Stochastische Erweiterungen von Prozess

Stochastische Erweiterungen von
Prozess-Algebra
Ziel : PA Kalkül soll
nichtfunktionale
(stochastische)
Zusammenhänge
wiedergeben
Motivation für stoch. Erweiterungen
l
Modellierung nichtfunktionaler Systemaspekte,
zB.:
–
–
–
–
Performance
Verlässlichkeit
Zugriffszeit
Fehlerwahrscheinlichkeit
1
Fallbeispiel: Signalübertragung
Gewöhnliches PA System :
SENDER
send. SENDER;
EMPF
receive.ok.EMPF
+
error.STÖRUNG
SYSTEM
SENDER || EMPF
Fallbeispiel: Signalübertragung
Gewöhnliches PA System :
Mögliches LTS :
S
send
SENDER
send. SENDER;
EMPF
receive.ok.EMPF
+
error.STÖRUNG
SYSTEM
SENDER || EMPF
ok
error
receive
2
Fallbeispiel: Signalübertragung
Gewöhnliches PA System :
S
send
SENDER
send. SENDER;
EMPF
receive.ok.EMPF
+
error.STÖRUNG
SYSTEM
SENDER || EMPF
ok
error
receive
Auswahl: nichtdeterm.!
Fallbeispiel: Signalübertragung
Mögliche stochastische Erweiterung:
S
Verfeinerung des
send
nichtdeterministischen
ok
error: p = 0.3
Modells
receive: p = 0.7
3
Fallbeispiel: Signalübertragung
Mögliche stochastische Erweiterung:
S
send
ok
error: p = 0.3
receive: p = 0.7
Vortragswegweiser:
1.A
1.B
Prozessalgebraische Grundlagen
Stochastische Grundlagen
2.
3.
4.
Einführung einer stochastischen PA
Stochastische Operatoren
Ausblick
4
1.A Prozessalgebraische Grundlagen
Das betrachtete Prozess Model:
l
Nichtdetermin. Markov decision process
Nichtdeterm.
Transitionen
erlaubt
Kein
Gedächtnis
Dargestellt als
LTS
(Labled Transition
System)
1.A Prozessalgebraische Grundlagen
Das betrachtete Prozess Model:
l
LTS Beispiel: > einfaches IO System <
S
in
return
return
out
Labled
transition
error
state
5
1.A Prozessalgebraische Grundlagen
Das betrachtete Prozess Model:
l
l
Bekannte PA Syntax.
Folgende Operatoren
–
–
–
–
–
l
NIL
A := B
a.A
A+B
A || B
: Terminales Token
: Relabel
: Aktion in Präfix Not.
: nichtdet. Alternative
: Paralleloperator
SOS Regeln wie gehabt.
1.B Stochastische Grundlagen
Einige stochastische Grundlagen
l
Def: Wahrscheinlichkeitsverteilung (WSV)
–
l
Abb über endl. Menge S : π:S
Abb über endl. Menge S : π:S
R | ∀s∈S : π(s) > 0
Menge aller s ∈ S : π(s) > 0
Def: Dist(S)
–
l
π(s) = 1
Def: Support(π)
–
l
s∈S
Def: Gewichtung
–
l
[0,1] |
Menge aller denkbaren Distributionen über S
Def: π x ρ , Kreuzprod. von Verteilungen über S x S‘
–
σ π x ρ => ∀<s,s‘> ∈SxS‘ : σ(<s,s‘>) = π(s) * ρ(s‘)
Wahrscheinlichkeit von <s,s‘>
6
1.B Stochastische Grundlagen
Einige stochastische Grundlagen(2)
l
Gleichheit zwischen
nichtstochastischen LTS:
l
Definiert über
Relationen auf
Zuständen ∈ S
Gleichheit zwischen
stochastischen LTS:
Definiert über
Relation auf
Zuständen
& Verteilungen
vgl. Bi-/Simulation etc.
1.B Stochastische Grundlagen
Einige stochastische Grundlagen(2)
l
Gleichheit zwischen
nichtstochastischen LTS:
Definiert über
Relationen auf
Zuständen ∈ S
vgl. Bi-/Simulation etc.
l
Gleichheit zwischen
stochastischen LTS:
Definiert über
Relation auf
Zuständen
& Verteilungen
Problem: wie „spielen“ Zustandsrel. &Verteilungsrel. zusammen ?
7
1.B Stochastische Grundlagen
Einige stochastische Grundlagen(3)
l
Problem : (Gleichheit von stoch. Prozessen)
wie Zusammenhang zw. Zuständen &
Verteilungen herstellen ?
l
Problemlösung: (Lifting)
–
wir definieren: Sei
S, Menge an Prozess-Zuständen
≈ ⊆ S x S , Äquivalenzrel. über S
π, ρ∈ Dist(S), Verteilungen über S
l
l
l
so gelte:
π ≈* ρ :⇔ π([s]) = ρ ([s]) ∀ Äquivalenzkl. [s] ∈ S bzgl. ≈
1.B Stochastische Grundlagen
Einige stochastische Grundlagen(4)
l
Beispiel (zu Lifting) :
Prozess P
Prozess Q
A
A
B
B
B
B
C
D
C
C
P ≈
Gleichheit
D
Q :⇔ Alle Zustände von P & S stehen in einer „gewissen“
Relation. Vgl. Trace,Failure,Simulation,etc
8
1.B Stochastische Grundlagen
Einige stochastische Grundlagen(4)
l
Beispiel (zu Lifting) : >im stochastischen Fall<
Prozess P
Prozess Q
A
A
p = 0.3
p = 0.7
B
B
B
B
C
D
C
C
P ≈
Gleichheit
p = 0.4
p = 0.6
D
Q :⇔ Alle Zustände von P & S stehen in einer „gewissen“
Relation. & jeweiligen Verteilungen haben gleiche
WS für äquivalente Zustände
2. Einführung einer stochastischen PA
Einführung einer stochastischen PA
9
2. Einführung einer stochastischen PA
Einführung einer stochastischen PA
l
Def: PTS (Probabilistic Transition System)
–
Sei Act, Menge Aktionen
S, Menge Zustände
(S, , π ) ist PTS, wobei :
0
l
l
l
⊆ S x Act x Dist(S) endl. Transitionsrel.
π Anfangsverteilung
0
Notation : Sei s ∈S
–
s a π
⇔
(s,a, π) ∈
2. Einführung einer stochastischen PA
Einführung einer stochastischen PA
l
Beispiel für PTS: >stochastisches I/O System<
S
in
error
out
0.8
0.2
bedeutet (Zustands)Übergang
bedeutet Verteilung
in,out error ∈ Act
10
2. Einführung einer stochastischen PA
Bemerkungen zu unserer PA
l
Es gibt verschiedene PTS Modelle
–
Klasse der reactive Modelle
l
–
Ein Zustand hat für jede Aktion nur höchstens eine
Verteilung
Entspricht unserem Model
Klasse der generative Modelle
l
Sowohl die WS eines Übergangs, als auch
wer Folgezustand ist, hängt von Verteilung ab.
3. Stochastische Operatoren
Stochastische Operatoren
11
3. Stochastische Operatoren
Stochastische Operatoren
l
Ausgangspunkt :
beliebige, nichtstoch. PA
l
Ziel:
Erweiterung um stoch. Merkmale ohne
Beinträchtigung des Kalküls
l
Methode:
Syntaxerweiterung mit „intern arbeitenden“ stoch.
Operator
3. Stochastische Operatoren
Charakterisierung von Operatoren
l
Allgemeine Charakterisierung eines n-ären
Operators : (Simone – Format)
–
Seien p1,..., pn,...,qi1,...,qi1 ∀ versch. Prozessvariablen
a ,..., a Aktionen
a
pi1
qi1 ... pi1 a qi1
charakterisiert die Op.
a
op(p1,..., pn)
t
t, linearer Term in p1,..., pn ,ohne die aktiven
Argumente (über dem Bruch).
Vgl.: SOS Semantik
1
k
1
k
k
–
12
3. Stochastische Operatoren
Stochastische Operatoren
l
Erweiterung gewöhnlicher PA Syntax um
stochastischen Op. + p , mit 0 ≤ p ≤ 1
–
Definition: seien E,F Verteilungen
Der Term E + p F beschreibt Verteilung, die ∀s
die WS. p * E(s) + (1-p) * F(s) zuordnet
Ex. nun 2 Typen von Terme:
l
l
Solche die Verteilungen bedeuten
Solche die Zustände bedeuten
Bilden
neue PA
3. Stochastische Operatoren
Stochastische Operatoren
l
Induktive Def. von PA Termen,die Verteilungen
bedeuten : (t1,...,tn Prozessvariablen)
A:
I:
l
E + pF
ist Verteilung
op(t1,...,tn) ist Verteilung ⇔ min. 1 inital
aktives ti eine
Verteilung ist
Anders ausgedrückt:
op(t1,...,tn) ist Zustand, wenn alle initalen ti Zustände
13
3. Stochastische Operatoren
Stochastische Operatoren
l
Folgerung:
–
–
Sei op(t1,..., ti1,...,tik,...,tn) ein Prozessterm so, dass:
alle initial aktiven tij Verteilungen [|tij|] sind
op(t1,..., ti1,...,tik,...,tn) ordnet dem Zustand
op(t1,...,si1,...,sik,...,tn) die WS. [|ti1|](si1) *...* [|tik|](sik)
zu.
3. Stochastische Operatoren
Stochastische Operatoren
l
Folgerung:
–
–
Sei op(t1,..., ti1,...,tik,...,tn) ein Prozessterm so, dass:
alle initial aktiven tij Verteilungen [|tij|] sind
op(t1,..., ti1,...,tik,...,tn) ordnet dem Zustand
op(t1,...,si1,...,sik,...,tn) die WS. [|ti1|](si1) *...* [|tik|](sik)
zu.
si1,...,sik erhält man durch ersetzen der
Verteilungen ti1 ,..., tik durch die von diesen
„verteilten“ Zustände!
14
3. Stochastische Operatoren
Stochastische Operatoren
l
Beispiel
–
Stochastischer Prozessterm : (a + 0.3 b) + (c +
(a + 0.3 b) + (c + 0.4 d)
0.12
a+c
a
c
0.18
0.28
0.4
d)
Beachte:
0.42
a+d b+c
b+d
+ ist nichtdeterm.
a
b
Alternative
d
b
c
d
σ(„a + d“) = 0.18 = 0.3 * (1- 0.4 )
4. Ausblick
Ausblick auf den 2. Teil
l
l
l
Wie müssen Bi-/Simulations-Äquivalenz
angepasst werden, damit auch in stoch. PA
sinvoll einsezbar ?
Wie ermöglicht Kongruenz der Äquivalenzen
bzgl. Modularität modulares Beweisen auf
stoch. PA?
Stoch. Erweiterung einer modalen Logik
15