta,
+
alternative = "two.sided")
Difference of proportion power calculation for binomial distribution
(arcsine transformation)
h
n
sig.level
power
alternative
=
=
=
=
=
0.4215668
118.2478
0.05
0.9
two.sided
NOTE: same sample sizes
6.2
Zwei Wahrscheinlichkeiten im Rahmen eines Paarvergleichs (d.h. mit
abhängigen Stichproben) Stichproben vergleichen können.
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
60
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten:
X1, X2 … zweistufige Merkmale mit Werten a1 und a2 (z.B.
Verbesserung bzw. keine Verbesserung oder Nebenwirkung
keine Nebenwirkung);
X1 kann ein Untersuchungsmerkmal
X2
vor einer Behandlung (Zeitpunkt 1)
X1 a1 a2
und X2 das Untersuchungsmerkmal
a1 n11 n12
nach einer Behandlung (Zeitpunkt 2)
sein. Beobachtung von X1 und X2 an
a2 n21 n22
n Untersuchungseinheiten
Σ n.1 n.2
2 abhängige Stichproben
Zusammenfassung in Vierfeldertafel:
bzw.
Σ
n1.
n2.
n
• Hypothesen und Testgröße:
Abkürzungen:
p1.= P(X1=a1) = P(X1=a1 und X2=a1) + P(X1=a1 und X2=a2),
p.1= P(X2=a1) = P(X2=a1 und X1=a1) + P(X2=a1 und X1=a2),
p12 = P(X1=a1 und X2=a2), p21 = P(X2=a1 und X1=a2);
H0 : p1.= p.1 vs. H1 : p1. ≠ p.1
H0 : p12 = p21 vs. H1 : p12 ≠ p21
H0 : p12*:=p12/(p12+ p21) = p21 /(p12+ p21) =: p21* vs. H1 : p12* ≠ p21*
H0 : p12* = ½ vs. H1 : p12* ≠ ½ (wegen p12*+ p21*=1)
Testgröße (Binomialtest, exakter Vergleich):
TG = H12 ~ Bn*,p0 (falls H0 gilt)
H12 = Anzahl der Untersuchungseinheiten mit X1=a1 und X2=a2,
n*=n12+n21, p0=1/2; ersetzt man H12 durch n12, erhält man die
Realisierung TGs=n12.
Testgröße (McNemar-Statistik, Normalverteilungsapproximation):
2
(
| H12 − H 21 | −1)
TG =
~ χ12
H12 + H 21
unter H0 (approx. für
n12 + n21
> 9)
4
H21 = Anzahl der Untersuchungseinheiten mit X1=a2 und X2=a1.
Ersetzt man H12 durch n12 und H21 durch n21, erhält man die
Realisierung TGs der Testgröße.
• Entscheidung mit dem P-Wert (Binomialtest)
P < α ⇒ H0 ablehnen; dabei ist P=1- FB(µ0-d)+1- FB(µ0+d-1);
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
61
hier ist FB die Verteilungsfunktion der Bn*,1/2-Verteilung, µ0=n*/2
und d= |n12-µ0|=|n12 - n21|/2.
• Entscheidung mit dem P-Wert (Normalverteilungsapproximation)
P < α ⇒ H0 ablehnen; dabei ist P=1- F1(TGs);
hier ist F1 die Verteilungsfunktion der χ21 –Verteilung.
• Planung des Stichprobenumfangs:
Notwendiger Mindeststichprobenumfang n* (=n12+n21), um auf dem
Niveau α mit der Sicherheit 1-β eine Entscheidung für H1
herbeizuführen, wenn p12* von 1/2 um ∆ ≠ 0 abweicht:
(
1
n* ≈ 2 z1−α / 2 + z1− β 1 − 4∆2
4∆
)
2
Beispiel 6.2:
Im Rahmen einer Studie wurde u.a. der Blutzucker am Beginn (Variable X1) und am
Ende (Variable X2) einer Behandlung bestimmt. Die Ergebnisse der
Blutzuckerbestimmung wurden dabei auf einer 2-stufigen Skala mit den Werten a1
("im Normbereich") und a2 ("nicht im Normbereich") dokumentiert. Bei n11=31
Probanden war der Blutzuckerwert am Beginn und am Ende im Normbereich, bei
n12=24 Probanden lag der Wert vorher im Normbereich und nachher außerhalb, bei
n21=13 Probanden vorher außerhalb und nachher innerhalb und bei n22=12 vorher
und nachher nicht im Normbereich. Die Frage ist, ob die Wahrscheinlichkeit, dass der
Blutzucker am Beginn im Normbereich liegt, verschieden ist von der entsprechenden
Wahrscheinlichkeit
am Ende der Behandlung.
Lösung mit R:
> # Beispiel 6.2
> # Vergleich von Wahrscheinlichkeiten mit abhängigen Stichproben
> H <- matrix(c(31, 13, 24, 11), ncol=2); H
[,1] [,2]
[1,]
31
24
[2,]
13
11
> ns <- H[1,2]+H[2,1]
> # H0: P(Normberreich/Beginn)=P(Normbereich/Ende) vs. H1: ... <> ...
> # exakter P-Wert (Binomialtest)
> alpha <- 0.05; p12d <- H[1,2]/ns
> tgs <- H[1,2]; mu0 <- ns/2; d <- abs(tgs-mu0)
> P <- pbinom(mu0-d, ns, 0.5)+1-pbinom(mu0+d-1, ns, 0.5)
> print(cbind(ns, tgs, p12d, mu0, d, P), digits=4)
ns tgs
p12d mu0
d
P
[1,] 37 24 0.6486 18.5 5.5 0.09887
> binom.test(H[1,2], ns)
Exact binomial test
data: H[1, 2] and ns
number of successes = 24, number of trials = 37, p-value = 0.09887
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
0.4746113 0.7979002
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
62
sample estimates:
probability of success
0.6486486
>
>
>
>
# Normalverteilungsapproximation
tgsapprox <- (abs(H[1,2]-H[2,1])-1)/sqrt(ns)
Papprox <- 2*pnorm(-abs(tgsapprox))
print(cbind(tgsapprox, Papprox), digits=4)
tgsapprox Papprox
[1,]
1.644 0.1002
> # McNemar-Test
> tgsmcnemar <- tgsapprox^2; Pmcnemar <- 1-pchisq(tgsmcnemar, 1)
> print(cbind(tgsmcnemar, Pmcnemar), digits=4)
tgsmcnemar Pmcnemar
[1,]
2.703
0.1002
> mcnemar.test(H)
McNemar's Chi-squared test with continuity correction
data: H
McNemar's chi-squared = 2.7027, df = 1, p-value = 0.1002
Übungsbeispiele zu den 2-Stichprobenvergleichen mit binären
Untersuchungsmerkmalen
14. Es soll festgestellt werden, ob eine Zeitungskampagne gegen das
Zigarettenrauchen erfolgreich war. Vor der Kampagne wurden 210 Personen
zufällig ausgewählt und befragt, ob sie rauchen oder nicht. Nach Abschluss der
Kampagne wurde eine erneute Befragung derselben 210 Personen durchgeführt.
Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle enthalten. Man prüfe, ob eine
signifikante Veränderung (α =5%) eingetreten ist.
(Veränderung sign.)
Nichtraucher/vorher
Raucher/vorher
Nichtraucher/
nachher
110
28
Raucher/
nachher
12
60
15. In sogenannten Fall-Kontroll-Studien werden Vierfeldertafeln verwendet, um die
Verteilung eines (zweistufigen) Risikofaktors (+ vorhanden, - nicht vorhanden) in
einer Gruppe von Kranken (Diagnose +) und einer Kontrollgruppe (Diagnose -)
darzustellen. Die Tabelle zeigt die (hypothetische) Vierfeldertafel einer FallKontroll-Studie. Man vergleiche das Auftreten des Risikofaktors (d.h. die Anteile
der Raucher) in den beiden Gruppen; sind die beobachteten Anteile signifikant
verschieden (α =5%)? (Anteile sign.versch.)
Diagnose +
Raucher
60
Nichtraucher
90
Diagnose 25
75
16. In einer Studie wurde u.a. das Ges. Eiweiß i.S. am Beginn und am Ende
bestimmt. Es ergab sich, dass bei 32 Probanden der Eiweißwert vor und nach
Ende der Studie im Normbereich lag, bei 22 Probanden lag der Wert vorher im
Normbereich und nachher außerhalb, bei 9 Probanden vorher außerhalb und
nachher im Normbereich und bei 7 vorher und nachher außerhalb des
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06.01.2014
63
Normbereichs. Hat sich während der Studie eine signifikante Änderung
hinsichtlich des Normbereichs ergeben (α = 5%)? (Änderung sign.)
17. Eine Testgruppe von chronisch kranken Patienten erhält eine neue
Schmerztherapie. Es wird nach einer sowie nach vier Wochen registriert, bei
welchen Patienten Schmerzen (+) bzw. keine Schmerzen (-) auftreten. Gibt es
zwischen der ersten und vierten Woche einen signifikanten Behandlungseffekt
(α=5%)? Was kann über die Versuchsplanung gesagt werden?
Nr. 1. Woche 4. Woche
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+
7
+
8
+
+
9
+
10
+
-
Nr.
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1. Woche 4. Woche
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
18. In einem Experiment wurden 23 Objekte unter Bedingung A und (von den ersten
verschiedene) 23 Objekte unter Bedingung B beobachtet und die Halbwertszeit
(HWZ, in h) eines Zerfallsprozesses gemessen. Man prüfe, ob sich die
Halbwertszeiten a) im Mittel, b) in der Varianz signifikant zwischen den
Bedingungen unterscheiden (α=5%). (k. sign. Untersch.)
Prob. Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Bedingung A
Prob.
HWZ
Nr.
1,496
13
1,916
14
2,616
15
1,557
16
1,924
17
2,167
18
3,262
19
3,391
20
2,404
21
1,413
22
2,095
23
1,806
Bedingung B
HWZ Prob. Nr.
1,682
1
1,941
2
2,461
3
2,522
4
1,595
5
2,311
6
2,131
7
2,883
8
1,917
9
2,881
10
1,768
11
12
HWZ Prob. Nr.
1,462
13
1,800
14
1,664
15
1,785
16
1,705
17
1,487
18
1,768
19
1,645
20
3,245
21
2,481
22
1,870
23
4,940
HWZ
1,261
2,262
1,433
1,946
1,522
2,995
1,924
2,848
1,966
2,031
2,042
19. Im Rahmen einer Untersuchung des Ernährungsstatus von Schulkindern aus
Oberösterreich und der Steiermark wurde u.a. das Gesamtcholesterin (in mg/dl)
stichprobenartig erfasst. In Oberösterreich umfasste die Stichprobe 93
Schulkinder mit Werten < 170 (optimal) und 52 mit Werten ≥170 (Risikogruppe).
Die entsprechenden Werte für die Steiermark waren 42 bzw. 29. Man prüfe auf
5%igem Niveau, ob sich der Anteil von Schülern in der optimalen Kategorie
zwischen den Bundesländern signifikant unterscheidet. (Unterschied n.sign.)
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06.01.2014
64
7 KORRELATION UND REGRESSION BEI METRISCHEN VARIABLEN
7.1
Den Korrelationskoeffizienten ρ als Parameter der 2-dimensionalen
Normalverteilung interpretieren können.
• Definition:
X und Y heißen 2-dimensional normalverteilt mit den
Mittelwerten µX, µY, den Standardabweichungen σX >0, σY >0 und dem
Korrelationskoeffizienten ρ (|ρ| < 1), wenn sie mit Hilfe von 2
unabhängigen, N(0,1)-verteilten Zufallsvariablen Z1, Z2 wie folgt
erzeugt werden können:
X = σ X Z 1 + µ X , Y = σ Y ρZ 1 + σ Y 1 − ρ 2 Z 2 + µ Y
• Bezeichnungen:
Im Falle ρ = 0 sind die Variablen X und Y nicht korreliert; sie variieren
voneinander unabhängig. In den Fällen ρ = +1 oder ρ = -1 liegt eine
perfekte(positive bzw. negative) Korrelation vor, d.h., die Variable X
ist bis auf eine multiplikative (positive oder negative) Konstante gleich
der Variablen Y.
• Standardform:
Die Bedeutung des Parameters ρ = 0 kann man besser erkennen,
wenn man in den Definitionsgleichungen die Variablen und X und Y
durch die standardisierten Variablen X´ = (X-µX)/σX bzw.
Y´ = (Y-µY)/σY ersetzt; es folgt:
X ´= Z1 und Y´= ρZ1 + 1 − ρ 2 Z 2
Die gemeinsame Verteilung der standardisierten Variablen X´ und Y´
ist die Standardform der 2-dimensionalen Normalverteilung.
• Dichtefunktion der Standardform:
rscheinlichkeitsdichte
z´= f X ´Y ´ ( x´, y´) =
(
)


1
exp −
x´2 −2 ρx´ ý + y´2 
2
2π 1 − ρ
 2(1 − ρ )

1
zu. Die grafische Darstellung der Dichtefunktion nehmen wir in einem
aus den Merkmalsachsen (X', Y') und der Dichteachse (Z')
aufgespannten dreidimensionalen, rechtwinkeligen
Koordinatensystem vor. Der Graph von fX'Y' ist eine Fläche, die den
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06.01.2014
65
höchsten Wert an der Stelle x'=y'=0 annimmt und nach allen Seiten
abfällt. Die Form der Dichtefläche hängt wesentlich vom Parameter ρ
ab. Die folgende Grafik zeigt die Höhenlinien der Dichteflächen für
verschiedene Korrelationskoeffzienten.
a) X' und Y' sind nicht korreliert, man hat eine Drehfläche von der
Form einer "Glockenfläche"; in den Fällen b) und c) sind X' und Y'
positiv korreliert und in der Folge die Dichteflächen in Richtung
gleicher X'- und Y'-Werte gedehnt und normal dazu gestaucht. Die
Interpretation der zweidimensionalen Dichte ist analog zur
eindimensionalen Dichtefunktion vorzunehmen. Bezeichnet
∆x' ∆y' den Inhalt eines (kleinen) Rechtecks um den Punkt (x',y') der
Merkmalsebene, dann wird die Wahrscheinlichkeit, dass die
Variablen X' und Y' einen Wert in diesem Rechteck annehmen, durch
das Volumen fX'Y'(x', y')∆x'∆y' der über dem Rechteck errichteten
"Säule" bis zur Dichtefläche dargestellt. Realisierungen von X' und Y'
fallen also mit größerer Wahrscheinlichkeit in Bereiche mit hohen
Dichtewerten als in Bereiche mit niedrigen Dichtewerten. Der Inhalt
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06.01.2014
66
des gesamten unter der Dichtefläche liegenden Körpers ist auf den
Wert 1 normiert.
• Visualisierung im Streudiagramm:
Die folgende Grafik zeigt Streudiagramme von Zufallsstichproben
(n=100) aus zweidimensional-normalverteilten Grundgesamtheiten.
a) ρXY = 0: X' und Y' sind nicht korreliert, die 100 Punkte streuen
regellos in horizontaler und vertikaler Richtung. b) ρXY =0.4: X' und Y'
sind positiv korreliert, die Punktewolke zeigt eine erkennbare lineare
Tendenz in dem Sinne, dass größere (kleinere) X'-Werte mit größeren
(kleineren) Y'-Werten gepaart sind. c) ρXY =0.8: Wegen der stärkeren
positiven Korrelation ist die lineare Ausformung der Punkteverteilung
deutlicher als im Falle ρXY =0.4. d) ρXY =- 0.8: X' und Y' sind negativ
korreliert, die Punktewolke weist eine fallende lineareTendenz auf;
größere (kleinere) X'-Werte sind nun mit kleineren (größeren) Y'Werten gepaart.
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06.01.2014
67
Beispiel 7.1:
R-Skript zur Erzeugung der Streudiagramme:
par(mfrow=c(2, 2))
par(pin=c(6, 4), mai=c(0.8, 0.9, 0.2, 0.1))
par(cex.axis=1.2, cex.lab=1.2)
# 2-dimensionale Normalverteilung, rho=0
x <- rnorm(100, 0, 1); y <- rnorm(100, 0, 1)
plot(x, y, type="p", col="black", pch=18, xlab="X'", ylab="Y'",
xlim=c(-4, 4), ylim=c(-4, 4), frame.plot=T)
abline(h=0, lty=2); abline(v=0, lty=2)
text(-4.2, 3.8, col="black", expression("a) "*rho*"=0.0"), pos=4, cex=1.2)
# 2-dimensionale Normalverteilung, rho=0.4
rho <- 0.4
x <- rnorm(100, 0, 1); y <- rho*x+sqrt(1-rho^2)*rnorm(100, 0, 1)
plot(x, y, type="p", col="black", pch=18, xlab="X'", ylab="Y'",
xlim=c(-4, 4), ylim=c(-4, 4), frame.plot=T)
abline(h=0, lty=2); abline(v=0, lty=2)
text(-4.2, 3.8, col="black", expression("b) "*rho*"=0.4"), pos=4, cex=1.2)
# 2-dimensionale Normalverteilung, rho=0.8
rho <- 0.8
x <- rnorm(100, 0, 1); y <- rho*x+sqrt(1-rho^2)*rnorm(100, 0, 1)
plot(x, y, type="p", col="black", pch=18, xlab="X'", ylab="Y'",
xlim=c(-4, 4), ylim=c(-4, 4), frame.plot=T)
abline(h=0, lty=2); abline(v=0, lty=2)
text(-4.2, 3.8, col="black", expression("c) "*rho*"=0.8"), pos=4, cex=1.2)
# 2-dimensionale Normalverteilung, rho=-0.8
rho <- -0.8
x <- rnorm(100, 0, 1); y <- rho*x+sqrt(1-rho^2)*rnorm(100, 0, 1)
plot(x, y, type="p", col="black", pch=18, xlab="X'", ylab="Y'",
xlim=c(-4, 4), ylim=c(-4, 4), frame.plot=T)
abline(h=0, lty=2); abline(v=0, lty=2)
text(-4.2, 3.8, col="black", expression("d) "*rho*"=-0.8"), pos=4, cex=1.2)
Lernziel 7.2:
Den Korrelationskoeffizienten ρ schätzen können.
• Definitionen:
Es sei (xi,yi) (i=1,2,...,n) eine 2-dimensionale Zufallsstichprobe der 2dimensional normalverteilten Zufallsvariablen X und Y. Dann
bezeichnet man
1
s xy =
n −1
n
∑ (xi − x )( yi − y )
i =1
und rxy =
s xy
sx s y
als Kovarianz bzw. Produktmomentkorrelation (oder PearsonKorrelation) der X- und Y-Stichprobe.
• Eigenschaften der Produktmomentkorrelation:
o Es gilt -1 ≤ rXY ≤ +1.
o rXY (kurz r) ist die klassische Schätzfunktion für ρ .
• Approximatives (1-α)-Konfidenzintervall für ρ :
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68
ρu =
exp(2 zu ) − 1
exp(2 z o ) − 1
, ρo =
mit
exp(2 zu ) + 1
exp(2 zo ) + 1
1 1+ r
r
1
zu = ln
−
− z1−α / 2
und
2 1 − r 2(n − 1)
n -3
1 1+ r
r
1
z o = ln
−
+ z1−α / 2
;
2 1 − r 2(n − 1)
n -3
Hier ist r die Produktmomentkorrelation (Schätzwert für ρ) und z1-α/2
das (1-α/2)-Quantil der Standardnormverteilung.
Hinweis:
Den Schätzwert r und das (1-α)-Konfidenzintervall [ρu, ρo] kann mit
der R-Funktion cor.test() bestimmen.
Lernziel 7.3:
Die Abhängigkeit der zweidimensional-normalverteilten Variablen X und
Y mit einem geeigneten Test prüfen können.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten und Modell:
Die Variation der Variablen X und Y wird durch eine zweidimensionale
Normalverteilung mit dem Korrelationsparameter ρ beschrieben. Von
X und Y liegt eine zweidimensionale Zufallsstichprobe vor, die aus
den an n Untersuchungseinheiten beobachteten Wertepaaren (xi, yi)
(i=1,2, … ,n) besteht. Der Verteilungsparameter ρ wird mit der aus
den Beobachtungswerten bestimmten Produktmomentkorrelation r
geschätzt.
• Hypothesen und Testgröße:
Der Vergleich des Parameters ρ mit dem Wert null (dieser Wert
entspricht dem Fall zweier unabhängiger Variablen X und Y) erfolgt
nach einer der folgenden Testvarianten:
H0 : ρ = 0 gegen H1 : ρ ≠ 0 (Variante II)
H0 : ρ ≤ 0 gegen H1 : ρ > 0 (Variante Ia),
H0 : ρ ≥ 0 gegen H1 : ρ < 0 (Variante Ib)
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06.01.2014
69
Als Testgröße wird die Stichprobenfunktion
TG =
rXY n − 2
1− r
2
XY
~ t n−2
verwendet, die unter H0: ρ = 0 einer t-Verteilung mit n-2
Freiheitsgraden folgt. Berechnet man r mit den konkreten
Stichprobenwerten ein, erhält man die Realisierung TGs der
Testgröße.
•
Entscheidung mit dem P-Wert:
P < α ⇒ H0 ablehnen; dabei ist
P=2Fn-2(-|TGs|) für die zweiseitige Testvariante II,
P=1-Fn-2(TGs) für die Testvariante Ia bzw.
P=Fn-2(TGs) für die Variante Ib;
Fn-2 bezeichnet die Verteilungsfunktion der tn-2-Verteilung.13
• Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich:
H0 wird abgelehnt, wenn
|TGs| > tn-2,1-α/2 (Variante II) bzw.
TGs > tn-2-1, 1-α (Variante Ia) bzw.
TGs < - tn-n, 1-α (Variante Ib) gilt;
Dabei bezeichnet tn-2,γ das γ-Quantil der t-Verteilung mit dem
Freiheitsgrad f=n-2.
Beispiel 7.3:
An 27 Leukämiepatienten wurden die in der folgenden Tabelle angeführten
Expressionswerte der Gene A (Variable X) und B (Variable Y) ermittelt.14 Man
bestimme unter der Annahme, dass X und Y zweidimensional-normalverteilt sind,
a) einen Schätzwert und ein 95%iges Konfidenzintervall für die
Produktmomentkorrelation ρ und zeige
b) auf 5%igem Signifikanzniveau, dass ρ ≠ 0 ist.
X:
Y:
0.194, -0.011,
-0.195, -0.123,
-0.532, 0.211,
-0.382, -0.076,
0.564, 0.295,
0.377, 0.717,
0.872, 0.471,
0.236, 0.756,
0.270, -0.248, -0.391, 0.005, -0.027, 0.363,
-0.056, -0.138, -0.436, 0.002,
0.192, 0.473, -0.188, -0.066, -0.702, 0.922,
-0.250, 0.276, 0.764
0.817, 0.530, 0.388, 0.051, 0.908, 0.604,
0.626, 0.165, 0.519, 0.530, 0.389, 0.495,
0.656, 0.500, 0.014, 0.893, 0.158, 0.613,
0.702
Für die Abhängigkeitsprüfung mit der Produktmomentkorrelation ρ steht in R die Funktion cor.test()
mit der Parametersetzung method="pearson" zur Verfügung. Neben dem P-Wert wird mit dieser
Funktion auch der Schätzwert r und ein approximatives Konfidenzintervall für ρ auf der Grundlage der
Fisher-Transformation berechnet.
13
14
Die Stichproben sind dem Datensatz „golub“ im Paket „multtest“ aus der Software-Sammlung
„bioconductor“ entnommen und betreffen die Gene mit den Bezeichnungen „M81830_at“ bzw.
„U58048_at“ von 27 Leukämiepatienten der Tumorklasse 0 (vgl. http://www.bioconductor.org/.
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70
Lösung mit R:15
>
>
+
+
+
>
+
+
>
>
>
>
>
# Beispiel 7.3 (Schätzung der POroduktmomentkorrelation)
x <- c(0.194, -0.011, 0.270, -0.248, -0.391, 0.005, -0.027, 0.363,
-0.195, -0.123, -0.056, -0.138, -0.436, 0.002, -0.532, 0.211,
0.192, 0.473, -0.188, -0.066, -0.702, 0.922, -0.382, -0.076,
-0.250, 0.276, 0.764)
y <- c(0.564, 0.295, 0.817, 0.530, 0.388, 0.051, 0.908, 0.604, 0.377,
0.717, 0.626, 0.165, 0.519, 0.530, 0.389, 0.495, 0.872, 0.471,
0.656, 0.500, 0.014, 0.893, 0.158, 0.613, 0.236, 0.756, 0.702)
options(digits=4)
n <- length(x)
mw_x <- mean(x); mw_y <- mean(y)
s_x <- sd(x); s_y <- sd(y)
print(cbind(n, mw_x, s_x)); print(cbind(n, mw_y, s_y))
n
mw_x
s_x
[1,] 27 -0.005519 0.3704
n
mw_y
s_y
[1,] 27 0.5128 0.2479
> # bivariate Statistiken
> s_xy <- cov(x, y) # Kovarianz
> r_xy <- cor(x, y, method="pearson") # Produktmoment(=Pearson)korrelation
> print(cbind(s_xy, r_xy))
s_xy
r_xy
[1,] 0.05362 0.5839
> # Konfidenzintervall und Abhängigkeitsprüfung mit cor.test()
> cor.test(x, y, method="pearson",alternative="two.sided", conf.level=0.95)
Pearson's product-moment correlation
data: x and y
t = 3.596, df = 25, p-value = 0.001386
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.2620 0.7889
sample estimates:
cor
0.5839
>
>
>
>
# manuelle Berechnung (Konfidenzintervall, P-Wert)
sxy <- sum((x-mw_x)*(y-mw_y))/(n-1); rxy <- sxy/s_x/s_y
muz <- 0.5*log((1+rxy)/(1-rxy))+rxy/2/(n-1); sz <- 1/sqrt(n-3)
print(cbind(sxy, rxy, muz, sz))
sxy
rxy
muz
sz
[1,] 0.05362 0.5839 0.6796 0.2041
> alpha <- 0.05; zq <- qnorm(1-alpha/2)
> xx <- muz-rxy/(n-1); zu <- xx-zq*sz; zo <- xx+zq*sz
> rhou <- (exp(2*zu)-1)/(exp(2*zu)+1) # untere Grenze für rho
> rhoo <- (exp(2*zo)-1)/(exp(2*zo)+1) # obere Grenze für rho
> print(cbind(zu, zo, rhou, rhoo))
zu
zo
rhou
rhoo
[1,] 0.257 1.057 0.2515 0.7846
Die in der R-Prozedur cor.test berechneten Grenzen des Konfidenzintervalls für ρ weichen von den
manuell bestimmten Grenzen ab. Die Abweichung ist dadurch bedingt, dass in R bei der Bestimmung
von zu bzw. zo der Term rXY/[2(n-1)] vernachlässigt wird, was bei hinreichend großem n vertretbar ist.
15
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06.01.2014
71
Lernziel 7.4:
Die Parameter der Regression von Y auf X im Modell mit
zweidimensional-normalverteilten Variablen (Modell A) schätzen und die
Abhängigkeitsprüfung durchführen können.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten und Modell:
Beobachtung der Variablen X und Y an n Untersuchungseinheiten
ergibt n Wertepaare (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn) ;
Aus der Definitionsgleichungen
X = σ X Z 1 + µ X , Y = σ Y ρZ 1 + σ Y 1 − ρ 2 Z 2 + µ Y
der zweidimensionalen Normalverteilung mit den Parametern µX, σX,
µY, σY und ρ folgt für die Abhängigkeit der Variablen Y von X das
lineare Modell:
Y = β 0 + β 1 X + ε mit β 1 = ρ XY
σY
, β 0 = µ Y − β 1 µ X und
σX
ε = σ Y 1 − ρ 2 Z 2 ~ N (0, σ ε2 ), σ ε2 = σ Y2 (1 − ρ 2 )
Für jeden festen Wert x von X ist Y normalverteilt mit dem Mittelwert
µY(x)=β0 + β1 x und der von x unabhängigen Varianz σε2.
Die Funktion x a µ Y (x) heißt lineare Regressionsfunktion
(von Y auf X).16
16
Die unabhängige Variable X wird auch Einflussgröße oder Regressor, die abhängige Variable Y
auch Zielgröße oder Regressand genannt.
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06.01.2014
72
• Parameterschätzung und Abhängigkeitsprüfung:
o Schätzwerte für die Modellparameter β1, β0, das (von X
abhängige) Zielgrößenmittel yˆ ( x) und die Varianz σε2:
s
b1 = βˆ1 = rXY Y , b0 = βˆ0 = y − b1 x ,
sX
yˆ ( x) = b0 + b1 x = y + b1 ( x − x ),
1
MQE = σˆ ε =
n−2
2
n
∑
i =1
1
e =
n−2
2
i
n
∑ ( y − yˆ ( x ))
i
2
i
i =1
Die Funktion x a µˆ ( x) heißt empirische Regressionsfunktion, ihr
Graph empirische Regressionsgerade.
o (1-α)-Konfidenzintervall für den Geradenanstieg β1:
b1 ± tn−2,1−α / 2 SE(b1 ) = b1 ± tn−2,1−α / 2
MQE
(n −1)sX2
Offensichtlich hängt die Zielgröße Y im Rahmen des einfach
linearen Regressionsmodells von der Einflussgröße X ab, wenn der
Geradenanstieg β1 ≠ 0 ist. Bei einem vorgegebenen Irrtumsrisiko α
lautet die Entscheidung auf β1 ≠ 0, wenn das (1- α)Konfidenzintervall für β1 die null nicht enthält. Gleichwertig mit der
Prüfung H0: β1 = 0 gegen H1: β1 ≠ 0 ist die Prüfung auf
Abhängigkeit mit dem Korrelationskoeffizienten, d.h. die Prüfung
der Hypothesen H0: ρXY = 0 vs. H1: ρXY ≠ 0.
o (1-α)-Konfidenzintervall für das Zielgrößenmittel µY(x) an der
Stelle x:
yˆ(x) ± tn−2,1−α / 2SE( yˆ) = yˆ(x) ± tn−2,1−α / 2
 1 (x − x)2 

MQE  +
2 
n
(
n
−
1
)
s

X 
• Anpassungsgüte:
Es empfiehlt sich, nach Schätzung der Regressionsparameter die
Regressionsgerade gemeinsam mit den Datenpunkten in ein
Streudiagramm einzuzeichnen. Auf diese Weise gewinnt man eine
Vorstellung, wie "gut" die Punkteverteilung durch die
Regressionsgerade wiedergegeben wird. Eine Kennzahl füre die
Anpassungsgüte ist das Bestimmtheitsmaß:
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
73
B=r
2
XY
 s
=  XY
 s X sY
2

SQY − SQE
 =
,
SQY

n
SQY = (n − 1) s , SQE =
2
Y
∑e
2
i
2
= SQY (1 − rXY
)
i =1
Eigenschaften von B:
o Es gilt: 0 ≤ B ≤ 1.
o B ist der Anteil der durch X erklärten Variation von Y.
Beispiel 7.4:
In einer Studie wurden u.a. die Serumkonzentrationen X und Y
der Na- bzw. Cl-Ionen (in mmol/l) von n=15 Probanden bestimmt. Die
Messwerte sind:
X:
Y:
135.0, 147.0, 148.5, 130.0, 139.0, 129.0, 142.0, 146.0,
131.0, 143.5, 138.5, 145.0, 143.0, 153.0, 149.0
99.0, 106.5, 105.5, 94.0, 98.0, 92.0, 97.0, 106.0,
102.5, 98.5, 105.0, 103.0, 101.0, 107.0, 104.0
Man bestimme unter der Voraussetzung einer zweidimensional-normalverteilten
Grundgesamtheit
a) die Parameter der Regressionsgeraden (von Y auf X),
b) die Summe SQE der Quadrate der Residuen, das mittlere Residuenquadrat MQE
und das Bestimmtheitsmaß B sowie
c) 95%-Konfidenzintervalle für den Anstieg der Regressionsgeraden und die
Zielgrößenmittelwerte.
Lösung mit R:
>
>
>
+
+
>
+
+
>
>
>
>
>
>
>
>
# Beispiel 7.4
# Dateneingabe, univariate Statistiken
x <- c(135.0, 147.0, 148.5, 130.0, 139.0,
129.0, 142.0, 146.0, 131.0, 143.5,
138.5, 145.0, 143.0, 153.0, 149.0)
y <- c(99.0, 106.5, 105.5, 94.0, 98.0,
92.0, 97.0, 106.0, 102.5, 98.5,
105.0, 103.0, 101.0, 107.0, 104.0)
options(digits=4)
xy <- data.frame(x, y)
# Ordnen des Datensatzes nach aufsteigender Größe von x
iv <- order(xy$x)
xy <- xy[iv,]; x <- xy$x; y <- xy$y
# a) lineare Regression von Y auf X
modyx <- lm(formula = y ~ x, data=xy)
summary(modyx) # Abhängigkeitsprüfung, Regressionsparameter
Call:
lm(formula = y ~ x, data = xy)
Residuals:
Min
1Q Median
-4.599 -2.035 -0.025
3Q
1.656
Max
6.128
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
74
(Intercept)
34.120
16.498
2.07
0.0591 .
x
0.475
0.117
4.08
0.0013 **
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 3.22 on 13 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.561,
Adjusted R-squared: 0.527
F-statistic: 16.6 on 1 and 13 DF, p-value: 0.00131
> paryx <- coefficients(modyx); paryx # Regressionsparameter
(Intercept)
x
34.1195
0.4752
Grafik: Streudiagramm, Regressionsgerade, 95-Konfidenzband
>
>
>
>
# b) Bestimmung von SQE, MQE, B
n <- length(x); vary <- var(y); rxy <- cor(x, y)
SQE <- (n-1)*vary*(1-rxy^2); MQE <- SQE/(n-2); B <- rxy^2
print(cbind(n, vary, rxy, SQE, MQE, B))
n vary
rxy
SQE
MQE
B
[1,] 15 21.92 0.749 134.8 10.37 0.5609
> # c) 95%-Konfidenzintervalle für den Anstieg und die Zielvariablenmittel
> confint(modyx, level=0.95) # 95%-Konfidenzintervalle fuer Parameter
2.5 % 97.5 %
(Intercept) -1.5213 69.7603
x
0.2233 0.7271
> tabpredict <- predict(modyx, xy , level=0.95, interval="confidence")
> data.frame(xy, tabpredict)
x
y
fit
lwr
upr
6 129.0 92.0 95.42 91.84 99.00
4 130.0 94.0 95.90 92.53 99.26
9 131.0 102.5 96.37 93.22 99.53
1 135.0 99.0 98.27 95.88 100.67
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
75
11
5
7
13
10
12
8
2
3
15
14
138.5
139.0
142.0
143.0
143.5
145.0
146.0
147.0
148.5
149.0
153.0
105.0
98.0
97.0
101.0
98.5
103.0
106.0
106.5
105.5
104.0
107.0
99.94
100.17
101.60
102.07
102.31
103.02
103.50
103.98
104.69
104.93
106.83
98.01
98.29
99.79
100.23
100.43
101.00
101.35
101.68
102.14
102.28
103.38
101.87
102.06
103.40
103.92
104.19
105.05
105.65
106.27
107.24
107.57
110.28
Lernziel 7.5:
Die Parameter der Regression von Y auf X im Modell mit zufallsgestörter
linearer Regressionsfunktion (Modell B) schätzen und die
Abhängigkeitsprüfung durchführen können.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten: wie beim Modell A
• Modell (Modell B):
Y ( x) = µY ( x) + ε mit µY ( x) = β 0 + β1 x, ε ~ N (0, σ ε2 )
• Parameterschätzung und Abhängigkeitsprüfung:
o
Prinzip (Kleinste Quadrat – Schätzung):
o
Formeln:
n
(
Q( βˆ 0 , βˆ1 ) = ∑ yi − βˆ 0 − βˆ1 xi
i =1
)
2
= min!
s
sY
→ βˆ1 = b1 = XY
=
r
, βˆ 0 = b0 = y − b1 x ,
XY
2
sX
sX
2
SQE = Q(b0, b1 ) = (n − 1)sY2 (1 − rXY
), MQE =
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
SQE
n−2
06.01.2014
76
o
Konfidenzintervalle und Abhängigkeitsprüfung:
wie bei Modell A
Beispiel 7.5:
Um herauszufinden, wie die Entwicklungsdauer Y des Bachflohkrebses
Gammarus fossarum von der Wassertemperatur X abhängt, wurde ein
Laboratoriumsexperiment mit vorgegebenen Temperaturwerten durchgeführt. Die
Versuchsergebnisse sind:
Es soll im Rahmen einer Regressionsanalyse auf 5%igem Signifikanzniveau geprüft
werden, ob die mittlere Entwicklungsdauer linear von der Temperatur abhängt.
Ferner sind die Regressionsparameter zu schätzen, die Regressionsgerade mit dem
Streudiagramm darzustellen und für den Anstieg ein 95%iges Konfidenzintervall
anzugeben.
Lösung mit R:
>
>
>
>
+
>
>
>
>
#
#
x
y
Beispiel 7.5 (Zufallsgestörte lineare Abhängigkeit)
Dateneingabe, univariate Statistiken
<- c(rep(16, 5), rep(17, 3), rep(18, 3), rep(19, 4), rep(20, 5))
<- c(22, 20, 19, 21, 21, 19, 20, 19, 18, 18,
17, 17, 15, 16, 17, 14, 14, 14, 15, 13)
options(digits=4)
n <- length(x); mwx <- mean(x); mwy <- mean(y)
sx <- sd(x); sy <- sd(y)
print(cbind(n, mwx, sx)); print(cbind(n, mwy, sy))
n
mwx
sx
[1,] 20 18.05 1.572
n
mwy
sy
[1,] 20 17.45 2.685
> # bivariate Statistiken
> s_xy <- cov(x, y) # Kovarianz
> r_xy <- cor(x, y, method="pearson") # Produktmoment(=Pearson)korrelation
> print(cbind(s_xy, r_xy))
s_xy
r_xy
[1,] -4.024 -0.9534
> # Abhängigkeitsprüfung
> cor.test(x, y, method="pearson", alternative="two.sided",
conf.level=0.95)
Pearson's product-moment correlation
data: x and y
t = -13.41, df = 18, p-value = 8.295e-11
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.9817 -0.8837
sample estimates:
cor
-0.9534
> # Schätzung der Regressionsparameter, Fehlervarianz
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
77
> b1 <- s_xy/sx^2; b0 <- mwy-b1*mwx
> print(cbind(b1, b0))
b1
b0
[1,] -1.628 46.84
> # Abhängigkeitsprüfung (Berechnung des P-Wertes)
> tgs <- r_xy*sqrt(n-2)/sqrt(1-r_xy^2)
> P <- 2*pt(-abs(tgs), n-2); q <- qt(0.975, n-2)
> print(cbind(tgs, P, q))
tgs
P
q
[1,] -13.41 8.295e-11 2.101
> # Loesung mit Funktion lm
> xy <- data.frame(x, y)
> modyx <- lm(formula = y ~ x, data=xy)
> summary(modyx)
Call:
lm(formula = y ~ x, data = xy)
Residuals:
Min
1Q Median
-1.7881 -0.3389 -0.0314
3Q
0.5327
Max
1.2119
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)
46.841
2.200
21.3 3.3e-14 ***
x
-1.628
0.121
-13.4 8.3e-11 ***
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.832 on 18 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.909,
Adjusted R-squared: 0.904
F-statistic: 180 on 1 and 18 DF, p-value: 8.29e-11
14
16
y
18
20
22
> confint(modyx, level=0.95) # 95%-Konfidenzintervalle fuer Parameter
2.5 % 97.5 %
(Intercept) 42.219 51.463
x
-1.883 -1.373
> # Streudiagramm mit Regressionsgeraden
> plot(x, y); abline(modyx)
16
17
18
19
20
x
Gleichung der Regressionsgeraden:
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
yˆ = −1.628 x + 46.841
06.01.2014
78
Lernziel 7.6:
Linearisierende Transformationen anwenden können, um nichtlineare
Abhängigkeiten (allometrische, exponentielle bzw. gebrochen lineare)
mit Hilfe von linearen Regressionsmodellen erfassen zu können.
Linearisierende Transformationen:
Nichtlineare Regressionsfunktion µY'(X') (Zielvariable Y', Einflussvariable
X')
lineare Regressionsfunktion
Aus der Geradengleichung y = β0+β1 x durch logarithmische bzw.
reziproke Skalentransformationen ableitbare nichtlineare Funktionstypen:
Beispiel 7.6:
Die folgende Tabelle enthält Angaben über die Länge X' (in mm)
und Masse Y' (in mg) von 15 Exemplaren des Bachflohkrebses
Gammarus fossarum. Es soll die Abhängigkeit der Masse von
der Länge durch ein geeignetes Regressionsmodell dargestellt werden.
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
+
+
>
# Beispiel 7.6
xs <- c(rep(7, 3), 8, rep(9, 3), 10, rep(11, 3), rep(12, 4))
ys <- c(5, 5, 6, 9, 11, 11, 13, 15, 18, 20, 21, 20, 22, 27, 27)
options(digits=4)
# Grafikparameter
par(pin=c(6, 4), mai=c(0.8, 0.9, 0.2, 0.1))
par(cex.axis=1.3, cex.lab=1.3)
# Streudiagramm mit Originalvariablen
plot(xs, ys, type="p", col="black", xlab="Länge X' (in mm)",
ylab="Masse Y' (in mg)", pch=18, frame.plot=F,
xlim=c(7, 12), ylim=c(5, 27), lwd=2)
# log/log-Transformation
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
79
> x <- log(xs); y <- log(ys)
> daten <- data.frame(xs, ys, x, y); daten
xs ys
x
y
1
7 5 1.946 1.609
2
7 5 1.946 1.609
3
7 6 1.946 1.792
4
8 9 2.079 2.197
5
9 11 2.197 2.398
6
9 11 2.197 2.398
7
9 13 2.197 2.565
8 10 15 2.303 2.708
9 11 18 2.398 2.890
10 11 20 2.398 2.996
11 11 21 2.398 3.045
12 12 20 2.485 2.996
13 12 22 2.485 3.091
14 12 27 2.485 3.296
15 12 27 2.485 3.296
> # univariate Statistiken
> n <- length(x); mwx <- mean(x); mwy <- mean(y); sx <- sd(x); sy <- sd(y)
> print(cbind(n, mwx, sx, mwy, sy))
n
mwx
sx
mwy
sy
[1,] 15 2.263 0.2073 2.592 0.5779
> # lineare Regression mit lograithmierten Variablen
> modyx <- lm(y ~ x); summary(modyx)
Call:
lm(formula = y ~ x)
Residuals:
Min
1Q
-0.20537 -0.09106
Median
0.00704
3Q
0.08841
Max
0.15294
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)
-3.615
0.316
-11.4 3.7e-08 ***
x
2.743
0.139
19.7 4.5e-11 ***
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.108 on 13 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.968,
Adjusted R-squared: 0.965
F-statistic: 389 on 1 and 13 DF, p-value: 4.54e-11
> paryx <- coefficients(modyx); b0 <- paryx[[1]]; b1 <- paryx[[2]]
> b0s <- exp(b0); b0s; # Rücktransformation
[1] 0.02692
> curve(b0s*x^b1, lty=1, lwd=2, ad=T)
> segments(9.4, b0s*9.4^b1, 9.8, b0s*9.4^b1-0.8)
> text(9.4, b0s*9.4^b1-1.5, expression("Allometrisches Modell"),
> + pos=4, cex=1.3)
> # lineare Regression mit Originalvariablen
> modysxs <- lm(ys ~ xs); summary(modysxs)
Call:
lm(formula = ys ~ xs)
Residuals:
Min
1Q Median
-3.562 -1.341 0.140
3Q
0.899
Max
3.438
Coefficients:
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
80
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -21.323
2.708
-7.87 2.7e-06 ***
xs
3.740
0.271
13.78 3.9e-09 ***
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 1.97 on 13 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.936,
Adjusted R-squared: 0.931
F-statistic: 190 on 1 and 13 DF, p-value: 3.92e-09
Lineares Modell
15
Masse Y' (in mg)
20
25
> parysxs <- coefficients(modysxs)
> bb0 <- parysxs[[1]]; bb1 <- parysxs[[2]]
> print(cbind(bb0, bb1))
bb0 bb1
[1,] -21.32 3.74
> curve(bb0+bb1*x, lty=2, lwd=2, ad=T)
> segments(9.77, bb0+9.77*bb1, 9.4, bb0+9.77*bb1+0.8)
> text(9.6, bb0+9.77*bb1+1.6, expression("Lineares Modell"),
> + pos=2, cex=1.3)
5
10
Allometrisches Modell
7
8
9
10
11
12
Länge X' (in mm)
Regressionsfunktion (allometrisches Modell mit Orignialvariablen):
y ′ = 0.02692 x ′ 2.743
Lernziel 7.7:
Regressionsgeraden durch den Nullpunkt bestimmen können.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten: wie beim Modell A
•
Modell (Modell C):
Wenn von der Regressionsgeraden auf Grund sachlogischer
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
81
Überlegungen verlangt wird, dass sie durch einen festen Punkt
P=(x0,y0) der Merkmalsebene verläuft. Ohne Beschränkung der
Allgemeinheit kann P im Nullpunkt des Koordinatensystems liegend
angenommen, also x0=y0=0 vorausgesetzt werden. Zur Erfüllung der
Forderung nach einer durch den Nullpunkt verlaufenden
Regressionsgeraden macht man den Modellansatz:
Y ( x) = µY ( x) + ε mit
µY ( x) = β1 x, ε ≈ N (0, σ ε2 )
• Parameterschätzung und Abhängigkeitsprüfung:
2
o Schätzwerte für die Modellparameter β 1 und σ ε :
n
β̂1 = b1 =
n
∑x y ∑x ,
2
i
i i
i =1
i =1
SQE
MQE=
mit SQE =
n −1
o
n
∑
i =1

yi2 − 


n

xi yi 


∑
i =1
2
n
∑
xi2
i =1
(1-α)-Konfidenzintervall für den Anstieg:
b1 ± t n −1,1−α / 2 SE (b1 ) = b1 ± t n −1,1−α / 2
MQE
n
∑x
2
i
i =1
H0: β1 = 0 auf dem Testniveau α ablehnen, wenn das (1-α)Konfidenzintervall für β1 den Wert 0 nicht enthält.
Beispiel 7.7:
Es sei C die Plasmakonzentration eines Wirkstoffes und c0 der Anfangswert. Die
Abnahme der auf den Anfangswert bezogenen Konzentration Y'=C/c0 in Abhängigkeit
von der Zeit X (in h) ist durch folgende Daten dokumentiert:
X :
Y‘:
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8
0.72, 0.29, 0.16, 0.11, 0.075, 0.046, 0.025, 0.014
Offensichtlich muss Y'(0)=1 gelten. Unter der (auch durch das Streudiagramm
nahegelegten) Annahme, dass Y' im Mittel nach dem Exponentialgesetz
µY'(x) = exp(β1 x) abnimmt, bestimme man einen Schätzwert (samt 95%igem
Konfidenzintervall) für β1.
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
82
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
+
+
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
# Beispiel 7.7 (Regressionsgerade durch den Nullpunkt)
x <- seq(from=1, to=8, by=1)
ys <- c(0.72, 0.29, 0.16, 0.11, 0.075, 0.046, 0.025, 0.014)
options(digits=4)
# Grafikparameter
par(mfrow=c(2, 1))
par(pin=c(6, 4), mai=c(0.8, 0.9, 0.2, 0.1))
par(cex.axis=1.3, cex.lab=1.3)
n <- length(x)
# Streudiagramm mit Originalvariablen
plot(x, ys, type="p", col="black", xlab="Zeit X (in h)",
ylab=expression("Y' = C/"*c[0]), pch=18, frame.plot=F,
xlim=c(0, 8), ylim=c(0, 1.1), lwd=2)
text(2.1, 0.4, expression(hat(y)*"' = "*e^{-0.532*x}), pos=4, cex=1.3)
points(0, 1, pch=3, lwd=2, cex=1.3)
text(0.1,1, expression("(0,1)"), pos=4, cex=1.2)
#
# log-Transformation
y <- log(ys); xy <- x*y
daten <- data.frame(x, ys, y, xy)
# Schätzung des Anstiegs
sumxy <- sum(xy); sumx2 <- sum(x^2); sumy2 <- sum(y^2)
b1 <- sumxy/sumx2
print(cbind(b1, sumx2, sumy2, sumxy), digits=6)
b1 sumx2
sumy2
sumxy
[1,] -0.532004
204 57.8907 -108.529
> curve(exp(b1*x), lty=1, lwd=2, ad=T)
> # Bestimmung von SQE und MQE
> SQE <- sumy2-sumxy^2/sumx2; MQE <- SQE/(n-1)
> print(cbind(SQE, MQE), digits=5)
SQE
MQE
[1,] 0.1529 0.021843
> # Bestimmtheitsmaß
> B <- 1-SQE/sumy2; B
[1] 0.9974
> # 95%-Konfidenzintervall für den Anstieg
> q <- qt(0.975, n-1); seb1 <- sqrt(MQE/sumx2)
> ug <- b1-q*seb1; og <- b1+q*seb1
> print(cbind(q, b1, seb1, ug, og))
q
b1
seb1
ug
og
[1,] 2.365 -0.532 0.01035 -0.5565 -0.5075
> # Lösung mit R-Funktion lm()
> mod <- lm(y ~ 0+x)
> ergebnis <- summary(mod); ergebnis
Call:
lm(formula = y ~ 0 + x)
Residuals:
Min
1Q
-0.2366 -0.1029
Median
0.0112
3Q
0.0805
Max
0.2035
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
x -0.5320
0.0103
-51.4 2.8e-10 ***
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.148 on 7 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.997,
Adjusted R-squared: 0.997
F-statistic: 2.64e+03 on 1 and 7 DF, p-value: 2.76e-10
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83
> B <- ergebnis$r.squared; B
[1] 0.9974
> parx <- coefficients(mod); b1 <- parx[[1]]; b1
[1] -0.532
> confint(mod)
2.5 % 97.5 %
x -0.5565 -0.5075
> # Streudiagramm mit logarithmiertem Y
> plot(x, y, type="p", col="black", xlab="Zeit X (in h)",
+
ylab=expression("Y = ln(C/"*c[0]*")"), pch=18, frame.plot=F,
+
xlim=c(0, 8), ylim=c(-5, 0), lwd=2)
> segments(0, 0, 8, b1*8, lty=1, lwd=2)
> text(4, -2.5, expression(hat(y)*" = -0.532x"), pos=2, cex=1.3)
> text(4, -3.3, expression("B = "*r[xy]^2*" = 99.74%"), pos=2, cex=1.3)
> points(0, 0, pch=3, lwd=2, cex=1.3)
> text(0.1,-0.15, expression("(0,0)"), pos=1, cex=1.3)
0.8
0.4
−0.532x
y^' = e
0.0
Y' = C/c0
(0,1)
0
2
4
6
8
6
8
-2
(0,0)
-3
y^ = -0.532x
2
B = rxy = 99.74%
-5
-4
Y = ln(C/c0)
-1
0
Zeit X (in h)
0
2
4
Zeit X (in h)
Lernziel 7.8:
Probenmesswerte mit Hilfe von linearen Kalibrationsfunktionen schätzen
können.
Ablaufschema:
• Bestimmung der linearen Kalibrationsfunktion:
Die Kalibrationsfunktion bestimmt man in der Regel so, dass man zu
vorgegebenen Kalibrierproben (Werte xi von X) die entsprechenden
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
84
Werte yi der Hilfsgröße Y misst und eine lineare Regression von Y auf
X durchführt (Modell B). Schätzwerte für die Modellparameter β1 , β 0
2
und σ E :
βˆ1 = b1 =
s XY
sY
=
r
, βˆ0 = b0 = y − b1 x ,
XY
2
sX
sX
σˆ E2 = MQE =
SQE
2
mit SQE = (n − 1)sY2 (1 − rXY
)
n−2
Gleichung der Kalibrationsfunktion: yˆ = f ( x, b0 , b1 ) = b0 + b1 x
Voraussetzung: Anstieg b1 weicht auf dem vorgegebenen Testniveau
α signifikant von Null ab, d.h. :
TG =
rXY n − 2
2
1 − rXY
b12 ( n − 1) s X2
=
> t n− 2,1−α / 2
MQE
•
Rückschluss von Y auf X:
Bei bekannten Regressionsparametern β1 und β 0 sowie bekanntem
Erwartungswert η von Y ergibt sich der gesuchte X-Wert ξ einfach
aus der Regressionsgleichung: ξ = (η − β 0 ) / β1 . Im Allgemeinen kennt
man weder die Regressionsparameter β1 und β 0 noch den
Erwartungswert η. Naheliegend ist nun folgende Vorgangsweise: Wir
bilden den Mittelwert y ′ aus m zum selben ξ gemessenen Y-Werten
(im Extremfall kann m=1 sein), setzen y ′ an Stelle von ŷ in die
Regressionsgleichung yˆ = y + b1 ( x − x ) ein und lösen nach x auf. Die so
erhaltene Größe – wir bezeichnen sie mit x̂ - nehmen wir als
Schätzfunktion für x. Es ist also xˆ = x + ( y ′ − y ) / b1 .
• Berechnung eines Konfidenzintervalls für ξ :
Unter der Voraussetzung g = t n2− 2 ,1−α / 2 / TG 2 < 0.1 erhält man das
approximative (1-α)-Konfidenzintervall für den gesuchten X-Wert:
UG = xˆ − t n − 2,1−α / 2 s xˆ und OG = xˆ + t n − 2,1−α / 2 s xˆ
s xˆ =
MQE
| b1 |
2
1 1
(
y′ − y )
 + + 2
 m n b (n − 1) s 2
1
X

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



06.01.2014
85
Man beachte, dass die Genauigkeit der Schätzung von der Anzahl n
der Kalibrierproben und vom Umfang m der Y-Stichprobe abhängt.
Für ein optimales Design der Kalibrationsfunktion wird man ferner
2
darauf achten, dass ( y ′ − y ) möglichst klein und s X möglichst groß
ist.
Beispiel 7.8:
Zur Messung von Fe-Konzentrationen sollen die Peakhöhen von
Atomabsorptionsspektrallinien herangezogen werden. Zwecks Kalibration des
Messverfahrens wurden die Peakhöhen (Variable Y, in cm) in Abhängigkeit von
einigen vorgegebenen Massenwerten (Variable X, in ng) bestimmt. Wir berechnen
a) die lineare Kalibrationsfunktion im Rahmen einer
linearen Regression von Y auf X und schätzen
b) die Masse einer neuen Probe auf Grund einer gemessenen Peakhöhe von
0.055cm (α=5%).
X:
Y:
1.409, 3.013, 5.508, 8.100, 10.303
0.027, 0.040, 0.065, 0.084, 0.102
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
# Beispiel 7.8 (Lineare Kalibration)
masse <- c(1.409,3.013, 5.508, 8.100, 10.303)
peak <- c(0.027, 0.040, 0.065, 0.084, 0.102)
options(digits=4)
# a) Abhängigkeitsprüfung und Parameterschätzung:
x <- masse; y <- peak; n <- length(x)
mwx <- mean(x); mwy <- mean(y)
sx <- sd(x); sy <- sd(y)
print(cbind(n, mwx, sx, mwy, sy))
n
mwx
sx
mwy
sy
[1,] 5 5.667 3.627 0.0636 0.03078
> s_xy <- cov(x, y) # Kovarianz
> r_xy <- cor(x, y, method="pearson"); B <- r_xy^2
> print(cbind(s_xy, r_xy, B))
s_xy
r_xy
B
[1,] 0.1115 0.9987 0.9974
> # Schätzung der Regressionsparameter
> b1 <- s_xy/sx^2; b0 <- mwy-b1*mwx
> print(cbind(b1, b0))
b1
b0
[1,] 0.008476 0.01557
> SQE <- (n-1)*sy^2*(1-r_xy^2); MQE <- SQE/(n-2);
> SQY <- (n-1)*sy^2; SQR <- (n-1)*sy^2*r_xy^2
> print(cbind(SQY, SQE, MQE, SQR))
SQY
SQE
MQE
SQR
[1,] 0.003789 9.879e-06 3.293e-06 0.003779
> # Abhängigkeitsprüfung mit t-Test
> tgs <- r_xy*sqrt(n-2)/sqrt(1-r_xy^2)
> P <- 2*pt(-abs(tgs), n-2); q <- qt(0.975, n-2)
> print(cbind(tgs, P, q))
tgs
P
q
[1,] 33.88 5.654e-05 3.182
>
> # Lösung mit R-Funktion lm()
> daten <- data.frame(masse, peak)
> modell <- lm(formula=peak~masse, data=daten)
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86
> ergebnis <- summary(modell)
> ergebnis$coefficients
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.015573 0.0016335
9.533 2.448e-03
masse
0.008476 0.0002502 33.877 5.654e-05
> b0 <- ergebnis$coefficients[1,1]; b0
[1] 0.01557
> b1 <- ergebnis$coefficients[2,1]; b1
[1] 0.008476
> rxy <- cor(masse, peak); B <- rxy^2
> print(cbind(rxy, B))
rxy
B
[1,] 0.9987 0.9974
>
> # b) Schätzung der Probenmasse zur gegebenen Peakhöhe
> peakhoehe <- 0.055; alpha <- 0.05
> masse_erwartet <- (peakhoehe-b0)/b1
> sigma <- ergebnis$sigma
> mw_peak <- mean(peak)
> var_masse <- var(masse)
> SE_masse_erwartet <- sigma/abs(b1)*sqrt(1+1/5+
+
(peakhoehe-mw_peak)^2/b1^2/4/var_masse)
> t_quantil <- qt(1-alpha/2, 3)
> UG <- masse_erwartet - t_quantil*SE_masse_erwartet
> OG <- masse_erwartet + t_quantil*SE_masse_erwartet
> print(cbind(peakhoehe, masse_erwartet, SE_masse_erwartet, UG, OG))
peakhoehe masse_erwartet SE_masse_erwartet
UG
OG
[1,]
0.055
4.652
0.2364 3.899 5.404
> # Überprüfung der Voraussetzung
> tgs <- cor(masse, peak)*sqrt(n-2)/sqrt(1-cor(masse, peak)^2); tgs
[1] 33.88
> g <- t_quantil^2/tgs^2; g # muss < 0.1 sein!
[1] 0.008825
Übungsbeispiele zur Korrelation und Regression mit metrischen
Variablen
1. An bestimmten von sechs verschiedenen Grasarten stammenden Chromosomen
wurden die Gesamtlänge L sowie die Teillänge H des C-Band Heterochromatins
gemessen (Angaben in µm; aus H.M. Thomas, Heredity, 46: 263-267, 1981). Man
berechne und interpretiere die Produktmomentkorrelation rlh. (0.78, TeilGanzheitskorr.)
L
H
77.00
6.00
79.00
5.00
72.50
5.00
65.50
3.00
56.50
2.75
57.25
4.25
2. An 15 Pflanzen (Biscutella laevigata) wurden u.a. die Sprosshöhe X und die
Länge Y des untersten Stengelblattes gemessen (Angaben in mm).
X
298
345
183
340
350
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
Y
39
47
18
29
45
X
380
92
380
195
265
Y
50
33
70
20
52
X
232
90
200
350
620
Y
70
14
28
45
40
06.01.2014
87
a) Man berechne die Produktmomentkorrelation.
b) Was ergibt sich, wenn man das Wertepaar X=620, Y=40 als
ausreißerverdächtig weglässt?
c) Man zeige an Hand der Stichprobe (ohne das letzte Wertepaar), dass die
Korrelationskoeffizienten signifikant von null abweichen (α=5%).
(rxy=0.439; ohne letztes Wertepaar: rxy= 0.605, rs=0.689; sign. ungleich null)
3. Man beschreibe die Abhängigkeit der Variablen Y von der Variablen X durch ein
lineares Regressionsmodell. Besteht überhaupt eine signifikante Abhängigkeit
(α=5%)? Wie groß ist die zu erwartende Änderung ∆ von Y, wenn X um 100
Einheiten zunimmt? Mittels einer Regression von X auf Y berechne man
zusätzlich auch die zu erwartende Änderung ∆' von X bei Variation von Y um ∆
Einheiten. (b1=0.1058 sign. ungleich null, b0=12.04; ∆= 10.58, ∆'=36.62)
X
298
345
183
340
350
Y
39
47
18
29
45
X
380
92
380
195
265
Y
50
33
70
20
52
X
232
90
200
350
Y
70
14
28
45
4. Man beschreibe die Abnahme der Säuglingssterblichkeit Y (Anzahl der
gestorbenen Säuglinge auf 1000 Lebendgeborene) in Österreich von 1977 bis
1987 durch ein lineares Regressionsmodell. Wie groß ist die durchschnittliche
Abnahme der Säuglingssterblichkeit pro Jahr innerhalb des angegebenen
Beobachtungszeitraumes? Gibt es eine signifikante Änderung der
Säuglingssterblichkeit mit der Zeit (α=5%)? (b1=-0.64 sign. ungleich null, b0=39.67)
X 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87
Y 16.8 15.0 14.7 14.3 12.7 12.8 11.9 11.4 11.2 10.3 9.8
5. Die nachfolgende Tabelle enthält die über das Jahr gemittelten
Wassertemperaturen (in oC) der Donau. Man prüfe im Rahmen einer linearen
Regression, ob sich im Beobachtungszeitraum die Temperatur signifikant
verändert hat (α=5%). (b1=0.0588 n. sign. ungleich null)
Jahr Temp. Jahr Temp. Jahr Temp.
80
9.4 86 10.7 92 11.5
81 10.6 87
9.6 93 10.6
82 10.5 88 10.6 94 11.5
83 10.0 89 10.4 95
9.9
84
9.9 90 10.9
85 10.1 91 10.2
6. Die Wirkung eines Präparates A auf den (systolischen) Blutdruck wird durch
Blutdruckmessungen vor und nach Gabe von A ermittelt. Ergänzend zu diesen
Zielvariablen wird das Gewicht (in kg) als Kovariable mit erfasst. Man prüfe, ob
der Behandlungseffekt (= Differenz der Blutdruckwerte vor und nach Gabe des
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
88
Präparates) vom Körpergewicht linear abhängt (α=5%). (Abhängigkeitsprüfung n.
sign.)
Gewicht Blutdruck/vor Blutdruck/nach
67
170
148
68
190
155
78
175
137
94
189
143
89
180
145
82
178
140
7. In einer Stichprobe von 10 Frauen wurden der Blutdruck Y (mm Hg) und das Alter
X registriert. Kann man mit einem linearen Regressionsmodell vom Alter auf den
Blutdruck schließen (α=5%)? (b1=0.555 sign. ≠0, b0=102.1)
Proband Alter
1
36
2
57
3
61
4
42
5
46
Blutdruck
115
122
139
127
125
Proband Alter
6
31
7
49
8
27
9
35
10
58
Blutdruck
120
135
118
125
140
8. Von einem Gebiet der Schweiz liegen aus 10 Wintern (Dezember bis März) die in
der folgenden Tabelle angeführten Werte der Schneehöhe X (in cm) und der
Lawinenabgänge Y vor. Man stelle die Abhängigkeit der Anzahl der
Lawinenabgänge von der Schneehöhe durch ein lineares Regressionsmodell dar.
(α=5%)
X
Y
80 300 590 170 302 515 609 843 221 616
31 44 78 65 75 38 51 104 37 91
9. Der Energieumsatz E (in kJ pro kg Körpergewicht und Stunde) wurde in
Abhängigkeit von der Laufgeschwindigkeit v (in m/s) gemessen. Man stelle die
Abhängigkeit des Energieumsatzes von der Laufgeschwindigkeit durch ein
geeignetes Regressionsmodell dar und prüfe, ob im Rahmen des Modells
überhaupt ein signifikanter Einfluss der Geschwindigkeit auf den Energieumsatz
besteht (α=5%). (E = 0.514v3.3, b1=3.3 sign. ≠0)
v
E
3.1
27.6
4.2
50.6
5.0
62.7
5.4
147.1
6.6
356.3
10. Der durch die folgenden Daten belegte Zusammenhang zwischen der Länge L
und der Fluggeschwindigkeit V von Tieren ist offensichtlich nichtlinear (aus T.A.
McMahon und J.T. Bonner, Form und Leben, Heidelberg, Spektrum d.
Wissenschaft, 1985). Wie man sich an Hand eines Streudiagramms klar machen
kann, erreicht man mit einer doppelt-logarithmischen Transformation eine
Linearisierung. Man beschreibe die Abhängigkeit der Fluggeschwindigkeit von der
Länge durch eine geeignete Regressionsfunktion. Welcher Streuungsanteil von V
ist durch L erklärbar? (V = 469.7·L0.3612, b1=0.3612 sign. ≠0 bei α = 5%)
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
89
Art
Fruchtfliege
Pferdebremse
Rubinkehlkolibri
Wasserjungfer
Gr. braune Fledermaus
Grasmücke
Gewöhnl. Mauersegler
Fliegender Fisch
Regenbrachvogel
Spießente
Bewik-Schwan
Rosapelikan
L in cm
0.2
1.3
8.1
8.5
11.0
11.0
17.0
34.0
41.0
56.0
120.0
160.0
V in cm/s
190
660
1120
1000
690
1200
2550
1560
2320
2280
1880
2280
11. Für die Wandermuschel Dreissena polymorpha pallas wurden (nach 5
Altersklassen aufgegliedert) Gewichts- und Längenmaße bestimmt und die in der
nachstehenden Tabelle angegebenen Klassenmittelwerte L bzw. G berechnet.
Man stelle die Abhängigkeit des Gewichts G von der Länge L durch eine
allometrische Funktion dar und beurteile die Güte der Anpassung mit Hilfe des
Bestimmtheitsmaßes. Vgl. Schulz, N.: Die Wandermuschel im Keutschacher See.
Carinthia II, 170/90, 549 (1980). (G=0.000134 L2.976; 99.9%)
Länge L/mm 7.56 11.92 16.40
Gewicht G/g 0.055 0.213 0.564
24.83
1.894
29.03
3.012
12. Die folgende Tabelle enthält die altersspezifischen Lebensraten Li (Anteil der
Individuen, die das Alter ai erleben), die an einer Kohorte von ursprünglich 142
Individuen eines Rankenfüßers (Balanus glandula) festgestellt wurden (aus Ch.J.
Krebs, Ecology, New York, Harper & Row, 1985; die Variable ai zählt das
Lebensalter in Jahren). Für die Abnahme der Lebensrate mit dem Alter versuche
man den exponentiellen Ansatz L=exp(ß1 a), der insbesondere auch der
Forderung L0=1 genügt. Mittels einer einfach-logarithmischen Transformation
erhält man daraus eine lineare Funktion, deren Parameter b1 zu bestimmen ist.
Man bestimme ein 95%-Konfidenzintervall für den Parameter ß1.
(L = exp(-0.557a), [-0.604, -0.511])
ai
1
2
3
4
5
6
7
8
Li 0.437 0.239 0.141 0.109 0.077 0.046 0.014 0.014
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
90
8 EINFAKTORIELLE VARIANZANALYSE (ANOVA)
Lernziel 8.1:
Den Einfluss eines k-stufigen Faktors auf den Mittelwert einer auf jeder
Faktorstufe mit gleicher Varianz normalverteilten Zielvariablen
feststellen können.
Die 1-faktorielle Varianzanalyse ermöglicht es, unter gewissen
Voraussetzungen, die Mittelwerte von k >2 unabhängigen Stichproben
im Rahmen der Globalhypothesen H0: „Alle k Mittelwerte sind gleich“ vs.
H1: „Wenigstens 2 Mittelwerte sind verschieden“ vergleichen zu können.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten und Modell:
Variable Y unter k Versuchsbedingungen (= Faktorstufen) wiederholt
(an nj Untersuchungseinheiten auf der Faktorstufe j) gemessen
k unabhängige Stichproben
Anordnung in Datentabelle (yij = Messwert von der i-ten
Untersuchungseinheit unter der j -Versuchsbedingung):
Jedes yij ist eine Realisation einer N(µj,σ2)-verteilten Zufallsvariablen
Yij mit der Darstellung:
Yij = µ j + ε ij = µ + τ j + ε ij
Es bedeuten:
− µj das Mittelwert auf der j-ten Faktorstufe (geschätzt durch y j );
− µ eine Konstante (geschätzt durch das aus allen
Stichprobenwerten berechnete Gesamtmittel y );
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
91
− τj eine den Behandlungseffekt auf der j-ten Stufe zum Ausdruck
bringende Konstante (geschätzt durch y j − y und mit der
Normierung n1τ1 + n2τ2 + ... + nkτk =0);
− εij den Versuchsfehler (für alle Wiederholungen und Faktorstufen
unabhängig N(0, σ2)-verteilt); Schätzung der Fehlervarianz σ2
durch:
SQE
MQE =
N −k
k
mit
N=
∑
k
n j und SQE =
j =1
∑
( n j − 1) s 2j
j =1
• Hypothesen und Testgröße:
Globaltest:
H0: µ1 = µ2 = ... = µk vs.
H1: wenigstens zwei der µj unterscheiden sich
MQA
TG s =
MQE
mit
SQA
MQF =
, SQA =
k −1
k
∑ n (y
j
j
−y
)
2
j =1
TGs = Realisierung einer (bei Gültigkeit von H0) F-verteilten
Zufallsvariablenmit (Zählerfreiheitsgrad f1=k-1, Nennerfreiheitsgrad
f2=N-k).
Zusammenfassung der relevanten Rechengrößen in der
ANOVA-Tafel:
SQY = (n1-1)s12+(n2-1)s22+...+(n2-1)s22
• Entscheidung mit dem P-Wert17:
P < α ⇒ H0 ablehnen; dabei ist P=1-F(TGs) mit F als
Verteilungsfunktion der F-Verteilung mit f1=k-1, f2=N-k.
• Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich:
H0 wird abgelehnt, wenn TGs > Fk-1,N-k,1-α.
17
In R kann die ANOVA-Tafel und der P-Wert des F-Tests zum globalen Vergleich der Mittelwerte mit der
Anweisung aov() berechnet werden.
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
92
Fk-1,N-k,1-α bezeichnet das 1-α - Quantil der F-Verteilung mit den
Freiheitsgraden f1=k-1, f2=N-k.
Beispiel 8.1a (ANOVA: Globaltest):
An vier verschiedenen Stellen eines Gewässers wurden die in der folgenden Tabelle
angeschriebenen Werte der Phosphatkonzentration Y (in mg/l) gemessen. Man prüfe
auf 5%igem Testniveau, ob die mittlere Phosphatkonzentration von der Messstelle
abhängt.
Lösung mit R:
>
>
>
+
+
+
>
>
# Beispiel 8.1a (ANOVA: Globaltest)
options(digits=5)
y <- c(1.20, 0.75, 1.15, 0.80, 0.90,
1.00, 0.85, 1.45, 1.25, 1.10,
1.45, 1.60, 1.35, 1.50, 1.70,
1.30, 1.20, 1.35, 1.50, 1.00) # Messmerkmal
stelle <- rep((1:4), each=5); A <- factor(stelle) # Messstelle
daten <- data.frame(y, A); daten
y A
1 1.20 1
2 0.75 1
3 1.15 1
4 0.80 1
5 0.90 1
6 1.00 2
7 0.85 2
8 1.45 2
9 1.25 2
10 1.10 2
11 1.45 3
12 1.60 3
13 1.35 3
14 1.50 3
15 1.70 3
16 1.30 4
17 1.20 4
18 1.35 4
19 1.50 4
20 1.00 4
> k <- 4; N <- length(y)
> mw <- mean(y); mw # Gesamtmittel
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06.01.2014
93
[1] 1.22
> nj <- aggregate(daten[,1], list(A), FUN=length); nj[,2]
[1] 5 5 5 5
> mwj <- aggregate(daten[,1], list(A), FUN=mean); mwj[,2]
[1] 0.96 1.13 1.52 1.27
> varj <- aggregate(daten[,1], list(A), FUN=var); varj[,2]
[1] 0.04175 0.05325 0.01825 0.03450
> tauj <- mwj[,2]-mw; tauj
[1] -0.26 -0.09 0.30 0.05
> SQE <- sum((nj[,2]-1)*varj[,2]); MQE <- SQE/(N-k)
> print(cbind(SQE, MQE))
SQE
MQE
[1,] 0.591 0.036937
>
>
>
>
# Globaltest H0: "alle Mittelwerte gleich" vs. H1: "... ungleich"
# direkte Berechnung des P-Werts
SQY <- (N-1)*var(y); SQA <- SQY-SQE; MQA <- SQA/(k-1)
print(cbind(SQY, SQA, MQA), digits=6)
SQY
SQA
MQA
[1,] 1.432 0.841 0.280333
> tgs <- MQA/MQE; q <- qf(0.95, k-1, N-k); P <- 1-pf(tgs, k-1, N-k)
> print(cbind(tgs, q, P))
tgs
q
P
[1,] 7.5894 3.2389 0.0022348
> # Loesung mit R-Funktion aov():
> mod <- aov(formula=y ~ A, data=daten)
> summary(mod) # erzeugt ANOVA-Tafel
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
A
3 0.841 0.2803
7.59 0.0022 **
Residuals
16 0.591 0.0369
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
> mod$fitted.values # erzeugt
1
2
3
4
5
6
0.96 0.96 0.96 0.96 0.96 1.13
16 17
18
19
20
1.27 1.27 1.27 1.27 1.27
> mod$residuals # erzeugt die
1
2
3
4
5
0.24 -0.21 0.19 -0.16 -0.06
11
12
13
14
15
-0.07 0.08 -0.17 -0.02 0.18
die Modellkomponente tauj
7
8
9
10
11
12 13
14
15
1.13 1.13 1.13 1.13 1.52 1.52 1.52 1.52 1.52
Residuen
6
7
-0.13 -0.28
16
17
0.03 -0.07
8
0.32
18
0.08
9
10
0.12 -0.03
19
20
0.23 -0.27
Testentscheidung:
P = 0.22%
H0 (Übereinstimmung der Stufenmittelwerte) ablehnen (d.h.
Konzentration hängt von der Messstelle ab).
Anmerkung:
Es ist zweckmäßig, die Abhängigkeit der Zielvariablen Y von der
Faktorvariablen grafisch zu veranschaulichen (Boxplot,
Mittelwertdiagramm).
Beispiel 8.1b (ANOVA: Boxplot, Mittelwertdiagramm):
> # Beispiel b.1b (Fortsetzung von Beispiel 1)
> # Grafische Darstellung der Abhängigkeit vom Faktor durch Boxplot
> par(cex.axis=1.3, cex.lab=1.3)
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94
> boxplot(y ~ A, xlab = "Messstellen", ylab = "Y (Phosphatkonz.)",
+
main="Boxplot: Abhängigkeit der Zielvariablen vom Faktor")
1.4
1.2
0.8
1.0
Y (Phosphatkonz.)
1.6
Boxplot: Abhängigkeit der Zielvariablen vom Faktor
1
2
3
4
Messstellen
> # Mittelwertdiagramm mit 95%-Konfidenzintervallen
> library(gplots)
> dj <- qt(0.975, nj[,2]-1)*sqrt(varj[,2]/nj[,2]); dj # Länge der 95%-CI
[1] 0.25371 0.28653 0.16774 0.23063
> plotmeans(y ~ A, xlab="Faktor A (Messstellen)",
+
ylab="Y (Phosphatkonz.)", pch=3,
+
n.label=T, lwd=1, lty=1, cex=1.3, barcol="black", barwidth=2,
+
main="Mittelwertdiagramm mit 95%-CI")
1.4
1.2
1.0
0.8
Y (Phosphatkonz.)
1.6
Mittelwertdiagramm mit 95%-CI
n=5
n=5
n=5
n=5
1
2
3
4
Faktor A (Messstellen)
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06.01.2014
95
Lernziel 8.2:
Die Voraussetzungen des Modells der einfaktoriellen ANOVA überpüfen
können.
• Die Zielvariable ist auf jeder Faktorstufe normalverteilt.
Die 1-faktorielle ANOVA setzt voraus, dass die Fehlergrößen εij
voneinander unabhängig variierende und N(0, σ2)-verteilte
Zufallsvariable sind. Es empfiehlt sich, die Variation der Fehlergrößen
εij visuell an Hand eines mit den Residuen erstellten Normal-QQPlots zu überprüfen:
Beispiel 8.2a (ANOVA: Residualanalyse mit dem Normal-QQ-PLot):
>
>
>
+
+
>
# Beispiel 8.2a (Fortsetzung von Beispiel 8.1)
# Überprüfung der Residuen auf Normalverteilung (Normal-QQ-Plot)
qqnorm(mod$residuals, main="Normal-QQ-Plot mit den Residuen",
xlab = "Quantile der N(0, 1) - Verteilung",
ylab = expression("Residuen "*e[i]), pch=18, frame.plot=F)
qqline(mod$residuals, lwd=2)
0.1
0.0
-0.3
-0.2
-0.1
Residuen ei
0.2
0.3
Normal-QQ-Plot mit den Residuen
-2
-1
0
1
2
Quantile der N(0, 1) - Verteilung
• Der Levene-Test zur Prüfung auf inhomogene Varianzen.
Diese Voraussetzung einer N(0, σ2)-verteilten Fehlergröße bedeutet
im Besonderen, dass die Normalverteilungen auf jeder Faktorstufe
dieselbe Fehlervarianz aufweisen (Varianzhomogenität).
Ablaufschema:
− Beobachtungsdaten und Modell: wie bei der 1-faktoriellen ANOVA
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06.01.2014
96
− Hypothesen und Testgröße:
H0: σ12 = σ22 = ... = σk2 vs.
H1: wenigstens zwei der σj2 unterscheiden sich
Beobachtungen Yij auf der j-ten Faktorstufe werden durch die
Beträge zij=|eij| der Residuen eij = y ij − y j ersetzt
modifizierte
Datentabelle
Versuchsbedingung (Faktorstufe)
...
1
2
...
j
k
Wiederholungen z11
z12 ... z1j ... z1k
z21
z22 ... z2j ... z2k
...
...
... ... ...
...
zn1,1 zn2,2 ... znj,j ... znk,k
Anzahl
n2
... nj ...
nk
n1
z-Mittelwerte
... z j ...
z1
z2
zk
sz12
z-Varianzen
sz22
...
szj2
...
szk2
Wenn Varianzhomogenität vorliegt, stimmen die Mittelwerte der zStichproben bis auf zufallsbedingte Abweichungen überein.
Prüfung der Abweichungen im Rahmen einer einfaktoriellen
ANOVA mit:
TG s ( z ) =
MQF ( z )
mit
MQE ( z )
1
MQE ( z ) =
N −k
k
∑ (n
j
)
−1
j =1
s zj2
1
und MQF =
k −1
k
∑ n (z
j
j
−z
)
2
j =1
( z ist das aus allen z-Werten berechnete Gesamtmittel.)
− Entscheidung mit dem P-Wert18:
P < α ⇒ H0 ablehnen; dabei ist P=1-F(TGs) mit F als
Verteilungsfunktion der F-Verteilung mit f1=k-1, f2=N-k.
− Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich:
H0 auf Testniveau α ablehnen, wenn TGs(z) > Fk-1,N-k,1-α.
Beispiel 8.2b (ANOVA: Levene-Test):
> # Beispiel 8.2b (Levene-Test)
18
Der P-Wert kann mit der R-Funktion leveneTest() im Paket „car“ berechnet bwerden.
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97
>
>
>
+
+
+
>
>
>
>
>
>
>
>
>
# Fortsetzung der Beispiele 8.1a,b und 8.2a
options(digits=5)
y <- c(1.20, 0.75, 1.15, 0.80, 0.90,
1.00, 0.85, 1.45, 1.25, 1.10,
1.45, 1.60, 1.35, 1.50, 1.70,
1.30, 1.20, 1.35, 1.50, 1.00) # Messmerkmal
stelle <- rep((1:4), each=5); A <- factor(stelle) # Messstelle
daten <- data.frame(y, A)
# Bestimmung der Residuen
mody <- aov(y ~ A); eij <- residuals(mody)
# Levene-Test
# H0: "Stufenvarianzen stimmen überein" vs. "stimmen nicht überein"
z <- abs(eij); datenz <- data.frame(z, A)
# ANOVA mit absoluten Residuen
modz <- aov(formula=z ~ A)
> zz <- summary(modz); print(zz, digits=5) # erzeugt ANOVA-Tafel
Df Sum Sq
Mean Sq F value Pr(>F)
A
3 0.01718 0.0057267 0.6469 0.5962
Residuals
16 0.14164 0.0088525
>
>
>
>
# Lösung mit R-Funktion leveneTest()
library(car)
resz <- leveneTest(y ~ A, data=daten, center=mean)
print(resz, digits=5)
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = mean)
Df F value Pr(>F)
group 3 0.6469 0.5962
16
Testentscheidung:
P = 59.62%
H0 (Übereinstimmung der Stufenvarianzen) kann nicht abgelehnt
werden, d.h., die daten stehen nicht in Widerspruch zur Annahme der
Varianzhomogenität.
Lernziel 8.3:
Nach signifikantem Ausgang des Globaltests der einfaktoriellen ANOVA
die Mittelwertpaare mit voneinander verschiedenen Mittelwerten mit dem
HSD-Test von Tukey feststellen können.19
Ausgangspunkt:
Einfaktorielle Versuchsanlage mit k>2 Stufen und n Wiederholungen auf
jeder Stufe (N = kn =Gesamtumfang aller Wiederholungen.
Stufenmittelwerte: y j , MQE = Schätzwert für die Fehlervarianz σ2 (aus
ANOVA-Tafel).
Entscheidung mit Quantilen:
Stufenmittelwerte yi und y j sind verschieden, wenn die Bedingung
yi − y j > d HSD = Qk , f ,1−α
MQE
mit f = N − k
n
19
HSD steht für „honestly significant different“ Den paarweisen Vergleich aller Mittelwerte mit dem
HSD-Test kann man der R-Funktion TukeyHSD() ausführen.
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014
98
erfüllt ist.20 Mit diesem Entscheidungskriterium wird sicher gestellt,
dass das Gesamt-Irrtumsrisiko für alle paarweisen Mittelwertvergleiche
das vorgegebene Testniveau α nicht überschreitet. Die Größe Qk,f,1-α
ist das (1-α)-Quantil der sogenannten Verteilung der studentisierten
Spannweite Qk, N-k.21
Entscheidung mit dem P-Wert:
Um die P-Werte zu berechnen, bestimmt man die Teststatistiken
yi − y j
TG s =
MQE / n
und damit P=1-F(TGs); hier ist F die Verteilungsfunktion der
studentisierten Spannweite Qk, N-k. Die Gleichheit der Stufenmittelwerte
wird abgelehnt, wenn P < α gilt.
Beispiel 8.3 (HSD-Test):
> # Beispiel 8.3 (HSD-Test)
> # Fortsetzung der Beispiele 8.1a,b und 8.2a,b
> options(digits=5)
> y <- c(1.20, 0.75, 1.15, 0.80, 0.90,
+
1.00, 0.85, 1.45, 1.25, 1.10,
+
1.45, 1.60, 1.35, 1.50, 1.70,
+
1.30, 1.20, 1.35, 1.50, 1.00) # Messmerkmal
> stelle <- rep((1:4), each=5); A <- factor(stelle) # Messstelle
> daten <- data.frame(y, A)
> k <- 4; n <- 5; N <- n*k
> my <- mean(y); my # Gesamtmittel
[1] 1.22
> nj <- aggregate(daten[,1], list(A), FUN=length)
> mj <- aggregate(daten[,1], list(A), FUN=mean)
> varj <- aggregate(daten[,1], list(A), FUN=var)
> SQE <- sum((nj[,2]-1)*varj[,2]); MQE <- SQE/(N-k)
> # Bestimmung der kritischen Differenz
> alpha <- 0.05; q <- qtukey(1-alpha, k, N-k)
> dHSD <- q*sqrt(MQE/n)
> print(cbind(MQE, q, dHSD))
MQE
q
dHSD
[1,] 0.036937 4.0461 0.34776
> # CI, P-Werte
> dif21 <- abs(mj[2,2]-mj[1,2])
> dif31 <- abs(mj[3,2]-mj[1,2])
> dif41 <- abs(mj[4,2]-mj[1,2])
> dif32 <- abs(mj[3,2]-mj[2,2])
> dif42 <- abs(mj[4,2]-mj[2,2])
> dif43 <- abs(mj[4,2]-mj[3,2])
> dif <- c(dif21, dif31, dif41, dif32, dif42, dif43)
> u <- dif-dHSD; o <- dif+dHSD
> tgs <- abs(dif)/sqrt(MQE/n); P <- 1-ptukey(tgs, k, N-k)
> print(cbind(dif, u, o, tgs, P))
dif
u
o
tgs
P
20
Wenn die Umfänge nj der Stichproben auf den Faktorstufen nicht übereinstimmen, ist n durch
2ni nj/(ni+nj) zu ersetzen.
21
Die Quantile und Werte der Verteilungsfunktion können in R mit der Funktion qtukey() bzw. ptukey()
bestimmt werden.
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06.01.2014
99
[1,] 0.17 -0.177764 0.51776 1.9779 0.5180096
[2,] 0.56 0.212236 0.90776 6.5154 0.0014952
[3,] 0.31 -0.037764 0.65776 3.6067 0.0894856
[4,] 0.39 0.042236 0.73776 4.5375 0.0253584
[5,] 0.14 -0.207764 0.48776 1.6288 0.6642091
[6,] 0.25 -0.097764 0.59776 2.9086 0.2091959
>
> # Loesung mit der R-Funktion TukeyHSD()
> comp <- TukeyHSD(aov(y ~ A))
> print(comp, digits=6)
Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = y ~ A)
$A
diff
2-1 0.17
3-1 0.56
4-1 0.31
3-2 0.39
4-2 0.14
4-3 -0.25
lwr
-0.177764
0.212236
-0.037764
0.042236
-0.207764
-0.597764
upr
0.517764
0.907764
0.657764
0.737764
0.487764
0.097764
p adj
0.518010
0.001495
0.089486
0.025358
0.664209
0.209196
Entscheidung:
Die Mittelwerte 1 und 2 sind vom Mittelwert 3 auf dem simultanen Testniveau
5% signifikant verschieden, da die entsprechenden P-Werte kleiner als 5%
sind.
Übungsbeispiele zur 1-faktoriellen ANOVA
13. Im Rahmen einer Studie über die Lebensgemeinschaft des Makrozoobenthos in
der Donau wurden östlich von Wien je sechs Proben an fünf Entnahmestellen
quer über die Donau mit einem Sedimentgreifer entnommen (Stelle 3 liegt in der
Flussmitte, die Stellen 2 und 1 sowie 4 und 5 liegen in 60-m-Abständen in
Richtung zum rechten bzw. linken Ufer). Die Auswertung der Proben ergab für die
Großgruppe Diptera die in der folgenden Tabelle angeführten Besiedlungsdichten
(Individuenanzahl pro m2).
a) Man prüfe auf dem Testniveau α =5%, ob sich die Entnahmestellen global
hinsichtlich der mittleren Individuenanzahl unterscheiden. (Globaltest ist
signifikant. Hinweis: Die Originaldaten erfüllen die bei der 1-faktoriellen
ANOVA vorausgesetzte Homogenität der Varianzen nicht; diese erreicht man
durch Übergang zu transformierten Besiedlungsdichten, z.B. mit der 4. Wurzel
aus den Besiedlungsdichten.)
b) Welches Resultat ergibt sich aus einem multiplen Vergleich?
Wiederholungen
Stelle 1
5442
1763
3060
2259
647
649
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
Besiedlungsdichte in m-2
Stelle 2 Stelle 3 Stelle 4 Stelle 5
497
135
434
7304
587
91
886
7087
15
107
347
557
478
22
550
1471
938
37
421
3982
1470
76
285
2365
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100
14. Man vergleiche die Ca-Konzentration Y (in mg/ml) zwischen drei Lösungen. Die
Messwerte sind: 50, 39, 35, 51, 57, 66, 48 (Lösung 1), 66, 68, 67, 43, 71, 54, 65
(Lösung 2) und 42, 34, 43, 41, 44, 56, 33 (Lösung 3).
a) Kann auf 5%igem Testniveau die Annahme gleicher Mittelwerte verworfen
werden?
b) Ist die Annahme gleicher Varianzen gerechtfertigt?
c) Man erstelle ein Mittelwertdiagramm (mit den Stufenmittelwerten und den
entsprechenden 95%-Konfidenzintervallen) sowie ein Normal-QQ-Plot mit
allen Residuen.
d) Welche Mittelwerte sind auf dem vorgegebenen SIgnifikanzniveau
voneinander verschieden?
15. Die folgende Daten geben den Ertrag (in t/ha) einer Getreidesorte (ERTRAG) auf
verschieden gedüngten Böden (A = unbehandelt = Kontrolle, B = Strohdüngung,
C = Stroh- u. PO4-Düngung, D = Stroh-, PO4- u. Kalkdüngung). Auf jeder
Faktorstufe liegen 10 Wiederholungen vor.
a) Man prüfe, ob die Bodenbeschaffenheit einen Einfluss auf den Ertrag besitzt
(α = 5%).
b) Man vergleiche die Faktorstufen mit der Kontrolle (α = 5%).
A
7,38
6,29
8,07
7,92
7,76
9,12
7,24
7,92
8,28
8,23
B
8,05
9,49
10,16
9,89
9,78
8,84
9,02
9,68
9,13
8,63
C
8,78
7,74
8,71
8,97
8,39
8,39
7,52
8,06
8,90
8,45
D
8,96
9,66
9,59
9,87
9,24
9,94
9,52
9,31
8,40
9,80
16. Eine Lebensmittelfirma vertreibt Konserven mit Wurstsalat. Um eine
angemessene Haltbarkeit zu gewährleisten, muss dem Produkt ein
Konservierungsmittel beigefügt werden. Drei verschiedene Subtanzen (Substanz
A, B und C) kommen dafür in Betracht. Um zu prüfen, ob die Haltbarkeit ihres
Produkts vom Konservierungsmittel abhängt, wurden die drei Substanzen in
jeweils 8 Konserven beigegeben. Untenstehende Tabelle zeigt die Keimzahlen
aus Proben der insgesamt 24 Konserven nach einwöchiger Lagerung.
Keimzahl/ A
Keimzahl/ B
Keimzahl/C
17. 52 18. 46
25. 50 26. 60
33. 58 34. 49
19. 61
27. 55
35. 55
20. 58
28. 58
36. 61
21. 54
29. 59
37. 65
22. 53
30. 65
38. 68
23. 61
31. 54
39. 60
24. 58
32. 60
40. 59
a) Prüfen Sie für jede Faktorenstufe auf 5%igem Testniveau, ob die Daten in
Widerspruch zur Normalverteilungsannahme stehen!
b) Unterscheiden sich die drei Substanzen global hinsichtlich der mittleren
Keimzahl? Beantworten Sie die Frage mittels eines geeigneten statistischen
Testverfahrens (α = 5%)!
W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc
06.01.2014