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Diplomarbeit
EÆziente Messstrategien
zur Rekonstruktion,
Charakterisierung und Unterscheidung
von Quantennetzwerk-Zustanden
vorgelegt von
Friedemann G. Tonner
10. August 2000
A^1
A^2
..
A^n
Quantenmultiplexer
U^i ; i = 1 : : : n
Hauptberichter : Prof. Dr. G. Mahler
Mitberichter : Prof. Dr. A. Muramatsu
Institut fur Theoretische Physik I
Universitat Stuttgart
Pfaenwaldring 57, 70550 Stuttgart
B^
Diplomarbeit
EÆziente Messstrategien
zur Rekonstruktion,
Charakterisierung und Unterscheidung
von Quantennetzwerk-Zustanden
vorgelegt von
Friedemann Gerhard Tonner
10. August 2000
Hauptberichter : Prof. Dr. G. Mahler
Mitberichter : Prof. Dr. A. Muramatsu
Institut fur Theoretische Physik I
Universitat Stuttgart
Pfaenwaldring 57, 70550 Stuttgart
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Physik und Berechnung . . . . . . . . . . . .
1.2 Experimente und Messstrategien . . . . . . .
1.2.1 Struktur von Quanten-Experimenten
1.2.2 Spezikation der Messstrategie . . . .
1.3 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . .
2 Grundlagen
2.1
2.2
2.3
2.4
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Dichteoperator und Zeitentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unitare Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellungen von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Charakterisierung von Operatoren: Eigenwertspektren . . . . . . .
2.4.1 Invarianz der Eigenwerte unter unitarer Transformation . .
2.4.2 Vollstandiger Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Trivialer Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Operatoren mit zwei verschiedenen Eigenwerten . . . . . .
2.5 Quantennetzwerke und Quantennetzwerk-Zustande . . . . . . . .
2.5.1 Bloch-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Produktzustande und verschrankte Zustande . . . . . . . .
2.5.3 Verschrankungsmae und lokale unitare Transformationen
2.6 Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Verallgemeinerte Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Quantenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Zustandsrekonstruktion
3.1
3.2
3.3
3.4
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Rekonstruierbarkeit und das Pauli-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Quorum-Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quorums fur allgemeine Spin-Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quantennetzwerke im Quanten-Multiplex-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 [1!1]-Quantenmultiplexer: Austauschbarkeit von Messkanalen . . . .
3.4.2 [Alles!1]-Quantenmultiplexer: Volle Rekonstruktion durch einen einzigen Messkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 [Alles!1]-Quantenmultiplexer: Volle Rekonstruktion durch einen einzigen, nicht vollstandig bekannten Messkanal . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Angepasste Zustandsrekonstruktion fur die NMR . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Rekonstruktion eines 2-Spin-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Exkurs: Erzeugung pseudo-reiner Zustande in der NMR . . . . . . . .
3.6 Zustandsschatzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
6
6
6
7
11
11
13
13
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14
15
15
16
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21
21
22
23
24
25
27
33
38
38
42
45
3
3.6.1 Schatzung von Spinzustanden (s=1/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Zustandscharakterisierung
55
5 Zustandsunterscheidung
79
4.1 [Nicht-lokal ! lokal]-Quantenmultiplexer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Charakterisierung von Zustandsunterraumen . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 AV-Unterraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Direkte Messung von Maen im Quanten-Multiplex-Bild . . . . . . . . . . .
4.2.1 Eektive Addition von Erwartungswerten hermitescher Operatoren .
4.2.2 Eektive Multiplikation von Erwartungswerten hermitescher Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Direkte Messung des Verschrankungsmaes . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Direkte Messung des Verschrankungsmaes Tr f^2 g . . . . . . . . . .
4.2.5 Vergleich mit verallgemeinerten Messungen und Quantenoperationen
5.1
5.2
5.3
Orthogonale Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linear unabhangige Zustande . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 IDP-Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beschrankte Kenntnis der Zustande . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Quanten-Teleportation . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Quanten-Programme . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Probabilistische inverse unitare Transformationen
5.3.4 Kolineare und orthogonale Zustande . . . . . . .
5.3.5 Linear unabhangige Zustande . . . . . . . . . . .
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55
56
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69
70
72
73
76
77
79
79
80
81
81
83
84
86
87
6 Zusammenfassung
89
Literaturverzeichnis
91
Abbildungsverzeichnis
94
Tabellenverzeichnis
95
Abkurzungsverzeichnis
97
Danksagung
99
4
1 Einleitung
\The best way to predict the future is to invent it."
Alan C. Kay, Xerox Palo Alto Research Center
(Miternder des ersten Personalcomputers)
Stehen Messungen in Einfuhrungsvorlesungen uber Quantenmechanik zur Debatte, so
meist im Zusammenhang mit Observablen wie Ort oder Magnetisierung und den damit
verbundenen Erwartungswerten von hermiteschen Operatoren, die auf quantenmechanische
Wellenfunktionen wirken. Dabei kann man den Eindruck gewinnen, nur den physikalisch direkt messbaren Observablen stehe eine realistische Bedeutung zu, wahrend die Wellenfunktion { die volle Beschreibung eines quantenmechanischen Zustands { abstrakt im Hintergrund
verbleibt. Hinzu kommt, dass aus einer einzelnen standardmaigen Projektions-Messung an
einem Ensemble von Quantensystemen nicht auf die volle Wellenfunktion geschlossen werden kann. Das Konzept der Wellenfunktion ist in diesem Sinne nicht direkt der Messung
zuganglich.
Da allerdings zur Vorhersage beliebiger Messwerte die Wellenfunktion notwendig ist,
stellt sich die Frage nach der prinzipiellen Bestimmung der Wellenfunktion, bzw. des allgemeineren Dichteoperators, die bzw. der den quantenmechanischen Zustand beschreibt, aus
experimentell zuganglichen Messwerten. Je nach Messstrategie, die sich nach den vorhandenen experimentellen Einschrankungen, dem Vor-Wissen uber den Quantenzustand und der
interessierenden Zustandsgroe (z.B. Dichteoperator oder charakteristisches Ma) richtet,
gibt es die unterschiedlichsten Moglichkeiten fur die Wahl der notwendigen Messoperatoren. Einschrankungen experimenteller Art ergeben aus der vorgegebenen Moglichkeit von
entweder Einzelmessungen, oder auch der alleinigen Moglichkeit von Ensemblemessungen,
oder gar aus fest vorgegebenen Messoperatoren.
An die Frage nach der prinzipiellen Rekonstruierbarkeit schliet sich die fur die experimentelle Praxis wichtige Frage der moglichst eÆzienten Messung, das heit in einem gewissen
Sinn moglichst resourcenschonende Messung des Quantenzustands, an. So ist zur Unterscheidung von Zustanden keine vollstandige Zustandsrekonstruktion notwendig, was sich in der
Anzahl notwendiger Messungen niederschlagt. Diese Arbeit widmet sich daher speziell der
Entwicklung von Strategien zur eÆzienten Messung von Zustanden von Quantennetzwerken.
Quantennetzwerke setzen sich aus (miteinander koppelnden) diskreten Systemen zusammen.
Ein Beispiel dafur sind die Kernspins von Atomen, die ein Molekul bilden; aber auch jedes
beliebige N -Niveau-System (System mit endlich vielen Energieeigenwerten) und Netzwerke
daraus kann als Quantennetzwerk beschrieben werden. Im Einzelnen werden Strategien zur
vollen Rekonstruktion des Zustands als auch zur Charakterisierung und Unterscheidung von
Zustanden behandelt.
Insbesondere wird dabei auf Strategien eingegangen werden, die entsprechend dem Quantencomputing Berechnungen auf quantenmechanischer Ebene als wesentliches Element nutzen. Zunachst sollen daher die Physik der quantenmechanischen Messung und die Berechnung auf einem Computer einander gegenuber gestellt werden. Danach werden alle in dieser
5
Arbeit vorkommenden Messstrategien kurz vorgestellt. Eine U bersicht uber die verwendeten
grundlegenden Konzepte wird in Kapitel 2 gegeben.
1.1 Physik und Berechnung
Jeder, der eine Berechnung explizit durchfuhren will, muss diese Berechnung in Form eines
physikalischen Vorgangs implementieren. Umgekehrt kann aber jeder physikalische Vorgang,
beispielsweise ein physikalisches Experiment, auch als Berechnung interpretiert werden. Eine
objektive Unterscheidung zwischen Berechnung und physikalischem Experiment ist daher
nicht moglich. Allein unsere Absichten, unser Wissen und unsere Erwartungen lassen eine
Unterscheidung zu [56].
Eine Berechnung kann in ein Schema wie in Abbildung 1.1 gefasst werden. Hierbei ist
die Funktion f vollstandig bekannt, sie stellt ein Programm dar, das auf die ebenfalls bekannten Daten x wirkt. Die Ausgabe y ist das interessierende Ergebnis einer Berechnung.
Obwohl die Struktur eines physikalischen Experiments (Abbildung 1.2) prinzipiell der einer
Berechnung gleicht, ist in diesem Fall die Funktion f eine Eigenschaft der physikalischen
Welt, die nicht bekannt ist. Durch versuchsweises Anbieten von bekannten Eingabedaten
x und Beobachtung bzw. Messung der Ausgabe y soll auf die Funktion f teilweise oder
vollstandig ruckgeschlossen werden. Ist die Funktion f dann hinreichend bekannt, kann sie
als Ausfuhrung eines speziellen Programms angesehen werden.
x
f
y
Abbildung 1.1: Struktur einer Berechnung. f stellt einen Teil der physikalischen Welt dar.
x ist der Anfangszustand, y ist der Endzustand [56].
x
f
y
Abbildung 1.2: Struktur eines physikalischen Experiments. f stellt einen Teil der physikalischen Welt dar. x ist der Anfangszustand, y ist der Endzustand [56].
1.2 Experimente und Messstrategien
Komplette physikalische Experimente (incl. Auswertung) konnen operationell in mehrere
Schritte untergliedert werden, die sich im Sinne des zuvor gesagten nur von der Interpretation
her unterscheiden. Im Rahmen dieser Arbeit, in der die Messung von Quantenzustanden
behandelt werden soll, bietet sich eine passende Unterteilung wie in Abbildung 1.3 an.
1.2.1 Struktur von Quanten-Experimenten
Ziel des Experiments ist die Extraktion von interessierenden Daten eines physikalischen
Systems (in Abbildung 1.3 x5 genannt), so dass sich im Allgemeinen eine Berechnung mit
einem klassisch zu behandelnden Computer, der durch die Funktion f45 versinnbildlicht wird,
6
Praparation
Berechnung
Messung
Berechnung
x1
f12
x2
f23
x3
f34
x4
f45
x5
unbekannt
bekannt
bekannt
bekannt
/a priori -Wissen
Quantenmechanische Behandlung
Klassische Behandlung
Abbildung 1.3: Struktur eines quantenphysikalischen Experiments: Gliederung in
Praparations- und Berechnungsphasen.
an das Experiment im engeren Sinne anschliet. Die Schnittstelle zwischen diesem letzten
Schritt und den vorherigen Schritten bezeichnet auch den U bergang von der quantenmechanischen Beschreibungsebene zur klassischen Ebene. Die Daten x4 stellen daher klassische
Information dar, die durch eine Messung (Funktion f34 ) gewonnen wurde, im Gegensatz zu
x1 , x2 und x3 , die quantenmechanische Zustande darstellen sollen.
Des Weiteren ist es, falls entsprechende Kontrollmoglichkeiten uber die Funktion f23
bereit stehen, moglich, Berechnungen direkt auf quantenmechanischer Ebene durchzufuhren.
Diese transformieren das interessierende System, dessen Zustand durch x2 bezeichnet wird,
noch vor einer Messung in bekannter Weise. Obwohl der quantenmechanische Zustand eines
Systems unabhangig von der Art und Weise der Praparation dieses Zustands ist, kann a
priori -Wissen bei der Wahl einer geeigneten Messstrategie hilfreich sein. Der Zustandsraum
des interessierenden Systems kann in diesem Fall eingegrenzt werden.
Ein Experiment zerfallt also in eine quantenmechanische Praparationsstufe, eine Berechnung auf quantenmechanischer Ebene (Quantensystem als Quantencomputer) mit anschlieender Messung und Weiterverarbeitung mit Hilfe eines externen klassischen Computers.
Falls statistische Eigenschaften des Systems interessieren, ist dieser ganze Vorgang mehrere
Male zu wiederholen, bevor das Endergebnis durch einen klassischen Computer berechnet
werden kann.
1.2.2 Spezikation der Messstrategie
Das volle Spektrum der moglichen Messstrategien ergibt sich folglich aus der genaueren Spezikation dieser einzelnen Teilschritte. Unter dem Gesichtspunkt der EÆzienz einer Messstrategie kann jeder einzelne Spezikationspunkt mit einem Gewicht in Form eines verallgemeinerten Kostenfaktors versehen werden. Die eÆzienteste Strategie ist dann diejenige, die
die niedrigsten verallgemeinerten Kosten verursacht. Als optimale Messung wird hingegen
diejenige Messung bezeichnet, die aus dem interessierenden System am meisten relevante
Information extrahiert. In dieser Arbeit soll es weniger um diese optimalen Messungen gehen, sondern um das Ausloten der Moglichkeiten, Messungen durchzufuhren, bei Vorgabe
der verallgemeinerten Kosten.
In vielen Fallen lassen sich die verallgemeinerten Kosten zu null oder unendlich angeben,
was sich im Vorliegen bzw. Nicht-Vorliegen bestimmter Eigenschaften der Messstrategie
widerspiegelt und sich damit im Fragen-Charakter der nachfolgenden Aufzahlung ausdruckt.
Im Einzelnen lassen sich Messstrategien durch die Beantwortung folgender Fragen naher
spezizieren:
7
Systemdenition:
Bezieht sich die Messstrategie auf Einzelsysteme, auf mehrere Systeme fester oder variabler Anzahl oder auf ein Ensemble von Einzelsystemen, das zumindest theoretisch
unendlich gro sein darf? Welche Beschreibungsebene wird eingesetzt, z.B. reduzierte
Beschreibung eines Ensembles unterschiedlich praparierter Systeme durch eine eektive Dichtematrix (Coarse-graining), oder reine Zustande?
Praparation:
Welche Kenntnis besteht bezuglich der Praparation? Ist a priori -Wissen vorhanden
oder nicht? Dies kann sich in einer Kenntnis des erlaubten Zustandsraums des Systems
ausdrucken. (Beispiel: Es liegen reine bzw. gemischte Zustande vor.) Es bestimmt auch
implizit die Art der Zustandsmessung (siehe interessierende Systemparameter).
Interessierende Systemparameter:
Diese bestimmen die Art der Messung und lassen sich grob in folgende drei Klassen
unterteilen:
Zustandsrekonstruktion:
Der volle quantenmechanische Zustand soll rekonstruiert werden. Es ist kein
a priori -Wissen uber das System (auer der Systemdenition) bekannt.
{ Zustandscharakterisierung:
Hier interessiert ein vorgegebenes Ma (z.B. ein Verschrankungsma). Dieses
soll eÆzient bestimmt werden. Hierunter fallen auch Unterscheidungen zwischen
Klassen von Zustanden (z.B. separabel oder verschrankt; Erwartungswert eines
Operators groer oder kleiner als ein bestimmter Wert), die sich auf ein binares
Ma zuruckfuhren lassen.
{ Zustandsunterscheidung:
Als a priori -Wissen ist hier eventuell die Einschrankung auf eine diskrete oder
kontinuierliche Menge von Zustanden gegeben. Gesucht sind Messungen, die innerhalb dieser Menge Zustandsunterscheidungen vornehmen.
{
Quantenoperationen:
Sind Kontrollmoglichkeiten uber das Quantensystem vorhanden, z.B. die Fahigkeit
beliebige unitare Transformationen auf das System anzuwenden, die so etwas wie
Quantencomputing ermoglichen? Konnen Hilfssysteme verwendet werden, um verallgemeinerte Messungen (POVM1 ) zu implementieren?
Messungen:
Gibt es die Einschrankung auf von-Neumannsche Projektionsmessungen oder sind
verallgemeinerte Messungen (POVM) moglich? Ist die Messung an Einzelsystemen
moglich oder sind nur Ensemble-Aspekte der Messung zuganglich? Einschrankung der
Messoperatoren: Lokale- oder nicht-lokale Messoperatoren. Liegen die Messungen zu
einem festem Zeitpunkt vor oder wird das System kontinuierlich in der Zeit verfolgt?
1 siehe
8
Verzeichnis der Abkurzungen auf Seite 97
Systemdenition
Praparation
Quantenoperationen
Messungen
Rekonstruktion
Messung
eines Schatzung von
vollstandigen
EinzelspinQuorums
Zustanden
unendliches\ En- endliches Ensemble
"semble
identischer Spins,
reine Zustande
notwendig, falls
Beschrankung
der Messoperatoren;
unitare
Transformationen: [Alles ! 1]Quantenmultiplexer
Projektionsmessungen am Ensemble
reine Zustande
nein
NMR-Messungen
unendliches\ En"semble:
Beipiel:
2-Spin-System, gemischte Zustande
(evtl. pseudorein)
gemischte Zustande
lokale
unitare
Transformationen,
bilokale Kopplung
Projektionsmes- Projektionsmessungen am Subsys- sung am Ensemble,
tem
Messdatenaufnahme im Zeitbereich
(FID2)
Messergebnisberech- Nein / Ja, falls Ja
Nein / Ja, falls
nung
andere Darstellung
andere Darstellung
gesucht (z.B. Dichgesucht (z.B. Dichtematrix)
tematrix)
Gute der Messung
exakt
mittlerer Fehler exakt
vorher bekannt
Tabelle 1.1: Spezikation der behandelten Messstrategien, Rekonstruktion
Messergebnisberechnung:
Beispiele sind die Berechnung der Dichtematrixelemente aus einem Quorum von Messwerten (Rohdaten) oder die Berechnung eines interessierenden Maes. Die abschlieende Berechnung muss aber nicht immer vorhanden sein. Eventuell kann der Rechenaufwand auf die quantenmechanische Ebene verlagert werden (siehe Quantenoperationen).
Gute der Messung:
Fehlerbehaftete Messungen: Ist die Messung im Sinne eines statistischen Grenzuberganges exakt? Wo liegen die Fehlergrenzen von Strategien, die endlich viele Systeme
zur Messung nutzen?
Fehlerfreie Messungen: Immer erfolgreiche oder nur probabilistisch erfolgreiche Messungen?
Fur die in dieser Arbeit behandelten Messstrategien ergibt sich eine tabellarische Auswertung aller Kriterien in Tabelle 1.1, Tabelle 1.2 und Tabelle 1.3.
9
Charakterisierung
Messung von Verschrankungs- Direkte Messung von Maaspekten uber antipodisch ver- Funktionen
schrankte Zustande
Systemdenition
Einzelsysteme oder Ensemble Ensemble, mit Kontrolle uber
einzelne Subsysteme
Praparation
Maximal
verschrankte Zustande
Quantenoperationen Unitare
Transformatio- Unitare Transformationen
nen:
[Nicht-lokal!lokal]- mit Hilfssystem: MaQuantenmultiplexer
Quantenmultiplexer
Messungen
lokale Messkanale, Projekti- ein fester Messkanal, Projekonsmessung
tionsmessung an einer Gruppe
von Subsystemen
Messergebnisberech- Nicht notwendig
Auf quantenmechanischer
nung
Ebene: Ja; klassisch: Nein
Gute der Messung
exakt
exakt
Tabelle 1.2: Spezikation der behandelten Messstrategien, Charakterisierung
Unterscheidung
Standard-Messungen IDP-Messungen2
Messung bei beschrankter Zustandskenntnis mithilfe
eines Quantenprogramms
Systemdenition Einzelne Quanten- Einzelne Quanten- Einzelne Qubits,
systeme
systeme
zwei
identische
Kopien
Praparation
Bekannte orthogo- Bekannte linear un- Nicht vollstandig benale / linear un- abhangige Zustande kannte orthogonale /
abhangige Zustande
linear unabhangige
Zustande
Quantenoperatio- Nein
Unitare Transforma- Unitare Transformanen
tion mit Hilfssystem tion mit Hilfssystem
an beiden Kopien
Messungen
Projektionsmessungen Projektionsmessung Projektionsmessungen
am Einzelsystem
am Hilfssystem und an beiden Kopien
System
und Hilfssystem
MessergebnisbeNein
Nein
Ja, in gewissem Sinn
rechnung
kann die Kopie des
Systems als Quantenprogramm aufgefat werden
Gute der Messung immer erfolgreich Probabilistisch
Probabilistisch
/ probabilistisch erfolgreich
erfolgreich
erfolgreich
Tabelle 1.3: Spezikation der behandelten Messstrategien, Unterscheidung
10
1.3 Zielsetzung
Insbesondere sollen in dieser Arbeit die Transformationsmoglichkeiten eines Quantensystems genutzt werden, um Schritte einer Messung, die sonst klassisch beschrieben werden
mussen, auf die Quantenebene zu verlagern. Es werden Gatterelemente vorgestellt, die es
ahnlich dem schon etablierten Quantencomputing auf digitaler Ebene (Einschrankung auf
endlich viele Zustande) nun auch auf analoger Ebene ermoglichen, gezielt Messoperatoren zu synthetisieren. In diesem Zusammenhang wird das sogenannte Multiplex-Bild der
Quantenmessung eingefuhrt. Es werden ausfuhrlich prinzipielle Grenzen und Moglichkeiten ausgelotet. Des Weiteren sollen am Beispiel der magnetischen Kernresonanz (NMR) die
direkten Anwendungsmoglichkeiten der theoretischen Konzepte demonstriert werden.
1.4 Aufbau der Arbeit
Entsprechend dem Titel dieser Arbeit werden, ausgehend von prinzipiellen U berlegungen zur
Zustandsrekonstruktion eines Quantennetzwerks, unterschiedliche Realisierungsmoglichkeiten hierfur vorgestellt. Anschlieend werden Charakterisierungsmethoden besprochen, bevor
die am meisten spezialisierten Messungen { Zustandsunterscheidungen { erortert werden.
Die Kapitel sind im Einzelnen wie folgt gegliedert:
Nach dem Streifen der Grundlagen der Quantenmechanik in und der verwendeten Nomenklatur Kapitel 2 wird in Kapitel 3 zunachst die Rekonstruierbarkeit von allgemeinen
Quantensystemen erortert. Fur Quantensysteme in endlichen Hilbertraumen wird daraufhin
das bekannte Konzept des Quorums dargestellt, mit dem in der Literatur die volle Rekonstruktion von Spin-Zustanden diskutiert wurde. In Kapitel 3.4 wird erstmals das Konzept des
Quantenmultiplexers vorgestellt, der die volle Zustandsrekonstruktion uber einen einzigen
Messkanal ermoglicht. In diesem Licht wird ein etabliertes Zustandsrekonstruktionsverfahren in der NMR untersucht (Kapitel 3.5). Abgeschlossen werden die Zustandsrekonstruktionsverfahren durch die Reproduktion und Erweiterung einer bekannten Schatzstrategie
(Kapitel 3.6).
Als Charakterisierungsmoglichkeiten von Quantenzustanden (Kapitel 4) werden die Eigenschaften von maximal verschrankten Zustanden betrachtet, die durch den vorgestellten
[Nicht-lokal!lokal]-Quantenmultiplexer auf lokalen Messkanalen sichtbar wird. Auerdem
wird die direkte Messung von interessierenden Maen im Quanten-Multiplex-Bild diskutiert
(Kapitel 4.2). Als Beispiel wird die direkte Messung zweier Verschrankungsmae angegeben.
Schlielich werden in Kapitel 5 bekannte Verfahren zur Zustandsunterscheidung vorgestellt und in Kapitel 5.3 um Strategien erweitert, die als a priori -Information nur beschrankte Kenntnis uber die zu unterscheidenden Zustande benotigen.
2 siehe
Verzeichnis der Abkurzungen auf Seite 97
11
12
2 Grundlagen
Ohne Vollstandigkeit zu behaupten, sollen hier die wichtigsten Konzepte der Quantenmechanik, die in dieser Arbeit intensiv verwendet werden, als auch die verwendete Nomenklatur
angesprochen werden. Erschopfende Darstellungen nden sich in [43], [10] und [33].
2.1 Dichteoperator und Zeitentwicklung
Der allgemeinste Zustand in der Quantenmechanik wird durch den Dichteoperator ^ beschrieben. Fur einen reinen Zustand, der durch den normierten Zustandsvektor j i in einem
Hilbertraum H beschrieben werden kann, reduziert sich der Dichteoperator auf
^ = j i h j :
(2.1)
Der Dichteoperator ist nach der Denition von Neumanns ein positiver, hermitescher Operator mit Spur 1.
Die Dynamik des Dichteoperators ist durch die Liouville-Gleichung
h
i
@
^ ^
{~ ^ = H;
@t
(2.2)
gegeben, wobei der hermitesche Hamiltonoperator H^ die Beschreibung des Quantensystems
enthalt.
2.2 Unitare Transformationen
Ist der Hamiltonoperator H^ zeitunabhangig, so kann der Zeitentwicklungsoperator, durch
den unitaren Operator (U^ (t) 1 = U^ (t)y)
^ ~
U^ (t) = e {Ht=
(2.3)
angegeben werden. Die Losung der Liouville-Gleichung kann dann als
^(t) = U^ (t)^0 U^ (t)y
(2.4)
mit dem Anfangszustand ^0 geschrieben werden. Im Rahmen von Quantencomputing werden
oft durch stuckweise zeitunabhangige Hamiltonoperatoren eektiv zeitabhangige Hamiltonoperatoren simuliert. Die gesamte Zeitentwicklung ergibt sich dann aus der schrittweisen
Anwendung der entsprechenden unitaren Transformationen U^ auf den Anfangszustand ^0 .
In diesem Zusammenhang wird auch vom sogenannten Design-Hamiltonian gesprochen [47].
13
2.3 Darstellungen von Operatoren
Neben der Darstellung von Operatoren durch die Matrixelemente einer vollstandigen Basis im Hilbertraum, bieten sich eine speziellere Darstellung an: Fur die Diskussion von
Messungen ist die Darstellung durch Erwartungswerte von hermiteschen Operatoren am geeignetsten. Die Generatoren der SU (n)-Gruppe bilden solch eine hermitesche orthogonale
Operatorbasis [43]. So lasst sich mit den s = n2 1 SU (n)-Operatoren
~^ = fu^ ; u^ ; u^ ; : : : ; v^ ; v^ ; v^ ; : : : ; !^ ; !^ ; : : : ; !^ g
(2.5)
12 13 23
12 13 23
1 2
n 1
mit
= P^jk + P^kj = { P^jk P^kj
s
2 P^ + : : : P^ lP^ !^ l =
ll
l+1;l+1
l(l + 1) 11
1 j < k n; 1 l n 1
und den Projektionsoperatoren P^jk = jki hlj jeder Operator A^ als
s
1
1X
^
A^ = A0 ^1 +
n
2 j=1 Aj j
u^jk
v^jk
mit
n o
A0 = Tr A^ ;
n
Aj = Tr A^^j
o
darstellen [43]. Dabei gilt die Orthogonalitat aller Elemente des Vektors ~^:
n
o
Tr ^j ^k = 2Æjk :
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Fur n = 2 sind die Operatoren ^j zusatzlich noch unitar. Die Generatoren der Gruppe SU (2)
konnen bis auf Vorzeichen mit den Pauli-Operatoren ^j (in der Drehimpulskonvention)
identiziert werden:
0
+1
^ 1 = u^12 = P^12 + P^21 = +1 0 = ^x
(2.13)
0
{
^ 2 = v^12 = { P^12 P^21 =
(2.14)
{ 0 = ^y
0 = ^z
^ 3 = w^1 = P^11 + P^22 = 01 +1
(2.15)
(2.16)
Daneben ist in der NMR die Verwendung der Bezeichnungen
1
1
1
I^x = ^x ;
I^y = ^y ;
I^z = ^z
(2.17)
2
2
2
gebrauchlich.
14
Als Zustandsbezeichnung wird im Quantencomputing fur die Eigenzustande des ^3Operators zu den Eigenwerten ( 1; 1) die Bezeichnung (j0i ; j1i) gewahlt, bezuglich des
^z -Operators gilt diese Bezeichnung fur die Eigenzustande zu den Eigenwerten (1; 1).
Zusammengesetzte Systeme konnen durch Bildung aller Produktoperatoren (Clusteroperatoren (m=1 und m=2-Cluster fur zweiteilige Systeme)) der Operatoren der Einzelsysteme
beschrieben werden: Fur ein zweiteiliges System ergibt sich die vollstandige Operatorbasis
1 ^1
Q^ 00 = p
(2.18)
n1 n2
1
1
Q^ j 0 = p ^ j (1) p 1^(2)
(2.19)
n2
2
1
1
Q^ 0j = p ^1(1) p ^ k (2)
(2.20)
n1
2
1
Q^ jk = ^ j (1) ^ k (2)
(2.21)
2
mit der jeder Operator im Gesamtsystem durch
A^ =
1+s1 +X
s2 +s1 s2
j;k=0
n
o
Tr A^Q^ jk Q^ jk
(2.22)
ausgedruckt werden kann [43]. Die Operatoren dieser Basis sind ebenfalls orthogonal:
n
o
Tr Q^ jk Q^ j0k0 = Æjj0 Ækk0 :
(2.23)
In dieser Arbeit werden die unnormierten Operatoren K^ ij , die sich nach dem gleichen
Schema bilden, dem direkten Produkt aller Einzeloperatoren, benutzt. Entsprechende Verallgemeinerungen gibt es auch fur mehr als zwei Systeme [43].
2.4 Charakterisierung von Operatoren: Eigenwertspektren
Fur die Diskussion von Messstrategien auf Erwartungswertebene ist die Eigenwertstruktur
der Messoperatoren von entscheidender Bedeutung. Nachdem im Folgenden gezeigt wurde,
da die Eigenwerte eines Operators unter unitarer Transformation invariant bleiben, werden
typische Eigenwertstrukturen vorgestellt.
2.4.1 Invarianz der Eigenwerte unter unitarer Transformation
^ U^ y = U^ 1 erhalt das Eigenwertspektrum eines jeden
Eine unitare Transformation U;
hermiteschen Operators M^ = M^ y: Die Eigenwertgleichung vor der Transformation lautet
mit den Eigenwerten mi und den Eigenvektoren jmi i
M^ jmi i = mi jmi i
(2.24)
und danach:
M^ 0 jm0i i = m0i jm0i i
(2.25)
Da M^ 0 durch M^ 0 = U^ M^ U^ y aus M^ hervorgeht erhalt man fur Gleichung 2.25
U^ M^ U^ y jm0i i = m0i jm0i i
(2.26)
y
0
0
y
0
M^ U^ jmi i = mi U^ jmi i :
(2.27)
15
Auf der linken und rechten Seite von Gleichung 2.27 stehen die gleichen Vektoren U^ y jm0ii,
mit jmii = U^ y jm0ii kann diese Eigenwertgleichung auf die Form von Gleichung 2.24 gebracht
werden. Auerdem lat sich dann mi mit m0i identizieren. Damit ist auch die Erhaltung
aller Eigenwerte unter unitarer Transformation gezeigt. Lediglich die Eigenvektoren andern
sich.
2.4.2 Vollstandiger Operator
Unter einem vollstandigen Operator A^ soll ein Operator mit nicht-entarteten Eigenwerten
verstanden werden:
EW (A^) = fu1 ; u2; u3 ; : : : ; ung;
ui 6= uj 8 i; j 2 f1; : : : ; ng; i 6= j
(2.28)
Ein vollstandiger Messoperator erzeugt bei einer Messung eines einzelnen Quantensystems
die maximale Anzahl n von Messergebnissen, wobei n die Dimension des Hilbertraums Hn
darstellt, in dem Messoperator und Dichteoperator des Quantensystems deniert sind. Trotz
seiner Vollstandigkeit wird der vollstandige Operator in der weiteren Arbeit keine besondere
Rolle spielen.
2.4.3 Trivialer Operator
Ein Operator A^ wird trivial genannt, wenn gilt
A^ = u^1; u 2 R :
(2.29)
Der triviale Messoperator A^ besitzt vollstandig entartete Eigenwerte
EW (A^) = fu; u; : : : ; ug:
(2.30)
Ein trivialer Messoperator ergibt immer das gleiche Messergebnis.
ur die Spur des
n o Da f
Dichteoperators Tr f^g = 1 gilt, ist der Erwartungswert Tr A^^ = u unabhangig vom
gemessenen Quantensystem im Zustand ^.
2.4.4 Operatoren mit zwei verschiedenen Eigenwerten
Ein Operator A^ mit zwei verschiedenen Eigenwerten ist der einfachste nicht triviale Operator. In dieser Arbeit werden Operatoren zweier Formen dieses Typs verwendet:
Operatoren mit einem einzigen nicht entarteten Eigenwert
Der erste Operatortyp besitzt einen einzigen nicht entarteten Eigenwert, wahrend alle anderen Eigenwerte identisch sind:
EW (A^) = fu; v; v; : : : ; v g;
u 6= v:
(2.31)
Die Dichteoperatoren ^ der reinen Zustande j i mit ^ = j i h j gehoren zu dieser Klasse,
sie besitzen die zwei verschiedenen Eigenwerte u = 1 und v = 0. Fur allgemeine (insgesamt
normierte) u; v ergeben sich die Dichteoperatoren der sogenannten pseudo-reinen Zustande
[20], die man sich aus der Beimischung der Identitat ^1 zu den reinen Zustanden entstanden vorstellen kann. Pseudo-rein heien diese Zustande aufgrund der Tatsache, dass mittels
Erwartungswerten spurloser Messoperatoren nicht zwischen pseudo-reinen Zustanden und
korrespondierenden reinen Zustanden unterschieden werden kann. Messoperatoren von beschriebener Art werden Kapitel 3.4.1 und 3.4.2 verwendet.
16
Operatoren mit den Eigenwerten f-1, 1g
Fur den zweiten Operatortyp ist
EW (A^) = [j uj ;
uj = 1;
X
j
uj = 0
(2.32)
Beispiel hierfur sind die SU (2)-Operatoren und deren Tensorprodukte untereinander als
auch mit dem ^1-Operator gemischt (siehe Kapitel 3.4.1 fur eine ausfuhrliche Diskussion).
2.5 Quantennetzwerke und Quantennetzwerk-Zustande
Bei einem Quantennetzwerk handelt es sich um eine Menge von Quantensubsystemen fH(1),
H(2), : : :, H(N )g mit endlichen Hilbertraumen, die { weil beispielsweise eine Kopplung
der Subsysteme auftritt { sinnvollerweise durch einen gemeinsamen Produkt-Hilbertraum
H = H(1) H(2) : : : H(N ) beschrieben werden soll.
Der Hamilton-Operator H^ des Quantennetzwerks ist im Fall der Kopplung aller Subsysteme nur noch im Produkt-Hilbertraum H schreibbar und dort beispielsweise wie in
Kapitel 2.3 in der SU (n)-Clusteroperatorbasis darstellbar.
2.5.1 Bloch-Bild
Entsprechend Kapitel 2.3 kann jeder Zustand ^ eines Spin-1=2-Systems in der SU (2)-Basis
durch
1
(2.33)
^ = ^1 + P1 ^ 1 + P2 ^ 2 + P3 ^ 3
2
mit den Polarisationen
n o
Pi = Tr ^ i ^ ;
i = 1; 2; 3
(2.34)
dargestellt werden. Da fur reine Zustande
Tr ^2 = 12 1 + P12 + P22 + P32 = 1
(2.35)
gilt, und damit auch
P12 + P22 + P32 = 1
(2.36)
gilt, lassen sie sich als die Oberache einer Kugel in drei Dimensionen interpretieren. Der
sogenannte Blochvektor besitzt als Elemente die Polarisationen Pi. Fur reine Zustande ist
damit die Lange des Blochvektors gleich 1, fur gemischte Zustande ist die Lange immer
kleiner 1. Da unitare Transformationen die Lange des Blochvektors invariant lassen, konnen
sie als Rotationen des Blochvektors visualisiert werden (siehe Kapitel 3.6.1 und 5.3.3).
2.5.2 Produktzustande und verschrankte Zustande
Produktzustande liegen in Quantennetzwerken vor, wenn jedes Subsystem sich in einem reinen Zustand bendet. Der Gesamtzustand ^ ist dann als direktes Produkt (Tensorprodukt)
der lokalen Dichteoperatoren ^1 ; : : : ; ^N schreibbar:
^ = ^1 ^2 ^N ;
(2.37)
17
man sagt auch, der Gesamtzustand ist separabel. In dieser Arbeit wird standardmaig als
Produktbasis\ fur 2-Niveau-Systeme die Darstellung mittels der lokalen Basiszustande j0i
"und
j1i verwendet. Die (standardmaigen) Produktbasiszustande eines 2-Spin-Systems lauten damit fj00i=j0ij0i, j01i=j0ij1i, j10i=j1ij0i, j11i=j1ij1ig.
Im Gegensatz zu Produktzustanden treten sogenannte verschrankte Zustande auf, wenn
die Subsysteme nicht rein sind. Ist der Gesamtzustand rein, so besteht die Verschrankung
innerhalb des Systems, andernfalls mit der Umgebung. Jedoch: Wird der DichteoperatorFormalismus zur Beschreibung der klassischen Unkenntnis verwendet, muss keine Verschrankung auftreten, selbst wenn der Gesamtzustand gemischt ist. Der gemischte Zustand entsteht
hierbei durch das Mischen (im wortlichen Sinne) von reinen Zustanden. In der NMR wird
diese Art der Mischung fur die Erzeugung pseudo-reiner Zustande angewandt (siehe Kapitel 3.5.2). Typische Vertreter verschrankter Zustande stellen die maximal verschrankten
Bell-Zustande (auch als EPR-Zustande bezeichnet) eines 2-Spin-Systems dar:
(2.38)
= p (j00i j11i)
(2.39)
= p (j01i j10i)
Diese Zustande sind nicht mehr als Produkt von lokaken Zustanden schreibbar: Die Teilsysteme sind im maximal gemischten Zustand. Die Verallgemeinerung der Bell-Zustande
auf mehrere Spins werden Katzen-Zustande genannt [43]. Maximal verschrankte Zustande
dieser Art werden in Kapitel 4.1 verwendet.
1
2
1
2
2.5.3 Verschrankungsmae und lokale unitare Transformationen
Durch allgemeine unitare Transformationen andern sich im allgemeinen die Verschrankungseigenschaften. Wendet man hingegen nur lokale unitare Transformationen (LUT) auf einen
Zustand an, so bleiben die Verschrankungseigenschaften erhalten. Quantitative Mae fur
Verschrankung mussen daher invariant gegenuber LUT sein. Schon in Kapitel 2.5.1 wurde
benutzt, da der lokale Blochvektor fur reine Zustande die Lange 1 besitzt, wahrend er bei
zunehmender Gemischtheit auf 0 schrumpft. Das Kriterium fur Gemischtheit
Tr ^21
(2.40)
eines Teilsystems mit dem reduzierten Dichteoperator
^1 = Tr2 f^g ;
(2.41)
kann daher als Ma fur die Verschrankung des Teilsystems mit dem Rest des Gesamtsystems
mit dem Dichteoperator ^ dienen.
Im Allgemeinen wird jedoch als quantitatives Verschrankungsma E (^) eines zweigeteilten reinen Systems ^ die von Neumann-Entropie eines Subsystems genutzt [9]:
E (^) = S (^1 ) = S (^2 ) = Tr f^1 log2 ^1 g :
(2.42)
In [52] wurde ein Ma vorgestellt, das sich direkt aus der Darstellung in SU(2)-Operatoren
berechnen lasst: Fur ein zweiteiliges 2-Niveau-System ist es wie folgt deniert:
Mij (1; 2) = hK^ ij (1; 2)i h^ i(1)ih^ j (2)i
(2.43)
X
1
=
(
Mij (1; 2))2
(2.44)
3
i;j
0 1:
(2.45)
Die Entropie E als auch das Ma sind maximal bzw. minimal bei maximaler bzw. minimaler Verschrankung.
18
2.6 Messungen
Die einfachsten Messungen von Observablen, von Neumann-Projektionsmessungen, werden
durch hermitesche Operatoren A^ (A^y = A^) modelliert. Der Erwartungswert der Observable,
die durch den Operator A^ reprasentiert wird, ist
D E
n o
n o
^A = Tr A^^ = Tr ^A^ :
(2.46)
In dieser Arbeit wird oft die Observable, der Begri Messoperator als auch der Begri
Messkanal (siehe Kapitel 3.4) mit dem gleichen Symbol A^ wie der hermitesche Operator
bezeichnet.
Ein Messkanal A^, der auf ein Quantennetzwerk wirkt, heit lokal, wenn der Operator
A^ nur auf ein lokales Subsystem des Quantennetzwerks wirkt. Wirkt ein Messkanal auf
mehrere lokale Subsysteme, so wird er nicht-lokal genannt.
Nach der Messung bendet sich das Quantensystem in einem Eigenzustand des Operators A^ (Projektionspostulat). Weitergehende Messstrategien wurden in Monograen von
Helstrom [34] und Holevo [35] dargestellt. Darunter fallen die verallgemeinerten Messungen
und Quantenoperationen die nachfolgend kurz dargestellt werden, da sie in Kapitel 4.2.5 fur
den Vergleich mit der Messstrategie aus Kapitel 4.2 benotigt werden.
2.6.1 Verallgemeinerte Messungen
Messstrategien, die Projektionsmessungen auf das interessierende System und ein Hilfssystem benutzen, sollen hier beschrieben werden [34, 50]. Ein in einem bekannten Zustand
^ancilla bendliches Hilfssystem wird an ein interessierendes System im Zustand ^S angekoppelt. Die unkorrelierten Systeme werden gemeinsam durch
(^S ^ancilla) = (S )mn(ancilla)rs
(2.47)
beschrieben (die fetten Indizes beziehen sich auf das Hilfssystem). Mit der orthogonalen
Auosung der Identitat durch die orthogonalen Projektionsoperatoren P im gemeinsamen
Hilbertraum
X
P P = Æ P ;
P = ^1
(2.48)
lasst sich jeder Zustand vollstandig testen, d.h. einer der Messausgange muss eintreten. Die
Wahrscheinlichkeit WS des Messausganges nach der Praparation S ist zu
X
WS = Tr fP (^S ^ancilla )g (P)mr;ns(S )nm(ancilla )sr
(2.49)
gegeben. Dies kann als
geschrieben werden, wobei
mr;ns
n
WS = Tr A^ ^S
(A )mn =
X
rs
o
(P)mr;ns(ancilla)sr
(2.50)
(2.51)
ein Operator ist, der nur im ursprunglichen Hilbertraum des interessierenden Systems wirkt.
Die positiven, hermiteschen Operatoren A erfullen
X
A = ^1:
(2.52)
19
Die Menge der Operatoren A wird positives operator-wertiges Ma (positive operator
valued measure, POVM) genannt. Durch POVM werden sogenannte verallgemeinerte Messungen realisiert. Die Anzahl der Messausgange kann im Gegensatz zu von Neumann Projektionsmessungen nun groer als die Dimension des Hilbertraums des Systems S sein.
2.6.2 Quantenoperationen
Die allgemeinsten Quantenoperationen sind durch vollstandig positive Abbildungen (completely positive maps) gegeben [40, 53]. Ein System S im Zustand ^S soll sich nach einer
beliebigen Entwicklung im Zustand ^0S benden. Die Entwicklung kann im allgemeinsten
Fall durch eine Abbildung oben angegebener Art ES beschrieben werden:
ES (^S ) :
(2.53)
^S ! ^0S =
Tr fES (^S )g
Unter diesen Abbildungy ES benden sich oensichtlich alle unitaren Transformationen des
Zustands ^0S = U^S ^S U^S . Ebenso beinhalten sie alle Wechselwirkungen mit einem Hilfssystem. In diesem Fall kann ES dargestellt werden als eine unitare Transformation auf das
System und ein Hilfssystem ancilla und die anschlieende Spurbildung uber das Hilfssystem. Das Hilfssystem soll sich zu Beginn im Zustand j0iancilla benden:
n
o
y
ES (^S ) = Trancilla US;ancilla(^S j0iancilla h0jancilla )US;ancilla
:
(2.54)
Diese Darstellung ist nicht eindeutig. Verschiedene unitare Transformationen U^S;ancilla konnen
zum gleichen Superoperator ES fuhren [53].
Eine nutzliche Darstellung, in der jeder Superoperator E geschrieben werden kann, ist
die sogenannte Operator-Summen-Darstellung [17]:
X
ES (^S ) = A^i ^S A^yi
(2.55)
i
Die Operatoren A^i wirken nur im Raum des Systems S, beschreiben jedoch alle Zustandsanderungen des Systems, also alle moglichen unitaren Transformationen, Projektionen (verallgemeinerte Messungen) und Umgebungseekte (Dekoharenz).
20
3 Zustandsrekonstruktion
Schon fur die Praparation eines Quantensystems ist eine empirische Zustandsrekonstruktion
unerlasslich. Nur durch sie ist eine unabhangige U berprufung eines gegebenen Praparationsverfahrens moglich [3]. So muss beispielsweise empirisch entscheidbar sein, ob ein Praparationsverfahren reine oder gemischte Zustande erzeugt. Des Weiteren ist zu einer vollstandigen
Charakterisierung eines Praparationsverfahrens eine Methode notig, die keinerlei Annahmen
uber den Zustand des interessierenden Systems macht. Derartige Messstrategien werden Zustandsrekonstruktionsverfahren genannt.
3.1 Rekonstruierbarkeit und das Pauli-Problem
Die Frage nach der prinzipiellen Rekonstruierbarkeit der Wellenfunktion ist keine triviale
Frage. Wolfgang Pauli warf in einer Funote eines Artikels im Handbuch der Physik die
Frage auf, ob die Wellenfunktion (q) eindeutig von den Wahrscheinlichkeitsverteilungen
W (x) j (x)j2 und W (p) j (p)j2 bestimmt wird. Zu dieser Zeit gab es keine Antwort
hierauf [31, 58].
Dieses sogenannte Pauli-Problem wurde in der Folgezeit von mehreren Autoren bearbeitet [19], so wurde gezeigt, dass im Allgemeinen nicht auf die Wellenfunktion zuruckgeschlossen werden kann. Die Wellenfunktion
(x) = r (x) + i i (x)
(3.1)
mit linear unabhangigem Real- und Imaginarteil, d.h.
r (x) + i (x) = 0 , = = 0
(3.2)
und einer festgelegten Paritat
(x) = ( x)
(3.3)
stellt ein einfaches Gegenbeispiel dar [58]. Konjugiert man die Wellenfunktion (x) komplex,
so erhalt man eine zu (x) linear unabhangige Funktion, den sogenannten Pauli-Partner
~(x) = (x) der Wellenfunktion (x): Beide Wellenfunktionen ergeben die gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
j ~(x)j2 = j (x)j2 und j ~(p)j2 = j (p)j2 = j (p)j2 :
(3.4)
Die Daten, die zur Rekonstruktion des Quantenzustands verwendet werden konnen (hier
die Orts- und Impulsverteilungen), werden in diesem Zusammenhang auch Pauli-Daten genannt.
Im gezeigten Beispiel ist ein Ruckschluss auf die Wellenfunktion nicht eindeutig moglich.
Dennoch gibt es eine groe Klasse von Wellenfunktionen, fur die ein Ruckschluss moglich
ist. Insbesondere sind gebundene Zustande { im Gegensatz zu Streuzustanden { eindeutig
durch ihre Orts- und Impulsverteilungen gegeben [19].
21
In einem U bersichtsartikel von Weigert [57] wird zusammenfassend festgestellt, dass die
Wahrscheinlichkeitsverteilungen j (x)j2 und j (p)j2 nicht ausreichen, um den Quantenzustand zu bestimmen. Des Weiteren sei es nicht bekannt, wie die Menge der reinen Zustande,
die mit gegebenen Pauli-Daten vereinbar ist, in vernunftiger Art und Weise charakterisiert
werden kann. Es gabe keinen theoretisch und experimentell uberzeugenden Ansatz zur Zustandsrekonstruktion durch Messungen.
Aber dies gilt nur fur die Teilchen-Version des Pauli-Problems. Denn im Fall von Systemen mit endlichem Hilbertraum, z.B. Spins oder gekoppelten Spins, sogenannte Quantennetzwerke, ist die Losung des Pauli-Problems bekannt.
3.2 Das Quorum-Konzept
Ein gegebenes Quantensystem S wird beschrieben durch den Hamilton-Operator H^ , der auf
dem Hilbertraum H wirkt, also Element der Algebra von Operatoren A ist, die auf den
Hilbertraum wirken. Jeder Zustand des Systems S { ob gemischt oder rein { kann durch
den Dichteoperator
^ beschrieben werden. Observable werden durch hermitesche Operatoy
^
^
^
ren Mj = Mj , Mj 2 A abgebildet. Die Ergebnisse der Messung solcher Observabler sind
statistische Groen und durch die Erwartungswerte hM^ j i gegeben. Ist der Zustand ^ eines
Systems S bekannt, so kann uber die Spurformel
n
o
hM^ j i = Tr M^ j
(3.5)
der Erwartungswert bestimmt werden. Zur Bestimmung eines solchen Erwartungswerts
benotigt man im Allgemeinen ein Ensemble von Systemen, das insgesamt durch den Dichteoperator ^ beschrieben werden soll. Handelt es sich um einen reinen Zustand, so muss damit
das Ensemble aus identisch praparierten Subsystemen bestehen. Zur exakten theoretischen
Behandlung ist die Annahme eines unendlich groen Ensembles neben zuverlassigen (fehlerfreien) Detektoren notwendig. Auf dieser Beschreibungsebene, dem Vorliegen von einer
Anzahl von Erwartungswerten, die durch ein idealisiertes Experiment gewonnen wurden,
stellt die Zustandsrekonstruktion ein inverses Problem dar:
^ = ^([j =1:::J fhM^ j ig)
(3.6)
Der Dichteoperator ^ soll durch eine Menge von Erwartungswerten bestimmt werden. In
diesem Zusammenhang wurde der Begri des Quorums gepragt [48]:
Denition 1 (Quorum) Ein Quorum Q bezeichnet eine Menge von Operatoren, deren
Messung ausreicht, den Quantenzustand ^ zu rekonstruieren [58].
^ = ^(Q)
(3.7)
Waren die Erwartungswerte aller hermiteschen Operatoren M^ 2 A gegeben, ware der
Zustand ^ naturlich festgelegt. Da dies allerdings kein praktikabler Weg ist, stellt sich die
Frage nach dem
minimalen Quorum: Es enthalt die minimale Anzahl von Operatoren;
experimentell realisierbaren Quorum: Die Observablen sollten mit einfach zu realisierenden (oder zumindest prinzipiell realisierbaren) Messapparaturen messbar sein.
22
Beide Aspekte zusammen ergeben eine eÆziente Messung des vollstandigen Quantenzustands auf der Ebene von Erwartungswerten.
Schon in der Einleitung (Kapitel 2.3) wurde die SU (n)-Darstellung eingefuhrt. Sie stellt
ein minimales Quorum, das von n2 1 orthogonalen Operatoren gebildet wird, dar. Jede
hermitesche orthogonale Operatorbasis stellt ein minimales Quorum dar. Jede hermitesche,
aber nicht notwendigerweise orthogonale Operatorbasis stellt daher auch ein (nicht notwendigerweise minimales) Quorum dar. Wahrend fur Rechnungen orthogonale Basen (mit minimaler Operatoranzahl) zu bevorzugen sind, werden fur Messungen wegen experminenteller
Begrenzungen oft mehr Messwerte als freie Zustands-Parameter benotigt; die entstehenden
Quorums sind also oft nicht die minimalen. Dies wird im folgenden Kapitel 3.3 deutlich
werden.
Denition 2 (Teil-Quorum) Ein Teil-Quorum QT bezeichnet eine Menge von Operatoren, deren Messung ausreicht, einen Teil des Quantenzustands ^ zu rekonstruieren.
Als Beispiel mag die spater betrachtete Rekonstruktion der Dichtematrix-Diagonalelemente
dienen, bei der nur durch die Zusammenfassung mehrerer Messungen die Diagonalmatrixelemente bestimmt werden konnen.
3.3 Quorums fur allgemeine Spin-Zustande
Zunachst sollen Quantensysteme betrachtet werden, die aus einem einzigen Spin mit der
Quantenzahl s bestehen. Entscheidend bei dieser Beschrankung ist, dass alle Messungen am
System lokal ausgefuhrt werden konnen. Die in Quantennetzwerken auftretenden nichtlokalen Eekte werden erst spater untersucht.
Wieviel Zustands-Parameter besitzt ein Spin mit der Spinquantenzahl s? Der Hilbertraum eines Spins s hat 2s+1 komplexe Dimensionen. Daher hat die allgemeine Dichtematrix
^ (2s + 1)(2s + 1) Elemente mit (2s + 1)2 1 reellen Parametern (wegen der Normierungsbedingung Tr f^g = 1 entfallt ein Freiheitsgrad). Es gibt viele Vorschlage zur Messung aller
Parameter [58]. Von Park und Band [48, 4] wurde gezeigt, dass die Erwartungswerte der
4s(s + 1) linear unabhangigen Spin-Multipole einen normierten Dichteoperator eindeutig
festlegen. Zwar stellt dies ein minimales Quorum dar, jedoch wurde nicht angegeben, wie
diese Erwartungswerte experimentell zu messen sind.
Mit einer Apparatur nach Feynman [28], ein sogenannter Feynman-Filter, der einen phasenempndlichen Stern-Gerlach-Detektor darstellt, konnten die einzelnen Matrixelemente
direkt bestimmt werden [30], doch auch hier ist unklar, ob solch ein Filter experimentell
implementiert werden kann.
Experimentell ist am einfachsten der Stern-Gerlach-Apparat zu implementieren. So wurde von Newton und Young gezeigt [45], dass durch 4s + 1 Stern-Gerlach-Messungen, deren
Projektions-Richtungen auf einem Kegel um eine feste Achse liegen, die Dichtematrix bestimmt ist. Die Zahl der experimentell bestimmten Parameter betragt dabei (4s +1)(2s +1)
(2s + 1 Intensitaten treten auf).
Ein minimales Quorum wurde erst von Amiet und Weigert [2] konstruiert: Dort werden
nur 2s +1 Mess-Richtungen eines Stern-Gerlach-Apparats benotigt. Es treten damit (2s +1)2
Messparameter auf. Bis auf die Normierung ist dies die minimale Anzahl von Messungen
die notwendig ist, den vollstandigen Quantenzustand zu rekonstruieren.
Erweitert man den Horizont auf zusammengesetzte Systeme, so treten neue Probleme
auf: Es gibt dort nicht-lokale Eigenschaften, von denen nicht sofort klar ist, wie diese direkt
23
gemessen werden konnen. Das Quanten-Multiplex-Bild bietet Moglichkeiten zur Rekonstruktion an, die wenige oder einen Projektionsmessoperator(en) nutzen, dafur aber allgemeine
unitare Transformationen am System erfordern.
3.4 Quantennetzwerke im Quanten-Multiplex-Bild
Fur die Betrachtungen in diesem Kapitel sollen zunachst die Begrie des Quantennetzwerks
und des Messkanals noch einmal aufgegrien (siehe Kapitel 2.5) bzw. deniert werden.
Denition 3 (Quantennetzwerk) Bei einem Quantennetzwerk handelt es sich um eine
Menge von Quantensubsystemen fH(1); H(2); : : : ; H(N )g mit endlichen Hilbertraumen, die
{ weil beispielsweise eine Kopplung der Subsysteme auftritt { sinnvollerweise durch einen
gemeinsamen Produkt-Hilbertraum H = H(1) H(2) : : : H(N ) beschrieben werden soll.
Beispiel fur die Subsysteme sind Spin-Systeme mit beliebiger Spin-Quantenzahl s.
Denition 4 (Messkanal) Ein Messkanal ist ein durch eine physikalische Apparatur vorgegebener hermitescher Operator, der eine von-Neumann-Projektionsmessung implementiert.
In der experimentellen Praxis gibt es oft die Einschrankung
1. auf lokale Messkanale
2. und auf wenige direkt zugangliche Messkanale.
In der NMR an Spin-1/2-Systemen sind beispielsweise nur die lokalen x- bzw. y-Komponenten
des Spins direkt (d.h. durch die Auswahlregeln bestimmt) messbar. Die Messoperatoren sind
die Paul-Spinmatrizen ^x und ^y . (Des Weiteren sind nicht nur die Projektionen auf die xbzw. y-Achse messbar, sondern jeder Projektor auf die x-y-Ebene.) Allerdings sind weder
die z-Komponente (^z ) noch die nicht lokalen Operatoren K^ ij direkt messbar. Die einzige
Moglichkeit, diese Messungen indirekt durchzufuhren, ist die Anwendung unitarer Transformationen auf das Quantensystem. Mit Hilfe von elektromagnetischen Pulsen und der
Nutzung der inharenten Kopplung der Subsysteme ist es in vielen Fallen moglich, allgemeine unitare Transformationen am NMR-System vorzunehmen (siehe auch Kapitel 3.5).
Verallgemeinert man das Konzept der Messung bei beschrankter Auswahl des Messkanals
und der Zulassung allgemeiner unitarer Transformationen, so bietet sich fur diese Klasse von
Messungen das Bild des Quantenmultiplexers an.
Denition 5 (Quantenmultiplexer) Eine unitare Transformation U^ , die auf ein Quantensystem wirkt, kann als Implementation eines Quantenmultiplexers QMUX(U^ ) interpretiert werden, wenn die Anwendung der Transformation U^ mit dem Ziel erfolgt, mehrere nur
indirekt messbare Kanale A^j nacheinander auf einen festen direkt messbaren Messkanal B^
abzubilden (Abbildung 3.1)(siehe Kapitel 4.1 fur eine Erweiterung dieser Denition). Die
wiederholte Wahl einer unitaren Transformation U^ durch den Experimentator entspricht
der Funktion eines aus der Elektronik bekannten Multiplexers, der es ermoglicht, aus vielen
Kanalen einen einzigen auszuwahlen und ihn uber eine feste Datenleitung zur Verfugung zu
stellen.
Im Zusammenhang der vollstandigen Zustandsmessung auf der Ebene des Quorums und
der Anwendung des Quanten-Multiplex-Bildes sind die Aspekte des Austauschs von Messkanalen (z.B. der Quorum-Elemente) (Kapitel 3.4.1) und der Rekonstruktion des Quantenzustands uber einen einzigen Messkanal (Kapitel 3.4.2) interessant.
24
3.4.1 [1!1]-Quantenmultiplexer: Austauschbarkeit von Messkanalen
A^1
A^2
..
A^n
Quantenmultiplexer
QMUX
U^i ; i = 1 : : : n
B^
Abbildung 3.1: Quantenmultiplexer fur den Messkanalwechsel: Jeder der Messkanale A^i wird
durch einen entsprechenden Multiplexer QMUX(U^i) auf den Messkanal B^
abgebildet.
Messkanale mit identischem Eigenwertspektrum
Betrachte die Messkanale A^i und B^ = U^iA^i U^iy. Die Messung des Operators A^i wird durch
Anwendung der entsprechenden unitaren Transformation U^i und Messung des Operators B^
erreicht, da wegen der nInvarianz
dern Spur gegen
ubernzyklischeroVertauschung
gilt:
o
o
n
o
hB^ i = Tr B^ ^ = Tr U^i A^iU^iy^ = Tr A^i U^iy^U^i = Tr A^i^0i ;
(3.8)
wobei ^0i U^iy^U^i den invers zum Operator B^ transformierten Dichteoperator darstellt.
Eine unitare Transformation U^ ; U^ y = U^ 1 erhalt, wie schon in Kapitel 2.4.1 gezeigt, das
Eigenwertspektrum eines jeden hermiteschen Operators M^ = M^ y .
Da der Quantenmultiplexer QMUX(U^i) durch die unitare Transformation U^i beschrieben
wird, ist der Austausch von Messkanalen in dieser Art und Weise beschrankt: Nur Messkanale mit gleichem Eigenwertspektrum konnen durch einen Quantenmultiplexer ineinander
uberfuhrt werden.
Sind die durch den Multiplexer zu transformierenden Messkanale A^i ; (i = 1 : : : n) und B^
gegeben, so ist die unitare Transformation U^i uber die unitaren Diagonalisierungstransformationen D^ A^i und D^ B^ konstruktiv gegeben:
D^ A^i A^i D^ Ay^i := Diagfaji g = A^Di
(3.9)
D^ B^ B^ D^ By^ := Diagfbj g = B^ D ;
(3.10)
wobei die aji die geordneten Eigenwerte von A^i und die bj die geordneten Eigenwerte von B^
sind. Nach Voraussetzung sind die Eigenwerte der Operatoren A^i und B^ identisch:
A^Di B^ D ;
(3.11)
so dass mit der Denition der U^i
B^ = U^i A^i U^iy
(3.12)
die explizite Form von U^i
D^ A^i A^i D^ Ay^i = D^ B^ B^ D^ By^
(3.13)
B^ = D^ By^ D^ A^i A^i D^ Ay^i D^ B^
(3.14)
U^i = D^ By^ D^ A^i
(3.15)
25
folgt.
Messkanale mit unterschiedlichem Eigenwertspektrum
Zwar konnen Messkanale mit unterschiedlichen Eigenwerten nicht direkt durch den Quantenmultiplexer ausgetauscht werden, doch ist durch sukzessive Messung auf dem Kanal B^
und Anwendung einer entsprechenden Multiplexer-Transformation U^i die gleiche Information eines Messkanals C^ mit unterschiedlichen Eigenwerten EW(C^ ) 6= EW(B^ ) extrahierbar.
Statt den Operator C^ direkt zu messen betrachten wir die Messung des diagonalisierten
Operators C^ D
C^ D := D^ C C^ D^ Cy = Diagfcj g
(3.16)
Die cj sind die Eigenwerte von C^ . Der Erwartungswert von C^ lasst sich nun wie folgt
ausdrucken:
n o
hC^ i = Tr C^ ^
(3.17)
n
o
=! Tr C^ D ^0
(3.18)
n
o
= Tr C^ D^ Cy ^0 D^ C
(3.19)
Damit dies gilt, muss ^0 = D^ C ^D^ Cy gewahlt werden. Die Messung des diagonalisierten Operators C^ D im transformierten System ^0 ergibt damit das gleiche Ergebnis wie die ursprunglich betrachtete Messung. Der Erwartungswert des diagonalisierten Operators C^ D ist jetzt
einfach durch die Diagonalelemente rj des Dichteoperators ^0 auszudrucken:
n
o X
D
D
0
^
^
hC i = Tr C ^ = cj rj
(3.20)
j
Die unbekannten Variablen rj konnen, wie in Kapitel 3.4.2 gezeigt wird, uber jeden beliebigen (nicht-trivialen) hermiteschen Operator durch mehrfache Anwendung von Multiplexertransformationen gemessen werden. Daraus kann dann nach Gleichung 3.20 und unter
Beachtung von Gleichung 3.18 der Erwartungswert des Kanals C^ berechnet werden.
Eigenwerte von Quantennetzwerken
Die Subsysteme von Quantennetzwerken sind oft lokalisierte physikalische Systeme wie z.B.
Spins. Messoperatoren werden sich meistens auf eines dieser physikalischen Systeme beziehen, also in einem Subraum leben. Kombiniert man mehrere aquivalente Subsysteme, so ist
es sinnvoll nach der Eigenwertstruktur des entstandenen Quantennetzwerks zu fragen.
Da die Diagonalisierungsoperatoren D^ i von lokalen Messoperatoren M^ i nur in ihrem
jeweiligen Teilraum H(i); i = 1 : : : N wirken, ergibt sich fur die Clusteroperatoren M^ ges =
Ni=1 M^ i dieser Messoperatoren ein Eigenwertspektrum, das aus den direkten Produkten der
Eigenwerte der lokalen Messoperatoren M^ i besteht: EW(M^ ges) = Ni=1EW(M^ i )
Einen Spezialfall stellen gekoppelte 2-Niveau-Systeme dar: Die SU (2)-Generatoren ^i; i =
1 : : : 3, die den Pauli-Spinmatrizen ^x ; ^y ; ^z entsprechen, bilden mit der 2 2-Identitat ^1
eine hermitesche, unitare und orthogonale Basis BSU (2) . Die Eigenwerte der ^i sind jeweils
EW(^i) = f 1; 1g. Es ergeben sich damit fur alle aus dieser Basis bildbaren Clusteroperatoren die Eigenwerte +1 und 1 in Multiplizitat N .
Da die Basisoperatoren der BSU (2) hermitesch sind, stellen sie ein Quorum fur jeden
der Subraume H(i) dar, durch die Orthogonalitats-Eigenschaft ist es sogar ein minimales
26
Quorum. Alle Clusteroperatoren bilden im Gesamthilbertraum H = Ni=1 H(i) ebenfalls eine
hermitesche, unitare und orthogonale Basis B
SU (2) dar. Somit kann mit Hilfe eines Multiplexers, der im Gesamtraum H wirkt, jeder hermitesche Basisoperator aus B
SU (2) durch jeden
anderen gemessen werden. Hier ist also ein vollstandiger Austausch aller Messkanale untereinander moglich. Da der Dichteoperator ^ in der Basis B
SU (2) eindeutig entwickelt werden
kann, ist damit die vollstandige Rekonstruktion des Dichteoperators uber jeden Messkanal
der Basis moglich.
Fur 3-Niveau-Systeme oder allgemein n-Niveau-Systeme ist fur n mod 2 6= 0 keine Zerlegung in SU (2)-Cluster moglich. Die Eigenwerte der SU (n)-Generatoren sind daruber hinaus
nicht mehr alle identisch, eine Zustandsrekonstruktion uber die SU (n)-Basisoperatoren mit
Hilfe eines Quantenmultiplexers daher nicht moglich. Jedoch wird in Kapitel 3.4.2 gezeigt,
dass selbst im allgemeinen Fall eines Systems im Hn ein minimales Quorum konstruiert
werden kann.
Anwendungen
Als Anwendungsmoglichkeiten ergeben sich folgende Bereiche:
Indirekte Messung eines einzelnen Operators. Beispiel: Messung der ^z -Komponente eines halbzahligen Spinsystems in der NMR: Durch einen =2-Puls in x- oder y-Richtung
ist die z-Komponente in die Nachweisebene klappbar.
Zu den unitaren Operationen gehoren die Teilchenaustausch-Operationen. Steht ein
lokaler Messoperator in einem Quantennetzwerk zur Verfugung kann durch Anwendung einer Multiplexer-Transformation dieser lokale Messoperator indirekt auf jeden
der Subsysteme des Netzwerks wirken.
Vollstandige Zustandsrekonstruktion bei 2-Niveau-Systemen und Netzwerken aus 2Niveau-Systemen. Wie gezeigt, ist die Rekonstruktion des Dichteoperators uber jeden
der SU (2)-Clusteroperatoren, auch lokale wie in der NMR, moglich.
3.4.2 [Alles!1]-Quantenmultiplexer: Volle Rekonstruktion durch
einen einzigen Messkanal
^ ) hA^ii
A^1
A^2
..
A^n
QMUX
U^i; i = 1 : : : n
B^
hB^ ii ) ^
Abbildung 3.2: Quantenmultiplexer zur Zustandsrekonstruktion: Der Multiplexer
QMUX(U^i) bildet das Quorum der [ni=1 fA^ig in n Schritten auf einen
einzigen Messkanal B^ ab. Die sukzessive ausgelesenen Messwerte hB ii
dienen als Grundlage der Rekonstruktion.
27
Im Folgenden soll die Dichteoperator-Rekonstruktion eines Quantennetzwerks durch
einen beliebigen (nicht trivialen) hermiteschen Operator und Quantenmultiplexer-Abbildungen gezeigt werden. Zunachst soll die Rekonstruktion der Diagonalelemente der Dichtematrix gezeigt werden, bevor auch die Rekonstruktion der Nicht-Diagonalelemente behandelt wird.
Aufgabenstellung:
Gegeben sei ein Dichteoperator ^. Gesucht sei seine Matrixdarstellung, ebenfalls mit ^ bezeichnet, uber die Messung eines hermiteschen Operators (Messkanal) B^ unter Verwendung
des Quantenmultiplexers QMUX, dessen Funktion durch die unitare Transformation U^i beschrieben wird.
Die Dichtematrix ^ besitze m m Matrixelemente. Die reellen Variablen ri; i = 1 : : : m
seien die Diagonalelemente von ^.
Der Messoperator B^ soll nicht trivial gewahlt werden, d.h.
B^ 6= c^1; c 2 R
(3.21)
Damit besitzt B^ hochstens m 1 entartete Eigenwerte. Der triviale Messoperator 1^ liefert
die Normierungsbedingung Tr f^g = 1.
Der diagonalisierte Messoperator
B^ D = D^ B B^ D^ By = Diagfb1 ; : : : ; bm g
(3.22)
weist die geordneten Eigenwerte bi von B^ auf der Diagonalen auf. Ohne Beschrankung der
Allgemeinheit sei b1 = max(EW(B^ )).
Im Allgemeinen ist eine Diagonalisierungtransformation nur bis auf die Permutation
aller Eigenwerte bi eindeutig festgelegt. Der entstandene Freiheitsgrad lasst sich nutzen: Die
Bildung von weiteren diagonalen Operatoren B^ D (p) aus B^ D durch Permutation (nummeriert
durch den Index p) der Eigenwerte und die Messung von deren Erwartungswerten hB^ D (p)i
ermoglicht die Berechnung der Diagonalelemente der Dichtematrix:
Rekonstruktion der Diagonalelemente der Dichtematrix
Im Folgenden sollen besondere zyklische Permutationen auf Vektoren ~v 2 R m betrachtet
wer
1
;
2
;:::;
1
den, P(s ;:::;s)(p) soll die (p 1)-fache Ausfuhrung der zyklischen Permutation ;1;2;:::; ;1 ,
die nur auf die Elemente des Vektors vs ; : : : ; vs wirkt { alle anderen Elemente des Vektors
~v bleiben erhalten, bedeuten. P^(s ;:::;s ) (p) soll die unitare Transformation darstellen, die
entsprechend der Operation auf Vektoren statt der Elemente eines Vektors die Zeilen- und
Spaltenvektoren einer m m-Matrix permutiert.
1
1
1
Ansatz 1 (Minimales Teil-Quorum fur die Dichtematrixdiagonale)
Die Vektoren
(3.23)
sind die um p 1-Elemente zyklisch permutierten Vektoren aus den Eigenwerten bi. Der
zu jedem Vektor ~b(p) gehorige Diagonalisierungsoperator D^ B (p) bestimmt die MultiplexerTransformation
U^p = D^ By (p):
(3.24)
28
~b(p) = P(1;:::;m) (p)(b1 ; : : : ; bm )
Die gemessenen Erwartungswerte hB^ ip und die Normierungsbedingung sollen zu einem Vektor
~e = (hB^ i1 ; : : : ; hB^ im 1 ; 1)
(3.25)
zusammengefasst werden. Mit der Matrix E , deren Zeilenvektoren durch die Vektoren ~b(p)
und ~1 = (1; 1; : : : ; 1) gegeben sind
Epq = ~b(p)q (p = 1 : : : m 1);
Emq = 1;
(3.26)
lasst sich ein lineares quadratisches Gleichungssystem aufstellen:
Epq rq = ep
(3.27)
Dieses Gleichungssystem ist losbar, falls det E 6= 0. Dies ist der Fall genau dann, wenn
die Vektoren ~b(p) und ~1 alle linear unabhangig sind. Die Inversion der Matrix E ist dann
moglich, die Elemente der Dichtematrixdiagonalen ergeben sich zu
rq = Epq1 ep :
(3.28)
Die Dichtematrixdiagonalelemente werden damit indirekt bestimmt und mussen durch einen
klassischen Computer extern berechnet werden.
Im Fall m = 2 und m = 3 gilt det E 6= 0 immer:
Fall m = 2:
u
v
det 1 1 = u v 6= 0: (u; v 2 R )
(3.29)
Fall m = 3:
0
1
u v w
@
det w u v A = u2
1 1 1
p p
3
v+w
) L = ffu !
u v + v2
u w v w + w2 ;
v 2 + 2 v w w2
p p
3
v2 + 2 v w
(3.30)
w2
gg
2
(3.31)
p
Der Wurzelausdruck W = v2 + 2 v w w2 =: W ist fur alle v; w Null oder imaginar,
da fur jedes feste w, das Maximum von W 0(v) an der Stelle v = w liegt und Null betragt:
2
g; fu !
p 0
v+w+
(u; v; w 2 R )
@W 0
=
2
v + 2 w =! 0 ) v = w
(3.32)
@v
@2W 0
= 2 < 0; ) Maximum
(3.33)
@v 2
Reelle Losungen der Gleichung 3.30 existieren also nur fur u = v = w, was nach Vorausset-
zung (Gleichung 3.21) ausgeschlossen wurde. Es gilt daher immer
0
1
u v w
det @ w u v A 6= 0:
(3.34)
1 1 1
Die minimale Anzahl von Messungen (m 1) zur Ermittlung der m 1 freien Parameter der
Diagonale der Dichtematrix ^ wird damit im Fall m = 2; 3 erreicht. Fur m 4 ist die analoge Konstruktion des Teil-Quorums uber zyklische Permutationen in vielen Fallen moglich.
29
In weiteren Fallen sind die zyklischen Permutationen durch allgemeine Permutationen zu
ersetzen. Es ist nicht bekannt, ob in jedem Fall ein minimales Teil-Quorum durch allgemeine Permutationen erzeugt werden kann. Im Allgemeinen wird der Satz der zu wahlenden
Permutationen vom gewahlten Messkanal B^ abhangig sein. Gesucht ist daher ein Verfahren,
das zwar auf Kosten der EÆzienz geht, d.h. mehr Messungen benotigt, dafur aber von der
Wahl des Messkanals unabhangig ist (bezuglich der Anwendung der Permutationen).
Dies fuhrt zum
Ansatz 2 (Direktes Ausmessen jedes Einzelelements der Diagonale)
Zur direkten Messung eines Elements der Diagonale einer Dichtematrix ist ein Messoperator
der Form
B^ 0 (p) = DiagfP(1;:::;m) (p)(u; v; : : : ; v )g; u; v 2 R ; u 6= v; p = 1 : : : m 1
(3.35)
notig. Das ruhrt daher, da das Messergebnis abgesehen vom Matrixelement pp nur noch
von der bekannten Spur des Dichteoperators ^ = 1 abhangen darf. Die Diagonalelemente
ergeben sich aus
n
o
Tr B^ 0(p)^ = (u v)rp + v
(3.36)
zu
n
o
0
^
Tr B (p)^ v
(3.37)
rp =
u v
und
m
X1
rm = 1
ri :
(3.38)
i=1
Ziel ist es nun, das Messergebnis des Operators B^ 0(p) zu rekonstruieren. Hierzu betrachten wir den schon bekannten Messoperator B^ D aus Gleichung 3.22. Wir bilden daraus die
Operatoren
B^D (p) = DiagfP(2;:::;m) (p)(b1 ; : : : ; bm )g;
p = 1:::m 1
(3.39)
Zu beachten ist, dass sich die zyklische Permutation nicht mehr auf das erste Element von
~b erstreckt. Die Summation aller m 1 Erwartungswerte ergibt
m
X1
p=1
m 1
n
o
m
m
X
XX
hB^D (p)i = Tr B^D (p)^ = (m 1)r1b1 +
bi rj ;
p=1
j =2 i=2
(3.40)
was sich mit u = (m 1)b1 und v = Pmi=2 bi mit B^ 0(1) aus Gleichung 3.36 identizieren
lasst. Da b1 nach Voraussetzung das Maximum der bi ist, die nicht alle identisch sein durfen,
gilt immer u > v und damit u 6= v. Der Erwartungswert des Operators B^ 0(1) ist damit
mit maximal m 1 Messungen rekonstruierbar. Durch m 1 Permutationen nach Art der
Gleichung 3.35, was der Verschiebung des Maximums b1 im ~b-Vektor entspricht, sind alle
B^ 0 (p) rekonstruierbar und damit auch die vollstandige Diagonale der Dichtematrix ^.
Es bleibt daher festzuhalten:
Satz 1 (Rekonstruktion der Diagonalelemente der Dichtematrix ^)
Im Hilbertraum Hm ist mit jedem nicht trivialen hermiteschen Operator B^ 6= c^1; c 2 R
und der Anwendung von allgemeinen unitaren Transformationen U^ (Multiplexer-Funktion)
die Diagonale der Dichtematrix ^ mit hochstens (m 1)2 Messungen rekonstruierbar.
30
Anders gesagt existieren unendlich viele Teil-Quorums aus hermiteschen Operatoren mit
beliebigem, festen und nicht trivialen Eigenwertspektrum zur Rekonstruktion der Dichtematrixdiagonalen.
Satz 2 (Rekonstruktion der Diagonalelemente der Dichtematrix ^ im H2 und H3 )
Im Hilbertraum H2 (m = 2) und H3 (m = 3) ist mit jedem nicht trivialen hermiteschen
Operator B^ 6= c^1; c 2 R und der Anwendung von allgemeinen unitaren Transformationen
U^ (Multiplexer-Funktion) die Diagonale der Dichtematrix ^ mit der minimalen Anzahl von
m 1 Messungen rekonstruierbar.
Rekonstruktion der Nicht-Diagonalelemente der Dichtematrix
Nachdem alle Diagonalelemente bekannt sind, mussen fur die Rekonstruktion der NichtDiagonalelemente noch unitare Transformationen gefunden werden, die die Nicht-Diagonalelemente auf die Diagonale abbilden. Dies ist mit unitaren Transformationen
U^ : U = d; U = d; U = c ; U = c; Uij = Æij ; (i; j 6= ; ); (c 2 C ; d 2 R ) (3.41)
moglich. In Matrixschreibweise hat diese Transformation andeutungsweise die Form
0
1
1
B
C
...
B
C
B
C
B
C
1
B
C
B
C
d
0
0
c
B
C
B
C
0 1
0
B
C
.
.
.
^U = B
C
.
.
.
(3.42)
.
.
.
B
C
B
C
0
1 0
B
C
B
C
c 0 0 d
B
C
B
C
1
B
C
B
... C
@
A
1
Hinreichende Bedingung fur Unitaritat ist die Orthonormalitat der Zeilen- oder Spaltenvektoren. Die Orthogonalitat beider veranderter Vektoren gegenuber der Einheitsmatrix ist
immer erfullt:
(d c) dc = 0
(3.43)
Des Weiteren sind beide veranderten Vektoren orthogonal zu allen anderen Vektoren, so
dass nur noch die Normierungsbedingung
d2 + jcj2 = 1
(3.44)
erfullt sein muss (c 2 C ; d 2 R ). Die Transformation ^0 = U^ ^U^y erhalt alle Diagonalelemente der Dichtematrix ^ bis auf
0 = d2 cd c d + jcj2 (3.45)
und
0 = jcj2 + cd + c d + d2 :
(3.46)
31
Es gilt schon aus der Spurerhaltung unter unitarer Transformation
0 + 0 = + :
(3.47)
Der Messoperator B^ D besitzt mindestens zwei nicht identische Eigenwerte, bezeichnet mit
u und v . Durch Transposition dieser Eigenwerte mit B und B erhalt man den Operator
B^tD und den Vektor ~bt = (bt1 ; : : : ; btm ) seiner Eigenwerte, wobei bt = u; bt = v . Nach
Messung seines Erwartungswertes et ergibt sich die Gleichung
0 u + 0 v = et
m
X
i=1;i6=;
bti 0ii
(3.48)
Gleichung 3.47 und Gleichung 3.48 ermoglichen den Ruckschluss auf 0 und 0 . Wahlt
man c 2 R so ist in Gleichung 3.45
cd + c d = 2cd<( );
(3.49)
fur c 2 I ist in Gleichung 3.45
cd + c d = 2jcjd=();
(3.50)
wobei < den Realteil und = den Imaginarteil bezeichnen soll. U ber Gleichung 3.45 oder
Gleichung 3.46 und entsprechender Wahl der Parameter c und d ist damit das gesuchte
Element ermittelbar. Hierzu wurde nach der Messung der Diagonalen der Dichtematrix
nur noch zwei weitere Messungen benotigt. Alle m 2 m Nicht-Diagonalelemente, die m2 m
Freiheitsgrade darstellen, lassen sich damit mit ebenso vielen zusatzlichen Messungen wie
Freiheitsgrade rekonstruieren. Die Gesamtzahl Z der Messungen betragt dann hochstens
(vgl. Satz 1)
Zmax = (m2 m) + (m 1)2 = 2m2 3m + 1
(3.51)
und mindestens (vgl. Satz 2)
Zmin = (m2 m) + (m 1) = m2 1:
(3.52)
Fur die vollstandige Rekonstruktion ergeben sich damit folgende Satze:
Satz 3 (Rekonstruktion der Dichtematrix ^) Im Hilbertraum Hm ist mit jedem nicht
trivialen hermiteschen Operator B^ 6= c^1; c 2 R und der Anwendung von allgemeinen
unitaren Transformationen U^ (Multiplexer-Funktion) die Dichtematrix ^ mit hochstens 2m2
3m + 1 Messungen rekonstruierbar.
Anders formuliert existieren unendlich viele Quorums aus hermiteschen Operatoren mit
beliebigem, festen und nicht trivialen Eigenwertspektrum zur Rekonstruktion der Dichtematrix.
Satz 4 (Rekonstruktion der Dichtematrix ^ im H2 und H3 ) Im Hilbertraum H2
(m = 2) und H3 (m = 3) ist mit jedem nicht trivialen hermiteschen Operator B^ 6=
c^1; c 2 R und der Anwendung von allgemeinen unitaren Transformationen U^ (MultiplexerFunktion) die Diagonale der Dichtematrix ^ mit der minimalen Anzahl von m2 1 Messun2
gen rekonstruierbar.
32
3.4.3 [Alles!1]-Quantenmultiplexer: Volle Rekonstruktion durch
einen einzigen, nicht vollstandig bekannten Messkanal
Im Vorausgehenden wurde auf der Ebene eines unendlich groen Ensembles von Quantensystemen der Zustand des Ensembles ^ durch Erwartungswerte hB ii eines einzigen Messkanals
B^ unter Zuhilfenahme von beliebigen unitaren Transformationen U^i in Form eines Quantenmultiplexers ausgemessen.
^ ) hA^ii
A^1
A^2
..
A^n
QMUX
U^i; i = 1 : : : n
B^
B^
hB^ ii ) ^
nicht vollstandig
bekannt
Abbildung 3.3: Quantenmultiplexer zur Zustandsrekonstruktion bei nicht vollstandig bekanntem Messkanal: Der Multiplexer QMUX(U^i) bildet das Quorum der
[ni=1 fA^ig in n Schritten auf einen einzigen Messkanal B^ ab. Der Messkanal B^ soll bis auf einen einzigen Diagonalparameter unbekannt, aber fest
gewahlt sein.
Hier wird gezeigt, dass die vollstandige Messung des Quantenzustands ^ selbst ohne volle
Kenntnis des festen Messoperators B^ moglich ist. Dies mag ein etwas konstruierter Fall sein,
da er in der experimentellen Praxis kaum auftreten wird, aber im Sinne des Spiels "Was
muss ich wissen, um einen Zustand zu rekonstruieren?\ ist diese Frage durchaus relevant. Die
Aufgabenstellung fur diesen Abschnitt ist daher, das notwendige a priori -Wissen bezuglich
der Messoperatorwahl zu untersuchen. Es ist, wie gezeigt werden wird, nur die Kontrolle
des Systems durch beliebige unitare Transformation und die Angabe eines Matrixelements
des Messkanals notwendig, um beliebige Zustande zu rekonstruieren.
Eektives Loschen der Nicht-Diagonalelemente des Dichteoperators
Wesentlich fur diese Art der Messstragie ist das eektive Ausloschen aller Nicht-Diagonalelemente des Dichteoperators. Dies ist eigentlich ein nicht-unitarer Prozess, da die Eigenwerte
des Dichteoperators unter dieser Operation im Allgemeinen keine Erhaltungsgroen sind. In
der NMR wird diese Art der Transformation zur Herstellung von pseudo-reinen Zustanden
(Kapitel 3.5.2) verwendet. Dort wird sie entweder durch zeitliche Mittelung oder raumliche
Mittelung uber ein Ensemble, das einem B-Feld-Gradienten unterliegt, durchgefuhrt. Hier
jedoch soll kein Zustand prapariert werden, sondern nur eektive Messungen betrachtet
werden, die in ihrer Summe so wirken, als wenn sie auf den Dichteoperator mit geloschten
Nicht-Diagonalelementen angewendet wurden.
Eine Phasendrehung im Hm wie
Ujk = exp({j )Æjk ; j; k = 1 : : : m
(3.53)
transformiert die einzelnen Dichtematrixelemente wie
0lk = Uli ij (U y )jk ;
(3.54)
33
da U^ Diagonalform besitzt, ergeben sich nur Beitrage fur l = i und k = j
0ij = Uii ij (U y )jj = exp({i )ij exp( {j ) = exp({(i j ))ij :
(3.55)
Es zeigt sich, dass fur i = j das Matrixelement erhalten bleibt und fur i 6= j dem Element
eine Phase aufgepragt wird, falls die Dierenzen zwischen den Phasen p nicht verschwinden.
Wahlt man
p = p; p = 0 : : : m 1; 2 [0; 2 )
(3.56)
so erhalt das Element ij die Phase (i j ). Die Integration uber alle moglichen Werte fur
Z 2
exp({(i j ))ij d = 2Æij ij
(3.57)
loscht alle Nicht-Diagonalelemente des Dichteoperators ^. Diese Art der kontinuierlichen
Summation uber alle Phasen wird zur Herstellung pseudo-reiner Zustande verwendet (siehe
Kapitel 3.5.2). Jedoch ist eine Summation uber endlich viele Phasen ausreichend, um in
einem endlichen Hilbertraum diese Operation zu implementieren: Mit = 2=m, k = i j
und der Ersetzung des Integrals durch eine Summe erhalt man
0
m
X1
l=0
kl
);
exp(2{ m
k = 1; : : : ; m
1
Diese Summe lasst sich als geometrische Reihe
qm
sm 1 = 1 + q + q 2 + + q m 1 =
q
mit
ausdrucken. Man erhalt damit
(3.58)
1
1
(3.59)
q = exp(2{k=m)
m
X1
kl
exp(2{k) 1 = 0;
exp(2{ m
) = exp(2
{k=m) 1
l=0
(3.60)
k = 1; : : : ; m
1:
(3.61)
Die Summation uber die m durch die Phasentransformationen
U^l : Ujkl = exp({lj )Æjk ; j; k = 1; : : : ; m; l = 0; : : : ; m 1
(3.62)
transformierten Dichteoperatoren ^ mit
p = 2pl=m; p; l = 0; : : : ; m 1
(3.63)
ergeben das m-fache eines eektiven Dichteoperators ^d mit geloschten Nicht-Diagonalelementen:
m
X1
1
^d = m
U^l ^U^ly
(3.64)
l=0
^d : d;ij = ij Æij i; j = 1; : : : ; m:
34
(3.65)
Messung der Spur des Messkanals B^
Im Hinblick auf Messungen mit einem unbekannten Messkanal B^ lasst sich eine Summe von
Erwartungswerten mit Hilfe des eektiven Dichteoperators ^d ausdrucken:
( m 1
)
m
o
n
o
X1 n
X
Tr B^ U^l ^U^ly = Tr B^ U^l ^U^ly = mTr B^ ^d
(3.66)
l=0
l=0
Wie zuvor lassen sich alle Permutationen der Diagonalelemente des Messoperator B^ und des
Dichteoperators ^ bzw. indirekt ^d durch unitare Transformation erzeugen. Da auch fur ^d
die Normierungsbedingung Tr f^d g = 1 gilt, kann mit der Identitat ^1, die durch Summation
uber m Permutationsoperationen
m
X
P^(1;:::;m) (p)^d P^(1;:::;m) (p)y = m^1
(3.67)
p=1
erzeugt wird, die Spur des unbekannten Operators B^
n o
n o
Tr B^ ^1 = Tr B^ = tB
(3.68)
aus der Summe von m2 Messungen ermittelt werden (m Permutationen zur Erzeugung eines
eektiven Dichteoperators mal m Permutationen zur Erzeugung der Identitat).
Satz 5 (Messung der Spur eines (unbekannten) Messoperators) Im Hilbertraum
Hm ist mit m2 Messungen die Spur jedes (unbekannten) hermiteschen Operators B^ messbar.
Bildung eines eektiven Messoperators bei bekanntem Diagonalelement
Da wie im vorherigen Abschnitt gezeigt, der einzige reproduzierbare eektive Dichteoperator die Identitat ^1 ist, der nur die Ausmessung der Spur des Operators B^ ermoglicht,
wird zur Bildung eines eektiven Messoperators mindestens eine weitere Information uber
den im Allgemeinen nicht die Diagonalform besitzenden Messoperators B^ benotigt. Ist ein
Diagonalelement gegeben, lasst sich der eektive Messoperator wie folgt bilden: Ohne Beschrankung der Allgemeinheit soll das bekannte Diagonalelement B11 sein. Der eektive
Operator
m 1
^B 0 = (m 1) 1 X P^(2;:::;m)(p)B^ P^(2;:::;m) (p)y
(3.69)
p=1
hat in der Diagonale die Elemente
tB B11
tB B11
1
(3.70)
(m 1) B11 ; m 1 ; : : : ; m 1
stehen. Die Wirkung einer allgemeinen
unit
aren Transformation U^ auf einen allgemeinen
P
y
^
^
^
^
eektiven Messoperator Be = i Ui B Ui kann durch die Wirkung der unitaren Transformation U^ auf die Einzeloperatoren U^iB^ U^iy bezuglich der Messung ersetzt werden:
n
o
(
hU^ B^e U^ yi = Tr U^ B^e U^ y^ = Tr U^
X
i
)
n
o
X
(U^iB^ U^iy)U^ y^ = Tr U^ U^iB^ U^i yU^ y^ (3.71)
i
Auf diese Art und Weise konnen also unitare Transformationen auf einen eektiven Messoperator wie B^ 0 aus Gleichung 3.69 implementiert werden.
35
Bildung eines eektiven Messoperators bei bekanntem Nicht-Diagonalelement
Ist entweder der Real- oder Imaginarteil eines Nicht-Diagonalelements des Messoperators
gegeben, lasst sich der eektive Messoperator nach folgendem Schema bilden: Ohne Beschrankung der Allgemeinheit soll das bekannte Nicht-Diagonalelement b = <(B21) oder
b = =(B21 ) sein. Durch die Transformation U^12 (c; d) aus Gleichung 3.41 wird der Real- bzw.
Imaginarteil des Matrixelements B21 entsprechend Gleichung 3.49 und Gleichung 3.50 auf
die Diagonale gebracht.
B^10 = U^12 (c; d)B^ U^12y (c; d)
(3.72)
0
2
2
B1;11 = d B11 2jcjdb + jcj B22
(3.73)
0
2
2
B1;22 = jcj B11 + 2jcjdb + d B22
(3.74)
0
B1;ij 6=1;2 = Bij
(3.75)
Mit dem weiteren Messoperator
B^20 = P^(1;2) (2)B^ P^(1;2) (2)y
(3.76)
ergibt sich der eektive Messoperator
B^ 0 = B^10 (d2 B^ + jcj2 B^20 );
(3.77)
dessen Diagonale die Elemente
( 2jcjdb; 2jcjdb; 0; : : : ; 0)
(3.78)
aufweist. Schlielich ergibt sich der eektive Messoperator wie in Gleichung 3.69 zu
B^
B^ 00 = (m
1)
1
m
X1
p=1
P^(2;:::;m) (p)B^ 0 P^(2;:::;m) (p)y:
(3.79)
Messung des Dichteoperators ^ uber Messung der Diagonalelemente des eektiven
Dichteoperators ^d
Ist die Bedingung
B11 6=
tB B11
m 1
(3.80)
fur den Fall der Angabe eines Diagonalelements bzw.
b 6= 0
(3.81)
fur den Fall der Angabe des Real- oder Imaginarteils (b = <(B21) bzw. b = =(B21)) eines Nicht-Diagonalelements des Messoperators B^ zusatzlich erfullt, handelt es sich bei den
eektiven Messoperatoren B^ 0 aus Gleichung 3.69 bzw. B^ 00 aus Gleichung 3.79 um Messoperatoren wie in Gleichung 3.35. Eine Zustandsrekonstruktion uber die Einzelmessung jedes
Elementes des eektiven Dichteoperators ^d ist dann durchfuhrbar. Die Einhaltung der Bedingungen (Gleichung 3.80, Gleichung 3.81) lasst sich in beiden Fallen durch Messung der
Spur des (eektiven) Operators uberprufen. Fur den zweiten Fall ist jedoch die Messung
der Spur nicht erforderlich, um das Verfahren anzuwenden.
Man beachte, dass hier nicht der zum groen Teil unbekannte Messoperator B^ diagonalisiert wurde, sondern eektiv eine Loschung der Nicht-Diagonalelemente des Dichteoperators
36
^ genutzt
wurde, um das gleiche Ziel zu erreichen. Das Verfahren zur eektiven Loschung
aller Nicht-Diagonalelemente kann entsprechend, statt auf den Dichteoperator ^ auf den
Messoperator B^ angewandt werden. Es resultiert:
B^d = Bij Æij
(3.82)
Letzlich ist auch in dieser Methode die interpretatorische Freiheit gegeben, entweder von
einem Messoperator oder von einem Dichteoperator zu sprechen, dessen Nicht-Diagonalelemente eektiv geloscht wurden. Dieses Verfahren funktioniert naturlich auch bei vollstandig
bekanntem Messkanal B^ und kann damit zur Rekonstruktion ohne Diagonalisierung des
Messoperators B^ , die fur groe m rechentechnisch im Allgemeinen exponentiell skaliert,
eingesetzt werden.
Satz 6 (Dichteoperatorrekonstruktion mit unvollstandig bekanntem Messoperator)
Im Hilbertraum Hm ist die Rekonstruktion des Dichteoperators ^ mit einem hermiteschen
Operator B^ moglich,
n ovon dem nur ein Diagonalelement d bekannt sein muss, das die Bedingung d 6= (Tr B^
d)=(m 1) erfullt. Der Mehraufwand gegenuber einem vollstandig
bekannten Operator ist ein Faktor m(m 1) in der Anzahl der notigen Messungen (Satz 3)
neben dem konstanten Aufwand fur die Messung der Spur des Operators B^ (Satz 5) von m2
Messungen.
Satz 7 (Dichteoperatorrekonstruktion mit unvollstandig bekanntem Messoperator)
Im Hilbertraum Hm ist die Rekonstruktion des Dichteoperators ^ mit einem hermiteschen
Operator B^ moglich, von dem nur der Imaginar- bzw. Realteil b eines Nicht-Diagonalelements
bekannt sein muss, das die Bedingung b 6= 0 erfullt. Der Mehraufwand gegenuber einem
vollstandig bekannten Operator ist ein Faktor 3m(m 1) in der Anzahl der notigen Messungen (Satz 3).
37
3.5 Angepasste Zustandsrekonstruktion fur die NMR
In der NMR ist man aufgrund der Beschrankung in der Wahl des Messoperators darauf
angewiesen, unitare Transformationen auf das betrachtete System wirken zu lassen, um
den vollstandigen Zustand des Systems zu rekonstruieren. Als Messoperatoren stehen in
einem Spin-System (s=1/2) die Pauli-Operatoren ^x und ^y zur Verfugung. Die eigentlichen
Messdaten bestehen in der Puls-NMR aber aus Daten des Zeitbereichs, dem sogenannten
Free-Induction-Decay (FID) [26]. Aufgrund dieser speziellen Gegebenheiten stellt sich die
Frage nach einem an die NMR angepassten Zustandsrekonstruktionsverfahren. Dies wird in
Kapitel 3.5.1 diskutiert.
Im Zusammenhang mit Quantencomputing auf NMR-Systemen gibt es das Problem der
Erzeugung eines Anfangszustands, der die Eigenschaften eines reinen Zustands besitzt, aus
dem Ensemble von Systemen, die sich im thermischen Gleichgewicht benden. Eine spezielle,
einfach implementierbare und an die NMR angepasste Vorgehensweise fur 3-Spin-Systeme
wird in einem Exkurs in Kapitel 3.5.2 vorgestellt.
3.5.1 Rekonstruktion eines 2-Spin-Systems
Laamme et al. benutzen in [41] ein Zustandsrekonstruktionsverfahren zum Nachweis eines Anteils von Greenberger-Horne-Zeilinger-Zustanden in der Dichtematrix eines 3-SpinSystems, sagen aber nichts spezisches zum verwendeten Rekonstruktionsverfahren.
Chuang et al. [16] stellen hingegen ein Zustandsrekonstruktionsverfahren an einem 2Spin-System vor. Das System besteht dabei aus Kohlensto-13-markiertem Chloroform, bei
dem die aktiven Spins die beiden benachbarten Kohlensto- und Wasserstokerne sind. Die
Probe wurde in ussiger Form prapariert, alle Experimente wurden bei Zimmertemperatur
durchgefuhrt. Der Hamilton-Operator fur dieses System ist
H^ = !A I^zA + !B I^zB + 2!AB I^zAI^zB + H^ env ;
(3.83)
wobei H^ env die Kopplung mit der Umgebung und I^zA = 21 ^zA = 12 ^z ^1 der Drehimpulsoperator in der z-Richtung ist fur Spin A (hier: der Protonenspin), entsprechendes gilt fur
I^zB . Die Umgebung beinhaltet kleine Wechselwirkungen mit anderen Kernen wie den ChlorKernen, die aber keine wesentliche Rolle spielen. Terme hoherer Ordnung in der Spin-SpinWechselwirkung zahlen ebenfalls zur Umgebungswechselwirkung. Die Hauptwechselwirkung
wird durch die Elektronen der Bindung vermittelt statt uber Dipol-Dipol-Wechselwirkung.
In Flussigkeiten in einem hohen Magnetfeld werden durch die Eigenbewegung der Molekule
auerdem alle Wechselwirkungen untereinander ausgemittelt, ubrig bleibt damit die schwache J-Kopplung J I^zAI^zB .
Die Messdaten, die vom Spektrometer aufgezeichnet werden, bestehen aus dem FIDSignal
n
o
^
^ ^
t=T
{
Ht
{
Ht
V (t) V0 e
Tr e ^e A
(3.84)
A^ = {I^xA + I^yA + {I^xB + I^yB :
(3.85)
Fouriertransformiert man dieses Signal ergibt sich ein Spektrum mit vier Lorentz-Linien.
Integriert man uber die Flachen der vier Resonanz-Peaks sowohl im Real- wie Imaginarteil,
erhalt man acht reelle Messgroen in jedem Experimentaldurchlauf. Um alle Elemente der
Dichtematrix zu rekonstruieren, wahlen Chuang et al. in [16] zwei verschiedene Strategien.
Die einfachere Strategie besteht aus der Anwendung von =2-Pulsen auf beide Spins in x1
38
bzw. y-Richtung, die schwierigere Strategie beinhaltet phase-cycling, um das Signal-RauschVerhaltnis zu erhohen, wird aber nicht im einzelnen beschrieben.
Fur die einfachere Rekonstruktionsmethode wurden die neun Puls-Programme EE , EX ,
EY , XE , XX , XY , Y E , Y X und Y Y verwendet (E steht fur keine Rotation, X /Y fur
Rotation um die x=y-Achse um den Winkel =2; Die erste Position bezieht sich dabei auf
Spin A, die zweite Position auf Spin B ; Das Programm EY bedeutet damit keine Rotation
auf Spin A und eine Rotation von =2 um die y-Achse auf Spin B ). U ber ein Verfahren
zur Minimierung der Fehlerquadrate wird aus allen gewonnenen Daten die Dichtematrix ^
rekonstruiert. Die Pulse sind durch die unitaren Transformationen R^x () = exp( {^x =2)
und R^y () = exp({^y =2) auf die einzelnen Spins beschreibbar.
Analysiert man diese kurze Darstellung in [16] genauer, so stellt sich zunachst die Frage,
wie es moglich ist, nur uber lokale Messkanale auch nicht lokale Messkanale abzufragen,
da selbst die Pulse-Programme, die auf die Spins wirken, ebenfalls lokale Transformationen
sind. Entscheidend dabei ist ein Verstandnis dafur, welche Operatoren durch ein Experiment
mit FID eektiv gemessen werden.
Die Wirkung der Dynamik der Systems U^ (t) = e{Ht^ wahrend des FID (Gleichung 3.84)
kann als zeitabhangiger Messoperator
B^ (t) = U^ (t)y A^U^ (t)
(3.86)
aufgefasst werden. In der Matrix-Darstellung der Produktbasis (Kapitel 2.5.2) ergibt sich
mit
0
0 1 1 01
B0 0 0 1C
C
A^ = B
(3.87)
@0 0 0 1A
0 0 0 0
und
1
0 {
e (!A+!B !AB ) t { 0
0
0
C
B
0
0
e (!A !B +!AB ) t { 0
C (3.88)
U^ (t) = B
(
!
!
!
)
t
A
B
AB
A
@
0
0
0
e
{ (! +! +! ) t
0
0
0
e A B AB
der zeitabhangige Messoperator zu
0
0 e{ (!B !AB ) t e{ (!A !AB ) t
0 1
B0
0
0
e{ (!A+!AB ) t C
C
B^ (t) = B
(3.89)
@0
0
0
e{ (!B +!AB ) t A :
0
0
0
0
Fur den Spurausdruck im FID (Gleichung 3.84) erhalt man damit
n
o
Tr B^ (t)^ = e{ (!A+!AB ) t 42 + e{ (!B +!AB ) t 43 + e{ (!B !AB ) t 21 + e{ (!A !AB ) t 31 : (3.90)
2
2
2
2
Aus den beobachteten vier Peaks mit den entsprechenden Frequenzen konnen damit direkt
die acht Parameter der vier komplexwertigen Matrixelemente 42 ; 43 ; 21 ; 31 abgelesen werden. Diese werden in der NMR ublicherweise als Ein-Quanten-Koharenzen bezeichnet [27].
Im Allgemeinen wird unter einer n-Quantenkoharenz ein nicht verschwindendes Matrixelement ^ij = hij ^ jj i mit n = jFz (jii) Fz (jj i)j bezeichnet. Fz (j i) P
ist dabei die Addition der
z-Komponenten aller k Spins des Systems im Zustand j i: Fz = k Iz (k).
39
Entwickelt man die Matrix
0
0
B 21
^ = B
@
31
21 31
0
0
0
0
0
1
42 C
C
43 A
(3.91)
0 42 43 0
in SU (2)-Clusteroperatoren, erhalt man
1 (< + < )^ (1) + (< + < )^ (2)
^ =
31 1
43
21 1
2 42
+(=42 + =31 )^2 (1) + (=43 + =21 )^2 (2)
+(<42 <31 )K^ 13 (1; 2) (=42 =31 )K^ 23 (1; 2)
+(<43 <21 )K^ 31 (1; 2) (=43 =21 )K^ 32 (1; 2) :
(3.92)
Die Kenntnis der vier Matrixelemente der Dichtematrix ist damit aquivalent der Kenntnis von acht Erwartungswerten der Clusteroperatoren ^1(1), ^1(2), ^2(1), ^2(2), K^ 13 (1; 2),
K^ 23 (1; 2), K^ 31 (1; 2) und K^ 32 (1; 2). Eektiv bedeutet die Ausmessung der Peaks durch FourierTransformation der FID-Zeitbereichsmessung daher die Kenntnis dieser SU (2)-Clusteroperatoren zu Beginn der Messung des FIDs. Oensichtlich ist nun, dass eektiv auch die nichtlokalen Messoperatoren K^ 13 (1; 2), K^ 23 (1; 2), K^ 31 (1; 2) und K^ 32 (1; 2) gemessen werden, statt
nur der lokalen Messoperatoren ^1(1), ^1(2), ^2 (1) und ^2(2).
Da die Dichtematrix eines 2-Spin-Systems 15 reelle Parameter besitzt, von denen direkt,
wie gezeigt, nur acht gemessen werden konnen, stellt sich die Frage, wieviele der neun PulsProgramme und nachfolgende Messungen (FIDs) notwendig sind, um alle 15 Parameter zu
erhalten.
Die schon beschriebenen Pulsprogramme wirken sich wie in Tabelle 3.1 gezeigt auf den
Dichteoperator in SU (2)-Darstellung aus. Es ist eindeutig zu erkennen, dass bei Anwendung
aller Pulsprogramme, alle Basisoperatoren auf eektive Messoperatoren abgebildet werden.
Wahlt man weniger Pulsprogramme aus, so ergibt sich folgendes Verhalten. Ist die
Anzahl der gewahlten Pulsprogramme kleiner oder gleich 3, ergibt sich keine vollstandige Rekonstruktion. Bei 4 Pulsprogrammen fuhren 81 von 126 moglichen Kombinationen zur
Rekonstruktion. Bei 5 Pulsprogrammen sind 117 von 126 erfolgreich. Ab einer Wahl von
6 beliebigen Pulsprogrammen konnen alle Parameter der Dichtematrix bestimmt werden.
Diese Minimalwerte werden naturlich nicht das experimentelle Optimum sein, da durch Redundanz und variierte Mehrfachmessung Fehler (z.B. in den Winkeln der Pulsprogramme)
kompensiert werden konnen. Theoretisch mussen aber mindestens 4 FID-Experimente mit
entsprechend gewahltem Pulsprogramm durchgefuhrt werden, um alle Information, die im
2-Spin-Quantensystem steckt, zu extrahieren.
Im Quanten-Multiplex-Bild kann man diese Messstrategie eektiv als Abbildung von
nicht-lokalen Messkanalen (und den lokalen Messkanalen ^3(1); ^ 3(1)) auf die lokalen Messkanale ^1 (1); ^ 2(1); ^1(2); ^ 2(2) betrachten. Die unitare Multiplexer-Transformation wir dabei eektiv von der Art der Messung im Zeitbereich, bei der die naturliche Kopplung der
Spins genutzt wird (nicht-lokaler-Anteil), und von kontrollierten Pulsprogrammen (lokaler
Anteil) bestimmt.
40
41
^ 2 (1) ^ 3 (1)
^ 2 (1)
^ 2 (1)
^ 2 (1)
^ 2 (1)
^ 2 (1)
^ 2 (1)
^ 2 (1) ^ 1 (1)
^ 2 (1) ^ 1 (1)
^ 2 (1) ^ 1 (1)
^1 (2) ^ 2 (2)
^1 (2) ^ 2 (2)
^1 (2)
^ 2 (2)
^1 (2) ^ 2 (2)
^1 (2)
^ 2 (2)
^1 (2) ^ 2 (2)
^1 (2)
^ 2 (2)
^ 2 (2)
^ 1 (2)
K^ 13
K^ 31
K^ 31
K^ 13
^ 2 (2)
^ 1 (2)
^ 2 (2)
^ 1 (2)
K^ 11
^ 3 (2)
K^ 32
K^ 32
K^ 13
K^ 13
K^ 12
K^ 32
K^ 31
K^ 13
K^ 13
K^ 13
K^ 23
K^ 23
K^ 23
K^ 22
K^ 23
K^ 31 K^ 32
K^ 31
K^ 32
K^ 21
K^ 32
K^ 31
K^ 23
K^ 23
K^ 23
K^ 13
K^ 23
K^ 31
K^ 31
K^ 31
K^ 13
K^ 23
K^ 32
K^ 32
K^ 32
K^ 13
K^ 32
K^ 31
K^ 23
K^ 33
Tabelle 3.1: Auswirkung der Pulsprogramme auf die SU (2) SU (2)-Basisoperatoren: Jedes Pulsprogramm (E = kein Puls, X = =2Puls in x-Achsenrichtung, Y = =2-Puls in y-Achsenrichtung, jeweils als geordnetes Paar auf Spin AB ) transformiert die
Basisoperatoren in die in jeder Zeile dargestellten Operatoren. Zur U bersichtlichkeit sind nur die eektiven Messkanale bei
NMR-FID-Experimenten angegeben. Diese Anteile der Dichtematrix sind pro durchgefuhrtes Experiment mit entsprechendem
Pulsprogramm sichtbar. Die Operatoren K^ beziehen sich immer auf die Spins (1; 2).
EE
EX
EY
XE
XX
XY
YE
YX
YY
^ 1 (1)
^ 1 (1)
^ 1 (1)
^ 1 (1)
^ 1 (1)
^ 1 (1)
^ 1 (1)
3.5.2 Exkurs: Erzeugung pseudo-reiner Zustande in der NMR
Bei der NMR geht man von einem Ensemble von Quantensystemen in einem Magnetfeld
aus, das sich im thermischen Gleichgewicht bendet. Die Energieniveaus sind nach Boltzmann besetzt, es bestehen keine Quantenkoharenzen (die Nicht-Diagonal-Elemente in der
Dichtematrix sind unbesetzt).
Der erste Schritt zur Implementation von Quantencomputing ist daher die Herstellung eines Zustands, der wie ein reiner Zustand wirkt. Diese Zustande werden pseudoreine Zustande genannt [20]. Sie sind durch eine Dichtematrix mit einem einzigen nichtentarteten Eigenwert gekennzeichnet, wobei alle anderen Eigenwerte identisch entartet sind
[54]. Der dazugehorige Eigenvektor transformiert sich wie der Zustandsvektor eines reinen
Systems. Die Erwartungswerte von spurlosen Messoperatoren sind daher identisch fur reine
und pseudo-reine Zustande.
Bisher wurden verschiedene Methoden vorgestellt, pseudo-reine Zustande zu erzeugen,
darunter logisches Markieren [32], raumliches Mitteln [20] und zeitliches Mitteln [38] (siehe
auch Referenzen in [54]).
Das in der Gruppe Mehring1 des 2. Physikalischen Instituts der Universitat Stuttgart
verwendete Verfahren ist das des raumlichen Mittelns mit Hilfe von Gradientenpulsen. Bisher wurde das Verfahren an zwei Spins angewandt. In [21] ndet man eine Beschreibung des
verwendeten Verfahrens. Dort ist auch explizit die Verallgemeinerung auf drei Spins angegeben. Es basiert auf dem selektiven Ausschalten der Wechselwirkung zwischen bestimmten
Spins durch selektive -Pulse. Unabhangig von [21] wurde eine andere Losung gefunden:
Fur den Fall von drei Spins lasst sich das gleiche Ziel auch noch ohne selektive -Pulse zur
Kopplungskontrolle erreichen. Eektiv werden damit weniger selektive Pulse benotigt, was
jedoch auf Kosten der Anschaulichkeit geht, auerdem ist die Skalierung fur noch groere Systeme nicht moglich. Ein anderes skalierendes Verfahren wurde von Knill et al. [39]
vorgestellt.
Hier soll die Losung zur Herstellung pseudo-reiner Zustande uber Gradientenpulse fur
drei Spins angegeben werden.
Durch die Gradientenpulse werden alle Quantenkoharenzen geloscht, d.h. durch das unterschiedliche Magnetfeld, das die Spins an unterschiedlichen raumlichen Stellen erfahren,
mitteln sich die Koharenzen weg [21]. Bei Flussigkeits-NMR werden alle Koharenzen auer
den Null-Quanten-Koharenzen zerstort. Wie in Kapitel 3.5.1 soll das betrachtete System
ein schwach J-gekoppeltes System sein, wobei nur Spin 1 und 2 und Spin 2 und 3 mit
gleicher Starke koppeln sollen. Da nur die Transformation der Diagonalelemente der Dichtematrix betrachtet werden soll (die Nicht-Diagonalelemente werden geloscht), bietet sich
die Beschreibung durch die diagonalen Operatoren ^3(1), ^3(2), ^3(3), K^ 33 (1; 2), K^ 33 (2; 3),
K^ 33 (1; 3) und K^ 333 (1; 2; 3) an. Der Boltzmann-Zustand
^B = q Diagf3; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 3g;
q2R
(3.93)
ist mit diesen Operatoren zu
~
^B = q ( 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0)D
(3.94)
~ = ^ 3 (1); ^ 3 (2); ^ 3(3); K^ 33 (1; 2); K^ 33 (2; 3); K^ 33 (1; 3); K^ 333(1; 2; 3)
D
1 Sven
Zuhlsdor, S. Kramer, M. Mehring: Vortrag Spin Quantum Computing with two
"
5. Stuttgarter Tag der magnetischen Resonanz, 11.04.2000
42
(3.95)
19 F
Spins\ am
gegeben. Ziel ist der Zustand
^P = Diagf7p; p; p; p; p; p; p; pg;
p2R
(3.96)
was sich mit den Diagonaloperatoren als
~
^P = p( 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1)D
(3.97)
schreiben lasst. Dies soll durch Anwendung von anfanglichen Rotationen um die x und
y -Achse
cos
=
2
{
sin
=
2
R^ x () =
(3.98)
{ sin =2 cos =2
^Ry () = cos =2 sin =2
(3.99)
sin =2 cos =2
auf alle Spins (und anschlieendem Gradientenpuls), gefolgt von Operationen des Typs
s ( ) Grad
R^ xs () E^ R^ x=y
(3.100)
z
erreicht werden. Dabei bezieht sich die Rotation nur auf jeweils einen Spin s und der Zeitentwicklungsoperator
E^ (t) = e {Jt=4(K^ (1;2)+K^ (2;3))
(3.101)
wird nur fur die feste Zeit t = 2=(2J ) = =J
E^ = E^ (=J ) = e {=4(K^ (1;2)+K^ (2;3))
(3.102)
verwendet (Kopplungskonstante J). Eine reine J-Evolution der beschriebenen Art kann
durch einen nicht-selektiven -Puls nach der halben Evolutionszeit erreicht werden. Im Einzelnen wurden die Transformationen
T^1 = R^ x1 (1 )R^ x2 (2 )R^ x3 (3 )
(3.103)
T^2 = R^ y1 (4 )E^ R^x1 (4 )
(3.104)
T^3 = R^ x2 (5 )E^ R^ x2 (5 )
(3.105)
T^4 = R^ y3 (6 )E^ R^x3 (6 )
(3.106)
fur die Losung des Problems verwendet (mit anschlieendem Gradientenpuls). Transformiert man die Operatoren im Vektor D~ mit der unitaren Transformation U^ und druckt das
Ergebnis wieder in der Diagonalbasis D~ aus ergibt sich die Matrix M
o
1 n
Mij = 3 Tr D^ i U^ D^ j U^ y ;
(3.107)
2
die anschaulich die Mischung zwischen den unterschiedlichen Operatoren zeigt. Fur die
benutzten Transformationen anstelle von U^ ergibt sich explizit fur M :
T^1 : 0
M=
(3.108)
1
cos 1 0
0
0
0
0
0
B 0
C
cos 2 0
0
0
0
0
B
C
B 0
C
0
cos
0
0
0
0
3
B
C
B 0
C
0
0 cos 1 cos 2
0
0
0
B
C
B 0
C
0
0
0
cos
cos
0
0
1
3
B
C
@ 0
A
0
0
0
0
cos 2 cos 3
0
0
0
0
0
0
0
cos 1 cos 2 cos 3
33
33
33
33
43
0
cos(4 )2 0 0 sin(4)2
0
0
0 1
B
0
1 0
0
0
0
0 C
B
C
B
C
0
0
1
0
0
0
0
B
C
2
2
C
T^2 : M = B
sin(
)
0
0
cos(
)
0
0
0
(3.109)
4
4
B
C
2
2
B
C
0
0
0
0
cos(
)
0
sin(
)
4
4 C
B
@
0
0 0
0
0 2 1
0 2A
0
0 0
0
sin(4 ) 0 cos(4 )
0
1 0 2 0 0 0 0
0 21
B 0 cos(5 ) 0
0 0 0
sin(5 ) C
B
C
B0
C
0
1
0
0
0
0
B
C
2
2
T^3 : M = B
0 0 cos(5 ) 0 sin(5 )
0 C
(3.110)
B0
C
B0
C
0 0 0 2 1 0 2
0 C
B
@0
0 2 0 sin(5 ) 0 cos(5 )
0 2A
0 sin(5) 0 0 0 0 cos(5 )
0
1 0
0
0
0
0
0 1
B0 1
0 2 0
0
0 2
0 C
B
C
B 0 0 cos(6 )
C
0
0
sin(
)
0
6
B
C
T^4 : M = B
0
1
0 2
0
0 2C
(3.111)
B0 0
C
B0 0
C
0 2 0 cos(6)
0 2 sin(6 ) C
B
@0 0
sin(6) 0
0 2 cos(6 )
0 2A
0 0
0
0 sin(6 )
0
cos(6 )
Leicht einsichtig ist nun, dass die geforderte Operation nur in der Reihenfolge
T^1 Gradz T^2 Gradz T^3 Gradz T^4 Gradz
(3.112)
zum Erfolg fuhren kann. Es gibt mehrere Losungen, die den pseudo-reinen Zustand
~
^P = 1=4( 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1)D
(3.113)
aus dem Boltzmann-Zustand
~
^B = ( 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0)D
(3.114)
erzeugen, eine davon ist:
f1 = 0; 2 = arccos 43 ; 3 = 2 ; 4 = 3 ; 5 = arccos p1 ; 6 = 4 g
(3.115)
3
Das gezeigte Verfahren kommt also mit insgesamt 8 selektiven Pulsen aus. Zwischen den
Pulsen soll nur die reine J-Kopplung wirken. Im Gegensatz zu 3.4.3, wo durch Kombination von Messwerten der Erwartungswert einer eektiven Dichtematrix mit geloschten
Nicht-Diagonalelementen bestimmt wird, wird hier durch die Gradientenpulse die NichtDiagonalelemente tatsachlich geloscht. Als Fazit erhalt man, dass es schwieriger ist, einen
bestimmten Zustand zu praparieren, als beliebige Zustande zu rekonstruieren: Im Gegensatz
zur Rekonstruktion, bei der prinzipiell beliebig viele Messungen (an identisch praparierten
Systemen) verwendet werden durfen und die Endzustande der Systeme nicht interessieren,
ist bei der Praparation das Ziel, einen bestimmten Zustand durch eines einziges Experiment
(an einem einzigen System) dynamisch zu erzeugen. Deshalb mussen nicht-unitare Prozesse als solche implementiert werden. Somit bietet die Extraktion von Zustandsinformation
(Rekonstruktion) prinzipiell mehr Freiheiten als die Praparation von Zustanden.
44
3.6 Zustandsschatzung
3.6.1 Schatzung von Spinzustanden (s=1/2)
In Kapitel 3.3 wurde die Zustandsrekonstruktion auf Erwartungswertebene diskutiert. Zur
exakten Zustandsrekonstruktion ist immer ein unendlich groes Ensemble von Systemen
notig. In der Praxis liegen jedoch immer endliche, wenn auch meist sehr groe, Ensembles
vor. Optimale Messungen beziehen sich immer auf das ganze endliche Ensemble und lassen
sich im Rahmen von positiven operator-wertigen Maen (POVM) formulieren [22, 42, 1].
Optimale Messung heit in diesem Zusammenhang, da die Treue der Schatzung maximal
ist. Alle anderen Messstrategien werden zwangslaug nicht optimal sein. Projektionsmessungen sind allerdings viel einfacher durchzufuhren als POVM-Strategien, wenn sie sich
auf Einzelsysteme beziehen. Im Folgenden sollen selbst-lernende Messstrategien mit Einzelmessungen an Mitgliedern eines endlichen Ensembles von N Spin-1/2 Systemen (Qubits)
betrachtet werden. Ein Vergleich mit optimalen Messungen in der Treue der Schatzung des
Quantenzustands wird die Einschatzung der EÆzienz dieser Messstrategien ermoglichen.
Messstrategien, die einfache Projektionsmessungen auf einzelne Spins beinhalten { im
Gegensatz zu optimalen Messungen, die sich auf das ganze Ensemble beziehen { , wurden von
Fischer, Kienle und Freyberger [29] vorgestellt. Da jede Messung an einem weiteren Spin von
den bisher gemessenen Daten abhangt, wird sie von den Autoren als "selbst-lernende Messung\ bezeichnet. Die in [29] vorgestellten Strategien und numerischen Ergebnisse wurden
unabhangig nachvollzogen und um eine weitere, vereinfachte und damit eÆzientere Messstrategie erganzt. Die nachfolgenden Ausfuhrungen folgen daher weitgehend der Darstellung
in [29].
Messoperatoren
Die N identischen
Zwei-Niveau Systeme sollen sich im unbekannten reinen Zustand j i
benden. Die Aufgabe ist es, den Zustand j i mit Projektionsmessungen, die jeweils auf die
einzelnen Zwei-Niveau Systeme wirken, zu schatzen.
In der Bloch-Kugel-Darstellung benden sich die reinen Zustande auf der Kugelschale
und konnen mit den Variablen 2 [0; ] und 2 [0; 2), die einen Punkt (; ) auf der
Bloch-Kugelschale bezeichnen, und den orthogonalen Basis-Zustanden j0i und j1i durch
j; i = cos 2 j0i + sin 2 e{ j1i
(3.116)
eineindeutig parametrisiert werden. Eine allgemeine Verteilung der Zustande j; i ergibt
den allgemeinen Dichteoperator
^ =
Z 0
d sin Z 2
0
d w(; ) j; i h; j ;
(3.117)
wobei die normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung w(; ) verwendet wurde:
Z 0
d sin Z 2
0
d w(; ) = 1:
(3.118)
Als Messungen werden von Neumann -Projektionsmessung in Richtung einer Achse, die mit
(m ; m) bezeichnet werden soll, zugelassen. Der Messoperator ist daher der Projektor
^ (m ; m) = jm ; mi hm ; mj
(3.119)
45
mit
jm ; mi = cos 2m j0i + sin 2m e{m j1i :
(3.120)
Nach der Projektionsmessung ndet man das System entweder im Zustand j; i oder
j m ; + mi. Das erste Ergebnis soll mit der Zahl 1 und das zweite Ergebnis mit der
Zahl 0 bezeichnet werden. Die Wahrscheinlichkeiten fur beide Messausgange ergeben sich
aus dem Betragsquadrat des U berlapps der Anfangs- und Endzustande:
P1 (; jm ; m ) = jhm ; m j ; ij2
= cos2 2m cos2 2m + cos2 +2m sin2 2m (3.121)
P0 (; jm ; m )
= 1 P1(; jm; m)
= sin2 2m cos2 2m + sin2 +2m sin2 2m (3.122)
Selbst-lernende Algorithmen (Mess-Ruckkopplungen)
Die selbst-lernende Messstrategie soll den Zustand
j i = cos 2 j0i + sin 2 e{ j1i
(3.123)
schatzen, ausgehend von einem Ensemble aus N identisch praparierten Quantensystemen,
die Bloch-Winkel (; ) sollen also fur jedes System die gleichen sein.
Die selbst-lernende Eigenschaft wird durch Anwendung einer Bayes'schen Aktualisierungsmethode erreicht, die sukzessiv erlangtes Wissen uber das Quantenensemble benutzt,
um den Messoperator der nachsten Messung zu wahlen. Im Einzelnen lasst sich die Messstrategie in funf Schritte zerlegen (siehe auch Abbildung 3.4):
1. Am ersten Quantensystem (n = 1) der N Quantensysteme wird eine Messung mit
zufallig gewahlter Richtung (m ; m) vorgenommen.
Als a priori -Wahrscheinlichkeitsverteilung wird die Gleichverteilung auf der BlochKugeloberache gewahlt:
1
(3.124)
w0 (; ) = :
4
Nur diese Verteilung hat im U brigen die Eigenschaft, unter unitaren Transformationen
invariant zu bleiben [55]. Diese Gleichverteilung wird in einem groeren Zustandsraum
auch in Kapitel 4.1.2 benutzt werden.
2. Nach der Messung ergibt sich als Messergebnis entweder i = 0 oder i = 1. Aufgrund
dieser neuen Information kann die neue Wahrscheinlichkeitsverteilung wn(; ) des
geschatzten Dichteoperators
^n =
Z 0
d sin nach der Bayes'schen Regel [6, 50]
wn (; ) = Z
46
Z 2
0
d wn (; ) j; i h; j
1 P (; j
i
m ; m
)wn 1(; )
(3.125)
(3.126)
nte Messung:
Design der
Ergebnis: ! ^n 1 ! ^n ! optimierten
!n ! n + 1
0 oder 1
(n + 1)ten Messung
Abbildung 3.4: Schritteschema des selbst-lernenden Algorithmus: Das Ergebnis der
nten Messung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Zustande, reprasentiert durch den Dichteoperator ^n , zu aktualisieren. Daraufhin wird ein neuer Messoperator in Abhangigkeit von der aktuellen Verteilung generiert und das Verfahren wiederholt, solange ungemessene Quantensystem vorhanden sind.
mit den Wahrscheinlichkeiten Pi (Gleichung 3.121 bzw. 3.122) und der Normierungskonstante
Z Z 2
Z=
d sin d Pi(; jm m )wn 1 (; )
(3.127)
0
0
aus der alten Wahrscheinlichkeitsverteilung wn 1(; ) berechnet werden. Jede weitere
Information aus einer Messung schlagt sich in einer aktualisierten Wahrscheinlichkeitsverteilung wn und dem damit verbundenen Dichteoperator ^n nieder.
3. Die momentane Kenntnis uber den Zustand j i, die aktualisierte Wahrscheinlichkeitsverteilung wn(; ) wird dazu verwendet, den (n + 1)ten Messoperator P^ (m ; m) zu
bestimmen. Dabei sollte die neue Messung ein Maximimum an Informationszuwachs
uber den Zustand j i erlauben. Die einzelnen Auswahlstrategien werden weiter unten
dargestellt.
4. Mit dem neuen Messoperator wird ein weiteres Quantensystem gemessen. Solange
noch weitere Systeme ubrig sind, wird mit Schritt 2 fortgefahren.
5. Nachdem alle Quantensysteme gemessen wurden, ist das gesamte Wissen in der endgultigen Wahrscheinlichkeitsverteilung wN (; ) gespeichert. Da als a priori -Wissen
sich die Quantensysteme in einem reinen Zustand benden, wird einer der Zustande
j ei = je; ei aus der Verteilung wN (; ) als geschatzter Zustand gewahlt.
Als Ma fur die Qualitat der Zustandsschatzung wird die Treue (Fidelity) des geschatzten Zustands gegenuber dem tatsachlichen Zustand
F = jh e j ij2 = jhe ; e j ; ij2
(3.128)
verwendet.
Optimierungs-Strategien
Bei der Wahl des Projektors ^ (m ; m) = jm i hm ; mj und des endgultigen Schatzzustandes
j e i gibt es mehrere Moglichkeiten:
47
Zufallige Messoperatorwahl ([29])
Die einfachste Messstrategie ist die nicht-selbst-lernende Messstrategie. Dabei wird
der Messoperator ^ (m ; m) so gewahlt, dass die Parameter m und m zufallig uber
der Bloch-Kugeloberache verteilt sind. Die Verteilung fur m und m entspricht damit derjenigen in Gleichung 3.124. Als Schatzzustand j ei wird nach Abschluss der
Messungen der wahrscheinlichste Zustand aus wN gewahlt
wN (e ; e) = maxf;g wN (; ):
(3.129)
Maximierung des mittleren Informationszuwachses ([29])
Betrachtet man die Messung vom informationstheoretischen Gesichtspunkt, so kann
man fordern, dass die mittlere klassische Information, die man bei jeder Einzelmessung
erlangt, maximiert wird. Die mittlere Information ist im Allgemeinen als
X
S=
pi ln pi
(3.130)
i
deniert, mit den Wahrscheinlichkeiten pi fur den Messausgang i. Als Grundlage fur
die Informationsmaximierung kann nur das bisher angesammelte Wissen in Form des
Dichteoperators ^n 1 genutzt werden, da der Zustand j i nicht bekannt ist. Es handelt
sich daher um eine geschatzte mittlere Informationsmaximierung. Im hier vorkommenden Spezialfall von zwei Messausgangen i = 0 und i = 1 ergeben sich die geschatzten
Wahrscheinlichkeiten pi zu
p1 (m ; m ) = hm ; m j ^n 1 jm ; m i =
Z 0
d sin Z 2
0
d wn 1(; ) jhm ; m j ; ij2
(3.131)
p0 (m ; m ) = 1 p1 (m ; m ):
(3.132)
Damit erhalt man fur den mittleren geschatzten Informationszuwachs in Abhangigkeit
von den Parametern m und m des Messoperators ^ (m ; m):
S (m ; m ) = p1 (m ; m ) ln p1 (m ; m ) p0 (m ; m ) ln p0 (m ; m ):
(3.133)
Maximiert man S (m ; m), so erhalt man den maximalen mittleren geschatzten Informationzuwachs. Der endgultig geschatzte Zustand je; ei ergibt sich wie zuvor als
wahrscheinlichster reiner Zustand aus wN .
Vereinfachte, randomisierte Maximierung des mittleren Informationszuwachses (Erweiterung gegenuber [29])
Betrachten wir die mittlere Information S (m ; m) fur den vorliegenden Fall von zwei
Messausgangen,
S (m ; m ) = p1 (m ; m ) ln p1 (m ; m ) (1 p1 (m ; m )) ln(1 p1 (m ; m )); (3.134)
so nden wir, dass S (m ; m) sein Maximum bei p1 = p0 = 1=2 annimmt (siehe Abbildung 3.5). Vom informationstheoretischer Warte aus betrachtet, gewinnt man am
meisten Information, wenn die Mess-Erwartung maximal unscharf ist, beide Messausgange sind dann gleich wahrscheinlich.
48
S (p1 )
0:7
0:6
0:5
0:4
0:3
0:2
0:1
0:2
0:4
0:6
0:8
1
p1
Abbildung 3.5: Information S (p1) bei zwei Messausgangen: S (p1 ) = p1 ln p1 (1 p1 ) ln(1
p1 ) nimmt sein Maximum an der Stelle p1 = 1=2 an und fallt nur langsam
fur p1 > 1=2 bzw. p1 < 1=2 ab.
Geht man von dem bekannten Zustand j b i = jb ; bi und dem zu j bi orthogonalen
Zustand j b0 i = j b ; + bi aus, so ergibt sich fur den Projektor ^ = j m i h m j
mit
j m i = p1 (j bi + e{m j b0 i)
(3.135)
2
die Wahrscheinlichkeit
p1 = jh b j m ij2 = 1=2
(3.136)
fur die Projektion auf den Zustand j b i. Im Blochbild stehen die Blochvektoren zu
den Zustanden j m i senkrecht auf den Blochvektoren zu den Zustanden j b i und j b0 i.
Die Blochvektoren der Zustande j m i liegen damit auf einem Kreis, der senkrecht zu
j m i steht und durch m parametrisiert wird.
Eine vereinfachte Messstrategie ergibt sich, wenn als bester Schatzwert fur den Quantenzustand j i das Maximum j ei aus wn(; ) gewahlt wird und der nachste Messoperator durch ^ = j m i h m j mit
j m i = p1 (j ei + e{m j e0 i)
(3.137)
2
gegeben ist, wobei j e0 i der zu j ei orthogonale Zustand ist und m zufallig (gleichverteilt auf dem Intervall [0; 2)) gewahlt wird. Statt die Information S zu berechnen und daruber zu maximieren ist nur noch eine Maximierung auf wn(; ) notwendig. Da diese Optimierungs-Strategie eindimensional randomisiert ist { im Gegensatz
zur nicht-selbst-lernenden Messung, in der zwei Parameter zufallig gewahlt wurden
{ aber auf der Maximierung des mittleren Informationszuwachses basiert, steht diese
Optimierungs-Strategie in der Vorgehensweise zwischen beiden Extremen.
Maximierung der Treue ([29])
Das Kriterium fur die Qualitat der Zustandsschatzung ist die Treue F aus Gleichung 3.128,
letztendlich soll diese Groe maximiert werden. Eine Strategie zur direkten Maximierung
der mittleren Treue nach jeder Messung ist daher sinnvoll.
49
Vor der nten Messung besitzen wir als Kenntnis uber den Zustand j i den Dichteoperator
^n 1 . Mit ihm konnen wir nach der nten Messung, die das Ergebnis i = 0 oder i = 1 liefern
wird, den geschatzten Dichteoperator (vgl. Gleichung 3.125)
^(i)
n
=
Z 0
d sin Z 2
0
d wn(i) (; ) j; i h; j
(3.138)
bestimmen. Die dann aktuelle Wahrscheinlichkeitsverteilung wn(i) (; ) kann durch die vorherige Verteilung wn 1(; ) ausgedruckt werden (vgl. Gleichung 3.126 und Gleichung 3.127)
wn(i) (; ) = Z 1 Pi (; jm ; m )wn 1(; ):
(3.139)
wn(i) hangt naturlich explizit von den noch zu wahlenden Parametern m und m ab. Die
erwartete mittlere Treue Fn nach der nachsten Messung ist damit
1
X
Fn =
pi (m ; m ) n(i) ; (ni) ^(ni) n(i) ; (ni) ;
i=0
(3.140)
wobei pi(m ; m) die geschatzten Wahrscheinlichkeiten darstellen, das Messergebnis i zu
nden (siehe Gleichung 3.131 und Gleichung 3.132), falls der Messoperator ^ (m ; m) angewandt wurde. Die Zustande jn(i) ; (ni) i sind die reinen Zustande, die nach der nten Messung
geschatzt wurden, falls das Messergebnis i gefunden werden wurde. Da es kein(i) Kriterium
gibt, wie der zu schatztende Zustand zu wahlen ist, konnen die Parameter (n ; (ni)) und
(m ; m) unabhangig voneinander variiert werden. Die erwartete mittlere Treue
(1) (1)
Fn = Fn (m ; m ; n(0) ; (0)
(3.141)
n ; n ; n )
ist daher eine Funktion von sechs unabhangigen Veranderlichen. Der Messoperator ^ (m ; m)
soll nun so gewahlt werden, da Fn maximiert wird.
(0);opt ; (0);opt ; (1);opt) ; (1);opt) ) = max F ( ; ; (0) ; (0) ; (1) ; (1) ) (3.142)
Fnopt (mopt ; opt
n m m n
m ; n
n
n
n
n
n
n
Nachdem die optimale erwartete Treue Fnopt gefunden wurde, kann die Messung mit dem
Messoperator ^ (mopt ; opt
uhrt werden. Erst am Schluss, nach
der N tenEMessung
m ) durchgef
(i);opt (i);opt
mit dem Messausgang i = 0 bzw. i = 1, muss der geschatzte Zustand N ; N gewahlt
werden.
Ergebnisse aus numerischer Simulation
Hier sollen Simulationen der beschriebenen Messstrategien vorgestellt werden. Ziel der Simulationen soll es sein, die mittlere Treue der Zustandsschatzung in Abhangigkeit von der
Groe N des Ensembles zu ermitteln. Ein simuliertes Experiment besteht aus einer Reihe
von Einzelmessungen an N Systemen, die sich alle im gleichen Zustand j i benden. Nach
jeder Messung wird der Zustand durch je; ei geschatzt und uber Gleichung 3.128 die Treue
berechnet. Um die mittlere Treue
hf i = jh e j ij2
(3.143)
zu nden, muss uber mehrere simulierte Experimente gemittelt werden. Der zu schatzende
Zustand wurde fur jedes Experiment nach der Gleichverteilung auf der Bloch-Kugeloberache
50
(Gleichung 3.124) gewahlt, es wurde uber 104 Experimente gemittelt. Fur Vergleiche ist die
Groe des mittleren Fehlers
f = 1 hF i
(3.144)
praktischer im Gebrauch. Als Vergleichsgroe kann der mittlere Fehler der optimalen Messstrategie [22, 42, 1]
1
N +1
=
(3.145)
fopt = 1 hFopt i = 1
N +2 N +2
gewahlt werden. In Abbildung 3.6 ist die Groe des relativen Unterschieds zwischen dem
mittleren Fehler f der selbst-lernenden und der optimalen Strategien
:=
f
fopt
fopt
= ff
1
opt
(3.146)
uber N fur alle Optimierungsstrategien aufgetragen.
0:3
0:2
0:1
10
20
30
40
50
60
N
Abbildung 3.6: Auftragung der numerisch ermittelten Groe = (f fopt )=fopt uber der
Anzahl der gemessenen Systeme N . Die groten Fehler erhalt man fur
die zufallige Wahl des Messoperators (Rhomben). Die Treue-MaximierungsStrategie (Dreiecke) ergibt das beste Ergebnis. Dazwischen liegen die Strategie der Informationszuwachsmaximierung (Sterne) und als Erweiterung
gegenuber [29] die vereinfachte, randomisierte Maximierung des Informationszuwachses. Die vereinfachte Strategie ist in der Leistungsfahigkeit mit
der ursprunglichen zu vergleichen.
Das Verhalten der Groe konnte durch eigene numerische Simulationen unabhangig
bestatigt werden. Wahrend bei der zufallige Wahl des Messoperators der Fehler gegenuber
der optimalen Messung bis zu 39% groer ist, wird durch die Optimierungs-Strategien dieser Wert auf 21% bei den Informationszuwachsmaximierungs-Strategien bzw. 13% bei der
Treue-Maximierungs-Strategie gedruckt. Fischer et al. [29] nden etwas geringere Werte fur
die Fehler-Maxima, jedoch nden sich in der dortigen Auftragung nur Punkte im Abstand
N = 10. Der qualitative Verlauf der Punktkurven ist allerdings der gleiche. In [29] sind keine naheren Angaben uber das verwendete numerische Verfahren zur Maximierung zu nden.
51
h
hF i
Fopt i
1
0:99
0:98
0:97
0:96
0:95
10
20
30
40
50
60
N
Abbildung 3.7: Verhaltnis der Treue hF i der betrachteten Einzelmessungsstrategien zur
Treue hFopti der optimalen Messung veranschaulicht durch die Auftragung
der Division der beiden Terme uber der Groe des Ensembles N . Die Kodierung entspricht der in Abbildung 3.6.
Auf Nachfrage jedoch wurde mir mitgeteilt2, dass ein Gradientenverfahren auf einem Raster
in der Groenordnung von 100 mal 100 bis 200 mal 200 Punkten (entsprechend der Anzahl
der Punkte der Wahrscheinlichkeitsverteilung wn(; ), die standig im Speicher gehalten
wird) zur Maximierung verwendet wurde. Analytische Verfahren sind im Gegensatz dazu
zu zeitaufwendig. Da jedoch globale Maximierungsprobleme im allgemeinen sehr schwierige
Probleme sind [51] (mit Gradientenmethoden ndet man streng genommen nur lokale Maxima) wurde hier die Maximierung uber die Berechnung aller diskreten Moglichkeiten auf
einem Raster durchgefuhrt. Die auftretenden Integrale (eektive Summen) wurden dabei
auf Faltungen zuruckgefuhrt und mit Hilfe des Faltungstheorems eÆzient im Fourierraum
berechnet. Da dieses Verfahren trotzdem rechenintensiv ist (wenige Stunden bis im Fall der
Treue-Maximierung ca. eine Woche Rechenzeit auf einem Alpha-Server), wurde eine Rastergroe von 16 mal 32 bei der Treue-Maximierung und von 64 mal 128 Punkten bei den
anderen Strategien fur alle auftretenden Verteilungen gewahlt. Mit dieser Methode ndet
man immer das globale Maximum, allerdings ist die Maximalstelle gegenuber [29] durch die
geringere Rastergroe nicht so genau bekannt. Dies wirkt sich allerdings erst im Bereich von
groen Werten fur N aus, wo die Treue nahe bei 1 liegt. Es sind daher etwas groere Werte
fur zu erwarten. Insgesamt konnte unabhangig durch ein anderes numerisches Verfahren
der wesentliche Verlauf von uber N reproduziert werden.
Die vereinfachte, randomisierte Strategie Informationszuwachsmaximierung verhalt sich
dabei nicht viel anders als die ursprungliche Strategie zur Informationszuwachsmaximierung,
obwohl der Messoperator einen zufalligen Parameter enthalt. Dies ist ein erstaunliches Ergebnis. Im Bereich von groen N ist die vereinfachte Strategie sogar besser.
Die Treue-Maximierung stellt sich als beste Strategie heraus, was nicht verwunderlich
ist, da die Treue ja die zu maximierende Zielfunktion darstellt. Sie stellt daher eine untere Fehlerschranke fur alle anderen Messstrategien dar. Verbessert werden kann die Treue2 Nach
52
Holger Mack aus der gleichen Arbeitsgruppe auf der DPG-Fuhjahrstagung 2000 in Bonn
Maximierungs-Strategie nur noch durch Optimierung bezuglich weiterer noch kommender
Messungen statt der Optimierung bezuglich der nachsten Messung. Abschlieend soll das
Verhaltnis der mittleren Treue fur selbst-lernende Algorithmen zur Treue der optimalen
Messungen aufgetragen werden (Abbildung 3.7). Es zeigt sich sehr deutlich, dass Einzelmessungen nur marginal hinter den optimalen Messungen zuruckliegen. Optimale Messungen
besitzen nur fur kleine N einen wesentlichen Vorteil.
Mit der hier vorgestellten vereinfachte Optimierungsstrategie steht auerdem eine Strategie zur Verfugung, die besser ist als die rein zufallige Wahl des Messoperators und trotzdem
vom Experimentator neben der Vorhaltung der Wahrscheinlichkeitsverteilung wn(; ) als
momentanes Wissen uber den Zustand j i nur noch die Suche nach dem globalen Maximum
dieser Verteilung verlangt. Weitere Berechnungen sind nicht anzustellen. Damit ist dieses
vereinfachte Verfahren als besonders eÆzient einzustufen.
53
54
4 Zustandscharakterisierung
4.1 [Nicht-lokal
! lokal]-Quantenmultiplexer
A^1
A^2
QMUX
nicht-lokal .
.
A^n
U^i
B^ 1
B^ 2
lokal
.. m n
B^ m
Abbildung 4.1: [Nicht-lokal ! lokal]-Quantenmultiplexer: Wieviel Information, die ursprunglich nicht-lokal vorliegt (Erwartungswerte der Messkanale A^j ) kann
durch eine einzige Transformation U^i auf lokale Kanale B^k abgebildet werden? Die mogliche Anzahl der nicht-lokalen Kanale ubersteigt die Anzahl
der lokalen Kanale (siehe Text). Es liegt damit eine Multiplex-Funktion vor:
Man muss eine Auswahl der zu transformierenden Kanale (Anzahl m) aus
den n vorhandenen Kanalen treen.
Auf der Ebene von Erwartungswerten als Messgroen ist die Extraktion von Daten uber
nicht lokale Zustande nur uber nicht-lokal wirkende Observable A^j moglich. Stehen allerdings nur die lokalen Messkanale B^k zur Verfugung, ist der einzige Ausweg, passende unitare
Transformationen U^i des Systems zu nden, die die nicht-lokalen Observablen A^j auf lokale
Observablen B^k abbilden. Da die Anzahl der lokalen Parameter eines jeden Zustands eines
Quantennetzwerks immer kleiner als die Anzahl der nicht-lokalen Parameter ist, kann es
eine Transformation aller nicht-lokalen
Parameter auf lokale Parameter in einem Schritt
nicht geben. In einem Spin- 21 -Netzwerk mit N Spins skaliert die Anzahl der lokalen SU (2)Clusteroperatoren mit 3N gegenuber der Anzahl der nicht-lokalen SU (2)-Clusteroperatoren
mit 22N 3N 1. Es sind daher mehrere Transformationen U^i notig. Jede dieser Transformationen wird nur einen beschrankten Satz von Parametern lokal verfugbar machen, also
eektiv nur einen Unterraum der Messung zuganglich machen.
Hier sollen insbesondere maximal verschrankte Zustande in SU (2)-Quantennetzwerken
betrachtet werden. Die bekannteste und einfachste Klasse stellen in SU (2) SU (2) die
sogenannten Bellzustande ji ; ji dar.
(4.1)
= p (j00i j11i)
= p (j01i j10i)
(4.2)
1
2
1
2
55
Die Bellzustande bilden eine vollstandige orthogonale Basis des SU (2) SU (2). Ihre Abbildung auf eine Produktbasis kann auf mehrere Weisen erfolgen. Da jedem Bellzustand jeder
Produktzustand zugeordenet werden kann, gibt es insgesamt 4! = 24 Moglichkeiten. Eine
Moglichkeit davon ist:
^
Basis 1 U!
Basis 2
p (j00i + j11i)
! j00i
p (j00i j11i)
! j01i
p (j10i + j01i)
! j10i
p (j10i j01i)
! j11i
(4.3)
Die maximal-verschrankten Bellzustande in Basis 1 werden durch die Transformation U^
in separierbare Produktzustande in Basis 2 uberfuhrt.
1
2
1
2
1
2
1
2
4.1.1 Charakterisierung von Zustandsunterraumen
Liegt als a priori-Information die Existenz einer der Bell-Zustande vor, so ist durch exakt
zwei Messungen entscheidbar, welcher Zustand vorliegt. Da die Messungen scharf sind, reicht
theoretisch ein einziges Quantensystem zur Messung aus.
In der Basis 1 sind die Erwartungswerte der Operatoren K^ 11 (1; 2) und K^ 33 (1; 2) zu
messen (im folgenden als geordnete Listen "Messoperator: (Zustande):(Erwartungswerte
des Messoperators)\ angegeben): Der Operator
K^ 11 (1; 2) : (+ ; ; + ; ) : (1; 1; 1; 1)
(4.4)
unterscheidet zwischen dem Vorzeichen + und -, der Operator
K^ 33 (1; 2) : (+ ; ; + ; ) : (1; 1; 1; 1)
(4.5)
unterscheidet zwischen ji und ji. Im Beispiel Gleichung 4.3 wird die unitare Transformation
0
1 0 0 11
1 B1 0 0 1C
C
U^ = p B
(4.6)
2 @0 1 1 0 A
0 1 1 0
angewandt. In Basis 2 ergeben sich damit die transformierten Messoperatoren
U^ K^ 11 (1; 2)U^ y = ^ 3 (2)
(4.7)
U^ K^ 33 (1; 2)U^ y = ^ 3 (1):
(4.8)
Die Bell-Zustande aus Basis 1 werden in Basis 2 durch lokale Messkanale charakterisiert.
Der Spielraum moglicher Transformationen wird eingeschrankt, wenn gefordert wird,
dass durch dieselbe Transformation ein in Basis 2 maximal-verschrankter Bellzustand in
Basis 1 ein separierbarer Produktzustand ist. Diese Bedingung ist in Gleichung 4.3 nicht
erfullt. Transformationen der geforderten Art wirken in beiden Richtungen wie ein Quantenmultiplexer.
Die wechselseitig bezuglich der Verschrankungseigenschaften transformierten Unterraume
werden im Folgenden als antipodisch verschrankte Unterraume (AV-Unterraume) bezeichnet. Die zwischen den AV-Unterraumen wirkende Transformation soll AV-Transformation
genannt werden.
56
4.1.2 AV-Unterraume
Nachdem im letzten Abschnitt (Kapitel 4.1.1) gezeigt wurde, wie Unterraume in einer Basis
durch nicht-lokale Messoperatoren und in einer transformierten Basis durch lokale Messoperatoren charakterisiert werden konnen, sollen hier diese Unterraume und die zwischen
ihnen vermittelnden Quantenmultiplexer-Transformationen naher untersucht werden. Dabei
wollen wir uns hauptsachlich auf AV-Unterraume beschranken. Es ergibt sich daher folgende Aufgabenstellung: Gesucht werden Quantenmultiplexer-Transformationen, die in zwei
naher bezeichneten Unterraumen maximal verschrankte Zustande des einen Unterraums in
separable Zustande des anderen Unterraums und umgekehrt transformieren.
Basis 1 U^!i Basis 2
maximal verschrankt ! Produktzustand
Produktzustand
! maximal verschrankt
Dabei sollen zunachst diskrete AV-Unterraume behandelt werden, daraufhin werden kontinuierlich parametrisierte AV-Unterraume und das Transformationsverhalten allgemeinerer
2-Spin-Zustande betrachtet.
Diskrete AV-Unterraume
Eine Gleichung 4.3 entsprechende Transformation mit der AV-Eigenschaft, stellt diese Zuordnung dar:
^
Basis 1 U!
Basis 2
p (j00i + j11i)
! j01i
p (j00i j11i)
! j10i
p (j10i + j01i)
! j11i
p (j10i j01i)
! j00i
j00i ! p (j01i + j10i)
j11i ! p (j01i j10i)
j10i ! p (j11i + j00i)
j01i ! p (j11i j00i)
Die unitare Transformation, die dies bewirkt, besitzt die Gestalt
0
0 1 1 01
1 B1 0 0 1 C
C
(4.9)
U^ = p B
2 @1 0 0 1A:
0 1 1 0
Die Anzahl der moglichen Transformationen ergibt sich aus der Konstruktion dieser: Jedem
Katzen-Zustands-Paar (verallgemeinerte Bell-Zustande) wird ein Paar von ProduktbasisZustanden zugeordnet der Art, dass
p (jai + ja
i) ! jbi
(4.10)
p (jai ja
i) ! b
(4.11)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
57
wobei a die Bitinversion der Dualzahl a darstellen soll. Pro Paar ergibt sich also nur eine Wahlmoglichkeit aus der Menge der verbliebenen Produktbasis-Zustanden. Fur ein N Teilchen-System bedeutet dies, dass
ZAV =
1) 1
2(NY
i=0
(2N 2i)
(4.12)
AV-Transformationen existieren. Es gibt im SU (2) SU (2) insgesamt 8 solcher Transformationen.
Mehrmaliges Ausfuhren dieser Transformation wechselt zwar immer wieder die Sichtbarkeit eines festen Zustands durch einmal lokale das andere Mal nicht-lokale Messkanale,
kehrt jedoch nach zweimaliger Ausfuhrung nicht mehr zum Ursprungszustand zuruck. Dazu
muss die unitare Transformation auch noch hermitesch sein:
U^ U^ = U^ U^ y = U^ U^ 1 = ^1:
(4.13)
Im SU (2) SU (2) sieht die entsprechende Transformation wie folgt aus:
0
1 0 0 11
1 B0 1 1 0 C
C
U^ = p B
(4.14)
2 @0 1 1 0 A
1 0 0 1
Es gibt jetzt keine Wahlmoglichkeiten mehr,
p (jai + ja
i) ! jai
(4.15)
p (jai ja
i) ! jai :
(4.16)
Verallgemeinert man dieses Konzept der hermiteschen und unitaren AV-Transformationen
auf Systeme mit N > 2 lasst sich die Transformation schreiben als
^U = p1 ^3(1) + K^ 11(1; : : : ; N ) :
(4.17)
2
Die beiden ineinander transformierten Unterraume auf der einen Seite die verallgemeinerten
Katzen-Zustande und auf der anderen Seite alle Produktbasis-Zustande. Da dieser Typ von
Transformationen fur jedes N eindeutig bestimmt ist, soll sie kanonische AV-Transformation
genannt werden.
Im allgemeinen (nicht kanonischen Fall) lasst sich sagen: Da die Unterraume, in die
Transformation, die die Eigenschaft der antipodischen Verschrankung aufweist, aus endlich
vielen orthogonalen Zustanden besteht, ist die Existenz solch einer Transformation recht
trivial.
Nicht so trivial ist hingegen die Frage nach kontinuierlich parametrisierten antipodisch
verschrankter Unterraume.
1
2
1
2
Kontinuierlich parametrisierte AV-Unterraume
In diesem Abschnitt wollen wir uns auf Zustande im SU (2) SU (2) beschranken und
deren Sichtbarkeit nach einer Quantenmultiplexer-Transformation auf lokalen Messkanalen
betrachten.
58
Von einem der Bell-Zustande ausgehend konnen durch die Anwendung von beliebigen
lokalen unitaren Transformationen alle maximal verschrankten Zustande gewonnen werden.
Ein Verschrankungsma ist ja gerade als diejenige Groe deniert, die unter lokalen unitaren
Transformationen invariant bleibt (Kapitel 2.5.3).
Ebenso sind durch lokale unitare Transformationen aus einem der Produkt-Zustande
alle anderen separablen reinen Zustande erzeugbar. Daher bieten sich zur Parametrisierung
sowohl der maximal verschrankten als auch separablen Zustande die Parameter der lokalen
unitaren Transformationen an:
Jede unitare 2 2-Matrix U^l kann bis auf einen Phasenfaktor durch drei Groen parametrisiert werden [5]:
^Ul (; ; ) = e{=2 0{=2 cos =2 sin =2 e{=2 0{=2 :
(4.18)
0 e
sin =2 cos =2
0 e
Die einzelnen Matrizen stellen Rotationen um die z- bzw. y-Achse um den Winkel bzw. dar,
^Rz () = e{=2 0{=2
(4.19)
0 e
^Ry () = cos =2 sin =2
(4.20)
sin =2 cos =2
In einem System mit aus N Subsystemen ergibt sich die Darstellung aller lokalen unitaren
Transformationen (LUT) zu
U^LUT (N ) = U^l (1 ; 1 ; 1 ) U^l (2 ; 2 ; 2 ) U^l (N ; N ; N )
(4.21)
Der bisher nicht beachtete Phasenfaktor lasst sich zu einer einzigen globalen Phase zusammenfassen, die keine physikalische Bedeutung hat und damit unerheblich ist.
Wendet man die Transformation U^LUT (2) auf den Zustand j00i an, ergibt sich eine
Parametrisierung mit 4 Parametern 1; 1 ; 2; 2 . Die anfangliche Rotation um die z-Achse
erzeugt nur einen globalen Phasenfaktor e{( + ):
U^LUT (2) j00i = e{=2( + + + ) cos(1 =2) cos(2 =2) j00i
e{=2( + + ) cos(1 =2) sin(2 =2) j01i
e{=2( + + + ) sin(1 =2) cos(2=2) j10i
+e{=2( + + ) sin(1 =2) sin(2 =2) j11i
(4.22)
= e{( + )(e{=2( + ) cos(1 =2) cos(2 =2) j00i
e{=2( ) cos(1 =2) sin(2=2) j01i
e{=2( + ) sin(1 =2) cos(2 =2) j10i
+e{=2( ) sin(1 =2) sin(2 =2) j11i)
(4.23)
Alle separablen reinen Zustande lassen sich damit durch 2N -Drehwinkeln parametrisieren.
Dies sind pro Spin im Blochbild die 2 Winkel, die zur Bestimmung eines Punktes auf der
Blochsphare notig sind.
Ganz anders verhalten sich die maximal verschrankten Zustande. Sie bestehen immer
aus einer Superposition von Zustanden, so dass ein weiterer Parameter als Phase zwischen
diesen Superpositionen hinzukommt.
Wendet man die Transformation U^LUT (2) auf den Bell-Zustand + = p (j00i + j11i)
an, ergibt sich eine Parametrisierung mit 5 Parametern 1; 1 ; 2; 2 ; = 1 + 2 .
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
59
U^LUT (2) +
= p12 e{=2( + ) sin(1 =2) sin(2=2) + e{( + ) cos(1 =2) cos(2=2) j00i
e{=2( ) sin(1 =2) cos(2 =2) e{( + ) cos(1 =2) sin(2=2) j01i
e{=2( + ) cos(1 =2) sin(2=2) e{( + ) sin(1 =2) cos(2 =2) j10i +e{=2( ) cos(1 =2) cos(2 =2) + e{( + ) sin(1=2) sin(2 =2) j11i
1
{
= p2 e e{=2( + ) (sin(1 =2) sin(2=2) + e{ cos(1 =2) cos(2 =2)) j00i
e{=2( ) (sin(1 =2) cos(2 =2) e{ cos(1 =2) sin(2 =2)) j01i
e{=2( + ) (cos(1 =2) sin(2 =2) e{ sin(1 =2) cos(2=2)) j10i +e{=2( ) (cos(1 =2) cos(2 =2) + e{ sin(1 =2) sin(2 =2)) j11i
(4.24)
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
Im Folgenden soll geklart werden, inwiefern diese speziell gewahlten reellen Parameter ; 1; 2; 1 und 2 , die innerhalb der Klasse der maximal verschrankten Zustande den
Zustand charakterisieren, durch Quantenmultiplexer-Transformationen auf lokalen Messkanalen sichtbar werden konnen.
Ein Zustand
j i = p1 (e{=2 j00i + e{=2 j11i ;
(4.25)
2
wie er fur 1 = 2 = 1 = 2 = 0 entsteht, kann nicht mehr durch eine Transformation,
die einen Bell-Basis-Zustand in einen Produkt-Basis-Zustand wandelt, fur alle Werte von
in einen separablen Zustand gebracht werden. Die kanonische AV-Transformation aus
Gleichung 4.14 wurde den Zustand
j 0i = p1 (cos =2 j00i + { sin =2 j11i
(4.26)
2
erzeugen.
Als Ma fur Verschrankung, d.h. als Kriterium fur maximale Verschrankung oder separable Zustande, fur das System ^ lasst sich nach Ausspuren eines Teilsystems, die Spur des
quadrierten verbliebenen Systems verwenden (vgl. Kapitel 2.5.3):
^1 = Tr2 f^g
(4.27)
Die Spur Tr f^21g ist 1im Fall eines 2-Niveau-Systems fur reine Zustande 1 und fur maximal
gemischte Zustande 2 ^1 gleich 1=2. Fur j 0 i ist
Tr ^21 = 14 (3 + cos 2 )
(4.28)
und schwankt damit zwischen rein ( = 0) und maximal verschrankt ( = =2). Da der
Parameter in diesem Beispiel einem Paar von Zustanden aufgepragt ist, die superponiert
einen Bell-Zustand bilden, muss dieses Paar vielmehr auf ein Paar abbgebildet werden, das
superponiert immer noch einen Produktzustand bildet.
Charakterisiert werden die Paare von Zustanden, aus dessen Superpositionen die BellZustande bestehen, durch Zustandskennungen, die Dualzahlen in der Hamming-Distanz
60
2 darstellen. Die Hamming-Distanz dH fur zwei Zahlen ergibt sich aus dem Betrag der
Dierenz der Anzahl der gesetzten Bits beider Zahlen. Fur zwei 2-Niveau-Systeme (N=2):
j 1 i = jb1 b2 i b1 ; b2 2 0; 1
(4.29)
j 2 i = jc1c2 i c1; c2 2 0; 1
(4.30)
N
N
X
X dH = bi
ci = jb1 + b2 c1 c2 j
(4.31)
i
i
Dualzahlpaare mit der Hamming-Distanz 1 sind die Kennung der gesuchten separierbaren Zustande.
Die Anzahl aller moglichen Transformationen ergibt sich wie folgt: Fur die Zuordnung
des Paares j00i = j11i zu einem Paar aus der Menge fj00i ; j01i ; j10i ; j11ig gibt es 4 2 =
8 Moglichkeiten, da zunachst freie Wahl unter den Zustanden herrscht (4 Moglichkeiten)
und jeder Zustand genau 2 Partnerzustande in der Hamming-Distanz dH = 1 besitzt. Aus
der Existenz des Gray-Codes [00; 01; 11; 10], der aus einer Codierung besteht, bei dem der
Vorganger und Nachfolger eines Element aus einem Element in der Hamming-Distanz 1
besteht, folgt, dass fur das zweite Paar j01i = j10i immer ein Zustandspaar in HammingDistanz 1 ubrigbleibt, das in 2 Moglichkeiten (Permutation) dem Paar j01i = j10i zugeordent
werden kann. Insgesamt kommt man damit auf 16 Moglichkeiten fur den geforderten Typ
von Transformationen: (dH = 2)-Paare
! (dH = 1)-Paare. Durch alle Kombinationen von
01
^
lokalen Bitinversionen UNOT = 10 , namlich ^1 U^NOT ; U^NOT ^1 und U^NOT U^NOT
bleiben allerdings nur ein Viertel aller Moglichkeiten ubrig. Diese 4 Moglichkeiten stellen
die Anzahl der rein nicht-lokal operierenden Transformationen dar. Ohne Beschrankung der
Allgemeinheit konnen daher die Transformationen so gewahlt werden, dass der Zustand j00i
auf sich selbst abgebildet wird:
0
1 0 0 01
B0 0 0 1C
C
U^1 = B
(4.32)
@0 1 0 0A
0 0 1 01
0
1 0 0 0
B0 1 0 0C
C
U^2 = B
(4.33)
@0 0 0 1A
0 0 1 01
0
1 0 0 0
B
0 0 1 0C
C
U^10 = B
(4.34)
@0 0 0 1A
0 1 0 01
0
1 0 0 0
B
0 0 0 1C
C
U^20 = B
(4.35)
@0 0 1 0A
0 1 0 0
Diese schon geringe Anzahl wird dadurch weiter auf die Halfte reduziert, dass die Vertauschung der Teilchen durch eine Transformation keinen weiteren Freiheitsgrad darstellt,
der zur Losung unseres Problems beitragt. Die Parameterindizes der folgenden Aussagen
mussen einfach vertauscht werden, um alle moglichen Transformationen zu erhalten. Wie
schon durch die Indizierung bei U^10 und U^20 angedeutet, stellen diese Transformationen die
61
gleichen Transformationen wie U^1 bzw. U^2 bei Teilchenvertauschung dar. Bei der Transformation U^2 handelt es sich um das sogenannte controlled not -Gatter (CNOT-Gatter).
Untersucht man die Verschrankungseigenschaften eines mit reellen Variablen vollstandig
parametrisierten, reinen Zustand eines SU (2) SU (2)-Systems
j v i = 1 j00i + 2e{ j01i + 3e{ j10i + 4 e{ j11i ; 21 + 22 + 23 + 24 = 1 (4.36)
so ergibt sich mit ^v = (j v i h v j) und ^v1 = Tr2 f^v g
Tr ^2v1 = 41 + 42 +221(22 + 23 )+22224 +(23 + 24)2 +41234 cos (2 + 3 4) (4.37)
Bis auf den letzten Term 41234 cos (2 + 3 4) sind alle Beitrage positiv. Je kleiner
Tr f^2v1 g wird desto mehr Verschrankung liegt vor (vgl. Kapitel 2.5.3). Das Vorzeichen des
letzten Terms wird daher bei vielen Zustande uber das Ma an Verschrankung entscheiden
und im Fall von Verschrankung negativ sein. Durch eine Phasentransformation des Typs
0
1 0 0 01
B 0 1 0 0C
C
U^5 = B
(4.38)
@ 0 0 1 0A
0 0 0 1
lasst sich selektiv das Vorzeichen dieses Terms umkehren.
Der Satz von Kandidaten fur Transformationen, die kontinuierlich parametrisierte Unterraume von maximal verschrankten Zustanden gleichzeitig in separierbare umwandeln,
ergibt sich damit zu:
fU^1 ; U^2 ; U^3 = U^5 U^1; U^4 = U^5 U^2 ; U^5 g:
(4.39)
Wir wollen uns jetzt dem Verhalten dieser Transformationen bei ihrer Wirkung auf die
Zustande U^LUT (2)+ aus Gleichung 4.24 zuwenden.
Transformation U^1:
j (1)i = U^1 U^LUT (2)+; ^1 (1) = Tr2 fj (1)i h (1)jg
(4.40)
Tr ^1(1)2 =
1 4 cos(2 ) 6 cos(2 ( + )) 6 cos(2 ( + )) 2 cos(2 ( ))
2
2
2
1
128
6 cos(2 (2 1 )) + 3 cos(2 ( + 2 1 )) + 3 cos(2 ( + 2 1 ))
2 cos(2 ( + 1 )) 6 cos(2 (2 + 1 )) + 3 cos(2 ( + 2 + 1)) +
3 cos(2 ( + 2 + 1 )) + 4 cos(2 1 ) 1 + 6 cos(2 )2 cos(2 2) + cos(2 )
4 16 cos(2)2 cos(2 2) sin(1 )2 + 4 27 + 8 sin(2 2) cos(2 ) sin(2 )
sin(1 )2 sin( ) sin(2 1) sin(2 ) + 2 cos( 2)2
(cos(2 2) + 4 cos( ) sin(2 1) sin(2 2)) (4.41)
Bis auf den Parameter 1 kommen alle anderen Parameter vor. Das Verschrankungsma ist also unabhangig von der Wahl von 1. Bedingung fur die lokale Sichtbarkeit
der Parameter ist, dass
Tr ^1 (1)2 = 1
(4.42)
gilt. Diese Forderung ist unabhangig von der Wahl von 1 erfullbar, 1 parametrisiert
damit nach der Transformation eine Schar lokaler Zustande. Lokal sichtbar sind damit
der lineare Parameter 1 und hochstens drei weitere, aus der Losung der Gleichung 4.42
resultierende Parameter.
2
62
3
4
Transformation U^2 :
j (2)i = U^2 U^LUT (2)+; ^1 (2) = Tr2 fj (2)ih (2)jg
(4.43)
Tr ^1 (2) = Tr ^1 (1)
(4.44)
Die Transformation U^2 erzeugt zwar nicht den gleichen Zustand wie U^1 , verhalt sich
aber bezuglich der Verschrankungseigenschaften wie U^1 .
Transformation U^3 :
j (3)i = U^3 U^LUT (2)+; ^1 (3) = Tr2 fj (3)ih (3)jg
(4.45)
Tr ^1(3)2 =
1 4 cos(2 ) + 6 cos(2 ( + )) + 6 cos(2 ( + )) 2 cos(2 ( )) +
2
2
2
1
128
6 cos(2 (2 1 )) 3 cos(2 ( + 2 1 )) 3 cos(2 ( + 2 1 ))
2 cos(2 ( + 1 )) + 6 cos(2 (2 + 1 )) 3 cos(2 ( + 2 +1 ))
(4.46)
2
3 cos(2 ( + 2 + 1 )) + 4 cos(2 1) 1 + 6 cos(2 2) sin(2) + cos(2 )
4 16 cos(2 2 ) sin(2)2 sin(1 )2 + 4 27 + 8 sin(2 2)
cos(2 ) sin(2 )
2
2
sin(1) + sin( ) sin(2 1) sin(2 ) + 2 sin(
2 )
(cos(2 2 ) + 4 cos( ) sin(2 1) sin(2 2))
(4.47)
Auch dieser Ausdruck ist unabhangig vom Parameter 1. Jedoch ist fur die spezielle
Wahl = 0 und 2 = 0 der Ausdruck gleich 1 und damit sind die Parameter 1; 1
und 2 lokal sichtbar. Wird hingegen 1 = 0 und 2 = 0 gesetzt, sind die Parameter
; 1 und 2 lokal sichtbar. Es handelt sich in beiden Spezialfallen um die Messung
eines ursprunglich nicht-lokalen durch drei Parameter einer unitaren Transformation
aufgespannten Unterraums nur uber lokale Messkanale.
Transformation U^4 :
j (4)i = U^4 U^LUT (2)+; ^1 (4) = Tr2 fj (4)ih (4)jg
(4.48)
Tr ^1 (4)2 = Tr ^1 (3)2
(4.49)
Die Transformation U^4 erzeugt zwar nicht den gleichen Zustand wie U^3 , verhalt sich
aber bezuglich der Verschrankungseigenschaften wie U^3 .
Transformation U^5 :
j (5)i = U^5 U^LUT (2)+; ^1 (5) = Tr2 fj (5)ih (5)jg
(4.50)
Tr ^1 (5)2 =
1 cos(2 ) 2 6 cos(2 ) + 4 cos(2 ) sin( )2 1
2
2
32
2 13 + cos(2 2) + 2 cos(2 ) sin(2 )2 + 4 cos( ) sin(2 1) sin(2 2) (4.51)
Das Verschrankungsma ist nur noch von ; 1 und 2 abhangig, 1 und 2 treten
nicht mehr auf. Werden die zwei verbliebenen Parameter 1 = 0 und 2 = =2 gesetzt,
so sind die Parameter 1 und 2 lokal sichtbar. tritt allerdings nicht unabhangig
von 1 und 2 auf, da 1=2 und beide Drehung um die z-Achse parametrisieren.
2
2
63
Wahrend durch die Transformationen U^1 ; U^2; U^3 und U^4 nur in einem eindimensional parametrisierten Unterraum den Parameter (1 ) direkt lokal sichtbar machen, ist es bei der
Transformation U^5 ein zweidimensional parametrisierter Unterraum (1 und 2 als Parameter). Die betrachteten Transformationen erhalten daher bei maximal 2 Parametern ihren
unabhangigen Charakter, d.h. die Parametrisierung von nicht-lokalen Zustanden und die
Parametrisierung von lokalen Zustanden durch lineare unitare Transformationen enthalt
hier maximal 2 identische Parameter. Der Grund dafur ist exemplarisch an der Transformation U^5 in ihrer Diagonalgestalt zu nden. U^5 vertauscht damit mit der letzten Operation
der Parametrisierung, die eine Rotation um die z-Achsen darstellt und somit auch diagonal
ist. Die Rotationen um die y-Achsen kommutieren allerdings nicht mit U^5 . Die nicht-lokale
Parametrisierung stimmt daher mit der lokalen Parametrisierung nur fur die zwei Winkel
der z-Rotationen uberein.
Da die Transformationen U^1 ; U^2 und U^3; U^4 sich identisch auf die Verschrankung auswirken (zumindest auf das hier verwendete Ma), konnen die Transformationen U^2 und U^4
wegen ihrer Hermitezitat bevorzugt werden. U^2; U^4 und U^5 weisen damit den antipodischen
Charakter auf, die Multiplexer-Transformation wirkt also in beiden Richtungen gleichartig.
Verhalten allgemeinerer 2-Spin-Zustande unter AV-Transformation
Bisher wurden nur die Abbildungen von maximal verschrankten Zustanden auf separierbare
Zustande und umgekehrt betrachtet. Welche Auswirkung hat eine solche Abbildung auf
Zustande die weder der einen noch der anderen Klasse von Zustanden angehoren, deren
Verschrankungseigenschaften also nicht so ausgepragt sind?
Die schon in Gleichung 4.14 benutzte kanonische AV-Transformation hat die Eigenschaft,
alle maximal verschrankten Zustande, die in der Menge der Zustande
j (~r)i = r1 j00i + r2 j01i + r3 j10i + r4 j11i ; r1; r2; r3; r4 2 R ; r12 + r22 + r32 + r42 = 1 (4.52)
enthalten sind, in Produktzustande zu transformieren. Um diese Eigenschaft zu zeigen berechnen wir das Verschrankungsma Tr f^21 g fur alle ~r vor und nach der Transformation
mit
0
1 0 0 11
1 B0 1 1 0 C
C
(4.53)
U^ = p B
@
A
0
1
1
0
2
1 0 0 1
^(~r)1 = Tr2 fj (~r)i h (~r)jg
(4.54)
n
o
^(~r)01 = Tr2 U^ j (~r)i h (~r)j U^ y :
(4.55)
Vor der Transformation ergibt sich
Tr ^(~r)21 = r14 + r24 + 2 r12 r22 + r32 + 4 r1 r2 r3 r4 + 2 r22 r42 + r32 + r42 2 (4.56)
wahrend nach der Transformation
4
4
4
2 2
4
2
2
2
2
2
2
2
Tr ^(~r)012 = r1 + r2 + r3 + 6 r3 r4 + r4 + 2 r2 2(3 r3 + r4 ) + 2 r1 (3 r2 + r3 + 3 r4 )
(4.57)
vorliegt. In beiden Fallen gibt es Zustande, die in Abhangigkeit von ~r nicht maximal verschrankt sind und auch keine Produktzustande darstellen. Betrachtet man die Summe beider
64
Verschrankungsmae und beachtet die Normierungsbedingung ergibt sich ein Ausdruck der
eine untere Grenze besitzt:
Tr ^(~r)21 + Tr ^(~r)012 = 23 + 2 (r1r2 + r3 r4)2 32 :
(4.58)
Ist Tr f^(~r)21g = 1=2, liegt also ein maximal verschrankter Zustand vor, so folgt daraus, dass
Tr f^(~r)012 g = 1 sein muss, da die Spur nach oben durch die 1 begrenzt ist. Der transformierte Zustand wird also immer ein Produktzustand sein. Wegen dem antipodisch wirkenden
Charakter der Transformation U^ gilt dies auch in umgekehrter Richtung.
Fur beliebige Zustande j (~r)i folgt aus Gleichung 4.58, dass schon durch die Kenntnis des
Verschrankungmaes Tr f^(~r)21g die Groe der Verschrankungsmaes Tr f^(~r)012g beschrankt
ist.
Um zu klaren, wie sich typische Zustande j (~r)i im Einzelnen verhalten, sollen die
zuvor gemachten Aussagen numerisch uberpruft werden. Hierzu werden die Parameter im
Vektor ~r durch einen Zufallsgenerator gewahlt und die beiden Mae x = Tr f^(~r)21 g und
y = Tr f^(~r)012 g ubereinander aufgetragen.
Da wir Aussagen uber einen "typischen\ Zustand machen wollen, stellt sich die Frage
nach der "richtigen\ Wahrscheinlichkeitsverteilung, nach der der Zufallsgenerator ~r wahlen
soll. Wahrend es in der Statistik ohne zusatzliche Annahmen keine a priori-Wahrscheinlichkeitsverteilung den Vorzug vor einer anderen Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzt, sieht
die Situation in der Quantenmechanik anders aus. Es existiert nur eine einzige Verteilung
von Zustanden, die unter unitarer Transformation invariant bleibt [55]. Diese stellt damit
zurecht eine typische Verteilung von Zustanden dar und kann Gleichverteilung uber der
Einheitskugel in einem N-dimensionalen komplexen Vektorraum genannt werden. U ber den
Wahrscheinlichkeitsraum, den (N 1)-dimensionalen Raum der normierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen, ist diese Verteilung gleichformig [55].
Erzeugt man die Parameter r1 bis rn durch einen Zufallsgenerator so, dass sie nach einer
Standard-Normalverteilung
1
(4.59)
P (ri) = p e ri =2
2
gezogen werden, ergibt sich fur die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der unabhangigen ri
4
Y
1
P (~r) = P (ri ) = p e (r +r +r +r )=2
(4.60)
4 2
2
2
1
2
2
2
3
2
4
i=1
und nach der Normierung des Vektors ~r eine Gleichverteilung im Wahrscheinlichkeitsraum
[60].
Fur Abbildung 4.2 wurde dieses Verfahren zur Erzeugung einer Gleichverteilung im Zustandsraum eingesetzt. Die Abbildung zeigt, dass fur typische Zustande alle Werte der
Verschrankungsmae unter Beachtung der Schranke aus 4.58 vorkommen. Des weiteren
sind Haufungspunkte bei (x; y) = (0:5; 1) und (x; y) = (1; 0:5) zu erkennen. Diese werden
durch Zustande besetzt, die in der Ausgangsbasis bzw. in der transformierten Basis Produktzustande darstellen. Zur direkten Messung von Tr f^2 g vergleiche auch Kapitel 4.92.
Bestatigt werden sollen diese Beobachtungen durch den Vergleich mit zwei weiteren Verschrankungsmaen:
Zunachst soll die von Neumann-Entropie eines Subsystems betrachtet werden (vgl. Kapitel 2.5.3): Angewandt auf die schon betrachteten Zustande ergibt sich
E (^(~r)) = Tr f^(~r)1 log2 ^(~r)1 g =
65
1 log(4) + log(1
= log(4)
1+
q
q
(r2 + r3 )2 + (r1
q
(r2 + r3 )2 + (r1
r4
)2
(r2
r3
r4 ) 2
)2 + (r
(r2
1 + r4
)2
log(1 + (r2 + r3)2 + (r1 r4)2 (r2 r3)2 + (r1 + r4 )2 )
q
2
2
2
2
1 + (r2 + r3) + (r1 r4) (r2 r3 ) + (r1 + r4)
r3 )2 + (r1 + r4 )2
)
(4.61)
und
E (^(~r)0 ) = Tr f^(~r)01 log2 ^(~r)01 g
p
p
p
p
1
2
2
2
2
2
2
2
2
= log(4) log(4) + log(1 2 r1 + r3 r2 + r4 ) 1 + 2 r1 + r3 r2 + r4
p
p
p
p
log(1 + 2 r12 + r32 r22 + r42 ) 1 + 2 r1 2 + r3 2 r2 2 + r4 2 :
(4.62)
In Abbildung 4.3 wurde zum Vergleich dieses quantitative Verschrankungsma in beiden
Basen fur die gleichen Zustande wie in Abbildung 4.2 dargestellt.
Abschlieend soll noch ein weiteres Ma dargestellt werden, das invariant unter lokalen unitaren Transformationen ist und maximal bei maximaler Verschrankung: Das Verschrankungsma (vgl. Kapitel 2.5.3).
Explizit berechnet fur j (~r)i:
(^(~r)) =
1 r 8 + r 8 + 16 r 5 r r r + r 6 2 + 4 r 2 + 4 r 2 4 r 2 +
1 2 3 4
1
2
3
4
3 13 2
16 r1 r2 r3 r4 1 + 2 r22 + 2 r32 2 r42 + r26 2 4 r32 + 4 r42 +
r2 4 1 + 6 r3 4 6 r4 2 + 6 r4 4 + r3 2 2 4 r4 2 + r3 4 + r4 2 1 + r4 2 +
r3 2 1 + 2 r4 2 2 + r1 4 1 + 6 r2 4 + 6 r3 4 + 2 r4 2 + 6 r4 4 + r2 2 6 + 4 r32 4 r42
2 r32 3 + 2 r42 + 16r1 r2 r3 r4 1 + r24 + r34 r42 + r44 + r32 1 + 2 r42 +
r2 2 1 2 r3 2 + 2 r4 2 + 2 r22
2
r3 6 + r4 2 3 r4 4 + 2 r4 6 + r3 4 1 2 r4 2 +
r3 2 5 2 r4 2 + 2 r4 4 + 2 r1 2 2 r26 + 2 r3 6 + 5 r4 2 + r4 4 2 r4 6 + r3 4 3 + 2 r4 2 +
r2 4 3 2 r3 2 + 2 r4 2 + r3 2 1 2 r42 2 r44 r2 2
1
+
2
r3 4 + 2 r4 2 + 2 r44 +
r3 2 2 44 r4 2
(4.63)
(^(~r)0 ) =
1 3 r 4 + r 4 3 8 r 2 + 16 r 4 2 r 2 r 2 8 r 4 r 2 + 3 r 4 8 r 2 r 4 + 16 r 4 r 4 +
3
3
3 4
3 4
4
3 4
3 4
34 3 2 4
2
4
2
2
2
2
4
r1 3 + 16 r2 8 r4 + 16 r4 + 8 r2
1
+
4
r4 + 2 r2 3 r4 + 4 r 3
1
+
4
r4 2
r3 2 1 + 8 r42 + 2 r1 2 4 r2 4 1 + 4 r3 2 r4 2 1 + 4 r4 2 + r3 2 3 8 r4 2 + 16 r44 +
r2 2 1 8 r4 2 + 8 r3 2 1 + 4 r42
(4.64)
Zur direkten Messung von vergleiche auch Kapitel 4.2.
Als generelles Fazit bleibt festzuhalten: Trotz der unterschiedlichen analytischen Struktur
der drei Verschrankungsmae sind die wesentlichen Merkmale der Verteilungen die gleichen.
66
Die einzige Ausnahme bildet der Haufungspunkt bei separierbaren Zustanden in beiden
Basen: Dieser ist in Abbildung 4.2 bei (1; 1) als auch in Abbildung 4.4 bei (0; 0) enthalten,
jedoch nicht so ausgepragt in Abbildung 4.3 bei (0; 0).
In allen drei Fallen ist die Summe der Verschrankungsmae in beiden Basen beschrankt,
wobei sich in einem Fall eine feste obere Schranke ergibt (Abbildung 4.2), wahrend in den
beiden anderen Fallen die Schranke vom Wert des Maes in einer Basis abhangt (Abbildung 4.3, Abbildung 4.4). Sobald der Wert eines beliebigen Verschrankungsmaes fur einen
festen Zustands nach Gleichung 4.52 in einer Basis bekannt ist, kann man ohne diesen Zustand zu kennen eine obere Schranke fur den Wert des Verschrankungsmaes unter der
Transformation nach Gleichung 4.53 angeben. Da die Zustande nach Gleichung 4.52 durch
drei unabhangige Variablen parametrisiert werden, die Kenntnis des Verschrankungsmaes
aber nur einen Parameter darstellt, ist die Moglichkeit einer solchen Aussage uber eine obere
Schranke recht erstaunlich, auch wenn man nicht aus den Augen verlieren sollte, dass die
betrachteten Zustande speziell gewahlt wurden.
Tr ^(~r)12
1
0
0:9
0:8
0:7
0:6
0:6
0:7
0:8
0:9
1
Tr ^(~r)21
Abbildung 4.2: Verhalten allgemeinerer 2-Spin-Zustande unter AV-Transformation: Verschrankungsma Tr f^(~r)21g gegen Tr f^(~r)012g aufgetragen. Dargestellt sind
die Mae von 3000 Zustanden, die gleichverteilt (Verteilung invariant unter
unitarer Transformation) generiert wurden.
67
E (^
(~r)0 )
1
0:8
0:6
0:4
0:2
0:2
0:4
0:6
0:8
1
E (^
(~r))
Abbildung 4.3: Verhalten allgemeinerer 2-Spin-Zustande unter AV-Transformation: Verschrankungsma E (^(~r)) gegen E (^(~r)0) aufgetragen. Dargestellt sind die
Mae von den gleichen 3000 Zustanden wie in Abbildung 4.2.
(^
(~r)0 )
1
0:8
0:6
0:4
0:2
0:2
0:4
0:6
0:8
1
(^
(~r))
Abbildung 4.4: Verhalten allgemeinerer 2-Spin-Zustande unter AV-Transformation: Verschrankungsma (^(~r)) gegen (^(~r)0) aufgetragen. Dargestellt sind die
Mae von den gleichen 3000 Zustanden wie in Abbildung 4.2.
68
4.2 Direkte Messung von Maen im
Quanten-Multiplex-Bild
^
QMUX
U^i
B^
hB^ ii = fi(^)
Abbildung 4.5: Quantenmultiplexer zur direkten Messung eines Maes fi(^) auf einem Messkanal B^ . Die unitare Transformation U^i implementiert die Berechnung des
skalaren Maes fi(^) auf Quantenebene.
Oft ist man nicht am vollstandigen Zustand eines Quantenzustands interessiert. Statt
den Zustand wie in Kapitel 3 vollstandig auszumessen wird dann auf Messstrategien zuruckgegrien, die mit weniger Messungen ein gesuchtes Ma, zum Beispiel den Grad der Verschrankung, ermitteln. Doch in beiden Fallen wird das interessierende Ma erst nach Abschluss der Messungen auf einem klassischen Computer berechnet. Es stellt sich die Frage,
inwiefern solche Mae direkt, d.h. auf Erwartungswertebene durch einen einzigen Messkanal
ermittelbar sind. Alle Berechnungen mussen dazu auf Quantenebene mit unitaren Transformationen durchgefuhrt werden. Hier liegt wieder eine Multiplexer-Funktion der unitaren
Transformation vor. Statt des kompletten Quantenzustands interessiert nur ein (skalares)
Ma.
In diesem Kapitel sollen daher allgemeine Strategien zur direkten Messung von interessierenden Maen auf der Ebene der Erwartungswerte untersucht werden: Es werden unter
Nutzung des Quanten-Multiplex-Bilds elementare Gatter angegeben, die eine eÆziente Berechnung des Maes auf Quantenebene ermoglichen (siehe Kapitel 4.2.1 und 4.2.2). Am
Beispiel zweier Verschrankungsmae (Kapitel 4.2.3 und 4.2.4) sollen die allgemeinen Erkenntnisse angewandt werden. Schlielich wird die hier vorgestellte Messstrategie mit existierenden Konzepten verglichen (siehe Kapitel 4.2.5).
In gewisser Weise stellen die hier zu behandelnden Messstrategien eine Quantencomputing-Sichtweise der Quantenmessung dar. Gesucht werden Strukturelemente, die ahnlich
den universellen Gattern im Quantencomputing die eÆziente Implementierung der Messung
eines interessierenden Maes ermoglichen.
Im Folgenden soll angenommen werden, dass sich das Ma von Interesse durch eine
ganzrationale Funktion von Erwartungswerten von hermiteschen Operatoren schreiben lasst.
Wie in Kapitel 3.2 gezeigt, lasst sich der Quantenzustand durch einen Satz von hermiteschen
Operatoren (Quorum) vollstandig beschreiben. In Kapitel 3.4.2 wurde die Existenz und
Konstruktion von Quorums mit identischem Eigenwertsprektrum nachgewiesen; dies ist wie
schon zuvor notwendig fur die Messung uber einen einzigen Messkanal. Auf der Ebene der
Erwartungswerte besteht zunachst also keine Einschrankung bezuglich der Berechenbarkeit
eines Maes. Andere, nicht polynomiale Mae mussen allerdings nach Taylor entwickelt
werden.
Zur Berechnung ganzrationaler Funktionen von Erwartungswerten ist die eektive
69
Addition und
Multiplikation
von Erwartungswerten hermitescher Operatoren auf Quantenebene notwendig.
4.2.1 Eektive Addition von Erwartungswerten hermitescher
Operatoren
Aus der Addition der hermiteschen Operatoren A^1; A^2
A^3 = A^1 + A^2 ;
A^1 = A^y1 ; A^2 = A^y2
(4.65)
ergibt sich, dass der resultierende Operator A^3 ebenfalls hermitesch ist
A^y3 = (A^1 + A^2 )y = A^y1 + A^y2 = A^1 + A^2 = A^3 :
(4.66)
Die Messung von hA^1i + hA^2i kann daher alternativ durch die direkte Messung von hA^3i
erfolgen. Soll jedoch das Eigenwertspektrum aller Operatoren identisch sein { wie es hier
fur die Messung uber einen einzigen Messkanal mit festem Eigenwertspektrum notwendig
ist {, muss man im Allgemeinen eine andere Strategie anwenden.
Betrachten wir ein zusammengesetztes System
^ges = ^ancilla ^S
(4.67)
^S soll den Zustand des Quantennetzwerks von Interesse darstellen. Das Hilfsystem ^ancilla
wird im reinen Zustand
^ancilla = j ancilla i h ancilla j
(4.68)
2
2
j ancilla i = aj0i + b j1i ; a; b 2 C ; jaj + jbj = 1
(4.69)
2
^ancilla = ajabj ajbj2b
(4.70)
prapariert. Mit den unitaren Transformationen U^1 und U^2 , die im gleichen Raum wie das
System von Interesse ^S wirken, ergibt sich fur die unitare Transformation im Gesamtsystem
^
^
U
0
1
U^ = ^0 U^
(4.71)
2
bei der Transformation von
2
j
a
j
^
S a b ^S
^ges = a b ^ jbj2 ^
(4.72)
S
S
^0ges = U^ ^ges U^ y
2
^1^S U^1y a b U^1^S U^2y j
a
j
U
^ges = a b U^ ^ U^ y jbj2 U^ ^ U^ y :
2 S 1
2 S 2
(4.73)
(4.74)
Spurt man das Hilfsystem wieder aus, so erhalt man die gewunschte Transformation
^0S = Trancilla ^0ges = jaj2 U^1 ^S U^1y + jbj2 U^2 ^S U^2y :
(4.75)
70
Wahlt man U^1 und U^2 so, dass
und
so ist
n
B^ = U^1y A^1 U^1
(4.76)
B^ = U^2y A^2 U^2
(4.77)
o
n
o
n
o
Tr B^ ^0S = jaj2Tr A^1 ^S + jbj2 Tr A^2^S :
(4.78)
Mit Unterstutzung eines Hilfsystems kann damit ein Quantenaddierer wie in Abbildung 4.6
realisiert werden.
^ancilla
QADD
U^
A^1
A^2
^S
B^
hB^ i = jaj2hA^1i+
jbj2hA^2i
Abbildung 4.6: Quantenaddierer: Durch entsprechende Wahl des Zustands ^ancilla in
Abhangigkeit von a; b und Wahl einer unitaren Transformation U^ in
Abhangigkeit von den Operatoren A^1 ; A^2 und B^ mit gleichem Eigenwertspektrum lasst sich die gewichtete Addition der Erwartunswerte der Operatoren A^1 und A^2 auf einem einzigen Messkanal B^ als Erwartungswert
messen.
Verallgemeinert lassen sich bei Anpassung der Groe des Hilfssystems auf N-NiveauSysteme gewichtete Additionen der Art
^0
S
=
N
X
i=1
ci U^iy A^i U^i ;
ci 2 C ;
N
X
i=1
jcij2 = 1
(4.79)
erzeugen und damit gewichtete Additionen von Erwartungswerten
n
o
N
n
X
Tr B^ ^0S = ci Tr A^i^s
i=1
o
(4.80)
auf einem einzigen Messkanal B^ messen.
Es handelt sich bei dieser Art von Transformationen U^ um durch das Hilfssystem kontrollierte Operationen (Abbildung 4.7). Das einfachste Quantengatter im herkommlichen
Quantencomputing mit einer ahnlichen Struktur ist das controlled not -Gatter. Nur wenn
das Kontrollbit eins ist, wird eine Not-Operation ausgefuhrt, im anderen Fall die triviale
Operation ^1. Hier jedoch wird die Kontrolle durch das Hilfsystem nur benotigt, um eine fur
sich gesehene nicht-unitare Operation unitar einzubetten.
Die Anzahl der Summanden in Gleichung 4.80 wachst direkt linear mit der Dimension
des Hilbertraums des Hilfesystems ^ancilla. Wahlt man daher als Hilfsystem Qubits, also ein
Quantennetzwerk aus 2-Niveau-Systemen, so wachst die Anzahl der Summanden exponentiell mit der Anzahl der Qubits des Hilfssystems. Auf diese Art kann selbst eine groe Anzahl
von Summanden eÆzient addiert werden.
71
^ancilla
^0ancilla
^0
U^1
^1
^2
^01
^02
U^2
S
Abbildung 4.7: Quantenaddierer als kontrollierte Operation: Am Beispiel einer Addition
von zwei Summanden wird deutlich, wie der Zustand des Hilfsqubits ^ancilla
die Transformationen U^1 und U^2 kontrolliert (links). Im Vergleich dazu die
sinnbildliche Darstellung des controlled not -Gatters (rechts) [33].
^S
4.2.2 Eektive Multiplikation von Erwartungswerten hermitescher
Operatoren
Die direkte Messung von Produkten von Erwartungswerten uber einen einzigen Messkanal
B^ ist moglich, wenn Kopien des interessierenden Systems ^S zur Verfugung stehen.
hB^ i = hA^1ihA^2i
(4.81)
Mit zwei Kopien des Systems ^S
^ges = ^S ^S
(4.82)
ergibt sich fur den Korrelationsmessoperator
K^ A = A^1 A^2
(4.83)
mit den Abkurzungen
M^ 1 = A^1 ^S
(4.84)
^
^
M2 = A2 ^S
(4.85)
der Erwartungswert
n
o
hK^ Ai = Tr K^ A^ges
n
o
n
o
n
o
^
^
^
^
^
^
= Tr (A1 A2)(^S ^S ) = Tr A1 ^S A2^S = Tr M1 M2
X
X
X
=
M1;ii M2;jj =
M1;ii M2;jj
i;j
n
o
n
i
o
j
= Tr A^1^ Tr A^2^
(4.86)
= hA^1 ihA^2i:
(4.87)
Wahlt man eine unitare Transformation U^ so, dass
B^ = U^ K^ A U^ y
(4.88)
ergibt sich ein elementarer Baustein zur Multiplikation von Erwartungswerten nach Abbildung 4.8.
Im Gegensatz zur Addition bestehen folgende Einschrankungen bei der Multiplikation
von Erwartungswerten:
72
^S
A^1
^S
A^2
QMUL
U^
B^
hB^ i = hA^1ihA^2i
Abbildung 4.8: Quantenmultiplizierer: Wird die unitare Transformation U^ so gewahlt, dass
sie den Korrelationsoperator A^1 A^2 auf den Messkanal B^ abbildet, ist auf
diesem Messkanal das Produkt der Erwartungswerte von A^1 und A^2 messbar.
Notwendig ist das Vorliegen des Systems ^S in zwei Kopien.
Es mussen Kopien des Systems vorliegen. Klassisch ist die Operation des Kopierens ei-
nes Systems kein Problem, doch quantenmechanisch ist es nicht moglich ein System in
einem unbekannten Zustand zu kopieren. Das No-Cloning -Theorem schiebt dem einen
Riegel vor [61, 33]. Eine universelle "Quantenkopiermaschine\, also eine Vorrichtung
die jeden Zustand exakt kopiert, existiert nicht. Allerdings wurden Strategien zum
naherungsweisen Kopieren [12, 11] von beliebigen Zustanden betrachtet, bei denen
die Qualitat der Kopie nicht vom Zustand abhangt. Nur bekannte linear unabhangige
Zustande konnen exakt kopiert werden [62]. Derartige Strategien hangen eng mit der
probabilistischen Identikation von linear unabhangigen Zustanden zusammen (siehe
Kapitel 5). Eine nicht-lineare Transformation, die die Elemente der Dichtematrix quadriert, wurde in [7] behandelt. Kopien konnen also nicht erstellt werden, sie mussen
schon vorliegen. Jedoch sind in jedem identisch praparierten Ensemble Quantensysteme im { der Denition nach { gleichen Zustand enthalten. Da die Messstrategie,
die hier erortert wird, auf Messungen von Ensembleerwartungswerten basiert, ist nur
noch die Kontrolle uber die Ensemble-Mitglieder bei der Ausfuhrung der Funktionen
des Quantenmultiplizierers vonnoten.
Da die Eigenwertstruktur des Messkanals B^ vorgegeben ist, muss auch der Korrelationsoperator K^ A die selben Eigenwerte besitzen. Soll zusatzlich einer der Operatoren
A^1 oder A^2 in einer Addition berucksichtigt werden, mussen selbstverstandlich auch
deren Eigenwerte mit denen von B^ und K^ A ubereinstimmen. Fur die Messoperatoren
kommen daher nur die Eigenwerte 1 und 1 in gleicher Multiplizitat in Frage. Bei
2-Niveau-Quantennetzwerken bilden die SU (2)-Clusteroperatoren wie schon in Kapitel 3.4.1 gezeigt eine vollstandige Basis mit identischen Eigenwerten 1 und 1. Beliebige Potenzen von Erwartungswerten solcher Clusteroperatoren konnen daher mit
einer entsprechenden Anzahl von Kopien des Systems gemessen werden.
4.2.3 Direkte Messung des Verschrankungsmaes Als Anwendung der neu eingefuhrten Grundelemente des Quantenaddierers und Quantenmultiplizierers soll die Messung des Verschrankungsmaes fur ein Quantennetzwerk aus
zwei 2-Niveau-Systemen explizit angegeben werden. Das Verschrankungsma setzt sich
aus den Erwartungswerten der SU (2)-Clusteroperatoren zusammen:
Mij (1; 2) = hK^ ij (1; 2)i h^ i (1)ih^ j (2)i
(4.89)
73
X
= 31 (Mij (1; 2))2
(4.90)
i;j
01
(4.91)
Die strukturell einfachste Implementierung benutzt fur jeden auftretenden Term eine weitere Kopie des Systems ^S und bildet die klassische Rechnung direkt nach. Damit ist immer die Unabhangigkeit der Parameter gewahrleistet, die Korrelationsoperatoren bei der
Verwendung des Quantenmultiplizierers sind nicht quantenmechanisch korreliert. Um die
Teilberechnung von Mij2 (zu festem i; j ) zu bewerkstelligen sind damit
p des
p sechs Kopien
Systems ^S und 2 Qubit-Hilfssysteme ^ancilla im Zustand mit (a = 1= 2; b = 1= 2) notig
(Abbildung 4.9).
^ancilla
Kopie
1 ^S K^ ij (1; 2)
QADD 1
2 Mij
2 ^S ^ i(1)
3 ^S
^ j (2)
4 ^S K^ ij (1; 2)
5 ^S ^ i(1)
6 ^S ^ j (2)
QMUL
^ancilla
QMUL
1 Mij
2
1 Mij
2
QMUL
QADD 1
2 Mij
1M 2
4 ij
Abbildung 4.9: "Horizontale\ Berechnung von Mij2 auf quantenmechanischer Ebene. Ausgehend von sechs Kopien des Quantensystems von Interesse ^S wird durch
Anwendung der Elemente des Quantenaddierers QADD und des Quantenmultiplizierers QMUL unter Verwendung von 2 Hilfsqubits ^ancilla die Komponente Mij2 des Maes berechnet.
Als U bergabekanale zwischen den einzelnen Gatterelementen konnen beliebige Kanale
mit den Eigenwerten 1; 1 verwendet werden, der Kanal wird also physisch durch ein Qubit
transportiert. Die Addierer QADD wirken physisch auf einen Zustand von 3 Qubits, die
Multiplizierer QMUL immer auf 2 Qubits. Diese Art der Nutzung der Quantengatter soll
als horizontale Nutzung bezeichnet werden, da ausgehend von einer Kopie eines Quantensystems oder einem Hilfsqubit der Fluss der Information von links nach rechts stattndet.
Es werden, wie gezeigt werden wird, mehr Systeme und Hilfssysteme verwendet als notig.
74
Ebenfalls auf recht einfache, aber auch ineÆziente Weise lassen sich alle Mij2 zum Ma addieren (Abbildung 4.10).
^ancilla8
1M 2
4 9
:::
^ancilla2
1 2
4 M3
(1:8)
QADD
1
12 :::
(1:2)
QADD
^ancilla1 (1:1)
1 2
QADD
4 M2
1M 2
4 1
Abbildung 4.10: Berechnung von auf quantenmechanischer Ebene mit Einzelqubits als
Hilfsysteme: Die acht Hilfsqubits ^ancillai werden in einer Superposition von
j0i und j1i im Verhaltnis 1 : i prapariert. Nach Addition der Komponenten
1 2 1 2
1 2
1
4 Mk = 4 M(i+3(j 1)) = 4 Mij ergibt sich das Ma 12 .
Insgesamt werden fur diese Art der Implementierung 6 9 = 54 Kopien von ^S und
2 9 + 8 = 26 Hilfsqubits benotigt.
Berucksichtigt man aber, dass nur fur den Quantenmultiplizierer durch Verwenden von
Kopien des Systems ^S nur Korrelationsfreiheit gewahrleistet werden muss, so reduziert
sich die Anzahl der Kopien auf 4. Dies entspricht auch der maximalen Multiplizitat von Erwartungswerten in Erwartungswertprodukten in den Summanden von . Fur die QuantenAddition wird, falls das gesamte System ^ges an den Quantenaddierer ubergeben wird, kein
weiteres System ^ benotigt (Abbildung 4.11). Da nun nicht mehr pro Eingang eines Quantengatters ein weiteres System benotigt wird, also der Weg des Quantensystems nicht mehr
dem der Messkanale entspricht, soll diese Art der Benutzung von Quantengattern vertikal
genannt werden.
Die Addition der Komponenten Mij bezieht sich nun auf das Gesamtsystem ^ges, die
Berechnung der Komponente Mij und deren Addition wird durch die kontrollierte unitare
Transformation (Gleichung 4.79) auf ^ges fur alle i; j implementiert (Abbildung 4.12).
Insgesamt werden bei der vertikale Anwendung der Quantengatter fur die Messung des
Verschrankungmaes in einem System ^S von 2 Qubits also 4 Kopien des Systems ^S und 6
Hilfsqubits benotigt. Ein beliebiger Messkanal mit den Eigenwerten -1 und 1 in Multiplizitat
211 kann in diesem Gesamtsystem ^ von 12 Qubits als Messkanal B^ fur das Ma dienen.
Der Erwartungswert dieses Messkanals uber ein Ensemble solcher Gesamtsysteme ^ ergibt 1=12 .
Der Quantenmultiplexer in Abbildung 4.5 wirkt auf dieses Gesamtsystem ^. Jedoch ist
klar, dass das Ma fi (^) { resultierend aus der Nicht-Linearitat des Maes und die notige
75
Einbettung mit Hilfsystemen { eektiv nur vom Untersystem ^S abbhangt: fi (^) fi(^S ).
Generell gilt, dass je mehr Nichtlinearitaten im Ma fi (^S ) vorhanden sind, desto mehr
Kopien von ^S werden benotigt. Auerdem nimmt der "Kontrast\, also der eektiv nutzbare
Messbereich, ab. Im Spezialfall des Maes ist der Faktor zwischen Ma und Messung schon
1=12. Das liegt daran, dass die Additionen als gewichtete Additionen mit Normierung 1
implementiert werden. Generell gilt damit, dass je mehr Addition im Ma fi(^S ) auftreten,
der Kontrast geringer wird.
Es konnte gezeigt werden, dass ohne Rekonstruktion des vollstandigen Quantenzustands
das Verschrankungsma direkt messbar ist, falls beliebige unitare Transformationen auf
eine Untermenge des Ensembles des interessierenden Systems und praparierte Hilfssysteme
zur Verfugung stehen.
^ancilla
Kopie K^ ij (1; 2)
QADD 1
2 Mij
1 ^S ^ i(1)
QMUL
2 ^S ^ j (2)
^ancilla
^ ij (1; 2)
K
QADD 1
2 Mij
3 ^S ^ i(1)
QMUL
4 ^S ^ j (2)
^ges = ^ancilla ^S ^S ^ancilla ^S ^S
1 Mij
2
1 Mij
2
QMUL
1 M 2 ^0
4 ij ges
Abbildung 4.11: "Vertikale\ Berechnung von Mij2 auf quantenmechanischer Ebene. Ausgehend von vier Kopien des Quantensystems von Interesse ^S wird durch
Anwendung der Elemente des Quantenaddierers QADD und des Quantenmultiplizierers QMUL unter Verwendung von 2 Hilfsqubits ^ancilla die
Komponente Mij2 des Maes berechnet.
4.2.4 Direkte Messung des Verschrankungsmaes Tr ^2
Wie in Kapitel 2.5.1 angegeben, lasst sich das Gemischtheitssma (bzw. Reinheitsma)
Tr f^2g eines 2-Niveau-Systems mit den Erwartungswerten i der SU (2)-Operatoren ^i als
(4.92)
Tr ^2 = 21 1 + 21 + 22 + 23
76
^0ges
^ancilla1
^ancilla1
^ancilla1
1 2
4 M8
..
^ancilla2
1M 2
4 9
(1:8)
QADD
1
12 QADD
1M 2
4 1
Abbildung 4.12: Berechnung von auf quantenmechanischer Ebene mit eÆzientem Einsatz der Qubit-Hilfssysteme: Die ersten drei Hilfsqubits ^ancilla1 werden in
einer Superposition von j0i und j1i im Verhaltnis 1 : 1 prapariert. Das
Hilfsqubibt ^ancilla2 wird im Verhaltnis 1 : 8 prapariert. Ausgehend vom
gesamten Zustand
^0ges (Abbildung 4.11) werden zunachst die acht Komponenten 41 M12 bis 14 M82 addiert, dann separat 14 M92 . Nach Addition aller
Komponenten 41 Mk2 = 14 M(2i+3(j 1)) = 14 Mij2 ergibt sich das Ma 121 .
schreiben. In einem 2-Spin-Gesamtsystem steht dieses Ma fur die Verschrankung des Gesamtsystems. Nach dem ausfuhrlichen Beispiel in Kapitel 4.2.3 sollte klar sein, dass fur eine
direkte Messung des Maes Tr f^2g aufgrund des Auftretens von quadratischen Gliedern
zwei Kopien des Systems notwendig sind, auf sie wirkt das Gatter QMUL. Der konstante
Summand 1 in Gleichung 4.92 kann durch die Praparation eines Hilfsqubits in deniertem
reinem Zustand erzeugt werden (Welcher Zustand prapariert wird, ist im Wesentlichen egal,
da durch das Gatter QADD eine unitare Transformation auf diesen Zustand angewandt
werden kann). Die Summation wird durch die zweimalige Anwendung des Gatters QADD
mit einem Hilfsqubit, das im Verhaltnis 1:1 prapariert wurde, realisiert. Insgesamt werden
also 3 Hilfsqubits benotigt. Es resultiert damit der auf einem Messkanal wie in Kapitel 4.2.3
direkt messbare Erwartungswert 1=2 Tr f^2 g.
4.2.5 Vergleich mit verallgemeinerten Messungen und
Quantenoperationen
Da bei dieser Art von Messstrategie keine expliziten unitaren Transformationen zugelassen
sind, muss das Konzept der Messung wie es mit Hilfe der verallgemeinerten Messung beschrieben wird (Kapitel 2.6.1) nochmals erweitert werden, um es auf den vorliegenden Fall
anwenden zu konnen.
Da in der Quantenmultiplex-Messstrategie zur direkten Messung eines Maes ein Hilfssystem genutzt wird, das mit dem interessiernden System uber eine unitare Transformation
koppelt, und Projektionsmessungen am Gesamtsystem anschlieen, handelt es sich um den
Spezialfall einer allgemeinen Quantenoperation (Kapitel 2.6.2).
Hier ist nach der Messbarkeit eines Maes gefragt. Danach richtet sich das System (An77
zahl der Kopien), das Hilfssystem (Groe und Praparation) und die unitare Transformation
des Gesamtsystems. Ziel ist die Messung des Maes auf einem Messkanal uber von Neumann -Projektionsmessungen nach der Transformation.
Vorgestellt wurde daher ein konstruktives Verfahren, um beliebige polynomiale Mae
von Erwartungswerten nach der Art des Quantencomputings uber Gatter zu messen. Das
Gewicht liegt dabei also auf der Kontruktion und Implementation der allgemeinen Quantentransformation.
78
5 Zustandsunterscheidung
In Kapitel 3 wurde der vollstandige Zustand eines Quantensystems rekonstruiert. Dazu ist
immer ein Ensemble von Einzelsystemen notwendig. In Kapitel 4 wurden Moglichkeiten
vorgestellt, die die Extraktion von relevanten Informationen ermoglichen ohne den Zustand
auszumessen. Hier sollen Messstrategien erortert werden, die bestmoglich zwischen Quantenzustanden unterscheiden. Ziel ist, mit einer moglichst geringen Anzahl von Messungen
und Quantensystemen auszukommen.
5.1 Orthogonale Zustande
Nur orthogonale Zustande konnen mit Sicherheit durch von Neumann -Projektionsmessungen
unterschieden werden [44]: Jeder Eigenschaft P kann eine Groe zugeordnet werden, deren
Messung uber das Vorhandensein oder Nichtvorhandensein der Eigenschaft entscheidet und
den Wert 1 bzw. 0 annimmt, wenn die Eigenschaft P vorhanden ist bzw. nicht vorhanden
ist. Die Groe selbst soll auch mit P bezeichnet werden. Da P nur die Werte 0 und 1 annimmt bringt es das Polynom F () = (1 ) zum Verschwinden. Der Operator von P soll
P^ sein, F (P ) hat dann den Operator F (P^ ) = P^ P^ 2. Es folgt daher da P^ P^ 2 = 0 und
damit P^ = P^ 2 sein muss. P^ ist also ein Projektionsoperator. Liegt ein Quantensystem im
Zustand ^ vor und wollen wir entscheiden, ob die Eigenschaft P vorliegt oder nicht, so ist
die Eigenschaft P zu messen. Die Wahrscheinlichkeit W das Vorliegen von P zu erhalten ist
n o
W = Tr P^ ^ ;
(5.1)
die Wahrscheinlichkeit, P nicht zu erhalten ist
n
o
n o
W = 1 W = Tr (^1 P^ )^ Tr P^ ^ :
(5.2)
Die Operatoren P^ und P^ sind orthogonal zueinander. Werden Quantensysteme in einem
Zustand prapariert, der aus einer Mischung von P^ und P^ besteht, in der Art, dass sich jedes
Einzelsystem im Zustand P^ oder P^ bendet, kann durch die Messung fP^ ; P^ g exakt der
Zustand jedes Einzelsystems festgestellt werden [36].
5.2 Linear unabhangige Zustande
Werden allerdings nicht orthogonale Zustande P^ und Q^ prapariert (zufallig fur jedes Einzelsystem, mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 fur jeden Zustand), so kann wegen des endlichen
U berlapps durch Projektionsmessungen nicht immer mit Sicherheit zwischen dem Vorliegen
von P^ und Q^ unterschieden werden. Nur wenn P^ im Fall der Messung von fP^ ; P^ g eintritt,
kann man darauf schlieen, dass vor der Messung der Zustand Q^ vorlag. Ebenso kann nur
79
^ Q^ g eintritt, auf das Vorliegen des Zustands P^ vor der Messung
wenn Q^ bei der Messung fQ;
geschlossen werden. Die Wahrscheinlichkeit WS der sicheren Unterscheidung zwischen den
nicht-orthogonalen Zustanden P^ ; Q^ mit Standardmessungen ist damit
n
^ o :
WS = Tr P^ Q
(5.3)
Wendet man statt Standardmessungen verallgemeinerte Messungen an, so lasst sich diese Erfolgswahrscheinlichkeit steigern. Ivanovic [36] stellte als Erster solch eine auf Quantenoperationen basierende Zustandsunterscheidung von zwei nicht-orthogonalen Zustanden
vor. Mit Modikationen von Dieks [23] und Peres [49] konnte gezeigt werden, dass diese
Messstrategie die optimale ist, falls mit Sicherheit zwischen den Zustanden unterschieden
werden soll. Durch Chees und Barnett [15] wurden diese Ivanovic-Dieks-Peres-Messungen
(IDP-Messungen) verallgemeinert auf Strategien, bei denen Fehler erlaubt sind. Chees [13]
konnte zeigen, dass eine unzweideutige Unterscheidung zwischen mehreren Zustanden nur
moglich ist, falls diese linear unabhangig sind. Die vollstandige Losung fur beliebige a priori Wahrscheinlichkeiten von P^ und Q^ wurde von Jaeger und Shimony [37] gefunden, wahrend
Chees und Barnett [14] die analytische Losung fur beliebig viele Zustande angaben.
Eng verwandt mit dieser probabilistischen Messstrategie sind Stategien zum probabilistischen Klonen von Zustanden [24] und zur Verschrankungs-Konzentration [13].
Bisher wurde jedoch immer die a priori -Kenntnis der Zustande angenommen. Sie mussen
aus einer bekannten endlichen Menge M = fj i1 ; : : : ; j iN g stammen. Als Erweiterung
der schon bekannten Messstrategien zur fehlerlosen Zustandsunterscheidung, sollen daher
in Kapitel 5.3 die Unterscheidung von zwei Zustanden diskutiert werden, die aus einer
unendlichen Menge M von Zustanden gewahlt werden. Die Zustande in der Menge wird
dabei durch eine reellen Variable r parametrisiert: M = [r j i (r).
Da sich diese Erweiterung auf zwei Zustande beschrankt, soll in diesem Zusammenhang
nur die ursprungliche IDP-Messung betrachtet werden.
5.2.1 IDP-Messungen
Die Messung nach Inavanovic [36], Dieks [23] und Peres [49] basiert auf der Nutzung eines
Hilfssystems. Das Gesamtsystem wird unitar transformiert. Schlielich wird eine Projektionsmessung am Hilfssystem durchgefuhrt. Deren Ergebnis gibt an, ob die Messung erfolgreich oder nicht erfolgreich ist. Das endgultige Messergebnis (P^ oder Q^ lag vor) kann im
Falle von Erfolg am interessierenden System abgelesen werden. Im Falle eines Misserfolgs
ist das Messergebnis unentschieden. Im Einzelnen werden die nicht-orthogonalen Zustande
jpS i = a1=2 j0i + (1 a)1=2 j1i
(5.4)
und
jqS i = a1=2 j0i (1 a)1=2 j1i ; a > 21
(5.5)
des interessierenden Systems S betrachtet. Jedes System S soll sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder im Zustand jpS i oder im Zustand jqS i prapariert worden sein (a priori Wissen). Es reicht, den zweidimensionalen Unterraum, der von jpS i und jqS i aufgespannt
wird, zu berucksichtigen. Das Hilfssystem A selbst soll sich anfanglich im Zustand
jpAi = j0i
(5.6)
benden. Das Gesamtsystem ist damit im Zustand
j i = a1=2 j00i (1 a)1=2 j10i ;
(5.7)
80
das -Zeichen bezieht sich damit auf die Anfangszustande jpS i und jqS i. Mit der unitaren
Transformation U^ des Gesamtzustands nach Peres [49], die im Unterraum, der durch j00i
und j11i aufgespannt wird, wirkt
U^ : a1=2 j00i ! (1 a)1=2 j00i + (2a 1)1=2 j11i
(5.8)
ergibt sich der Endzustand
0 1=2
1=2
(5.9)
= (1 a) (j0i j1i) j0i + (2a 1) j11i :
Die Hilfssysteme A die im Zustand j0i aufgefunden werden sind jetzt mit orthogonalen
Zustanden des Systems S namlich j0i + j1i und j0i j1i korreliert, die ohne Zweifel unterschieden werden konnen. Die Wahrscheinlichkeit WIDP fur den Erfolg dieser Messung ist
daher
WIDP = 2(1 a):
(5.10)
Erst kurzlich wurde die IDP-Messung an zwei nicht-orthogonalen Zustanden des Lichts
erstmals vollstandig experimentell implementiert [18].
5.3 Beschrankte Kenntnis der Zustande
Inwiefern konnen zwei Zustande, die nicht vollstandig bekannt sind, unzweideutig unterschieden werden? Es ist klar, dass falls kein a priori -Wissen uber die Zustande vorliegt,
sich die Situation wie bei der vollstandigen Zustandsrekonstruktion (Kapitel 3) darstellt.
Es werden unendlich viele Messungen und damit ein unendlich groes Ensemble identisch
praparierter Systeme notwendig sein, um mit Sicherheit zu sagen, welcher Zustand vorlag..
Im Fall, dass die Menge der Zustande, aus der die zwei zu unterscheidenden Zustande
gewahlt werden, zwar unendlich gro ist, aber nicht den vollstandigen Zustandsraum eines
2-Niveau-Systems ausfullt, kann man jedoch eine Strategie nden, die in der Halfte aller
Falle die unzweideutige Unterscheidung von zwei Zustanden nach Kapitel 5.1, Kapitel 5.2
oder Kapitel 5.2.1 vorbereitet und nur zwei Kopien des Quantensystems benotigt. Abgeleitet
wird dieses Verfahren aus der abgewandelten Anwendung (Probabilistische inverse unitare
Transformation) eines probabilistisch arbeitenden Quantenprogramms, das wiederum auf
einem Quanten-Teleportations-Schema basiert. Es sollen daher, um den Bezug zu schon
bekanntem herzustellen, die beiden ursprunglichen Konzepte hier erlautert werden.
5.3.1 Quanten-Teleportation
Bei der Quanten-Teleportation nach Bennett et al. [8] wird ein unbekannter Quantenzustand
jdi eines einzelnen Quantensystems von Alice mittels der Resourcen eines geteilten EPRZustands j+i und zwei klassischen Bits zu Bob ubertragen (Abbildung 5.1). Dabei wird der
ursprungliche Zustand, den Alice besa, durch die Bell-Messung M zerstort. Das Ergebnis
der Bell-Messung (2 klassische Bits) wird uber einen klassischen Kanal Bob mitgeteilt. Bob
wahlt entsprechend dieser klassischen Information eine der vier unitaren Transformationen
U^i aus und wendet sie auf sein Qubit des gemeinsam geteilten EPR-Zustands j+ i an.
Schlielich ist Bob im Besitz eines Qubits im Zustand jdi. Durch die Notwendigkeit einer
klassichen U bertragung von Information von zwei Bits gibt es keine Konikte mit dem
Prinzip der Kausalitat. Instantane Informationsubertragung ist mit diesem Schema nicht
moglich.
81
jdi
j+i
Alice
Bob
?
M
2 klassische Bits
U^i
jdi
Abbildung 5.1: Quanten-Teleportation: Mit Hilfe der geteilten Resource des EPR-Zustands
j+ i kann Alice den unbekannten Zustand jdi nach klassichen U bertragung
der Bell-Messung M zu Bob teleportieren, der das Messergebnis benutzt, um
eine der vier unitaren Transformationen U^i auf sein Qubit des ursprunglichen
EPR-Zustands j+i anzuwenden.
Dieses Quanten-Teleportations-Protokoll lauft in den mathematischen Einzelheiten wie
folgt ab:
Der unbekannte Zustand
jdi = a j0i + b j1i ; a; b 2 C ; jaj2 + jbj2 = 1
(5.11)
wird von Alice an den EPR-Zustand
+
= p (j00i + j11i)
(5.12)
gekoppelt. Entscheidend ist nun, da der Zustand jdi mit Hilfe der Bell-Basis j i,ji
umgeschrieben werden kann.
= p (j00i j11i)
(5.13)
= p (j01i j10i)
(5.14)
Die Produktbasis-Zustande lassen sich in der Bell-Basis schreiben:
j00i = p (+ + )
(5.15)
j01i = p (+ + )
(5.16)
j10i = p (+ )
(5.17)
+
(5.18)
j11i = p ( )
Die Einzelterme des Gesamtzustands
j i = jdi + = p (a j000i + a j011i + b j100i + b j111i)
(5.19)
lassen sich daher als
(5.20)
a j000i = a j00i j0i = p (a + j0i + a j0i)
+
(5.21)
a j011i = a j01i j1i = p (a j1i + a j1i)
+
b j100i = b j10i j0i = p (b j0i b j0i)
(5.22)
+
(5.23)
b j111i = b j11i j1i = p (b j1i b j1i)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
82
schreiben. Wir erhalten damit
j i = 12 + (a j0i + b j1i) + (a j0i b j1i)
+ + (a j1i + b j0i) + (a j1i b j0i)
(5.24)
Wenn Alice nun eine Bell-Messung auf den ersten beiden Qubits von j i durchfuhrt, also
eine Messung, die alle vier Zustande der Bell-Basis unterscheidet, so wird j i auf einen der
Zustande j ii
(j 1 i ; j 2 i ; j 3 i ; j 4 i) = ( p (a j0i + b j1i); p (a j0i b j1i); p (a j1i + b j0i); p (a j1i b j0i))
(5.25)
reduziert. Mittels zwei Bit klassischer Information kann Alice das Ergebnis ihrer Messung
i = 1; 2; 3 oder 4 Bob mitteilen, der entsprechend die Transformation U^i
(U^1 ; U^2; U^3; U^4 ) = (^1; ^z ; ^x; {^y )
(5.26)
auf das Qubit anwendet, das ursprunglich ein Qubit der Resource des EPR-Zustands j+ i
darstellte. Erst dann ist Bob im Besitz eines Qubits im Zustand jdi.
1
2
1
2
1
2
1
2
5.3.2 Quanten-Programme
Das Teleportations-Protokoll wurde von Nielsen und Chuang [46] abgewandelt, um ein universelles Quanten-Gatterarray zu implementieren, das probabilistisch arbeitet. Nielsen und
Chuang konnten zeigen, dass es ein deterministisches universelles Quanten-Gatterarray, also ein festes Quanten-Gatterarray, das jedes beliebige Quanten-Programm implementiert,
nicht geben kann. Es ist daher notwendig, dass ein solches universelles Quanten-Gatterarray
probabilistisch arbeitet. Hier soll nur die Implementation fur ein einzelnes Datenqubit angegeben werden.
jdi
j + i
Alice
Bob
M
U^
?
U^ jdi
jPU0 i
jPU i
Abbildung 5.2: Quanten-Programm: Bob soll die unitare Transformation auf das Qubit jdi
ausfuhren. Von Alice bekommt er dazu nur das Qubit jdi und ein Quantenprogramm jPU i. Nachdem Bob eine Bell-Messung durchgefuhrt hat, weiss
er, ob die Transformation erfolgreich war. Im Falle des Erfolgs fuhrt er noch
eine Swap-Operation (bestehend aus drei CNOT-Gattern) aus.
Bleibt man im Bild der zwei Parteien Alice und Bob, so stellt sich die universelle Quantenprogrammierung wie folgt dar (Abbildung 5.2): Alice mochte, dass Bob fur sie die unitare
83
Transformation U^ auf das Qubit jdi anwendet. Nur Alice kennt die Transformation U^ . Sie
erstellt das Quantenprogramm jPU i und das Qubit im Zustand jdi Bob zur Verfugung. Des
Weiteren ndet keine klassische Kommunikation zwischen beiden Parteien statt.
Der Gesamtzustand j i = jdi jPU i lasst sich wie bei der Teleportation als
^
^
(5.27)
j i = (a j0i + b j1i) j0i U j0ip+ j1i U j1i
2
= 12 a + + U^ j0i + a + + U^ j1i
+b + U^ j0i + b + U^ j1i
(5.28)
= 21 + (aU^ j0i + bU^ j1i) + (aU^ j0i bU^ j1i)
+
^
^
^
^
+ (aU j1i + bU j0i) + (aU j1i bU j0i)
(5.29)
= 21 + (U^ jdi) + (U^ ^z jdi)
+ + (U^ ^x jdi) + { (U^ ^y jdi)
(5.30)
umschreiben.
Fuhrt Bob nun eine Bell-Messung M auf die ersten beiden Qubits aus und erhalt eine
Projektion auf den Zustand j+ i, so bendet sich das dritte Qubit im Zustand U^ jdi. Die
unbekannte Transformation U^ wurde erfolgreich auf das Qubit im unbekannten Zustand jdi
angewendet. Nach einer Swap-Operation, die durch drei controlled-NOT Gatter ausgefuhrt
wird, bendet sich das Ergebnis auf dem ersten Bit, auf dem der Zustand jdi ubergeben
wurde. Die Erfolgswahrscheinlichkeit fur diese nichtdeterministische Operation betragt 1=4.
5.3.3 Probabilistische inverse unitare Transformationen
In diesem Abschnitt sollen die soeben behandelten probabilistischen Quanten-Programme
fur die probabilistische Inversion einer parametrisierten unitaren Transformation eingesetzt
werden. Der kontinuierliche Parameter dieser Transformation sei nicht bekannt. Wird solch
eine unbekannte Transformation angewandt auf einen bekannten Zustand, so besteht nur
noch beschrankte Kenntnis uber den resultierenden Zustand. Die Inversion der unbekannten
Transformation auf Quantenebene soll diese beschrankte Kenntnis wieder beseitigen und
damit als Vorstufe fur eine anschlieende Zustandsunterscheidung dienen. Im Einzelnen
ergibt sich folgendes Szenario:
Die Zustande, uber die beschrankte Kenntnis vorliegen soll, sollen dadurch eingeschrankt
sein, dass sie im Blochbild auf einem Kreis liegen, also durch eine Rotation eines festen
Zustands um eine beliebige aber feste und bekannte Achse hervorgehen. Fur die folgenden
Betrachtungen, soll die x Achse als Rotationsachse verwendet werden (Abbildung 5.3).
Die Zustande j1i und j2i gehen aus dem Zustand j1i durch Rotation um die x Achse
um 1 bzw. 2 hervor.
R^ x () = e {^x =2
(5.31)
j1i = R^x(1 ) j1i U^1 j1i
(5.32)
j2i = R^x(2 ) j1i U^2 j1i
(5.33)
Die Zustande j1 i und j2i konnen geschrieben werden als
j1i = R^x(1 ) j1i
(5.34)
84
y
z
1 2 j2i
x
j1i
Abbildung 5.3: Eingeschrankte Wahl der zu unterscheidenden Zustande: Im Blochbild sollen
alle Zustande auf einem Kreis (gestrichelt) liegen. Die Rotationsachse (hier
x) soll bekannt sein.
j2i = R^x(2 1 )R^x(1 ) j1i :
(5.35)
Ziel in diesem Abschnitt soll die Invertierung der ersten Rotation R^x(1 ) sein. Eine allgemeine unitare Transformation lasst sich nur invertieren, wenn sie bekannt ist. Dann konnte sie
auch als (probabilistisches) Quantenprogramm implementiert werden. Als Ausgangspunkt
sollen hier jedoch nur die beiden Qubits in den Zustanden j1i und j2 i vorliegen. Durch
Erweiterung der Strategie aus Kapitel 5.3.2, indem das zweite Qubit als Quantenprogramm
aufgefasst wird, lasst sich die Inversion der ersten Rotation erreichen:
Wendet man wieder das Bild aus der Quanten-Teleportation an, so stellt Alice Bob die
zwei Qubits in den Zustanden j1i und j2 i zur Verfugung. Bob soll daraus die Zustande
j01i = R^x( (2 1 )) j1i
(5.36)
und
j02i = j1i
(5.37)
generieren (Abbildung 5.4). Bob kennt nur die Rotationsachse (x). Zun
achst verschrankt
1
Bob das zweite Qubit von Alice mit einem Hilfsqubit im Zustand p2 (j0i + j1i) uber ein
controlled-NOT-Gatter. Da dieses Gatter mit der Rotation um die x-Achse kommutiert
h
i
^1 R^x(); U^CNOT = 0;
(5.38)
liegt danach der gleiche Zustand wie jPU i in Kapitel 5.3.2 mit U^ = U^2 vor und stellt damit
ein probabilistisches Quantenprogramm fur die Drehung um 2 um die x-Achse dar. Dem
Datenqubit im Zustand jdi aus Kapitel 5.3.2 entspricht das Qubit im Zustand j1 i. Aber
erst nach einer Rotation um 180 Grad um die y-Achse und einer Ruckrotation U^1B nach der
Bell-Messung M im Erfolgsfall (Ergebnis: j+ i lag vor) ist die Wirkung der Transformation
U^2 auf das erste Qubit die gewunschte:
R^ y () = e{^y =2
(5.39)
U^1B U^2 R^y ( )U^1 = R^ y ( )R^x (2 1 )R^ x (1 )R^ y ( )R^ x (1 ) = R^ x ( (2 1 )):
(5.40)
j01i = U^1B U^2R^y () j1i = R^x( (2 1 )) j1i :
(5.41)
85
j1i
j1i
Alice
j1i R^ ()
U^1
y
p1 (j0i + j1i)
2
j2i
U^2
Bob
M
j1i
?
U^iB
j01i
j02i
Abbildung 5.4: Probabilistische inverse unitare Transformation: Die unbekannte unitare
Transformation U^1 = R^x(1) kann von Bob invertiert werden. Bob erzeugt
aus den Zustanden j1 i = R^x(1 ) j1i und j2i = R^x(2 ) j1i den Zustand
j01 i = R^x( (2 1 )) j1i.
Falls bei der Bell-Messung ein Eigenwert gemessen wurde, der dem Vorliegen von j+i
entspricht, so wird nicht U^2 als Quantenprogramm ausgefuhrt sondern U^2 ^x (siehe Gleichung 5.30). Da beide Transformationen vertauschen
h
i
R^ x (); ^x = 0;
(5.42)
kann die ^x -Transformation auch nachtraglich mit U^2B = ^x R^y ( ) ruckgangig gemacht
werden:
U^2B U^2 ^x R^ y ( )U^1 = ^x R^ y ( )R^x (2 1 )R^ x (1 )^x R^y ( )R^ x (1 ) = R^ x ( (2 1 )): (5.43)
j01i = U^2B U^2 ^xR^y () j1i = R^x( (2 1 )) j1i :
(5.44)
Die restlichen Ausgange der Bell-Messung erzeugen Transformationen, die nicht mit den
Rotationen um die x-Achse kommutieren. Die Erfolgswahrscheinlichkeit, den Zustand j01i
herzustellen, betragt damit 1/2. Den Referenzzustand j2i kann Bob aus einem Hilfsbit oder
durch Weiterverwendung der Bell-Zustande auf den Qubits 1 und 2 generieren.
Durch Nutzung des zweiten Qubits als probabilistisches Quantenprogramm, ist es gelungen, die beiden Qubits auferlegte Rotation um 1 ruckgangig zu machen. Es handelt sich
also um eine spezielle probabilistische inverse unitare Transformation.
5.3.4 Kolineare und orthogonale Zustande
Das Schema nach Kapitel 5.3.3 lasst sich zur Unterscheidung von orthogonalen und kolinearen Zustanden verwenden. Alice wahlt aus den unendlich vielen Zustanden, die auf einem
Kreis auf der Blochkugel liegen, entweder zweimal den gleichen Zustand oder zwei Zustande,
die orthogonal zueinander stehen, aus und ubergibt diese beiden Zustande in Form von zwei
Qubits an Bob. Da
2 1 = 0
(5.45)
im Fall von kolinearen Zustanden ist und
j2 1 j = (5.46)
86
im Fall von orthogonalen Zustanden ist, liegt nach Anwendung der probabilistischen inversen
unitaren Transformation Bob der Zustand
j01i = j1i
(5.47)
bei kolinearen bzw.
j01i = j0i
(5.48)
bei orthogonalen Zustanden bis auf einen nicht messbaren globalen Phasenfaktor vor. Diese
Zustande konnen ohne Zweifel unterschieden werden (Kapitel 5.1). Die Erfolgswahrscheinlichkeit, die Falle kolinear und orthogonal zu unterscheiden, liegt daher bei 1/2.
Bob muss als a priori -Kenntnis wissen, da Alice nur orthogonale bzw. kolineare Zustande
prapariert, auerdem mussen sich beide Parteien uber die Lage einer Achse ihrer Koordinatensysteme einig werden (hier: x Achse). Die unitare Transformation um die x-Achse
kann auch als passive Rotation der Koordinatensysteme zueinander interpretiert werden
oder einfach als Unkenntnis eines reellen Winkelparameters bei der Festlegung der Koordinatensysteme.
5.3.5 Linear unabhangige Zustande
Wahlt Alice zwei linear unabhangige Zustande nach dem Schema aus Kapitel 5.3.3 mit
2 1 = 6= 0;
(5.49)
und schickt sie Bob, so muss Alice Bob auerdem nur noch den Winkel mitteilen, damit
er beide Zustande nach Kapitel 5.2 oder Kapitel 5.2.1 unterscheiden kann. Die Erfolgswahrscheinlichkeit nimmt dabei nur um den Faktor 1/2 ab. Fur das weitere a priori -Wissen gilt
das in Kapitel 5.3.4 gesagte.
Es ist erstaunlich, dass die Kenntnis des (gerichteten) Dierenzwinkels zwischen zwei
Zustanden auf einem Kreis im Blochbild ausreicht, um eine Unterscheidung beider Zustande
ohne Fehler (Bob wei immer, wann die Unterscheidung erfolgreich war und wann nicht) zu
ermoglichen.
87
88
6 Zusammenfassung
\The best way to predict the future was to invent it."
Steven Jobs, Mitgrunder von Apple Computer
Die Grenzen zwischen Berechnung und physikalischem Experiment verschwimmen bei
den betrachteten Messstrategien zusehends: Im Allgemeinen wird vor der Anwendung eines
Quanten-Algorithmus ein denierter Anfangszustand prapariert, der die Eingabedaten darstellt. Fur Messungen hingegen sind die Eingabedaten unbekannte Quantenzustande. Aber
auch hier ist die Sprache der Quanten-Informationsverarbeitung sinnvoll, wenn vor dem Auslesen der Messwerte Quanten-Rechenschritte ausgefuhrt werden. Die interessierende Groe
bei Quantenalgorithmen ist das unbekannte Rechenergebnis, bei Messungen ist es der unbekannte Zustand eines Quantensystems zu Beginn der Berechnung. Bis auf diese durch die
Pragmatik bestimmten und damit subjektiven Interpretationsdierenzen gibt es zwischen
Berechnung und physikalischem Experiment keine objektiv erkennbaren Unterschiede.
Mit Ausnahme der Schatzstrategie liegt bei allen neu vorgestellten Messstrategien die
RaÆnesse\
Messung in der verwendeten Quantentransformation. Es hat sich damit
"gezeigt, dass der
die "RaÆnesse\ der Messung in vielen Fallen eÆzient vom klassischen Bereich
auf die quantenmechanische
Ebene ubertragen werden kann. EÆzient in dem Sinne, dass
durch die Moglichkeiten der Manipulation des Quantensystems uber Quantenoperationen
die eigentliche Messung (auf lokalen, wenigen oder einem einzigen Messkanal) und Messergebnisberechnung vereinfacht wird, als auch in dem Sinne, dass die Anzahl der notwendigen
Messungen und Hilfssysteme gunstig skaliert.
Im Einzelnen wurden mehrere erweiterte Messstrategien diskutiert:
Insbesondere wurden
eine vereinfachte Messstrategie zur Schatzung von Spinzustanden, die weniger Berechnungen vom Experimentator verlangt { ohne an EÆzienz zu verlieren (Kapitel 3.6),
und
Strategien, die selbst bei beschrankter Kenntnis der beiden zu unterscheidenden Zustande eine Unterscheidung ohne Zweifel moglich machen, und dabei nur die Verwendung einer weiteren Kopie des betrachteten Quantensystems benotigen (Kapitel 5.3),
vorgestellt. Wahrend im ersten Fall an klassischer Berechnung gespart wird, wird im zweiten
Fall die Kopie des betrachteten Quantensystems als probabilistisches Quantenprogramm
interpretiert, das die klassische Unkenntnis uber die zu unterscheidenden Zustande in einem
reellen Parameter probabilistisch kompensiert.
Im neu vorgestellten Bild des Quantenmultiplexers konnten konstruktiv
der Wechsel des Messkanals und die Ersetzung von Messkanalen durch andere Messkanale ([1 !1]-Quantenmultiplexer; Kapitel 3.4.1)
89
Zustandsrekonstruktionsstrategien, die nur einen Messkanal, der nicht einmal vollstan-
dig bekannt sein muss, und die Anwendung allgemeinen unitarer Transformationen
benotigen ([Alles !1]-Quantenmultiplexer; Kapitel 3.4.2 und 3.4.3)
die Zustandsrekonstruktion an einem NMR-System (Kapitel 3.5) (daneben wurde noch
die eÆziente Herstellung von pseudo-reinen Zustanden diskutiert; Kapitel 3.5.2)
Zustandscharakterisierungsstrategien fur maximal verschrankte Zustande, die die gewunschten Parameter auf lokalen Messkanalen bereitstellen ([Nicht-lokal!lokal]-Quantenmultiplexer; Kapitel 4.1),
Strategien zur direkten Messung von interessierenden Maen unter Verwendung von
Hilfssystemen im Allgemeinen und am Beispiel zweier Verschrankungsmae (MaQuantenmultiplexer; Kapitel 4.2)
betrachtet werden.
Die Frage, ob auch fur Hilbertraume der Dimension groer als 3 ein minimales Quorum
aus Messoperatoren mit identischem, aber beliebig wahlbarem Eigenwertspektrum konstruierbar ist (Kapitel 3.4.2), bleibt hier noch unbeantwortet.
Auf einer grundsatzliche Ebene stellt sich die Frage nach der konsistenten Formulierung
des quantenmechanischen Messprozesses [59], der in dieser Arbeit { wie allgemein ublich {
nur axiomatisch vorausgesetzt wurde. Selbst nach hundert Jahren Quantentheorie kommt
man nicht umhin, bei der Beschreibung von experimentellen Aufbauten auf klassische Konzepte wie Messgerat, betrachtetes System und Beobachter zuruckzugreifen. Schon die bei
jeder Messung anfallende klassische Information, also das Schaen von Fakten durch physikalische Ereignisse gema vorgegebener Wahrscheinlichkeiten bzw. Wahrscheinlichkeitsamplituden, ergibt sich nicht uber die unitare Dynamik aus dem Quantenformalismus. Bevor
die Quantentheorie als fundamentale Theorie gelten kann, mussen solche Fragestellungen
innerhalb der Theorie geklart werden konnen.
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Mahler
Schumacher, Benjamin
Sharf,
Yahuda
Timothy
F.
Havel
David
G.
Cory
kora, Stanislav
Sy
Toffoli, Tommaso
Weigert, Stefan
Weigert,
Stefan
Wigner, Eugene P.
Wootters, William K.
Wootters, William K.
Zhang, Chuan-Wei
94
Wojciech H. Zurek
Zi-Yang Wang
Chuan-Feng Li
Guang-Can Guo
Abbildungsverzeichnis
1.1 Struktur einer Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Struktur eines physikalischen Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Struktur eines quantenphysikalischen Experiments: Gliederung in Praparationsund Berechnungsphasen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Quantenmultiplexer fur den Messkanalwechsel . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Quantenmultiplexer zur Zustandsrekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Quantenmultiplexer zur Zustandsrekonstruktion bei nicht vollstandig bekanntem Messkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Schritteschema des selbst-lernenden Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Information S (p1) bei zwei Messausgangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Auftragung der numerisch ermittelten Groe . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Verhaltnis der Treue der betrachteten Einzelmessungsstrategien zur Treue
der optimalen Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 [Nicht-lokal ! lokal]-Quantenmultiplexer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Verhalten allgemeinerer2-Spin-Zust
ande unter AV-Transformation:
2
Verschrankungsma Tr ^1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Verhalten allgemeinerer 2-Spin-Zustande unter AV-Transformation:
Verschrankungsma E (^) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Verhalten allgemeinerer 2-Spin-Zustande unter AV-Transformation:
Verschrankungsma (^) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Quantenmultiplexer zur direkten Messung eines Maes . . . . . . . . . . . .
4.6 Quantenaddierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Quantenaddierer als kontrollierte Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Quantenmultiplizierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 "Horizontale\ Berechnung von Mij2 auf quantenmechanischer Ebene. . . . . .
4.10 Berechnung von auf quantenmechanischer Ebene mit Einzelqubits als Hilfsysteme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 "Vertikale\ Berechnung von Mij2 auf quantenmechanischer Ebene . . . . . . .
4.12 Berechnung von auf quantenmechanischer Ebene mit eÆzientem Einsatz
der Qubit-Hilfssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Quanten-Teleportation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Quanten-Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Eingeschrankte Wahl der zu unterscheidenden Zustande . . . . . . . . . . . .
5.4 Probabilistische inverse unitare Transformation . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
25
27
33
47
49
51
52
55
67
68
68
69
71
72
73
74
75
76
77
82
83
85
86
95
Tabellenverzeichnis
1.1
1.2
1.3
3.1
96
Spezikation der behandelten Messstrategien, Rekonstruktion . . . . . .
Spezikation der behandelten Messstrategien, Charakterisierung . . . . .
Spezikation der behandelten Messstrategien, Unterscheidung . . . . . .
Auswirkung der Pulsprogramme auf die SU (2) SU (2)-Basisoperatoren
.
.
.
.
.
.
.
.
9
10
10
41
Abku
rzungsverzeichnis
Antipodisch verschrankt: AV-Unterraume sind Unterraume, in denen maximal verschrankte Zustande in minimal verschrankte Zustande und umgekehrt durch eine
unitare Transformation (AV-Transformation) (siehe Kapitel 4.1.1 und 4.1.2).
CNOT Controlled-NOT: Unitare Transformation, die auf zwei Qubits wirkt. Abhangig vom
ersten Qubit wird eine NOT-Operation (nicht) auf das zweite Qubit angewandt. Das
CNOT entspricht dem exclusiv-oder (XOR) in der booleschen Logik (das Kontrollqubit
muss erhalten bleiben, damit die Operation reversibel ist, daher zwei Ausgange im
Gegensatz zum XOR).
EPR Einstein-Podolsky-Rosen: Die Autoren eines Artikels [25] zur (Un)-Vollstandigkeit
der Quantentheorie, in dem durch Orts- und Impulsmessungen die nicht-lokale Wirkung des quantenmechanischen Messprozesses beschrieben wird: EPR-Paradoxon. Als
EPR-Zustand wird im allgemeinen ein Spin-Zustand (Bohmsche Formulierung des
EPR-Paradoxons) verstanden, der nur nicht-lokale Eigenschaften aufweist (siehe Kapitel 2.5.2).
EW Eigenwert; EW (A^): Menge der Eigenwerte des Operators A^.
FID Free induction decay (Freier Induktionszerfall): Induktionssignal, das in der Messspule eines NMR-Experiments durch die freie Prazession der Kernspins im statischen
Magnetfeld erzeugt wird. Durch Dekoharenzprozesse fallt das Signal ab (siehe Kapitel 3.5.1).
IDP Ivanovic-Dieks-Peres-Messung: Verallgemeinerte Messung, die die Unterscheidung zwischen nicht-orthogonalen Zustanden mit einer hoheren Wahrscheinlichkeit als mit Projektionsmessungen ermoglicht (siehe Kapitel 5.2.1).
LUT Lokale unitare Transformation: Im Gegensatz zu allgemeinen unitaren Transformationen lassen die lokalen unitaren Transformationen alle nicht-lokalen Eigenschaften
eines Quantensystems invariant (siehe Kapitel 2.5.3).
NMR Nuclear magnetic resonance (Magnetische Kernresonanz): Durch resonante elektromagnetische Felder (CW oder Pulse) im Radiobereich werden Kernspins in einem
Magnetfeld manipuliert (siehe Kapitel 3.5).
POVM Positive operator-valued Measure: positives operator-wertiges Ma. Denition siehe
Kapitel 2.6.1.
QADD Quantenaddierer (siehe Kapitel 4.2.1)
QMUL Quantenmultiplizierer (siehe Kapitel 4.2.2)
QMUX Quantenmultiplexer (siehe Kapitel 3.4)
AV
97
Generatoren der speziellen unitaren Gruppe in einem n-dimensionalen Hilbert-Raum
(siehe Kapitel 2.3).
SU(n)
98
Danksagung
Hilfreich bei der Erstellung meiner Diplomarbeit waren folgende Personen, denen ich dafur
meinen Dank aussprechen mochte:
Danken mochte ich
Prof. Dr. G. Mahler, der als kollegialer Betreuer dieser Arbeit Fuhrung gab, ohne einzuschranken,
Prof. Dr. G. Wunner fur die Aufnahme am Institut fur Theoretische Physik I,
Prof. Dr. A. Muramatsu fur die freundliche U bernahme des Mitberichts,
allen Mitarbeitern am Institut,
der Arbeitsgruppe, insbesondere fur anregende Montagsma(h)ler-Diskussionen und die gute
Zusammenarbeit: Jochen Gemmer, Dr. Claus Granzow, Martin Karremann, Dr. Ilki Kim,
Alexander Otte, Peter Pangritz, Marcus Stollsteimer und Thomas Wahl,
meinem Zimmergenossen Marcus Stollsteimer sowohl fur viele hilfreiche fachliche Gesprache
als auch dafur, dass er mir das (Tee)-Wasser reichen kann,
der Kaeerunde fur die kontroversen Diskussionen,
meinen Eltern Anneliese und Gerhard Tonner fur die mir gewahrte nanzielle und intellektuelle Freiheit, die fur die Dauer der Diplomarbeit eine HIWI-Tatigkeit ersparte, jedoch
nicht meinen Bucherkonsum drosselte
und schlielich meiner Freundin Carolin Roth fur das Korrekturlesen dieser Arbeit und
das Besondere im alltaglichen Leben.
99