f hgikj = f hgikj = f hgikj

U. BREHM:
5
Konvexgeometrie
5-1
Polarität und Dualität
Definition: Sei A ⊆ IR d . Dann sei
m
r
A∗ : = x ∈ IR d
∀a ∈ A: x , a ≤ 1 .
A∗ heißt die Polarmenge von A.
Satz 5.1:
Sei A ⊆ IR d . Dann gilt:
0) A ⊆ B ⇒ A∗ ⊇ B∗ ,
1) =
{0}) (cl konv( A ∪ {0}))∗
A∗ cl konv( A∗ ∪=
2)
A∗∗ = cl konv( A ∪ {0}) ,
3) A∗∗∗ = A∗ ,
4) A beschränkt ⇔ 0∈( A∗ ) ,
5)
A∗ beschränkt ⇔ 0∈(konv A) .
Sei ( Ai )i ∈I mit Ai ⊆ IR d . Dann gilt:
6)
FG  A IJ
H K
i ∈I
∗
=  ( Ai∗ ) .
i
i ∈I
7) Falls 0∈ Ai und falls die Ai abgeschlossen und konvex sind, dann gilt:
FG  A IJ
H K
i ∈I
i
∗
FG
H
IJ
K
= cl konv  ( Ai∗ ) .
i ∈I
Beweis:
0) offensichtlich
1) 0 ∈ A∗ klar, A∗ ist nach Definition Durchschnitt von abgeschlossenen Halbräumen, also
abgeschlossen und konvex.
A∗ = ( A ∪ {0})∗ klar; A∗ = ( A )∗ klar;
A∗ = (konv A)∗ : Seien a1, a2 ∈ A , λ ∈ 0, 1 , x , a1 ≤ 1 , x , a2 ≤ 1 , dann ist
x , λ a1 + (1 − λ ) a2 = λ x , a1 + (1 − λ ) x , a2 ≤ 1 .
2) Sei wegen 1) o.B.d.A. A = cl(konv( A ∪ {0})) , d.h. A abgeschlossen und konvex und
0∈ A .
Sei x ∈ A , dann x , y ≤ 1 für alle y ∈ A∗ , also x ∈ A∗∗ , also A∗∗ ⊇ A .
Falls x ∈IR d \ A , dann gibt es eine Hyperebene H, die x und A echt trennt.
0∉ H , da 0∈ A .
m
Also gibt es y ∈IR d mit A ⊆ z ∈ IR d
r
z, y < 1 , x, y > 1 .
Also y ∈ A∗ , also x ∉ A∗∗ , also A∗∗ ⊆ A , insgesamt A∗∗ = A .
5-2
U. BREHM:
Konvexgeometrie
3) Klar mit 1) und 2).
4), 5) Es gilt offenbar Bε ( 0)∗ = B1 ( 0) : Mit 0), 1), 2) gilt nun
ε
∗
Bε (0) ⊇ A ⇒ B1 (0) ⊆ A ⇒ Bε (0) ⊇ A∗∗ ⊇ A , also gilt 4).
ε
∗
B1 (0) ⊇ A ⇒ Bε (0) ⊆=
A∗∗ cl konv( A ∪ {0}) ⇒ B ε (0) ⊆ konv A ⇒ B2 (0) ⊇ A∗ ,
ε
ε
2
also gilt 5).
6) Klar nach Definition.
7) folgt aus 6) durch Anwendung von ∗ und Ai = Ai∗∗ nach 2) und Voraussetzung.
∗


  Ai 
 i ∈I 
∗
2)

∗ ∗ 
  ( ( Ai ) ) 
 i ∈I

∗∗
6)

∗ 
  ( Ai ) 
 i ∈I

2)


cl konv   ( Ai∗ )  (nach 1) ist 0∈ Ai∗ )
 i ∈I

m
Beispiele: {0}∗ = IR d , ( IR d )∗ = {0} , für a ≠ 0 ist {a}∗ = x ∈ IR d
�
r
x , a ≤ 1 ein abgeschlosse-
ner Halbraum, der 0 als inneren Punkt hat. Wenn H ein abgeschlossener Halbraum ist, mit
O ∈ H  , dann gibt es x ∈IR d \{0} mit H ∗ = konv{0, x} .
x
A
B
H
H
a 



31
H∗
a
A∗
sei jeweils der Punkt 0
H
H∗
D
D∗
B∗
1
( λ X )∗ =
X∗
λ
C
C∗
E
E∗
Achtung: X ∗ hängt entscheidend von der Wahl des Ursprungs 0 ab, d.h. einer Translation von X entspricht keine
affine Transformation von X ∗ (sondern eine projektive Transformation).
U. BREHM:
Konvexgeometrie
5-3
Folgerung 5.1: Sei P eine abgeschlossene konvexe Menge und 0∈ P , also P∗∗ = P .
Dann gilt:
1) P ist ein Polytop ⇔ P∗ ist eine polyedrische Menge und 0∈ int P∗ .
2) P ist ein Polytop und 0∈int P ⇔ P∗ ist ein Polytop und 0∈ int P∗ .
Beweis:
1) " ⇒ " klar mit Satz 5.1.1, 5.1.4, 5.1.6.
" ⇐ " klar mit Satz 5.1.4, 5.1.6.
2) klar mit 1), Satz 5.1.5, sowie Satz 4.6.9.
�
Bemerkung: Mit Hilfe der Polarität kann man Satz 4.6.10 aus Satz 4.6.9 herleiten
(wegen P∗∗ = P ).
Definition und Lemma 5.1: Sei K eine kompakte konvexe Menge mit 0∈int K und
m
r
F ∈ L( K ). Bezeichne F : = y ∈ K ∗ y , x = 1fürallex ∈ F .
Dann ist Fˆ ∈ L( K ).
∗
 = K ∗ , K = ∅ können wir annehmen, dass F eine exponierte Seite von K ist.
B e w e i s : Da ∅
~
~
Sei x0 ∈rel int F und F : = y ∈ K ∗ y , x0 = 1 . Dann ist F eine exponierte Seite von K ∗
~
und F ⊆ F .
Sei y0 ∈ K ∗ \ F . Dann gibt es x1 ∈ F mit y0 , x1 < 1 . Da x0 ∈rel int F , gibt es x2 ∈ F mit
x0 = (1 − λ ) x1 + λ x2 und mit λ∈ [0, 1) , also
m
r
y0 , x0 = (1 − λ ) y0 , x1 + λ y0 , x2 < 1,


<1
≤1
~
~
also y0 ∉ F , also F ⊆ F .
~
Insgesamt ist also F = F eine exponierte Seite von K ∗ .
�
Satz 5.2: Sei K eine kompakte konvexe Menge mit 0∈int K , Fˆ ∈ L( K ∗ ).

Dann ist F = F . Die Abbildungen ^ : L( K ) → L( K ∗ ) und ^ : L( K ∗ ) → L( K ) sind bijektiv und
antiton (ordnungsumkehrend). Insbesondere ( F1 ∨ F2 )^ =
Fˆ1 ∩ Fˆ2 und ( F1 ∩ F2 )^ =
Fˆ1 ∨ Fˆ2 .

B e w e i s : Zu zeigen F = F . Die übrigen Aussagen sind klar wegen K ∗∗ = K (nachprüfen!).
m

F = x ∈ K ∗∗
r
x , y = 1füralley ∈ F  ,

also wegen K ∗∗ = K ist F ⊆ F .
5-4
U. BREHM:
Konvexgeometrie
Falls F = ∅ oder F = K ist Behauptung klar.
Sei F eine exponierte Seite von K. Dann gibt es eine Stützhyperebene H von K.
H = x ∈ IR d x , y0 = 1 mit F = H ∩ K und K ⊆ H − = x ∈ IR d x , y0 ≤ 1 , also y0 ∈ K ∗
m
r
m
r


und schließlich y0 ∈ F . Falls x0 ∈ K \ F , dann ist x0 , y0 < 1 , also x0 ∉ F . Damit ist F ⊆ F ,

also insgesamt F = F .
�
Definition: Zwei Polytope P1 , P2 heißen kombinatorisch äquivalent oder vom selben
kombinatorischen Typ, wenn F ( P1 ) ≅ F ( P2 ), d.h. wenn ihre Seitenverbände isomorph sind.
Beachte, dass für ein Polytop P gilt F ( P) = L( P).
Ein Polytop P2 heißt dual zu einem Polytop P1 , wenn F ( P1 ) ≅ F ( P2 )op , d.h. wenn der Seitenverband von P1 dual zum Seitenverband von P2 ist. ( F op entsteht aus F durch Umkehren der
Ordnungsrelation bzw. durch Vertauschen von ∧ und ∨ .)
Also:
P1 und
P2 sind kombinatorisch äquivalent, wenn es eine bijektive Abbildung
f : F ( P1 ) → F ( P2 ) gibt mit F1 ⊆ F2 ⇔ f F1 ⊆ f F2 .
P1 und P2 sind zueinander dual, wenn es eine bijektive Abbildung f : F ( P1 ) → F ( P2 )
gibt mit F1 ⊆ F2 ⇔ f F1 ⊇ f F2 .
Achtung: Man braucht wirklich beide Richtungen in " ⇔ "!
Folgerung 5.2: Sei P ein Polytop mit 0∈int P . Dann sind P und P∗ zueinander dual.
B e w e i s : Folgt aus Folgerung 5.1.2 und Satz 5.2.
�
Satz 5.3: Seien F1 eine j-Seite, F2 eine k-Seite eines Polytops P mit F1 ⊆ F2 .
Dann ist der Unterverband {F ∈ F ( P) F1 ⊆ F ⊆ F2 } ⊆ F ( P) isomorph zum Seitenverband
eines ( k − j −1) -Polytops, das wir mit F2 / F1 bezeichnen.
Beachte, dass F2 / F1 nicht ein bestimmtes Polytop ist, sondern als Repräsentant einer Klasse von kombinatorisch äquivalenten Polytopen zu betrachten ist.
B e w e i s : Sei F2∗ ein zu F2 duales k-Polytop (z.B. das polare Polytop in aff F2 , wobei
0 ∈rel int F2 ) und F1 die F1 entsprechende ( k − j −1) -Seite in F2∗ . Dann ist F ( Fˆ1 ) ≅ F ( F2∗ )
dual zum gegebenen Unterverband.
Nun wähle man F2 / F1 als duales Polytop zu F1 . (Existiert nach Folgerung 5.2.)
�
U. BREHM:
Konvexgeometrie
5-5
Definition: Sei F eine Ecke eines Polytops P. Sei H eine Hyperebene, die F von den
übrigen Ecken (exp P ) \ {F} echt trennt. Dann heißt H ∩ P die Eckenfigur von P in F.
Mit Satz 3.3.1 ist klar, dass es zu jeder Ecke eine Eckenfigur gibt. Da H keine Ecke von P enthält, trifft H genau die Seiten von P, die F enthalten und zwar auch deren relatives Inneres.
Daraus ist leicht zu folgern:
Lemma 5.2: Die Eckenfigur H ∩ P eines Polytops P an der Ecke F ist kombinatorisch
äquivalent zu P / F .
Bemerkung: Lemma 5.2 ermöglicht eine rekursive Konstruktion von F2 / F1 und damit
einen anderen Beweis von Satz 5.3.
Aufgaben
5.1
Seien K1 ∈ K d1 , K 2 ∈ K d2 mit 0 ∈ int K1 , 0 ∈ int K 2 .
Zeigen Sie
a) ( K1 × K 2 )∗ =K1∗ ∗ K 2∗
b)
5.2
( K1 ∗ K 2 )∗ =K1∗ × K 2∗ .
Sei f : IRd → IRd eine bijektive lineare Abbildung mit f ( x) = Ax .
Bestimmen Sie eine Abbildung g : IRd → IRd , sodass für alle kompakten konvexen
Mengen K ⊆ IRd mit 0 ∈ int K gilt:
( f ( K ))∗ = g ( K ∗ ).
5.3
Sei t ∈ IRd . Bestimmen Sie eine Abbildung g : {x x, t > −1} → IRd , sodass für alle
kompakten konvexen Mengen K ⊆ IRd mit {0, −t} ⊆ int K gilt:
( K + t )∗ =
g ( K ∗ ).