Abschätzen des Inhalts einer Fläche zwischen Graph und x

Grundwissen
Abschätzen des Inhalts einer Fläche zwischen Graph und x-Achse
mit ein- und umbeschriebenen Rechtecken
(Untersumme sn und Obersumme Sn)
mit Trapezen
Beispiel:
y
4
S4
3
f(x) x241 ; x Abschätzen des Inhalts A der Fläche unter
Gf von 0 bis 4
durch Rechtecke der Breite x 1
4
s4 2 · 1 0,8 · 1 0,4 · 1 17
·1
3,44
S4 4 · 1 2 · 1 0,8 · 1 0,4 · 1
7,20
3,44 A 7,20
2
1
s4
0
1
2
3
4
x
1
2
3
4
x
y
4
3
2
durch zwei Trapeze der Höhe h 2
(4)
·2
A ATrapeze f (0)2 f (2) · 2 f (2) f
2
5,84
1
0
Das bestimmte Integral
Die Funktion f sei im Intervall [a; b] definiert und abschnittsweise monoton. Dann
haben Untersumme sn und Obersumme Sn den gleichen Grenzwert. Dieser heißt
bestimmtes Integral von a bis b von f:
y
8
b
f(x) dx lim sn lim Sn
n
a
n
6
Das bestimmte Integral liefert die Flächenbilanz der Flächenstücke, die im Intervall [a; b] zwischen Gf und der x-Achse liegen:
Wird in Richtung wachsender x-Werte integriert, werden die Inhalte der Flächenstücke oberhalb der x-Achse positiv gezählt, die
unterhalb der x-Achse negativ.
Beispiel:
f(x) x ; x ; Gf ist symmetrisch zu O.
3
2
Es ist x3 dx 4
0
2
x3 dx 4
2
0
0
x3 dx 0
2
2
–2
0
2
x
–2
–4
–6
2
Flächeninhalt : A x3 dx x3 dx | 4 | 4 8
2
4
–8
0
189
Grundwissen
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
Ist die Funktion f stetig, dann ist die Ableitung der Integralfunktion a gleich der
Integrandenfunktion f:
x
a (x) f(t) dt
'a (x) f(x)
a
Eine Funktion F ist eine Stammfunktion der Funktion f, wenn die Ableitung von
F gleich der Funktion f ist: F'(x) f(x). Zwei Stammfunktionen F1 und F2 einer Funktion f unterscheiden sich nur um eine Konstante: F2 (x) F1 (x) c
y
Der Hauptsatz besagt, dass jede Integralfunktion a
eine Stammfunktion der Integrandenfunktion f ist.
Jede Integralfunktion a hat an ihrer unteren Grenze
a eine Nullstelle. Deshalb ist eine Stammfunktion
nur dann eine Integralfunktion, wenn sie eine Nullstelle hat.
x
Beispiel:
f(x) x
0 (x) t dt 12 x2
F1
3
I0
f
2
F2
1
–3
–2
0
–1
0
F1 (x) 12 x2 2 ist keine Integralfunktion.
F2 (x) 12 x2 2 ist eine Integralfunktion
(mit der unteren Grenze a 2 oder a 2).
1
2
–1
–2
Die Menge aller Stammfunktionen von f heißt unbestimmtes Integral f(x) dx.
Grundintegrale
1
xr 1 c (r 1)
xr dx r 1
sinx dx cosx c
ex dx ex c
1x dx ln | x | c
cosx dx sinx c
lnx dx x · lnx x c
Integrationsregeln
Faktorregel:
Einen konstanten Faktor darf man vor das Integral ziehen.
k · f(x) dx k · f(x) dx
Summenregel: Eine Summe darf man gliedweise integrieren.
(f(x) g(x)) dx f(x) dx g(x) dx
Beispiele:
a) lnx5 dx 5 · lnx dx 5 · lnx dx 5 · (x · lnx x) c
b) xx 1 dx (1 1x ) dx dx 1x dx x ln |x | c
3
1
3
2
c) 2x
x2 dx 2 · x dx 3 · x dx 2 · ln |x | x c
190
x
Grundwissen
Von der „Kettenregel rückwärts“ zu Integrationsformeln
Da beim Nachdifferenzieren von F (ax b) der lineare Term ax b den Faktor a
liefert, gilt: f(ax b) dx 1a F(axb) c
Logarithmische Integration: f'(x)
f (x) dx ln |f(x) | c
Ableitung des Exponenten gesucht: f'(x) · ef(x) dx ef(x) c
Beispiele:
a) (2x 3)4 dx 12 ·
1
5
1
· (2x3)5 c 10
(2x3)5 c
b) e x dx e x c
1
c) 32x dx (3 2x) 2 dx ( 12 ) ·
3
2
3
3
· (3 2x) 2 c
13 · (32x) 2 c
d) sin ( 12
(x 3)) dx 12
cos ( 12 (x3)) c
e) x2 x1 dx 12 x22x1 dx 12 ln|x2 1 | c
f) x · e1 2x dx 14 (4x) · e1 2x dx 14 e1 2x c
2
2
2
Flächenberechnung mithilfe irgendeiner Stammfunktion
Ist F irgendeine Stammfunktion der Funktion f, dann ist das bestimmte Integral von
a bis b gleich der Änderung F(b)–F (a) von F im Intervall [a; b]:
b
f(x) dx [F(x)]ba F(b) F (a)
a
Beispiel:
Inhalt der bis ins Unendliche reichenden Fläche, die der Graph der
2
Funktion x xe x im I. Quadranten mit der x-Achse einschließt
b
b
A lim xex dx lim ( 12 ) (2x) · ex dx
2
b
2
b
0
y
0
lim ( 12 ) [ex ]b0 ( 12 ) ( lim eb e0) 12
2
2
b
–1
b
0
1
2
3
x
1
x
0
Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen
y
Verläuft im Intervall [a; b] Gf oberhalb von Gg, so gilt für den
1
b
Inhalt A der Fläche zwischen Gf und Gg: A (f(x)g(x)) dx
–1
a
f(x) x ; g(x) x
Schnittstellen von Gf und Gg : x1 0; x2 1; x3 1
Beispiel:
1
A 2 · (xx ) dx 2 ·
3
0
0
3
–1
[ 12 x2 14 x4]10 12
191
Grundwissen
Zufallsgrößen
Bei einem Zufallsversuch sind wir oft an einer durch das Ergebnis bestimmten Zahl,
z. B. bei einem Gewinnspiel am Gewinn interessiert. Eine Funktion, die jedem Ergebnis k eine Zahl xi zuordnet, heißt Zufallsgröße X.
Jeder Wert xi der Zufallsgröße X tritt mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit
P(X xi) ein. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X, d. h. die Werte x1, x2, . . .,
xn und die zugeordneten Wahrscheinlichkeiten P (X x1), P (X x2), . . ., P(X xn),
wird häufig in Form einer Tabelle angegeben.
Beispiel:
A und B werfen je eine ideale Münze. Fällt zweimal Wappen (W), erhält
A von B 2 . Fällt einmal W muss A an B 1 bezahlen. Fällt zweimal
Zahl (Z), bezahlt keiner der Spieler. X sei der Gewinn des A in Euro.
P(X=x)
0,5
Wahrscheinlichkeitsverteilung
ZZ
x
0
1
2
P(X x)
1
4
1
2
1
4
ZW
WZ
0,4
WW
0,3
0,2
0,1
–2
–1
0
1
2
x
Erwartungswert und Varianz
Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsgröße X ist der zu erwartende Mittelwert
E(X) x1 · P (X x1) . . . xn · P (X xn) .
Die Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert Var(X) (x1 )2 · P(X x1) . . . (xn )2 · P(X xn)
und die Standardabweichung die Wurzel aus der Varianz Var(X).
Beispiel:
Wir greifen das Gewinnspiel des Beispiels zu den Zufallsgrößen auf:
E(X) 0 · 14 (1) · 12 2 ·
1
4
0
Es ist zu erwarten, dass in einer langen Serie von Spielen keiner gewinnt. Das Spiel ist fair.
Var(X) (0 0)2 · 14 (1 0)2 · 12 (2 0)2 ·
1,5 1,2
192
1
4
32
Grundwissen
Permutationen und Kombinationen
Eine Anordnung von n verschiedenen Objekten nennt man Permutation. Es gibt
n! n · (n 1) · (n 2) · . . . · 3 · 2 · 1
gelesen: n Fakutät
Permutationen von n Objekten. Es sei 0! 1 und 1! 1.
Eine Auswahl von k Objekten – ohne Beachtung der Reihenfolge – aus n verschiedenen Objekten nennt man Kombination. Dafür gibt es
n
k
n · (n1) · (n2) · . . . · (nk1)
1 · 2 · 3 · ... ·
k
( )
Möglichkeiten. ( ) heißt Binomialkoeffizient.
gesprochen:
„k aus n“
n!
k! · (nk)!
n
k
Beispiel:
Ein Zugabteil hat 6 Plätze. In diesem können
6 Personen auf 6! 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 720 Arten Platz nehmen.
3 Plätze auf
6
3
( )
6·5·4
20 Arten reserviert werden.
1·2·3
Ziehen ohne Zurücklegen (Hypergeometrische Verteilung)
Aus einer Urne mit N Kugeln, von denen S schwarz sind, werden n Kugeln ohne
Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X sei die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln. Dann gilt für die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung:
P(X k) Beispiel:
S
( Sk ) · ( N
n k )
( Nn )
Aus 8 Schülern, von denen 3 wöchentlich in einem Leichtathletikverein
trainieren, werden zwei Staffeln zu je 4 Läufern ausgelost. X sei die
Anzahl der trainierten Läufer in der ersten Staffel.
( 30 ) · ( 54 ) 5
70
( 84 )
( 3 ) · ( 53 ) 30 ( 32 ) · ( 52 ) P (X 2)
P(X 1) 1
P(X 0) 70
P(X 3) ( 33 ) · ( 51 ) 70
E(X) 1,5
70
70
P(X=x)
0,5
0,4
0,3
0,2
5
70
0,1
0
1
2
3
x
193
Grundwissen
Die Bernoulli-Kette
Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt Bernoulli-Experiment. Die beiden Ergebnisse nennt man Treffer „1“ und Niete „0“.
Die Trefferwahrscheinlichkeit bezeichnet man mit p, die Nietenwahrscheinlichkeit 1p auch mit q. Die n-malige unabhängige Durchführung eines Bernoulli-Experiments heißt Bernoulli-Kette der Länge n.
Treten in einer Bernoulli-Kette genau k Treffer auf, dann gibt es noch n k Nieten.
Beispiel:
43 % der Deutschen haben Blutgruppe A. Fünf Personen werden zufällig ausgewählt und auf ihre Blutgruppe untersucht.
X sei die Anzahl der Untersuchten mit Blutgruppe A. 1 bedeutet „Blutgruppe A“, 0 „nicht Blutgruppe A“. Es ist p 0,43 und q 0,57.
Alle haben Blutgruppe A: P50,43 (X 5) 0,435 1,5 %
Genau der Erste und der Letzte haben A: P50,43 (10001) 0,432 · 0,573 3,4 %
Genau zwei aufeinanderfolgende haben A: P50,43 (E) 4 · 0,432 · 0,573 13,7 %
Genau zwei haben A: P50,43 (X 2) 5
2
( ) · 0,43 · 0,57
2
3
34,2 %
Mindestens einer hat A: P50,43 (X 1) 1 P50,43 (X 0) 1 0,575 94,0 %
Die Binomialverteilung
X sei die Anzahl der Treffer einer Bernoulli-Kette der Länge n. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X heißt Binomialverteilung: Die Wahrscheinlichkeit für k Treffer berechnet sich mit der Bernoulli’schen Formel:
Pnp (X k) n
k
( )·p ·q
k
n k
, k {0, 1, . . ., n}
Der Erwartungswert von X ist E(X) np, die Varianz Var(X) npq und die
Standardabweichung npq.
P(X=k)
Beispiel:
Binomialverteilung zu n 4, p 0,4
P40,4 (X 0) 0,64 13,0 %
P40,4 (X 1) ( 41 ) · 0,4 · 0,63 34,6 %
P40,4 (X 2) ( 42 ) · 0,42 · 0,62 34,6 %
0,4
0,3
0,2
P40,4 (X 3) ( 43 ) · 0,43 · 0,6 15,4 %
P40,4 (X 4) 0,44 2,6 %
Erwartungswert np 4 · 0,4 1,6
Var(X) npq 0,96; npq 0,98
194
0
1 μ 2
σ
σ
3
4
k
Grundwissen
Der Signifikanztest
Durch eine Stichprobe soll entschieden werden, ob eine Vermutung, Nullhypothese H0 genannt, abgelehnt oder beibehalten wird. Vor der Durchführung werden
die möglichen Werte der Stichprobe in einen Annahmebereich A und einen Ablehnungsbereich A von H0 aufgeteilt. Beim Test können zwei Fehler auftreten:
Beim Fehler 1. Art wird die wahre Hypothese H0 irrtümlich abgelehnt. Der Höchstwert , den seine Wahrscheinlichkeit nicht überschreiten darf, heißt Signifikanzniveau. Beim Fehler 2. Art wird die falsche Hypothese irrtümlich beibehalten.
Ein Käufer von Saatkartoffeln befürchtet, dass mindestens 20 % der
Kartoffeln von Viren befallen sind. Er lässt seine Vermutung durch die Untersuchung
von 100 Kartoffeln auf dem Signifikanzniveau 5 % testen.
Beispiel:
Nullhypothese H0: p 0,20; X sei die Anzahl der befallenen Kartoffen in der Stichprobe. Bei wenig befallenen Kartoffeln wird abgelehnt, bei vielen angenommen. Der
größte Wert im Ablehnungsbereich sei k: A {0; . . .; k}, A {k 1; . . .; 100}
Fehler 1. Art: P100
k 13 (Tafelwerk)
0,2 (X k) 0,05
Entscheidungsregel: A {0; . . .; 13}, A {14; . . .; 100}
Bei p 20 % sind in der Stichprobe 20 befallene Kartoffeln zu erwarten. Der Käufer
akzeptiert aufgrund des Tests aber erst dann p 20 %, wenn höchstens 13 befallen sind.
Parameterdarstellung von Geraden
Die Gerade g durch den Punkt A in Richtung des Vektors u beschreibt
X A · u
mit
.
Zu jedem reellen Parameterwert gibt es einen Punkt X der Geraden. Wir nennen
A auch Stützpunkt von g.
Sind von einer Geraden zwei Punkte A und B bekannt, so
wählt man einen der beiden Punkte als Stützpunkt. Als
Richtungsvektor u nimmt man den Verbindungsvektor
AB oder einen dazu parallelen Vektor.
Beispiel:
A
B
g
X
A
O
Gerade durch A(1 |2 | 3) und B(3 | 2 |1)
31
X
B
u
2
( )( )
( ) ( )
Richtungsvektor: u AB B A 22 4
13
4
1
2
Gerade AB: X 2 4
3
4
195
Grundwissen
Ebenengleichungen
Parameterform
Anstatt „u ist kein Vielfaches von v“ sagt man auch „u
und v sind linear unabhängig“. Damit die Gleichung
X A · u · v mit , eine Ebene beschreibt, müssen die Richtungsvektoren
u und v linear unabhängig sein.
X
v
A
u
X
A
O
n
Normalenform
A ist ein Punkt und n ein Normalenvektor der Ebene E:
n (X A) 0
Die ausmultiplizierte Form n1x1 n2x2 n3x3 c 0
heißt auch Koordinatenform.
XE
A
A
Ebene E durch A(1 | 2 | 3), B(3 |1 |2) und C(2 |0 | 2)
Parameterform
Koordinatenform
Beispiel:
X
2
1
1
1
2
1
( )
( )
() ( ) ( )
u AB 1
2
3
·
; v AC 2
1
1
·
n AB×AC E
2
1
1
1
2
1
X
O
1
1
3
( )( ) ( )
×
x1 x2 3x3 c 0
A einsetzen: 1 2 9 c 0 c 8
x1 x2 3x3 8 0
1
2
1
Umrechnen der Formen einer Ebengleichung ineinander
Von einer Parameterform zu einer Koordinatenform
2
Beispiel:
3
1
() () ( )
X 1 · 2 · 2 ;
0
1
3
1
0
2x1 x2 8x3 c 0
A(2|1 |0) einsetzen: 4 1 0 c 0
E: 2x1 x2 8x3 5 0
2
1
8
()( ) ( )
n u×v 2 × 2 1
0
c 5
Von einer Koordinatenform zu einer Parameterform
Setzen wir jeweils eine Koordinate von n gleich 0, vertauschen die beiden anderen Koordinaten und wechseln dabei ein Vorzeichen, erhalten wir u und v:
Beispiel:
3x1 2x2 x3 7 0
3
0
1
1 ; v
0
2
3
() ( ) ( )
() ( ) ( )
n 2
1
u
Mit x1 0; x2 0 ergibt sich der Punkt A(0 |0 |7) der Ebene.
0
0
1
E: X 0 · 1 · 0
7
2
3
196
Grundwissen
Abstände
Abstand eines Punktes P von einer Ebene E
Dividieren wir die Koordinatenform durch den Betrag des Normalenvektors, erhalten wir die Hesse’sche Normalenform (HNF) der Ebene E:
1
(n x n2x2 n3x3 c) 0
|n| 1 1
Setzen wir in die linke Seite der HNF die Koordinaten eines Punktes P ein, bekommen wir bis auf das Vorzeichen seinen Abstand d(P, E) von der Ebene E.
E: 2x1 3x2 6x3 7 0; P (1 |2 |3)
(2x1 3x2 6x3 7) 0 d(P, E) | 17 (2 6 18 7) | 1
Beispiel:
HNF:
1
7
Abstand eines Punktes P von einer Geraden g
Der Fußpunkt F des Lots von P auf g ist der Punkt X,
für den PX auf g senkrecht steht.
g
u
F
X
Beispiel:
P(1|0 | 3); g: X 0
1
2
1
0
1
() ( )
·
PX 1
1
5 ( )
PX
P
PX u 0 1 5 0 3
Lotfußpunkt F(3 |1 | 1) d(P, g) |PF | 3
Winkel
Als Schnittwinkel bezeichnet man stets nicht stumpfe Winkel. Deshalb verwenden
wir bei ihrer Berechnung stets den Betrag des Skalarpodukts.
Schnittwinkel zwischen Gerade g und Ebene E
Diesen liefert der Winkel 90° zwischen n und u.
E: 2x1 2x2 x3 3 0; g: X 1
2
3
g
u
E
90°
–ϕ
ϕ
Beispiel:
cos(90° ) n
0
3
4
g'
() ()
·
nu
064
2
3·5
15
|n| · |u|
90° 82,3°
Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen E1 und E2
Da die Normalenvektoren auf den Ebenen senkrecht stehen,
schließen diese auch den Schnittwinkel der Ebenen ein.
Beispiel:
7,7°
n2
n1
E2
ψ ψ
E1
E1: 2x1 2x2 x3 3 0; E2: 3x2 4x3 12 0
cos
n1 n2
064
2
3·5
15
|n1 | · |n2 |
82,3°
197