Abstimmbare Anpassnetzwerke auf Basis ferroelektrischer

Abstimmbare Anpassnetzwerke
auf Basis ferroelektrischer
Varaktoren für
Mobilfunkanwendungen
Der Technischen Fakultät der
Universität Erlangen-Nürnberg
zur Erlangung des Grades
DOKTOR-INGENIEUR
vorgelegt von
Dipl.-Ing. Matthias Schmidt
Erlangen - 2007
II
Als Dissertation genehmigt von
der Technischen Fakultät der
Universität Erlangen-Nürnberg
Tag der Einreichung:
Tag der Promotion:
Dekan:
Berichterstatter:
10.08.2007
26.11.2007
Prof. Dr.-Ing. J. Huber
Prof. Dr.-Ing. R. Weigel
Prof. Dr.-Ing. R. Jakoby
Danksagung
Die hier vorgelegte Arbeit wäre nicht ohne die Hilfe und Unterstützung zahlreicher
Kollegen und Projektpartner entstanden. Doch mein erster Dank gehört Prof. Dr.Ing. Robert Weigel. Ohne seinen Rat und sein großes Vertrauen wäre es unmöglich
gewesen, diese Arbeit anzufertigen. Er hat trotz seiner vielfältigen Aufgaben immer ein offenes Ohr für die Probleme und Wünsche seiner Doktoranden. Weiterhin
möchte ich Dr. Anton Leidl danken, der mich immer mit großem Engagement auf
Seiten der Firma EPCOS unterstützte. Durch seine tatkräftige Unterstützung und
die Bereitstellung der BST-Kondensatoren ermöglichte er es mir, meine theoretischen Erkenntnisse an realen Schaltungen zu verifizieren.
Mein besonderer Dank gilt vor allem den wissenschaftlichen Mitarbeitern des
Lehrstuhls für Technische Elektronik. Von ihnen lernte ich, welchen Spaß es macht,
in einem Team hoch motivierter Wissenschaftler zu arbeiten. Besonders hervorheben möchte ich an dieser Stelle meine Bürokollegen Tufik Buzid und Errikos
Lourandakis. Durch viele fruchtbare Diskussionen halfen sie mir bei so mancher
Fragestellung, die mir unlösbar schien. Sie zeigten mir, dass der „Mediterranean
Way of Life“ durchaus einige Vorzüge hat. Großen Dank schulde ich auch Kay
Seemann, der mir in den letzten Jahren zum geschätzten Wegbegleiter, Leidensgenossen, Mitstreiter und Ratgeber wurde. Auf ihn konnte ich mich immer verlassen.
Auch möchte ich mich bei den technischen Mitarbeitern des Lehrstuhls bedanken.
Mit großem Geschick und viel Geduld haben Herr Schröder und Herr Voinea mich
beim Aufbau der Demonstrator-Schaltungen unterstützt. Den Mitarbeiterinnen des
Sekretariats, Frau Martinek und Frau Köhnen, möchte ich ebenfalls für die Hilfe
bei administrativen Fragen danken.
An dieser Stelle möchte ich mich auch für die Kooperationsbereitschaft bei Prof.
Dr.-Ing. Rolf Jakoby, Patrick Scheele und ihrem Team an der TU Darmstadt bedanken, die mit mir innerhalb des BMBF-Projekts MARIO zusammenarbeiteten.
Viele Ideen und die Antwort auf so manche Frage habe ich ihnen zu verdanken.
Erlangen, im August 2007
Matthias Schmidt
IV
Zusammenfassung
Die Anforderungen an die Radio-Module zukünftiger Mobiltelefone sind enorm.
Immer mehr Standards und Frequenzbänder müssen trotz gleichzeitiger Reduktion
der Kosten und der Abmessungen unterstützt werden. Zusätzlich sollen die Effizienz
und die Linearität verbessert werden. Mit den bisher verwendeten Komponenten
und Architekturen ist dies aber nur bedingt möglich. Um den zukünftigen Herausforderungen zu begegnen, sind daher neue Konzepte und Technologien nötig.
Einen vielversprechenden Ansatz stellen abstimmbare Hochfrequenzbaugruppen
auf der Basis von ferroelektrischen Kondensatoren dar. Das Materialsystem BariumStrontium-Titanat (BST) zeigt hierbei das größte Potenzial. Im Rahmen dieser Promotionsarbeit wurden erstmals abstimmbare Anpassnetzwerke aus BST-DünnfilmVaraktoren ausführlich untersucht.
Hierzu wurden, ausgehend von den grundlegenden Eigenschaften ferroelektrischer
Dünnfilm-Varaktoren, Kondensator-Modelle für die Design-Umgebung Agilent ADS
entwickelt. Diese Modelle bilden sowohl das elektrische als auch das akustische Verhalten der Bauelemente in einem sehr großen Frequenz- und Spannungsbereich ab
und ermöglichen somit die simulative Untersuchung des linearen und nichtlinearen
Verhaltens abstimmbarer Anpassnetzwerke.
Anhand umfangreicher Berechnungen und Simulationen wurde das Potenzial von
L-, Π-, T- und Reflexionsnetzwerken für abstimmbare Antennen- und Leistungsverstärker-Anpassnetzwerke erörtert. Um die Anforderungen an die Varaktoren zu
ermitteln, wurden die aus der Literatur bekannten Dimensionierungsgleichungen für
feste Anpassnetzwerke aufgegriffen und entsprechend erweitert. Erstmalig wurde ein
Reflexionsanpassnetzwerk auf Basis ferroelektrischer Kondensatoren realisiert.
Es zeigte sich, dass L-Anpassnetzwerke aufgrund ihrer geringen Verluste hervorragend geeignet sind, kleinere Impedanzänderungen auszugleichen. Ein derartig limitierter Anpassbereich tritt zum Beispiel bei Leistungsverstärkern auf, die
trotz schwankender Ausgangsleistung immer mit der optimalen Lastimpedanz abgeschlossen werden sollen.
Für die dynamische Anpassung der umgebungsabhängigen Antennenfußpunktimpedanz sind Π- und T-Anpassnetzwerke aufgrund ihres größeren Anpassbereichs
besser geeignet. Die Verluste können minimiert werden, wenn die Schaltungen mit
minimaler Netzwerk-Güte aufgebaut werden. Bemerkenswert ist das unterschiedliche nichtlineare Verhalten der beiden ansonsten gleichwertigen Topologien. Messungen bestätigten die Simulationsergebnisse, die besagten, dass bei gleicher Abstimmbarkeit der Kondensatoren Π-Anpassnetzwerke einen um ca. 10 dB höheren
VI
Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 aufweisen als T-Anpassnetzwerke. Diese Erkenntnis und die Tatsache, dass T-Anpassnetzwerke wesentlich kleinere Kondensatoren
als Π-Anpassnetzwerke benötigen, führen zu folgenden Schlussfolgerungen: Ist es
in einer Anwendung möglich, hohe Abstimmspannungen zu verwenden, ist ein ΠAnpassnetzwerk aufgrund des einfacheren Aufbaus und der Tiefpass-Wirkung besser geeignet. Muss mit einer möglichst geringen Abstimmspannung ein Anpassnetzwerk realisiert werden, ist einem T-Anpassnetzwerk mit vielen in Serie geschalteten
Kondensatoren der Vorzug zu geben. Aufgrund der kleineren Kapazitätswerte ist
hier die Realisierung der Serienschaltung einfacher. Der Aufbau der Kondensatoren
wird dadurch jedoch komplexer und die Tiefpass-Filterwirkung fällt weg.
Das Reflexion-Anpassnetzwerk zeigt den größten Abstimmbereich bei gleichzeitig
geringen Verlusten. Aufgrund der Leitungsstrukturen empfiehlt sich ihr Einsatz
allerdings erst bei höheren Frequenzen.
Alle theoretisch betrachteten Anpassnetzwerke wurden auch als Demonstratorschaltungen mit Dünnfilm-BST-Kondensatoren aufgebaut. Die linearen und nichtlinearen Messergebnisse bei 850 MHz bestätigten die entsprechenden Simulationsergebnisse.
Aufbauend auf den vielversprechenden Ergebnissen dieser Arbeit, werden inzwischen bei der Firma EPCOS in Zusammenarbeit mit den führenden BST-Kondensator- und Mobiltelefon-Herstellern abstimmbare Anpassnetzwerke für die nächste
Mobiltelefon-Generation realisiert.
Abstract
The demands on radio modules of future mobile phones will be tremendous. In spite
of minimizing costs and size, more and more frequency bands and standards have to
be supported simultaneously. Moreover, efficiency and linearity should be improved,
too. It is questionable whether this could be achieved with current concepts and
architectures. Thus, new concepts and technologies are required to meet the future
challenges.
Promising candidates are tunable RF assemblies based on ferroelectric capacitors. This thesis investigates for the first time tunable matching networks made
of barium strontium titanate thin film varactors. Therefore, Agilent ADS models
were developed, derived from the fundamental properties of thin film varactors.
These models are capable of reproducing both, the acoustic and electric behavior
of these components over a wide frequency and voltage range. Hence it is possible
to investigate the linear and nonlinear behavior of tunable matching networks. The
potential of L, Π, T and reflection-type networks for tunable antenna and power
amplifier matching networks is discussed by means of comprehensive calculations
and simulations. To determine the demands for the varactors it was necessary to
expand the previously published dimensioning rules for fixed matching networks.
Within this thesis a reflection-type matching network based on ferroelectric capacitors was realized for the first time.
The investigations of the L matching network showed that this structure is an
excellent choice if only a small impedance range should be covered. Due to their
low losses these matching networks could be used to match the variable output
impedance of a power amplifier at different power levels.
Π and T matching networks have a larger matching area compared to the L
matching network. With these matching networks it is possible to realize a dynamic antenna mismatch compensation. To reduce the loss of such networks it is
necessary to design them with minimum network quality factor. It is remarkable
that these two equivalent structures have a different nonlinear behavior. Both measurement and simulation showed that Π matching networks have an approximately
10 dB higher third order intercept point IP3 than the T matching networks with
the same capacitor tunability. This result and the fact that T matching networks
need significantly smaller capacitors leads to the following conclusions: Π matching
networks are the best choice if it’s possible to use high tuning voltages. They can
be realized very easily and have a low-pass characteristic. If only small tuning voltages are available T matching networks with several series connected capacitors
VIII
are the better choice. Due to their smaller capacitances the realization of the series
connection is less challenging than for the Π matching networks. Unfortunately
these capacitor arrays need more space and the low-pass characteristic is lost, too.
Reflection-type matching networks show both, a large matching area and low
losses. With transmission line elements these matching networks are more suitable
for higher frequencies.
To confirm the simulation results all type of matching networks were realized
with thinfilm BST capacitors and investigated by means of linear and nonlinear
measurements at 850 MHz.
Based on the results of this thesis EPCOS started to develop tunable matching
networks in cooperation with the major capacitor and mobile phone manufacturers.
Inhaltsverzeichnis
1 Motivation und Stand der Technik
1
2 Aufbau und Eigenschaften von BST-Kondensatoren
2.1 Polarisation in Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Lineare Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Spontane Polarisation in Ferroelektrika . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Dielektrische Nichtlinearität . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kristallstruktur und Herstellungsverfahren ferroelektrischer Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Verlustmechanismen und akustisches Verhalten . . . . . . . . . . .
2.3.1 Verluste in den Elektroden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Verluste im Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Verluste durch akustische Resonanzen . . . . . . . . . . . . .
20
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27
3 Modellierung ferroelektrischer Kondensatoren
3.1 Klassische lineare Kondensatormodelle . . . . . . . .
3.2 BST-Varaktor-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Beschreibung einer nichtlinearen Kapazität . .
3.2.2 Beschreibung eines nichtlinearen Widerstandes
3.2.3 Beschreibung parasitärer Resonanzen . . . . .
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4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
4.1 Netzwerktheoretische Grundlagen . . . . . . . . . . .
4.2 Eigenschaften verlustbehafteter Anpassnetzwerke . .
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
4.3.1 L-Anpassnetzwerke . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Π-Anpassnetzwerke . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 T-Anpassnetzwerke . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Reflexionsanpassnetzwerke . . . . . . . . . . .
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5 Lineare und nichtlineare Charakterisierung
5.1 Messgenauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Messungen mit dem Netzwerk-Analysator
5.1.2 Messungen mit dem Impedanz-Analysator
5.2 Nichtlineare Messungen . . . . . . . . . . . . . . .
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X
6 Experimentelle Verifikation an Demonstratoren
6.1 Aufbau- und Verbindungstechnik . . . . . .
6.2 L-Anpassnetzwerk . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Π-Anpassnetzwerk . . . . . . . . . . . . . .
6.4 T-Anpassnetzwerk . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Reflexionsanpassnetzwerk . . . . . . . . . .
Inhaltsverzeichnis
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7 Ausblick
141
A Umrechnungen zwischen KC , τC und UCmax/2
143
B Impedanztransformation
144
C Eigenschaften verlustloser Zweitore
145
D Herleitung der Induktivität für Π- und T-Anpassnetzwerke
146
D.1 Π-Anpassnetzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
D.2 T-Anpassnetzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Abkürzungen und Formelzeichen
148
Literaturverzeichnis
152
1 Motivation und Stand der Technik
Der zellulare Mobilfunk hat die Art und Weise, wie Menschen miteinander kommunizieren, grundlegend verändert. Nur kurze Zeit war das mobile Telefonieren
ein Privileg gut betuchter Geschäftsleute. Als Ende der 90er-Jahre durch ständige
Miniaturisierung und Integration aus dem klobigen analogen „Koffertelefon“ ein
schickes kleines „Handy“ wurde, war der Siegeszug des Mobilfunks nicht mehr aufzuhalten. Gleichzeitig wurde aus dem zunächst reinen Kommunikationsgerät ein
Lifestyle-Accessoire mit einer Vielzahl an Funktionen. Moderne Mobiltelefone sind
gleichzeitig noch Kamera, MP3-Spieler, TV, PDA, Spielekonsole, Modem und nicht
zuletzt Statussymbol.
Aus dieser sicher nicht vollständigen Liste an Funktionen folgt letztendlich, dass
das Radio-Modul eines Mobiltelefons nur einen kleinen Teil des Gesamtprodukts in
Bezug auf Platzbedarf, Stromverbrauch und Kosten darstellen darf. Obwohl dem
Radio-Modul nur noch ein Teil der Ressourcen zu Verfügung steht, haben sich die
Anforderungen drastisch erhöht. Höhere Datenraten erfordern komplexere Modulationsformate mit höheren Linearitäts- und Bandbreiteanforderungen. Der starke
Kostendruck zwingt die Mobiltelefon-Hersteller, ein Produkt möglichst weltweit
zu vermarkten. Dies wiederum führt aufgrund der weltweit unterschiedlichen Frequenzbelegung und Mobilfunkstandards zu dem Zwang, möglichst multiband- und
multimodefähige Geräte herzustellen.
Auf diesem Gebiet wurden im Bereich der digitalen Basisbandverarbeitung und
im analogen Hochfrequenzteil enorme Fortschritte gemacht. Mit kombinierten LowIF- und Zero-IF-Systemkonzepten scheint der Wunsch eines per Software definierten
Radio-Moduls in greifbare Nähe gerückt zu sein [55]. Einzig einige wenige Baugruppen vor der Antenne bzw. die Antenne selbst widersetzen sich diesem Ansatz. Da
ist einerseits der Leistungsverstärker, dessen Effizienz und Linearität maßgeblich
die Leistungsfähigkeit des Gesamtsystems bestimmt, und andererseits sind da die
Filter, die die Anforderungen an den Dynamikbereich der nachfolgenden Stufen
deutlich reduzieren.
Vor diesem Hintergrund wurden die Anstrengungen auf dem Gebiet der abstimmbaren passiven Hochfrequenzbauelemente seitens der Industrie und der internationalen Forschungsgemeinschaft intensiviert. Neben der MEMS-Technologie und
der Halbleiter-Technologie wurde vor allem das Potenzial ferroelektrischer Baugruppen untersucht. Ferroelektrische Varaktoren zeigten bereits in Phasenschiebern [45, 39, 38, 82], VCOs [66, 59], Modulatoren [78] und abstimmbaren Filtern
[73, 63, 96] ihre vielfältigen Einsatzmöglichkeiten.
2
1 Motivation und Stand der Technik
Ein weiteres, bisher nur sehr spärlich untersuchtes Einsatzfeld für ferroelektrische Varaktoren stellen abstimmbare Anpassnetzwerke dar [57, 81, 99]. Daher war
es Ziel dieser Arbeit, im Rahmen des vom Bundesministerium für Bildung und Forschung geförderten Projekts MARIO das Potenzial ferroelektrischer Varaktoren für
abstimmbare Anpassnetzwerke sowohl durch ausgiebige theoretische Betrachtungen
als auch durch aufgebaute Demonstratorschaltungen aufzuzeigen. Hierbei wurden
Netzwerkstrukturen untersucht, die bei einer festen Arbeitsfrequenz einen möglichst
großen Impedanzbereich an eine feste Last- oder Quellimpedanz anpassen können.
Derartige Schaltungen können für die unterschiedlichsten Anwendungen benutzt
werden.
Ein Beispiel stellt ein variables Anpassnetzwerk für einen Leistungsverstärker
dar. Bei den für moderne Kommunikationsstandards häufig verwendeten KlasseAB-Verstärkern nimmt die Effizienz P AE (engl. Power Added Efficiency) bei einem festen Anpassnetzwerk mit sinkender Ausgangsleistung stark ab [21, 64]. Da
typischerweise die Ausgangsleistung während eines großen Teils der Betriebsdauer
ca. 10–20 dB unter der maximalen Ausgangsleistung liegt, würde eine Verbesserung der Effizienz in diesem Betriebsfall die Akkulaufzeit deutlich erhöhen [83].
Dies kann nach Cripps durch eine dynamische Anpassung der Ausgangsimpedanz
erreicht werden (Dynamic Loadline Matching) [21, 51, 64].
Ein weiteres Anwendungsfeld für abstimmbare Anpassnetzwerke findet sich in
der adaptiven Anpassung der Fußpunktimpedanz einer Antenne. Eine große Zahl
von Untersuchungen, auch innerhalb des MARIO-Projekts, hat gezeigt, dass die
Fußpunktimpedanz einer Antenne stark von ihrer unmittelbaren Umgebung abhängt [13, 68, 12]. Gerade bei einem Mobiltelefon kann diese Impedanz stark variieren. Während des Telefonierens wird die Antenne vom Kopf bzw. von der Hand
abgedeckt. Nicht selten wird das Mobiltelefon auch zwischen Ohr und Schulter eingeklemmt. Aber auch wenn gerade nicht telefoniert wird, muss das Mobiltelefon
sende- bzw. empfangsbereit sein. Dabei steckt es in Hemden-, Jacken- und Hosentaschen, liegt in einer Handtasche oder im Auto in der Mittelkonsole. Wird es als
drahtloses Modem benutzt, kann es auch auf einem Tisch in unmittelbarer Nähe
eines Notebook-Displays liegen. Eine Fehlanpassung mit einer Rückflussdämpfung
von 5 dB führt beispielsweise zu einem Verlust durch Fehlanpassung von 1,65 dB.
Darüber hinaus kann sich auch die Effizienz und Linearität des Leistungsverstärkers
deutlich verschlechtern [37].
Um diesen Problemen zu begegnen, wurden bisher unterschiedliche Konzepte
verfolgt. Die einfachste und bisher einzige in Großserie realisierte Möglichkeit stellt
der Einsatz eines Isolators dar. Dieses Bauteil zum Schutz des Leistungsverstärkers
reduziert jedoch nicht die Verluste durch Fehlanpassung. Vielmehr verschlechtert
es mit einer typischen Einfügedämpfung von 0,6 dB die Effizienz im Sendepfad.
Wünschenswert wäre daher eine dynamische Anpassung. Die bei höheren Frequenzen (> 10 GHz) erfolgreich eingesetzte MEMS-Technologie kann in dem für den
zellularen Mobilfunk interessanten Frequenzbereich nur schlecht angewendet wer-
3
den [53, 84, 41, 103]. Daher wurden bisher mit Halbleiter-Schaltern geschaltete
Kondensator-Arrays für die Realisierung abstimmbarer Anpassnetzwerke benutzt
[72]. Diese Technologie hat jedoch eine Reihe von Nachteilen: Zunächst muss für die
Schalter die relativ teure SOS-Technologie (engl. Silicon On Sapphire) eingesetzt
werden, um niedrige Ein-Widerstände Ron zu ermöglichen. Diese liegen im Bereich
von Ron ≈ 0,5 Ω und erhöhen die Verluste beträchtlich. Ein weiterer Nachteil ergibt
sich aus der komplexeren Aufbautechnik. Da sich die benötigten Kapazitäten mit
hohen Güten nicht integrieren lassen, müssen sie als SMD-Bauelemente oder als
Array durch eine geeignete Verbindungstechnik auf einem Trägersubstrat platziert
werden. Dies erhöht jedoch den Platzbedarf.
Die einzig für die Großserie sinnvolle Möglichkeit, ein dynamisch abstimmbares
Anpassnetzwerk zu realisieren, ist die Verwendung ferroelektrischer Varaktoren. Neben den in dieser Arbeit realisierten Schaltungen und den im Rahmen des MARIOProjekts an der TU Darmstadt aufgebauten Anpassnetzwerken sind nur sehr wenige
Arbeiten auf diesem Gebiet publiziert worden [81]. Ein L-Anpassnetzwerk mit einem sehr eingeschränkten Anpassbereich wurde in [99] veröffentlicht. Ein weiteres
L-Anpassnetzwerk wurde von Kyocera in Kombination mit einem Leistungsverstärker demonstriert [36]. In dieser Veröffentlichung wurde zum ersten Mal gezeigt,
dass sich die Linearität eines Leistungsverstärkers mit einem abstimmbaren BSTAnpassnetzwerk verbessern lässt. Die zusätzlichen Verluste wurden jedoch nicht
spezifiziert. Erste kommerzielle Produkte wurden von Paratek vorgestellt [57]. Aufgrund mangelnder veröffentlichter Daten kann dieses Netzwerk jedoch nicht bewertet werden.
2 Aufbau und Eigenschaften von
BST-Kondensatoren
In diesem Kapitel werden die grundlegenden Eigenschaften von BST vorgestellt. Zunächst wird die phänomenologische Theorie der ferroelektrischen Phasenumwandlungen eingehend diskutiert und alle wichtigen Grundgleichungen für die spätere
Modellierung werden hergeleitet. Danach werden jeweils kurz der kristalline Aufbau
und die Herstellungsverfahren von BST-Kondensatoren vorgestellt. Der letzte Teil
des Kapitels widmet sich den Verlustmechanismen und den parasitären akustischen
Resonanzen in Dünnfilm-Kondensatoren.
2.1 Polarisation in Dielektrika
2.1.1 Lineare Polarisation
Materialien, die keine freien Ladungsträger haben, werden als Isolatoren oder Dielektrika bezeichnet. Obwohl die Ladungträger hier nicht völlig frei beweglich sind,
können sich positive und negative Ladungen Q bis zu einem gewissen Grad verschieben oder drehen. Es entsteht ein Dipolmoment ~p:
p~ = Q~r
(2.1)
wobei Q der Betrag einer Ladung und ~r der Abstandsvektor zwischen den beiden
Ladungen ist (Abb. 2.1). Da bei der makroskopischen Charakterisierung eines
Dielektrikums die einzelnen Dipolmomente nicht getrennt voneinander beobachtet
werden können, ist es zweckmäßiger, nur die Dichte der Dipolmomente, die als
Polarisation P~ bezeichnet wird, zu betrachten. In einem Kristall mit dem Volumen
einer Einheitszelle Vu und den Dipolmomenten p~i beträgt die Polarisation P~
1 X
p~i .
P~ =
Vu i
−Q
~r
+Q
Abb. 2.1: Definition des Dipolmoments ~p
(2.2)
5
2.1 Polarisation in Dielektrika
~
E
Elektronenpolarisation
Ionenpolarisation
Orientierungspolarisation
(a)
(b)
Abb. 2.2: Übersicht über verschiedene Arten der Polarisation; (a) Feldfreier Zustand; (b) Polarisation bei externem elektrischem Feld
Da die Einheitszelle eines Kristalls aus mehreren Dipolen besteht, muss über alle beteiligten Dipolmomente summiert werden. Die Gesamtpolarisation setzt sich
aus mehreren Einzelbeiträgen zusammen. Gewöhnlich wird, im für diese Arbeit relevanten Frequenzbereich (800 MHz – 2,5 GHz), zwischen Elektronen-, Ionen- und
Orientierungspolarisation unterschieden [24].
Bei der Elektronen und Ionenpolarisation handelt es sich um eine sogenannte
Verschiebungspolarisation, d. h., das Dipolmoment entsteht dadurch, dass sich die
Schwerpunkte der positiven und negativen Ladungen leicht verschieben. Im Falle
der Elektronenpolarisation ist die negativ geladene Elektronenhülle nicht mehr konzentrisch zum positiv geladenen Atomkern. Bei der Ionenpolarisation werden die
positiv und negativ geladenen Ionen im Kristallgitter verschoben. Im Gegensatz
zur Verschiebungspolarisation tritt die Orientierungspolarisation nur bei Stoffen
auf, die bereits permanente Dipole besitzen. Um von außen eine Polarisation zu
beobachten, müssen sich hier die Dipole durch Drehen gleichförmig ausrichten können. Bei einem linearen Dielektrikum kommt es nur, wie in Abb. 2.2 gezeigt, bei
6
2 Aufbau und Eigenschaften von BST-Kondensatoren
~ zu einer Polarisation P~ [8]
einem äußeren elektrischen Feld E
~
P~ = χε0 E.
(2.3)
Die dielektrische Suszeptibilität χ und die Dielektrizitätskonstante des Vakuums ε0
sind Material- bzw. Naturkonstanten.
2.1.2 Spontane Polarisation in Ferroelektrika
Ferroelektrische Stoffe zeichnen sich dadurch aus, dass auch ohne ein externes Feld
eine spontane permanente Polarisation auftritt. Dies ist nur dann möglich, wenn
mindestens zwei gleichwertige Zustände minimaler freier Enthalpie G1 existieren,
die sich in ihrer Dipolorientierung unterscheiden.
Mithilfe der Ginzburg-Landau-Theorie [89, 87, 102] kann das Verhalten von Ferroelektrika sehr gut beschrieben werden. Dabei wird von der Annahme ausgegangen, dass in einem System stark wechselwirkender Teilchen die Felder, die auf jedes
einzelne Teilchen wirken, durch ein mittleres Feld ersetzt werden können. Diese Annahme ist für die in dieser Arbeit verwendeten Materialien und Temperaturbereiche
ausreichend erfüllt. Sie geht davon aus, dass nahe eines Phasenübergangs die freie
Enthalpie als Polynom eines Ordnungsparameters ausgedrückt werden kann. Im
Falle eines ferroelektrischen Phasenübergangs ist dies die Polarisation P . Für eine
vereinfachte Betrachtung soll hier nur der isotrope, eindimensionale Fall betrachtet
werden
G (P ) = G0 + αP 2 + βP 4 + γP 6 .
(2.4)
Koeffizienten mit ungeraden Exponenten tauchen aufgrund der geforderten Kristallsymmetrie nicht auf. Im thermodynamischen Gleichgewicht muss die freie Enthalpie
ein Minimum aufweisen
∂2G
∂G
= 0;
> 0.
(2.5)
∂P
∂P 2
Wie bereits erwähnt, beschreibt die Ginzburg-Landau-Theorie das Verhalten in der
Nähe eines Phasenübergangs. Eine Phase ist ein nach außen abgeschirmtes, makroskopisch homogenes System. Ändert sich ein äußerer Parameter wie z. B. Druck
oder Temperatur, kann es für das System energetisch günstiger sein, in eine andere
Phase überzugehen. Dabei können je nach Wert der Materialparameter α, β und γ
zwei unterschiedliche Typen von Phasenumwandlungen unterschieden werden.
Phasenumwandlungen erster Ordnung
Phasenumwandlungen erster Ordnung zeichnen sich durch eine sprunghafte Änderung von Zustandsgrößen wie z. B. des Volumens und durch eine Umwandlungswärme aus. Es existieren überhitzte und unterkühlte metastabile Phasen, die sich
1
Im angelsächsischen Sprachraum wird oft auch der Begriff „Gibbs free energy“ benutzt.
7
2.1 Polarisation in Dielektrika
in einer Temperaturhysterese manifestieren. Der Phasenübergang von der Tieftemperaturphase zur Hochtemperaturphase findet bei einer höheren Temperatur statt
als der umgekehrte Prozess. Da bei der Phasenumwandlung der Tieftemperaturphase die zugeführte Energie in Form von Wärme für die Bildung der neuen Phase
verbraucht wird und daher zu keiner Temperaturerhöhung beiträgt, ist die Wärmekapazität an dieser Stelle unendlich groß. Für die Umwandlung selbst ist ein
Keimbildungsprozess notwendig [87]. Die bekanntesten Beispiele für Phasenumwandlungen erster Ordnung sind die Übergänge zwischen den Aggregatzuständen
fest, flüssig und gasförmig.
Bei der mathematischen Beschreibung einer Phasenumwandlung erster Ordnung
müssen die Parameter β und γ die Bedingungen
β < 0 und γ > 0
(2.6)
erfüllen. Die Parameter β und γ sind nur schwach von der Temperatur T abhängig.
Für den Parameter α kann in erster Näherung ein linearer Temperaturverlauf nach
dem Curie-Weiss’schen Gesetz angenommen werden
T − TC
mit C > 0.
(2.7)
C
TC wird als Curie-Temperatur und C als Curie-Konstante bezeichnet. Wie aus
Gl. (2.7) ersichtlich, ist α oberhalb der Curie-Temperatur positiv und wechselt bei
der Curie-Temperatur das Vorzeichen. Beide Konstanten sind materialabhängig. In
Abb. 2.3 ist der Verlauf der freien Enthalpie in Abhängigkeit von der Polarisation
und der Temperatur gegeben. Je nach Temperaturbereich existieren bis zu fünf
Extremalstellen. Sie ergeben sich aus den Nullstellen der partiellen Ableitung der
freien Enthalpie nach der Polaristaion
α (T ) =
∂G
= P 2α (T ) + 4βP 2 + 6γP 4 = 0.
∂P
Diese Bedingung ist erfüllt für
(2.8)
v


u
s
u β
(T
)
3γα
u
.
P1 = 0 und P2−5 (T ) = ±t− 1 ∓ 1 −
2
3γ
β
(2.9)
Da für das thermodynamische Gleichgewicht nur die lokalen Minima von Bedeutung sind (Gl. (2.5)), sollen im Folgenden auch nur diese näher betrachtet werden. Wie in Abb. 2.3 zu sehen, können drei Temperaturbereiche, die durch die
untere Phasenumwandlungstemperatur (Curie-Temperatur) TC und die obere Phasenumwandlungstemperatur TC∗ begrenzt werden, unterschieden werden. Die obere
Phasenumwandlungstemperatur ist gegeben durch
TC∗ = TC +
Cβ 2
.
3γ
(2.10)
8
2 Aufbau und Eigenschaften von BST-Kondensatoren
1. Im Temperaturbereich oberhalb der oberen Phasenumwandlungstemperatur
T > TC∗ (Bereich 1) existiert nur ein Minimum bei
P1 = 0.
(2.11)
Da es nur einen stabilen Zustand gibt, kann es nicht zu einer spontanen
Polarisation kommen. Das Material ist in der paraelektrischen Phase.
2. Im Temperaturbereich unterhalb der Curie-Temperatur T < TC (Bereich 2)
existieren zwei Minima bei P2 und P3
v


u
s
u β
(T
)
3γα
u
.
P2,3 (T ) = ±t− 1 + 1 −
2
3γ
β
(2.12)
3. Im Temperaturbereich TC∗ < T < TC (Bereich 3) existieren drei lokale Minima bei P = P1,2,3 . In diesem Bereich kann der Kristall die symmetrische
paraelektrische Phase mit P = 0 oder die unsymmetrische ferroelektrische
Phase mit P = P2,3 annehmen. Welche Phase in diesem Temperaturbereich
tatsächlich angenommen wird, hängt, wie in Abb. 2.4 dargestellt, von der
Vorgeschichte des Kristalls ab. War der Kristall vorher in der paraelektrischen Phase und wird abgekühlt, bleibt er in dieser Phase bis zur unteren
Phasenumwandlungstemperatur. Wird der Kristall weiter abgekühlt, springt
die Polarisation an der unteren Phasenumwandlungstemperatur auf einen der
Werte
s
2β
(2.13)
P (TC− ) = ± − .
3γ
Bereich 1
T > TC∗
T = TC∗
Bereich 3
T = T0
Bereich 2
T = TC
T < TC
Abb. 2.3: Freie Enthalpie G in Abhängigkeit von der Temperatur T und der Polarisation P
9
2.1 Polarisation in Dielektrika
Bereich 3
Bereich 2
Bereich 1
T ↑
T ↓
T0 TC∗
TC
Abb. 2.4: Temperaturabhängigkeit der Polarisation P bei Phasenübergängen erster Ordnung
War der Kristall vorher in der ferroelektrischen Phase und wird erhitzt, bleibt
er analog zum vorherigen Fall in dieser Phase bis zur oberen Phasenumwandlungstemperatur. Bei der oberen Phasenumwandlungstemperatur springt die
Polarisation von
s
β
(2.14)
P (TC∗− ) = ± −
3γ
auf den Wert P (TC∗+ ) = 0. Die Temperaturdifferenz ∆T = TC∗ − TC stellt die
maximal mögliche Temperaturhysterese dar, die bei einem Phasenübergang
erster Ordnung auftreten kann. Diese in Abb. 2.4 gezeigte Temperaturdifferenz wird jedoch in realen Kristallen nicht erreicht.
In der Literatur wird häufig vereinfacht von nur einem Phasenübergang bei
der Phasenübergangstemperatur T0 ausgegangen [52]
T0 = TC +
β2
.
4γ
(2.15)
An diesem Punkt ist die freie Enthalpie in der paraelektrischen Phase für P =
P1 = 0 gleich der freien Enthalpie der ferroelektrischen Phase für P = P2,3
G(T0 ,P1 ) = G(T0 ,P2,3 )
(2.16)
Phasenumwandlungen zweiter Ordnung
Bei einer Phasenumwandlung zweiter Ordnung ändert sich die Polarisation im Gegensatz zu Phasenumwandlungen erster Ordnung kontinuierlich. Es gibt daher weder metastabile Phasen und Temperatur-Hysterese noch eine Umwandlungswärme.
10
2 Aufbau und Eigenschaften von BST-Kondensatoren
Bereich 1
T > TC
T = TC
T < TC
Bereich 2
Abb. 2.5: Freie Enthalpie G in Abhängigkeit von der Temperatur T und der Polarisation P
Phasenumwandlungen zweiter Ordnung können ebenfalls mit Gl. (2.4) beschrieben werden. Jedoch müssen jetzt die Bedingungen
β > 0 und γ = 0
(2.17)
für die Parameter β und γ erfüllt sein. Der Parameter α gehorcht weiterhin dem
Curie-Weiss’schen Gesetz (Gl. (2.7)). Mit diesen Bedingungen ergibt sich der in
Abb. 2.5 dargestellte Verlauf für die freie Enthalpie in Abhängigkeit von der Polarisation und der Temperatur. Die Phasenumwandlungstemperatur T0 ist bei Phasenumwandlungen zweiter Ordnung eindeutig und identisch mit der Curie-Temperatur
T0 = TC .
(2.18)
Analog zu Phasenumwandlungen erster Ordnung muss auch hier die stabile Phase
die Bedingung für das thermodynamische Gleichgewicht Gl. (2.5) erfüllen. Durch
den Wegfall des Parameters γ vereinfacht sie sich zu
∂G
= P 2α (T ) + 4βP 2 = 0.
∂P
(2.19)
Diese Bedingung ist erfüllt für
s
P1 = 0 und P2,3 = ± −
α (T )
.
2β
(2.20)
11
2.1 Polarisation in Dielektrika
Bereich 2
Bereich 1
TC
Abb. 2.6: Abhängigkeit der Polarisation P von der Temperatur T
Es ergeben sich, wie bereits erwähnt, nur noch zwei Temperaturbereiche:
1. Der Temperaturbereich oberhalb der Curie-Temperatur T > TC∗ (Bereich 1)
hat nur ein Minimum bei
P1 = 0
(2.21)
und repräsentiert die paraelektrische Phase.
2. Im Temperaturbereich unterhalb der Curie-Temperatur T < TC (Bereich 2)
existieren zwei Minima bei P2 und P3 . Dies ist die ferroelektrische Phase.
Den Verlauf der freien Enthalpie zeigt Abb. 2.6 in Abhängigkeit von der Temperatur. Die Polarisation verringert sich mit steigender Temperatur stetig, bis sie bei
der Curie-Temperatur verschwindet.
2.1.3 Dielektrische Nichtlinearität
Die in Abs. 2.1.2 vorgestellte Ginzburg-Landau-Theorie ist auch in der Lage, die
dielektrische Nichtlinearität der Ferroelektrika in der paraelektrischen Phase zu
erklären. Wird ein mit einem ferroelektrischen Dielektrikum gefüllter Plattenkondensator betrachtet, so können aus den partiellen Ableitungen der freien Enthalpie
die elektrische Feldstärke E
∂G
E=
(2.22)
∂P
und die reziproke Dielektrizitätskonstante 1/ε
∂2G
1
1
1
=
≈ =
f ür εr ≫ 1
2
ε0 χ
∂P
ε
ε0 εr
(2.23)
12
2 Aufbau und Eigenschaften von BST-Kondensatoren
berechnet werden. Da in ferroelektrischen Materialien die relative Dielektrizitätskonstante εr sehr groß ist, kann sie näherungsweise der dielektrischen Suszeptibilität
χ gleichgesetzt werden.
Phasenumwandlungen erster Ordnung
Betrachten wir zunächst wieder einen Phasenübergang erster Ordnung. Gemäß
Gl. (2.22) stellt sich die Polarisation bei einem äußeren Feld E so ein, dass gilt:
E=
2
(T − TC ) P + 4βP 3 + 6γP 5.
C
(2.24)
Abb. 2.7 zeigt die entstehenden Hysteresekurven für unterschiedliche Temperaturen. Es können auch hier drei Temperaturbereiche unterschieden werden:
1. Im Temperaturbereich unterhalb der Phasenübergangstemperatur T < T0
zeigt sich eine einfache Hystereseschleife. Die gepunkteten Kurvenabschnitte
sind nicht stabil, da hier gilt:
∂2G
< 0.
∂P 2
(2.25)
Die Polarisation springt daher bei steigender bzw. fallender Feldstärke entlang
der gestrichelten Kurvenabschnitte.
2. Im Temperaturbereich oberhalb der Phasenumwandlungstemperatur und unterhalb der kritischen Temperatur T0 < T < Tkr mit
Tkr = TC +
3Cβ 2
5γ
(2.26)
kommt es zu Doppelschleifen. Besonders bemerkenswert ist hier die Tatsache,
dass es im Gegensatz zu einer Phasenumwandlung zweiter Ordnung auch in
der paraelektrischen Phase (T > TC∗ ) zu einer Hysterese kommt. Der Tempe2
jedoch
raturbereich, in dem dies beobachtet werden kann, ist mit ∆T = 4Cβ
15γ
sehr klein.
3. Oberhalb der kritischen Temperatur T > Tkr ist keine Hysterese mehr zu
beobachten.
Für die Dielektrizitätskonstante betrachten wir nun die zweite Ableitung
1
= 2α (T ) + 12βP 2 + 30γP 4.
ε
(2.27)
13
2.1 Polarisation in Dielektrika
Polarisation P
T < T0
T = T0
T > T0
T = Tkr
0
0
Elektrische Feldstärke E
Abb. 2.7: Abhängigkeit der Polarisation P von der elektrischen Feldstärke E für
verschiedene Temperaturen bei Phasenumwandlungen erster Ordnung
Analog zur Temperatur-Hysterese der Polarisation müssen wieder drei unterschiedliche Temperaturbereiche unterschieden werden:
1. In der paraelektrischen Phase T > TC∗ verschwindet die spontane Polarisation
und die Dielektrizitätskonstante kann, wie in Abb. 2.8 zu sehen, mit der
einfachen Beziehung
C
(2.28)
ε (T ) =
2(T − TC )
beschrieben werden.
2. In der ferroelektrischen Phase T < TC muss in Gl. (2.27) die Polarisation aus
Gl. (2.12) eingesetzt werden. Nach einigen Umformungen ergibt sich:
ε (T ) =

1
α (T )
8z 1 −
+
z
s
 mit z =
α (T ) 
1−
z
β2
.
3γ
(2.29)
3. Zwischen diesen beiden Bereichen kommt es wieder zu einem Hystereseeffekt.
In realen Ferroelektrika springt die Dielektrizitätskonstante jedoch nicht an
den Temperaturen TC und TC∗ , sondern bei etwas höheren bzw. tieferen Temperaturen.
Das eigentliche Interesse bei ferroelektrischen Materialien gilt nicht der Temperaturabhängigkeit der Permittivität, sondern deren Abhängigkeit von einem externen
14
2 Aufbau und Eigenschaften von BST-Kondensatoren
TC
TC∗
Abb. 2.8: Abhängigkeit der Dielektrizitätskonstanten ε von der Temperatur T
elektrischen Feld. Ausgehend von Gl. (2.23) und Gl. (2.27) mit der Näherung εr ≫ 1
ergibt sich für Phasenübergänge erster Ordnung:
ε (E,T ) =
1
.
2α (T ) + 12βP (E)2 + 30γP (E)4
(2.30)
Damit die Permittivität explizit als Funktion der Feldstärke dargestellt werden
kann, muss Gl. (2.24) invertiert werden. Da es sich hierbei um ein Polynom fünften
Grades handelt, ist dies laut dem Satz von Abel-Ruffini bzw. der Galoistheorie unter
Verwendung von Radikalen2 im Allgemeinen nicht möglich. Theoretisch wäre es
zwar möglich, Gl. (2.24) zu invertieren, doch scheitert eine analytische Berechnung3
an den beschränkten Ressourcen aktueller Rechner. Eine numerische Berechnung
der Inversen von Gl. (2.24) und somit von Gl. (2.30) als Funktion der Feldstärke ist
jedoch möglich. Einige Punkte können auch analytisch berechnet werden. Zum einen
kann die Permittivität bei E = 0 durch Gl. (2.28) beschrieben werden, zum anderen
kann für die Wendepunkte von Gl. (2.24) die Permittivität berechnet werden. Für
den Wendepunkt muss gelten:
∂2E
= 0.
(2.31)
∂P 2
2
3
Wurzelausdrücke.
Um ein Polynom 5. Grades zu invertieren, existieren in der Literatur einige verschiedene Lösungsansätze. Der im Rahmen dieser Arbeit unternommene Versuch basiert auf einer Methode,
die von F. Klein unter Verwendung von hypergeometrischen Funktionen entwickelt wurde. Jedoch müssen die Polynome vorher mit einer nichtlinearen Tschirnhaus-Transformation in eine
reduzierte Form überführt werden. Nach der Lösung der reduzierten Form erhält man die
inverse Funktion durch eine Rücktransformation. Diese Rücktransformation scheitert jedoch
an den beschränkten Ressourcen heutiger Rechner (Zur Orientierung: Die Darstellung einer
Lösung des transformierten Polynoms füllt 614 Seiten).
15
2.1 Polarisation in Dielektrika
Permittivität ε
εmax
β
γ
β
γ
β
γ
0
= −0,01
= −2
= −10
Ekr
−Ekr 0
Elektrische Feldstärke E
Abb. 2.9: Abhängigkeit der Permittivität ε von der elektrischen Feldstärke E und
dem Verhältnis der Materialparameter β/γ bei der Temperatur T1 =
Tkr + C/(2εmax )
Hieraus folgt wiederum, dass die Polarisation Pkr am Wendepunkt den Wert
s
Pkr = ± −
β
5γ
(2.32)
annimmt. Setzt man Pkr aus Gl. (2.32) in Gl. (2.24) ein, so erhält man
7β 2
Ekr (T ) = ± α (T ) −
25γ
!s
−
4β
.
5γ
(2.33)
Dies in Gl. (2.30) eingesetzt, ergibt mit Gl. (2.7)
ε (E = Ekr ,T ) =
3Cβ 2
C
mit Tkr = TC +
.
2 (T − Tkr )
5γ
(2.34)
Abb. 2.9 zeigt die numerische Berechnung der ε (E)-Kennlinie für die Temperatur
T1 = Tkr +C/(2εmax ) und unterschiedliche Verhältnisse der Materialparameter β/γ.
Es ergeben sich zwei Maxima, die mit abnehmendem Verhältnis von β zu γ in ein
Maximum übergehen. Bemerkenswert ist, dass die Permittivität bei der Temperatur T = Tkr und der elektrischen Feldstärke E = Ekr unendlich wird, obwohl sie bei
E = 0 einen endlichen Wert annimmt. Dies ist dadurch zu erklären, dass hier der
Wendepunkt von Gl. (2.24), wie in Abb. 2.7 zu sehen, in einen Sattelpunkt übergeht. Abb. 2.10 zeigt, wie bei steigender Temperatur die Permittivität abnimmt
und, wie in Abb. 2.10(a) zu erkennen, wie die Maxima auseinanderwandern.
16
2 Aufbau und Eigenschaften von BST-Kondensatoren
εmax
T1 +
C
2εmax
T1 +
3C
2εmax
0
Elektrische Feldstärke E
T1
Permittivität ε
Permittivität ε
0
εmax
T1
0
T1 +
C
2εmax
T1 +
3C
2εmax
0
Elektrische Feldstärke E
(a)
(b)
Abb. 2.10: Abhängigkeit der Permittivität ε von der elektrischen Feldstärke E
und der Temperatur T : (a) Verhältnis der Materialparameter β/γ =
−2; (b) Verhältnis der Materialparameter β/γ = −0,01
Phasenumwandlungen zweiter Ordnung
Bei einem Phasenübergang zweiter Ordnung vereinfacht sich der Ausdruck für die
elektrische Feldstärke zu:
E = 2α (T ) P + 4βP 3.
(2.35)
Es können nur noch zwei Temperaturbereiche unterschieden werden (Abb. 2.11),
die sich eindeutig der ferroelektrischen und paraelektrischen Phase zuweisen lassen.
1. Der ferroelektrische Bereich unterhalb der Curie-Temperatur T < TC mit
einer Hystereseschleife
2. Der paraelektrische Bereich oberhalb der Curie-Temperatur T > TC ohne
Hysterese
Der Ausdruck Gl. (2.27) für die inverse Dielektrizitätskonstante vereinfacht sich
ebenfalls zu:
1
= 2α (T ) + 12βP 2.
(2.36)
ε
1. In der paraelektrischen Phase T > TC gilt wie bei Phasenumwandlungen
erster Ordnung die Beziehung aus Gl. (2.28).
2. In der ferroelektrischen Phase T < TC muss in Gl. (2.36) die Polarisation der
ferroelektrischen Phase aus Gl. (2.20) eingesetzt werden
ε=
C
1
=
.
−2α (T )
−4 (T − TC )
(2.37)
17
2.1 Polarisation in Dielektrika
Polarisation P
T < TC
T > TC
0
0
Elektrische Feldstärke E
Abb. 2.11: Abhängigkeit der Polarisation P von der elektrischen Feldstärke E
für verschiedene Temperaturbereiche bei Phasenumwandlungen zweiter Ordnung
TC
Abb. 2.12: Abhängigkeit der Dielektrizitätskonstanten ε von der Temperatur T
Die Ergebnisse sind in Abb. 2.12 dargestellt. Es fällt auf, dass das Verhältnis
der Steigungen der inversen Dielektrizitätskonstanten unterhalb und oberhalb
der Curie-Temperatur -2 beträgt.
Der theoretische Wert einer unendlich großen Dielektrizitätskonstanten wird in der
Realität zwar nicht erreicht, die relative Dielektrizitätskonstante kann aber Werte
von mehreren Tausend erreichen (TGS4 : εr,max ≈ 2500).
4
Tri-Glycin-Sulfat: (NH2 CH2 COOH)3 H2 SO4
18
2 Aufbau und Eigenschaften von BST-Kondensatoren
Für Phasenübergänge zweiter Ordnung vereinfacht sich die Berechnung der ε (E)Kennlinie deutlich. Da hier das Glied fünfter Ordnung wegfällt, ist eine analytische
Berechnung möglich. Analog zu Gl. (2.30) ergibt sich für die Permittivität
ε (E,T ) =
1
.
2α (T ) + 12βP (E)2
(2.38)
Mithilfe der Cardanischen Formel kann Gl. (2.35) invertiert werden [14]:
r
q
r
q
E
α (T )
und z2 =
.
8β
6β
(2.39)
Die elektrische Feldstärke, bei der gerade die Permittivität auf die Hälfte des maximalen Wertes gesunken ist, ergibt sich nach einigen Umformungen aus Gl. (2.38)
und Gl. (2.39)
P (E,T ) =
3
−z1 +
z12
+
z23
−
3
s
Eεmax /2 (T ) = ±
z1 +
v
u
t
z12 + z23 mit z1 = −
25 u α (T )3
33
β
≈ ±1,0887
v
u
u α (T )3
t
β
.
(2.40)
Abbildung 2.13 zeigt die ε (E)-Kennlinie in Abhängigkeit des Materialparamters
β bei der festen Temperatur T = TC + C/(2εmax ). Wie aus Gl. (2.40) ersichtlich, reduziert sich die Halbwertsbreite der Glockenkurve bei Vervierfachung von β um die
Hälfte. Im Gegensatz zu Phasenumwandlungen erster Ordnung existiert nur noch
ein Maximum der Permittivität, das der in Gl. (2.28) beschriebenen Temperaturabhängigkeit gehorcht. Diese Temperaturabhängigkeit ist für einen beliebigen festen
εmax
β = β0 /4
Permittivität ε
β = β0
β = 4β0
0
0
Elektrische Feldstärke E
Abb. 2.13: Abhängigkeit der Dielektrizitätskonstanten ε von der Materialkonstanten β
19
2.1 Polarisation in Dielektrika
εmax
T1 = TC +
Permittivität ε
T2 = TC +
T3 = TC +
0
C
2εmax
C
εmax
3C
2εmax
0
Elektrische Feldstärke E
Abb. 2.14: Abhängigkeit der Dielektrizitätskonstanten ε von der Temperatur T
Wert der Materialkonstanten β = β0 in Abb. 2.14 dargestellt. Wie ebenfalls aus
Gl. (2.40) ersichtlich, nimmt die Halbwertsbreite der Glockenkurve mit steigender
Temperatur zu.
Alternativ zu Gl. (2.39) kann ein von Chase et al. [16] vorgeschlagener Ansatz
verwendet werden, um die Abhängigkeit der Polarisation von der elektrischen Feldstärke zu beschreiben:
P (E,T ) =
s
 v
u 3

u 3
2α (T )
1
sinh  arsinh E t
3β
3
2

β 
.
α (T )3
(2.41)
Nach einigen Umformungen kann zusammen mit Gl. (2.38) die folgende Beschreibung der ε (E)-Kennlinie gefunden werden:
1
ε (E,T ) =
2α (T ) 2 cosh
2
arsinh
3
E
r 3
3
2
β
α(T )3
!!
−1
!.
(2.42)
Dieser mathematisch zu Gl. (2.39) und Gl. (2.38) gleichwertige Ausdruck hat den
Vorteil, dass bei konstanter Temperatur die ε (E)-Kennlinie sowohl durch die Materialparameter α und β als auch durch die messtechnisch wesentlich einfacher zu
erfassenden Größen Eεmax /2 und εmax dargestellt werden kann:
εmax
!!
.
(2.43)
ε (E) =
2
2E
2 cosh
arsinh
−1
3
Eεmax /2
Eine ausführliche Herleitung von Gl. (2.41), Gl. (2.42) und Gl. (2.43) findet sich in
[16].
20
2 Aufbau und Eigenschaften von BST-Kondensatoren
2.2 Kristallstruktur und Herstellungsverfahren
ferroelektrischer Kondensatoren
Das ferroelektrische Material Barium-Strontium-Titanat ist ein Mischkristall aus
Barium-Titanat (BaTiO3 ) und Strontium-Titanat (SrTiO3 ). Sowohl der Mischkristall als auch die Ausgangskristalle gehören zur Gruppe der Perowskite5 . Diese im
Idealfall kubische Struktur (Punktgruppe m3m) zeigt Abb. 2.15. Sie hat die allgemeine chemische Formel ABO3 . Das zentrale B-Ion in der Mitte ist das vierfach
positiv geladene Kation Ti4+ . Die A-Plätze werden bei Barium-Titanant von Ba2+ Ionen, beim Strontium-Titanat von Sr2+ -Ionen und bei Barium-Strontium-Titanat
sowohl von Ba2+ - als auch von Sr2+ -Ionen besetzt. Das Mischungsverhältnis x der
beiden Ionen wird häufig in der Art Bax Sr1−x TiO3 angegeben. Mit ihm kann die
Curie-Temperatur TC in einem weiten Bereich eingestellt werden. Nach Vendik et
al. [98] kann die Curie-Temperatur mit einem Polynom näherungsweise berechnet
werden:
TC = (42 + 439x − 96x2 )·1 K.
(2.44)
Da die Ionenradien von Ba2+ und Sr2+ sehr ähnlich sind, kann jedes beliebige
Mischungsverhältnis gewählt werden. Die Kristallstruktur erklärt auch das ferroelektrische Verhalten von BST. Das relativ kleine Ti4+ -Ion in der Mitte kann leicht
gegenüber dem Sauerstoff-Oktaeder verschoben werden. In der ferroelektrischen
Phase geschieht dies aus den im vorhergehenden Kapitel beschriebenen, energetischen Gründen automatisch und es kommt zu einer spontanen Polarisation. Der
Kristall ist dann nicht mehr kubisch. In der paraelektrischen Phase ist das Ti4+ -Ion
A
O
B
r
Abb. 2.15: Perowskit-Kristallstruktur
5
Diese Kristallstruktur ist nach dem Mineral Perowskit (CaTiO3 ), das eben diese Struktur aufweist, benannt [87].
2.2 Kristallstruktur und Herstellungsverfahren ferroelektrischer Kondensatoren 21
zwar im Zentrum, kann jedoch leicht durch ein äußeres elektrisches Feld ausgelenkt
werden. Dies führt zu der beobachteten nichtlinearen Polarisation bzw. Permittivität. Als Maßzahl für die Steuerbarkeit der Permittivität haben sich in der Literatur
unterschiedliche Ausdrücke etabliert. Die absolute Abstimmbarkeit KC ist bei einer
maximalen Abstimmspannung UDC,max definiert als
KC =
Cmax
C(0 V)
.
=
C(UDC,max )
Cmin
(2.45)
Häufig wird auch die relative Abstimmbarkeit τC benutzt:
τC =
Cmax − Cmin
C(0 V) − C(UDC,max )
.
=
C(0 V)
Cmax
(2.46)
Für diese beiden Ausdrücke muss immer die maximale Abstimmspannung mit genannt werden. Eine Möglichkeit, nur eine Zahl zu benutzen, ist die Nennung der
Spannung, bei der die Kapazität gerade auf ihren halben Wert gefallen ist UCmax/2 :
C(UCmax/2 ) =
Cmax
C(0 V)
=
.
2
2
(2.47)
Gelegentlich wird in dieser Arbeit auch die inverse absolute Abstimmbarkeit κC für
eine verkürzte Schreibweise genutzt:
κC =
1
= 1 − τC .
KC
(2.48)
Die wichtigsten Umrechnungen zwischen diesen Größen sind in Anh. A zusammengefasst.
Der Übergang von der paraelektrischen zur ferroelektrischen Phase bei einer Temperatur von ca. 130 ◦ C ist bei BaTiO3 von 1. Ordnung6 . SrTiO3 verhält sich zwar wie
ein Material mit einem Phasenübergang 2. Ordnung, zeigt aber selbst bei niedrigsten Temperaturen keinen Phasenübergang [62]. In dünnen Schichten und im Mischkristall verhalten sich die Materialien je nach äußeren Bedingungen und Film-Dicke
völlig anders [69, 67]. Kapazitätsmessungen an den in dieser Arbeit verwendeten
Dünnfilm-Kondensatoren haben gezeigt, dass sich die BST-Schicht im paraelektrischen Zustand wie ein Ferroelektrikum mit Phasenübergang 2. Ordnung modellieren lässt. Detaillierte Messungen über der Temperatur konnten jedoch mangels des
benötigten Equipments nicht durchgeführt werden.
6
Genauer gesagt, zeigt das BaTiO3 mehrere Phasenübergänge 1. Ordnung. Einen bei 130 ◦C
(kubisch ⇋ tetragonal), bei 0 ◦ C (tetragonal ⇋ orthorhombisch) und einen bei −90 ◦ C (orthorhombisch ⇋ rhomboedrisch).
22
2 Aufbau und Eigenschaften von BST-Kondensatoren
Au
~
E
Al2 O3
BST
(a)
(b)
Abb. 2.16: (a) BST-Dickschicht-Interdigitalkondensator; (b) Feldverteilung
Für die technische Realisierung eines Kondensators haben sich im Wesentlichen
zwei Varianten etabliert:
• Eine technisch sehr viel einfacher aufgebaute Variante stellen die in Abb. 2.16
dargestellten Dickschicht-Interdigitalkondensatoren dar. Hierbei wird in einem Mischoxid-Verfahren auf ein Trägersubstrat (typischerweise Al2 O3 ) mittels Siebdruck eine Paste aus gemahlenem kalziniertem TiO2 , BaCO3 - und
SrCO3 -Pulver, eingebettet in eine organische niederviskose Flüssigkeit, aufgebracht. Nach Trocknung und Sintern bei 1200 °C entsteht eine ca. 3 µm
dicke, poröse BST-Schicht. Alternativ dazu kann eine im Sol-Gel-Verfahren
hergestellte Paste für den Siebdruck verwendet werden. Auf dieser gesinterten
Schicht wird nachfolgend in einem Galvanik-Prozess eine Goldschicht aufgebracht, die lithografisch strukturiert werden kann. Eine ausführliche Beschreibung der Prozesstechnik findet sich in [79].
Dem Vorteil der einfachen Prozessierung stehen bei Dickschicht-Varaktoren
eine Vielzahl von Nachteilen gegenüber. Aus Abb. 2.16(b) geht hervor, dass
sich das Feld inhomogen innerhalb und außerhalb der BST-Schicht verteilt.
Bei den technisch realisierbaren Abständen bedeutet dies einerseits, dass sehr
hohe Abstimmspannungen (UDC > 100 V) nötig sind, und andererseits, dass
es zu einem Felddurchbruch außerhalb der BST-Schicht kommen kann. Es
können daher nur geringe Abstimmbarkeiten erreicht werden. Weiterhin ist
die maximale Kapazität, im für den zellularen Mobilfunk relevanten Frequenzbereich, auf wenige Picofarad begrenzt.
• Die zweite Variante stellen die in Abb. 2.17 gezeigten Dünnfilm-Plattenkon-
2.2 Kristallstruktur und Herstellungsverfahren ferroelektrischer Kondensatoren 23
Al
Al
~
E
Al2 O3
BST
Pt
(a)
Pt
(b)
Abb. 2.17: (a) BST-Dünschicht-Plattenkondensator; (b) Feldverteilung
densatoren dar. Hierbei wird zunächst auf einem Substrat durch Kathodenstrahlzerstäubung (engl. Sputtering) die untere Platin-Elektrode abgeschieden. Als Substrat eignet sich sowohl monokristallines als auch polykristallines
Al2 O3 oder Silizium. Je nach Substratart und Beschaffenheit wird noch eine
Oxidschicht und eine TiO2 -Haftschicht aufgebracht. Auf der ca. 500 µm dicken
unteren Elektrode wird durch HF-Magnetronsputtern die BST-Schicht abgeschieden. Bei diesem in [42] beschriebenen Verfahren wird zunächst in einer
Edelgasatmosphäre (z. B. Argon [35]) ein Plasma gezündet. Ein überlagertes
Gleichfeld beschleunigt die positiv geladenen Argon-Ionen, die auf der Kathode auftreffen und dort das zu beschichtende Material herauslösen. Im Falle von
BST besteht die Kathode (Target) aus einer gesinterten BST-Keramik in der
gewünschten Zusammensetzung. Das aus dem Target herausgelöste Material
kondensiert auf dem auf ca. 650 °C aufgeheizten Substrat, welches in der Nähe
des Targets angebracht ist. Ein zusätzliches Magenetfeld lenkt beim Magnetronsputtern die aus dem Target herausgelösten Sekundärelektronen auf einer
Kreisbahn wieder auf das Target. Dadurch kann der Abscheideprozess auf bis
zu 6 nm/min beschleunigt werden [44]. Auf der BST-Schicht wird dann die
obere Elektrode abgeschieden und die einzelnen Schichten werden von oben
nach unten strukturiert. Um die ohmschen Zuleitungsverluste zu minimieren, kann zuletzt noch eine dickere Aluminiumschicht auf den Elektroden
aufgebracht werden. Diese werden von einer dünnen Passivierungsschicht vor
Korrosion geschützt.
Der Hauptvorteil der Dünnfilm-Varaktoren sind die niedrigeren Abstimmspannungen. Dies führt aber im Falle der Großsignalaussteuerung zu nichtlinearen Verzerrungen. Um diese zu verhindern, können, wie in Abb. 2.18
gezeigt, mehrere Kondensatoren in Serie geschaltet werden [76, 27]. Damit
24
2 Aufbau und Eigenschaften von BST-Kondensatoren
R
5C
R
5C
5C
R
5C
5C
R
Abb. 2.18: Serienschaltung von fünf Kondensatoren zur Verbesserung der Linearität
die Gesamtkapazität gleich bleibt, muss bei einer Serienschaltung von n Kondensatoren die Kapazität eines Einzelkondensators den n-fachen Wert haben.
Wird die Abstimmspannung durch eine Widerstandskette zugeführt, kann bei
gleicher Abstimmspannung die Linearität deutlich verbessert werden. Da jedoch der Flächenbedarf quadratisch mit der Zahl der in Serie geschalteten
Kondensatoren steigt, ist die maximale Kapazität wie bei den DickschichtVaraktoren auf wenige Picofarad beschränkt.
Einen Testchip mit acht in dieser Arbeit verwendeten Dünnfilm-Varaktoren der
Größe 0,5 pF bis 64 pF zeigt Abb. 2.19.
Abb. 2.19: Testchip mit acht BST-Dünnschicht-Kondensatoren (BxH 0,9 mm x
0,6 mm)
2.3 Verlustmechanismen und akustisches Verhalten
Die Verlustmechanismen bei BST-Kondensatoren lassen sich grob in drei unterschiedliche Anteile untergliedern: Die ohmschen Verluste in den Elektroden, die
Verluste im Dielektrikum und die Verluste, die durch Anregung einer akustischen
Resonanz entstehen. Diese Verlustmechanismen sind jedoch nicht voneinander unabhängig. So beeinflusst z. B. das Elektrodenmaterial sowohl die ohmschen Verluste als auch die Defekte in der darauf aufgebrachten BST-Schicht. Außerdem
2.3 Verlustmechanismen und akustisches Verhalten
25
beeinflusst der Lagenaufbau (Dicke, akustische Impedanz, akustische Ausbreitungsgeschwindigkeit von Elektroden, Haftschichten, Passivierung etc.) die akustischen
Resonanzfrequenzen wesentlich.
2.3.1 Verluste in den Elektroden
Die ohmschen Verluste in den Elektroden tragen gerade bei höheren Frequenzen zu
einem nicht unerheblichen Anteil an den Gesamtverlusten bei. Für eine Minimierung dieser Verluste sollte als Elektrodenmaterial ein möglichst guter Leiter mit
großer Dicke eingesetzt werden. Bisher wurden die unterschiedlichsten Materialien
untersucht [43, 1, 23, 100, 54].
Das am häufigsten verwendete Material ist Platin. Mit einem Schmelzpunkt
von über 1770 ◦C kann es auch bei hohen Prozesstemperaturen (typisch 650 ◦C −
−700 ◦ C) ohne Probleme eingesetzt werden. Darüber hinaus kommt es durch die nahezu gleichen Gitterkonstanten kaum zu Spannungen an der Grenzfläche zum BST
[100]. Mit einer elektrischen Leitfähigkeit von σ = 9,66·106 S/m ist Platin aber ein
schlechter Leiter. Dieser Nachteil kann teilweise mit hohem Aufwand durch sehr
große Schichtdicken kompensiert werden (bis zu 1,3 µm [96]). Dickere Elektroden
führen jedoch zu einem weiteren Problem. Wie sich im übernächsten Abschnitt
zeigen wird, beeinflussen die Elektroden-Dicken die akustischen Eigenschaften wesentlich, sodass die Funktion des Bauteils erheblich eingeschränkt wird.
Eine mögliche Alternative zu Platin ist Wolfram. Es zeichnet sich durch einen
noch höheren Schmelzpunkt von 3422 ◦C und eine ebenfalls höhere Leitfähigkeit
σ = 18,9·106 S/m aus. Erste Untersuchungen zeigten jedoch keine signifikante Verbesserung der Güte [54].
Einen messbaren Vorteil gegenüber Platin ergibt sich erst bei der Verwendung
von Materialien mit deutlich höherer Leitfähigkeit. Ein vielversprechender Ansatz
ist die Kombination aus einer Gold- und Platin-Schicht [1, 101, 100]. Dabei wird
zunächst für die untere Elektrode eine dicke Goldschicht mit höherer Leitfähigkeit
σ = 4,09·107 S/m abgeschieden und nachfolgend eine dünne Schicht Platin. Bei
der oberen Elektrode ist die Schichtfolge umgekehrt. Wie die Untersuchungen in
[100] zeigen, ist es aber auch möglich, auf Platin völlig zu verzichten. Bei einer
reinen Gold-Elektrode führt die durch den großen Unterschied der Gitterkonstanten
ausgelöste Selbstanordnung des BST-Films sogar zu geringeren Verlusten als bei der
Platin/Gold-Schichtfolge.
Ein weiteres potenzielles Elektrodenmaterial mit sehr hoher Leitfähigkeit ist Kupfer (σ = 5,8·107 S/m). Erste Studien zeigten die prinzipielle Machbarkeit. Der
technologische Aufwand ist jedoch enorm, da Kupfer sehr leicht oxidiert. Eine
Möglichkeit, dies zu verhindern, ist eine komplexe Schichtfolgen von Kupfer und
Sauerstoff-Diffusions-Barrieren [23]. Eine weitere Möglichkeit ist die sogenannte
Layer-Transfer-Methode. Hierbei wird zunächst auf einem Hilfssubstrat ein BSTFilm auf einer Platin-Schicht abgeschieden. Darauf folgt eine Lage Kupfer und eine
26
2 Aufbau und Eigenschaften von BST-Kondensatoren
Oxid-Schicht als Buffer. Dann wird das Hilfssubstrat gedreht und auf das eigentliche Substrat geklebt. Im folgenden Schritt wird das Hilfssubstrat weggeätzt. Zuletzt
wird die obere Kupferelektrode aufgebracht [74].
Für all diese vorgestellten Verfahren und Technologien gilt, dass die relativ kleinen Kondensatoren mit möglichst breiten Zuleitungen an die Bond-Pads angeschlossen werden sollten. Für diese Zuführung kann dann ein beliebiges, gut leitfähiges
Material verwendet werden. Schlussendlich darf auch die Verbindungstechnologie
keine hohen Verluste aufweisen (z. B. Flip-Chip-Montage).
2.3.2 Verluste im Dielektrikum
Intrinsische Verluste
Die intrinsischen Verlustmechanismen sind fundamentale Eigenschaften eines dielektrischen Kristalls und bilden somit die theoretische Untergrenze der Verluste in
einem ferroelektrischen Kondensator. Die Ursache dieser intrinsischen Verluste sind
Wechselwirkungen zwischen dem angelegten hochfrequenten elektrischen Feld und
den Gitterschwingungen (Phononen). Man unterscheidet zwischen drei Beiträgen:
• Drei-Quanten-Verlustmechanismus
Ein Energie-Quant des anregenden hochfrequenten elektrischen Felds ~ω kann
aufgrund der Erhaltungssätze (Energie und Impuls) nicht direkt mit einem
thermischen Phonon, dessen Energieniveau wesentlich höher liegt, wechselwirken. Eine Absorption des Energie-Quants ist nur dann möglich, wenn noch
ein zweites Phonon beteiligt ist. Die Summe bzw. die Differenz der Energieniveaus dieser beiden Phononen muss dabei gleich ~ω sein. Der Verlustwinkel
aufgrund des Drei-Quanten-Verlustmechanismus tan δ3 kann mit
!
√
!
χµωΓ0
ω
Ω20
ω
(2.49)
ln
+
arctan
tan δ3 ≈
Ω20
ω 2 + 4Γ20
Γ0
2Γ0
abgeschätzt werden. Γ0 , Ω0 sind die Materialparameter Softmode-Dämpfungsfrequenz und Softmode-Frequenz (ca. 100 GHz). µ ist ein Parameter, der die
Abhängigkeit der Gitterstörungen von der Temperatur beschreibt.
• Vier-Quanten-Verlustmechanismus
Der Vier-Quanten-Verlustmechanismus ist dem Drei-Quanten-Verlustmechanismus sehr ähnlich. Anstelle von zwei Phononen sind bei der Absorption
hier jedoch drei Phononen beteiligt. Dies bedeutet, dass die Summe bzw. die
Differenz der Energieniveaus von drei Phononen gleich ~ω sein muss. Der
Beitrag dieses Effekts tan δ4 ist
√
χµωΓ0
.
(2.50)
tan δ4 ≈
Ω20
27
2.3 Verlustmechanismen und akustisches Verhalten
• Quasi-Debey-Verlustmechanismus
Im Gegensatz zu den beiden zuvor beschriebenen Verlustmechanismen tritt
der Quasi-Debey-Verlustmechanismus nur im nicht zentrosymmetrischen Kristall, d. h. bei angelegter Gleichspannung auf. In einem nicht zentrosymmetrischen Kristall verhält sich die Phononen-Verteilung ähnlich, wie sich Dipole
in der klassischen Debey-Theorie verhalten. Mit steigender Frequenz kann die
Modulation der Phononen-Frequenz nicht mehr dem anregenden Feld folgen
und es kommt zu einem starken Anstieg des Verlustwinkels tan δqd
√
χµωΓ0
.
(2.51)
tan δqd ≈ 2
ω + Γ20
Die Quasi-Debey-Verluste können wesentlich größer als die Drei- und VierQuanten-Verluste werden.
Eine detaillierte Beschreibung der intrinsischen Verlustmechanismen findet sich in
[31, 94, 93].
Extrinsische Verluste
In einem idealen Kristall treten nur die intrinsischen Verlustmechanismen auf. Ein
realer Kristall weist jedoch mehr oder weniger Defekte auf. Diese Defekte können
sich in Punkt-Defekten, aber auch in mehrdimensionale Defekte wie Versetzungen
äußern. Entscheidend ist die Tatsache, dass ein solcher Defekt eine Ladungsverschiebung und somit ein Dipolmoment darstellt. Diese Dipole können durch das hochfrequente elektrische Feld zu akustischen Schwingungen angeregt werden, die wiederum einem Energieverlust bedeuten. In ferroelektrischen Dünnfilm-Kondensatoren
können diese Verluste deutlich größer als die intrinsischen Verluste werden [101].
Nach [94] sind diese Verluste tan δe proportional zu
!
1
εnd Zd2 ω
.
1−
tan δe ∝
3
ρct 4π
(1 + ω 2/ωc2 )2
(2.52)
Zd und nd sind die effektive Ladung und die Konzentration der Defekte. ρ und ct
sind die Materialdichte und die transversale akustische Ausbreitungsgeschwindigkeit. ωc beschreibt die Korrelationslänge der Ladungsverteilung im Kristall.
2.3.3 Verluste durch akustische Resonanzen
Die Perowskit-Struktur des BST ist nicht exakt zentrosymmetrisch. Bereits Ende
der 60er-Jahre haben Rupprecht und Winter [77] bemerkt, dass SrTiO3 trotz seiner
m3m-Symmetrie einen kleinen piezoelektrischen Effekt zeigt. Wenn der Kristall zusätzlich durch ein äußeres statisches elektrisches Feld verzerrt wird, ändert sich seine
Symmetriestruktur und eine stärkere akustische Wechselwirkung kann beobachtet
28
2 Aufbau und Eigenschaften von BST-Kondensatoren
werden. Beschreiben lässt sich diese Überlagerung von Piezoeffekt und Elektrostriktion durch einen effektiven piezoelektrischen Koeffizienten d∗33 . Im Folgenden soll
nur der einfache eindimensionale Fall betrachtet werden:
d∗33 (E) = d33 + 2g33 E.
(2.53)
Der piezoelektrische Koeffizient d33 und der elektrostriktive Koeffizient g33 sind nach
[28] temperaturabhängig. Neuere Untersuchungen [86], die auch durch Messungen
in dieser Arbeit bestätigt werden, zeigen jedoch, dass der lineare Verlauf von d∗33
in Gl. (2.53) nur für kleine und mittlere Feldstärken gilt. Bei höheren Feldstärken
nähert sich d∗33 einem Maximalwert und nimmt mit zunehmender Feldstärke sogar
ab.
In einem Plattenkondensator äußert sich dieses piezoelektrische Verhalten durch
parasitäre Resonanzen, die die Verluste erheblich steigern. Anhand des Reflexionsfaktors ΓBST eines 5-pF-BST-Dünnfilm-Kondensators ist dies in Abb. 2.20 deutlich
zu erkennen. Es wurde bei dieser Messung eine Gleichspannung von UDC = 20 V
angelegt. Es zeigt sich, dass die Resonanzen in erster Näherung alle Vielfache einer
+j1.0
+j0.5
+j2.0
−j0.2
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
f = 5.83 GHz
f = 4.31 GHz
f = 3.14 GHz
f = 1.48 GHz
−j0.5
∞
−j5.0
−j2.0
−j1.0
Abb. 2.20: Reflexionsfaktor ΓBST eines 5-pF-BST-Kondensators bei einer Abstimmspannung von UDC = 20 V
Grundfrequenz von f0 = 1.48 GHz sind. Für den idealen Fall (frei schwingender
Resonator, unendliche Ausdehnung in horizontaler Richtung, keine Verluste, Elektroden vernachlässigbarer Dicke) und die Anregung einer longitudinalen Welle in
z-Richtung können die Resonanzfrequenzen fn aus der akustischen Ausbreitungsgeschwindigkeit vL und der Dicke der BST-Schicht l berechnet werden:
fn =
nvL
; n ∈ N.
2l
(2.54)
29
2.3 Verlustmechanismen und akustisches Verhalten
Luft
div. Schichten
Zt
Elektrode
piezoel. Material
l
Z p cp
Elektrode
div. Schichten
Zb
Luft
(a)
(b)
Abb. 2.21: (a) Lagenaufbau eines realen Resonators; (b) Ersatzschaltung des Resonators
Dabei werden elektrisch aber nur Moden mit ungeradem n angeregt. Für die Beschreibung realer Resonatoren ist Gl. (2.54) ungeeignet, da die Eigenschaften der
Elektroden und die für die Prozessierung zusätzlich benötigten Schichten die akustischen Eigenschaften wesentlich beeinflussen. Um eine genaue Beschreibung zu erhalten, können einige Verfahren zur Berechnung von akustischen Dünnfilm-Resonatoren
(FBAR engl. Film Bulk Acoustic Resonator) auf ferroelektrische Kondensatoren angewendet werden. Für eine spätere Implementierung in einen Schaltungssimulator
eignet sich das von Lakin [48, 50] vorgeschlagene Verfahren sehr gut [17, 95, 28].
Aus den akustischen Grundgleichungen kann die Impedanz Z eines Resonators hergeleitet werden:
tan(φ)
(zt + zb ) cos2 (φ) + j sin(2φ)
1
1 − K2
·
Z=
jωC
φ
(zt + zb ) cos(2φ) + j(zt zb + 1) sin(2φ)
Zb
ωl
Zt
, zb =
und φ =
.
mit zt =
Zp
Zp
2cp
!
(2.55)
zt und zb sind die normierten akustischen Impedanzen oberhalb und unterhalb der
piezoelektrischen Schicht mit akustischer Impedanz Zp . l ist die Dicke und cp die
akustische Ausbreitungsgeschwindigkeit der piezoelektrischen Schicht.
30
2 Aufbau und Eigenschaften von BST-Kondensatoren
Die Kopplungskonstante K kann aus dem elektromechanischen Kopplungskoeffizienten k33 berechnet werden [28]:
K2 =
2
k33
.
2
1 + k33
(2.56)
Der elektromechanische Kopplungskoeffizient k33 ist eine Funktion des effektiven
piezoelektrischen Koeffizienten d∗33 aus Gl. (2.53), der Permeabilität aus Gl. (2.43)
und der elastischen Nachgiebigkeit s33 :
2
k33
=
d∗2
33
.
εs33
(2.57)
d∗33 und ε sind abhängig von der Feldstärke E. Somit sind auch k33 und K nichtlineare Funktionen von E:
k33 =
√
d33
εmax s33
!v
u
u
2g33
2E
2
+√
E t2 cosh
arsinh
εmax s33
3
Eεmax /2
!!
− 1.
(2.58)
Berechnet man mit Gl. (2.58) die Kopplungskonstante K mit den in [28] gegebenen Materialparametern, ergeben sich im Vergleich zur Messung etwas zu kleine
Werte. Dies lässt darauf schließen, dass g33 für die in dieser Arbeit verwendeten
Kondensatoren etwas größer ist als der angegebene Wert.
Für die Modellierung eines BST-Kondensators ist Gl. (2.58) nur für kleine Feldstärken geeignet. Wie bereits erwähnt, zeigt der piezoelektrische Koeffizient d∗33
bei höheren Feldstärken ein asymptotisches Verhalten. Wie die Messergebnisse im
nächsten Kapitel zeigen werden, hat sich die einfache Näherung
K = κ1 tanh(κ2 |E|)
(2.59)
für die Beschreibung der Kopplungskonstante bewährt.
Die einzelnen Lagen des Kondensators (Abb. 2.21(a)) werden als eine Reihenschaltung akustischer Leitungen modelliert. Dabei kann wie bei elektrischen
Leitungen die Gleichung
Za + jZl tan(βl)
(2.60)
ZT =
Zl + jZa tan(βl)
angewendet werden. Die Abschlussimpedanz Za wird über die Schicht der Dicke l,
die Leitungsimpedanz Zl und das Phasenmaß β = ω/cl zur Impedanz ZT transformiert. cl ist die akustische Ausbreitungsgeschwindigkeit in der Schicht. Die akustische Impedanz der Luft wird mit sukzessiver Anwendung von Gl. (2.60) durch den
Lagenstapel zu Zt und Zb transformiert (Abb. 2.21(b)).
In dem für Mobilfunkanwendungen interessanten Frequenzbereich bis 3 GHz zeigt
sich, dass im Wesentlichen die Dicke der Elektroden die Resonanzeigenschaften bestimmen. Prozessbedingte Passivierungs- und Haftschichten zeigen erst bei höheren
Frequenzen ihren Einfluss.
3 Modellierung ferroelektrischer
Kondensatoren
Dieses Kapitel widmet sich der Modellierung ferroelektrischer Kondensatoren. Neben der Darstellung der nichtlinearen Kapazität und der nichtlinearen dielektrischen Verluste werden auch die bei Plattenkondensatoren auftretenden, parasitären
akustischen Resonanzen eingehend diskutiert.
3.1 Klassische lineare Kondensatormodelle
Bei Kondensatoren mit linearem Dielektrikum gibt es eine sehr große Vielfalt technischer Realisierungsformen. Dabei kommen als Dielektrikum nahezu alle Isolatorwerkstoffe von Papier über Kunststoffe und Keramiken bis hin zu Metalloxiden zum
Einsatz. Der mechanische Aufbau variiert in nahezu ebenso vielen Formen. In der
Hochfrequenztechnik sind jedoch nur drei Bauformen weit verbreitet:
1. Interdigitalkondensatoren können direkt auf dem Substrat, auf dem die restliche Hochfrequenzschaltung realisiert ist, hergestellt werden. Da jedoch die
lithografischen Verfahren die Spaltbreiten zwischen den Fingern begrenzen,
sind die Kapazitätswerte dieser Kondensatoren auf nur wenige Picofarad begrenzt.
2. Einlagige Plattenkondensatoren SLC (engl. Single Layer Capacitor) oder MIM
(engl. Metal Insulator Metal) verbinden je nach Dielektrikum gute Verlusteigenschaften mit moderaten Kapazitätswerten (mehrere Hundert Picofarad)
bis in den hohen GHz-Bereich. Sie werden entweder als einzelne Bauelemente
oder in integrierten Schaltungen eingesetzt.
3. Mehrlagige Plattenkondensatoren MLC (engl. Multi Layer Capacitor) werden verwendet, wenn sehr hohe Kapazitätswerte gefordert werden. Je nach
Baugröße sind hier Kapazitätswerte bis in den Mikrofarad-Bereich möglich.
Alle diese Kondensatoren lassen sich unterhalb der ersten Serienresonanzfrequenz
im Wesentlichen mit dem in Abb. 3.1(a) gezeigten Modell beschreiben. Der Serienwiderstand RS und die Serieninduktivität LS beschreiben den parasitären Einfluss der Anschlusskontakte. Der Parallelwiderstand RP modelliert die Verluste im
32
3 Modellierung ferroelektrischer Kondensatoren
Dielektrikum. Die Kapazität CP ist die eigentlich gewünschte Kapazität. Die Impedanz des Kondensators ist dann:
RP
.
(3.1)
ZC = RS + jωLS +
1 + jωCPRP
Für die Berechnung der Resonanzfrequenz f0 des Kondensators wird das Minimum
des Betrages der Impedanz ZC gesucht:
d |ZC |
= 0.
dω
Es ergeben sich drei Lösungen, wobei nur eine physikalisch sinnvoll ist:
s
−LS LS −
q
RP2 CP
(RP2 CP
+ 2RS CP RP + 2LS )
(3.2)
.
(3.3)
2πLS RP CP
In der Praxis ist der Parallelwiderstand oft sehr groß und kann vernachlässigt werden. Dann vereinfacht sich Gl. (3.3) zu der bekannten thomsonschen Schwingungsgleichung
1
.
(3.4)
lim f0 = √
RP →∞
2π LS CP
Unterhalb von f0 zeigt der Kondensator kapazitives Verhalten. Die effektive Kapazität Ceff , die von außen wahrgenommen wird, ist jedoch nahe der Resonanzfrequenz
stark frequenzabhängig. Um sie zu berechnen, kann das Modell aus Abb. 3.1(a)
b ,L
b und
zuerst zu einem Serienschwingkreis in Abb. 3.1(b) mit den Elementen R
S
S
CbS umgeformt werden:
1
RP
!.
+jω LS +
(3.5)
ZC = RS +
2
|{z}
1 + (ωRP CP )
1
|
{z
}
jω CP 1 +
bS
L
(ωRPCP )2
bS
R
f0 =
|
RP
RS
b
R
S
{z
bS
C
}
CbS
b
L
S
LS
CP
(a)
Ceff
b
R
S
(b)
Abb. 3.1: (a) Modell eines linearen Kondensators. (b) Vereinfachtes Modell nach
Gl. (3.5) und Gl. (3.6)
33
3.1 Klassische lineare Kondensatormodelle
Effektive Kapazität Ceff
50
Ceff
CP
40
30
20
10
0 7
10
8
9
10
10
10
Frequenz f (Hz)
10
Abb. 3.2: Effektive Kapazität Ceff eines 10-pF-Kondensators über der Frequenz f
(Johanson 0201 250R05L100)
b und C
b zusammengefasst ergeben die effektive Kapazität C . Da die effektive
L
S
S
eff
Kapazität, wie in Abb. 3.2 gezeigt, nur nahe der Resonanzfreqenz f0 nennenswert von der Nominalkapazität CP abweicht und der Einfluss von RP in diesem
Frequenzbereich vernachlässigbar ist, vereinfacht sich der Ausdruck für Ceff zu
Ceff (ω) =
1−
Cb
S
b C
b
ω2L
S S
=
1−
1
RP →∞
(ωCP RP )2
=
LS
2
ω LS CP − CP R2
P
CP 1 +
CP
.
1 − ω 2 LS CP
b berechnet werden:
Die Güte Q des Kondensators kann aus Ceff und R
S
Q=
ω (CP RP2 − LS − LS (ωCPRP )2 )
1
=
b C
RS + RP + RS (ωCPRP )2
ωR
S eff
(3.6)
(3.7)
Wie das Beispiel in Abb. 3.3 eines realen Kondensators zeigt, kann im unteren
Frequenzbereich die Güte unter Vernachlässigung von RS und LS durch
Q
LS →0,RS →0
=
ωCPRP
(3.8)
angenähert werden. Im oberen Frequenzbereich ist der Einfluss von RP vernachlässigbar
2
R →∞ 1 − ω CP LS
.
(3.9)
Q P=
ωCPRS
Aus Gl. (3.4),Gl. (3.8) und Gl. (3.9) folgt, dass zur Bestimmung der Parameter
des Kondensatormodells nach Abb. 3.1(a) nur eine Messung der Resonanzfrequenz, der Güte bei hoher und niedriger Frequenz und der Kapazität bei niedriger
34
3 Modellierung ferroelektrischer Kondensatoren
RP
RS LS
CP
CP
RP
RS LS
CP
Abb. 3.3: Güte Q eines 10-pF-Kondensators über der Frequenz f (Johanson 0201
250R05L100)
Frequenz nötig ist. Da jeder Schaltungssimulator Elemente für Widerstände, Kapazitäten und Induktivitäten bereitstellt, ist die Implementierung dieses Kondensatormodells sehr einfach.
3.2 BST-Varaktor-Modell
Nichtlineare BST-Kondensatoren unterscheiden sich von linearen Kondensatoren
durch die nichtlinearen Eigenschaften ihres Dielektrikums. Um ein nichtlineares
Kondensatormodell zu erstellen, muss somit eine Beschreibung für die nichtlineare
Kapazität CBST und die nichtlinearen Verluste, ausgedrückt durch RBST , gefunden
werden (Abb. 3.4). In den folgenden Abschnitten wird die konkrete Implementierung der nichtlinearen Elemente CBST und RBST für die Entwicklungsumgebung
RBST
RS
LS
CBST
Abb. 3.4: Modell eines BST-Kondensators
35
3.2 BST-Varaktor-Modell
Agilent ADS beschrieben. Jedoch ist es möglich, diese Modelle auch in anderen
Simulatoren zu implementieren, die es erlauben, Strom-Spannungsbeziehungen mit
Radikalen zu beschreiben.
3.2.1 Beschreibung einer nichtlinearen Kapazität
Die Abhängigkeit der Permittivität ε von der elektrischen Feldstärke wurde bereits
in Gl. (2.43) vorgestellt. Aufgrund der einfachen Geometrie eines BST-Plattenkondensators lässt sich die Kapazität CBST in Abhängigkeit von der angelegten
Spannung U sehr einfach berechnen:
CBST (U) =
Cmax
2
2U
2 cosh
arsinh
3
UCmax/2
!!
.
(3.10)
−1
Die Parameter Cmax und UCmax/2 sind die maximale Kapazität bzw. die Spannung,
bei der die Kapazität gerade auf die Hälfte abgefallen ist.
Die Implementierung der C(U)-Kennlinie in ADS erfolgt mit einem SDD-Element
(engl. Symbolically Defined Device) aus dem Menü Eqn Based-Nonlinear. SDDElemente sind sehr mächtig, da sie es erlauben, die Strom-Spannungsbeziehungen
an einem Tor mathematisch zu beschreiben. Einzige Bedingung ist, dass die Funktionen von Strom und Spannung stetig sein müssen. Die stetige Differenzierbarkeit
der Funktionen wird nicht gefordert, sollte aber wegen des Konvergenzverhaltens
der Simulatoren dennoch erfüllt sein. Es existieren Implementierungen dieser Elemente bis zu maximal zehn Toren1 . Die Strom-Spannungsbeziehungen können auf
zwei unterschiedliche Arten formuliert werden:
• In der expliziten Darstellung kann der Strom Ik , der in Tor k fließt2 , als Funktion der Spannungen Uj an den n vorhandenen Toren beschrieben werden:
Ik = f (U1 ,U2 ,...,Un ).
(3.11)
In die ADS-Syntax übersetzt, lautet Gl. (3.11)
I[k,w]=f(_v1,_v2,...,_vn).
I[k,w] ist der Strom Ik , gewichtet mit der Gewichtsfunktion der Nummer w.
_vj sind die Torspannungen Uj .
1
2
Version: ADS 2006A.
Die Zählrichtung des Stromes ist so definiert, dass positive Ströme in den mit einem + gekennzeichneten Anschluss fließen.
36
3 Modellierung ferroelektrischer Kondensatoren
• Die implizite Form stellt eine Gleichung mit allen vorhandenen Spannungen
Uj und Strömen Ij dar:
0 = f (U1 ,U2 ,...,Un ,I1 ,I2 ,...,In ).
(3.12)
Gl. (3.12) in ADS-Syntax umgesetzt lautet:
F[k,w]=f(_v1,_v2,...,_vn,_i1,_i2,...,_in).
F[k,w] ist der Schlüsselausdruck für eine implizit definierte Beziehung. k und
w bezeichnen auch hier das Tor und die Gewichtsfunktion. _vj und _ij sind
die Spannungen und Ströme an den Toren.
Die Gewichtsfunktionen werden im Gegensatz zur nichtlinearen Funktion F, die im
Zeitbereich ausgewertet wird, im Frequenzbereich ausgewertet. Dazu wird die Gewichtsfunktion der Nummer w mit der Fourier-Transformierten des Stromes Ik multipliziert. Die genaue Vorgehensweise des Simulators kann anhand einer HarmonicBalance- (HB-) Simulation beschrieben werden. Der HB-Simulator gibt ein Spannungsspektrum Uj (ω) am Tor j des SDD vor. Daraus soll im SDD das resultierende
Stromspektrum Ij (ω) berechnet werden:
1. Zuerst wird durch eine inverse Fourier-Transformation aus dem Spektrum
Uj (ω) ein Zeitsignal Uj (t) berechnet.
2. Aus Uj (t) wird durch die entweder implizit oder explizit definierten Gleichungen der Strom Ibj (t) bestimmt.
3. Anschließend wird Ibj (t) wieder in den Frequenzbereich zu bIj (ω) zurücktransformiert.
4. Zuletzt wird bIj (ω) mit der Gewichtsfunktion der Nummer w multipliziert um
Ij (ω) zu erhalten.
Zwei Gewichtsfunktionen sind bereits fest in ADS definiert. Die Funktion mit der
Nummer 0 ist die Identität und wird immer dann eingesetzt, wenn keine Gewichtung im Frequenzbereich gewünscht wird. Die Funktion mit der Nummer 1 ist als
jω definiert und entspricht somit im Zeitbereich einer zeitlichen Ableitung. Da für
die Beschreibung aller in dieser Arbeit verwendeten Elemente keine anderen Gewichtsfunktionen benötigt werden, wird auf die Beschreibung der Definition neuer
Gewichtsfunktionen verzichtet. Eine genaue Beschreibung findet sich aber im ADSBenutzerhandbuch [6].
37
3.2 BST-Varaktor-Modell
Werden mehrere Gleichungen mit der gleichen Tornummer definiert, so werden
diese Gleichungen addiert. So ist es beispielsweise möglich, mit den beiden Anweisungen
F[1,0]=f1(_v1,_i1)
und
F[1,1]=f2(_v1,_i1)
die Differenzialgleichung
0 = f1 (U1 ,I1 ) +
d
f2 (U1 ,I1 )
dt
(3.13)
zu implementieren.
Neben den hier gezeigten Funktionen besteht noch die Möglichkeit, das Rauschverhalten des Elements mit Rauschströmen und Korrelationskoeffizienten zu beschreiben. Auch können sogenannte Controlling Currents definiert werden, die erlauben, beliebige Ströme innerhalb der Schaltung in den Gleichungen zu verwenden.
Diese Fähigkeiten werden jedoch für die Kondensatormodellierung nicht genutzt.
Um nun eine nichtlineare Kapazität mit einem SDD-Element zu realisieren, wird
ein 2-Tor-Element benötigt. Es soll die Gleichung
d
dU1 dC(U1 )
dQ
= ((C(U1 ) · U1 )) = C(U1 )
·
U1
dt
dt
dt
dt
dU1
dt
(3.14)
implementiert werden. Um die zeitliche Ableitung von U1 zu berechnen, wird die
Spannung am zweiten Tor U2 als Hilfsvariable verwendet
I1 = f (U1 ) =
U2 =
dU1
dU1
→ 0 = −U2 +
.
dt
dt
C(U1 )6=f (t)
=
C(U1 )
(3.15)
Gl. (3.15) entspricht nun dem in Gl. (3.13) gezeigten Fall. Es werden also zwei
Gleichungen benötigt:
F[2,0]=-_v2
F[2,1]=_v1.
Um den Strom I1 darzustellen, wird nun noch eine explizite Gleichung benötigt:
I[1,0]=C(_v1)*_v2.
Für C(_v1) kann Gl. (3.10) eingesetzt werden. Abb. 3.5 zeigt das erstellte ADSSchaltsymbol. Um Konvergenzprobleme und Warnmeldungen zu vermeiden, wird
U2 noch mit einem Normierungsfaktor norm multipliziert und ein 100-GΩ-Widerstand an Tor 2 angeschlossen.
38
3 Modellierung ferroelektrischer Kondensatoren
P1
Num=1
R1
R=100 GOhm
P2
Num=2
SDD2P1
I[1,0]=C(_v2)* norm * _v2
F[2,0]=-_v2
F[2,1]=_v1/norm
Var
Eqn
VAR1
Cmax=10 pF
UCmax1_2=10 V
norm=1e9
C(_v2)=Cmax/(2*cosh(2/3*asinh(2*(_v1)/UCmax1_2))-1)
Abb. 3.5: Implementierung einer nichtlinearen 10-pF-Kapazität in ADS mittels
eines 2-Tor-SDD-Elements
3.2.2 Beschreibung eines nichtlinearen Widerstandes
Die Beschreibung eines nichtlinearen Widerstandes bzw. Leitwertes erfolgt wie die
Beschreibung einer Kapazität mit einem SDD-Element. Da bei SDD-Elementen der
Strom in Abhängigkeit von der Spannung beschrieben wird, ist es einfacher, einen
Leitwert GBST = 1/RBST zu benutzen. Die Verluste des Dielektrikums, die durch
GBST beschrieben werden, sind eine Überlagerung von mehreren, teilweise noch
nicht exakt bekannten Mechanismen. Wie die Messungen am Ende des Kapitels
zeigen, lässt sich der differenzielle Leitwert GBST als Glockenkurve der Form
γ1
γ2
GBST (U) = γ0 +
!2
U
1+
γ2
(3.16)
beschreiben. Die Parameter γ0 ,γ1 und γ2 werden durch Anpassen an Messwerte
bestimmt. Für die Strom-Spannungs-Kennlinie muss Gl. (3.16) integriert werden:
I(U) =
Z
U
GBST (U)dU + C = γ0 U + γ1 arctan
γ2
!
+ C.
(3.17)
Die Integrationskonstannte C wird aus der Bedingung bestimmt, dass bei U = 0 V
kein Strom fließen darf und zu null gesetzt. Die Beschreibungsgleichung lautet dann
39
3.2 BST-Varaktor-Modell
P1
Num=1
Var
Eqn
SDD1P1
I[1,0]=G0*_v1+G1*arctan(_v1/G2)
VAR1
G0=3.3e-5
G1=3.36e-3
G2=7
P2
Num=2
Abb. 3.6: Implementierung eines nichtlinearen Parallel-Leitwertes GBST mit typischen Werten eines 8-pF-Kondensators mittels eines 1-Tor-SDD-Elements
I[1,0]=G0*_v1+G1*arctan(_v1/G2).
Die Parameter G_i entsprechen den Parametern γi . Abb. 3.6 zeigt das fertige
SDD-Element.
3.2.3 Beschreibung parasitärer Resonanzen
Ferroelektrische Dünnfilm-Plattenkondensatoren zeichnen sich durch eine sehr hohe Abstimmbarkeit bei sehr niedrigen Spannungen aus. Durch ihren mechanischen
Aufbau und aufgrund ihrer Materialeigenschaften neigen sie jedoch dazu, wie in
Abs. 2.3 beschrieben, parasitäre akustische Resonanzen auszubilden. Für die in
Gl. (2.55) beschriebene Impedanz lässt sich eine elektrische Ersatzschaltung finden. Dazu kann Gl. (2.55) in eine geschachtelte Partialbruchdarstellung umgeformt
werden [50]:
1
Z=
jωC +
−
1


1
jZp

+ N 2 −
+

jωC
sin(2φ)
mit N 2 =
2φ
K 2 ωCZ
1
1
1
+
jZp tan(φ) + Zt jZp tan(φ) + Zb





.
p
(3.18)
Diese Darstellung ermöglicht es, durch Vergleich der einzelnen Terme die Elemente
eines Mason-Ersatzschaltbildes [46, 50] zu finden. Da die Kapazität C bei einem
ferroelektrischen Kondensator feldabhängig ist, sind auch die Kapazitäten und der
40
3 Modellierung ferroelektrischer Kondensatoren
jXb
−C
jXa
jXb
Zt
C
Zb
1:N
Abb. 3.7: Mason-Ersatzschaltbild eines piezoelektrischen Resonators
Übertrager des Ersatzschaltbildes in Abb. 3.7 nichtlineare Bauelemente. Die Reaktanzen Xa und Xb sind
Xa = Zp tan(φ); Xb = −
Zp
.
sin(2φ)
(3.19)
Für eine Implementierung der Kapazitäten in ADS können die bereits in Abs. 3.2.1
beschriebenen Elemente benutzt werden. Für den nichtlinearen Übertrager gibt es
keine direkte Realisierungsmöglichkeit in Form eines SDD-Elements. Durch die Reihenschaltung eines nichtlinearen Gyrators und eines Impedanzinverters kann jedoch
ein nichtlinearer Übertrager nachgebildet werden. Aus der Y-Parameter-Darstellung
des Gyrators
!
!
!
I1
0 g
U1
=
(3.20)
I2
−g 0 U2
folgen direkt die Gleichungen für das 2-Tor-SDD-Element:
I[1,0]=g*_v1
I[2,0]=-g*_v2.
Der Gyrator-Leitwert g transformiert die Impedanz Z nach Zg gemäß
Zg =
1 1
.
g2 Z
(3.21)
Um die gewünschte Transformatorbeziehung
Zt = N 2 Z
(3.22)
zu erhalten, muss g = 1/N gewählt und ein Impedanz-Inverter mit der KettenmatrixDarstellung
!
!
!
U1
0 1 U2
=
(3.23)
I1
1 0
I2
41
3.2 BST-Varaktor-Modell
P1
P4
P2
SDD2P1
I[1,0]=1/N*_v2
I[2,0]=-1/N*_v1
Chain1
A=0
B=1
C=1
D=0
P3
Abb. 3.8: Implementierung eines nichtlinearen Übertragers mittels eines 2-Tor-SDD-Elementes und eines Impedanzinverters in KettenmatrixDarstellung
zwischengeschaltet werden. Die Abb. 3.8 zeigt die Zusammenschaltung in ADS.
Die komplette ADS-Implementierung eines Mason-Modells für einen 8-pF-Kondensator ist in Abb. 3.9 abgebildet. Da das Transformationsverhältnis N des Übertragers von der Kapazität C abhängt und diese wiederum eine Funktion der angelegten Spannung ist, müssen die beiden Kondensator-Elemente und der Gyrator
in einem einzigen 6-Tor-SDD-Element zusammengefasst werden. Die Tor-Paare 1,5
und 2,6 bilden die nichtlinearen Kapazitäten. Das Tor-Paar 3,4 stellt den nichtlinearen Gyrator dar. In der Variablen-Gleichung Var2 sind die Gleichungen für die
nichtlineare Kapazität C, das nichtlineare Transformationsverhältnis N, die Reaktanzen Xa und Xb zusammengefasst. Die akustischen Impedanzen Zt und Zb
werden durch Wellenleiter TL1 und TL2 sowie die Abschlusswiderstände R1 und R2
gebildet. Die Parameter für die Wellenleiter und die Abschlusswiderstände werden
in den Variablen-Gleichungen Var4-7 aus den Materialdaten berechnet. Auch wenn
das Mason-Modell keine direkte physikalische Abbildung der Wirklichkeit darstellt,
können die akustischen Resonanzen aus dem Lagenaufbau und den Materialdaten
modelliert werden.
3 Modellierung ferroelektrischer Kondensatoren
42
P1
P2
Var
Eqn
Var
Eqn
Var
Eqn
Eqn
SDD6P1
I[1,0]=C*f_nom*_v5
I[2,0]=-C*f_nom*_v6
I[3,0]=1/N*_v4
I[4,0]=-1/N*_v3
F[5,0]=-_v5
F[5,1]=_v1/f_nom
I[6,0]=-_v6
I[6,1]=_v2/f_nom Var
R4
SDD1P3
I[1,0]=G0*_v1+G1*arctan(_v1/G2)
SRL1
R=0.6 Ohm
L=0.04 nH
VAR3
G0=3e-5
G1=0.003
G2=8
VAR1
V2=8 V
Cmax=7.6 pF
f_nom=1 GHz
k1=0.35
k2=0.1
VAR2
C=Cmax/(2*cosh(2/3*asinh(2*_v1/V2))-1)
N=sqrt(lBST/(cBST*(K**2)*C*ZBST))
Xa=-ZBST/(sin(lBST*2*pi*freq/cBST)+1e-100)
Xb=ZBST*tan(lBST*pi*freq/cBST)
K=k1*tanh(k2*abs(_v1))+1e-10
Chain1
A=0
B=1
C=1
D=0
R5
Var
Eqn
Var
Eqn
Z1P2
Z[1,1]=j*Xb
R2
TL2
R=ZBuffOx
Z=ZPt
E=360*f_nom*lPt2/cPt
F=f_nom
R1
TL1
R=ZLuft
Z=ZPt
E=360*f_nom*lPt1/cPt
F=f_nom
Var
Eqn
VAR7
cBST=sqrt(c33BST/rhoBST)
cBuffOx=sqrt(c33BuffOx/rhoBuffOx)
cPt=sqrt(c33Pt/rhoPt)
ZBST=sqrt(rhoBST*c33BST)
ZBuffOx=sqrt(rhoBuffOx*c33BuffOx)
ZPt=sqrt(rhoPt*c33Pt)
ZLuft=400
Z1P3
Z[1,1]=j*Xb
VAR6
lBST=0.2 um
lPt1=0.525 um
lPt2=0.525 um
VAR4
c33BST=200 G
c33Pt=167 G
c33BuffOx=70 G
Z1P1
Z[1,1]=j*Xa
VAR5
rhoBST=5.258 k
rhoPt=15 k
rhoBuffOx=2.3 k
Abb. 3.9: Mason-Modell eines 8-pF-BST-Kondendsators
Var
Eqn
Var
Eqn
SDD2P
SDD2P1
I[1,0]=C* f_nom * _v2
F[2,0]=-_v2
F[2,1]=_v1/f_nom
Var
R
R4
R=100 GOhm
SDD2P
SDD2P3
I[1,0]=1/N1*_v2
I[2,0]=-1/N1*_v1
Y1P_Eqn
Y1P2
Y[1,1]=Y2
SDD2P
SDD2P4
I[1,0]=1/N2*_v2
I[2,0]=-1/N2*_v1
SDD1P
Y1P_Eqn
SDD1P2
Y1P1
I[1,0]=G0*_v1+G1*arctan(_v1/G2) Y[1,1]=Y1
Z1P_Eqn
Z1P1
Z[1,1]=N3**2*Z3
VAR
VAR3
VAR
Var
Eqn
VAR
N1=1/K1
Eqn
VAR5
VAR2
f1=1.1515 GHz
Q3=1.8
G0=3e-005
Q1=8.88
f3=3.25 GHz
G1=0.003
C0=100 pF
N3=56
G2=8
omega1=2*pi*f1
omega3=2*pi*f3
K1=k11*tanh(k12*abs(_v1))+1e-10
Z3=1/(omega3*C0*Q3)+j*omega/(omega3^2*C0)+1/(j*(omega+1e-100)*C0)
k11=0.0052
k12=0.078
Y1=omega1*C0/Q1+j*omega*C0+omega1**2*C0/(j*omega+1e-100)
Var
VAR
VAR
Eqn
VAR4
VAR1
N2=1/K2
V2=9 {t}
f2=1.36 GHz
Cmax=7.54e-012
Q2=6.23
C=Cmax/(2*cosh(2/3*asinh(2*(_v1)/V2))-1)
omega2=2*pi*f2
f_nom = 1 GHz
K2=k21*tanh(k22*abs(_v1))+1e-10
k21=0.021
k22=0.19
Y2=omega2*C0/Q2+j*omega*C0+omega2**2*C0/(j*omega+1e-100)
Port
P2
Num=2
Port
P1
Num=1
SRL
SRL1
R=0.6 Ohm
L=0.04 nH
3.2 BST-Varaktor-Modell
43
Abb. 3.10: BVD-Modell eines 8-pF-BST-Kondendsators
44
3 Modellierung ferroelektrischer Kondensatoren
fres1
Qres1
C
1 : N1
...
1 : N2
Abb. 3.11: Abgewandeltes Butterworth-Van Dyke-Modell eines ferroelektrischen
Kondensators mit akustischen Resonanzen
Wenn die Materialdaten nicht bekannt sind, kann ein in Abb. 3.11 gezeigtes,
abgewandeltes Butterworth-Van Dyke-Modell [49] benutzt werden. Die nichtlineare Kapazität und der nichtlineare Übertrager sind, wie bereits beschrieben, aus
SDD-Elementen aufgebaut. Die Werte der Ersatzschaltbild-Elemente werden durch
den Vergleich mit Messungen bestimmt. Da bei diesem Verfahren für jede Resonanz ein Übertrager und ein Resonator benötigt werden, kann das Modell bei
einem großen Frequenzbereich sehr komplex werden. Die ADS-Schaltung eines 8pF-Kondensators zeigt Abb. 3.10.
Die Leistungsfähigkeit der beiden vorgeschlagenen Modell-Varianten demonstrieren die C(U)- und Q(U)-Kennlinien in Abb. 3.12 anhand eines 8-pF-Kondensators
bei einer Frequenz von f = 850 MHz. Die Messungen wurden, wie in Abs. 5.1.2 beschrieben, mit einem Impedanz-Analysator und einem Spitzenmessplatz ermittelt.
8
60
IA−Messung
Mason−Modell
BVD−Modell
50
6
40
4
30
2
20
0
0
5
10
15
20
Abstimmspannung UDC (V)
Güte Q
Kapazität C (pF)
10
10
25
Abb. 3.12: Kapazitäts- und Güte-Kennlinie eines 8-pF-Kondensators bei einer
Frequenz von f = 850 MHz
45
10
8
6
4
2
0
10
8
6
4
2
0
10
8
6
4
2
0
10
8
6
4
2
0
0.5
UDC = 0 V
IA−Messung
Mason−Modell
UDC = 5 V
UDC = 10 V
UDC = 25 V
1
1.5
2
2.5
Frequenz f (GHz)
(a)
3
Kapazität C (pF)
Kapazität C (pF)
3.2 BST-Varaktor-Modell
10
8
6
4
2
0
10
8
6
4
2
0
10
8
6
4
2
0
10
8
6
4
2
0
0.5
UDC = 0 V
IA−Messung
BVD−Modell
UDC = 5 V
UDC = 10 V
UDC = 25 V
1
1.5
2
2.5
Frequenz f (GHz)
3
(b)
Abb. 3.13: Vergleich zwischen gemessener und modellierter Kapazität C im Frequenzbereich f = 0,5 GHz − 3 GHz bei unterschiedlichen Abstimmspannungen UDC (a) Mason-Modell; (b) BVD-Modell
Das Verhalten über einen größeren Frequenzbereich zeigen die Bilder in Abb. 3.13
und Abb. 3.14. Es zeigt sich, dass es mit beiden Kondensator-Modellen (Mason jeweils in (a) und BVD jeweils in (b)) möglich ist, das Verhalten eines BSTKondensators sehr exakt zu beschreiben, wenn man sich auf den für die mobile
Kommunikation interessanten Frequenzbereich beschränkt.
Gleichzeitig zeigt Abb. 3.14, dass die Güte der Kondensatoren bei höheren Frequenzen stark abnimmt. Oberhalb der 1. akustischen Resonanz ist die Güte kleiner
25. Schaltungen in diesem Frequenzbereich wären somit stark verlustbehaftet. Unterhalb der Resonanz zeigt der Kondensator etwas weniger Verluste. Im für den
zellularen Mobilfunk häufig genutzten Frequenzbereich um 850 MHz beträgt die
Güte ca. 30 bei UDC = 0 V bzw. ca. 40 bei UDC = 25 V. Oberhalb einer Spannung von 30 V kommt es zu einem Spannungsdurchbruch und der Kondensator
wird zerstört. Die Güten der Kondensatoren mit anderen Kapazitätswerten liegen
3 Modellierung ferroelektrischer Kondensatoren
75
50
25
U
0 DC
75 UDC
50
25
0
75 UDC
50
25
0
75 UDC
50
25
0
0.5
IA−Messung
Mason−Modell
=0V
=5V
Güte Q
Güte Q
46
= 10 V
= 25 V
1
1.5
2
2.5
Frequenz f (GHz)
(a)
3
75
50
25
U
0 DC
75 UDC
50
25
0
75 UDC
50
25
0
75 UDC
50
25
0
0.5
IA−Messung
BVD−Modell
=0V
=5V
= 10 V
= 25 V
1
1.5
2
2.5
Frequenz f (GHz)
3
(b)
Abb. 3.14: Vergleich zwischen gemessener und modellierter Güte Q im Frequenzbereich f = 0,5 GHz − 3 GHz bei unterschiedlichen Abstimmspannungen UDC (a) Mason-Modell; (b) BVD-Modell
im gleichen Bereich. Kleinere Kondensatoren zeigen typischerweise etwas niedrigere
und größere Kondensatoren etwas höhere Verluste.
Während dieser Arbeit wurde seitens des Projektpartners EPCOS an dem Problem der hohen Verluste gearbeitet. Gegen Ende der Arbeit konnte die Güte im
Bereich von 850 MHz auf ca. 75 verbessert werden. Aufgrund der fortgeschrittenen
Projektlaufzeit wurden jedoch aus diesen Kondensatoren keine Schaltungen mehr
aufgebaut.
4 Grundlagen abstimmbarer
Anpassnetzwerke
4.1 Netzwerktheoretische Grundlagen
Bei der Zusammenschaltung einer Quelle mit einer Last (Abb. 4.1(a)) gilt der
Satz der maximalen Leistungsübertragung [97]. Dieser besagt, dass nur, wenn die
Lastimpedanz ZL das konjugiert Komplexe der Quellimpedanz ZS beträgt, die maximale Leistung von der Quelle zur Last übertragen wird
ZL = ZS∗ .
(4.1)
Ist diese Bedingung nicht erfüllt, kann durch ein sogenanntes Anpassnetzwerk
(Abb. 4.1(b)) eine beliebige Lastimpedanz ZL 6= ZS∗ auf die gewünschte Impedanz transformiert werden
ZL′ = ZS∗ .
(4.2)
Bei nichtlinearen Komponenten wie z. B. Leistungsverstärkern kommen ebenfalls
Anpassnetzwerke zum Einsatz. Bei diesen Baugruppen ist jedoch nicht die Leistungsanpassung von primärem Interesse. Vielmehr werden die Anpassnetzwerke so
dimensioniert, dass nichtlineare Verzerrungen IMD (engl. Intermodulation Distortion) minimiert werden oder eine möglichst hohe Effizienz PAE (engl. Power Added
Efficiency) erreicht wird
ZL′ = ZIMDopt , ZL′ = ZPAEopt .
(4.3)
Ein weiteres Anwendungsgebiet für Anpassnetzwerke sind rauscharme Kleinsignalverstärker (engl. Low-Noise-Amplifier LNA). Hier werden Anpassnetzwerke eingesetzt, um neben einer möglichst hohen Leistungsübertragung das Rauschverhalten
zu optimieren
ZL′ = ZNopt .
(4.4)
Die Anpassnetzwerke, die hierbei zur Anwendung kommen, können aus Transformatoren, Leitungen oder konzentrierten Bauelementen bestehen. In der Regel sind
diese Anpassnetzwerke jedoch auf ein festes Transformationsverhältnis festgelegt.
Um den Verlust im Falle einer Fehlanpassung zu berechnen, ist es hilfreich, bei linearen Schaltungen eine Reflexions- und Streuparameter-Darstellung zu benutzen.
48
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
ΓL
Γ′L
ΓS
ZS
ZS
U(t)
ZL
ΓL
Anpassnetzwerk
Quelle
Last
Quelle
ΓS
S11 S12
S21 S22
U(t)
Γ′S
Last
!
ZL
(a)
(b)
Abb. 4.1: (a) Zusammenschaltung einer Spannungsquelle U(t) mit Quellreflexionsfakor ΓS und Lastreflexionsfaktor ΓL (b) Zusammenschaltung einer
Quelle, eines Anpassnetzwerks und einer Last
Die Definition der Streuparameter findet sich in jedem Grundlagenbuch zum Thema Hochfrequenztechnik [70, 19]. Da der Reflexionsfaktor Γ eine bilineare Transformation der Impedanz Z mit der Normierungsimpedanz Z0 darstellt, kann die
Bedingung für die Leistungsanpassung analog zu Gl. (4.1) definiert werden:
ΓL = Γ∗S .
(4.5)
Der Verlust durch Fehlanpassung AMM (engl. Conjugate Mismatch Loss) wird aus
dem Verhältnis der von der Quelle maximal verfügbaren Leistung zur in der Last
absorbierten Leistung berechnet [9]:
AMM = |1 − ΓS ΓL |2
1 − |ΓS |2
1 − |ΓL |2
.
(4.6)
Für den häufig auftretenden Fall, dass entweder die Last- oder Quellimpedanz gleich
der Normierungsimpedanz1 ist, vereinfacht sich Gl. (4.6) zu
1
.
(4.7)
AMM =
1 − |ΓS,L |2
Abbildung 4.2 zeigt AMM in Abhängigkeit vom Reflexionsfaktor-Betrag. Ideale,
verlustlose Anpassnetzwerke können diesen Verlust durch Fehlanpassung vollständig kompensieren.
1
In der Hochfrequenztechnik ist die Systemimpedanz, an die alle Komponenten angepasst werden, in der Regel gleich der Normierungsimpedanz (üblicherweise 50 Ω).
4.2 Eigenschaften verlustbehafteter Anpassnetzwerke
49
Abb. 4.2: Verlust durch Fehlanpassung AMM und Rückflussdämpfung AR in Abhängigkeit vom Reflexionsfaktor Γ
4.2 Eigenschaften verlustbehafteter
Anpassnetzwerke
Reale Anpassnetzwerke bestehen aus verlustbehafteten Komponenten. Um die Auswirkungen dissipativer Verluste auf Anpassnetzwerke zu untersuchen, müssen zunächst allgemein die Eigenschaften eines Anpassnetzwerks untersucht werden.
Ausgehend von der in Abb. 4.1(b) gezeigten Zusammenschaltung von Quelle,
Anpassnetzwerk und Last und der in Anh. B hergeleiteten Beziehungen, können die
über das Anpassnetzwerk transformierten Reflexionsfaktoren Γ′L und Γ′S berechnet
werden:
S11 − ΓL ∆S
1 − S22 ΓL
S22 − ΓS ∆S
Γ′S =
.
1 − S11 ΓS
Γ′L =
(4.8)
(4.9)
Für ein Anpassnetzwerk, das einen beliebigen Lastreflexionsfaktor ΓL auf einen beliebigen Quellreflexionsfaktor ΓS transformieren soll, muss der Satz von der maximalen Leistungsübertragung sowohl an der Quell- als auch an der Lastbezugsebene
gelten:
Γ′L = Γ∗S
Γ′S = Γ∗L .
(4.10)
(4.11)
Daraus folgt, wenn Gl. (4.8) nach ΓL aufgelöst wird und Gl. (4.9) konjugiert kom-
50
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
plex gleichgesetzt wird,
∗
S11
− ΓS
S22 − ΓS ∆S
=
.
∗
∗
∆S − S22 ΓS
1 − S11 ΓS
(4.12)
Die Gleichung (4.12), ausmultipliziert und nach Potenzen von ΓS sortiert, ergibt
∗
∗
.
0 = Γ2S (∆SS22
− S11 ) +ΓS − |S22 |2 − |∆S|2 + 1 + |S11 |2 + S22 ∆S ∗ − S11
|
{z
}
a1
|
{z
b1
}
{z
|
c1
}
(4.13)
Äquivalent lässt sich, wenn nach ΓS aufgelöst wird und konjugiert komplex gleichgesetzt wird
∗
S11 − ΓL ∆S
S22
− ΓL
=
(4.14)
∗
∗
∆S − S11 ΓL
1 − S22 ΓL
eine quadratische Gleichung in ΓL finden:
∗
∗
.
0 = Γ2L (∆SS11
− S22 ) +ΓL − |S11 |2 − |∆S|2 + 1 + |S22 |2 + S11 ∆S ∗ − S22
|
{z
}
a2
|
{z
b2
}
|
{z
c2
}
(4.15)
Es lässt sich zeigen, dass diese beiden Gleichungen nur dann gelöst werden können,
wenn gilt [10, 47]:
2 |S12 S21 | < 1 − |S22 |2 + |S11 |2 + |∆S|2 .
(4.16)
Für reziproke, verlustlose 2-Tore ist immer eine Anpassung möglich, da hier gilt
(Anh. C)
S22
(4.17)
∆S = ∗ , |S22 | = |S11 | und |∆S| = 1
S11
und somit die Koeffizienten a1,2 , b1,2 , c1,2 = 0 verschwinden. Ist Gl. (4.16) nicht
erfüllt, kommt es neben dissipativen Verlusten auch noch zu Verlusten durch Fehlanpassung. Die Gesamtverluste, die in einem Anpassnetzwerk auftreten, lassen sich
mit der Betriebsleistungsdämpfung AT berechnen:
AT =
|(1 − ΓS S11 )(1 − ΓL S22 ) − S12 S21 ΓS ΓL |2
.
(1 − |ΓS |2 )(1 − |ΓL |2 )|S21 |2
(4.18)
Für die Bewertung eines Anpassnetzwerks ist der Einfügegewinn GI , der sich aus
dem Quotienten der Verluste durch Fehlanpassung und der Betriebsleistungsdämpfung berechnet, entscheidend [9, 56]
2
S21 (1 − ΓS ΓL )
AMM =
.
GI =
AT
(1 − ΓS S11 )(1 − ΓL S22 ) − S12 S21 ΓS ΓL (4.19)
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
51
Der Einfügegewinn beschreibt das Verhältnis der Leistung, die in der Last mit dem
Anpassnetzwerk absorbiert wird, zu der Leistung, die ohne das Anpassnetzwerk absorbiert wird. Bei einem abstimmbaren Anpassnetzwerk sollte abhängig vom Lastund Quellreflexionsfaktor der Zustand des Netzwerkes gewählt werden, bei dem
der Einfügegewinn maximal wird. Für den typischen Betriebsfall, dass eine beliebige Impedanz an Tor 1 (z. B. Verstärker) an eine Impedanz an Tor 2 mit ΓL = 0
(z. B. Duplexer) angepasst werden soll, vereinfacht sich die Gleichung für den Einfügegewinn zu
2
S21
.
(4.20)
GI = 1 − ΓS S11 Die Betriebsleistungsdämpfung eines Zustands des Anpassnetzwerks wird in diesem
∗
Fall minimal, wenn gilt ΓS = S11
AT =
1 − |S11 |2
.
|S21 |2
(4.21)
Dies bedeutet jedoch nicht, dass bei diesem Quellreflexionsfaktor dieser Zustand
auch im Sinne des Einfügegewinns optimal ist. Es kann sein, dass ein Zustand, dessen Verlust durch Fehlanpassung kleiner ist als die Differenz der Betriebsleistungsdämpfung im Zustand optimaler Anpassung zu diesem Zustand, einen besseren
Einfügegewinn aufweist.
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer
Anpassnetzwerke
Ändert sich während des Betriebs die Last- oder Quellimpedanz, kommt es zu einer
Fehlanpassung. Je nach Anwendungsfall kann dies unterschiedliche Gründe haben.
Ein mögliches Szenario ist die Änderung der Fußpunktimpedanz einer MobiltelefonAntenne in unterschiedlichen Umgebungen [68, 13].
4.3.1 L-Anpassnetzwerke
Dimensionierung
L-Topologien sind aufgrund ihrer einfachen Dimensionierung und der niedrigen
Bauelementezahl als feste Anpassnetzwerke sehr beliebt [11]. Alle L-Netzwerke bestehen aus einem Parallel- und einem Serienelement. Das Parallelelement befindet
sich auf der Seite des Anpassnetzwerks mit der größeren Resistanz, da seine Aufgabe darin besteht, die hohe Resistanz durch Parallelschaltung zu einer Impedanz zu
transformieren, deren Realteil dem Realteil der anderen Seite entspricht. Das folgende Serienelement transformiert den verbleibenden Imaginärteil so, dass sich eine
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
52
(a) LC-Tiefpass
(e) LL-Tiefpass
← ΓS′
← ΓS′
(b) CL-Tiefpass
(f) LL-Tiefpass
← ΓS′
← ΓS′
(c) CL-Hochpass
(g) CC-Hochpass
← ΓS′
← ΓS′
(d) LC-Hochpass
(h) CC-Hochpass
Abb. 4.3: L-Topologien: Alle möglichen ΓS′ bei ΓS = 0 sind grau dargestellt
← ΓS′
← ΓS′
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
53
konjugiert komplexe Anpassung ergibt. Daraus folgt, dass mit einer Topologie nur
ein Teil aller möglichen Impedanzen angepasst werden kann. Eine Übersicht aller
möglichen Konfigurationen ist in Abb. 4.3 in Smith-Diagrammen zusammengefasst. Die grauen Flächen symbolisieren den Bereich des transformierten Eingangsreflexionsfaktors Γ′S bei einer festen Lastimpedanz von ZL = Z0 . Die möglichen Lastreflexionsfaktoren ΓL sind die dazu konjugiert komplexen Werte. Im umgekehrten
Fall, wenn ein fester Lastreflexionsfaktor an einen veränderlichen Quellreflexionfaktor angepasst werden soll, müssen die Schaltungen an der Vertikalen gespiegelt
werden.
Falls nur ein sehr kleiner Impedanzbereich dynamisch an eine feste Last- oder
Quellimpedanz angepasst werden soll, eignen sich diese Topologien auch für abstimmbare Anpassnetzwerke. Im Folgenden soll der Impedanzbereich, bei dem eine
variable, konjugiert komplexe Anpassung auf eine feste Lastimpedanz ZL = Z0 möglich ist, als Anpassbereich bezeichnet werden. Der tatsächlich mit ferroelektrischen
Kondensatoren realisierbare Abstimmbereich ist durch die limitierte Abstimmbarkeit der Kondensatoren und durch die Realisierung der benötigten abstimmbaren
Induktivität begrenzt. Dabei ist zu beachten, dass die Linearität des Anpassnetzwerks und der Anpassbereich konträre Forderungen an die Abstimmbarkeit der
Einzelkomponenten stellen.
Als Realisierungsformen für abstimmbare Induktivitäten bieten sich unterschiedliche Varianten an:
• Impedanzinvertierung über einen Leitungstransformator
Leitungstransformatoren wie in Abb. 4.4 kommen in der Hochfrequenztechnik sehr häufig zum Einsatz. Sie basieren auf der Tatsache, dass eine mit einer
Impedanz ZE abgeschlossene, verlustlose Leitung mit dem Wellenwiderstand
Zl eine Eingangsimpedanz ZT
ZT =
ZE + jZl tan(βl)
Zl + jZE tan(βl)
(4.22)
aufweist. Analog zur Transformation einer akustischen Impedanz in Gl. (2.60)
ist das Phasenmaß β = ω/c mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c und die
Zl , βl
CBST
Abb. 4.4: Ein Leitungsstück als Impedanzinverter
54
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
Transformationsfaktor t (nH/pF)
Abstimmbarkeit τL
Leitungsimpedanz Zl (Ω)
100
80
0
0.25
0.5 1
60
40
20
0
0
kapazitiver
Bereich
0.6
4
4
0.7
0.8
0.9
0.7
2
f = 850 MHz
C0 = 10 pF
τC = 0, 7
kapazitiver
Bereich
0.8
0.9
1
0.6 0.5 0.4
0.3
30
60
90
120
150
elektrische Leitungslänge βl (◦ )
180
Abb. 4.5: Transformationsfaktor t und Abstimmbarkeit τL in Abhängigkeit
von den Leitungsparametern βl und Zl bei 850 MHz. Die Leitung
wurde mit einem 10-pF-Kondensator mit einer Abstimmbarkeit
von τ = 0,7 abgeschlossen
Länge der Leitung l. Wird nun eine Leitung mit einem BST-Kondensator der
Kapazität CBST (U) abgeschlossen
ZE =
1
,
jωCBST
(4.23)
kann mit Wellenwiderstand und Länge der Leitung nicht nur der Transformationsfaktor t eingestellt werden, sondern auch die Abstimmbarkeit τL der
effektiven Induktivität Leff der Schaltung
Leff (0 V) = t CBST (0 V)
L(0 V) − L(Umax )
.
τL =
L(0 V)
(4.24)
(4.25)
In Abb. 4.5 ist der relativ komplexe Zusammenhang von t und τL für einen
10-pF-Kondensator mit einer Abstimmbarkeit von τ = 0,7 bei einer Frequenz
von f = 850 MHz gezeigt. Die Leitungsparameter für eine Induktivität mit
Leff = 20 nH und einer Abstimmbarkeit von τL = 0,6 ergeben sich beispielsweise aus dem Schnittpunkt der blauen τL = 0,6 -Linie mit der schwarzen
t = 2 nH/pF -Linie. Bei einer elektrischen Länge von βl = 90° ist die Abstimm-
55
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
barkeit der effektiven Induktivität gleich der Abstimmbarkeit des Kondensators. Der Transformationsfaktor t vereinfacht sich zu
t = Zl2 .
(4.26)
Wird eine höhere oder niedrigere Abstimmbarkeit benötigt, kann diese in gewissen Grenzen durch Variation der Leitungsparameter erzielt werden. Dabei
ist zu beachten, dass sehr niedrige und sehr hohe Wellenwiderstände in der
Praxis schlecht realisierbar sind.
Ein wesentlicher Nachteil der Leitungstransformatoren ist ihr Platzbedarf. Je
nach Permittivität des Substrats können die notwendigen Leitungen mehrere
Zentimeter lang werden. Aufgrund der relativ niedrigen Verluste sind sie aber
dennoch von Interesse.
• Eine Impedanzinverter-Schaltung aus konzentrierten Bauelementen
Der Nachteil des hohen Platzbedarfs von Leitungstransformatoren kann durch
eine Π- oder T-Ersatzschaltung der Leitung umgangen werden. Durch Vergleich der ABCD-Parameter einer Leitung mit den ABCD-Parametern einer
Π- oder T-Schaltung können die Kapazitäts- bzw. Induktivitätswerte einfach
bestimmt werden. Für die insgesamt vier Hoch- und Tiefpass-Versionen der Πund T-Ersatzschaltung einer λ/4-Leitung ergeben sich jeweils gleiche Werte
für die Induktivität L und die Kapazität C
Zl
ω
1
C=
.
ωZl
(4.27)
L=
(4.28)
UDC
C
C
L
Abb. 4.6: Hochpass-T-Ersatzschaltung einer
Kondensator und Speise-Spule LB
LB
CBST
λ/4-Leitung
mit
BST-
56
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
Grundsätzlich sind alle vier möglichen Π- und T-Schaltungen äquivalent. Berücksichtigt man jedoch die Tatsache, dass für die Zuführung der Abstimmspannung ein Block-Kondensator und eine Speise-Spule oder ein hochohmiger Widerstand benötigt werden, ist die in Abb. 4.6 gezeigte Hochpass-TSchaltung den anderen Topologien vorzuziehen.
• Ein abstimmbarer Serienresonanzkreis oberhalb der Resonanzfrequenz
Eine weitere Möglichkeit, einen Impedanzinverter zu realisieren, ist die Verwendung eines, in Abb. 4.7 dargestellten, Serienresonanzkreises oberhalb der
Resonanzfrequenz. Die Impedanz des Resonators ist gegeben durch
Z = jωLr +
1
1
= jω Lr − 2
.
jωCBST
ω CBST
|
{z
Leff
(4.29)
}
Um eine effektive Induktivität Leff (0 V) mit einer definierten Abstimmbarkeit τL zu erhalten, müssen die Induktivität Lr und die maximale Kapazität
CBST (0 V) des Resonators entsprechend dimensioniert werden:
τC
ω 2Leff τL (1 − τC )
τL
.
Lr = Leff 1 − τL +
τC
CBST (0 V ) =
(4.30)
(4.31)
Dabei muss für die praktische Realisierung berücksichtigt werden, dass die
parasitäre Serieninduktivität eines realen BST-Kondensators bereits in Lr
enthalten ist.
Für BST-Kondensatoren mit einer Abstimmbarkeit von τC = 0,7 bei UDC =
15 V sind die resultierenden Kapazitäten und Induktivitäten des Serienschwingkreises für unterschiedliche Abstimmbarkeiten τL der resultierenden effektiven Induktivität in Abb. 4.8 gezeichnet. Durch das Verhalten des Resonators wird die Kapazitätskennlinie des BST-Kondensators nichtlinear in
eine entsprechende Induktivitätskennlinie umgesetzt. Für eine Induktivität
Leff (0 V) = 5 nH und eine Abstimmbarkeit von τL = 0,7 sind die Kennlinien der Kapazität und der resultierenden effektiven Induktivität in Abb. 4.9
abgebildet.
Lr
CBST
Abb. 4.7: Ein Serienresonator als Impedanzinverter
57
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
f = 850 MHz
τC = 0, 7
75
τL
τL
τL
τL
= 0, 5
= 0, 6
= 0, 7
= 0, 8
20
15
50
10
25
5
0
0
2
4
6
8
effektive Induktivität Leff (nH)
Induktivität Lr (nH)
Kapazität CBST (pF)
100
0
10
Abb. 4.8: Dimensionierungsbeispiel für BST-Kondensatoren mit einer Abstimmbarkeit von τC = 0,7 bei f = 850 MHz
Kapazität CBST (pF)
f = 850 MHz
τC = τL = 0, 7
CBST (0 V)= 23, 4 pF
Lr = 6, 5 nH
κL Leff (0 V)
κC CBST (0 V)
0
0
5
10
15
Spannung U (V)
20
Induktivität Leff (nH)
Leff (0 V)
CBST (0 V)
0
25
Abb. 4.9: Kapazitäts- und Induktivitätskennlinie des BST-Kondensators
bzw. des Resonators für eine abstimmbare Induktivität mit
Leff (0 V) = 5 nH
Ein Nachteil bei dieser Art der Impedanzinvertierung ergibt sich aus dem
Betrieb des Resonators nahe der Resonanzfrequenz. Selbst kleine Toleranzen
in den Bauelementwerten wirken sich stark auf die effektive Induktivität und
ihre Abstimmbarkeit aus. Da bei dieser Methode nur ein zusätzliches Bauteil
benötigt wird, ist der Platzbedarf gering. Der Verlust der Gesamtanordnung
58
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
UDC1
UDC2
Z, Γ = S11
LB
CB
RL
LB
CB
C2
Lr
C1
LB
PA
Abb. 4.10: L-Anpassnetzwerk zur dynamischen Anpassung eines Leistungsverstärkers
ist von der Güte der Einzelbauelemente abhängig. Daher ist es ratsam, für
die Realisierung Luftspulen mit einer sehr hohen Güte zu wählen.
Exemplarisch für alle möglichen Realisierungsformen eines L-Anpassnetzwerks soll
eine CL-Tiefpass-Topologie näher untersucht werden. Diese Topologie eignet sich,
um einen Leistungsverstärker mit kleiner Ausgangsimpedanz an die Eingangsimpedanz eines Duplex-Filters anzupassen. Die Eingangsimpedanz eines solchen Filters ist typischerweise RL = 50 Ω. Die komplette Schaltung, inklusive der für die
Zuführung der Abstimmspannungen UDC1,2 benötigten Elemente (CB , LB ), ist in
Abb. 4.10 abgebildet. Die Eingangsimpedanz Z der Schaltung beträgt






C1 RL2
1
RL
Lr −
.
+
jω
−
Z=

2 2
2 2
2
2
2
1 + ω C1 RL
ω
C
1
+
ω
C
R
|
2
1 L
{z
}
(4.32)
Leff
Für die Dimensionierung von C1 ist es notwendig, den Realteil der minimal anzupassenden Impedanz ℜ(Zmin) vorzugeben
v
u
u RL − ℜ(Zmin )
.
C1 (0 V) = t
ωRLℜ(Zmin )
(4.33)
Die maximal mögliche Impedanz folgt dann aus der Abstimmbarkeit des Kondensators. C1 legt auch die Güte Q des Netzwerkes fest:
Q = ωC1 RL .
(4.34)
59
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j0.5
+j2.0
+j5.0
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
0.2
+j0.2
∞
−j5.0
−j0.2
−j0.5
τL = 0, 9
τL = 0, 8
τL = 0, 7
τL = 0, 6
−j2.0
−j1.0
Abb. 4.11: Realisierbare Anpassbereiche bei ℜ(Zmin) = 10 Ω und τC = 0.7 für
unterschiedliche τL
Je höher die Kapazität des Kondensators C1 ist, desto höher wird auch die Güte
des Netzwerkes. Mit höherer Güte wird aber auch die Bandbreite kleiner und im
Falle verlustbehafteter Komponenten werden die Verluste größer. Von der Dimensionierung von C2 und Lr hängt ab, ob mit dem Anpassnetzwerk kapazitive oder
induktive Impedanzen angepasst werden sollen. Weiterhin muss die Abstimmbarkeit
der effektiven Induktivität vorgegeben werden. Für den Fall, dass der Abstimmbereich symmetrisch um die reelle Achse sein soll, lässt sich die benötigte effektive
Induktivität in Abhängigkeit von ihrer Abstimmbarkeit τL bestimmen
Leff =
2C1 (0 V)RL2
.
(2 − τL ) (1 + ω 2 C1 (0 V)2 RL2 )
(4.35)
Mithilfe von Gl. (4.30) und Gl. (4.31) lassen sich dann Lr und C2 (0 V) bestimmen.
Wie sich die Abstimmbarkeit der effektiven Induktivität auf den Anpassbereich
auswirkt, ist in Abb. 4.11 gezeigt. Der maximal mögliche Anpassbereich ist im
Vergleich zu den in den nachfolgenden Abschnitten dieses Kapitels vorgestellten
Schaltungen sehr klein. Diese Schaltungstopologie eignet sich nur dann, wenn kleine Impedanzänderungen ausgeglichen werden sollen. Betrachtet man die NetzwerkGüte Q in Abb. 4.12, so fällt auf, dass sie zwar mit steigendem Reflexionsfaktorbetrag zunimmt, jedoch, wie für L-Anpassnetzwerke typisch, relativ gering ist. Dies
lässt eine große Bandbreite und geringe Verluste erwarten.
60
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j2.0
+j0.5
+j5.0
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
0.2
+j0.2
∞
1.5 1
−j5.0
−j0.2
−j2.0
−j0.5
−j1.0
0
0.5
1
1.5
Netzwerk-Güte Q
2
Abb. 4.12: Netzwerk-Güte Q in Abhängigkeit vom Anpassbereich bei ℜ(Zmin ) =
10 Ω, τC = 0,7 und τL = 0,9
Lineares Verhalten
Die Verluste in den Einzelbauelementen des Netzwerkes führen nicht nur zu einer
Signaldämpfung, sondern verändern auch den Anpassbereich. Die Beeinflussung
ist jedoch, wie in Abb. 4.13 dargestellt, minimal. Es kommt lediglich zu einer
leichten Verschiebung hin zu höheren Impedanzen. Für die Güte der Spule wurde in
Abb. 4.13 (a) eine Güte von QL = 200 angenommen. Solch hohe Güten werden nur
mit großen Luftspulen2 erreicht und stellen die praktisch realisierbare Obergrenze
dar. Diese Spulen können jedoch aufgrund ihrer Größe nicht in heutigen FrontendModulen eingesetzt werden. Hierfür eignen sich Spulen der Bauelement-Größe 04023
besser. Damit sind die in Abb. 4.13 (b) gezeigten Ergebnisse mit einer Spulengüte
von QL = 70 erreichbar. Dieser Wert stellt auch das nach heutigem Stand der
Technik realisierbare Maximum für die Bauelement-Größe 0402 bei einer Frequenz
von f = 850 MHz und einer Induktivität von L = 9,5 nH dar.
Einen wesentlich größeren Einfluss haben die Bauelement-Güten auf die Betriebsleistungsdämpfung AT . Für die Bewertung der Verluste wird in Abb. 4.14 die
2
3
Mini-Spring™-Air-Core-Inductors-Serie von Coilcraft.
In dieser Baugröße (ca. 1 mm x 0,5 mm) werden Spulen unterschiedlicher Preis- und Leistungsklassen angeboten. Die Güten dieser Bauteile reichen von QL ≈ 40 (LQG-Serie von Murata)
bis zu maximal QL ≈ 100 (LQW-Serie von Murata). Der tatsächliche Wert hängt sowohl von
der Induktivität als auch von der Betriebsfrequenz ab.
61
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j0.2
−j5.0
−j0.5
−j2.0
5.0
0.0
+j5.0
2.0
+j0.2
1.0
∞
+j2.0
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j0.5
0.2
+j0.5
−j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(a)
(b)
Abb. 4.13: Anpassbereich für unterschiedliche Bauelementgüten: (a) QL = 200;
(b) QL = 70
Betriebsleistungsdämpfung für unterschiedliche Kondensatorgüten verglichen. Die
Güte der Spule ist hierbei QL = 70. Wie erwartet, steigen die Verluste mit zunehmender Netzwerkgüte an. Beachtenswert ist darüber hinaus die Tatsache, dass
oberhalb einer Kondensator-Güte von QC = 75 keine nennenswerte Verbesserung
der Betriebsleistungsdämpfung erkennbar ist. Hier dominiert der Einfluss der Spule.
Bei kleineren Kondensator-Güten nimmt die Betriebsleistungsdämpfung stark zu.
Für die praktische Anwendung eines Anpassnetzwerks ist jedoch die Betriebsleistungsdämpfung nur bedingt aussagekräftig. Interessanter ist hier der Einfügegewinn
GI . Da aber gerade bei L-Anpassnetzwerken der beschränkte Anpassbereich das Anwendungsszenario auf den Ersatz eines festen L-Anpassnetzwerks einschränkt, ist
der Quotient des Einfügegewinns von abstimmbaren GI,abstimmbar zu festen GI,fest
Anpassnetzwerken ausschlaggebend
G=
GI,abstimmbar
.
GI,fest
(4.36)
Da für feste Anpassnetzwerke Keramik-Kondensatoren mit wesentlich höheren
Güten verwendet werden, als sie BST-Kondensatoren bieten, weist dieses in einem Bereich um die feste Eingangsimpedanz auch einen höheren Einfügegewinn
auf. Der Vergleich in Abb. 4.15 zeigt dies anhand einiger Beispiele. Hier werden
62
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j5.0
−j0.5
(a)
(b)
+j1.0
+j1.0
0.25
−j0.2
−j2.0
5.0
+j2.0
0.0
+j5.0
1.0
+j0.2
0.5
∞
−j5.0
−j0.5
2.0
+j0.5
0.2
5.0
2.0
1.0
0.5
1.0
−j1.0
+j5.0
0.2
−j2.0
−j1.0
+j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
+j2.0
0.5
0.25
0.5
−j0.2
−j2.0
+j0.5
0.0
0.0
+j5.0
5.0
−j0.2
∞
+j0.2
2.0
0.25
+j2.0
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j0.5
0.2
+j0.5
0.5
0.75
1
−j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(c)
(d)
Abb. 4.14: Betriebsleistungsdämpfung AT für unterschiedliche KondensatorGüten (QL = 70): (a) QC = 100; (b) QC = 75; (c) QC = 50; (d)
QC = 25
die bereits in Abb. 4.14 vorgestellten variablen Anpassnetzwerke mit einem festen Anpassnetzwerk der Eingangsimpedanz Z = 25 Ω verglichen. Für die Bestim-
63
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
0
0.5
1
1.5
2
(a)
(b)
+j1.0
+j1.0
+j0.5
−j2.0
+j2.0
−j0.2
−j0.5
−0.25
0
0.5
1
1.5
2
−j1.0
−j1.0
(c)
(d)
5.0
0.0
+j5.0
1.0
+j0.2
0.5
5.0
2.0
1.0
∞
−j5.0
1.5
2
−j0.5
5.0
2.0
1.0
−j1.0
+j2.0
0.5
−j2.0
−j1.0
0
0.5
1
−j5.0
1.5
−j0.5
+j5.0
0.2
0.5
1
−j0.2
∞
2
+j0.2
−j0.2
0
−j2.0
+j0.5
0.0
0.0
+j5.0
2.0
−j0.5
−j5.0
+j0.2
0.2
−j0.2
∞
+j2.0
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j0.5
0.2
+j0.5
∞
−j5.0
−j2.0
Abb. 4.15: Gewinn G eines abstimmbaren L-Anpassnetzwerks gegenüber einem
festen Anpassnetzwerk mit Eingangsimpedanz Z = 25 Ω für unterschiedliche Kondensator-Güten (QL = 70). Der Abstimmbereich des
Netzwerkes liegt innerhalb der gestrichelten Linie: (a) QC = 100; (b)
QC = 75; (c) QC = 50; (d) QC = 25
64
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
mung der S-Parameter des festen Anpassnetzwerks wurden die Bauteilwerte aus
den Bibliotheken der Murata-Serien GJM15 (Kondensatoren) und LQW15 (Spulen) verwendet. Der in Abb. 4.15 durch eine gestrichelte Linie begrenzte Bereich
ist der variable Anpassbereich. Die Impedanzen, die innerhalb der 0-dB-Line liegen,
weisen beim abstimmbaren Anpassbereich einen geringeren Einfügegewinn auf als
das feste Anpassnetzwerk. Für den Bereich außerhalb dieser Linie wird durch die
Verwendung des abstimmbaren Netzwerkes ein Gewinn erzielt. Ob sich der Einsatz von BST-Kondensatoren niedriger Güte (Abb. 4.15(c) und (d)) lohnt, hängt
vom Einsatzzweck ab. Variiert die Impedanz nur gering, ist ein festes Anpassnetzwerk unter Umständen sogar besser geeignet. Bei BST-Kondensatoren hoher Güte
(Abb. 4.15(a) und (b)) ist der Gewinn eines variablen Anpassnetzwerks schon
bei kleinen Impedanzänderungen signifikant.
Nichtlineares Verhalten
Die bisherigen Untersuchungen beschränkten sich nur auf das Kleinsignal-Verhalten
der Schaltungen. Da die in dieser Arbeit vorgestellten Schaltungen für den Einsatz
in einem Mobilfunk-Frontend bestimmt sind, ist es notwendig, auch das nichtlineare Verhalten zu untersuchen. Hierzu wurde mit ADS eine 2-Ton-HB-Simulation
durchgeführt. Als Maß für die Linearität der Schaltung wurde der Interceptpunkt 3.
Ordnung IP3 bei einer Eingangsleistung von 20 dBm abhängig von der Eingangsimpedanz bestimmt. Alle Bauelemente wurden hierbei als verlustlos angenommen.
Das nichtlineare Verhalten der Anpassnetzwerke ist sehr komplex. Die Spannung,
die an einem Kondensator anliegt, ist die Summe der angelegten Abstimmspannung
UDC und der HF-Spannung. Beide Spannungen sind jedoch von der Eingangsimpedanz des Netzwerks abhängig. Für eine Abstimmbarkeit von τC = 0,7 wurde
in Abb. 4.16 der IP3 bei unterschiedlichen maximalen Abstimmspannungen bestimmt ((a) UDC,max = 20 V; (b) UDC,max = 45 V; (c) UDC,max = 70 V). Abstimmspannungen über 70 V wurden nicht berücksichtigt, da diese nach heutigem Stand
der Technik nur schwer zu erzeugen sind.
Es zeigt sich, dass selbst bei einer maximalen Abstimmspannung von 70 V nur
ein IP3 knapp über 40 dBm erreicht werden kann. Dies ist jedoch zu wenig, um
die Schaltung in einem Mobilfunk-Frontend einzusetzen. Um eine noch größere
Linearität bei dennoch geringer Abstimmspannung zu erzielen, ist es notwendig,
mehrere Kondensatoren in Reihe zu schalten. Dies wurde in Abb. 4.17(a) für
eine Serienschaltung von zwei Kondensatoren doppelter Größe und in (b) für eine
Serienschaltung von vier Kondensatoren vierfacher Größe untersucht. Die maximale
Abstimmspannung betrug UDC,max = 20 V bei einer Abstimmbarkeit von τC = 0,7.
Erst wenn vier Kondensatoren in Serie geschaltet werden, wird ein IP3 von über
45 dBm erzielt.
Für den sinnvollen praktischen Einsatz eines abstimmbaren L-Typ-Anpassnetzwerks sind somit Serienschaltungen von Kondensatoren hoher Güte erforderlich.
65
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j0.2
−j5.0
−j0.5
−j2.0
5.0
−j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
−j1.0
2.0
0.0
+j5.0
1.0
∞
+j0.2
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j2.0
+j0.5
0.2
+j0.5
−j2.0
−j1.0
IP3,min =33.5 dBm
IP3,min =39.6 dBm
(a)
(b)
+j1.0
+j0.5
+j2.0
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
∞
−j5.0
−j0.2
−j2.0
−j0.5
−j1.0
IP3,min =40.2 dBm
(c)
Abb. 4.16: Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 bei einer Eingangsleistung von 20 dBm
in Abhängigkeit vom Eingangsreflexionsfaktor und der Abstimmbarkeit der Kondensatoren: (a) τC = 0,7 bei 20 V; (b) τC = 0,7 bei 45 V;
(c) τC = 0,7 bei 70 V
Dabei zeigt sich, dass mit zunehmendem Betrag des Eingangsreflexionsfaktors sowohl die Verluste steigen als auch die Linearität abnimmt. Für den Einsatz bei sehr
hohen Eingangsreflexionsfaktoren sollte geprüft werden, ob durch ein zusätzliches,
festes Vor-Anpassnetzwerk die Anforderungen an die Komponenten des abstimmbaren Anpassnetzwerks verringert werden können.
66
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j0.2
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
IP3,min =39.2 dBm
(a)
5.0
2.0
0.0
+j5.0
1.0
∞
+j0.2
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j2.0
+j0.5
0.2
+j0.5
−j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
IP3,min =45.2 dBm
(b)
Abb. 4.17: Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 bei einer Eingangsleistung von 20 dBm
in Abhängigkeit vom Eingangsreflexionsfaktor und einer Abstimmbarkeit τC = 0,7 bei 20 V: (a) Serienschaltung von zwei Kondensatoren
doppelter Größe; (b) Serienschaltung von vier Kondensatoren vierfacher Größe
4.3.2 Π-Anpassnetzwerke
Dimensionierung
Tiefpass-Π-Anpassnetzwerke oder auch Collins-Filter werden häufig als feste Anpassnetzwerke in der Hochfrequenztechnik eingesetzt. Man kann sich ein Π-Netzwerk
als eine Zusammenschaltung von zwei L-Netzwerken vorstellen, welche die Lastund Quellimpedanz auf eine virtuelle Zwischenimpedanz4 anpassen. Da sie mit drei
Blindelementen einen zusätzlichen Freiheitsgrad aufweisen, werden sie benutzt, um
eine höhere Güte (= niedrigere Bandbreite, Unterdrückung höherer harmonischer
Störfrequenzanteile) als L-Anpassnetzwerke zu erzielen oder um für die praktische
Realisierung günstigere Bauteilwerte zu erhalten.
Unter Verwendung abstimmbarer Kondensatoren lässt sich ein wesentlich größerer Impedanzbereich abdecken als bei den im vorherigen Abschnitt behandelten
L-Anpassnetzwerken. Sie eignen sich beispielsweise, um die Schwankungen der Antennenfußpunktimpedanz in einem mobilen Transceiver zu kompensieren. Hierbei
4
Diese Zwischenimpedanz muss kleiner sein als die Last- und Quellimpedanz.
67
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
C2 ↓ ,
UDC2 ↑
C1 ↓ ,
UDC1 ↑
Abb. 4.18: Abstimmbereich eines Π-Anpassnetzwerks
wird eine variable Quellimpedanz ZS an eine feste Lastimpedanz ZL = 1/GL angepasst. Der Abstimmbereich eines typischen Π-Anpassnetzwerks ist für eine derartige
Anwendung in Abb. 4.18 gezeigt. Die beiden Pfeile zeigen den Impedanzverlauf
für zunehmende Abstimmspannungen UDC1,2 und damit abnehmende Kapazitäten,
wenn die jeweils andere Kapazität C2,1 fest auf die Mitte ihres Abstimmbereichs
eingestellt ist.
In der in Abb. 4.19 dargestellten Schaltung eines abstimmbaren Π-Netzwerks
werden die Abstimmspannungen UDC1,2 durch drei zusätzliche Kondensatoren CB
und zwei Spulen LB zugeführt.
Die Eingangsadmittanz Y der Schaltung ist gegeben durch:
C2 (1 − ω 2 LC2 ) − LYL2
YL
+
jω
C
+
Y =
1
(1 − ω 2 LC2 )2 + (ωLYL)2
(1 − ω 2 LC2 )2 + (ωLYL )2
1
.
mit YL =
ZL
!
(4.37)
Für die Dimensionierung der Komponenten C1 , C2 und L müssen neben der Lastimpedanz ZL auch die Abstimmbarkeit τC der Kondensatoren und der Anpassbereich
festgelegt werden. Aus Abb. 4.18 und Abb. 4.20 ist ersichtlich, dass der Anpassbereich, also die Eingangsreflexionsfaktoren, die durch Anlegen der äußeren
Versorgungsspannungen erreicht werden können, im Smith-Diagramm keine runde
konzentrische Verteilung aufweist. Als maximaler Anpassbereich soll im Folgenden
der maximale Reflexionsfaktor-Betrag |Γ|max bezeichnet werden, der für beliebige
Winkel erreicht werden kann (grauer Kreis und Linie in Abb. 4.20(a) bzw. (b)).
Dies führt zu einem um ZL = Z0 zentrierten Anpassbereich. Alternativ kann auch
68
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
CB
UDC1
UDC2
LB
CB
LB
CB
L
C1 ← Z A Z B →
Pin , ZS
C2
ZL
Abb. 4.19: Schaltplan eines abstimmbaren Π-Anpassnetzwerks. Die Bauelemente, die zur Zuführung der Versorgungsspannung benötigt werden, sind
grau dargestellt
zur Dimensionierung die Abstimmbarkeit und die maximale Kapazität der Kondensatoren vorgegeben werden, um den resultierenden Anpassbereich zu errechnen.
Für den Fall, dass die maximale Kapazität C1,2,max der Kondensatoren vorgegeben
wird und im Smith-Diagramm ein möglichst großer Anpassbereich erreicht werden
soll, muss zunächst der Realteil von Gl. (4.37) betrachtet werden. Dieser ist nicht
von C1 abhängig und kann somit für die Dimensionierung der Induktivität L in
Abhängigkeit von der maximalen Kapazität von C2,max und der Abstimmbarkeit τC
benutzt werden. Für eine konzentrische Verteilung des Anpassbereichs muss gelten:
GminGmax = G2L .
(4.38)
Gmin und Gmax sind die minimale bzw. maximale Admittanz, die bei C2 = C2,max
bzw. C2 = C2,min = (1 − τC )C2,max erreicht werden kann. Der maximale Reflexionsfaktor |Γ|max kann daraus mit
|Γ|max
1 − Gmin Z0 =
=
1 + Gmin Z0
1 − Gmax Z0 (4.39)
1 + Gmax Z0
berechnet werden. Wird Gl. (4.37) in Gl. (4.38) eingesetzt, ergibt sich folgende
Bestimmungsgleichung für L:
2
1 − ω LC2,max
2
+ (ωLGL )2
2
1 − ω L(1 − τC )C2,max
2
+ (ωLGL )2 − 1 = 0.
(4.40)
Ausmultipliziert und nach Potenzen von L sortiert, ergibt dies eine Gleichung dritten Grades. Es existieren prinzipiell drei unterschiedliche Lösungen für diese Gleichung. Da die Diskriminante D > 0 ist, ergibt sich nur noch eine reelle, physikalisch
69
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
Gmax
Gmin
(a)
Reflexionsfaktor |Γ|
1
0.9
0.8
0.7
0.6
60
80
100
120
140
Suszeptanz ωC1,2 (mS)
160
(b)
Abb. 4.20: Grenzen des Abstimmbereichs eines Π-Anpassnetzwerks: (a) Darstellung in vektorieller Form; (b) Darstellung als Betrag
sinnvolle Lösung. Der Lösungsweg ist in Anh. D.1 genauer beschrieben. Nach einigen Rechenschritten ergibt sich:
1
L=
ω
s
4
1
qΠ q 3
sinh arsinh −
3 pΠ
3pΠ
3
2
!
bΠ
−
.
3aΠ
(4.41)
Die Parameter aΠ , bΠ , pΠ und qΠ sind in Anh. D.1 definiert. Die Grafik in Abb. 4.21
zeigt die Ergebnisse von Gl. (4.41) für unterschiedliche Abstimmbarkeiten τC und
70
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
Kapazitäten C2,max . Es fällt auf, dass ab einer gewissen Abstimmbarkeit und Kapazität die resultierende Induktivität abnimmt (in Abb. 4.21 grau dargestellte
Kurven). Ab diesen Punkten ist eine symmetrische Vergrößerung des Abstimmbereiches mit zunehmendem τC nicht mehr möglich. Die Bedingung eines verschwindenden Imaginärteils von Y für Gl. (4.40) ist ab hier aufgrund der limitierten Abstimmbarkeit von C1 nicht mehr erfüllt. Soll dennoch ein maximal großer, nun
aber nicht mehr symmetrischer Anpassbereich erreicht werden, muss die Induktivität gleich der maximalen Induktivität gesetzt werden (in Abb. 4.21 schwarz
dargestellte Kurven). Dieses Verhalten wiederholt sich beim maximal erreichbaren
Reflexionsfaktor-Betrag |Γ|max in Abb. 4.22.
Bei den bisherigen Ergebnissen wurde die Kapazität C1 und ihr Einfluss auf den
Anpassbereich außer Acht gelassen. Außerdem wurde |Γ|max ausschließlich aus den
rein reellen Werten Gmax bzw. Gmin ermittelt. Für eine komplexwertige Betrachtung des Abstimmbereichs und für die Bestimmung von C1,max müssen die Beträge
der Eingangsreflexionsfaktoren Γ1−4 für den Rand des Abstimmbereichs berechnet
werden. Diese sind gegeben durch:
Γ1 =
Γ2 =
Γ3 =
Γ4 =
ω 2 L (C1 − C2,min ) + jωL
2 − ω 2 L (C1 + C2,min) + jωL
ω 2 L (C1 − C2,max ) + jωL
1
Z0
ω 2 L (C1,min − C2 ) + jωL
2 − ω 2 L (C1,min + C2 ) + jωL
ω 2 L (C1,max − C2 ) + jωL
1
Z0
1
Z0
2 − ω 2 L (C1 + C2,max ) + jωL
1
Z0
1
Z0
2 − ω 2 L (C1,max + C2 ) + jωL
+ ω 2 C1 C2,minZ0 − jωZ0 (C1 + C2,min )
+ ω 2 C1 C2,max Z0 − jωZ0 (C1 + C2,max )
1
Z0
,
− ω 2 C1 C2,max Z0 + jωZ0 (C1 + C2,max )
(4.43)
+ ω 2 C1,minC2 Z0 − jωZ0 (C1,min + C2 )
1
Z0
,
− ω 2 C1 C2,minZ0 + jωZ0 (C1 + C2,min)
(4.42)
,
− ω 2 C1,minC2 Z0 + jωZ0 (C1,min + C2 )
(4.44)
+ ω 2 C1,max C2 Z0 − jωZ0 (C1,max + C2 )
1
Z0
.
− ω 2 C1,max C2 Z0 + jωZ0 (C1,max + C2 )
(4.45)
Γ1−4 sind für das in Abb. 4.18 gezeigte Beispiel in Abb. 4.20(a) in vektorieller
Form und in Abb. 4.20(b) als Beträge abgebildet. Berechnet man für Gl. (4.42)Gl. (4.45) die Beträge, folgt daraus, dass sich mit C1,max = C2,max die jeweils gleichen
Reflexionsfaktor-Beträge für die Paare Γ1 , Γ3 und Γ2 , Γ4 ergeben. Setzt man für
die Induktivität L das in Gl. (4.41) gefundene Ergebnis in Gl. (4.42)-Gl. (4.43) ein,
71
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
30
25
ωL(Ω)
20
15
ωC2,max
ωC2,max
ωC2,max
ωC2,max
10
5
0
0.4
0.5
= 0, 1 S
= 0, 15 S
= 0, 2
= 0, 25 S
0.6
0.7
Abstimmbarkeit τC
0.8
Abb. 4.21: Reaktanz ωL eines Π-Anpassnetzwerks für einen symmetrischen Anpassbereich in Abhängigkeit der Abstimmbarkeit τC und maximalen
Suszeptanz ωC2,max
0.9
ωC2,max
ωC2,max
ωC2,max
ωC2,max
Anpassbereich |Γ|
0.8
0.7
= 0, 1 S
= 0, 15 S
= 0, 2 S
= 0, 25 S
0.6
0.5
0.4
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Abstimmbarkeit τC
0.8
Abb. 4.22: Maximal erreichbarer Anpassbereich |Γ|max eines Π-Anpassnetzwerks
in Abhängigkeit der Abstimmbarkeit τC und maximalen Suszeptanz
ωC2,max
findet man die Minima für |Γ1−2 | und somit auch für |Γ3−4 | bei
C2,max (1 − ω 2LC2,max ) − LG2L
und
(1 − ω 2 LC2,max )2 + (ωLGL )2
C2,min (1 − ω 2 LC2,min ) − LG2L
=−
(1 − ω 2 LC2,min )2 + (ωLGL )2
C1,1 = −
(4.46)
C1,2
(4.47)
72
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
Dies sind aber genau die Werte (kleine schwarze Kreise in Abb. 4.20(a) und
Abb. 4.20(b)), für die die Eingangsadmittanz Y reell wird und die Werte Gmin
bzw. Gmax annimmt. Für die in Abb. 4.21 grau gezeichneten Bereiche kann C1
diese Werte aber aufgrund der limitierten Abstimmbarkeit nicht mehr annehmen.
Damit und mit der Gleichheit der Beträge der Reflexionsfaktoren ist gezeigt, dass
sich folgende Dimensionierungsvorschriften für einen maximalen Anpassbereich ergeben:
1. Zuerst muss die maximale technisch realisierbare Kapazität C = C1,2,max für
die Arbeitsfrequenz des Anpassnetzwerks bestimmt werden. Diese wird in der
Regel durch die Serienresonanzfrequenz der Kondensatoren bestimmt.
2. Anhand Gl. (4.41) wird die Induktivität L mit der Abstimmbarkeit der Kondensatoren berechnet. Dabei sollte beachtet werden, dass ab einem gewissen
Punkt eine höhere Abstimmbarkeit den Anpassbereich nicht weiter vergrößert.
Ist die Schaltung dimensioniert, lässt sich die Netzwerkgüte Q nach [92, 90, 91] mit
Q=
QA + QB
2
(4.48)
berechnen. QA und QB sind die Güten von ZA bzw. von ZB aus Abb. 4.19
ℑ(ZA )
ℜ(ZA )
ℑ(ZB )
.
QB = −
ℜ(ZB )
QA = −
(4.49)
(4.50)
Wie bereits erwähnt, ist die Güte eines Π-Netzwerks immer höher als die eines LNetzwerks. Der Verlauf ist in Abhängigkeit vom Eingangsreflexionsfaktor für zwei
unterschiedliche Schaltungen mit gleichem Abstimmbereich |Γ|max in Abb. 4.23
dargestellt. Beide Schaltungen zeigen zwar ein Anwachsen der Güte hin zu höheren
Impedanzen, unterscheiden sich aber stark in ihren Absolutwerten. Bei den Schaltungen in Abb. 4.23(a) wurde der minimale Kapazitätswert, bei dem noch eine
maximale Abstimmbarkeit von |Γ|max = 0,5 erreicht werden kann, gewählt. Bei der
Schaltung in Abb. 4.23(b) wurde hingegen ein wesentlich höherer Kapazitätswert
bei entsprechend geringerer Abstimmbarkeit angenommen. Dieses unterschiedliche
Verhalten der beiden Schaltungen kann direkt aus Gl. (4.48) abgelesen werden.
Bei gleichen Last- und Quellimpedanzen sind die Einzelgüten QA und QB direkt
proportional zum Kapazitätswert. Es lässt sich also festhalten, dass Schaltungen
mit kleineren Kondensatoren und höheren Abstimmbarkeiten eine kleinere Güte
aufweisen als Schaltungen mit größeren Kondensatoren und einer niedrigeren Abstimmbarkeit. Die minimale Güte für einen vorgegebenen Abstimmbereich ergibt
73
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
2
3
−j0.2
45
−j0.5
−j5.0
−j2.0
4
6
−j0.2
5.0
0.0
+j5.0
2.0
+j0.2
1.0
∞
+j2.0
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j0.5
0.2
+j0.5
8 10
−j0.5
∞
−j5.0
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(a)
(b)
Abb. 4.23: Netzwerk-Güte Q abstimmbarer Π-Anpassnetzwerke mit einem Abstimmbereich von |Γ|max = 0,5:
(a) ωC1,2,max = 90 mS, τC = 0,62;
(b) ωC1,2,max = 180 mS, τC = 0,45
sich jeweils beim Erreichen des Maximus der in Abb. 4.22 gezeigten Kurven. Bei
dieser Betrachtung muss jedoch beachtet werden, dass hier nur eine begrenzte Auswahlmöglichkeit besteht, da mit der Größe der Kapazität auch der maximal mögliche Anpassbereich festgelegt ist. Dies führt zu dem in Abb. 4.24 dargestellten
Verhalten, dass, selbst wenn immer der kleinste mögliche Kapazitätswert gewählt
wird, die Güte mit zunehmendem Abstimmbereich anwächst.
Lineares Verhalten
Wie bei den L-Anpassnetzwerken haben auch bei Π-Anpassnetzwerken die Bauelement-Güten einen Einfluss auf Abstimmbereich und Verluste. Durch die höheren
Netzwerk-Güten fallen allerdings die Bauelement-Verluste noch stärker ins Gewicht.
Für die beiden Beispiele aus Abb. 4.23(a) und (b) ist dies in Abb. 4.25 illustriert. Die Abb. 4.25(a) und (b) zeigen den Anpassbereich für unterschiedliche
Kondensator-Güten bei einer Spulen-Güte von QL = 200, während (c) und (d)
die beiden Schaltungen bei einer Spulen-Güte von QL = 70 gegenüberstellen. Wie
beim L-Netzwerk hat die Güte der Induktivität nur einen relativ geringen Einfluss
74
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
2
3
−j0.2
45 6 7
−j0.5
2
8
−j5.0
−j2.0
5.0
0.0
+j5.0
2.0
+j0.2
1.0
∞
+j2.0
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j0.5
0.2
+j0.5
4
−j0.2
−j5.0
6 8 10
−j0.5
∞
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(a)
(b)
Abb. 4.24: Netzwerk-Güte Q für unterschiedliche Kondensatorgrößen und Anpassbereiche bei jeweils minimaler Netzwerk-Güte:
(a) |Γ|max = 0,6, ωC1,2,max = 120 mS, τC = 0,66;
(b) |Γ|max = 0,7, ωC1,2,max = 160 mS, τC = 0,7
auf den Abstimmbereich. Dies ist zu einem großen Teil in dem bereits sehr hohen
Güte-Niveau der Spulen begründet. Mit abnehmender Kondensator-Güte zeigt sich
hingegen eine signifikante Einschränkung des Anpassbereichs. Diese Einschränkung
ist weder an dem Rand, bei dem die Kapazität C1 maximal wird, noch an dem Rand,
bei dem die Kapazität C2 minimal wird, zu beobachten. D. h., der Anpassbereich
schrumpft ausschließlich im Bereich hoher induktiver, resistiver und kapazitiver
Lasten. Vergleicht man außerdem jeweils Abb. 4.25(a) mit Abb. 4.25(b) und
Abb. 4.25(c) mit Abb. 4.25(d), so wird deutlich, dass die Auswirkungen geringer Kondensator-Güten bei hoher Netzwerk-Güte stärker ins Gewicht fallen. Damit
der Anpassbereich möglichst groß bleibt, sollte daher ein Anpassnetzwerk mit geringer Netzwerk-Güte entworfen werden.
Diese Dimensionierungsregel wird noch deutlicher bei der Betrachtung der Betriebsleistungsdämpfung AT . Wie erwartet, zeigt die Schaltung mit hoher NetzwerkGüte (Abb. 4.23(b)) in Abb. 4.26(b) bei einer Spulen-Güte von QL = 70 und
einer Kondensator Güte von QC = 50 eine höhere Betriebsleistungsdämpfung als die
in Abb. 4.26(a) abgebildete Vergleichsschaltung mit niedrigerer Netzwerk-Güte
(Abb. 4.23(a)). Für die Bewertung eines abstimmbaren Π-Anpassnetzwerks ist die
75
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j0.5
(a)
(b)
+j1.0
+j1.0
+j0.5
−j5.0
−j0.5
−j2.0
1.0
0.0
5.0
+j5.0
0.5
∞
+j2.0
+j0.2
0.2
5.0
2.0
1.0
−j0.2
2.0
−j2.0
−j1.0
+j5.0
0.5
1.0
−j0.5
+j2.0
∞
−j5.0
−j1.0
+j0.2
0.2
−j0.2
−j2.0
+j0.5
0.0
0.0
+j5.0
5.0
−j5.0
+j0.2
2.0
−j0.2
∞
+j2.0
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j0.5
0.2
+j0.5
−j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(c)
(d)
Abb. 4.25: Anpassbereich für unterschiedliche Bauelement- und Netzwerk-Güten
für einem Abstimmbereich von |Γ|max = 0,5:
(a) + (b) QL = 200; (c) + (d) QL = 70;
(a) + (c) Netzwerk mit minimaler Netzwerk-Güte (Abb. 4.23(a));
(b) + (d) Netzwerk mit hoher Netzwerk-Güte (Abb. 4.23(b))
76
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
0.5
1
−j0.2
−j5.0
1.5
2
−j0.2
−j2.0
∞
−j5.0
2.5
1.5
−j0.5
5.0
0.0
+j5.0
2.0
+j0.2
1.0
∞
+j2.0
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j0.5
0.2
+j0.5
−j0.5
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(a)
(b)
Abb. 4.26: Betriebsleistungsdämpfung AT bei einer Spulen-Güte von QL = 70
und einer Kondensator Güte von QC = 50 für die Schaltungen:
(a) Netzwerk mit minimaler Netzwerk-Güte (Abb. 4.23(a));
(b) Netzwerk mit hoher Netzwerk-Güte (Abb. 4.23(b))
Betriebsleistungsdämpfung jedoch nicht die entscheidende Maßzahl. Da mit diesen
Anpassnetzwerken ein relativ großer Anpassbereich abgedeckt werden kann, empfiehlt sich ihr Einsatz immer dort, wo die dynamisch anzupassende Impedanz stark
um die Nennimpedanz schwankt. Es soll also nicht wie bei L-Anpassnetzwerken ein
festes Anpassnetzwerk ersetzt werden. Um den Gewinn, den der Einsatz eines abstimmbaren Anpassnetzwerks gegenüber dem Verzicht einer adaptiven Anpassung
bringt, zu bewerten, muss der Einfügegewinn GI aus Gl. (4.20) betrachtet werden.
Dieser ist in Abhängigkeit vom Quellreflexionsfaktor ΓS in Abb. 4.27 dargestellt.
Für jeden Quellreflexionsfaktor, auch außerhalb des Anpassbereichs, wurde hierfür
jeweils der Kapazitätswert für C1 und C2 gewählt, bei dem der Einfügegewinn am
größten ist.
In Abb. 4.27(a) ist dies die Schaltung aus Abb. 4.23(a) mit einem Abstimmbereich von |Γ|max = 0,5 und in Abb. 4.27(b) die Schaltung aus Abb. 4.24(b)
mit einem höheren Abstimmbereich von |Γ|max = 0,7. Die Netzwerk-Güten sind
in beiden Schaltungen für den jeweiligen Anpassbereich minimal. Die BauelementGüten betragen für beide Schaltungen QL = 70 und QC = 50. Wie zu erwarten,
77
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
3 2
−j0.2
1
−0.5
0
−j0.5
−j5.0
−j2.0
−j0.2
5.0
0.0
+j5.0
2.0
+j0.2
1.0
∞
+j2.0
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j0.5
0.2
+j0.5
−1
−0.5
432 1 0
−j0.5
∞
−j5.0
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(a)
(b)
Abb. 4.27: Einfügegewinn GI bei einer Spulen-Güte von QL = 70 und einer
Kondensator-Güte von QC = 50 für die Schaltungen:
(a) Netzwerk mit |Γ|max = 0,5 (Abb. 4.23(a));
(b) Netzwerk mit |Γ|max = 0,7 (Abb. 4.24(b))
zeigen beide Grafiken einen Bereich in der Mitte des Smith-Diagramms, in dem die
Betriebsleistungsdämpfung höher ist als es die Verluste durch Fehlanpassung sind.
Bewegt sich die anzupassende Quellimpedanz innerhalb des 0-dB-Kreises, bringt
der Einsatz des Anpassnetzwerks einen Verlust mit sich. Außerhalb des Kreises
ist jedoch ein Gewinn erzielbar. Die Größe des Gewinns hängt von der Quellimpedanz und dem Abstimmbereich des Netzwerks ab. Während bei dem Anpassnetzwerk mit kleinerem Abstimmbereich und daraus resultierender kleinerer Betriebsleistungsdämpfung schon bei relativ kleinen Quellreflexionsfaktor-Beträgen
ein Gewinn erzielt wird, ist dies bei dem Netzwerk mit höherem Abstimmbereich
und mit daraus resultierender höherer Betriebsleistungsdämpfung erst bei größeren
Quellreflexionsfaktor-Beträgen möglich. Mit zunehmendem QuellreflexionsfaktorBetrag fällt der Gewinn beim Netzwerk mit größerem Abstimmbereich größer aus
als beim Netzwerk mit kleinerem Abstimmbereich.
Bei der Dimensionierung eines abstimmbaren Anpassnetzwerks muss also immer zwischen dem benötigten Abstimmbereich für die Kompensation der Verluste durch Fehlanpassung und der damit verbundenen Betriebsleistungsdämpfung
78
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
abgewogen werden. Ein großer Abstimmbereich ist nur dann sinnvoll, wenn der
Quellreflexionsfaktor-Betrag oft sehr große Werte annimmt.
Wie sich die Kondensator-Güten auf den Einfügegewinn auswirken, zeigt die Zusammenfassung in Abb. 4.28. Selbst bei einer Kondensatorgüte von QC = 100 ergibt sich im ungünstigsten Fall noch ein Verlust von ca. 0,66 dB. Der nach heutigem
Stand der Technik realistisch erzielbare minimale Einfügegewinn bei Einsatz von
Luftspulen mit QL = 200 und Kondensatoren mit QC = 100 beträgt ca. −0,4 dB.
Für eine Integration sind solche Spulen jedoch aufgrund ihrer geometrischen Abmessungen nur bedingt geeignet.
Nichtlineares Verhalten
Wie das L-Anpassnetzwerk erzeugt auch das Π-Anpassnetzwerk nichtlineare Verzerrungen. Auch hier ist das nichtlineare Verhalten ein Zusammenspiel aus Impedanz und Abstimmspannung. Wie das Ergebnis in Abb. 4.16(a) zeigt, nimmt die
Linearität einerseits mit höherer Abstimmspannung (niedrigerer Kapazität) und
andererseits mit niedrigerer Impedanz zu. Für die hier gezeigten Untersuchungen
wurde ein Anpassnetzwerk minimaler Güte5 mit einem maximalen Anpassbereich
von |Γ|max = 0,5 bei idealen verlustlosen Bauelementen angenommen. Die Simulationsergebnisse wurden mit einer ADS-HB-Simulation erzeugt. Die Eingangsleistung
betrug 20 dBm.
Für die Bewertung des Anpassnetzwerks wurde nur der Impedanzbereich mit
|Γ| ≤ 0,5 herangezogen (Bereich innerhalb des schwarzen Kreises). Der Vergleich in
Abb. 4.29(a) bis (c) verdeutlicht die Abhängigkeit des Interceptpunkts 3. Ordnung von der maximalen Abstimmspannung. Erst ab einer maximalen Abstimmspannung größer als ca. 70 V ergibt sich ein IP3 größer als 45 dBm. Um mit Kondensatoren mit nur 20 V maximaler Abstimmspannung eine ähnlich hohe Linearität
zu erreichen, müssten, wie Abb. 4.30(c) zeigt, mindestens acht Kondensatoren in
Serie geschaltet werden. Bemerkenswert ist ebenfalls, das eine Serienschaltung von
nur zwei Kondensatoren doppelter Größe (Abb. 4.30(a)) keine nennenswerte Verbesserung zu bringen scheint. Bei genauem Vergleich zwischen Abb. 4.29(a) und
Abb. 4.30(a) fällt jedoch auf, dass zwar mit der Serienschaltung eine Verbesserung
der Linearität zu beobachten ist, diese sich allerdings am Rand des betrachteten
Gebiets kaum auswirkt.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass ein optimales Π-Anpassnetzwerk nicht
existiert. Je nach konkretem Anwendungsfall muss der benötigte Abstimmbereich
ermittelt werden. Dieser sollte dann mit einem Anpassnetzwerk minimaler NetzwerkGüte abgedeckt werden. Wie sich im nächsten Kapitel zeigen wird, weist das Π5
Für ein Anpassnetzwerk mit minimaler Güte und einem Anpassbereich von |Γ|max = 0,5 ist eine
Abstimmbarkeit von τC = 0,62 erforderlich. Dies ist jedoch eine geringere Abstimmbarkeit, als
bei der Untersuchung des L-Anpassnetzwerks gewählt wurde. Die Ergebnisse sind somit nicht
direkt vergleichbar.
79
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j0.5
(a)
(b)
+j1.0
+j1.0
−0.5
0
−j0.5
−j5.0
−j2.0
5.0
+j0.2
0.0
+j5.0
3 2 1 0
1.0
∞
+j2.0
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
3 2
2.0
+j0.5
+j5.0
0.2
−j2.0
−j1.0
+j2.0
1
1.0
−j0.5
∞
−j5.0
1
−j1.0
+j0.2
−j0.2
−0.5
0
−j0.2
−j2.0
+j0.5
0.0
3 2
5.0
−j5.0
1
0.0
+j5.0
0.2
−j0.2
+j0.2
0.5
5.0
−0.5
0
∞
+j2.0
2.0
3 2
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j0.5
0.2
+j0.5
−1
−0.5
−j0.2
−j0.5
∞
−j5.0
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(c)
(d)
Abb. 4.28: Einfügegewinn GI der Schaltung aus Abb. 4.23(a) für unterschiedliche Bauelement-Güten: QL = 70
(a) QC = 100; (b) QC = 75; (c) QC = 50; (d) QC = 25
Anpassnetzwerk grundsätzlich eine höhere Linearität auf als das T-Anpassnetzwerk.
Dies macht es besonders interessant für den Einsatz in einem Mobilfunk-Frontend.
80
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j0.2
−j5.0
−j0.5
−j2.0
5.0
−j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
−j1.0
2.0
0.0
+j5.0
1.0
∞
+j0.2
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j2.0
+j0.5
0.2
+j0.5
−j2.0
−j1.0
IP3,min =35.2 dBm
IP3,min =42.2 dBm
(a)
(b)
+j1.0
+j0.5
+j2.0
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
∞
−j5.0
−j0.2
−j2.0
−j0.5
−j1.0
IP3,min =46 dBm
(c)
Abb. 4.29: Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 bei einer Eingangsleistung von 20 dBm
in Abhängigkeit vom Eingangsreflexionsfaktor und der Abstimmbarkeit der Kondensatoren: (a) τC = 0,62 bei 20 V; (b) τC = 0,62 bei
45 V; (c) τC = 0,62 bei 70 V
81
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j0.2
−j5.0
−j0.5
−j2.0
5.0
−j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
−j1.0
2.0
0.0
+j5.0
1.0
∞
+j0.2
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j2.0
+j0.5
0.2
+j0.5
−j2.0
−j1.0
IP3,min =35.3 dBm
IP3,min =43.3 dBm
(a)
(b)
+j1.0
+j0.5
+j2.0
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
−j0.2
∞
−j5.0
−j2.0
−j0.5
−j1.0
IP3,min =47.2 dBm
(c)
Abb. 4.30: Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 bei einer Eingangsleistung von 20 dBm
in Abhängigkeit vom Eingangsreflexionsfaktor und einer Abstimmbarkeit τC = 0,62 bei 20 V: (a) Serienschaltung von zwei Kondensatoren
doppelter Größe; (b) Serienschaltung von fünf Kondensatoren fünffacher Größe; (c) Serienschaltung von acht Kondensatoren achtfacher
Größe
82
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
4.3.3 T-Anpassnetzwerke
Dimensionierung
Das Hochpass-T-Anpassnetzwerk ist zum Tiefpass-Π-Anpassnetzwerk eine aus Sicht
der Impedanztransformation äquivalente Struktur. Für feste Anpassnetzwerke können die Bauelementwerte beider Anpassnetzwerke durch eine Stern-Dreieck-Transformation [97] und anschließende Hochpass-Tiefpass-Transformation ineinander umgerechnet werden. Aufgrund seines Hochpass-Verhaltens kann es zur Anpassung
und Trennung der Versorgungsspannung unterschiedlicher Verstärkerstufen benutzt
werden [104]. Auch das T-Netzwerk kann man als Zusammenschaltung zweier LNetzwerke betrachten, die die Last- und Quellimpedanz auf eine virtuelle Zwischenimpedanz6 transformieren.
Werden abstimmbare Kondensatoren mit der gleichen Abstimmbarkeit verwendet und soll auf die gleiche feste Lastimpedanz ZL = Z0 transformiert werden,
zeigt sich bei gleichem maximalem Anpassbereich |Γ|max , dass der Anpassbereich
des T-Netzwerks das Spiegelbild7 des Π-Netzwerks darstellt (Abb. 4.31). Beide Anpassbereiche sind aufgrund mangelnder Symmetrie jedoch nicht identisch. Daher ist
es auch nicht möglich, die Bauelement-Werte wie bei einem festen Anpassnetzwerk
durch Transformation der Bauelement-Werte des Π-Netzwerks zu erhalten. Der
Grund für dieses spiegelbildliche Verhalten wird bei Betrachtung der Eingangsimpedanz des T-Netzwerks deutlich. Die Eingangsimpedanz Z der in Abb. 4.32
abgebildeten T-Schaltung ergibt ich durch Invertieren sämtlicher Admittanzen und
C2 ↓ ,
UDC2 ↑
C1 ↓ ,
UDC1 ↑
Abb. 4.31: Abstimmbereich eines T-Anpassnetzwerks
6
Im Gegensatz zum Π-Netzwerk muss beim T-Netzwerk diese Zwischenimpedanz höher sein als
die Last- und Quellimpedanz.
7
Spiegelung an der Vertikalen im Smith-Diagram.
83
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
Impedanzen aus dem Eingangsleitwert Y der Π-Schaltung (Gl. (4.37)):


1
1
ZL2


1
−
−
1
1 
ZL
C2
ω 2 LC2
L 

 . (4.51)
+
Z=
2 2
+
ZL 2 jω 
ZL 2 
1
1
 C1

+
+
1− 2
1− 2
ω LC2
ωL
ω LC2
ωL
Vergleicht man die in Abb. 4.32 grau dargestellten, für die Abstimmspannungen
UDC1,2 notwendigen Komponenten mit dem Π-Netzwerk, fällt auf, dass für das TNetzwerk ein Block-Kondensator weniger benötigt wird. Für die Dimensionierung
CB
UDC1
UDC2
LB
LB
CB
C1
Pin , ZS
← ZA
C2
ZL
L ZB →
Abb. 4.32: T-Anpassnetzwerk
der verwendeten Bauteile kann analog zu dem im vorherigen Kapitel vorgestellten Verfahren vorgegangen werden. Auch hier wird zunächst nur der Realteil von
Gl. (4.51) betrachtet. Soll eine konzentrische Verteilung des Anpassbereichs erreicht
werden, muss gelten
Rmin Rmax = RL2 .
(4.52)
Rmin und Rmax sind die minimal bzw. maximal erreichbaren Eingangswiderstände für C2 = C2,min = (1 − τC )C2,max bzw. C2 = C2,max (kleine schwarze Kreise in
Abb. 4.33(a)). Mit dieser Bedingung und Gl. (4.51) ergibt sich eine Bestimmungsgleichung für die Induktivität L:

1
 1−
2
ω LC2,max
!2
RL
+
ωL
2

1
 1−
2
ω L(1 − τC )C2,max
!2
RL
+
ωL
2

 − 1 = 0.
(4.53)
84
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
Rmax
Rmin
(a)
Reflexionsfaktor |Γ|
1
0.9
0.8
0.7
0.6
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Suszeptanz ωC1,2 (mS)
6
6.5
(b)
Abb. 4.33: Grenzen des Abstimmbereichs eines T-Anpassnetzwerks: (a) Darstellung in vektorieller Form; (b) Darstellung als Betrag
Diese Gleichung stellt wie beim Π-Anpassnetzwerk eine Gleichung 3. Grades dar.
Die Lösung kann analog zum Π-Netzwerk durch
1
L=
ω
s
4
1
qT q 3
sinh arsinh −
3 pT
3pT
3
2
bT
−
3aT
!
(4.54)
ausgedrückt werden. Die Parameter aT , bT , pT und qT sind in Anh. D.2 definiert. Betrachtet man die in Abb. 4.34 und Abb. 4.35 gezeigten Ergebnisse von
85
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
Reaktanz ωL(Ω)
200
150
ωC2,max
ωC2,max
ωC2,max
ωC2,max
= 7, 5 mS
= 10 mS
= 12, 5 mS
= 15 mS
100
50
0.3
0.4
0.5
0.6
Abstimmbarkeit τC
0.7
0.8
Abb. 4.34: Reaktanz ωL eines T-Anpassnetzwerks für einen symmetrischen Anpassbereich in Abhängigkeit der Abstimmbarkeit τC und maximalen
Suszeptanz ωC2,max
Anpassbereich |Γ|max
0.9
0.7
ωC2,max
ωC2,max
ωC2,max
ωC2,max
= 7, 5 mS
= 10 mS
= 12, 5 mS
= 15 mS
0.5
0.3
0.1
0.3
0.4
0.5
0.6
Abstimmbarkeit τC
0.7
0.8
Abb. 4.35: Maximal erreichbarer Anpassbereich |Γ|max eines T-Anpassnetzwerks
in Abhängigkeit der Abstimmbarkeit τC und maximalen Suszeptanz
ωC2,max
Gl. (4.53), so zeigt sich der erste elementare Unterschied zum Π-Anpassnetzwerk.
Um den gleichen Abstimmbereich wie ein Π-Netzwerk abzudecken, benötigt ein
T-Netzwerk bei gleicher Abstimmbarkeit eine wesentlich größere Induktivität. Die
maximalen Kapazitätswerte, bei denen diese Ergebnisse erzielt werden, sind dabei
um einiges kleiner als beim Π-Äquivalent. Für die praktische Realisierung eines An-
86
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
passnetzwerks hat dies einerseits die Folge, dass die benötigten Spulen eine etwas
geringere Bauteil-Güte aufweisen, andererseits erleichtert der kleinere Kapazitätswert den Einsatz von Interdigitalkondensatoren. Ein weiterer Unterschied zeigt sich
beim Vergleich des Reaktanz-Verlaufs. Beim Π-Netzwerk in Abb. 4.21 fällt das
Maximum der Reaktanz ωL mit dem Punkt zusammen, an dem die Abstimmbarkeit von C1 nicht mehr ausreicht, um eine rein reelle Admittanz zu gewährleisten.
Beim T-Netzwerk in Abb. 4.34 ist dies nicht mehr der Fall. Um den benötigten
Kapazitätswert und die maximale Abstimmbarkeit für C1 und C2 zu finden, bei
der noch die Bedingung einer rein reellen Impedanz erfüllbar ist, müssen, wie schon
vorher beim Π-Netzwerk, die Eingangsreflexionsfaktoren Γ1−4 für den Rand des
Anpassbereichs berechnet werden (Abb. 4.33)
Γ1 =
ω 2 L (C1 − C2,min) − Z0
Γ2 =
ω 2 L (C1 − C2,max ) − Z0
Γ3 =
ω 2 L (C1,min − C2 ) − Z0
Γ4 =
ω 2 L (C1,max − C2 ) − Z0
1
Z0
+ ω 2C1 C2,minZ0 + jωZ0 (C1 + C2,min )
(C1 + C2,min ) (ω 2 L − jωZ0) − 1 + ω 2 C1 C2,min Z0 (Z0 + jω2L)
1
Z0
,
+ ω 2 C1 C2,max Z0 + jωZ0 (C1 + C2,max )
(C1 + C2,max ) (ω 2L − jωZ0) − 1 + ω 2 C1 C2,max Z0 (Z0 + jω2L)
1
Z0
+ ω 2C1,min C2 Z0 + jωZ0 (C1,min + C2 )
(C1,min + C2 ) (ω 2 L − jωZ0) − 1 + ω 2 C1,minC2 Z0 (Z0 + jω2L)
1
Z0
,
+ ω 2 C1,max C2 Z0 + jωZ0 (C1,max + C2 )
(C1,max + C2 ) (ω 2L − jωZ0) − 1 + ω 2 C1,max C2 Z0 (Z0 + jω2L)
(4.55)
, (4.56)
(4.57)
. (4.58)
Auch hier ergeben sich gleiche Beträge für Γ1 und Γ3 bzw. Γ2 und Γ4 bei gleichen
maximalen Kapazitäten C1max = C2max . Daraus wiederum folgt, dass das limitierende Minimum bei Rmax bzw. Rmin bei einer Kapazität von
C1,1
C1,2
2
ZL 2
ωL
=−
1
Z2
1
1− 2
− L
C2
ω LC2
L
!2 1
ZL 2
1− 2
+
ω L(1 − τC )C2
ωL
!
=−
1
1
Z2
1− 2
− L
(1 − τC )C2
ω L(1 − τC )C2
L
1−
1
ω 2LC2
+
(4.59)
(4.60)
auftritt und eine rein reelle Betrachtung möglich ist. Die maximale Abstimmbarkeit
für C1 und C2 ist bei der Reaktanz ωL erreicht, bei der gilt
C1,1 = C1max .
(4.61)
Bei größeren Abstimmbarkeiten müsste C1 eine größere Abstimmbarkeit als C2
aufweisen, um noch eine rein reelle Impedanz zu ermöglichen. Wie bei den Π-
87
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
54
−j0.2
3
−j0.5
2
−j5.0
−j2.0
10
−j0.2
8
4
5.0
2.0
0.0
+j5.0
1.0
∞
+j0.2
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j2.0
+j0.5
0.2
+j0.5
6
∞
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(a)
(b)
Abb. 4.36: Netzwerk-Güte Q abstimmbarer T-Anpassnetzwerke mit einem Abstimmbereich von |Γ|max = 0,5:
(a) ωC1,2,max = 11,5 mS, τC = 0,62;
(b) ωC1,2,max = 4,2 mS, τC = 0,45
Netzwerken ist dies aber auch der Punkt, bei dem die Netzwerkgüte Q minimal
wird. Diese kann analog zum Π-Netzwerk mit den Impedanzen ZA und ZB aus
Abb. 4.32 mit Gl. (4.48), Gl. (4.49) und Gl. (4.50) berechnet werden. Für gleiche Anpassbereiche und Abstimmbarkeiten ergeben sich für T-Anpassnetzwerke die
exakt gleichen, aber mit dem Anpassbereich gespiegelten Netzwerk-Güten wie für
Π-Anpassnetzwerke. Die Grafiken in Abb. 4.36(a) und (b) demonstrieren dies
anhand eines Anpassbereichs von |Γ|max = 0,5. Hier wurden wie bei Abb. 4.23(a)
und (b) ein Netzwerk mit minimaler Güte und ein Netzwerk mit gleichem Anpassbereich bei reduzierter Abstimmbarkeit und höherer Netzwerk-Güte verglichen.
Abb. 4.37 zeigt, dass auch beim T-Netzwerk die minimale Netzwerk-Güte mit größerem Anpassbereich zunimmt.
Lineares Verhalten
Der spiegelbildliche Netzwerk-Güte-Verlauf lässt auch ein entsprechend spiegelbildliches Verhalten bei Verwendung verlustbehafteter Bauteile erwarten. Diese Annahme bestätigt sich bei der Untersuchung des Anpassbereichs in Abb. 4.38. Mit
abnehmender Kondensator-Güte zeigt sich eine signifikante Einschränkung des Anpassbereichs. Bei dem T-Netzwerk schrumpft der Anpassbereich jedoch bei hohen
88
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
8
−j0.2
2
7
6 5 4
−j0.5
5.0
2.0
0.0
+j5.0
1.0
∞
+j0.2
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j2.0
+j0.5
0.2
+j0.5
2
3
∞
4
−j5.0
−j2.0
10
−j0.2
8
−j5.0
6
−j0.5
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(a)
(b)
Abb. 4.37: Netzwerk-Güte Q für unterschiedliche Kondensatorgrößen und Anpassbereiche bei jeweils minimaler Netzwerk-Güte:
(a) |Γ|max = 0,6, ωC1,2,max = 10 mS, τC = 0,66;
(b) |Γ|max = 0,7, ωC1,2,max = 8,4 mS, τC = 0,7
induktiven und kapazitiven und niedrigen resistiven Lasten. An den Rändern, bei
denen die Kapazität C1 minimal und die Kapazität C2 maximal wird, ist keine Einschränkung zu beobachten. Ebenfalls spiegelbildliches Verhalten zeigt sich bei allen
anderen Kenngrößen wie Betriebsleistungsdämpfung (Abb. 4.39) und Einfügegewinn (Abb. 4.40, Abb. 4.41), wenn für das T-Netzwerk die gleiche Abstimmbarkeit, der gleiche Anpassbereich und die gleichen Bauelement-Güten benutzt werden.
Für das T-Netzwerk gelten somit die gleichen Einschränkungen wie für das ΠNetzwerk. Der gewünschte Anpassbereich beeinflusst indirekt über die NetzwerkGüte die Verluste der Schaltung.
89
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j0.5
(a)
(b)
+j1.0
+j1.0
+j0.5
−j5.0
−j0.5
−j2.0
1.0
0.0
5.0
+j5.0
0.5
∞
+j2.0
+j0.2
0.2
5.0
2.0
1.0
−j0.2
2.0
−j2.0
−j1.0
+j5.0
0.5
1.0
−j0.5
+j2.0
∞
−j5.0
−j1.0
+j0.2
0.2
−j0.2
−j2.0
+j0.5
0.0
0.0
+j5.0
5.0
−j5.0
+j0.2
2.0
−j0.2
∞
+j2.0
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j0.5
0.2
+j0.5
−j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(c)
(d)
Abb. 4.38: Anpassbereich für unterschiedliche Bauelement- und Netzwerk-Güten
für einem Abstimmbereich von |Γ|max = 0,5:
(a) + (b) QL = 200; (c) + (d) QL = 70;
(a) + (c) Netzwerk mit minimaler Netzwerk-Güte (Abb. 4.36(a));
(b) + (d) Netzwerk mit hoher Netzwerk-Güte (Abb. 4.36(b))
90
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
1.5
1
−j0.2
−j5.0
1.5
−j0.5
2
−j0.2
−j2.0
5.0
0.0
2.0
∞
+j5.0
+j0.2
1.0
5.0
2.0
1.0
0.5
0.2
0.5
+j2.0
0.5
+j5.0
+j0.2
0.0
+j0.5
0.2
+j0.5
−j5.0
2.5
−j0.5
∞
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(a)
(b)
Abb. 4.39: Betriebsleistungsdämpfung AT bei einer Spulen-Güte von QL = 70
und einer Kondensator-Güte von QC = 50 für die Schaltungen:
(a) Netzwerk mit minimaler Netzwerk-Güte (Abb. 4.36(a));
(b) Netzwerk mit hoher Netzwerk-Güte (Abb. 4.36(b))
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−0.5
0
−j0.2
−j0.5
−j5.0
1
−j2.0
5.0
0.0
2.0
∞
+j5.0
+j0.2
1.0
5.0
2.0
1.0
0.5
0.2
2 3
+j2.0
0.5
+j5.0
+j0.2
0.0
+j0.5
0.2
+j0.5
∞
−1
4
−0.5 0 1 2 3 −j5.0
−j0.2
−j0.5
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(a)
(b)
Abb. 4.40: Einfügegewinn GI bei einer Spulen-Güte von QL = 70 und einer
Kondensator-Güte von QC = 50 für die Schaltungen:
(a) Netzwerk mit |Γ|max = 0,5 (Abb. 4.36(a));
(b) Netzwerk mit |Γ|max = 0,7 (Abb. 4.37(b))
91
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
(b)
+j1.0
+j1.0
+j0.5
−0.5
0
−j0.5
−j5.0
1
−j2.0
0.0
5.0
+j5.0
5.0
+j0.2
1.0
∞
+j2.0
0.5
5.0
2.0
2 3
2.0
1.0
(a)
1.0
0.5
−j2.0
−j1.0
+j2.0
∞
−j5.0
1
−j0.5
+j5.0
0.2
−0.5
0
−j1.0
+j0.2
−j0.2
2 3
−j0.2
−j2.0
+j0.5
0.0
0.0
+j5.0
0.5
5.0
−j5.0
1
−j0.5
∞
+j0.2
0.2
−j0.2
2 3
+j2.0
2.0
−0.5
0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j0.5
0.2
+j0.5
0 1 2 3 ∞
−1
−0.5
−j0.2
−j0.5
−j5.0
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(c)
(d)
Abb. 4.41: Einfügegewinn GI der Schaltung aus Abb. 4.36(a) für unterschiedliche Bauelement-Güten: QL = 70
(a) QC = 100; (b) QC = 75; (c) QC = 50; (d) QC = 25
92
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
Nichtlineares Verhalten
Wie beim Π-Anpassnetzwerk wurde auch beim T-Anpassnetzwerk das nichtlineare
Verhalten an einer Beispielschaltung mit minimaler Güte bei |Γ|max = 0,5 untersucht. Auch hier wurden die HB-Simulationen mit idealen verlustlosen Bauelementen bei einer Eingangsleistung von 20 dBm durchgeführt. Bemerkenswert an den in
Abb. 4.42 abgebildeten Ergebnissen ist das durchweg um ca. 10 dB niedrigere Niveau des Interceptpunkts 3. Ordnung. Dabei wurden wie bereits beim Π-Netzwerk
nur Werte mit |Γ| ≤ 0,5 ausgewertet. Auch lässt sich in Abb. 4.42(a) kein direkter Zusammenhang zwischen Abstimmspannung, Impedanz und Linearität finden.
Mann kann lediglich von einem Band etwas höherer Linearität sprechen, welches
mit zunehmender maximaler Abstimmspannung breiter wird. Die Linearitätsanforderungen werden selbst bei einer maximalen Abstimmspannung von 70 V deutlich
verfehlt (Abb. 4.42(c)). Um akzeptable Werte für den IP3 zu erreichen, müssten,
wie in Abb. 4.43 dargestellt, sehr viele Kondensatoren mit einer maximalen Abstimmspannung von UDC,max = 20 V in Serie geschaltet werden. Erst ab fünfzehn
Kondensatoren kann ein IP3 größer als 45 dBm erzielt werden. Aufgrund der relativ
kleinen Kapazitätswerte beim T-Anpassnetzwerk ist zu erwarten, dass dieses Problem technologisch gelöst werden kann. Die benötigte Chipfläche vergrößert sich
jedoch wegen der quadratischen Abhängigkeit um den Faktor 225.
4.3.4 Reflexionsanpassnetzwerke
Dimensionierung
Die bisher betrachteten Anpassnetzwerke basieren auf einem schaltungstechnischen
Ansatz. Durch Serien- und Parallelschaltung von Elementen soll die gewünschte Impedanz realisiert werden. Löst man sich von dieser Betrachtungsweise und
interpretiert ein Anpassnetzwerk über seine Reflexions- und Transmissionseigenschaften, sind auch andere Schaltungstopologien vorstellbar. Im Prinzip ist jedes
verlustlose Zweitor mit Eingangsreflexionsfaktor Γin 6= 0 ein Anpassnetzwerk8 . Für
ein abstimmbares Anpassnetzwerk muss es nur möglich sein, den Betrag und den
Phasenwinkel von Γin zu verändern. Einige, auf diesem Prinzip basierende Anpassnetzwerke sind sehr weit verbreitet und werden häufig in Mess- und Laboraufbauten
benutzt:
• Double-Slug-Anpassnetzwerk
• Slide-Screw-Anpassnetzwerk
• Stichleitungsanpassnetzwerk
• Reflexionsanpassnetzwerk
8
s. Gl. (4.14) bis Gl. (4.17) in Abs. 4.2.
93
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j0.2
−j5.0
−j0.5
−j2.0
5.0
−j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
−j1.0
2.0
0.0
+j5.0
1.0
∞
+j0.2
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j2.0
+j0.5
0.2
+j0.5
−j2.0
−j1.0
IP3,min =28.3 dBm
IP3,min =32.5 dBm
(a)
(b)
+j1.0
+j0.5
+j2.0
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
∞
−j5.0
−j0.2
−j2.0
−j0.5
−j1.0
IP3,min =35.8 dBm
(c)
Abb. 4.42: Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 bei einer Eingangsleistung von 20 dBm
in Abhängigkeit vom Eingangsreflexionsfaktor und der Abstimmbarkeit der Kondensatoren: (a) τC = 0,62 bei 20 V; (b) τC = 0,62 bei
45 V; (c) τC = 0,62 bei 70 V
94
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j0.2
−j5.0
−j0.5
−j2.0
5.0
−j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
−j1.0
2.0
0.0
+j5.0
1.0
∞
+j0.2
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j2.0
+j0.5
0.2
+j0.5
−j2.0
−j1.0
IP3,min =36.5 dBm
IP3,min =42.3 dBm
(a)
(b)
+j1.0
+j0.5
+j2.0
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
−j0.2
∞
−j5.0
−j2.0
−j0.5
−j1.0
IP3,min =45.8 dBm
(c)
Abb. 4.43: Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 bei einer Eingangsleistung von 20 dBm
in Abhängigkeit vom Eingangsreflexionsfaktor und einer Abstimmbarkeit τC = 0,62 bei 20 V: (a) Serienschaltung von fünf Kondensatoren
fünffacher Größe; (b) Serienschaltung von zehn Kondensatoren zehnfacher Größe; (c) Serienschaltung von fünfzehn Kondensatoren fünfzehnfacher Größe
95
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
Γin
Γ1
|Γ| = 1
∆ϕ′1,max = 180°
Hyb.
ZL
|Γ| = 1
Γ2
∆ϕ′2,max = 180°
Abb. 4.44: Schaltplan eines Reflexionsanpassnetzwerks
All diese Anpassnetzwerke benutzen Phasenschieber und Leitungselemente, um den
Eingangsreflexionsfaktor zu verändern. Für die beiden ersten Typen, das DoubleSlug- und das Slide-Screw-Anpassnetzwerk, werden Phasenschieber in Transmission
benötigt. Diese haben, je nach verwendeter Technologie, teils sehr hohe Verluste9
oder nur eine geringe maximale Phasenverschiebung. Für eine Realisierung mit
ferroelektrischen Kondensatoren sind das Stichleitungs- und Reflexionsanpassnetzwerk besser geeignet, da hier abstimmbare Stichleitungen bzw. Phasenschieber in
Reflexion verwendet werden. Diese lassen sich mit geringeren Verlusten und nur
wenigen Bauteilen aufbauen. Das Stichleitungs-Anpassnetzwerk in seiner einfachsten Form10 hat jedoch den Nachteil, dass sein Anpassbereich nur einen Teil des
Smith-Diagramms abdeckt.
Der Anpassbereich des in Abb. 4.44 dargestellten Reflexionsanpassnetzwerks
kann im Gegensatz dazu jeden beliebigen Reflexionsfaktor realisieren. Es basiert
auf einem Reflexion-Phasenschieber und wurde erstmals von der Firma ATN für
elektronische Load-Pull-Tuner eingesetzt [75]. Es besteht aus einem Hybrid-Koppler
(90° oder 180°) und zwei Phasenschiebern. Bei der Realisierung von ATN können
nur diskrete Zustände angenommen werden, da die Phasenschieber als geschaltete
Lasten ausgeführt sind. Einen Schritt weiter geht die hier vorgeschlagene Variante,
bei der beide Phasenschieber eine kontinuierlich einstellbare maximale Phasendifferenz ∆ϕ′1,2max von 180° aufweisen und mit einem Reflexionsfaktor von |Γ| = 1
abgeschlossen werden. Dies entspricht einer variablen Stichleitung mit einer maxi9
Allpass-Phasenschieber: ca. 100° maximale Phasenverschiebung bei einer Einfügedämpfung von
ca. 2 dB [39, 65] oder Reflexion-Phasenschieber: ca. 100° maximale Phasenverschiebung bei
einer Einfügedämpfung von ca. 1 dB [45].
10
2-Stichleitungen, die mit einer λ/8-Leitung verbunden sind.
96
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
malen Phasendifferenz von reflektierter zu einfallender Welle von ∆ϕ1,2max = 360°.
Die resultierenden Reflexionsfaktoren Γ1,2 am Eingang der Stichleitungen können
dann mit
(4.62)
Γ1,2 = ejϕ1,2
beschrieben werden. Wird der vierte Zweig des Kopplers mit einer Lastimpedanz
ZL = Z0 abgeschlossen, ergibt sich für einen 90°-Koppler der in Abb. 4.45 gezeigte Signalflussgraf mit zwei Schleifen erster Ordnung (gestrichelte und gepunktete
Schleife). Mit diesen beiden Schleifen lässt sich, anhand Masons Pfad-SchleifenRegel, der Eingangsreflexionsfaktor Γin des Anpassnetzwerks aus der halben Differenz der Reflexionsfaktoren Γ1 und Γ2 berechnen:
Γin =
1 jϕ2
1
(Γ2 − Γ1 ) =
e − ejϕ1 .
2
2
(4.63)
Für einen 180°-Koppler ergibt sich ein anderer, aber im Sinne der Impedanztransformation äquivalenter Eingangsreflexionsfaktor:
1
1
(4.64)
Γin = − (Γ1 + Γ2 ) = − ejϕ1 + ejϕ2 .
2
2
Abbildung 4.46 zeigt die möglichen Eingangsreflexionsfaktoren eines Netzwerks
mit 90°-Koppler. Durch das Ändern der Phase der ersten Stichleitung von ∆ϕ1 = 0°
zu 360° kann der Eingangsreflexionsfaktor Γin auf einer kreisförmigen Trajektorie
mit Radius r1 = 14 verändert werden. Mit der zweiten Stichleitung kann der Mittelpunkt dieses Kreises um den Mittelpunkt des Smith-Diagramms mit einem Radius
r2 = 14 gedreht werden. Ist die Phasenverschiebung beider Stichleitungen gleich
∆ϕ1 = ∆ϕ2 , ergibt sich der Sonderfall des Reflexionsphasenschiebers.
Mit zwei verlustlosen Stichleitungen, die eine maximale Phasendifferenz von 360°
erreichen, ist es somit möglich jeden beliebigen Reflexionsfaktor zu realisieren und
Γ2
a3
S43 = − √j2
b4
b3
S34 = − √j2
a4
S31 = − √12
S13 = − √12
S12 =
− √j2
a1
S42 = − √12
S24 = − √12
b2
S12 = − √j2
b1
Γ1
a2
Abb. 4.45: Signalflussgraf eines Reflexionsanpassnetzwerks
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
∆ϕ2
97
∆ϕ1
Abb. 4.46: Mögliche Eingangsreflexionsfaktoren Γin mit ∆ϕ2 = 0°, 90° und ∆ϕ1 =
0°–360°
somit jede beliebige Impedanz anzupassen. In der Realität sind die Phasenschieber
jedoch verlustbehaftet (|Γ1,2 | < 1). Daher reduziert sich der Radius r der beiden
Kreise und der Anpassbereich verkleinert sich. Darüber hinaus tragen auch die
Verluste im Hybrid-Koppler zu einer Reduzierung bei. Trotz dieser Einschränkung
weist das Reflexionsanpassnetzwerk einen größeren Anpassbereich auf als alle bisher
vorgestellten Schaltungen.
Als Hybrid-Koppler können folgende bekannte Strukturen verwendet werden:
• Branchline-Koppler
• Ratrace-Koppler
• Lange-Koppler
• Koppler aus konzentrierten Bauelementen.
Branchline- und Ratrace-Koppler sind bis auf die unterschiedliche Phasendrehung
äquivalente Strukturen. Beide nutzen Leitungen die zwar mit zusätzlichen Kondensatoren verkürzt werden können, aber dennoch einen relativ hohen Platzbedarf
benötigen. Die Vorteile dieser beiden Koppler sind ihre geringen Verluste und ihre
einfache Realisierung.
Der Lange-Koppler kann hingegen sehr platzsparend gefaltet realisiert werden.
Außerdem ist es möglich einen Lange-Koppler zusammen mit BST-Kondensatoren
auf einem Substrat zu integrieren [38, 40]. Ein Nachteil des Lange-Kopplers sind
die kleinen Strukturweiten und die damit verbundenen hohen Anforderungen an
die Lithografie. Weiterhin werden Draht-Bond-Verbindungen oder Luft-Brücken
benötigt.
98
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
Koppler aus konzentrierten Bauelementen können ebenfalls sehr platzsparend
realisiert werden, eignen sich aber aufgrund ihrer hohen Verluste nur schlecht für
die Anwendung in einem Anpassnetzwerk [18].
Die Verluste der Stichleitungen haben den größten Einfluss auf die Gesamtverluste und den Anpassbereich des Anpassnetzwerks. Daher sollten sie möglichst verlustarm konstruiert werden. Die Verwendung eines mit Kurzschluss oder Leerlauf abgeschlossenen Transmissions-Phasenschiebers ist aufgrund der hohen Verluste nicht
ratsam. Da die einfallende Welle zweimal den Phasenschieber durchlaufen muss
(einmal in Vorwärts- und einmal in Rückwärtsrichtung), fallen die Verluste doppelt
ins Gewicht.
Eine verlustarme abstimmbare Stichleitung sollte daher die Tatsache ausnutzen,
dass eine Phasenverschiebung in Reflexion erzeugt werden muss. Genau dies nützt
die in Abb. 4.47 abgebildete Schaltung aus. Der Eingangsreflexionsfaktor Γ lässt
sich in der Form
a cos(βl) + jb sin(βl)
a∗ cos(βl) − jb∗ sin(βl)
mit a = 1 − j2Z0 ωC und b = (Z0 ωC)2 − 1 + jZ0 ωC
Γ=
(4.65)
ausdrücken. Es kann gezeigt werden, dass der Quotient dieser beiden Ellipsengleichungen einen Kreis mit Radius r = 1 beschreibt. Ebenso folgt diese Bedingung
aus der Annahme der Verlustlosigkeit. Wie Abb. 4.48 zeigt, ist die Phasenverschiebung ∆ϕ eine Funktion der elektrischen Leitungslänge βl, der maximalen Kapazität
Cmax und der Abstimmbarkeit τC . Da mit zunehmender Kapazität sowohl die notwendige elektrische Länge der Leitung abnimmt als auch die maximal erzielbare
Phasenverschiebung zunimmt, sollte die Kapazität so groß wie möglich gewählt
werden. Dies reduziert die geometrischen Abmessungen auf ein Minimum. TechnoUDC
LB
CB
βl
Γ
C
C
Abb. 4.47: Phasenschieber in Reflexion
99
max. Phasenverschiebung ∆ϕmax (◦ )
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
360
τC = 0, 7
300
240
180
Cmax ↑
120
60
0
0
30
60
90
120
Elektrische Länge βl (◦ )
150
180
360
140
300
120
240
100
180
80
120
60
τC = 0, 7
60
0
0
0.05
0.1
Suszeptanz ωCmax (S)
40
Elektrische Länge βl (◦ )
max. Phasenverschiebung ∆ϕmax (◦ )
Abb. 4.48: Phasenverschiebung ∆ϕmax in Abhängigkeit von der elektrischen Länge der Leitung βl und der maximalen Kapazität Cmax bei einer Abstimmbarkeit von τC = 0,7
20
0.15
Abb. 4.49: Maximale Phasenverschiebung ∆ϕmax bei optimaler elektrischer Länge in Abhängigkeit von der maximalen Suszeptanz ωCmax bei einer
Abstimmbarkeit von τC = 0,7
logisch sind hier jedoch durch die Serienresonanzfrequenz der BST-Kondensatoren
Grenzen gesetzt. Für gut realisierbare Werte ist die notwendige elektrische Länge
für eine maximale Phasenverschiebung in Abb. 4.49 dargestellt. Es ist ersichtlich,
100
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
dass zwar die maximal erzielbare Phasenverschiebung mit zunehmender maximaler Kapazität zunimmt, jedoch nie die notwendigen 360° erreichen kann. Um auf
die benötigten 360° Phasenverschiebung zu kommen, bietet sich an, eine zweite
Einheit mit kürzerer Leitungslänge in Serie vor die erste Stichleitung zu schalten.
Das vollständige Schaltbild des abstimmbaren Anpassnetzwerks, einschließlich der
grau dargestellten Komponenten für die Zuführung der Abstimmspannungen, ist
in Abb. 4.50 abgebildet. Der Eingangsreflexionsfaktor Γ der nun zweistufigen variablen Stichleitung ist mit ωC1 = ωC3 = 1/2 ωC2 = 0,1 S für unterschiedliche
Kondensator-Güten in Abb. 4.51 dargestellt. Um die Leitungsverluste zu berücksichtigen, wurden die Leitungen mit einem Mikrostreifenleitungs-Modell aus [30]
modelliert. Als Substrat wurde ein 0,64 mm dickes Rogers/3010-Laminat mit 40 µmKupferauflage angenommen. Aus Gl. (4.63) ist ersichtlich, dass der Anpassbereich
des Netzwerks direkt vom Betrag des Eingangsreflexionsfaktors der Stichleitungen
abhängt. Mit der Verringerung des Kreisdurchmessers in Abb. 4.51 bei abnehmender Kondensator-Güte geht somit auch eine Verkleinerung des Anpassbereichs
UDC1
LB
CB
βl1
C1
βl2
C2
C3
Pin , ZS
Hyb.
UDC2
LB
ZL
CB
βl1
C1
βl2
C2
C3
Abb. 4.50: Vorgeschlagene Realisierung eines abstimmbaren Anpassnetzwerks
101
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j0.5
+j2.0
+j5.0
5.0
2.0
1.0
0.0
0.5
0.2
+j0.2
∞
−j5.0
−j0.2
−j0.5
QC = 100
QC = 75
QC = 50
QC = 25
−j2.0
−j1.0
Abb. 4.51: Eingangsreflexionsfaktor einer variablen Stichleitung mit τC und
ωC1 = 0,1, ωC2 = 2ωC1 und ωC3 = ωC1 für unterschiedliche
Kondensator-Güten QC
+j1.0
+j0.5
+j2.0
+j5.0
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
0.2
+j0.2
∞
−j5.0
−j0.2
−j0.5
QC = 100
QC = 75
QC = 50
QC = 25
−j2.0
−j1.0
Abb. 4.52: Anpassbereich eines Reflexionsanpassnetzwerks mit Stichleitungen aus
Abb. 4.51 in Abhängigkeit der Kondensator-Güte QC
der Gesamtschaltung in Abb. 4.52 einher. Für dieses Beispiel wurden die Verluste
des Hybrid-Kopplers mit 0,16 dB berücksichtigt.
102
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
Lineares Verhalten
Der in Abb. 4.52 gezeigte Anpassbereich ist zunächst ein theoretischer Wert, da
die Verluste des Netzwerks am Rand des Anpassbereichs stark zunehmen. Dies wird
durch die Darstellung der Betriebsleistungsdämpfung in Abb. 4.53(b) bis (d) verdeutlicht. In diesen Bildern wurden die Kapazitätswerte beider Stichleitungen in
jeweils 100 Schritten variiert, woraus sich wiederum 104 Zustände ergeben. Damit
ein direkter Vergleich zu den bereits in den vorhergehenden Abschnitten gezeigten
Schaltungen möglich ist, wurden die Eingangsreflexionsfaktoren mit einer Betriebsleistungsdämpfung AT > 4 dB mit kleineren schwarzen Punkten gezeichnet.
Aus Abb. 4.53 ist ebenfalls ersichtlich, dass die Betriebsleistungsdämpfung
kein homogenes, stetiges Verhalten aufweist. Für ein besseres Verständnis ist in
Abb. 4.53(a) zunächst ein Beispiel abgebildet, bei dem die Kapazitäten im zweiten
Zweig (∆ϕ2 ) in zehn Schritten und die Kapazitäten im ersten Zweig (∆ϕ1 ) mit 100
Schritten von 0° bis 360° variiert wurden. Es zeigt sich, dass bis auf den Rand des
Anpassbereichs jede Impedanz doppelt abgedeckt wird (z. B. mit Pfeil markierter
Punkt). Die Betriebsleistungsdämpfung dieser beiden Zustände ist aber nicht notwendigerweise gleich. An diesem Beispiel ist ebenfalls die nichtlineare Abhängigkeit
der Phasenverschiebung von der Kapazität erkennbar. Dies manifestiert sich in der
ungleichmäßigen Verteilung der Kreise. Von Abb. 4.53(b) bis (d) wurden jeweils
die Kapazitätswerte verdoppelt. Die daraus resultierenden kürzeren Leitungsstücke
ermöglichen eine geringere Betriebsleistungsdämpfung. Die Abb. 4.53(b) stellt
gleichzeitig den unteren Grenzwert für einen zweistufigen Aufbau der Stichleitungen dar, da die Phasenverschiebung einer Stufe hier ca. 180° beträgt. Die Dämpfung
des Kopplers wurde, wie in der vorherigen Abbildung, mit 0,16 dB berücksichtigt.
Die Güte der Kondensatoren beträgt QC = 100.
Wie sich unterschiedliche Kondensator-Güten auf die Einfügedämpfung auswirken, ist in Abb. 4.54 gezeigt. Wie schon bei den anderen Bildern wurde immer
der für den jeweiligen Eingangsreflexionsfaktor optimale Zustand des Netzwerks gewählt. Dies bedeutet insbesondere, dass der Impedanz-Halbkreis aus Abb. 4.53(a)
mit den jeweils geringeren Verlusten gewählt wurde. Es zeigt sich, dass das Reflexionsanpassnetzwerk bei einer Güte von QC = 100 das einzige der in dieser Arbeit
gezeigten Netzwerke darstellt, bei dem der minimale Einfügegewinn die -0,5-dBMarke nicht überschreitet. Durch seinen nahezu zentrosymmetrischen Anpassbereich ist es für alle Quellimpedanzen gleichermaßen geeignet.
103
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j0.5
+j2.0
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
−j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
(a)
(b)
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j0.2
−j5.0
−j0.5
−j2.0
5.0
0.0
+j5.0
2.0
+j0.2
1.0
∞
+j2.0
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j0.5
0.2
+j0.5
−j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(c)
(d)
Abb. 4.53: Betriebsleistungsdämpfung AT für unterschiedliche KondensatorGrößen bei einer Kondensator-Güte von QC = 100:
(a) Beispiel; (b) ωC1 = 25 mS; (c) ωC1 = 50 mS; (d) ωC1 = 100 mS
104
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j0.5
(b)
+j1.0
+j1.0
+j0.5
−j0.5
−j5.0
1.0
0.0
5.0
+j5.0
0.5
∞
+j2.0
+j0.2
0.2
5.0
2.0
−0.5
0
1
2
2.0
1.0
(a)
1.0
0.5
−j2.0
−j1.0
+j2.0
∞
−j5.0
−j0.5
+j5.0
0.2
0
1
2
−j1.0
+j0.2
−j0.2
−0.5
−j0.2
−j2.0
+j0.5
0.0
0.0
+j5.0
5.0
−j5.0
1
2
+j0.2
2.0
0
−j0.2
∞
+j2.0
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j0.5
0.2
+j0.5
−0.5
0
−j0.2
∞
−j5.0
1
−j2.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(c)
(d)
Abb. 4.54: Einfügegewinn GI der Schaltung aus Abb. 4.53(d) für unterschiedliche Bauelement-Güten:
(a) QC = 100; (b) QC = 75; (c) QC = 50; (d) QC = 25
105
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
Nichtlineares Verhalten
Wie bei den anderen Topologien wurde auch beim Reflexionsanpassnetzwerk das
nichtlineare Verhalten mit einer 2-Ton-HB-Simulation bei einer Eingangsleistung
von 20 dBm überprüft. Für die Simulation wurde ein ideales, verlustloses Netzwerk mit ωC1 = 100 mS benutzt. Aufgrund der Annahme verlustloser Bauelemente
und den daraus resultierenden großen Reflexionsfaktor-Beträgen konvergiert der
Simulator am Rand des Anpassbereichs nicht mehr. Daher werden im Folgenden
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j5.0
−j0.2
−j2.0
−j0.5
5.0
2.0
0.0
+j5.0
1.0
∞
+j0.2
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j2.0
+j0.5
0.2
+j0.5
∞
−j5.0
−j0.2
−j2.0
−j0.5
−j1.0
−j1.0
(a)
(b)
+j1.0
+j0.5
+j2.0
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
−j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
(c)
Abb. 4.55: Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 bei einer Eingangsleistung von 20 dBm
in Abhängigkeit vom Eingangsreflexionsfaktor und der Abstimmbarkeit der Kondensatoren: (a) τC = 0,7 bei 20 V; (b) τC = 0,7 bei 45 V;
(c) τC = 0,7 bei 70 V
106
4 Grundlagen abstimmbarer Anpassnetzwerke
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j0.2
−j5.0
−j0.5
−j2.0
5.0
2.0
0.0
+j5.0
1.0
∞
+j0.2
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j2.0
+j0.5
0.2
+j0.5
−j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(a)
(b)
Abb. 4.56: Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 bei einer Eingangsleistung von 20 dBm
in Abhängigkeit vom Eingangsreflexionsfaktor und einer Abstimmbarkeit τC = 0,7 bei 20 V: (a) Serienschaltung von fünf Kondensatoren
fünffacher Größe; (b) Serienschaltung von zehn Kondensatoren zehnfacher Größe
nur Impedanzpunkte untersucht, die einen Interceptpunkt 3. Ordnung größer als
20 dBm aufweisen. Die anderen Punkte werden als kleine schwarze Punkte gezeichnet. Der Vergleich zwischen unterschiedlichen maximalen Abstimmspannungen in
Abb. 4.55 zeigt, dass sich das Reflexionsanpassnetzwerk relativ komplex verhält.
Für eine leichtere Bewertung wurden IP3 -Werte größer 45 dBm mit etwas dickeren
Punkten hervorgehoben.
Es zeigt sich, dass sich das Netzwerk bei der Linearität ähnlich verhält wie bei der
Betriebsleistungsdämpfung. Dort, wo hohe Spannungsamplituden an den Kondensatoren anliegen, kommt es zu den größten Verlusten und den stärksten Verzerrungen. Die Verteilung ist dabei nicht rotationssymmetrisch. Der IP3 nimmt vom Zentrum des Smith-Diagramms nach außen hin schnell ab. Erst bei sehr hohen maximalen Abstimmspannungen (Abb. 4.55(c)) kann ein nennenswerter Impedanzbereich
mit hoher Linearität abgedeckt werden. Eine andere Möglichkeit, die Linearität zu
erhöhen, ist die in Abb. 4.56 dargestellte Serienschaltung von Kondensatoren.
Eine Serienschaltung von zehn Kondensatoren mit zehnfacher Größe würde einen
sehr großen Impedanzbereich mit hoher Linearität versorgen (Abb. 4.56(b)). Die
technische Realisierung dieser Reihenschaltung fällt beim Reflexionsanpassnetzwerk
4.3 Schaltungstopologien abstimmbarer Anpassnetzwerke
107
deutlich schwerer, da die benötigten Kapazitätswerte ca. 10- bis 20-fach größer sind
als beim T-Anpassnetzwerk.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das in dieser Arbeit erstmals auf Basis
ferroelektrischer Kondensatoren untersuchte und aufgebaute Reflexionsanpassnetzwerk eine interessante Alternative zu den bereits etablierten Strukturen darstellt.
Es zeigt den größten Anpassbereich bei den kleinsten Verlusten. Inwieweit durch
eine adäquate Dimensionierung ein Optimum zwischen Verlusten und Linearität gefunden werden kann, muss noch durch weiterführende Simulationen und Messungen
untersucht werden.
5 Lineare und nichtlineare
Charakterisierung
Die in dieser Arbeit verwendeten Kondensatoren und Schaltungen wurden mit diversen Messgeräten und Messaufbauten charakterisiert. Dieses Kapitel stellt die
verwendeten Methoden vor und diskutiert die zu erwartende Messgenauigkeit.
5.1 Messgenauigkeit
In diesem Abschnitt werden die zu erwartenden Messgenauigkeiten von NetzwerkAnalysator- und Impedanz-Analysator-Messungen diskutiert. Die notwendigen Gleichungen zur Bestimmung der einzelnen Fehlerterme werden getrennt für Netzwerkund Impedanz-Analysator-Messungen angegeben. Auf eine ausführliche Herleitung
der einzelnen Gleichungen wird jedoch verzichtet, da dies den Rahmen dieser Arbeit
deutlich sprengen würde. Hierzu sei auf die entsprechende Metrologie-Fachliteratur
verwiesen [2, 22, 33, 34].
5.1.1 Messungen mit dem Netzwerk-Analysator
Der vektorielle Netzwerk-Analysator oder kurz VNA ist eines der flexibelsten Messgeräte der Hochfrequenztechnik. Mit einem modernen VNA lassen sich nicht nur
die Streuparameter eines linearen N-Tors bestimmen, sondern auch nichtlineare 2Ton-Messungen oder Zeitbereichsmessungen durchführen. Oberhalb von 3 GHz ist
ein VNA das einzige sich zur Zeit am Markt befindliche Messgerät, mit dem sich
Impedanzen messen lassen. Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein VNA vom Typ
ZVB 8 der Firma Rohde & Schwarz eingesetzt.
Theoretisch werden durch eine vor der Messung durchgeführte Kalibrierung alle systematischen Messfehler kompensiert. In der Praxis ist dies aber nur bedingt
möglich. Exemplarisch soll in den folgenden Betrachtungen die Güte Q eines 10pF-Kondensators bei einer Frequenz von f = 1 GHz bestimmt werden. Hierzu existieren prinzipiell die zwei in Abb. 5.1 skizzierten Möglichkeiten. Zunächst soll die
in Abb. 5.1(a) dargestellte Reflexions-Messung betrachtet werden. Der Betrag
und Winkel des Eingangsreflexionsfaktors S11 lässt sich durch die Güte Q und die
109
5.1 Messgenauigkeit
C
S21
C
S11
S22
S11
S12
(a)
(b)
Abb. 5.1: Bestimmung der Kondensator-Güte in: (a) Reflexion; (b) Transmission
normierte Suszeptanz b = ωCZ0 des Kondensators ausdrücken:
v
u
u
u 2
ub +
u
|S11 | = u
u
u
t b2 +
∠S11
b
1−
Q
b
1+
Q
!2
!2
!
(5.1)
!
bQ
bQ
= arctan
− arctan
.
b−Q
b+Q
(5.2)
Der gemessene Reflexionsfaktor-Betrag |S11m | setzt sich aus dem eigentlichen Reflexionsfaktor-Betrag |S11 | und einem Fehlerterm EMr zusammen:
|S11m | = |S11 | ± EMr .
(5.3)
Der Fehlerterm EMr setzt sich seinerseits wieder aus systematischen Fehlern Esys ,
zufällig verteilten Fehlern ER und Fehlern aufgrund von Drift und mangelnder
Stabilität des Messgeräts ED zusammen [22]:
EMr = Esys +
q
ER2 + ED2 .
(5.4)
Da ER und ED zufällige, normal verteilte, nicht miteinander korrelierte Größen darstellen, kann die Gesamtvarianz durch die Wurzel der Quadrate der Einzelvarianzen
berechnet werden (engl. Root Sum Square RSS).
Die systematischen Fehler können aus den effektiven1 Systemdaten Direktivität
D, Quelltoranpassung MS , Reflexionsgleichlauf Tr und Anzeigelinearität A des VNA
berechnet werden:
Esys = D + (1 − Tr )|S11 | + A|S11 | + MS |S11 |2 .
1
Systemdaten nach der Kalibrierung.
(5.5)
110
5 Lineare und nichtlineare Charakterisierung
D
−50 dB
Tr
MS
−0,01 dB −46 dB
A
Nl
−0,003 dB 2·10−5
Nh
R
2,5·10−4
−70 dB
Tab. 5.1: Parameter für die Fehlerrechnung
Für Standard-Stecker werden die effektiven Systemdaten normalerweise im Datenblatt des VNA angegeben. Außerdem lassen sie sich relativ einfach durch Messungen
bestimmen [34]. Für On-Wafer-Messungen finden sich jedoch seitens der Hersteller
keine Angaben. Da eine messtechnische Bestimmung nur mit speziellen Kalibriersubstraten2 möglich wäre, wurden für die folgende Abschätzung typische Werte aus
dem Datenblatt des verwendeten VNA hergenommen.
Die zufälligen Fehler bilden die RSS-Summe der Fehler durch Rauschen EN , der
Wiederholgenauigkeit der Kontaktierung EW und der Fehler durch Bewegung der
Messkabel EC
ER =
EN =
q
q
2
EN2 + EW
+ EC2 mit
(5.6)
Nl2 + (Nh |S11 |)2
(5.7)
q
(5.9)
EW = R + 2R|S11 | + R|S11 |2
EC =
(5.8)
C 2 + (2C|S11 |)2 + (C|S11 |2 )2 .
Die Parameter Nl und Nh repräsentieren das hoch- und niederpegelige Rauschen
des VNA. R ist die Wiederholgenauigkeit der Verbindung und C ist die KabelStabilität. Da es während einer On-Wafer-Messung bei gut fixierten Messkabeln zu
keiner nennenswerten Bewegung kommt, wurde für die folgenden Betrachtungen der
Term EC nicht berücksichtigt. Für alle anderen Parameter wurden die in Tab. 5.1
aufgelisteten Parameter benutzt. Mit dem Fehlerterm EMr für den ReflexionsfaktorBetrag lässt sich der Fehlerterm EPr für den Phasenfehler berechnen:
∠S11m = ∠S11 ± EPr mit
EPr = arcsin
!
EMr
.
|S11 |
(5.10)
(5.11)
Beide Fehlerterme sind in Abb. 5.2 für eine Messung mit den in Tab. 5.1 gegebenen Daten abgebildet.
Um den Einfluss der Fehlerterme auf die Bauelement-Güte Q zu bestimmen, muss
zunächst mit den Beziehungen aus Gl. (5.1) und Gl. (5.2) der Reflexionsfaktor S11
2
Kommerziell sind keine Kalibriersubstrate verfügbar, die eine Leitung mit darauf folgendem
Sumpf bzw. Kurzschluss beinhalten.
111
0.012
6
0.01
5
0.008
4
0.006
3
0.004
2
0.002
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Reflexionsfaktor-Betrag |S11 |
Fehlerterm EPr (◦ )
Fehlerterm EMr
5.1 Messgenauigkeit
0
1
Abb. 5.2: Messungenauigkeiten für den Betrag und die Phase von S11 bei einer
Messung in Reflexion
in Abhängigkeit von der Güte Q bestimmt werden. Dann werden die Fehlerterme
zu dem idealen Messwert S11 addiert bzw. davon subtrahiert. Der größte mögliche
Fehler in der Güte ergibt sich für
S11M1,2 = (|S11 | ± EMr )ej∠S11 ±EPr
1 + S11M1,2
ZM1,2 = Z0
1 − S11M1,2
ℑ(ZM1,2 )
.
QM1,2 = −
ℜ(ZM1,2 )
(5.12)
(5.13)
(5.14)
Das Ergebnis dieser Abschätzung in Abb. 5.3 zeigt deutlich, dass die Messungenauigkeit für VNA-Messungen in Reflexion für eine Güte-Bestimmung extrem
groß ist. Die Ursache der Messungenauigkeit liegt in der bilinearen Transformation
zwischen Reflexionsfaktor und Impedanz. Dieser nichtlineare Zusammenhang führt
zu einer geringen Sensitivität bei sehr hohen Reflexionsfaktor-Beträgen. Für besser angepasste Messobjekte bzw. bei der direkten Messungen des Reflexionsfaktors
ist die Messgenauigkeit jedoch ausreichend, wenn auf eine sorgfältige Kalibrierung
geachtet wird.
Eine weitere Methode, die Güte eines Kondensators zu bestimmen, ist, wie in
Abb. 5.1(b) gezeigt, eine Messung der Transmission. Hierzu wird analog zur
Reflexions-Messung zunächst der Reflexionsfaktor-Betrag |S11 |, der Transmissionsfaktor-Betrag |S21 | und die Phase des Transmissionsfaktors ∠S21 in Abhängigkeit
112
5 Lineare und nichtlineare Charakterisierung
gemessene Güte QM
100
Q
QM1
QM2
80
60
40
20
0
10
20
30
nominelle Güte Q
40
50
Abb. 5.3: Messungenauigkeiten für die Güte Q bei einer VNA-Messung in Reflexion
der Güte B berechnet:
Q
|S11 | = q
Q2 + 4b(b + Q + Q2 )
v
u
u
|S21 | = 2bt
∠S21
(5.15)
1 + Q2
Q2 + 4b(b + Q + Q2 )
2bQ
= arctan(Q) − arctan
2b + Q
(5.16)
!
(5.17)
Der gemessene Transmissionsfaktor-Betrag |S21m | setzt sich aus dem eigentlichen
Transmissionsfaktor-Betrag |S21 | und einem Fehlerterm EMt zusammen
|S21m | = |S21 | ± EMt .
(5.18)
Der Fehlerterm EMt setzt sich wie EMr in Gl. (5.4) aus systematischen Fehlern
Esys , zufällig verteilten Fehlern ER und Fehlern aufgrund von Drift und mangelnder
Stabilität ED zusammen:
EMt = Esys +
q
ER2 + ED2 .
(5.19)
Die einzelnen Fehlerterme werden aus den effektiven Systemdaten Transmissionsgleichlauf Tr , Quell- und Lasttoranpassung MS , ML , Anzeigelinearität A, hoch- und
niederpegeliges Rauschen Nh und Nl , Wiederholgenauigkeit R und Kabelstabilität
113
5.1 Messgenauigkeit
Tt
ML
−0,01 dB
−50 dB
Tab. 5.2: Parameter für die Fehlerrechnung
2
2
10
Fehlerterm EMt
1
10
0
0
10
10
−1
10
−2
10
Fehlerterm EPt (◦ )
10
−2
0
20
40
60
Reflexionsfaktor-Betrag |S21 | (dB)
10
80
Abb. 5.4: Messungenauigkeiten für den Betrag und die Phase von S21 bei einer
Messung in Transmission
C berechnet:
Esys = (1 − Tt )|S21 | + A|S21 | + MS |S11 ||S21 | + ML |S22 ||S21 |
ER =
EN =
q
(5.20)
2
EN2 + EW
+ EC2
(5.21)
Nl2 + (Nh |S21 |)2
(5.22)
q
q
EW = |S21 | (R + R|S11 |)2 + (R + R|S22 |)2
(5.23)
EC = |S21 | 2C 2 + (C|S11 |)2 + (C|S22 |)2
(5.24)
q
Der Fehlerterm für den Phasenfehler EPt ist dann
∠S21m = ∠S21 ± EPt mit
EPt = arcsin
!
EMt
.
|S21 |
(5.25)
(5.26)
Beide Fehlerterme sind in Abb. 5.4 für eine Messung mit den in Tab. 5.1 und
Tab. 5.2 gegebenen Daten abgebildet.
114
5 Lineare und nichtlineare Charakterisierung
gemessene Güte QM
100
Q
QM1
QM2
80
60
40
20
0
10
20
30
nominelle Güte Q
40
50
Abb. 5.5: Messungenauigkeiten für die Güte Q bei einer VNA-Messung in Transmission
Um wie bei der Reflexions-Messung den Einfluss der Fehlerterme auf die Bauelement-Güte Q zu bestimmen, werden zunächst mit den Beziehungen Gl. (5.12)
bis Gl. (5.14) der Reflexionsfaktor-Betrag |S11 | und der Transmissionsfaktor S21 in
Abhängigkeit von der Güte Q bestimmt. Dann werden aus diesen Werten die Fehlerterme berechnet und zu dem idealen Messwert S21 addiert bzw. davon subtrahiert.
Der größte mögliche Fehler in der Güte ergibt sich für
S21M1,2 = (|S21 | ± EMt )ej∠S21 ±EPt
1 − S21M1,2
ZM1,2 = 2Z0
S21M1,2
ℑ(ZM1,2 )
.
QM1,2 = −
ℜ(ZM1,2 )
(5.27)
(5.28)
(5.29)
Das Ergebnis dieser Abschätzung in Abb. 5.5 zeigt, dass die Messungenauigkeit der
Güte bei der Transmissions-Messung ebenfalls extrem groß ist und diese Messungen
somit nicht geeignet sind, um die Güte von Kondensatoren zu bestimmen. Für
angepasste Messobjekte mit moderater Einfügedämpfung ist die Messgenauigkeit
bei sorgfältiger Kalibrierung sehr gut.
5.1.2 Messungen mit dem Impedanz-Analysator
Die Betrachtungen der Messungenauigkeit eines VNA hat gezeigt, dass dieses Messgerät ungeeignet für eine exakte Bestimmung von Kondensator-Güten ist. Eine
deutlich bessere Messgenauigkeit zeigt ein Impedanz-Analysator oder kurz IA. Unter diesen von der Firma Agilent geprägten Begriff fällt eine ganze Gruppe von
115
5.1 Messgenauigkeit
R
Pin , ZS
ZDUT
Uv2
Uv1
Abb. 5.6: Vereinfachte Funktionsskizze eines RF-IV-Impedanz-Analysators
Geräten mit unterschiedlichen Messverfahren [5]. Für Messungen im Frequenzbereich der Mobilkommunikation eignet sich nur das sogenannte RF-IV-Verfahren3 .
Eine vereinfachte Skizze in Abb. 5.6 zeigt die Funktionsweise. Mit einem VektorVoltmeter wird direkt die Spannung Uv1 gemessen, die über der zu bestimmenden
Impedanz ZDUT abfällt. Der Strom, der durch das Messobjekt fließt, ist proportional zu der über dem Widerstand R abfallenden Spannung Uv2 , die mit einem
zweiten Vektor-Voltmeter erfasst wird. Ein verlustarmer Transformator mit Übertragungsverhältnis N erhöht die Dynamik. Die zu bestimmende Impedanz ist dann
ZDUT = N 2 R
Uv1
.
Uv2
(5.30)
Dadurch, dass direkt der Strom und die Spannung am Messobjekt bestimmt werden, ist es in einem sehr großen Impedanzbereich möglich, mit hoher Genauigkeit
zu messen. Nachteilig ist, dass die obere und untere Grenzfrequenz des Übertragers den Frequenzbereich einschränken. Außerdem können nur 1-Tor-Messungen
durchgeführt werden. Die Kondensator-Güte kann somit nur nach Abb. 5.1(a) in
Reflexion bestimmt werden.
Die relative Messunsicherheit setzt sich laut Datenblatt4 des Herstellers aus einem
frequenzabhängigen Anteil Ea und einem impedanzabhängigen Anteil Eb zusammen [3]. Ea ist durch die Werte in Tab. 5.3 gegeben. Der Fehleranteil Eb kann mit
3
Zur Zeit ist nur ein Messgerät im Frequenzbereich von 10 MHz bis 3 GHz verfügbar (Agilent
E4991A).
4
All die angegebenen Daten gelten für die verwendete Messsignalleistung von -10 dBm bei einer
8-fachen Messwert-Mittelung.
116
5 Lineare und nichtlineare Charakterisierung
Ea
Frequenzbereich
0,65 %
0,8 %
1,2 %
2,5 %
5%
1 MHz–100 MHz
100 MHz–500 MHz
500 MHz–1 GHz
1 GHz–1,8 GHz
1,8 GHz–3 GHz
Tab. 5.3: Parameter Ea für die Fehlerrechnung
der Normierungsimpedanz Zs und der Normierunsadmittanz Y0 berechnet werden:
!
Zs
+ Y0 |ZDUT | ·100 % mit
Eb =
|ZDUT |
!
f
·1 mΩ
Zs = 13 +
2 MHz
!
f
·1 µS.
Y0 = 5 +
10 MHz
(5.31)
(5.32)
(5.33)
Die Summe der beiden Fehleranteile E = Ea + Eb ist der prozentuale Gesamtfehler
der bei der Messung des Verlustfaktors tan δ auftritt. Umgerechnet für die GüteMessung ergibt sich
Ea + Eb
.
(5.34)
QM1,2 = Q ± Q
100 + Ea + Eb
Die Grafik in Abb. 5.7 zeigt, dass sich mit einer IA-Messung eine wesentlich
bessere Messgenauigkeit als mit der VNA-Messung erzielen lässt. Voraussetzung
ist jedoch eine sorgfältig durchgeführte Kalibrierung. Dabei ist vor allem auf eine
mittige Platzierung der Messspitzen auf dem Kalibriersubstrat zu achten [88]. Der
unterschiedliche Übergangswiderstand von Messspitze zu Teststruktur und Messspitze zu Kalibriersubstrat ist mit ca. 50 mΩ bzw. 10 mΩ vernachlässigbar [15, 26].
Ein Bild des kompletten On-Wafer-IA-Messplatzes zeigt Abb. 5.8. Für die automatische Messung bei unterschiedlichen Abstimmspannungen wurde ein Steuerrechner
benutzt. Die Messungen wurden bei einer konstanten Umgebungstemperatur von
21 °C durchgeführt.
5.2 Nichtlineare Messungen
Mit den im vorherigen Kapitel vorgestellten Messgeräten lassen sich lineare 1- und
2-Tore sehr einfach und flexibel vermessen. Für nichtlineare Messobjekte sind sie
117
5.2 Nichtlineare Messungen
gemessene Güte QM
100
Q
QM1
QM2
80
60
40
20
0
10
20
30
nominelle Güte Q
40
50
Abb. 5.7: Messungenauigkeiten für die Güte Q bei einer IA-Messung
5
4
2
1
3
➀
➁
➂
➃
➄
DUT
Messspitze
Semi-Rigid-Kabel
Messkopf
Analysator
DUT
Abb. 5.8: On-Wafer-Messplatz mit Impedanz-Analysator
jedoch nur bedingt geeignet. Für eine nichtlineare Charakterisierung bei unterschiedlichen Impedanzen wird ein sogenanntes Load-Pull-System genutzt [29, 85].
Zweck eines Load-Pull-Systems ist, die reflektierte und transmittierte Leistung an
einem Messobjekt bei beliebigen Last- und Quellimpedanzen zu messen. Das Messobjekt wird dabei typischerweise mit einer Eingangangsleistung betrieben, bei der
ein nichtlineares Verhalten auftritt. Dieser Messaufbau kann zusätzlich mit einem
2-Ton-, ACLR- oder EVM-Messsystem ergänzt werden.
Für die Charakterisierung der Anpassnetzwerke wurde ein vereinfachter Messplatz mit nur einem variablen Quell-Anpassnetzwerk oder Quell-Tuner aufgebaut.
Ein Blockdiagramm ist in Abb. 5.9 gezeigt. Herzstück des Systems ist der Quell-
5 Lineare und nichtlineare Charakterisierung
118
P1 ,f1
P2 ,f2
G = 40 dB
G = 40 dB
IN
0
ISO -90
UDC1
UDC1
DUT
13 dB
Quell-Tuner
SA
20 dB
PC
PM
GPIB
Abb. 5.9: Blockschaltbild eines Messaufbaus für nichtlineare 2-Ton-Messungen mit variabler Quell-Impedanz
119
5.2 Nichtlineare Messungen
3
2
4
9
10
1
6
5
8
7
➀
➁
➂
➃
➄
➅
➆
➇
➈
➉
Generatoren
DC-Quellen für PA
Gesteuerte DC-Quellen
Netzwerk-Analysator
PAs+Hybrid-Koppler
DUT
Quell-Tuner
Koppler+Leistungsmesser
Steuerrechner
Spektrum-Analysator
Abb. 5.10: Messaufbau für nichtlineare 2-Ton-Messungen mit variabler QuellImpedanz
Tuner, dessen Transformationsverhältnis reproduzierbar in einem großen Bereich
eingestellt werden kann. Für die Messungen in dieser Arbeit wurde ein elektronischer Tuner vom Typ LP4004 der Firma Maury Microwave eingesetzt. Bei diesem
Tuner handelt es sich um ein Reflexionsanpassnetzwerk. Die Phasenschieber bestehen aus mit je 25 Dioden beschalteten Leitungsstücken. Daraus ergeben sich 625
mögliche Impedanz-Punkte5 , die über ein Steuerprogramm eingestellt werden können. An diesen Source-Tuner sind zwei, über einen 90°-Hybrid gekoppelte Signalgeneratoren (Agilent ESG E4438C, R&S SMIQ 03B) angeschlosssen. Um die maximale Ausgangsleistung zu erhöhen, werden beide Generatoren mit je einem Leistungsverstärker (Hittite HMC-C013) verstärkt. Zwei als Isolatoren beschaltete Zirkulatoren verhindern eine Rückwärtsintermodulation der Verstärker aufgrund mangelhafter Isolation des Hybrids. Harmonische der Generatoren werden durch jeweils einen
Tiefpassfilter unterdrückt. Um den Intermodulationsabstand und die Ausgangsleistung gleichzeitig zu messen, werden nach dem Messobjekt über einen 20-dB-Koppler
ein Leistungsmesser (R&S NRP-Z91) und ein Spektrum-Analysator (R&S FSEB)
angeschlossen. Durch ein 13-dB-Dämpfungsglied wird die Eingangsleistung in die
Messgeräte reduziert. Die Abstimmspannungen werden über zwei programmierbare
Gleichspannungsquellen zur Verfügung gestellt. Alle Quellen, Messgeräte und Tuner
werden zentral von einem Messrechner gesteuert. Die möglichen Quell-Impedanzen
für eine Messfrequenz von f = 850 MHz sind in Abb. 5.11 dargestellt. Der maximal
mögliche Abstimmbereich beträgt |Γ|max ≈ 0,6. Der IP3 des kompletten Aufbaus
betrug ca. 72 dBm. Ein Bild zeigt Abb. 5.10.
Vor der ersten Messung müssen zunächst alle beteiligten Komponenten mit dem
5
In der Praxis stehen etwas weniger Punkte zur Verfügung, da die Punkte mit mehr als 6 dB
Betriebsleistungsdämpfung aufgrund der Einschränkung der Dynamik nicht benutzt werden.
Es bleiben bei einer Messfrequenz von 850 MHz noch 487 Punkte.
120
5 Lineare und nichtlineare Charakterisierung
+j1.0
+j0.5
+j2.0
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
−j0.2
∞
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
Abb. 5.11: Mögliche Quell-Impedanzen bei f = 850 MHz
VNA charakterisiert werden. Sind für alle Komponenten die Streuparameter vom
Messprogramm eingelesen, folgt die Leistungskalibrierung. Hierzu wird der Tuner
in einen möglichst angepassten Zustand |Γ| ≈ 0 gesetzt und der Koppler mit Leistungsmesser über eine Durchverbindung direkt hinter dem Tuner angeschlossen.
Danach durchlaufen beide Generatoren nacheinander den gewünschten Leistungsbereich und die gewonnenen Messwerte werden in einer Tabelle gespeichert.
Für die eigentliche Messung wird die Durchverbindung durch das Messobjekt ersetzt. Da das Messobjekt eine auf einem Laminat-Substrat aufgebaute Schaltung
darstellt, stimmt die Referenzebene des mit 3,5-mm-Konnektoren ausgestatteten
Tuners nicht mit der des Messobjekts überein. Um dieses Stück Leiterplatte zu berücksichtigen, wurden mit Hilfe einer UOSM-Kalibrierung6 die Streuparameter des
Substrats von der Steckerebene bis zu Beginn des Messobjekts bestimmt und mit
den Streuparametern des Tuners kaskadiert. Für die Messung wurde ein Frequenzabstand von ∆f = 1 MHz bei einer Mittenfrequenz von f = 850 MHz gewählt. Der
Intercept-Punkt 3. Ordnung IP3ℓ kann in logarithmischer Darstellung aller Größen
ℓ
einfach aus der Summe der Leistung eines Tons PTon
und der Hälfte des Intermoℓ
dulationsabstands IM berechnet werden:
ℓ
IP3ℓ = PTon
+
IM ℓ
.
2
(5.35)
Da die Messzeit für einen Leistungsdurchlauf relativ hoch ist, wurde nur bei einem
Teil der möglichen Impedanzpunkte gemessen.
6
Das Unknown-Open-Short-Match Kalibrierverfahren erlaubt es ein 2-Tor mit unterschiedlichen
Schnittstellen zu vermessen [25].
6 Experimentelle Verifikation an
Demonstratoren
In diesem Kapitel wird anhand von vier Beispielschaltungen untersucht, inwieweit
sich die in Kap. 4 untersuchten theoretischen Eigenschaften abstimmbarer Anpassnetztwerke auf reale Schaltungen übertragen lassen. Hierzu wurden die Topologien
L-, Π-, T- und Reflexion-Typ diskret auf Soft-Substraten aufgebaut. Für die einzelnen Schaltungen standen eine Reihe von Dünnfilm-MIM-Testkondensatoren unterschiedlicher Größe zur Verfügung. Die Schaltungen wurden für den Frequenzbereich
von f = 850 MHz dimensioniert. Dies ist ein für den zellulären Mobilfunk besonders interessanter Bereich, da hier Standards wie GSM, IS-95 (cdmaOne), IS-136
(D-AMPS), CDMA2000 und UMTS vertreten sind. Für Schaltungen oberhalb dieser Frequenz waren die verwendeten Kondensatoren aufgrund hoher Verluste nicht
geeignet.
Da die Dünnfilm-Testkondensatoren eine relativ hohe Abstimmbarkeit schon bei
niedrigen Spannungen aufweisen (τC ≈ 0,7 bei UDC = 20 V), können die hier gezeigten Beispielschaltungen die hohen Linearitätsanforderungen moderner Kommunikationsstandards nicht erfüllen. Die in diesem Kapitel vorgestellten Simulationsund Messergebnisse zeigen dennoch, bis zu welchem Grad es mit den in Kap. 3
beschriebenen Modellen möglich ist, das Verhalten von abstimmbaren Anpassnetzwerken voherzusagen.
6.1 Aufbau- und Verbindungstechnik
Die Aufbau- und Verbindungstechnik stellt einen wesentlichen limitierenden Faktor
bei der Realisierung der untersuchten Schaltungskonzepte dar. Aufgrund der hohen
Flexibilität und der niedrigen Kosten wurden die Schaltungen auf einem Softsubstrat in COB-Technik (engl. Chip On Board) aufgebaut. Hierzu wurde als Schaltungsträger ein 0,625 mm dickes PTFE-Keramik-Substrat (Rogers 3010) mit einer
Permittivität von εr = 10,2 benutzt. Für eine bessere mechanische Stabilität und eine einfachere Befestigung der Konnektoren wurde das Substrat auf ein 1 mm dickes
FR4-Substrat laminiert. Die relativ hohe Permittivität des Softsubstrats ermöglicht
trotz der relativ niedrigen Frequenz kompakte Abmessungen der Schaltungen. Eine ca. 1 µm dicke galvanisch abgeschiedene Goldschicht über der ca. 40 µm dicken
Kupferauflage ermöglicht die Montage der Kondensatoren mit einem Golddraht-
122
6 Experimentelle Verifikation an Demonstratoren
bonder. Dabei werden die Kondensator-Chips mit Epoxid-Kleber in Ausfräsungen
auf der Leiterplatte geklebt. Die Verbindung zwischen den Kondensator-Pads und
den Leiterbahnen wird mit ca. 20 µm dicken Golddrähten in Ball-Wedge-Technik
hergestellt.
Für die Zuführung der Abstimmspannungen wurden SMD-Komponenten der
Bauteilgröße 0402 eingesetzt, da einerseits die Einfüge-Verluste der Blockkondensatoren niedriger sind als bei 0201-Baugröße (ca. 0.01 dB) und andererseits die
manuelle Bestückung deutlich leichter fällt.
Wie die folgenden Abschnitte darlegen werden, zeigen die aufgebauten Schaltungen teils erheblich größere Betriebsleistungsdämpfungen, als die theoretischen
Betrachtungen in Kap. 4 vermuten lassen. Der Grund für die höheren Verluste liegt
teils in dem durch die vorgegebene Abstimmbarkeit und die beschränkte Auswahl
an Kapazitätswerten suboptimalen Design der Anpassnetzwerke. Teilweise haben
Simulationen gezeigt, dass auch die Bonddrähte einen sehr großen Einfluss auf die
Verluste bei hohen Netzwerk-Güten zeigen. Da diese zusätzlichen Verluste das nichtlineare Verhalten der Schaltungen beeinflussen, war das Ziel, die Gesamtverluste so
gering wie möglich zu halten. Dies wurde durch den Einsatz von Spulen der Mini
Spring™-Air-Core-Inductors-Serie von Coilcraft erreicht. Diese Luft-Spulen weisen
bei 850 MHz eine Güte von QL ≈ 200 auf. Diese sehr guten Werte werden jedoch
durch eine relativ große Baugröße und eine hohe Induktivitäts-Toleranz von 5-10 %
erkauft. Zusätzlich ist die Abstufung der Induktivitätswerte mit ca. 2.5 nH pro Windung sehr grob. Zum Vergleich aufgebaute Schaltungen mit kleineren 0402-Spulen
einer Güte von QL ≈ 70 zeigten eine um ca. 1 dB größere Betriebsleistungsdämpfung.
6.2 L-Anpassnetzwerk
Die theoretischen Betrachtungen in Abs. 4.3.1 haben gezeigt, dass L-Anpassnetzwerke einen im Vergleich zu anderen Topologien kleinen Abstimmbereich aufweisen.
Diese Einschränkung und die Tatsache, dass sie die geringsten Verluste aufweisen,
prädestinieren sie für den Einsatz als Leistungsverstärker-Anpassnetzwerk. Da die
Effizienz und Linearität eines Leistungsverstärkers eine starke Abhängigkeit von der
Eingangsimpedanz zeigen, ist hier ein abstimmbares Anpassnetzwerk doppelt von
Nutzen [36, 58]. Die optimale Eingangsimpedanz ist zudem noch von der Eingangsleistung abhängig [51, 71]. Typischerweise bewegt sich die optimale Eingangsimpedanz nur im Bereich niedriger Impedanzen.
Das Anpassnetzwerk ist wie in Abb. 4.10 aus Abs. 4.3.1 skizziert aufgebaut.
Die grobe Dimensionierung und die Auswahl der Kondensatoren erfolgte zunächst
auf der Basis einer linearen ADS-S-Parameter-Simulation mit den in Kap. 3 beschriebenen Kondensator-Modellen. Der Einfluss des Substrats und der Bonddrähte
wurden hier noch vernachlässigt. Bei den Spulen und Kondensatoren wurden die
6.2 L-Anpassnetzwerk
123
Abb. 6.1: Demonstrator-Schaltung eines L-Anpassnetzwerks
Modelle1 der jeweiligen Hersteller verwendet. Danach wurde ein Layout für die
Schaltung erstellt und dieses mit einer Momentum-Kosimulation2 in die vorherige Simulation integriert. Um möglichst alle parasitären Effekte zu berücksichtigen,
werden die Bond-Drähte durch das in ADS integrierte Modell der TU-Delft modelliert [61, 4].
Ein Bild der fertig aufgebauten Schaltung zeigt Abb. 6.1. Die Kapazitäten der
beiden Kondensatoren betragen jeweils C1,2 = 8 pF. Die Induktivität der Spule
beträgt L = 5 nH.
Abb. 6.2(a) und (b) zeigen eine Gegenüberstellung der Simulations- und Messergebnisse für die Betriebsleistungsdämpfung AT . Die beiden Abstimmspannungen
UDC1,2 wurden hierbei im Bereich zwischen UDC1,2 = 0 V bis UDC1,2 = 25 V in
0,25-V-Schritten variiert. Jeder Mess- bzw. Simulationswert ist durch einen Punkt
dargestellt. Das Anpassnetzwerk deckt einen Impedanzbereich von 5,5 Ω bis 18,5 Ω
ab. Mit zunehmender Impedanz verringert sich die Betriebsleistungsdämpfung von
AT = 1,8 dB auf AT = 0,45 dB. Der Abstimmbereich der Simulation stimmt nur
in horizontaler Richtung, also im durch C2 bestimmten Bereich, mit der Messung
überein. Die vertikale Ausdehnung des Abstimmbereichs weicht stärker von der Simulation ab. Grund hierfür ist die hohe Sensibilität der effektiven Induktivität Leff
gegenüber den Bauteiltoleranzen des Kondensators C1 und der Spule L. Bei der
Betriebsleistungsdämpfung stimmen Simulation und Messung jedoch gut überein.
Die Großsignal-Eigenschaften der Schaltung wurden mit dem im vorhergehenden
Kapitel vorgestellten Source-Pull-Messplatz untersucht. Diese relativ aufwendige
Messmethode ist notwendig, da die Großsignal-Eigenschaften des Netzwerks eine
Funktion des Eingangsreflexionsfaktors bzw. der Abstimmspannungen sind. Um die
Messzeit zu begrenzen, wurde an vier, in Abb. 6.3 dargestellten, repräsentativen
1
ADS-Design-Kits:
Murata Components Library for Agilent ADS Version 2.2;
Coilcraft CCI_RF_LIBRARY Version 1.0.
2
Momentum ist ein in die Design-Umgebung ADS integrierter 2,5D-Feldsimulator.
124
6 Experimentelle Verifikation an Demonstratoren
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j0.2
1
1.5
−j5.0
−j0.5
5.0
2.0
+j5.0
1.0
0.0
∞
0.5
+j0.2
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j2.0
+j0.5
0.2
+j0.5
0.5
1
−j0.2 1.5
−j2.0
∞
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(a)
(b)
Abb. 6.2: Betriebsleistungsdämpfung AT :(a) Simulation (b) Messung
+j1.0
+j0.5
Γ3
−j0.2
5.0
2.0
Γ2
1.0
Γ1
+j5.0
0.5
0.2
+j0.2
0.0
+j2.0
Γ4
∞
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
Abb. 6.3: Untersuchte Eingangsreflexionsfaktoren: Γ1 = −0,8; Γ2 = −0,5; Γ3 =
0,8 ∠145°; Γ4 = 0,8 ∠ − 145°
Impedanzpunkten gemessen. Hierzu wurde zunächst ein Reflexionsfaktor-Zustand
des Quell-Tuners gewählt, der dem gewünschten Impedanzwert am nächsten lag.
Dann wurde aus den vorher durchgeführten Streuparameter-Messungen ein Impedanzpunkt bestimmt, der gleich der konjugiert komplexen Impedanz des Tuners ist.
125
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung AT (dB)
6.2 L-Anpassnetzwerk
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung AT (dB)
0
15
0
5
10
15
20
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
(a) Eingangsreflexionsfaktor Γ1
0
15
0
5
10
15
20
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
(b) Eingangsreflexionsfaktor Γ2
Abb. 6.4: Betriebsleistungsdämpfung AT und Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 in
Abhängigkeit der Eingangsleistung PTon,in
Zuletzt wurden die entsprechenden Abstimmspannungen an das Messobjekt angelegt und eine 2-Ton-Messung wurde durchgeführt. Die Simulationsergebnisse wurden mit einer HB-Simulation gewonnen. Analog zur Messung wurde zunächst aus
den Daten der S-Parameter-Simulation die Abstimmspannungen für die gewünschten Eingangsimpedanzen bestimmt. In der darauf folgenden HB-Simulation3 wurde dann die Ausgangsimpedanz der 2-Ton-Quelle gleich der konjugiert komplexen
Eingangsimpedanz des Anpassnetzwerks gesetzt und die Eingangsleistung wurde
3
Die Simulation wurde bis zur siebten Ordnung und bis zum vierten Mischprodukt durchgeführt.
126
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung AT (dB)
6 Experimentelle Verifikation an Demonstratoren
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung AT (dB)
15
0
0
5
10
15
20
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
(c) Eingangsreflexionsfaktor Γ3
0
15
0
5
10
15
20
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
(d) Eingangsreflexionsfaktor Γ4
Abb. 6.4: (Forts.) Betriebsleistungsdämpfung AT und Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 in Abhängigkeit der Eingangsleistung PTon,in
im gewünschten Bereich durchlaufen.
Die aus den Messwerten berechnete Betriebsleistungsdämpfung AT und der Interceptpunkt 3. Ordnung sind in Abb. 6.4(a) bis (d) abgebildet. Die Leistung
eines einzelnen Tons variierte von 0 dBm bis 17 dBm. Größere Leistungen konnten
nicht angelegt werden, da sonst die Kondensatoren zerstört worden wären. Die Ergebnisse finden sich in Abb. 6.4(a) bis (d). Die Betriebsleistungsdämpfung ist an
einigen Punkten um ca. 1,5 dB größer als die simulierten Werte. Entsprechendes
gilt für den Interceptpunkt. Hier treten Abweichungen von teilweise über 5 dB auf.
Wie sich im Vergleich zu den folgenden Messungen zeigen wird, ist beim L-
6.3 Π-Anpassnetzwerk
127
Anpassnetzwerk die Diskrepanz zwischen Simulation und Messung am größten. Besonders auffällig ist die höhere Betriebsleistungsdämpfung der Großsignal-Messung
gegenüber der Kleinsignal-Messung und der HB-Simulation. Dies kann nur teilweise
mit der Messungenauigkeit der Source-Pull-Messung erklärt werden. Der Hauptgrund ist die hohe Sensitivität der Topologie gegenüber Bauteil-Toleranzen.
Insgesamt gesehen zeigt das L-Anpassnetzwerk die höchste Linearität der in dieser Arbeit aufgebauten Netzwerke. Dennoch reicht die Linearität nicht aus, um
als abstimmbares Anpassnetzwerk für einen Leistungsverstärker zu dienen. Hierzu
müssten Kondensatoren mit einer höheren Abstimmspannung oder mehrere in Serie
geschaltete Kondensatoren benutzt werden.
6.3 Π-Anpassnetzwerk
Für den Entwurf und den Aufbau des Π-Anpassnetzwerks wurden die selben Werkzeuge und Techniken benutzt wie für das L-Anpassnetzwerk. Bei der Dimensionierung des Π-Anpassnetzwerks mussten jedoch einige Einschränkungen bezüglich der
praktischen Realisierbarkeit in Kauf genommen werden.
Eine Beschränkungen betraf die zur Verfügung stehenden Kapazitätswerte. Für
ein ideales Netzwerk mit minimaler Güte würden bei f = 850 MHz Kondensatoren
mit einer maximalen Kapazität von ca. 40 pF benötigt werden. Da ein Kondensator
mit diesem Wert nicht vorhanden war, wurde der nächstmögliche Wert von 32 pF
gewählt. Eine weitere Einschränkung bringt die moderate Güte der Kondensatoren
und die zusätzlichen Verluste durch die Bonddrähte mit sich. Bei symmetrischer
Bestückung (C1,max = C2,max ) würde der Abstimmbereich bei höheren Impedanzen
stark eingeschränkt (s. Abb. 4.25 in Abs. 4.3.2). Für einen maximal großen, um
Z0 zentrierten Abstimmbereich muss daher C2,max etwas größer als C1,max dimensioniert werden. Ein maximal großer Anpassbereich ergibt sich mit C1,max = 22 pF
und C2,max = 32 pF und einer Spule mit L = 2,5 nH. Ein Bild der fertig aufgebauten
Schaltung zeigt Abb. 6.5.
Abb. 6.5: Demonstrator-Schaltung eines Π-Anpassnetzwerks
128
6 Experimentelle Verifikation an Demonstratoren
+j1.0
+j1.0
+j2.0
1
3 45
2
−j0.2
−j5.0
−j2.0
5.0
1
−j0.2
3
−j0.5
2.0
0.0
+j5.0
1.0
∞
+j0.2
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j2.0
+j0.5
0.2
+j0.5
−j5.0
2
−j0.5
∞
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(a)
(b)
+j1.0
+j0.5
+j2.0
1
2
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
3 45
−j0.2
∞
−j5.0
−j2.0
−j0.5
−j1.0
(c)
Abb. 6.6: Betriebsleistungsdämpfung AT : (a) Simulation mit Bonddrähten; (b)
Simulation ohne Bonddrähte; (c) Messung
Wie groß der Einfluss der Bonddrähte auf die Betriebsleistungsdämpfung ist, wird
bei einem Vergleich zwischen einer Simulation mit Bonddrähten Abb. 6.6(a) und
einer Simulation ohne Bonddrähte Abb. 6.6(b) deutlich. Für eine bessere Darstellung und um alle Anpassnetzwerke besser miteinander vergleichen zu können,
wurden die Zustände mit einer größeren Betriebsleistungsdämpfung als 6 dB mit
einem kleinen schwarzen Punkt gezeichnet. Es zeigt sich, dass die Bonddrähte die
Betriebsleistungsdämpfung im Randbereich um ca. 2 dB erhöhen. Es ist somit zwingend erforderlich, entweder die Bonddrähte zu verkürzen (z. B. durch das WedgeWedge-Bondverfahren) oder die Kondensator-Chips in einem Flip-Chip-Verfahren
6.3 Π-Anpassnetzwerk
129
+j1.0
+j0.5
+j2.0
−j0.2
5.0
Γ2
+j5.0
2.0
Γ1
0.5
0.2
0.0
1.0
Γ4
+j0.2
Γ3
−j5.0
Γ5
−j0.5
∞
−j2.0
−j1.0
Abb. 6.7: Untersuchte Eingangsreflexionsfaktoren: Γ1 = −0,55; Γ2 = 0; Γ3 = 0,55;
Γ4 = 0,55 ∠90°; Γ5 = 0,55 ∠ − 90°
zu montieren. Weiterhin zeigt der Vergleich zwischen Simulation Abb. 6.6(a) und
Messung Abb. 6.6(c) eine sehr gute Übereinstimmung.
Die geringe Diskrepanz zwischen Simulation und Messung setzt sich auch bei
den Großsignal-Eigenschaften fort. Gemessen wurde, wie bereits beim L-Anpassnetzwerk beschrieben, mit dem 2-Ton-Source-Pull-Messplatz. Auch hier wurde die
Simulation nur an einigen, in Abb. 6.7 gezeigten Punkten durch eine Messung verifiziert. Die Messergebnisse sind in den Abbildungen Abb. 6.8(a) bis (e) zusammengefasst. Lediglich an den Randpunkten Γ3 und Γ5 kommt es aufgrund höherer
Verluste zu einer stärkeren Abweichung. Da bei der Π-Topologie nur eine relativ kleine Spannung über die Kondensatoren abfällt, konnte die Eingangsleistung
PTon,in auf 25 dBm pro Ton erhöht werden. Nur beim Zustand Γ3 , der gleichzeitig
der Punkt mit dem höchsten Spannungsabfall über C1 darstellt, führten Leistungen
über 22 dBm zu einer Beschädigung des Messobjekts.
Besonders auffällig ist das Ansteigen des Interceptpunkts 3. Ordnung bei höheren
Leistungen. Dieses Verhalten, das auch durch die Simulation wiedergegeben wird,
ist durch die destruktive Überlagerung von Intermodulationsprodukten zu erklären,
die durch Nichtlinearitäten höherer Ordnung entstehen. Diese sogenannten „Sweet
Spots“ treten auch bei anderen nichtlinearen Baugruppen wie Leistungsverstärkern
auf [7, 20].
Die Auswertung der Messungen zeigt, dass das nichtlineare Verhalten des Π-Anpassnetzwerks über einen weiten Bereich durch Simulationen vorhergesagt werden
kann. Trotz einer relativ hohen Linearität ist auch dieses Netzwerk nicht ausreichend linear, um so in einem Frontend eingesetzt werden zu können. Die schlechteste Linearität ergibt sich für hochohmige Impedanzen mit einem Interceptpunkt
130
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung AT (dB)
6 Experimentelle Verifikation an Demonstratoren
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung AT (dB)
15
0
0
5
10
15
20
25
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
(a) Eingangsreflexionsfaktor Γ1
0
15
0
5
10
15
20
25
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
(b) Eingangsreflexionsfaktor Γ2
Abb. 6.8: Betriebsleistungsdämpfung AT und Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 in
Abhängigkeit der Eingangsleistung PTon,in
von IP3 ≈ 20 dBm. Im Vergleich zu den im Folgenden beschriebenen T - und Reflexionsanpassnetzwerken zeigt das Π-Anpassnetzwerk das größte Potenzial um in
einem abstimmbaren Frontend-Modul eingesetzt zu werden. Es vereint eine relativ
hohe Linearität mit einem großen Abstimmbereich und einem einfachen platzsparenden Aufbau. Die im Vergleich zu einem T-Anpassnetzwerk relativ kleine Spule
erleichtert zudem eine komplette Integration in einem LTCC-Modul.
131
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung AT (dB)
6.3 Π-Anpassnetzwerk
15
0
0
5
10
15
20
25
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung AT (dB)
(c) Eingangsreflexionsfaktor Γ3
15
0
0
5
10
15
20
25
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung AT (dB)
(d) Eingangsreflexionsfaktor Γ4
15
0
0
5
10
15
20
25
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
(e) Eingangsreflexionsfaktor Γ5
Abb. 6.8: (Forts.) Betriebsleistungsdämpfung AT und Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 in Abhängigkeit der Eingangsleistung PTon,in
132
6 Experimentelle Verifikation an Demonstratoren
6.4 T-Anpassnetzwerk
Aus Sicht der Kondensator-Technologie lässt sich das T-Netzwerk am einfachsten
aufbauen, da die relativ niedrigen Kapazitätswerte gut mit nur geringer parasitärer Serieninduktivität hergestellt werden können. Das Anpassnetzwerk wurde,
wie schon vorher beschrieben, zunächst mit Hilfe von ADS-Simulationen dimensioniert. Wie schon beim Π-Netzwerk zeigte sich, dass eine unsymmetrische Auswahl der Kondensatoren geeignet ist, um die durch Verluste verursachte einseitige
Einschränkung des Anpassbereichs auszugleichen. Mit den Kapazitätswerten von
C1,max = 2 pF und C2,max = 1 pF war es möglich, ein Netzwerk nahe der minimalen
Güte aufzubauen. Die Induktivität wurde mit einem Stück Leitung und einer Spule
mit L = 8 nH realisiert. Ein Bild der Schaltung zeigt Abb. 6.9.
Da das Netzwerk nahe dem theoretischen Güte-Minimum dimensioniert werden konnte, zeigt der Vergleich von Simulation und Messung in Abb. 6.10 eine wesentlich kleinere Betriebsleistungsdämpfung als das Π-Anpassnetzwerk. Die
maximale Betriebsleistungsdämpfung ist um mehr als 2 dB geringer als beim ΠAnpassnetzwerk mit gleichem Abstimmbereich. Da der Einfluss der Bonddrähte
ebenfalls wesentlich kleiner ausfällt, wurde auf eine gesonderte Abbildung verzichtet.
Die Großsignal-Messungen in Abb. 6.12(a) bis (e) bestätigen die erwartete
schlechte Linearität des T-Anpassnetzwerks. Wie bei den anderen Netzwerken wurde eine 2-Ton-Messung an fünf in Abb. 6.11 abgebildeten Impedanzpunkten durchgeführt. Dabei zeigte sich, dass das T-Anpassnetzwerk bis auf den Zustand Γ3
einen um mindestens 5 dB niedrigeren Interceptpunkt 3. Ordnung aufweist als das
Π-Netzwerk. Mit der relativ schlechten Linearität geht eine nur moderate Leistungsverträglichkeit einher. Daher wurde in den Messungen die Ton-Leistung PTon,in auf
maximal 17 dBm beschränkt. Auch das T-Netzwerk zeigt mit zunehmender Eingangsleistung an einigen Impedanzpunkten „Sweet Spots“. Im Vergleich zu allen
Abb. 6.9: Demonstrator-Schaltung eines T-Anpassnetzwerks
133
6.4 T-Anpassnetzwerk
+j1.0
+j1.0
+j2.0
3 2
−j0.2
−j0.5
5.0
1
3 2
−j5.0
2.0
0.0
∞
1
+j5.0
1.0
+j0.2
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j2.0
+j0.5
0.2
+j0.5
−j0.2
−j2.0
∞
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(a)
(b)
Abb. 6.10: Betriebsleistungsdämpfung AT : (a) Simulation; (b) Messung
+j1.0
+j0.5
+j2.0
−j0.2
5.0
Γ2
+j5.0
2.0
Γ1
0.5
0.2
0.0
1.0
Γ4
+j0.2
Γ3
−j5.0
Γ5
−j0.5
∞
−j2.0
−j1.0
Abb. 6.11: Untersuchte Eingangsreflexionsfaktoren: Γ1 = −0,55; Γ2 = 0; Γ3 =
0,55; Γ4 = 0,55 ∠90°; Γ5 = 0,55 ∠ − 90°
anderen betrachteten Topologien zeigt das T-Anpassnetzwerk die beste Übereinstimmung zwischen Simulation und Messung.
Die gezeigten Messergebnisse bestätigen das besonders starke nichtlineare Verhalten des T-Anpassnetzwerks. Ob der Einsatz dieser Topologie in Frontend-Modulen
134
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung GT (dB)
6 Experimentelle Verifikation an Demonstratoren
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung GT (dB)
15
0
0
5
10
15
20
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
(a) Eingangsreflexionsfaktor Γ1
0
15
0
5
10
15
20
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
(b) Eingangsreflexionsfaktor Γ2
Abb. 6.12: Betriebsleistungsdämpfung AT und Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 in
Abhängigkeit der Eingangsleistung PTon,in
möglich ist, hängt nicht zuletzt von der verwendeten Kondensator-Technologie ab.
Besonders geeignet erscheinen Dickschicht-Interdigitalkondensatoren mit hochresistiven DC-Fingern [105, 80]. Die relativ kleinen Kapazitätswerte können mit dieser
Technologie bei geringen Abstimmspannungen und dennoch hoher Linearität realisiert werden. Ein weiteres, besonders die Integration erschwerendes Problem ist die
hohe Induktivität der Spule. Um hier eine hohe Güte zu erreichen, muss zumindest
bei niedrigen Frequenzen auf diskrete Bauelemente zurückgegriffen werden.
135
9
45
7.5
40
6
35
4.5
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3
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20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung GT (dB)
6.4 T-Anpassnetzwerk
15
0
0
5
10
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Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
9
45
7.5
40
6
35
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30
3
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1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung GT (dB)
(c) Eingangsreflexionsfaktor Γ3
15
0
0
5
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15
20
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
9
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7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung GT (dB)
(d) Eingangsreflexionsfaktor Γ4
15
0
0
5
10
15
20
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
(e) Eingangsreflexionsfaktor Γ5
Abb. 6.12: (Forts.) Betriebsleistungsdämpfung AT und Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 in Abhängigkeit der Eingangsleistung PTon,in
136
6 Experimentelle Verifikation an Demonstratoren
6.5 Reflexionsanpassnetzwerk
Die in Abb. 6.13 abgebildete Schaltung stellt das erste, auf Basis ferroelektrischer Varaktoren aufgebaute Reflexionsanpassnetzwerk dar. Es unterscheidet sich,
wie in Abs. 4.3.4 beschrieben, in Aufbau und Funktionsweise grundsätzlich von
allen vorher gezeigten Schaltungen. Durch die verwendeten Leitungselemente sind
die geometrischen Abmessungen deutlich größer als bei den anderen Topologien.
Um die Größe auf ein Mindestmaß zu reduzieren, wurde die Schaltung auf einem
Rogers-3010-Substrat4 aufgebaut. Eine besonders große Fläche benötigt der gefaltete Branchline-Koppler. Dieser Kopplertyp wurde dennoch gewählt, da er sehr
niedrige Verluste mit einer einfachen Fertigbarkeit verbindet. Kleinere Koppler, wie
z. B. Koppler aus konzentrierten Bauelementen oder Lange-Koppler, haben entweder große Verluste oder stellen hohe Anforderungen an die Lithografie [18, 60].
Diesem hohen Platzbedarf der Schaltung steht jedoch der größte Abstimmbereich
der hier vorgestellten Topologien gegenüber. Die Schaltung wurde mit 8-pF- und
16-pF-Kondensatoren aufgebaut.
Simulations- und Messergebnisse der Betriebsleistungsdämpfung AT stehen sich
in Abb. 6.14(a) und (b) gegenüber. Wie beim Π-Anpassnetzwerk wurden zugunsten der besseren Auflösung und Vergleichbarkeit der Schaltungen Betriebsleistungsdämpfungen größer als 6 dB nur mit kleinen schwarzen Punkten gezeichnet.
Gerade beim Reflexionsanpassnetzwerk nehmen die Verluste zum Rand des An-
Abb. 6.13: Demonstrator-Schaltung eines Reflexionsanpassnetzwerks
4
Mit εr = 10,2 hat dieses Soft-Substrat die höchste kommerziell erhältliche Permittivität. Im
Falle einer LTCC-Integration stehen Materialien mit einer Permittivität von εr = 19 (K20)
zur Verfügung [32].
137
6.5 Reflexionsanpassnetzwerk
+j1.0
+j1.0
+j2.0
−j0.2
−j5.0
−j0.5
5.0
2.0
0.0
∞
+j5.0
1.0
+j0.2
0.5
5.0
2.0
1.0
0.5
0.0
+j5.0
0.2
+j0.2
+j2.0
+j0.5
0.2
+j0.5
−j0.2
−j2.0
∞
−j5.0
−j0.5
−j2.0
−j1.0
−j1.0
(a)
(b)
Abb. 6.14: Betriebsleistungsdämpfung AT : (a) Simulation; (b) Messung
+j1.0
+j0.5
+j2.0
1
−j0.2
2
5.0
Γ
+j5.0
2.0
Γ
0.5
0.2
0.0
1.0
Γ4
+j0.2
Γ
3
−j5.0
Γ5
−j0.5
∞
−j2.0
−j1.0
Abb. 6.15: Untersuchte Eingangsreflexionsfaktoren: Γ1 = −0,55; Γ2 = 0; Γ3 =
0,55; Γ4 = 0,55 ∠90°; Γ5 = 0,55 ∠ − 90°
passbereichs stark zu. Es fällt auf, dass der Anpassbereich etwas aus dem Zentrum
des Smith-Diagramms verschoben ist und in der Mitte eine Lücke aufweist. Obwohl der Koppler geometrisch exakt symmetrisch aufgebaut wurde, ist aufgrund des
Kondensator-Chip-Layouts kein symmetrischer Anschluss der beiden Stichleitungs-
138
6 Experimentelle Verifikation an Demonstratoren
Arme möglich. Dies bewirkt eine nicht ideale Amplituden- und Phasen-Balance des
Kopplers, was wiederum die Lücke in der Mitte verursacht.
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung AT (dB)
Die Großsignal-Messungen wurden an den gleichen Punkten wie beim Π- und
T-Anpassnetzwerk durchgeführt (Abb. 6.15). Die in Abb. 6.16(a) bis (e) dargestellten Ergebnisse von Simulation und Messung zeigen gute Übereinstimmung.
Einzig die Messergebnisse in Punkt Γ3 weichen stärker von den in der Simulation
bestimmten Werten ab. Wie die theoretischen Betrachtungen in Abs. 4.3.4 gezeigt
haben, ist das nichtlineare Verhalten des Reflexionsanpassnetzwerks relativ kom-
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung AT (dB)
0
15
0
5
10
15
20
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
(a) Eingangsreflexionsfaktor Γ1
15
0
0
5
10
15
20
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
(b) Eingangsreflexionsfaktor Γ2
Abb. 6.16: Betriebsleistungsdämpfung AT und Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 in
Abhängigkeit der Eingangsleistung PTon,in
139
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung AT (dB)
6.5 Reflexionsanpassnetzwerk
0
15
0
5
10
15
20
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung AT (dB)
(c) Eingangsreflexionsfaktor Γ3
15
0
0
5
10
15
20
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
9
45
7.5
40
6
35
4.5
30
3
25
1.5
20
Interceptpunkt
3.Ord. IP3 (dBm)
Betriebsleistungsdämpfung AT (dB)
(d) Eingangsreflexionsfaktor Γ4
15
0
0
5
10
15
20
Eingangsleistung pro Ton PTon,in (dBm)
(e) Eingangsreflexionsfaktor Γ5
Abb. 6.16: (Forts.) Betriebsleistungsdämpfung AT und Interceptpunkt 3. Ordnung IP3 in Abhängigkeit der Eingangsleistung PTon,in
140
6 Experimentelle Verifikation an Demonstratoren
plex. Daher fällt eine genaue Bewertung schwer. Basierend auf den in dieser Arbeit
aufgebauten Prototypen, kann die Linearität des Reflexion-Netzwerks zwischen Πund T-Anpassnetzwerk angesiedelt werden.
Die Vorteile des Reflexionsanpassnetzwerks liegen in dem hohen Anpassbereich
und den relativ niedrigen Verlusten. Der auf Leitungselementen basierende Aufbau empfiehlt sich besonders bei höheren Frequenzen. Für eine Verkleinerung und
Integration des Netzwerks bieten sich mehrere Möglichkeiten an. Einerseits wäre
eine komplette Integration auf einem BST-Dickschicht-Substrat denkbar. Die hohe
Permittivität des BST könnte eine drastische Reduzierung des Platzbedarfs ermöglichen. Andererseits wäre es ebenfalls möglich, in einem LTCC-Multilagen-Aufbau
mit dreidimensional gefalteten Leitungselementen die benötigten Abmessungen zu
verringern. Eine Optimierung bezüglich der Verluste und des nichtlinearen Verhaltens wird sicher noch Gegenstand zukünftiger Arbeiten sein.
7 Ausblick
In dieser Arbeit wurden unterschiedliche Netzwerk-Topologien auf ihre Tauglichkeit
als abstimmbare Anpassnetzwerke untersucht. Es zeigte sich, dass L-Anpassnetzwerke nur für Anwendungsfälle mit kleinen Impedanzänderungen geeignet sind. Πund T-Anpassnetzwerke können hingegen auf Kosten höherer Verluste einen wesentlich größeren Impedanzbereich abdecken. Dabei stellte sich heraus, dass gerade
Π-Anpassnetzwerke empfindlich auf parasitäre Bonddrahtinduktivitäten reagieren
und eine Flip-Chip-Montage erfordern. Reflexionsanpassnetzwerke zeigten ihr Potenzial, wenn ein großer Abstimmbereich gefordert wird. Allen Schaltungen gemeinsam ist, dass sie nicht die Anforderungen heutiger und zukünftiger Mobilfunkstandards in Bezug auf Linearität und Leistungsverträglichkeit erfüllen. Darüber hinaus
sind die Güten der BST-Kondensatoren gerade bei höheren Frequenzen noch nicht
auf dem gewünschten Niveau.
Aus diesen Ergebnissen ergibt sich ein breites Spektrum für zukünftige Arbeiten:
Da es bis auf Weiteres nicht möglich scheint, höhere Abstimmspannungen kostengünstig und platzsparend zu erzeugen, bleibt nur die Serienschaltung sehr vieler
Kondensatoren, um die Linearität bei gleichzeitig niedriger Abstimmspannung auf
das geforderte Niveau zu erhöhen. Da bei einer Serienschaltung von n Kondensatoren die n-fache Kapazität für einen Einzelkondensator benötigt wird, muss in
zukünftigen Arbeiten untersucht werden, wie solche Kondensator-Arrays mit sehr
kleiner Serieninduktivität und hoher Güte realisiert werden können. Auch müssen
Wege gefunden werden, die Kondensator-Güten durch Einsatz neuer Elektrodenmaterialien und Verbesserung der Prozesstechnologie weiter zu erhöhen. Gleichzeitig muss untersucht werden wie die Underfiller und Moldmassen bei Flip-ChipMontage die akustischen Eigenschaften der Kondensatoren beeinflussen. Darüber
hinaus müssen Untersuchungen klären, ob die im Mobilfunk geforderte Zuverlässigkeit und Alterungsbeständigkeit erfüllt wird.
Im Rahmen dieser Arbeit wurden nur abstimmbare Anpassnetzwerke bei einer
festen Frequenz untersucht. Werden durch die oben beschriebenen Maßnahmen die
Leistungsverträglichkeit und Linearität erhöht, können BST-Kondensatoren auch
für frequenzagile Anpassnetzwerke in Leistungsverstärkern angewendet werden. Dabei müssen zunächst die technologischen Grenzen bezüglich Linearität und Frequenzbereich ausgelotet werden.
Bis jetzt werden noch keine auf ferroelektrischen Kondensatoren basierenden
Hochfrequenzbaugruppen im Mobilfunk eingesetzt. Diese Arbeit hat gezeigt, dass
abstimmbare Anpassnetzwerke das Potenzial besitzen, die ersten Baugruppen mit
142
7 Ausblick
dieser neuen Technologie in zukünftigen Frontend-Modulen zu sein. Falls dies gelingt, würde dies sicher dazu führen, dass die Forschungs- und Entwicklungsarbeit
auf diesem Gebiet intensiviert wird und schon bald andere Baugruppen wie abstimmbare Filter und Phasenschieber neue Wege und Möglichkeiten für zukünftige
Radio-Module eröffnen.
A Umrechnungen zwischen KC, τC
und UCmax/2
τC = 1 −
KC =
UCmax/2 =
1
= 1 − κC
KC
1
1 − τC
(A.1)
(A.2)
2Umax
2 − τC
2
arcosh
sinh
3
2 − 2τC
1
!!
τC = 1 −
2
2Umax
2 cosh
arsinh
3
UCmax/2
(A.3)
(A.4)
B Impedanztransformation
Ausgehend von der in Abb. 4.1(b) gezeigten Zusammenschaltung von Quelle,
Anpassnetzwerk und Last folgt aus der Definition der Streuparameter
b1 = S11 a1 + S12 a2
b2 = S21 a1 + S22 a2
(B.1)
und der Reflexion an der Last ZL
a2 = ΓL b2 .
(B.2)
Setzt man Gl. (B.2) in Gl. (B.1) ein ergibt sich
b1 = S11 a1 + S12 ΓL b2
b2 = S21 a1 + S22 ΓL b2 ⇒ b2 (1 − S22 ΓL ) = S21 a1 .
Aufgelöst kann der Eingangsreflexionsfaktor Γ′L =
Γ′L =
b1
a1
(B.3)
(B.4)
dargestellt werden als:
S12 ΓL b2
S12 ΓL S21
b1
= S11 +
= S11 +
a1
a1
1 − S22 ΓL
(B.5)
B.5 lässt sich mit ∆S = S11 S22 − S12 S21 auch beschreiben als:
Γ′L =
S11 − ΓL ∆S
1 − S22 ΓL
(B.6)
Äquivalent dazu, lässt sich auch Γ′S herleiten:
Γ′S = S22 +
S22 − ΓS ∆S
S12 ΓS S21
=
.
1 − S11 ΓS
1 − S11 ΓS
(B.7)
C Eigenschaften verlustloser
Zweitore
Bei verlustlosen 2-Toren ist die Formmatrix P = 0
P = E − S ∗ S = 0.
(C.1)
|S11 |2 + |S21 |2
|S12 |2 + |S22 |2
∗
∗
S11
S12 + S21
S22
∗
∗
S12 S11 + S22 S21
(C.2)
(C.3)
(C.4)
(C.5)
Daraus folgen die Gleichungen:
=1
=1
=0
=0
Aus Gl. (C.4) folgt
∗
∗
S21
S22 = −S11
S12
(C.6)
∗
∗
S11 S11
S22 + S21 S21
S22 = S22
(C.7)
Wird Gl. (C.2) mit S22 multipliziert
| {z }
∗ S
−S11
12
und Gl. (C.6) eingesetzt ergibt sich die Bedingung
∗
(S11 S22 − S21 S12 ) S11
= S22 ⇒ ∆S =
S22
.
∗
S11
(C.8)
Der Betrag der Determinante von S ergibt sich aus
∆(S ∗ S) = ∆E = 1
∗
(C.9)
2
∗
∆(S S) = ∆S ∆S = ∆S T ∆S = ∆S∆S = |∆S| = 1 ⇒ |∆S| = 1
(C.10)
Unter Annahme der Reziprozität
S12 = S21
(C.11)
folgt aus Gl. (C.2) und Gl. (C.3) sofort
|S11 | = |S22 |.
(C.12)
D Herleitung der Induktivität für Πund T-Anpassnetzwerke
D.1 Π-Anpassnetzwerk
Für eine einfachere Schreibweise soll gelten
ωC2,max = B, ωL = X, GL = G und 1 − τC = κ
(D.1)
Gl. (4.40) ist dann
(1 − XB)2 + (XG)2
(1 − κXB)2 + (XG)2 − 1 = 0
(D.2)
Ausmultipliziert und nach Potenzen von X sortiert ergibt sich
0 = aΠ X 3 + bΠ X 2 + cΠ X + dΠ mit
aΠ
bΠ
cΠ
dΠ
= κ2 B 4 + B 2 G2 + κ2 B 2 G2 + G4
= −2κ2 B 3 − 2κB 3 − 2BG2 − 2κBG2
= κ2 B 2 + 4κB 2 + B 2 + 2G2
= −2κB − 2B
Durch Substitution mit
U =X+
bΠ
3aΠ
(D.3)
(D.4)
(D.5)
(D.6)
(D.7)
(D.8)
kann Gl. (D.3) auf die Form
0 = pΠ U 3 + U + qΠ mit
3a2Π
pΠ =
3aΠ cΠ − b2Π
2b3 + 33 a2 dΠ − 32 aΠ bΠ cΠ
qΠ = Π 3 2 Π
3 aΠ cΠ − 32 aΠ b2Π
(D.9)
(D.10)
(D.11)
gebracht werden. Ist die Diskriminante D > 0 existiert nur eine reelle Lösung
D=
27qΠ2
4
+
> 0.
p3Π
p2Π
(D.12)
147
D.2 T-Anpassnetzwerk
Da diese Bedingung für alle τC erfüllt ist, ergibt sich für X mit dem Ansatz aus [16]
eine reelle Lösung
s
X=
4
1
qΠ q 3
sinh arsinh −
3 pΠ
3pΠ
3
2
Die Induktivität L ist dann
L=
−
bΠ
.
3aΠ
X
.
ω
(D.13)
(D.14)
D.2 T-Anpassnetzwerk
Für eine einfachere Schreibweise soll gelten
ωC2,max = B, ωL = X, ZL = R und 1 − τC = κ
(D.15)
Gl. (4.53) ist dann
1
1−
XB
2
R
+
X
2 ! 1
1−
κXB
2
R
+
X
2 !
− 1 = 0.
(D.16)
Ausmultipliziert ergibt dies
0 = aT X 3 + bT X 2 + cT X + dT mit
aT = −2κ2 B 3 − 2κB 3
(D.17)
(D.18)
dT = κ2 B 4 R4 + B 2 R2 + κ2 B 2 R2 + 1.
(D.21)
bT = κ2 B 2 + 4κB 2 + B 2 + 2κ2 B 4 R2
cT = −2κ2 B 3 R2 − 2κB 3 R2 − 2B − 2κB
(D.19)
(D.20)
pT und pT können analog zum Π-Anpassnetzwerk im vorherigen Abschnitt berechnet werden:
3a2T
3aT cT − b2T
2b3 + 33 a2 dT − 32 aT bT cT
qT = T 3 2 T
3 aT cT − 32 aT b2T
pT =
(D.22)
(D.23)
Abkürzungen und Formelzeichen
Abkürzungen
ACLR
Adjacent Channel Leakage Ratio
ADS
Advanced Design System
BST
Barium Strontium Titanat
BVD
Butterworth Van Dyke
DUT
Device Under Test
EVM
Error Vector Magnitude
FBAR
Film Bulk Acoustic Resonator
GL
Ginzburg Landau
HB
Harmonic Balance
IA
Impedanz-Analysator
IF
Intermediate Frequency
LTCC
Low Temperature Cofired Ceramic
MEMS
Mikro ElektroMechanische Systeme
MIM
Metal Insulator Metal
MLC
Multi Layer Capacitor
PA
Power Amplifier
PDA
Personal Digital Assistant
SDD
Sybolically Defined Device
SLC
Single Layer Capacitor
SOS
Silicon On Sapphire
149
Abkürzungen und Formelzeichen
UOSM
Unknown Open Short Match
VCO
Voltage Controlled Oscillator
VNA
Vektorieller Netzwerk-Analysator
Formelzeichen
α
GL-Koeffizient
Vm/As
β
GL-Koeffizient
Vm5 /A3 s3
Γ
Reflexionsfaktor
γ
GL-Koeffizient
κC
inverse absolute Abstimmbarkeit
ω
Kreisfrequenz
s−1
σ
Leitfähigkeit
S/m
tan δ
Verlustwinkel
τC
relative Abstimmbarkeit
ε
Dielektrizitätskonstante
As/Vm
ϕ
Winkel
rad
̺
Dichte
kg/m3
A
Anzeigelinearität
dB
A
Dämpfung
dB
C
Curie-Konstante
C
Kapazität
F
D
Direktivität
dB
d33
piezoelektrischer Koeffizient
m/V
d∗33
eff. piezoelektrischer Koeffizient
m/V
E
Elektrische Feldstärke
V/m
E
Fehlerterm
Vm9 /A5 s5
150
Abkürzungen und Formelzeichen
f
Frequenz
Hz
G
Gewinn
dB
G
Leitwert
S
G
freie Enthalpie
J
g33
elektrostriktiver Koeffizient
m2 /V2
IM
Intermodulationsabstand
dB
IP3
Interceptpunkt 3. Ordnung
W, dBm
K
Kopplungskonstante
KC
absolute Abstimmbarkeit
k33
elektromechanischer Kopplungskoeffizient
L
Induktivität
H
l
Länge, Dicke
m
MS,L
Quell-, Lasttoranpassung
dB
N
Übertragungsverhältnis
Nl,h
nieder-, hochpegeliges Rauschen
P
Leistung
W, dBm
P
Polarisation
As/m2
p
el.Dipolmoment
Asm
P AE
Power Added Efficiency
%
Q
Güte
Q
el. Ladung
As
r
Abstand
m
Rx
ohmscher Widerstand
Ω
s33
elastische Nachgiebigkeit
m2 /N
Sij
Streuparameter
151
Abkürzungen und Formelzeichen
T
Temperatur
K
TC∗
obere Phasenumwandlungstemperatur
K
T0
Phasenübergangstemperatur
K
TC
Curie-Temperatur
K
Tr,t
Reflexions-, Transmissionsgleichlauf
dB
v
Ausbreitungsgeschwindigkeit
m/s
Vu
Volumen einer Einheitszelle
m3
Y
Admittanz
S
Z
el. Impedanz
Ω
z
normierte Impedanz
Za
ak. Impedanz
kg/m2 s
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Lebenslauf
Angaben zur Person
Name:
Matthias Schmidt
Anschrift:
Abbachstraße 15, 80992 München
Geburtsdatum:
27.11.1977
Geburtsort:
Neuendettelsau
Familienstand:
ledig
Schulbildung
09/84 bis 07/88:
09/88 bis 06/97:
Zivildienst
08/97 bis 08/98:
Studium
11/98 bis 10/03:
Beruf
11/03 bis 5/07:
seit 6/07:
Grundschule Brodswinden, Ansbach
Platen-Gymnasium, Ansbach
Individuelle Schwerstbehindertenbetreuung beim ArbeiterSamariter-Bund, Würzburg
Studium der Elektrotechnik an der Friedrich-AlexanderUniversität Erlangen-Nürnberg
Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl für Technische Elektronik, Friedrich-Alexander-Universität ErlangenNürnberg
Mitarbeiter der EPCOS AG, Surface Acoustic Wave Division,
Abteilung Research & Development, Innovative Products
München, August 2007, Matthias Schmidt