Flussdiagramm der ökonometrischen Methode

Flussdiagramm der ökonometrischen Methode
Sach−
verhalt
phäno−
menologische
Modellierung
oder
z.B
Sättigungs−
modell
Spezifikation des
ökonometrischen
Modells
z.B
linear
exogene Variable
endogene Variable
Parameter−
schätzung
Parameter
Unbestimmter
Term
geschätztes
Modell
Schätzer für
alle Parameter
Daten
Varianzen und
Kovarianzen der
Schätzer
Hypothesentest
z.B. Anstiegsparameter < 0
Prognose
Extrapolation
auf x ungleich
Datenwerte
Modellspezifikation I: Funktionale Spezifikation 1
Nutzung
ÖPNV
β0
y
x 2 Geschwin−
digkeit
y
111111111111
000000000000
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
β111111111111
000000000000
2
000000000000
111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000
111111111111
β1
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000
111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000
000000000000000000000000000000000000000000111111111111
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000
111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000
000000000000000000000000000000000000000000111111111111
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
ÖPNV−
Fahrleistung
y
x1
Preis
^y(x , x )
1
2
Stadt i
Preis
x1
ÖPNV−
Fahrleistung
x2
Geschwindigkeit
1. Alle relevanten Einflussfaktoren sind berücksichtigt (oben, nicht aber unten)
Modellspezifikation I: Funktionale Spezifikation 2
.
^y(x)
wahrer
Zusammenhang
y
^y (x)
lin
data
falscher
linearer
Zusammenhang
x
2. Das Modell ist linear, was hier nicht erfüllt ist
Modellspezifikation I: Funktionale Spezifikation 2
y
y
^y(x)
^y(x)
data
x=
z
data
x
Manchmal kann das Modell durch Transformationen der exogenen und/oder
endogenen Variablen linearisiert werden
z
Modellspezifikation I: Funktionale Spezifikation 3
y
Verkehrstote
^y(x)
Strukturbruch!
^y(x)
data
1970
1990
2010
3. Homogenitätskriterium (z.B. kein Strukturbruch im Raum der exogenen
Variablen, wie hier gezeigt)
x
Modellspezifikation II: Statistische Spezifikation 1
y
y
^y(x)
^y(x)
data
data
x
1. Der Erwartungswert der Störgröße muss verschwinden.
x
Modellspezifikation II: Statistische Spezifikation 2
y
y
^y(x)
^y(x)
data
data
x
2. Der Residualterm ǫ ist homoskedastisch (rechts),
nicht etwa heteroskedastisch (links)
x
Modellspezifikation II: Statistische Spezifikation 3
y
y
^y(x)
^y(x)
data
data
x
Keine Korrelationen von ǫ bezüglich xi oder y (rechts),
während das Modell links fehlspezifiziert ist
x
Modellspezifikation II: Statistische Spezifikation 4
y
y
^y(x)
data
^y(x)
data
x
Der Residualterm ǫ ist gaußverteilt (rechts),
nicht etwa bimodal verteilt (links)
x
Modellspezifikation III: Datenspezifikation
y
x2
nicht OK
nicht OK
data
x1
x
x2
OK
x1
Keine der exogenen Variablen darf sich als Linearkombination aus Konstanten und
anderen exogenen Variablen darstellen lassen (oben); nichtperfekte Korrelationen
sind aber erlaubt (unten)
Lineares Modell mit zwei exogenen Variablen (schematisch)
Nutzung
ÖPNV
β0
y
x 2 Geschwin−
digkeit
1111111111111
0000000000000
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
β2
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000
1111111111111
β
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000
1111111111111
1
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000
1111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000
1111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000000000000000000000000000000001111111111111
111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000
^y(x , x )
1
2
Stadt i
Preis
Die Daten gehorchen hier dem linearen Modell exakt!
x1
Konfidenzintervalle und die Entstehung der
Student-Verteilung
^
2σ
β
.
1. Stichprobe
2. Stichprobe
8. Stichprobe
f(t)
^
f( β )
Gaußverteilung
t−Verteilung
β
Dichte f
1. Stichprobe
^
β
−1
0
Eine geschätzte
Standardabw.
Chi 2 − Verteilung
^
2σ
β
1 Abweichung
t
in Einheiten
der geschätzten
Standardabw.
^
β−β
^σ
β
Dichten der Standardnormal vs. Student-t-verteilung
0.4
Standardnormalverteilung
Student−Verteilung mit ν=1 FG
Student−Verteilung mit ν=2 FG
Dichtefunktion fz(z) bzw. ft(t)
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−2
−1
0
1
2
z bzw. t
3
4
5
6
Standardnormal vs. Student-t-verteilung
Verteilungsfunktion Fz(z) bzw. Ft(t)
1
0.8
0.6
Standardnormalverteilung
Student−Verteilung mit ν=1 FG
Student−Verteilung mit ν=2 FG
z
(1)0.95
t 0.95
0.4
0.2
0
−2
−1
0
1
2
z bzw. t
3
4
5
6
Konfidenzintervalle
Konfidenzintervall zu H0: β1/2 und σ wie geschätzt unter α=0.05
Konfidenzintervall zu H0: β1/2 und σ wie geschätzt unter α=0.05
0.4
1
0.35
Dichte
Konfidenzintervall
0.8
Verteilungsfunktion F(t)
Dichtefunktion f(t)
0.3
F
KI
F=0.05
F=0.95
0.25
0.2
0.15
0.1
0.6
0.4
0.2
0.05
0
−4
−3
−2
−1
0
1
Testvariable t
2
3
4
0
−4
−3
−2
−1
0
1
Testvariable t
KI zu einer Fehlerwahrscheinlichkeit α = 5 % für
n − J − 1 = 2 Freiheitsgrade.
2
3
4
Fehler erster und 2. Art allgemein
H 0 nicht abgelehnt
H 0 trifft zu
H 0 trifft nicht zu
H 0 abgelehnt
Fehler
erster Art
Fehler
zweiter Art
Definition der Fehler erster und zweiter Art bei Signifikanztests
Fehler erster und 2. Art bei H0: β ≤ β0
Wahrscheinlichkeit
1
0.8
α−Fehler
β−Fehler
Gütefunktion
0.6
0.4
0.2
0
−4
−2
0
∆Z=(β−β0)/σβ
2
4
Einseitiger Test auf <, ≤ in Abhängigkeit des skalierten Abstandes
∆z = (βj −β0j )/σβ̂j des wahren Parameterwertes vom Grenzwert
der Nullhypothese (bekannte Varianz des Schätzers, α = 0.1)
Fehler erster und 2. Art bei H0: β ≤ β0
Wahrscheinlichkeit
1
0.8
α−Fehler
β−Fehler
Gütefunktion
0.6
0.4
0.2
0
−4
−2
0
∆T=(β−β0)/sβ
2
4
Das Gleiche bei unbekannte Varianz und n − J − 1 = 2 Freiheitsgraden. Der
skalierte Abstand ist nun ∆t = (βj − β0j )/σ̂β̂j .
Fehler erster und 2. Art bei H0: β ≥ β0
Wahrscheinlichkeit
1
α−Fehler
β−Fehler
Gütefunktion
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−4
−2
0
∆Z=(β−β0)/σβ
Einseitiger Test auf >, ≥
(bekannte Varianz, α = 0.1)
2
4
Fehler erster und 2. Art bei H0: β ≥ β0
Wahrscheinlichkeit
1
α−Fehler
β−Fehler
Gütefunktion
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−4
−2
0
∆T=(β−β0)/sβ
2
4
Einseitiger Test auf >, ≥
(unbekannte Varianz, n − J − 1 = 2 Freiheitsgrade, α = 0.1)
Fehler erster und 2. Art bei H0: β = β0
Wahrscheinlichkeit
1
0.8
0.6
α−Fehler
β−Fehler
Gütefunktion
0.4
0.2
0
−4
−2
0
∆T=(β−β0)/sβ
2
4
Zweiseitiger Test auf Gleichheit
(unbekannte Varianz, n − J − 1 = 2 Freiheitsgrade, α = 0.1)
Fehler erster und 2. Art allgemein
P(t<t α/2)= α/2
α/2
P(t>t 1−α/2 )=
w
t= 0
t
Ablehnungs−
bereich
t α/2
Annahme−
bereich
Ablehnungs−
bereich
t 1−α/2
Annahme- und Ablehnungsbereiche bei zweiseitigen Tests (Tests einer
Punkt-Hypothese). Die Verteilungsfunktion ist nur bei Zutreffen von H0 gültig!
Parameter-Schätzfehler (bedingte W-Dichte)
bei linearer Einfachregression
n=20; Standardabweichung des Residualfehlers: σε=3
0.6
abhaengige Variable y
10
0.5
8
6
0.4
4
0.3
2
0.2
2σ ε
n
0
0.1
-2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
unabhaengige Variable x
Die Residualfehler sind i.i.d. verteilt
10
12
Konkretes Beispiel: ÖPNV-Nutzung bei 10 Städten
β0+β1 x1+β2 x2
Daten
εi
y
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
45
40
35
30
1
25
1.5
20
2
x1
x2
15
2.5
3
10
Türkisgrünen Striche: unbestimmten Anteile ǫi
(positiv, wenn Über dem Datenpunkt)
Projizierte Streudiagramme
45
Geschwindigkeit x2 (km/h)
40
Die exogenen Variablen
sind korreliert, aber
nicht perfekt kolinear
35
30
25
20
1
1.5
2.5
3
280
Daten
Einfachregression(x1)
Mehrfachregression(x1,x2)
260
Fahrgastzahlen y (Fahrten/Person/Jahr)
Fahrgastzahlen y (Fahrten/Person/Jahr)
280
2
Fahrpreis x1 (Euro)
240
220
200
180
160
140
120
100
Daten
Einfachregression(x1)
Mehrfachregression(x1,x2)
260
240
220
200
180
160
140
120
100
1
1.5
2
Fahrpreis x1 (Euro)
2.5
3
10
15
20
25
30
35
Geschwindigkeit x2 (km/h)
40
x1=Preis (Euro), x2=Geschwindigkeit (km/h), y = Nutzungszahl
45
Akzeptanzintervalle des Teilmodells M1 (nur x1)
hat y(x1|Modell 1)
x1quer,yquer
y (Fahrten/Jahr/Person)
2.5% und 97.5%−Quantile
280
0.07
260
0.06
240
0.05
220
200
0.04
180
0.03
160
0.02
140
120
0.01
100
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x1 (Euro/Fahrt)
4
4.5
5
Konfidenzintervall zu H01: β1 = β̂1 = 70 (volles Modell)
Konfidenzintervall zu H0: β1 und σ wie geschätzt und α=0.05
0.04
Dichte
Konfidenzbereich
Dichtefunktion f(hat β1)
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
−100
−90
−80
−70
−60
hat β1
−50
−40
−30
−20
Konfidenzintervall zu H0: β1 und σ wie geschätzt und α=0.05
Verteilungsfunktion F(hat β1)
1
F
KI
F=0.025
F=0.975
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−100
−90
−80
−70
−60
hat β1
−50
−40
−30
−20
Konfidenzintervall zu H02: β2 = β̂2 = 6.5 (volles Modell)
Konfidenzintervall zu H0: β2 und σ wie geschätzt und α=0.05
0.35
Dichtefunktion f(hat β2)
0.3
Dichte
Konfidenzintervall
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
4
6
8
10
12
hat β2
Konfidenzintervall zu H0: β2 und σ wie geschätzt und α=0.05
Verteilungsfunktion F(hat β1)
1
F
KI
F=0.025
F=0.975
0.8
0.6
0.4
0.2
0
4
6
8
hat β2
10
12
Likelihoodfunktion der Anstiegsparameter
2d−Dichte hat βj unter H0: σ und βj wie gemessen
0.016
10
0.014
0.012
8
hat β2
0.01
6
0.008
0.006
4
0.004
2
H0 − Konfidenzregion F−Test
H0 − Konfidenzregion t−Test
0.002
0
0
−100
−80
−60
hat β1
−40
−20
0
Korrelation der Schwankungsbreiten von β̂1 und β̂2 :
rβ̂ ,β̂ = 0.60.
1
2
• t-Test:
Die
zwei
separaten
Nullhypothesen
H01 : β1 = β10
und
H02 : β2 = β20
sind beide erfüllt
• F -Test
für
verbundene
die
Nullhypothese
H0∗ : β1 = β10 ,
β2 = β20
Hotelbeispiel I: Geschätztes Modell und Residualfehler
β0+β1 x1+β2 x2
Daten
εi
y
120
100
80
60
40
20
20
40
x2
β0+β1 x1+β2 x2
120
100
80
60
40
20
1
1.5
x1
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Daten
εi
y
60
80
100
120
β0+β1 x1+β2 x2
4
2
2.5
3
3.5
x1
4
20
40
60
80
100
x2
Zwei Perspektiven der Ebene des deterministischen Teils des geschätzten Modells
ŷ = β̂0 + β̂1 x1 + β̂2x2 ,
mit β̂0 = 25.5, β̂1 = 38.2 und β̂2 = −0.953 sowie die Abweichung ǫi = yi − ŷi
der Datenpunkte vom Modell
120
Hotelbeispiel II: Zweidimensionale Konfidenzregionen
Konfidenzintervalle T−Test β1, β2
Konfidenzintervalle T−Test GamH01, GamH02
Grenze Test β1 + 30 β2<0
0
Konfidenzregion F−Test
Verbundene Nullhypothese H01
Verbundene Nullhypothese H03
1
0.9
−0.2
0.8
−0.4
β2 − Schätzer
Konfidenzregion
0.7
−0.6
0.6
−0.8
0.5
−1
0.4
−1.2
0.3
−1.4
0.2
−1.6
0.1
0
20
25
30
Verbundene Nullhypothesen:
35
40
β1 − Schätzer
45
50
• = H01 : β10 = 30 und β20 = −1
△ = H02 : β10 = 34 und β20 = −1
Hotelbeispiel III: Falsch geschätzt!
β1 und β2 um ∆β1 bzw. − ∆β2 verschoben
β1 und β2 um ∆β1 bzw. ∆β2 verschoben
Endogene Variable y
100
120
ydach(x1=1 Stern, x2)
ydach (x1=2 Sterne, x2)
ydach (x1=3 Sterne, x2)
ydach (x1=4 Sterne, x2)
100
Endogene Variable y
120
80
60
ydach(x1=1 Stern, x2)
ydach (x1=2 Sterne, x2)
ydach (x1=3 Sterne, x2)
ydach (x1=4 Sterne, x2)
80
60
40
40
20
20
20
40
60
80
Exogene Variable x2
100
20
120
120
ydach(x1=1 Stern, x2)
ydach (x1=2 Sterne, x2)
ydach (x1=3 Sterne, x2)
ydach (x1=4 Sterne, x2)
100
Endogene Variable y
Endogene Variable y
100
60
80
Exogene Variable x2
100
120
β1 und β2 um − ∆β1 bzw. +∆β2 verschoben
β1 und β2 um − ∆β1 bzw. − ∆β2 verschoben
120
40
80
60
ydach(x1=1 Stern, x2)
ydach (x1=2 Sterne, x2)
ydach (x1=3 Sterne, x2)
ydach (x1=4 Sterne, x2)
80
60
40
40
20
20
20
40
60
80
Exogene Variable x2
100
120
20
40
60
80
Exogene Variable x2
100
120
Übereinstimmung zwischen Modell und Daten für vier verschiedene
Parametrisierungen
Hotelbeispiel IV: F-Test zweier verbundenen Nullhypothesen
Kumulierte Fisher−F−Verteilung F
2,n−3
(f)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Realisierter f−Wert bei β10=30,β20=−1
Realisierter f−Wert bei β10=34,β20=−1
F=0.95
0
0
2
4
6
8
10
12
14
f
Verbundene Nullhypothesen:
• = H01 : β10 = 30 und β20 = −1
△ = H02 : β10 = 34 und β20 = −1
Logistische Regression
mit naiver LSE-Schätzung der log-Odd-Ratios:
RC-Umfrage WS14/15 und WS15/16 kumuliert
Unbeobachtete Variable
y ∗ = ln(f1 /(1 − f1 ))
Daten und Ergebnis
mit 4 Entfernungsklassen
3.5
3
0.9
2.5
0.8
2
y*=ln(f/(1−f))
Modal Split OEV/MIV zusammen [%]
1
0.7
0.6
1.5
1
0.5
0.5
0
0.4
−0.5
Daten
Logistische Regression
0.3
0
1
2
3
Entfernung x1 [km]
4
−1
5
β0 = −0.58,
Daten
Logistische Regression
0
β1 = 0.79
1
2
3
Entfernung x1 [km]
4
5
Logistische Regression
mit naiver LSE-Schätzung der log-Odd-Ratios:
5. Datenpunkt addiert mit f=0.9999
Unbeobachtete Variable
y ∗ = ln(f1 /(1 − f1 ))
1
16
0.9
14
0.8
12
0.7
10
0.6
8
y*=ln(f/(1−f))
Modal Split OEV/MIV zusammen [%]
Daten und Ergebnis
mit 4 Entfernungsklassen
0.5
0.4
6
4
0.3
2
0.2
0
0.1
−2
Daten
Logistische Regression
0
0
1
2
3
4
5
Entfernung x1 [km]
6
7
−4
8
9
β0 = −3.12,
Daten
Logistische Regression
0
1
β1 = 2.03
2
3
4
5
Entfernung x1 [km]
6
7
8
9
Vergleich: “echte” Maximum-Likelihood-Schätzung
Alternativen 0 (kein ÖV) und 1 (ÖV)
Vi (r) = β0 δi1 + β1 rδi1
1
Relative Haeufigkeit OEV/MIV
0.9
0.8
0.7
β0 = −0.50 ± 0.65,
β1 = +0.71 ± 0.30
0.6
0.5
0.4
Daten OEV/MIV
Modell
0.3
0
1
2
3
Entfernung [km]
4
5
Vergleich: “echtes” Maximum-Likelihood-Schätzung
mit 5. Datenpunkt
Alternativen 0 (kein ÖV) und 1 (ÖV)
Vi (r) = β0 δi1 + β1 rδi1
1
Relative Haeufigkeit OEV/MIV
0.9
0.8
0.7
β0 = −0.55 ± 0.63,
β1 = +0.75 ± 0.27
0.6
0.5
0.4
Daten OEV/MIV
Modell
0.3
0
2
4
6
Entfernung [km]
8
10