MAT 901: Stochastik - Institut für Mathematik

Prüfungsnummer: 1 Name:
Matrikelnummer:
Institut für Mathematik, Universität Zürich
Prof. E. Bolthausen
MAT 901: Stochastik
Mittwoch, 5. September 2012, 9:00–12:00, im Raum Y15G20
• Zeit: 180 Minuten.
• Legen Sie während der Prüfung Ihre Legi vor sich aufs Pult.
• An den Platz mitzunehmen sind nur Schreibutensilien und gegebenenfalls eine kleine Zwischenverpflegung. Deponieren Sie Ihre Taschen, Jacken etc. am Rande des Raums.
• Erlaubte Hilfsmittel: Sämtliche Vorlesungsunterlagen, d.h. Skript, Übungen, Lösungen zu den
Übungen, eigene Mitschriften. Taschenrechner, Mobiltelefone und andere Hilfsmittel sind nicht
zugelassen.
• Für jede Aufgabe ist auf den Prüfungsblättern (vorne und hinten) separat Platz vorhanden. Jedes Blatt muss mit Name und Matrikelnummer beschriftet werden. Sollten Sie
zusätzliches Schreibpapier brauchen, melden Sie sich bei der Klausurleitung. Verwenden Sie in
diesem Fall für jede Aufgabe ein neues Blatt Papier und beschriften Sie dieses mit Name, Matrikelnummer und Aufgabennummer. Heften Sie schliesslich alle Blätter einer Aufgabe in der
korrekten Reihenfolge zusammen – die Hefter sind bei der Klausurleitung erhältlich.
• Der Lösungsweg ist aufzuschreiben und mitabzugeben.
• Verwenden Sie weder Bleistifte noch rotfarbige Stifte.
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
8
Total
Note
Punkte
Max
4
4
4
4
4
2
4
6
32
Prüfungsnummer: 1
Name:
Matrikelnummer:
1
Aufgabe 1
Wir betrachten ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p und Länge n, d.h. es seien
Xi , 1 ≤ i ≤ n, unabhängige Zufallsvariablen mit Werten in {0, 1} und P (Xi = 1) = p ∈ (0, 1). Wn
bezeichne die Anzahl der Wechsel, d.h. die Anzahl der Indizes i ≤ n − 1 mit Xi+1 6= Xi . Berechnen
Sie E(Wn ) und var(Wn ).
(4 Punkte )
1
Prüfungsnummer: 1
Name:
Matrikelnummer:
2
Aufgabe 2
Ein Würfel werde so lange geworfen bis zum ersten Mal keine 6 erscheint. X sei die Anzahl der Würfe
inklusive dem letzten Wurf und S die Summe der Augenzahlen. Berechnen Sie E(X), var(X) sowie
E(S).
(4 Punkte )
2
Prüfungsnummer: 1
Name:
Matrikelnummer:
3
Aufgabe 3
µ sei das Wahrscheinlichkeitsmass auf ( , B), das durch die folgende Verteilungsfunktion F gegeben
ist:


0,
x < −1



 1 (x + 1), x ∈ [−1, 0)
F (x) = 41
 4 (x + 3), x ∈ [0, 1)



1,
x≥1
R
Berechnen Sie die charakteristische Funktion µ̂ von µ.
3
(4 Punkte )
Prüfungsnummer: 1
Name:
Matrikelnummer:
4
Aufgabe 4
Sei {Ak }k∈N eine Folge von Ereignissen in einem Wahrscheinlichkeitsraum.
(a) (2 Punkte ) Zeigen Sie
lim sup A2n ⊂ lim sup An
n→+∞
n→+∞
(b) (2 Punkte ) Die Folge sei, wie man sagt, 2-abhängig, d.h. für jede Folge von Indices i1 < i2 < i3 <
. . . mitPik ≥ ik−1 + 2 sind die Ai1 , Ai2 , Ai3 , . . . unabhängig. Zeigen Sie: Gilt für eine 2-abhängige
Folge n P (An ) = ∞, so folgt
P
lim sup An
n→+∞
4
=1
Prüfungsnummer: 1
Name:
Matrikelnummer:
5
Aufgabe 5
Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) sei
A := {A ∈ F : P (A) ∈ {0, 1}}
(a) (2 Punkte ) Zeigen Sie, dass A eine σ-Algebra ist.
(b) (2 Punkte ) Ferner geben Sie je ein Beispiel an mit A = {∅, Ω} und A mit unendlich vielen
Elementen.
5
Prüfungsnummer: 1
Name:
Matrikelnummer:
Aufgabe 6
Sei f : →
R R eine monotone Funktion. Beweisen Sie, dass f B − B-messbar ist.
6
6
(2 Punkte )
Prüfungsnummer: 1
Name:
Matrikelnummer:
7
Aufgabe 7
Die Anzahl der Fluggäste auf der Strecke New York-Los Angeles am Tag i ist eine Zufallsvariable Xi .
Wir nehmen an, dass die Xi unabhängig sind und alle die gleiche Verteilung haben mit E(Xi ) = 30 000
und die Varianz var(Xi ) = 106 für alle i. Was ist näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
die gesamte Anzahl der Fluggäste in 30 Tagen mindestens 105 ist?
(4 Punkte )
7
Prüfungsnummer: 1
Name:
Matrikelnummer:
Aufgabe 8
Sei {Xk }k∈N eine Folge von unabhängigen
Z-wertigen Zufallsvariablen auf (Ω, F, P ) mit

1

1 − k2 , x = 0
P (Xk = x) = 2k12 ,
x = ±k


0,
sonst
Wir definieren Sn :=
Pn
k=1 Xk .
(a) (2 Punkte ) Zeigen Sie, dass E(Xk ) = 0 und var(Xk ) = 1 für jedes k ∈
(b) (2 Punkte ) Zeigen Sie, dass P lim supk→+∞ {Xk 6= 0} = 0 ist.
(c) (2 Punkte ) Bestimmen Sie die Grenzverteilung von
8
Sn
√
.
n
N gilt.
8
Prüfungsnummer: 1
Name:
Matrikelnummer:
(Leere Seite – kennzeichnen Sie die Aufgabe für die diese genutzt wird)
9