7. ¨Ubung HM II - Universität der Bundeswehr München

Universität der Bundeswehr München
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik
Institut für Mathematik und Rechneranwendung
Prof. J. Gwinner
19. 02. 2013
7. Übung HM II
(1) Wir betrachten das Anfangswertproblem
1 + 2xu + u3 + (x2 + 3xu2 )u0 = 0 , u(1) = 1 .
(1)
(a) Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung in (1) exakt ist.
(b) Bestimmen Sie ein zu (1) gehöriges Potential Φ = Φ(x, u) und damit
die Lösung von (1) durch die implizite Gleichung Φ(x, u(x)) = const .
(2) Im folgenden betrachten wir ein geschlossenes thermodynamisches System
bei reversibler Prozessführung. In diesem Fall wird die Änderung der inneren Energie eines idealen Gases nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik durch den Term Ckap + p dV
beschrieben. Dabei ist Ckap die
dT
(konstante) Wärmekapazität, V das Volumen, p der Druck und T die Temperatur des Gases. Es gelte außerdem die Zustandsgleichung p V = n R T
für ideale Gase. Dabei bezeichnet n die Stoffmenge und R die molare Gaskonstante.
(a) Zeigen Sie unter Verwendung der Zustandsgleichung p V = n R T ,
dass die Differentialgleichung
dV
=0
(2)
dT
nicht exakt ist. → D.h. die innere Energie ist auch bei reversibler
Prozessführung V = V (T ) keine Erhaltungsgröße.
Ckap + p
(b) Bestimmen Sie einen integrierenden Faktor m = m(T ) zu (2).
(c) Bestimmen Sie das Potential
Φ = Φ(T,
V ) der so gefundenen exakten
dV
Differentialgleichung m Ckap + p dT = 0 und lösen Sie das Anfangswertproblem
dV
m Ckap + p
dT
!
= 0 , V (T0 ) = V0 .
(3)
Bemerkung
Das Potential Φ wird hier als Entropie S bezeichnet. Damit hat man durch
S(T, V (T )) = const die Erhaltungsgröße für ein ideales Gas bei reversibler
Prozessführung gefunden.