Serie 11 - D-MATH

Analysis II
MATH, PHYS, CHAB
Prof. D. Salamon
FS 2015
Serie 11
1. (a) Bestimmen Sie für a, b, c, d ∈ R mit ad − bc 6= 0 den Flächeninhalt des Gebietes
A1 := (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ ax + by ≤ 1, 0 ≤ cx + dy ≤ 1 .
(b) Bestimmen Sie für 0 < a < b und 0 < c < d den Flächeninhalt des Gebietes
A2 := (x, y) ∈ R2 | a ≤ ye−x ≤ b, c ≤ yex ≤ d .
(c) Berechnen Sie für A3 := {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x + y ≤ 1, 0 ≤ 2x − 3y ≤ 4} das Integral
Z
√
x + y dxdy.
A3
2. Es bezeichne
∆n := {x ∈ [0, 1]n | x1 + x2 + · · · + xn ≤ 1}
das n-dimensionale Standardsimplex.
(a) Berechnen Sie das Volumen von ∆n .
Z
(b) Berechnen Sie das Integral
ex1 +x2 +···+xn dx1 · · · dxn .
∆n
Tipp: Betrachten Sie die Substitution yk = x1 + · · · + xk für k = 1, . . . , n.
3. Das Simplex im Rn mit den Eckpunkten a0 , a1 , . . . , an ∈ Rn ist die Menge
( n
)
X
n
n
tk (ak − a0 ) ∈ R (t1 , . . . , tn ) ∈ ∆
.
k=1
Zeigen Sie: Sein Volumen ist
1
|det(a1 − a0 , a2 − a0 , . . . , an − a0 )| .
n!
4. (a) Zeigen Sie, dass die Funktion (x + y)−a über den 2-dimensionalsen Standardsimplex
∆2 genau für a < 2 intergrierbar ist. In diesem Fall gilt
Z
1
1
dxdy =
a
(x
+
y)
2
−
a
2
∆
(b) Zeigen Sie, dass die Funktion (x + y)−a genau für a > 2 über den Aussenraum R2+ \∆2
integriertbar ist. In diesem Fall gilt
Z
1
1
dxdy =
a
a−2
R2+ \∆2 (x + y)
Tipp: Verwenden Sie die Jacobi-Transformation (x, y) = J(u, v) := (u(1 − v), uv).
1
5. Wir definieren für a1 , . . . , an > 0 und α1 , . . . , αn > 0 das verallgemeinerte Simplex durch
(
)
α
n X
xk k
α1 ,...,αn
n ∆a1 ,...,an := (x1 , . . . , xn ) ∈ [0, ∞) ≤1
ak
k=1
(a) Zeigen Sie für p, q, r > 0 die verallgemeinerte Dirichlet-Formel
Z
Γ( αp )Γ( βq )Γ( γr )
ap bq cr
xp−1 y q−1 z r−1 dxdydz =
·
αβγ Γ( αp + βq + γr + 1)
∆α,β,γ
a,b,c
1
1
1
Tipp: Verwenden Sie zunächst die Substitution (x, y, z) = T (ξ, η, ζ) := (aξ α , bη η , cζ γ )
um das Integral auf den Standardsimplex ∆3 zurückzuführen. Benutzen Sie anschliessend die 3-dimensionale Jacobi-Transformation (ξ, η, ζ) = J(u, v, w) := (u(1 − v)(1 −
w), uv(1−w), uw). Das verbleibene Integral lässt sich mit einem Trick aus der Vorlesung
(wie im 2-dimensionalen Fall) durch die Gamma-Funktion ausdrücken.
2,2,2
(b) Es sei K := ∆a,b,c
.
i. Berechnen Sie das Volumen von K.
ii. Berechnen Sie den Schwerpunkt
1
S :=
vol3 (K)
 
x
y  dxdydz
K
z
Z
von K. (Das Integral ist komponentenweise definiert).
iii. Es sei g := {tv| t ∈ R} die Gerade durch den Ursprung in Richtung eines Einheitsvektors v. Berechnen sie das Trägheitsmoment von K bezüglich g: Dieses ist
gegeben durch
Z
d2g (x, y, z) dxdydz
Θg (K) :=
K
wobei dg (x, y, z) den euklidischen Abstand des Punktes (x, y, z) zu der Geraden g
bezeichnet.
√
Tipp: Es gilt Γ( 21 ) = π und die Rekursion xΓ(x) = Γ(x + 1).
6. Es bezeichne H := {x + iy ∈ C | y > 0} die Poincaré Halbebene. Die hyperbolischen Geraden
in H sind Halbkreise mit Mittelpunkt auf der reellen Achse sowie vertikale Geraden. Für eine
kompakte, Jordan-messbare Menge A ⊂ H definieren wir den hyperbolischen Flächeninhalt
als
Z
1
µh (A) :=
dxdy.
2
y
A
(a) Zeigen Sie, dass die Diffeomorphismen φ : H → H der Form
φ(z) :=
az + b
,
cz + d
a, b, c, d ∈ R,
ad − bc = 1
den hyperbolischen Flächeninhalt invariant lassen; D.h. für alle kompakten, Jordanmessbaren Mengen A ⊂ H gilt µh (φ(A)) = µh (A).
(b) Beweisen Sie, dass ein kompaktes hyperbolisches Dreieck (d.h. ein Dreieck dessen Seiten
auf hyperbolischen Geraden liegen) mit den Innenwinkeln α, β, γ den Flächeninhalt
π − (α + β + γ) hat.
Tipp: Reduzieren Sie die Rechnung auf den Grenzfall, wo eine Ecke des Dreiecks im
Unendlichen und eine auf der reellen Achse liegt. (Die Innenwinkel dieser Ecken sind
dann null und die Flächenformel behält weiterhin ihre Gültigkeit.)
Abgabe: Montag, den 11. Mai 2015.
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