4. Mathematikschulaufgabe - mathe-physik

Realschule
4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / I
Zeit: 90 Minuten
G<€x€
1.0
Gegeben ist die Parabel p mit der Gleichung y = - x2 - 2x + 3
1.1
Zeichne den Graphen von p in ein Koordinatensystem und ergänze die Zeichnung
fortlaufend.
Für die Zeichnung: - 5 ′ x ′ 4;
-8′y′7
1.2
Durch spiegeln der Parabel p an der x-Achse erhält man die Parabel p1. Berechne
deren Gleichung und bringe sie auf die Scheitelform.
1.3
Berechne die Fixpunkte dieser Abbildung.
1.4
θ ∑ 0 ⌡
Verschiebe die Parabel p1 mit dem Vektor v < 
.
 , 3
Gib die Gleichung der Bildparabel p2 an.
1.5
Zeige rechnerisch, daß es eine Abbildung gibt, die p direkt auf p2 abbildet.
Gib diese Abbildungsgleichung an.
2.0
Die Punkte A(-2a+3 / a-3); B(4a+1 / 2a-1); C(2a / 8a-3) und D(-4a+2 / 7a-5)
mit a ⊆ € spannen Parallelogramme ABCD auf.
2.1
Zeichne die Vierecke ABCD für a ⊆ { -1; 0; 2 } in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung:
- 4 ′ x ′ 5;
-6′y′7
1cm = 2 LE
2.2
Zeige rechnerisch, daß die Vierecke ABCD Parallelogramme sind, und berechne
den Diagonalenschnittpunkt Z in Abhängigkeit von a.
2.3
Berechne die Fläche der Parallelogramme in Abhängigkeit von a. Gib die
Belegung von a an, für die die Fläche 110 FE groß ist.
2.4
Berechne den Winkel, den die Diagonalen der Parallelogramme für a = - 1,5
einschließen.
2.5
Bei welchen Belegungen von a ist das Viereck ABCD ein Rechteck, bei
welchen eine Raute?
3.0
Gegeben ist die Parabel p1 mit der Gleichung y = - 0,5x2 + 3x -1 mit G < € x € .
p1 ist aus der Parabel p mit dem Scheitel S(x / - 7) durch eine orthogonale
Affinität mit der x - Achse als Affinitätsachse hervorgegangen.
3.1
Berechne die Matrix für die Abbildung p  
↑ p1 und die Gleichung der
Parabel p.
3.2
Die Parabel p1 wird an der y - Achse gespiegelt. Berechne die Gleichung der
Bildparabel p2.
3.3
Die beiden Abbildungen können durch eine zentrische Streckung p  ↑ p 2
ersetzt werden. Berechne k und die Koordinaten des Zentrums Z.
3.4
Zeichne die Graphen der Parabeln p, p1 und p2 in ein Koordinatensystem und
bestätige die Abbildung in 3.3 geometrisch.
Für die Zeichnung: - 7 ′ x ′ 7;
-8′y′5
y<0 ; k
Z; k
RM_A0014 **** Lösungen 6 Seiten (RM_L0014)
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Klasse 10 / I
↑ ∑ , 1,5 ⌡
↑
∑ 3k ⌡
∗
1.0 Die Pfeile ABn < 
mit
k
⊆
€
und
AD
<

 legen die Eckpunkte der
 k ∗ 1
 3 
Parallelogramme ABnCnD mit A ( 0 / 0 ) fest.
1.1 Zeichne die Parallelogramme AB1C1D für k = 1 und AB2C2D für k = 2 in ein
Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: - 8 ′ x ′ 8;
-1′y′8
1.2 Stelle die Koordinaten der Eckpunkte Cn in Abhängigkeit von k dar und bestimme
den Trägergraph g der Eckpunkte Cn.
1.3 Zeige algebraisch, daß für k = 2 ein Rechteck entstanden ist.
1.4 Berechne den Winkel C1B1A = α im Parallelogramm für k = 1.
1.5 Der Trägergraph g der Eckpunkte C mit y <
1
3
x ∗ 4,5 wird mit der x-Achse als
Scherungsachse und dem Scherungswinkel ι = 45° auf g´ abgebildet.
Ermittle die Gleichung von g´ algebraisch und überprüfe konstruktiv.
1.6 Berechne die Koordinaten des Bildpunktes D´, auf den D durch die Scherung
abgebildet wird und zeichne D´ ein. Unter der Schar der Bildparallelogramme
AB´nC´nD´ mit C´n ⊆ g´ gibt es Rauten. Berechne die Koordinaten der
Eckpunkte C´n dieser Rauten.
2.0 Eine Gerade g1 mit der Gleichung y < 1 x wird durch Drehung um den Punkt
3
O ( 0 / 0 ) auf die Gerade g2 mit y = 2x abgebildet.
2.1 Zeichne beide Geraden in ein Koordinatensystem und ermittle rechnerisch den
Drehwinkel.
Für die Zeichnung: - 1 ′ x ′ 11;
-1′y′8
2.2 Die Punkte A(1,5 / ?) ⊆ g1 , B(? / 3) ⊆ g1 und Cn ⊆ g2 bestimmen Dreiecke ABCn .
Zeichne das Dreieck ABC0 mit Ρ BAC0 = 60° in das Koordinatensystem ein.
Berechne die Koordinaten von C0 .
2.3 Unter den Dreiecken ABCn gibt es zwei rechtwinklige Dreiecke ABC1 und ABC2
(rechter Winkel bei C1 bzw. C2). Zeichne beide Dreiecke in das Koordinatensystem und berechne die Koordinaten der Punkte C1 und C2 .
3.0 Gegeben ist eine Schar gleichschenkliger Dreiecke mit den Schenkellängen
AC < BC < 5 cm . Das Maß  des Basiswinkels ist variabel.
3.1 Zeichne die Dreiecke A1B1C für 1 = 40° ( Ρ B1A1C) und A2B2C für 2 = 65°
(gemeinsame Symmetrieachse).
3.2 Bestimme den Flächeninhalt A der Dreiecke ABC in Abhängigkeit von  .
3.3 Für welche Belegung von  wird der Flächeninhalt am größten? (Begründung)
3.4 Für welche Werte von  wird der Flächeninhalt kleiner oder gleich 2,5 cm2 ?
3.5 Die Dreiecke rotieren um ihre Symmetrieachse. Ermittle die Oberfläche der entstehenden Kegel in Abhängigkeit von .
3.6 Für welchen Winkel wird die Oberfläche 25 ο cm2 groß? (Runde auf zwei Stellen
nach dem Komma).
RM_A0015 **** Lösungen 5 Seiten (RM_L0015)
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Klasse 10 / I
Alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma runden
∑ xϒ ⌡ ∑ 35 , 54 ⌡ ∑ x ⌡
1.0 Durch die Abbildungsvorschrift   <  4 3  δ   wird das Dreieck ABC
 yϒ   , 5 , 5   y 
mit A ( - 2 / - 4 ) , B ( 5 / 0 ) und C ( - 1 / 3 ) auf das Dreieck A´, B´, C´ abgebildet.
1.1 Berechne die Koordinaten der Bildpunkte A´, B´ und C´.
1.2 Fertige eine Zeichnung an.
Platzbedarf:
- 4 ′ x ′ 6;
-5′y′5
1.3 Bestimme rechnerisch alle Fixpunkte der Abbildung und zeichne diese ein.
1.4 Zeige rechnerisch, daß alle Geraden der Geradenschar g(t) mit y = 2x + t auf sich
selbst abgebildet werden.
2.
Einem geraden Kreiskegel mit dem Grundkreisradius
r0 = 3 cm und der Höhe h0 = 9 cm werden auf der Spitze
stehende gerade Kreiskegel einbeschrieben. Die Spitzen
aller einbeschriebenen Kegel fallen mit dem Höhenfußpunkt des ursprünglichen Kegels zusammen. Der Öffnungswinkel eines einbeschriebenen Kegels hat das Maß α,
der Grundkreisradius mißt x cm und die Höhe h cm.
α
Stelle h, x und das Volumen der einbeschriebenen Kegel
in Abhängigkeit von α dar.
∑ k ⌡
∑ k ⌡
↑
↑
3.0 Durch die Vektoren OPn <  1 2  und OR n <  1 2  mit k ⊆ € \ {0}
, 4 k 
2k 
sind Parallelogramme OPnQnRn mit O ( 0 / 0 ) festgelegt.
3.1 Zeichne die Parallelogramme für k ⊆ { -3; -1; 2; 4 } in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: -7 ′ x ′ 9;
-5 ′ y ′ 9
3.2 Berechne den Trägergraph für die Punkte Qn .
3.3 Für welche Werte von k entstehen Rechtecke?
3.4 Begründe rechnerisch: Unter den Parallelogrammen gibt es keine Raute.
3.5 Berechne das Maß λ des Winkels P4OR4 für k = 4.
3.6 Die Punkte P werden durch orthogonale Affinität mit der Affinitätsachse y = 0
so auf Punkte P´ abgebildet, daß die Punkte P´ auf der Normalparabel y = x2
liegen. Berechne den Affinitätsfaktor a.
4.
∑ xϒ ⌡ ∑ x ⌡ ∑ ο2 ⌡
Gegeben ist die Funktion f mit y = cos x und die Abbildung   <   ⊗  
 yϒ   y   1 
Berechne die Gleichung der Bildfunktion f ´ und zeichne diese.
RM_A0016 **** Lösungen 7 Seiten (RM_L0016)
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Klasse 10 / I
1.0 Gegeben ist die Funktion f mit y < 1 √ 3 x ,1 ∗ 2 .
G<€x€
2
1.1 Gib die Definitions- und Wertemenge an.
1.2 Erstelle eine Wertetabelle für x ⊆ [ - 4; 3 ] mit Χx = 1.
1.3 Zeichne die Funktion f in ein Koordinatensystem.
- 5 < x < 5;
-6<y<6
1.4 Der Graph der Funktion f wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als
Affinitätsachse und dem Affinitätsfaktor a = - 0,5 abgebildet. Berechne die Gleichung
von f ´ und zeichne f ´ ins KOS ein. ( Ergebnis: y < , 41 √ 3 x,1 , 1 )
1.5 Die Punkte An auf dem Graphen zu f und die Punkte Bn auf dem Graphen zu f ´ haben
die gleiche Abszisse x. Berechne A nBn ( x) und bestimme anschließend den Wert x0
so, daß A 0B 0 < 4 LE gilt.
1.6 Ermittle rechnerisch die nach y aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion f -1 und
zeichne diese ins Koordinatensystem ein.
1.7 Die Funktion f wird durch Punktspiegelung an Z ( 1 / 2 ) auf die Funktion f * abgebildet.
Berechne die nach y aufgelöste Gleichung von f *.
∑ 4 sin ⌡
↑
↑
,2
2.0 Die Pfeile OA <  1  und OC < ∑ ⌡
mit  ⊆ ] 0°; 90° ]


 1
 sin  
spannen Parallelogramme OABC mit O ( 0 / 0 ) auf.
↑
2.1 Berechne die Koordinaten der Pfeile OA für  ⊆ { 15°; 65° } .
Zeichne die zugehörigen Parallelogramme in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung:
- 3 < x < 4;
-1<y<6
2.2 Stelle die Koordinaten der Eckpunkte B in Abhängigkeit von  dar.
2.3 Unter den Parallelogrammen OABC gibt es ein Rechteck. Ermittle die zugehörige
Belegung von . Trage das Rechteck in die Zeichnung ein.
2.4 Die Eckpunkte A liegen auf dem Graphen der Funktion y < 4 . Ermittle durch
x
Rechnung die Gleichung des Graphen f ´, auf dem die Eckpunkte B liegen.
2.5 Weise durch Rechnung nach, daß der Graph f ´ durch Parallelverschiebung mit dem
θ
,2
Vektor v < ∑ ⌡ aus dem Graphen f entsteht.
 1
2.6 Zeige, daß sich der Flächeninhalt A der Parallelogramme OABC wie folgt in Abhängig-
∋
keit von  darstellen läßt: A() = 4 √ sin  ∗
2
sin 
( FE .
Berechne dann diejenigen Belegungen von , zu denen Parallelogramme OABC mit
dem Flächeninhalt 6 FE gehören.
2.7 Stelle die Länge OA der Parallelogrammseite [OA] in Abhängigkeit von  dar und
bestimme OA für  = 45°. Berechne dann das Maß des Winkels AOC für  = 45°.
RM_A0017 **** Lösungen 6 Seiten (RM_L0017)
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Klasse 10 / I
1.0 Eine Abbildung hat die folgende Abbildungsvorschrift:
x´ = - 0,6 x + 0,8 y
¬ y´ = 0,8 x + 0,6 y
1.1 Ermittle rechnerisch alle Fixpunkte der Abbildung.
1.2 Stelle die Abbildungsvorschrift in der Matrixform dar, und gib an, um welche
Abbildung es sich handelt.
1.3 Berechne die Koordinaten des Urpunktes A zum Bildpunkt A´( - 5 / 3 ) .
1.4 Überprüfe anhand des Winkels QPR mit Q ( 2 / 4 ) , P ( 2 / - 1 ) und R ( - 1 / 3 ) , ob die
Abbildung winkeltreu ist.
2.
Im Dreieck ABC mit A ( - 2 / 1 ) und B ( 4 / - 2 ) hat der Winkel BAC das Maß  = 70°,
die Seite [AC] hat die Länge 4,5 LE.
Berechne die Koordinaten des Punktes C (auf zwei Stellen nach dem Komma runden).
3.0 Rauten ABCD haben die Eckpunkte A ( x/ 0 ) und C ( x/ x + 2 ) . Für die Diagonalen gilt
AC < 2 √ BD .
3.1 Zeichne die geometrische Ortslinie der Eckpunkte C, sowie die Rauten, die sich für
x1 = 3 und für x2 = 1 ergeben.
Platzbedarf: - 2 ′ x ′ 9;
-1′y′8
3.2 Bestimme algebraisch die Gleichung der geometrischen Ortslinie der Punkte B.
3.3 Es gibt eine Raute, deren Eckpunkt B auf der Geraden mit der Gleichung
y = - 3x + 24 liegt. Zeichne die Raute ein und berechne die Koordinaten
ihrer Eckpunkte (auf zwei Stellen nach dem Komma runden).
4.0 Von einem Drachenviereck ABCD sind die Eckpunkte B ( 4 / - 1 , 5 ) und D ( - 2 / 6 , 5 )
gegeben. BD ist Symmetrieachse. Das Drachenviereck ist bei A und C
rechtwinklig. Die Diagonale AC verläuft durch O ( 0 / 0 ) .
4.1 Zeichne das Drachenviereck ABCD in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: - 5 ′ x ′ 7;
-3′y′8
4.2 Berechne die Koordinaten der Eckpunkte A und C.
4.3 Berechne die fehlenden Innenwinkel des Drachenvierecks ABCD.
RM_A0018 **** Lösungen 9 Seiten (RM_L0018)
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Klasse 10 / I
Alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma runden
1.0 Von einem Parallelogramm ABCD sind gegeben: die Eckpunkte A ( 1 / 2 ) und
B ( 5 / 0 ) , der Winkel BAD mit dem Maß  = 55°, sowie die Seitenlänge [BC] = 8 cm.
1.1 Zeichne das Parallelogramm ABCD in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung:
- 1 ′ x ′ 13;
-1′y′7
Längeneinheit 1 cm
1.2 Berechne die Koordinaten der Punkte C und D.
2.0 Die Punkte A ( 0 / 0 ) und C ( 6 / 4 ) sind Eckpunkte von Drachenvierecken ABnCDn mit
AC als Symmetrieachse. Der Punkt B liegt auf der Geraden g mit y = 0,25x - 1.
2.1 Zeichne ins Koordinatensystem die Gerade g sowie die drei Drachenvierecke
AB1CD1 mit B1( 2 / ? ) , AB2CD2 mit B2( 3 / ? ) und AB3CD3 mit B3( 4 / ? ) jeweils auf
der Geraden g.
Für die Zeichnung:
- 2 ′ x ′ 9;
-2′y′8
Längeneinheit 1 cm
2.2 Begründe, dass alle Punkte Dn auf einer Geraden liegen. Ermittle sodann rechnerisch
die Gleichung dieser Geraden.
2.3 Berechne die Koordinaten der Eckpunkte B0 und D0 des Drachenvierecks AB0CD0 ,
das beim Punkt D0 einen rechten Winkel besitzt.
2.4 Der Eckpunkt D* des Drachenvierecks AB*CD* soll auf der Parabel p mit der Gleichung
y = x2 - 2x +1 liegen. Ermittle die Lage der möglichen Eckpunkte D* und B*
zeichnerisch und durch Berechnung ihrer Koordinaten.
3.0 Die Spitzen C von gleichschenkligen Dreiecken ABC mit 6 cm langen Schenkeln liegen
auf der y-Achse, die Basis [AB] auf der x-Achse. Der Basiswinkel BAC hat das Maß  .
3.1 Zeichne die Dreiecke A1B1C1 für 1 = 20° und A2B2C2 für 2 = 70°, und zeichne jeweils
das Lot vom Koordinatenursprung auf die Seite [AC] ein.
3.2 Berechne den Abstand d() des Koordinatenursprungs von der Seite [AC] in
Abhängigkeit von .
3.3 Für welches Winkelmaß * erhält man die Lotstrecke mit maximaler Länge d* ?
Berechne d*.
3.4 Die Dreiecke ABC rotieren um ihre Symmetrieachse OC mit O ( 0 / 0 ) . Berechne den
Flächeninhalt A() der von der jeweiligen Lotstrecke überstrichenen Fläche in
Abhängigkeit von  (Kegelmantelfläche).
3.5 Untersuche mit Hilfe des Taschenrechners, ob sich für den größten Abstand d*
aus 3.3 auch für den Flächeninhalt A() in 3.4 ein Extremwert ergibt.
RM_A0019 **** Lösungen 6 Seiten (RM_L0019)
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Klasse 10 / I
1.0 Auf der Diagonalen [AC] des Parallelogramms ABCD
mit A ( 0 / - 2 ) , B ( 5 / 0 , 5 ) , C ( 6 / 1 0 ) und D ( 1 / 7 , 5 )
liegen die Punkte P und Q. Es gilt stets AP < CQ ,
so daß sich Parallelogramme PBQD ergeben.
1.1 Gib die Koordinaten der Punkte P und Q in Abhängigkeit vom Abszissenwert x des Punktes P(x/y)
auf [AC] an. ( Ergebnis: P (x / 2 x - 2 ) ; Q ( 6 - x / 1 0 - 2 x ) )
1.2 Das Parallelogramm P1BQ1D erhält man, wenn von B
und D aus jeweils das Lot auf die Diagonale [AC]
gefällt wird. Berechne die Koordinaten der Punkte P1
und Q1.
1.3 Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte P2 und Q2
des Rechtecks P2BQ2D.
2.0 Der Koordinatenursprung O ( 0 / 0 ) ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks OPQ
mit [PQ] als Basis. Es hat an der Spitze O den Winkel POQ mit 45°. Außerdem sollen
der Punkt P auf der Geraden g mit der Gleichung y = 0,25x - 1 und der Punkt Q auf
der Geraden h mit der Gleichung y = x + 2 liegen.
2.1 Zeichne die Geraden g und h in ein Koordinatensystem. Trage dann die gleichschenkligen Dreiecke OP1Q1 mit P1(2/-0,5), OP2Q2 mit P2(4/0) und OP3Q3 mit P3(6/0,5) ein,
für die jeweils Ρ PnOQn = 45° gilt.
Für die Zeichnung:
- 1 ′ x ′ 11;
-2′y′9
Längeneinheit 1 cm
2.2 Die Eckpunkte Q1, Q2 und Q3 der Dreiecke aus 2.1 liegen auf einer Geraden g´.
Zeichne g´ in das Koordinatensystem ein und ermittle die Gleichung zu g´ durch
Rechnung.
2.3 Berechne nun die Koordinaten der Eckpunkte P und Q des in 2.0 beschriebenen
Dreiecks OPQ, und zeichne es in das Koordinatensystem ein.
3.0 Gegeben ist das Dreieck ABC mit A ( - 4 / 0 ) , B ( 1 3 / 0 ) und C ( 1 3 / 8 , 5 ) .
Die Eckpunkte Pn gleichschenklig-rechtwinkliger Dreiecke PnQnRn liegen auf der
Dreiecksseite [AC]. Die Basisstrecken [PnRn] verlaufen parallel zu AB.
Die Spitzen Qn liegen auf der Dreiecksseite [AB].
3.1 Zeichne das Dreieck ABC sowie das Dreieck P1Q1R1 mit P1(1/y1) in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: DIN A4-Blatt in Querformat - 6 ′ x ′ 14; - 1 ′ y ′ 10
3.2 Ermittle durch Konstruktion das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck P*Q*R*, das
dem Dreieck ABC einbeschrieben ist.
3.3 Bestimme durch Rechnung die Gleichung des Trägergraphen für die Punkte Rn, und
berechne sodann die Koordinaten der Punkte P*, Q* und R*.
3.4 Spiegelt man jedes gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck PnQnRn an der zugehörigen
Basis [PnRn], so erhält man Quadrate PnQnRnSn . Ergänze im Koordinatensystem die
beiden gezeichneten Dreiecke jeweils zum Quadrat und ermittle durch Rechnung die
Gleichung des Trägergraphen der Punkte Sn.
RM_A0020 **** Lösungen 6 Seiten (RM_L0020)
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1.0 Die Punkte C ( 6 / 6 ) und Bn(2k-3+ 2 / k - 2 ) sind Eckpunkte von Rauten AnBnCDn, deren
Diagonalen [AnC] auf dem Graphen zu y = x liegen.
1.1 Zeichne für k ⊆ { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 } die Punkte Bn und für k ⊆ { 4; 5 } die zugehörigen
Rauten in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: - 1 ′ x ′ 11;
-3′y′8
Längeneinheit 1 cm
1.2 Gib die Koordinaten der Eckpunkte Dn in Abhängigkeit von k an.
1.3 Für welchen Wert von k* enthält die Rautenschar AnBnCDn ein Quadrat A*B*CD* ?
Berechne hierfür k*.
1.4 Ermittle durch Rechnung die Gleichung des Trägergraphen aller Punkte Bn sowie
aller Punkte Dn. Gib in beiden Fällen die Gleichung in der Form y = T(x) an.
∑ xϒ ⌡ ∑ , 2 0 ⌡
∑x⌡
∑ 9 ⌡
2.0 Gegeben ist folgende Abbildungsgleichung:   < 
δ   ⊗ 


 yϒ   0 , 2 
y
 , 3
2.1 Berechne die Koordinaten des Fixpunktes F dieser Abbildung. Um welche Art der
Abbildung handelt es sich ?
2.2 Die Gerade g mit y = - 2x + 3 wird durch die Abbildung aus 2.0 auf die Gerade g´
abgebildet. Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Geraden g´.
2.3 Zeige rechnerisch, daß die Gerade h mit y = 0,5x - 2,5 durch die Abbildung aus 2.0
auf sich selbst abgebildet wird.
3.0 Die Punkte A ( 0 / 1 ) , B ( 6 / 3 ) und C ( 3 / 5 ) sind die Eckpunkte des Dreiecks ABC.
3.1 Zeichne das Dreieck ABC in ein Koordinatensystem und berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
Für die Zeichnung: - 1 ′ x ′ 8;
-1′y′8
3.2 Der Punkt C bewegt sich so, daß der Flächeninhalt der Dreiecke ABCn konstant
bleibt. Zeichne die Dreiecke ABC1 mit C1( 7 / y 1) und ABC2 mit C2( 0 / y 2) ins KOS ein.
Ermittle durch Rechnung die Gleichung des Trägergraphen für die Punkte Cn .
3.3 Die Dreiecksschar ABCn enthält zwei rechtwinklige Dreiecke mit Ρ ACnB = 90°.
Bestimme diese beiden rechtwinkligen Dreiecke durch Konstruktion. Berechne
weiterhin die Koordinaten der zugehörigen Punkte C* und C**.
4.0 Das Rechteck ABCD mit den Seitenlängen [AB] = a cm und [BC] = a 2 cm ist
Grundfläche einer Pyramide ABCDS mit der Höhe h < a 3 cm. Die Spitze S liegt
senkrecht über dem Mittelpunkt M der Strecke [AD].
Eine Ebene APQD mit P ⊆ [BS] und Q ⊆ [CS] schneidet aus der Pyramide gleichschenklige Trapeze APQD aus. Der Punkt R ist der Mittelpunkt der Strecke [PQ].
Der Winkel RMS hat das Maß ι.
4.1 Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCDS und ein Trapez APQD. Trage den
Winkel ι ein. Für die Zeichnung: a = 6 cm; ϖ = 45°; q = 0,5; Rißachse ist CD.
4.2 Berechne die Trapezhöhe MR < x cm in Abhängigkeit von a und ι.
4.3 Berechne die Streckenlänge PQ in Abhängigkeit von a und ι.
4.4 Für welchen Wert von ι wird PQ < 1,2 a cm lang?
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Klasse 10 / I
1.0 Die Punkte A ( - 3 / - 1 ) , B k ( k / - 5 ) und C ( 9 / 3 ) legen Drachen ABkCDk mit der
Symmetrieachse AC fest.
1.1 Zeichne die Drachen für k ⊆ { -1; 3; 7 }
Platzbedarf:
- 5 ′ x ′ 10;
-6′y′9
1.2 Bestimme die Gleichung der Ortslinie der Punkte Dk und gib die Koordinaten aller
Punkte Dk an.
1.3 Für welchen Wert von k entartet der Drachen zu einem Dreieck?
1.4 Konstruiere die bei B rechtwinkligen Drachen.
1.5 Bestimme durch Rechnung die Koordinaten der Eckpunkte D aller rechtwinkligen
Drachen.
1.6 Berechne von dem Drachen der für k = 1 entsteht, das Maß des Winkels  ( = Ρ BAD )
1.7 Bestimme k so, daß der Drachen eine Raute ist.
1.8 Stelle die Flächeninhalte der Drachen als Funktion von k dar.
2.0 Das Dreieck ABC ist festgelegt durch [AB] = c = 8,4 cm;  = 60°; α = 75° .
Parallelen zu AB schneiden [BC] in P und [AC] in Q. Winkel PAQ = ι .
2.1 Zeichne das Dreieck ABC mit ι = 30°.
2.2 Berechne die Maße folgender Dreiecksgrößen:
a , b , hc , ri (Inkreisradius) und ru (Umkreisradius).
2.3 Gib die Maße der Innenwinkel des Trapezes ABPQ an.
2.4 Stelle die Strecken [AP] und [PQ] als Funktion von ι dar.
2.5 Für welchen Wert von ι gilt : PQ < 5,3 cm ?
3.0 Gegeben ist ein Tetraeder mit der Grundfläche ABC und der Spitze S.
3.1 Zeichne ein Schrägbild des Tetraeder mit der Kantenlänge 9 cm, q = 0,5 und ϖ = 60°.
3.2 Der Winkel zwischen Grundfläche und Seitenfläche sei χ. Der Winkel zwischen
Grundfläche und Seitenkante sei ι. Berechne die Maße von χ und ι .
3.3 Die Dreiecke ABPn mit Pn ⊆ [CS] schließen mit der Grundfläche ABC Neigungswinkel
mit den Maßen δn ein. Die Kantenlänge a des Tetraeders beträgt 9 cm.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABP1 für δ1 = 50°.
Für welchen Wert von δ2 wird der Flächeninhalt des Dreiecks ABP2 minimal?
Berechne δ3 , wenn [P3C] = 5 cm ist.
RM_A0022 **** Lösungen 9 Seiten (RM_L0022)
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Klasse 10 / I
1.0 Gegeben ist die Funktion f mit y < log 2 0,25 √ (x , 1)
G<€x€
1.1 Zeige, daß f in die Form y < log 2 (x , 1) ∗ c gebracht werden kann.
1.2 Berechne die Nullstelle der Funktion.
1.3 Ermittle rechnerisch den Schnittpunkt des Graphen von f mit der Geraden y = 1.
1.4 Tabellarisiere f für x ⊆ { 1,25; 1,5; 2; 3; 6; 9 } und zeichne den Graphen in ein
Koordinatensystem. Platzbedarf: - 1 ′ x ′ 10;
-9′y′3
1.5 Gib die Definitionsmenge, Wertemenge und die Gleichung der Asymptoten an.
x
1.6 Zeige, daß die Umkehrfunktion f -1 in die Form y < 4 √ 2 ∗ 1 gebracht werden kann.
1.7 Berechne die Nullstellen von f -1 und f .
1.8 Ermittle rechnerisch den Schnittpunkt von f -1 mit der Geraden y = 8.
↑
↑
2.0 Die Pfeile OA k < ∑ 2k ⌡ und OBk < ∑ 3k , 1⌡ legen Parallelogramme OAkBkCk fest.
k , 3
 2k , 1
2.1 Wie lautet die Gleichung des Trägergraphen der Punkte Ck ?
2.2 Zeichne die Parallelogramme für k ⊆ { 1; 2; 4 } und berechne den Winkel ι zwischen
↑
↑
OA k und OCk für k = 4 .
2.3 Für welche Werte von k entstehen Rechtecke, Rauten und Quadrate?
2.4 Stelle die Flächeninhalte der Parallelogramme als Funktion von k dar.
2.5 Für welche Werte von k ist der Flächeninhalt > 6 FE ?
↑
↑
2.6 Für welche Werte von k sind die Pfeile OA k und OCk parallel?
3.
[AB] mit A ( - 2 / - 3 ) und B ( 6 / 3 ) ist eine Seite des Rechtecks ABCD. [BC] = 5 LE.
Berechne die Koordinaten von C und D.
4.0 Bestimme die Lösungsmenge folgender goniometrischer Gleichungen:
4.1 cos ( 360° -  ) + sin ( 180° -  ) = - 0,5
G = [ 0°; 360° [
4.2 2 sin2 + cos ( 90° -  ) = 1
G = [ 0°; 360° [
5.0 Vereinfache folgende Terme möglichst weit:
5.1
5.2
T1(ι) < ∋ 1 , sin(90↓ , ι) √ tan ι ( √ ∋ cos(90↓ , ι ) ∗ 1 (
cos(90↓ ,  )
: tan 
1 , sin2 
Für welche Belegung von  hat der Term T2() den Wert 2 ?
T2 ( ) <
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / I
Alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma runden
1.0 Gegeben ist die Funktion f mit y = log2(x+2) - 3 .
1.1 Gib die Definitions- und Wertemenge von f an.
1.2 Erstelle eine Wertetabelle für x ⊆ [ -1; 6 ] mit Χx = 1.
1.3 Zeichne den Graphen der Funktion f in ein Koordinatensystem ein.
Platzbedarf:
-3′x′7
-6′y′7
1.4 Der Graph der Funktion f wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsfaktor k = - 2 abgebildet. Berechne die Gleichung von f´ und
zeichne f´ in das Koordinatensystem ein.
1.5 Für x < 6 sind Rauten ABCD festgelegt mit An ⊆ f und Cn ⊆ f´. Die Punkte An und Cn
haben die gleiche Abszisse x. Für die Punkte Bn und Dn gilt: [ BnDn ] = 2 cm.
Zeichne die Rauten ABCD für x1 = 0 und x2 = 2 in das Koordinatensystem ein.
1.6 Berechne den Flächeninhalt der Rauten in Abhängigkeit von x.
1.7 Berechne den Wert für x so, daß sich ein Quadrat ergibt.
1.8 Berechne die Gleichung des Trägergraphen f´´ der Punkte Bn.
2.0 Gegeben sind folgende Abbildungen:
Z( 2 / ,1); k < ,2,5
θ
v < ∑ ,5⌡
 3
P  
↑ P ϒ  ↑ P ϒϒ
2.1 Gib die Abbildungsgleichungen der beiden Abbildungen in Matrixschreibweise an.
2.2 Berechne die Gleichung der Ersatzabbildung, die den Punkt P direkt auf P´´abbildet.
2.3 Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Fixpunktes dieser Abbildung.
2.4 Weise durch Rechnung nach, daß die Gerade g mit y = - 0,6x + 0,2 Fixgerade
bezüglich der Ersatzabbildung ist.
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1(2)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / I
3.0 Der Punkt A ( - 4 / - 2 ) ist gemeinsamer Eckpunkt von Drachenvierecken ABnCnDn .
Die Eckpunkte Dn( x/ x + 5 ) mit x > - 5 liegen auf der Geraden g mit der Gleichung
y = x + 5. Die Eckpunkte Cn liegen auf der Ursprungsgeraden h durch den Punkt A.
Die Gerade h ist Symmetrieachse der Drachenvierecke ABnCnDn . Die Mittelpunkte Mn
der Diagonalen [ BnDn ] liegen stets im Inneren der Drachenvierecke.
Dabei gilt: [ MnCn ] = 0,5 √ [ MnDn ].
3.1 Zeichne die Gerade g, das Drachenviereck AB1C1D1 für x1 = - 3,5 und das Drachenviereck AB2C2D2 für x2 = 0 in ein Koordinatensystem ein.
Platzbedarf:
-5′x′6
-5′y′6
3.2 Ermittle rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen der Punkte Bn .
3.3 Berechne die Koordinaten der Punkte Cn in Abhängigkeit von der Abszisse x der
Punkte Dn .
3.4 Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Punktes C3 des bei D3 rechtwinkligen
Drachenvierecks AB3C3D3 .
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / I
1.1
Es gibt Dreiecke ABC mit a = 5cm und b = 7cm.
Gib die Seite c in Abhängigkeit von  an. Verwende hierzu den Kosinussatz.
1.2
Berechne c für  = 30° unter Einbeziehung des Ergebnisses aus 1.1
1.3
Berechne mit Hilfe der Diskriminante (quadratische Gleichung) das größte mögliche
Winkelmaß max .
2.0
Löse folgende trigonometrische Gleichungen:
2.1
5 √ sin δ √ cos δ , 3 √ sin2δ < 0,25
δ ⊆ [0°; 160°]
2.2
7
cos 2
<,
cos 
3
 ⊆ [0°; 360°]
3.1
Zeichne die Punkte P1 und P2 auf der Geraden h: 3x + 4y - 12 = 0 mit folgender
Bedingung:
P1 und P2 haben jeweils von der Geraden g1: y + 2 = 0 und g2: 3x - y - 11 = 0 den
gleichen Abstand.
Platzbedarf: - 5 ′ x ′ 10;
- 12 ′ y ′ 7
3.2
Berechne die Koordinaten der Punkte P1 und P2 .
3.3
Berechne die Abstände d1 und d2 der Punkte P1 und P2 von den Geraden g1 und g2
(in 3.1 einzeichnen).
4.1
Ein Punkt P( x/ y) wird durch Drehung um O ( 0 / 0 ) mit dem Drehwinkel  = 200° auf
den Punkt P’( 0 / 4 ,2 ) abgebildet.
Stelle die Abbildungsgleichung in Matrixform auf und berechne die Koordinaten von P.
4.2
Der Punkt P( - 3/ 2 , 7 ) wird auf den Punkt P’( 3 , 7 / 1 , 6 ) gedreht. Drehpunkt ist O ( 0/ 0 ) .
Berechne den Drehwinkel .
RM_A0173 **** Lösungen 6 Seiten (RM_L0173)
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