Ubungsklausur
Werbung
Übungsklausur Physikalische Chemie II WS 06/07 für Biochemiker 1. Februar 2007 Hinweise: Am Ende der Klausur befindet sich eine Formelsammlung! Hilfsmittel: Schreibzeug und nicht-programmierbarer Taschenrechner Aufgabe 1: Wir betrachten ein Teilchen der Masse m, das sich in einem eindimensionalen Kasten befindet, also auf das folgendes Potential wirkt: 0, 0 < x < L V (x) = ∞, sonst V(x) 1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 0 L x a) Stellen Sie die stationäre Schrödingergleichung auf und bestimmen Sie die physikalisch sinnvollen Lösungen ψn (x) mit den zugehörigen Energieeigenwerten En . Die Wellenfunktionen sollten normiert angegeben werden. b) Skizzieren Sie die Wellenfunktionen für die ersten drei Werte der Quantenzahl n. c) Wie ändern sich die Nullpunktsenergie und der Abstand der Energieeigenwerte, wenn man den Kasten vergrößert? Welchem aus der Vorlesung bekannten quantenmechanischen Problem entspricht die Situation eines unendlich ausgedehnten Kastens? - 1 von 4 - Aufgabe 2: Betrachten Sie die im folgenden als Skizzen bzw. über ihre funktionelle Form gegebenen Funktionen, in einigen Fällen sind zusätzlich Potentiale skizziert. Welche der gezeigten Funktionen kommen als physikalisch sinnvolle Wellenfunktionen in Betracht, welche nicht? Im Falle einer negativen Antwort begründen Sie diese durch die Angabe mindestens eines Kriteriums oder mindestens einer physikalischen Gesetzmäßigkeit, die verletzt werden. ψ E x (a) (b) E (c) d) ψd (x) = x2 · e−x 2 Aufgabe 3: Stellen Sie jeweils fest, ob i) cos(kx) ii) cos(kx) · sin(kx) iii) e−ax 2 Eigenfunktionen des Operators, pb 2x , und des Operators benenfalls die zugehörigen Eigenwerte. 1 ∂ x ∂x sind, und bestimmen Sie gege- Aufgabe 4: Formulieren Sie das Variationsprinzip und geben Sie eine kurze Erläuterung zu seiner Bedeutung. - 2 von 4 - Aufgabe 5: a) hZeigen Sie von Kommutatoren: i die hfolgende i Eigenschaft h i ÂB̂, Ĉ = Â B̂, Ĉ + Â, Ĉ B̂ b) Bestimmen Sie folgende Kommutatoren: h i bx , L bz i) L i h ii) bx1 , pbx Aufgabe 6: a) Beschreiben Sie kurz die wichtigsten Aspekte des Tunneleffekts (Stichworte: Klassische Mechanik, Quantenmechanik, Tunnelwahrscheinlichkeit, Breite/Höhe der Barriere, Masse). b) Skizzieren Sie für den Fall einer endlich hohen und breiten Potentialbarriere eine physikalisch sinnvolle Wellenfunktion in allen drei wesentlichen Bereichen des Modellsystems. Aufgabe 7: Das 2s-Orbital des Wasserstoffatoms hat die funktionelle Form 32 1 1 ψ2s (ρ) = √ (2 − ρ) e−ρ/2 4 2π a0 mit ρ = 2 r , n a0 wobei r den Abstand zum Kern bezeichnet. a) Bei welchem Abstand vom Kern besitzt die Wahrscheinlichkeitsdichte ihre Maxima? b) Skizzieren Sie die Wellenfunktion, die Wahrscheinlichkeitsdichte und die Wahrscheinlichkeitsdichte der zugehörigen radialen Verteilungsfunktion. c) Berechnen Sie den Erwartungswert von ρ2 . Hinweis: Integral über den Gesamtraum für eine kugelsymmetrische Funktion: R R∞ f dτ = 4πr2 f (r)dr. Anschließend kann noch r geeignet substituiert werden, um die V 0 Integration weiter zu vereinfachen. Aufgabe 8: Stellen sie das MO-Diagramm von Benzol mit Hilfe des Frost’schen Kreises auf. Wie üblich seien das Coulomb- bzw. das Resonanzintegral mit α und β bezeichnet. Berechnen Sie die aromatische Stabilisierung im Vergleich zu einer hypothetischen Struktur mit isolierten Doppelbindungen in Abhängigkeit von α und β. - 3 von 4 - Formeln und Konstanten ∂ pbx = ~i ∂x bx = ~ y L i ~ i ~ i ∂ ∂ − z ∂y ∂z ∂ ∂ z − x ∂x ∂z ∂ ∂ x ∂y − y ∂x by = L bz = L R∞ n −ax x e dx = 0 iz n! an+1 −iz sin z = e −e 2i iz −iz cos z = e +e 2 h ~ = 2π h = 6, 626 · 10−34 J · s Planck-Konstante me = 9, 109 · 10−31 kg Masse eines Elektrons mP = 1, 673 · 10−27 kg Masse eines Protons u = 1, 661 · 10−27 kg atomare Masseneinheit c = 2, 998 · 108 ms Lichtgeschwindigkeit kb = 1, 381 · 10−23 KJ Boltzmann-Konstante a0 = 52, 9 pm Bohr’scher Radius - 4 von 4 -
