3. Trägheitstensor - Ing. Johannes Wandinger

3. Trägheitstensor
●
●
●
●
Im Beispiel der rollenden Scheibe hängt der Drall linear
von der Winkelgeschwindigkeit ab.
Bei der Berechnung des Dralls treten Integrale über die
Geometrie des starren Körpers auf.
Es soll nun allgemein gezeigt werden, dass zwischen dem
Vektor der Winkelgeschwindigkeit und dem Drallvektor ein
linearer Zusammenhang besteht.
Dieser lineare Zusammenhang wird durch den Trägheitstensor beschrieben.
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-1
3. Trägheitstensor
3.1 Definition
3.2 Satz von Steiner
3.3 Koordinatentransformation
3.4 Kinetische Energie
3.5 Hauptachsen
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-2
3.1 Definition
●
Definition des Trägheitstensors:
–
–
Der Drall ist definiert durch L B =∫  r BP ×v P  dm .
Mit v P =v B ×r BP folgt:
K
L B =∫ r BP dm×v B ∫ r BP ×  ×r BP  dm
K
K
=m r BS ×v B ∫ r BP ×  ×r BP  dm
K
–
Diese Formel zeigt, dass zwischen Drall und Winkelgeschwindigkeit ein linearer Zusammenhang besteht:
L B =m r BS ×v B  J B 
–
Der Tensor JB wird als Trägheitstensor bezeichnet.
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-3
3.1 Definition
–
Wenn als Bezugspunkt der Schwerpunkt gewählt wird oder
wenn die Geschwindigkeit vB des Bezugspunktes null ist,
verschwindet der erste Summand:
LS = J S 
●
und
L B =J B  für v B =0
Komponenten im körperfesten System Bξηζ:
–
Mit der allgemein gültigen Beziehung
a×  b×c  =b  a⋅c  −c  a⋅b 
folgt:
J B =∫ r BP ×  ×r BP  dm=∫ [   r BP⋅r BP −r BP  r BP⋅  ] dm
K
Prof. Dr. Wandinger
K
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-4
3.1 Definition
–
Im körperfesten Koordinatensystem gilt:
r BP = b  b   b , = b  b    b 
–
Damit berechnet sich der erste Summand zu
2
2
2

 dm

r
⋅r
dm=



∫  BP BP 
∫
K
K
=∫  2 2  2  dm b  ∫  2 2 2  dm b 
K
K
 ∫      dm b
2
2
2
K
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-5
3.1 Definition
–
Für den zweiten Summanden folgt
∫ r BP  r BP⋅  dm=∫ r BP        dm
K
K
2
2
=∫            dm b ∫           dm b 
K
K
∫           dm b 
2
K
–
Damit ist gezeigt:
[
]
 −∫   dm  ∫     dm  −∫   dm  b
[
]
 −∫   dm  −∫   dm  ∫     dm  b
[
]
J B = ∫   2  2  dm −∫   dm  −∫   dm  b 
K
K
2
K
2

K

K
K
Prof. Dr. Wandinger

K



K
2


2
K
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-6
3.1 Definition
–
Massenträgheitsmomente:
–
J B =∫   2  2  dm
Deviationsmomente:
J B   = J B  =−∫  dm
K
K
J B  =∫  2 2  dm
J B   = J B   =−∫   dm
J B  =∫     dm
J B   = J B  =−∫  dm
K
2
K
2
K
K
–
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Die Deviationsmomente
werden auch als Zentrifugalmomente bezeichnet.
Starrkörperdynamik
2.3-7
3.1 Definition
–
Im körperfesten Koordinatensystem Bξηζ wird der Trägheitstensor durch die Matrix
[
J B J B
[ J B ] B= J B   J B 
J B  J B 
J B
J B 
J B
]
dargestellt.
–
Die Elemente dieser Matrix hängen nur von der Geometrie
des Körpers ab und nicht von der Zeit.
–
Achtung: Oft werden die Deviationsmomente ohne das Minus-Zeichen definiert. Dann tritt das Minus-Zeichen in der
Matrix auf.
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-8
3.1 Definition
Beispiel: Quader
●
–
ζ
Gegeben:
Quader mit Kantenlängen a, b, c
Gesucht:
●
S
Trägheitstensor bezüglich Schwerpunkt S
η
a
–
c
●
ξ
b
Dichte ρ = const.
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-9
3.1 Definition
–
Massenträgheitsmomente:
J S ξ =∫ ( η2+ζ 2 ) dm=∫ ( η2+ζ 2 ) ρ dV
K
V
b/ 2
=a ρ
[
c/ 2
∫ ∫ ( η +ζ ) d ζ
2
2
−b/ 2 −c/ 2
b/ 2
=a ρ
∫
−b/ 2
(
η2 c+
(()
3
( ))
2 c
3 2
]
b/ 2
d η=a ρ
3
d η=a ρ
∫
−b/ 2
[
[
1 3
η ζ+ ζ
3
2
]
1 3
2 3
η c+
c η
3
3⋅8
]
ζ=c /2
dη
ζ=−c /2
η=b /2
η=−b/ 2
)
2 b
1 3
1 2 2 1
=a ρ
c+ c b =ρ abc⋅ ( b +c ) = m ( b2+c 2 )
3 2
12
12
12
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-10
3.1 Definition
–
Entsprechend folgt:
–
Deviationsmomente:
1
1
2
2
J S  = m  a c  , J S  = m  a 2 b 2 
12
12
c/ 2
J S ξ η=−∫ ξ η dm=−ρ
K
∫
−c /2
c /2
=−ρ
−c /2
–
b /2
∫ ∫ ∫
)]
ξ ηd ξ d η d ζ
−c/ 2 −b/ 2 −a /2
2 ξ=a /2
ξ
∫η 2
−b /2
dη dζ
ξ=−a /2
b /2
a2 a2
η
−
d η d ζ=0
8 8
−b /2
Entsprechend folgt:
Prof. Dr. Wandinger
a /2
[ [] ]
∫[∫ (
) ]
c /2
=−ρ
[ (
b/ 2
J S   =0, J S  =0
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-11
3.2 Satz von Steiner
●
Aufgabenstellung:
–
–
Für viele Körper sind die
Elemente des Trägheitstensors bezüglich des
Schwerpunkts tabelliert.
Wenn sich der Körper um
einen ortsfesten Punkt
dreht, der nicht der
Schwerpunkt ist, muss
der Trägheitstensor umgerechnet werden.
Prof. Dr. Wandinger
rSP
ζ
rBP
bζ
bη
S
ξ
2. Der starre Körper
P
bξ
rSB
η
B
K
Starrkörperdynamik
2.3-12
3.2 Satz von Steiner
●
Vektorielle Herleitung des Satzes von Steiner:
–
Der Trägheitstensor bezüglich Punkt B ist definiert durch
J B =∫ r BP ×  ×r BP  dm
K
–
Mit r BP =r SP −r SB lautet der Integrand
r BP ×  ×r BP  =  r SP −r SB  ×[ ×  r SP −r SB  ]
=  r SP −r SB  ×  ×r SP −×r SB 
=r SP ×  ×r SP −r SB ×  ×r SP  −r SP ×  ×r SB r SB ×  ×r SB 
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-13
3.2 Satz von Steiner
–
Mit
∫ r SP × ×r SP  dm= J S 
K
und
∫ r SP dm=0
(Schwerpunkt)
K
folgt der Satz von Steiner:
J B =J S m r SB ×  ×r SB 
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-14
3.2 Satz von Steiner
●
Komponenten des Trägheitstensors bezüglich B:
–
Für das doppelte Vektorprodukt gilt
r SB ×  ×r SB  =  r SB⋅r SB −r SB  r SB⋅ 
–
Mit
r SB = B b  B b  B b 
folgt wie bei der Herleitung des Trägheitstensors:
[
[−
[−
]
r SB ×  ×r SB  =   B  B  − B  B  − B  B  b 
2
Prof. Dr. Wandinger
2
]
 ]b
2
2







B B
B
B   − B  B  b 
2
2


−






  B
B B
B B
B
2. Der starre Körper


Starrkörperdynamik
2.3-15
3.2 Satz von Steiner
–
Ergebnis:
●
J B =
J S   m   2B 2B 
J B =
J S   m  2B  2B 
J B =
J S   m  2B 2B 
J B =
J B  =
J B =
J S   − m B  B
J S − m BB
J S   − m B  B
(ξB , ηB , ζB) sind die Komponenten des Vektors vom Schwerpunkt S zum Bezugspunkt B im körperfesten Koordinatensystem.
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-16
3.2 Satz von Steiner
Beispiel:
Gegeben:
●
●
–
ζ
Quader mit Kantenlängen a, b, c
Trägheitstensor bezüglich Schwerpunkt S
Gesucht:
●
η
S
Trägheitstensor bezüglich Punkt B
rSB
a
–
c
●
B
ξ
b
Dichte ρ = const.
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-17
3.2 Satz von Steiner
–
–
–
Vektor vom Schwerpunkt S zum Bezugspunkt B:
a
b
c
a
b
c
r SB = b   b  − b   B= ,  B = ,  B =−
2
2
2
2
2
2
Massenträgheitsmomente:
1 2 2
1 2 2
1 2 2




J B =
b c m b c m=  b c  m
12
4
3
1 2 2
1 2 2
1 2 2
J B  =  a c  m  a c  m=  a c  m
12
4
3
1 2 2
1 2 2
1 2 2
J B  =  a b  m  a b  m=  a b  m
12
4
3
Deviationsmomente:
1
1
1
J B   =− a b m , J B   = b c m , J B   = a c m
4
4
4
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-18
3.2 Satz von Steiner
●
Zusammengesetzte Körper:
–
Der Trägheitstensor eines zusammengesetzten Körpers
lässt sich berechnen, indem die tabellierten Werte für die
Massenträgheitsmomente und Deviationsmomente auf den
gemeinsamen Bezugspunkt umgerechnet und anschließend
addiert werden.
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-19
3.2 Satz von Steiner
Beispiel:
Gegeben:
●
a = b = d = 2cm
●
c = e = 4cm
●
m1 = m2 = 3kg
Gesucht:
c
–
ζ
●
Trägheitstensor bezüglich Punkt B
m2
m1
B
ξ
Prof. Dr. Wandinger
e
b
–
d
●
2. Der starre Körper
η
a
Starrkörperdynamik
2.3-20
3.2 Satz von Steiner
Körper 1
1
-1
-2
5
5
2
Körper 2
1
-2
-5
5
2
5
cm
cm
cm
kgcm2
kgcm2
kgcm2
m(ηB2 + ζB2)
15
87
kgcm2
m(ξB2 + ζB2)
15
78
kgcm2
m(ξB2 + ηB2)
6
15
kgcm2
ξB
ηB
ζB
JSξ
JSη
JSζ
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-21
3.2 Satz von Steiner
Körper 1
Körper 2
Gesamt
JBξ
20
92
112
kgcm2
JBη
20
80
100
kgcm2
JBζ
8
20
28
kgcm2
JBξη
3
6
9
kgcm2
JBηζ
-6
-30
-36
kgcm2
JBξζ
6
15
21
kgcm2
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-22
3.3 Koordinatentransformation
●
●
Seien B1 = Bξ1η1ζ1 und B2 = Bξ2η2ζ2 zwei körperfeste Koordinatensysteme.
Die Matrix [T ]21 transformiert die Koordinaten eines Vektors x von System B1 in das System B2:
[ x ]2= [ T ]21 [ x ]1
●
T
Aus [ L ]2 = [ T ]21 [ L ]1= [ T ]21 [ J ]1 [  ]1 =[ T ]21 [ J ]1 [ T ]21 [  ]2= [ J ]2 [  ] 2
folgt:
Prof. Dr. Wandinger
[ J ]2= [ T ]21 [ J ]1 [ T ]
2. Der starre Körper
T
21
Starrkörperdynamik
2.3-23
3.4 Kinetische Energie
●
Herleitung:
–
Betrachtet wird ein Körper, dessen Schwerpunkt sich mit
der Geschwindigkeit vS bewegt und der sich mit der
Winkelgeschwindigkeit ω dreht.
–
Seine kinetische Energie ist die Summe der kinetischen
Energien aller Massenelemente:
1
E K = ∫ v P⋅v P dm
2K
Für die Geschwindigkeit eines beliebigen Körperpunktes
gilt:
v P =v S ×r SP
–
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-24
3.4 Kinetische Energie
–
v P⋅v P =  v S ×r SP ⋅ v S ×r SP 
= v S⋅v S 2 v S⋅ ×r SP   ×r SP ⋅ ×r SP 
Mit
folgt:
1
1
E K = m v 2S v S⋅ ×∫ r SP dm  ∫  ×r SP ⋅ ×r SP  dm
2
2K
K


–
Der erste Summand auf der rechten Seite ist die kinetische
Energie infolge der Geschwindigkeit vS des Schwerpunktes.
–
Der zweite Summand ist wegen
∫ r SP dm=r SS =0
gleich null.
Prof. Dr. Wandinger
K
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-25
3.4 Kinetische Energie
–
Mit der Lagrangeschen Identität
 a×b ⋅ c×d  =  a⋅c   b⋅d  −  b⋅c   a⋅d 
folgt für den dritten Summanden:
∫  ×r SP ⋅ ×r SP  dm=∫ [  ⋅   r SP⋅r SP − r SP⋅   ⋅r SP  ] dm
K
K
=⋅∫ [   r SP⋅r SP  −r SP  r SP⋅  ] dm=⋅J S 
K
●
Ergebnis:
–
Für die kinetische Energie des starren Körpers gilt:
1
1
E K = m v 2S  ⋅J S 
2
2
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-26
3.4 Kinetische Energie
●
●
Folgerung:
–
Da die kinetische Energie immer positiv ist und jede Drehung des Körpers mit einer kinetischen Energie verbunden
ist, gilt:
⋅J S 0
–
Der Trägheitstensor ist positiv definit.
Koordinatendarstellung:
–
In einem körperfesten Koordinatensystem Bξηζ gilt für die
kinetische Energie der Drehbewegung:
1 T
E K = [  ]B [ J S ]B [  ]B
2
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-27
3.4 Kinetische Energie
–
Sind B1 = Bξ1η1ζ1 und B2 = Bξ2η2ζ2 zwei körperfeste Koordinatensysteme, so gilt:
T
[  ] [ J S ]1 [  ]1=  [ T ] [  ]2  [ J S ]1 [ T ]21 [  ]2
T
T
= [  ] [ T ] 21 [ J S ]1 [ T ] 21 [  ] 2 = [  ]2 [ J S ]2 [  ] 2
T
1
–
T
21
T
2
T
Durch das Transformationsgesetz für den Trägheitstensor
wird also gewährleistet, dass die kinetische Energie nicht
vom Koordinatensystem abhängt.
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-28
3.5 Hauptachsen
●
Definition der Hauptachsen:
–
Aus der Matrixdarstellung kann abgelesen werden, dass
der Trägheitstensor symmetrisch ist.
–
Außerdem wurde gezeigt, dass der Trägheitstensor positiv
definit ist.
–
Daher hat der Trägheitstensor drei reelle positive Eigenwerte J1, J2, und J3, die als Hauptträgheitsmomente bezeichnet
werden.
–
Die zugehörigen Eigenvektoren b1, b2 und b3 stehen senkrecht aufeinander:
b 1⋅b 2=0, b 2⋅b 3=0, b1⋅b 3=0
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-29
3.5 Hauptachsen
–
Die Eigenvektoren können so normiert werden, dass sie
Einheitsvektoren sind.
–
Das dadurch definierte Koordinatensystem H = B123 wird
als Hauptachsensystem bezeichnet. Die Koordinatenachsen heißen Hauptachsen.
–
Im Hauptachsensystem wird der Trägheitstensor durch die
Diagonalmatrix
J1 0 0
[ J S ]H = 0 J 2 0
0 0 J3
dargestellt.
[
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
]
Starrkörperdynamik
2.3-30
3.5 Hauptachsen
●
Berechnung der Hauptachsen:
–
Die Hauptträgheitsmomente sind die Nullstellen der charakteristischen Gleichung
det  [ J S ] B − J [ I ] B  =0
–
Das ist eine kubische Gleichung
mit den Koeffizienten
−J 3a J 2 b J c=0
a= J S   J S   J S  =sp J S 
b= J 2S    J 2S    J 2S   − J S  J S  − J S  J S  − J S  J S 
c=det  J S 
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-31
3.5 Hauptachsen
–
Wenn die Hauptträgheitsmomente bekannt sind, können die
Hauptachsen aus den linearen Gleichungssystemen
 [ J S ] B − J k [ I ] B  [ b k ] B= [ 0 ] B ,
k =1, 2, 3
berechnet werden.
–
In der Praxis werden Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen in der Regel mithilfe eines numerischen Verfahrens
zur Lösung von symmetrischen Eigenwertproblemen ermittelt.
–
Gebräuchliche Verfahren sind z.B. das Verfahren von Jacobi oder die Vektoriteration.
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-32
3.5 Hauptachsen
●
Symmetrische Körper:
–
Hat ein Körper eine Symmetrieebene, so kann eine Hauptachse sofort angegeben werden.
–
Symmetrie bezüglich
ηζ - Ebene:
ζ
dm
dm
η
ξ
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2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-33
3.5 Hauptachsen
●
●
Zu jedem Massenelement an der Stelle (ξ, η, ζ) gibt es ein
entprechendes Massenelement an der Stelle (-ξ, η, ζ).
Also gilt:
J   =−∫  dm=0, J   =−∫  dm=0
K
–
K
Entsprechend folgt für Symmetrie bezüglich der ξη - Ebene
J   =−∫   dm=0, J   =−∫  dm=0
K
K
und für Symmetrie bezüglich der ξζ - Ebene:
J   =−∫  dm=0, J   =−∫   dm=0
K
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
K
Starrkörperdynamik
2.3-34
3.5 Hauptachsen
Symmetrieebene
Trägheitstensor
[
ξη
ηζ
ξζ
Prof. Dr. Wandinger
[
[
J  J  0
J  J  0
0
0 J
]
J
0
0
0
J
J 
0
J 
J
J
0
J 
0
J
0
J 
0
J
2. Der starre Körper
Hauptachse
ζ-Achse
]
]
ξ-Achse
η-Achse
Starrkörperdynamik
2.3-35
3.5 Hauptachsen
–
Die übrigen beiden Hauptträgheitsmomente sind Nullstellen
einer quadratischen Gleichung.
–
Bei Symmetrie bezüglich der ξη-Ebene lautet die charakteristische Gleichung z.B.
∣
J − J
0= J 
0
J 
J − J
0
∣
0
2
0 =  J  − J  [  J  − J  J  − J  − J   ]
J − J
=  J  − J  [ J −  J  J   J  J  J  − J  ]
2
–
2
Sie hat die Lösungen J 1= J  und
J  J 
J 2/ 3 =
±
2
Prof. Dr. Wandinger


2
J − J 
2
 J 
2
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-36
3.5 Hauptachsen
●
Rotationssymmetrische Körper:
–
Bei einem rotationssymmetrischen Körper ist die Rotationsachse eine Hauptachse.
–
In der Ebene senkrecht zur Rotationsachse ist jede Achse
eine Hauptachse. Es können zwei senkrechte Hauptachsen
beliebig gewählt werden.
–
Die Massenträgheitsmomente bezüglich der beiden zur
Symmetrieachse senkrechten Hauptachsen sind gleich
groß.
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-37
3.5 Hauptachsen
●
Kugelsymmetrische Körper:
–
Bei einem kugelsymmetrischen Körper sind alle Achsen
Hauptachsen.
–
Es können drei senkrechte Hauptachsen beliebig gewählt
werden.
–
Alle drei Hauptträgheitsmomente sind gleich groß.
Prof. Dr. Wandinger
2. Der starre Körper
Starrkörperdynamik
2.3-38