Grundbildung Analysis Blatt 9 WiS 2016/17 — H. Kiechle, S. Koch Präsenzaufgaben 48. Gegeben seien die rationalen Funktionen f (x) := x2 − 1 x3 − 3x + 2 und g(x) := x3 − 3x + 2 x2 − 1 (a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der beiden Funktionen. (b) Untersuchen Sie die Grenzwerte x → x0 für alle Stellen x0 an denen f bzw. g nicht definiert sind. (c) Was kann man zur Stetigkeit der Funktionen sagen? (d) ♦ Bestimmen Sie die Asymptoten von g . 49. Wahr oder falsch? (a) Jede bijektive Funktion ist stetig. (b) Eine stetige Funktion ist immer surjektiv. (c) Polstellen sind Unstetigkeitsstellen. (d) sin und cos sind stetige Funktionen. (e) sin und cos sind linear abhängig. Hausaufgaben 50. Bestimmen Sie Nullstellen und Pole der rationalen Funktionen f (x) = x2 + 2x − 3 x2 + x − 6 und g(x) = Welche Definitionslücken sind stetig ergänzbar? x3 + x2 − 5x + 3 x2 + 2x − 3 Skizzieren Sie g . bitte wenden! 51. Die Zahl π Ergänzen Sie nebenstehende Wertetabelle aus der Vorlesung (mit Begründung). Leiten Sie alleine unter Verwendung der Tabelle, der Additionstheoreme und der Symmetrieeigenschaften folgende Aussagen her. (a) sin(x + 2π) = sin(x) und x 0 sin x cos x 0 1 π π 2 1 0 0 −1 3π 2 2π cos(x + 2π) = cos(x) sin(π − x) = sin(x) und cos(π − x) = − cos(x) π π (c) cos(x) = sin −x und sin(x) = cos −x 2 2 (d) Welche Bedeutung hat (c) für die Graphen der Funktionen sin und cos ? (b) 52. Additionstheoreme und eine Anwendung (a) Leiten Sie aus der Beziehung exp(ix) = cos x + i sin x und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Additionstheoreme (siehe Satz (19.3.3)) für cos und sin her. (b) Leiten Sie daraus Formeln für sin(2x), cos(2x) und sin(3x) ab, in denen nur cos x, sin x und ganze Zahlen vorkommen (bei sin(3x) kein cos). x 3 x − 4 sin . (c) Zeigen Sie: sin(x) = 3 sin 3 3 (d) Für x ∈ ]−1, 1[ kann man sin sehr effizient durch eine Partialsumme annähern. Bei der 1 k -ten Partialsumme ist der Fehler kleiner als (2k+3)! (kein Beweis verlangt). Begnügt man 1 sich mit einem Fehler < 100 , braucht also man nur zwei Summanden (erste Partialsumme!). Bestimmen Sie eine Näherung für sin(1.5) auf zwei Wegen: i. indem Sie die Potenzreihe für sin(0.5) benutzen und dann (c). ii. indem Sie direkt in die Reihe einsetzen; auch mit mehr Summanden. iii. (4 Zusatzpunkte) Wie könnte man einen Rechner programmieren, um die Funktionen sin und cos (näherungsweise) auszurechnen? Benutzen Sie dazu auch die Ergebnisse aus Aufgabe 51.