Übungsblatt 10

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Christoph Schnörr
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Wintersemester 2007/08
Jörg Kappes
CVGPR-Gruppe, Universität Heidelberg
Jan Lellmann
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Weihnachtsübungsblatt
Aufgabe 1 [6P] (O-Kalkül Eigenschaften)
Zeigen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
a) f (n) < g(n) ∀n ∈ N ⇒ f (n) ∈ o(g(n)).
b) f (n) ≤ g(n) ∀n ∈ N ⇔ O(f (n)) ⊆ O(g(n)).
c)
Für beliebige
a, b ∈ R, b > 0
gilt
(n + a)b ∈ O(nb ).
d) f (n) ∈ O(g(n)), g(n) ∈ O(f (n)) ⇒ f (n) ∈ Θ(g(n)).
e) f (n) ∈ O(h(n)), g(n) ∈ O(h(n)), a, b ≥ 0 ⇒ af (n) + bg(n) ∈ O(h(n)).
f) O(2n ) = O(3n ).
Aufgabe 2 (O-Kalkül Interpretation)
a) [1.5P]
Θ
Geben Sie zu jeder der folgenden Funktionen eine möglichst einfache Laufzeitklasse in
- Notation an (ohne Beweis):
n2 + 2n − 4
2n + n 2
min{2n , 2008n2 }
26n+logn
2n3 + 4n2 + 8n + 16
(n + 4)4
log(nn+2 )
b) [0.5P]
Ein Softwarehersteller wirbt mit der Aussage Die Laufzeit unseres Verfahrens beträgt
mindestens
c) [1.5P]
Θ(n2 )
O(n2 ).
Würden Sie das Produkt kaufen (mit Begründung)?
Sie haben zwei Verfahren zur Auswahl, eines mit Laufzeitklasse
Laufzeitklasse
Θ(n2 )
und eines mit
3
Θ(n ). Reicht diese Information zur Auswahl des für Ihre Anwendung schnelleren
Verfahrens? Falls nicht, welche Informationen werden zusätzlich benötigt?
Aufgabe 3 (Laufzeitklasse Fibonacci)
F ib(n) ∈ O(1.62n ) gezeigt. Im Folgenden
Berechnung von F ib(n) bestimmt werden.
In der Vorlesung wurde bereits
den
Aufwand der rekursiven
Dazu wird das bekannte Schema
2), n > 1
verwendet. Mit
Berechnung von
F ib(n)
f (n)
F ib(0) = 1, F ib(1) = 1
werde die Anzahl der
und
soll eine Beziehung für
F ib(n) = F ib(n − 1) + F ib(n −
Additionen bezeichnet, die auf diese Weise zur
benötigt werden (das Subtrahieren von Konstanten vom Index
n
zähle hier
nicht als Addition).
a) [1P] Stellen Sie eine Rekursionsgleichung für f (n) auf. Gehen Sie von f (0) = f (1) = 0 aus.
b) [1.5P] Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion: f (n) ∈ O(2n ).
c) [1P]
Berechnen Sie
f (n)
n. Vergleichen Sie mit den Werten von F ib(n) und stellen
f (n) mit Hilfe der Fibonacci-Funktion darstellen lässt.
für einige
Sie eine Behauptung auf, wie sich
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d) [2P] Beweisen Sie Ihre Behauptung durch vollständige Induktion.
e) [1P] Betrachten Sie folgenden alternativen Code zur Berechnung von F ib(n):
fib[n_] := Module[{a = 0, b = 1, t},
Do[t = b; b += a; a = t, {n}];
a];
Bestimmen Sie die exakte Anzahl Additionen
eine möglichst einfache Komplexitätsklasse (in
g(n) zur Berechnung von f ib(n)
Θ - Notation) für g(n) an.
und geben Sie
Aufgabe 4 [4P] Richtig oder Falsch
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen.
a)
Im IEEE-754-Standard sind alle reellen Zahlen zwischen 1 und 2 darstellbar.
b)
Die Menge der im IEEE-754-Standard darstellbaren Zahlen ist bzgl. Addition und Multiplikation
abgeschlossen.
c)
Die kleinste nichtnegative darstellbare normalisierte Zahl im IEEE-754-Standard ist gröÿer als
0.
d)
Folgende zwei in hexadezimaler Darstellung angegebenen Kodierungen stellen die gleiche Zeichenfolge dar.
(UTF-32)
000000F600000012000051A2
(UTF-8)
C3B612E586A2
Aufgabe 5 (Kodierung von Zahlen)
a) [2P] Ein Zahlensystem ist ein Tripel S = (b, Σ, δ). Für die Basis b = 3 sei die Menge der Symbole
Σ = {0, 1, 2}. Für die anderen Basen nden Sie die Denitionen auf den Vorlesungsfolien. Die
Abbildung δ bildet jede Zier auf die entsprechende natürliche Zahl ab. Eine Ausnahme bilden
die Symbole A bis F, die auf 10 bis 15 abgebildet werden.
Ergänzen Sie folgende Tabelle:
Basis
Zahlen
2
3
8
10
16
1011012
2103
2718
4210
2B16
b) [2.5P] In der Vorlesung haben Sie mehrere Festkommadarstellungen zur Basis 2 kennengelernt.
Ergänzen Sie die folgende Tabelle.
<a>
60
Vor-.Nachkommastellen
[a]BV
[a]EK
8.0
10011101
00101010
8.0
10101010
8.0
9.375
[a]ZK
8.0
5.3
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c) [2P] In der Vorlesung wurde die Gleitkommadarstellung nach IEEE 754 vorgestellt.
Teilen Sie die IEEE 754-Gleitkommazahl
11000101011101101010000000001000 in Vorzeichenbit,
Mantisse und Exponent auf und geben Sie den dezimalen Wert der Zahl an (mit Rechenweg).
Handelt es sich um eine Zahl einfacher oder doppelter Genauigkeit?
Geben Sie die Zahl -19 in IEEE 754-Darstellung mit einfacher Genauigkeit an.
Geben Sie alle möglichen Darstellungen für
0,−∞,+∞
und NaN im IEEE 754-Format (ein-
fache Genauigkeit) an.
Aufgabe 6 (Labyrinth in Mathematica für Fortgeschrittene)
Sie haben sich ja bereits als Meister des Labyrinthes bewiesen. Jetzt soll die Suchstrategie verbessert werden. Bisher wurde der Pfad mit Breiten- und Tiefensuche gefunden. Die Frage ist, ob es
Algorithmen gibt, die weniger Knoten besuchen muessen, um einen Pfad von
s
nach
t
zu nden
(wir betrachten hier nicht den zurückgelegten Weg).
Die Idee um dies zu erreichen ist naheliegend: Wenn Sie sich in einem Labyrinth benden, wissen
wo Sie hin möchten und noch nicht total die Orientierung verloren haben werden Sie in der
Regel zuerst den Weg einschlagen, von dem Sie vermuten, dass er Sie näher zu Ihrem Ziel bringt.
a) [0.5P]
Implementieren Sie eine Funktion, die für einen Punkt im Labyrinth eine Bewertung
abgibt, wie gut diese Position im Hinblick auf das gegebene Ziel ist.
Tipp:
Überlegen sie sich
wie sich wie weit ist das Ziel noch weg mathematisch formulieren lässt.
b) [2P]
Modizieren Sie den Breiten- bzw. Tiefensuchenalgorithmus so, dass zuerst der Pfad mit
der besten Bewertung weiterverfolgt wird. Die Bewertungsfunktion soll dem
BestFirstSearch-
Algorithmus als Parameter übergeben werden.
c) [0.5P] Schreiben Sie eine Bewertungsfunktion, mit der sich der Algorithmus wie ein TiefensucheAlgorithmus verhält.
d) [0.5P] Schreiben Sie eine Bewertungsfunktion, mit der sich der Algorithmus wie ein BreitensucheAlgorithmus verhält.
e) [0.5P] Modizieren Sie ihren Code so, dass die Anzahl der besuchten Knoten protokolliert wird.
f) [1.5P] Finden Sie für jeden der drei Algorithmen einen Fall, in dem der Algorithmus mit weniger
besuchten Knoten als die anderen eine Lösung ndet. Variieren Sie dazu den RandomSeed sowie
den Start- und Endknoten. Der Abstand zwischen den beiden Knoten sollte aber mindestens
5 betragen. Wenn einer der Algorithmen die anderen beiden unter keinen Umständen schlagen
kann begründen Sie warum.
g) [1P]
Erzeugen Sie eine hinreichend groÿe Menge zufälliger Graphen sowie Anfangs- und End-
knoten und bestimmen Sie experimentell für jeden der drei Algorithmen einen Erwartungswert
für die Anzahl besuchter Knoten. Vergleichen Sie die Ergebnisse.
Aufgabe 7 (Zeiger als Rückgabewerte)
a) [1P]
Hugo H. hat wirklich kein Glück: Er hat in einem C++ - Kurs von Zeigern gehört und
ist begeistert er liebt die Gefahr. Um seine neu erworbenes Wissen zu testen, hat er folgendes
Programm geschrieben:
#include <stdlib.h>
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#include <iostream>
using namespace std;
int* addiere(int a, int b) {
int summe = 0;
summe = a + b;
return &summe;
}
int main() {
int* pi = addiere(4,1);
cout << *pi << endl;
return (EXIT_SUCCESS);
}
Leider funktioniert das Programm überhaupt nicht. Helfen Sie ihm, indem Sie den Fehler nden
und erklären.
b) [0.5P] Hugo hat aus der letzten Teilaufgabe gelernt und seine Funktion ersetzt:
int* addiere(int a, int b) {
int* psumme = new int;
*psumme = a + b;
return psumme;
}
Das Programm funktioniert und Hugo ist stolz. Zurecht? Warum?
new int reserviert
int* zurück.
Hinweis: Der Ausdruck
einen Zeiger des Typs
c) [0.5P]
Speicher für eine Variable des Typs
int
und liefert
Geben Sie einen Fall an, in dem es (im Gegensatz zu den vorherigen Teilaufgaben)
sinnvoll oder sogar notwendig ist, einen Zeiger anstatt eines Wertes zurückzuliefern.
Aufgabe 8 (Klasse in C++)
Wie Sie in einer der früheren Aufgaben gesehen haben ist das Arbeiten mit Feldern in C++ fehleranfällig, da man beim Zugri unbeabsichtigt auf Elemente auÿerhalb des Feldes zugreifen kann.
Auÿerdem sind Kopieren und Vergleichen umständlich. In dieser Aufgabe soll eine Klasse
Felder mit Elementen des Typs
int
Array für
implementiert werden, die diese Nachteile nicht hat.
Die Klassendeklaration soll folgendermaÿen aussehen (Sie nden den Code auf unserer Webseite
unter
cpp_oo_feld.cpp):
class Array {
private:
int* data; // Hier wird der Zeiger auf das eigentliche Feld gespeichert
int size;
public:
Array(int _size);
~Array();
int getSize();
void set(int index, int value);
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int get(int index);
};
void copyFrom(const Array& other);
bool equals(const Array& other);
a) [1P] Implementieren Sie den Konstruktor. Die Anweisung
Array a(10);
soll ein neues Objekt erzeugen, das ein Feld mit
mit
0
10 Elementen repräsentiert. Die Elemente sollen
initialisiert werden.
b) [1P] Implementieren Sie den Destruktor. Warum ist der Destruktor hier unbedingt notwendig?
c) [1P]
Implementieren Sie die Methode
getSize
sowie die Methoden
set
und
get
zum Zugri
auf einzelne Feldelemente. Wenn ein ungültiger Index übergeben wurde, soll das Programm mit
dem Befehl
error(<Fehlermeldung>);
abgebrochen werden.
d) [1P] Bei der Zuweisung
Array a(10); Array b(10);
a = b;
werden alle Attribute des Objekts
b in das Objekt a kopiert. Warum ist das in diesem Fall nicht
erwünscht, sondern sogar gefährlich?
e) [0.5P] Implementieren Sie die Methode copyFrom zum Kopieren der Werte aus einem anderen
gleichgroÿen Array. Warum ist die Übergabe als konstante Referenz hier sinnvoll?
f) [0.5P]
Implementieren Sie die Methode
equals.
Die Methode soll genau dann
true
zurück-
liefern, wenn beide Felder die gleiche Gröÿe haben und der Feldinhalt identisch ist. Hinweis:
Felder können in C++
nicht
direkt mit
==
verglichen werden, sie benötigen also eine Schleife
und einen elementweisen Vergleich.
Abgabe: Bis Freitag, 11.01.2008, 12:00 Uhr. Abgabe in 2er- oder 3er-Gruppen. Die Kästen für den
Einwurf stehen in Gebäude INF 308 auf der Südseite (links neben HS 2) und sind nach Tutorien
sortiert. Quellcode und Mathematica-Notebooks bitte ebenfalls ausdrucken und nach Absprache
zusätzlich per Mail an den jeweiligen Tutor schicken. Eine rein elektronische Abgabe ist nicht
möglich.
Auf diesem Blatt sind mehr als die üblichen 20 Punkte zu erreichen. Zum Erreichen
der vollen Punktzahl genügen 20 Punkte, alle weiteren Punkte sind Bonuspunkte und
werden mit nicht erreichten Punkten auf anderen Übungsblättern verrechnet.
Vorlesungsbeginn
im neuen Jahr ist der der 8.1.2008, das erste Tutorium ndet bereits am 7.1.
statt.
Wir wünschen allen Hörern frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!
5/5