Analysis B
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Analysis B Wintersemester 2004/2005 Prof. Dr. K. Hulek Diese Vorlesung beruht auf der Ausarbeitung von Prof. Dr. W. Ebeling aus dem Wintersemester 2000/2001. 1 1 Der n-dimensionale euklidische Raum 1 Literatur [1] J. E. Marsden, A. J. Tromba: Vektoranalysis. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, Oxford, 1995. ISBN 3-86025-149-X [2] S. L. Salas, E. Hille: Calculus. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, Oxford, 1994. ISBN 3-86025-130-9 [3] O. Forster: Analysis 2. 5., durchges. Auflage. Vieweg, Wiesbaden, 1984. ISBN 3-528-37231-1 1 Der n-dimensionale euklidische Raum Wir wiederholen einige Begriffe aus der linearen Algebra, die in dieser Vorlesung eine wichtige Rolle spielen werden. Der n-dimensionale euklidische Raum ist x1 Rn = x = ... x1 , . . . , xn ∈ R . xn Auf dem Rn ist eine Addition x1 y1 .. .. . + . xn und eine skalare Multiplikation erklärt: x1 + y1 .. = , . yn xn + yn x1 αx1 α ... = ... , (α ∈ R). xn αxn Mit dieser Addition und skalaren Multiplikation bildet der Rn einen Vektorraum. Die Vektoren 1 0 0 0 0 1 e1 = 0 , e2 = 0 , . . . , en = ... .. .. . . 0 0 0 1 werden die (Standard-)Basisvektoren des Rn genannt.Der Vektor x1 x = ... xn läßt sich mit ihrer Hilfe darstellen als x = x1 e1 + · · · + xn en . 1 Der n-dimensionale euklidische Raum 2 Für zwei Vektoren x= x1 x2 .. . und y = y1 y2 .. . yn xn ist das (euklidische) Skalarprodukt definiert durch y1 y2 x · y = xt y = (x1 , x2 , . . . , xn ) . = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn . .. yn Die Länge oder Norm des Vektors x wird durch die folgende Formel gegeben: q √ kxk = x · x = x21 + x22 + · · · + x2n . Sind x und y zwei Vektoren des Rn , so wird der Winkel θ zwischen ihnen (in der durch x und y aufgespannten Ebene) gegeben durch cos θ = x·y . kxkkyk Man kann den Winkel als unorientierten Winkel definieren (θ ∈ [0, π], bzw. 0 ≤ θ ≤ 180◦ ) oder als orientierten Winkel(θ ∈ [0, 2π], bzw. ≤ θ < 360◦ ). u- p ...... .......... .. θ= π (unorientiert) 2 ....................... ... ... . ..... .... .......... uθ= 3 π (orientiert) 2 v ? v ? Abbildung 1: Orientierte und unorientierte Winkel In den folgenden Sätzen stellen wir einige algebraische Eigenschaften des Skalarprodukts und der Norm zusammen. Satz 1.1 Es seien x, y, z ∈ Rn und α, β reelle Zahlen. Dann gilt (a) (αx + βy) · z = α(x · z) + β(y · z). (b) x · (αy + βz) = α(x · y) + β(x · z). (c) x · y = y · x. (d) x · x ≥ 0. (e) x · x = 0 genau dann, wenn x = 0. 1 Der n-dimensionale euklidische Raum 3 Satz 1.2 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) Für x, y ∈ Rn gilt |x · y| ≤ kxkkyk. Satz 1.3 (Dreiecksungleichung) Für x, y ∈ Rn gilt kx + yk ≤ kxk + kyk. Der Abstand zwischen zwei Punkten x und y des Rn ist definiert als die Länge des Vektors x − y: kx − yk.
