Zufällige diskrete Strukturen - Goethe
Werbung
Zufällige diskrete Strukturen Ralph Neininger Institut für Mathematik J. W. Goethe-Universität Frankfurt a.M. 3. Alumni Treffen des Instituts für Mathematik 27. November 2010 Binäre Bäume Stochastische Modelle: — Catalan-Modell — Permutationsmodell (Zufälliger Binärsuchbaum) — Zufälliger Suffixsuchbaum Binärbaum mit 12 Knoten Binäre Bäume Stochastische Modelle: — Catalan-Modell — Permutationsmodell (Zufälliger Binärsuchbaum) — Zufälliger Suffixsuchbaum Binärbaum mit 12 Knoten Binäre Bäume Stochastische Modelle: — Catalan-Modell — Permutationsmodell (Zufälliger Binärsuchbaum) — Zufälliger Suffixsuchbaum Binärbaum mit 12 Knoten Binäre Bäume Stochastische Modelle: — Catalan-Modell — Permutationsmodell (Zufälliger Binärsuchbaum) — Zufälliger Suffixsuchbaum Binärbaum mit 12 Knoten Binäre Bäume Stochastische Modelle: — Catalan-Modell — Permutationsmodell (Zufälliger Binärsuchbaum) — Zufälliger Suffixsuchbaum Binärbaum mit 12 Knoten Binärsuchbaum Liste der Daten: 6, 1, 8, 7, 5, 3, 10, 2, 11, 4, 9. . Binärsuchbaum Liste der Daten: 6, 1, 8, 7, 5, 3, 10, 2, 11, 4, 9. 6 . Binärsuchbaum Liste der Daten: 6, 1, 8, 7, 5, 3, 10, 2, 11, 4, 9. 6 1 . Binärsuchbaum Liste der Daten: 6, 1, 8, 7, 5, 3, 10, 2, 11, 4, 9. 6 1 8 . Binärsuchbaum Liste der Daten: 6, 1, 8, 7, 5, 3, 10, 2, 11, 4, 9. 6 1 8 7 . Binärsuchbaum Liste der Daten: 6, 1, 8, 7, 5, 3, 10, 2, 11, 4, 9. 6 1 8 5 7 . Binärsuchbaum Liste der Daten: 6, 1, 8, 7, 5, 3, 10, 2, 11, 4, 9. 6 1 8 5 7 3 . Binärsuchbaum Liste der Daten: 6, 1, 8, 7, 5, 3, 10, 2, 11, 4, 9. 6 1 8 5 7 3 . 10 Binärsuchbaum Liste der Daten: 6, 1, 8, 7, 5, 3, 10, 2, 11, 4, 9. 6 1 8 5 3 2 7 10 Binärsuchbaum Liste der Daten: 6, 1, 8, 7, 5, 3, 10, 2, 11, 4, 9. 6 1 8 5 3 2 7 10 11 Binärsuchbaum Liste der Daten: 6, 1, 8, 7, 5, 3, 10, 2, 11, 4, 9. 6 1 8 5 3 2 7 10 11 4 Binärsuchbaum Liste der Daten: 6, 1, 8, 7, 5, 3, 10, 2, 11, 4, 9. 6 1 8 5 3 2 7 10 9 4 11 Größen im BSB Level 0 Level 2 Dn =3 6 Level 1 8 1 Level 3 5 Level 4 Hn =4 3 2 7 10 9 11 4 Dn — Tiefe des n-ten Knotens = Abstand zwischen Wurzel und n-tem eingefügten Knoten Hn = max Dj — Höhe des Baumes 1≤j≤n Größen im BSB Level 0 Level 2 Dn =3 6 Level 1 8 1 Level 3 5 Level 4 Hn =4 3 2 7 10 9 11 4 Dn — Tiefe des n-ten Knotens = Abstand zwischen Wurzel und n-tem eingefügten Knoten Hn = max Dj — Höhe des Baumes 1≤j≤n Größen im BSB Level 0 Level 2 Dn =3 6 Level 1 8 1 Level 3 5 Level 4 Hn =4 3 2 7 10 9 11 4 Dn — Tiefe des n-ten Knotens = Abstand zwischen Wurzel und n-tem eingefügten Knoten Hn = max Dj — Höhe des Baumes 1≤j≤n Permutationsmodell —————————— Stochastisches Modell: —————————— Alle Permutationen von 1, . . . , n gleich wahrscheinlich. Äquivalent: U1, . . . , Un i.i.d. unif[0, 1]. Simulation Binäre Bäume 1 Anzahl binärer Bäume mit n Knoten: n+1 2n n (Catalan Zahlen) Mit 3 Knoten: Mit 4 Knoten: Binäre Bäume 1 Anzahl binärer Bäume mit n Knoten: n+1 2n n (Catalan Zahlen) Mit 3 Knoten: Mit 4 Knoten: Binäre Bäume 1 Anzahl binärer Bäume mit n Knoten: n+1 2n n (Catalan Zahlen) Mit 3 Knoten: Mit 4 Knoten: Binäre Bäume 1 Anzahl binärer Bäume mit n Knoten: n+1 2n n (Catalan Zahlen) Mit 3 Knoten: Mit 4 Knoten: Binäre Bäume 1 Anzahl binärer Bäume mit n Knoten: n+1 2n n (Catalan Zahlen) Mit 3 Knoten: Mit 4 Knoten: Binäre Bäume 1 Anzahl binärer Bäume mit n Knoten: n+1 2n n (Catalan Zahlen) Mit 3 Knoten: Mit 4 Knoten: Binäre Bäume 1 Anzahl binärer Bäume mit n Knoten: n+1 2n n (Catalan Zahlen) Mit 3 Knoten: 1/3 1/6 1/6 Mit 4 Knoten: 1/6 1/6 Binäre Bäume 1 Anzahl binärer Bäume mit n Knoten: n+1 2n n (Catalan Zahlen) Mit 3 Knoten: 1/3 1/6 1/6 1/6 1/6 Mit 4 Knoten: 1/12 1/24 1/24 1/8 1/8 1/24 1/24 1/8 1/8 1/12 1/24 1/24 1/24 1/24 Catalan- versus Permutationsmodell Catalan-Modell Permutationsmodell Catalan- versus Permutationsmodell Catalan-Modell Permutationsmodell Catalan- versus Permutationsmodell Catalan-Modell Permutationsmodell Catalan- versus Permutationsmodell Catalan-Modell Permutationsmodell Catalan- versus Permutationsmodell Catalan-Modell O( n) Permutationsmodell Catalan- versus Permutationsmodell Catalan-Modell Permutationsmodell O( n) O(log n) Gestalt im Catalan-Modell Hn (2nt) d √ −→ (e(t))t∈[0,1] 2n t∈[0,1] e : Brownsche Exkursion Gestalt im Catalan-Modell Hn (2nt) d √ −→ (e(t))t∈[0,1] 2n t∈[0,1] e : Brownsche Exkursion Gestalt im Catalan-Modell 1 2n Hn (2nt) d √ −→ (e(t))t∈[0,1] 2n t∈[0,1] e : Brownsche Exkursion Gestalt im Catalan-Modell 1 2n 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Hn (2nt) d √ −→ (e(t))t∈[0,1] 2n t∈[0,1] e : Brownsche Exkursion Gestalt im Catalan-Modell 1 2n 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Hn (2nt) d √ −→ (e(t))t∈[0,1] 2n t∈[0,1] e : Brownsche Exkursion Catalan- versus Permutationsmodell Catalan-Modell Permutationsmodell O( n) O(log n) Stochastische Analyse der Tiefe Dn 0 Auf- bzw. Ab-Rekorde sind unabhängig! n d Dn = Zj j=2 Zj unabhängig, d Zj = Ber(2/j). 1 12 k n Stochastische Analyse der Tiefe Dn 0 Auf- bzw. Ab-Rekorde sind unabhängig! n d Dn = Zj j=2 Zj unabhängig, d Zj = Ber(2/j). 1 12 k n Stochastische Analyse der Tiefe Dn 0 Auf- bzw. Ab-Rekorde sind unabhängig! n d Dn = Zj j=2 Zj unabhängig, d Zj = Ber(2/j). 1 12 k n Stochastische Analyse der Tiefe Dn 0 Auf- bzw. Ab-Rekorde sind unabhängig! n d Dn = Zj j=2 Zj unabhängig, d Zj = Ber(2/j). 1 12 k n Stochastische Analyse der Tiefe Dn 0 Auf- bzw. Ab-Rekorde sind unabhängig! n d Dn = Zj j=2 Zj unabhängig, d Zj = Ber(2/j). 1 12 k n Stochastische Analyse der Tiefe Dn 0 1 12 01 1010 10 10 1010 10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 0 k1 Auf- bzw. Ab-Rekorde sind unabhängig! n d Dn = Zj j=2 Zj unabhängig, d Zj = Ber(2/j). n Stochastische Analyse der Tiefe Dn 0 1 12 01 1010 10 10 1010 10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 0 k1 Auf- bzw. Ab-Rekorde sind unabhängig! n d Dn = Zj j=2 Zj unabhängig, d Zj = Ber(2/j). n Stochastische Analyse der Tiefe Dn 0 1 12 01 1010 10 10 1010 10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 0 k1 Auf- bzw. Ab-Rekorde sind unabhängig! n d Dn = Zj j=2 Zj unabhängig, d Zj = Ber(2/j). n Stochastische Analyse der Tiefe Dn 0 1 12 01 1010 10 10 1010 10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 0 k1 Auf- bzw. Ab-Rekorde sind unabhängig! n d Dn = Zj j=2 Zj unabhängig, d Zj = Ber(2/j). n Stochastische Analyse der Tiefe Dn 0 1 12 01 1010 10 10 1010 10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 0 k1 Auf- bzw. Ab-Rekorde sind unabhängig! n d Dn = Zj j=2 Zj unabhängig, d Zj = Ber(2/j). n Stochastische Analyse der Tiefe Dn 0 1 12 01 1010 10 10 1010 10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 0 k1 Auf- bzw. Ab-Rekorde sind unabhängig! n d Dn = Zj j=2 Zj unabhängig, d Zj = Ber(2/j). n Asymptotisches Verhalten der Tiefe n d Dn = Ber(2/j) j=2 Asymptotiken: E Dn = 2 log n + O(1), Var(Dn) = 2 log n + O(1) Dn − 2 log n 1 √ , N (0, 1) = O √ 2 log n log n 1 dTV (Dn, Π(E Dn)) = O log n P |Dn − E Dn| > εE Dn ≤ Cn 2 ε − 2+ε Asymptotisches Verhalten der Tiefe n d Dn = Ber(2/j) j=2 Asymptotiken: E Dn = 2 log n + O(1), Var(Dn) = 2 log n + O(1) Dn − 2 log n 1 √ , N (0, 1) = O √ 2 log n log n 1 dTV (Dn, Π(E Dn)) = O log n P |Dn − E Dn| > εE Dn ≤ Cn 2 ε − 2+ε Asymptotisches Verhalten der Tiefe n d Dn = Ber(2/j) j=2 Asymptotiken: E Dn = 2 log n + O(1), Var(Dn) = 2 log n + O(1) Dn − 2 log n 1 √ , N (0, 1) = O √ 2 log n log n 1 dTV (Dn, Π(E Dn)) = O log n P |Dn − E Dn| > εE Dn ≤ Cn 2 ε − 2+ε Asymptotisches Verhalten der Tiefe n d Dn = Ber(2/j) j=2 Asymptotiken: E Dn = 2 log n + O(1), Var(Dn) = 2 log n + O(1) Dn − 2 log n 1 √ , N (0, 1) = O √ 2 log n log n 1 dTV (Dn, Π(E Dn)) = O log n P |Dn − E Dn| > εE Dn ≤ Cn 2 ε − 2+ε Asymptotisches Verhalten der Tiefe n d Dn = Ber(2/j) j=2 Asymptotiken: E Dn = 2 log n + O(1), Var(Dn) = 2 log n + O(1) Dn − 2 log n 1 √ , N (0, 1) = O √ 2 log n log n 1 dTV (Dn, Π(E Dn)) = O log n P |Dn − E Dn| > εE Dn ≤ Cn 2 ε − 2+ε Asymptotisches Verhalten der Tiefe n d Dn = Ber(2/j) j=2 Asymptotiken: E Dn = 2 log n + O(1), Var(Dn) = 2 log n + O(1) Dn − 2 log n 1 √ , N (0, 1) = O √ 2 log n log n 1 dTV (Dn, Π(E Dn)) = O log n P |Dn − E Dn| > εE Dn ≤ Cn 2 ε − 2+ε Asymptotisches Verhalten der Tiefe n d Dn = Ber(2/j) j=2 Asymptotiken: E Dn = 2 log n + O(1), Var(Dn) = 2 log n + O(1) Dn − 2 log n 1 √ , N (0, 1) = O √ 2 log n log n 1 dTV (Dn, Π(E Dn)) = O log n P |Dn − E Dn| > εE Dn ≤ Cn 2 ε − 2+ε Asymptotisches Verhalten der Tiefe n d Dn = Ber(2/j) j=2 Asymptotiken: E Dn = 2 log n + O(1), Var(Dn) = 2 log n + O(1) Dn − 2 log n 1 √ , N (0, 1) = O √ 2 log n log n 1 dTV (Dn, Π(E Dn)) = O log n P |Dn − E Dn| > εE Dn ≤ Cn 2 ε − 2+ε Asymptotisches Verhalten der Tiefe n d Dn = Ber(2/j) j=2 Asymptotiken: E Dn = 2 log n + O(1), Var(Dn) = 2 log n + O(1) Dn − 2 log n 1 √ , N (0, 1) = O √ 2 log n log n 1 dTV (Dn, Π(E Dn)) = O log n P |Dn − E Dn| > εE Dn ≤ Cn 2 ε − 2+ε Pattern matching Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten • Internet: Google • DNA Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits) X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . . X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . . X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . . X4 := 0.B4B5B6B7B8 . . . X5 := 0.B5B6B7B8B9 . . . .. Pattern matching Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten • Internet: Google • DNA Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits) X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . . X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . . X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . . X4 := 0.B4B5B6B7B8 . . . X5 := 0.B5B6B7B8B9 . . . .. Pattern matching Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten • Internet: Google • DNA Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits) X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . . X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . . X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . . X4 := 0.B4B5B6B7B8 . . . X5 := 0.B5B6B7B8B9 . . . .. Pattern matching Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten • Internet: Google • DNA Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits) X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . . X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . . X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . . X4 := 0.B4B5B6B7B8 . . . X5 := 0.B5B6B7B8B9 . . . .. Pattern matching Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten • Internet: Google • DNA Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits) X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . . X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . . X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . . X4 := 0.B4B5B6B7B8 . . . X5 := 0.B5B6B7B8B9 . . . .. Pattern matching Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten • Internet: Google • DNA Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits) X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . . X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . . X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . . X4 := 0.B4B5B6B7B8 . . . X5 := 0.B5B6B7B8B9 . . . .. Pattern matching Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten • Internet: Google • DNA Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits) X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . . X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . . X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . . X4 := 0.B4B5B6B7B8 . . . X5 := 0.B5B6B7B8B9 . . . .. Pattern matching Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten • Internet: Google • DNA Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits) X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . . X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . . X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . . X4 := 0.B4B5B6B7B8 . . . X5 := 0.B5B6B7B8B9 . . . .. Pattern matching Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten • Internet: Google • DNA Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits) X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . . X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . . X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . . X4 := 0.B4B5B6B7B8 . . . X5 := 0.B5B6B7B8B9 . . . .. Pattern matching Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten • Internet: Google • DNA Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits) X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . . X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . . X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . . X4 := 0.B4B5B6B7B8 . . . X5 := 0.B5B6B7B8B9 . . . .. Suffixsuchbaum Binärsuchbaum für Folge der Suffixe X1, X2, . . . Suffixsuchbaum Binärsuchbaum für Folge der Suffixe X1, X2, . . . 0.B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 ... Suffixsuchbaum Binärsuchbaum für Folge der Suffixe X1, X2, . . . X1 X2 X3 X5 X4 X6 X8 X7 X11 X10 0.B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 ... X9 Suffixsuchbaum Binärsuchbaum für Folge der Suffixe X1, X2, . . . X1 X2 X3 X5 X4 X6 X8 X7 X11 X10 0.B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 ... X9 Suffixsuchbaum Binärsuchbaum für Folge der Suffixe X1, X2, . . . X1 X2 X3 X5 X4 X6 X8 X7 X11 X10 0.B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 ... X9 Suffixsuchbaum Binärsuchbaum für Folge der Suffixe X1, X2, . . . X1 X2 X3 X5 X4 X6 X8 X7 X11 X10 0.B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 ... X9 Suffixsuchbaum Binärsuchbaum für Folge der Suffixe X1, X2, . . . X1 X2 X3 X5 X4 X6 X8 X7 X11 X10 0.B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 ... X9 Suffixsuchbaum Binärsuchbaum für Folge der Suffixe X1, X2, . . . X1 X2 X3 X5 X4 X6 X8 X7 X11 X10 0.B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 ... X9 Suffixsuchbaum Binärsuchbaum für Folge der Suffixe X1, X2, . . . X1 X2 X3 X5 X4 X6 X8 X7 X11 X10 0.B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 ... X9 Suffixsuchbaum Binärsuchbaum für Folge der Suffixe X1, X2, . . . X1 X2 X3 X5 X4 X6 X8 X7 X11 X10 0.B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 ... X9 Suffixsuchbaum Binärsuchbaum für Folge der Suffixe X1, X2, . . . X1 X2 X3 X5 X4 X6 X8 X7 X11 X10 0.B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 ... X9 Suffixsuchbaum Binärsuchbaum für Folge der Suffixe X1, X2, . . . X1 X2 X3 X5 X4 X6 X8 X7 X11 X10 0.B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 ... X9 Suffixsuchbaum Binärsuchbaum für Folge der Suffixe X1, X2, . . . X1 X2 X3 X5 X4 X6 X8 X7 X11 X10 0.B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 ... X9 Suffixsuchbaum Binärsuchbaum für Folge der Suffixe X1, X2, . . . X1 X2 X3 X5 X4 X6 X8 X7 X11 X10 0.B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 ... X9 Pattern matching: Modell X1 = 0.B1B2B3B4B5 . . . Modell: B1, B2, . . . i.i.d. Bernoulli(1/2). Äquivalente Darstellung: X1 = U, mit Xn+1 = 2Xn mod 1, d U = unif [0, 1] n ≥ 2. Pattern matching: Modell X1 = 0.B1B2B3B4B5 . . . Modell: B1, B2, . . . i.i.d. Bernoulli(1/2). Äquivalente Darstellung: X1 = U, mit Xn+1 = 2Xn mod 1, d U = unif [0, 1] n ≥ 2. Pattern matching: Modell X1 = 0.B1B2B3B4B5 . . . Modell: B1, B2, . . . i.i.d. Bernoulli(1/2). Äquivalente Darstellung: X1 = U, mit Xn+1 = 2Xn mod 1, d U = unif [0, 1] n ≥ 2. Pattern matching: Modell X1 = 0.B1B2B3B4B5 . . . Modell: B1, B2, . . . i.i.d. Bernoulli(1/2). Äquivalente Darstellung: X1 = U, mit Xn+1 = 2Xn mod 1, d U = unif [0, 1] n ≥ 2. Pattern matching: Modell X1 = 0.B1B2B3B4B5 . . . Modell: B1, B2, . . . i.i.d. Bernoulli(1/2). Äquivalente Darstellung: X1 = U, mit Xn+1 = 2Xn mod 1, d U = unif [0, 1] n ≥ 2. Pattern matching: Modell X1 = 0.B1B2B3B4B5 . . . Modell: B1, B2, . . . i.i.d. Bernoulli(1/2). Äquivalente Darstellung: X1 = U, mit Xn+1 = 2Xn mod 1, d U = unif [0, 1] n ≥ 2. Pattern matching: Modell X1 = 0.B1B2B3B4B5 . . . Modell: B1, B2, . . . i.i.d. Bernoulli(1/2). Äquivalente Darstellung: X1 = U, mit Xn+1 = 2Xn mod 1, d U = unif [0, 1] n ≥ 1. Satz (Devroye und N.) Im zufälligen Suffixsuchbaum gilt für die Tiefe Dn: E Dn = 2 log n + O(log2 log n), Dn P −→ 1. E Dn Satz (Devroye und N.) Im zufälligen Suffixsuchbaum gilt für die Tiefe Dn: E Dn = 2 log n + O(log2 log n), Dn P −→ 1. E Dn Satz (Devroye und N.) Im zufälligen Suffixsuchbaum gilt für die Tiefe Dn: E Dn = 2 log n + O(log2 log n), Dn P −→ 1. E Dn Satz (Devroye und N.) Im zufälligen Suffixsuchbaum gilt für die Tiefe Dn: E Dn = 2 log n + O(log2 log n), Dn P −→ 1. E Dn Satz (Devroye und N.) Im zufälligen Suffixsuchbaum gilt für die Tiefe Dn: E Dn = 2 log n + O(log2 log n), Dn P −→ 1. E Dn Asymptotisches Verhalten: Höhe 0 Höhe Hn: Wurzel 0,373 voll Hn P −→ α. log n Var(Hn) = O(1), Sättigungslevel Sn: E Sn ∼ α− log n, [ log n ] E Hn = α log n + O(log log n), 2 Var(Sn) = O(1), Sn P −→ α− log n 4,311 keine Knoten Dabei ist α die in (2, ∞) eind. Lösung von 2e . = 1, α = 4, 311 α log α Pittel (’84), Devroye (’86), Reed (’03), Drmota (’03), . . . Asymptotisches Verhalten: Höhe 0 Höhe Hn: Wurzel 0,373 voll Hn P −→ α. log n Var(Hn) = O(1), Sättigungslevel Sn: E Sn ∼ α− log n, [ log n ] E Hn = α log n + O(log log n), 2 Var(Sn) = O(1), Sn P −→ α− log n 4,311 keine Knoten Dabei ist α die in (2, ∞) eind. Lösung von 2e . = 1, α = 4, 311 α log α Pittel (’84), Devroye (’86), Reed (’03), Drmota (’03),. . .