Aufgaben für Gruppenarbeit zur Linearen Algebra 1

Aufgaben für Gruppenarbeit
zur Linearen Algebra 1
Wintersemester 2009/2010
Universität Heidelberg
Mathematisches Institut
Dr. D. Vogel
Michael Maier
Blatt 13
Vorschlag 86.
Beweise oder widerlege:
a) Jede Matrix in M (3 × 3, R) hat einen Eigenwert.
b) Für n ∈ N hat das Polynom t2 − 1 ∈ (Z/nZ)[t] in Z/nZ höchstens 2
Nullstellen.
c) In (Z/6nZ, +) gibt es für jedes n ∈ N ein Element der Ordnung 3.
d) Jedes LGS über einem Körper K hat entweder 0, 1 oder unendlich viele
Lösungen.
e) Es gibt ein n ∈ N und A ∈ GL(n, R), mit ord(A) = 3.
f) Für A ∈ M (n × n, Q) (n ∈ N) gilt det(A) = 1 ⇒ A = In .
g) Jede komplexe Matrix hat einen Eigenwert.
h) Jede diagonalisierbare Matrix ist invertierbar.
i) Jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar.
j) Jedes Erzeugendensystem eines endlichdimensionalen Vektorraums ist endlich.
Für die folgenden Teile seien V und W zwei Vektorräume über dem Körper
K und dim V = n, dim W = m ∈ N. Ferner sei f : V −→ W eine lineare
Abbildung.
k) Ein solches f kann es nur geben wenn m ≥ n
l) dim Kern(f ) + dim Bild(f ) = n
m) dim Kern(f ) + dim Bild(f ) = m
n) Ist f surjektiv, so ist n ≥ m.
o) Gilt m ≥ n, so muss f injektiv sein.
p) Gilt m ≤ n und m 6= n, so kann f injektiv sein.
q) f injektiv ⇔ Kern(f ) = {0}
r) f surjektiv ⇒ Kern(f ) = {0}
Vorschlag 87.
Finden Sie eine injektive Abbildung von R nach R, die nicht surjektiv ist und
umgekehrt. Geben Sie eine lineare injektive und nicht surjektive Abbildung an,
sowie eine lineare surjektive und nicht injektive.
Vorschlag 88.
Sei n ∈ N und K ein Körper.
a) Zeige, dass f : Sn −→ GL(n, K), σ 7→
penhomomorphismus ist.
n
P
Eσ(i),i ein (wohldefinierter) Grup-
i=1
b) Untersuche, ob f injektiv, surjektiv oder sogar bijektiv ist.
c) Zeige, dass die n × n-Matrizen über K, die in jeder Zeile und Spalte genau
eine 1 haben und sonst 0 eine Untergruppe der GL(n, K) bilden.
Hinweis: Die Eigenschaft wohldefiniert zu sein ist natürlich auch dann zu überprüfen, wenn dies nicht explizit dabei steht!
Vorschlag 89.
Sei (G, ⋆) eine Gruppe. Zeige, dass Z(G) := {z ∈ G | z ⋆ g = g ⋆ z ∀g ∈ G } eine
Untergruppe von G ist.
Vorschlag 90.
0 1
a b
.
| a, b, d ∈ K, a, d 6= 0 und ω :=
Sei K ein Körper, U :=
−1 0
0 d
Zeigen Sie:
a) U ist eine Untergruppe von (GL(2, K), ·).
b) GL(2, K) = U ∪ U ωU mit U ωU := {u1 · ω · u2 | u1 , u2 ∈ U }.
Vorschlag 91.
In der Gruppe (GL(3, Q), ·) seien folgende Matrizen gegeben:




1 0 12
1
1 −1
1
A :=  7 −1 −5 , B := 1 −1 2
2
−2 2
0
3 1 1
a) Zeige, dass A Ordnung 3 hat.
b) Bestimme: (A−1 B)−1 A2
Vorschlag 92.
 

 1



z
Es sei M :=
| z ∈ Q ⊂ Q3 . Zeige, dass jeweils drei paarweise verschie 2

z
dene Elemente von M über Q linear unabhängig sind.
Vorschlag 93.
Bestimme eine Basis von U
R4 :

1
2

U := Lin(
3 ,
4
+ W und U ∩ W für folgende Untervektorräume des
  
  
1
9
2
5
3  0 
6 10
  ,  ), W := Lin(  ,  )
0  2 
7 11
−2
1
8
12
Vorschlag 94.
Gegeben sei die lineare Abbildung

4
1
A := 
2
1
à : R5 −→ R4 mit

1
7
1
5
4
8
4
7
.
−1 1 −1 0 
−2 −2 −2 −3
Bestimme eine Basis von Bild und Kern dieser Abbildung.
Vorschlag 95.
Gegeben sei das folgende Gleichungssystem:
2X1
2X1
X1
X2 + X3 + X4
+ X2 + 2X3 + 2X4
+ X2
+ X4
+ 2X2 + 2X3
=
=
=
=
0
1
1
2
Berechne jeweils die SZSF und alle Lösungen über Q, F3 und F5 .
Vorschlag 96.

1
Sei V := Q3 und U := Lin(0). Bestimme eine Basis des Faktorraumes V /U
2
 
2
und stelle [ 2 ] in dieser Basis dar.
−2
Vorschlag 97.
Sei K ein Körper und U, W Untervektorräume des K-Vektorraums V . Zeige, dass
die Abbildung φ : U/(U ∩W ) −→ (U +W )/W, [w] = w+(U ∩W ) 7→ [w] = w+W
ein Isomorphismus ist.
Hinweis: Wie ist die Dimension beider Räume?
Vorschlag 98.
1 1
∈ M (2 × 2, R) und f : M (2 × 2, R) −→ M (2 × 2, R),
Sei A :=
−1 0
X 7→ AX + XA eine Abbildung.
a) Bestimme alle X ∈ M (2 × 2, R) mit AX = X.
b) Zeige, dass f R-linear ist und bestimme bzgl. einer Basis von M (2 × 2, R)
die Darstellungsmatrix von f .
Vorschlag 99.
Sei K ein Körper, n ∈ N und A, B, C, D ∈ M (n×n, K). Weiter sei A invertierbar.
Zeige:
A B
= det(AD − CB).
a) Ist AC = CA, so gilt det
C D
b) Die Formel aus Teil a) ist im allgemeinen für AC 6= CA falsch.
Vorschlag 100.
Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über dem Körper K und f : V −→ V
linear von Rang 1. Zeige:
a) Es gibt genau ein a ∈ K, sodass f 2 = af ist.
b) Der Rang von idV + f ist dim(V ), falls a 6= −1 ist, und dim(V ) − 1, falls
a = −1 ist.
Vorschlag 101.
Sei A ∈ M (2 × 2, R). Zeige, ist spur(A)2 > 4 det(A), so ist A diagonalisierbar.
Vorschlag 102.
Man bestimme für jede Primzahl p die Eigenwerte und Eigenräume der Matrix


2
2
1 −1
3
3
1
1
 ∈ M (4 × 4, Fp )

3
4
0
1
−3 −2 −1 0
Vorschlag 103.
Für a ∈ R sei die folgende reelle Matrix gegeben:


a a
4
−2
0 0 −1 −1 
 ∈ M (4 × 4, R)
A := 
0 −a 2a
1 
0 a −a a − 1
a) Man bestimme alle Eigenwerte von A.
b) Für welche a ∈ R ist A diagonalisierbar?
Vorschlag 104.
Sei V = {p ∈ R[t] | deg p ≤ 3} der reellen Vektorraum der Polynome von Grad
≤ 3 und α ∈ R. Dann wird durch
f : V −→ V, p 7→ (αt + 1) · p′
ein Endomorphismus von V definiert, wobei p′ die Ableitung von p ist.
Bestimmen Sie für welche α die Abbildung f diagonalisierbar ist und bestimmen
Sie in diesen Fällen eine Basis aus Eigenvektoren.
Vorschlag 105.
Für n ∈ N, n > 1 sei A = (aij ) 1 ≤ i ≤ n ∈ M (n×n, R) gegeben durch aij := i+j−1.
1≤j ≤n
a) Man zeige, dass rang(A) = 2 ist.
b) Man bestimme eine Basis B von Bild(A).
c) Man zeige, dass Rn = Bild(A) ⊕ Kern(A) ist.
d) Dann sei C eine Basis, die aus B und einer Basis von Kern(A) entsteht.
Bestimme MCC (Ã).
e) Wie ist das charakteristische Polynom von A?