5 Rückgekoppelte Systeme

Prof. Dr. M. Schubert
FH Regensburg
5 Rückgekoppelte Systeme
5.1 Das Prinzip der linearen Rückkopplung
5.1.1 System mit differentiellem Eingang
(a)
x(s)
ε(s)
A(s)
(b)
y(s)
xk(s)
Uip
Uin
Uim
Av
Uout
Z2
Z1
k(s)
Bild 5.1.1: (a) Prinzipieller Aufbau des Regelkreises mit differentiellem Eingang,
(b) Beispiel: Als Nicht-Invertierer beschalteter OP.
Bild 5.1.1(a) zeigt ein Regelsystem mit differentiellem Eingang, Bild 5.1.1(b) ein dazu
passendes Beispiel in Form eines als Nicht-Invertierer beschalteten OPs. Tabelle 5.1.1 zeigt
die Entsprechungen zwischen Bildteil (a) und (b).
Tabelle 5.1.1: Entsprechungen der Größen in Bild 5.1.1 (a) und (b)
Regelgröße
x
xk
y
ε
A
k
*
A , STF
entsprechende Größe im elektrischen Schaltkreis
Uip
Uim
Uout
Uin
AV
Z1 / (Z1 + Z2)
Gesamtverhalten des Systems (, engl. STF: Signal Transfer Function)
Es sei A* das Verhalten des linearen rückgekoppelten Regelkreises, so dass y = A* x . Zur
Berechnung von A* gehen wir von folgenden 3 Gleichungen aus:
(1) y = εA ,
(2) ε = x − x k ,
(3) x k = ky
Daraus folgt
y = εA = ( x − x k ) A = ( x − ky ) A = Ax − kAy => y =
A
Ax
=: STF
= A* x mit A* =
1 + kA
1 + kA
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Dieses A* wird in der Literatur oft auch als Signal Transfer Fuction oder kurz STF
bezeichnet. Für | kA |>> 1 kann man abschätzen 1 + kA ≅ kA . Dann gilt
STF = A* =
1
A
kA| >>1
⎯|⎯
⎯→ ,
k
1 + kA
(5.1)
Häufig wird als Bedingung für diese Gleichung einfach ein sehr großes |A(s)| genannt, was
jedoch unrichtig ist, wenn k=0. Dies lässt sich z.B. in Bild 5.1.1.-1(b) durch Z1=0 und
entfernen von Z2 sehr leicht erreichen. In Bild 5.1.1(b) gilt
k(s) =
Z1
Z1 + Z 2
Uout = U out ≅
Z + Z2
1
U ip = 1
U ip
k ( s)
Z1
kA| >>1
⎯→ 0 . Daraus leitet sich der
In jedem Falle gilt für großes |A| ε ( s ) = x( s ) − x k ( s ) ⎯|⎯
sogenannte „virtuelle Kurzschluss“ ab, den wir zwischen den Eingangsklemmen des OPs
finden.
Definitionen: Es ist kA oder genauer k(s)A(s) die offene Schleifenverstärkung und
p=1+kA der Rückkopplungsgrad, weil die Verstärkung von A auf A* um den Faktor p
reduziert wird.
Stabilität:
Damit eine Schwingung in einem rückgekoppelten System im Kreis laufen und sich dabei selbst erhalten kann,
muss die Welle auf dem Weg durch k und A um –360° verzögert werden. Dieses System misst seine
Phasenreserve gegen –180° (zwischen Eingangssignal und Ausgangssignal), da die restlichen
–180° Phasendrehung durch das negative Vorzeichen vor xk am Summationspunkt geliefert
werden (ε=x-xk).
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5.1.2 System mit summierendem Eingang
5.1.2.1 Mathematische Herleitung
(a)
(b)
ε(s)
x(s)
A(s)
y(s)
AZ
Uin
xk(s)
Iin
k(s)
I1
Zk
U2
Ik
Bild 5.1.2.1-1: (a) Prinzipieller Aufbau des Regelkreises mit summierendem Eingang,
(b) Beispiel: Als Invertierer beschalteter OP.
Bild 5.1.2.1-1(a) zeigt ein Regelsystem mit summierendem Eingang, Bild 5.1.2.1-1(b) ein
dazu passendes Beispiel in Form eines als Invertierers beschalteten OPs. Tabelle 5.1.2.1 zeigt
die Entsprechungen zwischen Bildteil (a) und (b).
Tabelle 5.1.2.1: Entsprechungen der Größen in Bild 5.1.2.1-1(a) und (b)
Reglergröße
x
xk
y
ε
A
k
A*
entsprechende Größe im elektrischen Schaltkreis
I1
Ik
U2
Iin ( = Uin / Zin )
AZ ( = AV Zin )
1/Zk
-> -1/k = -Zk
Es sei A* das Verhalten des linearen rückgekoppelten Regelkreises, so dass y = A* x . Zur
Berechnung von A* gehen wir von folgenden 3 Gleichungen aus:
(1) y = εA ,
(2) ε = x + xk ,
(3) x k = ky
Daraus folgt y = εA = ( x + x k ) A = ( x + ky ) A = Ax + kAy => y =
STF = A* =
A
1
kA| >>1
⎯|⎯
⎯→ − ,
k
1 − kA
Ax
= A* x , also
1 − kA
(5.2)
Der Unterschied zur Gleichung des Regelsystems mit differentiellem Eingang besteht in
einem Minuszeichen. Die Phasenreserve wird jetzt gegen –360° bzw. gegen 0° gemessen.
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Da wir am Eingang Ströme summieren, muss das Vorwärtsnetzwerk einen Strom Iin=I1+Ik in
eines Spannung U2 umsetzen und Folglich mit AZ=Uout/Iε die Dimension einer Impedanz
haben, so dass man es auch als Transimpedanzverstärker bezeichnet. Der Term 1+kA zeigt,
dass das Produkt kA dimensionslos sein muss. Ist AZ also eine Impedanz, dann muss k ein
Leitwert sein, in diesem Falle ist k=1/Zk.
Da man in der Regel Operationsverstärkern arbeitet, die eine Eingangsspannung Uin statt
eines Eingangsstromes Iin verarbeiten, kann man mit
Uin = Zin⋅Iin umrechnen in
Uout = AZ Iin = AZ Uin/Zin, so dass gilt: AV=AZ/Zin und kV=k⋅Zin, da der Term k⋅AZ=kVAV
unverändert und somit auch dimensionslos bleiben muss.
Aus den Gleichungen und Bild 5.1.2.1-1(a) ist ersichtlich, dass die Schleife um stabil zu
bleiben nun eine Negation enthalten muss, sei es im Vorwärtsnetzwerk oder im
Rückkopplungsnetzwerk. Bild 5.1.2.1-1(b) benutzt zu diesem Zwecke den invertierenden
Eingang des OPs, so dass hier das Vorwärtsnetzwerk die Inversion enthält.
Die Schaltung mit summierendem Eingang hat zwei wesentliche Vorteile:
•
Der Invertierer führt zu einfacheren Übertragungsfunktionen als der Nicht-Invertierer.
•
Summieren kann man beliebig viele Eingänge, während ein differentieller Eingang nur
die Differenz von exakt zwei Größen bilden kann.
(a)
I1
(b)
AV
I2
I3
I4
AZ
0V
0V
Isum
Zk
Uout
AZ
0V
U1
R1
U2
R2
U3
R3
0V
U4
R4
Isum
AV
Zk
Uout
Bild 5.1.2.1-2: (a) Stromgesteuerter Regelkreise mit summierendem Eingang,
(b) Vorgeschaltete Leitwerte als Spannungs/Strom-Wandler erzielen Spannungssteuerung.
Bild 5.1.2.1-2(a) zeigt den als Invertierer geschalteten OP mit Summationspunkt für mehrere
Eingangsströme. Da man in der Praxis bevorzugt allein mit Spannungen arbeitet, zeigt
Bildteil (b) wie man durch Vorschalten von Leitwerten leicht auf Spannungssteuerung
umschalten kann. Allerdings liegen die Leitwerte Gi in Serie mit den Ausgangswiderständen
der Spannungsquellen Ui, die hinreichend niederohmig sein müssen, um unerwünschte
Spannungsteilereffekte zu vermeiden.
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5.1.2.2 Auswahl des Referenzpotentials
(a)
(b)
UB
U1
R1
U2
R2
U3
R3
UB
U4
R4
Isum
AV
Uout
Zk
0V
U'1
R1
U'2
R2
U'3
R3
0V
U'4
R4
Isum
AV
U'out
Zk
Bild 5.1.2.2: Summenpunkt des OPs (a) auf Spannung UB und (b) auf Spannung U'B=0V.
Die Berechnung des Operationsverstärkers in Bild 5.12.2(a) vereinfacht sich erheblich, wenn
man mit UB=0V rechnen kann. Daher führen wir ein gestrichenes Spannungssystem U'=U-UB
ein, erhalten U'B=0V und berechnen die Schaltung im gestrichenen Spannungssystem. Bei
Bedarf kann mit U=U'+UB in das ungestrichene System zurücktransformiert werden. Bild
5.12.2(b) zeigt die Schaltung aus Bildteil (a) mit Spannungen im gestrichenen System.
Umrechnungen:
U' = U - UB
Ù
U = U' + UB .
(5.3)
Die Ströme durch die Eingangswiderstände ergeben sich zu Ii=(Ui-UB)/Ri=U'i/Ri, i=1..4.
Die Ausgangsspannung der Schaltung in Bild 5.1.2.2 erhält man zu
'
U out
= − Z k I sum = − Z k ∑ I i = ∑ −
i
i
Zk '
Z
U i = ∑ − k U i'
Ri
Ri
i
(5.4)
Die Realisierung in Bildteil (a) muss nicht elektrisch sein, man könnte auch digital arbeiten,
Wasser oder Gasströme summieren.
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5.1.2.3 Signalfluß-Modell für den Summierer
(a)
(b)
(c)
0V
U'1
R1
U'1
-c1
U'2
R2
U'2
-c2
U'3
R3
U'n
-cn
Rk
U'4
R4
U'out
U'out
U'1
-c1
U'2
-c2
U'n
-cn
Σ
U'out
Bild 5.1.2.3: Summierer (a) mögliche Realisierung, (b,c) allgemeine Signalflussmodelle.
Ist die Impedanz im Rückkopplungszweig resistiv, also Zk=Rk, dann liefert Gleichung (5.4)
'
U out
= − Z k I sum = ∑ −
i
Rk '
U i = ∑ − ciU i'
Ri
i
mit ci =
Rk
Ri
(5.5)
Die dimensionslosen Konstanten ci wurden so gewählt, dass ihr Wert immer positiv und ein
negatives daher Vorzeichen im Schaltbild klar ersichtlich ist. Für den Spezialfall mit nur
einem Eingang ergibt sich ein invertierender Verstärker, auch Proportionalglied genannt.
5.1.2.4 Signalfluß-Modell für den summierenden Integrierer
(a)
(b)
(c)
0V
U'1
R1
U'1
-ω1
U'2
R2
U'2
-ω2
U'3
R3
U'4
R4
U'n
-ωn
Ck
U'out
1 U'out
s
U'1
-ω1
U'2
-ω2
U'n
-ωn
U'out
Bild 5.1.2.4: Integrator (a) mögliche Realisierung, (b,c) allgemeine Signalflussmodelle.
Ist Zk=1/sCk, dann liefert Gleichung (5.4)
'
U out
= − Z k I sum = ∑ −
i
ω
1
U i' = ∑ − i U i'
s
sC k Ri
i
mit ωi =
1
Ri C k
(5.6)
Die Kreisfrequenzen ωi wurden so gewählt, dass ihr Wert immer positiv und ein negatives
Vorzeichen daher im Schaltbild klar ersichtlich ist. Vorsicht: In zeitdiskreten (z.B. digitalen)
Systemen wird das Integral zur Summe und Σ symbolisiert dort oft eine Integration!
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5.1.2.5 Anwendung 1: Rückgekoppeltes System 1. Ordnung mit Integrator
(a)
OP1
0V
U'in
C1
R1
(b)
(c)
U'in -ω1
U'in
U'out1
Rk1
1
s
U'out
-ω1
U'out
-ωk1
-ωk1
Bild 5.1.2.5: (a) Spannungsgesteuerter Regelkreis mit Summation am Eingang,
(b) die selbe Funktion im Signalflussdiagramm mit ω1=1/R1C1 und ωk1=1/ Rk1C1,
(c) die selbe Funktionalität mit Kompaktsymbol für den summierenden Integrator.
Um die Schaltung in Bild 5.1.2.5(a) zu berechnen, betrachten wir gemäß Bildteil (b) als
Vorwärtsnetzwerk A1(s)=1/s und als Rückkopplungsnetzwerk k1=-ωk1=-1/Rk1C1. Die gesamte
Schleife muß mit dem Faktor –ω1=-1/R1C1 skaliert werden. Da dieser vor dem Summenpunkt
steht, darf er nicht in das Vorwärtsnetzwerk A1(s) einbezogen werden.
H 1 ( s ) = −ω 2
A1
ω1 / s
ω1
1/ s
= −ω1
=−
=−
1 − k1 A1
1 − (−ω k1 )(1 / s )
1 + (ω k1 / s )
s + ωk1
Setzt man ω1=1/R1C1 und ωk1=1/Rk1C1 ein erhält man für die Signal-Transfer-Funktion
STF1 = H 1 ( s ) = −
R
1
ω1
= − k1 ⋅
s + ω k1
R1 1 + sRk1C1
Die Verstärkung für s=0 ist offensichtlich – ω1/ωk1=-Rk1/R1. Als Polfrequenz erhält man
ωk1=1/Rk1C1.
Überprüfung des Resultats: In diesem Fall war der Formalismus etwas umständlich, denn
das gleiche Resultat hätte man erreichen können mit Z1=Rk1||C1 und H 1 ( s ) = − Z1 / R1 .
Weniger intuitiv liegen die Dinge wenn wir uns dem System 2. Ordnung zuwenden.
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5.1.2.6 Anwendung 2: Rückgekoppeltes System 2. Ordnung mit 2 Integratoren
(a)
OP2
0V
OP1
0V
Uerr2
Uerr1
C2
R2
U'in
U'out2
Rk2
C1
R1
U'out1
Rk1
-1
(b)
(c)
U'in -ω2
U'in
1
s
H1(s)
U'out2
-ω2
+ωk2
H1(s)
U'out1
ωk2
Bild 5.1.2.6: (a) Regelkreis 2. Ordnung mit Summation am Eingang, H 1 ( s ) wie oben,
(b) die selbe Funktion im Signalflussdiagramm mit ω2=1/R2C2 und ωk2=1/Rk2C2, Uerr,x=0,
(c) die selbe Funktionalität wie in (b) mit Kompaktsymbol für summierenden Integrator.
Bei Uerr2=Uerr1=0V in Bild 5.1.2.6(a) sowie H2(s)=1/s und ω2=1/R2C2 und ωk2=1/Rk2C2 ergibt
sich ein
1 − ω1
− ω1
gesamtes Vorwärtsnetzwerk A( s ) = H 2 ( s ) ⋅ H1 ( s ) = ⋅
=
.
s s + ωk1 s ( s + ωk1 )
Das Rückkopplungsnetzwerk ist k=ωk2. Zudem gibt es einen Faktor –ω2 vor der Schleife. Da
beide Schaltungsblöcke invertieren sind beide Blöcke in Serie nicht-invertierend. Positive
Rückkopplung ist nicht stabil, um wieder Gegenkopplung zu erhalten benötigen wir den
Faktor –1 im Rückkopplungsnetzwerk. Diese Negation kostet uns im analogen Netzwerk
einen eigenen OP. Bei Netzwerken mit digitalem Anteil (z.B. ΔΣ-Modulator, SwitchedCapacitor-Schaltungen) kann die Negation auf der digitalen Seite stattfinden. Für
Bild 5.1.2.6(b), einer umgeformten Version des Bildteils (a), erhalten wir für die SignalTransfer-Funktion
− ω1
s( s + ω k1 )
R
ω1ω 2
ω
A( s )
→0
STF2 ( s ) = −ω 2 ⋅
= −ω2 ⋅
= 2
⎯s⎯
⎯→ 2 = k 2
1 − kA( s )
ω k 2 R2
⎛ − ω1 ⎞ s + ωk 1s + ω1ω k 2
⎟⎟
1 − (ωk 2 ) ⋅ ⎜⎜
⎝ s( s + ωk1 ) ⎠
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Normalform d. Systems 2. Ordnung: STF2, generell =
A
A0ω02
s
.
= 2 0
mit s ' =
2
2
s + 2ds + ω0
ω0
s ' +2 Ds '+1
Vergleicht man die generelle Normalform mit der speziellen Lösung für diese Schaltung
erhält man Tabelle 5.1.2.6.
Tabelle 5.1.2.6: (a) allgem. Modell 2. Ordnung, (b) Verhalten der Schaltung in Bild 5.1.2.6.
(a) Allgemeines Modell 2. Ordnung
STF2, generell =
s' =
s
ω0
A0ω02
A
= 2 0
2
2
s + 2ds + ω0 s ' +2 Ds'+1
: normierte Kreisfrequenz
A0 : Verstärkung in ω=0,
d : Dämpfung / Zeit,
D=
d
ω0
(b) Spezielles Verhalten von Bild 5.1.2.6
STF2, speziell =
Ao =
Rk 2
,
R2
ωi =
1
,
Ri C i
Dimension: 1/Zeit
U out1 ( s )
ω1ω2
= 2
U in ( s ) s + ω k1 s + ω1ω k 2
ω ki =
Dämpfung/Schwingung, dimensionslos ωo = ω1ω k 2 =
ω0 : Eckfrequenz der Asymptoten: s'=s/ω0
d=
Pole des Systems 2. Ordnung:
⎪⎧ω − D ± D 2 − 1 wenn D ≥ 1
s p1, 2 = ⎨ 0
⎪⎩ω 0 − D ± 1 − D 2 wenn D < 1
D=
(
(
)
)
ω k1
2
d
ω0
1
,
Rki C i
(i=1,2)
1
Ù fo =
R1C1 Rk 2 C 2
=
1
2 Rk1C1
=
R1 Rk 2
ω k1
=
2ω0
2 Rk1
f1 f k 2
C2
C1
Die Verstärkung A0=A(f=0) des Gesamtsystems lässt sich mittels A0=Rk2/R2 einstellen.
Danach kann man mit ω0 den gewünschten Schnittpunkt der Asymptoten definieren, womit
das Produnkt ω1⋅ωk2 festgelegt ist. Die Stabilität des Systems kann dann mit der Dämpfungskonstanten D über ωk1 mit Rk1 eingestellt werden (Butterworth: D = 1 / 2 ).
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5.2 Fehlerunterdrückung durch Rückkopplung
(a)
(b)
xerr
x
A
xk
2
xerr,ges =
aerr
y
x
2
2
2
xerr + kerr + (aerr/A)
A
y
xk
kerr
k
k
Bild 5.2-1: Regelschleife (a) mit Rauschquellen, (b) alle Rauschquellen zu einem
äquivalenten Eingangsrauschen umgerechnet.
Bild 5.2-1(a) zeigt eine Schleife mit drei Fehlerquellen: xerr (z.B. Offset), yerr und xk,err,
welches Nichtidealitäten des Rückkopplungsnetzwerkes modelliert. Wie im Bildteil (b)
gezeigt, addieren sich xerr – xk,err im Summationspunkt, dazu kommt yerr/A.
Bei korrelierten Größen addieren wir Spannungen bzw. Ströme, diese können sich verstärken
oder gegenseitig aufheben. Unkorrelierte (also völlig unabhängige) Größen addieren sich in
der Leistung, so dass wir Ströme und Spannungen vor der Summation quadrieren müssen.
Gegenseitige Aufhebung von Rauschsignalen ist daher nicht möglich.
Als gesamten, äquivalenten Eingangsfehler im Zeitbereich erhalten wir für Bild 5.2-1
xerr , ges (t ) = xerr (t ) − k err (t ) + y err (t ) / A .
Addieren sich die verschiedenen Fehler korreliert, dann summieren sie sich in der Amplitude,
addieren sie sich unkorreliert (d.h. ohne gegensietige Abhängigkeiten), dann summieren sie
sich in der Leistung. In diesem Fall addiert man die Quadrate ihrer zeitlichen Mittelwerte
(bzw. ihrer Effektivwerte bei Spannungen):
2
2
2
2
2
xerr
, ges = x err + k err + a err / A
Der gesamte Fehler xerr,ges wird dann zum Eingangssignal addiert und wie dieses mit A*
verstärkt.
Fehler Xerr im Eingang eines Systems kann durch Rückkopplung nicht gedämpft werden.
Beispiel: ein Offset im Eingang des OPs wird zum Eingangssignal addiert und mit A*
verstärkt.
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Fehler kerr im Rückkopplungsnetzwerk eines Systems kann durch Rückkopplung nicht
gedämpft werden. Beispiel: Ein mit den Widerständen R1, R2 beschalteter OP hoher
Verstärkung habe die Übertragungsfunktion H(s)=(R1+R2)/R1. Toleranzen in den
Widerständen werden durch hohe Verstärkung nicht ausgeglichen.
Fehler aerr im Vorwärtsnetzwerk eines Systems können durch Rückkopplung stark
gedämpft werden, wenn das Netzwerk A eine hohe Verstärkung aufweist. Denn bei der
Umrechnung in einen äquivalenten Eingangsfehler wird durch A geteilt:
aerr ,in ,equiv =
a err
A
Der Gesamtfehler yerr nach dem Abgriff des Rückkopplungsnetzwerks, den der Fehler aerr vor
dem Abgriff des Rückkopplungsnetzwerks verursacht, lässt sich also berechnen zu
y err = a err ,in ,equiv ⋅ A* =
a err
a
a
A
⋅
= err =: err = NTF ⋅ aerr
A 1 + kA 1 + kA
p
yerr = NTF ⋅ aerr
Der Fehler aerr vor dem Abgriff der Rückkoplung wird mit der „Noise Transfer Function“
NTF übertragen. Man beachte: aerr wird dem gleichen Rückkopplungsgrad p=(1+kA)=1/NTF
gedämpft, wie die Leerlaufverstärkung A bei der Berechnung von A*=A/(1+kA)=A·NTF.
(a)
(b)
aerr
x
A
yerr
y
x
A
y
xk
k
k
Bild 5.2-2: Regelschleife (a) mit Fehlerquelle vor dem Abgriff des RK-Netzwerkes,
(b) Fehler aerr umgerechnet in einen äquivalenten Ausgangsfehler yerr = aerr/(1+kA).
Die NTF beschreibt, wie sich der Fehler aerr vor dem Abgriff der Rückkopplung nach diesem
Abgriff bemerkbar macht.
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(a)
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(b)
(c)
un,out
AV
AV
un,in,equiv
AV
Bild 5.2-3: (a) Rauschender Verstärker, (b) rauschfreier Verstärker, Ausgangs-Rauschleistung zusammengefasst in äquivalenter Ausgangsrauschquelle, (c) rauschfreier
Verstärker, gesamte Rauschleistung zusammengefasst in äquiv. Eingangsrauschquelle.
Handelt es sich wie in Bild 5.2-3(a) um ein Netzwerk aus vielen rauschenden Bauelementen
(z.B. Widerständen), dann summiert man alle Rauschquellen zu einem gesamten mittleren
Ausgangsrauschen u n ,out auf. Dieses Ausgangsrauschen kann simuliert oder gemessen
werden.
Man behandelt dann gemäß Bild 5.2-3(b) den rauschfreien Verstärker und eine äquivalente
Rauschspannungsquelle u n ,out als zwei getrennte Schaltungselemente.
Diese Quelle lässt sich gemäß Bild 5.2-3(c) in eine äquivalente Eingangsrauschquelle
u n ,in ,equiv = u n ,out / AV umrechnen. Dieses äquivalente Eingangsrauschen kann de Facto nicht
gemessen werden, da es so nicht existiert. Aber es kann wie ein Eingangssignal zu dieser
Baugruppe behandelt werden. Bauen wir diesen Verstärker nun in eine line Regelschleife mit
Rückkopplungsnetzwerk k ein, dann wird das äquivalente Eingangsrauschen genauso
verstärkt wie jedes andere Signal auch und am Ausgang erscheint der Fehler
*
= un ,in ,equiv ⋅ A* =
uerr
u n ,out
u
u
A
⋅
= n ,out = n ,out = NTF ⋅ u n ,out
A 1 + kA 1 + kA
p
mit dem Rückkopplungsgrag p=1+kA oder p=1/NTF.
1
*
= NTF ⋅ u n ,out .
NTF =
und uerr
1 + kA
Die NTF beschreibt, wie sich der Fehler u n ,out vor dem Abgriff der Rückkopplung nach
diesem Abgriff bemerkbar macht.
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5.3 Stabilität rückgekoppelter Systeme
5.3.1 Stabilitätsbetrachtungen an der offenen Schleife
Zur Untersuchung der offenen Schleifenverstärkung arbeiten wir mit der Transitfrequenz fT.
In fT bzw. ωT ist
|k(jωT)A(jωT)|=1 bzw. 0dB.
(5.3-1)
In der angelsächsischen Literatur findet man oft auch die Bezeichnung « cross-over
frequency « weil in dieser die 0dB-Achse geschnitten wird.
Als Phasenreserve oder Phasenrand ϕR (engl.: phase margin) bezeichnet man den Abstand der
Phase von kA von –180°:
ϕR = Phase{k(jωT)A(jωT)} + 180°
(5.3-2)
Als Faustregel wird für die Stabilität eine Phasenreserve von ϕR ≥ 45 (bisweilen auch 60°)
gefordert. Wenn der unvermeidliche erste Pol eine Phasendrehung von –90° verursacht,
bleiben –45° Phasendrehung durch den 2. Pol, um eine Phasenreserve von 45° zu erhalten.
(a)
ohne
Komp.
kA
80
Einstellung einer stabilen
Regelung durch Frequenzkompensation mittels BodeDiagramm
auf
eine
Phasenreserve von φR≥45°:
(b) Phasengang ohne und
mit Kompensation.
A0
120
Bild 5.3.1:
(a) Amplitudengang ohne
und mit Kompensation,
fp1
Av/ dB
fp2
Resonanz
ohne
Komp.
mit K.
40
1/k A*=STF
0
1
1K
log(f/Hz) 1M
(b)
0
φ(kA)
mit K.
ohne Kompensation
-90°
-180°
φR
Bild 5.3.1 zeigt mit dünnen, durchgezogenen Linien das Bodediagramm eines OPs. Er ist mit
einer Rückkopplungsnetzwerk
k=1/100
beschaltet, so dass sich eine offene
Schleifenverstärkung kA ergibt, deren 2. Pol 40 dB oberhalb der Transitfrequenz von kA
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liegt. (Beachte: Die Transitfrequenz von A(s) ist irrelevant, entscheidend ist die
Transitfrequenz von kA!) Erinnerung: In der Transitfrequenz gilt |kA|=1 bzw. 0dB.
Das Verhalten A*(s) bzw. STF des Gesamtsystems des kann für kA>>1 mit A*=1/k
abgeschätzt werden, was im Bildteil (a) als durchgezogene, rote Line gezeichnet ist. Diese
zeigt in f=1MHz, der Transitfrequenz von kA, ein deutliches Resonanzverhalten („Peaking“),
da die Phasenreserve φR des nicht kompensierten Systems im Bildteil (b) mit φR=0° ermittelt
wird. Bei φR=0° müsste das Peaking unendlich hoch sein, was bedeutet, dass ein frei
schwingendes System was im Zeitbereich nicht abklingen könnte. Da dieses φR=0° jedoch aus
einer asymptotischen Näherung ermittelt wurden, erweist sich φR in diesem Fall bei genauer
Rechnung als ein wenig größer 0° und das Peaking daher als endlich, was im Zeitbereich
einem langsamen Abklingen freier Schwingungen entspricht.
Solch instabile Systeme sind in der Regel unerwünscht, daher versucht man sie durch
geeignete Maßnahmen zu stabilisieren (Frequenzkompensation). In der Regel bedeutet dies,
dass man einerseits die offene Schleifenverstärkung |kA| im 2. Pol fp2 auf oder unter 0dB
drückt, also |kA(fp2)|≤0dB, und andererseits dafür sorgt, dass der nächste Pol fp3≥10⋅fp2 ist.
Die gestrichelte Linie in Bild 5.3.1 zeigt eine Kompensation auf φR≅45° durch Polsplitting,
was bedeutet: fp2 wandert um den selben Faktor nach rechts auf der Frequenzachse, wie fp1
nach links wandert.
Vorteil der Kompensation mit Hilfe der offenen Schleifenverstärkung k(s)A(s)
Ein viel exakteres Verhalten von A* lässt sich ermitteln, wenn man anstelle der offenen
Schleifenverstärkung das Verhalten A* der geschlossenen Schleife berechnet. Der
entscheidende Vorteil bei der Betrachtung der offenen Schleifenverstärkung besteht darin,
dass sich Pole und Nullstellen durch die Multiplikation
k ( s ) • A( s ) =
( s − s zk ,1 )( s − s zk , 2 )....( s − s zk ,u )
•
( s − s zA,1 )( s − s zA, 2 )....( s − s zA,m )
( s − s pk ,1 )( s − s pk , 2 )....( s − s pk ,v ) ( s − s pA,1 )( s − s pA, 2 )....( s − s pA,n )
(5.3-3)
nicht verschieben sondern exakt erhalten bleiben und im Bode-Diagramm nur überlagert
werden brauchen.
- Seite 5-14 -
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5.3.2 Stabilitätsbetrachtungen an der geschlossenen Schleife
Wenn die Übertragungsfunktionen des Vorwärtsnetzwerks, A(s), und Rückkopplungsnetzwerkes, k(s), gegeben sind, lässt sich das Verhalten eines linearen Regelsystems mit
A* ( s ) =
A( s )
1 + k ( s ) ⋅ A( s )
(5.3-4)
leicht berechnen. Hat dieses System N Pole spi = σpi±j⋅ωpi (i=1...N), dann verhält sich das frei
schwingende System gemäß
N
y (t ) = ∑ ai e
s pi t
i =1
N
= ∑ ai e
(σ pi ± jω pi ) t
,
(5.3-5)
i =1
wobei ai Konstanten sind. Komplexe Pole treten bei reellen Übertragungsfunktionen immer
als konjugiert-komplexe Polpaare mit gleich großen Koeffizienten ai auf, so dass sich im
Zeitbereich eine reelle Schwingung ergibt:
a⋅e
(σ pi + jω pi ) t
+ a⋅e
(σ pi − jω pi ) t
=a⋅e
σ pi t
(e
− jω pi t
+e
− jω pi t
)=a⋅e
σ pi t
2 cos(ω pi t )
(5.3-6)
σ t
Sowohl reelle Pole (ωpi=0) als auch komplexe Pole enthalten den Faktor e pi , der nur für
negatives σpi ein Abklingen der Impuls- oder Sprungantwort bewirkt. Zeichnet man die Pole
spi = σpi±j⋅ωpi der geschlossenen Schleife in der komplexen Ebene, erkennt man stabile
Systeme daran, dass alle Pole ein negatives σpi aufweisen, also in der linken Halbebene
liegen.
(a) Ortskurve der Pole
(b) Sprungantwort
jω = j ωo2-σ2
sp1
jω0 = j 1/LC
s'p2
aperiodischer
Grenzfall
Butterworth
Butterworth
s'p1
45°
4.29%
A
β
spa
A(1-espt)
A(1-espat)
σ
sp2
A(1-es'p1t)
0
-jω0
Bild 5.3.2-1: (a) Lage der Pole der geschlossenen Schleife,
Zeitbereich je nach Lage der Pole in der komplexen Ebene.
- Seite 5-15 -
Zeit
(b) Sprungantworten im
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Während σpi die absolute Zeitbereichs-Abklingrate eines Pols in Sekunden angibt, erhält man
über das Verhältnis
σ pi
ω pi
bzw. den Polwinkel β pi = arctan
σ pi
ω pi
ein Maß für die Abklingrate pro Schwingung. In der Praxis wird in Spezifikationen oft die
Einhaltung eines maximalen Polwinkels für alle Pole eines Systems gefordert.
Ein System 2. Ordnung lässt sich auf die Normalform
A* ( s ) =
mit s ' =
A
A0
A0ω 02
= 2 0
=
2
2
2
s + 2ds + ω 0 ⎛ s ⎞
s ' +2 Ds '+1
d s
⎜⎜ ⎟⎟ + 2
+1
ω0 ω0
⎝ ω0 ⎠
s
ω0
und D =
d
ω0
(5.3-7)
bringen.
ω 0 ist der Schnittpunkt der Asymptoten mit den Steigungen von 0 und –40dB/dec.
Die gestrichene Frequenzachse s'=jω' ist so normiert, dass es in ω'0=1, womit auch der Betrag
der komplexen Pole |s'p1,2|=1 und somit der Radius des Kreises in Bild 5.3.2-1 gleich 1 ist.
5.3.2.1 D=1: Aperiodischer Grenzfall
D=1 führt mit dem Nennerpolynom s ' 2 +2s '+1 = ( s '+1)( s '+1) zu zwei identischen, reellen
Polen
s ' p1, 2 = −1 => s p1, 2 = −ω 0 .
(5.3-8)
Dies ist der sogenannte aperiodische (nicht-periodische) Grenzfall, da dies der kleinste Wert
von D ist, für den die Sprungantwort ohne Oszillation gegen ihren Endwert strebt. Diese
beiden Pole liegen im Ortsdiagramm in Bild 5.3.2-1(a) im Schnittpunkt des Halbkreises mit
der Abszisse. Im Bode-Diagramm in Bild 5.3.2-2(b) findet man in ω0 eine Absenkung des
Amplitudengangs bzgl. der Asymptoten um 6dB bzw. einen Faktor 2.
5.3.2.2 D>1: Kriechfall
D>1 führt mit dem Nennerpolynom s ' 2 +2 Ds '+1 = ( s '− s p1 )( s '− s p 2 ) zu den reellen Polen
s ' p1, 2 = − D ± D 2 − 1 => s p1, 2 = −d ± d 2 − ω 02 ) .
- Seite 5-16 -
(5.3-9)
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Diese beiden Pole liegen im Ortsdiagramm in Bild 5.3.2-1(a) auf der Abszisse. Im BodeDiagramm in Bild 5.3.2-2(a) findet man in jedem der Pole eine Absenkung des
Amplitudengangs bzgl. der Asymptoten um 3dB bzw. einen Faktor 1 / 2 . Den betragsmäßig
größeren Pol kann man im Zeitbereich kaum feststellen, während der betragsmäßig kleinere
Pol eine langsame („kriechende“) Annäherung an den Endwert bewirkt.
5.3.2.3 D<1: Schwingfall
D<1 führt mit dem Nennerpolynom s ' 2 +2 Ds'+1 = ( s '− s p1 )( s '− s p 2 ) zu den komplexen Polen
s ' p1, 2 = − D ± j 1 − D 2
<=> s p1, 2 = σ p1, 2 ± jω p1, 2 = −d ± j ω 02 − d 2 .
In diesem Fall ist der Polwinkel β p = ± arctan
(5.3-10)
1− D2
.
D
Das System schwingt im Zeitbereich mit e − dt cos ω p t gegen einen konstanten Entwert. Diese
beiden Pole liegen im Ortsdiagramm in Bild 5.3.2-1(a) auf dem Halbkreis mit Radius ω0. Im
Bode-Diagramm in Bild 5.3.2-2(b) findet man in ω0 ein resonanzverhalten („Peaking“). Für
D=0 geht |H(jω0)|->∞, da das System H(s)=Y(s)/X(s) bei X(s)=0 ein endliches Y(s) erlaubt.
(a)
(b)
lH(jω)l
dB
lH(jω)l
dB
ls'pl
-3dB
-6dB:
2*spa
-20dB/dec
-40dB/dec
-40dB/dec
ω p1=lsp1l
ωp2=lsp2l
log(ω)
ω 0=lspl
log(ω)
Bild 5.3.2-2: Amplitudengang (a) bei reellen Polen im Kriechfall und (b) im aperiodischen
Grenzfall und Resonanz bei komplexen Polen im Schwingfall..
- Seite 5-17 -
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Die Tabellen 5.3.2-1 zeigt, dass man für ein System 2. Ordnung in den meisten Fällen die
kürzesten Einschwingzeiten (engl.: settling times) erhält, wenn man es auf die ButterworthCharakteristik einstellt. Diese hat folgende Eigenschaften:
1.
2.
3.
4.
Einen Polwinkel in Bild 5.3.2-1(a) von 45°,
ein Überschwingen der Sprungantwort im Zeitbereich (Bild 5.3.2-1(b)) von 4,29%,
eine Dämpfung auf der Frequenzachse in ω0 von -3dB,
ein Dänmpfungsfaktor von D= 1 / 2 in Gl. (5.3-7) und (5.3-10),
Tabelle 5.3.2-1: Einschwingzeiten als Funktion von D eines Systems 2. Ordnung in
Abhängigkeit der zu erreichenden Genauigkeit (auf 3 Dezimalstellen).
D
2
1
1/ 2
1/2
1/ 8
Einschwingzeit auf 5%
1,25 ms
0,755 ms
0,457 ms
Einschwingzeit auf 1%
1,85 ms
1,06 ms
1,04 ms
Einschwingzeit auf 5‰
2,12 ms
1,19 ms
1,12 ms
Einschwingzeit auf 1‰
2,75 ms
1,47 ms
1,64 ms
0,829 ms
1,25 ms
1,40 ms
1,83 ms
1,46 ms
2,31 ms
2,02 ms
2,89 ms
Tabelle 5.3.2-2: % Überschwingen der Sprungantwort eines Systems 2. Ordnung in
Abhängigkeit der Dämpfung D (auf 2 Dezimalstellen genau).
D
2
1
1/ 2
1/2
1/ 8
% Überschwingen
0
0
4,29
16
30
Kommentare
Kriechfall, 2 reelle Pole
Aperiodischer Grenzfall
Butterworth-Charakteristik
2. Pol der offenen Schleifenverstärkung auf 0dB
Schwingfall
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5.3.3 Berechnung der Pole der geschlossenen Schleife
Es sei k(s) konstant und A( s ) = A0ω 02, A /( s 2 + 2ds + ω02, A ) . Dann ist für A(s=0)=A0 und kA(s)
hat Pole in
s p , A,1, 2 = −d ± d 2 − ω 02, A
oder
s p1, 2 = −d ± j ω 02, A − d 2 .
Die geschlossene Schleifenverstärkung liefert in diesem Fall
A0ω 02, A
A( s )
A ( s) =
=
1 + kA( s )
s 2 + 2ds + ω 02, A
*
1+ k
A0ω 02, A
=
A0ω 02, A
s 2 + 2ds + ω 02, A (1 + kA0 )
.
s 2 + 2ds + ω 02, A
Mit ω 02 = ω 02, A (1 + kA0 ) berechnen sich dessen Pole zu
s p1, 2 = −d ± d 2 − ω 02
oder
s p1, 2 = − d ± j ω 02 − d 2 .
Die Dämpfungskonstante bleibt unverändert, ω0 vergrößert sich um den Faktor
1 + kA0 .
Diese Aussage wird in Bild 5.3.3 graphisch dargestellt.
Die Pole des geschlossenen Systems zu kennen ist sehr viel wertvoller, als nur die Pole der
offenen Schleife zu kennen. Allerdings ist es bei mehr als 2 Polen sehr viel aufwendiger, die
Pole der geschlossenen Schleife zu berechnen.
Haben wir ein Model für den OP mit 2 Polen und einen weiteren Pol im
Rückkopplungsnetzwerk k(s), dann ist die offene Schleifenverstärkung kA und somit auch A*
bereits ein System 3. Ordnung.
Da wir die Wirkung des dritten Pols fp3 bei fp3>10⋅fp1,2 bei der Betrachtung der offenen
Schleife vernachlässigen dürfen, können wir es bei der geschlossenen Schleife ebenso tun.
Beim Eliminieren des dritten Pols darf allerdings die Verstärkung A0=A(s=0) nicht verändert
werden.
Dazu muss der zu eliminierende Pol von kA auf die Form (1-s/sp3) gebracht werden, z.B.
(1+sR3C3). Im interessierenden Frequenzbereich ist dann sR3C3<0,1 und der Term (1+sR3C3)
wird durch eine einfache 1 ersetzt. So kann ein Ausdruck k(s)A(s) dritter Ordnung auf einen
Ausdruck zweiter Ordnung reduziert und dann die Pole A*=A/(1+kA) als System 2. Ordnung
berechnet werden.
A0ω1ω 2ω 3
A0ω1ω 2
, für
, umformen in A( s ) =
( s + ω1 )( s + ω 2 )( s + ω 3 )
( s + ω1 )( s + ω 2 )(1 + s / ω 3 )
A0ω1ω 2
A
ω1ω 2 << ω 3 abschätzen mit A( s) ≅
berechnen.
, dann A* ( s ) ≅
( s + ω1 )( s + ω 2 )
1 + kA
Beispiel: A( s ) =
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(a)
Ortskurven des
geregelten
3
Systems
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2
frei
schwingend
1
−ωo*
−ωo
1
geregelt
3
2
jωo = jωo 1+kAo
(b) Sprungantwort des
geregelten Systems
jωo,A
σ
-jωo,A
-jωo = -jωo 1+kAo
Zeit
Bild 5.3.3: Veränderungen des Systems durch die Regelschleife: (a) Ortskurven der Pole
und (b) Verhalten im Zeitbereich.
Bild 5.3.3(a) zeigt die Bewegung der Pole in der komplexen Ebene bei verschiedenen
Veränderungen des Systems. Bildteil (b) zeigt die zugehörigen Sprungantworten im
Zeitbereich.
(1) Blau: Pole sp,A des ungeregelten Systems A(s), optimal mit 45°-Winkel (ButterworthCharakteristik.
(2) Rot: Einbau von A(s) in ein Regelsystem. Aus A(s) wird A*=A/(1+kA), aus ω 0 wird
ω 0 1 + kA0 , der Dämpfungsfaktor d bleibt unverändert.
(3) Grün: Frequenzkompensiertes Regelsystem. Der Polwinkel beträgt wieder ß=45°, die ist
nun sehr schnell.
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5.4 Das Verstärkungs-Bandbreite-Prod. rückgekoppelter Systeme
Das Verstärkungs-Bandbreite-Produkt eines rückgekoppelten Systems ist das VerstärkungsBandbreite-Produkt der offenen Schleifenverstärkung. Es ändert sich durch die Rückkopplung
nicht. Kleine Abweichungen von dieser Regel können durch Resonanzen auftreten.
(a)
(b)
Av
R2
R1
AV / dB
103 60
A*3
102
40
A*2
101
20
A*1
1
0
A*0
-20 dB/dec
f3
1
log(f/Hz)
1K
f2
f1
1M
fT
Bild 5.4: Das Verstärkungs-Bandbreiten-Produkt gilt auch für rückgekoppelte Systeme.
(a) Beispiel für ein rückgekoppeltes System, (b) Kennlinie für verschiedene R1, R2.
Bild 5.4(a) zeigt als Beispiel für ein rückgekoppeltes System einen als Nichtinvertierer
geschalteten OP. Bild 5.4(b) zeigt zugehörige Asymptotennäherungen im Amplitudendiagramm der für die Spannungsverstärkung des OPs, AV, und für die Verstärkung der
geschlossenen Schleife, Ai* ≅ 1 / k i für i>1. Der Fall k0=0 bildet eine Ausnahme, da hier nicht
|kA|>>1 angenommen werden darf.
Beispiele:
A*3 = AV,max: k3 = 0,
GB0 = A*3·f3 = 103·10KHz = 10MHz = fT
R1=0Ω, R2->∞,
A*2 = 100:
k2 = 1/100, R1=1KΩ, R2=99KΩ,
GB1 = A*2·f2 = 102·100KHz = 10MHz= fT
A*1 = 10:
k1 = 1/10,
R1=1KΩ, R2=9KΩ,
GB2 = A*1·f1 = 101·1MHz = 10MHz= fT
A*0 = 1:
k0 = 1,
R1=->∞, R2=0Ω,
GB3 = A*0·fT = 1·10MHz = 10MHz= fT
- Seite 5-21 -
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5.5 Die vier Varianten der elektrischen Rückkopplung
(a) Spannungsgesteuerte Spannungsquelle
* = Z *p
Zin
in
* = Z /p
Zout
out
A
k
* = Z /p
Zin
in
(b) Stromgesteuerte Stromquelle
* = Z *p
Zout
out
A
k
* = Z *p
Zin
in
(c) Spannungsgesteuerte Stromquelle
* = Z *p
Zout
out
A
k
* = Z /p
Zin
in
(d) Stromgesteuerte Spannungsquelle
* = Z /p
Zout
out
A
k
Bild 5.5: Die 4 Varianten der elektrischen Rückkopplung. Es ist p=1+kA. Zin und Zout sind
Impedanzen des Vorwärtsnetzwerks A, Z*in und Z*out Impedanzen der Gesamtschaltung.
In der Eletrotechnik werden Leiterpaare benötigt. Diese kann man diese sowohl am Eingang
als auch Ausgang seriell und parallel einkoppeln, so dass sich vier Varianten der elektrischen
Rückkopplung (RK) ergeben.
•
Bei serieller Einkopplung (Summation von Spannungen) des RK-Netzwerks wird der
betreffende Ein-/Ausgangs-Widerstand ca. um den Faktor p=1+kA erhöht.
•
Bei paralleler Einkopplung (Summation von Strömen) des RK-Netzwerks wird der
betreffende Ein-/Ausgangs-Widerstand ca. um den Faktor p=1+kA verringert.
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5.5.1 Spannungsgesteuerte Spannungsquelle: RK-Einkop. seriell / parallel
(a)
Uip
Uin
Uim
(b)
i1
Av
Uout
u1
uin
Zin
Z2
Z1
Zout
uq =
AVuin
i2
u2
i1
Zk2
uk
Zk1
Bild 5.5.1: (a) Schaltung, (b) Kleinsignal-ESB für spannungsgesteuerte Spannungsquelle.
Parameter: k = Z k1 /( Z k1 + Z k 2 ) , dimensionslos wie AV.
In den Folgenden Rechnungen werden eingesetzte Terme zum leichteren Verständnis häufig
in eckige Klammern gesetzt, z.B. y=A⋅x=A⋅[u+v] wenn x=u+v.
5.5.1.1 Berechnung von Z in* bei i2=0:
Für hinreichend hohe Verstärkung AV ist uk=ku2 und u2=A*u1, so dass
⎡ AV
u k = ku 2 = k[ A*u1 ] = k ⎢
⎣1 + kAV
⎤
kAV
u1
⎥u1 =
1
+
kA
V
⎦
Den Eingangsstrom berechnen wir über die Spannung an Zin zu
⎤
⎡ kAV
u1 − ⎢
u1 ⎥
u − uk
⎣1 + kAV ⎦ = u1 ⎛⎜1 − kAV
=
i1 = 1
Z in
Z in
Z in ⎜⎝ 1 + kAV
⎞ u1
1
⎟⎟ =
.
⎠ Z in 1 + kAV
Umformen liefert
Z in =
u1
= Z in (1 + kAV )
i1
- Seite 5-23 -
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*
5.5.1.2 Berechnung von Z out
bei u1=0:
Bei u1=0 liegt Zin parallel zu Zk1, so dass die Ausgangsspannung
Rückkopplungsnetzwerks nicht mit uk=k u2 beschrieben werden kann, sondern mit
des
u k = β 1ku 2 , wobei der Faktor ß1 die Minderung von Zk1 durch Zin berücksichtigt:
β 1k =
Z k1 || Z in
( Z k 1 || Z in ) + Z k 2
Bei u1=0 ist uin=-uk und somit
u q = AV uin = AV [−u k ] = − AV u k = − AV [ ß1ku 2 ]
Der Strom durch Zout ist gegeben mit
i2 =
u2 − uq
Z out
=
u 2 − [− AV β 2 ku 2 ]
Z out
= u2
1 + AV β 2 k
Z out
Man erhält die Ausgangsimpedanz (interessanterweise via ß1 auch als Funktion von Zin) zu:
*
Z out
=
u2
= Z out (1 + ß1kAV )
i2
- Seite 5-24 -
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5.5.2 Stromgesteuerte Stromquelle: RK-Einkopplung parallel / seriell
(a)
(b)
i1
u1
i1
u2
i2
Q3
Q1
iin
i2
u1
uin
Zin
iq =
Ai iin
Zout
ik
Q2
u2
ip
i2
ik
Rok
ik =
k i2
Rik
i2
Bild 5.5.2: (a) Strom-Spiegel nach Wilson, (b) Verallgemeinertes Kleinsignal-ESB einer
stromgesteuerten Stromquelle (entspricht Bildteil (a) nur näherungsweise).
5.5.2.1 Berechnung von Z in* bei u2=0:
Als Beispiel wird in Bild 5.2.3(a) ein Wilson-Spiegel angegeben. Dem entspricht das
verallgemeinerte Kleinsignal-ESB einer stromgesteuerten Stromquelle im Bildteil (b) nicht
ganz, da beim Wilson-Spiegel der Basisstrom des Transistors Q3 in den Ausgangsstromkreis
geleitet wird.
Im Bildteil (b) entsteht bei u2=0 der Strom i2 durch Rik durch den Quellenstrom ip, der auf den
Stromteiler Zout, Rik läuft. Der Strom durch Rik ergibt sich zu ß2iq mit ß2=Zout/(Zout+Rik).
Der Ausgangsstrom des Rückkopplungsnetzwerkes ist gegeben mit
ik =
u1
u
u
u
+ k ⋅ i2 = 1 + k ⋅ [ β 2 iq ] = 1 + kβ 2 [ Ai iin ] = 1 + kβ 2 Ai iin
Rok
Rok
Rok
Rok
Dieses Ergebnis benötigen wir zum Eliminieren von ich in der Formel
⎡u ⎤
⎤
⎡u
u
u
i1 = ik + iin = ⎢ 1 + kβ 2 Ai iin ⎥ + iin = 1 + (kβ 2 Ai + 1)iin = 1 + (kβ 2 Ai + 1) ⎢ 1 ⎥ .
Rok
Rok
⎣ Z in ⎦
⎦
⎣ Rok
Umformen liefert
Z in , ges =
Z in
u1
=
i1 (1 + kβ 2 Ai ) + Z in / Rok
Z in* =
Z in
u1
=
i1 (1 + kβ 2 Ai ) + Z in / Rok
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Mit Yin* =
Yin , ges =
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1 + kβ 2 Ai
lässt sich schreiben
Z in
1
Z in , ges
=
i1 1 + kβ 2 Ai
1
=
+
= Yin* + Rok−1
u1
Z in
Rok
*
5.5.2.2 Berechnung von Z out
bei i1=0:
Die Stromquelle im Rückkopplungsnetzwerk liefert den Strom k⋅i2 auf den Stromteiler
Rok||Zin. Bei dieser Parallelschaltung fließt der Strom ß1k⋅i2 durch den Widerstand Zin, wobei
ß1=Rok/(Zin+Rok)≅1. Bei i1=0 ist
iin = −ik = − β 1ki2
Betrachten wir die Ströme i2 und iq erst einmal als von zwei unabhängigen Quellen
eingeprägt, dürfen wir deren Wirkungen linear überlagern:
u 2 = i2 ( Z out + Rik ) − iq Z out = i2 ( Z out + Rik ) − [ Ai iin ]Z out = i2 ( Z out + Rik ) − Ai [− β 1 ki2 ]Z out
(
*
= i2 ( Z out + Rik ) + Ai β 1ki2 Z out = i2 (Z out (1 + β 1 kAi ) + Rik ) = i2 Z out
+ Rik
)
*
mit Z out
= Z out (1 + β 1kAi ) . Umformen liefert
*
Z out , ges = u 2 / i2 = Z out
+ Rik
Die Nichtidealitäten des Rückkopplungsnetzwerkes dürften in der Regel relativ klein sein, so
dass mit ß1≅1 und Rok<<Zin gilt
*
Z out , ges ≅ Z out
≅ Z out (1 + kAi ) .
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5.5.3 Spannungsgesteuerte Stromquelle (OTA): RK-Eink. seriell / seriell
(a)
(b)
i1
Uip
Uin
i2
Av
i2
i1
u2
u1
uin
Zin
iq =
Amuin
u2
Zout
Uim
i2
Rk
i1
Rk
i2
Bild 5.5.3: (a) Schaltung, (b) Kleinsignal-ESB für spannungsgesteuerte Stromquelle.
Parameter: Am = Gm = AV ,OP ⋅ g m, FET in 1/Ω, k=Rk in Ω.
Parameter: k=Rk,
β1 =
Z in
Z in + Rk
und β 2 =
Z out
.
Z out + Rk
5.5.3.1 Berechnung von Z in* bei u2=0:
Bei u2=0 fließt der Quellenstrom iq auf den Stromteiler Zout und Rk, so dass i2 = ß2 iq. Mit
iq = Am uin = Am [Zin i1]
erhält man
i2 = ß2 iq = ß2 [Am Zin i1] = ß2 Am Zin i1.
Am Eingang gilt
u1 = uin + uk = [Zin i1] + [Rk (i1 + i2)] = (Zin + Rk ) i1 + Rk i2
= (Zin + Rk ) i1 + Rk [ß2 Am Zin i1]
= i1 ( Zin (1 + ß2 k Am ) + Rk ).
Mit Z in* =
Z in , ges =
(benutzt wurde: k=Rk)
u1
= Z in (1 + ß2 kAm ) erhalten wir den gesamten Eingangswiderstand zu
i1
u1
= Z in (1 + ß2 kAm ) + Rk = Z in* + Rk
i1
≅
Z in (1 + kAm )
- Seite 5-27 -
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*
5.5.3.2 Berechnung von Z out
bei u1=0:
Bei u1=0 liegt Zin parallel Rk. Per Definition für ß1 gilt Zin||Rk = ß1Rk. Die Spannung uk wird
erzeugt vom Strom i2 durch Zin||Rk:
uk = (Zin||Rk) i2 = [ß1Rk] i2 = ß1 Rk i2.
Bei u1=0 ist uin = -uk. Der Strom i2 = iq = ip setzt sich zusammen aus dem Quellenstrom
iq = Am uin = -Am uk und dem Strom durch Zout, gegeben mit ip = (u2 – uk)/Zout.
⎡u − uk ⎤ u2
u
−1
−1
i2 = iq + i p = [− Am u k ] + ⎢ 2
− u k ( Am + Z out
) = 2 − [β 1 Rk i2 ]( Am + Z out
)
⎥=
Z
Z
Z
out
out
⎣ out ⎦
Umformen:
(
u2
−1
= i2 1 + β 1 Rk ( Am + Z out
)
Z out
Z out , ges =
(
)
liefert mit k=Rk :
(
)
−1
u 2 = i2 Z out 1 + β 1k ( Am + Z out
) .
)
u2
−1
= Z out 1 + β 1k ( Am + Z out
) = Z out (1 + ß1kAm ) + β 1 Rk
i2
*
Mit Z out
= Z out (1 + ß1kAm ) erhalten wir
*
Z out , ges = Z out
+ β 1 Rk ≅ Z out (1 + kAm )
Anmerkung
Die meisten Operationsverstärker mit Rail-to-Rail-Ausgang haben einen hochohmigen
Ausgang und sind bereits ohne Rückkopplung „Operational Transconductance Amplifiers“
(OTAs), da der Ausgang des Verstärkers mit dem Kollektoren (bzw. Drains) der
Ausgangstransistoren verbunden sind.
- Seite 5-28 -
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5.5.4 Stromgesteuerte Spannungsquelle: RK-Einkoppl. parallel / parallel
(a)
(b)
Av, Az
uip
uin
uin
i2
u1
Zk
i1
i2
iin
Zin
Avuin
=Aziin
uq
Zout
u2
u2
ug
ZG
ik
u1
Zk
i1
ik
Bild 5.5.4: (a) Schaltung, (b) Zugehöriges Kleinsignal-ESB für Stromgesteuerte
Spannungsquelle in Bildteil (a). Parameter: AV oder AZ = AV Z in in Ω, k=1/Rk in 1/Ω.
5.5.4.1 Berechnung von Z in* bei i2=0.
Bei i2=0 darf nach Miller darf die Impedanz Zout+Zk durch eine Impedanz
Z out + Z k
1 + AV
gegen Masse ersetzt werden. Diese Impedanz liegt im Bildteil (b) parallel zu Zin, so dass
Z in* =
Z + Zk
u1
= Z in out
i1
1 + AV
*
5.5.4.2 Berechnung von Z out
bei ug=0:
*
Bei der Berechnung von Z out
muss ZG, die Impedanz der Quelle von i1, berücksichtigt
werden. Diese Impedanz liegt bei ug=0 im Kleinsignal-ESB parallel zur Eingangsimpedanz
Zin, so dass uin mit Hilfe der Spannungsteilerformel berechnet werden kann:
Z1 = Z in || Z G
− u in =
Z1
u2
Z1 + Z k
oder
− uin = ku 2 mit k =
Der Strom durch Zout ist gegeben mit
- Seite 5-29 -
Z1
.
Z1 + Z k
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iout =
u2 − uq
Z out
=
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u 2 − [ AV uin ] u 2 − AV [−ku 2 ]
1 + kAV
=
= u2
Z out
Z out
Z out
Die Ausgangsimpedanz des OPs ergibt sich zu
*
Z out
=
Z out
u2
=
iout 1 + kAV
Die gesamte Ausgangsimpedanz der Schaltung muss den Strom durch den Rückkopplungszweig berücksichtigen. Bei ug=0 ist
ik =
u2
Z k + Z1
Die gesamte Ausgangsimpedanz der Schaltung berechnet sich damit zu
Z out , ges =
u2
=
iout + i1 ⎡ 1 + kAV
⎢u 2
Z out
⎣
u2
⎤ ⎡
1 ⎤
⎥ + ⎢u 2
⎥
⎦ ⎣ Z k + Z1 ⎦
Z out
=
1 + kAV +
*
*
Umrechnen zum Leitwert mit = Yout
= 1 / Z out
liefert
Yout , ges =
1
Z out , ges
*
= Yout
+ 1 /( Z k + Z1 )
- Seite 5-30 -
Z out
Z k + Z1
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5.6 Mitkopplung
5.6.1 Harmonische Oszillatoren
UCC
RC
UC
+1
R1
U1
+1
R2
C1
U2
+1
R3
C2
U3
C3
UCC
RE
+1
R
Abbildung 5.6.1: Harmonischer Oszillator
Harmonische Oszillatoren erzeugen eine sinusförmige Schwingung durch Einstellung einer
Phasenreserve von 0°. Für den Oszillator in Abb. 5.6.1 sei R1C1 = R2C2 = R3C3 . Der
Transistor arbeitet invertieren, entsprechend einer Phase von -180°. Wenn jedes der RiCiGlieder eine Phasendrehung
φo = -180°/ 3 = -60°
bewirkt beträgt die gesamte Drehung -360° . Das System schwingt, wenn die geschlossene
Schleifenverstärkung bei dieser Phasendrehung |H(jωo)|≥1 ist. Der Amplitudengang eines
RiCi-Gliedes (i=1...3) ist
H x ( jω ) =
1 / jωCx
1
=
Rx + 1 / jωCx 1 + jωRx Cx
für x=1, 2, 3
φ0 x ( jω o ) = − arctan ω o Rx Cx = −60°
H x ( jω o ) =
1
12 + (ωR x C x ) 2
=
ω o R x C x = tan 60° = 3
=>
1
1+ 3
=
1
2
für x=1, 2, 3
Um eine stehende Welle zu erzeugen, die weder auf noch abklingt, muß die geschlossene
Schleifenverstärkung bei der angestrebten Frequenz ωo genau 1 betragen. Die ACVerstärkung |Avo| der Transistorstufe muß die Abschwächung der phasendrehenden RCGlieder in dieser Situation genau kompensieren.
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1 = |Avo| ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5
=>
|Avo| = 8 .
Um die Transistorstufe zu dimensionieren wählen wir RE=1 KΩ in Abb. 5.6.1. Bei der
gewählten Frequenz können die internen Kapazitäten des Bipolartransistors vernachlässigt
werden. Da RE nicht durch eine Kapazität überbrückt wird, verstärkt die Stufe mit
Avo = -RC/RE .
Da |Avo|=8 ist, muß RC = 8 RE = 8 KΩ sein.
Solche Oszillatoren wurden früher in der Tat gebaut. Dabei wurden die Pufferstufen zwischen
den RC-Gliedern aus Kostengründen weggelassen. Die resultierende Verschiebung der
Frequenz kann durch geeignete Wahl der RC-Glieder ausgeglichen werden. Probleme: Ein
großer Frequenzbereich ist so kaum einstellbar, die Schleifenverstärkung 1 kann nie genau
und temperaturstabil eingestellt werden. Damit der Oszillator nicht abklingt, stellt man die
Schleifenverstärkung etwas zu hoch ein und bekommt Verzerrungen. Heute arbeitet man mit
hochpräzisen ICs, die wahlweise Sägezahn, Sinus oder Rechteck als Schwingungsprofil in
einem weit einstellbaren Frequenzbereich anbieten.
5.6.2 Nichtlineare Oszillatoren
(a)
(b)
en
din
dout
&
Abb. 5.6.2: (a) Digitale Verzögerungsleitung (b) Oszillator mit Enable-Eingang
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osc