Theoretische Physik 1: Theoretische Mechanik - komet 337
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Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Theoretische Physik 1: Theoretische Mechanik Peter van Dongen Institut für Physik Johannes Gutenberg-Universität, Mainz Kursvorlesung im SS 2017 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Inhaltsverzeichnis Organisatorisches Organisatorisches 1. Einführung 1 2. Postulate und Gesetze der Klassischen Mechanik 2 3. Abgeschlossene mechanische Systeme 3 4. Teilsysteme 4 5. Lagrange-Formulierung der Mechanik 5 6. Hamilton-Formulierung der Mechanik 6 Anhang: Hintergrundinformation, einige Beweise Anhang: Übungsaufgaben Anhang Übung Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Organisatorisches Organisatorisches Allgemeines Schein-Kriterien & Zeitaufwand Modalitäten der Übung Übungsleitung & Klausur Vorlesungsinhalte Literatur Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Organisatorisches Allgemeines Dozent: I Name: Peter G.J. van Dongen I Zimmer: 03-123 (Physikgebäude) I Tel.: (39)25609 I E-Mail: [email protected] Sekretariat: Elvira Helf, Tel.: (39)25171, Zimmer 03-128 Vorlesung: I Zeit und Ort: Mo 10-12, Fr 10-12, C 02 I Zielgruppe: Physik- & Mathematikstudierende ab dem 2. Semester [Theorie 1 für Lehramtskandidat(inn)en empfohlen im 4. Semester.] I Geforderte Vorkenntnisse: MRM, Experimentalphysik 1, Mathematik für Physiker 1 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Organisatorisches Schein-Kriterien & Zeitaufwand Schein-Kriterien: I Scheinvergabe aufgrund der Teilnahme an Übungen & Klausur I ≥ 60% der Punkte aus der Übung I ≥ 55% der Punkte aus der Klausur ( Prüfungsvorleistung“) ” Stundenzahl Vorlesung & Übung: I 4V (+Vor/Nacharbeiten, ungefähr 2 Std./Woche) I 2Ü (+Probleme Bearbeiten, bis ungefähr 5-6 Std./Woche) I Zum Vor/Nacharbeiten: Es wird ein Skriptum herausgegeben [ Tipp: lieber mitdenken als mitschreiben! ] Skript, Handout und Übungsblätter auf der Webseite: http://www.komet337.physik.uni-mainz.de/698− DEU− HTML.php Zugang: einfach mit Ihrem ZDV-Benutzername & -Passwort (wird auf Campus aber nicht benötigt) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Organisatorisches Modalitäten der Übung Modalitäten der Übung: I Übungsblätter werden am Montag vor der Vorlesung auf der Webseite eingestellt. I Jedes Übungsblatt enthält einen Präsenzaufgaben- und einen Hausauf- gabenanteil. 1. Übung in der 2. Woche (mit 2 Präsenzaufgaben). I Abgabe von Lösungen des in der vorangegangen Woche verteilten Übungsblatts am Montag bis 10 Uhr (Postfach). I Korrigierte Lösungen werden in der Übung zurückgegeben. I Jeder gibt die eigenen handschriftlich erstellten Lösungen der Übungsaufgaben ab. Jedoch: I Die Teilnehmer können Übungen zu zweit abgeben, falls beide an der Übungsstunde teilnehmen. I Fragen an Übungsgruppenleiter über neue Aufgaben möglich und erwünscht. I Die Anwesenheit in den Übungen ist erwünscht. I Vorrechnen durch Teilnehmer von gelösten Übungsaufgaben in der Übung ist erwünscht (→ wissenschaftliche Präsentationen!). Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Organisatorisches Übungsleitung & Klausur Übungsleitung & Klausur Übungsleitung: Peter G. J. van Dongen Übungsgruppen(leiter): (Kontaktdaten s. oben) (E-Mail: [email protected]) Gr. 1. Mi. 14-16 SR E, Julian Parrino (X = jparrino , Postfach 33) Gr. 4. Do. 10-12 SR C, Ina Hönemann (X = ihoenema , Postfach 32) Gr. 3. Fr. 14-16 SR Newton-Raum, Niklas Keil (X = nikeil , Postfach 31) Gr. 2. Di. 12-14 SR F, Sascha Kromin (X = skromin , Postfach 30) Gr. 5. Fr. 12-14 SR K, Jan Rothörl (X = jrothoer , Postfach 29) Zeit/Ort der Klausur & Klausureinsicht: I Klausur: Donnerstag, 3.8.2017, 9-12 Uhr (N2) I Klausureinsicht: Mittwoch, 9.8.2017, 14-15 Uhr (Lorentz-Raum) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Organisatorisches Vorlesungsinhalte Vorlesungsinhalte Kurze Inhaltsangabe der Vorlesung: I Einführung I Prinzipien: I Abgeschlossene Systeme: I Teilsysteme: I Lagrange-Mechanik: Extremalprinzipien, Lagrange-Gleichungen I Hamilton-Mechanik: Hamilton-Gleichungen (→ Quantenmechanik) ( Warum Mechanik?“) ” Raum, Zeit, Relativität, Galilei-Transformationen Kepler-Problem, Kleine Schwingungen Harmonischer Oszillator, Pendel, Lorentz-Kraft Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Organisatorisches Literatur Empfehlenswerte Literatur Newtons Principia, erste Ausgabe Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Organisatorisches Literatur Empfehlenswerte Literatur I Is. Newton, Eq. Aur. Philosophiae naturalis principia mathematica, editio tertia Guil. & Joh. Innys (Londini, MDCCXXVI) Murray R. Spiegel Allgemeine Mechanik, Theorie und Anwendung McGraw-Hill (Hamburg, 1989) Herbert Goldstein Classical Mechanics Addison-Wesley (Reading, 1978) V.I. Arnold Mathematical Methods of Classical Mechanics Springer-Verlag (New York, 1978) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Organisatorisches Literatur Empfehlenswerte Literatur II A. Sommerfeld, E. Fues Vorlesungen über Theoretische Physik Band 1, Mechanik Harri Deutsch Verlag (Frankfurt am Main, 1994) L.D. Landau, E.M. Lifschitz Lehrbuch der Theoretischen Physik Band I (Mechanik) Akademie-Verlag (Berlin, 1987) E.T. Whittaker A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies Cambridge Univ. Press (Cambridge, 1965) Vorlesungsanfang Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Organisatorisches Literatur Empfehlenswerte Literatur III Dare A. Wells Lagrangian Dynamics McGraw-Hill (New York, 1967) H.C. Corben, Philip Stehle Classical Mechanics Dover (New York, 1994) Cornelius Lanczos The variational principles of mechanics, Fourth Edition Dover (New York, 1986) F. Klein, A. Sommerfeld Über die Theorie des Kreisels B.G. Teubner (Stuttgart, 1965) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Organisatorisches Literatur Empfehlenswerte Literatur IV Carl D. Murray, Stanley F. Dermott Solar System Dynamics Cambridge University Press (Cambridge, 1999) J.M.A. Danby Fundamentals of Celestial Mechanics Willmann-Bell (Richmond, Virginia, 1988) M. Abramowitz, I.A. Stegun Handbook of Mathematical Functions Dover (New York, 1970) I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik Table of Integrals, Series and Products Academic Press (New York, 1980) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Theoretische Physik 1: Theoretische Mechanik Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Kapitel 1: Einführung Inhaltsverzeichnis I 1.1 Einführende Bemerkungen Einführende Bemerkungen Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 1.1 Einführende Bemerkungen Was ist Mechanik? Was ist Mechanik? M. R. Spiegel, Allgemeine Mechanik: Zweig der Physik, der sich mit der Bewegung physikalischer Körper befasst“ ” Wikipedia (englisch): Mechanics (Greek Mηχανικη) is the branch of physics concerned with the ” behaviour of physical bodies when subjected to forces or displacements, and the subsequent effect of the bodies on their environment“ A. Sommerfeld, Vorlesungen über Theoretische Physik, Band 1: Die Mechanik ist das Rückgrat der mathematischen Physik“ ” L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik, Band 1: ” “ Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 1.1 Einführende Bemerkungen Mechanik in Formeln Mechanik in Formeln: δS = 0 Newton’sche Mechanik: dp = F(x, ẋ, t) dt Lagrange-Mechanik: , p = mẋ [Lagrange-Funktion L(x, ẋ, t)] ∂L d ∂L − =0 dt ∂ ẋ ∂x Hamilton-Mechanik: [Hamilton-Funktion H(x, p, t)] dp ∂H =− dt ∂x , dx ∂H = dt ∂p Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 1.1 Einführende Bemerkungen Beispiele mechanischer Gesetze: Das Gravitationsgesetz Beispiele physikalischer Gesetze: Das Gravitationsgesetz Beispiel 1: Isaac Newtons universelles Gravitationsgesetz (1666): mi ẍi = X Gmi mj xji j6=i |xji |3 (i, j = 1, 2, . . . , N) Notation: I xi (t) (i = 1, 2, . . . , N): Bahn des i-ten Teilchens I Relativvektor xji (t) ≡ xj (t) − xi (t) I G = 6, 6732 × 10−11 Nm2 /kg2 : I mi , mj (i, j = 1, 2, . . . , N): Träge Masse mi ↔ Newton’sche Gravitationskonstante Masse des i-ten bzw. j-tenTeilchens: schwere Masse mi Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 1.1 Einführende Bemerkungen Beispiele mechanischer Gesetze: Das Coulomb-Gesetz Beispiele physikalischer Gesetze: Das Coulomb-Gesetz Beispiel 2: Coulomb-Gesetz für wechselwirkende Punktladungen (1785): mi ẍi = X Ç j6=i qi qj xji − 4πε0 |xji |3 å (i, j = 1, 2, . . . , N) Notation: I qi , qj (i = 1, 2, . . . , N): I mi (i = 1, 2, . . . , N): elektrische Ladung des i-ten bzw. j-ten Punktteilchens träge Masse des i-ten Teilchens I ε0 ' 8, 854 · 10−12 F/m : Dielektrizitätskonstante des Vakuums I Exakter numerischer Wert der Dielektrizitätskonstante ε0 ist 107 /4πc 2 I c = numerischer Wert der Lichtgeschwindigkeit in m/s SIEinheiten Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Kapitel 2: Postulate und Gesetze der Klassischen Mechanik Inhaltsverzeichnis I 2.0 Einführende Bemerkungen I 2.1 Der Massenpunkt als Baustein der Mechanik I 2.2 Raum und Zeit I 2.3 Abgeschlossene mechanische Systeme und Teilsysteme I 2.4 Galileos Relativitätsprinzip I 2.5 Galilei-Transformationen I 2.6 Das deterministische Prinzip der Klassischen Mechanik I 2.7 Konsequenzen der Galilei-Invarianz I 2.8 Beispiele 2.0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.0 Einführende Bemerkungen Die Postulate Die Postulate der Klassischen Mechanik Postulate der nicht-relativistischen Klassischen Mechanik: 1. Das Galilei’sche Relativitätspostulat ∧ (= Existenz Inertialsysteme) 2. Die Existenz absoluter Abstände im Raum / in der Zeit 3. Das deterministische Prinzip Weitere (implizite) Annahmen der Klassischen Mechanik: I (nicht-gekrümmte) vierdimensionale Raum-Zeit ⇒ I Anwendungsbereich: I Newton’sches Gravitationsgesetz, Lorentz’sche Bewegungsgleichung, elektromagnetische Kräfte, Schwerkraft (nicht-relativistische Vorhersagen der) Maxwell-Gleichungen I Homogenität/Isotropie/Inversionssymmetrie des Raums I Homogenität der Zeit I Punktteilchen Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.1 Der Massenpunkt als Baustein der Mechanik Bewegungsgleichungen eines Systems von Massenpunkten 2.1 Massenpunkte Zentrale Idee: Körper = System wechselwirkender Punktteilchen Vorteile: I Rotationsenergie und Drehimpuls eines Massenpunktes sind Null I Massenpunkte nicht deformierbar Definitionen: Fi : Kraft auf i-ten Massenpunkt pi ≡ mi ẋi : Impuls des i-ten Massenpunkts Bewegungsgleichungen eines Systems von Massenpunkten: dpi = Fi dt (i = 1, 2, . . . , N) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.2 Raum und Zeit Einige Definitionen 2.2 Raum und Zeit, einige Definitionen Geschwindigkeit: x(t + ∆t) − x(t) dx = (t) ∆t dt ẋ(t) ≡ lim ∆t→0 Beschleunigung: ẋ(t + ∆t) − ẋ(t) d 2x ẍ(t) ≡ lim = 2 (t) ∆t→0 ∆t dt Impuls: p(t) ≡ mẋ(t) (evtl.: m zeitabhängig) Geschwindigkeitsbetrag : |ẋ(t)| ≡ lim ∆t↓0 |x(t + ∆t) − x(t)| ∆t Impulsbetrag : |p(t)| ≡ m|ẋ(t)| (evtl.: m zeitabhängig) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.2 Raum und Zeit Der Ortsraum Der Ortsraum der Mechanik als Vektorraum Koordinaten → Vektoren: x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Addition von Vektoren: (∀ x, x0 ∈ R3 )(∃! x + x0 ∈ R3 ) Multiplikation mit α ∈ R: (∀ x ∈ R3 , α ∈ R)(∃! αx ∈ R3 ) Skalarprodukt zweier Vektoren: (x, x0 ) ≡ x1 x10 + x2 x20 + x3 x30 = x · x0 → euklidische Metrik: |x − x0 | ≡ ⇒ p (x − x0 , x − x0 ) = p (x1 − x10 )2 + (x2 − x20 )2 + (x3 − x30 )2 Ortsraum = 3-dimensionaler euklidischer Vektorraum Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.2 Raum und Zeit Abstände als absolute Größen Abstände als absolute Größen In der Klassischen Mechanik sind Abstände: I Zeitdifferenzen ∆t ≡ t2 − t1 I der räumliche Abstand |x − x0 | gleichzeitiger Ereignisse absolute (d.h. beobachterunabhängige) Größen! Die Beobachterunabhängigkeit der Zeit bedeutet konkret: (i) Gleichzeitigkeit bedeutet für alle Beobachter dasselbe, d.h.: Falls B zur Zeit t die Ereignisse {Eα (t)} sieht ⇒ ∃t 0 , so dass B 0 dieselben Ereignisse sieht: {Eβ0 (t 0 )} = {Eα (t)} (ii) Zeitdauer zwischen zwei nicht-gleichzeitigen Ereignissen für alle Bi gleich: ∆t = ∆t 0 ⇒ t = t0 + τ (τ ∈ R) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.2 Raum und Zeit Etwas allgemeiner . . . Etwas allgemeiner . . . Raum-Zeit-Struktur: I Ortsraum = euklidischer Vektorraum E 3 I Zeitvariable ∈ Rt X ξ−η ê3 E3 ξ ê2 Y η ê1 O Rt t 0 ∧ Raum-Zeit = E 3 × Rt (kartesisches Produkt) Axiome E 3 enthält: I einen Ursprung O I Ortsvektoren: OX = ξ , OY = η , · · · I ein reelles Skalarprodukt (ξ, η) I eine Metrik |ξ − η| = (ξ − η, ξ − η)1/2 ≥ 0 Bewegung“ ? ” Bahn“ {ξ(t)} ” Möglichkeit, keine Notwendigkeit: I Wähle ê1 , ê2 , ê3 mit (êl , êm ) = δlm I Definiere: ξ ≡ x1 ê1 + x2 ê2 + x3 ê3 η ≡ y1 ê1 + y2 ê2 + y3 ê3 I Koordinaten: x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 I (ξ, η) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ≡ x · y Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.3 Abgeschlossene mechanische Systeme und Teilsysteme Definitionen und Eigenschaften 2.3 Abgeschlossene mechanische Systeme und Teilsysteme Abgeschlossene mechanische Systeme: I erfüllen beobachterunabhängige physikalische Gesetze I sind vom Rest des Weltalls entkoppelt Teilsysteme: I sind explizit an Außenwelt gekoppelt I erfüllen im Allgemeinen beobachterabhängige Gesetze Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.3 Abgeschlossene mechanische Systeme und Teilsysteme Beispiel 1: Newtons Gravitationsgesetz Beispiel 1: Newtons Gravitationsgesetz → Beobachter B in K mi ẍi = X Gmi mj xji j6=i ⇒ B0 in Bewegungsgleichung: |xji |3 K 0 (mit 00 = 0 und ê0i = Rêi ) mi ẍ0i = X Gmi mj x0ji j6=i |x0ji |3 Drehungen der Basis (i, j = 1, . . . , N) → Bewegungsgleichung: (x0 = R −1 x; i, j = 1, 2 . . . , N) Daher: Für B und B 0 gilt das gleiche physikalische Gesetz Analog: Translation, Geschwindigkeitstransformation, Raumspiegelung Fazit: Gravitationsgesetz forminvariant Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.3 Abgeschlossene mechanische Systeme und Teilsysteme Beispiel 1: Newtons Gravitationsgesetz Betrachte nun Teilchen 1 als Teilsystem: m1 ẍ1 = X Gm1 mj xj1 |xj1 |3 j6=1 = m1 g(x1 , t) , g= X Gmj xj1 j6=1 |xj1 |3 Zusatzinformation erforderlich! z. B. x01 = R −1 x1 ⇒ g0 = R −1 g (Rotation) x01 = x1 − ξ ⇒ g0 = g (Translation) Typische Anwendung: g(x1 , t) = X j6=1 Teilchen im Schwerkraftfeld der Erde h Massendichte ρ(x, t) xj − x1 x0 − x1 0 0 Gρ(xj , t)∆xj = G dx ρ(x , t) |xj − x1 |3 |x0 − x1 |3 Z Meist: zeitunabhängige Massendichte , ρ(x, t) = ρ(x) ⇒ Z g = g(x1 ) = G x0 − x1 dx ρ(x ) 0 |x − x1 |3 0 0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.3 Abgeschlossene mechanische Systeme und Teilsysteme Beispiel 1: Newtons Gravitationsgesetz Zeitunabhängige Massendichte , ρ(x, t) = ρ(x) : x0 − x1 g = g(x1 ) = G dx ρ(x ) 0 |x − x1 |3 Z 0 0 Wähle Erdmittelpunkt ≡ 0 Nimm an: ρ(x0 ) nur von |x0 | abhängig g(x1 ) = −GME ⇒ x1 |x1 |3 (s. Übung) Definitionen: RE = Erdradius , ê = Normaleinheitsvektor an der Erdoberfläche Schwerkraft nahe der Erdoberfläche: g(x1 ) = − GME x1 GME = − ê ≡ −g ê |x1 |2 |x1 | RE2 Definition: x1 · ê ≡ z ⇒ , g ' 9, 81 m/s2 Bewegungsgleichung: m1 z̈ = −m1 g i Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.3 Abgeschlossene mechanische Systeme und Teilsysteme Beispiel 2: Coulomb-Gesetz Beispiel 2: Coulomb-Gesetz Analog: Coulomb-Gesetz mi ẍi = XÅ j6=i qi qj xji − 4πε0 |xji |3 ã (i, j = 1, 2, . . . , N) Teilchen 1 als Teilsystem: m1 ẍ1 = q1 E(x1 , t) , E= XÅ qj xj1 − 4πε0 |xj1 |3 j6=1 ã Teilchen 2, 3, . . . , N bilden makroskopischen Körper mit Ladungsdichte ρ(x0 ): 1 E = E(x1 ) = − 4πε0 Z Falls makroskopische Ströme auftreten x0 − x1 dx ρ(x ) 0 |x − x1 |3 0 ⇒ 0 zusätzliche Magnetfelder: m1 ẍ1 = q1 [E(x1 , t) + ẋ1 × B(x1 , t)] = FLor (x1 , ẋ1 , t) Lorentz-Kraft: (abhängig von Geschwindigkeit ẋ, beschreibt Teilsystem) FLor (x, ẋ, t) ≡ q[E(x, t) + ẋ × B(x, t)] Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.4 Galileos Relativitätsprinzip Inhalt des Relativitätsprinzips, einige Kommentare 2.4 Galileos Relativitätsprinzip . . . präzisiert Beobachterunabhängigkeit physikalischer Gesetze . . . gilt nur für abgeschlossene mechanische Systeme Das Relativitätsprinzip besagt: ∃ gewisse Koordinatensysteme (Inertialsysteme) mit den Eigenschaften: 1. Alle physikalischen Gesetze sind in allen Inertialsystemen zu jedem Zeitpunkt gleich 2. Alle Koordinatensysteme, die sich relativ zu einem Inertialsystem in geradlinig-gleichförmiger Bewegung befinden, sind selbst Inertialsysteme Bemerkungen: I ∃ unendlich viele Inertialsysteme I nicht jedes Koordinatensystem ist ein Inertialsystem (Gegenbeispiel: beschleunigte Koordinatensysteme) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.5 Galilei-Transformationen 2.5 Galilei-Transformationen Zunächst: Allgemeine Eigenschaften Galilei-Transformationen: I sind Koordinatentransformationen zwischen Inertialsystemen I werden durch die zwei fundamentalen Eigenschaften (1. . . . und 2. . . . ) von Inertialsystemen festgelegt I lassen Raum-Zeit-Struktur invariant: I beliebige Ereignisse (x1 , t1 ) und (x2 , t2 ) ⇒ ∆t 0 ≡ t20 − t10 = t2 − t1 ≡ ∆t I beliebige gleichzeitige Ereignisse (x1 , t) und (x2 , t) ⇒ |x02 − x01 | = |x2 − x1 | Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.5 Galilei-Transformationen Zeittranslationen Zeittranslationen Mögliche Zeittransformationen t 0 (t): ( ∆t 0 ≡ t20 − t10 = t2 − t1 ≡ ∆t ) t 0 (t1 + ∆t) − t 0 (t1 ) dt 0 t20 − t10 (t1 ) = lim = lim = lim 1 = 1 ∆t→0 ∆t→0 ∆t→0 dt ∆t ∆t Lösung von dt 0 dt (t) =1? t0 = t − τ (Zeittranslationen) Physikalischer Grund für diese Invarianz? Homogenität der Zeit (∀ t1 ∈ R) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.5 Galilei-Transformationen Geschwindigkeitstransformationen Geschwindigkeitstransformationen Definition einer Geschwindigkeitstransformation: x0 (x, t) = x − vt t0 = t , , vrel (K 0 , K ) = v Konsequenz: Bahn xφ (t) Geschwindigkeit ẋφ (t) ẋ0φ ≡ ´ ® in K 7→ Bahn x0 (xφ (t), t) = xφ (t) − vt Geschwindigkeit ẋ0φ = ẋφ − v ´ in K 0 , denn . . . dx0φ dx0 (xφ (t), t) dt ∂x0 ∂x0 dxφ = = + = 11ẋφ − v = ẋφ − v dt 0 dt dt 0 ∂x dt ∂t Notation: ∂a ∂x ≡ ij ∂ai ∂xj Widerspruch zur Relativitätstheorie! (i) elektromagnetische Wellen mit Geschwindigkeiten 6= c: c0 = c − v , c ≡ c ĉ ⇒ c 0 = |c0 | 6= c (ii) generell wären auch Überlichtgeschwindigkeiten |ẋ0 | > c möglich Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.5 Galilei-Transformationen Translationen im Ortsraum Translationen (Parallelverschiebungen) Translationen: x0 (x, t) = x − ξ (ξ ∈ R3 ) , t0 = t Invarianz des räumlichen Abstands! |x02 − x01 | = |x0 (x2 , t) − x0 (x1 , t)| = |(x2 − ξ) − (x1 − ξ)| = |x2 − x1 | Physikalischer Grund für diese Invarianz? Homogenität des Raums Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.5 Galilei-Transformationen Drehungen Rotationen (Drehungen) Drehungen: x0 (x, t) = R(α)−1 x , t0 = t Invarianz des räumlichen Abstands! |x02 − x01 | = |R −1 x2 − R −1 x1 | = |R −1 (x2 − x1 )| = |x2 − x1 | Physikalischer Grund für diese Invarianz? Isotropie des Ortsraums Kompendium über Drehungen Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.5 Galilei-Transformationen Raumspiegelungen Inversionen (Punktspiegelungen am Ursprung) Bisher: det(ê01 ê02 ê03 ) = det(ê1 ê2 ê3 ) (Orientierung/ Händigkeit“ ändert sich nicht) ” Betrachte nun Punktspiegelung oder Inversion: x0 (x, t) = −x , t0 = t Invarianz des räumlichen Abstands! |x02 − x01 | = |(−x2 ) − (−x1 )| = |−(x2 − x1 )| = |x2 − x1 | Physikalischer Grund für diese Invarianz? Inversionssymmetrie des Ortsraums Führe diskreten Parameter ein: det(ê01 ê02 ê03 ) σ≡ = ±1 det(ê1 ê2 ê3 ) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.5 Galilei-Transformationen Allgemeine Galilei-Transformationen Allgemeine Galilei-Transformationen Allgemeine Galilei-Transformationen: x0 (x, t) = σR(α)−1 x − vt − ξ , t0 = t − τ mit σ = ±1 bilden 10-Parameter-Gruppe; Parameter (τ , ξ, α, v) mit σ = ±1 Beweis der allgemeinen Form Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.5 Galilei-Transformationen Die Galilei-Gruppe Die Galilei-Gruppe Betrachte zwei Galilei-Transformationen: G1 (x, t) ≡ (G1 (x, t), t − τ1 ) ≡ (σ1 R1−1 x − v1 t − ξ1 , t − τ1 ) G2 (x, t) ≡ (G2 (x, t), t − τ2 ) ≡ (σ2 R2−1 x − v2 t − ξ2 , t − τ2 ) Produkt ist wiederum eine Galilei-Transformation: (x0 , t 0 ) = (G2 ◦G1 )(x, t) = (G2 (G1 (x, t), t − τ1 ), t − (τ1 + τ2 )) mit t 0 = t − (τ1 + τ2 ) x0 = σ2 R2−1 (σ1 R1−1 x − v1 t − ξ1 ) − v2 (t − τ1 ) − ξ2 = (σ1 σ2 )(R1 R2 )−1 x − (v2 + σ2 R2−1 v1 )t − (ξ2 + σ2 R2−1 ξ1 − v2 τ1 ) Außerdem: I Assoziativität I Identität (τ, ξ, α, v, σ) = (0, 0, 0, 0, 1) I Transformation (τ, ξ, α, v, σ) Inverse von: (−τ, −σR(α)(ξ + vτ ), −α, −σR(α)v, σ) Fazit: Gruppenaxiome erfüllt! Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.6 Das deterministische Prinzip der Klassischen Mechanik Definition und Konsequenzen: die Bewegungsgleichung Das deterministische Prinzip . . . lautet: (sogar: . . . für alle t ∈ R . . . ) Die physikalische Bahn x(t) eines Teilchens ist für alle t > 0 durch die Anfangswerte x(0) ≡ x0 und ẋ(0) ≡ ẋ0 festgelegt (& analog für mehrere Teilchen) Konsequenz: (zweites Newton’sches Gesetz) I für ein System mit einem Teilchen: Kraftfunktion F(x, ẋ, t) ! dpφ (t) = F(xφ (t), ẋφ (t), t) dt I für Systeme mehrerer Teilchen: dpi (t) = Fi ({xj (t)}, {ẋj (t)}, t) dt , pφ (t) = mẋφ (t) Kraftfunktion Fi ({xj }, {ẋj }, t) ! pi (t) = mi ẋi (t) , Fi = auf i-tes Teilchen einwirkende Kraft Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.6 Das deterministische Prinzip der Klassischen Mechanik Iterative Lösung der Newton’schen Bewegungsgleichung Iterative Lösung der Bewegungsgleichung Bewegungsgleichung: (m zeitunabhängig) mẍ(t) = F(x(t), ẋ(t), t) Integration! , , ẋ(0) = ẋ0 t Z 1 ẋ(t) = ẋ0 + m x(0) = x0 dt 0 F(x(t 0 ), ẋ(t 0 ), t 0 ) 0 Nochmalige Integration! 1 x(t) = x0 + ẋ0 t + m Z t dt 0 0 Z t0 dt 00 F(x(t 00 ), ẋ(t 00 ), t 00 ) 0 Iterativ lösbar! Definiere: F(x0 , ẋ0 , 0) ≡ F0 ⇒ Lösung für kurze Zeiten: ẋ(t) ∼ ẋ0 + 1 m Rt 0 dt 0 F0 = ẋ0 + x(t) ∼ x0 + ẋ0 t + t2 F 2m 0 t F m 0 (t ↓ 0) (t ↓ 0) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.6 Das deterministische Prinzip der Klassischen Mechanik Bestätigung des deterministischen Prinzips Iterative Lösung der Bewegungsgleichung Bisherige Resultate: 1 ẋ(t) = ẋ0 + m und ẋ(t) ∼ ẋ0 + t F m 0 Definiere: F1 ≡ lim t↓0 ⇒ t Z dt 0 F(x(t 0 ), ẋ(t 0 ), t 0 ) 0 x(t) ∼ x0 + ẋ0 t + , t2 F 2m 0 (t ↓ 0) F(x(t), ẋ(t), t) ∼ F0 + F1 t + · · · [ Idee: (t ↓ 0) ] d ∂F F0 F(x(t), ẋ(t), t) = (x0 , ẋ0 , 0) · ẋ0 + · · · (x0 , ẋ0 , 0) · + · · · (x0 , ẋ0 , 0) dt ∂x m im nächsten Iterationsschritt: ẋ(t) ∼ ẋ0 + t m F0 + x(t) ∼ x0 + ẋ0 t + ⇒ und so weiter . . . t2 2m t2 2m F1 + . . . F0 + t3 6m F1 + . . . (t ↓ 0) (t ↓ 0) deterministisches Prinzip erfüllt! Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.6 Das deterministische Prinzip der Klassischen Mechanik Etwas allgemeiner . . . Etwas allgemeiner . . . X ξ−η ê3 E3 ξ ê2 Y Bewegung“ ≡ glatte Abbildung Rt ⊃ ∆ → E 3 ” Bahn“ {ξ(t)} ≡ Bild von ∆ unter Abbildung ” Kraftgesetz! mξ̈(t) = Φ(ξ(t), ξ̇(t), t) η ê1 O Rt E 3 enthält: I einen Ursprung O I Ortsvektoren: OX = ξ , OY = η , · · · I ein reelles Skalarprodukt (ξ, η) I eine Metrik |ξ − η| = (ξ − η, ξ − η)1/2 ≥ 0 Möglichkeit, keine Notwendigkeit: I Wähle ê1 , ê2 , ê3 mit (êl , êm ) = δlm I Definiere: ξ ≡ x1 ê1 + x2 ê2 + x3 ê3 t 0 ∧ Raum-Zeit = E 3 × Rt (kartesisches Produkt) I Koordinaten: x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 I (ξ, η) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ≡ x · y I Φ ≡ F1 (x, ẋ, t)ê1 + F2 (x, ẋ, t)ê2 + F3 (x, ẋ, t)ê3 I Kraftgesetz: mẍ(t) = F(x(t), ẋ(t), t) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.7 Konsequenzen der Galilei-Invarianz für die Bewegungsgleichung 1-Teilchen-Systeme, erstes Newton’sches Gesetz Zuerst: 1-Teilchen-Systeme Newton’sche Bewegungsgleichung invariant unter: (i) Zeittranslationen: x0 (x, t) = x , t 0 = t − τ xφ (t) Lösung in K ⇒ Lösung in K 0 : x0φ (t 0 ) = x0 (xφ (t), t) = xφ (t) = xφ (t 0 + τ ) dx0φ 0 dxφ ≡ (t ) = (t) = ẋφ (t 0 + τ ) 0 dt dt 0 0 0 0 pφ (t ) ≡ mẋφ (t ) = mẋφ (t 0 + τ ) ≡ pφ (t 0 + τ ) ẋ0φ (t 0 ) Forminvarianz der Bewegungsgleichung → 0 dpφ ! dpφ 0 F(xφ (t), ẋφ (t), t−τ ) = (t ) = (t) = F(xφ (t), ẋφ (t), t) 0 dt dt ∂F ∂t Konsequenz: (∀τ ∈ R) =0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.7 Konsequenzen der Galilei-Invarianz für die Bewegungsgleichung 1-Teilchen-Systeme, erstes Newton’sches Gesetz 1-Teilchen-Systeme (Fortsetzung) Bewegungsgleichung invariant unter: (ii) Translationen im Ortsraum: x0 (x, t) = x − ξ , t 0 = t ⇒ xφ (t) Lösung in K Lösung in K 0 : x0φ (t 0 ) = x0 (xφ (t), t) = xφ (t) − ξ = xφ (t 0 ) − ξ Forminvarianz → 0 dpφ ! dpφ 0 F(xφ (t) − ξ, ẋφ (t)) = (t ) = (t) = F(xφ (t), ẋφ (t)) dt 0 dt Konsequenz: ∂F ∂x =∅ ⇒ (∀ξ ∈ R3 ) F = F(ẋ) (iii) Geschwindigkeitstransformationen: x0 (x, t) = x − vt , t 0 = t ⇒ xφ (t) Lösung in K Forminvarianz x0φ (t 0 ) = xφ (t 0 ) − vt 0 Lösung in K 0 → 0 dpφ ! dpφ 0 F(ẋφ (t) − v) = (t ) = (t) = F(ẋφ (t)) dt 0 dt Konsequenz: ∂F ∂ ẋ =∅ ⇒ F(x, ẋ, t) = F (∀v ∈ R3 ) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.7 Konsequenzen der Galilei-Invarianz für die Bewegungsgleichung 1-Teilchen-Systeme, erstes Newton’sches Gesetz 1-Teilchen-Systeme (Fortsetzung) Bewegungsgleichung invariant unter: (iv) Inversion: x0 (x, t) = −x , t 0 = t ⇒ xφ (t) Bahn in K Forminvarianz Konsequenz: → Bahn in K 0 : x0φ (t 0 ) = −xφ (t) = −xφ (t 0 ) dp0φ 0 dpφ ! −F= − (t ) = (t) = F dt 0 dt F=0 Fazit: Ein isolierter Massenpunkt ( frei von äußeren Einflüssen“) ” erfüllt die Bewegungsgleichung: dpφ dt =0 (erstes Newton’sches Gesetz) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.7 Konsequenzen der Galilei-Invarianz für die Bewegungsgleichung Mehr-Teilchen-Systeme, viertes & drittes Newton’sches Gesetz Verallgemeinerung: Mehr-Teilchen-Systeme (i) Zeittranslationen → ∂F ∂t = 0 , daher: dpi = Fi ({xj }, {ẋj }) dt (i, j = 1, . . . , N) (ii) Translationen im Ortsraum , Forminvarianz Fi ({xj − ξ}, {ẋj }) = Fi ({xj }, {ẋj }) dpi ⇒ = Fi ({xji }, {ẋj }) dt → (∀ ξ ∈ R3 ) (i, j = 1, . . . , N) (iii) Geschwindigkeitstransformationen , Forminvarianz Fi ({xji }, {ẋj − v}) = Fi ({xji }, {ẋj }) dpi ⇒ = Fi ({xji }, {ẋji }) dt → (∀ v ∈ R3 ) (i, j = 1, . . . , N) (iv) Drehungen/Inversionen: Lösungen xi (t) in K → Lösungen σR −1 xi (t) in K 0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.7 Konsequenzen der Galilei-Invarianz für die Bewegungsgleichung Mehr-Teilchen-Systeme, viertes & drittes Newton’sches Gesetz Viertes & drittes Newton’sches Gesetz → Forminvarianz Fi ({σR −1 xji }, {σR −1 d dpi ! dp0i ẋji }) = 0 = σR −1 pi = σR −1 = σR −1 Fi ({xji }, {ẋji }) dt dt dt Kurz: F0i = σR −1 Fi Fazit: I Kräfte werden genauso wie Ortsvektoren oder Impulse transformiert! I Kräfte sind echte Vektoren! (Newtons viertes Gesetz) Drittes Newton’sches Gesetz: dp1 = f (|x21 |)x̂21 dt , ( actio = − reactio“) ” dp2 d = f (|x12 |)x̂12 , (p1 + p2 ) = 0 dt dt [gültig für Schwerkraft und Coulomb-Wechselwirkung] nicht für magnetische Kräfte] Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.8 Beispiele Zwei Teilchen, anfangs ruhend Beispiele 1. Zwei Teilchen, zur Zeit t = 0 ruhend (in irgendeinem Inertialsystem): m1 ẍ1 = F1 (x12 , ẋ12 ) , m2 ẍ2 = F2 (x12 , ẋ12 ) , ẋ1 (0) = ẋ2 (0) = 0 Symmetrieüberlegung : physikalische Situation symmetrisch um Achse x2 (0) + λx12 (0) ⇒ (λ ∈ R) Lösung invariant unter Drehungen um x2 (0) + λx12 (0) Fazit: x1 (t) und x2 (t) liegen auf einer Achse! Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.8 Beispiele Zwei Teilchen mit beliebigen Anfangsbedingungen Beispiele 2. Zwei Teilchen mit beliebigen Anfangsbedingungen: m1 ẍ1 = F1 (x12 , ẋ12 ) , m2 ẍ2 = F2 (x12 , ẋ12 ) Galilei-Transformation : wähle (ξ, v) so, dass nach der Transformation: m1 x1 (0) + m2 x2 (0) =0 m1 + m2 Konsequenzen: m1 x2 (0) = − m x1 (0) k x1 (0) 2 , m1 ẋ1 (0) + m2 ẋ2 (0) =0 m1 + m2 , ẋ2 (0) = − m1 ẋ1 (0) k ẋ1 (0) m2 Unterscheide: I ẋ1 (0) k x1 (0) ⇒ physikalische Situation invariant unter Drehungen um x2 (0) + λx12 (0) ⇒ x1 (t) und x2 (t) liegen für ∀t > 0 auf dieser Achse I x1 (0) und ẋ1 (0) linear unabhängig Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.8 Beispiele Zwei Teilchen mit beliebigen Anfangsbedingungen Beispiele 2. (Fortsetzung) x1 (0) und ẋ1 (0) linear unabhängig ê1 ≡ x1 (0) |x1 (0)| , ê2 ≡ ⇒ definiere: x1 (0) × (x1 (0) × ẋ1 (0)) |x1 (0) × (x1 (0) × ẋ1 (0))| physikalische Situation invariant unter ê3 ≡ ê1 × ê2 Spiegelung an ê1 -ê2 -Ebene = Galilei-Transformation −R(πê3 ) ⇒ Lösung {x1 (t), x2 (t)} invariant unter −R(πê3 ) ⇒ Bewegung in ê1 -ê2 -Ebene Fazit: Bewegung in einer Ebene! , ! Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 2.8 Beispiele Drei Teilchen, anfangs ruhend Beispiele 3. Drei Teilchen mit ẋ1 (0) = ẋ2 (0) = ẋ3 (0) = 0 (in irgendeinem Inertialsystem) Wende Translation an, so dass: m1 x1 (0) + m2 x2 (0) + m3 x3 (0) =0 m1 + m2 + m3 Unterscheide: I x1 (0) k x2 (0) k x3 (0) ⇒ Bewegung entlang Verbindungslinie (s. Beispiel 1) I x1 (0) und x2 (0) linear unabhängig ê1 ≡ x1 (0) |x1 (0)| , ê2 ≡ ⇒ definiere: x1 (0) × (x1 (0) × x2 (0)) |x1 (0) × (x1 (0) × x2 (0))| , ê3 ≡ ê1 × ê2 Physikalische Situation invariant unter Spiegelung an ê1 -ê2 -Ebene Fazit: Bewegung immer in einer Ebene! Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Kapitel 3: Abgeschlossene mechanische Systeme Inhaltsverzeichnis I 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme I 3.2 Galilei-Transformationen (von Erhaltungsgrößen) I 3.3 Das Zweiteilchenproblem - allgemeine Eigenschaften I 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele I 3.5 Kleine Schwingungen 3.1 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme Allgemeine Form der Bewegungsgleichung 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme Zusammenfassung bisheriger Ergebnisse: I In abgeschlossenen Einteilchensystemen: dp =0 dt , p = mẋ (erstes Newton’sches Gesetz) Ç I In abgeschlossenen Mehrteilchensystemen: ṗi = Fi ({xji }, {ẋji }) , pi = mi ẋi å zweites Newton’sches Gesetz (i, j = 1, 2, . . . , N) Transformationsverhalten von Kräften: I Å ã Fi Fi echter Vektor, viertes Newton’sches Gesetz Wichtiger Spezialfall: (drittes Newton’sches Gesetz) F0i Fi = X = σR fji −1 fji = fji (|xji |)x̂ji , , fji = fij (Kepler, Coulomb) j6=i Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme Erhaltung des Gesamtimpulses Gesamtimpuls abgeschlossener Systeme Definition der Gesamtmasse: M≡ N X mi , xM i=1 N 1 X m1 x1 + · · · + mN xN ≡ mi xi = M m1 + · · · + mN i=1 Definition des Gesamtimpulses: P ≡ M ẋM = N X mi ẋi = i=1 N X pi i=1 Bewegungsgleichung für P(t)? N X dP = Fi ({xji }, {ẋji }) dt i=1 Speziell für drittes Newton’sches Gesetz: X X dP = fji = (fji + fij ) = 0 dt i,j i6=j Lösung: für elektromagnetische Kräfte i. A. dP 6= 0 dt (Gesamtimpuls erhalten!) i<j 2 Integrationsknstn. ⇒ 2 Erhaltungsgrößen! P(t) , xM (t) − P(t) = P0 , xM (t) = xM0 + 1 P t M 0 1 P(t)t M Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme Erhaltung des Gesamtdrehimpulses Gesamtdrehimpuls abgeschlossener Systeme Definition des Gesamtdrehimpulses: L= X xi × pi N≡ , X i ® Achtung: xi × Fi i ´ xi × pi abhängig von der Wahl des Ursprungs! xi × Fi Bewegungsgleichung für L(t)? X X dL = (ẋi × pi + xi × ṗi ) = xi × Fi = N dt i i Speziell für drittes Newton’sches Gesetz: X X X X dL = xi × Fi = xi × fji = (xi × fji + xj × fij ) = (xi − xj ) × fji = 0 dt i,j i6=j i i<j i<j Gesamtdrehimpuls erhalten! L(t) = L(0) ≡ L0 [Annahme im Folgenden: 3. NG erfüllt] [ für elektromagnetische Kräfte i. A. dL dt 6= 0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme Das Potential der Zweiteilchenkräfte Das Potential der Zweiteilchenkräfte Definition des Potentials / der potentiellen Energie? fji = fji (|xji |)x̂ji Z x Vji (x) ≡ Vji (x0 ) + dx 0 fji (x 0 ) [ Vji (x0 ) und x0 beliebig ] x0 Physikalische Dimension? Betrachte: Teilchenbewegung! [Potential]=[Kraft × Weg]=[Energie] → (2) xi zur Zeit t2 Definition der von {Fi } verrichteten Arbeit W1→2 ? W1→2 ≡ XZ i = dxi · Fi 1 XZ i 2 t2 t1 dt ẋi · Fi (1, t1 ) > {xi (t)} (2, t2 ) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme Das Potential der Zweiteilchenkräfte Die Form des Potentials für das 3. Newton’sche Gesetz Speziell für 3. Newton’sches Gesetz: W1→2 = XZ XZ t2 XZ dt ẋi · fji = i<j t2 dt (ẋi · fji + ẋj · fij ) t1 i<j XZ dt ẋij · fji = − XZ i<j t2 t1 i,j i6=j t1 i<j =− dxi · fji = XZ 1 i,j i6=j = 2 ( actio = − reactio“) ” t2 dt ẋji · x̂ji fji (|xji |) t1 t2 X d dt Vji (|xji |) = − Vji (|xji (t)|) = V (1) − V (2) dt i<j t2 t1 t1 mit: V ({xi }) ≡ X Vji (|xji |) (1) V (1) ≡ V ({xi }) , , (2) V (2) ≡ V ({xi }) i<j Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme Das Potential der Zweiteilchenkräfte Zusammenhang Kraft ↔ Potential Gesamtpotential: V ({xi }) ≡ X Z Vji (|xji |) , x Vji (x) ≡ Vji (x0 ) + dx 0 fji (x 0 ) x0 i<j Zusammenhang Kraft Fk ↔ Gesamtpotential V ({xi })? " − ∇k V = −∇k # X Vki (|xki |) + X i<k =− X k<j fki (|xki |)x̂ki − = fjk (|xjk |)x̂jk = j6=k X fjk (|xjk |)(−x̂jk ) k<j i<k X Vjk (|xjk |) X fjk = Fk j6=k Fazit: Fi = −∇i V (i = 1, 2, . . . , N) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme Konservative Kräfte Konservative Kräfte (10 , t10 ) (1, t1 ) Wichtiger Spezialfall: (2, t2 ) < > Teilchenbewegung entlang geschlossener Schleife 1 → 2 → 10 mit 10 = (1) xi zur Zeit t10 > t2 Entsprechende Potentialänderung: î ó î W1→2→10 ≡ W1→2 + W2→10 = V (1) − V (2) + V (2) − V (1) ó =0 Nomenklatur: Kräfte {Fi ({xji })} mit W1→2→10 = 0 heißen konservativ Wegen fji = fji (|xji |)x̂ji = (∇Vji )(xji ) sind alle Zweiteilchenbeiträge (ji) einzeln Null: W1→2 + W2→10 = XZ i<j =− t10 dxji · fji (ji) i<j XI i<j Fazit: dt ẋij · fji = − t1 XI Xî dx · (∇Vji )(x) = (ji) (1) Vji (|xji |) − (1) Vji (|xji |) ó =0 i<j Auch Zweiteilchenkräfte einzeln konservativ Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme Konservative Kräfte Konservative Kräfte sind wirbelfrei Potentialänderung entlang 1 → 2 → 10 : W1→2 + W2→10 = − XI i<j dxji · fji = 0 (ji) Daher Äquivalenz: Å Zweiteilchenkraft F(x) konservativ I ã ⇔ Å dx · F(x) = 0 entlang Schleife (1) (2) (1) xji → xji → xji Stokes’scher Satz! I Z dx · F(x) = dS · (∇ × F) (∂F , F beliebig) F ∂F Fazit: Å Zweiteilchenkraft F(x) konservativ ã ⇔ ∇×F=0 (∀ x ∈ D ⊂ R3 ) ã Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme Beziehung Arbeit ↔ kinetische Energie Beziehung Arbeit ↔ kinetische Energie Beziehung Arbeit ↔ Potential: W1→2 = V (1) −V (2) = dxi · ṗi = X 1 i = 2 XZ X dxi · Fi = V (1) − V (2) 1 i mit: 2 XZ Z t2 mi dt t1 i d dt dt ẋi · ẍi mi t1 i Z t2 1 2 ẋ 2 i = X i t2 (2) (1) 2 1 m ẋ = Ekin − Ekin 2 i i t1 Definition der kinetischen Energie: Ekin (t) ≡ X 1 m ẋ2 (t) 2 i i i Definition der Gesamtenergie: E ≡ Ekin + V Fazit: Gesamtenergie ändert sich nicht von 1 → 2! ! (2) (1) E (1) = Ekin + V (1) = Ekin + V (2) = E (2) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme Erhaltung der Gesamtenergie Erhaltung der Gesamtenergie als Funktion der Zeit Bisherige Ergebnisse: ! (2) (1) E (1) = Ekin + V (1) = Ekin + V (2) = E (2) Wähle speziell: (1) (1) (2) (2) (1) = xi , ẋi , t1 = xi (t), ẋi (t), t (2) = xi , ẋi , t2 = xi (t + dt), ẋi (t + dt), t + dt Energieänderung im Zeitintervall dt? î (2) ó î (1) dE = E (2) − E (1) = Ekin + V (2) − Ekin + V (1) Fazit: Erhaltung der Gesamtenergie! ó ! =0 ⇒ dE =0 dt Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme 3.1.1 Das Virialtheorem 3.1.1 Das Virialtheorem Definiere G (t) ≡ d X dG = dt dt P i xi · pi xi · pi = X i ⇒ Zeitableitung: (ẋi · pi + xi · ṗi ) = X i mi ẋ2i + xi · Fi i Allgemein: Zeitmittelwert von g (t) mit |g (t)| ≤ gmax < ∞ (∀t ≥ 0): 1 g (t) ≡ lim T →∞ T Speziell für g (t) = dG dt T Z dt g (t) 0 ! X d X ! xi · pi = 2Ekin + xi · Fi dt i i Wichtiger Spezialfall: Bewegung {xi (t), pi (t)} der Teilchen beschränkt dG 1 (t) = lim T →∞ T dt Konsequenz? Z T dt 0 ⇒ G (t), dG dt (t) beschränkt G (T ) − G (0) ! dG (t) = lim =0 T →∞ dt T Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme 3.1.1 Das Virialtheorem Das Virialtheorem Bisherige Ergebnisse: X dG = mi ẋ2i + xi · Fi dt , i i Konsequenz: Nomenklatur: Ekin = − 21 X X dG (t) = 2Ekin + xi · Fi = 0 dt − 12 xi · Fi P i xi · Fi heißt (Clausius-)Virial“ ” (Virialtheorem) i Spezialfall: ( homogene Potentiale“) ” Vji (x) = vji x α (x ≡ |x| , α ∈ R, vji = konstant) Eigenschaft: x · (∇Vji )(x) = x · (αvji x α−1 x̂) = αvji x α = αVji (x) Konsequenz für das Virial: X i xi · Fi = X xi · fji = ij i6=j = −α X (xi − xj ) · fji = − i<j X i<j Vji (|xji |) = −αV ({xi }) X xji · (∇Vji )(xji ) i<j ⇒ Ekin = 21 αV ({xi }) = 12 αEpot Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme 3.1.1 Das Virialtheorem Das Virialtheorem für homogene Potentiale Beziehung zwischen Ekin und Epot : Ekin = 12 αV ({xi }) = 12 αEpot (wichtig!) V ({λxi }) = λα V ({xi }) falls Einige Spezialfälle: α = −1 : Ekin = − 12 Epot (Kepler-/Coulomb-Problem) α=1: Ekin = 12 Epot ( quarks“) ” α=2: Ekin = Epot (harmonischer Oszillator) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.1 Allgemeine Eigenschaften abgeschlossener Systeme 3.1.1 Das Virialtheorem Beispiele für Anwendungen des Virialtheorems 1. Zustandgleichungen von Gasen: P = nkB T 1 + B2 (T )n + B3 (T )n2 + · · · ∧ 2. Nachweis der Existenz dunkler Materie: ( Teilchen“ = Galaxie) ” Für N Teilchen“ mit Gravitationswechselwirkung folgt aus dem Virialtheorem ” N X mi ẋ2i = 2Ekin = −Epot = i=1 X Gmi mj |xji |−1 i<j Beziehung zu Messgrößen: I Nur Geschwindigkeitskomponente k Blickrichtung messbar: I Nur Ortskomponenten ⊥ Blickrichtung messbar: |xji⊥ |−1 = Statt Massen mi nur Luminosität Li messbar: mi = QLi I Konsequenz des Virialtheorems: ¬ 2 = 1 ẋ2 ẋik 3 i π |x |−1 2 ji (Messergebnis) N Q= 3π X 2 Li ẋik 2G i=1 X Li Lj |xji⊥ |−1 ' 260QSonne !! i<j Welcher Natur ist die restliche Masse?! Schwarze Löcher? Neutrinos? . . . ? Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.2 Galilei-Transformation von Impuls, Drehimpuls und Energie Klassifizierung von Skalaren und Vektoren Orthogonale Transformationen und Vektoren (mit t 0 = t) Allgemeine Galilei-Transformation: x0 (x, t) = σR(α)−1 x − vt − ξ = σR(α)−1 (x − vα t − ξα ) mit: vα ≡ σR(α)v ξα ≡ σR(α)ξ , Spezialfall: x0 (x, t) = σR(α)−1 x (orthogonale Transformation) Nomenklatur? V0 = σR(α)−1 V ⇒ V echter Vektor V0 = R(α)−1 V ⇒ V Pseudovektor 0 ⇒ W Skalar 0 ⇒ W Pseudoskalar W =W W = σW Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.2 Galilei-Transformation von Impuls, Drehimpuls und Energie Transformationsverhalten von Impuls/Drehimpuls/Energie Transformationsverhalten von Impuls/Drehimpuls/Energie Wichtige Systemeigenschaften: [Verhalten unter Galilei-Transformationen?] I Gesamtimpuls I Gesamtdrehimpuls I Gesamtenergie: Arbeit, potentielle Energie, kinetische Energie 1. Gesamtimpuls P = P i pi : [Transformationsverhalten?] p0i = mi σR(α)−1 (ẋi − vα ) = σR(α)−1 (pi − mi vα ) ⇒ P0 = σR(α)−1 (P − Mvα ) Orthogonale Transformationen? p0i = σR(α)−1 pi , (vα = 0, ξα = 0) P0 = σR(α)−1 P (pi , P echte Vektoren) Kräfte: F0i = ṗ0i = σR(α)−1 ṗi = σR(α)−1 Fi (Fi echter Vektor) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.2 Galilei-Transformation von Impuls, Drehimpuls und Energie Transformationsverhalten von Impuls/Drehimpuls/Energie Transformationsverhalten des Drehimpulses 2. Gesamtdrehimpuls L = 0 L = X x0i × p0i X = i P i xi × pi : [Transformationsverhalten?] σR(α)−1 (xi − vα t − ξα ) × σR(α)−1 (pi − mi vα ) i = R(α) X −1 (xi − vα t − ξα ) × (pi − mi vα ) i = R(α) ñ X −1 ô xi × pi − vα t × P − ξα × (P − Mvα ) − MxM (t) × vα i = R(α) −1 [L − ξα × (P0 − Mvα ) − MxM0 × vα ] mit: R(α)−1 a × R(α)−1 b = R(α)−1 (a × b) (Übung) ; xM (t) = xM0 + 1 P0 t M Konsequenzen: (i) L̇0 = R(α)−1 L̇ L̇ = 0 ⇔ L̇0 = 0 & daher: L0 = R(α)−1 L (ii) Für orthogonale Transformationen: ⇒ L Pseudovektor Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.2 Galilei-Transformation von Impuls, Drehimpuls und Energie Transformationsverhalten von Impuls/Drehimpuls/Energie Transformationsverhalten der Energie (Arbeit, Potential) [ ẋ0i = σR(α)−1 (ẋi − vα ) , F0i = σR(α)−1 Fi ] 3. Arbeit? 0 W1→2 = XZ i = dt 0 ẋ0i · t10 XZ i t20 F0i = XZ i t2 dt σR(α)−1 (ẋi − vα ) · σR(α)−1 Fi t1 ñZ t2 t2 dt (ẋi − vα ) · Fi = W1→2 − vα · t1 dt X t1 ô Fi = W1→2 i Fazit: Arbeit W1→2 ist ein Skalar 4. Potentielle Energie? V 0 = V ({x0i }) = X i<j Fazit: Vji (|x0ji |) = X Vji |σR(α)−1 xji | = i<j Potentielle Energie V ist ein Skalar X i<j Vji (|xji |) = V Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.2 Galilei-Transformation von Impuls, Drehimpuls und Energie Transformationsverhalten von Impuls/Drehimpuls/Energie Transformationsverhalten der kinetischen & Gesamtenergie 5. Kinetische Energie? 0 Ekin = X ẋ0i 1 m 2 i 2 = X i 1 m 2 i 2 σR(α)−1 (ẋi − vα ) = X i 1 m (ẋi 2 i − vα )2 i 2 2 = Ekin − M ẋM · vα + 12 Mvα = Ekin − P · vα + 21 Mvα Orthogonale Transformation: vα = 0 Fazit: , ξα = 0 0 Ekin = Ekin ⇒ Kinetische Energie Ekin ist ein Skalar 6. Gesamtenergie E = Ekin + V ? Gesamtenergie = Skalar + Skalar = Skalar Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.2 Galilei-Transformation von Impuls, Drehimpuls und Energie Das Virialtheorem in bewegten Systemen Transformationsverhalten der Energie (Virialtheorem) 7. Virialtheorem: [Bewegung der Teilchen räumlich beschränkt] Ekin = − 12 X xi · Fi , P=0 i Transformationsverhalten der kinetischen Energie: 2 0 0 Ekin = Ekin − 12 Mvα = Ekin − 12 Mv2 Transformationsverhalten des Virials: − 1 2 X x0i · F0i = − 12 i X σR(α)−1 (xi − vα t − ξα ) · σR(α)−1 Fi i = − 12 X (xi − vα t − ξα ) · Fi = − 12 i X xi · Fi i Virialtheorem im bewegten System: 0 Ekin 2 X (P0 ) = − 12 x0i · F0i 2M i , P0 = −Mv Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.2 Galilei-Transformation von Impuls, Drehimpuls und Energie Das Virialtheorem in bewegten Systemen Transformationsverhalten von Impuls/Drehimpuls/Energie Frage: Gibt es auch Pseudoskalare? Antwort: Ja! Beispiel: Vol(x1 , x2 , x3 ) , denn mit (x1 , x2 , x3 ) echte Vektoren gilt: Vol(x01 , x02 , x03 ) = x01 · x02 × x03 = σR(α)−1 x1 · σR(α)−1 x2 × σR(α)−1 x3 = σ R(α)−1 x1 · R(α)−1 (x2 × x3 ) = σx1 · (x2 × x3 ) = σ Vol(x1 , x2 , x3 ) Kurz: Vol(x01 , x02 , x03 ) = σ Vol(x1 , x2 , x3 ) Vol0 = σ Vol bzw. Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.2 Galilei-Transformation von Impuls, Drehimpuls und Energie Das Schwerpunktsystem Das Schwerpunktsystem Führe spezielle Galilei-Transformation K → K (S) durch mit: vα = M1 P0 , ξα = xM0 (σ, α beliebig, τ = 0) Massenschwerpunkt in K (S) ? (S) xM (t) = x0 (xM (t), t) = σR(α)−1 [xM (t) − vα t − ξα ] = σR(α)−1 xM (t) − 1 P t M 0 − xM0 = 0 Gesamtimpuls in K (S) ? (S) P(S) ≡ M ẋM = 0 Gesamtdrehimpuls in K (S) ? L(S) = R(α)−1 (L − xM0 × P0 ) Konsequenz: Drehimpuls L i.A. abhängig von der Wahl des Ursprungs L = xM0 × P0 + R(α)L(S) Kinetische Energie in K (S) ? Ekin P20 (S) = + Ekin 2M Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.3 Das Zweiteilchenproblem - allgemeine Eigenschaften Bewegungsgleichungen und Erhaltungsgrößen 3.3 Das Zweiteilchenproblem - allgemeine Eigenschaften Bewegungsgleichungen? ṗ1 = F1 = f21 = f (|x21 |) x̂21 , p1 = m1 ẋ1 ṗ2 = F2 = f12 = f (|x12 |) x̂12 , p2 = m2 ẋ2 Gesamtimpulserhaltung! dP =0 dt ⇒ P ≡ p1 + p2 = P0 xM (t) ≡ , ⇒ P = M ẋM m1 x1 + m2 x2 = xM0 + m1 + m2 1 P t M 0 Gesamtdrehimpulserhaltung! dL =0 dt , L = x1 × p1 + x2 × p2 Gesamtenergieerhaltung! dE =0 dt E = 12 m1 ẋ21 + 12 m2 ẋ22 + V (|x12 |) , Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.3 Das Zweiteilchenproblem - allgemeine Eigenschaften Das Schwerpunktsystem Schwerpunktsystem Wende Galilei-Transformation an mit: vα = 1 P M 0 , ξα = xM0 , σ = +1 , α=0 , τ =0 Neue Koordinaten: m1 x1 + m2 x2 m2 =− x m1 + m2 m1 + m2 m1 x1 + m2 x2 m1 x02 ≡ x2 − xM (t) = x2 − = x m1 + m2 m1 + m2 x01 ≡ x1 − xM (t) = x1 − , x ≡ x21 = x021 Massenschwerpunkt: (S) xM m1 x01 + m2 x02 ≡ =0 m1 + m2 ⇒ (S) P(S) ≡ M ẋM = 0 Gesamtdrehimpuls: L(S) = x01 × p01 + x02 × p02 = mit: m1 m2 −x × ẋ01 + x × ẋ02 = µx × ẋ021 = µx × ẋ m1 + m2 m1 m2 µ= = m1 + m2 1 1 + m1 m2 −1 (reduzierte Masse) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.3 Das Zweiteilchenproblem - allgemeine Eigenschaften Das Schwerpunktsystem Schwerpunktsystem Gesamtenergie: E (S) = 12 m1 ẋ01 = 2 + 21 m2 ẋ02 2 + V |x021 | = m1 m22 + m2 m12 2 ẋ + V (|x|) 2(m1 + m2 )2 1 m1 m2 2 ẋ + V (x) = 12 µẋ2 + V (x) 2 m1 + m2 , x ≡ |x| Bewegungsgleichung: ẍ = ẍ021 = − Check: 1 1 1 f (x)x̂ − f (x)x̂ = − f (x)x̂ m2 m1 µ µẍ = −f (x)x̂ = −V 0 (x)x̂ ⇒ dL(S) = µ (ẋ × ẋ + x × ẍ) = −V 0 (x)x × x̂ = 0 dt dE (S) = µẋ · ẍ + V 0 (x)x̂ · ẋ = ẋ · µẍ + V 0 (x)x̂ = 0 dt Virialtheorem: 1 µẋ2 2 (S) ! = Ekin = − 12 (x01 · f21 + x02 · f12 ) = 21 x021 · f21 = 12 x · f (x)x̂ = 12 xf (x) = 12 xV 0 (x) (S) (S) V (x) = V0 x α ⇒ Ekin = 12 µẋ2 = 21 αV (x) = 12 αEpot Homogene Potentiale: Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.3 Das Zweiteilchenproblem - allgemeine Eigenschaften Allgemeine Lösung im Schwerpunktsystem Allgemeine Lösung im Schwerpunktsystem Gesamtdrehimpuls einer allgemeinen Lösung! d (S) L(S) = µx × ẋ , L =0 dt Fazit: Bewegung findet in einer Ebene ⊥ L(S) statt: Wähle o.B.d.A.: ê1 ≡ x̂(0) Polarkoordinaten! L(S) = Lê3 (L ≥ 0) ê2 ≡ ê3 × ê1 , x ⊥ L(S) und ẋ ⊥ L(S) ⇒ , Bewegung in ê1 -ê2 -Ebene x = x [cos(ϕ)ê1 + sin(ϕ)ê2 ] = xx̂ Geschwindigkeit? ẋ = ẋx̂ + x ϕ̇ [− sin(ϕ)ê1 + cos(ϕ)ê2 ] Gesamtdrehimpuls? Lê3 = L(S) = µx × ẋ = µx 2 ϕ̇ [cos(ϕ)ê1 + sin(ϕ)ê2 ] × [− sin(ϕ)ê1 + cos(ϕ)ê2 ] = µx 2 ϕ̇ (ê1 × ê2 ) cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ) = µx 2 ϕ̇ ê3 ⇒ L = µx 2 ϕ̇ Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.3 Das Zweiteilchenproblem - allgemeine Eigenschaften Allgemeine Lösung im Schwerpunktsystem Allgemeine Lösung im Schwerpunktsystem Gesamtenergie: ẋ = ẋx̂ + x ϕ̇ [− sin(ϕ)ê1 + cos(ϕ)ê2 ] E (S) = 12 µẋ2 + V (x) = 12 µ ẋ 2 + x 2 ϕ̇ = 21 µẋ 2 + Vf (x) 2 + V (x) = 21 µẋ 2 + 21 µx 2 Vf (x) ≡ V (x) + , L2 2µx 2 L = µx 2 ϕ̇ , Å L µx 2 ã2 + V (x) (effektives Potential) Berechnung von x(t) und ϕ(t)? dE (S) = 0 ⇒ E (S) konstant ⇒ separable Differentialgleichung! dt … î ó 2 2 (S) ẋ 2 = E (S) − Vf (x) bzw. ẋ = ± [E − Vf (x)] µ µ ⇒ dt (x) = ± dx ß î 2 µ E (S) ó™−1/2 − Vf (x) ⇒ Z ⇒ x(t) bekannt ⇒ ϕ(t) = ϕ(0) + t dt 0 0 t(x) bekannt L µ [x(t 0 )]2 bekannt Fazit: Zweiteilchenproblem vollständig gelöst! Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.3 Das Zweiteilchenproblem - allgemeine Eigenschaften Allgemeine Lösung im Schwerpunktsystem Bemerkungen 1. Effektives 1-dimensionales Modell auf Halbachse x > 0 ! E (S) = 1 µẋ 2 2 + Vf (x) Vf (x) = V (x) + xmin 0 L2 2µx 2 x 0 V (x) ∝ − x1 Energieerhaltung: dE (S) 0= = µẋ ẍ + Vf0 (x)ẋ dt Bewegungsgleichung: L2 2µx 2 Vf (x) Vf (x) L2 2µx 2 µẍ = −Vf0 (x) E Nomenklatur: ( L2 2µx 2 heißt Zentrifugalbarriere oder Zentrifugalpotential V (x) ∝ x 2 0 x 0 x− xmin x+ Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.3 Das Zweiteilchenproblem - allgemeine Eigenschaften Allgemeine Lösung im Schwerpunktsystem Bemerkungen 2. Flächensatz“: ” x+ [Verallgemeinerung des 2. Kepler’schen Gesetzes] I x(t + dt) Definition der Fläche“: ” ẋ(t)dt A(t) ≡ von x(t 0 ) (0 ≤ t 0 ≤ t) dA x(t) überstrichene Fläche I Flächengeschwindigkeit: 0 dA 1 1 (S) L = |x × ẋ| = |L | = dt 2 2µ 2µ I Fazit: dA dt A(t) x− x(0) = konstant! Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.1 Kreisbahnen 3.4.1 Mögliche Kreisbahnen: x = xmin Beziehung L ↔ xmin ? [ Vf (x) ≡ V (x) + 0 = Vf0 (xmin ) = V 0 (xmin ) − L2 µ(xmin )3 ⇒ L= L2 2µx 2 p ] 3 µxmin V 0 (xmin ) Zeitabhängigkeit des Winkels ϕ(t) für Kreisbahn? ϕ(t) = ϕ(0) + Lt = ϕ(0) + t µ(xmin )2 … [ L = µx 2 ϕ̇ ] V 0 (xmin ) µxmin Konsequenz für Umlaufzeit/Kreisfrequenz? … T = 2π µxmin V 0 (xmin ) , 2π ωK = = T Beispiel? Potentiale V (x) = V0 x α … … ⇒ T = 2π V 0 (xmin ) µxmin 1 µ (xmin )1− 2 α αV0 Insbesondere: α=2: T = konst. (harmonischer Oszillator) α = −1 : T ∝ (xmin )3/2 (Kepler-Problem, drittes Kepler’sches Gesetz) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.2 Kleine Schwingungen (um x = xmin ) 3.4.2 Kleine Schwingungen (um x = xmin ) Kleine“ Schwingung bedeutet: ” ∀x mit |x − xmin | ≤ umax Vf (x) gilt Vf (x) ' Vf (xmin ) + 12 Vf00 (xmin )(x − xmin )2 Bewegungsgleichung für x(t): ẍ = − µ1 Vf00 (xmin )(x − xmin ) Definitionen: x− 0 0 x+ » x xmin 1 V 00 (xmin ) µ f ≡ ωS x − xmin ≡ u , Bewegungsgleichung für u(t): ü + (ωS )2 u = 0 E Å Emin V (x) = V0 x α Spezialfall: ⇒ ã ⇒ ® √ ωS = 2+α ωK Effektives Potential und mögliche Kreisbahnen 1-dimensionaler harmonischer Oszillator ωS = ωK (α = −1) 2ωK (α = 2) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.2 Kleine Schwingungen (um x = xmin ) Lösung der Bewegungsgleichung Bewegungsgleichung für u(t): Å 2 ü + ω u = 0 , ω = ωS Lösung? u(t) = u(0) cos(ωt) + mit: … t∈R Normalerweise: umax xmin Z h L L ϕ(t) − ϕ(0) = dt = 2 µ(xmin )2 µ [x(t 0 )] 0 ∼ 0 t Z µ(xmin )2 2L ∼ µω(xmin )2 dt 0 u(t 0 ) 1−2 xmin ï 0 ß i2 ⇒ t L 1 ωt 2 ã 1 du (0) sin(ωt) ω dt 1 du [u(0)] + (0) ω dt 2 max{ |u(t)| } = 1-dimensionaler harmonischer Oszillator ≤ umax [ x(t) = xmin + u(t) ] Z t dt 0 0 ï u(t 0 ) 1+ xmin ò−2 ò ™ u(0) u̇(0) − sin(ωt) − [1 − cos(ωt)] xmin ωxmin Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.3 Der harmonische Oszillator 3.4.3 Der harmonische Oszillator Potential: V (|x|) = 21 µω 2 x2 Bewegungsgleichung: ẍ = −ω 2 x (x, ẋ) ⊥ L(S) = Lê3 Bewegung? x1 (t) = a1 cos(ωt + ϕ1 ) ⇒ , x3 = 0 und x2 (t) = a2 cos(ωt + ϕ2 ) Fazit: I Periode: T = 2π ω I Bahnen geschlossen I Periode unabhängig von Form/Amplitude der Bahn (isochron) → Explizite Berechnung L = µx × ẋ = µωa1 a2 sin(ϕ1 − ϕ2 )ê3 E (S) = 12 µẋ2 + 12 µω 2 x2 = 12 µω 2 (a12 + a22 ) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.3 Der harmonische Oszillator Bahn x(t) des harmonischen Oszillators Form der Lösung: x3 = 0 , x1 (t) = a1 cos(ωt + ϕ1 ) , x2 (t) = a2 cos(ωt + ϕ2 ) Definition: ϕ(t) ≡ ωt + ϕ1 , δ ≡ ϕ2 − ϕ1 Konsequenz für Lösung? x1 (t) = a1 cos[ϕ(t)] x2 (t) = a2 cos [ϕ(t) + δ] = a2 [cos(ϕ) cos(δ) − sin(ϕ) sin(δ)] Resultate für cos(ϕ) : cos(ϕ) = x1 a1 , sin(δ) sin(ϕ) = x1 x2 cos(δ) − a1 a2 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.3 Der harmonische Oszillator Bahn x(t) des harmonischen Oszillators Resultate für cos(ϕ) und sin(ϕ) : x1 a1 cos(ϕ) = , sin(δ) sin(ϕ) = x1 x2 cos(δ) − a1 a2 Konsequenz für Bahn x(t)? sin2 (δ) = sin2 (δ) cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ) x2 x1 2 2 sin (δ) + cos2 (δ) + = a1 a2 2 2 x1 x2 x1 x2 = + −2 cos(δ) a1 a2 a1 a2 x1 x2 A x1 x2 , −2 1 (a1 )2 Å ãT Å ã = 2 A= − x1 x2 cos(δ) a1 a2 − cos(δ) a1 a2 cos(δ) a1 a2 ! 1 (a2 )2 A reell, symmetrisch ⇒ diagonalisierbar mit orthogonaler Transformation O Å T A = O AD O , AD = λ+ 0 0 λ− ã Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.3 Der harmonische Oszillator Bahn x(t) des harmonischen Oszillators A reell, symmetrisch ⇒ diagonalisierbar mit orthogonaler Transformation O A = OT AD O Å , λ+ 0 AD = 0 λ− , A= Eigenwerte? 1 λ± = 2 ( 1 1 + ± (a1 )2 (a2 )2 ï Definition: 1 1 + (a1 )2 (a2 )2 Å ã ξ1 ξ2 1 (a1 )2 − cos(δ) a1 a2 − cos(δ) a1 a2 1 (a2 )2 ã ò2 2 4 sin (δ) − (a1 a2 )2 ) Å ! λ± ∈ R λ± ≥ 0 ã Å ã =O x1 x2 Konsequenz: sin2 (δ) = Å ãT x1 x2 Å ãT Å Å ã x1 OT AD O x2 = ξ1 ξ2 λ+ 0 0 λ− ãÅ ã ξ1 ξ2 = λ+ ξ12 + λ− ξ22 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.3 Der harmonische Oszillator Bahn x(t) und Virialtheorem Konsequenz: sin2 (δ) = λ+ ξ12 + λ− ξ22 Normalform der Ellipse: 1= ξ1 α1 2 + ξ2 α2 2 ® mit Spezialfälle! [ sin2 (δ) = a2 x a1 1 − aa21 x1 I δ=0 ⇒ x2 = I δ=π ⇒ x2 = π 2 ⇒ Normalform I δ= √ α1 ≡ | sin(δ)|/ λ+ (kleine Halbachse) √ α2 ≡ | sin(δ)|/ λ− (große Halbachse) x1 a1 2 + x1 a1 2 x2 a2 2 x2 a2 + 2 − 2 ax1 xa2 cos(δ) ] 1 2 =1 Virialtheorem? 1 µẋ2 2 ¶ = 12 µω 2 a12 sin2 [ϕ(t)] + a22 sin2 [ϕ(t) + δ] 1 xV 0 (x) 2 © = 14 µω 2 a12 + a22 = V (x) = 12 µω 2 a12 cos2 [ϕ(t)] + a22 cos2 [ϕ(t) + δ] = 14 µω 2 a12 + a22 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.3 Der harmonische Oszillator Vorausblick auf Quantenmechanik Wirkung S einer Umlaufbahn vollständig durch E (S) bestimmt! I S≡ T Z dx · p = Z dt ẋ · p = 2 0 0 = T (Ekin + Epot ) = T p2 dt = 2T Ekin 2µ 2π (S) E ω Umgekehrt: E (S) für harmonischen Oszillator vollständig durch Wirkung festgelegt! E (S) = In Quantenmechanik: S = h(n + 12 ) ω 2π S (pro Raumdimension, WKB-Methode) ⇒ E (S) = ~ω(n + 12 ) , ~≡ h 2π Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.4 Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln 3.4.4 Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln x2 Standardform der Ellipse: x1 a1 2 + x2 a2 2 a2 =1 x1 a1 0 Wähle a2 ≤ a1 (o. B. d. A.) und definiere: … ε≡ 1− a2 a1 2 p≡ , √ x2 (ϕ) 1 − ε2 sin(ϕ) = a2 1 + ε cos(ϕ) Parametrisierung der Ellipse? x1 (ϕ) ε + cos(ϕ) = a1 1 + ε cos(ϕ) (a2 )2 = a1 (1 − ε2 ) a1 , <1 Ellipsengleichung erfüllt? Prüfung: 2 2 2 2 2 2 ε + 2ε cos(ϕ) + cos (ϕ) + 1 − ε 1 − cos (ϕ) x1 x2 + = a1 a2 [1 + ε cos(ϕ)]2 1 + 2ε cos(ϕ) + ε2 cos2 (ϕ) = =1 [1 + ε cos(ϕ)]2 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.4 Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln Alternativform der Ellipse Bisherige Resultate: … ε≡ 1− a2 a1 2 x2 2 <1 x1 (ϕ) ε + cos(ϕ) = a1 1 + ε cos(ϕ) , , (a2 ) = a1 (1 − ε2 ) a1 √ 1 − ε2 sin(ϕ) x2 (ϕ) = a2 1 + ε cos(ϕ) p≡ a2 0 x Alternativform? ï (1 − ε2 ) cos(ϕ) p cos(ϕ) x1 = a1 ε + = a1 ε + 1 + ε cos(ϕ) 1 + ε cos(ϕ) √ a2 1 − ε2 sin(ϕ) a1 (1 − ε2 ) sin(ϕ) p sin(ϕ) x2 = = = 1 + ε cos(ϕ) 1 + ε cos(ϕ) 1 + ε cos(ϕ) Kurz: ò [ mit (x1 , x2 ) ≡ x , (a1 ε, 0) ≡ b ; b heißt Brennpunkt der Ellipse ] Å ã cos(ϕ) x − b = r (ϕ) sin(ϕ) , r (ϕ) ≡ p 1 + ε cos(ϕ) a1 b p x1 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.4 Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln Standardform der Hyperbel x2 Standardform einer Hyperbel: x1 a1 2 − x2 a2 2 p =1 (a1 > 0, a2 > 0) b0− a1 0 x p a1 x x1 b0+ Definiere: … ε≡ 1+ a2 a1 2 >1 , (a2 )2 p≡ = a1 (ε2 − 1) a1 , √ x2 (ϕ) ε2 − 1 sin(ϕ) = a2 1 + ε cos(ϕ) Parametrisierung? x1 (ϕ) ε + cos(ϕ) =± a1 1 + ε cos(ϕ) Kurz: x− b0± Å ∓ cos(ϕ) = r (ϕ) sin(ϕ) ã , b0± Å = ±a1 ε 0 ã , r (ϕ) = p 1 + ε cos(ϕ) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.4 Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln Die Parabel als Grenzfall Parabel: [ Grenzfall ε ↑ 1 , p = a1 (1 − ε2 ) fest ] Å ã cos(ϕ) xr ≡ x − b = r (ϕ) sin(ϕ) , r (ϕ) = Parabelgleichung erfüllt? ï ò cos(ϕ) cos(ϕ) − 1 x1r 1 = = 1+ = p 1 + cos(ϕ) 2 1 + cos(ϕ) 1 2 p 1 + cos(ϕ) 1 − tan2 ( 21 ϕ) sin(ϕ) x2r = = tan( 12 ϕ) p 1 + cos(ϕ) x2r xr ï In der Tat gilt: 2 ò x2r 1 x1r = 2 p 1 − p p (Parabel) x1r 0 Zusammenfassend für Ellipsen/Hyperbeln/Parabeln: p r (ϕ) = 1 + ε cos(ϕ) ( mit 0≤ε<1: ε=1: ε>1: Ellipse Parabel Hyperbel 1 p 2 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.5 Das Kepler-Problem 3.4.5 Das Kepler-Problem Kepler-Problem = Zweiteilchenproblem des Gravitationspotentials: V (x) = − Gm1 m2 GµM =− x x , 1 ẍ = − V 0 (x)x̂ µ Wähle Schwerpunktsystem ; Erhaltungsgrößen? I Gesamtdrehimpuls L(S) = µx × ẋ I Gesamtenergie E (S) I Zusätzliche Erhaltungsgröße! ( Lenz’scher Vektor“) ” a ≡ ẋ × L(S) + V (x)x Check: [ mit a × (b × c) = (a · c) b − (a · b) c ] da = ẍ × L(S) + V 0 (x)(x̂ · ẋ)x + V (x)ẋ dt = xV 0 (x) [x̂(x̂ · ẋ) − x̂ × (x̂ × ẋ)] + V (x)ẋ d = [xV 0 (x) + V (x)]ẋ = ẋ [xV (x)] = 0 dx Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele Kepler-Bahnen Bestimmung der Kepler-Bahnen L(S) , E (S) erhalten! → Bewegungsgleichungen für x(t), ϕ(t)! ϕ̇ = L µx 2 , ẋ 2 = 2 (S) E − Vf (x) µ , Vf (x) = V (x) + L2 2µx 2 Kombination zu einer Bewegungsgleichung für x(ϕ)! Å d(x −1 ) dϕ ã2 Å = x −2 dx dϕ ã2 =x −4 ẋ 2 2µ GµM L2 (S) E + = − ϕ̇2 L2 x 2µx 2 ï 2µE (S) µ2 GM −1 + 2 x − x −2 2 2 L Å L (S) ã 2µE −2 −1 −1 2 = + p − x − p L2 ò = Definiere: u ≡ x −1 − p −1 Å du dϕ , p −1 ≡ µ2 GM L2 ⇒ ã2 Å = 2µE (S) + p −2 2 L Ableiten bzgl. ϕ! → d 2u = −u ⇒ u(ϕ) = A cos(ϕ + ϕ0 ) dϕ2 ã − u2 [ Wähle o.B.d.A.: A > 0 ] Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele Kepler-Bahnen Kepler-Bahnen - Form der Lösung Lösung: u(ϕ) = A cos(ϕ + ϕ0 ) (A > 0) Polardarstellung der Bahn x(ϕ)! x(ϕ) = u(ϕ) + p −1 −1 = u ≡ x −1 − p −1 , [ Ap ≡ ε ] p p = 1 + p u(ϕ) 1 + ε cos(ϕ + ϕ0 ) Form der Lösungen des Kepler-Problems? 0≤ε<1 ε=1 ε>1 ) ( Beziehung ε ↔ Ellipse Parabel Hyperbel ( ⇔ ) î E (S) ? 2µp 2 (S) E = p2 2 L ïÅ du dϕ ã2 ∧ , mit ε = Exzentrizität du 2 dϕ = Ä 2µE (S) L2 +p −2 ä −u 2 ó ò + u2 − 1 = (Ap)2 [sin2 (ϕ + ϕ0 ) + cos2 (ϕ + ϕ0 )] − 1 = ε2 − 1 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele Kepler-Bahnen Kepler-Bahnen - geometrische Form und Energie Beziehung ε ↔ E (S) : 2µp 2 (S) E = ε2 − 1 2 L , p −1 ≡ µ2 GM L2 Kombination dieser Gleichungen → E (S) L2 = 2µ Å µ2 GM L2 ã2 2 (ε − 1) = − 12 µ GµM L 2 (1 − ε2 ) Korrespondenz Energie ↔ geometrische Form der Bahn ! Energie (S) E < 0 E (S) = 0 (S) E >0 Ellipse (0 ≤ ε < 1) Parabel (ε = 1) Hyperbel (ε > 1) ( ⇔ geometrische Form einer ) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele Kepler-Bahnen Kepler-Bahnen und Energieentartung Alternativ: Beziehung E (S) ↔ a1 ! Für Ellipsen [E (S) < 0]: E (S) = − 12 µ GµM L 2 (oder Parabeln: E (S) = 0 und a1 = ∞) (1 − ε2 ) = − Für Hyperbeln [E (S) > 0]: E (S) = − 12 µ GµM L 2 Verwende: p −1 = µ2 GM L2 p = a1 (1 − ε2 ) GµM GµM (1 − ε2 ) = − = 12 V (a1 ) 2p 2a1 (oder Parabeln: E (S) = 0 und a1 = ∞) (1 − ε2 ) = − GµM GµM (1 − ε2 ) = = − 12 V (a1 ) 2p 2a1 Virialtheorem für geschlossene Bahnen (Ellipsen): E (S) = Ekin + Epot = 12 Epot = 12 V (x(t)) Daher für geschlossene Bahnen: V (x(t)) = Epot = V (a1 ) = − 2Ekin Fazit: Ungewöhnliche Energieentartung im Kepler-Problem! (Erklärung: . . . ) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele Die Zeitabhängigkeit: ϕ(t) und t(ϕ) Die Zeitabhängigkeit: ϕ(t) und t(ϕ) Wähle (o.B.d.A.): ϕ0 = 0 , Nomenklatur: ® ⇒ t(0) = 0 x(ϕ) = 0 ↔ î Integration → Z ® ´ ϕ = (2ν + 1)π , t = (ν + 12 )T µ t(ϕ) = L (ν ∈ Z) (für Ellipsen) ϕ = 2νπ , t = νT p p = 1 + ε cos(ϕ + ϕ0 ) 1 + ε cos(ϕ) ϕ=0, t=0 ϕ̇ = L µx 2 , dt dϕ = µp 2 dϕ [x(ϕ )] = τ (ϕ) L 0 2 Z ϕ Berechnung von τ (ϕ)? , µx 2 L dϕ0 τ (ϕ) ≡ ® ↔ ϕ = π , t = 12 T ϕ 0 ´ 0 Perizentrum Apozentrum ó 1 [1 + ε cos(ϕ0 )]2 [z. B. mit Handbüchern: Gradshteyn/Ryzhik] I Für Ellipsen (0 ≤ ε < 1) ? −1 τ (ϕ) = 1 − ε2 ß ε sin(ϕ) 2 −√ arctan 1 + ε cos(ϕ) 1 − ε2 ï√ 1 − ε2 tan( 21 ϕ) 1+ε ò™ ´ Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele Die Zeitabhängigkeit: ϕ(t) und t(ϕ) Berechnung von τ (ϕ) (mit Handbüchern) I Für Ellipsen (0 ≤ ε < 1) : ß −1 τ (ϕ) = 1 − ε2 ε sin(ϕ) 2 arctan −√ 1 + ε cos(ϕ) 1 − ε2 I Für Hyperbeln (ε > 1) ? ß 1 τ (ϕ) = 2 ε −1 ï√ 1 − ε2 tan( 21 ϕ) 1+ε ε sin(ϕ) 2 −√ artanh 1 + ε cos(ϕ) ε2 − 1 ï√ 1 (ϕ∞ ε2 −1 Langzeitverhalten! ϕ(t) ∼ ϕ∞ − 1 ε2 −1 (ϕ ↑ ϕ∞ ) Ä −1 t= î I Für Parabeln (ε = 1) ? 1 2 τ (ϕ) = 1 ϕ 2 tan 1+ tan2 1 3 1 ϕ 2 µp 2 τ L ϕ(t) ∼ π − ®1 ò™ (ϕ → 0) − ϕ)−1 τ ε2 − 1 tan( 21 ϕ) 1+ε Nahe dem / fern vom Perizentrum? 1 τ (ϕ) ∼ (1+ε) 2ϕ ∼ 1 ε |ϕ| < ϕ∞ ≡ π − arccos ò™ 4 3τ ϕ 4 4 (π 3 ∼ →∞ − ϕ)−3 ä 1/3 (t → ∞) für ϕ→0 für ϕ↑π ó Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele Die Zeitabhängigkeit: ϕ(t) und t(ϕ) Elliptische Kepler-Bahnen Elliptische Bahnen periodisch mit Periode T = 2 τ (2π) = arctan (1 − ε2 )3/2 Å√ 1 − ε2 tan(π) 1+ε ã 2π = = 2π (1 − ε2 )3/2 Umlaufzeit T der elliptischen Bahn: µp 2 p 3/2 T = τ (2π) = 2π √ L GM a1 p Einfachere Berechnung der Periode? dA L = dt 2µ Berechnung: Z T = T 3/2 und: p = a1 (1 − ε2 ) a1 p 3/2 (a1 )3/2 = 2π √ GM (0 ≤ ε < 1) AE = πa1 a2 , p= (a2 )2 a1 [ Fazit: T 2 ∝ (a1 )3 für alle elliptischen Bahnen (3. KG) ] Z dt = 0 , µp 2 L τ (2π) 0 AE dA 2µ = dA/dt L Z AE dA = 0 (a1 )3/2 µa1 a2 a1 a2 = 2π = 2π √ = 2π √ L GMp GM 2µAE L Zum Lenz’schen Vektor Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele Die Zeitabhängigkeit: ϕ(t) und t(ϕ) Beziehungen T ↔ E (S) ↔ S Bereits bekannt für elliptische Bahnen: E (S) = 21 V (a1 ) = − GµM <0 2a1 Daher auch Umlaufzeit vollständig durch E (S) festgelegt! î ó−3/2 (a1 )3/2 T = 2π √ = 2πGM − µ2 E (S) GM Ebenfalls vollständig durch E (S) bestimmt: die Wirkung I S= î dx · p = 2T Ekin = −2TE (S) = µT − µ2 E (S) ó î = 2πGµM − µ2 E (S) ó−1/2 mit Epot = −2Ekin E (S) = Ekin + Epot = − Ekin , (Virialtheorem) Daher auch umgekehrt: 2 − E (S) = µ Å GµM S/2π ã2 [ E (S) durch S bestimmt ] Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele Interpretation des Lenz’schen Vektors Interpretation des Lenz-Vektors a = ẋ × L(S) + V (x)x Lenz’scher Vektor relevant ∀ε ≥ 0 ! ⇒ relevant für Ellipsen/Parabeln/Hyperbeln! Lenz’scher Vektor Erhaltungsgröße: ẋ x b da =0 dt ⇒ berechne o.B.d.A.: a(ϕ = 0) Im Perizentrum (ϕ = 0) gilt: ẋ = x ϕ̇(ê3 × x̂) Lenz’scher Vektor für ϕ = 0 : a = ẋ × L(S) + V (x)x Zur Interpretation des Lenz’schen Vektors = Lx ϕ̇(ê3 × x̂) × ê3 + xV (x)x̂ = [Lx ϕ̇ + xV (x)] x̂ Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele Interpretation des Lenz’schen Vektors Interpretation des Lenz’schen Vektors Verwende: ϕ̇ = ẋ a(ϕ = 0) = [Lx ϕ̇ + xV (x)] x̂ L µx 2 , x(ϕ = 0) = p 1+ε , p= L2 Gµ2 M → Amplitude des Lenz’schen Vektors: L2 = − GµM µx ï [Lx ϕ̇ + xV (x)]ϕ=0 x ò ϕ=0 2 b = L (1 + ε) − GµM µp = GµM(1 + ε) − GµM Zur Gleichförmigkeit = GµMε ≥ 0 Fazit: Zur Interpretation des Lenz’schen Vektors I a zeigt vom Brennpunkt b zum Perizentrum I Lenz’scher Vektor relevant sowohl für ellipsen- als auch für parabel- und hyperbelförmige Bahnen Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele Das Virialtheorem: Ekin = − 12 Epot ? Das Virialtheorem: Ekin = − 12 Epot ? Äquivalente Form des Virialtheorems: Energieerhaltung: Ekin + Epot = E (S) Für gebundene Zustände: 1 V (x) = − T T Z 0 Epot = V (x) = 2E (S) ⇒ Ä (0 ≤ ε < 1) GµM 1 dt =− x(ϕ(t)) T Z 0 ϕ̇ = 2π L µx 2 ä GµM Gµ2 M dϕ =− ϕ̇x(ϕ) TL Z 2π dϕ x(ϕ) 0 Mit Hilfe von 3/2 a1 p 3/2 T = 2π √ = 2π √ (1 − ε2 )−3/2 GM GM folgt: µ2 (GM)3/2 V (x) = − (1 − ε2 )3/2 √ 2πL p , Z x(ϕ) = 2π dϕ 0 p 1 + ε cos(ϕ) 1 1 + ε cos(ϕ) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele Das Virialtheorem: Ekin = − 12 Epot ? Das Virialtheorem: V (x) = 2E (S) ? Zu beweisen: V (x) = 2E (S) . Bisheriges Ergebnis: µ2 (GM)3/2 V (x) = − (1 − ε2 )3/2 √ 2πL p 0 2π dϕ 0 → Berechnung des Integrals? Z Z 1 1 + ε cos(ϕ) [z. B. Gradshteyn/Ryzhik] ï√ ò 2π 1 − ε2 tan( 12 ϕ) 1 2 dϕ = √ arctan 1 + ε cos(ϕ) 1+ε 1 − ε2 0 2 2π (π − 0) = √ = √ 1 − ε2 1 − ε2 2π Verwende Beziehung p = µ2 (GM)3/2 V (x) = − L … L2 Gµ2 M → Gµ2 M GµM (1 − ε2 ) = −µ 2 L L 2 (1 − ε2 ) = 2E (S) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.6 Geschlossene Bahnen und Gleichförmigkeit 3.4.6 Geschlossene Bahnen und Gleichförmigkeit Bisherige Ergebnisse für geschlossene Bahnen? I Harmonischer Oszillator, V (x) = 1 mω 2 x 2 : 2 alle Bahnen geschlossen I Kepler-Problem, V (x) = − GµM : x alle räumlich beschränkten Bahnen geschlossen I Allgemeine attraktive Zweiteilchenprobleme: Kreisbahnen möglich ⇒ einige Bahnen geschlossen Verallgemeinerung (s. Anhang A): Alle räumlich beschränkten Lösungen geschlossen nur für V (x) = V0 x 2 bzw. V (x) = −V0 x −1 (V0 > 0) Für alle anderen attraktiven Zentralpotentiale: Rosetten oder eventuell: Sturz ins Zentrum (s. Übung) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele Gleichförmigkeitslösungen: homogene Potentiale Gleichförmigkeitslösungen: homogene Potentiale Betrachte homogenes Zentralpotential! V (x) = V0 x α Eigenschaft: V (λx) = λα V (x) ⇒ ( ∀λ > 0 , β = 1 − ® ∃ Bahn x(t) ⇒ auch α 2 ) (λ > 0) [ Gleichförmigkeitslösungen ] x0 (t 0 ) ≡ λx(λ−β t 0 ) ´ t = λ−β t 0 mögliche Bahn Hilfsgleichungen? I Bewegungsgleichung µẍ = −V 0 (x)x̂ I Beziehung V 0 (λx) = 1 d V (λx) λ dx = 1 d α λ V (x) λ dx = λα−1 V 0 (x) Beweis der Eigenschaft“! ” 2 0 µ d 2 x(λ−β t 0 ) d x 0 0 0 0 (t ) + V (x )x̂ = µλ + V 0 (λx)x̂ (dt 0 )2 (dt 0 )2 ! = µλ1−2β ẍ(t) + λα−1 V 0 (x)x̂ = − λ1−2β − λα−1 V 0 (x)x̂ = 0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele Gleichförmigkeitslösungen: homogene Potentiale Gleichförmigkeitslösungen: homogene Potentiale Homogenes Zentralpotential: V (x) = V0 x α ⇒ V (λx) = λα V (x) (λ > 0) Stärkere Annahme: ∃ geschlossene (daher periodische) Bahn x(t) , Periode T Definition: maximale minimale ™ ß Amplitude ≡ x+ x− (Apozentrum) (Perizentrum) Für Gleichförmigkeitslösungen? x+0 = λx+ , 0 β T =λ T ⇒ T0 = T Å x+0 x+ ãβ Beispiele: I α=2: I α = −1 : 0 )0 T 0 ∝ (x+ 0 )3 (T 0 )2 ∝ (x+ (harmonischer Oszillator) (Kepler-Problem) Å = x+0 x+ ã1− α2 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.7 Die Bahn des Merkur 3.4.7 Die Bahn des Merkur Merkurbahn: Exzentrizität: ε ' 0, 2056 , große Halbachse: a1 ' 57, 91 × 106 km Merkur im Aphel Beobachtete Präzession des Perihels: ∆ϕexp = 5600, 73 ± 0, 4100 /Jahrhundert Erklärbar aufgrund der Newton’schen Mechanik: 502500 /Jahrhundert (Drehung der Erdbahn) Störungen durch andere Planeten: 53200 /Jahrhundert Präzession des Unerklärbar aufgrund der Newton’schen Mechanik: ∆ϕ ≡ ∆ϕexp − ∆ϕN = 43, 11 ± 0, 4500 /Jahrhundert Analog: ∆ϕ = 8, 4 ± 4, 800 /Jh. © Perihels Ap- [le Verrier, 1859] (Venus) 00 (Erde) 00 (Icarus) ∆ϕ = 5, 0 ± 1, 2 /Jh. ∆ϕ = 9, 8 ± 0, 8 /Jh. Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.7 Die Bahn des Merkur Korrekturen aufgrund der ART Newton’sche Mechanik → Kepler’sche Bewegungsgleichung: d 2 (x −1 ) Gµ2 M −1 + x = ≡ p −1 2 2 dϕ L , x −1 = p −1 + u Einschließlich der Störung aufgrund der ART (Einstein, 1915)? d 2 (x −1 ) 3GM −2 + x −1 = p −1 + x 2 dϕ c2 Definiere dimensionslose Größen: p −1 x 3GM 3GM Gµ2 M 3 GµM 2 α≡ 2 = = 2 c p c2 L2 c L v ≡ pu = p(x −1 − p −1 ) = Bewegungsgleichung für v (ϕ)? d 2v 3GM Ä p ä2 + v = = α(1 + v )2 2 2 dϕ c p x mit α ' 10−7 1 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.7 Die Bahn des Merkur Lösung der Bewegungsgleichung Lösung für α = 0? v (ϕ) = p − 1 = ε cos(ϕ + ϕ0 ) ≡ v0 (ϕ) x(ϕ) Ansatz für α 6= 0? v (ϕ) = ∞ X αn vn (ϕ) n=0 Bewegungsgleichung bis zur ersten Ordnung in α? d 2v + v = α(1 + v )2 = α[1 + v0 (ϕ)]2 + O(α2 ) 2 dϕ = α[1 + ε cos(ϕ + ϕ0 )]2 + O(α2 ) Lösung? p v (ϕ) = v0 (ϕ) + α v1 (ϕ) + O(α2 ) , x(ϕ) = 1 + v (ϕ) v1 (ϕ) partikuläre Lösung von d 2 v1 + v1 = 1 + 2ε cos(ϕ + ϕ0 ) + 12 ε2 {1 + cos[2(ϕ + ϕ0 )]} dϕ2 Mögliche Form der partikulären Lösung: v1 (ϕ) = (1 + 21 ε2 ) + εϕ sin(ϕ + ϕ0 ) − 16 ε2 cos[2(ϕ + ϕ0 )] Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 3.4 Das Zweiteilchenproblem - Beispiele 3.4.7 Die Bahn des Merkur Präzession des Perihels Mögliche Form der partikulären Lösung: v1 (ϕ) = (1 + 12 ε2 ) + εϕ sin(ϕ + ϕ0 ) − 16 ε2 cos[2(ϕ + ϕ0 )] Nur 2. Term in v1 (ϕ) wichtig! v (ϕ) ' v0 (ϕ) + αεϕ sin(ϕ + ϕ0 ) = ε[cos(ϕ + ϕ0 ) + αϕ sin(ϕ + ϕ0 )] = ε cos(ϕ + ϕ0 − αϕ) + O(α2 ) (α → 0) Fazit: Perihelwinkel ϕP bewegt sich nach vorne! ϕ0 ϕP,n = − 1−α + 2π n 1−α ⇒ Präzession! Präzessionsgeschwindigkeit? ∧ ∆ϕ = 2πα/Umlauf = 43, 0300 /Jahrhundert (Merkur) Andere Vorhersagen? Kapitel 4 ∆ϕ ' 8, 600 /Jh. ↔ Exp.: ∆ϕ = 8, 4 ± 4, 800 /Jh. (Venus) ∆ϕ ' 3, 800 /Jh. ↔ Exp.: ∆ϕ = 5, 0 ± 1, 200 /Jh. (Erde) ∆ϕ ' 10, 300 /Jh. ↔ Exp.: ∆ϕ = 9, 8 ± 0, 800 /Jh. (Icarus) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Kapitel 4: Teilsysteme Inhaltsverzeichnis I I I I 4.1 4.2 4.3 4.4 Allgemeine Eigenschaften von Teilsystemen Der allgemeine harmonische Oszillator Das Pendel Die Lorentz-Kraft 4.1 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.1 Allgemeine Eigenschaften von Teilsystemen Beispiele 4.1 Allgemeine Eigenschaften von Teilsystemen Beispiele? I harmonischer Oszillator I Pendel I geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld ) Unterscheide: Einteilchen- Mehrteilchen- Teilsysteme Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.1 Allgemeine Eigenschaften von Teilsystemen Einteilchen-Teilsysteme 4.1.1 Einteilchen-Teilsysteme [ F(ex) äußere Kraft , Impuls p i.A. nicht erhalten ] Bewegungsgleichung? ṗ = F(ex) (x, ẋ, t) , p = mẋ ï . . . für Drehimpuls L = x × p? (ex) Vektoridentität: Ni =0 ⇒ Li erhalten ò dL = x × ṗ = x × F(ex) (x, ẋ, t) ≡ N(ex) (x, ẋ, t) dt Durch F(ex) verrichtete Arbeit? Z W1→2 ≡ 2 (ex) dx · F t1 t2 Z (ex) dt ẋ · F W1→2 = (ex) dt ẋ · F(ex) (x, ẋ, t) ≡ W1→2 = 1 Allgemein gilt: Z t2 Z t2 Z t2 dt ẋ · ẍ = =m t1 t1 dt t1 d dt 1 mẋ2 2 t2 (2) (1) = 12 mẋ2 t = Ekin − Ekin 1 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.1 Allgemeine Eigenschaften von Teilsystemen Einteilchen-Teilsysteme Konservative Kräfte Spezialfall: F(ex) = F(ex) (x) konservativ I ⇒ dx · F(ex) (x) = 0 Konsequenz: ∃ Potential Vex (x) ! Z ® x Vex (x) = Vex (x0 ) − 0 (ex) dx · F 0 ⇒ (x ) x0 dVex = −F(ex) · dx F(ex) = −∇Vex Konsequenz: ∇ × F(ex) = 0 (1) (2) Ekin − (1) Ekin (2) [ mit Vex ≡ Vex (x(1) ) , Vex ≡ Vex (x(2) ) ] Energieerhaltung: Z 2 (ex) dx · F = 1 Z =− 2 (1) (2) dx · ∇Vex = Vex − Vex 1 Gesamtenergie: E ≡ Ekin + Vex ⇒ E (1) = E (2) ⇒ dE =0 dt Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.1 Allgemeine Eigenschaften von Teilsystemen Einteilchen-Teilsysteme Das Virialtheorem für Einteilchen-Teilsysteme Virialtheorem: Ekin = − 12 x · F(ex) = 12 x · ∇Vex Für homogenes Potential mit Vex (λx) = λβ Vex (x) ? Ekin = 12 βVex = 12 βEpot Beispiel? harmonische Falle (β = 2) ⇒ Ekin = Epot Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.1 Allgemeine Eigenschaften von Teilsystemen Mehrteilchen-Teilsysteme 4.1.2 Mehrteilchen-Teilsysteme Bewegungsgleichungen: ṗi = Fi , pi = mi ẋi (i = 1, 2, . . . , N) mit (in) Fi ≡ Fi (in) Fi = X (ex) ({xji }, {ẋji }) + Fi fji ({xj }, {ẋj }, t) fji = fji (|xji |)x̂ji , (3. Newton’sches Gesetz) j6=i Gesamtimpuls? N X (ex) dP = Fi ({xj }, {ẋj }, t) ≡ F(ex) ({xj }, {ẋj }, t) dt i=1 Gesamtdrehimpuls? N X dL (ex) = xi × Fi ≡ N(ex) ({xj }, {ẋj }, t) dt i=1 [ N(ex) = Gesamtdrehmoment ] Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.1 Allgemeine Eigenschaften von Teilsystemen Mehrteilchen-Teilsysteme Arbeit und Potentiale Arbeit: XZ W1→2 = (in) W1→2 = (1) Vin − (in) (ex) dxi · Fi = W1→2 + W1→2 1 i mit: 2 (2) Vin (ex) W1→2 , ≡ (ex) dxi · Fi = (ex) Fi X 1 i Spezialfall: 2 XZ W1→2 = = Fi (ex) W1→2→10 = 0 (ex) dxi · Fi 1 i Allgemein: 2 XZ t 1 m ẋ2 2 2 i i t1 (2) (1) = Ekin − Ekin i ({xj }) konservativ ⇒ für jeden geschlossenen Integrationsweg Fazit: F(ex) konservativ i ⇒ ∃ Potential Vex ({xj }) mit (ex) Fi = −∇i Vex Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.1 Allgemeine Eigenschaften von Teilsystemen Mehrteilchen-Teilsysteme Energieerhaltung und Virialtheorem Form der Gesamtenergie? (2) Ekin + =− (2) Vin − XZ i (1) Ekin − (1) Vin = (ex) W1→2 2 2 (ex) dxi · Fi 1 i 2 Z (1) (2) dx3N · ∇3N Vex = Vex − Vex dxi · ∇i Vex = − 1 = XZ 1 Daher Energieerhaltung! E (1) = E (2) E ≡ Ekin + Vin + Vex , dE =0 dt ⇒ Virialtheorem? Ekin = − 21 X xi · Fi = − 12 i X (in) xi · Fi − i 1 2 X (ex) xi · Fi i Für homogene Zweiteilchenpotentiale & homogene externe Potentiale: Vex (λx1 , λx2 , . . . , λxN ) = λβ V (x1 , x2 , . . . , xN ) folgt: Ekin = 1 αVin 2 + 1 βVex 2 , X xi · ∇i Vex = βVex i Beispiel: Lorentz-Kraft Anwendung: Coulomb-Kräfte (α = −1) zwischen geladenen Teilchen in harmonischer Falle (β = 2) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.2 Die Lorentz-Kraft Motivation 4.2 Die Lorentz-Kraft Form der Lorentz-Kraft: mẍ = FLor FLor = q(E + ẋ × B) , Motivation? I Transformationsverhalten der E- und B-Felder (H.A. Lorentz, 1895) I Fordere Forminvarianz der Maxwell-Gleichungen! E0 = E + v × B + . . . = E + β × (cB) + O(β 2 ) cB0 = cB − c1 v × E + . . . = cB − β × E + O(β 2 ) mit v = vrel (K 0 , K ), β ≡ v/c, β ≡ |β| I Betrachte nicht-relativistisches geladenes Teilchen: Masse m, Ladung q, Bahn x(t), Geschwindigkeit ẋ(t) zur Zeit t in K I Definiere K 0 durch vrel (K 0 , K ) = ẋ(t) ⇒ 0 ⇒ ẋ (t) = 0 (und α = 0, ξ = 0, σ = +1, τ = 0) 0 mẍ = mẍ = qE0 = q(E + ẋ × B) = FLor E und cB in SI-Einheiten? I E und cB haben dieselbe physikalische Dimension I Größenordnungen im Labor: |E| ≤ 107 − 108 V/m, |B| ≤ 3 − 30 T |cB| ≤ 109 − 1010 Tm/s ⇒ (1 Tm/s = 1 V/m) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.2 Die Lorentz-Kraft Galilei-Kovarianz der Lorentz’schen Bewegungsgleichung Galilei-Kovarianz der Lorentz’schen Bewegungsgleichung? Allgemeine Galilei-Transformation: x0 = σR(α)−1 x − vt − ξ = σR(α)−1 (x − vα t − ξα ) t0 = t − τ Fordere Forminvarianz! mẍ = q [E(x, t) + ẋ × B(x, t)] (im Inertialsystem K ) mẍ0 = q E0 (x0 , t 0 ) + ẋ0 × B0 (x0 , t 0 ) (im Inertialsystem K 0 mit vrel (K 0 , K ) = v) Kombination → d2 q(E + ẋ × B ) = mẍ = m 2 σR(α)−1 (x − vα t − ξα ) dt −1 = σR(α) mẍ = σR(α)−1 q E + ẋ × B 0 0 0 0 = qσR(α)−1 E + [σR(α)ẋ0 + vα ] × B = q σR(α)−1 E + vα × B + R(α)−1 R(α)ẋ0 × B = q σR(α)−1 E + vα × B + ẋ0 × R(α)−1 B Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.2 Die Lorentz-Kraft Galilei-Kovarianz der Lorentz’schen Bewegungsgleichung Invarianten des elektromagnetischen Feldes Fazit: E0 (x0 , t 0 ) = σR(α)−1 [E(x, t) + vα × B(x, t)] B0 (x0 , t 0 ) = R(α)−1 B(x, t) mit: x = σR(α)x0 + vα (t 0 + τ ) + ξα Für orthogonale Transformationen? 0 −1 E = σR(α) E 0 , B = R(α) −1 , t = t0 + τ (vα = 0, ξα = 0, und τ = 0) Å B ⇒ E echter Vektor B Pseudovektor ã Invariante: E0 · B0 = σR(α)−1 E + vα × B · R(α)−1 B = σ E + vα × B · B = σE · B (Pseudoskalar) Jedoch . . . E0 2 2 − c 2 (B0 )2 = E2 − c 2 B2 + 2vα · B × E + vα × B nicht wohl ⇒ ™ ß invariant unter 6= E2 − c 2 B2 ™ GalileiTransformationen ! Lorentz- Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.2 Die Lorentz-Kraft Beispiel: konstante Felder Beispiel: konstantes E- oder B-Feld Spezialfälle? (1) E konstant, B = 0 : mẍ = qE , x(t) = x(0) + ẋ(0)t + (2) B konstant, E = 0 : mẍ = q ẋ × B , ẍ = qt 2 E 2m qB ẋ × B̂ m Wähle Koordinatensystem! B̂ ≡ ê3 Definiere: d dt ẋ1 ẋ2 ẋ3 ω≡ ! =ω qB m , ⇒ ẋ2 −ẋ1 0 B × ẋ(0) ≡ ê2 |B × ẋ(0)| , ê2 × ê3 ≡ ê1 Bewegungsgleichung: ! ⇒ d2 ẋ1 = −ω 2 ẋ1 2 dt , d2 ẋ2 = −ω 2 ẋ2 2 dt Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.2 Die Lorentz-Kraft Beispiel: konstante Felder Beispiel: konstantes B-Feld (2) (Fortsetzung) ẋ1 ẋ2 ẋ3 d dt Bewegungsgleichung: ẋ2 −ẋ1 0 ! =ω ! d2 ẋ1 = −ω 2 ẋ1 2 dt ⇒ d2 ẋ2 = −ω 2 ẋ2 2 dt , mit ẋ2 (0) = 0 Lösung? ẍ2 (0) = −ω ẋ1 (0) , x3 (t) = x3 (0) + ẋ3 (0)t ẋ1 (t) = ẋ1 (0) cos(ωt) Zeitmittelung? , ẍ1 (0) = 0 , ẋ1 (0) beliebig mit: ẋ2 (t) = −ẋ1 (0) sin(ωt) , ẋ(t) = ẋ3 (0)ê3 Integration → x1 (t) = x1 (0) + ẋ1 (0) sin(ωt) ω , x2 (t) = x2 (0) + x˙1 (0) [cos(ωt) − 1] ω Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.2 Die Lorentz-Kraft Beispiel: konstante Felder Beispiel: konstante E- und B-Felder (3) E und B konstant: mẍ = q E + ẋ × B Wähle Koordinatensystem! B̂ = ê3 , B×E ≡ ê2 |B × E| , ê2 × ê3 ≡ ê1 ⇒ Bewegungsgleichung? d dt ẋ1 ẋ2 ẋ3 ! = ε1 + ω ẋ2 − ω ẋ1 ε3 ! Bewegung in ê3 -Richtung? , ε1 0 ε3 ! =ε≡ q E m , ω= (gleichmäßig beschleunigt) x3 (t) = x3 (0) + ẋ3 (0)t + 21 ε3 t 2 qB m Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.2 Die Lorentz-Kraft Beispiel: konstante Felder Beispiel: konstante E- und B-Felder (3) (Fortsetzung) d dt ẋ1 ẋ2 ẋ3 ! = Bewegungsgleichung: ε1 + ω ẋ2 −ω ẋ1 ε3 ! , Bewegung in ê3 -Richtung: ε≡ ε1 0 ε3 ! q E m ≡ , ω= qB m (gleichmäßig beschleunigt) x3 (t) = x3 (0) + ẋ3 (0)t + 21 ε3 t 2 ... x 1 = ωẍ2 = −ω 2 ẋ1 Bewegung in ê1 -Richtung? ⇒ ẍ1 (0) sin(ωt) ω î ε1 ó = ẋ1 (0) cos(ωt) + + ẋ2 (0) sin(ωt) ⇒ ω ó ẋ1 (0) 1 î ε1 x1 (t) = x1 (0) + sin(ωt) + + ẋ2 (0) [1 − cos(ωt)] ω ω ω ẋ1 (t) = ẋ1 (0) cos(ωt) + Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.2 Die Lorentz-Kraft Beispiel: konstante Felder Beispiel: konstante E- und B-Felder (3) (Fortsetzung) d dt ẋ1 ẋ2 ẋ3 ! = Bewegungsgleichung: ε1 + ω ẋ2 −ω ẋ1 ε3 ! , ε≡ ε1 0 ε3 ! q E m ≡ , ω= qB m Bewegung in ê2 -Richtung? ẋ1 (t) = ẋ1 (0) cos(ωt) + î ε1 ω ó + ẋ2 (0) sin(ωt) ẍ2 (t) = −ω ẋ1 = −ω ẋ1 (0) cos(ωt) − ω î ε1 ⇒ ó ⇒ ω î ε1 ó ẋ2 = ẋ2 (0) − ẋ1 (0) sin(ωt) − + ẋ2 (0) [1 − cos(ωt)] ⇒ ω ò î ε1 óï ẋ1 (0) sin(ωt) x2 (t) = x2 (0) + ẋ2 (0)t − [1 − cos(ωt)] − + ẋ2 (0) t − ω ω ω + ẋ2 (0) sin(ωt) Zeitmittelung der Geschwindigkeit? ẋ1 = 0 , ẋ2 = − ε1 E1 ! =− 6= 0 ω B Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 4.2 Die Lorentz-Kraft Beispiel: konstante Felder Bewegung in gekreuzten E- und B-Felder Lösung für E = E ê1 , B = Bê3 ? ω2 x (t) ε1 1 = 1 − cos(τ ) ω2 x (t) ε1 1 ê1 = τ =π ω ε1 ω2 x (t) ε1 2 = − [τ − sin(τ )] τ = 3π , ωt ≡ τ τ = 5π 1 ẍ(0) ε1 τ =0 2 , [ x(0) = 0 , ẋ(0) = 0 ] τ = 2π τ = 4π τ = 6π x2 (t) Nomenklatur? Kurve ω 2 x1 /ε1 ω 2 x2 /ε1 = 1 − cos(τ ) −[τ − sin(τ )] heißt eine Zykloide“ ” Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Kapitel 5: Lagrange-Formalismus Inhaltsverzeichnis I 5.1 Einführende Bemerkungen I 5.2 Die Lagrange-Funktion I 5.3 Das Hamilton’sche Extremalprinzip I 5.4 Invarianzen der Lagrange-Gleichung I 5.5 Zwangsbedingungen I 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten I 5.7 Beispiel einer rheonomen Zwangsbedingung I 5.8 Das Hamilton’sche Prinzip in verallgemeinerten Koordinaten I 5.9 Die Lagrange-Gleichungen der ersten Art I 5.10 Erhaltungsgrößen I 5.11 Das Noether-Theorem I 5.12 Nicht-holonome Zwangsbedingungen 5.1 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.1 Einführende Bemerkungen 5.1 Einführende Bemerkungen Theorie-1-Vorlesung: Newton’sche Bewegungsgleichung ṗi = Fi (X, Ẋ, t) pi ≡ mi ẋi , mit X ≡ (x1 , x2 , . . . , xN ) Lagrange-Mechanik: , [ Lagrange-Funktion L(x, ẋ, t) ] d ∂L ∂L − =0 dt ∂ ẋ ∂x Hamilton-Mechanik: dp ∂H =− dt ∂x Ẋ ≡ (ẋ1 , ẋ2 , . . . , ẋN ) , δS = 0 [ Hamilton-Funktion H(x, p, t) ] , dx ∂H = dt ∂p , δS = 0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.2 Die Lagrange-Funktion Vorteile einer Lagrange-Funktion 5.2 Die Lagrange-Funktion Newton’sche Mechanik: I Bewegungsgleichung mi ẍi = Fi hat Vektorcharakter I Gesamtenergie durch zwei skalare Größen bestimmt: I I P kinetische Energie Ekin = i 12 mi ẋ2i potentielle Energie V ({xj }) Ziel: Formulierung der Bewegungsgleichung und der Gesamtenergie durch eine einzelne skalare Funktion, die Lagrange-Funktion L Unterscheide: I 6N + 1 unabhängige Variablen (X, Ẋ, t), also z.B. Fi = Fi (X, Ẋ, t) I Beschreibung der speziellen physikalischen Bahn {xφj (t)} bzw. Xφ (t) Xφ (t) = Lösung der Newton’schen Bewegungsgleichung zu vorgegebenen Anfangsbedingungen {xj (0)} und {ẋj (0)} Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.2 Die Lagrange-Funktion 1 Teilchen mit konservativer äußerer Kraft Einfacher Fall: 1 Teilchen mit konservativer äußerer Kraft Kinetische Energie des einzelnen Teilchens: T (ẋ) = 12 mẋ2 , Ekin ≡ 12 mẋ2φ = T (ẋφ ) Äußere Kraft: Definition: V (x) ẋ F(x) = F(ex) (x) = −(∇V )(x) [ Nomenklatur: x L = Lagrange-Funktion ] L(x, ẋ) ≡ T (ẋ) − V (x) Bewegungsgleichung in Form einer Lagrange-Gleichung: h i ∂V ∂V d d ∂T ∂V (xφ ) = (mẋφ ) + (xφ ) = (ẋφ ) + (xφ ) 0 = mẍφ + ∂x dt ∂x dt ∂ ẋ ∂x ï ò ∂(T − V ) d ∂(T − V ) = (xφ , ẋφ ) − (xφ , ẋφ ) dt ∂ ẋ ∂x h i Fazit: d ∂L ∂L (xφ , ẋφ ) − (xφ , ẋφ ) = 0 dt ∂ ẋ ∂x Gesamtenergie aus Funktion L bestimmbar: E = T (ẋφ ) + V (xφ ) = mẋ2φ − [T (ẋφ ) − V (xφ )] = ẋφ · ∂T ∂L (ẋφ ) − L(xφ , ẋφ ) = ẋφ · (xφ , ẋφ ) − L(xφ , ẋφ ) ∂ ẋ ∂ ẋ Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.2 Die Lagrange-Funktion N-Teilchen-System mit konservativen inneren/äußeren Kräften N-Teilchen-System, konservative innere/äußere Kräfte Kinetische Energie: T (Ẋ) = N X 1 m ẋ2 2 i i , Ẋ Ekin ≡ T (Ẋφ ) X i=1 Potential: V (X) = Vin (X) + Vex (X) Bewegungsgleichung: h i ∂V d ∂T ∂V 0 = mi ẍφi − Fφi = mi ẍφi + (Xφ ) = (Ẋφ ) + (Xφ ) ∂xi dt ∂ ẋi ∂xi Definition der Lagrange-Funktion: L(X, Ẋ) ≡ T (Ẋ) − V (X) (i = 1, 2, . . . , N) Lagrange-Gleichung: h i h i d ∂L ∂L d ∂L ∂L (Xφ , Ẋφ ) − (Xφ , Ẋφ ) = 0 , kurz: − =0 dt ∂ ẋi ∂xi dt ∂ Ẋ ∂X φ Gesamtenergie: (erhalten!) E = T (Ẋφ ) + V (Xφ ) = X i = X i ẋφi mi ẋ2φi − T (Ẋφ ) − V (Xφ ) ∂L ∂L · (Xφ , Ẋφ ) − L(Xφ , Ẋφ ) = Ẋφ · (Xφ , Ẋφ ) − L(Xφ , Ẋφ ) ∂ ẋi ∂ Ẋ V (X) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.2 Die Lagrange-Funktion N-Teilchen-Systeme mit wirbelfreien äußeren Kräften N-Teilchen-System, wirbelfreie äußere Kräfte Verallgemeinerung: N-Teilchen-System mit wf Vex (X, t) I inneren Kräften, Ẋ die das dritte Newton’sche Gesetz erfüllen I äußeren Kräften, die nun explizit zeitabhängig sind: (ex) Fi wf = −(∇i Vex )(X, t) X (wirbelfreie Kräfte) [Gesamtenergie im Allgemeinen nicht erhalten] Definition: L(X, Ẋ, t) ≡ T (Ẋ) − V (X, t) , wf V (X, t) ≡ Vin (X) + Vex (X, t) Konsequenz: 0 = mi ẍφi − Fφi d = dt h ∂T ∂ ẋi ∂V + ∂xi Bewegungsgleichung: h d ∂L dt ∂ ẋi ∂L − ∂xi i d = dt h φ i ∂L ∂ ẋi ∂L − ∂xi i φ =0 φ Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.2 Die Lagrange-Funktion Lorentz-Potential eines einzelnen Teilchens 1 Teilchen, geschwindigkeitsabhängige Kräfte Spezialfall: elektromagnetische Kräfte, Bewegungsgleichung: mẍφ = FLor (xφ , ẋφ , t) = q [E(xφ , t) + ẋφ × B(xφ , t)] (E, B)-Felder aus Potentialen (Φ, A) ableitbar: ∂A E = −∇Φ − , B=∇×A ∂t Lorentz-Kraft FLor aus Potential ableitbar: E(x, t) B(x, t) m, q x VLor (x, ẋ, t) ≡ q [Φ(x, t) − ẋ · A(x, t)] Vektoridentität: ẋ × (∇ × A) = ∇(ẋ · A) − (ẋ · ∇)A Konsequenz: ∂A FLor (x, ẋ, t) = q(E + ẋ × B) = q −∇Φ − + ẋ × (∇ × A) ∂t n h io ∂ ∂A = q − (Φ − ẋ · A) − + (ẋ · ∇)A ∂x ∂t ∂ d ∂VLor d ∂VLor = − VLor − q A = − + ∂x dt ∂x dt ∂ ẋ h i ẋ Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.2 Die Lagrange-Funktion Lorentz-Potential eines einzelnen Teilchens 1 Teilchen, geschwindigkeitsabhängige Kräfte Lorentz-Kraft FLor aus Potential ableitbar: E(x, t) ∂VLor d ∂VLor FLor (x, ẋ, t) = − + ∂x dt ∂ ẋ VLor (x, ẋ, t) ≡ q [Φ(x, t) − ẋ · A(x, t)] m, q B(x, t) x ẋ Definition: L(x, ẋ, t) ≡ T (ẋ) − VLor (x, ẋ, t) T (ẋ) = 12 mẋ2 , Bewegungsgleichung: d ∂T d ∂VLor 0 = mẍφ − FLor (xφ , ẋφ , t) = − dt ∂ ẋ dt ∂ ẋ h i d ∂L ∂L = − dt ∂ ẋ ∂x φ h ∂VLor + ∂x i φ Fazit wiederum: Dynamik durch eine einzelne skalare Lagrange-Funktion bestimmt Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.2 Die Lagrange-Funktion Lorentz-Potential für N geladene Teilchen N Teilchen, geschwindigkeitsabhängige Kräfte Verallgemeinerung für N geladene Teilchen: FLor i d = qi [E(xi , t) + ẋi × B(xi , t)] = dt mit Lor Vex (X, Ẋ, t) = N X Å E(xi , t) Lor ∂Vex ∂V Lor − ex ∂ ẋi ∂xi ã mi , qi qi [Φ(xi , t) − ẋi · A(xi , t)] i=1 Weitere Annahmen: I innere Kräfte erfüllen das dritte Newton’sche Gesetz I nicht-elektromagnetische Kräfte wirbelfrei ⇒ Gesamtkraft (in) Fi = Fi (wf) + Fi + FLor = i d dt ∂V ∂ ẋi − ∂V ∂xi Gesamtkraft aus Potential ableitbar: wf Lor V (X, Ẋ, t) ≡ Vin + Vex + Vex Konsequenz: h d dt ∂L ∂ ẋi ∂L − ∂xi i φ =0 , L(X, Ẋ, t) ≡ T − V xi B(xi , t) ẋi Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.2 Die Lagrange-Funktion Reibung: die Dissipationsfunktion Reibung: die Dissipationsfunktion Nicht alle Kraftgesetze mit Hilfe einer Lagrange-Funktion formulierbar! Wichtige Ausnahme: Reibungskräfte! Beispiel: Bewegungsgleichung für ein einzelnes Teilchen mit Reibung wf mẍφ = −(∇Vex )(xφ , t) + FR (ẋφ ) FR (ẋ) = −k ẋ mit . . . erfordert zwei skalare Funktionen: I Lagrange-Funktion: wf L(x, ẋ, t) = T (ẋ) − Vex (x, t) I Dissipationsfunktion F: FR = − ∂F ∂ ẋ , F(ẋ) ≡ 21 k ẋ2 Bewegungsgleichung: h d dt ∂L ∂ ẋ ∂L ∂F − + ∂x ∂ ẋ i =0 φ Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.3 Das Hamilton’sche Extremalprinzip Das Wirkungsfunktional 5.3 Das Hamilton’sche Extremalprinzip Betrachte: x0 (t) xφ (t) (x2 , t2 ) I einzelnes Teilchen (x1 , t1 ) I Lagrange-Funktion L(x, ẋ, t) I Anfangsbedingungen: x00 (t) (x1 , t1 ) → (x2 , t2 ) Zentrale Frage: Inwiefern ist die physikalische Bahn xφ : d dt ∂L ∂ ẋ − ∂L ∂x =0 , xφ (t1 ) = x1 , xφ (t2 ) = x2 unter allen denkbaren Bahnen x(t) mit x(t1 ) = x1 und x(t2 ) = x2 ausgezeichnet? Antwort: δS = 0 (Hamilton’sches Extremalprinzip) Definition Wirkungsfunktional“ S : ” Z t2 (x ,t ) S(x12,t12) [x] = dt L(x(t), ẋ(t), t) t1 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.3 Das Hamilton’sche Extremalprinzip Das Wirkungsfunktional Das Wirkungsfunktional Definition Wirkungsfunktional: (x ,t ) Z t2 S(x12,t12) [x] = εξ0 (t̄) dt L(x(t), ẋ(t), t) (x1 , t1 ) t̄ t1 x00 (t) Das Wirkungsfunktional S[x] : x0 (t) (x2 , t2 ) xφ (t) εξ00 (t̄) I ist eine Funktion von Anfangs- und Endkoordinaten (x1 , t1 ) bzw. (x2 , t2 ) I ist ein Funktional von x(t) mit x(t1 ) = x1 und x(t2 ) = x2 I hat physikalische Dimension [Energie] × [Zeit] = [Wirkung] Betrachte nun das Wirkungsfunktional S[x] für I die physikalische Bahn xφ (t) I benachbarte Bahnen x(t): x(t) = xφ (t) + εξ(t) [ ξ(t) ∈ R3 fest, ε 1 ] Bedingungen x(t1 ) = x1 und x(t2 ) = x2 → ξ(t1 ) = ξ(t2 ) = 0 (ansonsten ξ(t) beliebig) Besonders interessant: Verhalten der Wirkung im Limes ε → 0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.3 Das Hamilton’sche Extremalprinzip Variationen der Bahn Variationen der Bahn [ ξ(t) ∈ R3 fest, ε 1 ] Benachbarte Bahnen x(t): x(t) = xφ (t) + εξ(t) εξ0 (t̄) ξ(t1 ) = ξ(t2 ) = 0 (x1 , t1 ) t̄ x00 (t) Variation der Bahn nahe xφ : (δx)(t) ≡ x(t) − xφ (t) = εξ(t) x0 (t) (x2 , t2 ) xφ (t) εξ00 (t̄) (Operator δ = b Variation) Weitere Beispiele: I Variation δ ẋ der Geschwindigkeit: (δ ẋ)(t) ≡ ẋ(t) − ẋφ (t) = εξ̇(t) I Variation einer allgemeinen Größe G (x, ẋ, t): (δG )(x, ẋ, t) ≡ G (x(t), ẋ(t), t) − G (xφ (t), ẋφ (t), t) I Variation δS des Wirkungsfunktionals: (x ,t ) (x ,t ) (x ,t ) (δS)(x21 ,t21 ) [x] ≡ S(x12,t12) [x] − S(x12,t12) [xφ ] (x ,t ) (x ,t ) = S(x12,t12) [xφ + εξ] − S(x12,t12) [xφ ] Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.3 Das Hamilton’sche Extremalprinzip Variationen der Bahn Eigenschaften der Variation δ und Hamilton-Prinzip Vertauschbarkeit des Operators δ mit Ableitungen: d(x − xφ ) dxφ dx d δ x (t) = (t) − (t) = (t) = dt dt dt dt kurz: δ d δx (t) dt d d = δ dt dt Vertauschbarkeit des Operators δ mit Integrationen: Z t2 δ Z t2 t2 dt L(x(t), ẋ(t), t) − dt L(x(t), ẋ(t), t) = t1 Z t1 dt L(xφ (t), ẋφ (t), t) t1 t2 Z Z t2 dt L(x(t), ẋ(t), t) − L(xφ (t), ẋφ (t), t) = = t1 dt (δL)(x(t), ẋ(t), t) t1 kurz: Z t2 Z dt = δ dt δ t1 t1 Hamilton’sches Prinzip: (x ,t ) (δS)(x21 ,t21 ) [xφ + εξ] = O(ε2 ) t2 Wirkungsfunktional für x = xφ extremal! 1 (x ,t ) (ε → 0) ⇒ lim (δS)(x21 ,t12 ) [xφ + εξ] = 0 ε→0 ε Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.3 Das Hamilton’sche Extremalprinzip Hamilton’sches Extremalprinzip Hamilton’sches Extremalprinzip Hamilton’sches Prinzip: (x ,t ) (δS)(x21 ,t12 ) [xφ + εξ] = O(ε2 ) Wirkungsfunktional für x = xφ extremal! 1 (x ,t ) (ε → 0) ⇒ lim (δS)(x21 ,t12 ) [xφ + εξ] = 0 ε→0 ε Hamilton’sches Extremalprinzip äquivalent zur Lagrange-Gleichung: 1 1 δS = δ ε ε 1 = ε Z Z Z t2 t1 t2 1 dt L(x(t), ẋ(t), t) = ε Z t2 dt (δL)(x(t), ẋ(t), t) t1 dt L(xφ (t) + εξ(t), ẋφ (t) + εξ̇(t), t) − L(xφ (t), ẋφ (t), t) t1 t2 = h dt t1 ∂L ∂L (xφ (t), ẋφ (t), t) · ξ(t) + (xφ (t), ẋφ (t), t) · ξ̇(t) + O(ε) ∂x ∂ ẋ i t 2 ∂L = (xφ (t), ẋφ (t), t) · ξ(t) [ mit ξ(t1 ) = ξ(t2 ) = 0 ] ∂ ẋ Z t1 t2 n h io ∂L d ∂L + dt (xφ (t), ẋφ (t), t) − (xφ (t), ẋφ (t), t) · ξ(t) + O(ε) ∂x dt ∂ ẋ t 1 Z t2 dt = t1 n ∂L d (xφ (t), ẋφ (t), t) − ∂x dt h ∂L (xφ (t), ẋφ (t), t) ∂ ẋ io · ξ(t) + O(ε) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.3 Das Hamilton’sche Extremalprinzip Hamilton’sches Extremalprinzip Hamilton’sches Extremalprinzip Hamilton’sches Prinzip: (x ,t ) Wirkungsfunktional für x = xφ extremal! (δS)(x21 ,t12 ) [xφ + εξ] = O(ε2 ) (ε → 0) ⇒ lim ε→0 1 (x ,t ) (δS)(x21 ,t12 ) [xφ + εξ] = 0 ε Hamilton’sches Extremalprinzip äquivalent zur Lagrange-Gleichung: 1 δS = ε Z t2 n dt t1 ∂L d (xφ (t), ẋφ (t), t) − ∂x dt Konsequenz: Z t2 dt t1 n h ∂L (xφ (t), ẋφ (t), t) ∂ ẋ io · ξ(t) + O(ε) ∀ξ(t) mit ξ(t1 ) = ξ(t2 ) = 0 gilt: d ∂L (xφ (t), ẋφ (t), t) − ∂x dt h ∂L (xφ (t), ẋφ (t), t) ∂ ẋ io · ξ(t) = 0 Fazit: physikalische Bahn xφ erfüllt Lagrange-Gleichung: d ∂L (xφ (t), ẋφ (t), t) − ∂x dt h ∂L (xφ (t), ẋφ (t), t) = 0 ∂ ẋ i Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.3 Das Hamilton’sche Extremalprinzip Hamilton’sches Extremalprinzip Hamilton’sches Extremalprinzip Vergleiche Variation δS des Wirkungsfunktionals S[x] nahe xφ : Z t2 δS = h dt t1 ∂L d − ∂x dt ∂L ∂ ẋ i · (δx)(t) + O(ε2 ) φ mit Variation einer Funktion S({xi }) nahe einem Punkt {xφi }: δS ≡ S({xφi + dxi }) − S({xφi }) = X ∂S i ∂xi ({xφi }) · dxi + . . . Interpretation von [ . . . ]φ als Funktionalableitung : h ∂L d − ∂x dt ∂L ∂ ẋ i = φ δS [xφ ] δx(t) Lagrange-Gleichung impliziert daher: δS [xφ ] = 0 δx(t) x0 (t) xφ (t) (x2 , t2 ) (x1 , t1 ) x00 (t) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.3 Das Hamilton’sche Extremalprinzip Hamilton’sches Extremalprinzip Hamilton-Prinzip für N-Teilchen-Systeme Verallgemeinerung: X0 (t) Xφ (t) (X2 , t2 ) I N-Teilchen-System mit Lagrange-Funktion I innere/äußere Kräfte, jedoch z.B. keine Reibung (X1 , t1 ) X00 (t) I physikalische Bahn Xφ (t) ≡ (xφ1 (t), . . . , xφN (t)) I Wirkungsfunktional: (X ,t ) S(X12,t12) [X] Z t2 dt L(X(t), Ẋ(t), t) = , X(t) = (x1 (t), . . . , xN (t)) t1 I Hamilton’sches Prinzip: [ mit ξi (t1 ) = ξi (t2 ) = 0 (∀i = 1, 2, . . . , N) ] 1 (X ,t ) (δS)(X21 ,t21 ) [Xφ + εΞ] = 0 , Ξ(t) ≡ {ξi (t)} ε→0 ε I Lagrange-Gleichung: (i = 1, 2, . . . , N) h i h i d ∂L ∂L d ∂L ∂L =0 (Xφ , Ẋφ , t)− (Xφ , Ẋφ , t) = 0 bzw. − ∂xi dt ∂ ẋi ∂X dt ∂ Ẋ φ I Alternativform des Hamilton’schen Prinzips: δS [Xφ ] = 0 δX(t) lim Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.3 Das Hamilton’sche Extremalprinzip Kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten Einfache Beispiele aus der Variationsrechnung Nachfolgende Beispiele alle statischer Natur Rolle der Zeitvariablen = b relevante Länge ⇒ (Symbol t) Beispiele: 1. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten: Betrachte zwei Punkte a1 ≡ (x1 , y1 , z1 ) und a2 ≡ (x2 , y2 , z2 ) Kurve K , die a1 und a2 miteinander verbindet: ï ò y (xi ) = yi K = x, y (x), z(x) | x1 ≤ x ≤ x2 z(xi ) = zi I Gesucht: die kürzeste Verbindung Kφ Å ã p infinitesimale Definition: ds = (dx)2 + (dy )2 + (dz)2 Bogenlänge I I Gesamtlänge der Kurve: Z x2 S= Z x2 ds = x1 dx x1 p 1+ K0 [y 0 (x)]2 + [z 0 (x)]2 Kφ a1 K 00 a2 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.3 Das Hamilton’sche Extremalprinzip Kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten Kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten 1. Zu minimieren: x2 Z S= Gesamtlänge der Kurve Z x2 ds = dx x1 p K0 1 + [y 0 (x)]2 + [z 0 (x)]2 Kφ a1 x1 K 00 Notationswechsel: (x, y , z) → (t, x1 , x2 ) ≡ (t, x) ; (xi , yi , zi ) → (ti , xi ) Länge der Z Kurve: t2 S= L(ẋ) ≡ , dt L(ẋ(t)) a2 p 1+ ẋ12 + ẋ22 = (i = 1, 2) p 1 + ẋ2 t1 Lagrange-Gleichung für Extremum dieser Wirkung: Å ã d ∂L ∂L d ẋ √ 0= − = dt ∂ ẋ ∂x dt 1 + ẋ2 √ Fazit: ẋ/ 1 + ẋ2 und Geschwindigkeit“ ẋ erhalten! ” Lösung Kφ des Minimierungsproblems: x2 − x1 (t, xφ (t)) = (t1 , x1 ) + (1, ẋ1 )(t − t1 ) , ẋ1 ≡ (= b Gerade) t2 − t1 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.3 Das Hamilton’sche Extremalprinzip Die Brachystochrone Die Brachystochrone 2. Das Problem der Brachystochrone: I I I I Betrachte zwei Punkte a1 ≡ (x1 , y1 , z1 ) und a2 ≡ (x2 , y2 , z2 ) ï ò Kurve K , die a1 und a2 miteinander verbindet: y (xi ) = yi K = x, y (x), z(x) | x1 ≤ x ≤ x2 z(xi ) = zi Äußere Kraft auf Massen: Schwerkraftfeld g = −g êz Gesucht: der schnellste Weg Kφ von a1 nach a2 Annahmen: (x1 , y1 , z1 ) = 0 , y2 = 0 (o. B. d. A.) Konsequenzen: I Spiegelsymmetrie bezüglich der (x, z)-Ebene I Weg Kφ in (x, z)-Ebene ⇒ wähle auch K in (x, z)-Ebene 1 mv 2 2 Energieerhaltungssatz: Teilchengeschwindigkeit: v= Für Weg K benötigte Zeitdauer: Z t2 T = Z dt = t1 0 s2 ds = v Z x2 dx 0 + mgz = E p … 2g (zE − z) , zE ≡ E /mg K0 1 + (dz/dx)2 2g (zE − z) Kφ a1 a2 g K 00 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.3 Das Hamilton’sche Extremalprinzip Die Brachystochrone Die Brachystochrone 2. Zu minimieren: Die für Weg K ben ötigte Zeitdauer: … Z t2 T = s2 Z dt = t1 0 ds = v Z x2 1 + (dz/dx)2 2g (zE − z) dx 0 K0 Kφ a1 a2 g K 00 Notationswechsel: (T , x, x2 , z − zE ) → (S, t, T , x) Zu minimierende Größe: … Z T 1 + ẋ 2 S[x] = dt L(x, ẋ) , L(x, ẋ) = −2gx 0 Start- und Endpunkt der Bahn x(t): x(0) = −zE ≡ x1 ≤ 0 , x(T ) = z2 − zE ≡ x2 ≤ 0 Lagrange-Gleichung: h d dt ∂L ∂ ẋ ∂L − ∂x i =0 φ (− 21 l = Integrationskonstante) Vereinfachung → d xφ (1 + ẋφ2 ) = 0 bzw. xφ (1 + ẋφ2 ) = − 21 l dt Parametrisierung mit Hilfe einer Winkelvariablen ξ: t − t0 = 41 l[ξ − sin(ξ)] , xφ = − 41 l[1 − cos(ξ)] (Zykloide) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.4 Invarianzen der Lagrange-Gleichung Addition einer vollständigen Zeitableitung 5.4 Invarianzen der Lagrange-Gleichung Invarianz der Lagrange’schen Bewegungsgleichung unter: I Galilei-Transformationen I Eichtransformationen I Zeitumkehr“ ” I Addition einer vollständigen Zeitableitung zur Lagrange-Funktion Hinzufügen einer vollständigen Zeitableitung: L → L0 = L + X ! d ∂λ λ({xi }, t) ≡ L + ({xi }, t) ẋj · (∇j λ)({xi }, t) + dt ∂t j . . . läßt die Lagrange-Gleichung invariant: ? d 0= dt ∂ dλ ∂ ẋi dt − ∂ dλ d ∂λ ∂ = − ∂xi dt dt ∂xi ∂xi X ẋj · j Änderung des Wirkungsfunktionals? (X ,t ) S 0 (X21 ,t21 ) Z t2 X = t1 dt L0 (X(t), Ẋ(t), t) ∂λ ∂λ + ∂xj ∂t ! ! =0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.4 Invarianzen der Lagrange-Gleichung Addition einer vollständigen Zeitableitung Addition einer vollständigen Zeitableitung Änderung des Wirkungsfunktionals: (X ,t ) S 0 (X21 ,t21 ) t2 Z dt L0 (X(t), Ẋ(t), t) X = t Z 1t2 = dt d L(X(t), Ẋ(t), t) + λ(X(t), t) dt h t1 (X ,t ) i = S(X12,t12) X + λ(X2 , t2 ) − λ(X1 , t1 ) kurz: S 0 = S + λ(X2 , t2 ) − λ(X1 , t1 ) Fazit: Addition einer vollständigen Zeitableitung → zusätzliche Konstante für alle möglichen Bahnen X(t) = {xi (t)} mit gleichem X(t1 ) = X1 und gleichem X(t2 ) = X2 ⇒ Addition einer vollständigen Zeitableitung wirkungslos“ ” Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.5 Zwangsbedingungen Holonome (rheonome, skleronome) Zwangsbedingungen 5.5 Zwangsbedingungen Definitionen: I Freiheitsgrade: . . . sind unabhängig variierbare Ortskoordinaten (Zahl f ) Bisher: 3N Freiheitsgrade in N-Teilchen-Systemen (f = 3N) I Zwangsbedingungen: . . . sind Einschränkungen der (Zahl der) Freiheitsgrade I Verringerung von f um Eins mittels holonomer Zwangsbedingungen der Form: f (X, t) = f (x1 , x2 , . . . , xN , t) = 0 ⇒ f = 3N − 1 I Verringerung von f um Z mittels: fm (X, t) = fm (x1 , x2 , . . . , xN , t) = 0 (m = 1, 2, . . . , Z ) Gesamtzahl der Freiheitsgrade: f = 3N − Z I Konvention: keine Kombination von Zwangsbedingungen, also nicht z.B.: f (X, t) ≡ Z X [fm (X, t)]2 = 0 m=1 I Skleronome Zwangsbedingungen: . . . sind zeitunabhängig, also z.B.: fm (X) = fm (x1 , x2 , . . . , xN ) = 0 I Rheonome Zwangsbedingungen: . . . sind explizit zeitabhängig, also z.B.: fm (X, t) = fm (x1 , x2 , . . . , xN , t) = 0 , ∂fm ∂t 6= 0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.5 Zwangsbedingungen Holonome (rheonome, skleronome) Zwangsbedingungen Holonome Zwangsbedingungen Definitionen: [ da Gesamtzahl der Freiheitsgrade: f = 3N − Z ] I Führe 3N − Z unabhängige neue Koordinaten ein: (q1 , q2 , . . . , qf ) ≡ q xi = xi (q1 , q2 , . . . , qf , t) = xi (q, t) (i = 1, 2, . . . , N) I Nomenklatur: I Nomenklatur: I Nomenklatur: die {qk } heißen verallgemeinerte Koordinaten die Menge aller q-Werte heißt Konfigurationsraum ≡ Q die (f -dimensionale) Bewegungsmannigfaltigkeit ist M ≡ {X(q, t) | q ∈ Q} (= Menge aller X-Werte) Beispiele: I Sphärisches Pendel mit (skleronomer) holonomer Zwangsbedingung: f (x, t) ≡ x2 − l 2 = 0 Wähle Winkelvariablen (ϑ, ϕ) ⇒ Q = [0, π] × [0, 2π) , oder periodische Fortsetzung: Q = [0, π] × R mit x(ϑ, ϕ) = x(ϑ, ϕ + 2π) I Mathematisches Pendel = b 2 skleronome, holonome Zwangsbedingungen: f1 (x, t) ≡ x2 − l 2 = 0 , f2 (x, t) ≡ x2 = 0 M = Kurve (Kreisrand) ⇒ wähle q = ϕ ⇒ Konfigurationsraum: Q = [0, 2π) bzw. Q=R Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.5 Zwangsbedingungen Holonome (rheonome, skleronome) Zwangsbedingungen Holonome Zwangsbedingungen Weitere Beispiele: I Wird am Aufhängepunkt a(t) = (a1 (t), 0, a3 (t)) gerüttelt ⇒ zwei holonome Zwangsbedingungen: f1 (x, t) ≡ |x − a(t)|2 − l 2 = 0 , f2 (x, t) ≡ x2 = 0 Bewegungsmannigfaltigkeit = Kurve I Hantelmolekül ⇒ (starr, zwei Atome im Abstand l, Koordinaten x1 und x2 ) (skleronome, holonome) Zwangsbedingung: |x1 − x2 |2 − l 2 = 0 Für N Atome (bzw. 12 N Hantelmoleküle): fm (X, t) ≡ |x2m − x2m−1 |2 − l 2 = 0 (m = 1, 2, . . . , 21 N) Anzahl der Freiheitsgrade: f = 3N − Z = 3N − 12 N = 25 N Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.5 Zwangsbedingungen Holonome (rheonome, skleronome) Zwangsbedingungen Holonome Zwangsbedingungen I Hantelmolekül: |x1 − x2 |2 − l 2 = 0 (f = 52 N) Für N Atome bzw. 21 N Hantelmoleküle: fm (X, t) ≡ |x2m − x2m−1 |2 − l 2 = 0 I Einfaches Modell für lineares Polymer 2 fm (X, t) ≡ |xm+1 − xm | − lm2 → =0 (m = 1, 2, . . . , 21 N) Zwangsbedingung: (m = 1, . . . , N − 1) I Starrer Körper : I I I Gesamtimpuls P, Gesamtdrehimpuls L beliebig Daher f = 6 Freiheitsgrade . . . und Z = 3N − f = 3N − 6 Zwangsbedingungen (N ≥ 3) I Bewegung einer Kugel mit Radius R über eine ideale glatte Ebene: I I I Wähle o.B.d.A. für die Ebene: {x | x3 = 0} Mittelpunkt xM der Kugel in der (x3 = R)-Ebene Daher zusätzliche Zwangsbedingung: (f = 5) f (xM , t) ≡ ê3 · xM − R = 0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.5 Zwangsbedingungen Nicht-holonome (rheonome, skleronome) Zwangsbedingungen Nicht-holonome Zwangsbedingungen Allgemeine Form einer holonomen Zwangsbedingung: fm (X, t) = fm (x1 , x2 , . . . , xN , t) = 0 (m = 1, 2, . . . , Z ) Definitionen: I Falls Zwangsbedingung nicht holonom ⇒ nicht-holonom“ ” I Skleronome nicht-holonome Zwangsbedingungen: . . . sind zeitunabhängig I Rheonome nicht-holonome Zwangsbedingungen: . . . sind explizit zeitabhängig Mögliche Form einer nicht-holonomen Zwangsbedingung: z.B. f (X, t) = f (x1 , x2 , . . . , xN , t) ≥ 0 Einfaches Beispiel mit N = 1: I Kugel, die über eine ideale glatte Ebene hüpfen kann I Mittelpunkt xM erfüllt: f (xM , t) ≡ ê3 · xM − R ≥ 0 Differentielle Form der holonomen Zwangsbedingung: df = N X ∂f i=1 ∂f dt = 0 · dxi + ∂xi ∂t N , X ∂f df ∂f = =0 · ẋi + dt ∂xi ∂t i=1 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.5 Zwangsbedingungen Nicht-holonome (rheonome, skleronome) Zwangsbedingungen Nicht-holonome Zwangsbedingungen Differentielle Form der holonomen Zwangsbedingung: df = N X ∂f i=1 N ∂f · dxi + dt = 0 ∂xi ∂t X ∂f df ∂f = · ẋi + =0 dt ∂xi ∂t , i=1 Daher andere mögliche Form einer nicht-holonomen Zwangsbedingung: I Beziehung, die zwar darstellbar ist als: N X φi (X, t) · dxi + ϕ0 (X, t)dt = 0 , N X φi (X, t) · ẋi + ϕ0 (X, t) = 0 i=1 i=1 I . . . wobei aber nicht gilt: ∂f ∂f , ϕ0 (X, t) = ∂xi ∂t P I . . . da das Differential dΦ ≡ i φi · dxi + ϕ0 dt nicht-exakt ist: ∃f mit φi (X, t) = ∂φjβ ∂φiα 6= ∨ ∃ i mit ∂xjβ ∂xiα I . . . und sogar nicht-integrabel: γ(X, t) dΦ 6= exakt ∃ (iα, jβ) mit Konkrete Anwendung: ∂φi ∂ϕ0 6= ∂t ∂xi [ ∀γ(X, t) ] Kugel mit Radius R auf ideal-rauer (x3 = 0)-Ebene Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Definitionen und Eigenschaften 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten N-Teilchen-Systeme mit Z holonomen Zwangsbedingungen: I Darstellung mittels f = 3N − Z verallgemeinerter Koordinaten q: xi = xi (q1 , q2 , . . . , qf , t) ≡ xi (q, t) X ≡ (x1 , . . . , xN ) ≡ X(q, t) (i = 1, 2, . . . , N) q ≡ (q1 , . . . , qf ) , I Notation für Geschwindigkeiten: q̇ ≡ (q̇1 , . . . , q̇f ) I Nomenklatur: I Nomenklatur: , Ẋ = (ẋ1 , . . . , ẋN ) Konfigurationsraum“ Q ≡ {q} (f -dimensional) ” Bewegungsmannigfaltigkeit“ M ≡ {X(q, t) | q ∈ Q} ” b2 ↑ q2 a2 a1 Q ⊂ Rf M ⊂ R3N X(q, t) X(q̄,t) q̄ q1 → b1 I Für Differentiale dxi : dxi = f X ∂xi k=1 ∂qk (q, t)dqk + ∂xi (q, t)dt ∂t Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Definitionen und Eigenschaften Verallgemeinerte Koordinaten b2 Q ⊂ Rf ↑ q2 a2 a1 M ⊂ R3N X(q, t) X(q̄,t) q̄ q1 → b1 I Für Differentiale dxi : f dxi = (i = 1, 2, · · ·, N) X ∂xi k=1 ∂xi dqk + dt ∂qk ∂t bzw. k=1 I Wichtig: die f Tangentialvektoren f X ∂X k=1 ∂qk ∂X ∂qk ⇔ dqk = 0 ∂qk dqk + ∂X dt ∂t (q, t) sollen linear unabhängig sein: Å dq = 0 Abbildung X regulär in q ã ∂X dq X(q̄, t) + ∂q 2 q̄ + dq q̄ + ê2 dq2 dX = f X ∂X X(q̄, t) + ∂X dq ∂q 2 X q̄ ∂X dq X(q̄, t) + ∂q 1 X(q̄, t) q̄ + ê1 dq1 1 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Definitionen und Eigenschaften Verallgemeinerte Koordinaten I Für Differentiale dxi : f dxi = (i = 1, 2, · · ·, N) X ∂xi k=1 ∂xi dqk + dt ∂qk ∂t ∂X ∂qk I Die f Tangentialvektoren f X ∂X k=1 q + ê2 dq2 ∂qk bzw. dX = k=1 ∂qk dqk + ⇔ dq = 0 Abbildung X regulär in q ∂X dq X(q, t) + ∂q 2 q + dq ∂X dt ∂t (q, t) sollen linear unabhängig sein: Å dqk = 0 f X ∂X ã X(q, t) + ∂X dq ∂q 2 X q I Für Geschwindigkeiten ẋi : ẋi (q, q̇, t) = f X ∂xi k=1 ∂X dq X(q, t) + ∂q 1 X(q, t) q + ê1 dq1 ∂qk 1 [ Daher: (q, t)q̇k + ∂xi (q, t) ∂t ∂ ẋi ∂ q̇k (q, t) = ∂xi ∂qk (q, t) !! ] (i = 1, 2, . . . , N) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Kinetische Energie in verallgemeinerten Koordinaten Kinetische Energie in verallgemeinerten Koordinaten Kinetische Energie in kartesischen Koordinaten: TK (X, Ẋ, t) = N X 1 m ẋ2 2 i i = i=1 N X 1 m 2 i Ç X ∂xi i=1 ∂qk k q̇k + (Index K“) ” ∂xi ∂t å2 ≡ T (q, q̇, t) T (q, q̇, t) als Funktion von q̇ quadratisch: T (q, q̇, t) = 1 2 X akl q̇k q̇l + mit akl (q, t) ≡ ak (q, t) ≡ i=1 ak q̇k + a0 k kl N X X N X mi i=1 ∂xi ∂xi mi (q, t) · (q, t) ∂qk ∂t ∂xi ∂xi (q, t) · (q, t) ∂qk ∂ql , a0 (q, t) ≡ 1 2 N X mi i=1 h i2 ∂xi (q, t) ∂t Frage: Wann ist T (q, q̇, t) i.A. homogen quadratisch als Funktion der {q̇k } ? Antwort: nur wenn I holonome Zwangsbedingungen zeitunabhängig I verallgemeinerte Koordinaten mit ∂xi (q, t) = 0 ∂t Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Kinetische Energie in verallgemeinerten Koordinaten Kinetische Energie in verallgemeinerten Koordinaten T (q, q̇, t) als Funktion von q̇ quadratisch: T (q, q̇, t) = 1 2 X akl q̇k q̇l + X kl ak q̇k + a0 akl ≡ , N X k mi i=1 ∂xi ∂xi · ∂qk ∂ql Wichtig: T (q, q̇, t) strikt konvex als Funktion der Geschwindigkeiten! D.h.: I Die Matrix I Es gilt: ∂2T ∂ q̇2 = (akl ) ≡ A ist positiv definit uTA u > 0 √ [ mit yi ≡ mi xi und Y ≡ (y1 , y2 , . . . , yN ) ] u = (u1 , u2 , . . . , uf ) 6= 0 Beweis: T u Au = X uk akl ul = k,l X k,l ⇒ ∂Y ∂Y ∂Y uk · ul = ∂qk ∂ql ∂q Lineare Unabhängigkeit der f Tangentialvektoren ∂X ∂qk (q, t) I auch die f Vektoren ∂Y ∂qk (q, t) sind linear unabhängig I für alle u 6= 0 gilt: ∂Y ∂q u 6= 0 2 u > 0 ⇒ Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Die Bewegungsgleichung in verallgemeinerten Koordinaten Die Bewegungsgleichung in verallgemeinerten Koordinaten Newton’sche Bewegungsgleichung: (in kartesischen Koordinaten) Z mi ẍφi = Fi (Xφ , Ẋφ , t) = FK i + Fi I Gesamtkraft: (i = 1, 2, . . . , N) Fi (X, Ẋ, t) I Zwangskräfte: FZi I alle anderen (inneren, äußeren) Kräfte: FK i (Index K“= kartesisch) ” Grundidee der Herleitung der Bewegungsgleichung für qφ (t) : I Erwartung: I Bekannt: 3N kartesische Gleichungen → f Gleichungen für qφ (t) ∃ f linear unabhängige Tangentialvektoren im Punkte Xφ (t) = X(qφ (t), t) von M ∂X ∂qk (qφ (t), t) I Projiziere Newton’sche Bewegungsgleichung auf diese Tangentialvektoren! I Resultat: f unabhängige Bewegungsgleichungen für {qφk (t)} ! Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Die Bewegungsgleichung in verallgemeinerten Koordinaten Herleitung der Bewegungsgleichung für qφ (t) Newton’sche Bewegungsgleichung: mi ẍφi = Fi (Xφ , Ẋφ , t) = FK i + FZi (in kartesischen Koordinaten) (i = 1, 2, . . . , N) Grundidee der Herleitung der Bewegungsgleichung für qφ (t) : I Bekannt: ∃ f linear unabhängige Tangentialvektoren im Punkte Xφ (t) = X(qφ (t), t) von M ∂X ∂qk (qφ (t), t) I Projiziere Newton’sche Bewegungsgleichung auf diese Tangentialvektoren! [ für beliebiges δq ≡ (δq1 , δq2 , . . . , δqf ) ∈ Rf ] ! f Ξ = Tangentialvektor X ∂X ∂X an M im Punkte (qφ (t), t)δqk = (qφ (t), t) δq Ξ(δq) ≡ ∂qk ∂q Xφ (t) zur Zeit t k=1 Form der Tangentialebene an M in Xφ (t) zur Zeit t: ∂X f { X(δq) | δq ∈ R } , X(δq) ≡ Xφ (t) + Ξ(δq) = Xφ (t) + δq ∂q φ Notation: δxi ≡ Beitrag des i-ten Teilchens zum Tangentialvektor Ξ ∂xi Ξ(δq) = X(δq) − Xφ (t) ≡ δX ≡ (δx1 , δx2 , . . . , δxN ) , δxi = (qφ (t), t) δq ∂q Definiere daher: Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Die Bewegungsgleichung in verallgemeinerten Koordinaten Herleitung der Bewegungsgleichung für qφ (t) Newton’sche Bewegungsgleichung: mi ẍφi = Fi (Xφ , Ẋφ , t) = Notation: FK i + FZi (in kartesischen Koordinaten) (i = 1, 2, . . . , N) δxi ≡ Beitrag des i-ten Teilchens zum Tangentialvektor Ξ Ξ(δq) = X(δq) − Xφ (t) ≡ δX ≡ (δx1 , δx2 , . . . , δxN ) Projiziere Bewegungsgleichung auf die Ξ-Richtung: 1. Projiziere (F1 , F2 , . . . , FN ) ≡ Φ auf die Ξ-Richtung: (rechtes Glied) ! ! N F.1 δx. 1 X . . Φ·Ξ= · = Fi (Xφ (t), Ẋφ (t), t) · δxi ≡ δW . . FN δxN i=1 I I Achtung: δW lediglich mathematische Hilfsgröße! Variation δX = Ξ unabhängig von Bewegungsrichtung Ẋφ (t)!! 2. Projiziere Trägheitskräfte {mi ẍφi } auf die Ξ-Richtung: [M Ẍφ (t)] · Ξ = N X ! mi ẍφi (t) · δxi = δW = Φ · Ξ (linkes Glied) M ≡ diag({mi 113 }) , i=1 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Die Bewegungsgleichung in verallgemeinerten Koordinaten Herleitung der Bewegungsgleichung für qφ (t) Notation: Ξ(δq) = X(δq) − Xφ (t) ≡ δX ≡ (δx1 , δx2 , . . . , δxN ) Idee: Projiziere Newton’sche Bewegungsgleichung auf die Ξ-Richtung! Z mi ẍφi = Fi (Xφ , Ẋφ , t) = FK i + Fi (i = 1, 2, . . . , N) 1. Projiziere (F1 , F2 , . . . , FN ) ≡ Φ auf die Ξ-Richtung: (rechtes Glied) N Φ·Ξ= X Fi (Xφ (t), Ẋφ (t), t) · δxi ≡ δW i=1 2. Projiziere Trägheitskräfte {mi ẍφi } auf die Ξ-Richtung: N [M Ẍφ (t)] · Ξ = X ! mi ẍφi (t) · δxi = δW = Φ · Ξ , (linkes Glied) M ≡ diag({mi 113 }) i=1 Ξ M Ẍφ (t) M ⊂ R3N Xφ (t) Ξ Φ M ! = Xφ (t) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Die Bewegungsgleichung in verallgemeinerten Koordinaten Herleitung der Bewegungsgleichung für qφ (t) [ δxi = Projektion der Trägheitskräfte auf die Ξ(δq)-Richtung: δW = N X mi ẍφi (t) · δxi = N X i=1 = X i=1 mi h i,k = d dt ∂ ẋi ẋi · ∂ q̇k Ç ñ X X d ∂ 1 k mi ẍφi · " f X ∂xi 2 dt ∂ q̇k d ∂xi − ẋi · dt ∂qk å mi ẋ2i − i ∂ ∂qk i δqk X δq ] (qφ (t), t)δqk φ Ç # ∂qk k=1 ∂xi · ∂q φ ∂ ẋi ∂xi s. vorher: = ∂ q̇k ∂qk åô 1 m ẋ2 2 i i δqk i φ mit: X ∂ 2 xi d ∂xi ∂ 2 xi ∂ = q̇l + = dt ∂qk ∂ql ∂qk ∂t∂qk ∂qk Ç l Definition T (q, q̇, t) ≡ TK = δW = 1 i 2 mi P ẋ2i ⇒ X h d ∂T dt k ∂xi q̇l + ∂ql ∂t l = ∂ ẋi ∂qk einerseits: ∂T − ∂qk ∂ q̇k å X ∂xi i δqk φ Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Die Bewegungsgleichung in verallgemeinerten Koordinaten Herleitung der Bewegungsgleichung für qφ (t) Einerseits: δW = X h d ∂T dt k Andererseits: δW = (Φ · Ξ)φ = N X " Fφi · i=1 ∂ q̇k f X ∂xi k=1 ∂qk ∂T − ∂qk i δqk φ # (qφ (t), t)δqk = f X (Fk )φ δqk k=1 . . . mit den verallgemeinerten Kräften: Fk (q, q̇, t) ≡ N X Fi · i=1 ∂xi ∂qk , (Fk )φ ≡ Fk (qφ , q̇φ , t) Vergleich → Identität: X h d ∂T k dt ∂ q̇k ∂T − − Fk ∂qk i δqk = 0 φ Identität gilt für beliebige Ξ (also für beliebige δq) ⇒ h i d ∂T ∂T − − Fk = 0 (k = 1, 2, . . . , f ) dt ∂ q̇k ∂qk φ Allgemeine Form der Lagrange-Gleichung in verallgemeinerten Koordinaten! Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Die Bewegungsgleichung in verallgemeinerten Koordinaten Kurze Zusammenfassung der Herleitung In einem Bild: Ξ M Ẍφ (t) M ⊂ R3N Ξ Φ M ! = Xφ (t) Xφ (t) In einer Gleichung: X h d ∂T dt k ∂ q̇k ∂T − ∂qk i δqk = δW = φ f X (Fk )φ δqk k=1 mit: Fk (q, q̇, t) ≡ N X Fi · i=1 ∂xi ∂qk Vergleich für beliebige Ξ(δq) bzw. δq → Identität: h d dt ∂T ∂ q̇k ∂T − − Fk ∂qk i =0 (k = 1, 2, . . . , f ) φ Allgemeine Form der Lagrange-Gleichung in verallgemeinerten Koordinaten! Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Verallgemeinerte Kräfte Bestimmung der verallgemeinerten Kräfte Problem: Beitrag der Zwangskräfte FZi noch unbekannt! Fk = N X i=1 N X K ∂xi ∂xi Fi · = Fi · + FkZ ∂qk ∂qk i=1 , FkZ ≡ N X FZi · i=1 ∂xi ∂qk Beispiel: Zwangskraft für sphärisches Pendel: mẋ2 F (x, ẋ) = −λ(x, ẋ)x̂ , λ = − mg (x̂ · ê3 ) x I Zwangskraft ⊥ durch f (x, t) = x2 − l 2 = 0 definierte Fläche I . . . d.h. Zwangskraft ⊥ Bewegungsmannigfaltigkeit M I . . . d.h. Zwangskraft verrichtet keine Arbeit! Z Verallgemeinerung: I Für (skleronome oder rheonome) holonome Zwangsbedingungen I . . . die keine Reibungskräfte hervorrufen I . . . gilt generell: (ΦZ ⊥ M) Zwangskraft ΦZ = FZ1 , FZ2 , . . . , FZN ⊥ Bewegungsmannigfaltigkeit I . . . also liefert die Zwangskraft keinen Beitrag zu Fk : FkZ = 0 (k = 1, 2, . . . , f ) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Verallgemeinerte Kräfte Bestimmung der verallgemeinerten Kräfte Verallgemeinerung: I Für (skleronome oder rheonome) holonome Zwangsbedingungen, I die keine Reibungskräfte hervorrufen, gilt generell: Zwangskraft ΦZ = FZ1 , FZ2 , . . . , FZN ⊥ Bewegungsmannigfaltigkeit I . . . also liefert die Zwangskraft keinen Beitrag zu Fk : FkZ = 0 (k = 1, 2, . . . , f ) Dennoch: Beitrag der Zwangskräfte zur Leistung! dW dt Z = N X FZi · i=1 f = X dxi = dt FkZ q̇k N X FZi · f X ∂xi i=1 k=1 ! + Ft = Ft ∂qk q̇k + Ft ≡ , k=1 ∂xi ∂t N X ! FZi · i=1 ∂xi ∂t Bemerkungen: Analytische Mechanik“ = b Beschränkung auf Systeme mit FkZ = 0 ” I Annahme FkZ = 0 heißt zentrales Postulat der Analytischen Mechanik I Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Verallgemeinerte Kräfte Bestimmung der verallgemeinerten Kräfte Konsequenz von FkZ = 0 für verallgemeinerte Kraft Fk : Fk (q, q̇, t) = N X i=1 Bewegungsgleichung: d dt ∂T ∂ q̇k N FK i X K ∂xi ∂xi Z ! · + Fk = Fi · ∂qk ∂qk i=1 (unabhängig von Zwangskräften!) − ∂T = Fk ∂qk (k = 1, 2, . . . , f ) Weiterer Vorteil des Lagrange-Formalismus: I Struktur unabhängig von Wahl der verallgemeinerten Koordinaten {qk } ! I . . . denn wähle andere Koordinaten {q̄k } : xi = x̄i (q̄1 , q̄2 , . . . , q̄f , t) = x̄i (q̄, t) (i = 1, 2, . . . , N) I Resultat: Lagrange-Gleichung mit (T , Fk ) → (T̄ , F̄k ) I Fazit: Struktur der Lagrange-Gleichung invariant (nicht aber die expli- zite Form) unter allgemeinen Punkttransformationen der Koordinaten: ∂q̄k q̄k ≡ q̄k (q, t) bzw. q̄ = q̄(q, t) , det 6= 0 ∂ql Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Geschwindigkeitsunabhängige Kräfte Geschwindigkeitsunabhängige Kräfte Kräfte aus geschwindigkeitsunabhängigem Potential ableitbar: K FK (Index K“ = b kartesisch“) i = −(∇i V )(X, t) ” ” I falls innere Kräfte das dritte Newton’sche Gesetz erfüllen I und äußere Kräfte nicht-elektromagnetisch & wirbelfrei sind Konsequenz für verallgemeinerte Kraft Fk : Fk = N X N FK i i=1 X ∂V K ∂xi ∂xi ∂V · =− · =− (q, t) ∂qk ∂xi ∂qk ∂qk i=1 Potential V (q, t): V (q, t) ≡ V K (X(q, t), t) Lagrange-Funktion: L(q, q̇, t) ≡ T (q, q̇, t) − V (q, t) (k = 1, 2, . . . , f ) Konsequenz: d dt ∂T ∂ q̇k d = dt ∂L ∂ q̇k 0= − (Lagrange-Gleichung der 2. Art) ∂(T − V ) ∂T ∂V d ∂(T − V ) + = − ∂qk ∂qk dt ∂ q̇k ∂qk Å ∂L − ∂qk L(q, q̇, t) strikt konvex als Funktion von q̇ ! ã Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Lorentz-Kräfte (Zusätzliche) Lorentz-Kräfte Zusätzlich: äußere elektromagnetische Kräfte FLor = i [ Notation: mit: K VLor (X, Ẋ, t) = d dt Å K ∂VLor ∂ ẋi ã − (Lorentz-Kräfte) K ∂VLor ∂xi Ladung des i-ten Teilchens = q̂i ] N X q̂i [Φ(xi , t) − ẋi · A(xi , t)] ≡ VLor (q, q̇, t) i=1 Verallgemeinerte Lorentz-Kraft: d dt ∂VLor ∂ q̇k = N ßï X i=1 = N X i=1 N ï X d ∂VLor − = ∂qk dt Å i=1 d dt FLor i Å K ∂VLor ∂ ẋi ã K ∂VLor ∂ ẋi · ∂ ẋi ∂ q̇k ã K K ∂VLor ∂xi ∂VLor ∂ ẋi − · − · ∂xi ∂qk ∂ ẋi ∂qk K K ∂VLor ∂xi ∂VLor d − · + · ∂xi ∂qk ∂ ẋi dt ∂xi · = FkLor ∂qk ò s. vorher: h ∂ ẋi ∂xi = ∂ q̇k ∂qk ∂xi ∂qk , ∂ ẋi − ∂qk i™ d ∂xi ∂ ẋi = dt ∂qk ∂qk ò Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Lorentz-Kräfte (Zusätzliche) Lorentz-Kräfte Lorentz-Potential: K VLor (X, Ẋ, t) N X = q̂i ΦK (xi , t) − ẋi · AK (xi , t) ≡ VLor (q, q̇, t) i=1 Verallgemeinerte Lorentz-Kraft: N X ∂VLor d ∂VLor ∂xi − = FLor · = FkLor i dt ∂ q̇k ∂qk ∂qk i=1 FkG Verallgemeinerte Gesamtkraft ≡ Fk + FkLor : d ∂VG ∂VG G Fk = , VG ≡ V + VLor − dt ∂ q̇k ∂qk Fazit: Lagrange-Gleichung mit L = T − VG ! Lorentz-Potential in verallgemeinerten ñ Ç Koordinaten: å VLor (q, q̇, t) = N X q̂i ΦK (xi , t) − i=1 N = X X ∂xi ∂qk k h q̂i ΦK (xi , t) − i=1 q̇k + ∂xi ∂t ∂xi · AK (xi , t) − ∂t i ô · AK (xi , t) " X q̇k k N X q̂i i=1 ∂xi · AK (xi , t) ∂qk Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Lorentz-Kräfte (Zusätzliche) Lorentz-Kräfte Lorentz-Potential in verallgemeinerten Koordinaten: VLor (q, q̇, t) = Φ(q, t) − X q̇k Ak (q, t) k Verallgemeinerte elektromagnetische Potentiale: Φ(q, t) ≡ N X i=1 ∂xi q̂i Φ (xi , t) − · AK (xi , t) ∂t h K i , Ak (q, t) ≡ N X q̂i i=1 ∂xi K ·A (xi , t) ∂qk Wiederum: L strikt konvex als Funktion der Geschwindigkeit q̇ ! Verallgemeinerte Lorentz-Kraft FkLor : FkLor d = dt =− ∂VLor ∂ q̇k Ç X l q̇l − ∂VLor ∂qk ∂Ak ∂Ak + ∂ql ∂t = X ∂Al d ∂Φ (−Ak ) − + q̇l dt ∂qk ∂qk l å − ∂Φ + ∂qk X l q̇l X ∂Al ! = Ek + Bkl q̇l ∂qk Verallgemeinerte elektrische und magnetische Felder: ∂Φ ∂Ak ∂Al ∂Ak Ek (q, t) ≡ − − , Bkl (q, t) ≡ − ∂qk ∂t ∂qk ∂ql l # Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Reibungskräfte Reibungskräfte Reibungskraft ( R“) in kartesischen Koordinaten ( K“): ” ” K FK i,R = − ∂F ∂ ẋi (F K = Dissipationsfunktion) Beispiel: Dissipationsfunktion F K (Ẋ) = 1 i 2 P ki ẋ2i → Reibungsgesetz FK i,R = −ki ẋi Dissipationsfunktion in verallgemeinerten Koordinaten: F(q, q̇, t) ≡ F K (Ẋ) Verallgemeinerte Reibungskraft: Fk,R = N X N FK i,R i=1 X ∂F K ∂ ẋi ∂xi ∂F K ∂ Ẋ ∂F · =− · =− · =− ∂qk ∂ ẋi ∂ q̇k ∂ q̇k ∂ Ẋ ∂ q̇k i=1 Lagrange-Gleichung der 2. Art: d 0= dt ∂L ∂ q̇k − ∂L ∂F + ∂qk ∂ q̇k Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.6 Verallgemeinerte Koordinaten Einige historische Begriffe Einige historische Begriffe (FkZ = 0) Konsequenz des zentralen Postulats: 0= f X FkZ δqk k=1 = N X FZi · δxi = δW Z i=1 Bewegungsgleichung → Identität: N X mi ẍi − ({δqk } beliebig) FK i φ · δxi = 0 → h i=1 ( d’Alembert’sches Prinzip“) ” d dt ∂T ∂ q̇k ∂T − − Fk ∂qk i =0 φ Nomenklatur: I Variation δxi = b virtuelle Verrückung I δW = I δW Z P Fk δqk = b virtuelle Arbeit ( mathematische Hilfsgröße“) ” = b virtuelle Arbeit der Zwangskräfte (Postulat: δW Z = 0) k Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.7 Das Hamilton’sche Prinzip in verallgemeinerten Koordinaten Notationen und Definitionen 5.7 Hamilton-Prinzip in verallgemeinerten Koordinaten Notationen: I Physikalische Bahn im Konfigurationsraum: εκ0(t̄) qφ (t) = {qφk (t)} t̄ (q1 , t1 ) q0 (t) (q2 , t2 ) qφ (t) εκ00(t̄) q00 (t) I Allgemeine benachbarte Bahnen: q(t) = {qk (t)} , q(t1 ) = qφ (t1 ) ≡ q1 , q(t2 ) = qφ (t2 ) ≡ q2 I Variationen: (δqk )(t) ≡ qk (t) − qφk (t) = εκk (t) (δq)(t) ≡ q(t) − qφ (t) = εκ(t) Wirkung: (q ,t ) S(q12,t12) [q] Z , κ(t) = {κk (t)} , κ(t1 ) = κ(t2 ) = 0 t2 = dt L(q(t), q̇(t), t) t1 Hamilton’sches Prinzip: lim ε→0 1 (q ,t ) (δS)(q21 ,t21 ) [qφ + εκ] = 0 ε (∀κ mit κ(t1 ) = κ(t2 ) = 0) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.7 Das Hamilton’sche Prinzip in verallgemeinerten Koordinaten Hamilton’sches Prinzip und Invarianzen Konsequenz des Hamilton-Prinzips und Invarianzen Variation der Wirkung: 1 1 δS = δ ε ε 1 = ε Z εκ0(t̄) t2 dt L(q(t), q̇(t), t) t̄ (q1 , t1 ) q0 (t) (q2 , t2 ) qφ (t) εκ00(t̄) q00 (t) t1 t2 Z dt [L(qφ (t) + εκ(t), q̇φ (t) + εκ̇(t), t) − L(qφ (t), q̇φ (t), t)] t1 t2 Z = dt t1 n ∂L d (qφ (t), q̇φ (t), t) − ∂q dt h ∂L (qφ (t), q̇φ (t), t) ∂ q̇ io · κ(t) + O(ε) Konsequenz des Hamilton’schen Prinzips: ï δS δq(t) ò φ ∂L d = (qφ (t), q̇φ (t), t) − ∂q dt h ∂L ! (qφ (t), q̇φ (t), t) = 0 ∂ q̇ i Bewegungsgleichung invariant unter Addition einer vollständigen Zeitableitung: d ∂λ ∂λ L → L0 ≡ L + λ(q, t) = L + q̇ · (q, t) + (q, t) dt ∂q ∂t (Beispiel: Eichtransformation in verallgemeinerten Koordinaten) denn: S → S 0 = S + λ(q2 , t2 ) − λ(q1 , t1 ) = S + Konstante Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.10 Erhaltungsgrößen Jacobi-Integral: erhalten? gleich der Energie? 5.10 Erhaltungsgrößen Ausgangspunkt: Lagrange-Funktion L(q, q̇, t) Gesucht: möglichst viele (falls möglich: alle) Erhaltungsgrößen Erste Erhaltungsgröße: I Jacobi-Integral: J(q, q̇, t) ≡ X ∂L k q̇k − L ∂ q̇k I . . . für physikalische Bahn qφ erhalten, I . . . falls Lagrange-Funktion zeitunabhängig: L = L(q, q̇) . . . denn: dJ dt ® = X h d ∂L φ dt k ® = Xh k d dt ∂ q̇k ∂L ∂ q̇k ∂L X ∂L ∂L ∂L q̇k + q̈k − − q̇k + q̈k ∂ q̇k ∂t ∂qk ∂ q̇k i h k − ∂L ∂L q̇k − ∂qk ∂t i ´ =− i´ φ ∂L ∂t φ φ Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.10 Erhaltungsgrößen Jacobi-Integral: erhalten? gleich der Energie? Das Jacobi-Integral Erste Erhaltungsgröße: ∂L =0 ∂t ⇒ Jφ ≡ J(qφ , q̇φ , t) = Ç X ∂L k ∂ q̇k å q̇k − L erhalten! φ Beispiel: I Skleronome Zwangsbedingungen I Verallgemeinerte Koordinaten zeitunabhängig: I Konsequenz: xi = xi (q) kinetische Energie t-unabhängig: T (q, q̇) = 1 2 X akl (q)q̇k q̇l , akl = alk kl I Verallgemeinerte Kräfte Fk konservativ Jφ = ñ X ∂T k ∂ q̇k q̇k − (T − V ) = [2T − (T − V )]φ = (T + V )φ = E φ Fazit: I Jacobi-Integral = Energie des Systems! I ∂L ∂t =0 ⇒ ⇒ ∃ Potential V (q) ⇒ ô dE dt =0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.10 Erhaltungsgrößen Zyklische Koordinaten Zyklische Koordinaten Nomenklatur: ∃ l ∈ {1, 2, . . . , f } Konsequenz: h d dt mit ∂L ∂ q̇l ∂L ∂ql ∂L − ∂ql ⇒ =0 d = dt h i φ Koordinate ql zyklisch ∂L ∂ q̇l i =0 φ Daher: Existenz einer Erhaltungsgröße: ∂L (qφ , q̇φ , t) = konstant ∂ q̇l Nomenklatur: Die Größe pl (q, q̇, t) ≡ ∂∂Lq̇l (q, q̇, t) . . . I . . . heißt mit ql assoziierter verallgemeinerter Impuls I . . . oder auch: konjugierter“ oder kanonischer“ Impuls ” ” 2 1 ∂L L = 2 mẋ − V (x) ⇒ ∂ ẋ = mẋ ≡ p(x, ẋ, t) Beispiel: Verallgemeinerter Impuls nicht eindeutig definiert, denn L0 = L + p0 = ∂L0 ∂ ∂λ ∂λ = L+ · q̇ + ∂ q̇ ∂ q̇ ∂q ∂t = dλ dt → ∂L ∂λ ∂λ + =p+ (q, t) ∂ q̇ ∂q ∂q Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.10 Erhaltungsgrößen Zyklische Koordinaten Zyklische Koordinaten Physikalische Dimension von Beispiel 1: ( ∂L ∂ ϕ̇ ∂L ∂ q̇l (q, q̇, t) ist nicht unbedingt [Impuls] ! = b Drehimpuls = Erhaltungsgröße ) L(x, ẋ, ϕ, ϕ̇, t) = 21 µ(ẋ 2 + x 2 ϕ̇2 ) − V (x) Weitere Erhaltungsgröße: E ∂L ∂t (S) =0 ⇒ ⇒ ∂L = µx 2 ϕ̇ ∂ ϕ̇ Gesamtenergie erhalten! = 12 µ(ẋ 2 + x 2 ϕ̇2 ) + V (x) Beispiel 2: L(x, ẋ, t) = 12 mẋ2 − q̂ [Φ(x, t) − ẋ · A(x, t)] Konsequenz: 3-Komponente p3 = dp3 d = dt dt Beispiel 3: ∂L ∂ ẋ3 = ∂L ∂ ẋ3 mit ∂Φ =0 ∂x3 ∂A =0 ∂x3 des konjugierten Impulses erhalten! d ! ∂L [mẋ3 + q̂A3 (x1 , x2 , t)] = =0 dt ∂x3 Zweiteilchenproblem in kartesischen Koordinaten p L(x1 , x2 , ẋ1 , ẋ2 , t) = 12 µ(ẋ12 + ẋ22 ) − V ( Konsequenz: und x12 + x22 ) 3-Komponente µ(x1 ẋ2 − x2 ẋ1 ) des Drehimpulses erhalten! Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.10 Erhaltungsgrößen Elimination von zyklischen Koordinaten Elimination von zyklischen Koordinaten Physikalische Situation: Lagrange-Funktion L(f +1) sei qf +1 -unabhängig! L(f +1) = L(f +1) (q, q̇, q̇f +1 , t) Koordinate qf +1 zyklisch ⇒ q ≡ (q1 , . . . , qf ) , Erhaltungsgröße: ∂L(f +1) ∂ q̇f +1 pf +1 = Geschwindigkeit q̇f +1 : q̇f +1 = f (q, q̇, t; pf +1 ) Konsequenz: q̇f +1 aus Bewegungsgleichungen für qφ (t) eliminierbar! Ziel: eliminiere zyklische Koordinate qf +1 sofort in Lagrange-Funktion! Beispiel: Sphärisch symmetrische Zweiteilchenprobleme mit I Energie 1 µẋ 2 2 + Vf (x) |L|2 2µx 2 Vf (x) ≡ V (x) + , 1 µẋ 2 2 I Lagrange-Funktion L(x, ẋ, t) ≡ − Vf (x) Zu zeigen: Allgemeine Form der Lagrange-Funktion nach der Elimination: L(f ) (q, q̇, t; pf +1 ) ≡ L(f +1) (q, q̇, q̇f +1 , t) − pf +1 q̇f +1 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.10 Erhaltungsgrößen Elimination von zyklischen Koordinaten Elimination von zyklischen Koordinaten Zu zeigen: Allgemeine Form der Lagrange-Funktion nach der Elimination: L(f ) (q, q̇, t; pf +1 ) ≡ L(f +1) (q, q̇, q̇f +1 , t) − pf +1 q̇f +1 Im Folgenden: I pf +1 für alle betrachteten Bahnen (q, qf +1 ) gleich und zeitunabhängig I Daher: q̇f +1 explizit bekannt: q̇f +1 = f (q, q̇, t; pf +1 ) Zu zeigen: L(f ) → korrekte Bewegungsgleichung für qφ (t) ! Mit L(f ) verknüpfte Wirkung: δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0 ; (q ,t ) S(q12,t12) [q] Z t2 = dt L(f ) (q, q̇, t; pf +1 ) t1 Zeitabhängigkeit von qf +1 (t): Z t qf +1 (t) = qf +1 (t1 ) + dt 0 f (q(t 0 ), q̇(t 0 ), t 0 ; pf +1 ) t1 Fazit: also nicht unbedingt δqf +1 (t1 ) = δqf +1 (t2 ) = 0 ! Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.10 Erhaltungsgrößen Elimination von zyklischen Koordinaten Elimination von zyklischen Koordinaten Variation des Terms Z t2 δ (f +1) dt L t1 R dt L(f +1) in der Wirkung: t2 (q, q̇, q̇f +1 , t) = (pf +1 δqf +1 ) t1 Å ï f +1 Z t2 (f +1) X + dt k=1 t1 Z d − dt t2 = pf +1 δ Z ∂L(f +1) ∂ q̇k ãò (δqk )(t) + O(ε2 ) φ t2 dt q̇f +1 = δ dt pf +1 q̇f +1 t1 Fazit für L(f ) : δS = 0 ∂L ∂qk t1 qφ erfüllt die mit L(f ) assoziierte Lagrange-Gleichung ⇒ Beispiel: Zweiteilchenproblem ⇒ mit ϕ̇ = |L| µx 2 folgt L(1) (x, ẋ, t) = L(2) (x, ẋ, ϕ, ϕ̇, t) − pϕ ϕ̇ = 12 µ(ẋ 2 + x 2 ϕ̇2 ) − V (x) − µx 2 ϕ̇2 = 12 µẋ 2 − Vf (x) , Vf (x) = V (x) + |L|2 2µx 2 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 5.10 Erhaltungsgrößen Elimination von zyklischen Koordinaten Elimination mehrerer zyklischer Koordinaten Mehrere zyklische Variablen qz ≡ (qf +1 , qf +2 , . . . , qf +n ) : L(f +n) = L(f +n) (q, q̇, q̇z , t) Erhaltungsgröße: ∂L(f +n) (pf +1 , pf +2 , . . . , pf +n ) = pz ≡ (q, q̇, q̇z , t) ∂ q̇z Inversion → Geschwindigkeit q̇z : q̇z = f(q, q̇, t; pz ) Form der Lagrange-Funktion nach der Elimination aller qz -Variablen: L(f ) (q, q̇, t; pz ) ≡ L(f +n) (q, q̇, q̇z , t) − pz · q̇z mit: I q̇z = f(q, q̇, t; pz ) I pz für alle betrachteten Bahnen gleich und zeitunabhängig Nomenklatur: Lagrange-Funktion L(f ) nach Elimination der qz -Variablen: Routh-Funktion Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Kapitel 6: Hamilton-Formalismus Inhaltsverzeichnis I 6.0 Einführende Bemerkungen I 6.1 Die Legendre -Transformation I 6.2 Beispiele für die Wirkung des Hamilton-Formalismus I 6.3 Ein Variationsprinzip für die Hamilton-Gleichungen I 6.4 Erhaltungsgrößen und Poisson-Klammern I 6.5 Kanonische Transformationen I 6.6 Kanonische Transformationen und Poisson-Klammern I 6.7 Die Bewegungsgleichungen I 6.8 Die symplektische Struktur der Hamilton’schen Mechanik I 6.9 Nicht-holonome Systeme Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.0 Einführende Bemerkungen 6.0 Einführende Bemerkungen Newton’sche Mechanik: (bzw. Spezielle Relativitätstheorie) I Für elementare Probleme ausreichend I Wichtig zur Untersuchung der Raum-Zeit-Struktur I Im Falle von Zwangsbedingungen unbequem/unzulänglich Lagrange-Formalismus: Für nahezu alle praktischen Zwecke völlig ausreichend Vorzüge des Hamilton-Formalismus: I Tiefe“ Einblicke in die Struktur der Klassischen Mechanik ” I Durchführung der Störungstheorie in der Himmelsmechanik I Startpunkt für formale (mathematische) Untersuchungen I Forminvariant unter kanonischen Transformationen → Transformationstheorie I Basis für theoretische Beschreibung der Quantenmechanik 6.0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.0 Einführende Bemerkungen Zur Motivation der Hamilton-Theorie Zur Motivation der Hamilton-Theorie Lagrange-Theorie → Jacobi-Integral: ∂L J(q, q̇, t) = · q̇ − L ∂ q̇ ∂L = 0 ⇒ Jacobi-Integral = Energie! ∂t Verallgemeinerter Impuls: ∂L pk (q, q̇, t) ≡ (q, q̇, t) ∂ q̇k ∂L =0 ∂qk ⇒ erhalten! Idee: I Definiere: p ≡ (p1 , p2 , . . . , pf ) I Verwende: I Ersetze: q̇ = q̇(q, p, t) (L, q̇) → (J, p) ; hilfreich? Routh-Funktion: − L(f ) (q, q̇, t; pz ) ≡ pz · q̇z − L(f +n) (q, q̇, q̇z , t) Weiterverfolgung dieser Idee: H(q, p, t) ≡ J(q, q̇(q, p, t), t) (Hamilton-Funktion!) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Funktionen einer einzelnen Variablen 6.1 Die Legendre -Transformation Betrachte Funktionen F (u) : R → R I . . . die (mindestens) zweimal differenzierbar sind: I . . . und strikt konvex: Kommentar: |F 00 (u)| < ∞ F 00 (u) > 0 Eine alternative Definition der strikten Konvexität ist F (λu1 + (1 − λ)u2 ) < λF (u1 ) + (1 − λ)F (u2 ) (0 < λ < 1) Definiere Hilfsfunktion: e (v , u) ≡ vu − F (u) G e (v , u) strikt konkav als Funktion von u: G Wert v vorgegeben ⇒ e ∂G (v , um (v )) = v − F 0 (um (v )) ∂u Beschränkung auf v -Werte mit eindeutigem Maximum um (v ) 0= Im Folgenden: e ∂2G = −F 00 (u) < 0 2 ∂u @ Maximum ∨ ∃! Maximum um (v ) mit Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Funktionen einer einzelnen Variablen Die Legendre -Transformation Hilfsfunktion: e (v , u) ≡ vu − F (u) G ⇒ Wert v vorgegeben (strikt konkav als Funktion von u) @ Maximum ∨ ∃! Maximum um (v ) mit e ∂G (v , um (v )) = v − F 0 (um (v )) ∂u Maximum um (v ) streng monoton ansteigend als Funktion von v : 0= 0 um (v ) = [F 00 (um (v ))]−1 > 0 Definition der Legendre -Transformierten G (v ) von F (u) : e (v , um (v )) G (v ) ≡ G Eigenschaften der Legendre -Transformierten G (v ) : 1. G (v ) strikt konvex: d2 00 G (v ) = [vum (v ) − F (um (v ))] dv 2 0 d 0 = um (v ) + v − F 0 (um (v )) um (v ) = um (v ) > 0 dv Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Funktionen einer einzelnen Variablen Die Legendre -Transformation Definition der Legendre -Transformierten G (v ) von F (u): e (v , um (v )) G (v ) ≡ G Eigenschaften der Legendre -Transformierten G (v ): 1. G (v ) strikt konvex: G 00 (v ) > 0 2. Legendre -Transformierte von G durch F gegeben (Dualität), denn . . . I definiere zunächst Hilfsfunktion: e (u, v ) ≡ uv − G (v ) = uv − [vum (v ) − F (um (v ))] F I I I e (u, v ) < 0 G (v ) strikt konvex: G 00 (v ) > 0 ⇒ ∂v2 F e als Funktion von v : Daher gilt für F @ Maximum ∨ ∃! Maximum vm (u) mit vm0 (u) > 0 und e ∂F 0= (u, vm (u)) = u − G 0 (vm (u)) = u − um (vm (u)) ∂v −1 Fazit: vm = um bzw. um = vm−1 und daher e (u, vm (u)) = vm (u) [u − um (vm (u))]+F (um (vm (u))) = F (u) F ∗ (u) ≡ F Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Funktionen einer einzelnen Variablen Die Legendre -Transformation Eigenschaften der Legendre -Transformierten G (v ): 3. G (v ) erfüllt Young’sche Ungleichung: vu ≤ F (u) + G (v ) Beweis: e (v , u) ≤ G e (v , um (v )) = G (v ) vu − F (u) = G Konstruktion der Legendre -Transformierten G (v ) von F (u) : G (v ) e (v , u) G G (v ) vu u um (v ) F (u) v Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Funktionen einer einzelnen Variablen Die Legendre -Transformation - Beispiele Beispiel 1: F (u) = 21 u 2 e (v , u) = vu − 12 u 2 hat Maximum bei u = um (v ) = v I Hilfsfunktion G I Legendre -Transformierte G von F : G (v ) = vum (v ) − 1 2 [um (v )]2 = v 2 − 21 v 2 = 12 v 2 (G und F selbstdual) I Young’sche Ungleichung: uv ≤ 21 (u 2 + v 2 ) bzw. 0 ≤ 12 (u − v )2 Beispiel 2: F (u) = p1 u p mit u > 0, p ∈ R und p > 1 e (v , u) = vu − p1 u p I Hilfsfunktion G I Definiere q ≡ p p−1 >1 ⇒ ⇒ um (v ) = v 1/(p−1) Legendre -Transformierte G von F : p G (v ) = vum (v ) − F (um (v )) = v p−1 − äp 1 1 Ä p−1 1 = vq v p q I Young’sche Ungleichung: 1 1 uv ≤ u p + v q p q 1 1 p, q > 1 ; + =1 p q (v > 0) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Funktionen mehrerer Variabler Legendre -Transformation bzgl. mehrerer Variabler Betrachte Funktionen F (u) : Rn → R mit u = (u1 , u2 , . . . , un ) 2 ∂ F ∂u2 (u) < ∞ I . . . die (mindestens) zweimal differenzierbar sind: I . . . und strikt konvex: 2 hT ∂∂uF2 (u) h > 0 (∀ h 6= 0) Eine alternative Definition der strikten Konvexität ist F (λu1 + (1 − λ)u2 ) < λF (u1 ) + (1 − λ)F (u2 ) (0 < λ < 1) Definiere Hilfsfunktion: e (v, u) ≡ v · u − F (u) G e (v, u) strikt konkav als Funktion von u : G 2 e G T∂ F h h = −h (u) h < 0 (∀ h 6= 0) ∂u2 ∂u2 Wert v vorgegeben ⇒ @ Maximum ∨ ∃! Maximum um (v) mit T∂ 2 e ∂G ∂F (v, um (v)) = v − (um (v)) ∂u ∂u Beschränkung auf v-Werte mit eindeutigem Maximum um (v) 0= Im Folgenden: Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Funktionen mehrerer Variabler Legendre -Transformation bzgl. mehrerer Variabler Bemerkungen: I Matrix ∂um (v) ∂v positiv definit wegen ò−1 ∂um ∂2F (v) = (um (v)) ∂v ∂u2 ï I Falls Lösung um (v) existiert . . . Annahme von u1,2 ⇒ Lösung ist eindeutig, denn . . . mit u2 − u1 ≡ u21 6= 0 führt zum Widerspruch: ∂F ∂F 0= (u2 ) − (u1 ) · u21 = ∂u ∂u h i Z = 1 dλ 0 uT 21 Z u2 u1 ∂2F du (u) u21 ∂u2 T ∂2F (u1 + λu21 ) u21 > 0 ∂u2 [Parametrisiere Integrationsweg von u1 nach u2 durch u(λ) = u1 + λu21 ] Definition der Legendre-Transformierten G von F : Å e (v, um (v)) = v · um (v) − F (um (v)) G (v) ≡ G ∂2G positiv definit ∂v2 ã Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Funktionen mehrerer Variabler Legendre -Transformation bzgl. mehrerer Variabler Eigenschaften der Legendre -Transformierten G (v): ∂2G ∂v2 1. G (v) strikt konvex: positiv definit 2. Legendre -Transformierte von G durch F gegeben (Dualität), denn . . . I definiere zunächst Hilfsfunktion: e (u, v) ≡ u · v − G (v) = u · v − [v · um (v) − F (um (v))] F I I I e strikt konkav als Funktion von v G (v) strikt konvex ⇒ F e als Funktion von v: Daher gilt für F @ Maximum ∨ ∃! Maximum für v = vm (u) mit e ∂F ∂G 0= (u, vm (u)) = u − (vm (u)) = u − um (vm (u)) ∂v ∂v ∗ −1 Fazit: vm = u−1 m bzw. um = vm und daher F und G dual: F = F e (u, vm (u)) = vm (u)·[u − um (vm (u))]+F (um (vm (u))) = F (u) F ∗ (u) ≡ F 3. Young’sche Ungleichung: e (v, u) ≤ G e (v, um (v)) = G (v) v · u − F (u) = G ⇒ v · u ≤ F (u) + G (v) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Funktionen mehrerer Variabler Legendre -Transformation bzgl. mehrerer Variabler Beispiel 1: F (u) = 12 u2 e (v, u) = v · u − 12 u2 hat Maximum bei u = um (v) = v I Hilfsfunktion G I Legendre -Transformierte G von F : G (v) = v · um (v) − 1 2 [um (v)]2 = v2 − 12 v2 = 12 v2 (G und F selbstdual) I Young’sche Ungleichung: u · v ≤ 21 (u2 + v2 ) 0 ≤ 12 (u − v)2 bzw. Beispiel 2: F (u) = p1 |u|p mit p ∈ R , p > 1 und u 6= 0 e (v, u) = v · u − p1 |u|p I Hilfsfunktion G I Definiere q ≡ p p−1 >1 ⇒ ⇒ um (v) = |v|(2−p)/(p−1) v Legendre -Transformierte G von F : G (v) = v · um (v) − F (um (v)) = |v| 1 1+ p−1 − äp 1 1 Ä p−1 1 = |v|q |v| p q I Young’sche Ungleichung: 1 1 u · v ≤ |u|p + |v|q p q 1 1 p, q > 1 ; + =1 p q Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Funktionen mit zusätzlichen Dummy“-Variablen ” Funktionen mit zusätzlichen Dummy“-Variablen ” Verallgemeinerung: I Funktionen F (u, w) mit u ≡ (u1 , u2 , . . . , un ), w ≡ (w1 , w2 , . . . , wn0 ) I F (u, w) wird nur bezüglich der u-Variablen Legendre -transformiert I Physikalische Relevanz: L L(q, q̇, t) −→ H(q, p, t) Erforderliche Änderungen: F (u) → F (u, w) und e (v, u) → G e (v, u, w) G um (v) → um (v, w) G (v) → G (v, w) vm (u) → vm (u, w) Insbesondere: ∂F v= (um (v, w), w) , G (v, w) = v · um (v, w) − F (um (v, w), w) ∂u Partielle Ableitungen von G bezüglich v und w: ∂G ∂um (v, w) = um (v, w) + (v, w) ∂v ∂v h ∂G (v, w) = ∂w h iT h ∂F v− (um (v, w), w) ∂u iT h ∂um (v, w) ∂w i = um (v, w) ∂F ∂F ∂F v− (um (v, w), w) − (um (v, w), w) = − (um , w) ∂u ∂w ∂w i Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Funktionen mit zusätzlichen Dummy“-Variablen ” Funktionen mit zusätzlichen Dummy“-Variablen ” Verallgemeinerung: I Funktionen F (u, w) mit u ≡ (u1 , u2 , . . . , un ), w ≡ (w1 , w2 , . . . , wn0 ) I F (u, w) wird nur bezüglich der u-Variablen Legendre -transformiert Erforderliche Änderungen: F (u) → F (u, w) und e (v, u) → G e (v, u, w) G um (v) → um (v, w) G (v) → G (v, w) vm (u) → vm (u, w) Insbesondere: ∂F v= (um (v, w), w) , G (v, w) = v · um (v, w) − F (um (v, w), w) ∂u Partielle Ableitungen von G bezüglich v und w: ∂G (v, w) = um (v, w) ∂v , Differential dG : dG = um (v, w) · dv − ∂G ∂F (v, w) = − (um (v, w), w) ∂w ∂w ∂F (um (v, w), w) · dw ∂w Umgekehrt für Differential dF : ∂G dF = vm (u, w) · du − (vm (u, w), w) · dw ∂w Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Anwendung auf die Lagrange-Funktion Anwendung auf die Lagrange-Funktion Gesucht: Legendre -Transformierte der Lagrange-Funktion L(q, q̇, t) bezüglich q̇ ! [ (q, t) Dummy“-Variablen ] ” Führe ein: I neue Variable p = (p1 , p2 , . . . , pf ) [kanonisch zu q konjugierter Impuls] e (q, p, q̇, t) ≡ p · q̇ − L(q, q̇, t) I Hilfsfunktion H ‹: Eigenschaften der Hilfsfunktion H e strikt konkav als Funktion von q̇ I H e als Funktion von q̇ gilt: ∃! Maximum für q̇ = q̇m (q, p, t) mit I Für H e ∂H ∂L (q, p, q̇m , t) = p − (q, q̇m , t) ∂ q̇ ∂ q̇ I Legendre -Transformierte von L(q, q̇, t) : (Hamilton-Funktion!) e (q, p, q̇m , t) = p · q̇m (q, p, t) − L(q, q̇m (q, p, t), t) H(q, p, t) ≡ H 0= I H strikt konvex als Funktion von p ⇒ Rücktransformation möglich Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Anwendung auf die Lagrange-Funktion Die Rücktransformation Eigenschaften der Hamilton-Funktion H : I Legendre -Transformierte von L(q, q̇, t): (Hamilton-Funktion!) e (q, p, q̇m , t) = p · q̇m (q, p, t) − L(q, q̇m (q, p, t), t) H(q, p, t) ≡ H I H strikt konvex als Funktion von p ⇒ Rücktransformation möglich Rücktransformation: I Definiere Hilfsfunktion: e L(q, q̇, p, t) ≡ q̇ · p − H(q, p, t) I e L strikt konkav als Funktion von p I Für e L gilt: ∃! Maximum für p = pm (q, q̇, t) mit ∂e L ∂H (q, q̇, pm , t) = q̇ − (q, pm , t) ∂p ∂p I Legendre -Transformierte von H : 0= L∗ (q, q̇, t) ≡ e L(q, q̇, pm , t) = pm · [q̇ − q̇m (q, pm , t)] + L(q, q̇m (q, pm , t), t) I Beziehungen: q̇ = q̇m (q, pm (q, q̇, t), t) I Fazit: L∗ (q, q̇, t) = L(q, q̇, t) , p = pm (q, q̇m (q, p, t), t) (L und H dual) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Anwendung auf die Lagrange-Funktion Differentiale von H und L , Young’sche Ungleichung Differentiale einer Funktion F (u, w) mit Legendre -Transformierter G (v, w) : I Differential dG : dG = um (v, w) · dv − ∂F (um (v, w), w) · dw ∂w I Differential dF : ∂G (vm (u, w), w) · dw ∂w u · v ≤ F (u, w) + G (v, w) dF = vm (u, w) · du − Young’sche Ungleichung: Daher für die Differentiale von H und L : ∂L ∂L (q, q̇m , t) · dq − (q, q̇m , t)dt ∂q ∂t ∂H ∂H dL = pm (q, q̇, t) · d q̇ − (q, pm , t) · dq − (q, pm , t)dt ∂q ∂t dH = q̇m (q, p, t) · dp − . . . und für die Young’sche Ungleichung: p · q̇ ≤ L(q, q̇, t) + H(q, p, t) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Zwei einfache Beispiele Zwei einfache Beispiele Beispiel 1 Wirbelfreie Kraft: L(x, ẋ, t) = 12 mẋ2 − V (x, t) e (x, p, ẋ, t) ≡ p · ẋ − L(x, ẋ, t) I Hilfsfunktion H H e hat Maximum bei ẋ = ẋm (p) = p/m I 0 = ∂e = p − mẋm ⇒ H ∂ ẋ I Legendre -Transformierte H von L : 2 2 2 e (x, p, ẋm , t) = p − p − V (x, t) = p + V (x, t) H(x, p, t) ≡ H m 2m 2m I Young’sche Ungleichung: 1 2 1 p (mẋ − p)2 ẋ · p ≤ 12 mẋ2 + 2m bzw. 0 ≤ 2m ï ò Beispiel 2 Lorentz-Kraft: L(x, ẋ, t) = 12 mẋ2 − q̂ [Φ(x, t) − ẋ · A(x, t)] e (x, p, ẋ, t) = p · ẋ − 12 mẋ2 + q̂ [Φ(x, t) − ẋ · A(x, t)] I Hilfsfunktion H H I 0 = ∂e = p − mẋm − q̂A(x, t) ⇒ ∂ ẋ I Legendre -Transformierte H von L : ẋm (p) = 1 m [p − q̂A(x, t)] 1 e (x, p, ẋm , t) = 2m H(x, p, t) ≡ H [p − q̂A(x, t)]2 + q̂Φ(x, t) I Young’sche Ungleichung: 1 ẋ · [p − q̂A(x, t)] ≤ 12 mẋ2 + 2m [p − q̂A(x, t)]2 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Nicht-Eindeutigkeit der Hamilton-Funktion Nicht-Eindeutigkeit der Hamilton-Funktion Eigenschaften der Hamilton-Funktion H : I Legendre -Transformierte von L(q, q̇, t): (Hamilton-Funktion!) e (q, p, q̇m , t) = p · q̇m (q, p, t) − L(q, q̇m (q, p, t), t) H(q, p, t) ≡ H I H strikt konvex als Funktion von p Hamilton-Funktion nicht eindeutig definiert: I Lagrange-Funktion L nicht eindeutig: ∂λ ∂λ d λ(q, t) = L + (q, t) · q̇ + (q, t) dt ∂q ∂t e (q, p, q̇, t) = p · q̇ − L ändert sich I Hilfsfunktion H L0 = L + e verschiebt sich von q̇m nach q̇0m : I Maximum von H p= ∂L0 ∂L ∂λ ∂λ (q, q̇0m , t) = (q, q̇0m , t)+ (q, t) , q̇0m (q, p, t) = q̇m (q, p− , t) ∂ q̇ ∂ q̇ ∂q ∂q (Fazit: H und H 0 vollständig äquivalent!) H 0 (q, p, t) = p · q̇0m − L0 = p · q̇0m − L − ∂λ · q̇0m − ∂λ ∂q ∂t Neue Hamilton-Funktion: = p− ∂λ ∂q · q̇0m − L(q, q̇0m , t) − ∂λ (q, t) ∂t = H(q, p − ∂λ , t) ∂q − ∂λ (q, t) ∂t Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Die Hamilton-Gleichungen Die Hamilton-Gleichungen Å I I I I ã Verknüpfung erst durch Variablen (q, p, t) in H unabhängig Bewegungsgleichung! Verallgemeinerter Impuls der Lagrange-Theorie: ∂L p(q, q̇, t) = (q, q̇, t) ∂ q̇ Lagrange-Gleichung für qφ (t): ∂L (qφ (t), q̇φ (t), t) , pφ (t) ≡ p (qφ (t), q̇φ (t), t) ṗφ (t) = ∂q Inversion der Beziehung pφ = ∂L (qφ , q̇φ , t) → ∂ q̇ q̇φ = q̇m (qφ , pφ , t) ⇒ pφ = pm (qφ , q̇φ , t) I Beziehungen: ∂H ∂L ∂H (q, p, t) = − (q, q̇m , t) , (q, p, t) = q̇m (q, p, t) ∂q ∂q ∂p I Insbesondere für physikalische Bahn: ∂H ∂H ∂L (qφ , q̇φ , t) = − (qφ , pφ , t) , q̇m (qφ , pφ , t) = (qφ , pφ , t) ∂q ∂q ∂p I Kombination → ∂H ∂H ṗφ = − (qφ , pφ , t) , q̇φ = (qφ , pφ , t) ∂q ∂p Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.1 Die Legendre -Transformation Die Hamilton-Gleichungen Die Hamilton-Gleichungen und die Energie Hamilton-Gleichungen: ṗφ = − Falls ∂H ∂t ∂H (qφ , pφ , t) ∂q ! = − ∂L = 0 ∂t ⇒ , [ Kurzform: ṗ = − ∂H , q̇ = ∂q ∂H q̇φ = (qφ , pφ , t) ∂p ∂H ∂p ] ∃ Erhaltungsgröße: Hφ (t) ≡ H(qφ (t), pφ (t), t) . . . denn: dHφ d ∂H ∂H ∂H (t) = H(qφ , pφ , t) = · q̇φ + · ṗφ + dt dt ∂q φ ∂p φ ∂t φ = ∂H ∂q · φ ∂H ∂p − φ Interpretation von Hφ , falls ∂H ∂t ∂H ∂p · φ ∂H ∂q + φ ∂H ∂t = − ∂L = 0: ∂t = φ ∂H ∂t φ ∂L =− ∂t H und J für physikalische Bahnen gleich! φ ∂L Hφ = pφ · q̇φ − Lφ = · q̇ − L = Jφ (= b Energie!) ∂ q̇ φ Beziehung Hamilton-Funktion ↔ Jacobi-Integral: H(q, p, t) = J(q, q̇m (q, p, t), t) , J(q, q̇, t) = H(q, pm (q, q̇, t), t) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.2 Beispiele für die Wirkung des Hamilton-Formalismus Geschwindigkeitsunabhängige Kräfte 6.2 Beispiele für die Wirkung des Hamilton-Formalismus Konservative/wirbelfreie Kräfte ⇒ Lagrange-Funktion: L(q, q̇, t) = T (q, q̇, t) − V (q, t) Kinetische Energie: X T (q, q̇, t) = 1 2 akl (q, t)q̇k q̇l + k,l X ak (q, t)q̇k + a0 (q, t) k ≡ 21 q̇T M(q, t)q̇ + a(q, t) · q̇ + a0 (q, t) Bemerkungen: I Massentensor M(q, t) symmetrisch, positiv definit I T und L strikt konvex als Funktionen von q̇ Spezialfall: Zwangsbedingungen t-unabhängig , xi = xi (q) ⇒ L(q, q̇, t) = T (q, q̇) − V (q, t) T (q, q̇) = 1 2 X akl (q)q̇k q̇l ≡ 21 q̇T M(q)q̇ [M(q) zeitunabhängig] k,l Beziehung Geschwindigkeit ↔ Impuls: ∂L p= (q, q̇m , t) = M(q)q̇m ∂ q̇ , q̇m (q, p) = M(q)−1 p Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.2 Beispiele für die Wirkung des Hamilton-Formalismus Geschwindigkeitsunabhängige Kräfte Hamilton-Mechanik für konservative/wirbelfreie Kräfte Spezialfall: Zwangsbedingungen t-unabhängig , xi = xi (q) ⇒ L(q, q̇, t) = T (q, q̇) − V (q, t) = 12 q̇T M(q)q̇ − V (q, t) Beziehung Geschwindigkeit ↔ Impuls: ∂L (q, q̇m , t) = M(q)q̇m p= ∂ q̇ , q̇m (q, p) = M(q)−1 p Hamilton-Funktion: H(q, p, t) = p · q̇m − L(q, q̇m , t) = pT M −1 p − 1 2 (M −1 p)T M(M −1 p) − V (q, t) = pT M −1 − 21 (M −1 )T MM −1 p + V (q, t) = 21 pT M(q)−1 p + V (q, t) Hamilton-Gleichungen: q̇ = ∂H ∂M −1 1 T ṗk = − = 2p − ∂qk ∂qk Å ∂H ∂p ã = M −1 p bzw. ∂V ∂M −1 ∂V p− = 12 pT M −1 M p− ∂qk ∂qk ∂qk Fazit: I Hamilton-Funktion: H(q, p, t) = T (q, q̇m (q, p)) + V (q, t) I Lagrange-Funktion L = T − V ⇒ H = T + V , falls ∂T = 0 & ∂t ∂V ∂ q̇ =0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.2 Beispiele für die Wirkung des Hamilton-Formalismus Geschwindigkeitsunabhängige Kräfte Konservative/wirbelfreie Kräfte - Beispiele Beispiel 1: Teilchen der Masse m, wirbelfreie Kräfte → Lagrange-Funktion: Lagrange-Gleichung: Hamilton-Funktion: L(x, ẋ, t) = 21 mẋ2 − V (x, t) ∂V mẍ = − (x, t) ∂x H(x, p, t) = p2 /2m + V (x, t) Hamilton-Gleichungen: ẋ = p/m ṗ = − , ∂V (x, t) ∂x Beispiel 2: Isotroper harmonischer Oszillator V (x) = 21 mω2 x2 (Spezialfall) Lagrange-Funktion & -Gleichung: L(x, ẋ) = 12 mẋ2 − 21 mω 2 x2 Hamilton-Funktion: , ẍ = −ω 2 x H(x, p) = p2 /2m + 21 mω 2 x2 Hamilton-Gleichungen: ẋ = p/m , ṗ = −mω 2 x Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.2 Beispiele für die Wirkung des Hamilton-Formalismus Geschwindigkeitsunabhängige Kräfte Lorentz-Kräfte - ein Beispiel Betrachte: System N nicht-wechselwirkender Teilchen, Lorentz-Kräfte L(q, q̇, t) = T (q, q̇, t) − VLor (q, q̇, t) , VLor (q, q̇, t) = Φ(q, t) − A(q, t) · q̇ Kartesische Koordinaten: q → X , q → X , T = Φ(q, t) = N X q̂i ΦK (xi , t) 2 1 i 2 mi ẋi P und A(q, t) = (q̂1 A(x1 , t), . . . , q̂N A(xN , t)) , i=1 Hamilton-Funktion: [ P ≡ (p1 , p2 , . . . , pN ) ] N H(X, P, t) = Xn i=1 1 [pi − q̂i A(xi , t)]2 + q̂i ΦK (xi , t) 2mi o Spezialfall: einzelnes geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld H(x, p, t) = 1 [p − q̂A(x, t)]2 + q̂ΦK (x, t) 2m (vgl. Quantenmechanik!) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.3 Ein Variationsprinzip für die Hamilton-Gleichungen Notationen und Definitionen 6.3 Ein Variationsprinzip für die Hamilton-Gleichungen Resumee: Hamilton-Prinzip (Lagrange-Theorie) I Physikalische Bahn im Konfigurationsraum: εκ0(t̄) qφ (t) = {qφk (t)} (q1 , t1 ) t̄ q0 (t) (q2 , t2 ) qφ (t) εκ00(t̄) I Allgemeine benachbarte Bahnen & Variationen: (δqk )(t) ≡ qk (t) − qφk (t) = εκk (t) (δq)(t) ≡ q(t) − qφ (t) = εκ(t) Wirkung: (q ,t ) S(q12,t12) [q] Z , κ(t) = {κk (t)} , κ(t1 ) = κ(t2 ) = 0 t2 = dt L(q(t), q̇(t), t) t1 Hamilton’sches Prinzip: lim ε→0 1 (q ,t ) (δS)(q21 ,t21 ) [qφ + εκ] = 0 ε (∀κ mit κ(t1 ) = κ(t2 ) = 0) Konsequenz des Hamilton’schen Prinzips: ï δS δq(t) ò φ ∂L d = (qφ (t), q̇φ (t), t) − ∂q dt h ∂L ! (qφ (t), q̇φ (t), t) = 0 ∂ q̇ i q00 (t) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.3 Ein Variationsprinzip für die Hamilton-Gleichungen Variationsprinzip für die Hamilton-Gleichungen Variationsprinzip für die Hamilton-Gleichungen? Hamilton-Gleichungen: ṗφ = − [ Kurzform: ∂H (qφ , pφ , t) ∂q , ṗ = − ∂H , q̇ = ∂q ∂H ∂p ] ∂H (qφ , pφ , t) ∂p q̇φ = Definiere: I Physikalische Bahn: (qφ (t), pφ (t)) mit qφ (t) = {qφk (t)} pφ (t) = {pφk (t)} , I Benachbarte Bahnen: (q(t), p(t)) mit I Variationen: q(t1 ) = qφ (t1 ) ≡ q1 q(t2 ) = qφ (t2 ) ≡ q2 , [ κ(t1 ) = κ(t2 ) = 0 , π(t1 ) und π(t2 ) beliebig (endlich) ] (δq)(t) ≡ q(t) − qφ (t) ≡ εκ(t) (δp)(t) ≡ p(t) − pφ (t) ≡ επ(t) , Wirkungsfunktional ( kanonisches Integral“): ” Z t Z t 2 (q2 ,t2 ) e(q S [q, p] ≡ ,t ) 1 2 dt [q̇(t) · p(t) − H(q(t), p(t), t)] dt e L (q(t), q̇(t), p(t), t) = 1 (stationärer Punkt?) t1 t1 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.3 Ein Variationsprinzip für die Hamilton-Gleichungen Variationsprinzip für die Hamilton-Gleichungen Variationsprinzip für die Hamilton-Gleichungen! Wirkungsfunktional: (q ,t ) S(q12,t12) [q, p] e Z (stationärer Punkt?) t2 ≡ Z t2 dt [q̇(t) · p(t) − H(q(t), p(t), t)] dt e L (q(t), q̇(t), p(t), t) = t1 t1 Stationärer Punkt dieser Wirkung: Å 1 (q ,t ) 0 = lim (δe S )(q2 ,t2 ) qφ + εκ, pφ + επ 1 1 ε↓0 ε Z t2 = ñÅ dt t1 Z t2 = ®ï dt t1 ∂e L ∂q ã Å · κ(t) + φ ∂e L d − ∂q dt Å ∂e L ∂ q̇ 0= Å 0= ∂e L ∂q ã ∂e L ∂p ã d − dt φ Å · κ̇(t) + φ Å · κ(t) + φ ∂e L ∂p ∂e L ∂p ã ô ã · π(t) φ ´ · π(t) φ (Hamilton-Gleichungen!) Å = q̇φ − φ Hamilton’sches Prinzip ã ãò Stationaritätsbedingungen: Å ∂e L ∂ q̇ δe S = 0 : modifiziertes ∂e L ∂ q̇ ã =− φ ∂H (qφ , pφ , t) − ṗφ ∂q ∂H (qφ , pφ , t) ∂p ã Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.4 Erhaltungsgrößen und Poisson-Klammern Zeitentwicklung von Observablen 6.4 Erhaltungsgrößen und Poisson-Klammern Observable in der Hamilton-Theorie: Funktion A(q, p, t) zur Beschreibung einer Messgröße A Vorhersage eines Messwerts für A : (für alle physikalischen Bahnen) A qφ , pφ , t = Aφ (t) Beispiele: (kinetischer) Impuls, (kinetischer) Drehimpuls, (kinetische) Energie, Massenschwerpunkt, magnetisches Moment, elektrisches Dipolmoment Zeitentwicklung einer Observablen: d d Aφ = A qφ , pφ , t = dt dt = Nomenklatur: ∂A ∂q ∂A ∂H ∂A ∂H · − · ∂q ∂p ∂p ∂q · q̇φ + φ + φ ∂A ∂t ∂A ∂p · ṗφ + φ ∂A ∂t = {A, H}φ + φ φ ∂A ∂t φ {A, B} heißt die Poisson-Klammer von A(q, p, t) und B(q, p, t) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.4 Erhaltungsgrößen und Poisson-Klammern Definition der Poisson-Klammern Definition der Poisson-Klammern Observable in der Hamilton-Theorie: Funktion A(q, p, t) zur Beschreibung einer Messgröße A Vorhersage eines Messwerts für A : A qφ , pφ , t = Aφ (t) Zeitentwicklung einer Observablen: ({A, B} = Poisson-Klammer ) d ∂A ∂H ∂A ∂H ∂A ∂A Aφ = · − · + = {A, H}φ + dt ∂q ∂p ∂p ∂q φ ∂t φ ∂t φ Definition der Poisson-Klammer {A, B} von A(q, p, t) und B(q, p, t): X ∂A ∂B ∂A ∂B ∂A ∂B ∂A ∂B {A, B} ≡ · − · = − ∂q ∂p ∂p ∂q ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk k Für Erhaltungsgrößen gilt: ( Bewegungsintegrale“) ” d ∂A 0= Aφ = {A, H}φ + dt ∂t φ Spezialfall ∂A ∂t = 0: (nicht-explizit zeitabhängige Observablen) d 0= Aφ = {A, H}φ dt Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.4 Erhaltungsgrößen und Poisson-Klammern Eigenschaften von Poisson-Klammern Eigenschaften von Poisson-Klammern Poisson-Klammern . . . I . . . sind schiefsymmetrisch: {A, B} = −{B, A} I . . . sind bilinear: {α1 A1 + α2 A2 , B} = α1 {A1 , B} + α2 {A2 , B} {A, β1 B1 + β2 B2 } = β1 {A, B1 } + β2 {A, B2 } I . . . rein zeitabhängiger Funktionen C (t) sind Null: {A, C } = 0 I . . . erfüllen die Produktregeln: {A1 A2 , B} = A1 {A2 , B} + A2 {A1 , B} ∂ {A, B} = ∂t n ∂A ,B ∂t o ∂B + A, ∂t n o I . . . erfüllen die Jacobi-Identität: ! {A, {B, C }} + {B, {C , A}} + {C , {A, B}} = 0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.4 Erhaltungsgrößen und Poisson-Klammern Jacobi-Identität & Poisson’sches Theorem Beweis der Jacobi-Identität & Poisson’sches Theorem Jacobi-Identität: {A, {B, C }} + {B, {C , A}} + {C , {A, B}} = 0 Definitionen: ∂2A ∂qk ∂ql Ç ∂A å ak ≡ ∂pk ∂A ∂qk Akl ≡ , Explizite Berechnung: {A, {B, C }} = 1 2 2 A − ∂p∂k ∂q l 2 A − ∂q∂k ∂p l ! Å ∂2A ∂pk ∂pl analog für B und C ã (& zyklische Vertauschung → insgesamt Null) X T T T aT k Ckl bl + bk Ckl al − ak Bkl cl − ck Bkl al k,l Poisson’sches Theorem: Poisson-Klammer zweier Erhaltungsgrößen = Erhaltungsgröße! Bewegungsgleichungen für Observablen A und B: d Aφ = {A, H}φ + dt ∂A ∂t φ =0 , d Bφ = {B, H}φ + dt ∂B ∂t φ =0 Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout 6.4 Erhaltungsgrößen und Poisson-Klammern Spezialfälle der Poisson-Klammer Poisson’sches Theorem, Spezialfälle der Poisson-Klammer A und B erhalten: {A, H} + ∂A = 0 , {B, H} + ∂B =0 ∂t ∂t Konsequenz: (A priori unklar: Erhaltungsgröße {A, B} nicht-trivial?) d {A, B}φ = {{A, B}, H}φ + dt h ∂ {A, B} ∂t i φ ß ™ ß ∂B ∂A , B + A, = −{{B, H}, A}φ − {{H, A}, B}φ + ∂t ™ φ ∂t ß ™ ß ∂A ∂B ! = {A, H} + , B − {B, H} + ,A = 0 ∂t ∂t φ φ ™ φ Spezialfälle der allgemeinen Poisson-Klammer: I Für beliebige Observable A(q, p, t) gilt: ∂q ∂A ∂q ∂A ∂A ∂A − = −11 =− ∂p ∂q ∂q ∂p ∂p ∂p ∂p ∂A ∂p ∂A ∂A ∂A {A, p} = − = 11 = ∂p ∂q ∂q ∂p ∂q ∂q {A, q} = I Fundamentale Poisson-Klammern: {qk , ql } = 0 , {pk , pl } = 0 , {qk , pl } = δkl Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Anhang SI-Einheiten SI-Einheiten Dielektrizitätskonstante des Vakuums: ε0 ≡ 1 µ0 c 2 Permeabilität des Vakuums: kg m A2 s2 µ0 ≡ 4π × 10−7 Lichtgeschwindigkeit: c ≡ 299 792 458 m/s Wellenwiderstand“ des Vakuums: ” »µ 0 ε0 ' 376, 73 Ω Einführung Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Anhang Axiome des Vektorraums, des Skalarprodukts Axiome des Vektorraums, des Skalarprodukts ß Axiome des ™ reellen Vektorraums : (linearen Raums) (∀a, b, c ∈ V , ∀α, β ∈ R) ∃! a + b ∈ V ∃! αa ∈ V a + (b + c) = (a + b) + c (αβ)a = α(βa) a+b=b+a 1a = a (∃x ∈ V ) (a + x = b) α(a + b) = αa + αb (α + β)a = αa + βa Raum-Zeit-Struktur (∀a, b, c ∈ V , ∀α ∈ R) Axiome des reellen Skalarprodukts: (a + b, c) = (a, c) + (b, c) (αa, b) = α(a, b) (a, b) = (b, a) (∀a 6= 0) [ (a, a) > 0 ] Euklidischer Vektorraum = reeller Vektorraum + reelles Skalarprodukt Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Anhang Axiome des Vektorraums, des Skalarprodukts Korrespondenz ê0i = Rêi ↔ x0 = R −1 x mit Rij ≡ (êi , Rêj ) Startpunkt: pp p pp p p p p p pp pp pp pp pp p p pp p pp p pp p p pp x10 pp 6 p p pp pp p ê2 Ip p p ê01 ê02@ @ 0 x2 @ @ @ x2 Invarianz von ξ (= ξ0 ) unter ξ = ξ0 x1 Drehungen R der Basisvektoren Konsequenz: X ! 0 X 0 0 xj êj ≡ ξ = ξ ≡ xi êi j i = X xi0 Rêi = X i = ê1 Ç X X j xi0 êj (êj , Rêi ) ij å Rji xi0 êj i Fazit: Drehung der Basisvektoren Rückdrehung der Koordinaten x = Rx0 bzw. x0 = R −1 x Gravitationsgesetz Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Anhang Die Drehgruppe, ein Kompendium Die Drehgruppe, ein Kompendium Definition: R T R = 11 In Worten: Drehung = , det(R) = 1 lineare homogene orthogonale Transformation mit der Determinante Eins ! Parametrisierung von Drehungen: I Drehung definiert durch Drehwinkel α ≡ |α| und Drehrichtung α̂ ≡ α/α I Drehrichtung α̂ durch zwei Winkel festgelegt: α̂ = cos(ϕ) sin(ϑ) sin(ϕ) sin(ϑ) cos(ϑ) I Daher insgesamt: ! , 0≤ϑ≤π [Korrespondenz: , 0 ≤ ϕ < 2π (α, ϑ, ϕ) ↔ (−α, π − ϑ, ϕ ± π)] Drehvektor α = αα̂ mit −π < α ≤ π durch drei Winkel (α, ϑ, ϕ) bestimmt Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Anhang Die Drehgruppe, ein Kompendium Parametrisierung von Drehungen Identität: α̂ (s. Übung) x = α̂(α̂ · x) − α̂ × (α̂ × x) α̂·x ™ Å α̂ = cos(ϕ) sin(ϑ) sin(ϕ) sin(ϑ) cos(ϑ) ã |α̂×x| |α̂×x| α x Drehung von x um Winkel α um α̂-Richtung! R(α)x R(α)x = α̂(α̂·x)−α̂×(α̂×x) cos(α)+(α̂×x) sin(α) ψ α̂×x |α̂×x| 0 α |α̂×x| sin(α) |α̂×x| cos(α) − α̂×(α̂×x) |α̂×x| Matrixdarstellung von R(α) möglich! (s. Übung) Rij (α) = δij cos(α)+α̂i α̂j [1−cos(α)]−εijk α̂k sin(α) Einfaches Beispiel: Rotation um Winkel α um x3 -Achse: Ç Parametrisierung von Drehungen [ mit (a × b)i = εijk aj bk ] R(αê3 ) = cos(α) sin(α) 0 − sin(α) cos(α) 0 0 0 1 å Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Anhang Die Drehgruppe, ein Kompendium Die Drehungen als Gruppe Die Drehungen {R(α)} bilden bekanntlich eine Gruppe, da (i) das Produkt zweier Drehungen wiederum eine Drehung darstellt: (R1 R2 )T R1 R2 = R2T R1T R1 R2 = R2T R2 = 11 , det(R1 R2 ) = 1 (ii) Multiplizieren von Matrizen (daher auch Drehungen) assoziativ ist (iii) auch die Identität 11 eine Drehung darstellt, und (iv) die Inverse R(α)−1 = R T (α) = R(−α) einer Drehung eine Drehung ist Drehgruppe nicht-abelsch: (Multiplikation 6= kommutativ) R(α1 )R(α2 ) 6= R(α2 )R(α1 ) Beispiel: ê3 = R Äπ ä Äπ ä 2 ê1 R 2 ê3 ê1 6= R Äπ ä Äπ ä 2 ê3 R 2 ê1 ê1 = ê2 Galilei-Transformationen Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Anhang Form der allgemeinen Galilei-Transformationen Form der allgemeinen Galilei-Transformationen Behauptung: Eine allgemeine Galilei-Transformation hat die Form: x0 (x, t) = σR −1 x − vt − ξ Startpunkt Beweis: , t0 = t − τ Relativitätsprinzip mit σ = ±1 → Alle Koordinatensysteme, die sich relativ zu einem Inertialsystem in geradlinig-gleichförmiger Bewegung befinden, sind selbst Inertialsysteme Daher: ∃ bestimmte v und ξ, so dass gilt: x0 (0, t) = −vt − ξ Definiere: x00 (x, t) ≡ x0 (x, t) + vt + ξ x00 (0, t) = 0 , ⇒ |x00 (x2 , t) − x00 (x1 , t)| = |x2 − x1 | Im Folgenden zu zeigen: 00 x (x, t) ß (∀ x1 , x2 ) hängt linear von x ab ist t-unabhängig Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Anhang Form der allgemeinen Galilei-Transformationen Definiere: x00 (x, t) ≡ x0 (x, t) + vt + ξ x00 (0, t) = 0 , ⇒ |x00 (x2 , t) − x00 (x1 , t)| = |x2 − x1 | (∀ x1 , x2 ) ⇒ Insbesondere für x1 = 0 oder x2 = 0 00 |x (x2 , t)| = |x2 | , |x00 (x1 , t)| = |x1 | Daher gilt: 0 = |x00 (x2 , t) − x00 (x1 , t)|2 − |x2 − x1 |2 = (x002 − x001 ) · (x002 − x001 ) − (x2 − x1 ) · (x2 − x1 ) = |x002 |2 + |x001 |2 − 2x001 · x002 − |x2 |2 − |x1 |2 + 2x1 · x2 = 2 x1 · x2 − x00 (x1 , t) · x00 (x2 , t) x00 (x, t) · x00 (y, t) = x · y (∀ x, y ∈ R3 ) Resultat: Insbesondere für y = λ1 y1 + λ2 y2 mit λ1,2 ∈ R: x00 (x, t) · x00 (λ1 y1 + λ2 y2 , t) = x · (λ1 y1 + λ2 y2 ) = λ1 x · y1 + λ2 x · y2 = x00 (x, t) · λ1 x00 (y1 , t) + λ2 x00 (y2 , t) Theoretische Physik 1: Einführung in die Theoretische Physik - Handout Anhang Form der allgemeinen Galilei-Transformationen Resultat ∀λ1,2 ∈ R: x00 (x, t) · x00 (λ1 y1 + λ2 y2 , t) = x00 (x, t) · λ1 x00 (y1 , t) + λ2 x00 (y2 , t) Dies gilt ∀x ∈ R3 und daher ∀x00 (x, t) ∈ R3 Linearität von x00 (y, t): ⇒ x00 (λ1 y1 + λ2 y2 , t) = λ1 x00 (y1 , t) + λ2 x00 (y2 , t) ∃ lineare Transformation Ot mit Fazit: x00 (y, t) = Ot y Fordere: vrel (K 0 , K ) = v ist y-unabhängig ⇒ dx0 (y, t) d dOt ! = (Ot y − vt − ξ) = y − v = −v dt dt dt Daher: dOt =0 dt ⇒ Ot zeitunabhängig (Ot = O) und wegen x00 (x, t) · x00 (y, t) = x · y: Ox · Oy = x · OT Oy = x · y (∀ x, y ∈ R3 ) Fazit: O orthogonal: OT O = 11 ⇒ O = σR −1 ⇒ x0 (x, t) = σR −1 x − vt − ξ , t0 = t − τ mit Galilei-Transformationen σ = ±1
