4 . ¨Ubung zur Lineare Algebra
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Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Dr. J. Jordan
Sommersemester 2014
05.05.2014
4 . Übung zur Lineare Algebra
Abgabe: 12.05.2014, 14:13 Uhr, In der Vorlesung.
4.1 (2+2+2 Punkte)
a) Untersuchen Sie für die Fälle K = R, Z3 jeweils, ob die Menge
1
0
1
1 , 2 , 2
1
0
1
linear unabhängig in K3 ist.
b) Es sei
1
M = p , p ∈ P ⊂ R3
p+1
Bestimmen Sie eine Basis von span(M ).
c) Für welche z ∈ C ist
z
i
,
i
z
ein Erzeugendensystem von C2 ?
4.2 ( 2 Punkte)
Es sei Abb(R, R) versehen mit der üblichen Addition und der üblichen skalaren Multiplikation. Untersuchen Sie, ob die Teilmengen
U1 = {f ∈ Abb(R, R) | ∀x ∈ R : f (x) ≥ 0}
bzw.
U2 = {f ∈ Abb(R, R) | f (R) hat höchstens 2 Elemente}
Unterräume von Abb(R, R) sind.
4.3 (2 Punkte)
Untersuchen Sie, ob Abb(R, R) versehen mit der üblichen Addition und der Komposition f ◦ g : x 7→ f (g(x)) ein Ring ist.
4.4 ( 1+2+2+1+1 Punkte)
Im folgenden wird der Steinitzsche Austauschsatz durch vollständige Induktion
bewiesen (Satz 2.10 aus der Vorlesung).
(1) Sei B = {b1 , . . . , bn } eine Basis eines Vektorraumes V über den Körper K.
(2) Weiter sei S = {s} ⊂ V linear unabhängig.
P
(3) Da B eine Basis ist, gibt es λ1 , . . . , λn ∈ K mit s = ni=1 λi bi und λj 6= 0 für
mindestens ein j ∈ {1, . . . , n}.
(4) Dann ist B \ {bj } ∪ {s} linear unabhängig.
(5) Außderdem ist B \ {bj } ∪ {s} ein Erzeugendensystem von V
(6) Folglich ist B \ {bj } ∪ {s} eine Basis von V .
(7) Für ein m ∈ N mit 1 ≤ m < n gelte nun folgender Satz: Ist B eine Basis von
V und S = {s1 , . . . , sm } eine Menge linear unabhängiger Vektoren, so gibt es eine
Teilmenge B̃ ⊂ B, so dass B̃ ∪ S eine Basis von V ist.
(8) Sei nun S = {s1 , . . . , sm+1 } eine linear unabhängige Teilmenge von V .
(9) Wir wählen B̃ ⊂ B, so dass B2 := B̃ ∪ {s1 , . . . , sm } eine Basis von V ist.
(10) Nun wählen wir ein B̃2 ⊂ B2 , so dass B̃2 ∪ {sm+1 } eine Basis von V ist.
(11) Damit ist S ∪ (B̃2 \ {s1 , . . . , sm }) eine Basis von V .
{z
}
|
⊂B
Beantworten Sie folgende Fragen:
a) In welchen Zeilen steckt der Induktionsanfang, die Induktionsannahme und der
Induktionsschluß?
b) Warum gilt in (4), dass B \ {bj } ∪ {s} linear unabhängig ist?
c) Warum gilt in (5), dass B \ {bj } ∪ {s} ein Erzeugendensystem ist?
d) Warum kann man in (10) ein B̃2 ⊂ B2 wählen, so dass B̃2 ∪ {sm+1 } eine Basis
von V ist?
e) Warum gilt in (11), dass B̃2 \ {s1 , . . . , sm } eine Teilmenge von B ist?
Hinweis: Am Stiftungsfest (16. Mai) findet die Vorlesung zur gewohnten Uhrzeit statt.
Dafür entfällt die Vorlesung am 30.Mai. Die Klausur zur Vorlesung findet am 14
Juli um 14:00 statt.
